8. Inecuaciones de Grado Superior

Inecuaciones de Orden Superios y InecuacionesRacionales

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Mayo del 2013

J.C.Damin . S (USMP) Inecuaciones de Orden Superios y Inecuaciones Racionales Mayo del 2013 1 / 25

Inecuaciones de Orden Superior

Inecuaciones de orden SuperiorMTODO: para resolver las inecuaciones ploninmicas, que sonfactorizables, se aplica el mtodo de los puntos referenciales.

EjemploResolver en R: x(x + 2)2(2x 1)(3 x) 0


Solucin.Antes de dibujar los puntos referenciales en la recta real, serecomienda tener cuidado los siguiente:1. Simplificar los factores positivos, si existieran.

En esta inecuacin debemos simplificar el factor (x + 2)2, por serpositivo para todo x R con x 6= 2

2. hacer cambio de signo en los factores lineales, en los cuales elcoeficiente de x es NEGATIVO.En esta ecuacin hacer cambio de signo en el factor (3 x).Esto es:La ecuacin x(x + 2)2(2x 1)(3 x) 0 se reduce en lasiguiente ecuacinx(2x 1)(x 3) 0. . . (I)


Solucin.1. Los puntos referenciales son:x = 0, x = 12 ,x = 32. Dibujar los puntos referenciales en la recta real.3. Elegir los intervalos que son solucin de la inecuacin (I)

Se elige los intervalos asignados con el digno positivo por que lainecuacn (I) es mayor que cero.Por que adems es igual cero,son soluciones todos los extremos de los intervalos.Ademsx = 2, tambin, es solucin. por lo tanto el conjunto deconclusin es: c .s = x [0, 12 ] [3,+[{2}


EjemploResolver en R: (x 1)3(x + 2)(3 2x)(x 3)2 > 0

Solucin.Haciendo el mismos procedimiento del ejercicio anterior se tiene, elconjunto de solucin es:c .s =],2[]1, 32 [


Inecuaciones Racionales (fraccionarias)

Inecuaciones RacionaesSea P(x) y Q(x) polinomios. son inecuaciones racionales:P(x)Q(x) < 0 ,

P(x)Q(x) 0 , P(x)Q(x) > 0 y P(x)Q(x) 0.

Resolvemos las inecuaciones racionales por el mtodo de los puntosreferenciales.Algunas veces ser necesario aplicar la regla de los signos para ladivisin.

EjemploResolver en R: x2x+3 < 2


Solucin.1. Primero pasamos a restar el 2 esto es: x2x+3 2 < 0, entonces se

tiene x8x+3 < 02. Luego multiplicamos por (1) se tiene x+8x+3 > 0. . . (*)3. Ahora hallamos los puntos referenciales es decir:

x + 8 = 0 x = 8 yx + 3 = 0 x = 3 y lo ubicamos en la recta real.

4. luego por el mtodo practico obtenemos los intervalos del signopositivo por ser mayor que, la ecuacin (*), as se tiene elconjunto de solucin: c .s =],8[] 3,+[


EjemploResolver en R: (x3)(x+2)

(x2)(x+1) 0

Solucin.El procedimiento hecho en clase se obtiene el conjunto de solucin:c .s = x ],2]] 1, 2[[3,+[


Ejercicios

EjerciciosI.-Resolver en R las siguientes inecuaciones polinmicas:1. x3 x 02. x3 x < 03. x3 + 2x2 x 2 < 04. 2x2 + 5x 3 > 05. (x + 3)(x 5)(2x 1) 06. (x2 1)(4x x3) > 07. (2x + 1)(x 2)(3x 2) > 08. x2 2x 15 < 09. 6x2 7x + 2 010. x6 + x5 2x4 > 0


Ejercicios

Ejercicios1. 2x1x2 12. x2x1 23. 2x3x+1 44. 2x1x+2 45. x2x+2 2x34x16. (x2)(x21)

(x+2)(x3) 07. xx1 2x2 08. 3x 2x1 < 5x19. (x3)(x+1)

(x24) 010. 2x2+3x2x2+4x12 < 0


Valor Absoluto

Valor AbsolutoEl valor absoluto del nmero real a, denotado por |a|, esta definidopor:

|a| ={

a si a 0a si a < 0

Se lee: El valor absoluto del nmero real a es igual al mismo nmeroa, si a es positivo, o es igual a a, si a es negativo.Los siguientes ejemplos se van a resolver aplicando la definicin.


Ejemplo

EjemploResolver en R: |x 2| 2x = 4

Solucin.Aplicando la definicin tenemos:[si x 2 0, entonces(x 2) 2x = 4] [si x 2 < 0,entonces(x + 2) 2x = 4][x 2,entonces x = 6] [x < 2, entonces x = 23 ]luego x = 6 no es solucin ya que no cumple con x 2 , por tantoc .s = En cambio x = 23 es solucin ya que cumple con x < 2, por tantoc .s = {23}as tenemos: c .s = {23} = {23}


EjemploResolver en R: 5|x + 1| 3|x 1| = 2

Solucin.Los pasos se hechos es clase se obtiene el conjunto de solucin:c .s = {5, 0}


Proposiciones

Proposiciones1. Para todo a R, se cumple: |a| 02. |a| = 0 a = 03. |a + b| |a|+ |b|. . . (desigualdad triangular)4. |ab| = |a||b|5. | ab | = |a||b| , si b 6= 06. |a|2 = a27. | a| = |a|8. si b 0 entonces |a| = b a = b a = b9. |a| = |b| a = b a = b10. Si b 0 entonces |a| b b a b11. Para todo b R:|a| b a b a b12. |a| < |b| a2 < b2


Aplicacin

Aplicacin de Proposiciones

EjemploResolver en R: |x x2| = 0

Solucin.Aplicaremos la proposicin 2|x x2| = 0 x x2 = 0 x(1 x) = 0 x = 0 1 x = 0 x = 0 x = 1c .s = {0, 1}


EjemploResolver en R: ||x2 4| 9| = 0

Solucin.Aplicaremos la proposicin 2||x2 4| 9| = 0 |x2 4| 9 = 0 |x2 4| = 9 aplicando prop.(8) x2 4 = 9 x2 4 = 9 x2 = 13 x2 = 5 [x = 13 x = 13] x = Por lo tanto: c .s = {13,13}


EjemploResolver en R: ||x 1| |x + 2|| = 0

Solucin.Aplicaremos la proposicin 2||x 1| |x + 2|| = 0 |x 1| |x + 2| = 0 |x 1| = |x + 2|, aplicando prop.(9) x 1 = x + 2 x 1 = (x + 2) 1 = 2(falso) x = 12 {12}Por lo tanto: c .s = {12} = {12}


EjemploResolver en R: |2x 3| = 2

Solucin.Aplicaremos la proposicin 8|2x 3| = 2 2x 3 = 2 2x 3 = 2 x = 52 x = 12Por lo tanto: c .s = {12 , 52}


EjemploResolver en R: |x 1| = |3x 2|

Solucin.Aplicaremos la proposicin 9|x 1| = |3x 2| x 1 = 3x 2 x 1 = (3x 2) x = 12 x = 34Por lo tanto: c .s = {34 , 12}


EjemploResolver en R: |x2 4x | = |5 4x |

Solucin.Aplicaremos la proposicin 9|x2 4x | = |5 4x | x2 4x = 5 4x x2 4x = (5 4x) x2 = 5 x2 8x + 5 = 0 [x = 5 x = 5] [x = 4+11 x = 411]por lo tanto: c .s = {5,5, 4+11, 411}


EjemploResolver en R: |2 x | 3

Solucin.Aplicaremos la proposicin 10|2 x | 3 3 2 x 3 3 2 x 3 2 5 x 1 multiplicamos por (1) 5 x 1c .s = x [1, 5]


EjemploResolver en R: |3x 1| > x + 2

Solucin.Aplicaremos la proposicin 11|3x 1| > x + 2 3x 1 > x + 2 3x 1 < (x + 2) 2x > 3 4x < 1 x > 32 x < 14c .s = x ],14 [[32 ,+[


Ejercicios

EjerciciosI.-Resolver las siguientes ecuaciones:1. 2|x 1| |x | = 02. 3|x + 2| |x 1| = 53. |2x 1| = 44. |3x + 2| = 25. |5x 1| = 126. |3x 2| = 327. |2x 1| = x 18. |5x + 2| = x9. |4x 5| = 2x 110. |5x 1| = x 211. |x 2| = |2x 3|12. |4x = 5| = |1 x |13. |x 2| = |3x + 514. |6x 1| = |3x 5|15. |x + 1| = |2x 3|


Ejercicios

EjerciciosI.-Resolver las siguientes Inecuaciones:1. |4x 1| < 32. |5x 1| 83. | x2 12 | 124. |x2 x | < 15. | x1x+1 | 16. 2 < |2x 1| < 37. | x222x21 | 18. 1 < | xx1 | < 39. | x1x2 | < 210. |2x1x+2 | < 511. |x 2| > 312. |2x + 1| > 113. |3x + 1| > x14. |2x 1| > x 115. |5x 2| > 4x


Bibliografa"LAZARO CARRION, MOISES; Lgica y teora de conjuntos.Editorial Moshera Lima 2009"FIGUEROA ROBERTO, Matemtica Bsica. Editorial San Marcos.Lima 2004.ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemtica Bsica. Editorial ServiciosGrficos JJ. Per."VERA G. CARLOS, Matemtica Bsica. Editorial Moshera Lima2009.


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