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Interludio: El Movimiento Armónico Simple (MAS)

1. Definición

Es el movimiento oscilatorio de la proyección sobre el diámetro cualquiera de un punto que se

mueve con movimiento circular uniforme, según se muestra en la Fig. 1.1.

Fig. 1 (a) Representaciones del MAS: aun cuando el móvil emplea el mismo tiempo en ir de un

punto a otro, los espacios recorridos en tiempos iguales son tanto mayores cuanto más próximo a

su posición de equilibrio se encuentra el móvil, es decir, en el MAS, la velocidad del móvil es

tanto mayor cuanto más lejos se encuentra el móvil de los extremos de su trayectoria, siendo nula

en esos puntos y máxima en el centro. Las líneas verticales representan las proyecciones de cada

posición de la partícula sobre la recta AB. (b) y (c) Las flechas señalan el movimiento en cuestión.

(d) Gráfica del movimiento de la proyección. (e) El movimiento de un sistema masa-resorte

también se mueve con MAS.

(a) (b) (c)

Sombra

con MAS

(d)

Aquí, la velocidad es

cero y la aceleración

es máxima.

Aquí, la velocidad es cero

y la aceleración es máxima

Aquí, la velocidad es máxima

y la aceleración es cero.

O

Posición de equilibrio

x

Longitud de onda ()

Amplitud

A

MCU

¡ Importante: el MAS no es un

movimiento circular uniforme ¡

como puede apreciarse por la

gráfica.

+

Elongación

Longitu

(e)

MAS

Proyección

Proyección

ortogonal P

P’

2

La explicación del movimiento de la “sombra” proyectada por el movimiento de la partícula con

MCU, sobre el diámetro según se muestra en la Fig. 1, es la siguiente:

1. Se proyecta el movimiento de la partícula P (mostrado en la Fig. 1a), sobre el diámetro ,

donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro. P' se mueve con movimiento

oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo

de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo

largo del diámetro AB , es decir, cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación

sobre el diámetro. Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P, su

proyección ortogonal sobre el diámetro determina igualmente la posición, velocidad y

aceleración de P'.

2. Cuando el móvil va de A a O o de B a O, su movimiento es acelerado (+a); mientras va de O

a A o de O a B, su movimiento es retardado (a) por alejarse del centro.

3. En el MAS, el movimiento es acelerado siempre que el móvil se dirige hacia el centro o su

posición de equilibrio y retardado siempre que se aleja de ella.

4. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues

constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza

y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que

lo define es función del seno o del coseno.

5. El movimiento armónico simple se puede estudiar desde el punto de vista de la cinemática, la

dinámica y la energía.

6. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los

tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que

realizan los cuerpos elásticos.

7. Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables

del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir se repiten los

valores de las magnitudes que lo caracterizan.

8. Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en

los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un

mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene sobre

una misma trayectoria.

9. Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y tiene su origen en el

punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son

iguales.

3

10. Un movimiento vibratorio es armónico cuando la posición, velocidad y aceleración se puede

describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armónico puede ser

compuesto de forma que estén presentes varios períodos simultáneamente. Cuando haya

un solo período, el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armónico Simple (MAS).

Además de ser el más sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de

muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza.

11. Oscilaciones y Vibraciones.-Es frecuente en la naturaleza la existencia de movimientos en

los cuales la velocidad y aceleración no son constantes. Un movimiento que presenta tales

características es el movimiento vibratorio u oscilatorio. En los movimientos oscilatorios el

cuerpo va de una posición extrema y regresa a la posición inicial pasando siempre por la

misma trayectoria. Algunos ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de

movimiento son: el latido del corazón, el péndulo de un reloj, las vibraciones de los átomos.

12. Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los fenómenos ondulatorios

relacionados con el sonido y la luz. Como ejemplos de movimientos vibratorios existe la

vibración de las columnas de aire de los instrumentos musicales, la vibración de un edificio o

un puente por efecto de un terremoto, las ondas electromagnéticas que viajan en el vacío, una

masa unida al extremo de un resorte, etc. Entre los infinitos tipos de movimientos vibratorios

que existen en la naturaleza el más importante es el armónico simple.

2. Dinámica del MAS

Para estudiar algunas de las características relacionadas con los objetos que vibran se considera el

caso de un resorte estirado que se mueve en una superficie horizontal sin fricción, como el

ilustrado en la Fig. 2. Cuando un objeto en un resorte (a) se desplaza respecto de su posición de

equilibrio x = 0 y (b) se suelta, el objeto adquiere un MAS. El tiempo que le toma completar un

ciclo es el periodo de oscilación T.

Fig. 2 Caso típico: sistema masa-resorte. Cuando se separa un resorte de su posición

de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un MAS (a-e).

4

La fuerza F recuperadora, de la cual se habla es proporcional al desplazamiento x, pero de sentido

contrario a él, pudiéndose escribir que:

xkF ............................................................... (1)

Esta relación conocida como la ley de Hooke, indica que la fuerza es proporcional al

desplazamiento y el signo () se coloca para señalar que la fuerza tiene sentido contrario al

desplazamiento; es decir, la fuerza siempre tiende a restaurar el resorte a su posición de

equilibrio, que es una de las características más importante del MAS. Todos los cuerpos elásticos

que cumplan la Ley de Hooke, al ser sometidos a una fuerza vibran con MAS.

Analizando el MAS, se tiene que al soltar el cuerpo, la fuerza que actúa sobre él produce una

aceleración que es proporcional a F, la que de acuerdo a la segunda ley de Newton es:

amF ............................................................... (2)

Donde:

F = Fuerza restauradora, N.

m Es la masa que vibra, kg.

a Es la aceleración instantánea, m/s2.

3. Energía y rapidez de un sistema masa-resorte en MAS

Refiriéndose a la Fig. 2, la energía potencia almacenada por un resorte que se estira o comprime

una distancia x respecto al equilibrio (donde 0x ) es:

2kx2

1U .............................................................. (3)

El cambio de energía potencia de un objeto que oscila en un resorte está relacionado con el

trabajo efectuado por la fuerza del resorte. Un objeto con masa m que oscila en un resorte

también tiene energía cinética. Juntas, la energía cinética y la energía potencial dan la energía

mecánica total del sistema:

22 kx2

1mv

2

1UKE ..................................................... (4)

Donde:

K = Energía cinética, J.

U = Energía potencia, J.

v = Velocidad, m/s.

k = Constante elástica, N/m.

5

Como se muestra en la Fig. 3, cuando el objeto está en uno de sus desplazamientos máximos, +A

o A, está instantáneamente en reposo, por lo que 0v . Por lo tanto, toda la energía está en

forma de energía potencia (Umax) en este punto. Es decir:

222kA

2

1Ak

2

10m

2

1E

O sea que la energía total de un objeto que se mueve con MAS es:

2kA2

1E .............................................................. (5)

Fig. 3 Energía y oscilaciones según la posición de la partícula en MAS.

Siendo

222 kx

2

1mv

2

1kA

2

1

UKE

Se puede despejar la velocidad v obteniendo:

m

xAkv

222

Arreglándola:

22 xAm

kv ................................................ (6)

Ecuación que expresa la velocidad de un objeto en MAS.

Los signos indican la dirección de la velocidad. En Ax , la velocidad es cero porque el

objeto está instantáneamente en reposo en su desplazamiento máximo respecto al equilibrio.

Cuando el objeto oscilante pasa por su posición de equilibrio, en 0x ,su energía potencial es

cero. En ese instante, toda la energía es cinética, y el objeto viaja con una rapidez máxima maxv .

6

La expresión para la energía en este caso es: 22 mv2

1kA

2

1E , así que:

Am

kvmax ......................................................... (7)

4. Elementos de un MAS

Tomar como referencia la Fig. 1.

4.1 Oscilación sencilla.-Movimiento de un extremo al otro de la trayectoria.

4.2 Oscilación completa.-Movimiento de un extremo a otro de la trayectoria y regreso al

punto de partida.

4.3 Período (T).-Tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta o revolución completa.

4.4 Frecuencia ( f ).-Número de vueltas o revoluciones dadas por el móvil en la unidad de

tiempo.

4.5 Velocidad angular (w).-Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo.

También es llamada frecuencia angular y se expresa en rad/s. Representa la velocidad

angular del MCU auxiliar. Es una constante del MAS.

4.6 Punto de equilibrio (O).-Es el centro de la trayectoria descrita. Es la posición en la cual

no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

4.7 Fase.-Es el tiempo transcurrido desde la última vez que el móvil pasó por su posición de

equilibrio moviéndose en sentido positivo (+). Representa la posición angular de la

partícula en el MCU auxiliar para el tiempo t. Es (wt + ).

4.8 Elongación.-Distancia que separa al móvil de su posición de equilibrio.

4.9 Amplitud.-Es el mayor valor de la elongación.

4.10 Fase inicial ().-Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el MCU

auxiliar.

5. Ecuaciones fundamentales del MAS

1Tf .................................................................... (1)

2T ............................................................. (2)

Tf 2 2 ............................................................ (3)

2f ........................................................................ (4)

7

6. Ejemplos de MAS

6.1 Un bloque de 0.25 kg descansa sobre una superficie sin fricción y está conectado a un

resorte ligero cuya constante vale 180 N/m. Si el bloque se desplaza 15 cm respecto a su

posición de equilibrio y se suelta, (a) ¿qué energía total tendrá el sistema, y (b) qué rapidez

tendrá el bloque cuando esté a 10 cm de su posición de equilibrio?

Datos:

m = 0.25 kg.

k = 180 N/m.

A = 15 cm = 0.15 m.

x = 10 cm = 0.1 m.

(a) Energía total E.

J 025.2m15.0m

N180

2

1kA

2

1E

22

(b) La velocidad en 10 cm de desplazamiento.

s

m3m1.0m15.0

kg 25.0

m

N180

xAm

kv

2222

6.2 Cuando una masa de 0.5 kg se cuelga de un resorte según se muestra en la Fig. 4 , éste se

estira 10 cm hasta una nueva posición de equilibrio. (a) Calcular la constante k del resorte.

(b) Luego, se tira de la masa hacia abajo desplazándola 5.0 cm, y se suelta. ¿Qué altura

máxima alcanza la masa oscilante?

Datos:

m = 0.5 kg

x = 10 cm = 0.1 m.

8

Fig. 4 Determinación de la constante k de un resorte.

(a) Calcular la constante k del resorte.

Cuando la masa suspendida está en equilibrio, la fuerza neta sobre la masa es cero. Por lo

tanto, el peso de la masa y la fuerza de resorte son iguales y opuestas. Al igualar sus

magnitudes se obtiene:

wFr

O sea:

mgkyo

Por lo tanto:

m

N05.40

m1.0

s

m81.9kg5.0

y

mgk

2

o

¿Qué altura máxima alcanza la masa oscilante?

Como se muestra en la Fig. 4, la masa oscila verticalmente en torno a la posición de

equilibrio, siendo el movimiento simétrico, por lo que es la referencia cero de la oscilación.

El desplazamiento inicial es A , así que la posición más alta de la masa es 0.5 cm arriba

de la posición de equilibrio A .

7. Ecuaciones de movimiento

Como se ilustra en la Fig. 5a, la sombra de un objeto en movimiento circular uniforme tiene el

mismo movimiento vertical que un objeto que oscila en movimiento armónico simple en un

resorte.

Fig. 5 Círculo de referencia para el movimiento vertical.

9

La ecuación de movimiento de un objeto, es la ecuación que da la posición del objeto en función

del tiempo. Por ejemplo, la ecuación de movimiento con una aceleración rectilínea constante es

2o at

2

1tvx , donde ov es la velocidad inicial. Sin embargo, en el MAS, la aceleración no es

constante.

Se puede obtener la ecuación del movimiento para un objeto en MAS a partir de una relación

entre los movimientos armónico simple y circular uniforme (MCU), como se muestra en la Fig.

5. Mientras el objeto iluminado se mueve con MCU en un plano vertical, (con velocidad angular

w constante), su sombra se mueve hacia arriba y hacia abajo verticalmente, siguiendo el mismo

camino que el objeto en el resorte, que tiene MAS. Puesto que la sombra y el objeto tienen la

misma posición en cualquier momento, se obtiene que la ecuación de movimiento de la sombra

del objeto con MCU es la ecuación de movimiento del objeto que oscila en el resorte.

En el círculo de referencia de la Fig. 5b, se aprecia que la coordenada y del objeto está dada por:

SenAy ......................................... (5)

La velocidad angular, es el ángulo descrito por el radio en la

unidad de tiempo, y se expresa como:

tw

................................................ (6)

Y como el objeto se mueve con velocidad angular w

constante, entonces: wt , en 0 y 0t , por lo tanto:

wt SenAy ....................................... (7)

Podemos observar que al aumentar t desde cero, y aumenta en la dirección positiva, así que la

ecuación describe el movimiento inicial hacia arriba.

Con la ecuación wt SenAy como ecuación de movimiento, la masa siempre debe estar

inicialmente en 0y0 . Sin embargo, ¿qué pasa si la masa colgada del resorte estuviera

inicialmente en la posición de amplitud A ?

En ese caso, la ecuación del seno no describiría el movimiento, porque no describe la condición

inicial, 0y0 en 0t . Por lo tanto, necesitamos otra ecuación de movimiento:

Coswt Ay .......................................................... (8)

Con esta ecuación, en 0t0 , la masa está en A0Cosw ACoswt Ay

10

Así que la ecuación del coseno sí describe correctamente las condiciones iniciales, como se

señala en la Fig. 6.

Fig. 6 La función coseno describe el MAS cuando Ay .

Con Coswt Ay , el movimiento inicial es hacia abajo porque un poco después de 0t0 , el

valor de y disminuye.

Si la amplitud fuese A, la masa estaría inicialmente en esa posición (abajo), y el movimiento

inicial sería hacia arriba.

Por lo tanto, la ecuación de movimiento de un objeto oscilante puede ser una función seno o

coseno. Ambas funciones se describen como senoidales. Es decir, el MAS se describe con una

función senoidal del tiempo.

Por su parte, la velocidad angular w (rapidez, en rad/s), del objeto en el círculo de referencia, es

la frecuencia angular del objeto oscilante, porque f 2w . Por lo tanto, y también se puede

escribir como:

T

t 2ASenft 2SenAy

............................................... (9)

Esta ecuación corresponde a cuando el movimiento inicial es hacia arriba, porque, después de

to = 0, el valor de y aumenta en dirección positiva. Si el movimiento inicial es hacia abajo, el

término de amplitud es A. Las ecuaciones mencionadas, se utilizan a conveniencia, según los

parámetros que conozcamos.

11

Por ejemplo, si nos proporcionan el tiempo t en términos del periodo T, digamos to = 0, t1 =T/4 y

t2 =3T/4, y nos piden determinar la posición de un objeto en MAS en esos instantes. En un caso

así, nos conviene usar la ecuación (9):

Para

0t0

00 ASenT

02ASeny0

4

Tt1 A

2ASen

T

4

T2

ASeny1

4

T3t2 A

2

3ASen

T

4

T32

ASeny2

Los resultados nos dicen que el objeto estaba inicialmente en y = 0, lo cual ya sabíamos. Un

cuarto de periodo después, estaba en y = A, la amplitud de su oscilación; y después de tres

cuartos de periodo (3T/4) estaba en la posición A, lo cual era de esperar, puesto que se trata de

un movimiento periódico.

Por lo tanto, podemos escribir de manera general que:

T

t 2ASenf 2ASen wtASeny

................................... (10)

+A, para movimiento inicial hacia arriba con yo = 0.

A, para movimiento inicial hacia abajo con yo = 0.

Similarmente:

T

t 2ACosf 2ACos wtACosy

................................. (11)

+A, para movimiento inicial hacia abajo con yo = +A.

A, para movimiento inicial hacia arriba con yo = A.

Para constatar lo útil que es el círculo de referencia, usémoslo para calcular el periodo del sistema

masa-resorte. El tiempo que tarda el objeto del círculo de referencia en efectuar una “órbita”

completa es exactamente el tiempo que tarda el objeto en oscilación en completar un ciclo, como

se muestra en la Fig. 5, nuevamente reproducida a continuación, para mayor facilidad.

12

Por lo tanto, si conocemos el tiempo de una órbita en el círculo de referencia, tendremos el

periodo de oscilación. Puesto que el objeto en “órbita” en el círculo de referencia está con

movimiento circular uniforme con rapidez constante igual a la rapidez máxima de oscilación vmax,

el objeto recorre una distancia de una circunferencia en un periodo. Entonces, t = d/v, donde

t = T, d es la circunferencia y v es vmax dada por la ecuación Am

kvmax . Es decir:

Am

k

A2

v

dT

, o sea:

k

m2T ................................................................... (12)

Las amplitudes se cancelan en la ecuación anterior, así que el periodo y la frecuencia son

independientes de la amplitud del movimiento. Esta formación es una característica general de

los osciladores armónicos simples, es decir, los osciladores impulsados por una fuerza

restauradora lineal, como la de un resorte que obedece la ley de Hooke.

La ecuación anterior, también nos dice que cuanto mayor es la masa, mayor es el periodo, y

que cuanto mayor es la constante del resorte k, menor es el periodo. Es la razón masa/rigidez

la que determina el periodo. Por lo tanto, podemos compensar un aumento en la masa empleando

un resorte más rígido. Puesto que T

1f , entonces la frecuencia del objeto que oscila en el

resorte es:

m

k

2

1f

................................................................. (13)

Fig. 5

13

También, dado que f 2w , entonces la frecuencia angular de un objeto que oscila en un

resorte es:

m

kw ........................................................................ (14)

Así, cuanto mayor es la constante del resorte (más rígido), con mayor frecuencia vibra el sistema,

como era de esperar.

8. Condiciones iniciales

Quizás se esté preguntando cómo decidir si usará una función seno o coseno para describir un

MAS.

En general, la forma de la función depende del desplazamiento y las velocidades iniciales del

objeto: son las condiciones iniciales del sistema.

Estas condiciones iniciales son los valores del desplazamiento y la velocidad en t = 0; juntos,

nos dicen cómo se puso en movimiento inicialmente el sistema.

8.1 Cuatro casos especiales

Vienen enunciados en los recuadros de la Fig. 7.

Caso 1:

Cuando el desplazamiento inicial es y = 0 en t = 0

y se mueve hacia arriba +A, utilizar y = A Sen wt.

y = A Cos wt no satisface la condición inicial, porque

y0 = A Cos wt = A (0) = A, ya que Cos 0 = 1.

Caso 2:

Cuando el movimiento comienza en t = 0 desde +A,

utilizar y = A Cos wt, porque satisface la condición

inicial y0 = A Cos w(0) = 1. Atraso de 90° respecto de y = A Sen wt

14

Caso 3:

Cuando el movimiento comienza en y = 0 en t = 0

con el movimiento hacia abajo, en la dirección A,

utilizar y = A Sen wt. Atraso de 180° respecto de y = A Sen wt

Caso 4:

Cuando el movimiento comienza en y = A en t = 0

con el movimiento hacia arriba, en la dirección +A,

utilizar y = A Cos wt. Atraso de 270° respecto de y = A Sen wt

Fig. 7 Condiciones iniciales y ecuaciones de movimiento en el MAS.

Fig. 9 Si las curvas se extienden en la dirección negativa del eje horizontal

(líneas punteadas), tienen la misma forma, pero se han desplazado.

Suponiendo Cuando dos objetos en MAS tienen la misma ecuación de

movimiento, están oscilando en fase. Fase, es el tiempo desde la última vez

que la partícula pasó por su posición de equilibrio.

La diferencia de fase entre el

movimiento (a) y el (b) es de

90°.

90°

15

0

0.5

0.7071

0.866

1

0.866

0.7071

0.5

0

- 0.5

- 0.866

- 1

- 0.866

- 0.5

0

-1

-0.5

0

0.5

1

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360

Grados

Val

or

f(Sen)

10.866

0.7071

0.5

0

- 0.5

- 0.7071- 0.866

- 1- 0.866

- 0.5

0

0.5

0.8661

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360

Grados

Val

or

f(Cos)

8.2 Gráficas de las funciones seno y coseno

Los valores de dichas funciones se presentan en la Tabla 1, mientras que sus representaciones

gráficas se muestran en la Fig. 8.

Tabla 1 Valores alcanzados por las funciones seno y coseno.

Fig. 8 Gráficas de las funciones seno (a) y coseno (b).

Ángulo (°) Sen Cos

0 0 1

30 0.5 0.866

45 0.7071 0.7071

60 0.866 0.5

90 1 0

120 0.866 -0.5

135 0.7071 -0.7071

150 0.5 -0.866

180 0 -1

210 -0.5 -0.866

240 -0.866 -0.5

270 -1 0

300 -0.866 0.5

330 -0.5 0.866

360 0 1