bab ii fungsi dan limitnya

transcript

BAB II

FUNGSI DAN LIMITNYA

2.1 Fungsi dan Grafiknya

Misal A = {a1,a2, a3, a4, a5}, B = {b1, b2, b3, b4, b5}

adalah dua himpunan yang anggotanya berhingga, maka dapat

dibuat hubungan (relasi) antara himpunan A dan B, seperti

gambar berikut.

Andaikan A dan B anggotanya tidak berhingga, maka dapat

dibuat garis real dalam bentuk sumbu koordinat X dan Y.

Semua titik pada sumbu X disebut domain (daerah asal

alamiah) sedang semua titik pada sumbu Y yang mempunyai pra

peta di A disebut renge.

Definisi:

Fungsi adalah suatu aturan korespondensi satu-satu yang

menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan, yang

disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal

f(x) dari suatu himpunan yang kedua. Himpunan nilai yang

diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range).

Untuk memberi nama suatu fungsi digunakan simbol berupa f

atau F. Maka f(x) dibaca “fungsi f pada x”. Hal ini

menunjukkan nilai yang diberikan oleh fungsi f terhadap

nilai x.

Jadi secara umum jika f : A -> B adalah fungsi f dari

disebut Range.

Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil statu fungsi

secara lengkap kita harus menyatakan, disamping aturan yang

bersesuian daerah asal fungsi. Misalnya jika f adalah

fungsi dengan aturan f(x) = x + 1 maka daerah asal alamiah

(domain) f(x) adalah semua bilangan real dan daerah hasil

(range) adalah semua bilangan real. f(x) = x + 1 daerah

asal alamiahnya semua bilangan real karena untuk setiap x

bilangan real f(x) mempunyai nilai.

Contoh

Tentukan daerah asal alamiah dan Range dari:

1. f(x) =

Daerah asal alamiah (D) = {x|x < 1} = (-

Daerah hasil (R) = {y|x 0 } = [0,

2. f(x) =

Daerah asal alamiah (D) = R – {-1,1}

Daerah hasil (R) = R – {0}

3. f(x) =

Daerah asal alamiah (D) = [-1,1]

Daerah hasil (R) = [0,1]

4. f(x)

Daerah asal alamiah (D) = (1, )

Daerah hasil (R) = (0,1)

Catatan

Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang terdefinisi pada

interval tertentu dalam R,

1. Jika f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi genap

Contoh

a. f(x) = x adalah fungsi ganjil karena f(-x) = (-x) -

(-x) = x

b. f(x) = adalah fungsi genap

c. f(x) = 6 adalah fungsi genap

2. Jika –f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi ganjil

Contoh

a. f(x) = x adalah fungsi ganjil

b. f(x) = adalah fungsi ganjil

3. jika f(x) = f(-x) = -f(x) maka f(x) disebut fungsi genap

dan ganjil

Contoh

a. f(x) = 0 fungsi genap dan ganjil karena f(x) = 0, -f(x)

= -0 = 0 dan f(-x) = 0 sehingga f(x) = f(-x) = -

4. jika f(x) maka f(x) disebut fungsi tidak

genap tidak ganjil.

Contoh

a. f(x) = 1 – x adalah fungsi bukan genap dan bukan ganjil

b. f(x) = x - x adalah fungsi bukan genap bukan ganjil

c. f(x) = adalah bukan fungsi genap bukan fungsi

ganjil.

2.2 Operasi Pada Fungsi

Sepertihalnya dengan bilangan, fungsi dapat

dioperasikan dengan tanda operasi pada bilangan. Operasi

tersebut adalah + (jumlah), - (selisih), : (pembagian), dan

. (perkalian).

Misal f(x) dan g(x) dua fungsi yang terdefinisi pada suatu

selang, maka operasinya adalah:

1. f(x) + g(x) = (f+g)(x)

2. f(x) – g(x) = (f-g)(x)

3. f(x) x g(x) = (fxg)(x)

5. = = f

Selain operasi di atas, dua fungsi atau lebih dapat

dikomposisikan. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil f(x)

dan fungsi g mempunyai daerah definisi g(f(x)). Maka dapat

dikatakan kita telah mengkomposisikan g(x) dengan f(x).

Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi g dengan

fungsi f dan dinotasikan dengan gof, sehingga

(gof)(x) = g(f(x)).

Dengan cara yang sama kita juga dapat melakukan

komposisi f(x) dengan g(x). Fungsi yang dihasilkan disebut

komposisi fungsi f dengan fungsi g dan dinotasikan dengan

fog, sehingga

(fog)(x) = f(g(x)).

Contoh

1. f(x) = , g(x) = 2 +

a. f(x) + g(x) = + (2 + )

b. f(x) - g(x) = - (2 + )

c. f(x). g(x) = ( )(2 + )

d. f(x) : g(x) = ( ):(2 + )

2. f(x) = 1- x , g(x) = 1 -

a. (fog)(x) = f(g(x))

= 1 – ( 1 - )

b. (gof)(x) = g(f(x))

Berdasarkan a dan b (fog)(x) (gof)(x)

3. f(x) = , g(x) =

a. (fog)(x) = f(g(x))

b. (gof)(x) = g(f(x))

Berdasarkan a dan b (fog)(x)

Soal-soal

1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil dari fungsi

berikut:

a) f(x) = 1- ,

b) g(x) =

c) f(x) = ,

d) g(x) = 1- x

e) f(x) = ,

f) (x) = x

g) f(x) = x2 + 4,

e. g(x) =

2. Tentukan daerah definisi (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x),

dan ) jika:

a. f(x) = 1- , g(x) =

b. f(x) = , g(x) = 1- x

c. f(x) = , g(x) = x

d. f(x) = x2 + 4, g(x) =

e. f(x) = , g(x) =

3. Tentukan (fog)(x) dan (gof)(x) jika

a. f(x) = 1- , g(x) =

b. f(x) = , g(x) = 1- x

c. f(x) = , g(x) = x

d. f(x) = x2 + 4, g(x) =

e. f(x) = , g(x) =

2.3 Fungsi Trigonometri

Pada gambar di atas, ABC adalah sebarang segitiga yang

salah satu sudutnya dan siku-siku pada CBA. Dengan

memisalkan AB = x, BC = y dan AC = r. maka berdasarkan

segitiga tersebut terdapat 6 perbandingan sisi-sisi

segitiga (goniometri) yaitu:

Karena = maka perbandingan tersebut dinyatakan

dengan:

1. sin =

2. cos =

3. tan = y

4. cot =

5. sec

6. csc

Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, maka menurut

teorema Pitágoras berlaku:

Selanjutnya secara berurutan membagi persamaan

dengan r2, x2 dan y2 diperoleh persamaan baru

Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dinamakan rumus

identitas.

Selanjutnya berdasarkans perbandingan tersebut dapat dibuat

beberapa humus tentang fungsi trigonometri.

Perhatikan gambar berikut ini.

Pada gambar di atas terdapat 4 segitiga siku-siku, yaitu

dan diketahui

. sehingga

Berdasarkan diperoleh perbandingan panjang sisi

Sin dengan UP = PS + SU

Karena maka SU = UT cos

Karena PS = QT dan karena siku-siku di maka OQ

= OT cos dan QT = OT sin

Karena siku-siku di maka OT = OU cos dan UT

= OU sin

Karena

sin ( =

Sehingga diperoleh rumus sin ( + ) =

............ (4)

Dengan cara yang sama diperoleh:

cos , OP = OQ – PQ

Karena maka SU = UT cos

Karena PQ = ST dan karena siku-siku di maka ST

= SU sin

Karena siku-siku di maka OT = OU cos dan UT

= OU sin

Karena siku-siku di maka OQ = OT cos dan QT

= OT sin

Karena

cos ( =

Sehinggda diperoleh rumus cos ( + ) =

............ (5)

Berdasarkan (4) dan (5) dapat ditentukan rumus lain

Sin ( = sin (

= ...........

Cos ( = cos (

= ...........

Persamaan di atas dibagi dengan cos , diperoleh:

Sehingga tan = ....................

Persamaan di atas dibagi dengan cos , diperoleh:

Sehingga tan = ....................

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah:

Bukti rumus di atas ditinggalkan oleh penulis untuk menjadi

latihan bagi pembaca.

Soal-soal

1. Selidiki fungsi berikut genap, ganjil, bukan genap

ataupun ganjil

a. f(x) = cos x + sin x

b. f(x) = sec x

c. f(x) = cos (sin t)

d. f(x) = sin

e. f(x) = x

f. f(x) =

2. Buktikan kesamaan berikut.

a. (1+ sinx)(1- sinx) =

b. (sec x-1)(sec x +1) = tan

c. sec x – sin x cos x = cos x

e. sin

f. cos 3y = 4 cos

g. sin 4s = 8 sin s cos

h. (1+ cos x)(1- cos x) = sin

j. (1 - cos

k. sin t(csc t – sin t) = cos

2.4 Limit Fungsi

1 Teorema

5. dengan

3. , c =

konstanta 6.

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yangnilainya ada dan tertentu, misalnya : 6

304, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidakmempunyai nilai, misalnya : 5

03. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainyasembarang, misalnya : 0

0 1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk taktentuk menjadi bentuk tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi,maka lim ( ) ( )

x af x f a

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

2 22 3 2 3 9 6 15

2. lim ( )xx xx

0 5 70 05 0 7

2 2 0Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi AljabarBentuk Tak Tentu yaitu : 0

0 1, ,

3.1 Bentuk 00Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkanpembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktoryang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan :1.Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilangdan penyebut boleh dibagi dengan (x a)

2.Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 03.Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar,maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu denganbentuk sekawannya.

Contoh :

1. lim lim lim( )( )( )( )x

x xx x

x xx x x

35 69 3

3 23 3 3

3 23 3

lim lim( )( ) ( )x

x x xx x x

x x xx x x x

x xx x

54 2 0

0 0 50 4 0 2

3 23 2

lim lim lim ( ) ( )( )x

x xx x x

3 5 11

3 5 13 5 1 1

3 5 11 3 5 1

lim lim lim( )

( )( )( )( )

( )( )x

x xx x x x

x xx x x x x

xx x x

5 41 3 5 1 1

1 41 1 3 5 1 1

41 3 5 1

2 2 2 2

1 1 4 43

2 2 238

( ) ( )

3.2 Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagipembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi,kemuadian digunakan rumus : limx

Contoh :1.

Kesimpulan:Jika f x a x a x an n

n( ) ..... 0 1

g x b x b x bm mm( ) .....

maka: 1. lim ( )( )x

f xg x

00 untuk n = m

2. lim ( )( )x

f xg x

0 untuk n < m

3. lim ( )( )x

f xg x

atau - untuk n > m

4. limx

x x xx x x

2 76 2 8

5 4 35 3 2 (kesimpulan (1))

5. limx

x x xx x x

10 8 712 5 2

2 312 0 (kesimpulan (2))

6. limx

x xx x x

3 6 22 7

7 46 4 3 (kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :1.Kalikan dengan bentuk sekawannya !

2.Bentuknya berubah menjadi

3.Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh:1.

pangkat tertinggipembilang 1, pangkattertinggi penyebut 1,sebab

Secara umum:

1) b qa

2 jika a = p

2) jika a > p 3) - jika a < p

3.4 Limit Bentuk 1

Definisi :

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

Contoh :

pangkat tertinggi pembilang2, pangkat tertinggipenyebut 1.

x bilangan real

4 Limit Fungsi Trigonometri

Teorema : 1. lim limsin

2. lim limtantanx

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapatdikembangkan menjadi:

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsitrigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi,maka: lim ( ) ( )

x af x f a

Contoh :1. lim sin cos sin cos

02 0 0 0 1 1

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometribentuk tak tentu yaitu : 0

0 0, ,. .

4.1 Limit Bentuk 001.

4.2 Limit Bentuk Limit bentuk dapat diselesaikan denganmengubahnya ke bentuk 00 .Contoh :

4.3 Limit Bentuk 0.Limit bentuk 0. dapat diselesaikan denganmengubahnya ke bentuk 00 .Contoh :

5 Limit Deret Konvergen

Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deretgeometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1.

Teorema :

S : jumlah tak hingga suku deret geometrikonvergena : U1 : suku pertama

r : rasio, yaitu r UU 21

Contoh :1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :a) 2 1 1

214 ..... b)

3 1 13

19 .....

Jawab : a) S ar 1

4 b)S a

2. Hitung limit berikut :a) b)

Jawab :a) lim ...n

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hinggaadalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4.Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !

Jawab : S ar 12 121 ...... (1)

U2 + U4 + U6 + ... = 4ar + ar3 + ar5 + ... = 4

rr1 1 12 4 4

...... (2)

Persamaan (1) : ar

a a1 112 12 612

Rasio = 12 dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm.Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehinggaterbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempatsisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehinggaterbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya.Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

Jawab :

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) dix = a jika dan hanya jika lim ( ) ( )

x af x f a

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x)kontinu di x = a, yaitu :1. f(a) terdefinisi (ada)

55 P BA

Luas bujursangkar I = AB x AD= 10 x 10 = 100 cm2.Luas bujursangkar II = PQ x PS= 52 x 52 = 50 cm2.

2. lim ( )x a

f x terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidakdipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung)di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

Contoh :1. Tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x= 1Jawab : 1) f ()1 1 1 3 12 f(1) terdefinisi

f(a) f(x

f(x) kontinu di x = a, sebab

f(x) diskontinu di x = a,sebab tidak ada

f(x) diskontinu di x = a,

sebab f(a)

2) lim ( )x

terdefinisi

3) lim ( ) ()x

1 Jadi fungsi f x x x( ) 2 3kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi f x xx( )

2 93 kontinu di x =

Jawab : 1) f ( )3 3 93 3

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x)diskontinu di x = 3

3. Selidiki apakah fungsi

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)2)

(terdefinisi)3) , berarti f(x) disko

2.5 Teorema Limit

2.6 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

2.7 Kekontinuan Fungsi

2.8 Soal-soal

bab ii fungsi dan limitnya

Documents