سمخلا لصفلا - بيتُ...

341

الفصل الخامس

لياطرائق حل المعادلات التفاضلية من الرتب الع

Method of solving higher order differential equations

تناولنا في الفصيل البيااق التعريفيات الرئيبية المتعللية احيل المعيادلات التفاضيلية الخطيية المت انبية

طرائييق جي يياد حييل تلييلا المعييادلات نيياكر ، ولكيين ليي ومارهناتهييا العلييياوغييير المت انبيية اات الرتييب

خطية مت انبة ة لإي اد حلول معادلات تفاضليةيليالطرائق التحلأه ف هاا الفصل نتناول . التفاضلية

بينرك لليا المعيادلات التفاضيلية مين الرتاية الاانيية، . وغير مت انبة، اات معيامتت اااتية ومتريير

.وأللا والرااعة نتناول ف اعض الاحيان الرتاة الاالاة

: I للا الفتر اات المعامتت المترير لمعادلة التفاضلية الخطية المت انبة من الرتاة الاانية تأمل ا

(5.1) 0)()()( 012

2

2 yxadx

dyxa

dx

ydxa

2)(0حيث جن xa .حلها العا هون أف الفصل البااق للد اينا :

(5.2 ) )()( 2211 xycxycy

1)( ن حيث ج xy 2)(و xy لليا الفتير (5.1)للمعادلية التفاضيلية الم مولية اسبابيية للحليولهي

I .

:ءاتكاف (5.1)أن المعادلة (1.4.3)للد اينا ف الاند

(5.3) 0)()(2

2

yxQdx

dyxP

dx

yd

.Iدالتان متصلتان معرفتان للا الفتر xQ)(و xP)(حيث جن

( rderoReduction of) اخت ال الرتاة طريلة 1.5

تأميل . حيد الحليين معليو ألمعادلات التفاضلية من الرتاة الاانية اات المعامتت المتريير ولكين بنادأ اا

.Iمعييرع للييا الفتيير أحييد الحلييول غييير الصييفرية لهييا 1y، لنفييرض أن (5.3)المعادليية التفاضييلية

اطريلة اخت ال الرتاية للمعادلة التفاضلية نفبها 2yان بنحاول التعرع للا طريلة لاي اد الحل الا

تعيود هييال التبيمية لكيون الطريليية المبيتخدمة وهيي .ن خطييا،،يمبييتلل 2yو 1yلليا أن يكيون ،

12: حييث التعويض اابتخدا الحل المعليو )( yxuy اليا الرتاية (5.3)بييخت ل رتاية المعادلية

االمايال اتتي اليا أعيا نايداللانون القال اشتلاق . حلها والحصول للا الحل الاان نلو ااسولا ا

.بيوضح الفكر

344

لييييكن (: 5)المايييال xey 1 0 :حيييت، للمعادلييية التفاضيييلية yy لليييا الفتييير ),( ،

.ي اد الحل الاان ا الحل العا لإابتخد طريلة اخت ال الرتاة

:نفرض أن الحل العا للمعادلة التفاضلية هو :الحلxueyxuy 1)(

:نشتق ونعوض ف المعادلة التفاضلية فنحصل للا

xx euuey وxxx eueuuey 2 ،

0)2(2 uueueeueuueyy xxxxx

02 :، فنحصل للا 0xeاما أن uu .

uw: اتن نبتخد التعويض ومنها نحصل للاuw واالتعويض ف المعادلة الباالة ،

02 :نحصل للا ww واالضرب اعامل التكاملxe2

:، نحصل للا

0)( 2 wedx

d x

:اا راء لملية التكامل، ن د أن xecw 2

3

ومنها نحصل للا: ،xec

dx

du 2

3

، نحصل للا 1 :واا راء لملية التكامل اانية،

2

21

2

32

1ceccecu xx

حيث ،

32جن 2

1cc .ولليه فإن الحل العا هو:

xxxxx ececceceuey 121

2

2 )(

: جاا، الحييل الاييان هييوxey 2 . 0: امييا أن),( xx eeW ن مبييتلتن خطيييا، ولليييه ي، فييأن الحليي

0: لمعادلة التفاضليةا لحلول الم مولة اسبابيةفهما yy للا الفتر),( .

التفاضييلية اشييرخ خطييوات الطريليية المبييتخدمة لاي يياد الحييل الاييان للمعادليية ناييدأ اتن :طريليية لاميية

:الحلاللا قانون امو اه ن د ، ا نشتقIفتر الللا جاا لل الحل اسول (5.3)

)()(0 :، أ (5.3)التفاضلية اصيرة نضع المعادلة. 5 yxQyxPy .

)()(1الحل العا هو ، وأن 1yنفرض الحل المعلو . 2 yxuxy .

:، فنحصل للا ا، نشتق الحل العا مرتين ونعوض ف المعادلة التفاضلية ا ن ر تابيط . 3

341

11 yuyuy 111و 2 yuyuyuy

111111 )())((2 uyxQyuyuxPyuyuyu

111111 )(2)()( yuxPyuyuyxQyxPyu

0 20 111 yuPyuyuu

:للييييييييه تصييييييياح المعادلييييييية التفاضيييييييلية .لهيييييييا كونهيييييييا حيييييييت، (5.3)تحليييييييق المعادلييييييية 1yسن

0 2 111 yuPyuyu

2 0 :ومنها نحصل للا1

1

uPy

yuu

wuنفرض أن . 4 نعوض ف المعادلة الباالة ون ر تابيطا،، فنحصل للا، ا:

0 21

1

wPy

yww

ن جلاحظ أن المعادلة اصاحت من الرتاة الاولا وهاا هو باب تبمية الطريلية اياخت ال الرتاية، حييث

P :ومنها نحصل للاانية الا اسولا، الرتاة اخت لت من الاy

y

w

w

1

1 2

:اييييا راء لملييييية التكامييييل نحصييييل للييييا. 1 cPdxyw2

1 ln ، أ أن:

2

1

2y

ecw

pdx

، حيث أنc

ec 2.

:، ا ا راء لملية التكامل، نحصل للا uيها اما يباو wاالتعويض لن . 6

12

1

2 cdxy

ecu

pdx

)()(1اما أن الحل العا هو . 7 yxuxy ،112 :لليه يكون

1

12 ycdxy

eycy

pdx

:جاا، الحل الاان . 8

(5.4) dxy

eyy

pdx

2

1

12

341

:اتمتحظ

)(0جاا كان .5 xP تأخا الصيرة (5.4)المعادلة فإن :dxy

yy2

1

12

1 .

dxو 1yالحتن .2y

eyy

pdx

2

1

12

0خطيا، سن تنمبتل),( 21 yyW.

اات معامتت متريير أو خطية مت انبة لندما تكون المعادلة التفاضلية تبتخد هال الطريلة .3

.حد الحلول معلو أة وتااا

0432: بتخد اللانون لاي اد الحل الاان للمعادلة التفاضليةا (:5)الماال yyxyx جاا

: للمت أن الحل اسول2

1 xy ، 0,(الفتر للا ا احبب الحل العا( .

نلب للا :الحل2x ،0 :اولا

432

yx

yx

y ا نطاق اللانون فنحصل للا ،:

xxdxx

xdxx

exdx

x

exy

xdx

x

ln1 22

4

ln32

4

3

2

2

)0,(جاا، الحل العا للا للا الفتر هو:

xxcxcy ln 2

2

2

1

الحتن : متحظة2 x وxx ln 2

)0,(مبتلتن خطيا، للا الفتر حلق اللا ،.

09: ابتخد اللانون لاي اد الحل الاان للمعادلة التفاضلية (:2)الماال yy للمت أن جاا

xy: الحل اسول 3sin1 فتر ال، ا احبب الحل العا للا),( .

dx: نبتخد الصيرة :الحلy

yy2

1

12

1 فنحصل للا:

xxx

xdxxdxx

xy

3cos3

1)3cot

3

1)(3(sin

3csc3sin3sin

13sin 2

22

xy: الحل الاان هو أ 3cos2 (لمااا؟) والحل العا هو :xcxcy 3cos3sin 21 .

341

اات المعامتت الاااتة العلياالمت انبة من الرتب الخطية معادلات ال 5.2

(Higher order liner homogenous DE with constant coeficients)

من ةنتناول ف هاا الاند المعادلات التفاضلية الخطية المت انبة من الرتاة الاانية امعامتت ااات

:النمط

(5.5) 0 cyybya

. 0aن جاواات حليلية، و c، و bو aحيث جن

اما أن rxrx ree

dx

d نفرض أن الحيل مين الينمط :

rxey ن جحييث r مطليوب جي يادل ااايت .

: نحصل للا ،نشتق الحل مرتين ونعوض ف المعادلة الباالة

،02 rxrxrx cebreear

االلبمة للاrxe 0، سنrxe ل ميع قيx ،المعادلة المبالد نحصل للا (Auxiliary:)

(5.6) 02 cbrar

: أت، كما ييهايمكن حلها وحباب ار من الدر ة الاانية وه معادلة ارية

a

acbbr

2

42

)4(ممي هناللا اتاة احتمالات، تاعا، للملدار ال 2 acb رمو ب أ بالب أ صف.

اران حليليان مختلفان :الحالة اسولا

042جاا كان acb وهما(5.6)، فعندئا نحصل للا ارين حليلين مختلفين للمعادلة ،:

a

acbbr

2

42

1

و

a

acbbr

2

42

2

:ويكون الحتن هما

xrey 1

1 وxr

ey 2

2

21 سن ن ويان مبييتلتن خطيييا، حبييب محييدد رونبييكيلاحييظ أن الحليي rr .يشييكتنن يأ أن الحليي

:وأن الحل العا هو. (5.5)الم مولة اسبابية لحلول المعادلة التفاضلية

xrxrececy 21

21

043: د حل المعادلة التفاضلية (:5)الماال yyy

: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة :الحل

341

0)1)(4(432 rrrr

41جاا، r 12و r ولليه فالحل العا ،: xx ececy 2

4

1 .

ان اران حليليان متباوي: الحالة الاانية

042جاا كان acbهماو، (5.6)ين للمعادلة ي، فعندئا نحصل للا ارين حليلين متباو :

ra

brr

2 21

: ويكون الحل اسول هو

a

b

rx eey 2

:أت كما ي (5.4)فيمكن حبااه اابتخدا طريق اخت ال الرتاة، أ اللانون ،أما الحل الاان

: لتصاح، (5.5)نعيد كتااة المعادلة التفاضلية

0 ya

cy

a

by

:نحصل للا اابتخدا اللانون لندئا،

rxrx

rx

xa

b

rx

rx

dxa

b

rx

pdx

xedxedxe

eedx

e

eedx

y

eyy

222

1

12

rسن a

b2

:هما نيلليه فإن الحل.

rxey 1 و rxxey 2

ن همييا الم موليية اسبابييية يالحليي أ أن . ن يالاحييظ أن الحييتن مبييتلتن خطيييا، حبييب محييدد رونبييك

:وأن الحل العا هو. لحلول المعادلة التفاضلية

rxrx excecy 21

02 : د حل المعادلة التفاضلية (:2)الماال yyy

: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة :لالح

0)1(12 22 rrr

121جاا، rr، ولليه فالحل العا:

xx xececy 21

341

اران للديان أحدهما مرافق للآخر : الحالة الاالاة

042جاا كان acb (5.6)نحصل للا ارين للديين أحدهما مرافق للآخر للمعادلة ، فعندئا ،

: وهما

a

baci

a

b

a

bacib

a

acbbr

2

4

22

4

2

4 222

2,1

نفييييييرض ir 2,1 حيييييييث جن ، :a

b

2

و

a

bac

2

4 2 لييييييددان حليليييييييان و

0.

: ن همايأ أن ال ار ir 1 و ، irr :يكون الحتن همالليه . 12

xiey )(

1

وxiey )(

2

:وأن الحل العا هو

(5.7) xixi eCeCy )(

1

)(

1

مة للتطايق ف الفصول اللادمة مبتعينا، اصيرة اويلرءاصيرة اكار مت (5.7)يمكن الاد كتااة الحل

(Euler's formula) يةتتا: sincos iei ،ومنها نحصل للا:

sincos ie i

.ب الرياض الشهير اويلر الا بيرد اكرل ف الفصل العاشرابميت الصيرة ا

:يرةلتأخا الص (5.7)لليه يمكن تابيط المعادلة

)(

2

1

2

1

xixixxixxix eCeCeeeCeeCy

) sin (cos) sin (cos 21 xixCxixCe x

xCCixCCe x sin)( cos)( 2121

:جاا، الحل هو

) sin cos( 21 xcxcey x

211: ن ج حيث CCc و)( 212 CCic ه اواات.

0204: لمعادلة التفاضيلية العا ل حلال د (:3)الماال yyy اي يد الحيل اليا يحليق :

‏ )(3,0 )0(1 yy.

02042: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة :الحل rr

311

i جاا، ii

r 422

644

2

)20(41642,1

:العا لليه فالحل ، 4و 2: أ

)4 sin4 cos( 21

2 xcxcey x

)0(3, (0)1: ةائيياتدط الاوالشيرااضيافة (3)ألد حل الماال (: 4)الماال yy اليا المعادلية

.التفاضلية

: العا الا حصلنا لليه ف الماال البااق نشتق الحل :الحل

)4cos44 sin4()4 sin4cos(2 21

2

21

2 xcxcexcxcey xx

ل للا، فنحصةاتدائيط الاوا نعوض ف الشر

121

0 )0 sin0cos(3 ccce

1221

0

21

0 24)0cos40 sin4()0 sin0cos(21 ccccecce

31: أ أن c 124و 12 cc .31 : ومنهييا نحصييل للييا c و4

52 c ،جاا ،

: ائيةاتدالاحل مبألة اللي

)4 sin4

54 cos3(2 xxey x

:ث الباالة كما ف المخطط اتت يمكن تلخيص الحالات الات

المعادلات المت انبة من الرتاة الاانية اات المعامتت الاااتةلحل الانبياا المخطط

اران حليليان متباويانrxrx xececy 21

مترافلان للديان اران

) sin cos( 21 xcxcey x

المبالد المعادلات

02 cbrar

اران حليليان مختلفانxrxr

ececy 21

21

لمعادلات التفاضليةا0 cyybya

313

02: د حل المعادلة التفاضلية (:1)الماال yky حيث ،k ااات حليل.

022 :الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة :الحل kr

kirجاا، 2,1 ، 0: أ وk لليه فالحل العا ،:

xckxcy k sin cos 21

.وحلها مهمة دا، ف التطايلات الت بنتناولها ف الفصل البادس (1)اضلية ف الماال المعادلة التف

يمكن ابتخدا الطريلة نفبها لحل معادلات تفاضلية من الرتاة الاالاة والرااعة ورتب أللا، كما

:دون تناول ال انب النظر الامالة اتتية، بناين اللا ف

043: فاضلية د حل المعادلة الت (:6)الماال yyy


0)2)(1()44)(1(43 2223 rrrrrrr

11: جاا، ال اور الاتاة ه r 232و rr ولليه فالحل العا ،:

xxx excececy 2

3

2

21

)4(02: د حل المعادلة التفاضلية (:7)الماال yyy


0)1(12 2224 rrr.

irr: جاا، ال اور الاراعة ه irrو 31 :، ولليه فالحل العا 42

xxcxxcxcxcy sin cos sin cos 4321

التي تلاايل المعادلية التفاضيلية الخطيية امعيامتت المبيالد في حالية كيون ياور المعادلية : متحظة

.لكل ار له مرافقحيث ا، اااتة ه للدية، فإن لددها ي ب أن يكون و ي

0472: د حل المعادلة التفاضلية (:8)الماال )4()5()6( yyy

311

: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه الد المبالمعادلة :الحل

0)4)(12()472(47 424456 rrrrrrrrr

04321: جاا، ال اور البتة ه rrrr و2

15 r ،46 r ولليه فالحل العا:

xx

ececxcxcxccy 4

62

1

5

3

4

2

321

الملاالييية للمعادلييية المبيييالد ل ييياور المعادلييية ال يييدول اتتييي يوضيييح كيفيييية احتبييياب الحليييول طاليييا،

:التفاضلية

(5)ال دول

الحل العا الحلول التكرار ال اور

0r 4 1y وxy

و 2xy و

3xy

3

4

2

321 xcxcxccy

2/1r 5 2/xey 2/xcey

4r 2 xey 4 وxxey 4 xx xececy 4

2

4

1

:غير المت انبة التفاضلية الخطيةالمعادلة نعود لحل

(oefficientscndetermined uethod of M)المحدد طريلة المعامتت غير 5.3

اات nمن الرتاة غير المت انبة التفاضلية الخطيةمواصفات حل المعادلة (4.5)للد دربنا ف الاند

: I للا الفتر المعامتت المترير

(5.8) )()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

1)(، xg)( حييث جن xa ،)(2 xa،...و ،)(xan هي دوال تحتيو لليا المتريير المبيتللx أو

)(0 اواات، و xan .حلها العا هوأن أيضا، للد اينا :

pc yyy

، (5.8) مرافلية للمعادليةالتفاضيلية الخطيية المت انبية ال هي حيل المعادلية cyحيث جن الدالة المكملية

:أ

(5.9) 0)()(...)()( 011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

311

. Iللا الفتر (5.8)هو أ حل خاص للمعادلة pyوأن

، (5.8)لحل نمط معين من المعادلات التفاضلية الخطية غيير المت انبية خاصة اتن نبتعرض طريلة

في الحليلية . لهيا pyالتي مين ختلهيا ن يد الحيل الخياص " طريلة المعامتت غير المحيدد "تبما

الطريلية . xg)(ل الخاص معتمد للا صييرة الطريلة ه ابتنتا ية وتعتمد للا وضع فرضية للح

:ق الشرطين اتتيينلتح يةالعامة تتولا حل معادلات تفاضل

.اواات na، و...،1a ،2aتكون المعامتت .5

بية أو دالة او دالة حدودية ، ااااتة، : xg)(تكون الدالة .2 xe ،و دالة يبا xsin و ا

.، او حاصل مع او ضرب لدد منته من هال الدوالxcos يب تما

:من النمط xg)(الدالة الماال، تكون لللا باي

10)( xg

32)( 2 xxxg

xexxxg 2)( 2

xxxxg 4cos3sin)(

xx exxxexg 42 )13(sin)(

:ه تركيب خط من الدوال xg)(الدالة أ أن

،01

1

1 ...)( axaxaxaxP n

n

n

n

xexP x cos)( ، xexP x sin)( ، xexP )(

.اواات حليلية و لدد صحيح غير بالب، و nحيث جن

:جن طريلة المعامتت غير المحدد لا تشمل دوال من النمط: متحظة

xxg 1sin)( و xxg tan)( و x

xg1

)( و xxg ln)( ،الخ... و

.خرى ف الانود اللادمةألتل اطرق أالمعادلات التفاضلية الت تشمل دوال من النمط بنتولا حل

، أ xg)(ي ب أن يباو (1.8)للمعادلة pyنظرا، لكون التركيب الخط لمشتلات دالة الحل الخاص

أن

314

)(... 011

1

1 xgyadx

dya

dx

yda

dx

yda p

p

n

p

n

nn

p

n

n

مين اليلا كميا بينتحظ . نفبيها xg)(صييرة تعتميد لليا pyالحيل الخياص صييرة فعليه نبتنتج أن

.للادمةختل اسمالة ا

:طريلة الحل

.cyللمعادلة اسصلية، أ ن د الدالة المكملة رافلةة التفاضلية المت انبة المن د حل المعادل .5

. pyالصيرة العامة للحل الخاص فرضن .2

ة اوابطة التعيويض في المعادلية غيير المت انبي pyن د المعامتت الم هولة ف الحل الخاص .3

.اسصلية ومباوا الحدود المتشااهة

pcالحل العا هو .4 yyy .

:xg)( تاعا، للدالة pyال دول اتت ياين نمااج من الحل الخاص

(2)ال دول

pyالصيرة العامة للحل الخاص xg)(الدالة ت

c Aأو ا ااات 5 5

2 75 x BAx

3 23 2 x CBxAx 2

4 13 xx DCxBxAx 23

1 x4sin xBxA 4sin4cos

6 x4cos xBxA 4sin4cos

7 xe5

xAe5

8 xex 3)23( xeBAx 3)(

9 xex 32 )23( xeCBxAx 32 )(

51 xe x 4cos3 )4sin4cos(3 xBxAe x

55 xx 4sin5 2 xFExDxxCBxAx 4sin)(4cos)( 22

52 xxe x 4cos3 xeDCxxeBAx xx 4sin)(4cos)( 33

311

63224: معادلة التفاضليةالعا لل حلال د (:5)لماال ا 2 xxyyy

024: نادأ احل المعادلة التفاضلية المت انبة :الخطو اسولا :الحل yyy

0242: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة rr

621: يليان مختلفان هماجاا، ال اران حل r 622و r دالة المكملةفالولليه:

xx

c ececy)62(

2

)62(

1

.

:ه حدودية من الدر ة الاانية، لليه نفرض أن xg)(نظرا، لكون الدالة :الخطو الاانية

.2 CBxAxy p

. تحلييق المعادليية التفاضييلية غييير المت انبيية pyاحيييث جن C، و Bو Aد الاوااييت ن يياتن

: مرتين pyنشتق

BAxy p Ayو 2 p 2

: نعوض ف المعادلة التفاضلية غير المت انبة، فنحصل للا

632)(2)2(4224 22 xxCBxAxBAxAyyy ppp

:ومنها نحصل للا

22 A ،328 BA 6242، و CBa

و 1A: أ أن 2

5B 9 ، وC .لليه يكون الحل الخاص:

, 92

52 xxy p

9 :والحل العا 2

52)62(

2

)62(

1

xxececyyyxx

pc .

من الدوال، ن د الحل الخاص لكل نميط معيين متعدد طانملا ا، خطي ا، تركيا xg)(لندما يكون : متحظة

المارهنية م ميو الحليول الخاصية لتليلا الانمياط ابيتنادا، اليا الحيل الخياص هيو يكون ، ا حد للا

:أ أن . من الفصل الرااع (4.7)

)(...)()(21

xyxyxyykpppp

:كما هو موضح ف الماال اتت

: لمعادلة التفاضلية اتتيةحدد نمط الحل الخاص ل (:2)الماال

xxexxyyy 62 72sin53149

311

يلاال نفرض أن الحل الخاص الا :الحل23x هوCBxAxyp 2

1.

xExDypهو x2sin5نفرض أن الحل الخاص الا يلاال 2sin2cos2

.

نفرض أن الحل الخاص الا يلاال xxe67 هو

x

p eGFxy 6)(3

.

:ه حظة الباالةلمتحبب ا ، pyل الخاص لندئا تكون الفرضية المناباة للح

x

pppp eGFxxExDCBxAxyyyy 62 )(2sin2cos321

:cyمع حدود الدالة المكملة pyلاحظ أنه لا يو د تكرار ف حدود الحل الخاص

xx

c ececy 7

2

2

1 .

للييه ااا كييان أ ميين . cyوحييدود pyتايار التكييرار اييين حيدود ي ييب أن يذخيا انظيير الال :متحظية

حييدود ipy يحتييو للييا حييد مكييرر فييcy ‘بفعليييه نضيير

ipy ـايي nxجن ، حيييثn هييو

:كما بنتحظ اللا ف الماال اتت أصرر لدد صحيح ي يل التكرار،

: لمعادلة التفاضلية اتتيةالخاص لحل ال د (:3)الماال xeyyy 2

02: نادأ احل المعادلة التفاضلية المت انبة: الخطو اسولا :الحل yyy

0122: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد معادلة ال rr

121و : همامتباويان جاا، ال اران حليليان rr الة المكملةفالدولليه:

x

c xecxcy 21 .

اتن لا نبييتطيع فييرض الحييل الخيياص x

p Aey كمييا أن هييال رار مييع الداليية المكملييةلو ييود التكيي ،

:الفرضية لا تحلق المعادلة التفاضلية غير المت انبة سن

xxxx

ppp exgAeAeAeyyy )(022

كما لا يمكن فرض الحل الخاصx

p Axey ،كميا أن هيال لو ود التكرار مع الدالية المكملية أيضيا ،

.( تحلق من اللا كما ف اسولا)المت انبة الفرضية لا تحلق المعادلة التفاضلية غير

: لليه نفرض الحل الخاص هو x

p eAxy 2.

:نشتق ونعوض ف المعادلة التفاضلية الاصلية نحصل للا

xxxx eeAxAxeAeyyy 2422

311

12: لليه نحصل للا A أ أن ،2

1A اص هووالحل الخ :

x

p exy 2

2

1.

: ائيةاتدالا د حل مبألة اللي (:4)الماال

2)( ,0)( ,sin104 yyxxyy

:الحل

0: نادأ احل المعادلة التفاضلية المت انبة :الخطو اسولا yy

012: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة r

ir: حدهما مرافق للآخرأجاا، ال اران للديان 2,1 ولليه فالدالة المكملة:

xcxcyc sincos 21 .

BAxyهو x4نفرض أن الحل الخاص الا يلاال :الخطو الاانية p 1

xDxCypهو xsin10ا يلاال لحل الخاص الالفرضية الطايعية ل 2sin2cos2

، للييه فيإن الفرضيية المنابياة xsinونظرا، لو ود تكرار اين الدالة المكملة والحيل الخياص وهيو

)sincos(: ه 2

xDxCxyp .لليه نفرض أن الحل الخاص هو:

)sincos( xDxCxBAxyp

: مرتين نحصل للا pyنشتق

)cossin(sincos xDxCxxDxCAyp

)cossin()sincos(cossin xDxCxDxCxxDxCyp

:اتن نعوض ف المعادلة اسصلية فنحصل للا

xxxDxCBAxyy pp sin104cos2sin2

0Dو ، 5Cو 0Bو 4A: لليه فإن

xxxy: أ أن الحل الخاص هو p cos54 والحل العا هو:

xxxxcxcy cos54sincos 21

)(0, )(2 ائيييةاتدالاوط رنعييوض االشيي، 2cو 1cقيميية الاييااتين ي ييادلإ yy فنحصييل ،

:للا

0cos54sincos)( 21 ccy

91: ومنها نحصل للا c .اتن نشتق ونعوض، فنحصل للا:

311

xxxxcxcy cos5sin54cossin 21

2cos5sin54cossin)( 21 ccy

72: ومنها نحصل للا c . هو ائيةاتدالاجاا، حل مبألة اللي:

xxxxxy cos54sin7cos 9

مكن تعمي طريلة المعامتت غير المحدد لتشمل معيادلات تفاضيلية خطيية غيير مت انبية مين الرتيب ي

:يناتتي ينبنكتف اتناول الماال(. رتب أللا من الرتاة الاانية) العليا

xeyy: د حل المعادلة التفاضلية اتتية (:1)الماال x cos

:الحل

0: احل المعادلة التفاضلية المت انبةنادأ :الخطو اسولا yy

223)1(0: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة rrrr

021 :اة ه جاا، ال اور الات rr 13و r لليه فالدالة المكملة ،:

x

c ecxccy 321

هي حاصيل ضيرب دالية أبيية و دالية ييب التميا ، كميا لا xg)(نظرا، لكون الدالية :الخطو الاانية

)sincos( :يو د تكرار ف الحدود، لليه نفرض أن xBxAey x

p

pyنشيتق . تحلق المعادلة التفاضيلية غيير المت انبية pyث جن احي Bو A: اتن ن د الاااتين

: نعوض ف المعادلة التفاضلية غير المت انبة، فنحصل للا و اتث مرات

xexeBAxeBAyy xxx

pp cossin)24(cos)42(

142 :ومنهيييييييا نحصيييييييل لليييييييا BA 024و BA ، أ أن :10

1A ، و

5

1B .لليه يكون الحل الخاص: )sin

5

1cos

10

1( xxey x

p والحل العا:

xexeecxccyyy xxx

pc sin5

1cos

10

1321

: حدد نمط الحل الخاص للمعادلة التفاضلية اتتية (:6)الماال xexyy 2)4( 1

:ب الدالة المكملة للمعادلة التفاضلية منعا، لتكرار الحدودنادأ احبا :الحل

334)1(0: الت تلاال المعادلة التفاضلية ه المبالد المعادلة rrrr

311

0321 :جاا، ال اور الاراعة ه rrr 14و r لليه فالدالة المكملة ،:

x

c ecxcxccy 4

2

321 .

الحل الخاص الا يلاايل اتن xex هيو 21

x

p eDCxBxAy )( 2نظيرا، لكيون و.

:اعض الحدود مكرر ، لليه فإن الفرضية المناباة ه

x

p xeDCxBxAxy )( 23

رتييب مين ال خيرى لحيل المعييادلات التفاضيلية الخطيية غيير المت انبيةأبيننتلل اتن اليا طريلية خاصية

.العليا

( odhetmperators oDifferential) طريلة المذارات التفاضلية 4.1

من المعلو ف حباان التفاضيل والتكاميل أن المشيتلة dx

dyاالنبياة للمتريير yهي مشيتلة الدالية

لرم ايايرمي لهيا تبيما ايالمذار التفاضيل وة ابط للا ملا ، وحاصل قبم توه ليب xالمبتلل

yD االتاار أن ،dx

dD . لليه فالمشتلة الاانية ه :

yDyDDdx

dy

dx

d

dx

yd 2

2

2

) (

yD :يمكن تعمي اللالد الباالة لتصاحdx

yd n

n

n

س لدد صحيح مو ب n. للا بايل الماال:

26)523( 2 xxxD

2sin)12(cos)(sin 22 xxxDxxxD

xxxx eexDexDexxD 6)6()23()2( 2233

كميا أن معامتتهيا يمكين أن كما أن هال المذارات التفاضلية تخضع لعملية التحليل والاادال والت مييع،

:موضح ف اسمالة اتتيةكما تكون مترير أو اواات،

,3)3( yDyyD

yDyyDyDDyDDyDD 2)2()2)(1()1)(2( 22

xyxDyyDxyxxDDx 325)325( 2323

cos2sin2)sin(2)sin(2sin)22( 22 xxxxDxDxxDxD

311

xxxxxDي يييييييييييييب لليييييييييييييا الطاليييييييييييييب أن يفيييييييييييييرق ايييييييييييييين sincos)sin( و

xxxDx cos)sin( .

:يأت مذارات تفاضلية واالعكس، كما معادلات تفاضلية اصيرة تيمكن كتااة أية معادلا

xyy: معادلة التفاضليةال xyDتكاف ء 2 )2(

: المعادلة التفاضليةxxeyyy تكاف ء 23

xxeyDD )23( 2

: المعادلة التفاضليةxxeyyy تكاف ء 23

xxeyDDyDDyDD )1)(2()2)(1()23( 2

:يأت اة أية معادلات مذارات تفاضلية اصيرة معادلات تفاضلية، كما واالعكس يمكن كتا

,432)432( 23 yyyyyDDD

yyyDyDD )1()1)(1( 2

:الت تناولناها باالا، (5.8)من انب آخر، تأمل المعادلة التفاضلية

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

:يأت ضلية كما تفا تيمكن تحويلها الا صيرة معادلة مذارا

)()()(...)()( 01

1

1 xgyxaDyxayDxayDxa n

n

n

n

:أ أن

)()()(...)()( 01

1

1 xgyxaDxaDxaDxa n

n

n

n

:ويمكن كتااته اصيرة

)(xgLy

:حيث جن

(5.10) )()(...)()( 01

1

1 xaDxaDxaDxaL n

n

n

n

متعدد )أو المذار الحدود ، امعامتت مترير nاالمذار التفاضل من الرتاة (5.10) المعادلة تبما

(Differential operators) "المذارات التفاضلية" وهو موضو مبتلل احد ااته يبما( الحدود

وه Lه خواص المذار التفاضل أجن . ويدرس ف مراحل متلدمة وراما ف مرحلة الدرابات العليا

:أنه مذار خط

)()()()( xLgxLfxgxfL

313

وخاصة ما يرتاط احل الت معامتتها اواات بنتناول ف هاا الاند ءا، يبيرا، من المذارات التفاضلية

.(5.8)المعادلة التفاضلية

( Annihilator operator)( المصفر)المذار الماح (: 1.5)التعريع

:قاالة لتشتلاق لرتاة كافية احيث جن fمذار تفاضل امعامتت اواات والدلة Lليكن

, 0)( xfL

. fالدالة ( أو مصفر)اماح Lفعندئا يبما

هو xوماح الدالة . 0Dk: ، سن Dهو kماح العدد الااات : للا بايل الماال2D ،

2)()1(0: سن DDxDxD . اشكل لا:

المذارالتفاضل nD و 1: هو ماح للدوالx و

2x ،... ، و)1( nx

: نبتنتج مااشر أن ماح الحدودية

1

1

2

210 ...

n

n xcxcxcc 1,0, 2,..., 1(: ، حيث جن( nici ،اواات حليلية

قو للا أو للا تهو المذار الماح للحد الا يح 1nx وهو ، :

nD سن:

. 0)0(...)0()0(0

)(...)()()(

)(...)()()(

)...(

121

1

1

2

210

1

1

2

210

1

1

2

210

n

nn

n

nnn

n

n

nnnn

n

n

n

ccc

xDcxDcxDccD

xcDxcDxcDcD

xcxcxccD

المذارالتفاضل nD )( هو ماح للدوال :

xe و

xe x وxe 2x،... و ،

xe )1( nx

: نبتنتج مااشر أن ماح الدالة

x1

1

x

1

x

0 ... excxececy n

n

1,0, 2,..., 1(:، حيث جن( nici اواات

قو للا أو للا تهو المذار الماح للحد الا يححليلية 1nx وهو ، :

nD )( سن:

0)0(...)0()0(

)()(...)()()()(

)()(...)()()()(

)...()()(

110

x1

1

x

1

x

0

x1

1

x

1

x

0

x1

1

x

1

x

0

n

nn

n

nn

n

n

nnn

n

n

nn

ccc

exDcxeDceDc

excDxecDecD

excxececDyD

نحتاج ايان أن ماح الدالة هنا xe هو)( D سن ،:

0)()( x x x x x eeeDeeDyD

311

أن ماح الدالة االمال xxe هو

2)( D سن ،:

0))((

))((

)()(

))()(()(

x

x x x

x x

x x2

eD

xexeeD

xexeDD

xeDDxeD

المذارالتفاضل nDD )](2[ 222 هو ماح للدوال:

xe x cos x cos و xe x وx cos xe 2x،... و ،x cos xe )1( nx

xe x sin و x sin xe x وx sin xe 2x،... و ،x sin xe )1( nx

:فإن 1nو 0لندما

.0 xsin

xcos)( 22

D

: د المذار التفاضل الماح للدوال اتتية (:5)الماال

المذار الماح الدالة ت

5 32 851 xx 4D

2 xe 3 )3( D

3 xx xee 22 104 2)2( D

4 xexe xx 2sin92cos5 522 DD

1 xx ee 22 )2)(1( DD

6 xex 2cos1 )52( 2 DDD

7 xex x 2sin2 )4)(2( 22 DDD

8 xxeex xx cos3 32 )1()1)(3( 223 DDDD

9 xxxeex xx cos32

2223 )1()1)(3( DDDD

51 xexx x 3cos2sin )102()4( 222 DDD

311

: متحظات

المياح لكييل دالية، كمييا المذارالمياح لحاصيل مييع دالتيين أو أكاير هييو حاصيل ضييرب الميذار .5

)510(لاحظنا ف من الماال البااق.

كيل مين :لليا بيايل المايال. ا، المذار الماح للدالة ليس وحييد .23)3( D 3)3(و DD

: هو مذار ماح للدالةxe 3

(.تحلق من اللا)

كر المذارات التفاضلية والمذار الماح للدوال، اتن بنكون قادرين للا حل معادلات اعد أن لرفنا ف

.تفاضلية خطية غير مت انبة امعامتت اواات سية رتاة

:طريلة الحل

.وحباب ال اور المرافلة المت انبة ن د الدالة المكملة لن طريق حل المعادلة التفاضلية .5

اضلية االتاارل يباو حاصل ضرب المذار الماح للطرع نحبب المذار الماح للمعادلة التف .2

.اسيبر مع الطرع اسيمن

.معادلة المذار الماح اابتخدا التحليل والتابيط نكتب المعادلة التفاضلية اصيرة .3

.معادلة المذار الماح معادلة التفاضلية الت تلاال لل نحبب الحل العا .4

.ادلالة الاواات pyمن الحل العا نحبب الحل الخاص .1

نشتق الحل الخاص حبب رتاة المعادلة التفاضلية ونعوض ف المعادلة التفاضلية فنحصل .6

للا الاواات، ومنها الحل الخاص

pc: حل المعادلة التفاضلية هو .7 yyy

: يةتتحل المعادلة التفاضلية ا (:2)الماال 2423 xyyy

023: ن د الدالة المكملة لن طريق حل المعادلة التفاضلية :الحل yyy

232)1)(2(0: الت تعادلها ه المبالد المعادلة rrrr ها همااراو :

11 r 22و r والدالة المكملة ،:

xx

c ececy 2

21

: ف الطرع اسيمناما أن المذار الماح للدالة 24x هو

3D فعلية أن المعادلة التفاضلية تلاال ،:

0)23( 23 yDDD

3)1)(2(0: واالتحليل والتابيط ، نحصل للا yDDD

:الباالة ه المذار الماح ةالمعادلة التفاضلية الت تلاال معادل

314

xx ececCxBxAy 2

21

2

:لليه الحل الخاص هو

2CxBxAy p

:واا راء المشتلة مرتين والتعويض ف المعادلة التفاضلية، نحصل للا

22 4)(2)2(3223 xCxBxACxBCyyy ppp

0232: أ أن CBA 062و CB 42و C

:والحل الخاص هو. 2C، و 6Bو 7A: لليه

2267 xxyp

: والحل العا هوxx

pc ececxxyyy 2

21

2 267 .

: تيةحل المعادلة التفاضلية ات (:3)الماال xx eeyy 224

04: ن د الدالة المكملة لن طريق حل المعادلة التفاضلية :الحل yy

42)2)(2(0: الت تعادلها ه المبالد المعادلة rrr ها همااو ار :


xx

c ececy 2

2

2

1

: اما أن المذار الماح للدالة ف الطرع اسيمنxx ee 22 1)(2(هو( DD فعلية أن ،

:المعادلة التفاضلية تلاال

0)2()2)(1()4)(2)(1( 22 yDDDyDDD

:المعادلة التفاضلية الت تلاال معادلة المذار الماح الباالة ه

xxxx ececBxeAey 2

2

2

1

2

:لحل الخاص هولليه اxx

p BxeAey 2 :، نحصل للاواا راء المشتلة مرتين

xxx

p

xxx

p BeBxeAeyBeBxeAey 2222 44 ,2

:والتعويض ف المعادلة التفاضلية، نحصل للا

xxxxxxx

pp eeBxeAeBeBxeAeyy 2222 244444

: أ أن xxxx

pp eeBeAeyy 22 2434

311

: لليه جن 3

1A و

2

1B .والحل الخاص هو:

xx

p xeey 2

2

1

3

1

: والحل العا هوxxxx

ppc ececxeeyyyy 2

2

2

1

2 2

1

3

1

.

xyy: ةتيحل المعادلة التفاضلية ات (:4)الماال 2sin4


42)2)(2(0: الت تعادلها ه المبالد المعادلة irirr ها همااو ار :

ir 21 وir 22 والدالة المكملة ،:

xcxcyc 2sin2cos 21

)4(هو x2sin: اما أن المذار الماح للدالة ف الطرع اسيمن 2 D ة أن المعادلة ، فعلي

:التفاضلية تلاال

0)4( 22 yD


)2sin2cos(2sin2cos 21 xBxAxxcxcy

xBxxAxyp :لليه الحل الخاص هو 2sin2cos

:واا راء المشتلة مرتين، نحصل للا

xBxxAxxBxA

xBxBxxB

xAxAxxAy

xBxxBxAxxAy

p

p

2sin42cos42cos42sin4

2cos22sin42cos2

2sin22cos42sin2

2cos22sin2sin22cos

:المعادلة التفاضلية، نحصل للا والتعويض ف

xxBxA

xBxxAxxBx

xAxxBxAyy pp

2sin2cos42sin4

)2sin2cos4( 2sin4

2cos42cos42sin4 4

: أ أن 4

1A 0وB .والحل الخاص هو: xxy p 2cos

4

1

: والحل العا هو

xxxcxcyyyy ppc 2 cos4

12sin2 cos 21 .

311

xeyy: تيةحل المعادلة التفاضلية ات (:1)الماال x 2cos6514


42)2)(2(0: الت تعادلها ه المبالد المعادلة rrr ها همااو ار :


xx

c ececy 2

2

2

1

xex:اما أن المذار الماح للدالة ف الطرع اسيمن 2cos651 هو yDDD )52( 2 ،

:فعلية أن المعادلة التفاضلية تلاال

0)2)(2)(52()4)(52( 222 yDDDDDyDDDD


xxxx ececxCexBeAy 2

2

2

12sin2cos

xCexBeAy :لليه الحل الخاص هو xx

p 2sin2cos

:واا راء المشتلة مرتين، نحصل للا

xCexCexBexBe

xCexCexCexCe

xBexBexBexBey

xCexCexBexBey

xxxx

xxxx

xxxx

p

xxxx

p

2cos42sin32sin42cos3

2sin42cos22cos22sin

2cos4 2sin22sin22cos

2cos22sin2sin22cos

:والتعويض ف المعادلة التفاضلية، نحصل للا

2cos651

2cos42sin72sin42cos74

)2sin2cos(4 2cos4

2sin32sin42cos3

4

xe

xCexCexBexBeA

xCexBeAxCe

xCexBexBe

yy

x

xxxx

xxx

xxx

pp

14: أ أن A 074و CB 6547، و CB ومنهييييا نحصييييل للييييا :

4

1A 7وB 4، وC .والحل الخاص هو:

xexey xx

p 2sin42cos74

1

311

:والحل العا هو

xexeececyyyy xxxx

ppc 2sin42cos74

12

2

2

1

العلياغير المت انبة من الرتب لحل المعادلات التفاضلية الخطيةلامة شاملة بننتلل اتن الا طريلة

.امعامتت مترير

( arameterspVariation of) المعلمات تريير طريلة 5.5

اييلعمين الرتاية الغيير المت انبية التفاضلية الخطيةمواصفات حل المعادلة (4.5)للد دربنا ف الاند

: I للا الفتر اات المعامتت المترير

:ف حالة المعادلة التفاضلية الخطية من الرتاة الاانية ، المعادلة تصاح

(5.11) )()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

2)(0حيث xa. وهال تكافئ الصيرة الليابية:

(5.12) )()()(2

2

xfyxQdx

dyxP

dx

yd

.Iدالتان متصلتان معرفتان للا الفتر xQ)(و xP)( و

: هو (5.12)للمعادلة حل العا الأن ف الفصل البااق للد اينا

pc yyy

:حيث جن

(5.13 ))()( 2211 xycxycyc

1)( و xy 2)(و xy للمعادلة التفاضلية الم مولة اسبابية للحلوله:

(5.14) 0)()(2

2

yxQdx

dyxP

dx

yd

.اي ادل مطلوب ،Iللا الفتر (5.12) هو حل خاص للمعادلة pyو

:نفرض أن

(5.15 ))()()()( 2211 xyxuxyxuyp

:امطلوب جي ادهم نادالت 2uو 1uحيث

:فنحصل للا ،(5.15)نشتق

311

22221111 yuyuyuyuyp

: تحلق 2uو 1uنفرض ايضا،

(5.16 )02211 yuyu

:، المعادلة الباالة تصاح(5.16)اابتخدا

2211 yuyuy p

:نشتق مر اانية فنحصل للا

22221111 yuyuyuyuyp

:، فنحصل للا(5.12)ا نعوض ف المعادلة

)()()( 2211221122221111 xfyuyuQyuyuPyuyuyuyu

:واا راء التابيط، نحصل للا

)()()( 221122221111 xfyuyuQyyPyuQyyPyu

1)(واما أن xy 2)(و xy فعليه(5.14)للمعادلة التفاضلية الم مولة اسبابية للحلوله ،:

0111 QyyPy ,0222 QyyPy

:ولندئا، نحصل للا

)()0 () 0 ( 221121 xfyuyuuu

:أ أن

(5.17) )(2211 xfyuyu

: نحصل للا (5.17)و (5.16)واحل المعادلتين

(5.18 )،W

xfy

W

Wu

W

xfy

W

Wu

)( ,

)( 211

122

: حيث جن

(5.19 ))(

0

1

1

2xfy

yW

و

2

2

1)(

0

yxf

yW

و

21

21

yy

yyW

:، ومنها نحصل للا الحل العا (5.15)اابتخدا المعادلة pyا نحبب الحل الخاص

pc yyy

الم مولية اسبابيية للحليولوهما ، 2yو 1y ن للحلينياهو محدد رونبك Wالمحدد : متحظة

),(0؛ لليه يكون (5.14)للمعادلة التفاضلية المت انبة 21 yyW .

311

.قال الادء االطاء الامالة، دلنا نحدد الخطوات المتاعة للوصول الا الحل

:نتاع الخطوات اتتية معلماتالتريير لابتخدا طريلة : الطريلة

y، أ معامل (5.12)نعيد كتااة المعادلة لتصاح من الصيرة .5 5هو.

.(5.14)المت انبة لن طريق حل المعادلة التفاضلية cyن د الدالة المكملة .2

),(ن يانحبب محدد رونبك .3 21 yyW 1وW 2، وW (5.19)حبب المعادلة.

.5.18) )اابتخدا المعادلة 2uو 1uن د .4

. 2uو 1uاا راء لملية التكامل نحصل للا .1

.(5.15)اابتخدا المعادلة pyل الخاص نحبب الح .6

pc :لندئا نحصل للا الحل العا اابتخدا .7 yyy

: د حل المعادلة التفاضلية اتتية (:5)الماال xexyyy 2)1(44

044: ن د الدالة المكملة لن طريق حل المعادلة التفاضلية :الحل yyy

44)2(0: ه لاالهاالت ت المبالد المعادلة 22 rrr ها همااو ار :

221 rr والدالة المكملة ،:

xx

c xececy 2

2

2

1

: ومنها نحصل للاxey 2

1 وxxey 2

2 .

:نيانحبب محدد رونبك .5

022

),( 4

222

22

21

x

xxx

xx

eexee

xeeyyW

االتاار 2Wو 1Wنحبب ،(5.19)اابتخدا المعادلة اتنxexxf 2)1()( :

x

xxx

x

exxexeex

xeW 4

222

2

1 )1()1(

0

x

xx

x

exexe

eW 4

22

2

2 )1()1(2

0

:، نحصل للا5.18) )واابتخدا المعادلة .2

311

xxe

exx

W

Wu

x

x

2

4

4

11

)1(1 و

)1(4

4

22

x

e

ex

W

Wu

x

x

:واا راء لملية التكامل نحصل للا .3

23

12

1

3

1xxu وxxu 2

22

1

:نحصل للا الحل الخاص (5.15)واابتخدا المعادلة .4

xxxx

p exexxexxexxy 222322223

2

1

6

1)

2

1()

2

1

3

1(

:جاا، الحل العا هو .12

1

6

1 22232

2

2

1

xxxx

pc exexxececyyy

xyy: لة التفاضلية اتتية د حل المعاد (:2)الماال 3csc364

:(5.12)لتصاح اات الصيرة 4نادأ البمة المعادلة التفاضلية للا :الحل

xyy 3csc4

19

09: ن د الدالة المكملة لن طريق حل المعادلة التفاضلية .5 yy

092: الت تعادلها ه المبالد المعادلة r ها همااو ار :ir 32,1 والدالة ،

:المكملة

xcxcyc 3sin3cos 21

xy: ومنها نحصل للا 3cos1 وxy 3sin2 .

:نيانحبب محدد رونبك .2

033cos33sin3

3sin3cos),( 21

xx

xxyyW

xxfاالتاار 2Wو 1W، نحبب (5.19)اتن اابتخدا المعادلة 3csc4

1)( :

x

x

xx

xW

3sin4

3cos

3csc4

13sin3

03cos

2

و4

1

3cos33csc4

13sin0

1 xx

xW

:، نحصل للا5.18) )اابتخدا المعادلة .3

313

12

1 1

1 W

Wu 1 و

3sin12

3cos2

2 xx

x

W

Wu

:حصل للااا راء لملية التكامل ن .4

xu12

11 وxu 3sinln

36

12

:نحصل للا الحل الخاص (5.15)واابتخدا المعادلة .1

xxxxy p 3sinln)3(sin36

13cos

12

1

:جاا، الحل العا هو .6

3sinln)3(sin36

13cos

12

13sin3 cos 21 xxxxxcxcyyy pc

ر مت انبية امعيامتت لليا معيادلات تفاضيلية خطيية غيي المعلمياتترييريمكن تطاييق طريلية :متحظة

: كما ف الماال اتت . ني، أو يعطا الحل 1yمترير اشرط أن يعطا أحد الحلول

)0,(للا الفتر د حل المعادلة التفاضلية اتتية (:3)الماال :

)sin(ln ),cos(ln ),sec(ln 21

2 xyxyxyyxyx

ضلية للا نادأ البمة المعادلة التفا :الحل2x (5.12)لتصاح اات الصيرة:

)sec(ln111

22x

xy

xy

xy

cos(ln1(: االتاار أن xy و)sin(ln2 xy ه الدالة المكملة ، فأن :

)sin(ln)cos(ln 21 xcxcyc

:نيانحبب محدد رونبك

01

)cos(ln)sin(ln

)sin(ln)cos(ln

),( 21

x

x

x

x

x

xx

yyW

sec(ln(االتاار 2Wو 1W، نحبب (5.19) المعادلة اتن اابتخدا1

)(2

xx

xf :

)cos(ln

)sin(ln1)cos(ln

)sec(ln1

)sin(ln0

22

1x

x

xx

xx

x

x

W

311

22

2

1

)sec(ln1)sin(ln

0)cos(ln

xxxx

x

x

W

:، نحصل للا5.18) )اابتخدا المعادلة

)cos(ln

)sin(ln1 1

1x

x

xW

Wu و

xW

Wu

122

:لااا راء لملية التكامل نحصل ل

)cos(lnln1 xu وxu ln2

:نحصل للا الحل الخاص (5.15)واابتخدا المعادلة

)sin(ln)(ln)]ln[cos(ln)cos(ln xxxxyp

:جاا، الحل العا هو

. )sin(ln)(ln)]ln[cos(ln)cos(ln)sin(ln)lncos( 21 xxxxxcxcy

االاية و ال ةرتاياللليا معيادلات تفاضيلية خطيية غيير مت انبية مين المعلمياتترييريمكن تطايق طريلة

:رااعة وأكار، كما بنوضح اللاال

:اتتية nتأمل المعادلة التفاضلية الخطية غير المت انبة من الرتاة

(5.20 ). )()()(....)( 01

)1(

1

)( xfyxPyxPyxPy n

n

n

nnc: ليكن ycycycy كون ، لندئا ي(5.20)الدالة المكملة للمعادلة التفاضلية 2211...

:الحل الخاص

(5.21 ) ...2211 nnp yuyuyuy

:اتتية nتحلق المعادلات الت لددها ku ، n)1,2,...,(k : حيث جن الدوال

0...2211 nnuyuyuy

0...2211 nnuyuyuy

)(f...)1(

2

)1(

21

1(

1 xuyuyuy n

n

n

nn

)1(ت الحصول للا المعادلات البياالة التي ليددها n كافية اابيتاناء الاخيير مين خيتل الفيرض

02211لندما فرضنا 2كما فعلنا ف حالة الرتاة ا، أنها تباو صفر uyuy لتابيط (5.16)ف

2211... نات ة من تعويض المعادلة ال nnp yuyuyuy (5.20)ف المعادلة التفاضلية .

311

:لحل منظومة المعادلات، نحصل للا (Cramer's rule)اابتخدا قالة كريمر

n 2,..., 1,k , W

Wu k

k

هيو المحيدد النياتج مين kW، و 1y ،2y ،.... ،ny: ن للدوالياتمال محدد رونبك Wحيث جن

ن ايالعمود اليا يمايل الطيرع اسيمين مين منظومية يافي محيدد رونبيك kاادال العميود اليا رتاتيه

المعادلات، أ العمود )(,...,0 ,0 xf.

:، نحصل للا 3nولندما . (5.18) نحصل للا 2nما لند

(5.22 ) , , 33

22

11

W

Wu

W

Wu

W

Wu

321

321

321

yyy

yyy

yyy

W

و

32

32

32

1

)(

0

0

yyxf

yy

yy

W

و

31

31

31

2

)(

0

0

yxfy

yy

yy

W

و

)(

0

0

21

21

21

3

xfyy

yy

yy

W

:، ومنها نحصل للا الحل العا (5.21)اابتخدا المعادلة pyا نحبب الحل الخاص

pc yyy .

.بنكتف االطاء ماال واحد للا معادلة تفاضلية من الرتاة الاالاة

xyy: حل المعادلة التفاضلية اتتية (:4)الماال tan


)1(0: الت تعادلها ه المبالد المعادلة 23 rrrr 01:رهاوو ا r وir 3,2،

:والدالة المكملة

xcxccyc sincos 321

11 :ومنها نحصل للا y وxy cos2 وxy sin3 .

:نيانحبب محدد رونبك

314

01cossin

sincos0

cossin0

sincos122

xx

xx

xx

xx

W

xxfاالتاار 3Wو 2Wو 1W، نحبب (5.19)اتن اابتخدا المعادلة tan)( :

xxxx

xxx

xx

xx

W tan)sin(costan

sincostan

cossin0

sincos022

1

xxx

xx

x

x

W sin))(tancos(

sintan0

cos00

sin01

2

))(tansin(

tancos0

0sin0

0cos1

3 xx

xx

x

x

W

:، نحصل للا5.18) )اابتخدا المعادلة

xW

Wu tan1

1 و xW

Wu sin2

2 وxxx

x

W

Wu cossec

cos

sin

23

3

:اا راء لملية التكامل نحصل للا

xu cosln1 وxu cos2 وxxxu tanseclnsin3


1tanseclnsincosln

tanseclnsinsincoscosln 22

xxxx

xxxxxxy p

:جاا، الحل العا هو

tanseclnsincoslnsincos 321 xxxxxcxccyyy pc

اضييلية الخطييية المت انبيية وغييير للييد لاحظنييا ميين خييتل تناولنييا الطرائييق البيياالة لحييل المعييادلات التف

ا لنييا نفتليير الييا طريليية لاميية لحييل المعييادلات التفاضييلية الخطييية غييير المت انبيية مييالمت انبيية انييه

. امعامتت مترير

311

في حيال طريلية المعيامتت غيير المحيدد ، : تعتار الطرائق الاتث الت تناولناها خاصة ولليها شروط

د اشيترطنا لليا المعادلية التفاضيلية أن تكيون امعيامتت اواايت و وطريلة الميذار التفاضيل ايضيا،، للي

أن تكيون تريير المعلمياتالدالة ف الطرع اسيمن لها مواصفات محدد ؛ كما اشترطنا ف حالة طريلة

في الحليلية تعتاير طريلية ترييير المعلميات مين . عطيا احيد الحليولتالمعامتت اواات أو متريير ولكين

لشموليتها م مولة وابعة من المعادلات التفاضلية وقلة الشيروط لليا المعيادلات التي افضل الطرق

. تتولا حلها

اتن بنتناول طريلة اخرى لحل المعادلات التفاضلية الخطية المت انبية وغيير المت انبية ومعامتتهيا

: المعامتت من نيو )مترير ولكن من نمط خاص n

nn xaxa )( )ب هيال المعادلية اليا كيل ، تنبي

:من كوش وأويلر

quation)eEuler -(Cauchyأويلر –لة كوش معاد 5.6

:من النمط n التفاضلية الخطية من الرتاة الاانية لةالمعاد

(5.23) ),(... 011

11

1 xgyadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

nn

nn

nn

n

."أويلر –معادلة كوش "تبما ، 0naوأن ،اواات naو... a 1 وa 0 :حيث

. 0x: ، لليه نفرض أن (5.23)ه نلطة منفرد للمعادلة التفاضلية 0xنتحظ أن

:تصاح (5.23)ة ف حالة الرتاة الاانية، المعادل

(5.24) )(2 xgcyybxyax

. 0aن جاواات حليلية، و c، و bو aحيث جن

)(0بنادأ االحالة الت فيها الطرع اسيمن xg ،المعادلة التفاضلية الخطية مت انبةأ :

(5.25) 0x ،02 cyybxyax

0: نفرض أن الحل من الينمط rxy ن جحييثr حيل ميرتين نشيتق ال. ااايت المطليوب جي يادل

: ونعوض ف المعادلة الباالة، نحصل للا

0)1( rrr cxbrxxrar

االلبمة للا rx 0، سنx ل ميع قيx نحصل للا ،:

(5.26) 0)(2 crabar

311

:يأت ة ارية يمكن حلها وحباب ال اور، كما وه معادل

a

acababr

2

4)()( 2

هناللا اتاة احتمالات، تاعا، للملدار ال ار acab 4)( 2 مو ب أ بالب أ صفر.

اران حليليان مختلفان: الحالة اسولا

جاا كان 04)( 2 acab (5.26)مختلفيين للمعادلية ، فعندئا نحصيل لليا يارين حليليين ،

: وهما

a

acabbar

2

4)( 2

1

و

a

acabbar

2

4)( 2

2

:ويكون الحتن هما

1

1

rxy 2و

2

rxy

21ن وسن يابكن مبتلتن خطيا، حبب محدد رونيلاحظ أن الحل rr .ن هما الم مولة يأ أن الحل

:وأن الحل العا هو. (5.25)اسبابية لحلول المعادلة التفاضلية

(5.27 )21

21

rrxcxcy

0x ، 0832 : د حل المعادلة التفاضلية (:5)الماال yyxyx


0)2)(4(8283)1( 2 rrrrrrr

41جاا، r 22و r ولليه فالحل العا ،:

2

2

4

1 xcxcy

باويان اران حليليان مت: الحالة الاانية

جاا كان 04)( 2 acab (1.26)، فعندئا نحصل للا يارين حليليين متبياويين للمعادلية ،

: وهما

a

brr

a

barr

12

2 21

a: ويكون الحل اسول هو

ba

r xxy 2

:يأت كما (5.4) خت ال الرتاة، أ اللانونا ةأما الحل الاان ، فيمكن حبااه اابتخدا طريل

311

: ، لتصاح (5.25)نعيد كتااة المعادلة التفاضلية

0x ،02

yax

cy

ax

by

:نحصل للا (5.4) اابتخدا اللانون لندئا،

xxdxx

xdxx

xxdx

x

xa

b

x

dxx

exdx

y

eyy

rr

r

a

b

r

r

r

r

dxax

b

r

pdx

ln1

ln

22

22

1

12

12 سن ra

b :هما نيالحللليه فإن .

rxy 1 وxxy r ln2 .

ن همييا الم موليية اسبابييية يأ أن الحليي. ن يان مبييتلتن خطيييا، حبييب محييدد رونبييكيلاحييظ أن الحليي

:وأن الحل العا هو. (5.25) لحلول المعادلة التفاضلية

(5.28 )xxcxcy rr ln21

0x ،032 : د حل المعادلة التفاضلية (:2)الماال yyxyx


0)1(1213)1( 22 rrrrrr

121جاا، rrفالحل العا (5.28)حبب المعادلة ، ولليه:

xxcxcy ln1

2

1

1

تخر ا اران للديان أحدهما مرافق : الحالة الاالاة

جاا كيييان 04)( 2 acab فعندئيييا نحصيييل لليييا يييارين لليييديين أحيييدهما مرافيييق للآخييير ،

: ، وهما(5.26)للمعادلة

a

abaci

a

ba

a

abaciba

a

acabbar

2

)(4

2

2

)(4

2

4)(

2

22

2,1

311

نفيييييرض irir 21 : ، حييييييث جن ,a

ba

2

و

a

abac

2

)(4 2

.0لددان حليليان و

: ن همايأ أن ال ار ir 1 و ، irr :لليه يكون الحتن هما. 12

)(

1

ixy و)(

2

ixy

:وأن الحل العا هو

(5.29) )(

1

)(

1

ii xCxCy

اصييرة ة، نابيتعاالامة للتطاييق في الفصيول اللادمية ء اصيرة اكار مت (5.29)يمكن الاد كتااة الحل

:تيةات (Euler's formula) اويلر

)lnsin()lncos(lnln xixeex xixi i

:للا ومنها نحصل

)lnsin()lncos( xixx i

:لتأخا الصيرة (5.29)لليه يمكن تابيط المعادلة

)(

2

1

2

1

iiii xCxCxxxCxxCy

)l sin()l [cos()]ln sin()ln [(cos( 21 nxinxCxixCx

) lnsin()()ln cos()( 2121 xCCixCCx

:جاا، الحل هو

(5.30) )] lnsin()ln cos([ 21 xcxcxy

211: ن ج حيث CCc و)( 212 CCic ه اواات.

0x ، 02052 : د حل المعادلة التفاضلية (:3)الماال yyxyx


0204205)1( 2 rrrrr

iجاا، ii

rr 422

644

2

)20(4164, 21

:فالحل العا (5.30)حبب المعادلة ، لليه 4و 2: أ

)](4ln sin)ln4( cos[ 21

2 xcxcxy .

311

، لندئا نبتخد (5.24) أويلر –ف حالة كون المعادلة التفاضلية خطية غير مت انبة من نو كوش

:كما ف الماال اتت ،لحلها لماتالمع تريير طريلة

، 0x : د حل المعادلة التفاضلية (:4)الماال xexyyxyx 42 233


03433)1( 2 rrrrr

11: أن أ r 32و r دالة المكملةفال (5.27)، لليه حبب المعادلة:

3

2

1

1 xcxcyc

xy: ومنها نحصل للا 1 و3

2 xy .

02 :نيانحبب محدد رونبك31

),( 3

2

3

21 xx

xxyyW

االلبمة للا 2x ادلة التفاضليةتصاح المع :

xexyx

yx

y 2

22

33

االتاار 2Wو 1W، نحبب (5.19)اتن اابتخدا المعادلة xexxf 22)( :

x

xex

ex

xW 3

22 221

0 و

x

xex

xex

xW 5

22

3

1 232

0

:ا، نحصل لل5.18) )اابتخدا المعادلة

xx

exx

ex

W

Wu 2

3

5

11

2

2 و

xx

ex

ex

W

Wu

3

3

22

2

2

:اا راء لملية التكامل نحصل للا

xxxx exeexdxexu 2222

1 وxx edxeu 2


xxxxxx

p xeexxexexeexy 22)22( 232

22 :جاا، الحل العا هو 23

21

xx

pc xeexxcxcyyy

:يمكن تلخيص الحالات الاتث الباالة كما ف المخطط اتت

أويلر - نمط كوش المعادلات المت انبة من لحل المخطط الانبياا

المعادلات التفاضلية

02 cyybxyax

311

( utcomes)oLearningالمخر ات التعليمية للفصل 7.1

:مخر ات التعليمية اتتيةاعد الانتهاء من درابة الفصل الخامس يكون الطالب قد اتلن ال

. المت انبة لن غير المت انبة العلياالتميي اين المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب .5

المت انبة امعامتت اواايت لين تليلا العلياالتميي اين المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب .2

. امعامتت مترير

.االتفاضلية من الرتاة العليالتعرع للا الطرائق المتعدد لحل المعادلات .3

.جي اد حلول معادلات تفاضلية اطريلة اخت ال الرتاة .4

.المت انبة امعامتت اواات العلياجي اد حلول معادلات تفاضلية من الرتب .1

ابتخدا طريلة المعامتت غير المحدد لحل نمط محدد من المعادلات التفاضلية غير مت انبة .6

.اارتب للي

.ارات التفاضلية وراطها االمعادلات التفاضليةالتعرع للا المذ .7

ابتخدا طريلة المذارات التفاضلية لحيل نميط محيدد مين المعيادلات التفاضيلية غيير مت انبية .8

.اارتب للي

.المعلماتترييرمن الرتاة الاانية اطريلة لمت انبةغير اجي اد حل المعادلات التفاضلية .9

ي يياد حييل المعييادلات التفاضييلية غييير المت انبيية ميين الرتايية لإ المعلميياتترييرابييتخدا طريليية .51

.الاالاة وأكار

.أويلر -جي اد حلول معادلات تفاضلية من نو كوش .55

.الت يمكن حلها االطرائق الليابية الباالة لن غيرها اارتب للي تميي المعادلات التفاضلية .52

313

الفصيل البيادس وابيتخدامها في فه الطرائيق المتعيدد التي تمكين الطاليب مين الانتليال اليا .53

.التطايلات

الملدر لليا ابيتخدا الليرص الممرينط المرافيق للكتياب لمرا عية محتوييات الكتياب والتعيرع .54

.للا أمالة واقعية

311

الفصل الخامس تمارين

:ا اكتب الحل العا ، 53 -5 من د الحل الاان لكل من المعادلات

5. 1

24 4 0 , xy y y y e

2. 15 0 , 1y y y

3. 116 0 , cos4y y y x

4. 10 , coshy y y x

1. 1

2 39 12 4 0 , xy y y y e

6. 2

1

47 16 0 ,x y xy y y x

7. xyyyx ln ,0 1

8. 2

1(1 2 ) 2(1 ) 2 0 , 1x x y x y y y x

9. )sin(ln1 xxy 02 و2

22 y

dx

dyx

dx

ydx

51. 13tan 0 , 1y x y y

55. xxey 1 023 و2

2 yx

dx

dy

dx

ydx

52. )cos(ln1 xy 0 و2

22 y

dx

dyx

dx

ydx

53. 2

1 xy 062 و2

22 y

dx

dyx

dx

ydx

mxeyليكن .54 02هو الحل اسول للمعادلة cyyacya الحيل الايان ن أ أاات

mxxeyهو .

311

: 27 -51 من د الحل العا لكل من المعادلات

51. 4 0y y

56. 36 0y y

57. 9 0y y

58. 6 0y y y

59. 8 16 0y y y

21. 3 5 0y y y

25. 12 5 2 0y y y

22. 4 0y y y

23. 4 5 0y y y

24. 08126 yyyy

21. 3 2 0y y y

26. 0187)4( yyy

27. 02)4( yyy

: ائية اتدمع شروطها الا 33 - 28 من المعادلات حل

28. 16 0 , (0) 2 , (0) 2y y y y

29. 6 5 0 , (0) 0 , (0) 3y y y y y

31. 2 2 0 , (0) 1 , (0) 0y y y y y

35. 2 0 , (0) (0) 0y y y y y

32. 3 2 0 , (1) 0 , (1) 1y y y y y

33. -7(0) 1,(0) 0,(0) ,03612 yyyyyy.

:مع شروطها الحدودية 36 -34 منحل المعادلات

34. 10 25 0 , (0) 1 , (1) 0y y y y y

31. 0 , (0) 0 , 22

y y y y

36. 1)( ,1)0( ,022 yyyyy

314

: حدد اطريلة المعامتت غير الم 48 -37 منحل المعادلات

37. 3 2 6y y y

38. 10 25 30 3y y y x

39. 212

4y y y x x

41. 2 33 48 xy y x e

45. 3y y

42. x

eyyy 2

1

34

1

43. 4 3sin 2y y x

44. 22 2 (cos 3sin )xy y y e x x

41. 2 siny y x x

46. 42 24 16 ( 2) xy y y x e

47. xyy cos36

48. xexyyyy 433

: 14 -49 من ائيةاتدالاحل مبائل اللي

49. 2 , ( 8) 1 2 , ( 8) 2y y y y

11. 22 3 2cos , (0) 1 3 , (0) 0y y y x y y

15. 1)0( ,3)0( ,3554 4 yyeyyy x

12. 0)0( ,0)0( ,11414232 2 yyxxyyy

13. 43

2)0( ,

6

1)0( ,2sincos

yyxxyy

14. 5)0( ,2)0( ,)3(44 2 yyexyyy x

)()(اصيرة 61 -11 من اكتب المعادلات xgyL حيث جن ،L فاضل هو المذار الت:

11. xyy sin49

16. xxyy 25 2

17. 6124 xyyy

311

18. 1232 yyy

19. xeyyy 2510

61. xxxyyy 3cos34 2

: 68 -65 من د المذار التفاضل الماح للدوال

65. 3261 xx

62. 3)51( xx

63. xe271

64. xxex 63

61. x2cos

66. xsin1

67. xxx exxee 22

68. xexe xx cossin 2

: 83 -69 من بتخد طريلة المذارات التفاضلية لحل المعادلات التفاضليةا

69. 549 yy

71. 29572 yyy

75. 3 yy

72. 102 yyy

73. 6244 xyyy

74. 28xyy

71. xeyyy 412

76. xeyyy 6522

77. 9432 xeyyy

78. xeyyy x 2386 2

79. xyy sin625

81. 8sin3cos44 xxyy

85. 52 xexyy

311

82. )3cos3(sin4

1xxeyyy x

83. xeyyy x sin52

:المعلماتاطريلة تريير 96 -84 منحل المعادلات

84. secy y x

81. siny y x

86. 2cosy y x

87. coshy y x

88. x

eyy

x2

4

89. 3 2 1 (1 )xy y y e

91. 3 2 sin xy y y e

95. 21

2x

eyyy

x

92. xeyyy x ln2

93. 3 6 30 tan3xy y y e x

94. 2

1

234 ,14 xyyxyxyx

91. xxyxxyxyxyxyx sin ,cos ,)4

1( 2

1

22

1

12

3

22

96. xyy 2sec4 .

: ينائياتدالا ين الشرط ات وفقالمعلم اطريلة تريير 511 -97 من ليةضافحل المعادلات الت

(0) 0 , (0) 1y y

97. 24 xy y xe

98. xexxyyy 22 )612(44

99. 22 8 2 x xy y y e e

511. 2 1y y y x

311

:0x، ا د الحل العا لندما 521 -515 من التفاضليةحل المعادلات

515. 02 yyxyx

512. 02 yyxyx

513. 034 2 yyx

514. 02 yyxyx

511. 0159 2 yyxyx

516. 0532 yyxyx

517. 0532 yyxyx

518. xyyxyx 341332

519. 033 2 yyxyx

551. 0396 23)4(4 yyxyxyxyx

555. 22 xyyxyx

552. 323 ln3663 xyyxyxyx

553. 22 xyyxyx

554. 0)2( ,8)2( ,0642 yyyyxyx

551. 03 yyxyx

556. 6)1( ,0)1( ,042 yyyxyx

557. 06 3)4(4 yxyx

558. 0)2( ,32)2( ,0852 yyyyxyx

559. 2)1( ,1)1( ,02 yyyyxyx

521. 0)2

1( ,0)

2

1( ,885 62 yyxyyxyx

mxyن ليك . 525 02الحل اسول للمعادلة cyybxyax .اات أن الحل الايان هيو أ

xxy m ln .

Date post:	03-Nov-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

سمخلا لصفلا - بيتُ...

Documents