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Instituto Politecnico da Guarda
Apontamentos de AnaliseMatematica
Autor: Maria Cecılia dos Santos Rosa
8 de Setembro de 2014
Conteudo
Conteudo i
1 Funcoes reais de variavel real 1
1.1 Definicao, Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Calculo Diferencial em R 30
2.1 Definicao, Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Derivada da funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Derivada da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8 Monotonia e extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 Concavidades e pontos de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Primitivacao 45
3.1 Definicao e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Primitivas imediatas e quase-imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Metodo de primitivacao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Metodo de primitivacao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Primitivacao de funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Decomposicao em fracoes simples . . . . . . . . . . . . . . . 59
i
Contents ii
4 Calculo Integral em R 65
4.1 Integral de Riemann: definicao e propriedades . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Integracao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Areas de regioes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Capıtulo 1
Funcoes reais de variavel real
1.1 Definicao, Exemplos
Dados dois conjuntos A e B, uma funcao de A em B e uma correspondencia que
associa a cada elemento x ∈ A um e um so elemento y ∈ B. E usual a notacao
f : A→ B
para representar uma funcao de A em B.
• o conjunto A chama-se domınio da funcao f ;
• o conjunto B chama-se conjunto de chegada da funcao f ;
• o conjunto das imagens dos elementos de A por f , ou seja, o conjunto
f(A) = {f(x) ∈ B : x ∈ A}
chama-se contradomınio de f .
Uma funcao esta definida quando se conhece
- o seu domınio,
- o seu conjunto de chegada e
- o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do domınio.
1
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 2
As funcoes f que vamos estudar sao as funcoes reais de variavel real, ou seja as
funcoes f cujo domınio e um subconjunto do conjunto dos numeros reais R e o
conjunto de chegada e o conjunto R.
Representaremos o domınio destas funcoes por D ou Df usando-se a seguinte
notacao:
f : D ⊆ R→ R
ou de forma mais abreviada
f : D → R.
Uma funcao f : D ⊆ R→ R, diz-se
- crescente se
∀x, y ∈ D, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
- estritamente crescente se
∀x, y ∈ D, x < y ⇒ f(x) < f(y)
- decrescente se
∀x, y ∈ D, x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
- estritamente decrescente se
∀x, y ∈ D, x < y ⇒ f(x) > f(y)
- monotona se e crescente ou decrescente
- estritamente monotona se e estritamente crescente ou estritamente decrescente
Uma funcao f : D ⊆ R→ R, diz-se uma funcao
- par se
∀x ∈ D, f(−x) = f(x)
- ımpar se
∀x ∈ D, f(−x) = −f(x)
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 3
x
y
(a) Funcao crescente
x
y
(b) Funcao estritamente crescente
Figura 1.1: Funcoes monotonas crescentes
x
y
(a) Funcao decrescente
x
y
(b) Funcao estritamente decrescente
Figura 1.2: Funcoes monotonas decrescentes
Uma funcao par e simetrica em relacao ao eixo das ordenadas e uma funcao ımpar
e simetrica em relacao a origem.
Uma funcao f : D ⊆ R→ R, diz-se
- limitada se
∃M ∈ R+ : ∀x ∈ D, |f(x)| ≤M,
ou seja f diz-se limitada se o seu contradomınio for um conjunto limitado.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 4
x
y
(a) Funcao par
x
y
(b) Funcao ımpar
Figura 1.3: Funcoes com paridade
x
y
Figura 1.4: Funcao limitada
Seja f : D ⊆ R→ R uma funcao real de variavel real.
• Dizemos que f e injetiva se
para quaisquer a, b ∈ D tais que a 6= b se tem f(a) 6= f(b), ou ainda
se para quaisquer a, b ∈ D tais que f(a) = f(b) se tem a = b.
• Dizemos que f e sobrejetiva se
para cada b ∈ R existe a ∈ D tal que f(a) = b, isto e se o seu contradomınio
for igual ao conjunto de chegada.
Assim, uma funcao real de variavel real e sobrejetiva se o seu contradomınio
for o conjunto R dos numeros reais.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 5
• Uma funcao real de variavel real e bijetiva se for injetiva e sobrejetiva.
Exemplo 1.1. Mostre que a funcao definida por f(x) = 3x − 1 e injetiva e
sobrejetiva. Como
f(a) = f(b) ⇔ 3a− 1 = 3b− 1
⇔ 3a = 3b
⇔ a = b
entao f e injetiva. Vamos ver se f e sobrejetiva:
y = f(x) ⇔ y = 3x− 1
⇔ 3x = y + 1
⇔ x =y + 1
3
Como D′f = R, logo f e sobrejetiva.
Exemplo 1.2. Mostre que a funcao definida por f(x) = x2 nao e injetiva nem
sobrejetiva.
De facto, por exemplo, f(−1) = f(1) = 1, logo f nao e injetiva.
Alem disso, como o seu contradomınio e [0,+∞[, entao f nao e sobrejetiva.
1.2 Funcao inversa
Seja f : D ⊆ R → R uma funcao real de variavel real. Ja vimos que o contra-
domınio de f e o conjunto
f(D) = {f(x) ∈ R : x ∈ D} .
Suponhamos que f e injetiva, entao dado y ∈ f(D), existe um e um so x ∈ Dtal que y = f(x).
Nestas condicoes podemos definir a inversa da funcao f que a cada y ∈ f(D) faz
corresponder x ∈ D tal que f(x) = y. A funcao inversa de f representa-se por
f−1 e e a funcao
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 6
f−1 : f(D)→ R
definida por
f−1(y) = x⇔ y = f(x).
Temos para cada x ∈ D e para y ∈ f(D),
f−1(f(x)) = x e f(f−1(y)) = y.
Para determinar a funcao inversa de uma funcao f tem-se o seguinte processo:
• Determinar o contradomınio de f ;
• verificar se f e injetiva;
• se f e injetiva entao temos f−1 : f(D)→ R definida por
f−1(y) = x⇔ y = f(x).
Exemplo 1.3. Consideremos a funcao real de variavel real definida por f(x) =3x+ 1
x− 2. Ora
Df = {x ∈ R : x− 2 6= 0} = R \ {2};
resolvendo a equacao seguinte em ordem a x,
y = f(x) ⇔ y =3x+ 1
x− 2⇔ y(x− 2) = 3x+ 1 ∧ x 6= 2
⇔ x =2y + 1
y − 3∧ x 6= 2
e portanto x existe desde que y − 3 6= 0, logo
Exemplo 1.4. Consideremos a funcao real de variavel real definida por f(x) = x2.
A funcao f(x) nao e injetiva pois, por exemplo, f(1) = f(−1) = 1. Assim, a
funcao f nao tem inversa. No entanto, se considerarmos a restricao desta funcao
ao intervalo [0,+∞[, ou seja se considerarmos a funcao
g : [0,+∞[→ R
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 7
definida por g(x) = x2, esta funcao ja e injetiva e portanto podemos determinar
a sua inversa. Como o seu contradomınio e [0,+∞[ e y = x2 ⇔ x =√y, temos
que g−1 : [0,+∞[→ R
e definida por g−1(x) =√x.
Exemplo 1.5.
D′f = {y ∈ R : y − 3 6= 0} = R \ {3};
para alem disso,
f(x) = f(x′) ⇒ 3x+ 1
x− 2=
3x′ + 1
x′ − 2
⇒ 7(x− x′)(x− 2)(x′ − 2)
= 0
⇒ x = x′
ou seja f e injetiva.
Exemplo 1.6. Portanto
f−1 : R \ {3} → R
e a funcao inversa de f definida por
f−1(y) =2y + 1
y − 3
1.3 Funcao composta
Sejam f : Df ⊆ R→ R e g : Dg ⊆ R→ R
duas funcoes reais de variavel real. A funcao composta de g com f e a funcao
g ◦ f : Dg◦f ⊆ R→ R,
definida por (g ◦ f)(x) = g(f(x)),
e cujo domınio e o conjunto
Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}.
Exemplo 1.7. Consideremos as funcoes reais de variavel real
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 8
f : R→ R e g : R \ {−1} → R
definidas por f(x) = 2x2 − 5 e g(x) =2
x+ 1.
Entao g ◦ f e a funcao definida pela expressao designatoria
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x2 − 5) =2
2x2 − 4=
1
x2 − 2
e cujo domınio e o conjunto
Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}
= {x ∈ R : 2x2 − 5 ∈ R \ {−1}}
= R \ {−√
2,√
2}
Exemplo 1.8. Se quisermos calcular f ◦ g em vez de g ◦ f , temos
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2
x+ 1) =
8
(x+ 1)2− 5
e cujo domınio e o conjunto
Df◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df}
= {x ∈ R \ {−1} :2
x+ 1∈ R}
= R \ {−1}
1.4 Funcao exponencial
Dado um numero real a ∈]0,+∞[, a funcao
f : R→ R
definida por
f(x) = ax,
designa-se por funcao exponencial de base a.
Se a = 1, temos a funcao constante f(x) = 1x = 1.
Fazer grafico da exponencial
Propriedades da funcao exponencial
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 9
Sejam x, y ∈ R e a, b ∈]0,+∞[. Entao
• a0 = 1
• ax+y = axay
• (ax)y = axy
• (ab)x = axbx
• a−x =1
ax
• f(x) = ax e uma funcao crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1
• se a ∈]0,+∞[\{1}, f(x) = ax e uma funcao injetiva
• se a ∈]0,+∞[\{1}, o contradomınio da funcao f(x) = ax e ]0,+∞[
1.5 Funcao logarıtmica
Se a ∈]0,+∞[\{1}, a funcao exponencial f(x) = ax e injetiva e portanto tem
inversa. A funcao inversa da funcao exponencial designa-se de funcao logaritmo
na base a e representa-se por loga. Como o contradomınio da funcao exponencial
e o intervalo ]0,+∞[, tem-se que
loga :]0,+∞[→ R
e definida por loga(x) = y ⇔ x = ay.
Quando a = e, temos a funcao logaritmo natural que se representa por ln.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 10
Propriedades da funcao logarıtmica
Sejam x, y ∈ R+ e a, b ∈]0,+∞[\{1}. Entao
• loga1 = 0
• loga(xy) = logax+ logay
• loga(x
y) = logax− logay
• loga(xy) = ylogax
• y = loga(x) e uma funcao crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1
• A funcao logarıtmica e uma funcao injetiva
• o contradomınio da funcao logarıtmica e R
1.6 Funcoes trigonometricas
• seno: senα =BC
AC=DE
AC
• coseno: cosα =AB
AC=AD
AC
As funcoes seno e coseno tem domınio R e sao tais que a cada x ∈ R fazem
corresponder
sen x e cos x
respetivamente.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 11
x
y
f(x) = senx
π2
3π2
π 2π0−π2−3π
2−π−2π
Figura 1.5: Grafico da funcao seno
x
y
f(x) = cosx
π2
3π2
π 2π0−π2−3π
2−π−2π
Figura 1.6: Grafico da funcao coseno
O seu contradomınio e o intervalo [−1, 1].
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 12
A funcao tangente e definida por
tgx =senx
cosx,
e tem domınio o conjunto{x ∈ R : x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}.
A funcao cotangente e definida por
cotgx =cosx
senx,
e tem domınio o conjunto{x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}
A funcao cotangente e definida por
cotgx =cosx
senx,
e tem domınio o conjunto{x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z} .
O contradomınio destas funcoes e o conjunto dos numeros reais, R.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 13
A funcao secante e definida por
secx =1
cosx,
e tem domınio o conjunto{x ∈ R : x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}.
A funcao cosecante e definida por
cosecx =1
senx,
e tem domınio o conjunto
{x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}
O contradomınio destas funcoes e o conjunto dos numeros reais, ] − ∞,−1] ∪[1,+∞[.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 14
0π
6
π
4
π
3
π
2π
3π
2
seno 01
2
√2
2
√3
21 0 -1
coseno 1
√3
2
√2
2
1
20 -1 0
tangente 0
√3
31
√3 n.d. 0 n.d.
cotangente n.d.√
3 1
√3
30 n.d. 0
Formulas trigonometricas:
sen2x+ cos2x = 1
1 + tg2x =1
cos2xe 1 + cotg2x =
1
sen2x
ou seja
1 + tg2x = sec2x e 1 + cotg2x = cosec2x
cos(2x) = 1− 2sen2x e sen(2x) = 2 senx cosx
senx− seny = 2senx− y
2cos
x+ y
2e cosx− cosy = −2sen
x+ y
2cos
x− y2
1.7 Funcoes trigonometricas inversas
A funcao seno nao e injetiva, logo nao tem inversa. Consideremos a restricao da
funcao seno ao intervalo [−π2,π
2], a qual se designa de restricao principal, isto e
consideremos a funcao f : [−π2,π
2]→ R,
definida por f(x) = senx. A funcao f e injetiva e portanto tem inversa. A inversa
de f chamamos funcao arco seno e representa-se por arc sen. Assim,
arcsen : [−1, 1]→ R,
e definida por
arcsenx = y ⇔ x = seny e y ∈ [−π2,π
2].
A funcao coseno nao e injetiva, logo nao tem inversa. Consideremos a restricao da
funcao coseno ao intervalo [0, π]. Consideremos a funcao
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 15
g : [0, π]→ [−1, 1],
definida por g(x) = cosx. A funcao g e injetiva e portanto tem inversa. A inversa
de g chamamos funcao arco coseno e representa-se por arc cos. Assim,
arccos : [−1, 1]→ R,
e definida por arccosx = y ⇔ x = cosy e y ∈ [0, π].
A funcao tangente nao e injetiva, logo nao tem inversa. Consideremos a restricao
da funcao tangente ao intervalo ]− π
2,π
2[. Consideremos a funcao
h :]− π
2,π
2[→ R,
definida por h(x) = tgx. A funcao h e injetiva e portanto tem inversa. A inversa
de h chamamos funcao arco tangente e representa-se por arc tg. Assim,
arctg : R→ R,
e definida por
arctgx = y ⇔ x = tgy e y ∈]− π
2,π
2[.
A funcao cotangente nao e injetiva, logo nao tem inversa. Consideremos a restricao
da funcao cotangente ao intervalo ]0, π[. Consideremos a funcao
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 16
i :]0, π[→ R,
definida por i(x) = cotgx. A funcao i e injetiva e portanto tem inversa. A inversa
de i chamamos funcao arco cotangente e representa-se por arc cotg. Assim,
arccotg : R→ R,
e definida por
arccotgx = y ⇔ x = cotgy e y ∈]0, π[.
1.8 Limites
Seja a funcao f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1,
pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e
calcular o valor correspondente de y:
x y = 2x+ 1
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y = 2x+ 1
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 17
Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando
x tende para 1 (x→ 1), y tende para 3 (y → 3), ou seja:
limx→1
f(x) = 3.
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma funcao, a um ponto de acumulacao
de D e b ∈ R. Diz-se que b e o limite de f quando x tende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que |f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal
que 0 < |x− a| < δ.
Questao: Sera que, a medida que x se aproxima de um numero real a, com x 6= a,
f(x) fica cada vez mais proxima de algum numero real b?
em caso afirmativo, dizemos que o limite de f(x) , quando x tende para a e igual
a b e escreve-se
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 18
limx→a
f(x) = b.
Sejam D um subconjunto de R, f, g : D → R funcoes, a um ponto de acumulacao
de D. Suponhamos que existem limx→a
f(x) e limx→a
g(x), entao
• existe limx→a
[f(x) + g(x)] e
limx→a
[f(x) + g(x)] = limx→a
f(x) + limx→a
g(x);
• existe limx→a
[f(x)g(x)] e
limx→a
[f(x)g(x)] = [limx→a
f(x)][limx→a
g(x)];
• se limx→a
g(x) 6= 0, existe limx→a
f(x)
g(x)e
limx→a
f(x)
g(x)=
limx→a
f(x)
limx→a
g(x);
Nos limites infinitos podemos usar a regra do limite da soma desde que adotemos
as convencoes:
Sendo a um numero real qualquer,
• (+∞) + (+∞) = +∞;
• (−∞) + (−∞) = −∞;
• (+∞) + a = +∞ = a+∞;
• (−∞) + a = −∞ = a+ (−∞);
Nos limites infinitos podemos usar a regra do limite da soma e do produto desde
que adotemos as convencoes:
• (+∞)× (+∞) = +∞ = (−∞)× (−∞);
• (+∞)× (−∞) = −∞ = (−∞)× (+∞);
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 19
• (+∞)× a = +∞ = a× (+∞) se a > 0;
• (+∞)× a = −∞ = a× (+∞) se a < 0;
• (−∞)× a = +∞ = a× (−∞) se a < 0;
• (−∞)× a = −∞ = a× (−∞) se a > 0;
Usando a regra do limite do quociente temos as convencoes:
• a
+∞=
a
−∞= 0 se a ∈ R;
• a
0+= +∞ se a > 0;
• a
0+= −∞ se a < 0;
• a
0−= −∞ se a > 0;
• a
0−= +∞ se a < 0;
Sımbolos de indeterminacao:
• (+∞) + (−∞);
• 0× (+∞); 0× (−∞);
• +∞+∞
;+∞−∞
;−∞+∞
;−∞−∞
;0
0;
Limites notaveis:
Um dos limites notaveis mais conhecido e:
limx→0
ex − 1
x= 1
Fazendo a mudanca de variavel y = ln(x + 1), vem x = ey − 1 e quando x → 0
temos y → 0. Assim,
limx→0
ln(1 + x)
x= lim
y→0
y
ey − 1= lim
y→0
1ey−1y
= 1.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 20
Logo, temos o seguinte limite notavel
limx→0
ln(1 + x)
x= 1
Outro dos limites notaveis importante e:
limx→0
senx
x= 1
Atraves deste limite podemos calcular outros, por exemplo
limx→0
tgx
x= lim
x→0
senxcosx
x= lim
x→0
1
cosx
senx
x=
1
11 = 1.
Logo, temos o seguinte limite notavel
limx→0
tgx
x= 1
Exemplo 1.9. Prove que
limx→0
1− cosxx2
=1
2.
Ora,
limx→0
1− cosxx2
= limx→0
(1− cosx)(1 + cosx)
x2(1 + cosx)
= limx→0
1− cos2x
x2
1
(1 + cosx)
= limx→0
sen2x
x2
1
(1 + cosx)
= limx→0
(senx
x)2 1
(1 + cosx)
=1
2
Vamos provar agora que
limx→0
arcsenx
x= 1
Fazendo a mudanca de variavel y = arcsenx, temos
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 21
limx→0
arcsenx
x= lim
y→0
y
seny= lim
y→0
1senyy
= 1.
Tambem
limx→0
arctgx
x= 1
Fazendo a mudanca de variavel y = arctgx, temos
limx→0
arctgx
x= lim
y→0
y
tgy= lim
y→0
1tgyy
= 1.
Vamos provar agora que
limx→+∞
(1 +1
x)x = e
Usando propriedades dos logaritmos temos que
limx→+∞
ln[
(1 + 1x)x]
= limx→+∞
xln(1 +1
x) = lim
x→+∞
ln(1 + 1x)
1x
.
Fazendo a mudanca de variavel y =1
x, vem
limx→+∞
ln[
(1 + 1x)x]
= limy→0
ln(1 + y)
y= 1.
Assim,
limx→+∞
(1 +1
x)x = lim
x→+∞eln
[(1 + 1
x)x
]= e
limx→+∞
ln[
(1 + 1x)x]
= e1 = e.
Ainda,
• limx→0
x2
ex+2 − e2;
• limx→0
ln(x+ 1)
2x;
• limx→0
ln(3x+ 1)
x;
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 22
1.9 Limites Laterais
Se a funcao f(x) tende para b1, quando x tende para x0 por valores inferiores a
x0, diz-se que b1 e o limite a esquerda de f , e escreve-se
limx→x−0
f(x) = b1.
Se a funcao f(x) tende para b2, quando x tende para x0 por valores superiores a
x0, diz-se que b2 e o limite a direita de f , e escreve-se
limx→x+0
f(x) = b2.
• Se os limites a esquerda e a direita da funcao f(x) existem e sao iguais, isto e,
se b1 = b2 = b, entao b e o limite de f(x), quando x tende para x0. Inversamente,
se f(x) tem limite b em x0, entao os limites a esquerda e a direita da funcao sao
iguais a b.
como os limites a esquerda e a direita da funcao f(x) existem mas nao sao iguais,
isto e,
limx→x+0
f(x) 6= limx→x−0
f(x),
entao nao existe
limx→x0
f(x).
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 23
1.10 Continuidade
Uma funcao real de variavel real f e contınua em a ∈ Df , com a ponto de acu-
mulacao de Df , se e so se
limx→a
f(x) = f(a).
Exemplo 1.10. Consideremos a funcao real de variavel real definida por f(x) =√x+ 1
x. Esta funcao e contınua em x = 1, de facto
limx→1
f(x) = limx→1
√x+ 1
x=
√2
2= f(1).
Se uma funcao f nao e contınua em a diz-se descontınua em ou seja a e um ponto
de descontinuidade de f .
A funcao representada no grafico anterior e descontınua no conjunto dos numeros
inteiros.
Sendo a um ponto de acumulacao do domınio de f e pertencendo a esse domınio.
• A funcao f e contınua a direita de a ∈ Df se e so se
limx→a+
f(x) = f(a).
• A funcao f e contınua a esquerda de a ∈ Df se e so se
limx→a−
f(x) = f(a).
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 24
• Se uma funcao f e contınua em x = a, ela e contınua a esquerda e a direita
de a.
• Se uma funcao f e contınua a esquerda e a direita de a, ela e contınua em
x = a.
Exemplo 1.11. Para a funcao definida por
f(x) =
{x+ 1 se x ≥ 2,
x se x < 2.
cujo grafico e
Exemplo 1.12. temos
limx→2+
f(x) = 3 e limx→2+
f(x) = 2
logo nao existe
limx→2
f(x)
uma vez que os limites laterais sao diferentes, logo f nao e contınua em x = 2.
Das propriedades dos limites resulta que
• Sejam f, g : D ⊆ R→ R duas funcoes contınuas em a ∈ D. Entao
f + g, f − g e f.g
sao contınuas em a e se g(a) 6= 0 entao
f
g
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 25
e contınua em a.
• Sejam f : Df ⊆ R→ R e g : Dg ⊆ R→ R duas funcoes. Se f e contınua em
a ∈ Df e g contınua em f(a) ∈ Dg, entao g ◦ f e contınua em a.
Exemplo 1.13. • As funcoes constante sao contınuas em R;
• As funcoes polinomiais sao funcoes contınuas em R;
• Uma funcao racional e contınua em todos os pontos do seu domınio;
• A funcao exponencial e contınua em R;
• A funcao logaritmo e contınua em todos os pontos do seu domınio;
• As funcoes trigonometricas sao contınuas no seu domınio;
• As funcoes inversas das funcoes trigonometricas sao contınuas no seu domınio;
• A funcao f diz-se contınua num intervalo ]a, b[ (subconjunto de Df ) se e so
se for contınua em todos os pontos desse intervalo.
• A funcao f diz-se contınua num intervalo fechado [a, b] se e so se e contınua
no intervalo ]a, b[ e tambem e contınua a direita de a e a esquerda de b.
A funcao definida por
f(x) =
{x2 se x ≥ 0,
x+ 1 se x < 0.
cujo grafico e
e contınua no intervalo [−1, 0], mas nao e contınua no intervalo [−0.4, 0.4], uma
vez que nao e contınua a esquerda de 0.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 26
1.11 Teorema de Bolzano
sejam a e b numeros reais tais que a < b e
f : [a, b]→ R
uma funcao contınua tal que
f(a) 6= f(b).
Entao para qualquer valor k entre f(a) e f(b), existe um ponto c ∈]a, b[ tal que
f(c) = k.
• Toda a funcao contınua num intervalo fechado nao pode ir de um valor a outro
sem passar por todos os valores intermedios.
Exemplo 1.14. consideremos a funcao real de variavel real definida por f(x) =
x2 − 2x. Vamos provar que
∃c ∈]0, 6[: f(c) = 15.
A funcao e contınua em R e portanto contınua em qualquer intervalo fechado.
Assim, e contınua em [0, 6]. Como f(0) = 0 e f(6) = 24, o teorema de bolzano
garante a veracidade da proposicao
∃c ∈]0, 6[: f(c) = 15.
De facto: f(c) = c2 − 2c, ou seja c2 − 2c = 15⇔ c = 5 ∨ c = −3.
Como 0 < 5 < 6 , e verdadeira a proposicao.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 27
Corolario de Teorema de Bolzano:
sejam a e b numeros reais tais que a < b e
f : [a, b]→ R
uma funcao contınua tal que
f(a).f(b) < 0.
Entao existe um ponto
c ∈]a, b[
tal que
f(c) = 0.
Exemplo 1.15. Vamos provar que a funcao f : [0, 1]→ R, definida por
f(x) = cos( πx
2
)− x2
tem (pelo menos) um zero em [0, 1].
Esta funcao e contınua pois e a composicao de funcoes contınuas. Como
f(0).f(1) = (cos(0)− 02).(cos(
π
2)− 12
)= 1.(−1) = −1
pelo (Corolario do) Teorema de Bolzano, f tem de ter pelo menos um zero no
intervalo ]0, 1[.
1.12 Teorema de Weierstrass
Seja f : D ⊆ R→ R uma funcao definida num subconjunto nao vazio D.
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 28
Dizemos que f tem um maximo (absoluto) no ponto a ∈ D ou que f(a) e um
maximo (absoluto) de f se
f(x) ≤ f(a)
para todo o x ∈ D.
Quando
f(x) ≥ f(a)
para todo o x ∈ D, dizemos que f tem um mınimo (absoluto) no ponto a ∈ D ou
que f(a)e um mınimo (absoluto) de f .
Os maximos e mınimos (absolutos) de f dizem-se extremos absolutos de f .
Teorema de Weierstrass: Sejam D ⊆ R um conjunto nao vazio, fechado e
limitado e
f : D → R
uma funcao contınua. Entao f tem maximo e mınimo absolutos.
Corolario: Sejam a e b numeros reais tais que a < b e
f : [a, b]→ R
uma funcao contınua. Entao f tem maximo e mınimo absolutos.
Exemplo 1.16. Seja f : [1, 5]→ R a funcao definida por
f(x) =
x− 1 se x ∈ [1, 3],
e2x−6 − 1
x− 3se x ∈]3, 5].
Como
limx→3+
f(x) = 3− 1 = 2
e
limx→3−
f(x) =e2x−6 − 1
2(x− 3).2 = 2,
Capıtulo 1. Funcoes reais de variavel real 29
temos limx→3
f(x) = 2 = f(3). Assim, f e contınua no ponto x = 3. Alem disso,
em [1, 5] \ 3 a funcao e contınua pois e a composicao de funcoes contınuas. Pelo
Teorema de Weierstrass, f tem maximo e mınimo absolutos em [1, 5].
Capıtulo 2
Calculo Diferencial em R
2.1 Definicao, Exemplos
Sejam D um subconjunto nao vazio de R, f : D ⊆ R → R e a ∈ D um ponto de
acumulacao de D. Diz-se que f e derivavel ou diferenciavel em a se existe (e e
finito) o limite:
limx→a
f(x)− f(a)
x− aTal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e representa-se por
f ′(a), Df(a) ou ainda pordf
dx(a).
Fazendo a mudanca de variavel x = a+ h, temos
f ′(a) = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h.
Diz-se que a funcao f : D → R e derivavel ou diferenciavel em D se for derivavel
em todo o ponto de D e a nova funcao f ′ : D ⊆ R→ R, que a cada ponto x ∈ Dfaz corresponder f ′(x), chama-se derivada de f e representa-se tambem por Df
oudf
dx.
O quociente f(a+ h)− f(a)
h
representa o declive da recta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (a + h, f(a + h)).
Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)),
vai tender para a recta tangente ao grafico de f e que passa nos pontos (a, f(a)).
Assim, geometricamente, a derivada de uma funcao num ponto do domınio e o
30
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 31
declive da recta tangente ao grafico da funcao no ponto considerado. Portanto, a
recta tangente ao grafico de uma funcao f no ponto (a, f(a)) e a recta de equacao
y = f(a) + f ′(a)(x− a).
x
y
f(x)
a a+ h
f(a)
f(a+ h)y = f(a) + f ′(a)(x− a)
Exemplo 2.1. Seja f : R→ R, a funcao definida por
f(x) = k,
onde k e um numero real. Entao
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lim
h→0
k − kh
= limh→0
0
h= 0
para cada x ∈ R. Assim, f ′ e a funcao identicamente nula.
Exemplo 2.2. Seja f : R→ R, a funcao definida por
f(x) = x,
Entao,
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lim
h→0
x+ h− xh
= limh→0
h
h= 1
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 32
para cada x ∈ R. Portanto f ′ : R→ R e a funcao definida por
f ′(x) = 1.
Exemplo 2.3. Seja f : R→ R, a funcao definida por f(x) = ex. Entao,
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
ex+h − ex
h
= limh→0
exeh − ex
h
= limh→0
ex(eh − 1)
h
= ex limh→0
eh − 1
h= ex
Exemplo 2.4. Seja f :]0,+∞[→ R, a funcao definida por f(x) = lnx. Entao,
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
ln(x+ h)− lnxh
= limh→0
ln(x+hx
)
h
= limh→0
ln(1 + hx)
hx
.1
x
=1
x
Exemplo 2.5. Seja f : R→ R, a funcao definida por f(x) = senx. Entao,
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
sen(x+ h)− senxh
= limh→0
2senx+ h− x
2cos
x+ h+ x
2h
= limh→0
sen(h/2)
h/2cos
2x+ h
2= cosx
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 33
Exemplo 2.6. Seja f : R→ R, a funcao definida por f(x) = cosx. Entao,
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
cos(x+ h)− cosxh
= limh→0
−2senx+ h+ x
2sen
x+ h− x2
h
= limh→0−sen2x+ h
2
sen(h/2)
h/2= −senx
2.2 Derivadas laterais
Consideremos a funcao real de variavel real definida por
f(x) =
{x2 se x ≤ 2,
−x+ 6 se x > 2.
representada geometricamente por
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
0
y = −x+ 2
y = x2
Vamos ver se f e derivavel no ponto de abcissa 2. Para isso vamos verificar se
existe limh→0
f(x+ h)− f(x)
h. A condicao necessaria e suficiente para que este limite
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 34
exista e que existam e sejam iguais os limites laterais. Como
limh→0−
f(2 + h)− f(2)
h= lim
h→0−
(2 + h)2 − 4
h
= limh→0−
4 + 4h+ h2 − 4
h= lim
h→0−(4 + h)
= 4
limh→0+
f(2 + h)− f(2)
h= lim
h→0+
−2− h+ 6− 4
h
= limh→0+
−hh
= −1
entao os limites laterais sao diferentes e portanto nao existe limh→0
f(x+ h)− f(x)
h.
Assim, nao existe derivada de f no ponto x = 2.
Sejam f : D → R e a a ∈ D tal que a e ponto de acumulacao de
{x ∈ D : x < a} = D∩]−∞, a[
Diz-se que f e derivavel (ou diferenciavel) a esquerda em a se existe e e finito o
limite
limx→a−
f(x)− f(a)
x− a= lim
h→0−
f(x+ h)− f(x)
h= f ′e(a).
Sejam f : D → R e a a ∈ D tal que a e ponto de acumulacao de
{x ∈ D : x > a} = D∩]a,+∞[
Diz-se que f e derivavel (ou diferenciavel) a direita em a se existe e e finito o limite
limx→a+
f(x)− f(a)
x− a= lim
h→0+
f(x+ h)− f(x)
h= f ′d(a).
Tendo em conta as propriedades dos limites, resulta imediatamente, para pontos
a ∈ D que f e derivavel em a se e so se f e derivavel a esquerda e a direita em a e
f ′e(a) = f ′d(a)
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 35
Exemplo 2.7. Consideremos a funcao real de variavel real definida por
f(x) = |x− 2|.
Temos
f ′d(2) = limx→2+
f(x)− f(2)
x− 2= lim
x→2+
|x− 2|x− 2
= 1
e
f ′e(2) = limx→2−
f(x)− f(2)
x− 2= lim
x→2−
|x− 2|x− 2
= limx→2−
−x+ 2
x− 2= −1,
logo f nao e derivavel no ponto 2.
2.3 Regras de derivacao
Sejam f, g funcoes reais de variavel real. Entao
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)
(k × f)′(x) = k × f ′(x)
(f × g)′(x) = f ′(x)× g(x) + g′(x)× f(x)(f
g
)′(x) =
f ′(x)× g(x)− g′(x)× f(x)
g2(x)
Exemplo 2.8. (tgx)′ =( senx
cosx
)′=
(senx)′cosx− (cosx)′senx
cos2x
=cosxcosx+ senxsenx
cos2x
=cos2x+ sen2x
cos2x
=1
cos2x
= sec2x
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 36
Exemplo 2.9. (cotgx)′ =( cosx
senx
)′=
(cosx)′senx− (senx)′cosx
sen2x
=−senxsenx− cosxcosx
sen2x
=−sen2x− cos2x
sen2x
=−1
sen2x
= −cosec2x
Exemplo 2.10.
(1
ex + 1
)′=
(1)′(ex + 1)− (ex + 1)′1
(ex + 1)2
=−ex
(ex + 1)2
2.4 Derivada da funcao composta
Sejam Df e Dg dois subconjuntos nao vazios de R e f : Df → R e g : Dg → Rfuncoes tais que f(Df ) ⊆ Dg. Suponhamos que a ∈ Df e um ponto de acumulacao
de Df e b = f(a) e um ponto de acumulacao de Dg. Se f e derivavel em a e g e
derivavel em b, entao g ◦ f e derivavel em a e
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))× f ′(a).
Exemplo 2.11. Consideremos a funcao real de variavel real definida por f(x) =
(3x2 − 4)50. Sejam g(x) = 3x2 − 4 e h(x) = x50, entao
(h ◦ g)(x) = f(x).
Logo
f ′(x) = (h ◦ g)′(x)
= h′(g(x))× g′(x)
= 50(3x2 − 4)49 × (3x2 − 4)′
= 50(3x2 − 4)49 × 6x
Exemplo 2.12. Se f e uma funcao real de variavel real diferenciavel, entao
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 37
• [ef(x)
]′= f ′(x)ef(x);
• [sen(f(x))
]′= f ′(x)cos(f(x));
• [cos(f(x))
]′= −f ′(x)sen(f(x));
2.5 Derivada da funcao inversa
Sejam f uma funcao diferenciavel e injetiva definida num intervalo I ⊆ R e a ∈ I.
Se f ′(a) 6= 0, entao f−1 e diferenciavel em b = f(a) e
(f−1)′(b) =1
f ′(f−1(b))=
1
f ′(a).
Exemplo 2.13. A funcao g :]0,+∞[→ R definida por
g(x) = ln(x)
e a funcao inversa da funcao f :]0,+∞[→ R
f(y) = ey.
Como f ′(y) = ey 6= 0 para qualquer y ∈ R e y = lnx temos
g′(x) = (f−1)′(x) =1
f ′(y)=
1
ey=
1
x.
Exemplo 2.14. A funcao g : [−1, 1]→ [−π2,π
2] definida por g(x) = arcsenx e a
funcao inversa da funcao f : [−π2,π
2]→ [−1, 1] definida por f(y) = seny.
Como f ′(y) = cosy 6= 0 para qualquer y ∈] − π
2,π
2[ e y = arcsenx, ou seja
x = seny, entao
g′(x) = (f−1)′(x) =1
f ′(y)=
1
cosy.
Usando a formula fundamental da trigonometria, isto e sen2y + cos2y = 1, com
y ∈]− π
2,π
2[, temos cosy =
√1− sen2y, ou seja cosy =
√1− x2. Assim,
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 38
(arcsenx)′ =1√
1− x2,
para x ∈]− π
2,π
2[.
Regras de derivacao:
Sejam a e n constantes e u e v funcoes de x,
(1)′ = 0
(xn)′ = n xn−1
(ln x)′ =1
x
(ex)′ = ex
(ax)′ = ln a ax
(logax)′ =1
x ln a
(sen x)′ = cos x
(cos x)′ = −sen x
(tg x)′ = sec2 x
(cotg x)′ = −cosec2 x
(sec x)′ = sec x tg x
(cosec x)′ = −cosec x cotg x
(arctg x)′ =1
1 + x2
(arccotg x)′ =−1
1 + x2
(arcsen x)′ =1√
1− x2
(arccos x)′ =−1√
1− x2
(a)′ = 0
(un)′ = n un−1 u′
(ln u)′ =u′
u
(eu)′ = u′ eu
(au)′ = ln a u′ au
(loga u)′ =u′
u ln a
(u.v)′ = u′v + v′u( u
v
)′=u′v − v′u
v2
(sen u)′ = u′ cos u
(cos u)′ = −u′ sen u
(tg u)′ = u′ sec2 u
(cotg u)′ = −u′ cosec2 u
(sec u)′ = u′ sec u tg u
(cosec x)′ = −u′ cosec u cotg u
(arctg u)′ =u′
1 + u2
(arccotg u)′ =−1
1 + u2
(arcsen u)′ =u′√
1− u2
(arccos u)′ =−u′√1− u2
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 39
2.6 Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Teorema de Rolle: Sejam a e b numeros reais tais que a < b e seja
f : [a, b]→ R
uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[. Se
f(a) = f(b),
entao existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.
A interpretacao geometrica de f ′(c) = 0 corresponde a que a recta tangente ao
grafico de f no ponto (c, f(c)) e horizontal.
x
y
a bc
f(a) = f(b)
Corolarios:
Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao diferenciavel em I. Entao
• entre dois zeros de f existe pelo menos um zero da derivada;
• entre dois zeros consecutivos da derivada de f existe, quando muito, um zero da
funcao.
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 40
x
y
a b c d e
f(a) = f(c) = f(e) = 0
f ′(b) = f ′(d) = 0
Teorema de Lagrange: Sejam a e b numeros reais tais que a < b e
f : [a, b]→ R
uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[. Entao existe c ∈]a, b[ tal
que
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a.
x
y
a bc
f(a)
f(b)
Geometricamente, o quocientef(b)− f(a)
b− a, e o declive da recta que passa nos
pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). O que o Teorema de Lagrange nos diz e que existe
uma recta tangente ao grafico de f paralela a recta que passa nos pontos (a, f(a))
e (b, f(b)).
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 41
Corolarios do Teorema de Lagrange:
Sejam I um intervalo de R f, g : I → R funcoes diferenciaveis em I.
- Se f ′(x) = 0 para qualquer x ∈ I, entao f e constante.
- Se f ′(x) > 0 para qualquer x ∈ I, entao f e estritamente crescente em I, ou seja,
para quaisquer x, y ∈ I, se x > y, entao f(x) > f(y).
- Se f ′(x) < 0 para qualquer x ∈ I, entao f e estritamente decrescente em I, ou
seja, para quaisquer x, y ∈ I, se x > y, entao f(x) < f(y).
Teorema de Cauchy: Sejam a e b numeros reais tais que a < b e
f, g : [a, b]→ R
funcoes contınuas em [a, b] e diferenciaveis em ]a, b[. Se g′(x) 6= 0 para qualquer
x ∈]a, b[, entao existe c ∈]a, b[ tal que
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c).
Regra de Cauchy: Sejam a e b numeros reais tais que a < b e
f, g :]a, b[→ R
funcoes diferenciaveis em ]a, b[, tais que g′(x) 6= 0 para cada x ∈]a, b[ (a ∈ R,
a = +∞ ou a = −∞). Suponhamos que
limx→a+
f(x) = limx→a+
g(x) = 0(∞)
ou limx→a+
|f(x)| = limx→a+
|g(x)| = +∞.
Se limx→a+
f ′(x)
g′(x)= L, entao
limx→a+
f(x)
g(x)= L.
2.7 Derivadas de ordem superior
Sejam D um subconjunto nao vazio de R e f : D → R uma funcao diferenciavel em
D. Se f ′ e diferenciavel em a ∈ D, entao diz-se que f e duas vezes diferenciavel em
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 42
a e a derivada de f ′ em a designa-se por segunda derivada de f em a e representa-se
por
f ′′(a) oud2f
dx2
e e dada por
f ′′(a) = f ′(f ′(a)) = limx→a
f ′(x)− f ′(a)
x− a= lim
h→0
f ′(a+ h)− f ′(a)
h.
Mais geralmente, se existirem as derivadas de f ate a ordem n− 1 e as represen-
tarmos por
f ′, f ′′, . . . , f (n−1)
e f (n−1) e derivavel em a entao diz-se que f tem derivada de ordem n em a e
f (n)(a) = limx→a
f (n−1)(x)− f (n−1)(a)
x− a= lim
h→0
f (n−1)(a+ h)− f (n−1)(a)
h.
• Uma funcao f : D → R, diz-se de classe Cn se f e n vezes diferenciavel em
D e a derivada de ordem n, f (n) e contınua em D.
• Se f admite derivadas de todas as ordens em D, entao dizemos que f e
indefinidamente diferenciavel ou de classe C∞.
Sejam I um intervalo, f : I → R, uma funcao de classe Cn , n+1 vezes diferenciavel
em no interior de I e a um ponto de I. Para cada x ∈ I \{a} existe c estritamente
entre a e x tal que
f(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)
2!(x−a)2+. . .+
f (n)(a)
n!(x−a)n+
f (n+1)(a)
(n+ 1)!(x−a)n+1.
A f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2!(x− a)2 + . . .+
f (n)(a)
n!(x− a)n
chamamos polinomio de Taylor de grau n da funcao f em torno de x = a e a
Rn(x) =f (n+1)(a)
(n+ 1)!(x− a)n+1
resto Lagrange de ordem n da funcao f em torno de x = a.
Se a = 0 a formula de Taylor designa-se por formula de Mac-Laurine e o polinomio
de Taylor designa-se por polinomio de Mac-Laurin.
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 43
Ao polinomio de Taylor de grau um de uma funcao f em torno de a chamamos
linearizacao ou aproximacao linear de f em torno de x = a, ou seja, a funcao dada
por L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)
e a linearizacao de f em torno em torno de x = a. Nestas condicoes escrevemosf(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a).
Ao polinomio de Taylor de grau dois de uma funcao f em torno de x = a, isto e,
a funcao dada por
Q(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2!(x− a)2
chamamos aproximacao quadratica de f em torno de x = a e escrevemos
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2!(x− a)2.
Exemplo 2.15. Seja f a funcao exponencial. Atendendo a que f (n)(x) = ex, para
cada n ∈ N e, portanto, f (n)(0) = e0 = 1 o polinomio de Mac-Laurin de grau n e
dado por pn(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)
2!x2 + . . .+
f (n)(0)
n!xn
ou seja pn(x) = 1 + x+1
2x2 + . . .+
1
n!xn
e, por conseguinte, temos a seguinte aproximacao linear
ex ≈ 1 + x
e a seguinte aproximacao quadratica
ex ≈ 1 + x+1
2x2.
2.8 Monotonia e extremos relativos
Ja vimos que para estudar a monotonia de uma funcao basta estudar o sinal da
primeira derivada. Isso e consequencia de corolarios do Teorema de Lagrange:
- Se f ′(x) > 0 para qualquer x ∈ I, entao f e estritamente crescente em I, ou seja,
para quaisquer x, y ∈ I, se x > y, entao f(x) > f(y).
- Se f ′(x) < 0 para qualquer x ∈ I, entao f e estritamente decrescente em I, ou
seja, para quaisquer x, y ∈ I, se x > y, entao f(x) < f(y).
Sejam D um subconjunto nao vazio de , f : D → R uma funcao e a ∈ D. Diz-se
que a funcao f tem um maximo local ou relativo no ponto a ou que f(a) e um
Capıtulo 1. Calculo Diferencial em R 44
maximo local ou relativo da funcao f se existir um ε > 0 tal quef(x) ≤ f(a), qualquer que seja x ∈]a− ε, a+ ε[∩ D
Do mesmo modo a funcao f tem um mınimo local ou relativo no ponto a ou que
f(a) e um mınimo local ou relativo da funcao f se existir um ε > 0 tal quef(x) ≥ f(a), qualquer que seja x ∈]a− ε, a+ ε[∩ D
Diz-se que f tem um extremo local ou relativo no ponto a ou que f(a) e um
extremo local ou relativo da funcao f se f tiver um maximo ou um mınimo local
no ponto a.
Seja
f : D ⊆ R→ R,
uma funcao diferenciavel num ponto a interior a D. Se f(a) e um extremo local
de f , entao
f ′(a) = 0.
2.9 Concavidades e pontos de inflexao
Capıtulo 3
Primitivacao
3.1 Definicao e Generalidades
Seja I um intervalo e f : I → R uma funcao. Chama-se primitiva de f em I a
toda a funcao
F : I → R,
tal que
F ′(x) = f(x),
para todo o x ∈ I.
Diz-se que f(x) e primitivavel em I quando f(x) possui pelo menos uma primitiva.
Exemplo 3.1. F (x) = 2x e uma primitiva, em R, da funcao f(x) = 2 e , pois
F ′(x) = 2.
Exemplo 3.2. F (x) = ln(−x) e uma primitiva da funcao f(x) =1
xno intervalo
]−∞, 0[, pois F ′(x) =1
x.
Exemplo 3.3. F (x) = ln|x|+ 1
3e uma primitiva da funcao f(x) =
1
xem qualquer
dos intervalos ]−∞, 0[ e ]0,+∞[, pois F ′(x) =1
x.
Seja F (x) uma primitiva de f(x) em I, atendendo ao facto de que (F (x) + c)′ =
(F (x))′, para toda a constante c, podemos afirmar que qualquer funcao da forma
G(x) = F (x) + c e tambem uma primitiva de f(x).
45
Capıtulo 1. Primitivacao 46
Exemplo 3.4. Dda a funcao f(x) =1
xpodemos dizer que qualquer funcao da
forma ln|x|+ c e primitiva de f(x) num dos intervalos ]−∞, 0[ ou ]0,+∞[.
A notacao ∫f(x) dx
sera usada para representar o conjunto das primitivas da funcao f : I → R. Assim,∫f(x) dx = {F (x) + c : c ∈ R}.
Por uma questao de simplicidade de escrita escrevemos apenas∫f(x) dx = F (x) + c.
Exemplo 3.5. 1.
∫1 dx = x+ c
2.
∫x dx =
x2
2+ c.
3.
∫x2 dx =
x3
3+ c.
De um modo geral, sendo α um numero real fixo
∫xα dx =
xα+1
α + 1+ c se α 6= −1
ln|x|+ c se α = −1
Exemplo 3.6. 1.
∫x−2 dx =
x−1
−1= −1
x+ c
2.
∫1
x3dx =
∫x−3 dx =
x−2
−2= − 1
2x2+ c
3.
∫3√x2 dx =
∫x
23 dx =
x53
53
=3x
53
5+ c
Exercıcio 3.1. Determine a funcao F (x) tal que F ′(x) =1
x+ 2e F (−1) = 5.
Ora, F (x) =
∫1
x+ 2= ln|x+ 2|+ c.
Capıtulo 1. Primitivacao 47
Como F (−1) = 5, entao ln| − 1 + 2|+ c = 5, ou seja c = 5. Assim,
F (x) = ln|x+ 2|+ 5.
Se f e g sao duas funcoes primitivaveis num intervalo I e k ∈ R, entao∫f(x) + g(x) dx =
∫f(x) dx+
∫g(x) dx
∫kf(x) dx = k
∫f(x) dx
Exemplo 3.7. 1.
∫(1 + x− x3) dx =
∫1 dx+
∫x dx−
∫x3 dx
= x+x2
2− x4
4+ c
2.
∫(5 3√x− 1√
x) dx = 5
∫x
13 dx−
∫x−
12 dx
= 5x
43
43
− x12
12
=15
4x 3√x− 2
√x+ c
3.2 Primitivas imediatas e quase-imediatas
Vamos indicar regras de primitivacao imediata, apresentando para cada uma al-
guns exemplos de aplicacao.
Seja f(x) uma funcao e α 6= −1 pertencente a R.
∫f ′(x)[f(x)]α dx =
[f(x)]α+1
α + 1+ c, α 6= −1
Exemplo 3.8. 1.
∫(x− 2)5 dx =
(x− 2)6
6+ c
2.
∫3x2(1 + x3)2 dx =
(1 + x3)3
3+ c
3.
∫x2(1 + x3)2 dx =
1
3
(1 + x3)3
3=
(1 + x3)3
9+ c
Exercıcio 3.2. Determine as seguintes primitivas:
Capıtulo 1. Primitivacao 48
1.
∫(2x− 2)4 dx
2.
∫x3(1− x4)2 dx
3.
∫5x2
3√x3 + 5
dx
4.
∫(arctg x)4
3 + 3x2dx
5.
∫x cos2(x2)sen(x2) dx
6.
∫tg5x sec2x dx
7.
∫x log3(x2 + 1)
x2 + 1dx
∫f ′(x)
f(x)dx = ln|f(x)|+ c
Exemplo 3.9. 1.
∫10
x+ 5dx = 10
∫1
x+ 5dx = 10ln|x+ 5|+ c
2.
∫2x
x2 + 1dx = = ln|x2 + 1|+ c
3.
∫x2 + 1
x3 + 3xdx =
1
3ln|x3 + 3x|+ c
Exercıcio 3.3. Determine as seguintes primitivas:
1.
∫ex
ex + 1dx
2.
∫tg x dx
3.
∫cotg x dx
4.
∫1
x ln xdx
∫f ′(x)ef(x) dx = ef(x) + c
∫f ′(x)af(x) dx =
af(x)
lna+ c, a ∈ R+
Exemplo 3.10. 1.
∫xex
2
dx =1
2
∫2xex
2
dx =1
2ex
2
+ c
2.
∫sen x ecosx dx = −
∫−sen x ecosx dx = −ecosx + c
3.
∫3x dx =
1
ln3
∫3xln3 dx =
1
ln33x + c
Exercıcio 3.4. Determine as seguintes primitivas:
Capıtulo 1. Primitivacao 49
1.
∫earcsen x
√1− x2
dx 2.
∫3cos
2xsen(2x) dx
∫f ′(x)cos(f(x)) dx = sen(f(x)) + c
∫f ′(x)sen(f(x)) dx = −cos(f(x)) + c
Exemplo 3.11. 1.
∫sen(6x) dx =
1
6
∫6sen(6x) dx = −1
6cos(6x) + c
2.
∫excos(ex) dx = sen(ex) + c
3.
∫sen(lnx)
x=
∫1
xsen(lnx) dx = −cos(lnx) + c
∫f ′(x)sec2(f(x)) dx = tg(f(x)) + c
∫f ′(x)cosec2(f(x)) dx = −cotg(f(x)) + c
Exemplo 3.12. 1.
∫sec2(lnx)
3xdx =
1
3
∫sec2(lnx)
1
xdx =
1
3tg(lnx) + c
2.
∫excosec2(ex) dx = −cotg(ex) + c
∫f ′(x)sec(f(x))tg(f(x)) dx = sec(f(x)) + c
∫f ′(x)cosec(f(x))cotg(f(x)) dx = −cosec(f(x)) + c
Exemplo 3.13. 1.
∫excosec(ex + 2)cotg(ex + 2) dx = −cosec(ex + 2) + c
Capıtulo 1. Primitivacao 50
2.
∫sen(2x)sec3(x) dx =
∫2sen x cos x
cos3xdx
= 2
∫sen x
cos x.
1
cos x= 2
∫sec x tg x dx
= 2sec x+ c
∫f ′(x)
1 + f(x)2dx = arctg(f(x)) + c ou
∫f ′(x)
1 + f(x)2dx = −arccotg(f(x)) + c
Exemplo 3.14. 1.
∫5
1 + x2dx = 5
∫1
1 + x2dx = 5arctg x+ c
2.
∫1
1 + 4x2dx =
∫1
1 + (2x)2dx =
1
2arctg(2x) + c
3.
∫ex
1 + e2xdx =
∫ex
1 + (ex)2dx = arctg(ex) + c
Exercıcio 3.5. Determine as seguintes primitivas:
1.
∫x
5 + 7x4dx 2.
∫5
4 + 16x2dx
∫f ′(x)√
1− f(x)2dx = arcsen(f(x)) + c ou
∫f ′(x)√
1− f(x)2dx = −arccos(f(x)) + c
Exemplo 3.15. 1.
∫3√
1− x2dx = 3
∫1√
1− x2dx = 3arcsen x+ c
2.
∫x2
√1− x6
dx =
∫x2√
1− (x3)2dx
=1
3
∫3x2√
1− (x3)2dx =
1
3arcsen(x)3 + c
3.
∫3√
4− x2dx = 3
∫1√
4− x2dx
= 3
∫ 12√
1− (x2)2
dx = 3arcsen(x
2) + c
Exercıcio 3.6. Determine as seguintes primitivas:
Capıtulo 1. Primitivacao 51
1.
∫1√
25− 9x2dx 2.
∫ex√
4e−2x − e−2xdx
∫f ′(x)
f(x)√f(x)2 − 1
dx = arcsec(f(x)) + c
ou ∫f ′(x)
f(x)√f(x)2 − 1
dx = −arccosec(f(x)) + c
Exemplo 3.16. 1.
∫1
x√
9x2 − 1dx =
∫1
x√
(3x)2 − 1dx
=
∫3
3x√
(3x)2 − 1dx = arcsec(3x) + c
3.3 Metodo de primitivacao por partes
A primitivacao por partes aplica-se muitas vezes quando se pretende primitivar
um produto de funcoes.
Sejam f(x) e g(x) funcoes diferenciaveis num intervalo I. Como
[f(x).g(x)]′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x),
entao,
f ′(x).g(x) = [f(x).g(x)]′ − f(x).g′(x).
Assim, f ′g e primitivavel se e so se fg′ tambem o e e tem-se∫f ′(x).g(x) dx =
∫[f(x).g(x)]′ dx−
∫f(x).g′(x) dx,
ou seja, ∫f ′(x).g(x) dx = f(x).g(x)−
∫f(x).g′(x) dx ,
formula que exprime o metodo de primitivacao por partes.
Nota 3.1. Na aplicacao do metodo de primitivacao por partes a funcao denomi-
nada f ′(x) tem de ter primitiva conhecida.
Capıtulo 1. Primitivacao 52
Nota 3.2. Atendendo a que no metodo de primitivacao por partes temos de cal-
cular
∫f(x).g′(x) dx , convem que esta primitiva seja mais simples que a inicial,
para isso escolhe-se para g(x), a funcao que mais se simplifica por derivacao.
Nota 3.3. O metodo de primitivacao por partes pode ser aplicado quando se
pretende primitivar uma funcao, desde que se introduza o fator 1, cosiderando
f ′(x) = 1.
Exemplo 3.17. 1.
∫ln x dx =
∫1.ln x dx
= x ln x−∫x(ln x)′ dx
= x ln x−∫x
1
xdx
= x ln x−∫
1 dx
= x ln x− x+ c
2.
∫x ln x dx =
x2
2ln x−
∫x2
2(ln x)′ dx
=x2
2ln x−
∫x2
2
1
xdx
=x2
2ln x− 1
2
∫x dx
=x2
2ln x− x2
4+ c
3.
∫x cos x dx = x sen x−
∫sen x.(x)′ dx
= x sen x−∫sen x dx
= x sen x− (−cos x)
= x sen x+ cos x+ c
4.
∫arctg x dx =
∫1.arctg x dx
= x arctg x−∫x.(arctg x)′ dx
= x arctg x−∫x.
1
1 + x2dx
= x arctg x−∫
x
1 + x2dx
= x arctg x− 1
2
∫2x
1 + x2dx
= x arctg x− 1
2ln(1 + x2) + c
Capıtulo 1. Primitivacao 53
5.
∫arcsen x dx =
∫1.arcsen x dx
= x arcsen x−∫x.(arcsen x)′ dx
= x arcsen x−∫x.
1√1− x2
dx
= x arcsen x−∫
x√1− x2
dx
= x arcsen x+1
2
∫−2x(1− x2)−
12 dx
= x arcsen x+1
2
(1− x2)12
12
= x arcsen x+√
1− x2 + c
6.
∫cos2x dx =
∫cos x.cos x dx
= sen x cos x−∫sen x.(cos x)′ dx
= sen x cos x−∫sen x.(−sen x)′ dx dx
= sen x cos x+
∫sen2x dx
= sen x cos x+
∫(1− cos2x) dx
= sen x cos x+
∫1 dx−
∫cos2x dx
⇔ 2
∫cos2x dx = sen x cos x+ x
⇔∫cos2x dx =
sen x cos x+ x
2+ c
Por vezes e necessario aplicar mais que uma vez o metodo de primitivacao por
partes como vamos ver no exemplo a sequir:
Exemplo 3.18.
∫x2ex dx
= x2ex −∫ex.(x2)′ dx
= x2ex − 2
∫ex.x dx
= x2ex − 2[xex −
∫ex dx
]= x2ex − 2xex + 2ex + c
Exercıcio 3.7. Determine as seguintes primitivas:
Capıtulo 1. Primitivacao 54
1.
∫x sen(2x) dx
2.
∫x−2ln2x dx
3.
∫exsen x dx
4.
∫(2x+ 1)e−3x dx
5.
∫3xcos x dx
3.4 Metodo de primitivacao por substituicao
Seja f : I → R uma funcao primitivavel e g : J → R bijectiva e diferenciavel, tal
que g′(t) 6= 0, para cada t ∈ J . Seja F (x) uma primitiva de f(x), entao como
(F ◦ g)′(t) = (F (g(t)))′ = F ′(g(t))g′(t) = f(g(t)).g′(t)
entao F ◦ g e uma primitiva de (f ◦ g)g′. Assim,
∫f(x) dx =
∫f(g(t)g′(t) dt com t = g−1(x)
Para primitivarmos por substituicao usamos a notacao dx = g′(t) dt.
Exemplo 3.19. Para calcularmos
∫1
1 +√xdx, fazemos a substituicao t =
√x,
ou sja x = t2. Assim
dx = 2t dt,
donde vem
∫1
1 +√xdx =
∫1
1 + t× 2t dt
= 2(
∫1− 1
1 + t) dt
= 2(t− ln|t+ 1|)
= 2(√x− ln|
√x+ 1|) + c
Exemplo 3.20. Para calcularmos
∫ √1− x2 dx, fazemos a substituicao x =
sent. Assim
dx = cost dt,
Capıtulo 1. Primitivacao 55
donde vem
∫ √1− x2 dx =
∫ √1− sen2t× cost dt
=
∫cos2t dt
=
∫1 + cos(2t)
2dt
=
∫1
2dt+
1
2
∫cos(2t) dt
=1
2t+
1
4sen(2t) dt
=1
2t+
1
2sent cost dt
Como x = sent, vem t = arcsenx. Para alem disso, pela formula fundamental da
trigonometria resulta que
cost =√
1− sen2t =√
1− x2.
Logo,
∫ √1− x2 dx =
1
2arcsen x+
x
2
√1− x2 + c
Exercıcio 3.8. Determine
∫1
x2√
1− x2dx
Exemplo 3.21. Para calcularmos
∫1
(1 + x2)√
1 + x2dx, fazemos a substituicao
x = tgt. Assim
dx = sec2t dt,
donde vem
∫1
(1 + x2)√
1 + x2dx =
∫1
(1 + tg2t)√
1 + tg2tsec2t dt
=
∫sec2t
(sec2t)√sec2t
dt
=
∫1
sec tdt
=
∫cos t dt
= sen t dt
Como x = tg t, vem t = arctg x. Para alem disso, tem-se que
1 + tg2t = sec2t.
ou seja
1 + tg2t =1
cos2t.
Capıtulo 1. Primitivacao 56
donde tiramos1
1 + x2= cos2t.
logo pela formula fundamental da trigonometria
sen t =√
1− cos2t.
ou seja
sen t =
√1− 1
1 + x2.
ou ainda
sen t =x√
1 + x2.
Logo,
∫1
(1 + x2)√
1 + x2dx =
x√1 + x2
+ c
Exercıcio 3.9. Determine
∫1
x2√x2 + 4
dx
Exemplo 3.22. Para calcularmos
∫1
x2√x2 − 1
dx, fazemos a substituicao x =
sect. Assim
dx = sec t× tg t dt,
donde vem
∫1
x2√x2 − 1
dx =
∫1
sec2t√sec2t− 1
× secttgt dt
=
∫sec t× tg t
sec2t√tg2t
dt
=
∫1
sec tdt
=
∫cos t dt
= sen t dt
Para alem disso,
tem-se que
sec t =1
cos t,
ou seja
cos t =1
sec t.
donde tiramos
cos t =1
x.
logo pela formula fundamental da trigonometria
sen t =√
1− cos2t.
Capıtulo 1. Primitivacao 57
ou seja
sen t =
√1− 1
x2.
ou ainda
sen t =
√x2 − 1
x.
Logo,
∫1
x2√x2 − 1
dx =
√x2 − 1
x+ c
Exercıcio 3.10. Determine
∫ √2x2 − 7
x2dx
Exemplo 3.23. Para calcularmos
∫1
1 + exdx, fazemos a substituicao ex = t.
Assim x = lnt e portanto
dx =1
tdt,
donde vem
∫1
1 + exdx =
∫1
1 + t× 1
tdt
=
∫1
t(1 + t)dt
=
∫ (1
t− 1
1 + tdt
)=
∫1
t−∫
1
1 + tdt
= ln|t| − ln|1 + t|
= ln|ex| − ln|1 + ex|
= x− ln|1 + ex|+ c
Exemplo 3.24. Para calcularmos
∫1 + ln3x
x(1 + ln x)dx, fazemos a substituicao ln x =
t. Assim x = et e portanto
dx = et dt,
donde vem
∫1 + ln3x
x(1 + ln x)dx =
∫(1 + t3)et
et(1 + t)dt
=
∫1 + t3
1 + tdt
=
∫(1 + t)(t2 − t+ 1)
1 + tdt
=
∫t2 − t+ 1 dt
=t3
3− t2
2+ t
=(ln x)3
3− (ln x)2
2+ ln x+ c
Capıtulo 1. Primitivacao 58
3.5 Primitivacao de funcoes racionais
Uma funcao racional e uma funcao f : D → R definida por
f(x) =P1(x)
P2(x),
onde P1 e P2 sao polinomios e D = {x ∈ R : P2(x) 6= 0}. Assumimos que P1 e P2
nao tem zeros (reais ou complexos) comuns. Se o grau de P1 e maior ou igual do
que o grau de P2, entao fazendo a divisao de P1 por P2 temos
P1(x) = Q(x)P2(x) +R(x),
logo,P1(x)
P2(x)= Q(x) +
R(x)
P2(x),
onde Q e R sao polinomios e o grau de R e menor do que o grau de P2. Assim, para
primitivarmos as funcoes racionais basta sabermos primitivar as funcoes racionais
onde o grau do numerador e menor do que o grau do denominador.
Exemplo 3.25. Para calcularmos
∫x3 + 1
x2 − 1dx, Efetuamos a divisao dos po-
linomios e obtemos
(x3 + 1
):(x2 − 1
)= x+
x+ 1
x2 − 1− x3 + x
x
entao,∫x3 + 1
x2 − 1dx =
∫x dx+
∫x+ 1
x2 − 1dx
=x2
2+
∫x+ 1
(x− 1)(x+ 1)dx
=x2
2+
∫1
x− 1dx
=x2
2+ ln|x− 1|+ c
Capıtulo 1. Primitivacao 59
3.5.1 Decomposicao em fracoes simples
Sejam P1 e P2dois polinomios com o grau de P1 menor do que o grau de P2 e sem
raizes (reais ou complexas) em comum. Entao
P2(x) = (x−a1)m1(x−a2)m2 . . . (x−ak)mk[
(x− p1)2 + q21
]n1
. . .[
(x− pr)2 + q2r
]nronde as raızes reais de P2 sao
- a1, a2, . . . , ak com multiplicidades m1,m2, . . . ,mk respectivamente
e as raızes complexas de P2 sao
- p1± q1i, p2± q2i, . . . , pr± qri com multiplicidades n1, n2, . . . , nr respectivamente.
P1(x)
P2(x)=
A1,1
x− a1
+ . . .+A1,m1
(x− a1)m1
+ . . .+Ak,1x− ak
+ . . .+Ak,m1
(x− ak)mk
+ . . .+B1,1x+ C1,1
(x− p1)2 + q21
+ . . .+B1,n1x+ C1,n1
[(x− p1)2 + q21]n1
+ . . .+Br,1x+ Cr,1
(x− pr)2 + q2r
+ . . .+Br,n1x+ Cr,n1
[(x− pr)2 + q2r ]nr
1o Caso: O polinomio do denominador admite raızes reais simples a1, a2, . . . , an.
Efetua-se a decomposicao da fracao na soma de n fracoes simples cujos numerado-
res sao constantes a determinar e cujos denominadores sao x−a1, x−a2, . . . , x−anrespetivamente.
Exemplo 3.26. Pretendemos calcular
∫x2
x2 − 1dx. Efetuamos a divisao dos
polinomios (x2)
:(x2 − 1
)= 1 +
1
x2 − 1− x2 + 1
1
e obtemosx2
x2 − 1= 1 +
1
x2 − 1.
Capıtulo 1. Primitivacao 60
Agora precisamos de fatorizar o denominador. Para isso basta ter em conta que
as raızes do denominador sao 1 e −1. Assim,
1
(x− 1)(x+ 1)=
A
x− 1+
B
x+ 1,
ou seja1
(x− 1)(x+ 1)=A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 1),
pelo que
1 = A(x+ 1) +B(x− 1).
Fazendo x = −1, vem B = −12
e fazendo x = 1 vem A = 12. Entao
1
(x− 1)(x+ 1)=
12
x− 1−
12
x+ 1.
Logo,
∫x2
x2 − 1dx =
∫1 +
1
x2 − 1dx
=
∫1 dx+
∫ 12
x− 1dx−
∫ 12
x+ 1dx
= x+1
2
∫1
x− 1dx− 1
2
∫1
x+ 1dx
= x+1
2ln|x− 1| − 1
2ln|x+ 1|+ c
Exercıcio 3.11. Determine
∫2x+ 3
x3 + x2 − 2xdx
2o caso: O polinomio do denominador admite raızes reais simples ou multiplas.
Neste caso a cada raiz real simples a corresponde uma fracao da formaA
x− a, e a
cada raiz real a de multiplicidade m corresponde a soma das fracoes simples:
A1
x− a+
A2
(x− a)2+ . . .+
Am(x− a)m
,
com A,A1, . . . , Am constantes a determinar.
Exemplo 3.27. Pretendemos calcular
∫x+ 1
x3(x+ 2)dx.
As raızes do denominador sao −2, raiz real simples, e 0, raiz real de multiplicidade
3. Assim,
x+ 1
x3(x+ 2)=A
x3+B
x2+C
x+
D
x+ 2,
Capıtulo 1. Primitivacao 61
ou sejax+ 1
x3(x+ 2)=A(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx2(x+ 2) +Dx3
x3(x+ 2),
pelo que
x+ 1 = A(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx2(x+ 2) +Dx3. (3.1)
Fazendo x = 0, vem A = 12, fazendo x = −2 vem D = 1
8. So falta calcular as
constantes B e C.
Para isso escrevemos a equacao (3.1) na forma
x+ 1 = Ax+ 2A+Bx2 + 2Bx+ Cx3 + 2Cx2 +Dx3,
ou seja
x+ 1 = (C +D)x3 + (B + 2C)x2 + (A+ 2B)x+ 2A.
Pela igualdade de polinomios temos que{C +D = 0
B + 2C = 0
donde vem C = −D = −18
e B = −2C = 14. Entao
x+ 1
x3(x+ 2)=
12
x3+
14
x2+−1
8
x+
18
x+ 2.
Logo,
∫x+ 1
x3(x+ 2)dx =
∫ 12
x3+
14
x2+−1
8
x+
18
x+ 2dx
=1
2
∫x−3 dx+
1
4
∫x−2 dx− 1
8
∫1
xdx+
1
8
∫1
x+ 2dx
=1
2
x−2
−2+
1
4
x−1
−1− 1
8ln|x|+ 1
8ln|x+ 2|
= − 1
4x2− 1
4x− 1
8ln|x|+ 1
8ln|x+ 2|+ c
3o caso: O denominador tem apenas duas raizes complexas que tem de ser
conjugadas dado que os coeficientes sao reais.
para primitivar funcoes do tipo
Bx+ C
(x− p)2 + q2
Capıtulo 1. Primitivacao 62
faz-se uma mudanca de variavel x = p+ qt e tem-se dx = q dt, logo∫Bx+ C
(x− p)2 + q2dx =
∫ 12
x3+
14
x2+−1
8
x+
18
x+ 2dx
Exemplo 3.28. Queremos calcular a primitiva∫x+ 3
(x+ 1)2 + 3dx
faz-se uma mudanca de variavel x = −1 +√
3t e tem-se dx =√
3 dt, logo∫x+ 3
(x+ 1)2 + 3dx =
∫ √3(2 +
√3t)
3t2 + 3dt
=
√3
3
∫2 +√
3t
t2 + 1dt
=
√3
3
( ∫2
t2 + 1dt+
∫ √3t
t2 + 1dt
)=
2√
3
3
∫1
t2 + 1dt+
∫t
t2 + 1dt
=2√
3
3arctg|t|+ 1
2
∫2t
t2 + 1dt
=2√
3
3arctg|t|+ ln|t2 + 1|
=2√
3
3arctg|x+ 1√
3|+ ln|(x+ 1)2
3+ 1|+ c
4o caso: O denominador admite uma raiz complexa multipla.
Este caso exige o calculo da seguinte primitiva:
Ik =
∫1
(t2 + a)kdt
Usando o metodo de primitivacao por partes temos
Capıtulo 1. Primitivacao 63
Ik =
∫1
(t2 + a)kdt =
1
a[
∫t2 + a− t2
(t2 + a)kdt]
=1
a
∫1
(t2 + a)k−1dt− 1
a
∫t2
(t2 + a)kdt
=1
aIk−1 −
1
a
∫t2(t2 + a)−k dt
=1
aIk−1 −
1
2a
∫2t(t2 + a)−k t dt
=1
aIk−1 −
1
2a
[(t2 + a)−k+1
−k + 1t−∫
(t2 + a)−k+1
−k + 1(t′) dt
]=
1
aIk−1 −
1
2a
[1
1− kt
(t2 + a)k−1− 1
1− k
∫1
(t2 + a)k−1dt
]=
1
aIk−1 +
1
(2k − 2)a
t
(t2 + a)k−1+
1
(2− 2k)aIk−1 dt
=3− 2k
(2− 2k)aIk−1 +
1
(2k − 2)a
t
(t2 + a)k−1dt
formula de recorrencia.
Exemplo 3.29.
∫1
(t2 + 1)3dt =
3− 6
2− 6
∫1
(t2 + 1)2dt+
1
6− 2
t
(t2 + 1)2dt
=3
4
∫1
(t2 + 1)2dt+
1
4
t
(t2 + 1)2
=3
8
[ ∫1
(t2 + 1)dt+
t
(t2 + 1)dt
]+
t
4(t2 + 1)2
=3
8arctg t+
3t
8(t2 + 1)+
t
4(t2 + 1)2+ c
Caso Geral: O denominador admite raızes reais simples ou complexas, simples
ou multiplas.
Exemplo 3.30. Pretendemos calcular
∫5x
(x2 + 1)(x+ 2)dx.
Fazemos a seguinte decomposicao da fracao:
5x
(x2 + 1)(x+ 2)dx =
A
x+ 2+Bx+ C
x2 + 1,
ou seja5x
(x2 + 1)(x+ 2)dx =
A(x2 + 1) + (Bx+ C)(x+ 2)
(x2 + 1)(x+ 2),
pelo que
5x = A(x2 + 1) + (Bx+ C)(x+ 2). (3.2)
Fazendo x = −2, vem A = −2. So falta calcular as constantes B e C.
Capıtulo 1. Primitivacao 64
Para isso escrevemos a equacao (3.2) na forma
5x = Ax2 + A+Bx2 + 2Bx+ Cx+ 2C,
ou seja
5x = (A+B)x2 + (2B + C)x+ (A+ 2C).
Pela igualdade de polinomios temos que{A+B = 0
A+ 2C = 0
donde vem B = −A = 2 e C = −A2
= 1. Entao
5x
(x2 + 1)(x+ 2)dx =
−2
x+ 2+
2x+ 1
x2 + 1,
Logo,
∫5x
(x2 + 1)(x+ 2)dx =
∫−2
x+ 2+
2x+ 1
x2 + 1dx
= −2ln|x+ 2|+∫
2x
x2 + 1dx+
∫1
x2 + 1dx
= −2ln|x+ 2|+ ln|x2 + 1|+ arctg x+ c
Capıtulo 4
Calculo Integral em R
4.1 Integral de Riemann: definicao e proprieda-
des
Suponhamos que uma funcao f e contınua e nao negativa num intervalo [a, b].
Queremos saber como se calcula a area da regiao R limitada pela curva y = f(x),
pelo eixo dos xx, e, pelas retas x = a e x = b, como vemos na figura seguinte.
Uma particao P do intervalo [a, b] e um conjunto finito
P = {x0, x1, x2, . . . , xn},
onde
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.
65
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 66
Uma particao P do intervalo [a, b] divide [a, b] em n intervalos
[x0, x1], [x2, x3], . . . , [xn−1,xn].
A amplitude do intervalo de cada intervalo [xi−1, xi] e indicada por
∆xi = xi − xi−1.
As amplitudes dos intervalos nao sao necessariamente iguais;
Este processo divide a regiao R em n faixas como podemos ver na figura seguinte:
Em seguida, vamos aproximar cada faixa de um rectangulo com a altura igual a
altura da curva y = f(x) em algum ponto do sub-intervalo. Isto e, para o primeiro
sub-intervalo [x0, x1] escolhemos um x∗1 contido no sub-intervalo e usamos f(x∗1)
para altura do primeiro rectangulo. A area deste retangulo e entao f(x∗1)∆x1.
De forma semelhante para cada sub intervalo restante [xk−1, xk], 2 ≤ k ≤ n, esco-
lhemos um x∗k e calculamos a area do correspondente retangulo, ou seja f(x∗k)∆xk.A
area aproximada da regiao R e entao a soma destas areas retangulares e denota-se
por
S∗(P ) =n∑k=1
f(x∗k)∆xk.
Dependendo dos pontos x∗k que selecionamos a nossa estimativa pode ser muito
grande ou muito pequena. Por exemplo, se escolhermos cada x∗i como sendo o
ponto no sub intervalo com altura maxima, superestimamos a area de R, chamada
Soma Superior (ver figura seguinte).
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 67
Por outro lado, se escolhermos cada x∗i como sendo o ponto no sub- intervalo com
altura minima, subestimamos a area de R, chamada Soma Inferior (ver figura
seguinte)
Se a soman∑k=1
f(x∗k)∆xk se aproxima de um limite quando a amplitude dos inter-
valos [xk−1, xk] tende para zero, definimos entao a area da regiao R como sendo
precisamente o valor deste limite.
O limite
L = limmax∆xk→0
n∑k=1
f(x∗k)∆xk
denomina-se integral de f em [a, b] e indica-se por∫ b
a
f(x)dx.
Nota 4.1. a e b chamam-se limites de integracao e f a funcao integranda.
Propriedades:
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 68
1 -
∫ b
a
c dx = c(b− a)
2 -
∫ b
a
cf(x) dx = c
∫ b
a
f(x) dx
3 -
∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx
4 - Sendo a < c < b entao
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx
5 -
∫ b
a
f(x) dx = −∫ a
b
f(x) dx
Teorema Fundamental do calculo Integral:
Se a e b sao numeros reais tais que a < b e f : [a, b]→ R e uma funcao contınua,
entao existe uma funcao real de variavel real definida e diferenciavel em [a, b] e
cuja derivada e a funcao f . Alem disso, se F : [a, b] → R e tal que F ′(x) = f(x)
para qualquer x ∈ [a, b], entao∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a).
A formula anterior costuma chamar-se formula de Barrow e e costume usar a
seguinte notacao [F (x)
]ba
= F (b)− F (a).
Entao,
∫ b
a
f(x) dx =[F (x)
]ba
= F (b)− F (a)
Exemplo 4.1.
∫ 1
0
x2 dx =
[x3
3
]1
0
=1
3.
Este integral da-nos a area da regiao limitada pelo arco de parabola y = x2, pelo
eixo dos xx e pela reta x = 1:
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 69
−1 1 2 3
−1
1
2
3
0
y = x2
x = 1
Exemplo 4.2.
∫ π2
0
cos x dx =[sen x
]π2
0= sen
π
2− sen 0 = 1.
Este integral da-nos a area da regiao limitada pelo arco de parabola y = cosx,
pelo eixo dos xx e pela reta x = π2:
1
0
y = cosx
π2
Exemplo 4.3.
∫ 2
1
1
xdx =
[ln|x|
]2
1= ln2− ln1 = ln2.
Este integral da-nos a area da regiao limitada pela func so y =1
x, pelo eixo dos
xx e pelas retas x = 1 e x = 2:
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 70
1 2 3 4
1
2
3
4
0
y = 1x
4.2 Integracao por partes
Sejam a e b numeros reais tais a < b e f, g : [a, b]→ R funcoes diferenciaveis com
derivadas integraveis. Entao
∫ b
a
f ′(x).g(x) dx =[f(x).g(x)
]ba−∫ b
a
f(x).g′(x) dx .
Exemplo 4.4. 1.
∫ 1
0
arcsen x dx =[x arcsen x
]1
0−∫ 1
0
x√1− x2
dx
=π
2−∫ 1
0
x(1− x2)−12 dx
=π
2+
1
2
∫ 1
0
−2x(1− x2)−12 dx
=π
2+
1
2
[(1− x2)
12
12
]1
0
dx
=π
2+[ √
1− x2
]1
0dx
=π
2+ 1
2.
∫ π
0
x cos x dx =[x sen x
]π0−∫ π
0
sen x dx
= [senπ − sen0]−[cos x
]π0dx
= cosπ − cos0
= −1− 1
= −2
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 71
3.
∫ 2
0
x2 ex dx =[x2 ex
]2
0−∫ 2
0
2x ex dx
= 4e2 − 2
∫ 2
0
x ex dx
= 4e2 − 2
( [x ex
]2
0−∫ 2
0
ex dx
)= 4e2 − 2(2e2 − 0e0) + 2
[ex]2
0
= 4e2 − 4e2 + 2(e2 − e0)
= 2e2 − 2
4.
∫ π
0
sen x ex dx =[sen x ex
]π0−∫ π
0
cos x ex dx
= (eπsenπ − e0sen0)−∫ π
0
cos x ex dx
= −( [
cos x ex]π
0+
∫ π
0
sen x ex dx
)= −(eπcosπ − e0cos0)−
∫ π
0
sen x ex dx
= eπ + 1−∫ π
0
sen x ex dx
⇔∫ π
0
sen x ex dx+
∫ π
0
sen x ex dx = eπ + 1
⇔ 2
∫ π
0
sen x ex dx = eπ + 1
⇔∫ π
0
sen x ex dx =eπ + 1
2
4.3 Integracao por substituicao
Sejam a, b, c e d numeros reais tais que a < b e c < d,f : [a, b] → R uma funcao
contınua e g : [c, d] → R uma funcao diferenciavel com derivada integravel e tal
que g([c, d]) ⊆ [a, b]. Entao
∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(g(t))g′(t) dt .
Exemplo 4.5. Para calcularmos
∫ 4
0
1
1 +√xdx, fazemos a substituicao t =
√x,
ou sja x = t2. Assim
dx = 2t dt.
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 72
Alem disso, se x = 0, vem t = 0 e se x = 4, vem t = 2, logo∫ 4
0
1
1 +√xdx =
∫ 2
0
1
1 + t× 2t dt
= 2
( ∫ 2
0
1− 1
1 + tdt
)= 2
[t− ln|t+ 1|
]2
0
= 2((2− ln3)− (0− ln1))
= 4− 2ln3
Exemplo 4.6. Para calcularmos
∫ 6
1
x√x+ 3
dx, fazemos a substituicao t =√x+ 3,
ou sja x = t2 − 3. Assim
dx = 2t dt.
Alem disso, se x = 1, vem t = 2 e se x = 6, vem t = 3, logo∫ 6
1
x√x+ 3
dx =
∫ 3
2
t2 − 3
t× 2t dt
= 2
∫ 3
2
t2 − 3 dt
= 2
[t3
3− 3t
]3
2
= 2((9− 9)− (8
3− 6))
=20
3
4.4 Areas de regioes planas
Seja f : [a, b]→ R uma funcao integravel tal que f(x) ≥ 0, para todo o x ∈ [a, b].
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 73
x
y
f(x)
a b
A =
∫ b
a
f(x)dx
Seja f : [a, b]→ R uma funcao integravel tal que f(x) ≤ 0, para todo o x ∈ [a, b].
x
y
f(x)
a b
A = −∫ b
a
f(x)dx
Seja f : [a, b]→ R uma funcao integravel tal que existe c ∈]a, b[ e tal que f(x) ≤ 0,
para todo o x ∈ [c, b] e f(x) ≥ 0, para todo o x ∈ [a, c].
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 74
x
y
f(x)
a c b
A =
∫ c
a
f(x)dx−∫ b
c
f(x)dx
Seja f : [a, b] → R uma funcao integravel tal que f(x) ≥ g(x), para todo o
x ∈ [a, b].
x
y
g(x)
a b
f(x)
A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 75
Exemplo 4.7. Calcule a area da regiao limitada pela parabola de equacao y = x2
e pela reta de equacao y = x + 2. Representemos geometricamente a regiao do
plano de que queremos calcular a area.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
y = x2 y = x+ 2
Vamos calcular os pontos de intersecao das duas curvas:{y = x2
y = x+ 2⇔
{−
x2 = x+ 2⇔
{−
x2 − x− 2 = 0⇔
{−
x = −1 ∨ x = 2
Logo os pontos de intersecao das duas curvas sao (−1, 1) e (2, 4). Entao
A =
∫ 2
−1
x+ 2− x2 dx =
[x2
2+ 2x− x3
3
]2
−1
= (2 + 4− 8
3)− (
1
2− 2 +
1
3)
= 6− 8
3− 1
2+ 2− 1
3
=9
2
Exemplo 4.8. Calcule a area da regiao limitada pelas retas de equacao y = x,
y = −x + 2 e x = 0. Representemos geometricamente a regiao do plano de que
queremos calcular a area.
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 76
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
0
y = x
y = −x+ 2
Vamos calcular os pontos de intersecao das duas curvas:{y = x
y = −x+ 2⇔
{−
x = −x+ 2⇔
{−
2x = 2⇔
{−
x = 1
Logo o ponto de intersecao das duas curvas e (1, 1).
Entao
A =
∫ 1
0
2− x− x dx =[
2x− x2]1
0
= (2− 1)
= 1
Exemplo 4.9. Calcule a area da regiao limitada pelas retas de equacao y = x,
y = −x + 2 e x = 0. Representemos geometricamente a regiao do plano de que
queremos calcular a area.
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
0
y = 2x
y =x
2
y = −x+ 3
Capıtulo 1. Calculo Integral em R 77
Vamos calcular os pontos de intersecao das duas curvas: y = 2x
y =x
2
⇔
x
2= 2x
−⇔
{x = 4x
−⇔
{x = 0
y = 0
Logo o ponto de intersecao das duas curvas y = 2x e y =x
2e (0, 0).
{y = 2x
y = −x+ 3⇔
{−x+ 3 = 2x
−⇔
{−3x = −3
−⇔
{x = 1
y = 2
Logo o ponto de intersecao das duas curvas y = 2x e y = −x+ 3 e (1, 2). y =x
2y = −x+ 3
⇔
−x+ 3 =x
2−
⇔
{−2x+ 6 = x
−⇔
{x = 2
y = 1
Logo o ponto de intersecao das duas curvas y =x
2e y = −x+ 3 e (2, 1).
Entao
A =
∫ 1
0
2x− x
2dx+
∫ 2
1
−x+ 3− x
2dx =
∫ 1
0
3x
2dx+
∫ 2
1
3− 3x
2dx
=
[3x2
4
]1
0
+
[3x− 3x2
4
]2
1
= [3
4+ (6− 3)− (3− 3
4)]
=3
2+ 3− 3
=3
2