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Primitiva o antiderivada de una funcin
La funcin G(x) es una primitiva o antiderivada de la funcin f(x) en unintervalo I, si G'(x) = f(x) para todoxdel intervalo I.
Observacin:
De la definicin se ve que G no es nica.
Para que G(x) exista, la funcin G(x) debe ser continua.
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Interal indefinida
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) sonde la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria ue puede sercualuier n!mero real.
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El conjunto de todas las antiderivadas sedenomina: laIntegral Indefinidade f
respecto a x, denotada por:
+= CxFdxxf )()(!"#bolo deInteral
$uncininterando
Diferencial de x
%na antiderivada de f
&onstante deinteracin
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'as ri#itivas se diferencian en una constante
"nte#rando$erivando
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Proiedades de la interal indefinida
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Interales in#ediatas
Integrales inmediatas:una tabla de derivadas le%da al rev&s proporcionaprimitivas e inte#rales indefinidas.
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
xrdx =
xr+1
r + 1+ C, para cualquier constante r 1
f '(x) [f(x)]
r
dx =
[f(x)]r+1
r + 1 + C para r -1Tipo general
cos x sen!x dx =
"#e$plo%
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
ipo #eneral
emplo*
dx
xf
xf
)(
)('= ln &f(x)& + C
tg !x dx = 1
! ! sen !x
cos !xdx =
1
!ln &cos !x & + C
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
Tipo general
"#e$plo%
f '(x) af(x)dx = af(x)
ln a+ C, para a
xex!dx = 1
!!xex!dx = 1
!ex! + C
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
Tipo general
"#e$plo%
f '(x) sen f(x)dx = cos f(x) + C
e!xsen (e!x+ ) dx = 1
!! e!xsen (e!x+ ) dx = 1
!cos (e!x+ ) + C
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
Tipo general
"#e$plo%
f '(x) cos f(x)dx = sen f(x) + C
e*xcos (e*x+ ) dx = 1*
*e*xcos (e*x+ ) dx = 1*sen (e*x+ ) + C
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
Tipo
general
"#e$plo%
e!x1 ex
dx = e!x1 (e!x)
dx = 1!
!e!x1 (e!x)
dx = 1!
arcsen e!x+ C
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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas
Tipo
general
11 + xdx =
"#e$plo%
11 + ( x)dx = 1 1 + ( x)dx =
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Interacin or artes
Consejos . Llamar ga una funcin de la ue sea cmodo obtener g.
. Si es cmodo obtener g sea cual fuere la eleccin ue -a#amos parag, llamar entonces ga auella ue -a#a ue f # se m/s cmodaue f # .
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Interacin or artes: *e#los
= xex [xexexdx ] = ex(x x + ) + C
xexdx = xex
exx dx = xex
x ex dx =
u = xdu = x dx
d = ex dx = exu = x du = dx
d = ex dx = ex
u = sen (. x) du = cos(. x) (1/x) dxd = dx = x
= x sen(ln x) x cos(ln x) sen(ln x) . dx
0espe#ando la integral uscada queda%
u = cos (. x) du = sen(. x) (1/x) dxd = dx = x
x sen (ln x) cos (ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
sen(ln x) dx =
1
x [sen(ln x) cos(ln x)] + C
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Interacin or sustitucin o ca#bio de variable
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Interacin or sustitucin: *e#los I
1
x ln xdx
Ca$io ln x = u dx / x = du
des2acer el ca$io
= ln & ln x & + C
0ara calcular una inte#ral por cambio de variable*
1 2uscar una transformacin u = #(x) ue redu3ca su c/lculo al de una inte#ralinmediata.
1 Cuando se reali3a el cambio debe transformarse tambi&n la diferencialmediante.
du = #'(x) dx
1 $espu&s de calcular la inte#ral inmediata debe des-acerse el cambioponiendo #(x) de nuevo en lu#ar de u para obtener el resultado final.
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Interacin or sustitucin: *e#los II
des2acer el ca$io
x! x3+ dx =
Ca$io x3+ = u 3x! dx = du x! dx = du/3
sen!x .cos x dx =1
t!.dt =
Ca$io sen x = t cos x dx = dt cos x dx =dt/
=1
4sen3x + C
1
t3
3+ C
des2acer el ca$io
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Interacin de funciones racionales
5retende$os otener
5(x)
6(x)dx en donde 5(x) 7 6(x) son polino$ios tales que
grad[5(x)] = $ 7 grad[6(x)] = n
Caso 1% $ n 8ere$os que este caso se puede conertir al Caso
5(x) 6(x)
C(x)9(x)
con grad[9(x)] : grad[6(x)]
5(x) = C(x) . 6(x) + 9(x)
5(x)
6(x)= C(x) +
9(x)
6(x)
5or tanto%
5(x)
6(x)dx =
C(x) dx +
9(x)
6(x)dx
"n donde la pri$era
integral es in$ediata 7 lasegunda corresponde alCaso
Caso % $ : n "ntonces la integral se 2ace por desco$posici;n en fracciones si$ples
Co$o $ n, es posile la diisi;n entera entre 5(x) 7 6(x)
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Desco#osicin en fracciones si#les I
1 Supon#amos ue es posible factori3ar el polinomio 4(x). llo euivale a resolver laecuacin 4(x) = 5.
1 Supon#amos ue la ecuacin 4(x) = 5 tiene*
1 Soluciones reales sencillas(por eemplo x).1 Soluciones reales mltiples(por eemplo xcon orden de multiplicidad ).1 Soluciones complejas sencillas(por eemplo tiene dos soluciones, ue
son necesariamente conu#adas).1 l caso soluciones compleas m!ltiples no se estudia.
0or e. Si tiene una ra%3 simple una doble 6 dos compleas conu#adas, entonces dic-opolinomio se factori3a de la si#uiente manera*4(x) = ao(x 7 x) .(x 7 x).(x+ bx + c)
tal ue aoes el coeficiente del t&rmino de ma6or #rado.
5(x)
6(x)dx =
1
ao
5(x)
(x x1).(x x
).(x + x + c)
dx =
Paso 1.8actori3acin del polinomio 4(x)
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Desco#osicin en fracciones si#les
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Desco#osicin en fracciones si#les: e*e#lo
0esco$poner en fracciones si$ples%x+ x + 1
x x3 x + 1
Paso 1.8actori3acin del polinomio denominador
0or ;uffini obtenemos* x97 x(x 1)
+ Cx 1
+ ?x + @x+ 1
Paso 3.C/lculo de los coeficientes indeterminados
x + x + 1= (x1)(x+1) + >(x+1)(x+1) + C(x1)(x+1)(x+1) + (?x+@) (x+1)(x1)
x=1 >=!/3x=1 =1/4x= C + @ = 1/4x= C+?+@ = 1!/4x= C+?!@ = !/4
A de aquB% = 1/4 > = !/3 @ = 1/3 C = !/4 ? = 1/3
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Interales racionales con deno#inador de rado +
"studio de la integral ?x + @
ax+ x + cdx Sea $ el discriminante del
denominador* $ = b7 5Paso 1:se busca la derivada del denominador en el numerador.Paso 2:como consecuencia se puede descomponer la inte#ral en suma de otras
dos* la primera es inmediata (neperiano) 6 la se#unda es tipo arco tan#ente.> = 5 (Clculo de la integral tipo arco tangente!.
Paso3:se convierte el denominador en un n!mero (?) m/s un binomio al cuadrado(cosa ue es posible por ser $ 5). Si previamente se multiplica por
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Interacin de funciones triono#tricas:fr#ulas
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Interacin de funciones triono#tricas: #todos
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Interacin de funciones triono#tricas: #todos II
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Interacin de funciones triono#tricas: e*e#los I
=71
!cos !x -
Dcos
!!x +
1
1cos
!x+C
ipo ". xponente impar
=1
3x +
1
3
1 + cos3x
!
dx
!
3sen
x
! =
!x
4
!
3sen
x
! +
!
!sen
3x
! + C
ipo ". xponente par
sen!xdx =
(sen
!x)sen !xdx =(1cos
!x)sen !xdx =
sen3
x
!dx = 1
3
1 + cos
x
! cos
x
! dx =
sen
x
!
dx =
1 cos
x
!
dx =
= 13
1dx + 13
cos x! dx 13cosx! dx =
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Interacin de funciones triono#tricas: e*e#losII
ipo "". @l menos un exponente impar
cos3xsen!xdx =
cos3x senx sen x dx =
cos3x (1 cosx)sen xdx =
=cos3xsen xdx
cosxsen xdx =
= 1
cos x +
1
!cos* x + C
=1
4
1 cos 1x
dx
1
34sen!x
!=
= 14
senx dx 14
senx -cos x-dx =
=x
1
1
133sen! x
1
1Dsen 1x + C
ipo "". odos los exponentes pares
sen3!x cos!xdx =
(sen!x)cos!xdx =
1 cos x
1 + cos x
dx =
=1
4
(1 cos x)(1 cosx) dx =
( 1 cos x) ( 1 cos x) ( 1 + cos x)
( 1 cos x) ( 1 cosx)
senx
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Interacin de funciones triono#tricas: e*e#los III
ipo """* 0roducto de funciones con distinto ar#umento
sen !xcos xdx =
1
sen 4x dx +
1
sen( x) dx =
= 1
1cos 4x +
1
3cos( x) + C ==
1
1cos 4x +
1
3cos x + C
0ara resolverlas -a6 ue utili3ar las frmulas de trasformacin de sumasen productos
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&-lculo de -reas
1 n multitud de problemas ue se presentan en Ciencia 6 ecnolo#%a es precisocalcular el /rea encerrada por varias curvas.
1 ste problema pasa por encontrar el /rea limitada por una curva 6 = f(x), el ee AB 6las abcisasx= a,x = b.
Erea (Trapecio rectilBneo) =
=f(a) + f()
2.( a)
Erea (Trapecio curilBneo)
f(a) + f()
2.( a) "rror