EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA - MYRMA
Ing. Jimmy J. Fernndez Daz - CIP 77446 1
EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA. MECNICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES.
ING. JIMMY FERNANDEZ DIAZ [email protected]
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Qu es una partcula?
Qu condiciones de equilibrio se dan en una
partcula?
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PROBLEMATIZACION
Por qu es importante en anlisis de equilibrio de
partcula en una concentracin de cargas?
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LOGRO DE LA SESION
Al trmino de la sesin, el estudiante desarrolla ejercicios
aplicativos de diversos tipos de concentracin de cargas
tanto en el plano como en el espacio, basado en la teora
de equilibrio de partcula, con precisin, criterio y actitud
crtica.
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Se dice que una partcula est en equilibrio si se encuentra en reposo o si
tiene una velocidad constante (aceleracin cero).
Para mantener el equilibrio o equilibrio esttico es necesario que se
cumpla la Primera Ley de Newton:
EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA
CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA:
La fuerza resultante que acta sobre una partcula debe ser cero.
Esta ley se deriva de la Segunda Ley de Newton F = ma. Como la
partcula est en equilibrio, es decir tiene velocidad constante o permanece
en reposo entonces la aceleracin de la partcula es cero a = 0,
simplificndose la expresin a F = 0
F = 0
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Un Diagrama de Cuerpo Libre DCL es una representacin aislada de
un cuerpo con respecto a su entorno, donde se representan todas las
fuerzas, conocidas y desconocidas, que actan sobre el.
Recuerde que, para que se cumpla la condicin de equilibrio: F = 0
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE - DCL:
TIPOS DE CONEXIONES:
En problemas de Equilibrio de Partculas frecuentemente se
consideran los siguientes tipos de conexiones:
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Resortes:
Cables y Poleas:
Los cables son considerados de peso insignificante
e indeformables y puede soportar slo una tensin
o jaln la cual acta en la direccin del cable.
Resorte elstico lineal o Cuerda
Donde: lo : longitud inicial del resorte (sin carga)
s : deformacin
l : longitud final del resorte (con carga)
Fuerza que acta sobre el Resorte:
F = ks Donde: k : constante de rigidez
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1. Trazar el perfil delineado:
Aqu la partcula debe estar aislada de su entorno.
Antes de aplicar las Ecuaciones de Equilibrio debemos considerar todas
las Fuerzas que actan sobre la partcula, para lo cual es necesario trazar
primero el DCL.
La construccin de un DCL implica seguir los siguientes pasos:
PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR UN DCL.
2. Mostrar todas las Fuerzas:
En el bosquejo, representar todas las fuerzas que actan sobre la
partcula: conocidas y desconocidas, activas y reactivas.
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3. Identifique cada una de las Fuerzas:
Las fuerzas conocidas se representan con sus propias magnitudes y
direcciones. Para las magnitudes y direcciones de las fuerzas
desconocidas se utilizan letras.
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EJEMPLO 01:
La esfera mostrada tiene una masa de 6 kg y est soportada tal como
se muestra. Trazar el DCL de la Esfera y del Nudo C.
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Solucin:
DCL de la Esfera DCL delNudo C
FCE
58.9 N
FCBA
FCE
(Peso que acta sobre la Esfera)
(Fuerza de la Cuerda CE que acta sobre la Esfera) (Fuerza de la Cuerda CBA
que acta sobre el Nudo)
(Fuerza de la Cuerda CE que acta sobre el Nudo)
(Fuerza del Resorte que acta sobre el Nudo)
Convertimos los 6 kg masa a Newtons (peso).
W = 6 kg (9.81 m/s2) = 58.9 N
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SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES
F = 0
Fx i + Fy j = 0 Fx = 0
Fy = 0
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EJEMPLO 02:
Determine la tensin necesaria en los cables BA y BC para sostener el
cilindro de 60 kg que se muestra en la figura.
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Solucin:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
DCL del Cilindro
Fy = 0:
TBD = 60 (9.81) N
DCL del Nudo B
Fx = 0:
Fy = 0:
TC cos45 - (4/5)TA = 0
TC sen45 + (3/5)TA 60(9.81) = 0
TC = 475.66 N = 476 N
TA = 420 N.
(Resp.)
(Resp.)
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EJEMPLO 03:
Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la
figura, de manera que la lmpara de 8 kg est suspendida en la posicin
que se muestra. La longitud no deformada del resorte AB es lAB = 0.4 m,
y el resorte tiene una rigidez de kAB = 300 N/m.
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Solucin:
Si se conoce la fuerza en el resorte AB, el alargamiento de dicho resorte lo
encontramos mediante F = ks.
DCL del Nudo A
Fx = 0:
Fy = 0:
TAB - TAC cos30 = 0
TAC = 157 N
TAB = 135.9 N
Peso de la Lmpara:
W = 8 (9.81) N.
W = 78.5 N.
Ecuaciones de Equilibrio:
TAC sen30 - 78.5 = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
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Estiramiento del resorte AB.
(Resp.)
Tenemos: F = k.s
TAB = kAB.sAB
135.9 N = 300 N/m.(sAB)
sAB = 0.453 m
Longitud alargada del resorte AB. lAB = lAB + sAB
lAB = 0.4 + 0.453
lAB = 0.853 m
Longitud del cable AC. 2 m = lAC cos30 + 0.853 m
lAC = 1.32 m
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SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES
F = 0
Fx i + Fy j + Fz k = 0
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
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EJEMPLO 04:
Una carga de 90 lb est suspendida del gancho que se muestra en la
figura. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con
rigidez k = 500 lb/pie, determine la fuerza presente en los cables y el
alargamiento del resorte para lograr la posicin de equilibrio. El cable
AD se encuentra en el plano xy y el cable AC en el plano xz.
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Solucin:
El alargamiento del resorte podr determinarse luego de haber calculado la
Fuerza que hay en l: F = ks.
DCL del Nudo A
Fx = 0:
Fy = 0:
FD sen30 - (4/5) FC = 0
Ecuaciones de Equilibrio:
-FD cos30 + FB = 0
Fy = 0: (3/5) FC - 90 = 0
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Estiramiento del resorte AB.
(Resp.)
Tenemos: F = k.s
FB = kAB.sAB
207.8 lb = (500 lb/pie)(sAB)
sAB = 0.416 pie
FC = 150 N
FD = 240 N
FB = 207.8 N
(Resp.)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
(Resp.)
(Resp.)
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EJEMPLO 05:
Determine la fuerza en cada cable que se ha usado para sostener la
caja de 40 lb que se muestra en la figura.
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Solucin:
Expresamos las fuerzas en cada cable de manera vectorial, para lo cual
necesitamos calcular el vector unitario en la direccin de cada fuerza:
F = F uF
)8()4()3(222
843 kjiFB F B
FB = -0.318 FB i 0.424FB j + 0.848FB k
)8()4()3(222
843 kjiFC FC
FC = -0.318 FC i + 0.424FC j + 0.848FC k
FD = FD i
W = -40 k
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Igualamos a cero las componentes i, j, k:
FB + FC + FD + W = 0 F = 0:
-0.318 FB i 0.424FB j + 0.848FB k - 0.318 FC i + 0.424FC j + 0.848FC k + FD i 40 k = 0
(-0.318 FB - 0.318 FC + FD) i + ( 0.424FB + 0.424FC) j + (0.848FB + 0.848FC 40) k = 0
Fx = 0:
Fy = 0:
-0.318 FB - 0.318 FC + FD = 0
0.424FB + 0.424FC = 0
Fy = 0: 0.848FB + 0.848FC 40 = 0
FB = FC = 23.6 lb
FD = 15 lb
(Resp.)
(Resp.)
Condiciones de Equilibrio: