FUNGSI dan LIMIT

Disusun oleh :

Bob Rozalno (1006734533)

Siti Julaeha (1006734621)

Desti Riminarsih (1006786064)

Iffatul Mardhiyah (1006786133)

Rida Novrida (1006786221)

Departemen Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia 2010

FUNGSI dan LIMIT

1.1 Fungsi dan GrafiknyaFungsi :

suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal)

tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil)

Aturan suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan :

y = f(x)

x adalah variabel bebas , y adalah variabel tak bebas

contoh :

y = x2 - 4

y = 2x + 1

Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi adalah himpunan bilangan riil, maka

fungsi tersebut dapat digambarkan dalam bentuk grafik pada suatu bidang koordinat.

y = f(x) = x2 – 4 y = 2x + 3

Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap sumbu Y maka fungsi yang

demikian disebut fungsi genap, yaitu jika f(-x) = f (x).

Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap titik asal O (0,0) maka fungsi yang

demikian disebut fungsi ganjil, yaitu jika f(-x) = - f(x).

1.2 Operasi Pada FungsiJUMLAH, SELISIH,HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT.

Pandanglah fungsi- fungsi f dan g dengan rumus- rumus

f(x) =x−3

2 g(x) = √ x

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x−3

2 + √ x

Fungsi- fungsi f – g, f . g, dan f/g diperkenalkan dengan cara analog. Dengan

anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alamiah, kita mempunyai yang berikut :

Operasi pada Fungsi Rumus dan Contoh Daerah asal

Jumlah

Selisih

Hasil Kali

Hasil Bagi

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x−3

2 + √ x

(f - g) (x) = f(x) - g(x) = x−3

2 - √ x

(f . g) (x) = f(x) . g(x) = x−3

2 . √ x

( fg ) (x) =

f (x )g (x) =

x−32√x

[ 0, ∞ )

[ 0, ∞ )

[ 0, ∞ )

( 0, ∞ )

Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0.

Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan fn, kita maksudkan fungsi

yang menetapkan nilai [f(x)]n pada x. Jadi,

f2(x) = [f(x)]2 = [ x−32 ]2 = x2−6 x+9

4

dan

g3(x) = [g(x)]3 = ( √ x )3 = x3/2

Satu-satunya pengecualian pada aturan ini untuk n dalam fn adalah n = -1

CONTOH 1. Andaikan F(x) = 4√ x+1 dan G(x) = √9−x2, dengan masing- masing daerah

asal alamiah [ - 1, ∞ ) dan [ - 3, 3 ]. Cari rumus untuk F + G, F – G, F . G, F/G dan F5

dan berikan daerah asal alamiahnya.

Penyelesaian

Rumus Daerah

asal

(F + G) (x) = F(x) + G(x) = 4√ x+1 +√9−x2 [ -1, 3)

(F - G) (x) = F(x) - G(x) = 4√ x+1 - √9−x2

(F . G) (x) = F(x) . G(x) = 4√ x+1 .√9−x2

( FG ) (x) =

F( x)G(x) =

4√x+1√9−x2

F5(x) = [ F(x) ]5 = (4√ x+1 )5 = ( x + 1)5/4

[ -1, 3 )

[ -1, 3 )

[ -1, 3 )

[ -1, ∞ )

KOMPOSISI FUNGSI.

Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah senapan.

Sekarang diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin.

Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x)

sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat

sebuah mesin yang lebih rumit demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f

bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk

mehasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang

dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi,

( g o f )(x) = g(f(x))

Ingat kembali contoh kita terdahulu, f(x) = (x- 3)/2 dan g(x) = √ x . Kita dapat

menyusunnya dalam dua cara,

( g o f )(x) = g(f(x)) = g( x−32 ) = √ x−3

2

( f o g )(x) = f(g(x)) = f( √ x) = √x−32

Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; gof

dan fog umumnya berlainan.

CONTOH 2. Andaikan f(x) = 6x/(x2 – 9) dan g(x) = √3 x. Pertama, cari ( fog )

(12),kemudian cari (fog)(x) dan berikan daerah asalnya.

3

2

3

2

Penyelesaian

( f o g )(12) = f(g(12)) = f (√36) = f(6) = 3627 =

43

( f o g )(x) = f(g(x)) = f (√3 x¿¿

= 6√3 x¿¿

= 6√3 x3 x−9

= 2√3 xx−3

Daerah asal fog adalah [0, 3) ∪ ( 3, ∞ )

TRANSLASI.

Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang paling sederhana dapat

membantu Anda dalam menggambar grafik. Mungkin anda akan bertanya:

Bagaimana grafik- grafik dari

y = f(X) y = f(x – 3) y = f(x) + 2

y = f(x – 3) + 2

apakah berkaitan satu sama lain? Ambillah f(x) = |x|sebagai contoh. Keempat grafik

yang bersesuaian ini dapat anda lihat pada gambar

y = |x| y = |x−3| y = |x| + 2 y=|x−3|+2

Apa yang terjadi dengan f(x) = |x|adalah khas. Perhatikan bahwa keempat grafik

tersebut mempunyai bentuk yang sama, tiga yang terakhir hanyalah penggeseran

(translasi) dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh x – 3 akan menggeser grafik itu 3

satuan luas ke kanan, dengan menambahkan 2 berarti menggesernya ke atas sebesar 2

satuan.

KATALOG SEBAGIAN DARI FUNGSI.

Sebuah fungsi berbentuk f(x) = k, dengan k adalah konstanta (bilangan riil) disebut fungsi

konstan. Grafiknya berupa garis mendatar. Fungsi f(x) = x disebut fungsi identitas.

Grafiknya berupa sebuah garis yang melaui titik asal dengan kemiringan 1. Dari fungsi-

fungsi sederhana ini, kita dapat membangun banyak fungsi- fungsi kalkulus yang penting.

Fungsi Konstan Fungsi identitas

Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas

dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi

polinom. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk

f(x) = an xn + an−1 xn−1+ … + a1 x +ao

dengan koefisien- koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak

negative. Jika an≠ 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinommya. Khususnya, f(x) = ax

+ b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 +bx + c adalah fungsi

derajat dua, atau fungsi kuadrat

Hasil bagi fungsi- fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi

rasional jika dibentuk

f(x) = an xn+an−1 xn−1+…+a1 x+ao

bm xm+bm−1 xm−1+…+bx+bo

Sebuah fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi

konstan dan fungsi identitas melalui operasi penambahan , pengurangan, perkalian,

pembagian, dan penarikan akar. Contohnya adalah

f(x) = 3x2/5 = 35√ x2 g(x) = (x+2)√2

x3+3√ x2−1

Fungsi – fungsi yang didaftarkan sedemikian jauh, bersama- sama dengan fungsi-

fungsi trigonometri, balikan trignometri, eksponen, dan logaritma (akan diperkenalkan

nanti), merupakan bahan baku yang mendasar untuk kalkulus kita.

1.3 Fungsi TrigonometriDefinisi

Perhatikan gambar berikut :

Definisi fungsi trigonometri didasarkan pada lingkaran satuan , yaitu lingkaran

yang berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Andaikan A adalah titik (1,0) dan andaikan t

adalah sembarang bilangan positif. Maka terdapat satu titik P (x,y) sedemikian rupa

sehingga panjang busur AP , yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum

jam dari A sepanjang lingkaran satuan sama dengan t (gambar 1). Jika arah putaran

searah jarum jam, maka t < 0.

Definisi Fungsi Sinus dan Kosinus

Andaikan t menentukan titik P (x,y) seperti ditunjukkan di atas, maka

Sifat-sifat Dasar Fungsi Sinus dan Kosinus

1. Daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah selang

2.

3. sinus adalah fungsi ganjil, sedangkan kosinus adalah fungsi genap,

4.

5.

Grafik Sinus dan Kosinus

Berikut ini gambar grafik sinus

Berikut ini grafik fungsi kosinus

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

Hubungan Dengan Trigonometri Sudut

Sudut biasanya diukur dengan derajat atau dalam radian. Satu radian didefinisikan

sebagai sudut yang berpadanan dengan busur sepanjang 1 unit lingkaran.

Panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran dari sebuah lingkaran berjari-jari r

dengan sudut pusat t radian memenuhi

Atau

Contoh :

Carilah jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai

jari-jari 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran?

Penyelesaian :

Jadi, jarak yang ditempuh sepeda tersebut

1.4 Pendahuluan LimitDefinisi. Pengertian Limit Secara Intuisi.

Mengatakan bahwa limx→ c

f ( x )=L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan

dari c, maka f ( x ) dekat ke L.

Contoh

Carilah limx→3

(4 x−5 )

Penyelesaian

Bilamana x dekat 3; maka 4 x−5 dekat terhadap 4⋅3−5=7 . Kita tuliskan

limx→3

(4 x−5 )=7

Limit-limit Sepihak

Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik

lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan

limit-limit sepihak. Anggaplah lambang x→c+ berarti bahwa x mendekati c dari

kanan, dan andaikan x→c− berarti bahwa x mendekati c dari kiri.

Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan

Mengatakan bahwa limx→c+

f ( x )=L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah

kanan c, maka f ( x ) dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa limx→c−

f ( x )=L

berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f ( x ) adalah dekat

ke L.

Contoh

Carilah limx→2

[|x|]

Penyelesaian

Ingatlah kembali bahwa [|x|] menyatakan bilangan bulat terbesar lebih kecil dari atau

sama dengan x . Grafik y= [|x|] adalah

y= [|x|] 3

2

1

1 2 3 4 x

Jadi, walaupun lim [|x|] tidak ada, adalah benar untuk menuliskan

limx→2−

[|x|]=1 dan

limx→2+

[|x|]=2

Teorema

limx→ c

f ( x )=L jika dan hanya jika

limx→c−

f ( x )=L dan

limx→c+

f ( x )=L

1.5 Pengkajian Mendalam Tentang LimitDefinisi Pengertian yang tepat tentang limit

Mengatakan bahwa limx→ c

f ( x )=L, berarti bahwa untuk tiap ε>0 yang diberikan

(betapapun kecilnya), terdapat δ >0 yang berpadanan sedemikian sehingga

|f (x )−L|<ε asalkan bahwa 0<|x−c|<δ , yakni,

0<|x−c|<δ ⇒|f ( x )−L|<ε

Contoh

Buktikan bahwa limx→4

(3 x−7 )=5

Analisis Pendahuluan

Andaikan ε bilangan positif sembarang. Kita harus menghasilkan suatu δ >0

sedemikian sehingga

0<|x−4|<δ ⇒|(3 x−7 )−5|<ε

Pandang ketaksamaan di sebelah kanan

|(3 x−7 )−5|<ε⇔|3 x−12|<ε⇔|3 ( x−4 )|<ε⇔ |3||x−4|<ε

⇔ |x−4|<ε3

Sekarang kita lihat bagaimana memilih δ , yakni δ=ε /3 . Tentu saja δ yang lebih

kecil akan memenuhi.

Bukti Resmi

Andaikan diberikan ε>0 . Pilih δ=ε /3 . Maka 0<|x−4|<δ membawakan

|(3 x−7 )−5|=|3 x−12|=|3 (x−4 )|=3|x−4|<3 δ=εJadi

|(3 x−7 )−5|<ε

1.6 Teorema Limit

Teorema Limit Utama

Bukti teorema limit utama no.4 :

Misalkan dan . Jika terdapat >0 , maka >0.

karena ,

maka terdapat >0 sedemikian sehingga

Karena ,maka terdapat >0 sedemikian sehingga

Pilih maka menunjukkan

Maka disimpulkan

sehingga terbukti bahwa

Teorema limit utama digunakan untuk memperoleh penyelesaian limit dari sebuah

fungsi. Untuk beberapa kasus fungsi polinom atau fungsi rasional, penyelesaian limit

dapat didasarkan teorema subtitusi, yaitu :

Teorema Subtitusi:

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

Dengan syarat pada fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol.

Contoh

Mencari penyelesaian

Penyelesaian

Pada kasus fungsi rasional ini nilai penyebut untuk x=2 tidak nol, maka dapat

diselesaikan berdasarkan teorema B, sehingga

Teorema Apit :

Misalkan fungsi f,g, dan h memenuhi untuk semua x dekat c, kecuali

mungkin di c.

Jika , maka

Contoh

Diketahui untuk semua x mendekati tetapi tidak nol. Maka nilai

?

Penyelesaian

Misalkan

Sehingga , berdasarkan teorema apit, maka diperoleh :

1.7 Kekontinuan FungsiDefinisi. kekontinuan di satu titik

Fungsi f dikatakan kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terdapat dalam

domain f dan .

Contoh

Misalkan , bagaimana f didefinisikan di x=2 agar kontinu di titik

tersebut.

Penyelesaian

Kita definisikan , sehingga

Definisi. Kekontinuan Pada Selang

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik (a,b),

f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan

kontinu kiri di b.

Contoh

Fungsi yang disketsakan di atas dikatakan kontinu pada selang terbuka (-∞,0), (0,3), dan

(5,∞) dan pada selang tertutup [3,5].