ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Кафедра математичного аналізу

МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ ДЛЯ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З КУРСУ

КОМПЛЕКСНИЙ АНАЛІЗ

Затверджено

на засіданні кафедри

математичного аналізу

I. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Курс «Комплексний аналіз» є необхідною складовою частиною базової

теоретичної підготовки студента-математика та основою для подальшого

вивчення спеціальний дисциплін.

Він дає можливість засвоїти основні теоретичні відомості, практичні

вміння і навички з теорії функцій комплексної змінної та її застосувань.

Курс «Комплексний аналіз» розрахований на студентів 3 курсу

математичного факультету спеціальності « Математика».

Курс «Комплексний аналіз» складається з 4 модулів.

Методичні матеріали містять всю інформацію, необхідну для забезпечення

проведення практичних занять зі студентами, а саме:

тематику практичних занять та рекомендовану літературу;

методичні рекомендації до підготовки к ним;

індивідуальні завдання для самостійної роботи.

В результаті самостійної роботи студент повинен вивчити всі теми для

самостійного опрацювання І, ІІ модуля та підготувати конспект який здається

на перевірку викладачу, розв’язати індивідуальні завдання, оформити розв’язки

в окремих зошитах та вчасно здати на перевірку викладачу.

1. ТЕМАТИКА ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Тема 1. Множина комплексних чисел.

Операції над комплексними числами в алгебраїчній формі запису.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма

запису.

Дії над комплексними числами в тригонометричній формі запису. Добування

кореня з комплексного числа.

Тема 2. Геометрія на комплексній площині.

Проекція комплексних чисел на сферу Рімана.

Множини на комплексній площині. Комплексне представлення кривої на

площині.

Тема 3. Функції комплексної змінної та їх властивості.

Функції комплексної змінної як відображення. Відображення множин.

Елементарні функції комплексної змінної.

Логарифмічна функція. Розв’язання рівнянь, які містять показникову та

тригонометричні функції.

Загальна степенева та показникова функції.

Тема 4. Аналітичні функції та їх властивості.

Похідна функції комплексної змінної. Правила диференціювання. Перевірка

функції на аналітичність.

Відновлення аналітичної функції за відомою дійсною або уявною частиною.

Геометричний зміст аргументу і модуля похідної.

Конформні відображення елементарних функцій.

Тема 5. Інтеграл від функції комплексної змінної.

Обчислення інтегралу від функції комплексної змінної.

Інтеграли від аналітичних функцій. Формула Ньютона – Лейбница.

Обчислення інтегралів за допомогою інтегральної формули Коші.

Тема 6. Ряди на комплексній площині.

Дослідження на збіжність і абсолютну збіжність рядів комплексних чисел.

Область збіжності степеневого і двох стороннього степеневого рядів.

Розвинення аналітичної в крузі функції в ряд Тейлора.

Розвинення аналітичної в кільці функції в ряд Лорана.

Тема 7. Нулі та ізольовані особливі точки аналітичних функцій.

Нулі аналітичних функцій і їх порядок.

Ізольовані особливі точки аналітичних функцій та їх класифікація.

Тема 8. Лишки в ізольованих особливих точках.

Обчислення лишків в ізольованих особливих точках.

Логарифмічний лишок. Принцип аргументу.

Тема 9. Обчислення інтегралів за допомогою лишків.

Застосування теореми Коші про лишки до обчислення інтегралів.

Обчислення визначених та невласних інтегралів за допомогою лишків.

Рекомендована література.

Основна

1. Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного: Учеб. для

вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко / В.Д. Морозова – М.:

Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 520с.

2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного /

И.И. Привалов – М.: Наука, 1984. – 432с.

3. Грищенко О.Ю. Теорія функцій комплексної змінної. Розв’язання задач /

О.Ю. Грищенко, М.Г. Нагнибіда, П.П. Настасієв – К.: 1994. – 376с.

4. Лаврентьев М.А Методы теории функций комплексного переменного /

М.А. Лаврентьев, В.В. Шабат – М.: Наука, 1987. – 688с.

5. Волковыский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного

переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович – М.:

Наука, 1975. – 319с.

6. Краснов М.Т. Функции комплексного переменного. Операционное

исчисление. Теория устойчивости / М.Т. Краснов, А.И. Киселев, Г.И.

Макаренко – М.: Наука, 1981. – 304с.

Додаткова

1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функцій / А.В. Бицадзе – М.:

Наука, 1969. – 240с.

2. Грищенко О.Ю. Теорія функцій комплексної змінної / О.Ю. Грищенко,

С.І. Ляшко. – К.: Київський університет, – 2009. – 496с.

3. Доронин В.Г. Методические указания к лабораторным работам по курсу

теории функцій комплексного переменного / В.Г. Доронин, В.А.

Кофанов – Днепропетровск.: ДГУ, 1991. – 56с.

4. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А. Евграфов – М.: Наука,

1991. – 448с.

5. Иванов В.И. Конформные отображения и их приложения / В.И. Иванов,

В.Ю. Попов – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 324 с.

6. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функцій / А.И.

Маркушевич – М.: Наука, 1978. – 415с.

7. Маркушевич А.И. Введение в теорію аналитических функцій / А.И.

Маркушевич, Л.А Маркушевич – М.: Просвещение, 1977. – 320с.

8. Свешников А.Т. Теория функцій комплексного переменного / А.Т.

Свешников, А.Н. Тихонов – М.: Наука, 1974. – 320с.

Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного переменного / Ю.В.

Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин – М.: Наука, 1989. – 480с.

2. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

1.1. Комплексні числа. Алгебраїчна форма запису

Означення 1.1. Комплексним числом z називають впорядковану пару

дійсних чисел 2, RRRyx . Для будь яких двох комплексних чисел

111 , yxz , 222 , yxz визначено:

1) відношення рівності: 21 zz 2121 yy xx ;

2) операцію додавання: 212121 , yyxxzz – комплексне число, яке

називається сумою чисел 21 , zz ;

3) операцію множення: 1221212121 , yxyxyyxxzz – комплексне число,

яке називається добутком чисел 21 , zz .

Множина, означених таким чином комплексних чисел з введеними

операціями додавання і множення, утворює поле, яке називають полем

комплексних чисел і позначають C . Відношення порядку на множині

комплексних чисел не вводиться (це поле, яке неможливо впорядкувати).

Для операцій додавання і множення на множині комплексних чисел

справедливі закони комутативності, асоціативності і дистрибутивності.

В полі C існують нуль та одиниця. Елемент 0,0 є нейтральним відносно

операції додавання і називається нулем поля комплексних чисел. Елемент 0,1

є нейтральним відносно операції множення і називається одиницею поля

комплексних чисел.

Особливим елементом множини C є елемент 1,0 , який називається

уявною одиницею, і позначається 1,0i .

Алгебраїчна форма запису комплексного числа.

Якщо кожному комплексному числу вигляду Cx 0, поставити у

відповідність дійсне число Rx , то буде встановлено взаємно-однозначну

відповідність (бієкцію) між полем дійсних чисел і комплексними числами

вигляду 0,x , причому сумі елементів даної множини відповідатиме сума

елементів R , а добутку – добуток. В силу встановленого ізоморфізму, можна

ототожнити елементи цих полів. Приймемо за означенням Rxx 0, . Звідси

випливає, що множину дійсних чисел можна розглядати як підмножину

комплексних чисел, тобто CR . Використовуючи означення операцій

додавання і множення комплексних чисел, отримаємо

Cz , iyxyxyxyxz 0,1,00,,00,, , де Ryx , .

Таким чином можна ввести зручну форму запису комплексного числа.

Означення 1.2. Вираз iyxz називається алгебраїчною формою

запису комплексного числа, де Rzx Re – дійсна частина комплексного

числа z , а Rzy Im – уявна частина комплексного числа z .

Теорема 1.1. (основна властивість уявної одиниці) 12 i .

10,11,01,02 iii .

Означення 1.3. Модулем комплексного числа iyxz називається

дійсне, невід’ємне число z , що визначається формулою: 22 yxz .

Означення 1.4. Комплексне число iyxz називають комплексно-

спряженим (або спряженим) до числа iyxz .

Теорема 1.2. (властивості комплексно-спряженого)

1) zz

2) 2121 zzzz ;

3) 2121 zzzz ;

4) 2

zzz ;

5) zzz Re2 ;

6) zizz Im2 .

Операції над комплексними числами в алгебраїчній формі запису.

Додавання та множення комплексних чисел в алгебраїчній формі

аналогічні відповідним діям над многочленами, з врахуванням умови 12 i .

1) 2121221121 yyixxiyxiyxzz ;

2) 12212121221121 yxyxiyyxxiyxiyxzz .

Обернені операції (віднімання, ділення).

3) 2121221121 yyixxiyxiyxzz ;

4)

22

22

2112212122

22

2211

22

21

2

1

yx

yxyxiyyxx

yx

iyxiyx

zz

zz

z

z

.

Приклад 1.1. Спростити вираз:

5

32

4

132

ii

ii

.

ii

iii

iii

iiiii

ii

ii

4

3319124

4

3319124

4

13222

322

5

32

17

1362214

41

41

41

3414

41

243410

41

22125 i

i

i

i

i

i

i

i

ii

ii

17

22

17

150

17

22150

.

1.2. Геометрична інтерпретація. Тригонометрична форма запису

Елементи поля C комплексних чисел можна ототожнити з точками

площини, якщо вважати дійсну x та уявну y частини комплексного числа

iyxz координатами точки z в деякій прямокутній декартовій системі

координат Oxy . В цьому випадку площину Oxy називають комплексною

площиною і позначають C або z (Рис. 1.1, а). Будь-якому дійсному числу

Rx відповідає точка 0,x осі Ox , яку називають дійсною віссю, а будь-якому

уявному числу вигляду iy відповідає точка y,0 осі, Oy яку називають уявною

віссю. Кожній точці площини відповідає її радіус-вектор, що дозволяє ввести

векторну інтерпретацію комплексного числа, тобто зображати його радіус-

вектором точки. Операції додавання і віднімання комплексних чисел будуть в

цій інтерпретації еквівалентні додаванню і відніманню відповідних векторів.

а б

Рис. 1.1

Введемо на комплексній площині z полярну систему координат ,r , де

r – полярний радіус, що дорівнює довжині вектора z , тобто zr , –

полярний кут, що дорівнює куту між додатним напрямом осі Ox і вектором z

(Рис. 1.1, б). Тоді cosrx , sinry .

Означення 1.5. Тригонометричною формою запису комплексного числа

iyxz , називають його запис в полярних координатах sincos irz .

Полярні координати ,r називають відповідно модулем і аргументом

комплексного числа і позначають z , zArg .

Зауваження. Cz , 0z модуль z визначається однозначно:

22 yxzr , аргумент z визначається з точністю до k2 , тобто

справедлива формула Zkkz ,2Arg , де – деяке значення аргументу

числа z . Якщо 0z , то 0z , а аргумент не визначений.

Означення 1.6. Головним значенням аргументу комплексного числа

називають таке значення аргументу z , що задовольняє умову .

Позначають zarg .

Зауваження. Cz , 0z головне значення аргументу z визначається

однозначно, для загального значення аргументу комплексного числа

справедлива формула

Zkkzz ,2argArg . (1.1)

Враховуючи всі можливі випадки розташування числа 0z на

комплексній площині, запишемо загальну формулу для знаходження головного

значення аргументу:

0 ,0 ,2

0 ,0 ,2

0 ,0 ,arctg

0 ,0 ,arctg

0 ,arctg

arg

yx

yx

yxx

y

yxx

y

xx

y

z (1.2)

Дії над комплексними числами в тригонометричній формі запису.

Теорема 1.3. Нехай 1111 sincos irz , 2222 sincos irz –

довільні комплексні числа, що записані у тригонометричній формі, тоді:

1) 21 zz Zkkrr ,2 2121 ;

2) 21212121 sincos irrzz ;

3) .0 ,sincos 221212

1

2

1 zir

r

z

z

3)

22222

22111

222

111

2

1

sincossincos

sincossincos

sincos

sincos

iir

iir

ir

ir

z

z

22

22

21212121

2

1

sincos

sincoscossinsinsincoscos i

r

r

.sincos 21212

1 ir

r

1.3. Формула Муавра. Добування кореня з комплексного числа

Розглядаючи піднесення комплексного числа z до натурального степеня

n як множення числа z на себе n разів, отримаємо:

Nnninrz nn ,sincos . (1.3)

Співвідношення (1.3) називають формулою Муавра піднесення

комплексного числа до натурального степеня.

Зауваження. При виконанні дій з комплексними числами у

тригонометричній формі можна використовувати будь-яке значення аргументу

комплексного числа, наприклад, можна вважати, що zarg . При записі

відповіді у тригонометричній формі рекомендується приводити аргумент до

головного значення.

Корінь n -ого степеня з комплексного числа.

Добування кореня з комплексного числа – це операція обернена до

піднесення до степеня n , тобто за означенням n zw , якщо zwn .

Нехай sincos irz а sincos iw , тоді з першої умови

теореми 1.3, маємо

rn , Znkn ,2

звідки n r , Znn

k

,

2. Приймемо zarg . Отримаємо формулу

)1(,0 ,2arg

sin2arg

cos

nk

n

kzi

n

kzrz nn . (1.4)

З співвідношення (1.4), що називається формулою Муавра добування

кореня натурального степеня з комплексного числа, випливає, що серед усіх

значень n z різними будуть лише n значень, причому всі вони мають рівні

модулі, а їх аргументи відрізняються на кути, що кратні n

2.

Геометрична інтерпритація n z .

На комплексній площині значенням n z відповідають точки, що

розташовані у вершинах правильного n -кутника, вписаного в коло радіуса n r з центром у початку координат, причому одна з вершин має аргумент

n

zarg.

Приклад 1.2. а) Знайти 27531 i ; б) Розв’язати рівняння iw 5 .

а) Нехай 31 iz , тоді 231 z , 31

3arctgarg

z , тоді у

тригонометричній формі запису

3sin

3cos2 iz і за формулою

Муавра (1.3), отримаємо

392sin

392cos2

3

275sin

3

275cos2 275275275 iiz

3122

3

2

12

3sin

3cos2 274275275 iii

.

б) За означенням кореня маємо 5 iw , нехай iz , тоді 1z , 2

arg

z і

в тригонометричній формі матимемо 2

sin2

cos

iz .

За формулою Муавра (1.4) добування кореня, отримаємо

.4,0 , 5

22sin

5

22cos

k

k

i

k

w

Далі, підставляючи 4,3,2,1,0k , знайдемо п’ять різних коренів

0k , 10

sin10

cos1

iw ,

1k , 2

sin2

cos2

iw ,

2k , 10

9sin

10

9cos3

iw ,

3k ,

10

7sin

10

7cos

10

13sin

10

13cos4 iiw ,

4k ,

10

3sin

10

3cos

10

17sin

10

17cos5 iiw .

Геометрично, на комплексній площині w цим кореням відповідають

точки, які розташовані у вершинах правильного п’ятикутника, який вписано в

одиничне коло з центром у початку координат (Рис. 1.2).

Рис. 1.2

1.4. Сфера Рімана. Нескінченно віддалена точка. Розширена

комплексна площина

Оберемо у просторі 3R прямокутну декартову систему координат O

таким чином, що вісі O і O співпадають з осями Ox і Oy системи координат

комплексної площини C (Рис. 1.3), і розглянемо сферу S , яка визначається в

цій системі координат рівнянням

4

1

2

12

22

. (1.5)

Кожному комплексному числу iyxz з координатами yx, на площині

C поставимо у відповідність точку ,,Z перетину зі сферою S проміня, що

з’єднує точку сфери 1,0,0N з точкою z площини C . Точку Z називають

сферичним зображенням комплексного числа Cz . Таким чином

встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками комплексної

площини C і множиною NS \ . Зауважимо, що точці сфери N не відповідає

жодна точка комплексної площини C . Домовимось вважати, що точці N

відповідає єдина нескінченно віддалена z . Комплексну площину з доданою

до неї нескінченно віддаленою точкою z називають розширеною

комплексною площиною і позначають C . З врахуванням поповнення

комплексної площини точкою z , встановлено взаємно однозначну

відповідність між розширеною комплексною площиною C і сферою S , яку

називають сферою комплексних чисел або сферою Рімана.

Рис. 1.3

Знайдемо формули зв’язку координат yx, точки z з координатами

,, її сферичного зображення Z . Для цього використаємо параметричні

рівняння прямої Nz , яка проходить через точку 1,0,0N та має напрямний

вектор 1,, yx :

t

yt

xt

1

. (1.6)

Підставляючи (1.5) в (1.6), для точки перетину прямої з сферою,

отримаємо значення параметру 222

1

1

1

1

zyxt

. Звідси, підставляючи в

(1.6), отримаємо

2

2

2

2

1

1

1

z

z

z

y

z

x

. (1.7)

З останньої рівності в (1.7) випливає, що

1

2z , тоді з перших двох

рівностей отримаємо формули зворотного зв’язку

1

1

y

x

. (1.8)

Приведемо дві важливі властивості відображення, яке ставить у

відповідність кожному комплексному числу його сферичне зображення:

1) кола на комплексній площині відображаються в кола на сфері Рімана і,

навпаки, кола на сфері Рімана, які не проходять через точку N , мають своїми

прообразами кола на комплексній площині;

2) прямі на комплексній площині відображаються в кола, які проходять

через точку N , і, навпаки, кола на сфері Рімана, які проходять через точку N ,

мають своїми прообразами прямі на комплексній площині.

1.5. Геометрія на комплексній площині

Розглянемо два способи введення метрики на множині комплексних чисел.

На комплексній площині C введемо звичайну евклідову метрику, в якій

відстань між двома точками 111 iyxz , 222 iyxz визначається за

формулою

2212

2121, yyxxzzd . (1.9)

Інший спосіб полягає у введенні сферичної метрики, в якій за відстань між

точками 1z , 2z комплексної площини C приймають відстань у евклідовому

просторі 3R між їх сферичними зображеннями 1Z , 2Z . Враховуючи (1.7)

можна для сферичної метрики записати формулу

2

22

1

2121

11

,

zz

zzzz

. (1.10)

У сферичній метриці можна визначити відстань від точки z до

нескінченно віддаленої точки z як евклідову відстань між їх сферичними

зображеннями (див. Рис. 1.3)

2

1

1,

z

z

. (1.11)

Введення кожної з двох метрик (1.9), (1.10) перетворює множину C на

метричний простір. Формули (1.10), (1.11) визначають метричний простір,

елементами якого є точки розширеної комплексної площини C . Для доведення

цих тверджень достатньо перевірити аксіоми метрики в кожному випадку.

Приклад 1.3. В координатному просторі 3R знайти координати зображень

на сфері Рімана точок розширеної комплексної площини: iz 211 , iz 2 ,

3z . Обчислити відстані між точками 21, zz та 32 , zz в евклідовій та

сферичній метриці.

Для знаходження координат сферичних зображень 321 ,, ZZZ точок 321 ,, zzz

скористаємось формулами (1.7), підставляючи в них 11 x , 21 y ,

521 221 z , для iz 211 , отримаємо

6

1

51

1

12

1

11

z

x,

3

1

6

2

12

1

11

z

y,

6

5

12

1

21

1

z

z,

таким чином сферичним зображенням комплексного числа iz 211 буде

точка сфери Рімана

6

5,

3

1,

6

11Z .

Аналогічно для iz 2 матимемо: 02 x , 12 y , 11022

2 z , звідки

отримаємо координати 02 , 2

12 ,

2

12 точки 2Z .

Сферичним зображенням точки 3z , за означенням, буде точка 1,0,03Z .

Таким чином для комплексних чисел iz 211 , iz 2 , 3z їх

зображеннями на сфері Рімана будуть точки

6

5,

3

1,

6

11Z ,

2

1,

2

1,02Z ,

1,0,03Z .

Знайдемо відстані між точками 21, zz в евклідовій і сферичній метриці.

Для евклідової метрики за формулою (1.9) отримаємо

101201,22

212

212

2121 zzyyxxzzd .

Визначимо відстань у сферичній метриці за формулою (1.10)

6

5

12

10

1151

10

11

,2

22

1

2111

zz

zzzz .

Відстань між точками 32 , zz в евклідовій метриці визначити неможливо

тому, що точка 3z не є елементом множини C . Для визначення відстані

між цими точками в метричному просторі C скористаємось формулою (1.11):

2

1

1

1,

22

2

z

z .

Визначимо основні геометричні об’єкти на комплексній площині – окіл,

криву, область.

Означення 1.7. -околом ,0zU точки Cz 0 називають відкритий

круг радіуса з центром в точці 0z , тобто за означенням

00 , |, zzdCzzU .

Означення 1.8. -околом ,0zU точки Cz 0 у сферичній метриці

називають множину 00 , |, zzCzzU .

Розглянемо на площині C обмежену множину MzCzD | , де M

деяке додатне дійсне число.

Для будь яких Dzz 0 , з формули (1.10) випливає нерівність

002

0,

1zzzz

M

zz

. (1.12)

З нерівності (1.12) можна зробити висновок, що в кожному -околі точки

Cz 0 в евклідовій метриці міститься -окіл цієї точки у сферичній метриці, і

навпаки.

Розглянемо -окіл точки z у сферичній метриці

, |, zCzU .

З формули (1.12) випливає, що нерівність

2

1

1,

z

z є

рівносильною нерівності Ez , де 112

E .

Враховуючи це, визначимо поняття околу нескінченно віддаленої точки в

евклідовій метриці.

Означення 1.9. E -околом EU , точки Cz називають

зовнішність круга радіуса E з центром у початку координат, тобто множину

0 ,z |, EECzEU .

Як і в будь якому метричному просторі, в розширеній комплексній

площині є важливими поняття внутрішньої і межової точки, відкритої та

замкненої множини, граничної точки та замикання множини. Будемо вважати

ці поняття відомими з курсу математичного аналізу.

Означення 1.10. Кривою на площині C будемо називати неперервне

відображення CT : проміжку T дійсної осі в комплексну площину C .

Якщо baT , – відрізок, то комплексні числа aA і bB будемо

називати відповідно початковою і кінцевою точками кривої, яку будемо

позначати AB . Зростання аргументу відображення вздовж відрізку ba,

визначає напрям обігу кривої від точки A до точки B .

Означення 1.11. Кривою на розширеній комплексній площині C

будемо називати відображення проміжку T дійсної осі в C , неперервне

відносно сферичної метрики.

Відображення CT : можна представити у вигляді tiytxt , де

tytx , – дійсні функції, які визначені і неперервні на проміжку T . Рівняння

вигляду Tttz , називають комплексним рівнянням кривої.

Якщо tiytxt , то можна перейти до параметричного рівняння

кривої на комплексній площині, яке набуває вигляду

tyy

txx, Tt .

Означення 1.12. Дві криві, що задані рівняннями 111 , , battz і

222 , , baz називають рівними, а відображення 1 і 2 –

еквівалентними, якщо існує дійсна функція 22 , , bast неперервна і

зростаюча на відрізку 22 ,ba , така, що 12 aas , 12 bbs і

2221 , , bas .

Таким чином, крива на площині це не єдине відображення проміжку

дійсної осі в комплексну площину, а деякий клас еквівалентних відображень.

Перехід від одного відображення до іншого, еквівалентному даному, називають

заміною параметру.

Означення 1.13. Точку 0z кривої AB , що визначена рівнянням

battz , , , називають точкою самоперетину, якщо існують значення

параметру 21 , tt такі, що 21210 , ttttz .

Означення 1.14. Крива, яка не має точок самоперетину називається

простою кривою або кривою Жордана. Крива, яка має точку самоперетину, що

співпадає з початковою і кінцевою точкою, називається замкненою. Якщо

замкнена крива має єдину точку самоперетину, то її називають простим

замкненим контуром.

Означення 1.15. Крива AB , що визначена рівнянням

battiytxtz , , називається гладкою, якщо існують похідні

tytx , , неперервні на відрізку ba, і такі, що

battyitxt , ,0 .

До гладкої кривої в будь якій її точці M можна єдиним чином провести

дотичну (Рис. 1.4, а), напрям якої в кожній точці визначає ненульовий вектор

tytxs , .

Означення 1.6. Криву називають кусково-гладкою, якщо вона

складається з скінченної кількості гладких кривих. Точки, в яких порушується

гладкість, називають кутовими точками (на Рис. 1.4, б кутовою є точка M ).

а б

Рис. 1.4

Приклад 1.4. Побудувати криві на комплексній площині, вказати

напрямок обходу, що відповідає зростанню параметра.

а) 21 ittz , 1;1t ; б) titz 2cos2sin2 , ;t ;

в) titz sincos2 , 2;0t .

а) Комплексному рівнянню 21 ittz , 1;1t кривої відповідає

параметричне рівняння:

2

1

ty

tx, 1;1t .

Знайдемо координати початкової та кінцевої точок, підставимо 1t і

1t у параметричне рівняння кривої. Для початкової точки отримаємо 1 ,0 yx , для кінцевої – 1 ,2 yx . Перейдемо від параметричного до

явного рівняння кривої, для цього виразимо параметр t з першого рівняння і

підставимо в друге, отримаємо рівняння параболи 21 xy (графік наведено

на Рис. 1.5, а).

б) Запишемо параметричне рівняння кривої

ty

tx

2cos2

2sin2, ;t .

Знайдемо координати початкової та кінцевої точок, при t отримаємо

початок у точці 2,0A , при t отримаємо кінцеву точку 2,0B , початок і

кінець співпадають, тобто маємо замкнену криву. Для з’ясування її типу

перейдемо до неявного рівняння, для цього піднесемо до квадрату та додамо

перше та друге рівняння: 42cos2sin4 2222 ttyx . Отримали рівняння

кола 422 yx радіусу 2 з центром у початку координат. Підставляючи в

параметричне рівняння проміжні значення параметру t з множини

2

,4

0, ,4

,2

з’ясовуємо, що при зміні параметру t вздовж відрізку

; коло проходиться за годинниковою стрілкою двічі, один раз при

0;t і другий при ;0t (Рис. 1.5, б).

в) Параметричне рівняння кривої має вигляд

ty

tx

sin2

cos2, 2;0t ,

це параметричне рівняння кола 422 yx , яке проходиться проти

годинникової стрілки і має співпадаючу початкову і кінцеву точку з

координатами 0 ,2 yx (Рис. 1.5, в).

Відмітимо, що хоча множини точок на площині в задачах б) і в)

співпадають, ми отримали дві різні криві, які визначаються нееквівалентними

відображеннями.

а б в

Рис. 1.5

Означення 1.16. Множину розширеної комплексної площини називають

лінійно зв’язною, якщо будь-які дві її точки можна з’єднати кривою, всі точки

якої належать цій множині.

Означення 1.17. Множину D розширеної комплексної площини

називають областю, якщо ця множина відкрита і лінійно зв’язна, тобто

виконуються дві умови:

1) кожна точка множини D є внутрішньою, тобто належіть множині D

разом з деяким її околом;

2) будь-які дві точки множини D можна з’єднати кривою, яка цілком

належіть множині D .

Означення 1.18. Область D називається обмеженою, якщо існує такий

круг RzCzK | , що KD .

Всі точки комплексної площини за відношенням до даної області D

поділяються на три класи: внутрішні точки області D ; межові точки – точки,

в будь якому околі яких існують як точки, які належать області, так і точки, які

їй не належать; зовнішні точки області, які не належать області і не є її

межовими точками. Межова точка не належать області, але є її граничною

точкою, у зовнішньої точки існує окіл, який не перетинається з областю D .

Означення 1.19. Сукупність межових точок області D називають

межею цієї області.

Означення 1.20. Приєднання до області D всіх її межових точок

утворює замкнену множину D , яку називають замкненою областю.

Зауважимо, що замкнена область не є областю в сенсі означення 1.17.

Єдиним прикладом області без межових точок є розширена комплексна

площина C , яка є одночасно областю і замкненою областю.

Означення 1.21. Розрізом області D називають просту криву, точки якої

видаляються з області.

В результаті розрізу області D утворюється область, якщо початкова або

кінцева точка розрізу є внутрішньою точкою області D .

Будь який простий замкнений контур поділяє комплексну площину на дві

області, що не перетинаються: перша є необмеженою і називається

зовнішністю контуру, а друга є обмеженою і називається внутрішністю

контуру. Замкнений контур є межею для обох областей.

Означення 1.22. Область D на комплексній площині C називають

однозв’язною, якщо для будь якого простого замкненого контуру, що лежіть в

D , його внутрішність цілком належіть D . Область, яка не є однозв’язною в C

називається многозв’язною.

Прикладом однозв’язної області може служити внутрішність кола,

прикладом многозв’язної – його зовнішність (Рис. 1.6).

Рис. 1.6

Поняття n -зв’язної області.

Розглянемо на комплексній площині прості замкнені контури

nCCC ,...,, 21 , причому контури nCC ,...,2 попарно не перетинаються і належать

внутрішності 1C . Множина точок площини, що лежіть всередині 1C і зовні

nCC ,...,2 є многозв’язною областю, межа якої складається з контурів

nCCC ,...,, 21 . Причому контур 1C називають зовнішньою межею області, а

сукупність контурів nCC ,...,2 – внутрішньою межею області. Внутрішні

контури межі області можуть вироджуватися в розрізи і ізольовані точки.

Область D вказаного типу називають n -зв’язною областю. Додатним

напрямом обігу області D називають такий рух вздовж межі, при якому

область залишається зліва. Для зовнішньої межі такий обіг спрямований проти

годинникової стрілки, для внутрішньої відповідає руху за годинниковою

стрілкою, розрізи проходяться двічі (див. Рис. 1.7).

Рис. 1.7

На Рис. 1.7 наведено приклад п’яти-зв’язної області, внутрішня межа якої

складається з замкнутих контурів 32 ,CC , ізольованої точки 4C і розрізу 5C .

Для визначення кривих, областей та інших множин на комплексній

площині, зазвичай використовують рівняння, нерівності або системи рівнянь і

нерівностей у комплексній формі. Множини, що визначаються комплексними

рівняннями і нерівностями, можна будувати використовуючи геометричну

інтерпретацію заданих рівнянь і нерівностей. Якщо такий підхід реалізувати не

вдається, то необхідно, якщо можливо, спростити вирази і потім перейти в них

до дійсних змінних zx Re , zy Im .

Наведемо геометричний зміст деяких понять на комплексній площині:

z – відстань від точки z до початку координат;

0zz – відстань між точками z і 0z ;

zArg – кут, який утворює радіус-вектор точки z з додатним напрямом осі

Ox ;

0arg zz – кут, який утворює вектор з початком в точці 0z і кінцем в

точці z з додатним напрямом осі Ox .

Приклад 1.5. Побудувати множини на комплексній площині, що

визначається наступними умовами:

а) 4 iziz ; б) 211 iz ; в) 1)Im( 2 iz .

а) Перейдемо до дійсної форми запису даного рівняння, для цього

покладемо iyxz . Тоді

22 11 yxiyxiz , 22 1 yxiz .

Рівняння 4 iziz буде еквівалентне рівнянню

4112222 yxyx .

Виконуючи необхідні перетворення, отримаємо

1634 412 1

18161 141

222222

22222222

yxyyxyx

yxyxyxyx

116

3

4

22

yx

.

Отримали канонічне рівняння еліпсу з центром у початку координат і

півосями 3

4 2, ba , даний еліпс є простим замкненим контуром на

комплексній площині (див. Рис. 1.8, а). До цього висновку можна було прийти в

інший спосіб, якщо врахувати геометричний зміст 0zz .

б) Геометричним змістом 0zz є відстань між точками комплексної

площини z і 0z , тому комплексне рівняння Rzz 0 визначає коло радіуса R

з центром в точці 0z . Таким чином нерівність Rzz 0 визначає внутрішність

кола Rzz 0 , а Rzz 0 – його зовнішність. Враховуючи це приходимо до

висновку, що системі нерівностей 211 iz відповідає кільце на

комплексній площині з центром у точці iz 10 і обмежене колами радіусів

1r і 2R (див. Рис. 1.8, б). Дане кільце є двох-зв’язною областю на

комплексній площині.

в) Перейдемо до дійсних змінних, використовуючи алгебраїчну форму

запису комплексного числа iyxz . Тоді

222222 22 yxixyxyiyxiiyxiiz .

Таким чином, умова 1Im 2 iz еквівалентна дійсній нерівності 122 yx .

Ця нерівність визначає множину точок на площині між вітками гіперболи

122 yx , яка входить до даної множини і утворює її межу (див. Рис. 1.8, в).

Дана множина не є областю в C тому що містить межові точки.

а б в

Рис. 1.8

На розширеній комплексній площині поняття однозв’язності і

многозв’язності змінюється.

Означення 1.23. Область CD вважають однозв’язною в розширеній

комплексній площині, якщо для будь якого простого замкненого контуру, що

лежіть в D , області D належіть одна з двох областей, для яких цей контур є

межею.

Наприклад, зовнішність багатокутника буде многозв’язною в C і

однозв’язною в C .

Запитання і вправи для самоконтролю

1. Надайте означення множини комплексних чисел, та запишіть умову

рівності двох комплексних чисел.

2. Надайте означення модуля і аргументу комплексного числа.

3. Чому на множині комплексних чисел не вводиться відношення порядку?

4.Доведіть властивості комплексно-спряженого числа.

5. Запишіть у комплексній формі параметричні рівняння прямої, еліпса,

кола, параболи та гіперболи.

6. Наведіть приклад обмеженої трьохзв’язної області в C .

2. ФУНКЦІЇ КОМЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

2.1. Поняття функції. Відображення множин комплексної площини

Означення 2.1 Якщо на множині CD визначено закон f , за яким

кожному комплексному числу Dz поставлено у відповідність єдине

комплексне число Cw , то кажуть, що f є функцією із D в C і позначають

CDf : або CDzzfw , .

Означення 2.2 Функцію CDf : називають обмеженою на множині,

якщо існує таке дійсне число 0M , що Mzf для кожного Dz .

Нехай iyxz і ivuzfw . Тоді комплексна функція zfw

визначається двома дійсними функціями двох змінних

yxuu , і yxvv , .

Таким чином функція комплексної змінної zfw здійснює

відображення множини D комплексної площини z на множину Df

комплексної площини w , множина Df називається образом множини D

при відображенні zfw , а множина D – прообразом множини Df при

цьому відображенні (див. Рис. 2.1).

Рис. 2.1

Однією з важливих задач комплексного аналізу є задача знаходження

образу заданої множини при заданому відображенні (функції). Розглянемо

задачу знаходження образу кривої при відображенні zfw . В загальному

випадку, якщо на площині z крива задана неявним рівнянням 0, yxF ,

то для знаходження рівняння кривої в площині w , на яку функція

yxivyxuzfw ,,

відображає криву , необхідно виключити yx , з системи

,0,

,,

,,

yxF

yxvv

yxuu

(2.1)

в результаті отримаємо рівняння 0, vu кривої в площині w .

Якщо крива задана на площині z параметричними рівняннями

,

,

tyy

txx Tt ,

то параметричними рівняннями образу цієї кривої будуть рівняння

,,

,,

tytxvv

tytxuu Tt . (2.2)

Приклад 2.1. При відображенні 2zw знайти образ множини:

а) 1)Im( z ; б) 2z , 2

arg0

z ; в) 0)Re( z .

а) Запишемо співвідношення (2.1) для функції 2zw і кривої , що

визначена рівнянням 1)Im( z . Покладемо iyxz , отримаємо

xyiyxiyxivuw 2222 . Таким чином, маємо систему

1

2

22

y

xyv

yxu

.

Виключаючи з цієї системи змінні yx , , отримаємо рівняння образу прямої

1y в змінних vu ,

xv

xu

2

12

14

2

v

u .

Останнє рівняння є рівнянням параболи з вершиною в точці 0,1M і

віссю симетрії Ou , попередні співвідношення можна розглядати як її

параметричні рівняння, параметром в яких є змінна x , що змінюється вздовж

проміжку ; (див. Рис. 2.2).

Рис. 2.2

б) З геометричного змісту модуля і аргументу комплексного числа

випливає, що умови 2z , 2

arg0

z визначають криву, яка є частиною

кола радіуса 2 з центром у початку координат, що розташована в першому

квадранті. Запишемо параметричні рівняння цієї кривої

,sin2

,cos2

ty

tx

2;0t

і скористаємось співвідношеннями (2.2) для дійсної та уявної частини функції 2zw , отримаємо

,sincos8

,sin4cos4 22

ttv

ttu

2;0t .

Або, після спрощення

,2sin4

,2cos4

tv

tu

2;0t .

Виконаємо заміну параметру t2 . Отримаємо

,sin4

,cos4

v

u ;0 .

Це параметричне рівняння верхньої половини кола з центром у початку

координат радіуса 4, зростання параметру відповідає обходу кола проти

годинникової стрілки (див. Рис. 2.3).

Рис. 2.3

в) Умова 0)Re( z еквівалентна умові 0x , що визначає на комплексній

площині праву півплощину. Ця множина є необмеженою областю, межею якої є

пряма 0x , тобто вісь Oy . Будемо розглядати цю півплощину як сукупність

промінів, що виходять з початку координат. Тоді задану область можна

визначити умовою 2

arg2

z . Зафіксуємо деякий промінь 0Arg z , що

задовольняє останню умову, тобто

2;

20 . Тригонометрична форма

запису точок цього променя матиме вигляд 00 sincos irz , де ;0r .

При відображенні 2zw кожна точка z зафіксованого променя перейде в

точку w , що визначається умовою

0022 2sin2cos irzw , ;0r

Відмітимо, що 2rw , 02Arg w (аргумент кожної точки умножається

на 2) і з умови ;0r випливає, що ;0w , тобто образом променя

0Arg z буде промінь 02Arg w . Межа області (вісь Oy ) складається з

двох променів 2

Arg

z і 2

Arg

z , які при відображенні 2zw перейдуть в

співпадаючі промені wArg і wArg .

Таким чином область D , що визначається умовою 2

arg2

z перейде

в область D , точки якої задовольняють нерівність warg . Остання

умова визначає комплексну площину w з розрізом вздовж від’ємної частини

дійсної осі (див. Рис. 2.4).

Рис. 2.4

Поверхня модуля функції комплексної змінної

Для геометричної ілюстрації функції комплексної змінної часто

використовують поверхню, яка в прямокутній системі координат Oxy

задається рівнянням zf і називається поверхнею модуля або рельєфом

функції zf .

На Рис. 2.5 представлено поверхню модуля функції 2zw , яка є

параболоїдом обертання відносно вертикальної осі O , тому що іі рівняння має

вигляд 2222 yxzz .

Рис. 2.5

2.2. Границя і неперервність функції комплексної змінної

Означення 2.3 Комплексне число CA називають границею функції

zf в точці Cz 0 і записують Azfzz

0

lim , якщо для будь якого околу AU

точки A можна знайти такий проколотий окіл 0zV

точки 0z , що для всіх

0zVz

значення zf належать AU , або коротше

AUzfzVzVAUAzf

zz z : lim 00

0

.

Якщо Az ,0 , то можна записати

AzfAzfzz

z-z0 :0 0 lim 00

. (2.3)

Відмітимо, що вираз (2.3) по формі аналогічний випадку функції дійсної

змінної.

Для випадку Az ,0 , отримаємо:

zfzfz

z :0 0 lim .

Інші випадки записуються аналогічно, виходячи з означення околу

відповідної точки.

Означення 2.4 Функцію zf називають нескінченно малою (великою)

при 0zz , якщо 0lim0

zfzz

(

zfzz 0

lim ).

Відмітимо, що з означення границі випливають рівносильні умови:

0lim 0lim00

zfzfzzzz

,

zfzfzzzz 00

lim lim .

З’ясуємо зв'язок границі функції комплексної змінної zf з границями її

дійсної і уявної частини, тобто з подвійними границями дійсних функцій

yxuu , і yxvv , в точці 00 , yx .

Нехай Az ,0 . Покладемо 000 iyxz , 21 iAAA , ivuzf .

Враховуючи означення модуля комплексного числа і нерівність

трикутника отримаємо

212

22

1 AvAuAvAuAzf .

З іншого боку

AzfAu 1 і AzfAv 2 .

З останніх нерівностей отримаємо

, 0,lim ,lim ,,lim 121

0

0

0

0

0

0

AyxuAyxvAyxu

yyxx

yyxx

yyxx

AzfAzfAyxvzzzz

yyxx

00

0

0

lim 0lim 0,lim 2

і навпаки

1,lim 0lim lim

0

000

AyxuAzfAzf

yyxxzzzz

і 2,lim

0

0

Ayxv

yyxx

.

Таким чином доведено, що границя 21 iAAA функції комплексної

змінної yxivyxuzf ,, в точці 000 iyxz існує тоді і тільки тоді, коли

в точці 00 , yx існують границі її дійсної і уявної частини, рівні 1A та 2A

відповідно.

Зауваження. В комплексний аналіз переносяться без змін основні теореми

про границю дійсної функції в точці і про властивості функції, що має

границю.

Означення 2.5 (Границя функції по множині) Нехай 0z гранична точка

множини DS , де CD – область визначення функції zf . Комплексне

число CA називають границею функції zf в точці 0z по множині S і

записують Azf

Szz

0

lim , якщо

AUzfzVzVAU Sz : 00 .

Нехай функція zf визначена в деякому околі точки Cz 0 . Визначимо

поняття неперервності функції комплексної змінної в точці.

Означення 2.6 Функцію zf комплексної змінної z називають

неперервною в точці 0zz , якщо 00

lim zfzfzz

.

Зауваження. У випадку 0zf будемо казати про неперервність в сенсі

C , а у випадку 0zf – у сенсі C . Для функцій неперервних у сенсі C

справедливі основні теореми про властивості неперервної в точці функції

дійсної змінної: сума, різниця, добуток і частка (за умови, що знаменник не

обертається в нуль) неперервних в точці 0z функції є функціями неперервними

в цій точці. Справедлива також теорема про неперервність складної функції.

Нехай M деяка множина розширеної комплексної площини C .

Означення 2.7 Функцію комплексної змінної, неперервну в кожній точці

множини M по множині M , називають неперервною на множині M .

Якщо множина M є областю, то неперервність функції на множині M

рівносильна неперервності функції в кожній точці цієї множини у сенсі

означення 2.6.

Запишемо основні властивості функцій неперервних на обмеженій

замкненій множині CK .

1. Якщо функція zf неперервна на множині K , то вона обмежена на цій

множині, тобто KzBzfB , :0 .

2. Якщо функція zf неперервна на множині K , то її модуль досягає на

цій множині найбільшого та найменшого значень, тобто :11 Kz ,z

Kzzfzfzfzf , 21 .

3. Якщо функція zf неперервна на множині K , то вона одностайно

неперервна на цій множині, тобто

) ( , :0 0 212121 zfzfzzKzz .

2.3. Елементарні функції комплексної змінної

За допомогою арифметичних операцій, визначених над комплексними

числами, можна ввести раціональну функцію, тобто частку двох многочленів

nmmm

nnnn

m

n

bzbzbzb

azazaza

zQ

zP

11

10

11

10

...

.... (2.4)

Зауважимо, що означення дійсних елементарних функцій, таких як xe ,

xsin , xcos , у випадку комплексного аргументу втрачають сенс.

Беручі до уваги відомі для дійсних Rx розвинення цих функцій в ряд

Маклорена і враховуючи, що комплексні ряди

0!

n

n

n

z,

0

12

!121

n

nn

n

z,

0

2

!21

n

nn

n

z

збігаються абсолютно для будь якого Cz , визначимо елементарні функції як

суми рядів комплексних чисел

0

!...

!...1

n

nnz

n

z

n

zze , (2.5)

0

12123

!121...

!121...

!3sin

n

nn

nn

n

z

n

zzzz , (2.6)

0

222

!21...

!21...

!21cos

n

nn

nn

n

z

n

zzz . (2.7)

Рівності (2.5)-(2.7) визначають на всій комплексній площині показникову

функцію ze , а також тригонометричні функції zz cos ,sin комплексної змінної

z , які при дійсних значеннях z співпадають з відповідними функціями дійсної

змінної.

Зауважимо, що при визначенні елементарних функцій за рівностями (2.5)-

(2.7) було використано поняття абсолютної збіжності ряду комплексних чисел,

яке за визначенням аналогічне випадку дійсних рядів. Більш детально теорію

комплексних рядів буде розглянуто пізніше.

Формули Ейлера.

Враховуючи властивості абсолютно збіжних рядів, помножимо ряд (2.7) на

i та додамо до ряду (2.6). В результаті отримаємо ряд (2.5) в якому змінна z

замінена на iz . Таким чином ми отримали важливе співвідношення:

zizeiz sincos , (2.8)

яке називають формулою Ейлера.

Формула Ейлера виражає показникову функцію через тригонометричні

функції. Замінимо в (2.8) z на z , отримаємо

zize iz sincos . (2.9)

Додаючи та віднімаючи (2.8) і (2.9), зайдемо формули зворотного зв’язку

2

cosiziz ee

z

, (2.10)

i

eez

iziz

2sin

. (2.11)

Кожне з співвідношень (2.10) і (2.11) також називають формулою Ейлера.

Формула Ейлера (2.8) дозволяє ввести ще одну зручну форму запису

комплексного числа – показникову.

Якщо комплексне число z задано у тригонометричній формі

)sin(cos irz , то за формулою (2.8) отримаємо запис

irez , (2.12)

який називають показниковою формою запису комплексного числа z .

Властивості основних елементарних функцій.

1. Czz 21 , справедлива рівність 2121 zzzzeee

. (Для доведення

потрібно перемножити відповідні ряди (2.5))

Наприклад, за властивістю 1, маємо наступний вигляд для показникової

функції )sin(cos yiyeeeee xiyxiyxz , звідки xz ee , а одне зі значень

аргументу ze дорівнює y .

2. Функція ze є періодичною з уявним періодом iT 2 .

За властивістю 1 і формулою Ейлера, маємо

zfeieeeeizf zziziz 2sin2cos2 22 .

3. Якщо m – ціле число, то mzmz ee .

4. Функції zz cos ,sin є періодичними з періодом 2T . (Доведення

випливає з формул (2.10), (2.11))

5. Для функцій zz cos ,sin виконуються основні тригонометричні

співвідношення

1cossin 22 zz ,

212121 sinsincoscoscos zzzzzz ,

212121 sincoscossinsin zzzzzz , тощо.

За допомогою функцій zz cos ,sin визначають ще дві функції комплексної

змінної – тангенс і котангенс: z

zz

z

zz

sin

cosctg ,

cos

sintg .

Перша з цих функцій визначена для усіх z крім розв’язків рівняння

0cos z , друга – крім розв’язків рівняння 0sin z .

Гіперболічні функції.

Так само як і у випадку функцій дійсної змінної, за допомогою

показникової функції визначають гіперболічні функції комплексної змінної:

2ch

zz eez

,

2sh

zz eez

,

z

zz

ch

shth ,

z

zz

sh

chcth .

При дійсному z гіперболічні функції комплексної змінної співпадають з

відповідними дійсними функціями. Гіперболічні функції комплексної змінної

задовольняють основним співвідношенням, аналогічним до тих, які визначені

для дійсних гіперболічних функцій, наприклад, неважко перевірити, що

1shch 22 zz .

Зв'язок між тригонометричними і гіперболічними функціями.

Використовуючи означення гіперболічних функцій та формули (2.10),

(2.11) отримаємо зручні, у практичному застосуванні, формули, які пов’язують

тригонометричні і гіперболічні функції комплексної змінної.

ziiz shsin , ziiz sinsh ,

ziz chcos , ziz cosch , (2.13)

ziiz thtg , ziiz tgth ,

ziiz cthctg , ziiz ctgcth .

З властивості 5 і формул (2.13) можна отримати для функцій zz cos ,sin ,

наступні формули:

yxiyxiyxz shcoschsinsinsin , (2.14)

yxiyxiyxz shsinchcoscoscos . (2.15)

Звідси

xyyxyxyxz 22222222 coschshsinshcoschsinsin ,

xyyxyxyxz 22222222 sinchshcosshsinchcoscos .

З останніх формул для модулів zz cos ,sin отримаємо оцінки:

yzy chsinsh , yzy chcossh .

Оскілки функція ysh є необмеженою на множині дійсних чисел, то

функції zz cos ,sin є необмеженими на комплексній площині.

Зауважимо, що при y справедливі еквівалентності

yeyzz

2

1~ch~cos~sin .

Приклад 2.2. Знайти значення функцій та записати відповідь в

алгебраїчній формі: а) )3ln2

sin( i

; б) )th( i ; в) )2

sh(

i .

а) Скориставшись формулою (2.14), отримаємо

3

5

2

3

13

23lnch3lnsh

2cos3lnch

2sin)3ln

2sin(

3ln3ln

ee

ii ;

б) За формулою (2.13) для izth отримаємо

0tg)tg()th( iii ;

в) За формулою (2.13) для izsh отримаємо

iii

2sin)

2sh( .

Багатозначні функції комплексної змінної.

Означення 2.8 Якщо кожному комплексному числу CEz за

законом f поставлено у відповідність декілька комплексних чисел, які

позначають zfw , то кажуть, що f є багатозначною функцією комплексної

змінної, що визначена на множині E .

Означення 2.9 Кажуть, що в області ED виділено однозначну вітку

багатозначної функції zf , якщо в кожній точці цієї області обрано одне зі

значень zfw , причому так, що отримана однозначна функція є

неперервною в області D .

Багатозначна функція може мати як скінченну, так і нескінченну кількість

однозначних віток. Зауважимо, що не для всякої області ED можна виділити

однозначну вітку багатозначної функції.

Багатозначна функція zArg .

Згідно з означенням 1.5 і зауваженням до нього, кожному комплексному

числу 0 iyxz ставиться у відповідність нескінченна множина значень

полярного кута zArg , ці значення відрізняються одне від одного на

доданок, кратний 2 . Значення визначаються співвідношеннями

22cos

yx

x

,

22sin

yx

y

.

Таким чином zArg є багатозначною функцією комплексної змінної, яка

визначена на всій комплексній площині крім точки 0z . Функція zArg є

найбільш важливим прикладом багатозначної функції в комплексному аналізі.

З цією функцією пов’язано багато інших багатозначних функцій комплексної

змінної. Побудова однозначних віток цих функцій визначається вибором

певного значення аргументу комплексної змінної, тобто вибором однозначної

вітки багатозначної функції zArg .

Для виділення однозначних віток багатозначної функції zArg розглянемо

її приріст вздовж деякої кривої .

Нехай крива не проходить через точку 0z і має початок в точці A і

кінець в точці B . Тоді приріст аргументу zArg комплексного числа z

вздовж кривої є кут оберту радіус-вектора точки z при її русі вздовж від

початкової точки A до кінцевої точки B (Рис. 2.6).

Рис. 2.6

Знайдемо формулу приросту для аргументу zArg . З формул переходу

до полярних координат sin ,cos yx отримаємо

dddydddx cossin ,sincos ,

звідси dydxd cossin . Остаточно

22Arg

yx

xdyydxzdd

.

Розглянемо криволінійний інтеграл від d вздовж кривої , що дорівнює

різниці значень аргументу z в кінцевій і початковій точці кривої , тобто

приросту аргументу zArg вздовж . Маємо

22Arg

yx

xdyydxz . (2.16)

Таким чином приріст аргументу комплексного числа виражається через

криволінійний інтеграл, який не залежіть від шляху інтегрування. Виходячи з

цього можна сформулювати основні властивості приросту аргументу:

1. zz ArgArg , де означає криву з протилежним напрямом

обходу.

2. Якщо крива складається з кривих 1 і 2 , то

zzz ArgArgArg21 .

3. zz ArgArg21 для будь яких кривих 1 , 2 , що належать

однозв’язній області 0\CD і мають спільні початкову і кінцеву точки.

4. 0Arg z для будь якої замкненої кривої в однозв’язній області D ,

що не містить точку 0z .

5. 2Arg z для будь якої простої замкненої кривої , що оточує точку

0z і пробігається проти годинникової стрілки.

Метод виділення однозначної вітки функції zArg .

Розглянемо однозв’язну область D , яка не містить точку 0z . Зафіксуємо

в цій області деяку точку Dz 0 і оберемо одне зі значень аргументу цієї точки,

яке позначимо 0Arg0

zaz . Розглянемо функцію

zazf z Arg0 . (2.17)

де – довільна крива з початком в точці 0z і кінцем в точці Dz .

За властивістю 3 приросту аргументу zf є однозначною функцією

змінної z з областю визначення D . Неперервність цієї функції в області D

випливає з відповідної властивості інтеграла зі змінною верхньою межею.

Таким чином функція zf , що визначається рівністю (2.17) є

однозначною віткою функції zArg , яка визначена в області D .

Функція zArg має нескінченну кількість віток які можна отримати,

обираючи інші значення аргументу точки 0z , тобто додаючи до zf доданок

k2 :

Zkkzaz zk ,2ArgArg0

.

Таким чином, багатозначна функція zArg має в області D нескінченну

кількість віток, кожна з яких однозначно визначається своїм значенням в одній

точці Dz 0 .

Головне значення функції zArg .

Розглянемо однозв’язну область D , яка є комплексною площиною z з

розрізом вздовж від’ємної частини дійсної осі. Покладемо 10 z , 00za .

Тоді за формулою (2.17) в області D виділяється однозначна вітка zf

функції zArg , яка визначається рівністю

zzzf argArg

і називається головним значенням аргументу.

Багатозначну функцію zArg в області D можна записати у вигляді

Zkkzz ,2argArg , (2.18)

де zarg – головне значення аргументу.

Зауваження. Якщо в довільній області D існує простий замкнений

контур, який оточує точку 0z , то приріст аргументу вздовж цього контуру

дорівнює 2 , тобто рухаючись вздовж такого контуру з точки 0z отримаємо

для неї за формулою (2.17) два різні значення аргументу, що відрізнятимуться

на 2 . Це означає, що в області D не можливо виділити однозначну вітку

функції zArg . Таким чином виділення в області D однозначної вітки функції

zArg , можливе лише для областей, що не містять контурів оточуючих точку

0z . Прикладом такої області є комплексна площина з розрізом вздовж

нескінченної кривої з початком в точці 0z .

Логарифмічна функція.

Розглянемо довільне комплексне число 0z .

Означення 2.10 Комплексне число w називають логарифмом

комплексного числа 0z і позначають zw Ln , якщо zew .

Нехай ivuw , тоді

zviveeee uivuivu sincos .

З умови рівності комплексних чисел в тригонометричній формі випливає,

що zuez u ln і Zkkzzv ,2argArg . Звідси, для логарифма

комплексного числа, отримаємо формулу

Zkikzizz ,2arglnLn . (2.19)

Остання формула визначає логарифм комплексного числа 0z

неоднозначно.

Якщо в формулі (2.19) покласти 0k , отримаємо головне значення

логарифму

zizz arglnln . (2.20)

Якщо 0 xz , то головне значення логарифма є дійсним числом і

співпадає з натуральним логарифмом дійсного числа x .

Співвідношення (2.19) визначає сукупність усіх можливих значень

логарифму комплексного числа. Цю сукупність називають загальним значенням

логарифму.

Властивості логарифму.

1. 2121 LnLnLn zzzz ; 2. 212

1 LnLnLn zzz

z

;

3. znzn

LnLn , Nn ; 4. zn

zn Ln1

Ln .

Зауваження. Рівності 1-4 слід розуміти як рівності множин значень.

Означення 2.11 Співвідношення (2.19) в області 0\C визначає

багатозначну функцію, яку називають логарифмічною функцією комплексної

змінної.

Однозначні вітки функції zLn визначаються вітками функції zArg , тобто

їх виділення можливе лише в таких областях, в яких можливе виділення

однозначних віток функції zArg .

Піднесення комплексного числа до комплексного степеня.

Нехай комплексне число a не дорівнює нулю. Приймемо за означенням

azz ea Ln . (2.21)

Означення 2.12 Якщо комплексне число 0a є фіксованим, то

співвідношення (2.21) визначає у комплексній площині багатозначну функцію,

яку називають загальною показниковою функцією. Головне значення цієї

функції має вигляд aze ln .

Означення 2.13 Співвідношення zaa ez Ln при фіксованому a

визначає в області 0\C багатозначну функцію, яку називають загальною

степеневою функцією. Головне значення цієї функції має вигляд zae ln .

Обернені тригонометричні функції.

Функції zArcsin , zArccos , zArctg і zArcctg визначаються як обернені до

функцій zsin , zcos , ztg і zctg відповідно і називаються оберненими

тригонометричними функціями комплексної змінної.

Наприклад, якщо wz cos , то w називають арккосинусом числа z і

позначають zArccos .

Знайдемо формулу обчислення арккосинусу, для цього скористаємось

формулою (2.10). Отримаємо

2

iwiw eez

.

Позначимо iwet , знайдемо 2

1

tt

z

, звідки 0122 ztt . Розв’язуючи

квадратне рівняння відносно t , отримаємо розв’язки 122,1 zzt . Оскільки

iwet , то

1Ln 2zziw . Звідки

1LnArccos 2zziz . (2.22)

Нехай – те зі значень коренів квадратного рівняння 1t , 2t , головне

значення аргументу якого належить проміжку ,0 .

Головним значенням арккосинусу будемо називати значення функції

zArccos , яке визначається співвідношенням

arglnarccos iz .

Загальним значенням арккосинусу називають всю сукупність його значень,

яка описується формулою

Zkkzz ,2arccosArccos . (2.23)

Інші обернені тригонометричні функції за допомогою логарифмічної

функції виражаються аналогічно:

1LnArcsin 2zziiz , (2.24)

iz

iziz

1

1Ln

2Arctg , (2.25)

iz

iziz

Ln

2Arcctg . (2.26)

Для будь яких значень zArcsin і zArctg існують такі значення zArccos і

zArcctg , що виконуються рівності

2ArccosArcsin

zz ,

2ArcctgArctg

zz .

Приклад 2.2. Знайти головні та загальні значення:

а) )31Ln( i ; б) ii ; в) iArccos .

а) За формулою (2.19) отримаємо загальне значення

Zkikiikiiii

,23

2ln231arg31ln)31Ln( і

головне значення 3

2ln)31ln(

ii ;

б) Скористаємось формулою (2.21). Отримаємо iii ei Ln . Знайдемо

Zkkiiiii

,2

2ArglnLn . Підставляючи цю відповідь у

співвідношення для ii , отримаємо загальне значення Zkeik

i

,2

2 і

головне значення 2

eii . Відмітимо, що уявне число в уявному степені

приймає значення, які є дійсними додатними числами.

в) За формулою (2.22) отримаємо загальне значення

. ,22

21ln21Ln1LnArccos 2 Zkkiiiiiii

Головне значення матиме вигляд .21ln2

arccos

ii

Приклад 2.2. Розв’язати рівняння:

а) 013 ie z ; б) izz 2cossin ; в) 012ch z .

а) 013 ie z ie z 13

iz 1Ln3

1

Zkkiikiz

,2

42ln

6

12

42ln

3

1;

б) izz 2cossin iee

i

ee iziziziz

222

0411 iziz eiei .

Позначимо teiz , отримаємо 041

11 t

iti 02142 2 itit

0122 itit .

Розв’язуючи квадратне рівняння, отримаємо корені

2

61

2

611

2

613111

22,1 iiiiiiiit .

Враховуючи, що teiz , отримаємо сукупність рівнянь

2

61

2

61Ln

2

61

2

61Ln

Ln

Ln

2

1

1

1

iz

iz

tz

tz

te

te

iz

iz

.

Знайдемо модулі і аргументи коренів квадратного рівняння:

6252

3612

2

61

2

61

22

1

t ,

6252

3612

2

61

2

61

22

1

t ,

41arctg

2

61

2

61

arctgarg 1

t ,

4

3

41arctg

2

61

2

61

arctgarg 2

t .

Остаточно маємо сукупність розв’язків вихідного рівняння

.24

3625ln

,24

625ln

22

11

kiz

kiz

Zk 2,1 .

в) 012ch z 012

22

zz ee

012 24 zz ee . Позначимо

te z 2 , отримаємо квадратне рівняння 0122 tt 012t

12,1 t .

Враховуючи, що te z 2 , отримаємо розв’язок

Zkki

z ,22

1Ln2

1.

Запитання і вправи для самоконтролю

1. Сформулюйте означення однозначної і багатозначної функції комплексної

змінної.

2. Визначить поняття функції комплексної змінної, неперервної в точці і на

множині.

3. Доведіть основні властивості елементарних функцій ze , zsin , zcos .

4. Доведіть основну тригонометричну тотожність 1cossin 22 zz за

допомогою формул Ейлера.

5. Які основні властивості має багатозначна функція zArg ?

6. Як визначається та які властивості має логарифмічна функція комплексної

змінної?

7. Доведіть формули зв’язку між тригонометричними і гіперболічними

функціями.

8. Доведіть формули, які виражають обернені тригонометричні функції через

логарифмічну функцію.

3. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ.

3.1. Похідна функції комплексної змінної

Нехай функція zfw визначена в деякому околі 0zU точки Cz 0 .

Надамо 0z приріст z , такий, що 00 zUzz . Різницю 00 zfzzf

називають приростом функції zf в точці 0z , що відповідає приросту

аргументу z і позначають 0zf або w .

Означення 3.1 Якщо існує скінченна границя

z

zfzzf

z

zf

zz

00

0

0

0limlim , (3.1)

то її називають похідною функції zf комплексної змінної z в точці 0z і

позначають 0zf або dz

zdf 0 .

Означення 3.2 Функцію zf називають диференційовною в точці 0z ,

якщо її приріст 0zf в цій точці може бути представлено у вигляді

zozAzf 0 , (3.2)

де A – комплексне число, яке не залежить від z , zo – нескінченно мала

функція при 0z більш високого порядку ніж z , тобто

0lim0

z

zo

z.

Теорема 3.1 Функція zf є диференційовною в точці 0z тоді і тільки тоді

коли в цій точці існує скінченна похідна функції 0zf .

Означення 3.3 Головну частину приросту 0zf , лінійну відносно z

називають диференціалом функції zf в точці 0z і позначають 0zdf .

Вважаючи, що в (3.2) 0zfA і dzz , для диференціала маємо

співвідношення

dzzfzdf 00 . (3.3)

3.2. Необхідні і достатні умови диференційовності. Умови Коші-

Рімана

Теорема 3.2 Для того щоб функція yxivyxuzf ,, була

диференційовною в точці 000 iyxz , необхідно і достатньо, щоб:

1) функції yxvyxu , ,, були диференційовні в точці 00, yx ;

2) в точці 00, yx виконувались умови Коші-Рімана:

x

v

y

u

y

v

x

u

, . (3.4)

Необхідність. Нехай функція zf має похідну iBAzf 0 в точці

000 iyxz . Тоді її приріст 0zf в 0z можна представити за формулою (3.2)

у вигляді

ziozoyixiBAzf 210 .

З іншого боку

.,,,,

,,

00000000

0000000

yxviyxuyxivyxu

yyxxivyyxxuzfzzfzf

Прирівнюючи дійсні і уявні частини цих двох рівностей, отримаємо

100, oyBxAyxu ,

200, oyAxByxv ,

де z .

З останніх двох рівностей випливає диференційовність в точці 00, yx

функцій yxu , і yxv , , причому

y

uB

x

uA

, ,

y

vA

x

vB

, .

Останні умови рівносильні умовам Коші-Рімана в точці 00, yx .

Достатність пропонуємо читачеві довести самостійно.

Враховуючи умови Коші-Рімана і незалежність границі (3.1) від способу

прямування приросту z до нуля, для похідної 0zf можна записати

формули:

x

yxvi

x

yxuzf

0000

0,,

, (3.5)

y

yxui

x

yxuzf

0000

0,,

, (3.6)

x

yxvi

y

yxvzf

0000

0,,

, (3.7)

y

yxui

y

yxvzf

0000

0,,

. (3.8)

Умови Коші-Рімана в полярних координатах матимуть вигляд:

uvvu 1 ,

1. (3.9)

Похідну в цьому випадку можна обчислити за формулами:

ui

v

z

vi

u

zzf

1. (3.10)

3.3. Правила диференціювання функції комплексної змінної

З означення 3.1 і властивостей границі функції отримаємо основні правила

диференціювання функцій комплексної змінної, які аналогічні відповідним

правилам для функцій дійсної змінної, а саме:

1) стала функція constAzf диференційовна в кожній точці

комплексної площини, причому Czzf ,0 ;

2) функція zzf диференційовна в кожній точці комплексної площини,

причому Czzf ,1 ;

3) якщо функції zf і zg мають похідні в точці Cz 0 , то функції

CconstBAzBgzAf , , , zgzf , zg

zf (остання за умови 00 zg )

також мають похідні в цій точці, причому:

000

zgBzfAzz

zBgzAf

, (3.11)

00000

zgzfzgzfzz

zgzf

, (3.12)

20

0000

0 zg

zgzfzgzf

zzzg

zf

, (3.13)

4) якщо функція zfw диференційовна в точці 0z , а функція wgW

диференційовна в точці 00 zfw , то складна функція zfgW

диференційовна в точці 0z , причому

000

0 zfwgzz

zfgzW

, (3.14)

3.4. Аналітичні функції

Означення 3.4 Функцію zf , що визначена в околі точки Cz 0

називають аналітичною в цій точці, якщо zf диференційовна в деякому

околі точки 0z . Функцію, аналітичну в кожній точці області CD , називають

аналітичною в області D .

Зауваження. З означення 3.4 випливає неможливість існування функції,

аналітичної лише в одній точці, тому замість «функція, аналітична в точці»

можна казати «функція, аналітична в околі точки». З порушення

аналітичності функції в точці не випливає її недиференційовність в цій точці.

Згідно з означенням 3.4, функція не є аналітичною в точці 0z , якщо в будь-

якому околі цієї точки можна вказати точку у якій не існує похідна функції.

Означення 3.5 Функція комплексної змінної називається цілою, якщо

вона є аналітичною у всій комплексній площині C .

Для перевірки функції zf на аналітичність в точці 000 iyxz необхідно

виділити дійсну zfu Re і уявну zfv Im , дослідити в околі точки 00, yx

на диференційовність функції u і v (наприклад, встановивши неперервність

часткових похідних цих функцій), а також перевірити виконання умов Коші-

Рімана.

Теорема 3.3 Основні елементарні функції cos ,sin , zzez комплексної

змінної є цілими аналітичними функціями. Для їх похідних справедливі

табличні формули: .sincos ,cossin , zzzzee zz

Доведення приведемо для функції ze .

Виділимо дійсну та уявну частини функції

yixeee xiyxz sincos yeeu xz cosRe , yeev xz sinIm .

Знайдемо часткові похідні функцій u і v : yex

u x cos

, ye

y

u x sin

,

yex

v x sin

і ye

y

v x cos

, неперервність часткових похідних при будь-яких

значеннях yx , випливає з теореми про границю добутку і неперервності

функцій дійсної змінної yyex cos ,sin , . Перевіримо виконання умов Коші-

Рімана:

yeyey

v

x

u xx coscos

;

yeyex

v

y

u xx sinsin

.

Умови Коші-Рімана виконуються тотожно, тобто при будь яких значеннях

yx , . Звідси випливає диференційовність функції ze в кожній точці

комплексної площини C , з якої в свої чергу випливає аналітичність ze у всій

комплексній площині. Похідну функції знайдемо за формулою (3.5)

ziyxiyxxxxz eeeeyiyeyieyex

vi

x

ue

sincossincos , тобто

твердження теореми доведено. Аналітичність функцій zz cos ,sin у всій

комплексній площині можна довести аналогічно, або скориставшись

формулами Ейлера та правилами диференціювання (3.11), (3.12).

З правил диференціювання випливають дві наступні теореми.

Теорема 3.4 Лінійна комбінація і добуток двох функцій, аналітичних в

області D , є аналітичними в цій області функціями, а частка двох аналітичних

в області функцій є функцією, аналітичною в тих точках області, в яких

знаменник не обертається в нуль.

Теорема 3.5 Якщо функція zfw є аналітичною в області D , а функція

wgW – в області DfG , то складна функція zfgW є аналітичною

в області D .

З приведених теорем 3.4, 3.5 випливає, що многочлен, а також функції

zz sh ,ch є цілими аналітичними функціями, раціональна функція, а також

функції zz ctg ,tg є аналітичними у всій комплексній площині крім точок, в

яких знаменники цих функцій обертаються в нуль.

Приклад 3.1. Перевірити функції на аналітичність, та знайти похідну в тих

точках де вона існує.

а) zzw sin ; б) zzw 2 ; в) cybxiayxw .

а) Функція zzw sin є аналітичною у всій комплексній площині за

теоремою 3.4 як добуток двох аналітичних у всій комплексній площині функцій

zw і zw sin . Знайдемо похідну цієї функції, скориставшись правилами

диференціювання та табличними похідними. Отримаємо

zzzzzzzw cossinsinsin

.

б) Виділимо дійсну та уявну частини функції

iyxiyxiyxzzw 3222 , звідки xu 3 , yv . Запишемо умови

Коші-Рімана:

13

y

v

x

u,

00

x

v

y

u.

Бачимо, що перша умова не виконується в жодній точці комплексної

площини. Таким чином функція ніде недиференційовна і ніде неаналітична.

в) Для функції cybxiayxw маємо ayxu , cybxv . З умов

Коші-Рімана отримаємо систему рівнянь

ba

c 1,

з якої випливає, що функція ybxibyxw є аналітичною у всій

комплексній площині, якщо ж хоча б одне з рівнянь системи не виконується

функція ніде не аналітична.

3.5. Геометричний зміст аргументу і модуля похідної

Нехай zf є аналітичною функцією в точці 0z , причому 00 zf .

З’ясуємо геометричний зміст аргументу похідної в точці 0z . Для цього

розглянемо на площині z гладку криву , що задана рівнянням

tiytxtz , bat , , яка проходить через точку 0z , тобто 00 tzz для

деякого bat ,0 . Припустимо, що функція zf аналітична у всіх точках

кривої і 0000 tyitxtz . З останньої умови випливає, що в точці 0z

існує дотична до кривої з напрямним вектором 00 , tytx . Функція

zf відображає криву на деяку криву , що лежіть в площині w і

визначається рівнянням tzftw , bat , , причому крива проходить

через точку 00 zfw .

За правилом диференціювання складної функції отримаємо

0000 tzzftw .

Остання умова означає, що в точці 0w існує дотична до кривої , причому

000 ArgargArg tzzftw .

Позначимо 0arg zf . Тоді можна записати

00 ArgArg tztw . (3.15)

З рівності (3.15) випливає наступний геометричний зміст аргументу

похідної аналітичної функції zf в точці 0z .

Рис. 3.1

Якщо 00 zf , то 0arg zf дорівнює куту , на який, при

відображенні zf , повертається дотична до кривої в точці 0z щоб

прийняти положення дотичної до її образу в точці 00 zfw (Рис. 3.1).

Нехай тепер через точку 0z проходять дві гладкі криві 21 , . Будемо

називати кутом між кривими в точці їх перетину 0z кут між дотичними до цих

кривих в точці 0z . З умови (3.15) випливає, що при відображенні, яке здійснює

аналітична в точці 0z функція zf , за умови, що 00 zf , криві 21 ,

відобразяться у криві 21 , , причому дотичні до цих кривих повернуться на

однаковий кут 0arg zf . Таким чином, кут між кривими 21 , не

зміниться при відображенні, що здійснює аналітична функція zf , за умови,

що 00 zf .

Означення 3.6 Відображення zfw називається конформним

(першого роду) в точці 0z , якщо воно зберігає кути (і напрям їх обліку) між

кривими, що проходять через дану точку.

Зауваження. Якщо при відображенні кути між кривими зберігаються, а

напрям їх відліку змінюється на протилежний, то кажуть про конформне

відображення другого роду.

Означення 3.7 Відображення zfw називається конформним в

області D , якщо воно є конформним в кожній точці цієї області Dz .

Теорема 3.6 Відображення, що здійснює аналітична в області D функція

zfw є конформним у всіх точках Dz у яких 0 zf .

З теореми 3.6 випливає, що лінійна функція 0 , abazw здійснює

відображення, яке є конформним у всіх точках комплексної площини C ,

оскільки 0 aw , Cz . Покажемо, що відображення 2zzf не є

конформним в точці 00 z , в якій похідна zzf 2 функції дорівнює нулю.

Для цього розглянемо на площині z два проміні zarg :1 і zarg :2 ,

. Кут між цими променями в точці їх перетину 00 z буде дорівнювати

, але кут між їх образами на площині w , які є променями 2arg :1 w і

2arg :2 w складатиме 222 , тобто збільшиться вдвічі (див.

рисунок 3.2).

Рис. 3.2

Для з’ясування геометричного змісту модуля похідної скористаємось

неперервністю і властивостями модуля. Запишемо згідно з означенням похідної

в точці

z

w

z

w

z

wzf

zzz

0000 limlimlim . (3.16)

Оскільки z має геометричний зміст відстані між точками 0z і zz 0 , а

w – відстані між образами цих точок 0zf і zzf 0 , то відношення z

w

визначає у скільки разів змінюється відстань між двома близькими точками 0z і

zz 0 змінюється при відображенні zf .

Враховуючи співвідношення 3.16 і його геометричний зміст модуль

похідної 0zf називають коефіцієнтом розтягу (стиску) в точці 0z при

відображенні zf .

Відображення yxivyxuzfw ,, комплексної площини

еквівалентне відображенню yxuu , , yxvv , , якобіан, якого дорівнює

x

v

y

u

y

v

x

u

y

v

x

vy

u

x

u

yxJ

, .

Враховуючи умови Коші – Рімана, отримаємо

22

,

x

v

x

uyxJ .

Оскільки x

vi

x

uzf

, то

yxJzf ,2 . (3.17)

Таким чином, враховуючи геометричний зміст якобіана, 2zf можна

назвати коефіцієнтом зміни площі при відображенні zf .

Враховуючи геометричний зміст zf і 2zf запишемо формули для

обчислення площі образа області та довжини образа кривої при відображенні

zf .

Нехай відображення zf конформне в обмеженій області D , яку

відображає на обмежену область *D . Позначимо *DS площу області *D . Тоді,

враховуючи правило заміни змінної в подвійному інтегралі, отримаємо

dxdyzfdxdyyxJdudvS

DDD

D

2,

*

* . (3.18)

Нехай тепер – крива в області D , а * – її образ при відображенні

zfw . Диференціал dl довжини дуги в площині z дорівнює

dzdydxdl 22, де idydxdz . Диференціал *dl довжини дуги в

площині w дорівнює dzzfdzzfdwdvdudl 22*. З останньої

рівності і формули, яка виражає довжину дуги через криволінійний інтеграл,

для довжини *l кривої * отримаємо

dzzfdwl *

*. (3.19)

Приклад 3.2. Знайти площу області, на яку функція zf відображає

область D , якщо: zezf , 40 ,20|, 2 yxRyxD .

Функція zezf є аналітичною в C і її похідна zezf в жодній точці

області CD не обертається в нуль, тому функція zezf здійснює

конформне відображення області D , яка є прямокутником на площині )(z , на

обмежену область *D на площині )(w . Площу області

*D знайдемо за

формулою (3.18).

2

0

24

0

2222

* dxedydxdyedxdyeedxdyedxdyzfS x

D

x

D

iyx

D

z

DD

120

2

2

14 42 ee x .

3.6. Теорема про єдиність аналітичної функції

Теорема 3.7 Якщо zf є аналітичною в точці az функцією і 0af ,

то або 0zf , або точка az має проколотій окіл, в якому 0zf .

Теорема 3.8 (про єдиність аналітичної функції) Якщо дві аналітичні в

області D функції zf1 і zf2 співпадають на множині DE , яка має хоча б

одну граничну точку Da , то zfzf 21 всюди в області D .

Теорема 3.9 (наслідок) Якщо zf є аналітичною в області D і

constczf на деякій кривій D , то czf на усій області D .

Приклад 3.3. Довести рівність 1cossin 22 zz при Cz .

Розглянемо функцію 1cossin 22 zzzf , аналітичність якої у всій

комплексній площині випливає з аналітичності елементарних функцій

zz cos ,sin і теореми 3.4. Оскільки 0zf при Rxz , то в силу теореми 3.9

0zf при усіх Cz , тобто 0zf .

3.7. Відновлення аналітичної функції за відомою дійсною або уявною

частиною

Означення 3.8 Функція yxuu , називається гармонічною в області

D , якщо вона задовольняє в цій області рівнянню Лапласа, тобто

02

2

2

2

y

u

x

u, Dyx , .

Теорема 3.10 Дійсна та уявна частини yxvyxu , ,, аналітичної в області

D функції yxivyxuzf ,, є функціями гармонічними в області D .

Доведення приведемо для функції yxu , .

З аналітичності zf випливає виконання умов Коші-Рімана у всіх точках

області D

x

v

y

u

y

v

x

u

, .

Звідки

xy

v

y

u

yx

v

x

u

2

2

22

2

2

, .

Додамо рівності, отримаємо

0 2

2

2

2

y

u

x

u, Dyx , .

Отже yxu , є гармонічною в області D функцією.

Гармонічність функції yxv , доводиться аналогічно.

Означення 3.9 Пару yxuu , , yxvv , гармонічних в області D

функцій, які задовольняють умовам Коші-Рімана, називають спряженими

гармонічними функціями.

Якщо відома гармонічна в області D функція yxuu , , то спряжену

гармонічну в цій області функцію yxvv , можна знайти з точністю до сталої,

виходячи з умов Коші-Рімана як з системи диференціальних рівнянь з

невідомою функцією yxvv , . Нехай область D однозв’язна. Запишемо

диференціал yxvv , , враховуючи умови Коші-Рімана

dyx

udx

y

udy

y

vdx

x

vdv

. (3.20)

З останньої формули yxvv , можна виразити через криволінійний

інтеграл

yx

yx

dyx

udx

y

uyxv

,

, 00

, , (3.21)

де точки 00 , yx і yx, належать області D . Оскільки підінтегральний вираз є

повним диференціалом функції yxvv , , то інтеграл не залежить від шляху

інтегрування і у його якості можна вибрати будь яку криву, що з’єднує точки

00 , yx і yx, , наприклад ламану з ланками, паралельними осям координат.

Зауваження. В многозв’язній області інтеграл (3.21) може залежати від

шляху інтегрування.

Таким чином, відновлюючи аналітичну функцію за відомою дійсною або

уявною частиною, відповідь отримується у вигляді

yxivyxuzf ,, . (3.22)

Для того щоб отримати відповідь у комплексній формі можна

скористатися теоремою 3.9, за якою у виразі (3.22) можна виконати формальну

заміну zxy ,0 , тобто

zx

yyxivyxuzf

0

,, . (3.23)

Приклад 3.4 З’ясувати чи існує аналітична функція yxivyxuw ,,

(якщо існує то знайти її) якщо:

а) 22 7 yxyxu ; б) y

xv .

а) Перевіримо умову теореми 3.10, тобто – чи є функція 22 7 yxyxu

гармонічною в області визначення. Для цього знайдемо частинні похідні

першого і другого порядків і перевіримо виконання рівняння Лапласа.

yxx

u72

, xy

y

u72

2

2

2

x

u, 2

2

2

y

u 022

2

2

2

2

y

u

x

u.

Таким чином функція yxu , задовольняє рівнянню Лапласа тотожно, тобто для

будь яких 2, Ryx , а значить існує аналітична функція yxivyxuzf ,, ,

для якої вона є дійсною частиною. Знайдемо невідому спряжену гармонічну

функцію yxv , з умов Коші-Рімана як з системи диференціальних рівнянь з

частинними похідними.

x

v

y

u

y

v

x

u ,

.72

,72

xyx

v

yxy

v

Знайдемо функцію yxv , з точністю до невідомої функції від однієї

змінної x виходячи з першого рівняння системи. Отримаємо

xyxydyyxyxv 2

2

7272, . Для знаходження невідомої функції

x підставимо знайдену функцію yxv , в друге рівняння системи.

xyx

v72

xyxy 722 xx 7 Cxx 2

2

7.

Остаточно для yxv , отримаємо вираз з точністю до довільної сталої C :

Cxyxyyxv 22

2

7

2

72, .

Запишемо аналітичну функцію zf .

zxy

zxy

Cxyxyiyxyxyxivyxuzf0

2222

0 2

7

2

727,,

iCzizCiz

222

2

71

2

7.

б) Аналогічно попередньому пункту перевіримо функцію y

xv на

гармонічність.

yx

u 1

,

2y

x

y

u

0

2

2

x

u,

32

2 2

y

x

y

u

0

232

2

2

2

y

x

y

u

x

u.

З останньої рівності випливає, що дана функція задовольняє рівнянню Лапласа

лише при 0x , 0y , тобто на осі Oy , виключаючи початок координат. Дана

множина не є областю, тому за теоремою 3.10 не існує аналітичної функції

yxivyxuzf ,, , для якої функція y

xv була б уявною частиною.

3.8. Поняття аналітичного продовження функції

Означення 3.10 Якщо виконані наступні умови:

1) функція zf визначена на множині CE ;

2) функція zF аналітична в області ED ;

3) zfzF при Ez .

Тоді функцію zF називають аналітичним продовженням функції zf з

множини E в область D .

Теорема 3.11 (про єдиність аналітичного продовження) Якщо множина

E має граничну точку a , яка належить області D , то аналітичне продовження

zF функції zf з множини E в область D єдине.

Припустимо, що zf має два аналітичних продовження zF1 , zF2 з

множини E в область D . Тоді в силу пункту 3 означення 3.10 на множині E

виконується рівність EzzFzF ,11 , а також за умовою теореми точка

Da є граничною точкою множини E , тоді, згідно з теоремою 3.8 (про

єдиність аналітичної функції) zFzF 11 в області D .

З теореми 3.11 випливає, що функції z z ez cos,sin, є аналітичними

продовженнями дійсних функцій x x ex cos,sin, з дійсної осі (множина E ) в

комплексну площину (область D ). Теорема 3.11 переносить у комплексну

площину всі співвідношення, справедливі для дійсних функцій.

Приклад 3.5. Відновити аналітичну функцію yxivyxuzf ,, , якщо

відомо, що yxyyeyxv x 42sin, , if 50 .

Функція yxv , є гармонічною в 2R тому що задовольняє рівнянню Лапласа

0sinsin2

2

2

2

yeye

y

v

x

v xx , 2, Ryx .

Для відновлення аналітичної функції zf застосуємо метод заснований на

теоремі 3.8 (про єдиність аналітичної функції).

Для знаходження похідної шуканої аналітичної функції за формулою (3.7)

x

vi

y

vzf

достатньо щоб була відома лише іі уявна частина yxv , . Якщо

в отриманій для похідної вираз підставити 0y , то ми отримаємо її вираз на

осі Ox . В силу аналітичності похідної аналітичної функції і теореми 3.8 про

єдиність аналітичної функції отриманий для неї вираз на осі Ox буде

справедливий і у всій комплексній площині, це означає, що у формулі (3.7)

можна зробити формальну заміну zx

yx

vi

y

vzf

0.

Далі, спираючись на теорему про єдиність аналітичної функції, можна

ввести поняття первісної для аналітичних функцій і перенести с дійсної осі у

комплексну площину основні табличні формули для невизначених інтегралів.

Це означає, що функцію zf можна знайти з точністю до довільної сталої,

використовуючи формально звичайні методи інтегрування у невизначеному

інтегралі dzzfzf . Довільну сталу можна визначити за відомим

значенням функції в деякій точці.

Застосуємо цей метод на практиці.

422sin42cos00

zeyyeixyex

vi

y

vzf z

zxy

xx

zxy

Czzedzzedzzfzf zz 442 2 .

Для знаходження сталої C скористаємось умовою if 50 iC 51 .

Звідки iC 51 . Таким чином для аналітичної функції zf отримаємо вираз

izzezf z 5142 .

Запитання і вправи для самоконтролю

1. Яку функцію комплексної змінної називають диференційовною в точці?

2. Сформулюйте необхідні та достатні умови диференційовності функції в

точці.

3. Доведіть формулу для похідної добутку двох функцій.

4. Виведіть умови Коши-Рімана в полярних координатах.

5. Яку функцію комплексної змінної називають аналітичною в точці?

6. Чи можливе існування функції аналітичної лише в одній точці, в

скінченній множині точок?

7. Яку функцію називають гармонічною в області?

8. Яким умовам повинна відповідати пара гармонічних в області функції

для того щоб з них можна було утворити функцію, аналітичну в цій

області?

9. Якій геометричний зміст мають аргумент і модуль похідної функції

комплексної змінної в точці?

10. Яке відображення, що здійснює функція комплексної змінної,

називається конформним?

4. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ.

4.1. Поняття інтеграла від функції комплексної змінної

Нехай функція zf визначена в кожній точці кусково-гладкої кривої AB ,

де A і B – початкова та кінцева точки кривої. Розглянемо розбиття кривої AB

на дуги n ,...,, 21 точками nzzz ,...,, 10 такими, що Az 0 , Bzn (Рис. 4.1):

Рис. 4.1

Позначимо l максимальну з довжин дуг i , ni ,1 . Оберемо на кожній

дузі k точку kz~ і складемо інтегральну суму

k

n

kkkk

n

ikn zzfzzzfS

11

1

~~ , (4.1)

де 1 kkk zzz .

Означення 4.1 Якщо при 0l існує скінченна границя інтегральної

суми (4.1), яка не залежить від способу розбиття кривої AB на дуги k і від

вибору точок kz~ , то цю границю називають інтегралом від функції zf

комплексної змінної z вздовж кривої AB і позначають dzzf

AB

.

Таким чином

k

n

ik

lAB

zzfdzzf 10

~lim . (4.2)

Криву AB називають шляхом інтегрування.

Теорема 4.1 Якщо функція zf неперервна на кусково-гладкій кривій AB

то інтеграл dzzf

AB

існує.

Зауваження. В подальшому будуть розглядатися лише інтеграли вздовж

кусково-гладких кривих від неперервних на них функцій.

Зведемо інтеграл від функції комплексної змінної до двох криволінійних

інтегралів від дійсних функцій.

Для цього покладемо в (4.2) iyxz , yxivyxuzf ,, , kkk iyxz ,

kkk yixz ~~~ , kkk xxx 1 , kkk yyy 1 , kkk yixz тоді отримаємо

kkkk

n

i

kkk

n

i

k yyxvxyxuzzf ~,~~,~~

11

(4.3)

kkkk

n

i

kk yyxuxyxvi

~,~~,~

1

Умова 0l у випадку кусково-гладкої кривої еквівалентна умові

0max,1

knk

z , яка виконується, якщо 0max,1

knk

x і 0max,1

knk

y .

З неперервності zf на кривій AB випливає неперервність дійсних функцій

yxu , , yxv , на цій кривій. З неперервності функцій yxu , , yxv , на кривій

AB випливає існування криволінійних інтегралів dyyxvdxyxu

AB

,, і

dyyxudxyxv

AB

,, , для яких доданки в правій частині формули (4.3) є

інтегральними сумами, тобто існує скінченна границя правої частини (4.3), яка

дорівнює інтегралу dzzf

AB

. Переходячи до границі при 0l в (4.3)

отримаємо формулу

dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf

ABABAB

,,,, . (4.4)

Таким чином існування інтегралу від функції комплексної змінної

рівносильне існуванню двох криволінійних інтегралів від функцій двох дійсних

змінних. Формулу (4.4) можна отримати, якщо покласти yxivyxuzf ,, ,

idydxdz і виділити в інтегралі dzzf

AB

дійсну та уявну частини

підінтегрального виразу.

Якщо відомі параметричні рівняння кривої

tyy

txxAB : , bat , , то для

обчислення інтегралу формула (4.4) прийме наступний вигляд:

b

a

b

aAB

dttytytxutytxvidttytytxvtytxudzzf ],,[],,[ .

При обчисленні інтегралу (4.4) іноді корисно скористатися комплексним

параметричним рівнянням , , ttzz кривої AB , тоді отримаємо

формулу

dttztzfdzzf

AB

(4.5)

для обчислення інтегралу в комплексній формі.

Основні властивості інтегралу.

1. Лінійність:

ABABAB

dzzfbdzzfadzzbfzaf 2121 .

2. Адитивність:

dzzfdzzfdzzf

CBACAB

.

3. Орієнтованість:

dzzfdzzf

BAAB

.

4. Оцінка:

dzzfdzzf

ABAB

, якщо Mzf , ABz , то AB

AB

lMdzzf ,

де ABl – довжина кривої AB .

Приклад 4.1. Обчислити інтеграл AB

zdzz Re вздовж двох шляхів:

а) AB : відрізок прямої, що з’єднує точки 0,0A і 1,1B ;

б) AB : дуга параболи з вершиною у початку координат, що з’єднує точки

0,0A і 1,1B ;

а) пряма AB має рівняння 1,0 , xxy . Будемо вважати незалежну

змінну x параметром і перейдемо до визначеного інтегралу, скориставшись

формулою (4.4)

AB ABABAB

dyxxydxixydydxxidydxxiyxzdzz 22Re

iixdxxidxxxidxxx3

2

0

1

3

22 3

1

0

1

0

1

0

22222 ;

б) парабола AB має рівняння 1,0 ,2 xxy , в цьому випадку отримаємо

1

0

331

0

4222 22Re dxxxidxxxdyxxydxixydydxxzdzz

AB ABAB

4

3

15

1

0

1

4

3

0

1

5

2

3

453

ix

ixx

.

Приклад 4.2. Обчислити інтеграл dzzzn

L

0 , де RzzL 0 : , Zn .

Скористаємось параметричним рівнянням кола L у комплексній формі

2 ,0 ,z-z : 0 teRL it . Підставимо це рівняння в формулу (4.5).

Отримаємо

2

0

112

0

0 dteiRdtRieeRdzzz tninitintnn

L

.

Останній інтеграл дорівнює нулю при будь якому цілому 1n , дійсно

.1 ,01

1

1

0

2

1

1 1212

0

1

neni

eni

dte nitnitni

Розглянемо випадок, коли 1n . Отримаємо

idtizz

dz

L

2

2

00

.

В прикладі 4.2 ми отримали важливу у застосуваннях формулу, запишемо

її окремо.

1 ,2

1 ,00

ni

ndzzz

n

L

, де RzzL 0 : , Zn . (4.6)

Відзначимо, що результат в формулі (4.6) не залежить від радіуса кола L .

4.2. Інтегральні теореми Коші

Теорема 4.2 (теорема Коші для однозв’язної області) Якщо функція zf

є аналітичною в однозв’язній області D і на контурі L , що обмежує область D ,

то 0 dzzf

L

.

Нагадаємо, що криволінійний інтеграл dyyxQdxyxP

L

,, не

залежить від шляху інтегрування в однозв’язній області тоді і тільки тоді, коли

функції yxP , і yxQ , неперервні в цій області разом зі своїми частковими

похідними і задовольняють умові

x

Q

y

P

. (4.7)

З аналітичності zf в D випливає неперервність на цій множині функцій

yxu , , yxv , , і їх часткових похідних, а також виконання умов Коші-Рімана

x

v

y

u

y

v

x

u

, .

Розглянемо тепер інтеграл

dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf

LLL

,,,, .

Перша умова Коші-Рімана співпадає з (4.7) при yxvP , і yxuQ , , це

означає рівність нулю другого інтегралу в праві частині останньої рівності.

Друга умова приймає вигляд (4.7) при yxuP , і yxvQ , , це означає

рівність нулю першого інтегралу в правій частині рівності.

Теорема 4.3 (теорема Коші для многозв’язної області) Нехай

многозв’язна область D обмежена зовнішнім простим кусково-гладким

контуром 0L і внутрішніми кусково-гладкими контурами nLLL ,...,, 21 . Якщо

функція zf є аналітичною в замкненій області D , то

n

k LL

dzzfdzzf

k1

0

.

Розглянемо многозв’язну область D , визначену умовами теореми 4.3.

(див. Рис. 4.2).

Для доведення твердження теореми побудуємо розрізи області D кривими

n ,..., , 21 , що з’єднують послідовно контури ,..., , 10 nLLL (Рис. 4.2).

При цьому многозв’язна область

D перетвориться у однозв’язну

область *D , яка обмежена

складеним замкненим контуром *L , що складається з замкнених

контурів ,..., , 10 nLLL і дуг кривих

n ,..., , 21 . При додатному обході

контуру *L замкнені контури

,..., , 21 nLLL будуть мати напрям Рис. 4.2

обходу за годинниковою стрілкою, а кожна з кривих n ,..., , 21 буде

проходитися двічі в протилежних напрямах. Для отриманої таким чином

однозв’язної області *D будуть виконані всі умови теореми 4.2, за якою

отримаємо 0*

dzzf

L

. Звідси, враховуючи властивості адитивності і

орієнтованості інтегралу і беручи до уваги, що інтеграли уздовж кривих

n ,..., , 21 взаємно знищуються, отримаємо

00* 11

0 0

L

n

k LL

n

k LL kk

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf .

Приклад 4.3 Обчислити інтеграл від функції zf уздовж астроїди, що

задана параметричними рівняннями 2 ,0 ,sin ,cos 33 ttaytax (Рис 4.3),

якщо контур проходиться проти годинникової стрілки, а функція має вигляд: а)

zzzf cos ; б) z

zf1

.

а) Підінтегральна функція zzzf cos

є аналітичною у всій комплексній

площині як добуток елементарних,

аналітичних при Cz функцій

zzfzzf cos , 21 (див. теореми 3.3,

3.4). З аналітичності підінтегральної

функції в однозв’язній області, що

обмежена астроїдою за теоремою Коші

для однозв’язної області (теорема 4.2)

випливає, що

L

zdzz 0cos .

б) В даному випадку не можливо скористатися теоремою Коші для

однозв’язної області, тому що аналітичність підінтегральною функції z

zf1

порушується в точці 0z , яка належить області, що обмежена астроїдою.

Побудуємо в цій області коло z , таким чином щоб воно не перетиналося з

астроїдою (Рис. 4.3). Для двохзв’язної області, що обмежена астроїдою і колом,

виконуються умови теореми Коші для многозв’язної області (теорема 4.3), за

якою, враховуючи результат прикладу 4.2, отримаємо iz

dz

z

dz

zL

2 .

Рис. 4.3

4.3. Незалежність інтегралу від шляху інтегрування

Теорема 4.4 Якщо функція zf є аналітичною в однозв’язній області D

то для будь яких двох точок DBA , інтеграл вздовж контуру , що з’єднує

точки BA, не залежить від вибору контуру, який належить області D , а

залежить лише від положення точок BA, .

Розглянемо дві довільні прості криві 1 і 2 , що з’єднують точки BA,

(Рис. 4.4). Ці криві утворюють замкнений контур 21 L , інтеграл уздовж

якого дорівнює нулю за теоремою Коші для однозв’язної області, що він

обмежує. Таким чином маємо

BABAABL BA

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf

2121

0 .

Рис. 4.4

В силу довільного вибору кривих 1 і 2 , з останньої рівності і випливає

твердження теореми

BABA

dzzfdzzf

21

.

Теорема 4.5 Нехай функція zf є неперервною в однозв’язній області D ,

і інтеграл від zf вздовж будь-якої кусково-гладкої кривої, що належить D ,

залежить лише від положення початкової і кінцевої точок. Тоді для будь якої

точки Dz 0 функція

dfzF

z

z0

, Dz (4.8)

є аналітичною в області D і zfzF .

Теорема 4.6 (формула Ньютона-Лейбніца) Нехай функція zf є

аналітичною в однозв’язній області D і zF – деяка її первісна в цій області,

тобто zfzF , Dz . Тоді

DzzzFzFdzzf

z

z

2112 , ,2

1

.

Приклад 4.4 Обчислити інтеграл AB

z zdze 5cos , де AB – відрізок прямої,

що з’єднує точки 0,0A і 2,1B .

Підінтегральна функція є аналітичної у всій комплексній площині, тому

інтеграл не залежить від шляху інтегрування, який з’єднує початкову і кінцеву

точки. Застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца.

0

21

22

11

2

1

25cos

221

0

221

0

iz

edzedz

eeezdze

ziz

i zzz

AB

z

4

44sin

4

14cos414sin4cos

4

1142

4

1 22242

ei

eiieie i .

4.4. Інтегральна формула Коші

Теорема 4.7 Нехай функція zf є аналітичною в однозв’язній області D і

на контурі L , що обмежує область D . Тоді для будь якої точки Dz 0 є

справедливою формула

dzzz

zf

izf

L

00

2

1. (4.9)

Підінтегральна функція

0zz

zf

є аналітичною у всіх точках області D

крім точки 0z .

Розглянемо коло 1L досить малого

радіуса, яке оточує точку 0z (Рис. 4.5). За

теоремою Коші для многозв’язної

області, маємо

dz

zz

zfdz

zz

zf

LL

1

00

.

З аналітичності функції zf в області D

випливає її неперервність в точці 0z , тобто :00

00 zfzf zz .

Враховуючи результат прикладу 4.2 можна записати

dzzz

zf

izz

dz

izfzf

LL

110

0

000

2

1

2

1.

Оберемо радіус r кола 1L таким чином, що r і оцінимо модуль різниці

Рис. 4.5

ir

rdz

zz

zfzf

idz

zz

zf

izf

LL2

2

2

1

2

1

110

0

00 .

Останнє співвідношення означає, що різниця

dzzz

zf

izf

L

10

02

1 є

нескінченно малою при r . З іншого боку ця різниця є сталою, в силу

незалежності інтегралу від радіуса кола, тобто дорівнює нулю.

Праву частину рівності (4.9) називають інтегралом Коші, а саму формулу

(4.9) – інтегральною формулою Коші.

Інтегральна формула Коші дозволяє для аналітичної в замкненій області D

функції знаходити її значення в будь якій точці Dz 0 , якщо відомі значення

цієї функції на контурі L .

При обчисленні інтеграла L

dzz інтегральну формулу Коші

застосовують за наступною схемою.

1) Якщо функція z є аналітичною в однозв’язній області D і на контурі

L , що її обмежує, то

0L

dzz .

2) Якщо в однозв’язній області D аналітичність функції z порушується

в точці 0z і її можна представити у вигляді

0zz

zfz

, де zf є аналітичною

в D , то в силу (4.9)

L L

zifdzzz

zfdzz 0

0

2 .

3) Якщо в області D існує скінченна кількість особливих точок nzzz ,...,, 21

функції z , причому ця функція має вигляд

nzzzzzz

zfz

...21

, де

zf є аналітичною в D , то за теоремою Коші для многозв’язної області, маємо

L

n

k Lk

dzzdzz1

,

де nLLL ,...,, 21 – замкнені контури, які оточують точки nzzz ,...,, 21 , не

перетинаються між собою і з контуром L . Для кожного інтегралу в правій

частині останньої рівності справедлива формула (4.9)

kk L

kkk

k

L

zifdzzz

zfdzz 2 ,

де

nkkk

zzzzzzzz

zfzf

...... 111

є функцією аналітичною в

області, що обмежує контур kL .

Приклад 4.5. Обчислити інтеграл dzz

z

L

1

cos2

, де контур L – коло: а) 3

1z ;

б) 3

1 iz ; в)

2

3z .

а) Підінтегральна функція є аналітичною в замкненому крузі 3

1z (див.

Рис. 4.6, а), тому, за теоремою Коші для однозв’язної області, інтеграл

дорівнює нулю.

а б в

Рис. 4.6

б) Область, що обмежена контуром 3

1 iz містить точку iz , у якій

аналітичність підінтегральної функції порушується в силу того, що її знаменник

обертається в нуль (див. Рис. 4.6, б). Для того щоб застосувати до цього

інтегралу інтегральну формулу Коші потрібно розкласти знаменник

підінтегральної функції на множники і виділити функцію, яка буде

аналітичною в крузі 3

1 iz . Представимо підінтегральну функцію у вигляді

iz

z

izz

z

cos1

1

cos2

.

В силу аналітичності функції iz

z

cos в замкненому крузі

3

1 iz ,

використовуючи інтегральну формулу Коші (4.9), отримаємо

.1ch2

cos2

cos2

cos1

1

cos

3

1

3

12

i

ii

iziz

zidz

iz

z

izdz

z

z

iziz

в) В цьому випадку область, що обмежена контуром 2

3z містить дві

особливі точки iz 1 , iz 2 підінтегральної функції. Для того, щоб

скористатися інтегральною формулою Коші застосуємо спочатку інтегральну

теорему Коші для многозв’язної області. Оточимо особливі точки контурами 1

і 2 , так щоб вони не перетиналися між собою і з колом 2

3z (в якості

контурів 1 і 2 можна взяти кола з центрами у особливих точках досить малих

радіусів). Якщо видалити з області обмеженої колом 2

3z контури 1 і 2

разом з областями, що вони обмежують, то отримаємо трьохзв’язну область, у

якій підінтегральна функція буде аналітичною (див. Рис. 4.6, в). Тоді за

теоремою Коші для многозв’яної області, отримаємо

dzz

zdz

z

zdz

z

z

z

211

cos

1

cos

1

cos22

2

32

.

До кожного з цих інтегралів застосуємо інтегральну формулу Коші.

1chcos

2cos1

1

cos

11

2

iziz

zidz

iz

z

izdz

z

z,

1chcos

2cos1

1

cos

22

2

iziz

zidz

iz

z

izdz

z

z.

Остаточно отримаємо

01ch1ch1

cos

2

32

dzz

z

z

.

Теорема 4.8 Якщо функція zf є аналітичною в деякому околі 0zU

точки 0z , то вона має в цій точці похідну будь-якого порядку, яка виражається

формулою

dz

zz

zf

i

nzf

Ln

n

10

02

!, (4.10)

де L – будь який простий замкнений контур, що оточує точку 0z і належить

0zU .

Для доведення застосуємо метод математичної індукції. Доведемо

спочатку твердження теоремі при 1n , тобто перевіримо рівність

dz

zz

zf

izf

L

2

0

02

1.

Запишемо означення похідної функції zf в точці 0z .

h

zfhzfzf

h

00

00 lim

.

Для обчислення значень функції zf в точках hz 0 і 0z скористаємось

інтегральною формулою Коші (формула 4.9), причому, враховуючи, що h може

бути як завгодно малим, контур інтегрування L можна обрати однаковим в

обох випадках.

L

dzhzz

zf

ihzf

00

2

1,

L

dzzz

zf

izf

00

2

1.

Доведемо, що

dz

zz

zf

ih

zfhzf

Lh

20

00

0 2

1lim .

Для цього оцінимо модуль різниці

LL

dzzzhzz

zhf

ihdz

zz

zf

ih

zfhzf

002

0

00

2

1

2

1

LL

dzzfzzzzhzz

dzzz

zf

i 2000

20

11

2

1

2

1

LL

dzzzhzz

zfhdzzf

zzhzz

h2

002

0022

1

0

22 200

L

L

lhm

Mhdz

zzhzz

zfh, при 0h .

Останню нерівність отримали, враховуючи наступні твердження:

1) функція

20zz

zf

неперервна на контурі L , який є обмеженою

замкненою множиною, тому досягає на цьому контурі свого найбільшого

значення 0M ;

2) функція 0zz також неперервна на L , тому досягає свого мінімального

значення 0m ;

3) будемо вважати, що mh , тоді буде виконуватися нерівність

hmhzzhzz 00 .

4) з тверджень 1-3 випливає, що для модуля під інтегралом буде

справедлива оцінка

hm

M

zzhzz

zf

2

00

.

Таким чином, ми довели, що

0

2

12

0

00

dzzz

zf

ih

zfhzf

L

, при 0h .

Звідки випливає, що

dz

zz

zf

ih

zfhzfzf

Lh

2

0

00

00

2

1lim .

Тобто твердження теореми доведено при 1n .

Припустимо тепер, що формула (4.10) справедлива при kn . Доведемо,

що з цього випливає її справедливість при 1 kn :

dz

zz

zf

i

kzf

Lk

k

20

01

2

!1.

Виразимо похідну 0

1 zf k наступним чином:

h

zfhzfzfzf

kk

h

kk 00

000

1 lim

.

Застосуємо формулу (4.10) при kn до функцій hzf k 0 і

0zf k :

dz

hzz

zf

i

khzf

Lk

k

10

02

!,

dz

zz

zf

i

kzf

Lk

k

10

02

!.

dzzfzzhzz

hzzzz

i

kzfhzf

Lkk

kkkk

10

10

10

10

002

!

dzzfzzhzz

hzzhzzzzzzh

i

k

Lkk

kkk

10

10

001

00 ...

2

!.

Оцінимо модуль різниці:

dzzz

zf

i

kzf

Lk

k

20

01

2

!1

dzzfzzhzz

hzzhzzzzzz

i

k

Lkk

kkk

10

10

001

00 ...

2

!

dzzz

zf

i

k

Lk 2

02

!1

Lkk

kkkk

dzzfzzhzz

hzzkhzzzzhzzzzzzk

20

10

100000

10 1...

2

!

Lkk

kk

kk

dzzfzzhzz

hAzzhAzzhAk2

01

0

11

10

2201 ...

2

!,

де constAi , 1,1 ki .

В силу властивості функцій, неперервних на обмеженій замкненій

множині, якою є контур L , будуть виконуватися нерівності

M

zz

zfk

20

, 201 mzzm , Lz .

Обираючи 1mh і враховуючи, що hmhzzhzz 100 ,

отримаємо оцінку для інтегралу

L

kk

kk

kk

dzzfzzhzz

hAzzhAzzhA2

0

1

0

11

1

02

201 ...

Lk

k

kk

lMhm

hAmAh

1

1

1

121 ...,

де Ll – довжина кривої L .

В силу цієї оцінки, маємо:

dzzz

zf

i

kzf

L

k

k

2

0

01

2

!1

0

...1

1

1

121

Lk

k

kk

lMhm

hAmAh, при 0h .

Звідки і отримуємо твердження теореми при 1 kn .

Формулу (4.10) називають узагальненою інтегральною формулою Коші і

застосовують для обчислення інтегралів від функцій, що мають вигляд

10

n

zz

zfz , де zf є аналітичною в замиканні D деякої однозв’язної

області D , яку обмежує простий замкнений контур L , а Dz 0 .

Приклад 4.6. Обчислити інтеграл

dzzz

z

L

22 1

sh, вздовж кола L : 2z .

В області, що обмежує контур L , знаходяться три особливі точки

підінтегральної функції 01 z , iz 2 , iz 3 . Оточимо кожну цих особливих

точок контурами 1 , 2 і 3 , так щоб вони не перетиналися між собою і з

контуром L (див. Рис. 4.7). Тоді підінтегральна функція буде аналітичною на

замиканні чотирьохзв’язної області D (на Рис. 4.7 вона виділена).

Згідно з теоремою Коші для многозв’язної

області

dzzz

zdz

zz

z

L 1

2222 1

sh

1

sh

dz

zz

zdz

zz

z

3

22

2

22 1

sh

1

sh.

Обчислимо кожен з інтегралів окремо.

Контур 1 оточує лише одну особливу

точку 01 z , тому функція 1

sh2 z

z буде

аналітичною в області, яка обмежена цим

контуром. Застосуємо формулу (4.10) при 1n :

Рис. 4.7

izz

zzzzi

zz

zidz

z

z

z

201

sh21ch2

01

sh2

1

sh122

2

222

1

.

Контур 2 оточує лише одну особливу точку iz 2 , тому функція 2

sh

ziz

z

буде аналітичною в області, яка обмежена цим контуром. Застосуємо в цьому

випадку формулу (4.9):

1sinsh

sh2

sh122

2

iiizziz

zidz

ziz

z

iz

.

Контур 3 оточує лише одну особливу точку iz 2 , тому функція

2

sh

ziz

z

буде аналітичною в області, яка обмежена цим контуром. Застосуємо і

в цьому випадку формулу (4.9):

1sinsh

sh2

sh122

3

iiizziz

zidz

ziz

z

iz

.

Таким чином, остаточно отримаємо:

1sin121sin1sin2

1

sh22

iiiidzzz

z

L

.

4.5. Достатні умови аналітичності функції

Теорема 4.9 (теорема Морери). Нехай функція zf неперервна в

однозв’язній області D і інтеграл від zf вздовж будь якого замкненого

контуру, що належить D , дорівнює нулю. Тоді функція zf аналітична в

області D .

Теорема 4.10 Якщо функція zf неперервна на замиканні D однозв’язної

області D , що обмежена замкненим контуром L , і для будь якого Dz

виконується рівність

L

dz

f

izf

2

1, (4.11)

то функція zf аналітична в області D .

Інтеграл в правій частині (4.11) називають інтегралом типу Коші.

Запитання і вправи для самоконтролю

1. Надайте означення інтегралу від функції комплексної змінної.

2. Який зв'язок має інтеграл від функції комплексної змінної з

криволінійним інтегралом другого роду від функції дійсної змінної?

3. Виведіть формулу для обчислення інтегралу, якщо контур інтегрування

заданий явним рівнянням.

4. Доведіть основні властивості інтегралу від функції комплексної змінної.

5. Сформулюйте і доведіть інтегральні теореми Коші.

6. Яким умовам повинна відповідати підінтегральна функція для того щоб

інтеграл не залежав від шляху інтегрування?

7. Запишіть інтегральну формулу Коші.

8. Сформулюйте і доведіть теорему про нескінченну диференційовність

аналітичної функції.

9. Чим відрізняється інтеграл Коші від інтегралу типу Коші?

3. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Номер варіанта завдання студент обирає за номером у списку в журналі.

Робота виконується українською або російською мовами в письмовій формі,

бажано в зошиті у клітинку. Необхідно залишати поля для приміток. На

титульному аркуші роботи потрібно вказати назву предмета, напрям

підготовки, групу та курс, прізвище, ім’я та по-батькові студента, прізвище

викладача, який приймає роботу.

При виконанні завдання можна використовувати як лекційний матеріал та

матеріал практичних занять, так і додаткову літературу. Перед виконанням

завдань рекомендується спочатку вивчити відповідний теоретичний матеріал,

потім уважно ознайомитись з розв’язаними задачами, наведеними у даному

навчальному посібнику і тільки після цього переходити до виконання власне

індивідуального завдання.

При оцінюванні роботи показником її якості є перш за все те, наскільки

студент самостійно і правильно розв’язав поставлені задачі та зрозумів зміст

отриманих розв’язків. З цією метою при захисті індивідуального завдання

студенту можуть бути задані додаткові питання, в тому числі і з теоретичного

матеріалу, який виноситься на залік або іспит.

Робота, яка відповідає зазначеним вимогам, подається на кафедру

викладачу для перевірки до початку відповідної сесії або модульного контролю

та наступного захисту у формі співбесіди у визначений термін. При захисті

контрольної роботи студент повинен вміти:

викласти зміст поставлених задач та обґрунтувати їх розв’язання;

відповісти на запитання щодо змісту одержаних розв’язків;

відповісти на додаткові питання.

5.1. Завдання №1 – Комплексна площина

1. Спростити вираз. Відповідь записати в алгебраїчній формі:

ziz ImRe .

1) а) ii 32212

; б)

i

i

i

i

21

21

21

2133

; в)

232

1

bia .

2) а) 213520 ii ; б)

i

i

i

i

21

2

21

233

; в)

23

1

ia .

3) а) 3221192 ii ; б)

i

i

i

i

41

6

41

633

; в)

225

1

ia .

4) а) 33158 ii ; б)

i

i

i

i

2121

1515

; в)

25

1

iab .

5) а) 334233 ii ; б)

i

i

i

i

1

5

1

533

; в) 2

1

ib .

6) а) ii 33232

; б)

21

2

21

222

i

i

i

i

; в)

27

1

bia .

7) а) 22477 ii ; б)

2

4

2

422

ii

i

ii

i

; в)

25

1

bia .

8) а) 225611 ii ; б)

i

i

i

i

5

12

5

1233

; в) 2

1

abib .

9) а) ii 9214

; б)

i

i

i

i

3

121233

; в)

24

1

bia .

10) а) 22410 ii ; б)

i

i

i

i

2

1

2

144

; в)

24

1

aib .

11) а) 223252 ii ; б)

21

22

21

2233

i

i

i

i

; в)

210

1

bia .

12) а) 2114214 ii ; б)

23

23

23

2333

i

i

i

i

; в)

223

1

iab

.

13) а) 3333 ii ; б)

i

i

i

i

1

34

1

3433

; в)

23

1

iaba

.

14) а) 221515 ii ; б)

i

i

i

i

22

1313

; в)

233

1

iba

.

15) а) 33421 ii ; б)

i

i

i

i

1

5

1

533

; в)

22 3

1

ib

.

16) а) ii 4552

; б)

i

i

i

i

51

2

51

244

; в)

27

1

aib .

17) а) 22366 ii ; б)

3

3

3

322

ii

i

ii

i

; в)

29

1

iab .

18) а) 22367 ii ; б)

i

i

i

i

3

34

3

3433

; в) 23

1

ib .

19) а) ii 214

; б)

i

i

i

i

5

10

4

1033

; в)

234

1

ia

.

20) а) 221414 ii ; б)

42

4

2

3

6

3

6

i

i

i

i

; в)

235

1

aiba

.

2. Обчислити за формулами Муавра. Для прикладів а) і б) відповідь

записати в тригонометричній, показниковій та алгебраїчній формі. У прикладі

в) надати геометричну інтерпретацію.

1) а)

101

2

3

2

1

i ; б)

325

4cos

4sin

i ; в) 6 44 i .

2) а)

89

2

1

2

1

i ; б)

125

4sin

4cos

i ; в) 8 22 i .

3) а) 455 i ; б)

225

4sin

4cos

i ; в) 6 33 i .

4) а)

120

2

3

2

1

i ; б)

25

4cos

4sin

i ; в) 8 1 i .

5) а) 533 i ; б)

175

6cos

6sin

i ; в) 6 22 i .

6) а)

145

2

3

2

1

i ; б)

124

6sin

6cos

i ; в) 8 44 i .

7) а) 722 i ; б)

305

6sin

6cos

i ; в) 6

2

1

2

1i .

8) а)

190

2

1

2

1

i ; б)

65

6cos

6sin

i ; в) 8 1 i .

9) а) 41111 i ; б)

117

3cos

3sin

i ; в) 6

4

1

4

1i .

10) а)

189

2

3

2

1

i ; б)

145

3sin

3cos

i ; в) 8 55 i .

11) а) 366 i ; б)

76

3sin

3cos

i ; в) 6

3

1

3

1i .

12) а)

150

2

1

2

3

i ; б)

88

3cos

3sin

i ; в) 8 33 i .

13) а) 566 i ; б)

15

6

5cos

6

5sin

i ; в) 6 88 i .

14) а)

6

3

1

3

1

i ; б)

324

6

5cos

6

5sin

i ; в) 8 33 i .

15) а) 444 i ; б)

154

6

5sin

6

5cos

i ; в) 6 33 i .

16) а)

70

2

3

2

1

i ; б)

75

4cos

4sin

i ; в) 6

5

1

5

1i .

17) а)

18

2

1

2

1

i ; б)

87

4sin

4cos

i ; в) 8 22 i .

18) а) 477 i ; б)

54

4sin

4cos

i ; в) 6 33 i .

19) а)

99

2

3

2

1

i ; б)

14

4cos

4sin

i ; в) 8 22 i .

20) а) 333 i ; б)

44

6cos

6sin

i ; в) 4 22 i .

3. Розв’язати рівняння.

1) а) 022 izz ; б) 025 zz ; в) 0224 izz .

2) а) 0332 zz ; б) 04 zz ; в) 045 24 zz .

3) а) 0)1(13)27(2 iziz ; б) 016 5 zz ;

в) 0125100204 234 zzzz .

4) а) 01720)9(2 iziz ; б) 027 4 zz ;

в) 0500200952 234 zzzz .

5) а) 02098)220(2 iziz ; б) 0625 5 zz ;

в) 060263 234 zzzz .

6) а) 0812)7(2 iziz ; б) 0729 25 zz ;

в) 058145714 234 zzzz .

7) а) 022)2(2 iziz ; б) 0125 36 zz ;

в) 01006834 234 zzzz .

8) а) 018662 iziz ; б) 08 35 zz ; в) 01112 24 zz .

9) а) 05332 iziz ; б) 0246 zzz ; в) 067 24 zz .

10) а) 062 izz ; б) 013 z ; в) 0601414 234 zzzz .

11) а) 02452 izz ; б) 027 69 zz ; в) 01023197 234 zzzz .

12) а) 035)32(2 iziz ; б) 083 z ;

в) 0202147 234 zzzz .

13) а) 04662 izz ; б) 0216 69 zz ;

в) 020137 234 zzzz .

14) а) 0205)44(2 iziz ; б) 027 69 zz ;

в) 01201466914 234 zzzz .

15) а) 01520)3(2 iziz ; б) 0625 62 zz ;

в) 0136302510 234 zzzz .

16) а) 0103362 iizz ; б) 0512 25 zz ;

в) 085108204 234 zzzz .

17) а) 0485942 iizz ; б) 0644 zz ;

в) 0312165414 234 zzzz .

18) а) 04713472 iziz ; б) 05 zz ;

в) 0234901710 234 zzzz .

19) а) 0545412 iziz ; б) 0729 4 zz ;

в) 09176124 234 zzzz .

20) а) 01515232 iziz ; б) 0256 5 zz ;

в) 0875230610 234 zzzz .

4. В координатному просторі 3R знайти координати проекції на сферу

Рімана точок розширеної комплексної площини: 1z , 2z , 3z , 4z . Обчислити

відстані між точками 21, zz , а також 43, zz в евклідовій та сферичній метриці.

1) iz 211 , iz 2 , 03 z , 4z .

2) iz 491 , iz 12 , 63 z , iz 324 .

3) iz 31 , 42 z , iz 23 , iz 74 .

4) iz 5101 , iz 32 , iz 283 , iz 94 .

5) 01 z , iz 122 , iz 263 , 4z .

6) iz 331 , iz 22 , 103 z , iz 24 .

7) iz 41 , iz 52 , iz 293 , iz 44 .

8) iz 351 , iz 82 , iz 513 , iz 234 .

9) iz 241 , iz 422 , 123 z , iz 454 .

10) iz 71 , iz 282 , iz 33 , 4z .

11) iz 541 , iz 92 , 73 z , iz 354 .

12) iz 381 , 02 z , iz 113 , iz 234 .

13) iz 291 , iz 652 , iz 363 , iz 574 .

14) iz 31 , iz 52 , iz 623 , iz 754 .

15) iz 521 , iz 62 , iz 23 , 4z .

16) iz 481 , iz 372 , iz 13 , iz 34 .

17) iz 251 , iz 432 , iz 53 , iz 864 .

18) iz 741 , iz 62 , iz 23 , iz 754 .

19) iz 31 , iz 82 , iz 33 , iz 534 .

20) iz 21 , iz 632 , iz 553 , 4z .

5. Побудувати на комплексній площині криві, які задані параметричним

рівнянням tzz , вказати напрям обходу, що відповідає зростанню параметра.

1) а) 21 ittz , 1;1t ; б) titz 2sin2cos , ;t ;

в) itez 6 2 , ;0t .

2) а) titz 1 , 1;0t ; б)

3sin

3cos2

ti

tz , 2;0t ;

в) itez 3 3 , ;0t .

3) а) 332 ittz , 1;1t ; б) titz 9sin9cos , ;t ;

в) 125 itez , ;0t .

4) а) tietz 4 , 1;1t ; б) titz 4sin4cos3 , ;t ;

в) 111 itez , ;0t .

5) а) titz sin2

, 0;t ; б) titz 7sin7cos , ;t ;

в) itez 3 4 , ;0t .

6) а) titz tg2 , 0;t ; б) titz 3sin3cos8 , ;t ;

в) 225 itez , ;0t .

7) а) 2tietz , 1;0t ; б) titz 5sin5cos , ;t ;

в) 17 itez , ;0t .

8) а) 225 ittz , 1;1t ; б) titz 6sin6cos5 , ;t ;

в) 324 itez , ;0t .

9) а) titz 443 , 1;1t ; б) titz 4sin4cos , ;t ;

в) 28 itez , ;0t .

10) а) 31 ittz , 1;1t ; б) titz 2sin2cos6 , ;t ;

в) 3

16 itez , ;0t .

11) а) 2626 titz , 1;1t ; б) titz 2sin2cos , ;0t ;

в) 43 itez , ;0t .

12) а) 344 titz ,

1;

4

3t ; б)

2sin

2cos2

ti

tz , 2;0t ;

в) 135 itez , ;0t .

13) а) 3757 titz , 1;1t ; б) titz 9sin9cos , ;0t ;

в) 2 itez , ;0t .

14) а) tietz 5 , 1;1t ; б) titz 4sin4cos3 , ;0t ;

в) 353 itez , ;0t .

15) а) titz cos , 0;t ; б) titz 7sin7cos , ;0t ;

в) 2

124 itez , ;0t .

16) а) titz ctg3 ,

0;

2t ; б) titz 3sin3cos8 , ;0t ;

в) itez 6 2 ,

2

3;

2t .

17) а) 2tietz , 1;0t ; б) titz 5sin5cos , ;0t ;

в) itez 3 3 ,

;

2t .

18) а) 222 ittz , 1;1t ; б) titz 6sin6cos5 , ;0t ;

в) 125 itez ,

2;0t .

19) а) titz 54 , 1;1t ; б) titz 4sin4cos , ;0t ;

в) 111 itez ,

2;

2t .

20) а) 31 ittz , 1;1t ; б) titz 2sin2cos6 , ;0t ;

в) itez 3 4 ,

;

4t .

6. Побудувати на комплексній площині множину, що визначається

наступними умовами. Для завдань б), в), г) з’ясувати чи є ця множина областю,

відповідь обгрунтувати.

1) а) 932 zz ; б) 2

511 iz ;

в) 3)Re(1 iz ; г) 42

3

2

3arg

3

iz .

2) а) 22

5

2

5 zz ; б) 4932 iz ;

в) 6)2Im(2

1 z ; г)

32

5

2

1arg

6

5

iz .

3) а) 1)3Re(2 iziz ; б) 14

1

3

1 iz ;

в) 6)1Re( iz ; г) 2

26arg2

iz .

4) а) 432 iz ; б) 2564

1 iz ;

в) 6)1Im( iz ; г) 3

73arg4

iz .

5) а) 521 zz ; б) 422

13

iz ;

в) 5)Re(0 zi ; г) 23

2

3

1arg

3

iz .

6) а) 22

5

2

7 zz ; б) 1

4

3

3

1

2

1 iz ;

в) )2Im(4 zi ; г) 44

3

4

1arg

6

iz .

7) а) 1)4Re(2 iziz ; б) 577

14

iz ;

в) 6)2Re( iz ; г) 6

551arg

4

3

iz .

8) а) 362 iz ; б) 3

2

8

1

6

1 iz ;

в) 5)7Im(0 z ; г)

iz 78arg3

2.

9) а) 1125 zz ; б) 330 iz ;

в) 1)32Re( zi ; г) 055

6arg

iz .

10) а) 22

7

2

7 zz ; б)

2

12

5

1 z ;

в) 3)1Im(2 iz ; г) 4

22

1arg0

iz .

11) а) 2)3Re(6 iziz ; б) 614 iz ;

в) 512

Re

i; г)

3

273arg

4

iz .

12) а) 22

31 iz ; б) 222

4

3 iz ;

в) 34Im3 iz ; г)

iz 85arg2

.

13) а) 713 zz ; б) 3323

2 iz ;

в) 0Re4 izi ; г) 03

5

3

7arg

2

iz .

14) а) 111 zz ; б) 425

1

2

5 iz ;

в) 625Im izi ; г) 4

23

4arg

3

iz .

15) а) 3)2Re(2

izi

z ; б) 544

1

3

4

iz ;

в) 37Re0 iz ; г) 4

35arg

iz .

16) а) 431 iz ; б) 796 iz ;

в) 433Im iz ; г) 4

7arg6

z .

17) а) 1043 zz ; б) 462 iz ;

в) 423Re 2 izz ; г) iz 33arg0 .

18) а) 122 zz ; б) 361 z ;

в) 62Im 2 izz ; г)

iz 65arg6

5.

19) а) 4)3Re( iziz ; б) 423 z ;

в) 36Re1 z ; г) 091arg3

2

iz .

20) а) 3

122 iz ; б) 4651 iz ;

в) 15Im4 iz ; г) 3

2arg4

iz .

5.2. Завдання №2 – Функції комплексного змінного

1. При відображенні z

w1

знайти образ кривої, яка визначена рівнянням:

1) а) 3z ; б) 2)Re( z ; в) 4

arg

z .

2) а) 11 z ; б) 2

1)Re( z ; в) zarg .

3) а) 7z ; б) 4)Re( z ; в) 7

2arg

z .

4) а) 55 z ; б) 7

1)Re( z ; в)

5

3arg

z .

5) а) 2

5z ; б) 3)Re( z ; в)

6

5arg

z .

6) а) 22 z ; б) 11)Re( z ; в) 2

arg

z .

7) а) 8z ; б) 3

1)Re( z ; в)

7

4arg

z .

8) а) 2

3

2

3z ; б) 6)Re( z ; в)

11

3arg

z .

9) а) 10z ; б) 9)Re( z ; в) 9

2arg

z .

10) а) 66 z ; б) 8)Re( z ; в) 8

3arg

z .

11) а) 1z ; б) 14)Re( z ; в) 3

2arg

z .

12) а) 77 z ; б) 10

1)Re( z ; в)

10arg

z .

13) а) 8

7z ; б)

5

4)Re( z ; в)

7arg

z .

14) а) 44 z ; б) 7

3)Re( z ; в)

5arg

z .

15) а) 4

7z ; б)

5

2)Re( z ; в)

7

5arg

z .

16) а) 88 z ; б) 9

4)Re( z ; в)

9arg

z .

17) а) 9

8z ; б)

6

7)Re( z ; в)

10

3arg

z .

18) а) 2

11

2

11z ; б) 12)Re( z ; в)

11

8arg

z .

19) а) 11

8z ; б)

4

9)Re( z ; в)

9

5arg

z .

20) а) 3

1

3

1z ; б)

3

5)Re( z ; в)

8

7arg

z .

2. Записати в алгебраїчній формі значення функцій:

1) а) 5lnsin i ; б) ith ; в)

2ch i .

2) а) 7ln2cos i ; б)

4

7cth i ; в) 2lnsh .

3) а) 6lntg i ; б)

6

5th i ; в)

3

4ch i .

4) а) 2lnctg i ; б)

4

3cth i ; в) 3lnsh .

5) а)

5ln

2sin i ; б)

4th i ; в)

2

3ch i .

6) а) 7lncos i ; б)

6cth i ; в) 11lnsh .

7) а) 2lntg i ; б)

3

4th i ; в) 2ch i .

8) а) 3lnctg i ; б)

6

11cth i ; в) 5lnsh .

9) а)

5ln

2

3sin i ; б)

3

2th i ; в)

4

7ch i .

10) а)

7ln

2

3cos i ; б)

6

5cth i ; в) 13lnsh .

11) а) 2lntg i ; б)

3th i ; в) ich .

12) а) 7lnctg i ; б)

2cth i ; в)

2

1lnsh .

13) а)

3ln

2sin i ; б)

3

5th i ; в)

3

4ch i .

14) а)

6ln

2cos i ; б)

2

3cth i ; в)

5

1lnsh .

15) а)

3

1lntg i ; б)

6

7th i ; в)

6

11ch i .

16) а)

5ln

2

3ctg i ; б)

2

3cth i ; в)

11

1lnsh .

17) а) 6lnsin i ; б)

4

7th i ; в)

3ch i .

18) а) 11ln2cos i ; б)

4

13cth i ; в)

6

1lnsh .

19) а)

2

1lntg i ; б)

3

10th i ; в)

3

11ch i .

20) а)

2

7lnctg i ; б)

2

7cth i ; в)

3

2lnsh .

3. Знайти головне та загальне значення багатозначних функцій

комплексної змінної:

1) а) )65Ln( i ; б) ii2

; в) )3Arccos( i .

2) а) )2Ln( i ; б) ii

31 ; в) )(Arcsin i .

3) а) )53Ln( i ; б) ii2 ; в) )21(Arctg i .

4) а) )3Ln( i ; б) ii2

)22( ; в) )5(Arcctg i .

5) а) )87Ln( i ; б)

1

3

i

i; в) )22(Arcsh i .

6) а) )322Ln( i ; б) ii

433 ; в) )4(Arcch i .

7) а) )31Ln( i ; б) ii

61 ; в) )23(Arcth i .

8) а) )52Ln( i ; б)

1

4

i

i; в) )23(Arccth i .

9) а) )3Ln( i ; б) ii 33 ; в) )2Arccos( i .

10) а) )33Ln( i ; б)

2

3

5

i

i ; в)

2Arcsin

i.

11) а) )56Ln( i ; б) ii

244 ; в) )3(Arctg i .

12) а) )2Ln( i ; б) 5)(i

i ; в) )24(Arcctg i .

13) а) )43Ln( i ; б) ii

32 ; в) )36(Arcsh i .

14) а) )25Ln( i ; б) ii

41 ; в) )3(Arcch i .

15) а) )6Ln( i ; б) ii22 ; в) )21(Arcth i .

16) а) )34Ln( i ; б)

ii

3

22

3

; в) )24(Arccth i .

17) а) )12Ln( i ; б) 5)7(i

i ; в) )4Arccos( i .

18) а) )510Ln( i ; б) 11

ii ; в)

3Arcsin

i.

19) а) )8Ln( i ; б) ii

555 ; в) )1(Arctg i .

20) а) )35Ln( i ; б) ii

26 ; в) )4(Arcctg i .

4. Розв’язати рівняння:

1) а) 012 iez ; б) izz 3cossin ; в) 0210ch iz .

2) а) 0 iez ; б) izcos ; в) 01th iz .

3) а) 0652 zz ee ; б) 4cos3sin2 zz ; в) iz 73sh .

4) а) 093 iez ; б) iz sin8 ; в) izz sh2ch .

5) а) 05432 zz ee ; б) 3cossin zz ; в) izz shch2 .

6) а) 01662 zz ee ; б) izz cossin ; в) izz 6shch .

7) а) 03522 zz ee ; б) 8cossin zz ; в) izz 2chsh .

8) а) 0762 zz iee ; б) iz 4sin ; в) iz ch4 .

9) а) 02452 zz iee ; б) izz 3cos5sin5 ; в) izz 3sh2ch2 .

10) а) 0202 zz iee ; б) izz sin8cos6 ; в) izz ch4sh .

11) а) 0562 zz iee ; б) iz 20cos10 ; в) iz 3sh6 .

12) а) 0422 zz iee ; б) izz cossin3 ; в) izz sh10ch10 .

13) а) 01032 zz iee ; б) izz sincos4 ; в) izz sh4ch6 .

14) а) 03652 zz iee ; б) izz 5cossin2 ; в) iz sh3 .

15) а) 04032 zz iee ; б) izz 4sincos2 ; в) izz ch2

1sh

2

1.

16) а) 0782 zz iee ; б) 7sincos zz ; в) izz 2chsh .

17) а) 0862 zz iee ; б) 6sincos zz ; в) izz 3ch44sh .

18) а) 0562 zz iee ; б) izz 2sin6cos4 ; в) 2

sh2i

z .

19) а) 040142 zz iee ; б) izz cos8sin4 ; в) 4

sh3i

z .

20) а) 01892 zz iee ; б) iz 12cos ; в) 2

chshi

zz .

5.3. Завдання №3 – Аналітичність функції комплексного змінного

1. Перевірити функції на аналітичність в C , та знайти похідну в тих

точках де вона існує:

1) а) zzw cos ; б) 2

zzw ; в) cybxiayxw .

2) а) 2zezw ; б) 1 zzw ; в) bycxiyaxw .

3) а) 2sin zw ; б) zzzw 32 ; в) bycxiyaxw 2 .

4) а) zw 3cos2 ; б) zzw 7 ; в) bycxiyaxw 23 .

5) а) zezw 32cos ; б) izzw 2

3 ; в) bycxiyaxw 34 .

6) а) zzzw 2cossin ; б) zzzw 5 ; в) bycxiyaxw 72 .

7) а) 2zzew z ; б) zzw 2

; в) cybxiayxw 32 .

8) а) 2ch zzw ; б) zzw 23 ; в) cybxiayxw 59 .

9) а) zzw 3sh2 ; б) zzzw 8 ; в) cybxiayxw 46 .

10) а) zzw sh ; б) zzzw 4 ; в) bycxiyaxw 5687 .

11) а) zzw 2sin ; б) 2

32 zzw ; в) bycxiyaxw 945 .

12) а) zzw 2cos3 ; б) zzzw 7 ; в) cybxiayxw 823 .

13) а) 25 zzew z ; б) zzzw 2

2 ; в) cybxiayxw 734 .

14) а) zew z 6ch6 ; б) zzw 2

7 ; в) cybxiayxw 423 .

15) а) zzew z 2cos ; б) 232 zizw ; в) cybxiayxw 436 .

16) а) zzw 3sin ; б) zzw 52 ; в) bycxiyaxw 5 .

17) а) zzw 2cos2 ; б) zzw Re ; в) cybxiayxw 64 .

18) а) izezw 2

1 ; б) izzw Im ; в) cybxiayxw 3 .

19) а) 2zzew ; б) 2Re zizw ; в) cybxiayxw 275 .

20) а) izzw 3ch ; б) ziizzw Re2Im ; в) cybxiayxw 794 .

2. З’ясувати чи існує аналітична функція yxivyxuw ,, (якщо існує,

то знайти її) якщо відомо, що:

1) а) 13 22 xyxyxu ; б) 22 yx

xu

; в)

y

xv

2

.

2) а) xyyxyxu 222; б)

22 yx

yu

; в) xyyxv 222 .

3) а) 1435 xyxyu ; б) x

yu arctg ; в) xyxyxv 43 .

4) а) xyyxyxu 6522 ; б) y

xu arcctg2 ; в) 13 2 yxyxv .

5) а) 127353 22 xyxxyyu ; б) y

xyu arctg ;

в) 3352 22 yxyxyxv .

6) а) xyxyxu 37 22 ; б) 22ln2 yxu ; в) 12 xyv .

7) а) 238 xyxyu ; б) xyx

yu

22

3; в) y

x

yv

3

2

.

8) а) 532 yxyxu ; б) yyx

xu

22

2; в) xyv 52 .

9) а) 45292 22 xyxyxu ; б) 2

ln 22 yxyu

;

в) yyxxv 52 .

10) а) yxyxyxu 3747 22 ; б) 4

ln 22 yxxu

; в) 12 yxxyv .

11) а) 52363 22 xyxyxu ; б) 224

3

yx

xu

; в) 422 xyyxv .

12) а) 13454 22 xxxyyu ; б) 22

2yx

yxu

; в) 222 yxv .

13) а) yyxyxu 22 373 ; б) 22

5

yx

xxyu

; в) xyyv 22 .

14) а) xyyxyxu 69 22 ; б) y

xxu arctg3 ; в) 142 xyxv .

15) а) 122 22 yyxyxu ; б) x

yyu arctg4 ; в) yxyxv 4 .

16) а) 928 xyxyu ; б) y

xxyu arcctg95 ; в) 33 3 xxyyv .

17) а) 176 xyxyu ; б) x

yyxu arcctg51 ; в) 23 xxyv .

18) а) 1366 22 yxxyu ; б) y

xxyu arctg1 ; в) 42 xyxv .

19) а) 388 22 yyxxyu ; б) 22ln2 yxxyu ; в) 342 yxv .

20) а) 25422 yyxxyu ; б) 22ln6 yxxyu ; в) yxyv 2 .

3. Відновити аналітичну функцію yxivyxuzf ,, , якщо відома її

дійсна частина і значення в точці (відповідь записати в комплексній формі):

1) 12sin, yxyyeyxu x , 20 f .

2) yxyeyxu x 2cos, 2 , 40 f .

3) yxyeyxu x 433sin, 3 , 50 f .

4) 145sin, 5 yxyeyxu x , if 0 .

5) xyyeyxu x 27cos, 7 , 10 f .

6) 126cos, 6 yxxyyeyxu x , if 100 .

7) 34sin, xxyyeyxu x , 50 f .

8) 13cos, 3 yxyyeyxu x , if 20 .

9) 5379cos, 9 yxyyeyxu x , 60 f .

10) xxyyeyxu x 37sin, 7 , if 70 .

11) 32sin, 222 yxyeyxu x , 110 f .

12) xxyyeyxu x 228 338cos, , if 120 .

13) xyxyyeyxu x 22 22cos, , 130 f .

14) 126sin, 226 xyxyyeyxu x , if 140 .

15) yxyxyeyxu x 44sin, 224, if 150 .

16) xxyyxyeyxu x 4335cos, 225, 160 f .

17) yxxyyeyxu x 278cos, 8 , if 170 .

18) yxxyyeyxu x 36sin, 6, 180 f .

19) 2212 512sin, yxxyyeyxu x , 90 f .

20) yxxyyeyxu x 1520cos, 20 , if 200 .

4. Знайти площу області, на яку функція zf відображає область D ,

якщо:

1) zzzf 32 , xyxRyxD 0 ,10|, 2 .

2) 13 2 zezf , 30 ,20|, 2 yxRyxD .

3) zzzf 32 , 10 ,21|, 2 yxRyxD .

4) z

zzf

1, xyxRyxD 0 ,32|, 2 .

5) 232 zzf , xyxRyxD 20 ,31|, 2 .

6) zezf 2 , 40 ,20|, 2 yxRyxD .

7) 132 zzzf , 0 ,20|, 2 yxxRyxD .

8) zzzf 33 , xyxRyxD 1 ,52|, 2 .

9) 143 2 zzzf , xyxxRyxD ,10|, 2 .

10) 14 zezf , 11 ,11|, 2 xyxRyxD .

11) zzezf , xyxRyxD 1 ,10|, 2 .

12) zizzf 2 , xyxxRyxD ,12|, 2 .

13) 23izzf , 02 ,03|, 2 yxxRyxD .

14) 12 zezf z , 31 ,20|, 2 yxRyxD .

15) 13 zzezf , 31 ,10|, 2 yxRyxD .

16) izzzf 32 2 , 0 ,20|, 2 yxxRyxD .

17) 521 2 zizf , xyxRyxD 1 ,21|, 2 .

18) izzzf , xyxRyxD 40 ,20|, 2 .

19) izzzf 21 , xyxRyxD 30 ,10|, 2 .

20) 2 izezf , 11 ,20|, 2 xyxRyxD .

5.4. Завдання №4 – Інтеграл від функції комплексного змінного

1. Обчислити інтеграли від функції комплексної змінної вздовж вказаної

кривої:

1) а) ,15310

dzziz - відрізок від точки 01 z до точки iz 222 ;

б) L

dzz

z2

12 вздовж дуги кола 3z , обхід за часовою стрілкою від точки

iz 31 до точки iz 32 ;

в) C

zdz , вздовж

ty

txC

3

3

sin

cos: (астроїда);

г) i

z zdze0

2 cos ;

2) а) ,132

dziz - відрізок від точки iz 551 до точки 02 z ;

б) L

dzz8 вздовж дуги кола 5z , обхід проти часової стрілки від точки

iz 51 до точки iz 52 ;

в) C

dzzRe , вздовж

ty

ttxC

cos12

sin2: (циклоїда);

г)

i

i

dzzz3

2

25 ;

3) а) ,152

dziz - дуга параболи 2xy від точки 01 z до точки

iz 12 ;

б) L

dzzz2 вздовж дуги кола

0Im

11

z

z, обхід проти часової стрілки від

точки 21 z до точки 02 z ;

в) C

dzzIm , вздовж

ty

txC

3

3

sin4

cos4: (астроїда);

г) i

z zdze2

0

3 sin ;

4) а) ,411

dzziz - дуга параболи 3xy від точки 01 z до точки

iz 12 ;

б) L

dzzz вздовж дуги кола 7z , обхід за часовою стрілкою від точки

iz 71 до точки iz 72 ;

в) C

zdz , вздовж

tty

ttxC

cos1sin2

cos1cos2: (кардіоїда);

г) i

z zdze0

3 3cos ;

5) а) ,128 2

dzziz - відрізок від точки iz 441 до точки 02 z ;

б) L

dzzz2 вздовж дуги кола

2Im

221

z

iz, обхід за часовою стрілкою;

в) C

dzzRe , вздовж

2

2sinsin3

2

2coscos3

:t

ty

ttx

C (нефроіда);

г) i

zdzz1

0

cossin ;

6) а) ,11232

dziz - дуга параболи 2xy від точки 01 z до точки

iz 932 ;

б) L

dzz8 вздовж дуги кола 5z , обхід проти часової стрілки від точки

iz 51 до точки iz 52 ;

в) C

dzzIm , вздовж

5

5sinsin5

5

5coscos5

:t

ty

ttx

C (гіпоциклоїда);

г)

i

i

dzzz3

2

2 3 ;

7) а) ,7

dzzz - дуга параболи 4xy від точки 01 z до точки

iz 12 ;

б) L

dzzz 23 вздовж дуги кола

3Im

332

z

iz, обхід проти часової

стрілки;

в) C

dzz , вздовж

ty

txC

3

3

sin9

cos9: (астроїда);

г) i

i

z dzze2

2;

8) а) ,267 2

dzziz - відрізок від точки iz 771 до точки 02 z ;

б) L

dzz

z3

4 вздовж дуги кола

3

1z , обхід за часовою стрілкою від точки

31

iz до точки

32

iz ;

в) C

zdz , вздовж

2

2sinsin2

2

2coscos2

:t

ty

ttx

C (дельтоїда);

г) i

i

zdzez4

1 ;

9) а) ,19

dziz - дуга параболи 2xy від точки 01 z до точки

iz 2552 ;

б) L

dzzz2 вздовж дуги кола

3Im

332

z

iz, обхід за часовою стрілкою;

в) C

dzz , вздовж

2

2sinsin9

2

2coscos9

:t

ty

ttx

C (нефроіда);

г)

i

i

dzzz3

2

223 ;

10) а) ,7523

dzzz - дуга параболи 3xy від точки iz 11 до

точки iz 12 ;

б) L

dzzz 710 вздовж дуги кола 2

1z , обхід проти часової стрілки від

точки 2

1

iz до точки

22

iz ;

в) C

idz3 , вздовж

tty

ttxC

cos1sin2

cos1cos2: (кардіоїда);

г) i

z zdz0

2 ;

11) а) ,28322

dzziz - відрізок від точки iz 221 до точки

iz 552 ;

б) L

dzzz 34 вздовж дуги кола

2Im

221

z

iz, обхід проти часової

стрілки;

в) C

dzzRe , вздовж

4

4sinsin4

4

4coscos4

:t

ty

ttx

C (гіпоциклоїда);

г)

i

z dzz

e4

02

cos ;

12) а) ,43

dzziz - дуга параболи 2xy від точки 01 z до точки

iz 422 ;

б) L

dzzz Im вздовж дуги кола

0Im

6

z

z, обхід за часовою стрілкою;

в) C

dzzIm4 , вздовж

4

4sinsin4

4

4coscos4

:t

ty

ttx

C (епіциклоїда);

г)

i

i

dzzz3

22

234 ;

13) а) ,43

dzz - дуга параболи 3xy від точки iz 821 до точки

02 z ;

б) L

dzzi 82 вздовж дуги кола

1Im

12

z

iz, обхід за часовою

стрілкою;

в) C

dzz 2, вздовж

ty

txC

3

3

sin5

cos5: (астроїда);

г) i

z dzze5

0

2 2sin ;

14) а) ,8724

dzziz - відрізок від точки iz 221 до точки

iz 222 ;

б) L

dzzz34 87 вздовж дуги кола

5

1z , обхід проти часової стрілки

від точки 5

1

iz до точки

52

iz ;

в) C

dziz , вздовж

2

2sinsin6

2

2coscos6

:t

ty

ttx

C (нефроіда);

г) i

z dzze2

0

3cos ;

15) а) ,353 33

dzziz - дуга параболи 2xy від точки 01 z до точки

iz 1642 ;

б) L

dzzz 25 вздовж дуги кола

2Im

221

z

iz, обхід проти часової

стрілки;

в) C

dzz , вздовж

2

2sinsin9

2

2coscos9

:t

ty

ttx

C (нефроіда);

г) i

dzz43

0

2cos ;

16) а) ,122

dzziz - дуга параболи 3xy від точки iz 111 до точки

iz 2732 ;

б) L

dzzz Re вздовж дуги кола

0Im

2

3

z

z, обхід за часовою стрілкою;

в) C

dzz

4, вздовж

tty

ttxC

cos1sin2

cos1cos2: (кардіоїда);

г)

i

I

dzzz34

52

2 73 ;

17) а) ,24224

dzziz - відрізок від точки iz 881 до точки

iz 12 ;

б) L

dzziz 322 вздовж дуги кола

3Im

331

z

iz, обхід за часовою

стрілкою;

в) C

dzzRe9 , вздовж

3

3sinsin3

3

3coscos3

:t

ty

ttx

C (астроїда);

г)

i

i

z dzz2

5 ;

18) а) ,88 33

dzziz - дуга параболи 2xy від точки 01 z до точки

iz 12 ;

б) L

dziz 372 вздовж дуги кола 7

4z , обхід проти часової стрілки

від точки 7

41

iz до точки

7

42

iz ;

в) C

dzzIm12 , вздовж

4

4sinsin4

4

4coscos4

:t

ty

ttx

C (епіциклоїда);

г) i

i

zdzez5

13 ;

19) а) ,62

dzzii - дуга параболи 3xy від точки iz 111 до точки

iz 422 ;

б) L

dzizzz 35 вздовж дуги кола

2Im

222

z

iz, обхід проти часової

стрілки;

в) C

dziz 6 , вздовж

2

2sinsin2

2

2coscos2

:t

ty

ttx

C (дельтоїда);

г)

i

i

dzzz5

4

24 ;

20) а) ,2324

dzzz - відрізок від точки iz 881 до точки до точки

02 z ;

б) L

dzz

z2

2 вздовж дуги кола

0Im

3

4

z

z, обхід за часовою стрілкою;

в) C

dziz 2 , вздовж

2

2sinsin9

2

2coscos9

:t

ty

ttx

C (нефроіда);

г)

0

3i

z dzz ;

2. Обчислити інтеграли, скориставшись інтегральною формулою Коші:

1) а)

dzz

z

z

31

1sh; б) dz

zz

z

z

3

3

2

4

2cos

; в)

dzziz

iz

23

2313

1.

2) а)

dzz

e

z

z

4

22 9

34; б) dz

z

zz

z

4

1

3

4

3

2sincos3; в)

dz

zziz

332

22 99

1.

3) а)

dzzz

z

z

2

32 31

10; б) dz

z

z

z

3

1

3

5

5

3

5

5sin7; в)

dz

iziz

e

z

z

3

22

5.

4) а)

dziz

ee

z

zz

2

5

3; б)

dz

zz

zz

z

42

3cos22sin3; в)

dz

zziz

21

22 11

1.

5) а)

dziz

e

z

z

3

6

7 5; б)

dz

zzz

z

z

5

2

4

32

2; в)

dz

ziziz

43

236

1.

6) а)

dzz

ee

z

zz

13

5

3

3

64; б) dz

z

z

z

4

1

3

4

3

3

sin; в)

dz

zzz

2

2

23

221211

1.

7) а)

dzz

z

z

229

329

3cos; б)

dz

zz

ee

z

zz

4

221

; в)

dzziziz

43

235

1.

8) а)

dzz

ee

z

zz

4

216

; б) dz

z

zz

z

4

1

3

5

3

4cos98sin; в)

dz

zzz

4

2232

1.

9) а)

2

12

2 4iz

zz

dz; б)

dz

z

z

z

2

222

3cos; в)

dz

ziziz

32

23

1.

10) а)

dzzzz

z

5

2 124

5; б) dz

z

z

z

1

6

5

6

3cos2; в)

dz

zziz

42

2211

1.

11) а)

201

22 45z zz

dz; б) dz

z

z

z

1

7

6

sin; в)

dz

ziziz

75

315

1.

12) а)

dzzz

e

z

z

23

232

15; б) dz

z

z

z

2

1

2

5

2

12cos3; в)

dz

zziz

332

22 91

1.

13) а)

dzz

ee

z

zz

11

31

; б) dz

z

z

z

3

4

5

3

4

5sin; в)

dz

iziz

e

z

z

3

22

5.

14) а)

dzzz

e

z

z

4

22

7

32; б)

dz

izz

z

z

2

22 3

3cos10; в)

dz

zziz

322

22 11

1.

15) а)

dziz

e

iz

z

23

63

; б)

dzzzz

z

z

5

232

9; в)

dz

ziziz

43

233

11.

16) а)

dzzz

e

z

z

21

32

3

1

4; б) dz

z

z

z

4

1

3

4

3

3

cos; в)

dz

zzz

2

2

23

21211

1.

17) а)

dzzz

z

z

6

2

3

32

4; б)

dz

iz

e

iz

z

1

5

3 1; в)

dz

ziziz

43

235

1.

18) а)

dzizz

z

z

8

27

2; б) dz

z

z

z

5

1

6

5

5

6

5

4cos; в)

dz

zzz

4

2232

1.

19) а)

2

12

23 2iz

izz

dz; б)

dz

zz

z

z

2

22 9

5sin; в)

dz

ziziz

42

23

1.

20) а)

dzzz

e

z

z

6

2

2

15; б)

dz

zzz

z

z

2

5331

6; в)

dz

zziz

42

22 1

1.