Post on 12-Dec-2015
description
transcript
INTRODUCERE
Articolul prezinta formulele de evaluare a optiunilor care sunt independente de parametrii apartinand distributiei de probabilitate a randamentului activelor.
Desi acesti parametri pot influenta valoarea unei actiuni, obligatiuni si optiuni ei sunt “invizibili”, deoarece nu apar in formulele de evaluare a optiunilor.
STRUCTURA ARTICOLULUI
Secţiunea I prezintă formulele opţiunilor care au paremetrii lipsă si conditiile in care acestia nu apar;
Secţiunea II foloseşte aceste rezultate pentru a generaliza formulele Cox-Ross-Rubinstein (1979) şi Black-Scholes (1973);
Secţiunea III extinde aceste rezultate în timp continuu şi analizează rezultatele;
Secţiunea IV conţine concluziile.
I. PARAMETRI LIPSĂ Valoarea prezentă a activului este dată de relația:
= payoff
= operator de pret
Operatorul de pret este de forma:
β = factor de discount;
m(V, γ) = functie diferentiala ce depinde de pretul activului si un parametru al aversiunii la risc γ
Rubinstein (1976) :
-
- pretul activului este distribuit log-normal Þ Formula de evaluare Black-Scholes
o Definiţie: Opţiunile sunt independente de parametrul θ dacă preţul curent, P0, al oricărui pay-off, P(V1), poate fi scris ca o funcţie a preţurilor a două opţiuni fixate într-o manieră în care să nu depindă de β, γ sau θ.
Propoziţia 1: Dată fiind structura de preferinţă din ecuaţia 2, opţiunile sunt independente de θ, dacă şi numai dacă funcţiile de evaluare a preţului şi de densitate de probabilitate au următoarea formă:
(3a) (3b)
Corolarul: Dacă atunci formula Black-Scholes-Rubinstein este singura formulă pentru opţiuni (ca o funcţie a unei obligaţiuni şi a valorii spot a unui activ) care este independentă de o schimbare în randamentul mediul al acţiunii.
Avand in vedere ecuatia (4) =>
Pretul initial al activului :
Pretul unei obligatiuni cu discount:
Dacă este pozitiv, atunci preţul unei opţiuni de cumpărare (call), , cu preţul de exercitare , trebuie să fie egal cu:
PROPOZIȚIA 2: Dată fiind structura de preferință din ecuațiile (2) și (4). și presupunerea distributivă din ecuațiile (5) și (6), dacă σ este pozitiv, valoarea unei opțiuni call cu prețul de exercitare K este :
COROLAR: Dacă , atunci formulele (10a) și (10b) având μ=0 sunt singurele formule de opțiuni care sunt independente de o modificare în scala rentabilității acțiunii.
Generalizare Cox-Ross-Rubinstein
z are o densitate binomiala negativa cu parametrii n si q
PROPOZIȚIA 3: Dată fiind structura de preferință din ecuațiile (2) și (4), și presupunerea distributivă din ecuațiile (6) și (11), dacă σ este pozitiv, valoarea unei opțiuni call cu prețul de exercitare K este :
III. EXTENSIE IN TIMP CONTINUU Pentru a evalua opţiuni cu maturităţi arbitrare trebuie să
se utilizeze modele multiperioadă (multiperiod models). Acest lucru se realizează prin dezvoltarea unui proces stocastic care urmează o distribuție log-gamma sau log-binomială negativă.
O secvență de procese binomiale negative converge către un proces gamma.
Procesul gamma se aseamană cu procesele Wiener și Poisson.
Vom numi un proces x*(t) un proces gamma compensat cu δ grade de libertate dacă x*(t) = δ-1/2 (x(δt) – δt), unde x este un proces gamma.
Dat fiind un proces gamma xt, putem extinde rezultatele statice din secţiunea anterioară, presupunând că preţul activului, Vt urmează un proces log-gamma:
Dat fiind preţul unei obligaţiuni cu discount, cu maturitate t, P(t), putem aplica formula log-gamma în timp discret pentru o opţiune cu scadenţa t şi cu μ = ln (V0) + v(t) şi parametrul gradelor de libertate δt.
Pentru a compara modelul log-gamma cu modelul Black-Scholes (1973) cu o volatilitate σ*, vom avea:
μ = ln(V0/P(t)) - σ*δ1/2 , când folosim formula (10a)
μ = ln(V0/P(t)) + σ*δ1/2, pentru formula (10b)
Astfel, prețurile opțiunii devin omogene de grad 1 în V0/KP(t).
CONCLUZII Studiul a folosit o abordare bazată pe preferințe,
oferind generalizări în timp continuu ale formulei Black Scholes.
Procesul gamma utilizat în acest studiu este o generalizare a procesului Wiener oferind, totodată, un contrast interesant cu procesul Poisson.
Procesul gamma poate fi aplicat și în alte domenii precum ratele de schimb sau structura la termen a ratelor de dobândă.
Formulele parametrilor lipsă minimizează necesarul de informații pentru evaluarea prețurilor.
Formula log-gamma surprinde influențele prețului de exercitare și influențele maturității pe termen scurt folosind doar un parametru în plus față de formula Black Scholes.