7. analise dimencional

Prof. Fernando Oliveira- Uema 2011

Universidade Estadual do Maranhão – UEMACentro de Ciências Tecnológicas – CCTDepartamento de Hidráulica e SaneamentoDisciplina: Mecânica dos FluidosData: 03.11.2011

São Luís, 2011

Profº Fernando [email protected]

ANÁLISE DIMENSIONAL

1Prof. Fernando Oliveira- Uema 2011

Prof. Fernando Oliveira- Uema 2011 2

C O N T E Ú D O P R O G R A M Á T I C O

Introdução

Conceitos sobre dimensões e homogeneidade dimensional;

Sistemas de dimensões e sistemas de unidades;

Introdução à análise dimensional;

Teorema de Buckingham Pi;

Determinação e aplicação dos Temos Pi;

Principais grupos adimensionais da Mecânica dos Fluidos.

Semelhanças

Aplicar o teorema dos Pi de Buckingham


Métodos de Análise de Sistemas de

Dinâmica dos Fluidos

A engenharia possui uma variedade de métodos para análise e design de sistemas de dinâmica dos fluidos.

Métodos Analíticos;

Métodos Experimentais;

Métodos Computacionais.




Métodos Analíticos


Métodos Experimentais;







Métodos de Análise de Sistemas de Dinâmica dos Fluidos







Análise Dimensional

Sistemas de Dimensões São quantidades físicas mensuráveis. Elas podem ser divididas em dois grupos: dimensões primárias e secundárias.

Dimensões Primárias:

São aquelas dimensões expressas em termos das dimensões primárias.

• MASSA [M];MASSA [M];• COMPRIMENTO COMPRIMENTO [L][L];;• TEMPO TEMPO [T];[T]; e e• TEMPERATURA TEMPERATURA [[θθ]]

Dimensões Secundárias:

• Velocidade Velocidade [V][V],,

• Área Área [A][A];;

• Massa específica Massa específica [[ρρ]]; etc.; etc.



Dimensões Primárias:Dimensões Primárias:

Dimensões Secundárias:

Sistemas de Unidades

Quantitativamente, é o aspecto que fornece a medida numérica para as todas as dimensões.

Símbolo Unidades

Massa [M][M] [kg][kg]

Comprimento [L][L] [m][m]

Tempo [T][T] [s][s]

Temperatura [θ][θ] [K][K]

• Velocidade [V],[V], [m/s][m/s]

• Área [A][A] [L²][L²]

• Massa específica [ρ][ρ] [m³/Kg][m³/Kg]



Homogeneidade DimensionalHomogeneidade Dimensional

Isso significa dizer que todas as dimensões de uma equação válida que relacione

grandezas físicas devem ser HomogêneasHomogêneas, ou seja, cada termo da equação deve ter as

mesmas dimensões.

Os problemas de Mecânica dos Fluidos envolvem muitas variáveis com

diferentes sentidos físicos. Neste caso, cada termo da equação deve ter a mesma

representação dimensional: homogeneidade.

Exemplo de homogeneidade: Equação da velocidade (m/s)

LT -1 = LT -1 + LT -1

V = Vi + a T Cada termo da equação possui a mesma dimensão, logo é uma equação homogênea.



Sistemas Básicos de Dimensões

Resolução de problemas: apenas três dimensões básicas

O comprimento [L] e o tempo [T] são dimensões primárias para todos os sistemas dimensionais.

O terceiro termo pode ser: Massa [M] ou a Força [F].

Temos três sistemas dimensionais básicos que especificam de modos diferentes as dimensões básicas:

a) Massa, M; comprimento, L; tempo, T; temperatura, θθ;

b) Força, F; comprimento, L; tempo, T; temperatura, θθ;

c) Força, F; massa, M; comprimento, L; tempo, T; temperatura, θθ.



Sistemas Básicos de Dimensões

Pela equação da 2ª Lei de Newton a força F é considerada também

uma dimensão primária, pois estabelece que: F = ma

As dimensões secundárias podem ser expressas em função da

M ou da F, ou seja, em termos de: FLT ou MLT

Em termos qualitativo pode ser expresso por:

F = M L T-2 ou M = F L-1 T²

a) ACELERAÇÃO [m/s²]: (FLT = LT-1); (MLT = LT-2)

b) TRABALHO [N.m]: (FLT = FL); (MLT = ML2T-2)



Grandeza Símbolo Dimensão

Geometria Área A L2

Volume V L3

Cinemática Velocidade U LT-1

Velocidade Angular ω T-1

Vazão Q L3T-1

Fluxo de massa m MT-1

Dinâmica Força F MLT-2

Torque T ML2T-2

Energia E ML2T-2

Pressão p ML-1T-2

Propriedades dos Fluidos

Densidade ρ ML-3

Viscosidade µ ML-1T-1

Viscosidade Cinemática v L2T-1

Tensão superficial σ MT-2

Condutividade Térmica k MLT-3θ

Dimensões de Grandezas Derivadas



Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma

dimensão que é representada por uma relação das grandezas

primárias, tem uma relação unitária, o grupo é denominado

adimensional, isto é, sem dimensão.

1

..Re

11

13

TML

LLTMLVDy

Equações Básicos AdimensionaisAdimensionais

Um exemplo de grupo adimensional é o número de Reynolds



Como o número de grupos adimensionais é relativamente menor que o número de variáveis físicas, há uma grande redução de esforço experimental para estabelecer a relação entre algumas variáveis;

Considerações sobre os grupos AdimensionaisAdimensionais

A relação entre dois números adimensionais é dada por

uma função entre eles com uma única curva relacionando-os;

Pode-se afirmar que os grupos adimensionais produzem melhor

aproximação do fenômeno do que as próprias variáveis.



Apresentar e interpretar dados experimentais;

Resolver problemas difíceis de estudar com solução analítica;

Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;

Modelagem física.

A análise dimensional é particularmente útil para:


A Análise Dimensional é uma técnica de obtenção de

equações que pode representar leis físicas a partir de

considerações sobre a dimensionalidade das grandezas

envolvidas.


A Análise Dimensional permite a conciliação dos

procedimentos teóricos e experimentais utilizados em

Hidráulica e Mecânica dos Fluídos.


Verificação da homogeneidade das equações;

Mudança do sistema de unidade;

Otimização dos trabalhos experimentais, através da sistematização da coleta de

dados relativas a um número reduzido de variáveis, permitindo a generalização

dos resultados obtidos, acarretando assim economia em tempo e em recursos

materiais;

Estabelecer índices de semelhança para a concepção, construção, operação e

Interpretação dos resultados de modelos físicos.

Conciliar os procedimentos teóricos e experimentais.

Importância e aplicações da Análise Dimensional




A análise dimensional é particularmente útil para:

É um meio para simplificação de um problema físico

empregando a homogeneidade dimensional para

reduzir o número das variáveis de análise;





Natureza da Análise Dimensional

Considere o escoamento em regime permanente,

incompressível de um fluido Newtoniano num tubo longo,

horizontal e que apresenta lisa



),,,,( VDfpl

Avaliar a queda de pressão no escoamento por unidade de comprimento do tubo (queda de pressão devida o atrito).

Fatores que contribuem para a queda de pressão∆ppll



Adotando os métodos experimentais:

Alterar uma das variáveis mantendo as demais constantes.

),,,,( VDfpl )tan,,( tesconsD Vversusp l

∆ppll

V

)tan,,( tesconsD

Figura 10 Queda de pressão em função da velocidade

Suponha que o teste seja feita

para 10 diferentes V



VD

fDV

F1

²²

Poderia repetir os experimentos cada um dos demais fatores isoladamente

)tan,,( tesconsV

)tan,,( tesconsVD

∆ppll

μ

∆ppll

D∆ppll

ρ

)tan,,( tesconsVD

Figura 11 Queda de pressão em função: D, μ, ρ



Suponha que o teste seja feita para 10 diferentes valores para cada constante;

Mudar o fluido utilizado;

Tempo dos ensaios;

Representação e interpretação dos dados;

Impossibilidade de um único gráficos com todas a variáveis.

Questões pendentes:

Suposições:

Objetivo: Generalizar as informações das variáveis num único gráfico.



Para que possamos exemplificar o objetivo mencionado anteriormente, suponha que nos seja dirigida a seguinte questão:

“Qual o valor da queda de pressão no tubo de diâmetro D2 ; quando o

fluido se desloca do ponto P1 e P2?”

Condição: A resposta da questão deve ser obtida sem se recorrer a ensaios.

É justamente para satisfazer esta condição

que recorremos à análise dimensional.

E para sua introdução deve-se inicialmente definir a função que

caracteriza o fenômeno



Pela análise dimensional os números adimensionais (números puros) que definem o fenômeno estudado, é dado da seguinte maneira:

∆pl – Queda de pressão por unidade.de área;

D - diâmetro da tubulação;

v – velocidade do fluido

ρ - massa específica do fluido

µ - viscosidade do fluido

VD

2

²V

pD l

1

Temos as seguintes variáveis que caracterizam o fenômeno



VDf

V

pD l

²

²V

pD l

VD

Figura 11 Queda de pressão utilizando parâmetros adimensionais

A queda de pressão no escoamento por unidade de comprimento do tubo (queda de pressão devida o atrito).


o experimento consiste em variar o grupo adimensional:

e determinar o valor correspondente de:


Considerações sobre os resultados:

VD

2

²V

pD l

1

Redução de cinco variáveis para dois (combinações adimensionais das cinco variáveis)

Pode ser usado com qualquer tubo e fluido que facilita a realização do experimento.



Considerações sobre os resultados:

A base para esta simplificação reside na consideração das dimensões das variáveis envolvidas nos grupos adimensionais serem produtos adimensionais;

ººº)²²)((

³)/(

²TLF

LTF

LFL

V

pD

TLl

14

1

ººº)(

))(²)((TLF

TF

LLTFVD

LTL

2

14

2

A base para a aplicação desta abordagem a uma ampla variedade de problemas é o Teorema de Buckingham Pi.


Questionamento:

Qual é o número de grupos adimensionais necessário para substituir a relação original de variáveis.

A resposta é fornecida pelo teorema básico da análise dimensional: O Teorema de Buckingham Pi.

Teorema de Buckingham Pi

Uma equação dimensionalmente homogênea que envolve n n

variáveis pode ser reduzida a uma relação entre n - mn - m

produtos adimensionais (termos Pi) independentes onde m é o

número mínimo de dimensões de referencia necessário para

descrever as variáveis.

O Teorema de Buckingham Pi diz:



),,,,( VDfpl

Supondo a queda de pressão no escoamento por

unidade de comprimento do tubo (queda de pressão devida

o atrito). Descreva uma metodologia na determinação dos

termos PI’s.

Fatores que contribuem para a queda de pressão∆ppll

Metodologia para determinação dos parâmetros adimensionais.


Situação em que se combina as variáveis dependentes com outras variáveis de

modo a se obter um produto adimensional. Neste caso divide-se ou multiplica os

variáveis dependentes pelas independente até se chegar a uma adimensionalidade.

Determinação dos Termos Pi’s

Métodos das Variáveis repetidas

O procedimento segue uma serie de passos que podem ser seguidos na análise de qualquer problema.

Método Alternativo

Determinação por Inspeção

A determinação dos termos Pi pode ser desenvolvida reconhecendo os termos Pi são sempre constituídos por produtos de variáveis elevadas a potências apropriadas.



2º PASSO:

Expresse cada uma das variáveis em função das dimensões básicas.

1º PASSO: Liste todas as variáveis envolvidas no problema. Define-se n como o número de variáveis envolvidas;

n = 5 n = D, V, ρ, μ

³FLpl LD

LF 2

TLV 1

Utilizando as dimensões básica F, L e T, teremos que:

TLF 24




Determinar o número necessário de termos Pi. É utilizado aplicando o teorema de Buckingham Pi. Onde:

Termos Pi = n – m, n – m, onde nn é o número de variáveis do problema e mm é o número de dimensões básicas (passo 2)

3º PASSO:

Termos Pi = n – m = n – m = 5 - 3 = = 22

4º PASSO:

Escolha das variáveis repetidas. São iguais ao número de dimensões de referencia, ou seja:

Variáveis repetidas (dentre as variáveis independentes): 3 3

Variáveis repetidas = 3 = D, V, ρ




5º PASSO: Construção dos termos Pi pela multiplicação das variáveis não

repetidas pelas variáveis repetidas elevadas a expoentes que torne a

combinação adimensional

Combinar a variável dependente com as variáveis repetidas e formar os dois termos Pi’s. Deste modo:

cbal VDp1

ººº)²²)((

³)/(

²TLF

LTF

LFL

V

pD

TLl

14

1

cba

VD2

Resolvendo para o primeiro termo: temos que:1

A combinação deve ser adimensional




Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Para tem-se:1

ººº)( ²)(()( ) TLFF TLFTLLLCba

4131

Determinar os expoentes resultantes de modo que a combinação

resultante das dimensões básicas- F, L e T sejam adimensionais.

1 + C = 0 (para F)

-3 + a + b -4c = 0 (para L)

-b + 2c = 0 (para T)




FF: 1 + C = 0 a = 1a = 1

LL: -3 + a + b -4c = 0 b = -2b = -2;

TT: -b + 2c = 0 c = -1c = -1

Para tem-se:1 A solução deste sistema de equações algébricas fornece os

seguintes valores:

Logo o primeiro termo Pi será escrito:

²V

pD l

1

²V

pD l

1




ººº)( ²)(()( ) TLFTF TLFTLLLCba

4122

Para tem-se:

Determinar os expoentes resultantes de modo que a combinação

resultante das dimensões básicas- F, L e T sejam adimensionais.

1 + C = 0 (para F)

-2 + a + b -4c = 0 (para L)

1 –b - 2c = 0 (para T)

cba

VD2

6º PASSO: Construção dos termos Pi pra as variáveis restantes




Para tem-se: cba

VD2

FF: 1 + C = 0 a = -1a = -1

LL: -2 + a + b -4c = 0 b = -1b = -1;

TT: 1 – b +2c + 2c = 0 c = -1c = -1

A solução deste sistema de equações algébricas fornece os

seguintes valores:

Logo o primeiro termo Pi será escrito:

VD 2

VD 2




7º PASSO: Verificar se todos os termos Pi são adimensionais. Utiliza-se as

unidades básicas: (FLT) e (MLT)

ººº)²²)((

))((

²TLF

LTF

L

V

pD

TLFLl

14

3

1

ººº)²)((

)(TLF

LTF

TF

VD TLL

14

2

2

ººº)²)((

))((

²TLM

LM

L

V

pD

TLTMLl

13

22

1

ººº))()((

)(TLM

MLLVD LTTML

31

11

2

De modo análogo:




8º PASSO: Expressão da forma final da relação entre os termos pi e o

significado da relação

VDV

pD l

²

VDV

pD l

²

A expressão final será a seguinte:

Significado da expressão:

O resultado indica que pode-se estudar o problema com dois termos p

(em vez das cinco variáveis originais do problema). A função ø pode ser

determinada a partir de um conjunto adequado de experimentos.




VD

V

pD l

²

VD

V

pD l

²

A expressão dos termos pi pode ser rearranjada, escrevendo a equação

com o recíproco de de maneira que a ordem das variáveis possa ser

alterada.VD

VD

2Neste caso, pode-se exprimir π2 como:

E a relação entre π1 e π2 pode ser reescrita do seguinte modo:

Observações :


Grupos Adimensionais

São extremamente importantes na correlação de dados experimentais;

Em razão das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem o estudo da Mecânica dos Fluidos

Grupos Adimensionais da Mecânica dos Fluidos


Grupos Adimensionais

Alguns dos grupos adimensionais mais importantes:

Número de Reynolds;Número de Reynolds;

Número de Froude;Número de Froude;

Número de Euler;Número de Euler;

Número de Mach;Número de Mach;

Número de Weber;Número de Weber;

Número de Nusselt;Número de Nusselt;

Número de Prandtl;Número de Prandtl;



VL

Re

Número de Reynolds

Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas

Aplicação: Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;

Número de Froude

Relação entre Forças de Inércia e Peso (forças de gravidade);

Aplicação: Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido; Também é útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios.

gL

VFr



Número de Euler

Aplicação: Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos. Situações que envolve pressão ou diferenças de pressão.

Número de Nusselt

Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo de calor por condução no próprio fluido;

Aplicação: É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor por convecção.

2V

pEu

Relação entre Forças de Pressão e as Forças de Inércia;

K

hLNu



Número de Weber

Aplicação: É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;

Número de Mach

Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;

Aplicação: Importante onde a compressibilidade do fluido é importante. É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou superiores à do som.

Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão

Superficial;L

VWe

C

VMa



Número de Prandtl

Aplicação: É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por convecção;

Relação entre a difusão de quantidade de movimento e difusão de quantidade de calor;a

VPr



Conclusão

A aplicação do teorema dos Pi’s é uma ferramenta muito útil no estudo;

Uma das utilizações na aplicação dos termos pi’s é o tratamento, interpretação e correlação de dados experimentais;

A análise dimensional não pode fornecer a resposta completa para qualquer problema porque esta ferramenta apenas indica os grupos adimensionais que descrevem o fenômeno e não as relações específicas entre os grupos adimensionais;

Os problemas mais simples são aqueles que envolvem poucos termos pi e as dificuldades cresce com o número de termos pi necessários para descrever o fenômeno e da natureza dos experimentos (é muito dificil obter dados experimentais adequados em qualquer experimentos).


Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica;

Utilizam-se com freqüência estudos experimentais;

Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas;

Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia são realizadas utilizando-se modelos em escala.

SEMELHANÇAS


• Semelhança é, em sentido bem geral, uma indicação de que dois fenômenos têm um mesmo comportamento;

• Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entre um edifício e sua maquete (semelhança geométrica)

• Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus contornos;

Semelhança


• Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural ou protótipoprotótipo;

• O escoamento de menor escala é denominado de modelomodelo.

Estudo em modelo reduzidoda Barragem de Pedrógão - Portugal

Semelhança


• Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural ou protótipoprotótipo;

• O escoamento de menor escala é denominado de modelomodelo.

Estudo em modelo reduzidoda Barragem de Pedrógão - Portugal

Semelhança


Semelhança

Modelo

Protótipo


Semelhança

ModeloProtótipo


Modelo reduzido em escala geométrica da tomada d’água e da

comporta vagão da Usina Hidrelétrica de Paulo Afonso IV

(CHESF), no rio São Francisco, 1978.

Modelo reduzido do Brennand Plaza, no Recife, ensaiado notúnel de vento. Medidas de pressões devidas ao vento nasuperfície externa do edifício. Escala do modelo: 1/285

Estudo em modelo reduzido do

vale do rio Arade


Utilização de Modelos em escala:

Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);

Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;

Os resultados podem ser extrapolados; Podem ser utilizados modelos reduzidos

ou expandidos (dependendo da conveniência);

Semelhança


• Para ser possível esta comparação entre o modelo e a realidade, é indispensável que os conjuntos de condições sejam FISICAMENTE SEMELHANTES;

O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança:

•Semelhança Geométrica•Semelhança Cinemática•Semelhança Dinâmica

Semelhanças


1. Semelhança Geométrica•Semelhança de forma;•A propriedade característica dos sistemas

geometricamente semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é constante;

•Esta razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.

Semelhanças


1. Semelhança Geométrica Deve-se lembrar que não só a forma global

do modelo tem que ser semelhante como também a rugosidade das superfícies deve ser geometricamente semelhante;

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.

Semelhanças


1. Semelhança Geométrica 1. 1 Escalas do modelo

Semelhanças

A razão entre o valor do modelo para o do protótipos são relacionados por escalas de comprimentosescalas de comprimentos, e são apresentadas da seguintes formas: 1:10 ou 1/10. ou seja, o modelo apresenta um décimo do tamanho do protótipo.

10

1

Pr

Lp

Lm

otótipo

Modelo

Obs: Neste caso, admite-se que todos os comprimentos relevantes (diâmetro, largura, etc.) apresentam a mesma escala de modo que o modelo é geometricamente similar ao protótipo.


1. Semelhança Geométrica 1. 1 Escala de modelo

Semelhanças

p

m

V

V

otótipo

Modelo

Pr

Existem outras escala, por ex, por ex.: de velocidade; da viscosidade; da massa específica, etc.

p

m

otótipo

Modelo

Pr p

m

otótipo

Modelo

Pr


2. Semelhança Cinemática:

Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de linhas de corrente;

É a semelhança do movimento;

Semelhanças


3. Semelhança Dinâmica

– É a semelhança das forças;

– Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;

Semelhanças


• Origens das Forças que determinam o comportamento dos Fluidos:

Forças devido à diferenças de Pressão; Forças resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.

Semelhanças



Grupo Adimensional

Nome Razão das Forças representadas

Símbolo habitual

UL

Número de Reynolds

Força de InérciaForça Viscosa

Re

_U_

(Lg)1/2

Número de Froude

Força de InérciaForça da gravidade

Fr

U L 1/2

Número de Weber

Força de InérciaForça de Tensão Superficial

We

UC

Número de Mach

Força de InérciaForça Elástica

M

Semelhanças



Semelhança

Para Ma


• Exemplos de estudos em modelosExemplos de estudos em modelos

– Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos;

– Escoamento em condutos;

– Estruturas hidráulicas livres;

– Resistência ao avanço de embarcações;

– Máquinas hidráulicas;

Semelhanças


EXERCÍCIO

Semelhanças


1. FOX; MCDONALD, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC Editora, 5ª Edição.

2. SONTAG, R; VAN WYLEN. Fundamentos da Termodinâmica, Edgard Bluxher, 2009;

3. White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill;

4. Cengel, Y.A., & Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill;

5. Munson, B., Young, D. & Okiishi, T., Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley.

6. STREETER, Vitor L. , Wylie, E. Benjamin – Mecânica dos Fluidos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1982. 7edição.

7. Ranald. V. Giles, Jack B Evett, Cheng Liu. Mecânica de Fluidos e Hidráulica. 2ªEdição. Editora ABDR, 1996.

Bibliografia consultada

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7. analise dimencional

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