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Prof. Cláudio Serra, Esp. 1
AAnnáálliissee ddee
RReeggrreessssããoo
11..11 IInnttrroodduuççããoo
Análise de regressão é uma técnica de modelagem utilizada para analisar a relação entre
uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes X1, X2, X3,..., Xn.
O objetivo dessa técnica é identificar (estimar) uma função que descreve, o mais
próximo possível, a relação entre essas variáveis e assim podermos predizer o valor que
a variável dependente (Y) irá assumir para um determinado valor da variável
independente X.
Exemplos de relação entre variáveis são o consumo em relação à taxa de
inflação; a produção de leite e temperatura ambiente; a resistência de um material e sua
composição química; o número de peças com defeitos e a experiência; receita e gasto
com publicidade e etc.
O modelo de regressão poderá ser escrito genericamente como:
),...,3,2,1( XnXXXfY ,
onde o termo representa uma perturbação aleatória na função, ou o erro da
aproximação. O número de variáveis independentes varia de uma aplicação para outra,
quando se tem apenas uma variável independente chama-se Modelo de Regressão
Simples, quando se tem mais de uma variável independente chama-se de Modelo de
Regressão Múltipla. A forma da função (f .) também varia, podendo ser representada
por um modelo linear, polinomial ou até mesmo uma função não linear.
A figura abaixo mostra um modelo linear para representar a relação entre a
produção de leite e o índice pluviométrico de um município.
CCaapp.. 11
Produção de Leite x índice
Pluviométrico y = 0.8x + 8.9
R2 = 0.7853
20
25
30
35
20 22 24 26 28 30
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Por sua vez, os dados somente de exportação de carne de frango poderão ser
representados por um modelo polinomial conforme é mostrado na figura abaixo.
11..22 RReeggrreessssããoo LLiinneeaarr SSiimmpplleess
Este modelo é utilizado quando existe uma relação linear entre a variável independente
e a variável dependente (neste caso apenas uma). A função que expressa esse modelo
será dada pela forma abaixo:
ii XbbY 10 ,
O gráfico acima é uma representação desse modelo. Verifica-se pelo mesmo que
nem todos os pontos tocam a reta, e essa diferença é o erro (), que pode ter sido
ocasionado por um erro de leitura dos dados; uma venda abaixo do preço real de
mercado; uma produção abaixo do esperado por uma estiagem não comum; retração do
consumo por uma subida inesperada na taxa de juros; e assim vai.
Mas supõe-se que em média esses erros tendem a se anular, ou seja:
0E i
Uma vez escolhido o modelo de regressão, deve-se estimar seus parâmetros, neste
caso os coeficientes da equação da reta, 10 ,bb . Isso pode ser feito a partir da aplicação
do Método dos Mínimos Quadrados.
Tirando a média sobre a equação acima, temos:
XbbY 10
uma vez que a média dos erros é zero.
Exportações de carne de frango
y = 1.5329x3 - 25.198x2 + 157.04x + 79.16
R2 = 0.9914
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
20
22
24
26
28
30
32
34
20 22 24 26 28 30
Prof. Cláudio Serra, Esp. 3
Subtraindo as duas equações temos:
iii XXbbbYY ))(()( 100
Chamando de y e x as diferenças centradas nas médias, )( YYi e )( XX i
respectivamente, temos que:
iii xby 1
ou ainda,
iii xby 1
Fazendo a soma dos quadrados dos erros,
2
1
2
iii xby
22
11
222 iiiii xbyxby
como b1 é uma constante,
22
11
222 iiiii xbyxby
Como o objetivo é estimar uma equação que minimize os erros, devemos então derivar
a equação acima em relação a b1 e igualar a zero. E como não se tem os verdadeiros
valores e sim uma amostra , ou seja o valor a ser determinado é um estimador do
verdadeiro valor populacional, a nova nomenclatura para b1 será 1b . Com isso temos:
2
1ˆ220 iii xbyx
Que pode ser reescrita como:
21
ˆ
i
ii
x
yxb
E o estimador ob , pode ser calculado a partir de:
XbYbo 1ˆˆ
Sendo que a equação de estimativa será dada por:
XbbY o 1ˆˆˆ
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EExxeemmpplloo 11 –– RReeggrreessssããoo LLiinneeaarr SSiimmpplleess
Em uma determinada região do país foram coletados os índices pluviométricos e
a produção de leite do tipo c. Sabendo-
se que existe uma previsão para o
próximo ano de um índice
pluviométrico de 24mm determine
então a produção de leite dessa região.
Resolução
Y X y x y2 x
2 xy
1970 26 23 -2.9 -2 8.41 4 5.8
1971 25 21 -3.9 -4 15.21 16 15.6
1972 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3
1973 29 27 0.1 2 0.01 4 0.2
1974 27 23 -1.9 -2 3.61 4 3.8
1975 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3
1976 32 27 3.1 2 9.61 4 6.2
1977 28 22 -0.9 -3 0.81 9 2.7
1978 30 26 1.1 1 1.21 1 1.1
1979 30 25 1.1 0 1.21 0 0
Soma 289 250 0 0 48.9 60 48
Média 28.9 25 0 0 4.89 6 4.8
21
ˆ
i
ii
x
yxb , assim 8.0
60
48ˆ1 b
e XbYbo 1ˆˆ , que 9,825.8.09,28ˆ ob
Assim a equação pode ser escrita como:
XY 8.09.8ˆ
Anos
Produção de Leite
C (1.000.000
litros)
Índice
pluviométrico
(mm)
1970 26 23
1971 25 21
1972 31 28
1973 29 27
1974 27 23
1975 31 28
1976 32 27
1977 28 22
1978 30 26
1979 30 25
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Mas será que a equação do exemplo foi bem estimada, ou melhor, será que ela
representa bem a relação entre as variáveis? Uma maneira de avaliar é através da
diferença entre os valores amostrais reais (Y) e os valores estimados ( Y ), essa diferença
damos o nome de resíduo. Continuando o exemplo,
CCoonnttiinnuuaaççããoo ddoo eexxeemmpplloo 11
Y X y x y2 x
2 xy Y Y- Y (Y- Y )
2
1970 26 23 -2.9 -2 8.41 4 5.8 27.3 -1.3 1.69
1971 25 21 -3.9 -4 15.21 16 15.6 25.7 -0.7 0.49
1972 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3 31.3 -0.3 0.09
1973 29 27 0.1 2 0.01 4 0.2 30.5 -1.5 2.25
1974 27 23 -1.9 -2 3.61 4 3.8 27.3 -0.3 0.09
1975 31 28 2.1 3 4.41 9 6.3 31.3 -0.3 0.09
1976 32 27 3.1 2 9.61 4 6.2 30.5 1.5 2.25
1977 28 22 -0.9 -3 0.81 9 2.7 26.5 1.5 2.25
1978 30 26 1.1 1 1.21 1 1.1 29.7 0.3 0.09
1979 30 25 1.1 0 1.21 0 0 28.9 1.1 1.21
Soma 289 250 0 0 48.9 60 48 289 0 11
Média 28.9 25 0 0 4.89 6 4.8 28.9 0 1
Podemos perceber que as diferenças (Y- Y ) são relativamente pequenas. Uma análise
mais cuidadosa pode ser feita através da aplicação de testes estatísticos, nesse caso
ANOVA (teste de variância) e teste t-Student.
Começaremos pela ANOVA, para tanto vamos precisar montar a tabela abaixo:
Tabela ANOVA
Soma dos Quadrados Graus de Liberdade (g.l.) Quadrados Médios (QM) Teste F
SQE= 22
1ˆ
ixb
SQR= 2
YY
1
n-2
SQE/g.l.
SQR/g.l.
SQEmed/SQRmed
SQT= 2
iy n-1 SQE/g.l + SQR/g.l.
Obs: O grau de liberdade em relação ao SQE é devido a termos apenas uma variável independente; Em
relação a SQT, os graus devem ser iguais a variância amostral, ou seja, n-1 (onde n é o número da
elementos da amostra); E o grau de liberdade para SQR seria dado pela diferença entre este, ou seja n-2.
Onde,
Soma dos quadrados dos totais de y centrado
2
iySQT
Soma dos quadrados explicados
22
1
22
1
2 ˆˆˆiii xbxbYSQE
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Soma dos quadrados dos resíduos
2
YYSQR
Um outro parâmetro utilizado constantemente é o coeficiente de determinação, R2,
que explica percentualmente a relação entre as variáveis do problema.
SQT
SQER 2
CCoonnttiinnuuaaççããoo ddoo eexxeemmpplloo 11 -- AANNOOVVAA
Tabela ANOVA
Soma dos Quadrados Graus de Liberdade (g.l.) Quadrados Médios (QM) Teste F
SQE=38.4
SQR=11.0
1
8
38.4
1.38
27.83
SQT=49.4 7 7.06
Agora que já temos o valor de F, precisamos testar a hipótese nula que as variâncias são
diferentes, ou seja,
Ho = 12
Adotaremos um nível de significância () de 5%. Com esse valor e os números de graus
de liberdade, acha-se na tabela um valor crítico de 5.32.
Como o F calculado é maior que o F crítico então se rejeita a hipótese Ho, o que
também quer dizer que as variâncias são iguais, e conseqüentemente o modelo de
regressão é válido.
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EExxeemmpplloo 22 –– RReessoolluuççããoo ddoo EExxeemmpplloo 11 vviiaa EExxcceell
Resolução
A variável dependente (Y) será o índice
pluviométrico, sendo a produção de leite
tipo c a variável independente (X).
O gráfico dos dados do exemplo 1
pode ser visto ao lado. Pelo gráfico o
ajuste linear pode ser possível, mas talvez
um ajuste polinomial seria mais indicado,
mas de qualquer forma, será testado um
ajuste linear.
Será utilizada a ferramenta Regressão do
software Excel, que pode ser acionado pelo
seguinte caminho: Ferramenta Análise de
Dados Regressão.
Em “Intervalo Y de entrada:” devemos
selecionar na planilha o conjunto de células da
variável dependente. Por sua vez, em “Intervalo X
de entrada:” devemos selecionar na planilha o
conjunto de células da variável independente.
Nesta janela, também podemos selecionar as
opções relativas aos resíduos.
Uma vez selecionado as células, basta clicar no botão de “Ok” que serão gerados
os dados na planilha.
Para o exemplo em questão, podemos destacar das tabelas geradas, as seguintes
informações:
Na estatística padrão: R-quadadro = 0.7852
Na Anova: gl total =9 F=29.25
Produção de Leite x índice
Pluviométrico
20
25
30
35
20 22 24 26 28 30
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E por fim: Interseção 8.9 Variável X1 0.8
Assim a equação do modelo poderá ser escrita como:
iXY 18.09.8ˆ
O resultado é mostrado graficamente abaixo. Então para um índice de 24mm a
produção de leite seria de 28.1 milhões de litros de leite.
É importante ressaltar que o ajuste não foi tão bom, seria importante verificar
um novo modelo.
Uma outra maneira de fazer essa análise, porém sem as mesmas informações
seria utilizar o recurso de Adicionar Linha de Tendência... No menu Gráfico da barra de
menu do Excel.
Selecionado o modelo Linear, clicamos na aba “Opções” e marcamos as opções:
Exibir equação no gráfico e Exibir valor do R-quadrado no gráfico.
Produção de Leite x índice
Pluviométrico y = 0.8x + 8.9
R2 = 0.7853
20
25
30
35
20 22 24 26 28 30
Não se esqueça, para inserir uma
Linha de tendência o gráfico deve
estar selecionado previamente.
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EExxeemmpplloo 22 –– SSéérriiee TTeemmppoorraall ddaa PPrroodduuççããoo ddee CCaarrnnee ddee FFrraannggoo nnoo
BBrraassiill ((11998899--22000033))
De acordo com a Associação Brasileira de Exportadora dos Produtores e
Exportadores de Frango, ABEF, a produção brasileira de carne de frango (em
mil toneladas) para o mercado interno e externo no período de 1989 a 2003 é
dada pela tabela abaixo:
Resolução
O primeiro passo para avaliar se os dados podem ser ajustados por um modelo
linear é plotar suas variáveis em um gráfico.
Pelo gráfico percebe-se uma tendência que a relação entre a produção de carne
de frango (variável dependente, Y) e o tempo (variável independente, X) seja
Ano Mercado Interno Exportação Total
1989 1,811 244 2,055 1990 1,968 299 2,267 1991 2,200 322 2,522 1992 2,351 372 2,727 1993 2,710 433 3,143 1994 2,930 481 3,411 1995 3,617 429 4,050 1996 3,483 569 4,052 1997 3,812 649 4,461 1998 4,262 612 4,875 1999 4,755 771 5,526 2000 5,070 907 5,977 2001 5,486 1,249 6,736 2002 5,917 1,600 7,517 2003 5,921 1,922 7,843
Fonte: ABEF - Associação Brasileira dos Produtores e Exportadores de Frangos
(www.abef.com.br).
Prod.de carne de frango
-
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
0 5 10 15 20
Prof. Cláudio Serra, Esp. 10
dado por uma equação linear. Para determinar essa equação será utilizado o
software Excel.
No Excel será utilizada a ferramenta Regressão que é um módulo do Suplemento
Análise de Dados.
Acionando-se essa ferramenta, o passo seguinte será preencher a caixa de
diálogo da Regressão conforme os
dados.
Onde na opção Intervalo Y de
Entrada deverá ser colocado o valor
da variável dependente, e na opção
Intervalo X de Entrada, deverá ser
colocado os valores da variável
independente.
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Após o preenchimento das caixas de diálogo basta pressionar o botão de Ok, e o
resultado aparecerá em uma nova planilha. A figura abaixo mostra o resultado
para o exemplo em questão.
Dessa planilha se destacam os seguintes valores:
Na estatística padrão: R-quadadro = 0.9687
Na Anova: gl total =14 F=403.251
E por fim: Interseção 1146,99 Variável X 416,30
Assim a equação do modelo poderá ser escrita como:
iXY 130,41699,1146ˆ
Pode-se agora plotar os dados dos valores verdadeiros com os valores do
modelo.
Também se pode fazer prognóstico para valores futuros. Por exemplo, para o
ano de 2004 o modelo prevê uma produção de 7.807 toneladas de carne de
frango.
0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00
10000.00
1 3 5 7 9 11 13 15
RegressãoLinear
Prod.Carne eFrango
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Uma outra maneira de fazer essa análise, porém sem as mesmas informações
seria utilizar o recurso de Adicionar Linha de Tendência... no Menu Gráfico da
barra de menu do Excel.
Selecionado o modelo Linear, clica-se na aba Opções e marca-se as
opções: Exibir equação no gráfico e Exibir valor do R-quadrado no gráfico.
Produção brasileira de carne de frango – milhões de toneladas
y = 416.3x + 1147
R2 = 0.9688
2
3
4
5
6
7
8
9
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
AnoMilh
ões
de t
onela
das
Fonte: ABEF (www.abef.com.br).
Não se esqueça, para inserir uma
Linha de tendência o gráfico deve
estar selecionado previamente.
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11..33 RReeggrreessssããoo LLiinneeaarr MMúúllttiippllaa
Em algumas situações mais do que uma variável independente (X1,X2,...,Xn)
pode ser necessária para predizer o valor da variável independente (Y). O modelo
matemático para esse caso é dado abaixo:
ikikiii XbXbXbbY ...2210
Que para as n observações poderá se escrito da forma:
112121101 ... kk XbXbXbbY
222222102 ... kk XbXbXbbY
... ... ... ... ... ... ...
nknknnn XbXbXbbY ...2210
Que forma na realidade um sistema linear, que podermos escrever na forma de
matriz como:
kkknnn
k
k
b
b
b
XXX
XXX
XXX
Y
Y
Y
.......
1
............
1
1
...
2
1
2
1
2
2222
1211
3
2
1
Que escrevendo ainda em outra em sua forma mais compacta temos:
bXY
O estimador para b será dado por:
YXXXb '1'ˆ
Pela equação acima, há necessidade que o produto X’X, tenha uma matriz
inversa, o que implica na condição obrigatória que nenhuma coluna da matriz X seja
combinação linear das outras.
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EExxeemmpplloo 33 –– MMaannuutteennççããoo ddoo ccaammiinnhhããoo
Uma agroindústria quer saber o custo de manutenção de seus caminhões durante
o corrente ano, para tanto foram coletadas informações de quilometragem e
tempo do caminhão. A tabela abaixo nos mostra esses valores.
Resolução
Nesse caso será feito diretamente análise sem plotar o gráfico. O procedimento
no software Excel é: Ferramenta Análise de Dados Regressão. No campo
Intervalo X de Entrada deve ser preenchida com a faixa de valores das variáveis
independentes, que nesse caso são a quilometragem e o tempo do caminhão.
Da planilha de resultados se destacam os seguintes valores:
Na estatística padrão: R-quadadro = 0.99
Erro padrão: 2.106
Na Anova: gl total =8 F=56501.23
E por fim: Interseção 17.73 Variável X1 4.06 e X2 98.507
Assim a equação do modelo poderá ser escrita como:
iXiXY 2507.98106.473.17ˆ
Assim para um caminhão com 5 anos com quilometragem de 10.000 milhas, o
custo de manutenção será de $550.89.
Custo de
ManutençãoQuilometragem
(x1000)
Tempo do
caminhão
(em anos)
832 6 8
73 7 7
647 9 6
553 11 5
467 13 4
373 15 3
283 17 2
189 18 1
96 19 0
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11..44 RReeggrreessssããoo NNããoo LLiinneeaarr
Nem sempre a relação entre a variável independente (X) e a variável dependente
(Y) possui uma relação linear, em certos casos essa relação é não-linear.
A figura abaixo mostra algumas dessas formas. Nesses casos, pode-se através de
mudanças de variáveis resolver o problema utilizando basicamente as equações já
mencionadas nesse material. Para os interessados nesses procedimentos sugere-se a
leitura das referências indicadas no final do texto.
Para efeito de demonstração da Regressão-Linear será utilizado o Excel através
do seu recurso de Tendência, todavia conforme já mencionado, esse não dá informações
estatísticas sobre o ajuste.
EExxeemmpplloo 44 –– SSéérriiee TTeemmppoorraall ddaa PPrroodduuççããoo ddee CCaarrnnee ddee FFrraannggoo nnoo
BBrraassiill ((11998899--22000033))
De acordo com a Associação Brasileira de Exportadora dos Produtores e
Exportadores de Frango, ABEF, a produção brasileira de carne de frango (em
mil toneladas) para o mercado interno e externo no período de 1989 a 2003 é
dada pela tabela abaixo:
Ano Mercado Interno Exportação Total
1989 1,811 244 2,055 1990 1,968 299 2,267 1991 2,200 322 2,522 1992 2,351 372 2,727 1993 2,710 433 3,143 1994 2,930 481 3,411 1995 3,617 429 4,050 1996 3,483 569 4,052 1997 3,812 649 4,461 1998 4,262 612 4,875 1999 4,755 771 5,526 2000 5,070 907 5,977 2001 5,486 1,249 6,736 2002 5,917 1,600 7,517 2003 5,921 1,922 7,843
Fonte: ABEF - Associação Brasileira dos Produtores e Exportadores de Frangos
(www.abef.com.br).
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Resolução
Nesse exemplo será avaliada somente a produção para o mercado externo, o
gráfico que representa essa produção ao longo do ano pode ser visto logo abaixo.
Analisando o gráfico acima, verifica-
se que o ajuste linear talvez não seja o
melhor modelo para representar esses
dados. Assim, escolhe-se dentre os
prováveis o modelo polinomial de 3o
grau.
Além disso, na aba Opções marca-se
as caixas Exibir equação no gráfico e
Exibir valor de R-quadrado no gráfico.
Com isso feito o resultado pode ser visto na figura seguinte. Repare na qualidade
do ajuste, o valor do coeficiente de determinação foi de 0.99.
Assim, pode-se então
estimar a produção para o
mercado externo de carne
de frango para 2004. O
valor previsto por esse modelo é dá ordem de 2419.87, pelo site da ABEF
(www.abef.com.br) verificou-se que essa associação previa 2115, e a exportação
real em 2004 foi de 2470.
Produção para o mercado interno de carne de
frango
y = 1.5329x3 - 25.198x2 + 157.04x + 79.16
R2 = 0.9914
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Dados reais
Ajuste Polinomial
Produção para o mercado interno de carne de
frango
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Dados reais
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Rebanho bovino brasileiro – efetivo por estado(Mil cabeças)
Regiões 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Norte 13,317 15,362 15,847 17,067 17,966 19,183 17,983 19,298 21,099 22,431 24,518 27,284 30,429 RO 1,719 2,826 2,774 3,286 3,470 3,928 3,937 4,331 5,104 5,442 5,664 6,605 8,040
AC 400 404 409 445 465 471 853 863 907 930 1,033 1,673 1,817
AM 637 648 640 689 747 806 734 771 809 826 843 864 895
RR - 346 349 - 286 282 400 378 425 481 480 438 423
PA 6,182 6,626 6,990 7,435 7,539 8,058 6,751 7,539 8,337 8,863 10,271 11,047 12,191
AP 70 71 62 73 86 93 64 66 75 77 83 87 84
TO 4,309 4,441 4,624 5,139 5,374 5,544 5,243 5,351 5,442 5,813 6,142 6,571 6,979
Nordeste 26,190 26,669 26,912 22,527 22,825 23,174 23,882 23,831 21,981 21,875 22,567 23,414 23,891 MA 3,900 3,949 3,931 4,020 4,102 4,162 3,936 3,905 3,937 3,966 4,094 4,483 4,776
PI 1,974 2,046 2,029 1,982 2,054 2,135 1,730 1,737 1,751 1,756 1,779 1,792 1,804
CE 2,621 2,625 2,602 2,098 2,186 2,266 2,400 2,411 2,114 2,168 2,206 2,194 2,230
RN 956 966 930 566 646 722 935 941 793 755 804 788 839
PB 1,345 1,315 1,320 859 975 1,054 1,305 1,303 929 886 953 918 952
PE 1,966 1,952 1,923 1,271 1,349 1,362 1,954 1,682 1,470 1,420 1,516 1,673 1,753
AL 891 961 959 802 822 834 839 956 900 815 779 843 816
SE 1,030 1,047 1,058 908 815 797 946 946 918 937 880 866 863
BA 11,505 11,808 12,160 10,022 9,877 9,841 9,838 9,950 9,168 9,171 9,557 9,856 9,856
Sudeste 36,323 36,724 37,231 37,627 37,604 37,168 36,605 36,977 37,074 36,899 36,852 37,119 37,924 MG 20,472 20,764 21,066 21,034 20,707 20,146 20,148 20,378 20,501 20,082 19,975 20,219 20,559
ES 1,665 1,766 1,829 1,935 1,919 1,968 1,816 1,936 1,938 1,882 1,825 1,665 1,683
RJ 1,924 1,932 1,942 1,967 2,004 1,905 1,843 1,837 1,881 1,866 1,959 1,977 1,981
SP 12,263 12,262 12,394 12,690 12,974 13,148 12,798 12,827 12,753 13,069 13,092 13,258 13,701
SUL 25,326 25,272 25,451 25,727 26,429 26,641 26,421 26,683 26,600 26,190 26,298 26,784 27,537 PR 8,617 8,542 8,499 8,607 8,912 9,389 9,880 9,897 9,767 9,473 9,646 9,817 10,048
SC 2,994 3,057 3,047 3,017 2,960 2,993 3,098 3,087 3,090 3,053 3,051 3,096 3,118
RS 13,715 13,673 13,905 14,103 14,556 14,259 13,443 13,700 13,743 13,664 13,601 13,872 14,371
Centro-Oeste 45,946 48,109 48,788 52,186 53,420 55,061 53,398 54,627 56,402 57,227 59,641 61,787 65,567 MS 19,164 19,543 20,395 21,800 22,244 22,292 20,756 20,983 21,422 21,576 22,205 22,620 23,168
MT 9,041 9,891 10,138 11,682 12,654 14,154 15,573 16,338 16,752 17,243 18,925 19,922 22,184
GO 17,635 18,574 18,148 18,581 18,397 18,492 16,955 17,182 18,118 18,297 18,399 19,132 20,102
DF 106 102 107 124 124 123 115 123 110 110 112 113 113
Brasil 147,102 152,136 154,229 155,134 158,243 161,228 158,289 161,416 163,154 164,621 169,876 176,389 185,347
Fonte: IBGE – Pesquisa Pecuária Municipal (www.ibge.gov.br).