7/24/2019 D Programacin Lineal Krajewski
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E 1Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall.
Programacin Lineal
For
Operations Management,
byKrajewski
/
Ritzman
/Malhotra
Pearson Education
PowerPoint Slides by Jeff
Heyl
and
translated by Victor Pumisacho
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E 2
Muchas de las decisiones gerenciales implican tratarde hacer el uso ms efectivo de recursos limitados Maquinaria, trabajo, dinero, tiempo, espacio de
almacenamiento, materias primas
Programacin
l ineal(
PL ) es una tcnica de modeladomatemtico utilizado ampliamente, diseado paraayudar a los administradores en la planificacin ytoma de decisiones relativas a la asignacin derecursos
Pertenece al campo amplio de la
programacinmatemtic a
En este sentido, la
programacin se refiere a lamodelizacin y resolucin de un problema
matemticamente
Introduccin
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E 3
PL ha sido aplicada en muchas reas enlos ltimos 50 aos
Todos los problemas de PL tienen 4propiedades en comn
1. Todos los problemas buscan
maximizarominimizaralguna cantidad (la
funcin ob jet ivo)
2. La presencia de restricciones o
l imi tacioneslimitan el grado en que podemos buscarnuestro objetivo
3. Debe haber alternativas de lneas de accinpara elegir
4. El objetivo y las restricciones en problemasdeben ser expresadas en trminos de
ecuacioneso
desigualdades l ineales
Requ is i tos de un p rob lema de
programacin l ineal
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E 4
Desarrollo de un programa de produccin que lepermita satisfacer las demandas futuras de produccin de una
empresa
mientras
minimizalos costos totales de produccin einventario
Determinacin de tipos de productos derivados delpetrleo para obtener el
mximobeneficio
Seleccin de diferentes mezclas de materias primaspara alimentar los molinos y producir combinacionesde alimentos terminados a un costo
mnimo
Determinacin de un sistema de distribucin que
min imiceel costo total del envo desde varios lugaresde almacenamiento a varios lugares de mercado
Ejemp los de xito de aplicac iones
PL
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E 5
Prop iedades y supuestos PL
PROPIEDADES DE LOS PROGRAMAS LINEALES
1. Una funcin objetivo
2. Una o ms restricciones
3. Alternativas de cursos de accin
4. La funcin objetivo y las restricciones son lineales
SUPUESTOS DE PL
1. Certeza
2. Proporcionalidad3. Aditividad
4. Divisibilidad
5. Variables no negativas
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E 6
Suponemos que existen condiciones de
cer t idumbreyque los nmeros en el objetivo y las restricciones seconocen con certeza y no cambian durante el perodode estudio
Suponemos existe
proporc ional idaden el objetivo y
en las restricciones constancia entre los aumentos de produccin y lautilizacin de recursos - si 1 unidad necesita 3 horasentonces 10 requieren 30 horas
Suponemos
adit iv idadya que el total de todas las
actividades es igual a la suma de las actividadesindividuales
Asumimos
divis ibi l idadya que las soluciones no tieneque ser necesariamente nmeros enteros
Todas las respuestas o variables son
no negativas, yaque se trata de cantidades fsicas reales
Supuesto s bsicos de PL
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Conceptos Bsicos
Parmetro, coeficiente o constante dada, un valor quela persona a cargo de tomar la decisin no puedecontrolar y que no cambia cuando se implementa lasolucin.
Certidumbre, palabra que se utiliza para describir que
un hecho se conoce sin lugar a duda. Linealidad, caracterstica del modelo de programacin
lineal que implica proporcionalidad y aditividad; nopuede haber productos ni potencias de las variablesde decisin.
No negatividad, suposicin de que las variables dedecisin deben ser positivas o cero.
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Form ulacin de problemas PL
La formulacin de un programa lineal implicael desarrollo de un modelo matemtico pararepresentar el problema de gestin
Los pasos en la formulacin de un programa
lineal son1. Comprender completamente el problema de
gestin que se enfrenta
2. Identificar el objetivo y las restricciones
3. Definir las variables de decisin4. Utilizar las variables de decisin para escribir
expresiones matemticas tanto para la funcinobjetivo como para las restricciones
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Form ulacin de problemas PL
Como una comprobacin de coherencia,asegrese de que la misma unidad demedida se est utilizando en ambos lados
de cada restriccin y de la funcin objetivo
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Form ulacin de problemas PL
Una de las aplicaciones ms comunes de PL esel problema de mezcla de produ ctos
Dos o ms productos se producen utilizandorecursos limitados, tales como personal,mquinas y materias primas
El beneficio que la empresa busca maximizar sebasa en la contribucin a los beneficios porunidad de cada producto
La empresa desea determinar cuntas unidadesde cada producto debe producir con el fin demaximizar el beneficio global dado lo limitado desus recursos
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Form ulacin de un Modelo PL
EJEMPLO 2.1
La Stratton Company produce dos tipos bsicos de tubo plstico. Tresrecursos son cruciales para la produccin de estos tubos: horas deextrusin, horas de embalaje, y un aditivo especial para las materiasprimas del plstico. Los siguientes datos representan la situacincorrespondiente a la prxima semana. Todos los datos estnexpresados en unidades de 100 pies de tubo
Producto
Recurso Tipo 1 Tipo 2 Disponibilidad deRecursos
Extrusin 4 hr 6 hr 48 hr
Embalaje 2 hr 2 hr 18 hr
Mezcla aditiva 2 lb 1 lb 16 lb
La contribucin a las ganancias y a los gastos generales por cada 100pies de tubo es de $34 para el tipo 1 y $40 para el tipo 2. Formule unmodelo de programacin lineal para determinar qu cantidad de cadatipo de tubo ser necesario producir para maximizar la contribucin a
las ganancias y a los gastos generales.
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Formulacin del Modelo PL
SOLUCIN
Paso 1: Para definir las variables de decisin que determinan lamezcla de productos, supondremos que
x1 = cantidad de tubo tipo 1 que ser necesario
producir y vender la semana prxima, medida enincrementos de 100 pies(por ej., x1 = 2 significa 200 pies de tubo tipo 1)
y
x2 = cantidad de tubo tipo 2 que ser necesario
producir y vender la semana prxima, medidaen incrementos de 100 pies
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Formulacin del Modelo PL
Paso 2:A continuacin, definiremos la funcin objetivo. Lameta consiste en maximizar la contribucin total delos dos productos a las ganancias y los gastosgenerales. Cada unidad de x1 redita $34, y cadaunidad de x2 redita $40. Para valores especficos dex1 y x2, encontramos la ganancia total multiplicando el
nmero de unidades fabricadas de cada producto porla ganancia por unidad y sumndolas despus. As,nuestra funcin objetivo se convierte en:
Maximizar: $34x1 + $40x2 = Z
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Formulacin del Modelo PL
Paso 3:El paso final es la formulacin de las restricciones.Cada unidad de x1 y x2 producida consume una parte delos recursos crticos. En el departamento de extrusin,fabricar una unidad de x1 requiere 4 horas y una unidadde x2 requiere 6 horas. El total no deber exceder las 48horas de capacidad disponibles, por lo cual usaremos el
signo . Por lo tanto, la primera restriccin es4x1 + 6x2 48
En forma similar, podemos formular las restriccionesque corresponden al embalaje y las materias primas:
2x1 + 2x2 18 (embalaje)
2x1 + x2 16 (mezcla aditiva)
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Formulacin del Modelo PL
Estas tres restricciones limitan nuestra seleccin de valores
para la variable de decisin, porque los valores queseleccionamos para x1 y x2 debern satisfacerlas a todas.Valores negativos de x1 y x2 no tendran ningn sentido, por locual agregaremos al modelo restricciones de no negatividad:
x1 0 and x2 0 (restricciones de no negatividad)Ahora ya podemos formular el modelo completo, el cual hasido complementado con las definiciones de variables.
Maximizar:
Sujeto a: 4x1 + 6x2 48
2x1 + 2x2 18
2x1 + x2 16x1 0 y x2 0
$34x1 + $40x2 = Z
donde
x1 = cantidad de tubo tipo 1 que ser producido y vendido lasemana prxima, medida en incrementos de 100 pies
x2 = cantidad de tubo tipo 2 que ser producido y vendido la
semana prxima, medida en incrementos de 100 pies
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Anlis is Grfico
5 pasos bsicos1. Trazar la grfica de las restricciones
2. Identificar la regin factible
3. Trazar la grfica de una lnea de funcinobjetivo
4. Encontrar la solucin visual
5. Encontrar la solucin algebraica
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Trazar la g rfic a de las restr icc iones
Trazamos las grficas de las ecuaciones derestriccin, pasando por alto la parte de ladesigualdad (< o >), transformando en la ecuacinde una recta
Encontramos las intersecciones con los ejes,haciendo una variable igual a cero y resolviendo laecuacin para la segunda variable, repetimos estopara las dos intersecciones
Una vez encontrados las intersecciones con los
ejes, dibujamos una lnea que conecte los dospuntos de interseccin. Esta lnea representa a larestriccin correspondiente
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Trazar la grfica de las res tr icc iones
Para4x1 + 6x2 = 48
En el punto de interseccin con el eje x1 , x2 = 0, as:
4x1 + 6(0) = 48x1 = 12
Para encontrar el punto de interseccin con el eje x2 ,hacemosx1 = 0 y resolvemos para x2
4(0) + 6x2 = 48x2 = 8
Unimos los puntos (0, 8) y (12, 0) por medio de unarecta, como se muestra en la Figura 2.1
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Trazar la grfica de las res tr icc iones
4x1 + 6x2 48 (extrusion)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
x2Figura 2.1 Grfica de la restriccin Extrusin
(0, 8)
(12, 0)
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Trazar la grfica de las res tr icc iones
EJEMPLO 2.2Para el problema de la compaa Stratton, trazar la grfica delas dems restricciones: una para el embalaje y otra para lamezcla aditiva
SOLUCIN
La ecuacin de la recta correspondiente al proceso deembalaje es 2x1 + 2x2 = 18. Para encontrar la interseccin x1,hacemos x2 = 0:
2x1 + 2(0) = 18x1 = 9
2(0) + 2x2 = 18x2 = 9
2x1 + 0 = 16x1 = 8
2(0) + x2 = 16x2 = 16
Para la restriccinEmbalaje
Para la restriccinMezcla aditiva
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Trazar la grfica de las res tr icc iones
4x1 + 6x2 48 (extrusin)
2x1 + 2x2 18 (embalaje)
2x1 + x2 16 (mezcla aditiva)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
x2
Figura 2.2 Grfica de las tres restricciones
(0, 9)
(9, 0)
(0, 16)
(8, 0)
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E 23
Ident i f icar la regin fact ible
La regin factible es el rea de la grfica quecontiene las soluciones capaces de satisfacersimultneamente, incluso las restricciones de nonegatividad
Localice el rea que satisface todas lasrestricciones usando tres reglas:1. Para la restriccin =, slo los puntos de la recta son
soluciones factibles
2. Para la restriccin , los puntos de la recta y los puntos
debajo y a la izquierda de ella son soluciones factibles3. Para la restriccin , los puntos de la recta y los puntosarriba y a la derecha de ella son soluciones factibles
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E 24
Ident i f icar la regin fact ible
Cuando uno o varios de los parmetros del ladoizquierdo de una restriccin son negativos,trazamos la recta de restriccin y ensayamos conalguno de los puntos que se localizan a un lado dela misma
2x1 + x2 102x1 + 3x2 18
x1 7
x2 5
6x1 + 5x2 5x1, x2 0
12
11
10
9
8
7
6
5
43
2
1
0 | | | | | | | | | | | |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Reginfactible
6x1 + 5x2 52x1 + x2 10
2x1 + 3x2 18
x1 7
x2 5
x2
x1
Punto deprueba
Figura 2.3 Identificacin de la regin factible
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E 25
Ident i f icar la regin fact ible
EJEMPLO 2.3Identificar la regin factible para el problema de compaa Stratton
SOLUCIN
Porque el problemacontiene slo restricciones, y los parmetros del ladoizquierdo de cadarestriccin son nonegativos, las porcionesfactibles se localizan a laizquierda y debajo de cadarestriccin. La reginfactible, mostrada en laFigura 2.4, satisfacesimultneamente las tres
restricciones.
4x1 + 6x2 48 (extrusin)
2x1 + 2x2 18 (embalaje)
2x1 + x2 16 (mezcla aditiva)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
x2
B
D
C
E
A
Figura 2.4 La regin factible
Reginfactible
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E 26
Trazar la recta de la func in ob jet ivo
Limitar la bsqueda a los puntos localizados enlos vrtices
Un punto vrtice se localiza en la frontera de laregin factible
Puntos interiores no necesitan ser considerados Otros puntos del borde de la regin factible
pueden ser ignorados
Si la funcin objetivo corresponde a ganancias,
cada recta se conoce como una lnea iso -ganancias o iso-ut i l idad
Si Zmide el costo, la recta es llamada lnea iso -costos
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E 27
En la Figura 2.4 escogemos el vrtice E (8, 0) Sustituimos esos valores en la funcin objetivo
Trazar la recta de la func in ob jet ivo
34x1 + 40x2 = Z
34(8) + 40(0) = 272
Entonces en el vrtice E (8, 0) la funcin objetivocorresponde a la ecuacin
34x1 + 40x2 = 272
Resolviendo para la otra interseccin con el eje34(0) + 40(x2) = 272
x2 = 6.8
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E 28
Trazar la recta de la func in ob jet ivo
Figura 2.5 Pasando una lnea iso-ganancias por (8, 0)
4x1 + 6x2 48 (extrusin)
2x1 + 2x2 18 (embalaje)
2x1 + x2 16 (mezcla aditiva)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
x2
B
D
C
E
A
(3,6)
34x1 + 40x2 = 272
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E 29
4x1 + 6x2 48 (extrusin)
2x1 + 2x2 18 (embalaje)
2x1 + x2 16 (mezcla aditiva)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
x2
B
D
C
E
A
Solucin Optima (3, 6)
34x1 + 40x2 = 272
Encon trar la Solucin Visual
Figura 2.6 Trazando la segunda lnea iso-ganancias
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E 30
Paso 1. Desarrolle una ecuacin con una solaincgnita. Comience multiplicando amboslados de la ecuacin por una constante, demanera que el coeficiente de una de las dosvariables de decisin sea idnticoen ambas
ecuaciones. Luego, reste una ecuacin de laotra y resuelva la ecuacin resultante paraobtener el valor de su nica incgnita.
Paso 2. Sustituya el valor de esa variable de decisinen cualquiera de las restricciones originalesy resuelva la ecuacin para encontrar la otravariable de decisin.
Encon trar la so luc in algebraica
E t d l b i t l
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E 31
EJEMPLO 2.4Encuentre algebraicamente la solucin ptima para el problemade la compaa Stratton. Cul es el valor de Zcuando lasvariables de decisin tienen sus valores ptimos?
Encon trando algebraicamente laSoluc in pt ima
SOLUCINPaso 1: La Figura 2.6 muestra que el punto vrtice ptimose localiza en la interseccin de las restricciones deextrusin y de embalaje. Si escribimos las restriccionescomo igualdades, tenemos:
4x1 + 6x2 = 48 (extrusin)2x1 + 2x2 = 18 (embalaje)
E t d l b i t l
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E 32
Multiplicamos cada trmino de la restriccin de embalaje por 2.Ahora la restriccin de embalaje es 4x1 + 4x2 36. Despus,restamos la restriccin de embalaje de la de extrusin. Elresultado ser una ecuacin en la cual se ha suprimido x1. Aspues:
Encon trando algebraicamente laSoluc in pt ima
4x1 + 6x2 = 48
(4x1 + 4x2 = 36)
2x2 = 12
x2 = 6
Encon trando algebraicamente la
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E 33
Paso 2: Substituyendo el valor de x2 en la ecuacin derestriccin, obtenemos:
Encon trando algebraicamente laSoluc in pt ima
4x1 + 6(6) = 48
4x1
= 12
x1 = 3
As, el punto ptimo es (3, 6)
Esta solucin produce una ganancia total de 34(3) + 40(6) =$342. Es decir, la compaa Stratton deber producir laprxima semana, 300 pies del tubo tipo 1 y 600 pies de tubodel tipo 2.
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E 34
Restr icc in ob l igato r ia
Una restriccin obligatoria es un recurso el cuales completamente agotado cuando se utiliza lasolucin ptima, ya que limita la capacidad demejorar la funcin objetivo.
Sustituir la solucin ptima en la ecuacin de larestriccin y resolver. Si el valor en el ladoizquierdo es igual al valor del lado derecho, larestriccin es obligatoria.
Relajar una restriccin significa incrementar el
parmetro del lado derecho, si se trata de unarestriccin , o reducirlo si se trata de unarestriccin .
Relajar una restriccin significa hacerla menosrestrictiva, lo que posibilita encontrar una mejorsolucin.
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E 35
Variab les de ho lgura y de exceden tes
La restriccin mezcla aditiva, 2x1 + x2 16, puedeser re-escrita agregando la variable de holgura s1:
2x1 + x2 + s1 = 16
Despus, calculamos la holgura correspondiente ala solucin ptima (3, 6):
2(3) + 6 + s1 = 16s1 = 4
Para una restriccin restamos una variable deexcedentes en el lado izquierdo
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E 36
Anlis is de Sens ib il id ad
Rara vez se conocen con certeza los parmetrosde la funcin objetivo y las restricciones. Con frecuencia solamente son estimaciones de sus
valores reales, que no reflejan las estimacionesasociadas por ejemplo, en el problema de la compaa
Stratton, al ausentismo o transferencia de personas. Despus de haber resuelto el problema utilizando estos
valores estimados, el analista puede determinar en quemedida resultaran afectados los valores ptimos de lasvariables de decisin y el valor de la funcin objetivo Z,
si ciertos parmetros tuvieran valores diferentes. Estetipo de anlisis posterior a la solucin, que se realizapara responder preguntas del tipo que pasara si, sellama anlis is de sens ib ili dad.
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E 37
Anlis is de Sens ib il id ad
TABLA 2.1 | ANLISIS DE SENSIBILIDAD, INFORMACIN| PROPORCIONADA POR LA PROGRAMACION LINEAL
Trmino Definicin
Sensibilidaddelcoeficiente
Cunto el coeficiente de la funcin objetivo de una variable dedecisin debe mejorar (aumentando para maximizacin odisminuyendo para minimizacin), antes de que la solucinptima cambie y la variable de decisin se convierta en unnmero positivo.
Preciosombra
Es el mejoramiento marginal en Z (aumentando paramaximizacin o disminuyendo para minimizacin) a causa delrelajamiento de la restriccin en una unidad
Rango deoptimizacin Define un lmite inferior y uno superior, dentro de los cuales losvalores ptimos de las variables de decisin permanecen sin
cambios.
Rango defactibilidad
El intervalo (lmites inferior y superior) en el cual l parmetro dellado derecho puede variar mientras su precio sombra siguesiendo vlido.
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E 38
Usando p rec ios som bra
EJEMPLO 2.5
La compaa Stratton necesita respuestas a tres preguntasimportantes: Debera aumentar la capacidad en el rea deextrusin si cuesta un extra de $ 8 por hora por encima de loscostes normales reflejado en los coeficientes de la funcinobjetivo? Debera incrementar la capacidad de embalaje si
cuesta un adicional de $ 6 por hora? Debera comprar msmezcla aditiva?
SOLUCIN
Expandiendo la capacidad de extrusin se debera pagar unabonificacin de $8 por hora, pero el precio sombra de eserecurso es solamente $3 por hora. Sin embargo, expandir lashoras de embalaje costara solamente $6 por hora mas que elprecio reflejado en la funcin objetivo, y el precio sombra es$11 por hora. Finalmente, no debera comprar ms materialaditivo porque existe una holgura de 4 libras; entonces elprecio sombra es $0 para este recurso.
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E 39
Mtodo SimplexEs un procedimiento algebraico iterativo
El anlisis grfico permite comprender la lgicadel mtodo simplex
La solucin factible inicial comienza en un vrtice Iteraciones posteriores resultan en soluciones
intermedias mejoradas
En general, un vrtice no tiene ms que m
variables mayores que 0, donde mes el nmero derestricciones (sin contar las restricciones de nonegatividad)
Cuando ninguna mejora es posible, la solucinptima se ha encontrado y el algoritmo se detiene
Soluc in por Compu tado ra
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E 40
La mayora de los problemas deprogramacin lineal del mundo real seresuelven en una computadora, lo que
puede reducir drsticamente la cantidad detiempo que se requiere para resolverproblemas de programacin lineal
Existen muchos programas decomputadora que ayudan en esta tarea,desde el Solver de Microsofts Excel, paraproblemas de programacin linealmedianos
Sal ida de datos de la Computado ra
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E 41
Sal ida de datos de la Computado ra
Figura 2.7(a) Hoja de entrada de datos
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E 42
Sal ida de datos de la Computado ra
Figura 2.7(b) Hoja de entrada de datos
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E 43
Sal ida de datos de la Computado ra
Figura 2.8 Pantalla de resultados
Figura 2.9 Pantalla de intervalos
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Ejercic iosPara resolver en el aula
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E 46
Prob lema propuesto 1
O'Connel Airlines est considerando la posibilidad deproporcionar servicio areo desde su centro de operacionesen Cicely, Alaska, a Roma, Wisconsin, y Seattle, Washington.O'Connel tiene una terminal en el aeropuerto de Cicely, queopera 12 horas al da. Cada vuelo requiere de 1 hora determinal. Cada vuelo a Roma consume 15 horas de tiempo
de la tripulacin de pilotos y se espera que produzca unaganancia de $ 2,500. Sirviendo a Seattle utiliza 10 horas detiempo de tripulacin de pilotos por vuelo y dar lugar a unbeneficio de $ 2,000 por vuelo. El trabajo de la tripulacin depilotos est limitado a 150 horas por da. El mercado para elservicio a Roma est limitado a nueve vuelos diarios.
a. Utilice el mtodo grfico para maximizar los beneficios.
b. Identifique las limitaciones de holgura y excedentes, si loshay.
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Aplicacin E.1
La compaa Crandon Manufacturing produce dosprincipales lneas de productos, una sierra circular porttil yuna sierra de mesa de precisin. Hay dos operacionescruciales: la fabricacin y el montaje. La demanda mximadel mercado el prximo ao es de 3.500 sierras al mes paralos dos productos. La contribucin media a los beneficios y
gastos generales es de $ 900 por cada sierra circular y $ 600por cada sierra de mesa.
La administracin desea determinar la mejor combinacinde productos para el prximo ao con el fin de maximizar lacontribucin a los beneficios y gastos generales. Adems,est interesado en el beneficio de la ampliacin de la
capacidad o el aumento de la cuota de mercado.
Producto
Recurso Sierra Circular Sierra de mesa Capacidad Mxima
Fabricacin 2 hrs/mes 1 hrs/mes 4,000 hrs/mes