post- optimalidad y programacion lineal

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POST – OPTIMALIDAD Y PROGRAMACIÓN LINEAL BAJO INCERTIDUMBRE

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA Y METALÚRGICA

Docente :PhD. Ágreda Turriate, Carlos

28/04/2023INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES - PhD. Ágreda Uriarte, Carlos

2 INTRODUCCIÓNBreve orientación y algunos alcances de ambos temas.

3 INTRODUCCIÓN

En el mundo real, las condiciones de trabajo no suelen permanecer estáticas, sino en continuo estado de cambio (sobretodo en la minería). Así, son usuales las variaciones en los precios (tanto de productos finales como de materias primas, mano de obra, etc.) y en las cantidades de recursos disponibles. Además, las mejoras tecnológicas y el cambio de métodos productivos logran aumentar la productividad.

El análisis de sensibilidad (o Post – optimalidad) se encarga precisamente de estudiar cómo afectaría a la solución óptima y a la función objetivo el cambio (dentro de un rango predeterminado) de uno de los parámetros mencionados, manteniendo fijos los restantes.

5 OBJETIVOS

Objetivo General Analizar, investigar y discutir

conceptos básicos propios de Análisis de Sensibilidad, brindando aplicaciones prácticas a determinados problemas reales en minería.

Objetivos Específicos Aprender a interpretar los

“outputs” de Excel y Lindo en relación al Análisis de Sensibilidad.

Dar explicaciones tanto numéricas como reales a dichos problemas comunes en minería.

Determinar las soluciones óptimas para problemas de programación lineal utilizando el criterio pesimista, el criterio optimista y el criterio del valor esperado.

6 IMPORTANCIA

Este instrumento es de suma importancia ya que las variables que se presentan como sensibles pueden tener efectos de desviaciones no contempladas y es ahí en donde la herramienta toma el papel de soporte para el proyecto, tanto que las personas que tengan a cargo la decisión de inversión o de implementación de algún proyecto tenga que cambiar o inclusive de desistir y no llevarla a cabo.

7 ÍNDICE DEL TRABAJO A EXPOSICIÓN

POS – OPTIMALIDAD O ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Análisis de Sensibilidad con LINDO Variación en los costos unitarios de la función objetivo Variación en los recursos disponibles de la empresa

Ejemplificación con 3 variables Precio Sombra

Ejemplificación con 3 variables Aplicación Aplicación en minería #1 Aplicación en minería #2

8 ÍNDICE DEL TRABAJO A EXPOSICIÓN

PROGRAMACIÓN LINEAL BAJO INCERTIDUMBRE Se usará un criterio de selección adecuada en la toma de decisiones usando

tres criterios de decisión:1.- criterio de decisión optimista (MAXIMAX).

Aquí los tomadores de decisiones seleccionan lo mejor de lo mejor.2.- criterio de decisión pesimista (MAXIMIN).

Aquí los tomadores de decisiones seleccionan lo mejor de lo peor.3.- criterio de decisión probabilista (VMEU).Lo usan aquellos tomadores de decisiones racionales que tienen información

adicional sobre las probabilidades de ocurrencia de los ingresos. Este criterio de decisión es llamado VALOR MONETARIO ESPERADO DE LAS UTILIDADES.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD O POST – OPTIMALIDAD

10 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD O POST – OPTIMALIDAD El análisis de post-optimalidad estudia la estabilidad de la solución óptima

de un problema de Programación Lineal una vez que se modifica en el mismo algún parámetro (cj, bi, aij), se introducen nuevas variables o se añaden nuevas restricciones.

Puesto que los datos reales suelen ser aproximados podemos preguntarnos ¿cómo variará la solución óptima de un problema de programación lineal al modificar los coeficientes del modelo? La respuesta a esto nos la proporciona el Análisis Post – Optimalidad.

En el procedimiento de resolución siempre se partirá de una solución óptima al problema original

Función objetiva: Sujeto a:

12 Tipos de Análisis de Sensibilidad

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON «LINDO»

1. Abrimos el programa 2. Se abre la ventana

Uso del programa LINDO para la resolución del problema

3.-Rellenamos con nuestros datos

4.-Aceptamos

6. Obtención de resultados

VARIACIÓN EN LOS COSTOS UNITARIOS DE LA FUNCIÓN OBJETIVOCambios en los coeficientes de la función objetivo.

18 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Si se cambia los coeficientes de alguna de las variables de la función

objetivo DENTRO DE LOS RASGOS PERMITIDOS, entonces la solución óptima no cambia

Para variables básicasSi el cambio pertenece a una variable básica (valor positivo), entonces el valor de la función objetivo SÍ variará Para variables NO básicasSi el cambio pertenece a una variable NO básica, entonces el valor de la función objetivo NO se verá afectado.

𝑐 𝑖→𝑐 𝑖′ 𝑥𝑖=𝑥 𝑖

𝑥𝑖>0 𝑍 ′=𝑍+𝑥 𝑖∆𝑐 𝑖

𝑥𝑖=0 𝑍 ′=𝑍

VARIACIÓN EN LOS RECURSOS DISPONIBLES (RHS) DE LA EMPRESACambios en los términos independientes de la función objetivo.

𝑏𝑖→𝑏𝑖′

20 CAMBIOS EN LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Los valores en el RHS representan la disponibilidad de recursos de la empresa.

Sus cambios hará variar la solución óptima y el valor de la función objetivo.

Si el cambio se encuentra DENTRO DE LOS RANGOS PERMITIDOS, el valor de la función objetivo será:

𝑍 𝑖′=𝑍 𝑖+𝑦 𝑖 ∆𝑏𝑖

21 Indicadores de LINDO

22 Conclusiones del Análisis

REDUCED COSTEn la solución óptima, la variable no tomará un valor positivo A MENOS QUE su coeficiente aumente en más de 10 unidades. SLACK OR SURPLUSPara el segundo recurso, hay una carencia de 40 unidades. DUAL PRICEEs rentable pagar hasta 30 unidades más por RELAJAR la primera restricción en una unidad.

SHADOW PRICE – PRECIO SOMBRAEnglish – Spanish language typed.Tipeado en idioma inglés y español.

27 SHADOW PRICE – PRECIO SOMBRA

In the context of a maximization problem with a constraint, the shadow price on the constrain is the amount that the objective function of the maximization would increase by if the constraint were relaxed by one unit.

En el contexto de un problema de maximización con una restricción, el precio sombra de la restricción es la cantidad que la función objetivo de la maximización se incrementaría si la restricción se relajó en una unidad.

The shadow price is a figure that derives from a production process that is currently working as efficiently and productively as possible. It measures the extra value that would come from increasing the most relevant production resource by one unit. In turn, this indicates the highest price the producer can pay for that added resource without becoming worse off overall.

El precio sombra es una figura que se deriva de un proceso de producción que está trabajando actualmente la forma más eficiente y productiva posible. Mide el valor adicional que vendría de aumentar los recursos de producción más relevante en una unidad. A su vez, esto indica el precio más alto que el productor puede pagar por ese recurso añadido sin llegar a ser el peor en general.

Este precio es ante todo un valor teórico utilizado en los cálculos económicos y problemas.

La gente puede imaginar una empresa que emplea a 50 personas para hacer computadoras. El precio sombra es la cantidad de computadoras adicionales que podrían ser producidos mediante el empleo de una persona extra.

30 Ejemplificando con 3 variables:

APLICACIÓNES DE POS – OPTIMALIDADAplicación en producción de cementoAplicación en minería #1 – método de explotación subterráneaAplicación en minería #2 – método de explotación superficial

APLICACIÓN EN PRODUCCIÓN DE CEMENTO Una empresa dedicada a la producción de cemento, luego de extraer y

moler materia prima (caliza, arcilla, arena, mineral de hierro y yeso) en su fabrica va a producir 4 tipos de cementos.

El proceso de fabricación esta compuesto consta de tres etapas: mesclado, vibrado e inspección. Dentro del próximo mes se dispone de 800 horas de maquina de mezclado, 1000 horas de maquina de vibrado y 340 horas-hombre para inspección.

La fabrica desea maximizar las utilidades dentro de este periodo.

Cuadro de descripción de la labor en la fábrica

Tipo de cemento

Mezclado (h/TM)

Vibrado (h/TM) Inspección (h/TM)

Utilidades $/TM

A 1 1.5 0.5 8B 2 2 0.6 14c 10 4 1 30D 16 5 2 50

Siendo:X1 : tonelaje en cemento tipo A que se va a realizar.X2 : tonelaje en cemento tipo B que se va a realizar.X3 : tonelaje en cemento tipo C que se va a realizar.X4 : tonelaje en cemento tipo D que se va a realizar.

Max Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4

Restricciones :X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 ≤ 800

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 ≤ 10000.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 ≤340

Xi ≥ 0 Condición de no negatividad

Resolviendo en LINDO 6.1 Vemos que en nuestra

solución optima es fabricar 400TM de cemento de tipo A y fabricar 200TM de cemento tipo B, con una utilidad de $/6000.00. y vemos que nos sobran 20 horas- hombre de inspección.

Este es el rango en el puede variar la utilidad de cada tipo de cemento sin que varié nuestro punto optimo.

¿Que pasaría si mis horas de vibrado aumentan a 1020 ?Max Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4

Restricciones:X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 ≤ 800

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 ≤ 10200.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 ≤340

Xi ≥ 0 Condición de no negatividad La solución es que se tiene que producir 180 TM de cemento B y 440TM

del cemento A con una utilidad de $/ 6040.00 con 12 horas –hombre de inspección sobrante.

42 APLICACIÓN EN MINERÍA #1Método de explotación subterránea

APLICACIÓN EN MINERÍA #1 Una mina subterránea se esta trabajando en cinco tajeos que explota

los minerales zinc (Zn),cobre (Cu) y plomo (Sn), se muestra el siguiente cuadro con la descripción de la estadística de producción operación.

Tajeo A

Tajeo B

Tajeo C

Tajeo D

Tajeo E

%Zn 3.00 3.10 2.90 3.20 2.95

%Cu 0.70 0.80 1.05 0.70 0.60%Pb 0.60 0.50 0.55 0.45 0.65

Capacidad de

producción (tons/dia)

1800 1500 1200 1800 1200

Beneficio US$/ton

12.50 12.70 12.00 12.80 12.10

Aplicación en minería #1

Las leyes mínimas para alimentar una planta concentradora son:3.0% de Zn0.7% de Cu0.5% de Cu

La capacidad de la planta concentradora es de 5000 ton/día.Plantear la producción de los 5 tajeos de modo de maximizar nuestras utilidades por tonelada extraída. ¿Qué pasaría si se amplia la planta y y su capacidad es de 6000 ton/día?

Función objetivo: MAX. Z= 12.50X1 + 12.70X2 + 12.00X3 + 12.80X4 + 12.10X5

Sujeto a :-Capacidad diaria de la planta concentradora.

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 5,000-Ley de zinc 3.00X1 + 3.10X2 + 2.90X3 + 3.20X4 + 2.95X5 ≥ 15,000-Ley de cobre 0.70X1 + 0.80X2 + 1.05X3 + 0.70X4 + 0.60X5 ≥ 3,500-ley de plomo 0.60X1 + 0.50X2 + 0.55X3 + 0.45X4 + 0.65X5 ≥ 2,500

X1 ≤ 1,800X2 ≤ 1,500

X3 ≤ 1,200X4 ≤ 1,800

X5 ≤1,200X1,X2,X3,X4,X5 ≥ 0

• La solución óptima es Z = 63340X1 = 1700X2 = 1500

X3 = 0X4 = 1800

X5 = 0• ¿Qué pasaría si se quiere tomar la

decisión de aumentar mi capacidad de concentrado o capacidad de producción de un tajeo?

¿Qué pasaría si se amplia la planta y y su capacidad es de 6000 tons/dia ?

La solución óptima es Z = 75480X1 = 1800X2 = 1500X3 = 0X4 = 1800X5 = 900

Razón por la cual se busca producir mas por día en una mina, incluyendo también la disminución de las leyes.

49 APLICACIÓN EN MINERÍA #2Método de explotación superficial.

APLICACIÓN EN MINERÍA #2

En una compañía minera a tajo abierto donde el macizo rocoso es extremadamente dura, se tiene 7 Áreas a explotar para la primera etapa. Para lo cual el Ingeniero a cargo necesita saber cuántos equipos de perforación (perforadoras) necesita adquirir y de que tipos son las perforadoras en cuestión, para lo cual cuenta con los siguientes datos.

El plazo para terminar las mencionadas etapas es de 7 meses, considerando que el sueldo al operador y los demás gastos correspondientes (gasto y precio de brocas, mantenimiento, costo por depreciación del equipo, de accesorios y demás) es de 200 $/hora para la Perforadora A, 225 $/hora para la Perforadora B y 215 $/hora para la Perforadora C.

CONCLUSIÓN

Según el programa Lindo versión 6.1; el numero óptimo de Perforadoras a comprar es de 5.988920 de la perforadora C.

Observamos que al hacer un cambio en el costo de una perforadora se provoca un cambio en el punto óptimo.

PROGRAMACIÓN LINEAL BAJO INCERTIDUMBRE

Al utilizar la Programación lineal para construir modelos de Programación, es común asumir que todos los parámetros, son conocidos y son ciertos. Sin embargo, esto no es frecuente en los problemas de la vida real.

PROGRAMACIÓN LINEAL BAJO INCERTIDUMBRE Entendemos por programación lineal bajo incertidumbre, cuando no

tenemos certeza en alguno de los valores de los términos del problema de PL y entonces hallamos en términos de probabilidad. La programación lineal es apropiada para determinar el plan de producción de mínimo costo total, y fueron Hanssmann y Hess (1960) los primeros en formular un plan de producción mediante la programación lineal (Sipper y Bulfin, 1998).

Los autores también indican que el análisis de decisión proporciona un conjunto rico en conceptos y técnicas para ayudar al tomador de decisiones a tratar problemas de decisión complejos bajo incertidumbre y tiene que ver con la toma racional, principalmente bajo condiciones de incertidumbre. El objetivo es contestar la pregunta: ¿cuál es la mejor alternativa que se puede seleccionar?, esto con base en la información que se tiene ahora, la cual es casi siempre incompleta e incierta.

Se usara un criterio de selección adecuada en la toma de decisiones usando tres criterios de decisión:

1.- criterio de decisión optimista (MAXIMAX).Aquí los tomadores de decisiones seleccionan lo mejor de lo mejor.

2.- criterio de decisión pesimista (MAXIMIN).Aquí los tomadores de decisiones seleccionan lo mejor de lo peor.

3.- criterio de decisión probabilista (VMEU).Lo usan aquellos tomadores de decisiones racionales que tienen información adicional sobre las probabilidades de ocurrencia de los ingresos. Este criterio de decisión es llamado VALOR MONETARIO ESPERADO DE LAS UTILIDADES.

PERNOS DE ANCLAJE DE ROCAPrincipio de sostenimiento de los pernos, y herramientas.

PRINCIPIOS DE SOSTENIMIENTO DE LOS PERNOS

En roca masiva o levemente fracturada y en rocas fracturadas, el papel principal de los pernos de roca es el control de la estabilidad de los bloques y cuñas rocosas potencialmente inestables. Esto es lo que se llama también el “EFECTO CUÑA”.

SPLIT SET

El perno split set es un tipo de sostenimiento metálico considerado TEMPORAL que trabajan por fricción (resistencia al deslizamiento) a lo largo de toda la longitud del taladro.

El split set, consiste de un tubo ranurado a lo largo de su longitud, uno de los extremos es ahusado y el otro lleva un anillo soldado para mantener la platina.

INSTALACIÓN DE LOS SPLIT SETS EN LOS TALADROS

La instalación de los Split Sets se lleva a cabo por percusión, con la misma perforadora Jackleg, utilizando para ello un adaptador de instalación (ver Foto) que permite ejercer percusión pero no rotación al Split Set.

BARRAS HELICOIDALES

Las Barras Helicoidales son pernos de adhesión. Trabajan sin tensionar el perno sino por adherencia a las paredes del taladro, en combinación con un mortero de cemento o resina (Robles, 1994). Este sistema está constituido por 3 elementos: a) Perno, que viene a ser una barra de acero laminado en caliente con una sección transversal ovalada y resaltes en forma de filete helicoidal de paso amplio en toda su longitud. b) una placa de acero perforada o con un diseño piramidal. c) Una tuerca de fundición nodular

PERNOS HYDRABOLTS

Los Hydrabolts son pernos construidos de tubos de acero, conformando una sección en “C” de doble pared, similar a su antecesor, el Swellex. Está sellado por ambos extremos con bujes, donde el extremo posterior (cabeza), lleva una válvula anti retorno (check), permite retener el agua después de su inflado con una bomba hidroneumática de alta presión (New Concept Mining, URL).

Hacen anclaje, inmediatamente después de su instalación. Cuando el inflado ha concluido, una válvula de color sella el niple por donde se alimenta el agua, facilitando además su verificación de la correcta instalación. New Concept Mining ha establecido un código de colores en función de la longitud del perno, agrupados en 3 modelos: Hydrabolt NT, Hydrabolt Normal e Hydrabolt Ф 29.

El diámetro de los taladros para su instalación va de 30 á 36 mm para los dos primeros modelos y de 34 á 40 mm para el tercer modelo (NCM, URL). Asimismo, la instalación puede llevarse en forma manual o mecanizada

PERNOS SWELLEX

Introducido por Atlas Copco desde 1982, el Swellex es un perno de acero tubular, que se construye por plegamiento hacia su interior en toda su longitud, con la finalidad de reducir su diámetro, ambos extremos están cerrados por 2 manguitos soldados, donde uno de ellos tiene un agujero muy pequeño para el ingreso del agua a su interior, impulsado por una bomba de alta presión (25 – 30 MPa). Una vez inflado genera una fuerza radial perpendicular a su eje en toda su longitud y una fuerza de rozamiento estático o fricción también en toda su longitud (Esteban, 2005). Sostienen inmediatamente después de su instalación, garantizando la seguridad de equipo y personal.

PROBLEMA

Se tiene información sobre la producción de cuatro tipos de pernos de anclaje y el problema es decidir cuánto producir de cada uno de los productos para el próximo periodo. Del proceso de producción se ha extraído la información que se detalla a continuación:+

Problema expuesto en clase

73 CONCLUSIONES

Se concluye que los modelos deterministas combinados con los modelos de toma de decisiones probabilistas y con incertidumbre son una poderosa herramienta que permite obtener mucho más información para apoyar el proceso de planeación de la producción para la toma de decisiones si se compara con los modelos deterministas por si solos.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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