ส�รบญ

แนวขอสอบ 9 วชาสามญ คณตศาสตร

ชดท 01 13

ชดท 02 21

ชดท 03 30

ชดท 04 39

ชดท 05 48

ชดท 06 56

ชดท 07 64

ชดท 08 73

ชดท 09 82

ชดท 10 91

บทน�า | วเคราะหและแนะน�าเทคนคการท�าขอสอบ 6

page_Hack Math01.indd 4 11/1/2562 BE 14:54

เฉลยแนวขอสอบ 9 วชาสามญ คณตศาสตร

ชดท 01 101

ชดท 02 118

ชดท 03 138

ชดท 04 163

ชดท 05 185

ชดท 06 210

ชดท 07 231

ชดท 08 256

ชดท 09 277

ชดท 10 303

ประวตนกเขยน 330

page_Hack Math01.indd 5 11/1/2562 BE 14:54

คณตศาสตร 1 วชาสามญวชาคณตศาสตร 1 เปนวชาหนงในการสอบ 9 วชาสามญ ซงเปนขอสอบกลางทจดสอบโดย

สถาบนทดสอบการศกษาแหงชาต (สทศ.) เพอใชในการรบตรงเขามหาวทยาลยในระบบตางๆ เชน

ระบบรบตรงของ กสพท (กลมสถาบนแพทยศาสตรแหงประเทศไทย) โดยเมอพจารณาในระบบ

รบตรงของ กสพท น ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 ถอวาเปนขอสอบทมความส�าคญมาก หรอเรยกไดวา

ส�าคญมากทสด เพราะมผลตอคะแนนโดยรวมคอนขางมาก เมอเทยบกบวชาสามญวชาอนๆ ดงท

เหนในตารางตอไปน

บทนำ�

page_Hack Math01.indd 6 11/1/2562 BE 14:54

จากตาราง เมอคดคะแนนรวมเปนสดสวนแลว จะเหนไดชดวาวชาคณตศาสตรเปนวชาทม

สดสวนคะแนนมากทสด และมจ�านวนขอไมมาก ท�าใหคะแนนตอขอนนสงทสด การท�าโจทยวชา

คณตศาสตร 1 ขอ จงอาจไดคะแนนเทากบหรอมากกวาการท�าขอสอบวชาอนหลายขอได ดงนน

วชานจงเปนวชาทนองๆ ควรตองเกบคะแนนใหไดมากๆ เพราะมผลใหคะแนนรวมสง และท�าให

นองๆ มโอกาสใชคะแนนนเขาคณะทหวงไวได

การเตรยมตวสอบวชาคณตศาสตร 1 วชาสามญนนไมยากเลย กอนอนนองๆ ตองเขาใจ

ลกษณะของขอสอบ ความรทใชสอบ และความยากของขอสอบกอน เพอน�าไปวางแผนการอาน

หนงสอและเตรยมโจทยตอไป

ลกษณะของขอสอบ

ขอสอบมคะแนนเตมรวมเปน 100 คะแนน ใหเวลาท�า 1 ชวโมง 30 นาท โดยจะแบงการสอบ

ออกเปน 2 ตอน ซงประกอบไปดวย

- ตอนท 1 เปนขอสอบปรนย 5 ตวเลอก ขอท 1 ถงขอท 10 (ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน)

- ตอนท 2 เปนขอสอบปรนย 5 ตวเลอก ขอท 11 ถงขอท 30 (ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน)

โดยขอสอบทง 2 ตอน เปนขอสอบปรนยทงค แตกตางกนตรงทระดบความยากของขอสอบ

โดยขอสอบตอนท 1 จะวดความรในระดบพนฐานกวา โจทยจะมความซบซอนนอยกวา ในขณะท

ขอสอบตอนท 2 นนจะคอนขางยากและซบซอนกวา

วชา

สดสวนคะแนนของวชา

ตอ 100 คะแนนของ

กสพท

จ�านวนขอ คะแนนตอ 1 ขอ

คณตศาสตร 14% 30 ขอ 0.47 คะแนน*

ฟสกส 9.33% 25 ขอ 0.37 คะแนน

ความถนดดานเชาวนปญญา 10% 45 ขอ 0.22 คะแนน

เคม 9.33% 50 ขอ 0.19 คะแนน

ภาษาองกฤษ 14% 80 ขอ 0.18 คะแนน

ภาษาไทย 7% 50 ขอ 0.14 คะแนน

สงคมศกษา 7% 50 ขอ 0.14 คะแนน

ความถนดดานจรยธรรม 10% 75 ขอ 0.13 คะแนน

ชววทยา 9.33% 80 ขอ 0.12 คะแนน

ความถนดดานเชอมโยง 10%แตกตางกน

ในแตละป

แตกตางกน

ในแตละป

page_Hack Math01.indd 7 11/1/2562 BE 14:54

หวขอจ�านวนขอ

โดยประมาณรายละเอยดและค�าแนะน�า

เซต (Set) * เปนพนฐานของทกๆ เรอง โดยเฉพาะจ�านวนจรง

และความนาจะเปน ควรเขาใจหลกการของเซต

และค�าศพทเรองเซต เพราะในเรองอนๆ มกจะน�า

เรองเซตไปประยกตใช

การใหเหตผล (Reasoning) - ไมมในขอสอบ

ตรรกศาสตร (Logic) * เปนเรองพนฐาน มกไมออกขอสอบโดยตรง แตควร

รหลกการเบองตนเพอเปนพนฐานใหกบเรองอนๆ

จ�านวนจรง

(Real number)

3 เปนเรองทออกขอสอบเปนประจ�า และแนวใน

การออกขอสอบมไมมาก ควรรจดทคนสวนใหญ

พลาดกน เพราะขอสอบเอามาหลอกบอยโดยเฉพาะ

เกยวกบการแกสมการ อสมการ และคาสมบรณ

พนฐานของเรองนตองแมนและเขาใจจรงๆ เพราะ

บางทขอสอบอาจดเปลยนไป แตแนวขอสอบและ

จดส�าคญของเรองนยงเหมอนเดม สามารถน�าพนฐาน

มาประยกตใชไดอย

ทฤษฎจ�านวน

(Number theory)

2 เปนเรองทมเนอหานอยเมอเทยบกบเรองอนๆ

เพราะเนอหาหลายสวนมพนฐานจากมธยมตน เชน

การหารลงตว การหา ห.ร.ม. ค.ร.น. แตมการ

ประยกตทยากกวา มสตรและความเขาใจเพมขน

มการเชอมโยงเรองอนๆ ได แตไมมาก

เรขาคณตวเคราะหและ

ภาคตดกรวย (Geometry

and Conic section)

2 เปนเรองทตองจ�าสตรพอสมควร ตองจ�าสตรทใช

หลกๆ ของรปตางๆ ใหได และตองใชความเขาใจ

เกยวกบกราฟและสมการรวมดวย เปนเรองทตอง

แมนและตองท�าความเขาใจสง เพราะเรองกราฟ

สามารถเปนเทคนคลดทน�าไปชวยเรองอนๆ ได

มาก

ความรท ใช ในการสอบ

วชาคณตศาสตร 1 เปนคณตศาสตรในระดบมธยมปลาย ซงหมายรวมถงคณตศาสตร

พนฐาน และคณตศาสตรเพมเตมในโรงเรยน โดยมหวเรองตามจ�านวนขอโดยประมาณ (ตามสถต

การออกขอสอบ) ดงตอไปน

page_Hack Math01.indd 8 11/1/2562 BE 14:54

หวขอจ�านวนขอ

โดยประมาณรายละเอยดและค�าแนะน�า

ความสมพนธและฟงกชน

(Relation and Function)* เป นเรองพนฐานทควรร โดยเฉพาะเรองของ

สญลกษณตางๆ ทใชในเรองน รวมถงตองเขาใจ

ความรและหลกการพนฐานดวย

เมทรกซ (Matrix) 3 เปนเรองทแยกออกมาเดยวๆ ไมคอยเชอมโยงกบ

เรองอนๆ ไมไดเปนเรองทซบซอน แตคนสวนใหญ

มกลม เพราะเปนเรองทไมคอยไดใช และเปนเรอง

ทเรยนตงแต ม.4 จะออกขอสอบมาก โดยเฉพาะ

เรองของดเทอรมแนนต

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

และลอการทม (Exponential

and Logarithm)

2 เปนเรองทไมซบซอน และท�าความเขาใจไดงายกวา

เรองอน แตควรระวงจดทพลาดบอยๆ แนวขอสอบ

ออกแนวคลายๆ เดม ไมคอยเปลยนหรอประยกต

จากเดมมากนก

ตรโกณมต (Trigonometry) 3 ทง 3 เรองนเปนเรองทเกยวของกน หากไมเขาใจ

บางเรองอาจสงผลตออกเรองได และตองใชเวลา

ในการท�าความเขาใจ เพราะมเนอหาและสตร

คอนขางมาก ควรศกษารายละเอยดทส�าคญ

จดควรจ�า จดทพลาดบอย รวมถงวางแผนอาน

ใหดๆ และเตรยมตวแตเนนๆ

เวกเตอร (Vector) 2

จ�านวนเชงซอน

(Complex number)

2

ความนาจะเปน

(Probability)

2 เปนเรองทออกขอสอบคอนขางมาก สามารถน�าไป

ประยกตใชกบทกเรองไดหลากหลาย ควรเขาใจ

กฎหรอหลกการอยางถองแท เพอน�าไปท�าโจทย

ไดอยางถกตอง

ล�าดบและอนกรม

(Sequences and Series)

3 เปนเรองทมจดส�าคญและสตรไมมาก ตองพยายาม

ท�าความเขาใจจดส�าคญและสตรใหด เพราะแนว

ขอสอบจะวดจดส�าคญเหมอนเดมๆ แตมการ

เปลยนโจทยและดดแปลงโจทยใหแปลกตาไป

เรอยๆ ขนอยกบเรองทน�าไปประยกต พยายามฝกด

และประยกตกบโจทยใหได

แคลคลส (Calculus) 3 เปนเรองทคอนขางซบซอน และตองใชความเขาใจ

ควรฝกฝนอยางสม�าเสมอเพอความช�านาญ และควร

มความรในเรองของกราฟ และความสมพนธและ

ฟงกชนเปนพนฐาน

page_Hack Math01.indd 9 11/1/2562 BE 14:54

หวขอจ�านวนขอ

โดยประมาณรายละเอยดและค�าแนะน�า

ทฤษฎกราฟ (Graph theory) - ไมมในขอสอบ

ก�าหนดการเชงเสน

(Linear programing)

- ไมมในขอสอบ

สถต (Statistic) 3 เปนเรองทมสตรทตองจ�ามาก พยายามท�าความ

เขาใจสตรนนๆ ประยกตใชสตรใหเปน และร

ขอจ�ากดของแตละสตร ขอสอบในเรองนออกตรงไป

ตรงมา ถาเขาใจสตรและวธการใชอยางถกตอง

กท�าขอสอบได

สวนทเปน * คอ เรองทออกขอสอบโดยตรงคอนขางนอย แตเปนความรทตองม เพราะจะเปน

พนฐานในการท�าขอสอบเรองอนๆ และน�าไปประยกตกบเรองอนๆ ได

ความยากของขอสอบ

โดยรวมแลวไมไดเปนขอสอบทยากมากเกนในระดบทไมสามารถท�าได แตเปนขอสอบทวด

พนฐานและการประยกตใชของวชาคณตศาสตร ขอสอบจะไมซบซอนและประยกตเทาระดบขอสอบ

PAT 1 (ความถนดทางคณตศาสตร) แตกมความยากกวาการสอบ O-NET (การทดสอบการศกษา

ระดบชาตขนพนฐาน)

การเตรยมสอบนนมความรทจ�าเปนตองใชในการสอบเตมไปหมด อกทงความซบซอนของ

ขอสอบกมาก การท�าโจทยหรออานหนงสอทไมใชแนวขอสอบอาจท�าใหนองๆ หลงทางไปไกลได

วธในการเตรยมตวอยางมประสทธภาพ คอ การฝกฝนท�าขอสอบใหไดมากทสด และท�าขอสอบทม

ความคลายกบแนวขอสอบทนองตองไปเจอใหมากทสดดวย เพราะจะท�าใหนองสามารถวางแผนและ

อานเพอเนนจดส�าคญของเรองนนๆ ทจะออกขอสอบได นอกจากนการอานและเตรยมตวผานแนว

ขอสอบจะท�าใหเรารวาเรองใดออกขอสอบปรมาณเทาใด ท�าใหสามารถเลอกอานรายละเอยดเฉพาะ

สวนทจะออกขอสอบได เนองจากการอานรายละเอยดในทกๆ เรองของคณตศาสตรในเวลาอนจ�ากด

คงจะเปนไปไดยาก และยงเปนการหาขอผดพลาดของเรา เพอใหเราไดท�าความเขาใจใหมอกดวย

สงทส�าคญทสดไมใชแคท�าขอสอบไดเทานน แตคอการท�าโจทยใหทนเวลา! เพราะถงแมวา

จะสามารถแกโจทยได แตถาท�าไมทนกเทากบวาไมไดท�าอยด อกทงการสอบคณตศาสตร 1

วชาสามญกไมตางอะไรจาก Speed test (การทดสอบความเรว) เนองจากตองท�าขอสอบ 30 ขอ

ภายในเวลาเพยงแค 1 ชวโมงครงเทานน (เฉลยเพยง 3 นาท ตอ 1 ขอเทานน!) ฉะนนสงทนองตอง

เตรยมตวนอกเหนอจากการท�าโจทยได คอ ตองท�าโจทยใหช�านาญ มความแมนในคณตศาสตร

และใชเวลาตอขอใหนอยทสดเทาทจะเปนไปได

page_Hack Math01.indd 10 11/1/2562 BE 14:54

เทคนคในการพชตขอสอบคณตศาสตร 1 วชาสามญในหนงสอเลมน

หนงสอเลมนเปนหนงสอทรวมแนวขอสอบตงแตปแรกทมการสอบจนถงปลาสด พรอมทง

มเฉลยแบบละเอยด แนวขอสอบแตละชดนนไดจ�าลองใหเสมอนขอสอบจรง โดยมการแบงขอสอบ

ออกเปน 2 สวน ตามระดบความยาก คลายกบทนองจะไดไปเจอในสนามสอบ เพอใหนองสามารถ

เตรยมตวและฝกการบรหารจดการการท�าขอสอบได และดงทไดกลาวไปขางตน หวใจส�าคญยงกวา

การท�าขอสอบใหได คอ ตองท�าขอสอบใหทน เวลาฝกท�าขอสอบในหนงสอเลมน นองๆ จงควร

จบเวลาไปดวย เพอใหไดรถงการบรหารเวลาของตวเอง และยงท�าใหรวาพนฐานความรเรองตางๆ

ของนองมความแมนมากแคไหน

หลงจากทไดฝกท�าขอสอบแลว นองจะสามารถประเมนไดวาตวเองไดคะแนนและมพนฐาน

เทาใด ซงจะพอเทยบเคยงไดวา เมอสอบจรงๆ แลวจะไดคะแนนประมาณเทาใด โดยกอนทนอง

จะท�าบทตอไปนน พอยากใหอานเฉลยแบบละเอยดทดานหลงกอน ทงขอทท�าถกและผด เพราะขอ

ทท�าถกกอาจมวธลดทจะชวยใหนองท�ามนไดเรวขน เปนการเกบขอผดพลาดของตวเอง ทกครง

ทท�าแบบนจะท�าใหไดปดจดบอดทนองเคยม อะไรทยงไมรเกยวกบเรองนนๆ นองจะไดร เมอเจอ

ขอสอบลกษณะเดยวกนในครงตอไป กจะสามารถท�าโจทยแนวเดมนนได (ถานองไมลมมนกอน

นะครบ!)

การท�าโจทยตอนแรกๆ นองอาจไดคะแนนนอยกวาความเปนจรง อยาเพงตกใจและเสยขวญ

ไป เพราะเมอนองท�าโจทยไปเรอยๆ จนถงชดหลงๆ นองกจะมประสบการณมากขน เมอพบจดบอด

ของตวเองกสามารถปดมนไดเกงขน ซงจะท�าใหนองไดพฒนาไปถงจดทตองการได

สดทายน ขอใหนองๆ ทกคนทก�าลงจะเรมตนทดสอบตวเองดวยหนงสอเลมนมนใจ เพราะพได

รวบรวมโจทยแทบทกรปแบบในการวดพนฐานทนองมไวในหนงสอเลมนแลว และพเชอวา เมอนอง

ท�าโจทยในหนงสอครบจนหมดแลว จดบอดของนองทเคยมจะหายไปแนนอนครบ

page_Hack Math01.indd 11 11/1/2562 BE 14:54

แนวขอสอบ9 วชาสามญ คณตศาสตร

page_Hack Math01.indd 12 11/1/2562 BE 14:54

ชดท

page_Hack Math01.indd 13 11/1/2562 BE 14:54

14

1 จ�านวนเตมทสอดคลองกบอสมการ x2 - 3x + 2 x2 + x - 2

≤ 0 มทงหมดกจ�านวน

1. 1 จ�านวน 2. 2 จ�านวน

3. 3 จ�านวน 4. 4 จ�านวน

5. 5 จ�านวน

2 ก�าหนดสมการ x4 - 4x3 + ax2 + bx + 5 = 0 มรากของสมการ 3 จ�านวน ถา 1 - 2i เปนรากหนงของ

สมการดงกลาว แลวผลบวกของรากทงหมดของสมการเทากบขอใด

1. 1 2. 2

3. 3 4. 4

5. 5

3 ก�าหนดให a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมม A�, B � และ C� ของสามเหลยมรปหนงตามล�าดบ ถามม A� = B � และ c = 3

2a จงหาคาของ 1

cos2 C เทากบขอใด

1. 2 2. 4

3. 8 4. 32

5. 64

4 ก�าหนดให u, v และ w เปนเวกเตอรในระบบพกด 3 มต โดย u ขนานกบ v และ v ตงฉากกบ w

ถา |u| = 6, |v| = 2 และ |w| = 3 แลว (w × u)⋅v เทากบขอใด 1. -36 2. -6

3. 0 4. 6

5. 36

5 ถา x, y, z สอดคลองกบสมการ 3x + 2y - z = a

3y + 2z = b

x + y - z = c

และ

3 2 -1

0 3 2

1 1 1

a 1 1 1 9

b ∼ 0 1 1 7

c 0 0 1 4

แลว a + b + c มคาเทากบขอใด

ตอนท 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก จำ�นวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน

page_Hack Math01.indd 14 11/1/2562 BE 14:54

15

1. 34 2. 40

3. 45 4. 48

5. 54

6 ให A = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log 50

และ B = log 2 + log 4 + log 6 + ... + log 100

แลวคาของ 10B-A เทากบขอใด

1. 100 2. 250

3. 1050 4. 299

5. 2100

7 ตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ถาสมเลอกนกเรยนมาหนงคนจากกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทไดคะแนนสอบในชวง 50-59

คะแนน เทากบ 0.2 แลวจ�านวนนกเรยนทไดคะแนนสอบในชวง 40-49 คะแนนเทากบขอใด

1. 40 คน 2. 65 คน

3. 90 คน 4. 130 คน

5. 145 คน

8 ถา an = 1

n2 + n - 2

n2 + 2n เมอ n = 1, 2, 3, ... แลว lim

n→0 an มคาเทากบขอใด

1. - 12 2. 0

3. 12 4. 32

5. หาคาไมได

คะแนนสอบ ความถสะสม (คน)

10-19 10

20-29 35

30-39 80

40-49 A

50-59 185

60-69 195

70 ขนไป 200

page_Hack Math01.indd 15 11/1/2562 BE 14:54

เฉลยแนวขอสอบ9 วชาสามญ คณตศาสตร

page_Hack Math03.indd 100 16/1/2562 BE 10:46

102

ขอ 1 ตอบ 3. 3 จำ�นวน

หากแยกตวประกอบของอสมการจะได

x2 - 3x + 2 x2 + x - 2 ≤ 0

(x - 1)(x - 2) (x - 1)(x + 2) ≤ 0

(x - 2) (x + 2) ≤ 0 โดย x 1

เมอนำาอสมการมาเขยนลงบนเสนจำานวนไดดงภาพ

ระวงวาสวนของอสมการตองไมเทากบศนย ฉะนน x -2, 1

จะไดจำานวนเตมทอยในชวงดงกลาวคอ x = 2, 0, -1 ซงมทงหมด 3 จำานวนทเปนคำาตอบของอสมการ

ขอ 2 ตอบ 3. 3

โดยปกตสมการพหนามกำาลง 4 จะมรากของสมการ 4 จำานวน หากมรากของสมการ 3 จำานวนหรอนอยกวา

ใหระวงเรองรากของสมการซำากน

ควรจำ�!ถาคำาตอบของสมการเปนจำานวนเชงซอน Z แลว Z มกเปนคำาตอบ

ของสมการดงกลาวดวย

จากโจทย 1 - 2i เปนรากของสมการ จงไดวา 1 + 2i เปนรากของสมการดวยเชนกน

ดงนนรากสมการตวท 3 จงควรเปนรากทซำากน กำาหนดใหเปน A

จากสมการ x4 - 4x3 + ax2 + bx + 5 = 0 สามารถหาผลบวกราก = 4 ผลคณราก = 5

พจารณาทผลบวกรากจะได - (-4) 1

= (1 - 2i) + (1 + 2i) + A + A

4 = 2 + 2A

A = 1

รากสมการทงหมดจงม 1 - 2i, 1 + 2i, 1, 1 โดยม 1 เปนรากซำา

∴ รากทงหมดของสมการประกอบดวย 1 - 2i, 1 + 2i, 1 จงมผลรวมเทากบ (1 - 2i) + (1 + 2i) + 1 = 3

-2 21

+ - - +

page_Hack Math03.indd 102 16/1/2562 BE 10:46

103

เฉลยแนวขอสอบ

ควรจำ�!กฎของไซน : a

sin A = bsin B

= csin C

กฎของโคไซน : c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

ขอ 3 ตอบ 5. 64

จากกฎของไซน asin A = b

sin B

เนองจาก มม A = มม B ทำาให sin A = sin B จงไดวา a = b

สามารถหา cos C จาก c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

32a

2

= a2 + a2 - 2a2 cos C

94a2 = 2a2(1 - cos C)

98 = 1 - cos C

cos C = - 18

1cos2 C

= 64

ขอ 4 ตอบ 3. 0

ควรจำ�!A × B จะไดผลของเวกเตอรทมทศทางตงฉากกบ A และ B เสมอ ถา A หรอ B ไมไดเปนเวกเตอรศนย

ฉะนน w × u จะไดเวกเตอรทมทศทางตงฉากกบ w, u และ v (เพราะ v ขนานกบ u ตามโจทย)

(w × u)⋅v = |w × u|×|v| × cos 90๐

= |w × u|×|v|× 0 = 0

ขอ 5 ตอบ 1. 34

จากเมทรกซแตงเตม

3 2 -1

0 3 2

1 1 1

a 1 1 1 9

b ∼ 0 1 1 7

c 0 0 1 4

สามารถแปลงสมการ

3x + 2y - z = a x + y + z = 9

3y + 2z = b y + z = 7

x + y + z = c z = 4

C

B A

ba

c

page_Hack Math03.indd 103 16/1/2562 BE 10:46

104

แกสมการหาคา x, y, z ไดเปน x = 2, y = 3 และ z = 4

นำามาแทนคา a = 3(2) + 2(3) - 4 = 8

b = 3(3) + 2(4) = 17

c = 2 + 3 + 4 = 9

∴ a + b + c = 34

ขอ 6 ตอบ 2. 250

B = log 2 + log 4 + log 6 + ... + log 100

= log(2 × 1) + log(2 × 2) + log(2 × 3) + ... + log(2 × 50)

= (log 2 + log 1) + (log 2 + log 2) + (log 2 + log 3) + ... + (log 2 + log 50)

= 50 log 2 + (log 1 + log 2 + log 3 + ... + log 50)

= 50 log 2 + A

B - A = 50 log 2 = log 250

∴10B-A = 10log10250 = 250

ขอ 7 ตอบ 2. 65 คน

จากตารางแจกแจงความถสะสม นกเรยนทไดคะแนนสอบชวง 50-59 คะแนน ม 0.2 สวนจากนกเรยน

ทงหมด ซงเทากบ 0.2 × 200 = 40 คน

หาคา A ได 185 - A = 40

A = 145

∴ นกเรยนทไดคะแนนสอบชวง 40-49 คะแนน ม 145 - 80 = 65 คน

โจทยขอนไมสามารถแทน 0 เขาไปไดเลยในทนท เพราะจะไดเศษสวนทมสวนเปนศนย ซงไมมคำาตอบ

ทางคณตศาสตร ฉะนนตองทำาใหสวนทเปนศนยหายไปโดยการจดรปใหม

an = 1

n2 + n - 2

n2 + 2n

= 1n(n + 1)

- 2n(n + 2)

= 1n - 1

n + 1 - 1

n - 1

n + 2

ควรจำ�!AlogAB = B

ขอ 8 ตอบ 1. - 1 2

page_Hack Math03.indd 104 16/1/2562 BE 10:46

105

เฉลยแนวขอสอบ

= 1n - 1

n + 1 - 1

n + 1

n + 2

= 1n + 2

- 1n + 1

∴ n→0lim an =

12 - 1 = - 1

2

ขอ 9 ตอบ 4. 15.4

ควรจดรปอนทเกรตใหอยในรปอยางงายกอนแลวคอยทำาการอนทเกรต

x3 + 2x x + 1 = x3 + 2x32 + 1

= x32 + 1

2

= |x32 + 1| (เปนรปอยางงายตอการอนทเกรต)

∴ ∫4

1

x3 + 2x x + 1dx = ∫4

1|x

32 + 1|dx ; x

32 + 1 มคาเปนบวกในชวง [1, 4] จงถอดคาสมบรณได

= 25x

52 + x + c

4

1

= 25(4)

52 + 4 + c - 2

5(1)

52 + 1 + c

= 16.8 - 1.4

= 15.4

ขอ 10 ตอบ 4. 1,800

จำานวนทงหมดทเลข 3 ไมตดกน = จำานวนทงหมด - จำานวนทเลข 3 ตดกน

= 7!2!

- 6! ผก 3 ตดกนรวมเปนกอนเดยว

= 7!2!

- 6! = 2,520 - 720 = 1,800

ม 7 ตว

3 ซำากน 2 ตว

page_Hack Math03.indd 105 16/1/2562 BE 10:46