(Rpta. B I

Perímetro de la región sombreada:

rr8 n:b n:kP=--Z+--Z+ .....+ --Z

rtP = 2fa+b+ .... +k)

~

D

A)8J! B)6n: C)10n: D)11n: E)14n:RESOLUciÓN:La longitud de una semicircunferen­cia es 0.n:/2donde Oes el diámetro.

@ Cada lado del cuadrado ABCO mide3 cm. ¿Cuál es el perímetro de la su­perficie sombreada? Las figuras for­madas en el perímetro del cuadradoson semicírculos.

[Rpta. El

-,-,~o.. ?J:..\

a F 10 Q

NQ=a+13=19:::;.1 a=61También:PN=NQ4+b+a = 19= 1b = 9 1Perímetro pedido:a+b+4+5+1 0+3 = 37

Exágono ABCOEF equiángulo ==} ca­da ángulo interno mide:

(n-2)180° , para n = 6 ==} 1200n

• 6 epo equilátero: (~ s iguales)CP=PD=CD=4

• 6EFQ equilátero: (~s iguales)FQ=QE = FE= 10

• 6NPQequilátero: (~s iguales)==} NQ = PQ = 19

10cmyFA=3cm. e D

A) 24 cm oB)22cm B EC)36cm0)57 cmE)37cmRESOLUCIÓN: A F

@ Hallar el perímetro del exágono equi­ángulo, si CO =4 cm, DE = 5 cm, EF =

b

B

e

e.. .¡ Rpta. e I

a

ro--A• 4(a+b)= 15

:::;.4a+4b = 15 (1)4b-4a = 3 (2)

• (1)-(2): 4a+4a = 12

:::;.14a=61

6n:r= 6

® El perímetro del cuadrado C es 15cm, el cuadrado B tiene 3 cm de pe­rímetro más que A. ¿Cuál es el pe­rímetro del cuadrado A?

A)15cm EJBB) 12cmC)8cm0)6cm eE)4cmRESOLUCiÓN:

El perímetro pedido está compues­to de 4 semicircunferencias de ra­dio 1cm ydosarcosde cuadrante:

P = 4 [2rr;1 )J+2 [2¡¡~2)J ,----_-----,

P = 6n: cm ( Rpta. A I@ Los puntos 01 y O2 son centros de

los círculos mostrados. Si el perí­metro del sector sombreado es 6cm. ¿Cuál es el perímetro del cír­culo en blanco?A)4cmB)3cmC)2cm0)1 cmE)2.5cmRESOLUCIÓN:Se pide hallar ZnrDel dato:2n:(2r)+(2rrr) = 6

B)5n:C)4rrO)3rrE)8)[RESOLUCiÓN:

A)6n:

RESOLUCiÓN:Oeldato:6r+9r = 30 :::;.r =2Longitud de lacircunferencia deradio r:Znr = 2n:(2) = 4n:ª En la figura ABCO es un cuadradode 4 cm de lado. ¿Cuál es el perí­metro de la región sombreada? M,N, P Y Q son puntos medios de loslados del cuadrado.

A ....-f-+-+--r:;,_

C)4¡¡E)9:r

8 Los lados del triángulo equiláteroABC se dividen en 3 partes iguales;uniendo consecutivamente los pun­tos de división se forman un exágo­no regular. El perímetro del exágonoy el del triángulo suman 30 cm.¿Cuáles la longitud de la circunferenciacircunscrita al exágono?A) 2)[ B) 3)[0)6;,:

Sumando las longitudes de los 7segmentos verticales de 6 m cadauno, estamos sumando 2 veces lalongitud de cada segmento pedido.Por tanto:

6x7 12=21m ~

__ ..L...-..L...-...L.-...J........L.......::::.a.

18 m

§ Hallar el perímetro de la figura som­breada, ABCO es un cuadrado de la­do4m, 01y02son centros de los se­micírculos, O es centro de los cua­drantes, M es punto medio de CO yN, punto medio de AO.

~;!: B~~2C)5;,: M0)6;,:

E) 8n: A DRESOLUCiÓN: 01 N

2rr(4) 2¡¡(1) 2¡¡(2) 2rr(1)P=--+--+--+--

4 242

P=5. ~:

1 1 2 ¡r-R-p-ta-.-A-"I

@Y Los segmentos verticales estánigualmente distanciados entre sí.¿Cuál es la suma de sus longitudes?A) 36mB)40mC)18m0)21mE)30mRESOLUCiÓN:

(XX) &J(Al (B)

A) EnA B) En BC) En ambas se utiliza igualRESOLUCIÓN: 2ntl3

A)88)9C) 10D) 12E)7

2!iII.......

Q 2 DL = 2rr(3) + 2][(5) + 2n(2)

444r-IL-=-5rc--'1 ['-N-;n-g-u-na-"j

@ ¿Cuántos triángulos tienen por lome-nos una "*",

(Del N°825 a' N°848)

CAPíTULO N"46

AB reemplazaaAPQBA8 más corto queAPQB•• Elperímetro disminuye r Rpta. A 1

(0:;)\ Los radios de los círculos son 6 cm, 4~ cmy 2 cm respectivamente. ¿Cuáles

el perímetro de los sectores som-breados?A)12nB)241tC)6rrD)1811E)1Sn;RESOLUCiÓN:El perímetrode los sectoressombreados,es el mismoque el de lostres círculos:2rc(6)+2rr(4)+2rc(2)= 24n; [Rpta. B I

BRESOLUCiÓN:O o·..··..

..... J L... ~¡ :... ·1...... :.... ·

Todas tienen el mismo perímetroigual al del cuadrado. [ Rpta. El

@ Esta cruz se ha transformado en uncuadrado manteniendo el área inva­riable. ¿Qué pasa con el perímetro:aumentaodisminuye?

@ Se muestra 4 cuadrados congruen­tes de 4 mde lados, cada uno. Inscri­to en cada uno hay una figura som­breada, ¿cuál de ellas tiene mayor

perímetro? ~ DA)AB)BClC

D)D b][)E)TodastienenIgualperímetro

RESOLUCIÓN:

C)6nkmD)12nkmE)3pkmRESOLUCiÓN:(N.A.)

Los radios de la semicircunferenciason respectivamente 1 cm, 2 cm, 3cm, 4 cm, 5cm y 6 cm, en conse­cuencia, la longitud del espiral es:L= TI(1)+n(2)+TI(3)+n(4 )+n(S)+n(6)L= 21TIcm [ Rpta. E I

€Y ¿Cuál es la longitud de este tramode la pista? AOB, PBC y CQD soncuadrantes de radios 3 km,Skm y 2km respectivamente.A)9nkm A:

3iB)8nkm . B 50·"3'" p

¡sic

@ ¿En qué relación se encuentran loslados de un cuadrado y de un trián­gulo, si ambos tienen el mismo pe­rímetro?A)1:1 B)2:1 C)2:3 D)3:4 E)4:5RESOLUciÓN:

a 4a = 3t_aDa .r-: =>--ª-=-ª-­~ t 4a t ( Rpta. D I€Y Este rectángulo tiene 20 cm de pe­

rímetro. ¿Cuál puede ser el áreamáximodel triángulo?

A)25cm< DB) 16cm2C)24cm2D)23 cm-E)20cm2RESOLUciÓN:Del dato:2a+2b=20

b= 1O-a .... (1)Áreadel rectángulo:DbS=ab a aS=a(10-a)S = 10a-a2 bS=+25-25+10a-a¿S = 25-(25-1Oa+a-)

S = 2S-(S-7)2{sm5 5-a~=>~=>~

El área es máximo cuando el rec­tángulo es cuadrado.:. S =axb =55 = 25 (Rpta. A I

@ Hallar la longitud de la espiral for­mada por semicircunferencias condiámetros en segmento AG de lon­gitud 12 cm. Los puntos ubicadosenAGsonequidistantes.A) 18ncmB)15rccmC)12nmD)24ncmE)21nmRESOLUCIÓN:( Rpta. e I

§ La figura muestra5 semicírculos condiámetros ubicadosen la misma rec­ta. El diámetro del semicírculo ma­yor es6cm. ¿Cuálesel perímetrodela figura sombreada?A)6rc

B)7rc QC) 1211:D)1SI1:E)8rcRESOLUCiÓN:La longitud del semicírculo en fun­ción deldiámetro es ItD/2.El perímetro de la figura sombreadaestá en linea gruesa:

na Itb ItC Itd It(a+b+c+d)P = - + - + - + - + -'--::------"2 2 2 2 2

P = It(a+~+c+dl ~

Ip=6rcl ~

[ Rpta.A I

15 m

C)38mE)30m

15 mA)60m B)19mD)40mRESOLUCiÓN:El perímetro de la figura es el mismoque del rectángulo:p= 2(4+15)= 38m

® Enel triángulo equiláteroABCde pe­rímetro 12 cm, PMIIBC y MQIIAB.¿Cuál es el perímetro de la superfi-cie sombreada? B

~j~~~m iLC) 18cm PD) 1ScmE)8cm A eRESOLUCiÓN: M• BPMQes paralelogramo:PM= BQ=ayPB= MQ= b

• el APMy/',. MQCequiláteros• Perímetro pedido: B

• ~e~~~t::? ~a Q3a(a+b)= 12 P b b=> 3a+3b= 12cm a a

A a M b e( Rpta. A I

€Y ¿Cuál es el perímetro de estasiluetade una escalinata? Se muestra lasdimensiones.

1 Total= 21+21+7 =49 1 [Rpta. DI@ Hallar el total de triángulos en la fi­

gura.A)98B)96C) 1020)108E) 112RESOLUCiÓN:

n = 7 -c- 7(7-1) = 212

Horizontal inferior: también habrá: 21Verticales: 7

Para20 cuadraditos parlado habrá:

120x21 =420 1 [ Rpta. D 1

@ Calcular el total de segmentos quehay en lafigura.A)40 .------------...

gm 1111I11E)52RESOLUCiÓN:

1 234 5 6 7

I 1 1 1 1 1 l

I N' Semicírc.=2(N' Circunfer)(N' Diámetros)

® ¿Cuántos semicírculos existen enla figura?

A) 20 ~B)24C)270)21E)26RESOLUCIÓN:

2 ---if---+-;---;

3 ---if---+-;---;

4 ---iI---+-;---;s ---I--'--_.___,

- 5(5-1) - 10SCH - 2 -

4(4-1)_Scv=-2- - 6

ST = SCHXSCV

ST = 10x6

En 1 cuadrilátero se puede trazarsólo 2 diagonales.Luego:En60cuadriláteros se podrátrazar:'1260= 120diagonales 1[ Rpta. D I

432

[ Rpta. e I

[ Rpta. B I

1#:4 triángulos2#:a1;123#:3b2; 3b4; 1b44#:a12b1Total= 10 1

@ ¿Cuántos "." hay en e,1rectángulo ycírculo pero noen el tnangulo7A) 1B)3C)2D)4E)ORESOLUCiÓN:La parte som­breada es la queperteneceal rec­tángulo y círculopero no al trián­gulo; vemos quehay 2 corazones

@ ¿Cuántas rectas se deben añadirpara formar 10triángulos?

A)1 ~AB)10C)3D)4E)5RESOLUCiÓN:

EEI B=M

3 cuadraditos por lado:00 12=3x4

@ ¿Cuántas diagonales se pueden[ Rpta. E I trazar?

A) 96B)100C) 110O) 120E) 112RESOLUCiÓN:

2 cuadraditos por lado:

2 = 1x2

Donde:N' circunferencias = 3W diámetros =4W semicírculos = 2(3)(4) = 24

[Rpta. B 1@ Hallarel número de triángulos.

~m1 ~E)390 ; ;RESOLUciÓN: .• Por inducción:1cuadradito por lado:

3

En lafigura habrá:4 cuadraditos parlado.172+1 =50 cuadraditos 1[ Rpta. A 1

2 cuadraditos por lado:

~3 cuadraditos par lado:

~

s

@) Calcular el total de triángulos en lafigura.A)48B)50C)420)52E)46RESOLUCiÓN:• Por inducción:1cuadradito parlado:

De 1#:5 cuadriláterosDe2#:23; 34; 13;45De 3#:234ITotal= 10 I

De2#:b*De 3#: ad*; b-f: ce­De 4#: abd-: be-eDe 6#: abcd=; abe- *f; bc=ef»De 9#:1triángulosITotal=10 I [ Rpta. e I

@ ¿Cuántos cuadriláteros no contie­nen ala *7

~~~1 tmC)8D)12 *E)10RESOLUCiÓN:

RESOLUCIÓN:

ITotal= 12cuadriláteros I (Rpta. B I

De 1#:4 cuadriláterosDe2#:a1; 23;4b; 24; 13De4#: a123; 234bDe6#: a1234b

De 1#:1cuadriláteroDe2#:bc; 1f; c1De3#: 1dfOe4#: a1dfDe7#:1cuadrilátero

'-1 T-o-ta-I-=-7-c-u-ad-r-ila-'t-e-ro-s""l[Rpta. DI@9 Hallarel total de cuadriláteros.

A)10B)12C) 14D)9E)13RESOLUCiÓN:

1Total = 10+15 = 251 [ Rpta. DI@ Hallarel total de cuadriláteros.

~i~ ~C)6D)7E)8RESOLUciÓN:

para n = 55(5-1) = 10

2para n = 6

6(5-1) = 152

542 3

De3#:acd; cdb; dba; bac1ae; 1ab; 3ca; 3cd4dc; 4db; 2ba;2bd

De6#: 1ac3d;3cd4b2;4db2a1;2ba1c3

1Total= 20 exágonos 1 [ Rpta. DI@ Hallarel total de ángulos en lafigura.

A)18 ~B)22C)24D)25E)30RESOLUCIÓN:

1 2 3 4 5

De 1#: 4 exágonos

@9 ¿Cuántosexágonos hayen total?

~i~~ ~C)18D)20E)15RESOLUCiÓN:

[ Rpta. E IContando:

1Total = 20 1

22

2

@9) Hallar-el total de ángulosen figura.

A)22 CEO8)16C)24D)18E)20RESOLUciÓN:

2

[ Rpta. e I

para n = 77{7-1)--=212

1ST= 10x10 = 100 1 [Rpta. DI@ ¿Cuántos sectores circulares hay?

A)80 •8)76C)84D)64E)88RESOLUCiÓN:

5 .......---L._L..-...L.......J

SCH = 5(5-1) = 102

Scv= 5(5-1) = 102

ST= SCHXSCV

RESOLUCIÓN:

5 triángulos5(6-1).,:;;...........--4-----<.__.._~11=5--+- =15triang.

3 4 5 6 2

1Total = 15+5+15 =- 251 [~R-p-ta-.-c~1

@ Hallareltotaldel paralelogramo.A)120

8)110 lllUC)96D)100E)90

n=3-43(3-1)=325(5-1)n=5--+-2-=10

7(7-1)1 2 3 4 5 ~ 7 n=7-4-2-=21

1Total= 3+10+21 =- 341 ( Rpta. A I@ Calcular el total de triángulos en la

figura.A)328)36C)350)30E)40RESOLUciÓN:

1Total = 10+6+3 = 19 1 [Rpta. B I@ Hallar el total de triángulos en la fi­

gura.A)348)32C)360)40E)28RESOLUCiÓN:

n=5-45(5-1)=10........... 2

4(4-1)tI-............- .......n=4-4-2- =6

.............-----411=3--+ 3(3-1)=32

~~ ....................~ .... 31 2 3 4 5 G 7 8 9

9(9-1)-2-=36

136x3 = 1081 ( Rpta. D I@ ¿Cuántostriángulos hay en la figura?

A)16 ~8)18C) 190)20E)15RESOLUCiÓN:

@ Toma un papel cuadriculado de 13por 8 cuadraditos, recorta según laslíneas (ilustración de arriba) indica­das. En seguida arma el"rompecabe-zas" tal como lailustración de abajo, Compara lasáreasy busca unaexpli-cación.

• AMBN- AABC6-a = __§_ ~ a=4a 12:.So =42= 6cm2

B

C)9cm2E)36cm2

A) 12cm- B) 16cm2D)25cm<RESOLUCIÓN:

@ ¿Cuáles el área del cuadrado MNPQinscrito en el triánguloABC? La baseAC y la altura relativa a esta base deltriángulo, miden 12 cm y 6 cmrespec-tivanwnte.

MIl'ALL~cQ P

(A)~(B)~

(C)~

• R-r = 15• LR-L r= 2n:R-2¡¡r

=2J1:(R-r)=2(3,14)(15)=9fífpta. A 1

@)Con 12 cerillas se ha construido untriángulo rectángulo de 3; 4 Y 5 ceri­llas de lado, Obviamente el área deeste triángulo es igual a la mitad delrectángulo de 3 por4, es decir 6 "cerl-lIascuadradas". G§lJA) Mueve dos ceri­

llas y forma unafigura con unárea de 5 ceri­llas cuadradas,

B) Mueve tres cerillas y forma unafigura con un área de cuatro"cerillascuadradas".

C) Mueve cuatro cerillas y forma unafigura con un área de tres "cerillascuadradas",

Cl120E)Ninguna

@ Un aro está formado por doscircunfe-rencias concéntricas quedistan 15 cm, las diferencias de las 2circunfe-rencias difierenaproximadamente enA) 94 B) 114D)128F\_E¡;S

regiones, en elinterior de cada uno de los cualespodemoselegir 1 punto, de tal suer­te que disten entre ellos más de 1cm. El quinto punto, necesariamen­te tenemos que elegir en el interiorde una de las regiones, que con elpuntoya elegido va adistarmenosde 1cm. [Rpta. e l

B

¡\z~

A 1 1 e

Dividiendo eltriángulo comose muestra enla figura, dispo­nemossólo de4

A)OB) 1C)2D)3E)4RESOLUCIÓN:

está frente aotro de 25 mde altura. En­tre ellos hayuna avenida cuyo ancho queremosaveriguar. Si uniéramos el pie decada edificio con el extremo supe­rior del otro, las dos líneas resulta­rían perpendiculares, ¿Puedes in­dicarel ancho de la avenida?A)25m B)30m C)32mD)24m E)40m

3:iSOLUCIO~:5~i:!~A x . e [ Rpta. B I

(@9> En el interior del triángulo ABC delado 2 cm, se eligen 5 puntos,¿Cuántos puntos como mínimo dis-tarán menosde 1cm? B

DA 2 e

@) Un edificio de36 m de altura

(Del N° 849 al N° 868)

CAPíTULO ND 47

16x5 = 30segmentos I r Rpta. D I

para n = 44(4-1) = 6 segmentos

2En cada lado hay 4 puntos (n = 4)luego habrá 6 segmentos en cadalado,En51adoshabrá:

RESOLUCIÓN:

De 1», 2cuadriláterosDe 2#:a1; 1e;b2; 2f; 12De3#:a1e; b2f;a1c;

C1e; b2d;2dfDe 8#:1cuadrilátero

I Total= 14cuadriláteros Ir Rpta.A I€Y ¿Cuántos segmentos existen en la

figura? *A)24B)26C)28D)30E)32

I Total=21+15=36I r Rpta.A I@ ¿Cuántos cuadriláterosexisten en la

~1~~? ~C) 13D) 14E)16RESOLUCIÓN:

~

1 P2 E

R A Z 03 N A R1234567

4 S5 A5 R

Horizontalmente: n = 77(7-11 = 21

2Verticalmente: n = 6

6(6-1) = 152

ITotal=20 triángulos I r Rpta. e I~ Calcular el totalde segmentos.

A)36 pB)32 EC) 40 R A Z O N A R

D)28 ~E)42 RRESOLUCiÓN:

De 1#:7triángulosDe 2#:23; 15;56; 67;

34;47; 06; 04De 3#:104;567;206;347De4#:0476

@ ¿Cuántostriángulos hayen la figura?

~~~~ ~C)20D)22E)24RESOLUCIÓN:

~

V~ Seis hermanos.se dis­

ponen a repartirse es­te terreno que tiene laforma de un exágonoregular, a cada herma­no le debe correspon­der la misma área de terreno, conperímetros exactamente iguales ycon un roble para cada uno. ¿Cómodeben trazarlos límites®?RESOLUCIÓN: •

•• •• •

[Rpta. B 1Esel segmentoz.

6/3 .....---+--- .....36/3 3

1 / 1,..---~

Total= 4(1)+4(3)+2(6)= 28 ( Rpta. el§ ¿Cuál de los segmentos es la prolon-

~lC:~Y'? ~ IO)Es posible los dosE)Noes posiblesaber -2

sin la ayudade una regla.RESOLUCiÓN:

-< 2 Rayos < > 1 ángulos

~ 3 Rayos < > 6 ángulos

-<¬ 4 Rayos < > 3 ángulos

T

¿Cuántos ángulos contiene la figuraMOTS? MA) 12 .....----/--~ O

B)40 /C)280)8 /E)21 SRESOLUCIÓN:

@9) En el paralelogramo ABCD, MN esparalelo a PO,MO= MO-- BO = 4 cmy AM = OC = 2. ¿Cuánto mide el seg-mentoPN? A B

A)4cm [HNB)2cmC)3cm A Q

O) 1 cm D eE)Falta informaciónRESOLUCiÓN:El hecho de que MNy PO sean para­lelos, no implica que sean necesaria­mente paralelos a AB o CD, en cuyocaso PNmediría 2 cm; pero como talparalelismo no se puede probar, enconsecuencia, falta información. Verfigura. A Bm MNIIPO

D L2 [Rp~.EI

[ Rpta. A 1

~ Estás en una competencia de "pa­tear' un balón pretendiendoacertaren un poste. Te dan dos opciones:10 Patearas un balón de 30 cm dediámetro. 2' Chotear un balón de20 cm de diámetro contra un postede 15 cm de grueso. ¿Cuál esco­ges?A) 1ra,opción B)2da.opciónC)3ra. opciónO)Cualquierade las dosE) Nosé patearRESOLUCiÓN:Según criterios para encontrar lasprobabilidades de choques inter­moleculares, se disminuye el balónhastavolverlo un puntoy se aumen­ta el grosor del poste tanto como eldiámetro del balón.10Caso:30+10= 40 cmde grosor20 Caso:20+15=35 cm ,- __ -,

de grosor [ Rpta. A 1

Essuficienteeltapónmostrado.

A) 1 B) 2 C) 3OlO El NingunaanteriorRESOLuciÓN:

¿Cómo se explica la desaparicióndel cuadrado?* Inventadopor elmago Paul CurryNew York (1953).A)95 B)62 C)85 0)90 E)105RESOLUCiÓN:El lado izquierdode la pieza3, noes

8 sino 8.l, de modo que colocada3

en la nueva ubicación, hace que elcuadrado crezca en 1/13 haciaaba­jo, de modo que el área del cuadra­do crece en 13x13 -- 1 cuadradito.El cuadradito desaparecido com­pensael crecimientodel cuadrado.

@ A continuación se muestran tres ti­pos de orificios. ¿Cuántos taponesde madera se necesitan como míni­mo para obturar perfectamente lostres orificios?

@P Con el cuadrado de 13 por 13 cua­draditos se forma un "rompecabe­zas" de 5 piezas tal como la ilustra­ción de la izquierda; en seguida searma tal como la ilustración de laderecha y verá que desaparece uncuadrado.

@ En la ilustración, ~hemos dibujado un ?

rectángulo en el in- .terior del círculo de ocentro O. Lo quequisiéramos saberes, cuál es la longitudde la línea obli­cua señalada con un signo de inte­rrogación. El círculo tiene un diáme­tro de8cm. ¿Puedesayudarnos?A)8cm B)4v2cm C)4cmD)5cm E)2Y2cmRESOLUCiÓN:Al trazar la otra diagonal del rectán­gulo, ésta resultaser elradio del círculo, 4 cm. [Rpta. e 1

RESOLUCiÓN:Cuando se arma el rompecabezas,hay un ligero solapamiento entre eltriángulo inferior y el triángulo supe­rior. La superficie de solapamiento,se muestra sombreada. El área deesta superficie es igual al de un cua­dradito.

Área= 21x8 = 1681-Área= 13x13 = 169

Tomaun papelcuadriculado y dibujaun cuadrado de 13 por 13 cuadradi­tos, forma un rompecabezascortando por las líneas como semuestran en la ilustración superior.En seguida arma el rompecabezastal como se indica en el dibujoinferior. Compara las áreas y buscauna explicación.

Área= 5x21 = 105

RESOLUCIÓN:Cuando armes el "rompecabezas",notarásque la línea oblicua dejuntu­ra no calza exactamente, apareceun pequeño vacío a lo largo de lalínea. El área de este vacío es igualal de uncuadradito.

Área = 8x13 = 104

#de 1:interior # de diagonaleslados medias

n 180'(11-2) n(n-1)u.=--- ](=--

n 2

n-i 18[)O(n-3) x = (n-1)(n-2)0.-5=---n-1 2

(n-4)pero x= 180" -n-

xn = 180" (n-4);Luego: R = 180" (n-4)

1800(n-2)Dato: 160" = ---7n = 18nFinalmente: R = 180°(18-4)

:. R = 2520"

@ Al disminuir en 5" la medida de cadaángulo interno de un polígono equi­ángulo, el número de lados disminu­ye en 1. Calcular el valor de la razónaritmética entre los números de dia­gonales medias del polígono inicial yfinal.RESOLUciÓN:Sea el cuadro:

Sea ''R'' la suma de las medidas delos ángulos internos convexos de laestrella, entonces:

R= x+x+x+ +x = nx'~'

"n't veces

fi, " ~,,~,c,"/:.;1600 •

,~',( ,.,.,.....'.... ....- ....

1800(n-2) 180°(11-3)Dato: 5°= n - (n-1)

n(n-1) = 36[(n-1 )(n-2)-I1(n-3)]n(n-1) = 36[n2-3n+2-n2+3n]n(n-1) = 72 n ---7(n-1) = 9(9-1)Por analogía: n = 9Nos piden' x-y = n(n-1) _ (n-1 )(n-2)

. 2 2n(n-1) (n-1 )(n-2)

x-y =-2-- 2

:. x-y = 8

@ Calcular la suma de sus números dediagonales de dos polígonos. Sa­biendo que su diferencia es 4.RESOLUCIÓN:• Sean "n" y "m" los números de la­dos delos polígonos (n >m)

• Dato:n{n-3) _ m(m-3) = 42 2

n2-m2-3{n-m) = 8; n2-m2 = (n+m )(n-m)(n-m)(m+n-3) =8

4x2 ---+ a8x1 ---7b2x4 ---7e1x8 ---+ d

A) n-m = a }No cumPle} Losvaloresden+rn = 5 "n" y "1Jl" deben

_ } ser enteros y8) n-m - 8 Nocumple positivos

n+m=4

@9) En un polígono regularsu ángulo in­terior es 1600• Calcular la suma delas medidas de los ángulos internosconvexos de la estrella formanda alprolongar en ambos sentidos.RESOLUCiÓN:

.. x= 13

n = 14 Es decir existen 14 equiposNos piden: x = 14-1

3n-25=--

8

El, E2, E3, E4, .... , En---7Los equiposLuego se cumple:* 1 Los partidos que juega un egui­po estará representado por: ~* l El total de partidos jugados es­tán representados par: I n(;1) I

*3 Los partidos jugados de "k" equi­pos (k < n) estarán representadospor:

@ En un campeonato de futbol partici­pan "n" equipos de los cuales la mi­tad de equipos jugaron "Sn" parti­dos (sin repetirse los partidos juga­dos) se desea saber cuántos parti­dos juega un equipo.RESOLUCiÓN:Sean los pun­tos medios decada lado unpolígono de"n" lados, losequipos parti­cipan.Donde:

CAPíTULO N <> 48

A 8+4#Escalones = a+b12#Escalones = iJ,4

#Escalones = 30

8 O [ Rpta. E 1

ángulo rectángulo (m 1:AOB = 90°).Si OB = 8 m, Aa = 4m, y si la sumadel ancha y de la altura de cada pel­daño de la escalera es de 0,4 m, en­tonces el número de peldaños de laescalera es: (SM' 79)A)34 8)26 C)32 0)28 E)30RESOLUCIÓN:

8 Una escalera debe ser diseñada poruno de los vértices (A o B) de un tri-

S íson paralelos.

@ En el triángulo Bequilátero ABeDde perímetro45 cm, los pun-tos M y N son epuntos medios, A Nrespectivamente, de los lados BC yAC. ¿Cuál es la longitud de MN?Al 15 cm B)7,5 cmC)30cm D)17,5cmEl El triángulo ABe no es equiláteroRESOLUCiÓN:

Si bien en el di-úBbujo del enun-ciado ABC no Mes un triángulo ..equilátero, pero lel enunciado lo A " 7,5 edefine como tal, Nen consecu en- 1+---15-----.1cia ABC es triángulo equilátero.Cada una de las ladas mide 45 -ó- 3 =15cm.

AC 15MN = NC = - = - = 75

2 2 .-_'_-----.( Rpta. B 1

( Rpta. A 1

Al Sí B) No e) No es posible saberRESOLUCiÓN:

RESOLUCiÓN:Las ?OS circunferencias ( R taoe 1san Iguales. 1.... --=-p_---'.

@ ¿Son paralelos los segmentos AB yCD?

e) Son igualesb) (B)a) (A)

@ ¿Cuál de las circunferencias es másgrande?

*@

8 Esta es la silueta deuna célula que esta apunta de reproducirseen dos células hijas,cada una de las cualestendrá la misma formade la madre. ¿Puedesindicar la línea de división? 01, O~y03S0n centros de los semicírculos.RESOLUCIÓN:

@9 En un campeonato de futbol partici­pan "n" equipos, si se sabe que (n-4)equipos jugaron "5n" partidos, hallarel número total de partidos Jugadosdurante el campeonato.RESOLUCiÓN:

Dato:

n(n-3) = 2(3xn)2

---7 n-3 = 12

n = 15

WSe prolonga ciertos lados del polígo­no para obtener el i\ MEN equilátero.

(ME= EN=MN)Luego se tiene: 5+X+K= 14+K

:. X=9

8 Hallar el número de lados de un polí­gono regular sabiendo que la longi­tud de cada lado es 3 cm y el númerode diagonales es 2 veces el períme­traen cm.RESOLUCiÓN:Sea: "n" el número de lados del polí­gono irregular mostrado.

Luego se tiene:3[:\+[:\= 1800 B = 450 ••••••• (1)Por ~ exterior:

360"p= - (11)n

De (1)y (11): 3600 = 45" ~ n = 8n8(8-3)

Nos piden: x = --2-

:. x = 20

~ Se tiene un exágono equiánguloWALDIR donde: WA = 8; AL = 6Y DI =5. Calcular: IR.RESOLUCiÓN:

o

@Y Calcular el número de diagonales deun polígono regular DILO ... en el cuálel ángulo DIL es el triple del ánguloDOL.RESOLUCiÓN:Sea el gráfico:En el C>DILO:m~RIL=

=m~DOL== i:l (propiedad)

Luegoenelli:..JAE:

J

xx1)E 7V3 Ar X=2v21

Al prolongar ciertos lados, tal comose muestra en el gráfico, se obtieneel j. RIN equilátero:

(RI = IN = RN = 15)

------.------

Nos piden: x-yComo PN ---c> Mediatriz de RI.Entonces: RN = NI = •••••••

m~NIP=m~NRP=\IJLuego por ~ interiorm~WRI = m~RID = 120'Porlo tanto: 1.jJ + a = 1200Ahora se tiene:

j. NEO = j. NID(A-L-A)Es decir:

o:- ••••••• -~Entonces: x+2 = y+3

x-y = 1

@ En un polígono regular LEONARO... DE "n"~do.§Jas mediatrices delos lados LE y RO forman un ángulode 75". Entonces el número máxi­mo de diagonales trazados desde(n-15) vértices consecutivos es:RESOLUCiÓN:Según el gráfico:

AN

m ~ JQE = m ~ PQR = ~ (propiedad)

Además por ~ central se tiene:m~EOO=m~OON=m~NOA=

=m~AQR=O(O ---"centro del polígono)

Luego por dato:O O- +0+0+0+0+ - = 750---" O = 15"2 2

Se sabe que:

fl = 360' ---"15" = 3600 ---"n = 24n n

Entonces: n-15 = 9(9+1 )(9+2)Se pide: x = 9><24- ,,!,,----!-'--___.f..

• 2•• x = 161

@ Se tiene un polígono equiánguloJOSEPH siendo JO = 7, OS = 3, SE= 5y PH = 2.Calcular JE.RESOLUCiÓN:

Las medidas de un ángulo central yun ángulo interior de un polígono re­gular, son entre sí: corno l a 19. Ha­llar el número de diagonales que sepueden trazar desde un vértice.RESOLUCiÓN:Sea el polígono regular con centroenD",

Ü 1Dato: ~ =-:¡-g

---c> U = 19 él,Luego:1800(n-2) 3600

n = 19x-n-

---"n-2 = 38 ---"n = 40Nos piden: x = n-3 :. x = 37

@ En un exágono equiángulo WALDIRla mediatriz de RI intersecta a AL en"N", siWA= 2, LD = 3.Calcular la diferencia de efectuar lasustracción entreAN y NL.RESOLUciÓN:

Observación:El perímetro de un polígono equilá-

tero se calcula así: I Lxn IDonde: L ---"longitud de cada lado

del polígonon ---"# de lados del polígono

Dato:(n-8+1 )(11-8+2)

4n=n(n-81)- 2

8n = 2n2 -16n-(n-7)(n-6)8n = 2n2 -16n-n2 +13n-42

0=n2-11n-42} (n-14)(n+3)=0n ><.::14 Luego: n = 14n 3

Nos piden: x = 5n ---"x = 70 cm

En un polígono equilátero cuyo ladomide 5 cm. Calcular su perímetro,sabiendo que desde (n-8) vérticesconsecutivos se trazan "4n" diago­nales, siendo "n" el número de lados.

RESOLUCiÓN: 055

5 5.5

5

Los valores deC) n-m = 2 } } "n" y "m" deben

n+m = 7 Nocumple ser enteros yposmvos

D) n-m = 1 }n+rn= 11 Si cumple(n = 6/. m = 5)

Nosoid 6(6-3) 5(5-3)• os pi en: x = -2-+-2-

:. x = 14

8 Hallar el área de la región sombreadaA) 811:a2/36 B) 911:a2/64C)4rra1/35 D)7rra1/20E) 1111:a2/30

(Del ND 890 al ND 904)

CAPíTU LO ND 49

x=1id aSe pi e'x=-. b

t,ANI =1'. ELO (A-L-A).Es decir (72°_ • - 72")8ASO --)oisósceles.Entonces: AS = SO = ••••••Luego: •••••• = -+a= b+­Por lo tanto: a = b

IA' __'JI'__'__'__'__'__'__' __"-q 36" 72°'

"720

",

(5-3)Nos piden: x = 5-2-

:. x = 5

@Y En un pentágono equiángulo NIELS.Calcular: NS

x = --es Si: NI = EL

RESOLUCIÓN:Sea el gráfico:

Dato: I ik+ I Ck+ I I'I.k = 1980°~ k~l

Luego: 3600(n-1)+180"(n-2) = 1980"n=5

Il

Donde:(i1 +i2+b +...+in) --)osuma de las medi­das de los ángulos interiores conve­xos de la estrella.(CI +C2+C3+...+C,,) --)osuma de las me­didas de los ángulos interiores con­vexos de la estrella.(0:1 +0:2 +lY.3 +...+u,,) --;. suma de lasmedidas de los ángulos interiores delpolígono convexo.Sea "x" el número de diagonales delpolígono convexo:

n(n-3)X=--2-

Un

..;,,/1-4.~': ,.

Cl.2¡....._.--4_ .........~:

la /

/

RESOLUCIÓN:

Dato: 180"(n-4)165"= --)on=24

nFinalmente:

x = 180" (24-4)24

:. x= 150"

§ La suma de las medidas de los án­gulos internos más la suma de lasmedidas de los ángulos internoscóncavos mas la suma de las medi­das de los ángulos internos del polí­gono convexo que da origen a la es­trella es 1980°. Hallar cuántas dia­gonales tiene el polígono convexo

Se sabe: x = _1_8_0-,J(,_n_-4:.!_)n

"~~.....-..__ .._--_ ........~_....,,

§ En un polígono regularsu ángulo in­terno es 165" al prolongar en am­bos sentidos los lados del polígonose forma una estrella cuyo ánguloen las puntas es x. Hallarx.RESOLUCiÓN:

¡;p " \:id: x •

VJ'" 1

'\x\

Observación:1800(n+2)

C = Ck= C1= Cl = CJ= ...= C" = ----'-----'n

Pero: C = 180,(n+2)n

Cn = 1800(n+2)

Luego: x = 180" (n+2)

Dato: 1700 = 180"(n-4)n

--)on = 72

Finalmente: x = 180°(72+2)x = 13320"

Entonces: x = C+C+C+ .... +C = Cxn

~

@ Hallar la suma de las medidas delos ángulos internos cóncavos deuna estrella regular. Si el ángulo in­terno en las puntas es 170".RESOLUCiÓN:Sea "x" la suma de las medidas delos ángulos internos cóncavos de laestrella.

360"~)=-­

n360"

Luego: -- = 18° --)on = 20n

Por propiedad:

u+]] = 1800 l j3u-~ = 151 °21 '["".(1) ,~De (1): ,/132f1 = 28"48'-Hl = 14°24'

360"Se sabe: [:l = -- n

360"Luego: 14°24' = -- (11)

n

14024' = 14°+ r24 J"= 74°l60 572" 360°Ahora en (11): - = -- --)on = 255 n

@ En un polígono regular de "n" ladosAVION ... las prolongaciones de AV yNO se cortan en "R". Hallar "n", Si:m~VRO= 126°.RESOLUCiÓN:

Enel~VROI:180-[3=

= 13+126'+13--)o(1= 18°

Se sabe:

S b 180" (n-2)e sa e: u = 2

Dato:160' = 180° (n-4) --;. n = 36

nFinalmente:

= 180" (36-2)u 36

:.u=170"

En un polígono regular, la medida deun ángulo interno y su respectivo án­gulo externo difieren en 151 '12' elnúmero de lados del polígono esRESOLUCiÓN:Sea "n" el número de lados del polí­gono.

, 12(12-1)Nos piden' x = -.:....____:_. 2

:. x = 66

@ El ángulo interno convexo de una es­trella regular es 160°. Hallar el ángu­lo interno del polígono que da origena la estrella.RESOLUCiÓN:

1On= n2-n-120=n-11n-12} (n-12)(n+1)=0

n -12nX 1 luego: n = 12

Dato: 5n = (n-4 )xn- ~ (n-4 )(n-3)

2n2 -8n-(n2-7n+12)5n=----'------____!_2

As= 5rc(Rpta. B I

(§Y Hallarel áreade la región sombreadaA)4~~~ .r:».D)1 ~E)2RESOLUCIÓN: t--- 4----l

rc(5)~ n(4F :t(1)~As=-----+--

2 2 2

§ Calcular el área de la región som-

i\f@2D)8JtE)3¡¡RESOLUCiÓN:

(Rpta. elAs= ;¡:(42_22)+¡¡(32_12)As= :r(12)+1t(8)As= 20;[

Dela figura: BC=CP=a- -MA=CP=x

Del"¿¡MDCPorPitágoras:

(a+x)? =a2+(a_x)2(a+x)'/.-(a-x)2= a2

4ax=a2

4x=a~x= .i:_4a 3Luego: a-x = a-4 =4 a

(! aJa 3As= 2 =8a2 [Rpta. B 1

€Y Hallar el área de la región sombrea­da.A)16n:B)18n:C)20n:D)22n:E)24rrRESOLUCiÓN:

@ Hallar el área de la región sombrea­da.A)2a2/3 TO]TB) 3a2/8 I I

a aC)2a2/5 1 1D)3a'/./7E) a2/2RESOLUCIÓN:

[ Rpta. B 1

As=2M

A = 2x 60orrR2s 360'

ltR2As=--3

§ Hallar el área de la región sombrea­da.

A) JtR'/./2 @3!\B)JtR2/3 ./R R\e) rrR2/4 /D) Zrt Rl/3 / RE)1!R2/5RESOLUCiÓN:

( Rpta. B 1

x = rr~8) _ ~6 = 2lt-4 .... (2)

(2) en (1):)1;(2)2

As= -- - (21t-4)2

As= 21t-2n:+4As=4

44

As= O-x .... (1)x= 9-'7It[i-r [f,J[f,J

x=

@ Hallar el área de la región sombrea-

da. ~A)6B)4 A 4 Be) rt+ZD) rr-ZE)2 PRESOLUCiÓN:

[ Rpta.A 1

24A=~

2a2A=-8

( 2J 33A= 3 ~ = 8a2

Enel j_ ABe: Por Pitágoras:R2+r2= 64 (1)

A = 135°ltr2 + 135°rcr2s 360 360

A = 135rr (R'/.+ 2) = 135n: ( 4)s 360 r 360 6

As = 24rr [,-R-p-ta-.-O......,l

@ Hallar el área de la región sombrea­da.

Al3a2/8 lt§TB)a2/2 IC)2a2/5 a a0)3a2/7 1E)4a2/1RESOLUCiÓN:

A) 30 JtB) 26 Jte)32rr0)24rrEl 28 JtRESOLUCiÓN:

@ Hallar el área de la región sombrea­dasiAC=8.

_álA D e

( Rpta. B 1

AH-~--.!M2

En el"¿¡AMOPor el teorema de Pitágoras:

(a-R)2= R2+( ~ J2a2a2-2aR+R2= R2+ -4

3-a2= 2aR43-a=R8As = ¡J~aV = rr 9a2

l8) 649rra2

As =----s4

a

RESOLUCiÓN:

a

~,