UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
CAMPUS IFACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y
PETROLERASINGENIERÍA QUÍMICA
TRABAJO: SOLUCIONARIOMATEMÁTICAS I
ALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPE
FECHA: 08/11/15
Libro: Stanley GrossmanEjercicios 3.1En los problemas del 1 al12 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.1.V=(4,4 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(44 )=45 °|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (4 )2+ (4 )2=√32
2.V=(−4,4 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( 4−4 )=−45 °
|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−4 )2+ (4 )2=√32
∢R=180−45=135 °
3.V=(4 ,−4 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−44 )=−45 °
|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (4 )2+ (−4 )2=√32
∢R=360−45=315 °
4.V= (−4 ,−4 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−4−4 )=45 °|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−4 )2+ (−4 )2=√32
∢R=180+45=225°
5.V=(√3 ,1 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( 1√3 )=30° |V|=√ i2+ j2 |V|=√ (√3 )2+ (1 )2=√4=2
6.V=(1 ,√3 )
Ø=tan−1 ( ba ) θ=tan−1(√31 )=60 °|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (1 )2+(√3 )2=√4=2
7.V=(−1 ,√3 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( √3−1 )=−60°
|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−1 )2+ (√3 )2=√4=2
∢R=180−60=120°
8.V=(1 ,−√3 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−√31 )=−60°
|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (1 )2+(−√3 )2=√4=2
∢R=360−60=300 °
9.V=(−1,−√3 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−√3−1 )=60 °
|V|=√ i2+ j2 |V|=√ (−1 )2+ (−√3 )2=√4=2
∢R=180+60=240 °
10.V=(1 ,2 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(21 )=63.43 ° |V|=√ i2+ j2 |V|=√ (1 )2+ (2 )2=√5
11.V= (−5 ,8 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1( 8−5 )=−58°
|V|=√ i2+ j2 |V|√ (−5 )2+(8 )2=√89
∢R=180−58=122°
12.V=(11 ,−14 )
θ =tan−1 ( ba )θ tan−1(−1411 )=−51.84 °
|V|=√ i2+ j2 |V|√ (11)2+(−14 )2=√317
∢R=360−51.84=308.16 °13. Sea u (2,3) y v (-5,4) Encuentre a¿3u;b¿u+v ;c ¿v−u; d¿2u−7 v Bosqueje estos vectores.a) 3u=3 (2i+3 j)=6 i+9 jb) u+v=(2i+3 j)+(−5 i+4 j)=−3 i+7 jc) v−u=(−5 i+4 j)−(2 i+3 j)=−7 i+1 jd) 2u– 7 v=2 (2 i+3 j )– [7 (−5 i+4 j ) ]=(4 i+6 j ) – (−35 i+28 j )
¿39 i−22 ja)
b)
c)
d)
14 . Seau=2 i−3 j yV=−4 i+6 j . Encuentre :a¿u+v;b ¿u−v ;c ¿3u; d¿−7v ;e¿8u−3 v ; f ¿4 v−6u . Bosquejeestos vectores.
a¿u+v=(2 i−3 j )+(−4 i+6 j )=−2i+3 j
b¿u−v= (2 i−3 j )− (−4 i+6 j )=6 i−9 j
c ¿3u=3 (2 i−3 j )=6 i−9 j
d ¿−7 v=−7 (−4 i+6 j )=28 i−42 j
e ¿8u−3v=8 (2i−3 j )−3 (−4 i+6 j )=(16 i−24 j ) (12i−18 j )=28 i−42 j
f ¿ 4v−6u=4 (−4 j+6 j )−6 (2 i−3 j )= (−16i+24 j ) (−12i+18 j )=−28i+42 j
a)
b)
c)
V 1=(1,0)
V 2=(0,1)
|V|=√ i2+ j2
¿V 1∨¿√12+02=√1=1
¿V 2∨¿√02+12=√1=1
16. Demuestre que el vector ( 1√2 )i+( 1√2 ) j es un vector unitario. |u|=√ i2+ j2
|u|=√( 1√2 )2
+( 1√2 )2
¿√1 = 1
17. Demuestre que si v=ai−bj≠0, entonces u=(a/√a2+b2)i – (b/√a2+b2) j es un vector unitaro que tiene la misma dirección que v.v=ai−bj≠0 u=(a/√a2+b2)i ,(−b /√a2+b2) j
u=√( a√a2+b2 )
2
+( −b√a2+b2 )
2=√ a2+b2a2+b2=√1=1
Ø1= tan−1 (−ba )
Ø2= tan−1(−b
√a2+b2a
√a2+b2 )=(−ba )
Ø1= Ø2
En los problemas 18 al 21 encuentre un vector unitario que tengo la misma dirección que el vector dado.18. 2 i+3 j|v|=√i2+ j2 |v|=√22+32=√13
u= i|v|
+ j|v| u= 2
√13i− 3
√13j
19. v=i− j |v|=√i2+ j2 |v|=√12+12 = √2u= i
|v|+ j|v| u= 1
√2i− 1
√2j
Ø=tan−1 ( ba )Ø1=tan−1(−11 )=−45°
Ø2 = tan−1 (−1/√21/√2 )= −¿45°Ø1= Ø2
20. v=−3 i+4 j
|v|=√i2+ j2 |v|=√(−3)2+42 = √25 = 5 u= i
|v|+ j|v| u=−3
5i+ 45j
Ø= tan−1 ( ba )
Ø1= tan−1 ( 4−3 )=−53.13 °
Ø2= tan−1 ( 4 /5−3/5 )= −53.13 °Ø1= Ø2
21. v=ai+aj :a≠0
|v|=√i2+ j2 |v|=√a2+a2 = √2a u= i
|v|+ j|v| u= a
√2ai+ a
√2aj
u= i√2
+ j√222. Si v=ai+bj, demuestre que a /√a2+b2=CosØ y b /√a2+b2=SenØ, donde Ø es la dirección de v
|v|=√i2+ j2 |v|=√a2+b2
u=i
|v|+ j|v|u= a
√a2+b2+ b
√a2+b2
cos∅= a√a2+b2
Sen∅= b√a2+b223. Si v=2i−3 j encuentre sen∅ y cos∅
|v|=√i2+ j2|v|=√22+(−3)2 = √13
u=i
|v|+ j|v| u=
2√13
i− 3√13
j
cos∅= 2√13
Sen∅= −3√13
24. Si v=−3 i+8 j encuentre sen∅ y cos∅|v|=√i2+ j2|v|=√(−3)2+82 = √73 u= i
|v|+ j|v| u= −3
√73i+ 8
√73j
cos∅= −3√73
Sen∅= 8√73 Un vector v tiene dirección opuesta a la del vector u si dirección de
v=dirección deu+π. En los problemas 25 al 28 encuentre un vector unitario v que tenga dirección opuesta a la dirección del vector dado u .25. u=i+ j
|u|=√ i2+ j2|u|=√12+12 = √2u= i
|v|+ j|v| u= 1
√2i+ 1
√2j
v=−1√2i− 1
√2j
26. u=2i−3 j
|u|=√ i2+ j2|u|=√22+(−3)2 = √13
u= i|v|
+ j|v| u= 2
√13i− 3
√13j
v= −2√13
i+ 3√13
j
27. u=−3 i+4 j
|u|=√ i2+ j2|u|=√(−3)2+42 = √25 ¿5u= i
|v|+ j|v| u=−3
5i+ 45j
v=35i− 45j
28. u=−2i+3 j
|u|=√ i2+ j2 |u|=√(−2)2+32 = √13 u= i
|v|+ j|v| u= −2
√13i+ 3
√13j
v= 2√13
i− 3√13
j
29. Sea u=2i –3 j y v=−i+2 j , encuentre un vector que tenga la misma dirección que:a¿u+v ; b¿2u –3 v ;c ¿3u+8v .
u=2i –3 j v=−i+2 ja) u+v=(2i –3 j)+(−i+2 j)=i – j
b) 2u– 3 v=2(i – 3 j)−3(−i+2)
¿2 i – 6 j+3 i−6 j
¿5 i−12 jc) 3u+8 v=3(2 i−3 j)+8(−i+2 j)¿−6 i−9 j – 8i+16 j¿−2i+7 j
a¿ v=i – j
|v|=√i2+ j2|v|=√12+(−12)=√2
u= i|v|
+ j|v| u= 1
√2 - 1√2
b¿ v=5 i−12 j
|v|=√i2+ j2|v|=√52+ (−12 )2=√169=13
u= i|v|
+ j|v| u= 5
13 - 1213
c ¿v=−2i+7 j
|v|=√i2+ j2∨v∨¿√(−2)2+72 = √53
u=i
|v|+ j|v| u= −2
√53 + 7√53
30. Sea P=(c ,d) yQ=(c+a ,d+b)muestra que la magnitudPQ→ es = √a2+b2 .P=(c ,d)
Q=(c+a ,d+b)
PQ→ ¿Q−P=c+a+d+b−c−d=a+b
|v|=√i2+ j2|v|=√a2+b2
31. Con respecto al ejercicio 30, demuestre que la dirección de pq→ es la misma que la dirección (a ,b)sugerencia si R=(a ,b) .Demuestre que la recta que pasa por los puntos P yQ es paralela que pasa por los puntos 0 y R
∅ v2=tan−1( ba ¿)¿
∅ pq→
= tan−1( ba)
En los problemas del 32 al 35 encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas.32.∨v∨¿3 :∅ π
6
¿ v∨cos∅→(3)¿
¿ v∨sen∅→(3)(sen30 ° )=1.5
V=2.598 I+1.5 j
33.¿ v∨¿8 :∅ π6
¿ v∨cos∅=(8)¿
|v|sen∅=(8)(sen 60° )=6.92
V=4 I +6.92 j34. ¿ v∨¿1:=π /4
¿ v∨cos∅=(1)¿
¿ v∨sen∅=(1)(sen 45 °)=0.70
V=0.70 I+0.70 j
Problemas 3.2
En los problemas 1 al 8 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. 1. u=i+ j v=i – j
u ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=(1 ) (1 )+(1 ) (−1 )=¿1– 1=0
u ∙ v=0
cos φ= u ∙ v|u||v|
= 0
√12+12√12+(−12 )= 0
√2√2 ¿02 ¿0
cos φ=0 ∅=cos−1(0)=90º
2.u=3 i v=−7 j
u ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=3+ (−7 )=−4 u ∙ v=−4
cos φ= u ∙ v|u||v|
=¿ −4
√32√(−7)2 ¿ −4
√9√49= −4
√441=−421
cos φ=−421 ∅=cos−1(−421 )=100.98°
3.u=−5 i v=18 j
u ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙∙ v=(−5 )+(18 )=13u ∙ v=13
cos φ= u ∙ v|u||v|
= 13
√(−5 )2√182=¿ 13
√25√324=¿ 13
√8100=¿ 1390
∅=cos−1( 1390 )=81.69 ° cos φ=1390
4. u=αi v=βj :α ,βrealesu ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=∝+β
cos φ= u∗v|u||v|
= ∝+β√∝2√β2
= ∝+β√∝2β2
cos φ= ∝+ β√∝2 β2
∝=2 β=4
u ∙ v=2+4=6 u ∙ v=6
cos φ=2+4
√22√42= 6
√32 cos φ=6
√32
5. u=2i+5 j ;v=5i+2 ju ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=(2 ) (5 )+(5 ) (2 )=10+10=20
u ∙ v=20
Cosφ= u∙ v|u||v|
¿ 20
√(2 )2+(5 )2√(5 )2+(2 )2= 20
√29√29=2029
Cosφ=2029 ∅=cos−1( 2029 )=46.40 °6. u=2i+5 j ;v=5i−2 j
u ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=(2 ) (5 )+(5 )(−2)=10−10= 0
u ∙ v=0
cos φ= u ∙ v|u||v| =
0
√(2 )2+(5 )2√(5 )2+(−2 )2= 0
√29√29= 029
=0
Cosφ=0 ∅=cos−1(0)=90º
7. u=−3 i+4 j ; v=−2 i−7 j
u ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=(−3 ) (−2 )+ (4 ) (−7 )=6−28=−22
u ∙ v=−22
cos φ= u ∙ v¿u∨¿ v∨¿¿
¿ −22
√(−3)2+(4 )2√(−2)2+(−7)2= −22
√9+16√4+49= −22
√25√53= −225 √53
=−2236.4
Cosφ=−2236.4 ∅=cos−1(−2236.4 )=127.18 °
8. u=4 i+5 j ;v=5i−4 ju ∙ v=i1i2+ j1 j2
u ∙ v=(4 ) (5 )+(5 )(−4)=20−20=0
u ∙ v=0
cos φ= u ∙ v
¿u∨¿ v∨¿= 0
√(4)2+(5)2√(5)2+(−4 )2= 0
√16+25√25+16= 0
√41√41= 041
=0¿
Cosφ=0 ∅=cos−1 (0 )=90°9. Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u= αi+βj y v= βi-αj son ortogonales.cos φ= u ∙v
¿u∨¿ v∨¿=(α ) (β )+( β )(−α )
√(α )2+(β )2√(β )2+(−α )2=
αβ−αβ√α2+β2√α 2+β2
=0
α2+ β2=0 ¿
∅=cos−1 (0 )=90° por lo tanto son ortogonales.10. Sean u, v y w tres vectores arbitrarios. Explique por qué el producto u•v•w no está definido.Porque al multiplicar dos vectores obtienes un escalar y no se puede obtener el producto de un escalar con un vector, no existe dicha operación.En los problemas 11 al 16 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después bosqueje cada par.
11. u=3i+5 j ; v=−6 i−10 j
cos φ= u∙ v
¿u∨¿ v∨¿=(3 ) (−6 )+(5 )(−10)
√(3)2+(5)2√(−6)2+(−10)2=
−18−50√9+25√36+100
=−68
√34√136=
−6868 =−1¿
∅=cos−1(−1)=180 º Es paralelo
12. u=2i+3 j ;v=6 i−4 jcos φ= u ∙v
¿u∨¿ v∨¿=(2 ) (6 )+(3 )(−4)
√(2)2+(3)2√(6)2+(−4)2=
12−12√4+9√36+16
=0
√13√52=026=0 ¿
∅=cos−1(0)=90ºEs ortogonal
13. u=2i+3 j ;v=6 i+4 jcos φ= u ∙ v
¿u∨¿ v∨¿=(2 ) (6 )+(3 )(4)
√(2)2+(3)2√(6)2+(4 )2=
12+12√4+9√36+16
=24
√13 √52=24026 =0.9230 ¿
∅=cos-1(0.9230 )=22.63° No es paralelo ni ortogonal.14. u=2i+3 j v=−6 i+4 j
Cosφ= u∙ v|u||v|
=(2 ) (−6 )+(3 )(4)
√(2)2+(3)2√(−6)2+(4)2=
−12+12√4+9√36+16
=−12+12√13√52
=0
√13√52=026=0
∅=C os−1(0)=90 °Es ortogonal
15.u=7 i v=−23 j
Cosφ= u∙ v|u||v|=
(7 ) (0 )+(0 )(−23)
√(7)2√(−23)2=
0+0√49√529
=07 ∙23=0
∅=C os−1(0)=90 °Es ortogonal
16. u=2i –6 j v=−i+3 j
cos φ= u ∙ v|u||v|
=(2 ) (−1 )+(−6 )(3)
√(2)2+(−6)2√(−1)2+(3)2=
−2−18√4+36√1+9
=−20
√40√10=
−20√400
=−2020 =−1
Cosφ= u∙ v|u||v|
cos (90 °)= 3+4∝√25√1+∝2
0= 3+4∝√25√1+∝2
3+4∝=0
4∝=−3
∝=−34
b) u y v son paralelosCosφ= u∙ v
|u||v|
cos (0 °)= 3+4∝√25√1+∝2
1= 3+4∝√25√1+∝2
√1+∝2=35 + 4∝5
(√1+∝2 )2=(35 + 4∝5 )
2
1+∝2=16∝2
25+ 24∝25
+ 925
16∝225
−25∝2
25+ 24∝25
+ 925
−2525
=0
−9∝225
+ 24∝25
−1625
=0
−9∝2+24∝−16=0
−b±√b2−4 ac2a
∝=−24±√(24)2−4 (−9)(−16)
18
−24±√576−57618
∝=−2418
∝=−43
c) El ángulo entre u y v es /4¿4=45 °
Cosφ= u∙ v|u||v|
cos (45 °)= 3+4∝√25√1+∝2
0.7071= 3+4∝(5 ) √1+∝2
√1+∝2= 3+4∝(0.7071)(5 )
√1+∝2= 33.5355
+ 4∝3.5355
(√1+∝2 )2=(0.8485+ 4∝3.5355 )
2
1+∝2= 16∝212.4997
+ 6.788∝3.5355
+0.7199
16∝212.4997
−12.4997∝2
12.4997+ 6.788∝3.5355
+0.7199−1=0
3.5003∝212.4997
+ 6.788∝3.5355
−0.2801=0
−b±√b2−4 ac2a
∝=−1.9199+√3.6862−4 (0.28)(−0.2801)
0.56
∝=−1.9199+√3.6862+0.31370.56
∝=−1.9199+1.9990.56
∝=0.1412d) El ángulo entre U y V es ¿3❑3
=60 °
Cosφ= u∙ v|u||v|
cos (60 °)= 3+4∝√25√1+∝2
0.5= 3+4∝(5 )√1+∝2
√1+∝2= 3+4∝(0.5)(5 )
√1+∝2=1.2+ 4∝2.5
(√1+∝2 )2=(1.2+ 4∝2.5 )2
1+∝2=16∝2
6.25+ 9.6∝2.5
+1.44
16∝26.25
−6.25∝2
6.25+ 9.6∝2.5
+1.44−1=0
9.75∝26.25
+ 9.6∝2.5
+0.44=0
−b±√b2−4 ac2a
∝=−3.84+√(3.84)2−4 (1.56)(0.44)
3.12
∝=−3.84+√14.7456−2.74563.12
∝=−3.84+√123.12
∝=−0.37583.12
∝=−0.1204
18. Sean u=−2i+5 j v=∝i – 2 j
a) u y v son ortogonales
Cosφ= u∙ v|u||v|
cos (90 °)= −2∝−10√29√4+∝2
0= −2∝−10√29√4+∝2
0=−2∝−10
2∝=−10
∝=−102
∝=−5
b) u y v son paralelosCosφ= u∙ v
|u||v|
cos (0 °)= −2∝−10√29√4+∝2
1= −2∝−10√29√4+∝2
√4+∝2=−2∝√29
− 10√29
(√4+∝2 )2=(−2∝√29− 10
√29 )2
4+∝2=4∝2
29+ 40∝29
+ 10029
29∝2−4∝2−40∝+116−100=0
−b±√b2−4 ac2a
∝=40+√(−40)2−4(25)(16)
−80
∝=40+√1600−1600−80
∝= 40−80
∝=−0.5c) El ángulo entre u y v es 2/3Cosφ= u∙ v
|u||v|
cos (120 °)= −2∝−10√29√4+∝2
−0.5= −2∝−10√29√4+∝2
√4+∝2=−2∝√29
− 10−0.5
4+∝2=0.5517∝2+5.5172∝+13.7931
0.4482∝2−5.5172∝−9.7931=0
∝2−12.3077∝+37.8698=59.716
(∝−6.1538)2=59.716
∝−6.1538=7.7276
∝=13.8815
19. En el problema 17 demuestre que no existe un valor de∝ para el que u y v tienen direcciones opuestas
0= 3+4∝√25√1+∝2
3+4∝=0
4∝=−3
∝=−34
No tiene opuesto.20. En el problema 18 demuestre que no existe valor de ∝ para el que u y v tienen la misma dirección.1= −2∝−10
√29√4+∝2
√4+∝2=−2∝√29
− 10√29
(√4+∝2 )2=(−2∝√29− 10
√29 )2
4+∝2=4∝2
29+ 40∝29
+ 10029
29∝2−4∝2−40∝+116−100=0
−b±√b2−4 ac2a
∝=40+√(−40)2−4(25)(16)
−80
∝=40+√1600−1600−80
∝= 40−80
∝=−0.5En los problemas 21 al 30 calcule la proyección ProyvU21. u=3 i v=−i+ j
ProyvU= u ∙ v|v|2
v=(3)(1)+(0)(1)¿¿¿
22. u=–5 j v=i+ jProyvU=u ∙ v
|v|2v=(−5)(1)+(0)(1)
¿¿¿
23. u=2i+ j v=i−2 jProyvU=u ∙ v
|v|2v=(2)(1)+(1)(−2)
¿¿¿
24. u=2i+3 j v=4 i+ jProyvU=u ∙ v
|v|2v=(2)(4 )+(3)(1)
¿¿¿
25. u=i+ j v=2 i – 3 jProyvU=u ∙ v
|v|2v=(1)(2)+(1)(−3)
¿¿¿
26. u=i+ j v=2 i+3 jProyvU=u ∙ v
|v|2v=(1)(2)+(1)(3)
¿¿¿
27. u=αi+βj v=i+ j α y β reales positivosProyvU=u ∙ v
|v|2v=(α )(1)+(β)(1)
¿¿¿
28. u=i+ j v=αi+ βj
ProyvU=u ∙ v|v|2
v=(1)(α )+(1)(β )¿ ¿¿
29. u=αi−βj v=i+ j α y β reales positivos α>β
ProyvU=u ∙ v|v|2
v=(α )(1)+(−β)(1)¿ ¿¿
30. u=αi−βj v=i+ j α y β reales positivos α<β
ProyvU=u ∙ v|v|2
v=(α )(1)+(−β)(1)¿¿¿
33. Sean P=(2,3) ,Q=(5,7) ,R=(2 ,−3) , S=(1,2) .Calcule la Proy PQRS y ProyRSPQ.PQ=( X2−X1 )+(Y 2−Y 1 )=(5−2 )+(7−3 )=PQ=(3,5 )
RS=(X2−X1 )+ (Y 2−Y 1 )=(1−2 )+(2+3 )=RS=(−1,5)
ProyPQRS=PQ ∙RS|PQ|2
PQ=¿¿
ProyPQRS=3317i+5517j
ProyRSPQ= PQ∙ RS|RS|2
RS=¿¿
ProyPQRS=−1113
i+5513j
34. Sean P=(−1,3) ,Q=(2,4) , R=(−6 ,−2) , S=(3,0). Calcule la ProyPQRS y ProyRSPQ.PQ=( X2−X1 )+(Y 2−Y 1 )=(2+1 )+(4−3 )=PQ=(3,1)
RS=(X2−X1 )+ (Y 2−Y 1 )=(3+6 )+ (0+2 )=RS=(9,2)
ProyPQRS=PQ ∙RS|PQ|2
PQ=¿¿
ProyPQRS=8710i+ 2910j
ProyRSPQ= PQ∙ RS|RS|2
RS=¿¿
ProyPQRS=26113
i+ 5813j
39. Un triángulo tiene vértices (1,3) ,(4 ,−2) y (−3,6). Encuentre el coseno de cada ángulo.B (1,3 )C (4 ,−2 ) y A(−3,6).
PQ=( X2−X1 )+(Y 2−Y 1 )
AB=[ (1 )−(−3 ) ]+ (3−6 )=4 i−3 j
AC= [( 4 )−(−3 ) ]+(−2−6 )=7 i−8 j
Cosφ= u∙ v|u||v|
= 28+24
√42+(−3)2√(7)2+(−8)2= 52
√25√113
Cosφ(α )= 52√25√113 ∅ α=cos−1( 52
√25√113 )=11.94
CB=(1−4 )+ [3−(−2 ) ]=−3 i+5 j
CA=(−3−4 )+ [6−(−2 ) ]=−7 i+8 j
Cosφ= u∙ v|u||v|
= 21+40
√42+(−3)2√(7)2+(−8)2= 61
√34 √113
Cosφ(β )= 61√34 √113 ∅ β=cos−1( 61
√34√113 )=10.22°
BA= (−3−1 )+ (6−3 )=−4 i+3 j
BC= (4−1 )+(−2−3 )=3 i−5 j
Cosφ= u∙ v|u||v|
= −12−15
√(−4)2+32√(7)2+(−8)2= −27
√34 √113
Cosφ(β )= −27√25√34 ∅ β=cos−1( −27
√25√34 )=157.83 °
40. Un triángulo de vértices A(a1,b1), B(a2,b2), C(a3,b3). Encuentre la fórmula para el coseno de cada uno.AB=(a2−a1 ) i+(b2−b1 ) j ; AC=(a3−a1 )i+(b3−b1 ) j
cos A=(a2−a1 ) (a3−a1 )+(b2−b1) (b3−b1)
√(a2−a1 )2+ (b2−b1 )2√(a3−a1)2+(b3−b1 )2
BA=(a1−a2 )i+(b1−b2) j ; BC= (a3−a2 ) i+(b3−b2 )
cosB=(a1−a2 ) (a3−a2 )+(b1−b2) (b3−b2 )
√ [(a1−a2)2¿+(b1−b2 )
2]√[(a3−a2 )¿¿2¿+(b3−b2 )2]¿ ¿ ¿
CA=(a1−a3 )+(b1−b3 ) ;CB=(a2−a3 )+(b2−b3 )
cosC=(a1−a3 ) (a2−a3 )+(b1−b3 ) (b2−b3 )
√[ (a1−a3 )2¿+(b1−b3)2]√ [(a2−a3 )2¿+ (b2−b3 )2]¿¿