TEMA II. FUERZA
El comportamiento de un objeto depende de las fuerzas que se ejercen sobre él.
Las leyes de la estática son las condiciones en las cuales permanece en reposo un objeto.
PROPIEDADES DE LAS FUERZAS
La fuerza es una influencia que al actuar sobre un objeto le altera su estado de
movimiento.
Primera propiedad .- La fuerza la aplica siempre un objeto material a otro.
Segunda propiedad .- Una fuerza se caracteriza por la magnitud, la dirección y
el sentido en el que actúa.
Unidades :
Sistema británico : la libra (lb)
Sistema internacional : el Newton (N)
Otro sistema : kilogramo-fuerza (kilopondio) (kp)
1 kp = 9.81 N 1 lb = 4.45 N
Tercera propiedad. (Tercera ley de Newton del movimiento) .- Siempre que
un objeto A ejerza una fuerza F sobre otro objeto B, el objeto B ejerce simultáneamente
sobre A una fuerza R. La fuerza R es de igual magnitud y dirección que la fuerza F pero
de sentido opuesto
Las dos fuerzas de cualquier pareja de fuerzas reciben el nombre de acción y
reacción.
Cuarta propiedad .- Si dos (o más) fuerzas se ejercen simultáneamente sobre
un mismo cuerpo, su efecto es el mismo que ejercería una sola fuerza igual a la suma
vectorial de las fuerzas individuales.
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Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un objeto permanezca en
reposo, es decir, esté en equilibrio, es necesario que la suma vectorial de todas las
fuerzas que se ejerzan sobre el objeto sea nula.
ALGUNAS FUERZAS CONCRETAS
Fuerza de gravedad
Es la fuerza que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos próximos a su
superficie. La fuerza de la gravedad también se llama peso.
Fuerza de un resorte
Fg = Kx donde : Fg = magnitud de la fuerza
K = constante de resorte
X = distancia de alargamiento del resorte.
El dinamómetro utiliza el alargamiento de un resorte para medir fuerzas.
Fuerza Normal
Cuando se sitúa un bloque encima de una mesa se ejerce una fuerza normal Fn en
el sentido inverso a la fuerza de gravedad. Entonces tendremos que Fn = - Fg.
Siempre que estén en contacto cuerpos sólidos, se ejercen fuerzas normales. Son
fuerzas reales y van acompañadas de pequeñas deformaciones de las superficies de los
cuerpos que les dan origen.
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Fuerza de rozamiento
El rozamiento, como fuerza normal, es una fuerza que una superficie aplica a un
cuerpo en contacto con ella. Sin embargo, mientras la fuerza normal es perpendicular a
la superficie, el rozamiento es paralelo a ella
El rozamiento estático es la fuerza que se aplica sobre un cuerpo en reposo,
mientras que el rozamiento cinético es el que se aplica en un cuerpo en movimiento,
La fuerza máxima de rozamiento estático depende de la naturaleza de las dos
superficies de contacto.
Fuerza máxima de rozamiento estático = Ff,max = µs • Fn
Donde : µs = coeficiente de rozamiento estático
Compresión y tracción
Un cuerpo sólido sometido a fuerzas compresivas opuestas F1 y F2 = - F1 por uno
y otro lado permanecerá en reposo.
El bloque estará en un estado de compresión
En el caso contrario, cuando las fuerzas tiran del bloque, estará en un estado de
tracción.
Cuerdas flexibles
Una cuerda flexibles posee algunas propiedades particulares:
1) Puede estar en estado de tracción, pero no es compresión.
2) Puede transmitir una fuerza según su longitud.
3) En ausencia de rozamiento, la tensión es la misma en todos los puntos de la
cuerda.
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SUMA DE VECTORES
Definición .- Un vector es una cantidad física, tal como una fuerza, que tiene
magnitud, dirección y sentido.
Método gráfico .- Cada fuerza se representa por una flecha cuya longitud
representa la magnitud de la fuerza de acuerdo con una escala elegida adecuadamente.
La dirección y sentido de la flecha son iguales a la dirección y sentido de la
fuerza que representan. Cuando se colocan las flechas con el origen de una en el
extremo de la otra, la suma de las fuerzas está representada por la flecha cuyo origen es
el de la primera y cuyo extremo es el de la última.
Método trigonométrico .- La trigonometría se basa en el hecho de que los
cocientes entre los lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales.
Seno senhipotenusa
opuesto
Coseno coshipotenusa
contiguo
Tangente tangcontiguo
opuesto
Hipotenusa2 = opuesto
2+ contiguo
2
22 bah
Método del teorema de los senos .- Primero se dibuja la representación gráfica
de las fuerzas y se determinan todos los ángulos interiores del triángulo de las fuerzas.
El teorema de los senos dice que todo triángulo de lados F1, F2 y F3 cuyos ángulos sean
21 , y 3 se cumplen las relaciones.
3
3
2
2
1
1
sensensen
FFF
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TEMA III. ANALISIS DE ESTRUCTURAS
EQUILIBRIO ROTATORIO
La primera ley de Newton es condición necesaria para que un cuerpo
permanezca en reposo, es decir, la suma de las fuerzas debe ser nula.
Ahora bien, las fuerzas pueden ser nulas y no estar en reposo.
La tendencia de una fuerza a originar la rotación alrededor de un eje depende de
la magnitud de la fuerza y su distancia al eje.
La regla del tablón se equilibra cuando el producto de la fuerza que ejerce en un
punto por su distancia al eje es igual al producto de la fuerza que ejerce el otro punto
por su distancia al eje.
Definición : El momento de una fuerza F respecto a un punto O es igual al
producto de la magnitud F por la distancia d del punto O a la recta soporte F.
= F•d
será positivo cuando F origine un movimiento en sentido antihorario y
negativo cuando sea en el sentido horario.
Unidades del momento:
Sistema británico : libra • pié
Sistema técnico : Kilopondio • metro (Kp • m)
Sistema Internacional : Newton • metro (N•m)
El momento presenta dos características importantes:
1- La magnitud y signo del momento creado por una fuerza dada dependen del
punto O del que se calcula.
2- La distancia d es la longitud de la perpendicular trazada desde O a la recta
soporte de la fuerza. La recta soporte es la recta cuya dirección es la de la
fuerza y que pasa por su punto de aplicación.
Un cuerpo que no tenga tendencia a iniciar rotación se dice que está en
equilibrio rotatorio . La condición necesaria para el equilibrio rotatorio es que los
momentos en sentido horario sean iguales que los momentos en sentido antihorario.
Condición del momento
Para que un cuerpo esté en equilibrio rotatorio, debe ser nula la suma de los
momentos debidos a las fuerzas que ejercen sobre dicho cuerpo.
Condiciones para el equilibrio estático
Para que un cuerpo esté en equilibrio estático, debe ser nula la suma vectorial de
todas las fuerzas que se ejerzan sobre un cuerpo (primera ley de Newton), así como la
suma de todos los momentos que se ejerzan respecto a un punto del cuerpo.
0F
0
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en donde, a fines de cálculo del
momento gravitatorio g , puede considerarse que actúa la fuerza de gravedad total.
En caso de un objeto uniforme, el centro de gravedad coincidirá con su centro
geométrico.
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Propiedades
1- La fuerza de la gravedad de un cuerpo da un momento nulo respecto a su
centro de gravedad. Esto es cierto porque, por definición, la recta soporte de
la fuerza de la gravedad, pasa por el centro de gravedad, por lo que la
distancia de este a la mencionada recta soporte es nula. Esta propiedad nos
da un método para localizar el centro de gravedad de cuerpos sencillos.
2- El centro de gravedad de un cuerpo rígido es el punto de equilibrio.
3- Para un cuerpo rígido, el centro de gravedad es el punto fijo respecto al
cuerpo, si bien no se encuentra necesariamente en el cuerpo.
4- En el caso de un objeto flexible, la posición del centro de gravedad respecto
al objeto varía cuando varía la forma del objeto.
DEFORMACION ELASTICA DE SOLIDOS
Cuando se aplican fuerzas a un sólido, siempre tiene pequeñas deformaciones
que se pueden medir con instrumentos especiales.
Definición : El esfuerzo normal s en un sólido es el cociente entre la tensión T
en un sólido y el área A de su sección recta.
A
Ts
Definición : La deformación normal (o alargamiento unitario) e es el cociente
entre la variación de longitud L de un sólido y su longitud original Lo.
oL
Le
En función a estas cantidades, se puede decir que:
E
Se y eES
donde E = la constante del módulo de Young
e = deformación.
Cizalladura
Cuando una fuerza actúa paralelamente a una superficie sólida, se denomina
fuerza de cizalladura o fuerza cortante.
Cizalladura = oL
Ltang
Las fuerzas aplican al sólido un esfuerzo cortante, el cual es, por definición, el
cociente entre la magnitud de la fuerza tangente a una cara dividida por el área de dicha
cara.
Esfuerzo cortante = A
F1
Si el esfuerzo cortante no es demasiado grande, está relacionado con la
cizalladura de la manera siguiente:
tangGA
F1
Donde G = constante llamada módulo de rigidez. Generalmente G es de 1/2 a
1/3 de E.
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VIGAS
Una viga es un miembro estructural largo y estrecho que se utiliza para soportar
esfuerzos normales y cortantes.
a
WL
a
LW
Fmax42
)2
1(
donde : W es la carga total
L es la longitud de la viga
a es el grosor de la viga
La tracción o compresión media T es la mitad de la tracción o compresión
máxima.
a
WLFT max
82
1
a
WL
A
Ts
8
La variación de la longitud de cada ala de la viga es:
AaE
WL
E
sLL
8
2
La flecha h o elasticidad central viene determinado por:
a
LL
EAa
WLh
3
)(
24 2
3
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TEMA IV . DINAMICA
SISTEMAS DE REFERENCIA
Definición : Un sistema inercial es un sistema de referencia en el cual se cumple
la primera ley de Newton del movimiento. Es decir, la fuerza resultante que se ejerce
sobre un cuerpo en reposo en un sistema inercial, es nula.
Principio de Galileo .- Todo sistema que se mueva con celeridad constante en
línea recta respecto a un sistema inercial, es otro sistema inercial. El movimiento con
celeridad constante a lo largo de una recta se llama movimiento rectilíneo uniforme.
Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un cuerpo permanezca en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema inercial, es necesario
que la suma vectorial de todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo sea nulo.
Principio de la relatividad .- Todas las leyes de la Física son ciertas en todos
los sistemas inerciales.
Según el principio de la relatividad, establece que todos los sistemas inerciales
son los sistemas de referencia apropiados para describir las leyes de la Física.
VELOCIDAD Y ACELERACION
Celeridad y velocidad.
Todo movimiento debe describirse relativamente a un sistema de referencia, el
cual tomaremos siempre inercial.
Definición : Un objeto se mueve con celeridad constante v si la distancia x que
recorre en un tiempo t viene dada por txv , cualquiera que sea el valor de t. La
constante v es la celeridad.
Unidades Sistema Británico ft/seg.
Sistema Internacional m/seg
Otras unidades km/h mill/h km/s
Definición : La velocidad de un cuerpo móvil es una cantidad vectorial cuya
magnitud es la celeridad v del cuerpo y cuya dirección y sentido son la dirección y
sentido del movimiento.
Definición : El movimiento rectilíneo uniforme es el movimiento de velocidad
constante. Como la velocidad es un vector, velocidad constante quiere decir dos cosas:
1) la celeridad v no varía (celeridad constante)
2) la dirección y sentido del movimiento no varían (movimiento a lo largo de
una recta).
Aceleración
Un cuerpo que no se mueve con celeridad constante se dice que está acelerado.
Un cuerpo acelerado, o no se mueve en línea recta, o no se mueve con celeridad
constante, o ambas cosas a la vez.
Definición : Para un cuerpo cuya velocidad es v1 en el instante t1 y v2 en el
instante t2, la aceleración a durante el intervalo de tiempo 12 ttt est
v
tt
vva
12
12 ,
donde y 12 vvv 12 ttt
Al igual que la velocidad, la aceleración también es una cantidad vectorial.
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Unidades Sistema Británico ft/seg2
Sistema Internacional m/seg2.
Definición : El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un
movimiento acelerado en el cual el móvil sigue una línea recta con aceleración a que es
constante tanto en magnitud como en dirección y sentido. En este movimiento, la
velocidad v del móvil tiene siempre la misma dirección pero es de magnitud variable.
En un instante t cualquiera, la magnitud v de la velocidad viene dada por
, donde vtavv 0 0 es la celeridad en el instante t = 0 y a es la magnitud de la
aceleración, la cual puede ser positiva o negativa, según que la celeridad del móvil
aumente o disminuya.
La fórmula general de la distancia x recorrida en un tiempo t por un móvil que
parte de reposo y se acelera con aceleración constante es 2
2
1atx .
Si el cuerpo parte de una celeridad inicial v0, la distancia recorrida en el tiempo t
viene dado por : 2
02
1attvx .
SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO
Un cuerpo sobre el cual se ejerce una fuerza total F tiene una aceleración a de
igual dirección y sentido que F. La magnitud de a es F/m, donde F es la magnitud de la
fuerza y m es la masa del cuerpo.
maF o m
Fa
Unidades Sistema Internacional 1N = 1 Kg m/seg2
1 Kp = 9’8 N
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Definición : La cantidad de movimiento p de una masa m es donde v es
la velocidad de la masa. El vector p tiene por magnitud mv y la dirección y sentido de v.
mvp
vmvvmmvmvppp )'(')'(
Sit
vm
t
p ; ma
t
p o lo que es lo mismo, F
t
p
Principio de conservación de la cantidad del movimiento. La cantidad del
movimiento total de un sistema de masas permanece invariable mientras no actúen las
fuerzas exteriores sobre el sistema.
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TEMA V . TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA
MAQUINAS SIMPLES
Definición .- Una máquina simple es un dispositivo mecánico, tal como un
sistema de palancas o poleas, que cambia la magnitud o la dirección de una fuerza
aplicada.
Definición .- El desarrollo mecánico real MA de una máquina simple es el
cociente entre su fuerza de salida y su fuerza de entrada.
F
FM A
'
Principio de las máquinas simples .- En toda máquina simple ideal, la distancia
d a lo largo de la cual se mueve la fuerza F a la entrada y la distancia d’ a lo largo de la
cual se mueve la fuerza F’ a la salida están relacionados por:
'' dFdF o '
'
d
d
F
F
El desarrollo mecánico ideal MI (también conocido como desarrollo mecánico
teórico) es igual al cociente d/d’.
'd
dM I
Cuando hay rozamiento, el producto F´d´ es menor que Fd.
El rendimiento e de una máquina real es:
Fd
dFe
''
En la máquina ideal el cociente será 1 y en la máquina real con rozamiento, el
cociente será menor de 1.
I
A
M
M
dd
FF
e
'
'
viene de I
A
M
M
d
d
F
F
Fd
dFe
':
'''
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Prensa hidráulica .- Consiste en dos cilindros de distintos tamaños comunicados
entre sí.
El volumen total del fluido no varía, pero una variación en el empuje del primer
cilindro se transforma en una variación en el empuje del segundo, en la misma
proporción del desarrollo MA de la máquina.
A= área del cilindro menor
A’ = área del cilindro mayor
dAV (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro
menor.
'' dAV (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro
mayor.
'' dAAd
A
A
d
dM I
'
'como la áreas de los cilindros es r
2 entonces:
2
2
2
2
'
'''
r
r
r
r
A
AM I
TRABAJO ENERGIA Y POTENCIAL
Definición .- El trabajo W que efectúa una fuerza constante F que actúa sobre un
objeto que sufre un desplazamiento d es :
cosdFW donde es el ángulo que forman F y d.
a)- Si F y d son paralelas, entonces 1 y
dFWb)- Si F es perpendicular a d, entonces 0cos y
00 WdFWc)- Si F y d son paralelas pero de distinto sentido entonces 1cos y
dFWFuerza normal .- La fuerza normal que se ejerce sobre un objeto que desliza por
una superficie es la fuerza que ésta ejerce perpendicularmente a sí misma.
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Rozamiento .- La fuerza de rozamiento que se ejerce sobre un objeto que
desliza por una superficie es la fuerza que ésta ejerce paralela a sí misma. Suele tener
sentido contrario al deslizamiento.
sFW gf W rozamiento = F rozamiento distancia de aplicación
Gravedad .- Cuando se desciende verticalmente desde un punto A hasta el C la
masa m , el trabajo que sobre ella efectúa:
hgmhFW gAC
Cuando el cuerpo se mueve diagonalmente deslizándose por un plano inclinado:
cosdgmWAB
y por tanto d
d
hgmWAB
Definición .- Una fuerza que efectúa el mismo trabajo WAB sobre un cuerpo que
vaya de A a B cualquiera que sea el camino seguido, se denomina fuerza conservativa.
hgmhhgmhgmhgmW BABAAB (
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Definición .- para toda fuerza conservativa se puede definir en cada punto una
unidad U, llamada energía potencial, tal que el trabajo efectuado por la fuerza al mover
el cuerpo de A a B a lo largo de un camino cualquiera que sea.
BAAB UUW
donde UA = m g hA y, donde hA es la altura de A sobre la superficie de
referencia.
El trabajo total efectuado sobre un cuerpo es la suma de todas las fuerzas
aplicadas que se ejercen sobre él.
gfATOTAL WWWW
WA = trabajo de las fuerzas aplicadas
Wf = trabajo de las fuerzas de rozamiento.
Wg = trabajo de las fuerzas de gravedad.
Si hay una fuerza de rozamiento Ff que actúe a lo largo de una distancia s, será:
sFW f
Si el cuerpo se mueve de A a B será:
BAg UUW
luego el trabajo total será:
)( BAfATOTAL UUsFWW
Si el cuerpo está en equilibrio o casi equilibrio tendremos
0)( BAfATOTAL UUsFWW
ENERGIA CINETICA
Teorema de las fuerzas vivas .- El trabajo total WTOTAL efectuado sobre un
cuerpo que se mueve desde una cierta posición inicial A hasta una cierta posición final
B es igual a la variación de energía cinética del cuerpo.
ABTOTAL KKWdonde , por definición , la energía cinética K de un cuerpo de masa m que se
mueve con celeridad v es:
2
2
1vmK
)()( ABABfTOTAL KKUUWW
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CONSERVACION DE LA ENERGIA
La temperatura es una manifestación de los movimientos de los átomos y
moléculas que componen toda materia. Los átomos y moléculas de un cuerpo se hallan
en movimiento constante, por lo que cada partícula tiene energía cinética. La suma de
todas esas energías se denomina energía térmica It del cuerpo. Además de su energía
cinética, las partículas también tienen energía potencial resultante de las fuerzas
atómicas que mantienen unidas las moléculas. La suma de dichas energías se denomina
energía química Iq . La suma de las energías química y térmica de un cuerpo es su
energía interna I.
qt IIILa elevación de la temperatura de un cuerpo está asociada a un aumento de su
energía térmica y por tanto a un aumento de su energía interna.
Todo el trabajo que se pierde en los rozamientos puede interpretarse por un
incremento de energía interna.
IsFW ff entonces:
KUIWa
Todo el trabajo aplicado efectuado sobre un sistema pasa a una u otra forma de
energía. Sea E la energía total del sistema, entonces:
KUIESi sobre el sistema no se efectúa ningún trabajo aplicado, entonces .0E
Conservación de la energía .- La energía no puede crearse ni destruirse, sino
transformarse de una forma en otra. En un sistema aislado, en el cual ni entra ni sale
energía, la energía total es constante. El trabajo es un medio por el cual se cede energía
a un sistema o se toma de él. Así pues , el trabajo (y el calor) puede considerarse como
energía en tránsito.
El rendimiento e de un motor es el cociente entre el trabajo aplicado producido y
la energía interna utilizada para producirlo.
.COMB
a
I
We
rendimiento =ecombustiblenergía
totaltrabajo
_
_
entonces:
AMBIENTEaECOMBUSTIBL IWI
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Entonces:
AMBCOMB IEI ,o bien 0AMBCOMB IIE
POTENCIA
Definición .- La potencia P de un ingenio es el trabajo que efectúa por segundo.
Así, si se efectúa un trabajo Wa en un tiempo T, la potencia será:
t
WaP
1 Newton = 1 Julio /segundo
La cantidad de combustible consumido por unidad de tiempo por un ingenio es:
e
P
t
e
Wa
Rt
IR COMB
La potencia de un ingenio es igual a la fuerza que ejerce multiplicada por la
velocidad con que se mueve esta fuerza.
Para una potencia dad, un ingenio puede mover lentamente una gran fuerza o
mover rápidamente una pequeña fuerza.
tvd ; entonces tvFdFWay
vFt
WaP
En vez de escribir la potencia en función de la fuerza, la podemos escribir en
función de su momento y de su velocidad angular
rnd 2
y la velocidad rrn
tt
dv 2
2
donde t
n velocidad angular =
tiempo
vueltasden _º
Por tanto con , entoncesvFP rFP 2
Si decíamos que rF , entonces tendremos 2PEn toda máquina ideal la potencia de entrada tiene que ser igual a la potencia de
salida
'' vFvF , entonces ''22
y ''
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En un freno motor, el momento se mediría por rTT )( 12
Energía hidroeléctrica acumulada por bombeo
La energía de una central generadora de potencia hidroeléctrica convencional
proviene de la energía potencial del agua almacenada detrás de una presa alta.
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TEMA VI . MOVIMIENTOS COMPLEJOS La segunda ley de Newton del movimiento determina por completo el
movimiento de un cuerpo en función de las fuerzas que actúan sobre él.
MOVIMIENTO PARABOLICO
Cuando se lanza un proyectil según cierto ángulo con la vertical, no se mueve en
línea recta arriba y abajo, sino que sigue una trayectoria curva llamada parábola.
Una vez lanzado el proyectil, la única fuerza que se ejerce sobre él es la fuerza
de la gravedad Fg y por tanto, su aceleración será:
gm
Fa
g
donde g es la aceleración de la gravedad constante
como g está dirigida verticalmente hacia abajo , los componentes x e y de a
serán:
0xa y 28.9seg
mga y
Si la velocidad inicial Vo del proyectil forma un ángulo con el eje x, las
componentes x e y de Vo serán:
cosoox VV senooy VV
La componente x será constante para la velocidad y para un tiempo t
determinado.
tVx ox
La aceleración de la componente y también será constante.
En un instante t la velocidad vertical del proyectil será:
tgVV oyy
y su posición será:
2
2
1tgtVy oy
El movimiento del proyectil es, pues, una combinación de movimiento uniforme
en la dirección x y de uniformemente acelerado (aceleración constante) en la dirección
y.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
El movimiento circular uniforme es un movimiento a lo largo de una
circunferencia de radio r con una celeridad constante v.
Aún cuando la celeridad se mantiene constante, la aceleración no es nula porque
la dirección del vector velocidad varía continuamente.
En caso del movimiento circular uniforme, la aceleración se denomina
aceleración centrípeta porque en todo momento está dirigida hacia el centro de la
circunferencia.
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La magnitud de la aceleración está relacionada con la celeridad v y el radio r
por:
r
va
2
Como la celeridad v es constante, la distancia s que recorre el cuerpo a lo largo
de la circunferencia en un tiempo t viene dada por:
tvsPara que un cuerpo permanezca en movimiento circular uniforme, la segunda ley
de Newton exige que sobre él actúe una fuerza de magnitud:
r
vmamF
2
dirigida hacia el centro de la circunferencia.
Periodo es el tiempo que tarda un objeto en dar una revolución completa. Se
verifica por :
v
s
y la frecuencia es las veces que se produce una revolución por unidad de tiempo.
sf
1f
La aceleración centrípeta, también puede venir dada en función del coeficiente
de rozamiento y de la gravedad.
gsa
MOVIMIENTO EN PRESENCIA DE UNA FUERZA GRAVITATORIA
Ley universal de gravitación
Entre dos cuerpos cualquiera de masas m1 y m2 existe una fuerza atractiva
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de las
distancias que las separa.
2
21
r
mmGF
donde r es la distancia que las separa y G es una constante universal de la
naturaleza. En unidades del Sistema Internacional:
G = (6’673 ± 0’003 • 10-11
N•m2/Kg
2.
Energía potencial
Cuando una masa m está próxima a la superficie terrestre, la fuerza gravitatoria
que se ejerce sobre ella es m•g y su energía potencial es
hgmU
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Cuando la masa se mueve lejos de la tierra, la fuerza gravitatoria que se ejerce
sobre ella viene dada por la ecuación: 2
r
RgmF T
g cuando r > RT.
Y la energía potencial por
r
RRgmU T
T 1
Velocidad de escape
TRgv 2
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
La fuerza total que se ejerce en una masa suspendida entre dos fuerzas opuestas,
se denomina como fuerza del oscilador armónico simple y viene dada por:
xkFDonde k es una constante y x es la distancia de la posición de la masa hasta su
posición de equilibrio.
Cualquiera que sea la posición de la masa, la fuerza tiende a llevarla a su
posición de equilibrio. Esta fuerza se denomina fuerza restauradora. Una masa sometida
a una fuerza restauradora oscilará en torno a su posición de equilibrio.
Cuando la fuerza restauradora sea la fuerza del sea la fuerza del oscilador
armónico, el movimiento resultante se denomina movimiento armónico simple.
La posición x en cualquier instante t de una masa que ejecute un movimiento
armónico simple viene dada por:
tAx2
cos
donde
k
m2
es el periodo y A es la amplitud del movimiento.
La velocidad y la aceleración de la masa vienen dadas por:
tA
v2
sen2
vMAX cuando x = 0A
vMAX
2
tAa2
cos2
2
aMAX cuando x = A AaMAX
22
NOTA : t2
normalmente se da en radianes. 360º = 2 rad. = 1 rev.
La energía potencial de una masa sometida a la fuerza de oscilador armónico es :
2
2
1xkU
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Al girar la masa en uno u otro sentido en torno a su posición de equilibrio, la
suma de sus energías cinética y potencial se mantiene constante.
EkxmvUKE 22
2
1
2
1
En el caso de un péndulo simple, una masa m está suspendida de un hilo de
longitud L. Cuando tiramos de la masa hacia un lado y la soltamos, oscila recorriendo
un arco en torno a su posición más baja (posición de equilibrio).
Cuando se tira de la masa un distancia horizontal x respecto a su posición de
equilibrio, se eleva una distancia vertical h, con lo que la energía potencial se hace igual
a :
mghU
Se puede comprobar que L es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo de
catetos x e y, entonces: 222 yxL
Pues hLy , por lo que podemos
escribir:
222
222
2
)(
hLhLx
hLxL
de donde :
222 hxLh
Así pues, la energía potencial será:
2
2
1x
L
mgmghU
En consecuencia, el periodo del péndulo será:
g
L
Lmg
m22
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO
Llamaremos cuerpo rígido a un objeto extenso que no altera su forma de
moverse.
Al girar el cuerpo, cada uno de sus puntos describe una circunferencia centrada
en A. El radio de la circunferencia es igual a la distancia r de A al punto. Como el
cuerpo es rígido, todos los puntos girarán el mismo ángulo en un mismo tiempo t.
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Definición : La velocidad angular de un punto que se mueve sobre una
circunferencia es :
tdonde es el ángulo que ha girado el objeto en un tiempo t.
Los ángulos pueden medirse en grados, radianes y revoluciones.
Una circunferencia completa corresponde a 360º, 2 radianes o 1 revolución.
La unidad del sistema internacional son radianes/segundo.
rsr
s
Sit
r
t
s tendremos que rv
Donde v será la velocidad lineal y t
es la velocidad angular en radianes
por segundo.
La energía cinética del elemento de superficie i-ésimo es :
22
2
1
2
1iiiii rmvmK
La energía cinética total del cuerpo rígido es la suma de las energía cinéticas de
todos los elementos de superficie.
iKK
22
2
1iirmK
2
2
1IK
siendo:
2
iirmIdonde I será la constante llamada momento de inercia del cuerpo rígido.
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TEMA VII. MECANICA DE FLUIDOS Un fluido es una sustancia no rígida (gas o líquido) que no conserva su forma al
aplicarle fuerzas deformadoras.
La mecánica de fluidos es el estudio de los fluidos en reposo y en movimiento.
HIDROSTATICA
La Hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que trata de los fluidos en
reposo. Este fluido permanecerá en reposo siempre y cuando no se apliquen sobre él
fuerzas deformadoras.
Propiedad fundamental de los fluidos.
Toda fuerza ejercida por un fluido en reposo o sobre él, debe ser perpendiculares a la superficie sobre la cual actúa. En caso de aplicarse una fuerza paralela, esta provocará un desplazamiento en el fluido. Definición .- La presión p es la fuerza por unidad de superficie que se ejerce
perpendicularmente sobre un superficie. Así pues, la presión que ejerce una fuerza F
sobre la superficie A.
La fuerza F es perpendicular a la superficie. Como todas las fuerzas que se
aplican son perpendiculares a las superficies sobre las que actúan, se puede escribir:
A
FP
Unidades = La unidad de presión en el Sistema Internacional es el Pascal
1 Pascal = 1 Newton / metro2
1 Pa = 1 N/m2.
PRINCIPIO DE PASCAL
En ausencia de gravedad, es decir, si se desprecia el peso del fluido, la presión
en un fluido, la presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos.
Para ver como se aplican en la práctica las propiedades de los fluidos,
consideremos un fluido contenido en un cilindro cuya sección recta tenga un área A. Si
se aplica una fuerza F sobre el émbolo móvil del cilindro, el fluido deberá aplicar una
fuerza opuesta F’ sobre el émbolo cuando esté en reposo.
Supongamos que se conectan
dos cilindros de distinta sección. El
equilibrio de las presiones vendrá
determinado por:
'
'
A
F
A
FP
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PRESION HIDROSTATICA
El principio de Pascal solo es válido si se desprecia la fuerza de la gravedad que
se ejerce sobre el fluido.
Se aplica una fuerza F perpendicularmente al
émbolo de área A, con lo que la presión directamente
bajo el émbolo es:
A
FPo
La presión Po será la que existe en la parte
superior del fluido. En la parte inferior del fluido,
existirá una presión Ph, que en caso de despreciar la
fuerza de gravedad del fluido, Po = Ph.
A causa de la gravedad, la fuerza total hacia
abajo que se ejerce sobre el fluido es F + Fg. Como está
en equilibrio, existirá una Fn = -(F + Fg) que la base del
cilindro ejerce sobre el fluido. La reacción a Fn es la
fuerza Rn = - Fn = F + Fg. Por tanto la presión Ph de la
base será:
A
FP
A
F
A
F
A
FFP
g
o
gg
h
La presión en la parte inferior del fluido es mayor que en la parte superior a
causa del peso del propio fluido.
El aumento de la presión con la profundidad, está relacionado con la densidad
del fluido.
La densidad es:
V
m
volumen
masa densidad
Así pues, como el volumen contenido es hAV , entonces la masa será:
hAmy el peso del fluido será:
ghAgmFg
En consecuencia, el incremento de la presión en la base del cilindro debido al
peso del fluido es:
hgA
Fg
Este incremento se llama presión hidrostática. Entonces, la presión total en la
base del cilindro será:
hgPP oh
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Ley de la presión hidrostática
La presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos que estén a
igual nivel y la diferencia de presión entre dos puntos A y B situadas a profundidades hA
y hB es:
)( BABABA hhghghgPPdonde hA y hB son positivas cuando se miden hacia abajo desde la superficie
INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LA PRESION
BAROMETRO
El barómetro es un instrumento para medir la presión atmosférica. Consta de un
tubo de vidrio recto, de longitud superior a 76 cm, cerrado por un extremo. Se llena el
tubo de mercurio y luego se invierte introduciéndolo en una cubeta de mercurio. La
columna de mercurio desciende a partir de su extremo cerrado creando una cámara de
vacío en su parte superior.
La presión Po en un punto O de la superficie de la columna es la presión
atmosférica.
La presión PA en un punto A del interior del tubo es:
hgPP BA
donde la presión PB es la presión en la parte superior de la columna, es la
densidad del mercurio y h es la altura de la columna de mercurio.
MANOMETRO
El manómetro consiste en un tubo en forma de U parcialmente lleno de líquido
que suele ser mercurio o agua. Se monta el tubo en posición vertical con una regla
graduada detrás. Un extremo del tubo se une a un recipiente cuya presión P queremos
medir y el otro extremo está abierto a la atmósfera. Como la presión de la parte abierta
del tubo es la presión atmosférica, la presión PA en un punto A del líquido del
manómetro que se halla a una distancia h del extremo superior vendrá dada por:
hgPP OA
donde es la densidad del líquido del tubo.
Definición : Se llama presión manométrica Pm a la diferencia entre la presión P
en un fluido y la presión atmosférica Po existente.
om PPPdonde Pm = presión manométrica
P = presión absoluta
P0 = presión atmosférica
EMPUJE
Todo fluido ejerce una fuerza de empuje Fb sobre cualquier objeto sumergido en
él. A dicha fuerza se le da el nombre de empuje.
Principio de Arquímedes .- El empuje que ejerce un fluido sobre un cuerpo es
igual al peso del fluido que desaloja el cuerpo.
Si el cuerpo está sumergido totalmente, el volumen del fluido desalojado es igual
al volumen del cuerpo.
Si este está parcialmente sumergido, el volumen desalojado es igual al volumen
de la parte sumergida del cuerpo.
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El volumen VS será la parte del bloque sumergida en el fluido.
Teniendo en cuenta que el volumen del objeto es igual al volumen del fluido
desalojado y, conociendo la densidad del fluido, podemos calcular su masa:
Sff Vm
El empuje es igual al peso del fluido desalojado.
gmF fb
Si el bloque se halla en equilibrio estático, entonces, el empuje hacia arriba
tendrá igual magnitud que el peso Wo del bloque.
bo FW gmgm fo
por lo que fo mm
Un objeto flotará cuando su densidad sea menor que la del fluido en que se
coloca.
La fuerza FB que ejerce el fluido sobre la cara superior está dirigida hacia abajo
y su magnitud es APF BB , donde A es el área de dicha cara y PB es la presión
del fluido a dicha profundidad.
La fuerza FA que se ejerce sobre la cara inferior está dirigida hacia arriba y su
magnitud es APF AA , donde A es el área de dicha cara y PA . La suma de estas
fuerzas tiene por magnitud:
APAPFF BABA
y esta dirigida hacia arriba ya que FA > FB, entonces :
hgAhhgAFF fBAfBA )(
donde f es la densidad del fluido y h la altura del bloque.
Teniendo en cuenta que el volumen del bloque es igual a A * h, tendremos que
el empuje es igual a:
gmgVFFF ffBAB
La aceleración en un fluido viene determinada por:
m
mfga
DENSIDAD RELATIVA
Definición : La densidad relativa S de un cuerpo es el cociente entre la densidad
o del cuerpo y la densidad w del agua.
w
oS
Cuando se trata de medir la densidad relativa de un objeto sumergido en otro
fluido que no sea agua, se mide con un dinamómetro en el aire y luego en el fluido.
Entonces tendremos:
4www.cursodeacceso-uned.com
babw
oa
FTFgmT
gVgmT
Entonces tendremos que
a
w
w
o
T
T1
o sea:
wa
a
a
ww
o
TT
T
T
TS
1
1
La densidad de un líquido se mide con un areómetro.
Sea VS el volumen del areómetro sumergido y W el peso total del areómetro. En
equilibrio, el empuje es igual al peso, luego:
WFb o WgVSf
Así pues la densidad del líquido es inversamente proporcional al volumen
sumergido.
gV
W
S
f
La densidad relativa se puede también calcular en base a la masa del cuerpo
medido en el exterior y en el interior de un fluido por:
ac
c
mm
mS
mc = masa medida en el exterior.
ma = masa medida en el fluido.
HIDRODINAMICA
La Hidrodinámica es el estudio del movimiento de los fluidos.
Movimiento estacionario
La velocidad y la presión del fluido en cada punto varían de manera rápida e
imprevisible.
En el movimiento estacionario, podemos considerar que el fluido se mueve
siguiendo líneas fijas, llamadas líneas de corriente.
En cada punto, la dirección de la velocidad del fluido es tangente a la línea de
corriente que pasa por dicho punto. Dos líneas de corriente no pueden cortarse nunca,
por que ello significaría que el fluido tendría dos velocidades en un mismo punto.
El volumen de fluido que atraviesa una superficie en un tiempo t vendrá dado
por:
AtvAdVdonde A es igual al área de la sección y d es igual a la distancia.
Si la cantidad total de fluido que circula entre las dos secciones de un mismo
conducto permanece invariable, el volumen que ha penetrado en la sección mayor por
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unidad de tiempo, debe ser igual al que ha salido por el de menor sección. A esto se le
llama condición de continuidad.
Según esta condición de continuidad, supondremos:
''' AtvAtvVVluego:
'' AvAv velocidad x área
Definición : El caudal Q de un fluido es el volumen de fluido que atraviesa por
segundo una superficie dada. El caudal a través de la superficie S es:
t
Atv
t
VQ
o sea AvQ
Ecuación de Bernoulli
La masa m del fluido del volumen V es:
VmComo el fluido de este volumen tiene una velocidad v, la energía cinética de esta
masa es:
22
2
1
2
1vVvmK
Cuando la masa pasa a V’ su energía cinética K’ se convierte en :
22 '2
1'
2
1' vVvmK
Como v’ es mayor que v, al pasar de V a V’ aumenta la energía cinética de la
masa. La variación K – K’ de la energía cinética es igual al trabajo total efectuado por
las masas.
Las fuerzas que efectúan trabajo sobre un fluido son las de rozamiento, gravedad
y la debida a la presión del propio fluido.
Tendremos que en la primera sección del conducto:
A
FP
y en la otra:
'
''
A
FP
En este caso, la presiones no son iguales puesto que el fluido no está en reposo.
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Como el fluido del volumen V recorre una distancia d hacia la derecha, la fuerza
APF , efectúa el trabajo :
VPdAPdFWAl mismo tiempo el fluido de volumen V’ recorre una distancia d’ hacia la
derecha, la fuerza ''' APF , efectúa el trabajo :
VPVPdAPdFW '''''''''Entonces el trabajo total será:
VPPWWWp )'('
Teniendo en cuenta que el trabajo es igual a la variación de energía cinética,
tendremos:
22
2
1'
2
1)'( vVvVVPP
22
2
1'
2
1)'( vvPP
por tanto:
PvPv 22
2
1''
2
1
Si la tubería no es horizontal, además de la presión del fluido, también efectúa
trabajo la fuerza de gravedad
'' hgVhgVhgmhgmWg
Entonces, la ecuación de Bernoulli quedará:
hgPvhgPv 22
2
1'''
2
1
Teorema de Torricelli
La cantidad de líquido que sale por unidad de tiempo a través de un orificio
practicado en la pared de un depósito se puede calcular mediante la ecuación de
Bernoulli.
)'(2'2 hhgvNos dice que la velocidad de salida es igual a la de una masa que caiga desde
una altura vertical 'hhh
El caudal de salida del líquido es:
hgAvvAvQ 2'
donde es la distancia que separa el orificio de la superficie libre del líquido y
Av es la vena contracta, que es la mínima área de la sección del chorro que sale a través
del orificio. La vena contracta se encuentra un poco más allá del orificio. En caso de un
orificio de área A, la vena contracta Av será:
h
65.0AAv
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Tubo de Venturi
La diferencia de presiones, está relacionada con la diferencia de alturas por:
hgPP '
El caudal es el mismo en la tubería principal que en el tubo de Venturi, y viene
dado por:
'' vAvAQentonces tendremos
vA
Av
''
y:
PvPvA
A 22
2
2
1'
'2
1
de donde:
1'2
1
'
2
2
2
A
A
PPv
Así pues, la velocidad del fluido en la tubería principal será:
1'2
1
'
2
2
A
A
PPv
y el caudal:
1'2
1
'
2
2
A
A
PPAvAQ
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VISCOSIDAD
La propiedad fundamental de los fluidos, señala que un fluido en reposo no
ejerce fuerzas paralelas a una superficie. En cambio, un fluido que se mueve sobre una
superficie ejerce una fuerza FII paralela a ella de dirección y sentido de movimiento.
La reacción FV a FII es una fuerza que la superficie ejerce sobre el fluido y cuyo
sentido es opuesto al del movimiento.
Esta llamada fuerza viscosa, desempeña en el movimiento del fluido un papel
semejante al del rozamiento de un sólido sobre otro.
Como el fluido ejerce una fuerza FII paralela a S1, habrá que aplicar a esta
superficie una fuerza exterior Fa = FII para mantenerla en reposo. La fuerza viscosa FV,
que es la fuerza que la superficie S1 aplica al fluido, es la reacción a FII. Por lo que:
aaIIV FFFF )(
La magnitud de FV es directamente proporcional a la celeridad v de S2 y al área
A de S1 e inversamente proporcional a la distancia d que separa dichas superficies.
d
vAFV
donde es una constante, llamada coeficiente de viscosidad, que es
característica del fluido.
CIRCULACION DE UN FLUIDO POR UN TUBO
En la circulación de un fluido por un tubo, el fluido que circula sobre el eje del
tubo, lleva una aceleración máxima y, si hiciéramos capas concéntricas, la velocidad iría
descendiendo hasta llegar a la superficie de contacto con el tubo, donde la velocidad es
0.
El área del tubo se determinará por:
LrA 2Entonces, si se sustituye en la ecuación de la viscosidad tendremos:
mm
V vLr
vLrF 4
4
Si se desprecia la gravedad y se introduce un fluido en un tubo de área A a una
presión P1, tendremos a la salida una presión P2 y quedará:
2
212121 )()()( rPPAPPAPAPe igualando ecuaciones tendremos:
2
21 )(4 rPPvL m
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Por tanto la celeridad de un fluido en un tubo teniendo en cuenta la diferencia de
presiones vendrá dada por:
L
rPPvm
4
)( 2
21
Sabiendo que el caudal es:
mvrQ 2
2
1
tendremos que:
L
PPrQ
8
)( 21
4
Si tenemos una bomba que bombea el líquido, necesitaremos una potencia de
bombeo que de una fuerza:
APPF adex )(
donde:
Pex = Potencia de expulsión
Pad = Potencia de admisión
El trabajo efectuado por la bomba para mover un fluido una distancia d será:
dFWy la potencia entregada a la bomba será:
vFt
dF
t
WP
donde v es la velocidad media del fluido.
Entonces tendremos que:
vAPPvFP adex )(
o sea
QPPP adex )(
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TEMA VIII. ESTRUCTURA DE LA MATERIA
ATOMOS Y MOLECULAS
Definición: Llamamos elemento químico a una cualquiera de las 104 sustancias
conocidas que no pueden descomponerse en sustancias más simples por métodos
químicos.
Un elemento se compone de un gran número de unidades iguales llamadas
átomos.
Definición: Una molécula es un ente microscópico compuesto de dos o más
átomos unidos por fuerzas atómicas. Los átomos pueden ser de elementos iguales o de
elementos distintos.
Definición: Un compuesto químico es una sustancia constituida por moléculas
iguales formadas por átomos de dos o más elementos.
Masas atómicas:
La masa de un átomo puede medirse con gran precisión por medio de un
instrumento llamado espectrómetro de masas.
La masa de un átomo se suele referenciar a la del átomo de carbono (12), y se
suele medir en unidades de masa atómica (u).
La masa de una molécula, a la que llamamos peso molecular, es igual a la suma
de las masas de todos sus átomos.
uuummm OHOH 01.18)00.16)(1()008.1)(2(22
Para convertir las unidades de masa atómica en gramos, es necesario tener en
cuenta esta relación:
uNg A1 o bien gN
uA
11
Donde es el número de Avogadro y equivale a .AN2310022.6 x
Definición: Un mol es una cantidad de sustancia que contiene moléculas. AN
Ejemplo: ¿Cuál es la masa en gramos de un mol de agua?
gN
gN
umAA
OH
1818)18(18
2
por lo que la masa de moléculas de agua será: AN
ggN
NmNA
AOHA 1818
2
Ejemplo: ¿Cuál es el número n de moles de 50 g de oxígeno?
56.132
50
32)0.16)(2()2(2
g
gn
uumm OO
LAS TRES FASES DE LA MATERIA
La materia se presenta normalmente en una de estas tres fases: gaseosa, líquida o
sólida. Muchas sustancias pueden pasar de una fase a otra mediante cambios de
temperatura y presión
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Un sólido se caracteriza por tener un volumen y una forma definidos. Su forma
solo puede cambiar al aplicarle una presión considerable. Las moléculas del sólido están
fuertemente agrupadas en posiciones fijas.
Un líquido se caracteriza por tener un volumen definido, pero no una forma
definida. Los líquidos fluyen para adoptar la forma del recipiente que los contiene. Su
volumen permanece constante a pesar de las variaciones de su forma. Las moléculas de
un líquido están casi tan juntas como las de un sólido.
Un gas se caracteriza por no tener ni un volumen definido ni una forma definida.
El gas se dilata para llenar cualquier recipiente cerrado que lo contenga y, si fuera
abierto, el gas escaparía por la abertura. En un gas diluido, las moléculas están tan
separadas unas de otras que solo ejercen fuerzas cuando chocan. Las moléculas del gas
se moverán en línea recta hasta que choquen unas con otras o con las paredes del
recipiente.
TEMPERATURA
Un instrumento que mide temperaturas se denomina termómetro. El termómetro
es una columna de mercurio introducida en un tubo cerrado. El mercurio se dilata o
contrae más que el vidrio en función del calor o frío aplicado.
Esta forma de medir la temperatura, dependerá del líquido contenido en el tubo
de vidrio. Para ser más precisos convendrá utilizar un termómetro lleno de un gas
enrarecido, conectado a un manómetro de mercurio.
Definición: La temperatura fundamental o absoluta T es, por definición:
hP
PaT
donde P es la presión en el depósito a esa temperatura, es una constante
arbitraria y es la presión absoluta midiendo en una mezcla de agua y hielo. La
constante se elegirá de manera que haga que la diferencia entre la temperatura del vapor
de agua y la temperatura del hielo sea exactamente igual a 100 unidades de
temperatura, o Kelvin (K)
a
hP
vT hT
Cero absoluto Th Tv
Kelvin 0k
273.15k
372.15k
Celsius 0º 100º
GAS IDEAL
Ley de los gases perfectos
Definición: Llamamos gas ideal o gas perfecto a un gas cuyas moléculas estén
tan separadas que permanezcan en contacto una contra otra un tiempo relativamente
pequeño. La separación aumenta cuando disminuye la densidad de las moléculas. Esta
densidad es el cociente N/V (numero de moléculas / volumen que éste ocupa).
Así pues, la presión de un gas perfecto en el punto de hielo será: hP
V
NbPh
donde es una constante independiente de la composición química del gas. b
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Ta
bNpV
El número N de moléculas de un gas es:
AnNNdonde n es el número de moles de gas.
Según esto, podremos escribir:
Ta
bNnpV A
La cantidada
bNAes una constante de los gases perfectos R. Sus dimensiones
son (energía / kelvin). Y su magnitud es
KJa
bNR A /8314
Entonces, en función de R tendremos:
nRTpVque constituye la ley de los gases perfectos.
Ejemplo : ¿Cuál es la densidad del oxígeno en condicionesnormales de presión y temperatura? (0º y 1 atm)
Se usa la ley de los gases nobles para calcular la cantidad de moles n en una
unidad de volumen V = 1 m3, a una presión p = 1 atm. = 1,01 x 10
5 Pa Y a una
temperatura T = 273 º K.
molKKJ
mPa
RT
pVn 5,44
)273)(/31,8(
)1)(1001,1( 35
Si 3425,1
425,11425)325,44(322
mkgd
kgggmolmgmol mO
Presión, temperatura y energía cinética
La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene es
el resultado de los choques de las moléculas del gas contra las paredes. La presión
puede calcularse en función de la energía cinética media de las moléculas de un gas
perfecto y relacionar esta energía con la temperatura.
Una molécula que choca contra una pared a una velocidad v rebotará a una
velocidad –v, por tanto
mvpI y mvvmpF )(con lo que la variación de la cantidad de movimiento será:
mvmvmvppp IF 2)()(
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entonces la fuerza que la pared ejerce sobre la molécula vendrá dada por:
t
mv
t
pFm
2
donde es el tiempo que la molécula está en contacto con la pared. t
Y la fuerza de reacción será:
t
mvFF mw
2
El número de moléculas contenidas en un recipiente viene dado por:
ANnV
tvAN
En un cilindro, se supone que 1/3 de las moléculas se mueven en una de las tres
direcciones perpendiculares a las paredes, así pues, la fuerza que ejercen estas
moléculas sobre las paredes vendrá dada por:
2
3
1mv
V
AnNF A
y la presión que se ejerce por:
2
3
1mv
V
nN
A
Fp A
en función de la energía cinética media K , la presión será:
V
KnNp A
3
2
recordemos que la energía cinética media viene dada por:2
vmK (masa por
velocidad media al cuadrado)
La presión también se puede relacionar con la temperatura por:
V
nRTp
Si se igualan las dos ecuaciones de presión, tendremos la relación entre
temperatura y energía cinética:
kTN
RTK
V
KnN
V
nRT
A
A
2
3
2
3
3
2
Donde ANRk se denomina constante de Boltzmann, que es igual a
J/K1,38x10-23
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GASES REALES
La presión y el volumen de un gas real solo está relacionados con los gases
perfectos cuando su densidad es muy pequeña. Al aumentar la presión de un gas
disminuye su volumen pero aumenta su densidad.
Definición : La temperatura crítica de un gas es la temperatura por encima de la
cual todas las isotermas (curva que da la variación de presión de un gas a una
temperatura fija) son curvas lisas sin puntos angulosos.
Un tramo horizontal en la isoterma indica que se puede reducir el volumen
ocupado por un gas sin aumentar la presión. Ello es posible porque al comprimir el gas,
parte de él se condensa pasando a fase líquida. Esto sólo podrá hacerse si la temperatura
es inferior a la temperatura crítica del gas.
Definición : La presión de vapor pv es la presión correspondiente al tramo
horizontal de una isoterma. Es la presión en la cual pueden coexistir el vapor y el
líquido a la temperatura de la isoterma.
Definición: El punto de ebullición de un líquido es la temperatura a la cual la
presión de vapor se hace igual a la presión atmosférica. A esta temperatura se forman
burbujas de vapor en el interior del líquido.
Ley de Dalton de la presión parcial. En una mezcla de gases perfectos, cada
gas componente ejerce una presión parcial proporcional a su concentración molecular.
La presión total de la mezcla será, pues, igual a la suma de las presiones parciales de
todos los gases componentes.
Definición: Se llama humedad relativa del aire al cociente entre la presión
parcial real del H2O en el aire y la presión parcial del H2O máxima posible a la
temperatura existente en el aire. Se expresa en %.
Definición: El punto de rocío del aire es la temperatura a la cual el aire tendría
una humedad relativa del 100 %.
SOLIDOS
Las moléculas de un sólido, como las de un líquido están tan próximas entre sí
que se ejercen fuerzas intensas. En un sólido, las moléculas tienen posiciones fijas que
no pueden variar.
Definición: Un cristal es un sólido en el cual las moléculas están distribuidas
según una red tridimensional regular que se repite por todo el sólido. La distribución de
las moléculas determina la forma exterior del cristal.
Definición: Un sólido cristalino es el que está constituido por un monocristal o
por muchos microcristales fundidos juntos
L propiedad más característica de un sólido cristalino es la existencia de una
temperatura definida Tf, llamada temperatura de fusión, a la cual el sólido se transforma
en líquido
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TEMA IX. CALOR El calor es energía que pasa espontáneamente de un cuerpo más caliente a otro
más frío.
PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
Calor y trabajo
La energía puede pasar del sistema al ambiente, o recíprocamente, de dos
maneras esencialmente distintas.
Definición: El calor es energía que pasa de un objeto a otro a causa de existir
entre ambos una diferencia de temperatura.
Definición: El trabajo es energía que pasa de un cuerpo a otro a causa de que
una fuerza F desplace su punto de aplicación una distancia d.
VppAdFdWdonde:
AdVVV inicialfinal
Primer principio de la termodinámica
La variación de energía de un sistema es igual al calor Q que penetra en él
menos el trabajo W que efectúa:
SE
WQES
El calor es positivo cuando penetra en el sistema y negativo cuando sale de él
El trabajo es positivo cuando hace disminuir la energía del sistema (cuando el
trabajo lo hace el sistema) y negativo cuando hace aumentar la energía del sistema.
Calor específico
Definición: El calor específico cv es el cociente entre su capacidad calorífica y
su masa.
m
Cc v
v
El calor específico es una propiedad de la sustancia. Depende de la temperatura,
pero en un intervalo pequeño de temperaturas se puede considerar constante.
Tendremos:
TmcQE vS
Cuando los proceso tienen lugar a una presión constante, (transformación
isobárica) tendremos:
TmcVpE pS
donde cp es el calor específico a presión constante.
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El calor absorbido en una transformación isobárica viene dado por:
TmcVpEQ pS
Ejemplo:a) ¿cual es la capacidad calorífica de un vaso de 75 g de vidrio flint que
contiene 250 g de agua?
b) ¿Cuánto calor hay que tomar de ese sistema para rebajar su temperatura de
50 a 30 º C?
a)
CJCkg
JkgcmC vidriovidriovaso º37)º(
490)075,0(
CJCkg
JkgcmC aguaaguaagua º1045)º(
4180)250,0(
CJCCC aguavidrioTOTAL º
1082
b)
CCCT º30º50º2041025,3)º30(
º1082 xC
CJTCQ
Calorimetría
El calor se mide con un calorímetro, que es un recipiente aislado del exterior,
que contiene agua , en el cual se encuentra sumergido un termómetro para medir la
temperatura del agua. Esta variará dependiendo de la temperatura de la muestra que se
sumerja en el agua.
Ejemplo:En un calorímetro que contiene 2,5 kg. de agua a una
temperatura inicial de 15,00 º C se colocan 50 g de etanol a una temperatura de 30 º C. Al irse enfriando el etanol, eleva la temperatura del agua hasta 15,17 º C. ¿Cuál es el calor específico del etanol?
CCCT º17,0º00,15º17,15El calor absorbido del sistema (alcohol) será:
JCCkg
JkgTmcQ p 1780)º17,0)(º4186)(50,2(
El calor absorbido por el sistema será:
CCCT º83,14º30º17,15
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pppS cCkgCckgTmcQ )º74,0()º83,14)()(050,0(
Como el calor absorbido es igual a calor cedido, tendremos:
CkgJ
Ckg
JcJcCkg pp º
2400º74,0
17801780)º74,0(
COEFICIENTES DE TEMPERATURA
Ejemplo:A 20ºC la densidad del mercurio vale 13546 kg/m3 y el
coeficiente de temperatura es 1,8x10-4 º C . ¿Cuál será la densidad del mercurio a 35 º C?
14
201
3201
º108,1
13546
º15)º2035(
Cx
mkg
Z
CCT
la variación de la densidad será:
314
3
2020
37)º15)(º108,1)(13546(m
kgCCx
mkg
T
y la densidad a 35 º C será:
33
2035
13509)3713546(m
kgm
kg
Ejemplo:¿A qué temperatura tendremos que poner el agua para que
la celeridad del sonido sea 1500 m/s? Velocidad del sonido en agua a 20 º C = 1486 m/s
C
sms
m
xCxv
vT
sm
smvvv T
º9,51486
14
º1061,1(
11
14)14861500(
13
2020
20
CTCT º9,25º20
Dilatación térmica
Sean L1 y L2 los valores de la longitud de un cuerpo, a las temperaturas T1 y T2.
La variación de longitud será:
12 LLLestá relacionada con la variación de temperatura por:
12 TTT
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mediante la ecuación:
TL
L
1
donde es el coeficiente de dilatación térmica.
Ejemplo:La caldera de acero de una central eléctrica tiene una
altura de 30 m. Cuando se enciende, su temperatura sube desde20 º C hasta 500 º C . ¿Cuánto variará su longitud durante el proceso?
Sustancia Dominio de temp. º C Coef. Dilatación térmica
0 a100 10,5x10-6
º C-1
90 a 200 11,5x10-6
º C-1
200 a 300 13x10-6
º C-1
Acero
300 a 600 15x10-6
º C-1
mxCCxmTLL
mxCCxmTLL
mxCCxmTLL
mxCCxmTLL
d
c
b
a
216
1
216
1
216
1
216
1
109)º200)(º1015)(30(
109,3)º100)(º1013)(30(
1045,3)º100)(º105,11)(30(
1052,2)º80)(º105,10)(30(
cmmxmxmx
mxmxLLLLL dcba
9,18109,18)109()109,3(
)1045,3()1052,2(
222
22
Relación entre dilatación y esfuerzo.
TL
Le
donde e es el coeficiente de deformación
eES , donde S es el esfuerzo y E el módulo de Young
CALOR LATENTE
Definición: El calor latente es la energía necesaria para transformar un
kilogramo de sustancia de una fase a otra a temperatura constante. El calor de fusión Hf
es el calor latente para la transformación de sólido a líquido; el calor de evaporación Hv
es el calor latente para la transformación de líquido a gas; el calor de sublimación Hs es
el calor latente para la transformación de sólido a gas directamente, sin pasar por fase
líquida.
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En el caso del agua, al empezar a fundir el hielo, no aumentará la temperatura de
este, aunque aumentemos la temperatura, hasta que se haya fundido totalmente.
Ejemplo:¿Cuánto calor hay que extraer de 200 g de agua a 15 º C
para producir 200 g de hielo a –15 º C? Para enfriar el agua a 0º, hay que extraer:
kcalCCCkg
kcalkgTmcQ p 3)º15º0(º
1)2,0(1
Para congelar el agua:
kcalkg
kcalkgmHQ f 16)7,79)(2,0(2
Para enfriar el hielo hasta –15 º C:
kcalCCCkg
kcalkgTmcQ p 5,1)º0º15(º
492,0)2,0(3
La cantidad de calor a extraer es:
kcalQQQQ 5,20321
Refrigeración
El calor pasa espontáneamente de una región a temperatura elevada a otra de
temperatura más baja.
Un refrigerador es un dispositivo que rebaja la temperatura de un compartimento
aislado por debajo de la del ambiente, transportando calor del compartimento a baja
temperatura al ambiente de temperatura más elevada. Un refrigerador es análogo a una
bomba que transporta un fluido desde una región a presión baja a otra a presión
superior.
Definición: El rendimiento e de una máquina frigorífica es el cociente entre el
calor 1Q extraído del compartimento y el trabajo W efectuado por el compresor:
12
11
Q
W
Qe
TRANSMISIÓN DE CALOR
El calor es energía que pasa de un objeto a otro a consecuencia de una diferencia
de temperatura existente entre ellos. El sentido natural de la circulación espontánea del
calor es siempre del objeto de mayor temperatura al de menor
Existen tres mecanismos básico mediante los cuales el calor circula
espontáneamente de una región de mayor temperatura a otra de menor temperatura:
conducción , convección y radiación.
Conducción:
La conducción es la transmisión de energía a través de un medio material por los
choques sucesivos de las moléculas vecinas. Las moléculas, al chocar, van cediendo
parte de su energía cinética a las que tienen menor, y esta, a su vez, cederán a las que
tengan menor que ellas, y así hasta que las energías cinéticas de todas las moléculas se
compensen.
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Definición: El caudal calorífico P es el calor que pasa de una cara a otra en una
unidad de tiempo. Así pues, si circula una cantidad de calor Q en un tiempo t, el caudal
P será:
t
QP
entonces:
d
TAKP
donde K será la constante de conductividad térmica, característica del material;
A será la superficie de la lámina y d su grosor.
Ejemplo:¿Cuál es el caudal calorífico que atraviesa el vidrio de una
ventana de 0,5 cm de grosor, cuando la cara externa se halla a6 º C y la interior a 6,8 º C? (las dimensiones de la ventana son 2x3m
Wmx
CmCm
W
d
TAKP 768
105,0
)º8,0)((6)(º
8,0(
2
2
Definición: La conductividad C de una lámina de material de conductividad
térmica K , grosor d y área A es:
d
KAC
La resistencia R de una lámina de material de conductancia C es:
KA
d
CR
1
El caudal calorífico, se puede expresar en función de la conductancia o la
resistencia por:
TCP y R
TP
Definición: La resistencia eficaz Ref de una barrera es la suma de la resistencia R
de la barrera más la resistencia superficial Rs.
Sef RRR
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Definición: El coeficiente de transmisión U, o valor U de una barrera de área A
es:
)(
11
Sef RRAARU
El caudal calorífico a través de una barrera es
TAUR
TP
ef
Convección:
La convección es la transmisión de energía en un líquido o gas por medio del
tránsito real de fluido caliente de una región a temperatura elevada a otra de temperatura
más baja. El fluido caliente tiene más energía interna que el fluido frío, al cual desplaza,
con lo cual se lleva junto con el fluido energía a la región de temperatura inferior.
Radiación:
La radiación es energía electromagnética que se propaga por el vacío a la
velocidad de la luz. Todos los cuerpos emiten una radiación.
La energía radiante que por unidad de tiempo emite un cuerpo cuya superficie
tenga un área A y cuya temperatura absoluta sea Te la representaremos por Pe y se
cumple:
4
ee ATP emisión
4
aa ATP absorción
)( 44
aeae TTAPPP pérdida neta
donde 4281067,5
KmWx es una constante universal llamada constante de
Stephan – Boltzmann y es un parámetro adimensional denominado emisividad, cuyo
valor va de 0 a 1 y depende de la naturaleza de la superficie.
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TEMA X. TERMODINAMICA La termodinámica estudia la relación entre calor, trabajo y energía y en
particular, la transformación de energía en trabajo
El primer principio de la termodinámica dice que una máquina no puede
desarrollar un trabajo superior a la energía liberada por el combustible.
El segundo principio de la termodinámica dice que no toda la energía liberada
puede convertirse en trabajo.
TRANSFORMACIONES TERMODINAMICAS
El estado termodinámico de un sistema queda especificado por unas pocas
variables termodinámicas, tales como la presión p, el volumen V y la temperatura T.
Transformación adiabática es toda transformación durante la cual no pueda
entrar ni salir calor del sistema.
Según el primer principio de la termodinámica WQES , como en una
transformación adiabática Q = 0 entonces tendremos
WES
En la dilatación adiabática de un gas, el trabajo efectuado es:
VWW es positivo cuando el sistema efectúa un trabajo sobre el ambiente y es
negativo.
SE
En la compresión adiabática de un gas, W será negativo, mientras que es
positivo.
SE
Transformación isotérmica es toda transformación en la cual se mantenga
constante la temperatura.
Transformación isocora es toda transformación en la cual se mantiene
constante el volumen del sistema.
Transformación isobárica es toda transformación en la cual se mantenga fija la
presión del sistema.
MAQUINAS TERMICAS Y FRIGORIFICAS
Una máquina térmica es un dispositivo que convierte calor en trabajo. Una
máquina frigorífica o refrigerador, es un dispositivo que utiliza trabajo para extraer
calor.
Ejemplo:Una central nuclear de 850 MW tiene un rendimiento del
28 %. Refrigera su condensador admitiendo agua del mar a 10 º Cy la descarga a 18 º C. ¿Cuánta agua se necesita?
sJxWxMWP 86 105,810850850
por lo que el trabajo que realiza en un segundo essJxW 8105,8
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El calor tomado de la caldera en 1 segundo es:
JJ
e
WQ 8
8
1 104,3028,0
105,8
El calor cedido en el condensador será: JWQQ 888
12 109,21105,8104,30
El aumento de temperatura es de 10 º a 18 º, por tanto y, teniendo en cuenta que el calor específico del agua es
, tendremos:
º8T
)º/(18,4 CkgkJcP
kgCCkgkJ
kJ
Tc
Qm
P
45
2 105,6º8)º(18,4
109,21
entonces tendremos un volumen de agua tal que:
3
3
4
651000
105,6m
mkg
kgmV
Motor de gasolina
El rendimiento de un motor está relacionado con los volúmenes máximo y
mínimo, V1 y V2 del cilindro mediante la expresión:
4,0
4,0
2
1 11 rV
Ve
donde2
1
VV
r es la razón de compresión.
Máquina frigorífica
Una máquina térmica es un artefacto que convierte calor en trabajo. Una
máquina frigorífica es una máquina que utiliza un trabajo para extraer calor de un
compartimento frío.
La máquina frigorífica absorbe una cantidad de calor Q1 de un foco frío y cede
una cantidad de calor Q2 a un foco caliente. Hay que efectuar sobre el sistema un trabajo
12 QQW .
En una máquina frigorífica, el beneficio es el calor Q1 extraído del foco frío y el
costo es el trabajo W efectuado sobre el sistema, por lo que el rendimiento de una
máquina frigorífica es:
12
11
Q
W
Qe
Ciclo de Carnot
El ciclo de Carnot posee las siguientes propiedades:
La máquina de Carnot es la de mayor rendimiento de las que operan entre
dos temperaturas T1 y T2.
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El rendimiento de una máquina de Carnot es independiente de cuál sea la
sustancia evolutiva. Es decir, el rendimiento es el mismo si el sistema es un
gas perfecto, un gas real e incluso un líquido.
El rendimiento de la máquina de Carnot que opere entre las temperaturas
absolutas T1 y T2 es:
1
21T
Te
Una máquina de Carnot puede funcionar en sentido inverso, convirtiéndose
en máquina frigorífica de Carnot. Entonces la máquina frigorífica de mayor
rendimiento que puede extraer el calor Q1 del foco frío T1 y ceder calor Q2 al
foco caliente T2. El rendimiento de la máquina frigorífica de Carnot es:
12
11
TT
T
W
Qe
Ejemplo:La temperatura de la caldera de una turbina de vapor es
550º C y la temperatura del condensador es de 10º C . ¿Cuál es el rendimiento de la máquina de Carnot que opere entre esastemperaturas?
Las temperaturas absolutas de los focos caliente y frío son:
KCCT
y
KCCT
º283º10º273
º823º550º273
2
1
y el rendimiento
66,0823
28311
1
2
T
Te
SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA
El segundo principio de la termodinámica dice que la energía del universo (Eu),
que es la suma de la energía del sistema (ES) más la energía del ambiente (Ee),
( ) se conserva, es decir, en toda transformación termodinámicaEEEu 0E
Enunciado estadístico del segundo principio de la termodinámica. El
desorden total del universo no disminuye nunca.
Hay procesos que son irreversibles. Un objeto, lo normal, es que caiga. Ese
mismo objeto no puede elevarse por sí solo.
ENTROPIA
Definición: La entropía S es una variable termodinámica que mide el desorden
de un estado termodinámico. Esto significa que cada estado tiene una entropía definida
y que la entropía de un estado será mayor que la del otro cuando el desorden del
primero sea mayor que el del segundo
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TEMA XI. CUERDAS VIBRANTES
ONDAS DE UNA CUERDA TENSA
Definición: Una onda es una perturbación de un medio que se propaga por él con
una celeridad constante característica del medio. v
En el ejemplo de una cuerda, la cuerda es el medio y la perturbación es el
movimiento de los puntos de la cuerda que se desplaza frente a los punto de la cuerda
que no se perturban.
Se establece un eje de coordenadas para poder comprender los movimientos de
una cuerda vibrante.
En estado de equilibrio, para cualquier magnitud en el eje x, se establece que el
eje y = 0.
Cuando ya la cuerda no está en equilibrio, se establecerá para un valor en x un
valor en y.
Cada punto de la cuerda, solo se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que
la perturbación se moverá longitudinalmente a lo largo de la cuerda con una celeridad v.
La celeridad hacia arriba y hacia abajo no es constante.
La celeridad en la cuerda vendrá determinada por
t
ABv
Ejemplo:Supongamos que el intervalo
de tiempo entre las figuras b y c es de 0,2 seg. En ese tiempo, el punto de la cuerda cuyodesplazamiento es de 0,3 cm ha pasado de A (en x = 4,0 m) a B (enx=5,0 m), con lo que la celeridad v de la onda es:
sms
mmv 5
2,0
0,40,5
Por otra parte, el desplazamiento de A ha pasado a ser a , con lo
que la celeridad (media) transversal, o arriba y abajo, de dicho punto durante ese intervalo de tiempo es:
cmy 3,00,4 cmy 6,00,5
scms
cmcmv 5,1
2,0
3,06,0
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La celeridad transversal v está relacionada con la energía que transporta la onda
mientras que la celeridad v de la onda, es la celeridad con la cual se transmite la energía
a lo largo de la cuerda.
Para un medio dado, la celeridad de la onda es constante, mientras que la
celeridad transversal varía de una onda a otra e incluso de un punto a otro y de un
instante a otro dentro de una onda dada.
Ejemplo:a) Dibujar el desplazamiento de la cuerda 0,2 s después de
que esté en la posición representada en la figura c. b) ¿Cuál es el desplazamiento del punto A en ese instante? c) ¿Cuál es la celeridad transversal (media) del punto A
durante dicho intervalo de 0,2 s?
a) Como la celeridad v de la onda es de 5 m/s, en 0,2 s la onda recorre una distancia
mssmvtd 1)2,0()5(
esto sitúa el punto A en x=5m.
b) En la figura observamos que el antiguo punto A tiene ahora un valor .cmy 2,00,4
d) Durante este intervalo de tiempo, la posición de A pasa de a cmy 6,00,4 cmy 2,00,4 , por lo que su celeridad
media será:
scms
cmcmv 0,2
2,0
6,02,0
El signo menos indica que A se mueve en el sentido de las y negativas durante ese intervalo de tiempo.
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Definición: Se llama onda transversal aquella onda en la cual los puntos del
medio se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Las
ondas de una cuerda son transversales porque los puntos de la cuerda se mueven
perpendicularmente a la cuerda mientras la onda se propaga a lo largo de ella
Definición: Se llama onda longitudinal aquella onda en la cual los puntos del
medio se mueven en uno otro sentido en la dirección de la propagación de la onda.
Ejemplo. Un muelle cuando se contrae y se expande.
FISICA DE LAS ONDAS MECANICAS
La propagación de una onda se comprende si al someter a un punto del medio
una fuerza, esta hace que el medio cambie su condición de equilibrio y luego, los puntos
cercanos al de aplicación, hacen que el original vuelva a su estado de equilibrio y así
sucesivamente.
Celeridad de una onda en una cuerda
Viene determinada por la masa de la cuerda, la longitud de esta y su tensión por:
Lm
Tv
La cantidad m/L es la masa por unidad de longitud, o densidad lineal, de la
cuerda. Así pues:
L
m
Entonces la celeridad en la cuerda será:
Tv
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Ejemplo:¿Cuál es la celeridad de una onda en una cuerda de guitarra
sometida a una tensión de 30 N y cuya masa por unidad de longitud es de 0,015 kg./m?
smsmkgmNmkg
Nv /7.44/2000/2000
/015,0
30 22
SUPERPOSICION
Cuando en el mismo punto
existen varias ondas, se conoce como
ondas en superposición. Por ejemplo,
cuando una onda va hacia la otra, éstas
se cruzan y se atraviesan sin alteración.
Por tanto, se puede decir que una onda
no es un cuerpo material sino un
sistema de desplazamiento de puntos.
Principio de superposición
Si en un instante cualquiera existen simultáneamente en un punto dos o más
ondas, el desplazamiento del punto es la suma de los desplazamientos que tendría al
estar afectado por cada onda por separado. Al aplicar este principio, los desplazamientos
hacia un lado se toman positivos y los desplazamientos hacia otro se toman negativos.
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También ocurre lo mismo si las ondas están desfasadas 180º:
Superposición de las ondas
transversales de los dos
puntos.
ONDAS SINUSOIDALES
Longitud de onda y frecuencia
Una onda sinusoidal es una onda en la cual se alternan semiciclos o pulsos
positivos y negativos
Definición: La longitud de onda de una onda sinusoidal es la distancia que
separa los dos picos positivos contiguos. Para una onda sinusoidal, los picos positivos y
cualquier punto respecto a su imagen tienen la misma separación.
Se dice que es una onda periódica porque la forma se repite exactamente a
intervalos iguales a .
Definición: La amplitud A de una onda sinusoidal es la elongación máxima de la
onda. Es igual en la elongación del pulso positivo y la elongación del pulso negativo.
También se conoce como amplitud de pico.
Si la amplitud se toma sumando las dos amplitudes de pico (pulso positivo mas
pulso negativo) se conoce como amplitud de pico a pico.
La longitud de onda de una onda sinusoidal se toma en función de una
circunferencia trigonométrica (dividiendo la longitud de onda en 360 partes), por tanto
se puede calcular la elongación en un punto cualquiera en función del seno de la
inclinación de la onda.
360360
xx
donde x es la posición en la queremos calcular el ángulo, es la longitud de
onda y es el ángulo que describe la onda en esa posición.
Entonces la elongación en el punto x será igual a:
360sensenx
AAAx
Donde Ax es la amplitud o elongación en el punto x.
Si la medida de los ángulos se expresan en radianes entonces tendremos:
2sensenx
AAAx
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Ejemplo:Una onda sinusoidal tiene una amplitud A = 0,5 cm y una
longitud de onda cm30 ¿Cuál es su elongación en x = 6 cm?
cmcm
cmcm
cmcm
xAy
475.0)951.0)(5.0(
)º72)(sen5.0(º36030
6sen)5.0(º360sen
Definición: Llamamos periodo de una onda sinusoidal al tiempo una onda
sinusoidal en completar una longitud de onda.
v o bienv
está relacionado con la velocidad de propagación de la onda.
Definición: La frecuencia f de una onda sinusoidal es las veces que se repite esa
onda por unidad de tiempo. Viene dada por:
1f
Teorema de Fourier
Toda onda, cualquiera que sea su forma, puede expresarse de manera única
como superposición (suma) de ondas sinusoidales de longitudes de onda y amplitudes
de onda definidas
Una onda compleja siempre se puede descomponer en ondas más sencillas.
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Energía de una onda sinusoidal
Cuando se propaga por un medio una onda sinusoidal de frecuencia f y amplitud
A, cada punto del medio oscila con movimiento armónico simple. La energía de una
masa puntual es:
22
2
1
2
1kymvE
La energía total será igual a la suma de su energía cinética más la energía
potencial.
La constante k es una medida de la intensidad de la fuerza que ejerce el medio
sobre el punto desplazado. Está relacionada con el periodo de oscilación del punto
por la ecuación:
k
m2 de donde mf
mk 22
2
2
44
Así pues, la energía en un punto del medio será:
2222 22
1AmfkAE
En una cuerda de densidad lineal , la masa de un tramo de cuerda de longitud
igual a una longitud de onda es m . Entonces, la energía en el tramo de la cuerda
será:
22222 22 vfAAfEdonde fv es la velocidad de propagación de la onda por la cuerda.
La energía que pasa por un punto por unidad de tiempo viene dada por:
2222 AvffEP
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ONDAS ESTACIONARIAS
Cuando dos ondas sinusoidales de igual amplitud, frecuencia y fase, aunque de
sentido opuesto, se cruzan y forman ondas estacionarias.
Ejemplo:Un cable de alta tensión de 120 m de longitud está
suspendido entre dos torres. La densidad lineal del cable es de 1.6 kg./m y la tensión mecánica del cable es de a) ¿Cuál es la menor frecuencia con que puede oscilar el cable? b) ¿cuál es la separación entre nodos igual a 1.5 m?
Nx 4106.3
a) la celeridad de propagación de una onda transversal será:
smmkg
NxTv /150
/6.1
106.2 4
la frecuencia de oscilación más baja será la fundamental a la cual corresponde la longitud de onda:
mmL 240)120(221
y la frecuencia:
Hzm
smvf
n
n 625.0240
/150
b) los nodos de una onda estacionaria están separados cada dos consecutivos (media longitud de onda) entonces la longitud de onda n de las ondas estacionarias cuyos nodos estén separados 1,5
m será: mmn 0.3)5.1(2
y su frecuencia:
Hzm
smvf
n
n 500.3
/150
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Definición: El valor de la frecuencia accionante fa que origina la amplitud de
vibración máxima se denomina frecuencia de resonancia. Un sistema que se accione a
su frecuencia de resonancia se dice que está en resonancia. Si un sistema es pequeño o
no tiene casi rozamiento, la frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia
característica.
Ejemplo:El cable del ejemplo anterior tiene un diámetro de 2.8 cm. a)
¿Cuál es la frecuencia de la fuerza accionante que ejerce sobre este cable un viento de 25 km./h? b) ¿Qué celeridad el viento haría que el cable resonara a la frecuencia característica n = 80?
a) la celeridad del viento es:
sms
mhkmv /94.6
3600
25000/25
el radio del cable es:
mm
dr 014.02
028.0
2
1
la frecuencia de la fuerza accionante será:
Hzm
sms
r
vcfd 8.45
014.0
/94.60923.0 2
Constante de análisis con cables reales
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b) Sabemos que la frecuencia característica del cable es:
80625.0
50
1 Hz
Hz
f
fn n , entonces Hzf 5080
La resonancia tiene lugar cuando la fuerza accionante es igual a la frecuencia característica. Por tanto la celeridad del viento a esta frecuencia vendrá dada por:
Hzfr
vcfd 5080
entonces:
sKmsms
mHz
c
rHzv /3.27/58.7
0923.0
014.0)50()50(
2
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TEMA XII. SONIDO El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga por el aire, el agua
y otros medios materiales
FISICA DEL SONIDO
El altavoz consiste en un cono de plástico unido a un electroimán. Cuando se
manda a este una corriente eléctrica alterna de frecuencia f, el cono vibra en un sentido
y en otro según esa frecuencia f.
El cono ejecuta un movimiento armónico simple. La elongación de las
moléculas de aire que mueve el cono viene dada por:
)2cos( ftAydonde A es la amplitud del movimiento del cono.
La onda se propaga con una celeridad v característica del medio.
La longitud de onda de una onda sinusoidal de frecuencia f viene dada por:
vf
Ejemplo:¿Cuál es la longitud de onda en el aire de una onda sonora
generada por un altavoz que oscila con una frecuencia de 1000 Hz?
mHz
sm
f
v34.0
1000
/340
La longitud de onda del sonido está comprendida entre 2 cm y 20 m, según sea
la frecuencia (de 20 Hz a 20 KHz).
El sonido genera unos cambios de presión en el medio. Esta presión, en un punto
viene determinada para una elongación determinada según:
0ppp
Si en un instante la elongación de la onda viene dada por:
)2cos(x
Ay
en ese mismo instante la diferencia de presión p viene dada por
xAp p 2sen
sonde Ap es el valor máximo de p
La amplitud de la presión Ap está relacionada con la amplitud de la elongación A
por:
vAfAp 2
donde es la densidad del medio y v la celeridad del sonido en el medio.
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Al la cantidad v se le da el nombre de impedancia acústica.
Ejemplo:La amplitud de la presión del sonido de una conversación
normal es, aproximadamente de 0.02 Pa ¿Cuál es la amplitud de la elongación de este sonido si su frecuencia es de 1000 Hz?
La impedancia acústica del aire a 20 º C es 411.6 Kg./(m2s), entonces:
mxsmkgHz
mN
vf
AA
p 9
2
2
107.7)//(6.411)1000(2
/02.0
2
Celeridad del sonido en gases y líquidos
La celeridad del sonido en gases ideales viene dada por
0pv
GAS
donde es la densidad del gas, es la presión en ausencia de perturbaciones
y
0p
es la razón vp CC del calor específico de un gas a presión constante al calor
específico del gas a volumen constante.
La celeridad del sonido en un líquido viene dada por:
Bv
LIQUIDO
donde el módulo de compresibilidad se define de la manera siguiente:
Definición: El módulo de compresibilidad constituye una medida de la
resistencia del líquido a la compresión. Es el equivalente al módulo de Young en los
sólidos.
Si un líquido ocupa un volumen V a una presión el volumen se reducirá a un
volumen cuando la presión se incrementa en
0p
VV 00 pp .
El módulo de compresibilidad de un líquido es:
V
VpB
Ejemplo:a) Calcular el módulo de compresibilidad del agua teniendo
en cuenta que la velocidad del sonido en agua es 1498 m/s, y sudensidad es de 998 Kg./m3. b) ¿Cuánto disminuye un volumen de104 cm3 de agua cuando se somete a una presión de 200 atm.?
293222 /102.2)/998()/1498( mNxmkgsmBvB
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b)27 /1002.2200 mNxatmp
3
29
3427 8.91
/102.2
10)/1002.2( cm
mNx
cmmNx
B
VpV
Ondas extensivas
Se llama onda extensiva a una onda longitudinal que se propaga a lo largo del
eje de una varilla larga cuyo diámetro d es pequeño frente a la longitud de onda . Las
pequeñas variaciones de presión se propagan a lo largo de la varilla produciendo
deformaciones en el diámetro de la varilla.
La celeridad de una onda extensiva viene dada por:
Evex
donde E es el módulo de Young.
Ondas longitudinales puras o compresivas
La onda longitudinal pura a diferencia de la onda extensiva no tiene movimiento
transversal y se desplaza a través de un medio extenso.
La velocidad de propagación v de una onda longitudinal pura está relacionada
con la de las ondas extensivas por:
exvv)21)(1(
1
donde es la constante de Poisson. (para toda sustancia esta está comprendida
entre 0 y 0,5).
Ondas transversales o cortantes
En una onda transversal, las moléculas del medio se mueven perpendicularmente
a la dirección de propagación de la onda. Las ondas transversales se pueden propagar
por sólidos, pero no por gases y líquidos, ya que los fluidos no pueden soportar
esfuerzos cortantes.
La celeridad en las ondas cortantes viene dada por:
Gvt
donde G es el módulo de rigidez del sólido
NOTA. El módulo de Young E, el módulo de rigidez G y el coeficiente de
Poisson están relacionados por:
)1(2
EG
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INTENSIDAD Y NIVEL DE INTENSIDAD
Una onda sonora que se desplaza por una columna de aire de longitud d y
sección recta de área a. La masa m de la columna de aire es:
adVmLa densidad lineal es la masa por unidad de longitud de la columna:
d
m
Al propagarse una onda por un medio, las energías cinética y potencial de las
moléculas móviles se transportan desde una región del espacio a otra con una celeridad
v de la onda. En el caso de una cuerda de densidad lineal , la energía transportada
por unidad de tiempo o potencia P viene dada por:
2222 AvfP o lo que es lo mismo2222 AavfP
Definición: La intensidad I de una onda es la energía que, por unidad de tiempo,
transporta la onda a través de la unidad de superficie. Así pues, si es P la potencia que
transporta una onda a través de un área a, la intensidad de la onda será:
a
PI
entonces tendremos que:
222222
22
Avfa
AavfI
por tanto
v
AI
p
2
2
donde Ap es la amplitud de la presión.
Ejemplo:a) El diafragma de un micrófono tiene una superficie de 3
cm2 . Si la potencia del sonido que incide sobre el diafragma es P = 6 x 10-10 W ¿Cuál es la intensidad I del sonido?. b) ¿Cuál es la amplitud de la presión del sonido A
p?
a) 26
24
10
/102103
106mWx
mx
Wx
a
PI
b) v es la Impedancia acústica = 412 Kg./(m2s)
PaxmWxsmkgvIAp
2262 1006.4)/102()/(41222
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Definición: El nivel de Intensidad (en decibelios) de un sonido de intensidad I
es:
oI
IdB log)10(
donde que es la intensidad de referencia.212 /10 mWIo
En la escala de decibel, el dominio de audibilidad humana está entre:
dBdBmW
mWdB
y
dBdBmW
mWdB
120)10log()10(/10
/1log)10(
0)1log()10(/10
/10log)10(
120
212
2
212
212
ONDAS ESTACIONARIAS
Se basan en los mismos principios que para las cuerdas vibrantes.
Ejemplo:¿Cuál es la longitud de un tubo de órgano abierto cuya
frecuencia fundamental sea 440 Hz?
mHz
sm
f
nvL
n
386.0)440(2
)/340(1
2
EFECTO DOPPLER Y PULSACIONES
Cuando se emite una frecuencia hacia un objeto estático, este devolverá la
misma frecuencia que la emitida. Si el objeto está en movimiento, este devolverá una
variación en la frecuencia según la velocidad de desplazamiento del objeto o del foco.
Foco en movimiento
La longitud de onda de la onda será:
s
s
s
s
f
vv
Tf
Tvv )(
y la frecuencia:
s
s
fvv
vvf
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Ejemplo:Una sirena de ambulancia oscila a una frecuencia de 1200
Hz ¿Cuál es la frecuencia del sonido que llega a un detector en reposo cuando la ambulancia se mueve hacia él a 25 m/s?
HzHzsmsm
smf
vv
vf s
s
1295)1200(/25/340
/340
si la ambulancia se alejara del detector sería –25 m/s:
HzHzsmsm
smf
vv
vf s
s
1118)1200(/25/340
/340
Detector en movimiento
Cuando el detector es el que se mueve hacia el foco sonoro con una velocidad
vd, la onda en el aire tendrá la misma frecuencia fs que el foco sonoro y su longitud de
onda ss fv / , aunque el detector no percibirá esta frecuencia .
En el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = T, al detector le llegará una onda de
longitud:
TvvT d
El número de longitudes de onda de ese tres de frecuencias es:
sd
s
d
s
d Tfv
vv
fv
TvvTTvvT
y la frecuencia percibida vendrá dada por:
sd
sd f
v
vvfTf
v
vvfT
Ejemplo:El foco de una alarma antirrobo genera ondas de frecuencia
2500 Hz. ¿Cuál será la frecuencia de las ondas reflejadas por un cuerpo que se mueve hacia el foco con una celeridad de 1 m/s?
HzHzHz
Hzf
vv
vvf s 2515)2500(
339
341
0
0
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Pulsaciones
La superposición de dos ondas sinsusoidales cuyas frecuencias f1 y f2 sean casi
iguales, da lugar a una onda pulsátil. La frecuencia f de esa onda es la media
aritmética de las frecuencia de las ondas componentes.
)(2
121 fff
y la amplitud de la onda oscila con la frecuencia de las pulsaciones , que es
igual a la diferencia entre las frecuencias f
f
1 y f2.
12 fff
CONTROL DE RUIDO
Variación de la intensidad con la distancia
La intensidad del ruido varía dependiendo del alejamiento del detector al foco.
La potencia sonora a una determinada distancia del foco viene dada por:
1
2
1111 4 IrIaPAnálogamente, la potencia P2 que atraviesa una superficie esférica de radio r2
será:
2
2
2222 4 IrIaPLa energía por segundo que atraviesa las dos zonas es igual según:
2
2
21
2
1 44 IrIro sea:
2
2
1
2
12
r
IrI
Transmisión y reflexión por una barrera
Definición: La reducción de ruido nr de una barrera es la diferencia entre los
niveles de intensidad de los sonidos incidente y transmitido:
t
itinr
I
Idb log)10(
Definición: El coeficiente de reflexión r de una barrera es la razón de la
intensidad reflejada a la incidente.
i
r
I
Ir
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TEMA XII. SONIDO El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga por el aire, el agua
y otros medios materiales
FISICA DEL SONIDO
El altavoz consiste en un cono de plástico unido a un electroimán. Cuando se
manda a este una corriente eléctrica alterna de frecuencia f, el cono vibra en un sentido
y en otro según esa frecuencia f.
El cono ejecuta un movimiento armónico simple. La elongación de las
moléculas de aire que mueve el cono viene dada por:
)2cos( ftAydonde A es la amplitud del movimiento del cono.
La onda se propaga con una celeridad v característica del medio.
La longitud de onda de una onda sinusoidal de frecuencia f viene dada por:
vf
Ejemplo:¿Cuál es la longitud de onda en el aire de una onda sonora
generada por un altavoz que oscila con una frecuencia de 1000 Hz?
mHz
sm
f
v34.0
1000
/340
La longitud de onda del sonido está comprendida entre 2 cm y 20 m, según sea
la frecuencia (de 20 Hz a 20 KHz).
El sonido genera unos cambios de presión en el medio. Esta presión, en un punto
viene determinada para una elongación determinada según:
0ppp
Si en un instante la elongación de la onda viene dada por:
)2cos(x
Ay
en ese mismo instante la diferencia de presión p viene dada por
xAp p 2sen
sonde Ap es el valor máximo de p
La amplitud de la presión Ap está relacionada con la amplitud de la elongación A
por:
vAfAp 2
donde es la densidad del medio y v la celeridad del sonido en el medio.
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Al la cantidad v se le da el nombre de impedancia acústica.
Ejemplo:La amplitud de la presión del sonido de una conversación
normal es, aproximadamente de 0.02 Pa ¿Cuál es la amplitud de la elongación de este sonido si su frecuencia es de 1000 Hz?
La impedancia acústica del aire a 20 º C es 411.6 Kg./(m2s), entonces:_
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TEMA XIII. LA LUZ
NATURALEZA DE LA LUZ
Naturaleza ondulatoria de la luz
La naturaleza de la luz se estableció a través de una serie de experimentos que
ponían de manifiesto que la luz cumple el principio de superposición.
Naturaleza electromagnética de la luz
Maxwell estableció que la luz era una forma de radiación electromagnética.
Estableció que el espectro de luz visible va de 400 nm. (nanometros) a 700 nm.
(4x10-7
a 7x10-7
).
Celeridad de la luz
La celeridad de la luz se establece en vacío como:
smxc /1000.3 8
Definición: El índice de refracción n de una sustancia es el cociente entre la
celeridad de la luz en vacío y la celeridad de la luz v en la sustancia en cuestión:
v
cn
REFLEXION Y REFRACCIÓN
Definición: Onda plana es aquella en la cual su elongación es la misma en todos
los puntos de un plano perpendicular a la dirección de propagación. Dichos planos,
llamados frentes de onda, se mueven con la celeridad v de la onda
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Cuando una onda viaja por un medio, al chocar con la superficie de otro medio,
parte de la onda se ve reflejada por la superficie hacia el mismo medio (reflexión) y,
parte atraviesa el otro medio sufriendo una variación (refracción) en su ángulo de
incidencia.
Reflexión
Ley de la reflexión. El ángulo de reflexión 1' es igual al ángulo de incidencia
1 .
11'De la ley de reflexión se deduce que la velocidad de la onda incidente es igual a
la velocidad de la onda reflejada.
Refracción
Ley de la refracción. El ángulo de incidencia 1 está relacionado con el ángulo
de refracción 2 mediante la relación:
2211 sensen nndonde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios primero y segundo
De la ley de la refracción se deduce que las velocidades de la onda incidente y la
refractada son distintas, ya que el índice de refracción es distinto según:
1
1n
cv
y2
2n
cv
luego las distancias recorridas por ambas ondas serán distintas también
2
1
' v
v
d
d
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Luego, según la figura tendremos que:
CA
d
'sen 1 y
CA
d
'
'sen 2
luego
1
2
2
1
'sen
sen
n
n
d
d
entonces:
2211 sensen nn
Ejemplo:Un haz de luz incide bajo un
ángulo 1 sobre una cara de láminade vidrio de caras paralelas. ¿Cuál es el ángulo 1 con que emerge por la otra cara de la lámina?
1
2
12 sensen
n
n
como las caras del vidrio sonparalelas, entonces 22 y por tanto:
11
2
1
1
22
1
22
1
21 sensensensensen
n
n
n
n
n
n
n
n
Por tanto si 11 sensen entonces significa que el ánguloincidente y el emergente son paralelos, pero desplazados. Esto ocurre siempre en caso de superficies paralelas
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EjemploUn rayo de luz incide
bajo un ángulo º401 sobre una cara de un prisma de vidrio cuyo ángulo del prisma o ángulo refringente es º60A
y cuyo índice de refracción es . ¿Cuál es el ángulo de
desviación5.12n
D que forma el rayo emergente con el incidente?
º4.25429.0sen429.0º40sen5.1
1sensen 221
2
12
n
n
según las leyes de la geometría:
22 90º- y º90 ;180A
entonces º6.34º4.25º60º180)º90()º90( 22222 AA
por tanto:
6.58853.0º6.34sen5.1sensen 12
1
21
n
n
entonces el ángulo de desviación D será:
º6.38º60º6.58º40
)() 112121
D
D A
Reflexión total interna
Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro de mayor índice de refracción, se
refracta acercándose a la normal (recta perpendicular a la cara de incidencia) y cuando
el segundo medio tenga un índice de refracción menor que el primero, se refractará
alejándose de la normal.
Toda la luz que incide en la superficie de separación vidrio – aire se refleja hacia
el interior del vidrio. Este fenómeno se llama reflexión total interna y esto ocurre
cuando:
1sen 1
2
1
n
n
La reflexión total interna solo se cumple cuando .21 nn
El ángulo crítico C1 es el menor ángulo para el cual hay reflexión total y se
obtiene cuando:
1
21
n
nC
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INTERFERENCIAS Y DIFRACCION
Interferencias
Cuando se mezclan dos ondas de distintas frecuencias, según el principio de
superposición, la frecuencia de la onda resultante tiene variaciones y en algún punto
determinado llega a anularse.
Ejemplo:Un láser de neón – helio forma un sistema de franjas sobre
una pantalla situada a 3.00 m de otra que contiene dos rendijas separadas 0,02 cm. La separación de franjas brillantes contiguas en la pantalla es de 0.95 cm. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz láser?
nmcmxcmx
cmcm
nD
dxn 630103.6)100,3)(1(
)02,0)(95,0( 5
2
Difracción
Cuando una onda plana atraviesa una rendija, se producen a partir de ahí unas
difracciones relacionadas con la abertura de la rendija y la longitud de onda de la luz
que atraviesa la rendija. Cuando la rendija sea mucho más ancha que la longitud de
onda, el ángulo de la difracción será pequeño.
La relación del ángulo de difracción y el tamaño de la rendija con la longitud de
onda se da en:
dsen
Resolución
Definición: El poder separador, o de resolución, de un instrumento óptico es una
medida del grado hasta el cual puede separar el instrumento la luz procedente de dos
puntos diferentes.
El tamaño de la mancha de enfoque depende del diámetro d de la pupila, de la
distancia f del cristalino a la retina y de la longitud de onda de la luz.
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El diámetro máximo de la pupila es de unos 7 mm, por lo que con nm550 el ángulo de difracción dado será:
radxxxmx
mx
d
535
3
9
108º1052.4109.7107
10550sen
La distancia f entre el cristalino y la retina es de 1,7 cm, por lo que el radio de la mancha de enfoque será:
mcmxcmxfr 4,1104,1)7,1)(108( 45
POLARIZACION
Una onda longitudinal solo puede vibrar en una dirección, mientras que una
onda transversal puede vibrar en cualquier dirección contenida en un plano
perpendicular a la dirección de propagación. En un haz de luz polarizada, todos los
trenes de ondas vibran en la misma dirección transversal, por lo que el haz se podrá
representar por una sola amplitud A. La amplitud de la luz polarizada se trata como una
magnitud vectorial porque está caracterizada por su magnitud y su dirección.
Luz polarizada parcialmente
La luz polarizada parcialmente es una mezcla de luz polarizada y luz no
polarizada que puede presentar una polarización comprendida entre el 0% y el 100%.
Los trenes de ondas polarizados parcialmente pueden vibrar en todas las direcciones
pero su máxima amplitud la logran en la dirección de la polarización. La luz no
polarizada se polariza parcialmente cuando la refleja una superficie no metálica, siendo
la dirección de polarización paralela a la superficie reflectora.
Luz polarizada elípticamente
La luz polarizada elípticamente resulta de la superposición de dos ondas
polarizadas linealmente de igual longitud de onda pero cuyos planos de polarización
sean mutuamente ortogonales y cuyas elongaciones pasen por sus valores máximos en
instantes diferentes
VISION DEL COLOR
Primera ley del color
El ojo humano normal sólo percibe tres atributos de la luz, que suelen
denominarse brillo, pureza y matiz.
Segunda ley del color
Todo color que puede obtenerse mezclando dos colores específicos
corresponderá a un punto de la recta que une los de dichos colores en un diagrama de
cromaticidad.
Tercera ley del color
Colores iguales tienen efectos iguales en las mezclas, aun cuando sean diferentes
sus composiciones espectrales.
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RADIOMETRIA Y FOTOMETRIA
La radiometría es la medida de la energía electromagnética (energía radiante)
emitida por un foco o incidente sobre un detector. La radiación puede estar entre las
radiaciones infrarroja o ultravioleta incluyendo la luz visible.
La fotometría es la medida de la luz visible tal como aparece a un ser humano de
visión normal.
Radiometría
Definición: Poder radiante, o flujo radiante, es la energía electromagnética
que emite un foco por unidad de tiempo. Su unidad es el Joule por segundo (J/s) o watt
(W). El poder radiante espectral es el poder radiante por longitud de onda a una
longitud de onda particular
eP
eP
. Su unidad es el watt por nanometro (W/nm).
Definición: La irradiancia Ee es la energía electromagnética que incide sobre la
unidad de una superficie normal al flujo en una unidad de tiempo. Su unidad es el watt
por metro cuadrado (W/m2). La irradiancia espectral es la irradiancia por longitud
de onda a una longitud de onda particular
'eE
. Su unidad es el Watt por metro cuadrado y
por nanometro. [W/(m2.nm)]. La irradiancia es la expresión radiométrica de lo que
llamamos intensidad.
El poder radiante y la irradiancia guardan proporcionalidad como sigue:
24 r
P
a
PE ee
e
Fotometría
Definición: El poder luminoso, o flujo luminoso, es la cantidad de luz visible
emitida por un foco en unidad de tiempo, Su unidad es el lumen (lm). El poder
luminoso espectral es el poder luminoso por longitud de onda a una longitud de onda
particular
vP
vP
. Su unidad es el lumen por nanometro (lm/nm).
Definición: La eficacia luminosa K de un foco luminoso es la razón de su poder
luminoso a su poder radiante .vP eP
e
v
P
PK
Definición: La iluminancia es el poder luminoso que incide por unidad de
área sobre una superficie. Su unidad SI es el lumen por metro cuadrado (olm/m
vE2), que
recibe el nombre de lux (lx). Otras unidades son el lumen por pie cuadrado (lm/pie2),
llamado pie – candela y el lumen por centímetro cuadrado (lm/cm2), llamado phot (ph).
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TEMA XIV. OPTICA
LENTES
Hay fundamentalmente dos tipos convergentes (positivas) y divergentes
(negativas)
Las lentes convexas son siempre convergentes.
Las lentes cóncavas son siempre divergentes.
Las lentes menisco pueden ser convergentes o divergentes dependiendo de la
curvatura relativa de sus superficies cóncava y convexa.
Definición: La distancia focal f de una lente es la distancia del centro C de la
lente al foco de imagen F’. Es la característica principal de la lente.
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Imágenes reales
Una lente positiva (convergente) da una imagen real de un objeto lejano situado
en el plano focal
Fórmula de las lentes
1 Como los triángulos rectángulos CAB y CA’B’ son semejantes, tenemos:
s
s
h
h ''
2 Como los triángulos rectángulos F’CP y F’A’B’ son semejantes,
tenemos:
'
'''
CF
AF
h
h
Pero la distancia 'CF es la distancia focal f y la distancia '' AF es , por lo
que podemos escribir la última ecuación en la forma
fs'
f
fs
h
h ''
3 Entonces, según la primera ecuación tendremos:
f
fs
s
s ''
y despejando:
fss
1
'
11Fórmulas de las lentes
Cuando la distancia al objeto s sea muy grande, tendremos:
fsfs
'1
'
1
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Ejemplo:¿Cuál es la distancia imagen de un objeto que esté a 100 cm
frente a una lente convergente de distancia focal 10 cm?
cmsscmcmscmscm
1.11'9
100
100
110
'
1
100
1
10
1
'
1
10
1
'
1
100
1
Definición: El aumento m de una imagen es la razón de la altura h’ de la imagen
a la altura h del objeto:
s
sm
h
hm
''
La relación entre las distancias objeto e imagen se puede presentar gráficamente
introduciendo las distancias reducidas s y 's , que son las distancias objeto e imagen
divididas por la distancia focal.
f
ss
y f
ss
''
Entonces, según la fórmula de las lentes tendremos:
1'
111
'
11
ssffsfs
lo que nos da una relación universal para lentes positivas.
INSTRUMENTOS DE UNA SOLA LENTE
Proyector
Ejemplo:Un proyector de diapositivas tiene una lente de distancia
focal f = 15 cm y proyecta una imagen sobre una pantalla situada a una distancia s’ = 4 m de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente ha de estar la diapositiva?. b) ¿Cuál será el aumento de la imagen formada por el proyector?
a)
cmcmscmcmcmsfs
6.1577
1200
1200
77
400
1
15
1
'
111 1
b)
7.2615
400'
cm
cm
f
sm
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Cámara fotográfica
Ejemplo:¿Cuál es el tamaño de la imagen de una mujer de 1,6 m de
estatura que se halle de pie a 4 m de una cámara fotográfica cuyo objetivo tiene una distancia focal de 50 mm?
El aumento es:
0125.0400
5
cm
cm
s
fm
entonces, la altura de la imagen será: cmcmhmh 0.20125.0160´
Definición: El campo de visión de una cámara fotográfica es el ángulo
subtenido por la escena proyectada sobre la película. Si w es la anchura de la película:
f
w
f
w
tan2
arctg22
1
2
1
Definición: Se llama abertura relativa de una lente a la razón d/f de su diámetro
a su distancia focal. La iluminación que llega a la imagen es proporcional al cuadrado
de la abertura relativa. El recíproco de la abertura relativa se denomina número f y es:
d
ff número
Definición: La velocidad de obturación de una cámara fotográfica es el tiempo
que permanece abierto el obturador mientras se toma una fotografía.
Definición: La profundidad de campo es la gama de distancias a la cual estará
un objeto en condiciones de enfoque satisfactorias para un ajuste de la cámara dado.
Telescopio
El telescopio refractor es un anteojo que utiliza una lente para enfocar la luz
procedente de un objeto lejano, mientras que el telescopio reflector utiliza un espejo
curvo.
Una medida útil del poder de reunión de luz L de un telescopio es la razón del
área de la lente (o espejo) del telescopio al área de la pupila del ojo humano.
2
2
2
5.2)63.0(
dcm
dL
donde d es el área de la lente y (0.63 cm)2 es el área de la pupila del ojo humano.
Una medida útil del poder de ampliación M de un telescopio es la razón del
aumento del telescopio al aumento del ojo humano.
fcm
fM )59,0(
)7,1(donde f es la distancia focal del telescopio y 1,7 cm es la distancia focal del ojo
humano.
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IMÁGENES VIRTUALES
Una lente positiva no forma una imagen real de un objeto cuando la distancia del
objeto s sea menor que la distancia focal f.
Cuando la imagen sea virtual, la fórmulas de las lentes que se aplicará será:
fss
1
'
11
Lupa
La lupa es una lente convergente que se utiliza para examinar objetos pequeños.
El objeto se coloca entre el foco y la lente, con lo que se crea un imagen virtual
derecha y agrandada.
A efectos de cálculo suele suponerse que la imagen se forma a 25 cm de la lente.
Tomando s’ = 25 cm, tendremos:
)25)((
251
25
11
cmf
cmf
fcmsy por tanto:
f
cm
f
cmf
s
cm
s
sm
251
2525'
Ejemplo:a) ¿Cuál es el aumento de una lente de distancia focal de 5
cm? b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse el objeto para conseguir ese aumento?
a)
65
251
cm
cmm
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b)
cmcm
s
entonces
cmcmcm
cmcm
s
16.424.0
1
:
25.0)25)(5(
2551
1
1
entonces el objeto deberá colocarse a: cmcmcmsfd 84.016.45
Gafas para lectura
Las gafas para lectura crean una imagen virtual a una distancia focal en el que el
ojo pueda acomodar la distancia del cristalino a la retina. Por tanto, el tratamiento de
estas imágenes será igual que para el caso de las imágenes virtuales.
Definición: La potencia de una lente es el valor inverso de su distancia focal. La
unidad de potencia es el inverso del metro (m-1
) y se denomina dioptría
Lentes negativas
Una lente negativa (divergente) aumenta siempre la divergencia de los rayos que
la atraviesan. Sus prolongaciones en sentido opuesto se cortan en un punto F del eje
óptico que será el foco de la lente negativa. La distancia F al centro de la lente es la
distancia focal, la cual se considera negativa.
Una lente negativa forma siempre una imagen virtual de un objeto situado a una
distancia s cualquiera de la lente.
Se utiliza la fórmula de las lentes para imágenes virtuales, pero tomando como
negativa la distancia focal.
ESPEJOS
Espejos planos
Un espejo plano es un espejo cuya superficie es plana.
El espejo plano devuelve una imagen que está situada a la misma distancia que
el objeto de origen.
ss'
Espejos parabólicos
Los espejos parabólicos devuelven y proyectan la luz igual que las lentes.
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INSTRUMENTOS DE DOS LENTES
Microscopio
El microscopio tiene en la parte inferior una lente que forma una imagen real del
objeto. En la parte superior tiene otra lente que actúa como lupa
Ejemplo:Las distancias focales del objetivo y del ocular de un
microscopio son respectivamente, f1 = 0.5 cm y f
2 = 3.0 cm y dichas
lentes están separadas una distancia d = 18 cm. Localizar las posiciones de la imagen real y virtual y determinar el aumento del microscopio.
3.90.3
251
251
2
2cm
cm
f
cmm aumento del ocular
El ocular produce una imagen virtual a s’2 = 25 cm de la
imagen real situada a s2 del ocular. Entonces s
2 será:
cmcm
scmcmcmfss
68.2373.0
1373.0
0.3
1
25
11
'
1112
1
222
La imagen real que da el objetivo debe hallarse a 2,68 cm por debajo del ocular. Como las distancia entre el ocular y el objetivo es de 18 cm entonces, la distancia s’
1 de la imagen real al objetivo
será:cmcmcmsds 32.1568.200.18' 21
Por tanto la distancia objeto será:
cmcm
scmcmcmsfs
517.0935.1
1935.1
32.15
1
5.0
1
'
11111
1
1112
El aumento de la imagen real será:
7.305.0
34.15'
1
11
cm
cm
f
sm
La imagen virtual será M veces mayor que el objeto según:
21
121
251
'
f
cm
f
smmM
7www.cursodeacceso-uned.com
Por lo tanto el aumento del microscopio será: 285)3.9)(7.30(21mmM
Telescopio
El telescopio posee una gran lente primaria (objetivo) y una pequeña lente
secundaria (ocular)
Cuando la distancia focal f del ocular sea menor que la distancia focal f1 del
objetivo, el ángulo de emergencia ' de esos rayos será mayor que el ángulo con que
incidieron. Esto tiene como consecuencia que la imagen vista a través del instrumento
parezca más próxima que el objeto visto a ojo desnudo.
El cociente ' de esos ángulos es aproximadamente igual al cociente
tg'tg . Por tanto tendremos:
1
tgf
DC y
22
'''tg
f
DC
f
CD
En consecuencia, el cociente de las tangentes, llamado aumento angular a del
telescopio es:
2
1
1
2
tg
'tg
f
f
fDC
fDCa
Un aumento grande requiere un objetivo de larga distancia focal, hecho al que se
debe que los telescopios sean tan largos.
Lentes compuestas
Dos lentes puestas juntas actúan como una sola lente.
Ejemplo:¿Cuál es la distancia focal de la combinación de una lente de
0,50m con otra de 0,75m?
mfmmmmmffff
30.033.333.10.275.0
1
50.0
11111 111
21
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ABERRACIONES
Lentes esféricas
El radio de curvatura r de una superficie esférica es el radio de la esfera de la
cual es un casquete la cara; es positivo si la cara es convexa y negativo si es cóncava.
La distancia focal de una lente simétrica de curvatura r es:
)1(2 n
rf
Donde n es el índice de refracción del vidrio.
Ejemplo:¿Cuál es el radio de curvatura de una lente simétrica de
distancia focal 50 mm, cuyo vidrio tiene un índice de refracción de 1.55?
cmcmfnr 5.5)0.5)(55.0)(2()1(2
Aberraciones cromáticas
La aberraciones cromáticas son defectos de la lente que impiden que se
enfoquen en un mismo punto luces de colores diferentes. Se deben a la variación del
índice de refracción n con la longitud de onda , fenómeno llamado dispersión.
La aberración cromática se corrige utilizando un par de lentes que funcionan
como una sola.
Aberraciones monocromáticas
Existen cinco aberraciones monocromáticas que no se deben a la dispersión del
vidrio, sino a que la lente esférica no puede formar una imagen ideal
- Esfericidad (un punto se mostrará como un círculo)
- Coma (en vez de formarse un círculo se formará una coma)
- Astigmatismo
- Curvatura de campo (lentes que alargan más la imagen ) como los
espejos del circo.
- Distorsión. (de una rejilla cuadrada sale una imagen esférica).
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TEMA XV. ELECTRICIDAD
FUERZAS FUNDAMENTALES
Dentro del átomo hay tres clases de partículas: protones, neutrones y electrones.
Los protones y neutrones están estrechamente unidos formando el núcleo del átomo.
Los protones, neutrones y electrones son indivisibles, por lo que se dice que son
partículas elementales.
Actualmente se conocen cuatro fuerzas fundamentales distintas:
1) Fuerza gravitatoria (gravedad)
2) Fuerza electromagnética (electricidad y magnetismo)
3) Fuerza nuclear
4) Fuerza débil.
LEY DE COULOMB
La magnitud Fe de la fuerza eléctrica que se ejercen dos cuerpos de cargas q1 y
q2 separados una distancia r es:
2
21
r
qqKFe
donde K es una constante universal eléctrica 2
29100.9
CmNxK
La fuerza eléctrica F1 que ejerce q2 sobre q1 es:
er
qqKeFF e 2
211
donde e es el vector unitario dirigido de q2 a q1.
La constante K suele escribirse en la forma:
2
29
0
1094
1
CmNxK
donde 2
212
0 1085.8mN
Cx es la llamada permitividad del vacío.
Entonces la ley de Coulomb escrita en función de 0 será:
er
qqF
2
21
0
14
1
Conservación de la carga. En todo proceso físico, la carga total no varía.
Inducción
Fuerza atractiva
er
qqe
r
qqF ii
2
0
2
0 4
1)(
4
1
Fuerza repulsiva
edr
qqF i
2
0 )(4
1
1www.cursodeacceso-uned.com
Fuerza total. Es la suma de la fuerza atractiva y la fuerza repulsiva.
edrr
drdqq
edrrr
qqFFF
i
i
22
2
0
222
0
)(
)2(
4
)(
11
4
1
Aisladores y conductores
Las sustancias se diferencian en la libertad relativa con que pueden moverse los
electrones en ellas. Una sustancia en la cual los electrones pueden moverse con gran
facilidad recibe el nombre de conductor y una sustancia en la que los electrones no se
pueden mover con gran facilidad se llaman aisladores.
CAMPO ELÉCTRICO
La fuerza F1 que ejerce por si solo q1 sobre q es:
12
1
1
0
14
1e
r
qqF
donde r1 es la distancia entre q1 y q y e1 es el vector unitario dirigido de q1 a q
Cuando existen varias fuerzas ejerciendo varias cargas sobre q, la fuerza total
será la suma vectorial de esas fuerzas.
4
1
4
12
0
43214
1
i i
i
i
ii e
r
qqFFFFFF
Definición: El campo eléctrico E en un punto P creado por un sistema de cargas
generadoras (q1, q2, q3, ...,qn) es:
n
i
i
i
i er
qE
12
04
1
donde ri es la distancia de qi a P y ei es un vector unitario dirigido de qi a P.
La fuerza que ejerce un sistema de cargas generadoras sobre una carga de prueba
q situada en P es:
qEFdonde E es el campo eléctrico en P debido a las cargas generadoras.
Ejemplo:a) Hallar el campo eléctrico creado en el punto P por las dos
cargas generadoras q1 = -6x10-5C y q
2 = 3x10-5C. B) ¿Qué fuerza se
ejercería sobra una carga de prueba q=-4x10-2C situada en P?
Ee1F
2m 4m-
q1
+
q2
-
P
e2
2www.cursodeacceso-uned.com
a) Los vectores unitarios e1 y e
2 son iguales en este caso,
entonces
1
3
12
5
2
5229
22
2
212
1
1
0
)/1087,1(
)4(
103
)6(
106)109(
4
1
eCNx
em
Cx
m
CxCmNxe
r
qe
r
qE
b) la fuerza que se ejerce sobre la carga de prueba es:
11
32 )175()/1087.1)(104( eNeCNxCxqEF
Líneas de fuerza
Definición: Una línea de fuerza es una curva (o recta) que, en cada uno de sus
puntos es tangente al campo creado en él por una configuración dada de cargas
generadoras.
POTENCIAL ELECTRICO
Según la teoría de las fuerzas vivas, el trabajo WAB que efectúa una fuerza F
sobre q al llevar un cuerpo de A a B, es igual a la variación de su energía cinética.
ABAb KKWComo el cuerpo parte de reposo, le trabajo se puede representar en función de su
energía potencial.
BAAb UUWEntonces, igualando las dos ecuaciones
AbBA KKUUlo que nos lleva a que:
BBAA KUKUque significa que la suma de la energía cinética y potencial de una carga en el
punto A es igual a la suma de la energía cinética y potencial de la carga en el punto B.
La energía potencial eléctrica de una carga puntual q a una distancia r de una
carga puntual q1 es:
r
qqU 1
04
1
Ejemplo:a) ¿Cuál es la energía potencial de un electrón en un punto A
situado a una distancia rA = 0.53 x 10-10 m de un protón?. B) ¿Cuál
es la celeridad vA mínima que ha de tener el electrón para poder
escapar por completo del protón?
a)
JxmNx
mx
CxCmNx
r
qqU
A
pe
A
1818
11
19229
0
103,4103,4
103,5
)106,1)(/.100,9(
4
1
3www.cursodeacceso-uned.com
b) JxUmvK AAA
182103,4
2
1
smxv
KgJxKgx
Jx
m
Jxv
A
A
/101,3
/104,9)101,9)(5,0(
103,4
2
1
103,4
6
12
31
18182
Superficies equipotenciales
Definición: Se llama superficie equipotencial a una superficie cuyos puntos
tienen todos el mismo potencial.
Ejemplo:¿Cuál es la celeridad máxima que puede obtenerse con
protones acelerados por un generador Van de Graaff de 4 millones de volt?.
Suponiendo que las energías cinética y potencial iniciales del protón son:
0K
yJxVxCxeVqVU 13619 1064)104)(106,1(
como se busca la celeridad máxima, entonces, la energía potencial en es punto será 0 y la energía cinética será máxima. Por tanto:
JxmvK 132 104,62
1
y la celeridad máxima será:
smxkgx
Jxv /1077,2
1067,1
)104,6(2 7
27
13
HACES ELECTRONICOS
Son dispositivos encapsulados en vacío que tienen un cátodo, que calentado por
un filamento, hace que partan electrones hacia un ánodo.
La energía cinética inicial de los electrones es casi nula, por lo que la energía
cinética al llegar al ánodo vendrá dada por:
UqVKdonde q será la carga del ion y V el potencial de la capa.
La carga de un ion es q = -e, por lo que:
)'()'()'( VVeVVeVVqUqVK
o sea
VeK 'donde es la diferencia de potencial entre ánodo y cátodo. V
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Ejemplo:¿Qué diferencia de potencial se necesita para acelerar
electrones hasta una energía cinética K’ igual a 1,5 x 10-15 J?
eVeVx
xJxK 9375106,1
1)105,1(105,1'
19
1515
El incremento de energía cinética de un electrón es igual a la diferencia de potencial a través de la cual ha pasado ele electrón. Entonces:
V=9375V
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TEMA XVII. MAGNETISMO El magnetismo es una fuerza fundamental de la naturaleza estrechamente
relacionada con la electricidad.
CAMPO MAGNETICO
El ejemplo más conocido de magnetismo es la atracción de pedacitos de hierro
por los extremos, o polos de un imán.
En todo imán aparece un polo norte y un sur.
Si se parte un imán por la mitad, automáticamente, en los extremos de ruptura
aparecen un polo norte y uno sur, quedando por tanto, dos imanes completos.
Los polos opuestos se atraen y los iguales se repelen.
En un imán se puede definir un campo magnético que irá desde el polo norte al
sur.
En este campo magnético existe unas líneas de fuerza, que estarán más apretadas
en las regiones donde sea más fuerte el campo magnético.
Un imán no es otra cosa que un dipolo con sus polos separados una distancia d.
ELECTROMAGNETISMO
Campo creado por una corriente rectilínea.
Ampere demostró que cuando se hace pasar una corriente a través de un
conductor se generan unas líneas de fuerza magnéticas.
Regla de la mano derecha. Cuando se ase el hilo conductor con la mano
derecha, de manera que el pulgar señale el sentido de la corriente, los otros dedos
rodean al hilo en el mismo sentido que el campo magnético.
La magnitud B del campo magnético en un punto próximo a un hilo muy largo
que transporte una corriente, es proporcional a la intensidad I de ésta e inversamente
proporcional a la distancia r del punto al hilo
r
IkB
donde k es una constante de proporcionalidad
La unidad en el sistema internacional es la Tesla (T).
mANT 11
El Gauss es otra unidad de campo magnético
TG 4101
La constante k es:
AmTxk 70 102
2
donde , es la llamada permeabilidad magnética del vacío.
Entonces:
amT /104 7
0
r
IB
2
0
1www.cursodeacceso-uned.com
Ejemplo:¿Cuál es el campo magnético en un punto a 5 cm de un hilo
que conduce una corriente de intensidad 3A?
GTm
AAmT
r
IB 12.01020.1
)05.0(2
)3)(/104
2
57
0
Campo de una bobina circular
El campo magnético creado por un hilo que conduce una corriente se incrementa
mucho al dar al hilo la forma de la bobina circular de muchas espiras. Cada espira crea
un campo proporcional a la intensidad I de la corriente que circula por la espira, por
tanto:
a
InB
2
0
Ejemplo:Una bobina de radio 5 cm tiene 100 espiras. ¿Cuál es el
campo magnético en el centro de la bobina cuando la corrienteque circula por ella tenga una intensidad de 3 A?
GTm
AAmT
a
InB 7.371077.3
)05.0(2
)3)(/104(
2
37
0
Electroimán
En muchas aplicaciones del magnetismo, se refuerza el campo magnético creado
por una espira utilizando una propiedad peculiar llamada ferromagnetismo.
El ferromagnetismo es la tendencia de los dipolos magnéticos de los electrones
más externos de un átomo a orientarse paralelamente a los dipolos magnéticos de los
electrones correspondientes de un átomo vecino.
En un hierro sin imantar, los dipolos están igualmente orientados dentro de un
pequeño volumen, o dominio, si bien la dirección de orientación cambia de un dominio
a otro.
El electroimán consiste en una bobina devanada en torno a un cilindro de hierro.
El campo magnético que circula por la bobina hace aumentar el tamaño de los dominios
del hierro que estén imanados en la dirección del campo. De esta manera el hierro
desarrolla su propio campo magnético que se suma al campo desarrollado por la
corriente en la bobina.
Relé eléctrico. Un relé eléctrico es un interruptor que se puede gobernar
mediante otro circuito.
Timbre eléctrico. El timbre eléctrico consta de una placa (martillo) y un
electroimán que la atrae cuando se cierra el circuito. Lleva un circuito realimentado por
el cual cuando la placa se acerca al electroimán, se abre el circuito de alimentación de la
bobina, con lo cual por el efecto del muelle, la placa vuelve a su posición inicial
volviendo a cerrar el circuito de alimentación de la bobina.
Motor eléctrico. El motor de corriente continua, consiste en un electroimán
(inducido) montado sobre un eje que gira entre los polos de un imán. Este eje está
conectado a una pila mediante unos colectores a unas escobillas.
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FUERZAS MAGNETICAS
Fuerzas que se ejercen sobre una corriente
El descubrimiento de Oersted del electromagnetismo puso de manifiesto que una
corriente eléctrica ejerce, a través de su campo magnético, una fuerza sobre un imán
La fuerza magnética que se ejerce sobre un hilo conductor vendrá dada por:
senBILFm
Donde:
B = campo magnético uniforme
I = corriente que atraviesa el hilo
L = longitud del hilo
= ángulo que forma el hilo con el campo magnético.
La fuerza magnética que se ejerce sobre una corriente es normal al plano en que
se encuentran el campo magnético y la corriente. Para hallar el sentido de la fuerza se
utiliza la siguiente regla.
Regla de la mano izquierda. Cuando se dirige el pulgar en el sentido del campo
y el índice en el de la corriente, el dedo mayor señala el sentido de la fuerza.
Ejemplo:Una bobina plana de 6 cm. de longitud y 2 cm de anchura
está situada en un campo magnético de 0,02 T. Si la bobinacontiene 200 espiras y conduce una corriente de intensidad 50 mA, ¿qué momento se ejerce sobre ella?
mN
mATmATnBIAm
4
24243
104.2
104,2)1012)(1050)002.0)(200(
Instrumentos de medida
Galvanómetro. Es un instrumento destinado a la medida de las intensidades de
corriente muy débiles
Amperímetro. Es un instrumento portátil que se usa para medir intensidades de
corriente.
Voltímetro. Es un instrumento para la medida de la diferencia de –potencial
entre dos puntos.
Fuerzas que se ejercen sobre una carga en movimiento
Sobre una partícula cargada que se mueva en un campo magnético se ejerce una
fuerza magnética.
La partícula recorre la distancia L del punto P al punto Q en un tiempo
v
Lt
3www.cursodeacceso-uned.com
con lo que la intensidad de corriente entre P y Q durante ese tiempo será:
L
qv
vL
q
t
qI
y la fuerza magnética que se ejerce durante ese tiempo será:
BqvFLL
qvBBILF mm
Así pues, una partícula cargada situada en un campo magnético uniforme
describirá una circunferencia de radio r dada por:
Bqrmvr
mvBqv
2
Espectrómetro de masas
Es un instrumento que mide las masas de los distintos átomos y moléculas de un
gas desviando las partículas en un campo magnético.
La celeridad de un ion de masa m y carga q al llegar a la pantalla será:
m
qVv
2
la masa de la partícula vendrá dada por:
v
qrBmBqr
m
qVm
2
2 22
INTRODUCION A LA ELECTROMAGNETICA
Después del descubrimiento de Oersted, Faraday comenzó sus investigaciones
sobre el electromagnetismo. Faraday pensaba que si una corriente eléctrica da origen a
un campo magnético, también un campo magnético podría dar lugar a una corriente
eléctrica. Así Faraday descubrió el principio de inducción electromagnética, que es la
creación de un campo eléctrico por medio de un campo magnético.
Otros experimentos demostraron que en la bobina se induce una fem no sólo
cuando se acerca o se aleja el imán sino cuando se cera o interrumpe la corriente en otra
bobina próxima. Esta y otras observaciones demuestran que la magnitud de la fem
inducida está relacionada con la magnitud del flujo magnético.
Definición: El flujo magnético que atraviesa una bobina es el producto de la
componente Bn del campo magnético normal de la bobina, por el área A que ésta limita
y por el número n de espiras:
AnBn ó cosnBAdonde es el ángulo que forma el campo magnético B con la normal a la
bobina.
4www.cursodeacceso-uned.com
El flujo magnético viene determinado en Weber (Wb) que equivale a 1 Tesla por
metro cuadrado.
La magnitud de la fem inducida en una bobina viene dada por la ley siguiente:
Ley de Faraday de la inducción electromagnética. La fem inducida en una
bobina en un intervalo de tiempo corto t es
tdonde es la variación de flujo durante este intervalo de tiempo
Ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida en una bobina es tal que su
campo magnético Bi se opone a la variación de flujo que la produce.
Ejemplo:La componente normal a un circuito constituido por una
bobina de 10 espiras de radio 5 cm, del campo magnético exterior, varía de 0 a 18 T en 0,3 seg. a) Si la resistencia de la bobina es de 2
, ¿cuál será la intensidad de la corriente inducida?. b) ¿cuál es el sentido de la corriente?
a) El flujo inicial es nulo y, el flujo final 1 2 será:
WbmTAnBn 41,1)1025)(18)(10( 24
2
luego
Wb41,112
entonces, la fem inducida será:
Vs
Wb
t7,4
03,0
41,1
y la intensidad inducida será:
AV
RI i 35,2
2
7,4
b) Para calcular la dirección del campo magnético se comprueba según la regla
de la mano derecha.
Generador eléctrico
Un generador eléctrico dinámico es un generador de fem que utiliza el
movimiento de una bobina en un campo magnético para crear una corriente.
El flujo que atraviesa la bobina viene dado por:
cosnABAnBn
Si la bobina gira con velocidad angular constante (en radianes), tendremos que el
ángulo en radianes será:
ty el flujo quedará como :
tnAB cos
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entonces el periodo de oscilación del flujo vendrá dado por:
2
Ondas electromagnéticas
El concepto de campo eléctrico y campo magnético lo desarrollo Faraday en
forma descriptiva para visualizar los fenómenos electromagnéticos.
Fue Maxwell el que formuló las llamadas ecuaciones de Maxwell constituyen
del punto de partida de los modernos estudios de electromagnetismo.
1) Las cargas eléctricas crean campos eléctricos (ley de Coulomb)
2) Los polos magnéticos aislados no existen.
3) Las corrientes crean campos magnéticos (electromagnetismo)
4) Un flujo magnético variable crea un campo eléctrico (inducción
electromagnética).
5) La carga total de un sistema aislado no puede variar
6) Un campo eléctrico variable crea un campo magnético.
Maxwell demostró que una tal perturbación electromagnética actúa como onda
que se propaga por el vacío con una celeridad:
00
1v
donde es la permitividad eléctrica y 0 0 es la permeabilidad magnética.
Que coincide con la celeridad medida de la luz.
BOBINAS DE AUTOINDUCCION
Definición: Una bobina de autoinducción es un elemento de circuito constituido
por un hilo conductor aislado arrollado sobre un núcleo de aire o hierro.
Circuito resistencia – autoinducción (RL)
La intensidad máxima Im de la corriente que circula por el circuito será:
RIm
que es la que existiría en ausencia de autoinducción.
Definición: El coeficiente de autoinducción L de una bobina es el cociente entre
el flujo que la atraviesa y la intensidad de la corriente que por ella circula.
IL
El coeficiente de autoinducción tiene un valor característico que es
independiente de la intensidad de al corriente.
La unidad de autoinducción es el Weber por amperio o Henrio
6www.cursodeacceso-uned.com
Antes de cerrar el circuito el flujo en la bobina es 0. Cuando se cierra el circuito
según la ley de Lenz se crea una fem que se opone al aumento de flujo
momentáneamente. Entonces la intensidad de la corriente en un tiempo t posterior al
cierre del circuito vendrá dado por:
t
m
tL
R
eIeR
I 11)(
donde
RI
es la intensidad en es estado estacionario, intensidad máxima
y
R
L
es la constante de tiempo
Bobinas en serie
NOTA: Igual que resistencias en serie
Bobinas en paralelo
NOTA: Igual que resistencias en paralelo.
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TEMA XVIII. CORRIENTE ALTERNA
GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA
Un generador eléctrico dinámico es un dispositivo que convierte energía
mecánica en energía eléctrica.
La variación de flujo se debe o a la rotación de la bobina respecto al campo
magnético o a la rotación del campo magnético con respecto a la bobina.
Las bobinas que generan la fem están montadas en una estructura denominada
inducido. Las bobinas que crean el campo magnético están montadas en el inductor. La
estructura que gira se llama rotor y la estructura fija se llama estátor.
En la mayoría de los alternadores el inducido constituye el estátor y el inductor
el rotor.
La rotación del electroimán rotor crea un flujo alterno a través de la bobina del
inducido, generando una fem alterna. Esta fem viene dada por:
tfVp 2cos
CORRIENTE ALTERNA EN CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS
La intensidad instantánea Ix de la corriente que circula por la resistencia viene
dada por la ley de Ohm.
tfIRR
VI p
xx 2cos
donde
R
VI
p
p
Potencia
La potencia Px que se disipa en un circuito de CA es:
xxx IVPDefinición: La intensidad eficaz Ief es la raíz cuadrada del valor medio del
cuadrado de la intensidad:
2
IIef
entonces:
2
p
ef
II
1www.cursodeacceso-uned.com
Definición: La tensión eficaz Vef es:
2
p
ef
VV
Ejemplo:a) ¿Cuál es la resistencia de un tostador de pan americano de
potencia nominal 1200 W?. b) ¿Cuál será la potencia disipada en este tostador si se enchufara en Inglaterra?
a) 121200
)120( 22
W
V
P
VR
ef
b) WV
R
VP
ef4800
12
)240( 22
Fasores
Definición: Llamaremos fasor a un vector bidimensional que utilizaremos para
representar una cantidad alterna tal como una intensidad o una tensión. El módulo del
fasor es igual al valor de pico de la cantidad y el ángulo que forma el fasor con el eje x
es igual al factor temporal ft2
En la figura se puede ver la
representación de la tensión:
tf2cospx VV
Mediante el fasor V de módulo Vp y
argumento tf2 . La componente x de
este fasor es igual a la tensión en el instante t.
tf2coscos ppx VVV
Si imaginamos que el fasor gira
alrededor del origen en sentido antihorario con
la celeridad angular constante f2
la componente x será igual a la tensión en cada instante.
En un circuito resistivo puro, la intensidad y la tensión son proporcionales.
ft2cosR
VI
p
p
por lo que los fasores tendrán la misma dirección y sentido.
En la conexión en estrella la tensión entre línea y neutro entre los conductores a
y o es aft2cosaoV
by está representada en la figura por el
fasor Vbo . o
c
2www.cursodeacceso-uned.com
Del mismo modo, la tensión entre línea y neutro entre los conductores b yo es
)3
2ft 2cos(boV
y está representada por el fasor Vao. El fasor Vbo tiene el mismo módulo que Vao
pero está siempre adelantado respecto a éste radianes3
2 , o sea 120º
Y así ocurrirá lo mismo con el otro fasor, sumándole la diferencia de ángulo en
radianes.
AUTOINDUCCION Y CAPACIDAD EN UN CIRCUITO DE CA
Una bobina de autoinducción que ofrece una resistencia nula a una corriente
continua de intensidad constante, obstaculiza el paso de corriente alterna porque ésta
induce en la bobina una fem que se opone a la circulación de dicha CA.
Al condensador le ocurre lo mismo que a las bobinas pero en sentido inverso.
Resistencia nula a la CA y oposición al paso de la CC.
Circuito resistivo
La intensidad de la corriente en un circuito resistivo puro viene dada por:
R
VI
En un circuito resistivo de CA, la intensidad y la tensión están en fase
La potencia instantánea viene dada por:
xxx IVPy la potencia media por:
R
VRIVIP
22
2
1
2
1
2
1
3www.cursodeacceso-uned.com
Circuito Inductivo
Definición: La reactancia inductiva XL de una bobina de coeficiente de
autoinducción L en un circuito de CA de frecuencia f es:
fL2LXLa unidad de reactancia inductiva es el
La intensidad en un circuito inductivo puro esta 90º desfasada con la tensión
(adelantada).
La corriente en un circuito inductivo puro viene dada por:
LX
VI
La corriente instantánea vendrá dada por:
2
1ft2cosII x
La tensión instantánea vendrá dada por:
ft2cosVVx
Circuito capacitivo
Definición: La reactancia capacitiva XC de un condensador de capacidad C en
un circuito de CA de frecuencia f es:
fC2
1CX
4www.cursodeacceso-uned.com
La unidad de reactancia capacitiva es el
La intensidad en un circuito capacitivo puro esta 90º desfasada con la tensión
(atrasada).
La corriente viene dada por:
CX
VI
La tensión instantánea por:
ft2cosVVx
y la corriente instantánea por:
2
1ft2cosII x
Circuito RLC
El vector impedancia Z de un circuito RLC es un vector cuya componente x es
igual a la resistencia R del circuito y cuya componente y es igual a la diferencia entre
las inductancias capacitiva e inductiva del circuito. La impedancia Z de un circuito RLC
es el módulo del vector impedancia:
22 )( LC XXRZ
El ángulo de fase , es el que forma Z con el eje x:
R
XX LCarctg
La corriente viene dada por
Z
VI
La tensión instantánea viene dada por:
ft2cosVVx
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La corriente instantánea por:
ft2cosII x
La potencia instantánea por:
xxx IVPLa potencia media la da:
coscos2
1efef IVVIP
Resonancia
Definición: Un circuito RLC se encuentra en resonancia cuando la reactancia
inductiva XL sea igual a la reactancia capacitiva XC.
La frecuencia de resonancia de un circuito vendrá dada por:
LCf
1
2
1
TRANSFORMADOR
Un transformador consiste en dos bobinas devanadas sobre un núcleo de hierro
común. La primera de ellas, o devanado primario, tiene N1 espiras y se conecta a un
generador de CA de fem.
ft2cos1VLa otra, llamada devanado secundario, tiene N2 espiras y se conecta a una
resistencia R a través de un interruptor S.
Cuando el interruptor esté abierto, por el devanado primario circulará una
corriente llamada corriente magnetizante.
fL
VImag
2
1
y está desfasada 90º respecto a la tensión. En consecuencia, no se entrega
potencia alguna al primario.
La corriente magnetizante alterna establece en el hierro un campo magnético
alterno B. El flujo de ese campo a través del devanado 1 es:
111 )(BANdonde (BA)1 es el producto del campo por el área de la sección recta del
devanado 1. La fem en éste está relacionada con el flujo por la ley de Faraday.
t
1
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o sea
t
BANftV 1
11
)(2cos
y la fem del secundario es:
t
BAN
tftV 2
22
2
)(2cos
La relación de transformación entre el primario y el secundario viene dada por:
1
1
22 V
N
NV
y 1
2
12 I
N
NI
Corrientes de Foucault
La variación del flujo en el interior del núcleo de hierro de un transformador
induce una corriente no sólo en el hilo del secundario, sino también en el propio hierro.
A esas corrientes inducidas en el cuerpo de un conductor se les da el nombre de
corrientes de Foucault.
MOTORES
Definición: El rendimiento e de un motor es el cociente entre la potencia
mecánica útil que entrega Pútil y la potencia eléctrica que consume Pel.
el
útil
P
Pe
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