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IV Congresso Italiano di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco ValentiniDipartimento di Fisica, Università della Calabria
Rende (CS) – Italyvalentin@fis.unical.it
Nonlinear wave-particle interaction in collisionless plasmas: unmagnetized and
magnetized case
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria
In collaboration with:
P. Veltri, V. Carbone, A. Mangeney
IV Congresso Italiano di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria Outline
• Nonlinear unmagnetized case: Landau damping saturation, asymptotic behavior of the electrostatic oscillations
• Numerical simulations versus O’Neil theory and Isichenko analytical results
• Particle dynamics: phase space flights and Lyapunov exponents of the phase space trajectories
• Magnetized case: trapping oscillation and cyclotron motion
• Velocity space evolution of the distribution function and isolated electrostatic structures
• Conclusions
IV Congresso Italiano di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
)2/exp(2
1)(
)]cos(1)[()0,,(
22thM
M
vvvf
kxAvftvxf
th
Dx
Dx
vvA
A
Lk
L
2.3
5.41
05.0
4.02
5.15
1
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della CalabriaUnmagnetized case: Vlasov-Poisson 1D-1V
th
D
pe
v
vv
xx
tt
1
Initial conditions
Temporal evolution of the electric field
Envelope oscillation: T=100
)(4
0
0 fdvnex
E
v
f
m
eE
x
fv
t
f
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
1A
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria
In nonlinear regime, the In nonlinear regime, the damping rate of the wave starts damping rate of the wave starts oscillating about zero on the oscillating about zero on the trapping time scaletrapping time scale with a with a decreasing amplitudedecreasing amplitude..
O’Neil theory
Isichenko conjecture Asymptotic algebraic Asymptotic algebraic dampingdamping law: the motion in the potential law: the motion in the potential well is not simply oscillatory-well is not simply oscillatory-likelike
O’Neil theory (1965) and Isichenko results (1996)
2A
Escaped particle
Trapped particle
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Lagrangian study of the phase space trajectories
m
txeE
dt
dv
vdt
dx
),(
We integrate the motion equations for 500-4000 test We integrate the motion equations for 500-4000 test particles:particles:
The electric field is evaluated The electric field is evaluated by solving numerically the by solving numerically the Vlasov-Poisson system of Vlasov-Poisson system of equationsequations
Phase space trajectoriesPhase space trajectories
Lyapunov exponentsLyapunov exponents
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
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The system dynamics is followed up to
11200 pet
Poincaré sectionsPoincaré sections
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Phase space flights
We observe two kinds We observe two kinds of trajectories in the of trajectories in the resonant region: resonant region:
A particle trapped A particle trapped in the potential in the potential wellwell
A particle which A particle which escapes from escapes from the potential the potential wellwell
Phase space flight
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria
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Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria Poincaré sections and Lyapunov exponents
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Statistical study of the phase space flights
Two significant peaks Two significant peaks are clearly visible in the are clearly visible in the spatial and in the spatial and in the temporal histogram.temporal histogram.
The phase space flights The phase space flights are of limited extent are of limited extent and are not able to and are not able to dissipate the energy of dissipate the energy of the wavethe wave
The second peak The second peak is around is around t=100t=100
Trapped particles Re-trappedparticles
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
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Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della CalabriaPhysical interpretation of the envelope oscillation
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Magnetized case: Vlasov-Poisson (1D-2V)
1),,(
0])([1
])([1
0
ddvvxfxE
fEv
fEvvv
fB
xf
vtf
x
vx
The cylindrical geometry is adopted in the velocity space in order to describe the rotation of the particles, around the direction of the magnetic field
x
y
yx
v
v
vvv
arctan
22
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yyxx
x
z
vv
k
B
eev
ek
eB
0
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Linear analysis: Sukhorukov and Stubbe (1997)
tevk
ntn rt
p
thL
i
cos21)(2
22
0
B
t2
)cos(2)(222)8/3(
2
22
0
th
vk
p
th kvevk
ntn th
Using the Landau approach, in the approximation of large wave length, they obtained:
for
B
t2
forB
t 2
At large time the oscillations are completely undamped (the results are in agreement with Baldwin and Rowlands (1966))
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
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K=0.4, B=0.04, 0.06, 0.1 K=1, B=0.25
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BT Trapping time versus cyclotron period
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria Trapping oscillation and cyclotron motion
y
XWavelenght
Larmor radiusWave-particle interaction
No Wave-particle interaction
??
1
1
1
0
A
B
TB
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Weak magnetic field
00.00 B
1max 650 pet
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria
550 10610 B
th
Dx
Dx
vvA
A
Lk
L
2.3
8.51
03.0
4.02
5.15
1
IV Congresso Italiano di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Stronger and stronger magnetic field
04.118.00 B Strong magnetic field: UNDAMPED OSCILLATIONS
DAMPED OSCILLATIONS
ISOLATED ELECTROSTATIC STRUCTURES
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria
006.0001.00 B
17.003.00 B
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Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria Electrostatic structures in the solar wind
DD 5010 D 5.15
IV Congresso Italiano di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
The introduction of an external uniform magnetic field strongly modifies the wave-particle interaction. From our simulations the ratio between the trapping time and the cyclotron period seems to determine the evolution of the electrostatic oscillations
Unexpected damped oscillations and isolated electrostatic structures appear for intermediate values of the external field, as a result of the competition between the trapping motion and the magnetic effect
Francesco Valentini Francesco Valentini Dipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,
Università della CalabriaUniversità della Calabria Conclusions
Nonlinear wave-particle interaction is analyzed using a lagrangian approach. Statistical analysis of the particle phase space trajectories allows us to conclude that there exists a zone, at the border of the resonant region, in which the system dynamics becomes chaotic.
Resonant particles can escape from the potential well and perform flights in the phase space of limited extent, whose characteristic length is strictly related to the long time behavior of the solution