UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN

CAMPUS IFACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y

PETROLERASINGENIERÍA QUÍMICA

TRABAJO: SOLUCIONARIOMATEMÁTICAS I

ALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPE

FECHA: 08/11/15

Libro: Stanley GrossmanEjercicios 3.1En los problemas del 1 al12 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.1.V=(4,4 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(44 )=45 °|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (4 )2+ (4 )2=√32

2.V=(−4,4 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( 4−4 )=−45 °

|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−4 )2+ (4 )2=√32

∢R=180−45=135 °

3.V=(4 ,−4 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−44 )=−45 °

|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (4 )2+ (−4 )2=√32

∢R=360−45=315 °

4.V= (−4 ,−4 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−4−4 )=45 °|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−4 )2+ (−4 )2=√32

∢R=180+45=225°

5.V=(√3 ,1 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( 1√3 )=30° |V|=√ i2+ j2 |V|=√ (√3 )2+ (1 )2=√4=2

6.V=(1 ,√3 )

Ø=tan−1 ( ba ) θ=tan−1(√31 )=60 °|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (1 )2+(√3 )2=√4=2

7.V=(−1 ,√3 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( √3−1 )=−60°

|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−1 )2+ (√3 )2=√4=2

∢R=180−60=120°

8.V=(1 ,−√3 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−√31 )=−60°

|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (1 )2+(−√3 )2=√4=2

∢R=360−60=300 °

9.V=(−1,−√3 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−√3−1 )=60 °

|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−1 )2+ (−√3 )2=√4=2

∢R=180+60=240 °

10.V=(1 ,2 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(21 )=63.43 ° |V|=√ i2+ j2 |V|=√ (1 )2+ (2 )2=√5

11.V= (−5 ,8 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( 8−5 )=−58°

|V|=√ i2+ j2 |V|√ (−5 )2+(8 )2=√89

∢R=180−58=122°

12.V=(11 ,−14 )

θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−1411 )=−51.84 °

|V|=√ i2+ j2 |V|√ (11)2+(−14 )2=√317

∢R=360−51.84=308.16 °13. Sea u (2,3) y v (-5,4) Encuentre a¿3u;b¿u+v ;c ¿v−u; d¿2u−7 v Bosqueje estos vectores.a) 3u=3 (2i+3 j)=6 i+9 jb) u+v=(2i+3 j)+(−5 i+4 j)=−3 i+7 jc) v−u=(−5 i+4 j)−(2 i+3 j)=−7 i+1 jd) 2u– 7 v=2 (2 i+3 j )– [7 (−5 i+4 j ) ]=(4 i+6 j ) – (−35 i+28 j )

¿39 i−22 ja)

b)

c)

d)

14 . Seau=2 i−3 j yV=−4 i+6 j . Encuentre :a¿u+v;b ¿u−v ;c ¿3u; d¿−7v ;e¿8u−3 v ; f ¿4 v−6u . Bosquejeestos vectores.

a¿u+v=(2 i−3 j )+(−4 i+6 j )=−2i+3 j

b¿u−v= (2 i−3 j )− (−4 i+6 j )=6 i−9 j

c ¿3u=3 (2 i−3 j )=6 i−9 j

d ¿−7 v=−7 (−4 i+6 j )=28 i−42 j

e ¿8u−3v=8 (2i−3 j )−3 (−4 i+6 j )=(16 i−24 j ) (12i−18 j )=28 i−42 j

f ¿ 4v−6u=4 (−4 j+6 j )−6 (2 i−3 j )= (−16i+24 j ) (−12i+18 j )=−28i+42 j

a)

b)

c)

d)

e)

f)

15. Muestre que los vectores i y j son vectores unitarios

V 1=(1,0)

V 2=(0,1)

|V|=√ i2+ j2

¿V 1∨¿√12+02=√1=1

¿V 2∨¿√02+12=√1=1

16. Demuestre que el vector ( 1√2 )i+( 1√2 ) j es un vector unitario. |u|=√ i2+ j2

|u|=√( 1√2 )2

+( 1√2 )2

¿√1 = 1

17. Demuestre que si v=ai−bj≠0, entonces u=(a/√a2+b2)i – (b/√a2+b2) j es un vector unitaro que tiene la misma dirección que v.v=ai−bj≠0 u=(a/√a2+b2)i ,(−b /√a2+b2) j

u=√( a√a2+b2 )

2

+( −b√a2+b2 )

2=√ a2+b2a2+b2=√1=1

Ø1= tan−1 (−ba )

Ø2= tan−1(−b

√a2+b2a

√a2+b2 )=(−ba )

Ø1= Ø2

En los problemas 18 al 21 encuentre un vector unitario que tengo la misma dirección que el vector dado.18. 2 i+3 j|v|=√i2+ j2 |v|=√22+32=√13

u= i|v|

+ j|v| u= 2

√13i− 3

√13j

19. v=i− j |v|=√i2+ j2 |v|=√12+12 = √2u= i

|v|+ j|v| u= 1

√2i− 1

√2j

Ø=tan−1 ( ba )Ø1=tan−1(−11 )=−45°

Ø2 = tan−1 (−1/√21/√2 )= −¿45°Ø1= Ø2

20. v=−3 i+4 j

|v|=√i2+ j2 |v|=√(−3)2+42 = √25 = 5 u= i

|v|+ j|v| u=−3

5i+ 45j

Ø= tan−1 ( ba )

Ø1= tan−1 ( 4−3 )=−53.13 °

Ø2= tan−1 ( 4 /5−3/5 )= −53.13 °Ø1= Ø2

21. v=ai+aj :a≠0

|v|=√i2+ j2 |v|=√a2+a2 = √2a u= i

|v|+ j|v| u= a

√2ai+ a

√2aj

u= i√2

+ j√222. Si v=ai+bj, demuestre que a /√a2+b2=CosØ y b /√a2+b2=SenØ, donde Ø es la dirección de v

|v|=√i2+ j2 |v|=√a2+b2

u=i

|v|+ j|v|u= a

√a2+b2+ b

√a2+b2

cos∅= a√a2+b2

Sen∅= b√a2+b223. Si v=2i−3 j encuentre sen∅ y cos∅

|v|=√i2+ j2|v|=√22+(−3)2 = √13

u=i

|v|+ j|v| u=

2√13

i− 3√13

j

cos∅= 2√13

Sen∅= −3√13

24. Si v=−3 i+8 j encuentre sen∅ y cos∅|v|=√i2+ j2|v|=√(−3)2+82 = √73 u= i

|v|+ j|v| u= −3

√73i+ 8

√73j

cos∅= −3√73

Sen∅= 8√73 Un vector v tiene dirección opuesta a la del vector u si dirección de

v=dirección deu+π. En los problemas 25 al 28 encuentre un vector unitario v que tenga dirección opuesta a la dirección del vector dado u .25. u=i+ j

|u|=√ i2+ j2|u|=√12+12 = √2u= i

|v|+ j|v| u= 1

√2i+ 1

√2j

v=−1√2i− 1

√2j

26. u=2i−3 j

|u|=√ i2+ j2|u|=√22+(−3)2 = √13

u= i|v|

+ j|v| u= 2

√13i− 3

√13j

v= −2√13

i+ 3√13

j

27. u=−3 i+4 j

|u|=√ i2+ j2|u|=√(−3)2+42 = √25 ¿5u= i

|v|+ j|v| u=−3

5i+ 45j

v=35i− 45j

28. u=−2i+3 j

|u|=√ i2+ j2 |u|=√(−2)2+32 = √13 u= i

|v|+ j|v| u= −2

√13i+ 3

√13j

v= 2√13

i− 3√13

j

29. Sea u=2i –3 j y v=−i+2 j , encuentre un vector que tenga la misma dirección que:a¿u+v ; b¿2u –3 v ;c ¿3u+8v .

u=2i –3 j v=−i+2 ja) u+v=(2i –3 j)+(−i+2 j)=i – j

b) 2u– 3 v=2(i – 3 j)−3(−i+2)

¿2 i – 6 j+3 i−6 j

¿5 i−12 jc) 3u+8 v=3(2 i−3 j)+8(−i+2 j)¿−6 i−9 j – 8i+16 j¿−2i+7 j

a¿ v=i – j

|v|=√i2+ j2|v|=√12+(−12)=√2

u= i|v|

+ j|v| u= 1

√2 - 1√2

b¿ v=5 i−12 j

|v|=√i2+ j2|v|=√52+ (−12 )2=√169=13

u= i|v|

+ j|v| u= 5

13 - 1213

c ¿v=−2i+7 j

|v|=√i2+ j2∨v∨¿√(−2)2+72 = √53

u=i

|v|+ j|v| u= −2

√53 + 7√53

30. Sea P=(c ,d) yQ=(c+a ,d+b)muestra que la magnitudPQ→ es = √a2+b2 .P=(c ,d)

Q=(c+a ,d+b)

PQ→ ¿Q−P=c+a+d+b−c−d=a+b

|v|=√i2+ j2|v|=√a2+b2

31. Con respecto al ejercicio 30, demuestre que la dirección de pq→ es la misma que la dirección (a ,b)sugerencia si R=(a ,b) .Demuestre que la recta que pasa por los puntos P yQ es paralela que pasa por los puntos 0 y R

∅ v2=tan−1( ba ¿)¿

∅ pq→

= tan−1( ba)

En los problemas del 32 al 35 encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas.32.∨v∨¿3 :∅ π

6

¿ v∨cos∅→(3)¿

¿ v∨sen∅→(3)(sen30 ° )=1.5

V=2.598 I+1.5 j

33.¿ v∨¿8 :∅ π6

¿ v∨cos∅=(8)¿

|v|sen∅=(8)(sen 60° )=6.92

V=4 I +6.92 j34. ¿ v∨¿1:=π /4

¿ v∨cos∅=(1)¿

¿ v∨sen∅=(1)(sen 45 °)=0.70

V=0.70 I+0.70 j

Problemas 3.2

En los problemas 1 al 8 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. 1. u=i+ j v=i – j

u ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=(1 ) (1 )+(1 ) (−1 )=¿1– 1=0

u ∙ v=0

cos φ= u ∙ v|u||v|

= 0

√12+12√12+(−12 )= 0

√2√2 ¿02 ¿0

cos φ=0 ∅=cos−1(0)=90º

2.u=3 i v=−7 j

u ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=3+ (−7 )=−4 u ∙ v=−4

cos φ= u ∙ v|u||v|

=¿ −4

√32√(−7)2 ¿ −4

√9√49= −4

√441=−421

cos φ=−421 ∅=cos−1(−421 )=100.98°

3.u=−5 i v=18 j

u ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙∙ v=(−5 )+(18 )=13u ∙ v=13

cos φ= u ∙ v|u||v|

= 13

√(−5 )2√182=¿ 13

√25√324=¿ 13

√8100=¿ 1390

∅=cos−1( 1390 )=81.69 ° cos φ=1390

4. u=αi v=βj :α ,βrealesu ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=∝+β

cos φ= u∗v|u||v|

= ∝+β√∝2√β2

= ∝+β√∝2β2

cos φ= ∝+ β√∝2 β2

∝=2 β=4

u ∙ v=2+4=6 u ∙ v=6

cos φ=2+4

√22√42= 6

√32 cos φ=6

√32

5. u=2i+5 j ;v=5i+2 ju ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=(2 ) (5 )+(5 ) (2 )=10+10=20

u ∙ v=20

Cosφ= u∙ v|u||v|

¿ 20

√(2 )2+(5 )2√(5 )2+(2 )2= 20

√29√29=2029

Cosφ=2029 ∅=cos−1( 2029 )=46.40 °6. u=2i+5 j ;v=5i−2 j

u ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=(2 ) (5 )+(5 )(−2)=10−10= 0

u ∙ v=0

cos φ= u ∙ v|u||v| =

0

√(2 )2+(5 )2√(5 )2+(−2 )2= 0

√29√29= 029

=0

Cosφ=0 ∅=cos−1(0)=90º

7. u=−3 i+4 j ; v=−2 i−7 j

u ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=(−3 ) (−2 )+ (4 ) (−7 )=6−28=−22

u ∙ v=−22

cos φ= u ∙ v¿u∨¿ v∨¿¿

¿ −22

√(−3)2+(4 )2√(−2)2+(−7)2= −22

√9+16√4+49= −22

√25√53= −225 √53

=−2236.4

Cosφ=−2236.4 ∅=cos−1(−2236.4 )=127.18 °

8. u=4 i+5 j ;v=5i−4 ju ∙ v=i1i2+ j1 j2

u ∙ v=(4 ) (5 )+(5 )(−4)=20−20=0

u ∙ v=0

cos φ= u ∙ v

¿u∨¿ v∨¿= 0

√(4)2+(5)2√(5)2+(−4 )2= 0

√16+25√25+16= 0

√41√41= 041

=0¿

Cosφ=0 ∅=cos−1 (0 )=90°9. Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u= αi+βj y v= βi-αj son ortogonales.cos φ= u ∙v

¿u∨¿ v∨¿=(α ) (β )+( β )(−α )

√(α )2+(β )2√(β )2+(−α )2=

αβ−αβ√α2+β2√α 2+β2

=0

α2+ β2=0 ¿

∅=cos−1 (0 )=90° por lo tanto son ortogonales.10. Sean u, v y w tres vectores arbitrarios. Explique por qué el producto u•v•w no está definido.Porque al multiplicar dos vectores obtienes un escalar y no se puede obtener el producto de un escalar con un vector, no existe dicha operación.En los problemas 11 al 16 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después bosqueje cada par.

11. u=3i+5 j ; v=−6 i−10 j

cos φ= u∙ v

¿u∨¿ v∨¿=(3 ) (−6 )+(5 )(−10)

√(3)2+(5)2√(−6)2+(−10)2=

−18−50√9+25√36+100

=−68

√34√136=

−6868 =−1¿

∅=cos−1(−1)=180 º Es paralelo

12. u=2i+3 j ;v=6 i−4 jcos φ= u ∙v

¿u∨¿ v∨¿=(2 ) (6 )+(3 )(−4)

√(2)2+(3)2√(6)2+(−4)2=

12−12√4+9√36+16

=0

√13√52=026=0 ¿

∅=cos−1(0)=90ºEs ortogonal

13. u=2i+3 j ;v=6 i+4 jcos φ= u ∙ v

¿u∨¿ v∨¿=(2 ) (6 )+(3 )(4)

√(2)2+(3)2√(6)2+(4 )2=

12+12√4+9√36+16

=24

√13 √52=24026 =0.9230 ¿

∅=cos-1(0.9230 )=22.63° No es paralelo ni ortogonal.14. u=2i+3 j v=−6 i+4 j

Cosφ= u∙ v|u||v|

=(2 ) (−6 )+(3 )(4)

√(2)2+(3)2√(−6)2+(4)2=

−12+12√4+9√36+16

=−12+12√13√52

=0

√13√52=026=0

∅=C os−1(0)=90 °Es ortogonal

15.u=7 i v=−23 j

Cosφ= u∙ v|u||v|=

(7 ) (0 )+(0 )(−23)

√(7)2√(−23)2=

0+0√49√529

=07 ∙23=0

∅=C os−1(0)=90 °Es ortogonal

16. u=2i –6 j v=−i+3 j

cos φ= u ∙ v|u||v|

=(2 ) (−1 )+(−6 )(3)

√(2)2+(−6)2√(−1)2+(3)2=

−2−18√4+36√1+9

=−20

√40√10=

−20√400

=−2020 =−1

∅=C os−1(−1)=180 °Es paraleloBosquejos 11-1611.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Sean u=3i+4 j v=i+ j Determinar tal que:a) u y v son ortogonales

Cosφ= u∙ v|u||v|

cos (90 °)= 3+4∝√25√1+∝2

0= 3+4∝√25√1+∝2

3+4∝=0

4∝=−3

∝=−34

b) u y v son paralelosCosφ= u∙ v

|u||v|

cos (0 °)= 3+4∝√25√1+∝2

1= 3+4∝√25√1+∝2

√1+∝2=35 + 4∝5

(√1+∝2 )2=(35 + 4∝5 )

2

1+∝2=16∝2

25+ 24∝25

+ 925

16∝225

−25∝2

25+ 24∝25

+ 925

−2525

=0

−9∝225

+ 24∝25

−1625

=0

−9∝2+24∝−16=0

−b±√b2−4 ac2a

∝=−24±√(24)2−4 (−9)(−16)

18

−24±√576−57618

∝=−2418

∝=−43

c) El ángulo entre u y v es /4¿4=45 °

Cosφ= u∙ v|u||v|

cos (45 °)= 3+4∝√25√1+∝2

0.7071= 3+4∝(5 ) √1+∝2

√1+∝2= 3+4∝(0.7071)(5 )

√1+∝2= 33.5355

+ 4∝3.5355

(√1+∝2 )2=(0.8485+ 4∝3.5355 )

2

1+∝2= 16∝212.4997

+ 6.788∝3.5355

+0.7199

16∝212.4997

−12.4997∝2

12.4997+ 6.788∝3.5355

+0.7199−1=0

3.5003∝212.4997

+ 6.788∝3.5355

−0.2801=0

−b±√b2−4 ac2a

∝=−1.9199+√3.6862−4 (0.28)(−0.2801)

0.56

∝=−1.9199+√3.6862+0.31370.56

∝=−1.9199+1.9990.56

∝=0.1412d) El ángulo entre U y V es ¿3❑3

=60 °

Cosφ= u∙ v|u||v|

cos (60 °)= 3+4∝√25√1+∝2

0.5= 3+4∝(5 )√1+∝2

√1+∝2= 3+4∝(0.5)(5 )

√1+∝2=1.2+ 4∝2.5

(√1+∝2 )2=(1.2+ 4∝2.5 )2

1+∝2=16∝2

6.25+ 9.6∝2.5

+1.44

16∝26.25

−6.25∝2

6.25+ 9.6∝2.5

+1.44−1=0

9.75∝26.25

+ 9.6∝2.5

+0.44=0

−b±√b2−4 ac2a

∝=−3.84+√(3.84)2−4 (1.56)(0.44)

3.12

∝=−3.84+√14.7456−2.74563.12

∝=−3.84+√123.12

∝=−0.37583.12

∝=−0.1204

18. Sean u=−2i+5 j v=∝i – 2 j

a) u y v son ortogonales

Cosφ= u∙ v|u||v|

cos (90 °)= −2∝−10√29√4+∝2

0= −2∝−10√29√4+∝2

0=−2∝−10

2∝=−10

∝=−102

∝=−5

b) u y v son paralelosCosφ= u∙ v

|u||v|

cos (0 °)= −2∝−10√29√4+∝2

1= −2∝−10√29√4+∝2

√4+∝2=−2∝√29

− 10√29

(√4+∝2 )2=(−2∝√29− 10

√29 )2

4+∝2=4∝2

29+ 40∝29

+ 10029

29∝2−4∝2−40∝+116−100=0

−b±√b2−4 ac2a

∝=40+√(−40)2−4(25)(16)

−80

∝=40+√1600−1600−80

∝= 40−80

∝=−0.5c) El ángulo entre u y v es 2/3Cosφ= u∙ v

|u||v|

cos (120 °)= −2∝−10√29√4+∝2

−0.5= −2∝−10√29√4+∝2

√4+∝2=−2∝√29

− 10−0.5

4+∝2=0.5517∝2+5.5172∝+13.7931

0.4482∝2−5.5172∝−9.7931=0

∝2−12.3077∝+37.8698=59.716

(∝−6.1538)2=59.716

∝−6.1538=7.7276

∝=13.8815

19. En el problema 17 demuestre que no existe un valor de∝ para el que u y v tienen direcciones opuestas

0= 3+4∝√25√1+∝2

3+4∝=0

4∝=−3

∝=−34

No tiene opuesto.20. En el problema 18 demuestre que no existe valor de ∝ para el que u y v tienen la misma dirección.1= −2∝−10

√29√4+∝2

√4+∝2=−2∝√29

− 10√29

(√4+∝2 )2=(−2∝√29− 10

√29 )2

4+∝2=4∝2

29+ 40∝29

+ 10029

29∝2−4∝2−40∝+116−100=0

−b±√b2−4 ac2a

∝=40+√(−40)2−4(25)(16)

−80

∝=40+√1600−1600−80

∝= 40−80

∝=−0.5En los problemas 21 al 30 calcule la proyección ProyvU21. u=3 i v=−i+ j

ProyvU= u ∙ v|v|2

v=(3)(1)+(0)(1)¿¿¿

22. u=–5 j v=i+ jProyvU=u ∙ v

|v|2v=(−5)(1)+(0)(1)

¿¿¿

23. u=2i+ j v=i−2 jProyvU=u ∙ v

|v|2v=(2)(1)+(1)(−2)

¿¿¿

24. u=2i+3 j v=4 i+ jProyvU=u ∙ v

|v|2v=(2)(4 )+(3)(1)

¿¿¿

25. u=i+ j v=2 i – 3 jProyvU=u ∙ v

|v|2v=(1)(2)+(1)(−3)

¿¿¿

26. u=i+ j v=2 i+3 jProyvU=u ∙ v

|v|2v=(1)(2)+(1)(3)

¿¿¿

27. u=αi+βj v=i+ j α y β reales positivosProyvU=u ∙ v

|v|2v=(α )(1)+(β)(1)

¿¿¿

28. u=i+ j v=αi+ βj

ProyvU=u ∙ v|v|2

v=(1)(α )+(1)(β )¿ ¿¿

29. u=αi−βj v=i+ j α y β reales positivos α>β

ProyvU=u ∙ v|v|2

v=(α )(1)+(−β)(1)¿ ¿¿

30. u=αi−βj v=i+ j α y β reales positivos α<β

ProyvU=u ∙ v|v|2

v=(α )(1)+(−β)(1)¿¿¿

33. Sean P=(2,3) ,Q=(5,7) ,R=(2 ,−3) , S=(1,2) .Calcule la Proy PQRS y ProyRSPQ.PQ=( X2−X1 )+(Y 2−Y 1 )=(5−2 )+(7−3 )=PQ=(3,5 )

RS=(X2−X1 )+ (Y 2−Y 1 )=(1−2 )+(2+3 )=RS=(−1,5)

ProyPQRS=PQ ∙RS|PQ|2

PQ=¿¿

ProyPQRS=3317i+5517j

ProyRSPQ= PQ∙ RS|RS|2

RS=¿¿

ProyPQRS=−1113

i+5513j

34. Sean P=(−1,3) ,Q=(2,4) , R=(−6 ,−2) , S=(3,0). Calcule la ProyPQRS y ProyRSPQ.PQ=( X2−X1 )+(Y 2−Y 1 )=(2+1 )+(4−3 )=PQ=(3,1)

RS=(X2−X1 )+ (Y 2−Y 1 )=(3+6 )+ (0+2 )=RS=(9,2)

ProyPQRS=PQ ∙RS|PQ|2

PQ=¿¿

ProyPQRS=8710i+ 2910j

ProyRSPQ= PQ∙ RS|RS|2

RS=¿¿

ProyPQRS=26113

i+ 5813j

39. Un triángulo tiene vértices (1,3) ,(4 ,−2) y (−3,6). Encuentre el coseno de cada ángulo.B (1,3 )C (4 ,−2 ) y A(−3,6).

PQ=( X2−X1 )+(Y 2−Y 1 )

AB=[ (1 )−(−3 ) ]+ (3−6 )=4 i−3 j

AC= [( 4 )−(−3 ) ]+(−2−6 )=7 i−8 j

Cosφ= u∙ v|u||v|

= 28+24

√42+(−3)2√(7)2+(−8)2= 52

√25√113

Cosφ(α )= 52√25√113 ∅ α=cos−1( 52

√25√113 )=11.94

CB=(1−4 )+ [3−(−2 ) ]=−3 i+5 j

CA=(−3−4 )+ [6−(−2 ) ]=−7 i+8 j

Cosφ= u∙ v|u||v|

= 21+40

√42+(−3)2√(7)2+(−8)2= 61

√34 √113

Cosφ(β )= 61√34 √113 ∅ β=cos−1( 61

√34√113 )=10.22°

BA= (−3−1 )+ (6−3 )=−4 i+3 j

BC= (4−1 )+(−2−3 )=3 i−5 j

Cosφ= u∙ v|u||v|

= −12−15

√(−4)2+32√(7)2+(−8)2= −27

√34 √113

Cosφ(β )= −27√25√34 ∅ β=cos−1( −27

√25√34 )=157.83 °

40. Un triángulo de vértices A(a1,b1), B(a2,b2), C(a3,b3). Encuentre la fórmula para el coseno de cada uno.AB=(a2−a1 ) i+(b2−b1 ) j ; AC=(a3−a1 )i+(b3−b1 ) j

cos A=(a2−a1 ) (a3−a1 )+(b2−b1) (b3−b1)

√(a2−a1 )2+ (b2−b1 )2√(a3−a1)2+(b3−b1 )2

BA=(a1−a2 )i+(b1−b2) j ; BC= (a3−a2 ) i+(b3−b2 )

cosB=(a1−a2 ) (a3−a2 )+(b1−b2) (b3−b2 )

√ [(a1−a2)2¿+(b1−b2 )

2]√[(a3−a2 )¿¿2¿+(b3−b2 )2]¿ ¿ ¿

CA=(a1−a3 )+(b1−b3 ) ;CB=(a2−a3 )+(b2−b3 )

cosC=(a1−a3 ) (a2−a3 )+(b1−b3 ) (b2−b3 )

√[ (a1−a3 )2¿+(b1−b3)2]√ [(a2−a3 )2¿+ (b2−b3 )2]¿¿