หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน
รายวชา คณตศาสตร
(พค21001)
ระดบมธยมศกษาตอนตน
หลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาขนพนฐาน
พทธศกราช 2551
สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย
สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ
กระทรวงศกษาธการ
หนงสอเรยนเลมนจดพมพดวยเงนงบประมาณแผนดนเพอการศกษาตลอดชวตสาหรบประชาชน
ลขสทธเปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ
หามจาหนาย
เอกสารทางวชาการลาดบท 11/2554
หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน
รายวชา คณตศาสตร (พค21001)
ระดบมธยมศกษาตอนตน
ลขสทธเปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ
เอกสารทางวชาการลาดบท 11/2554
คานา
สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย ไดดาเนนการจดทา
หนงสอเรยน ชดใหมนขน เพอสาหรบใชในการเรยนการสอนตามหลกสตรการศกษานอกระบบ
ระดบการศกษาข นพนฐาน พทธศกราช 2551 ท มวตถประสงคในการพฒนาผ เรยนใหมคณธรรม
จรยธรรม มสตปญญาและศกยภาพในการประกอบอาชพ การศกษาตอ และสามารถดารงชวตอยใน
ครอบครว ชมชน สงคมไดอยางมความสข โดยผเรยนสามารถนาหนงสอเรยนไปใช ดวยวธการศกษา
คนควาดวยตนเอง ปฏบตกจกรรมรวมทงแบบฝกหดเพอทดสอบความรความเขาใจในสาระเนอหา
โดยเมอศกษาแลวยงไมเขาใจ สามารถกลบไปศกษาใหมได ผเรยนอาจจะสามารถเพมพนความรหลงจาก
ศกษาหนงสอเรยนน โดยนาความรไปแลกเปลยนกบเพอนในชนเรยน ศกษาจากภมปญญาทองถน
จากแหลงเรยนรและจากสออนๆ ในการดาเนนการจดทาหนงสอเรยนตามหลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษา
ขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ไดรบความรวมมอทดจากผทรงคณวฒและผเกยวของหลายทานทคนควา
และเรยบเรยงเนอหาสาระจากสอตางๆ เพอใหไดสอทสอดคลองกบหลกสตร และเปนประโยชน
ตอผเรยนทอยนอกระบบอยางแทจรง สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย
ขอขอบคณคณะทปรกษา คณะผเรยบเรยง ตลอดจนคณะผจดทาทกทานทไดใหความรวมมอดวยด
ไว ณ โอกาสน สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย หวงวาหนงสอเรยน
ชดนจะเปนประโยชนในการจดการเรยนการสอนตามสมควร หากมขอเสนอแนะประการใด สานกงาน
สงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย ขอนอมรบไวดวยความขอบคณยง
สานกงาน กศน.
สารบญ
เรอง หนา
บทท 1 จานวนและการดาเนนการ 1
บทท 2 เศษสวนและทศนยม 18
บทท 3 เลขยกกาลง 46
บทท 4 อตราสวนและรอยละ 58
บทท 5 การวด 75
บทท 6 ปรมาตรและพนทผว 105
บทท 7 คอนดบและกราฟ 127
บทท 8 ความสมพนธของรปเรขาคณตสองมตและสามมต 136
บทท 9 สถต 149
บทท 10 ความนาจะเปน 180
เฉลย บทท 1 จานวนและการดาเนนการ 191
เฉลย บทท 2 เศษสวนและทศนยม 199
เฉลย บทท 3 เลขยกกาลง 213
เฉลย บทท 4 อตราสวนและรอยละ 216
เฉลย บทท 5 การวด 222
เฉลย บทท 6 ปรมาตรและพนทผว 233
เฉลย บทท 7 คอนดบและกราฟ 242
เฉลย บทท 8 ความสมพนธของรปเรขาคณตสองมตและสามมต 245
เฉลย บทท 9 สถต 251
เฉลย บทท 10 ความนาจะเปน 260
คาแนะนาการใชแบบเรยน
หนงสอเรยนสาระความรพ นฐาน รายวชา คณตศาสตร พค 21001 ระดบมธยมศกษา
ตอนตน เปนหนงสอเรยนทจดทาขน สาหรบผเรยนทเปนนกศกษานอกระบบ ในการศกษา
หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน รายวชา คณตศาสตร ผเรยนควรปฏบตดงน
1. ศกษาโครงสรางรายวชาใหเขาใจในหวขอสาระสาคญ ผลการเรยนรทคาดหวง
และขอบขายเนอหา
2. ศกษารายละเอยดเนอหาของแตละบทอยางละเอยด และทากจกรรมตามทกาหนด
แลวตรวจสอบกบแนวตอบกจกรรมทกาหนด ถาผเรยนตอบผดควรกลบไป
ศกษาและทาความเขาใจในเนอหานนใหมใหเขาใจกอนทจะศกษาเรองตอไป
3. ปฏบตกจกรรมทายเรองของแตละเรอง เพอเปนการสรปความรความเขาใจของ
เนอหาในเรองนนๆ อกครง และการปฏบตกจกรรมของแตละเนอหาในแตละ
เรอง ผเรยนสามารถนาไปตรวจสอบกบครและเพอนๆ ทรวมเรยนในรายวชา
และระดบเดยวกนได
4. แบบเรยนเลมนม 10 บท
บทท 1 จานวนและการดาเนนการ
บทท 2 เศษสวนและทศนยม
บทท 3 เลขยกกาลง
บทท 4 อตราสวนและรอยละ
บทท 5 การวด
บทท 6 ปรมาตรและพนทผว
บทท 7 คอนดบและกราฟ
บทท 8 ความสมพนธของรปเรขาคณตสองมตและสามมต
บทท 9 สถต
บทท 10 ความนาจะเปน
โครงสรางรายวชาคณตศาสตร
ระดบมธยมศกษาตอนตน
สาระสาคญ ใหผเรยนมความรความเขาใจเกยวกบจานวนและการดาเนนการ เศษสวน และทศนยม เลข
ยกกาลง อตราสวน สดสวน และรอยละ การวด ปรมาตรและพนทผว คอนดบและกราฟ
ความสมพนธระหวางรปทรงเรขาคณตสองมตและสามมต สถต และความนาจะเปน
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. ระบหรอยกตวอยางเกยวกบจานวนและการดาเนนการ เศษสวนและทศนยม เลขยก
กาลงอตราสวน สดสวน รอยละ การวด การหาปรมาตรและพนทผว คอนดบและกราฟ
ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมต สามมต สถต และความนาจะเปน
2. สามารถคดคานวณและแกปญหาโจทยทใชในชวตประจาวน
ขอบขายเนอหา
บทท 1 จานวนและการดาเนนการ
บทท 2 เศษสวนและทศนยม
บทท 3 เลขยกกาลง
บทท 4 อตราสวนและรอยละ
บทท 5 การวด
บทท 6 ปรมาตรและพนทผว
บทท 7 คอนดบและกราฟ
บทท 8 ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมตและสามมต
บทท 9 สถต
บทท 10 ความนาจะเปน
สอการเรยนร
1. ใบงาน
2. หนงสอเรยน
1
บทท 1 จานวนและการดาเนนการ
สาระสาคญ
เรองของจานวนและการดาเนนการ เปนหลกการเบองตนทเปนพนฐานในการนาไปใชใน
ชวตจรงเกยวกบการเปรยบเทยบ การบวก การลบ การคณ และการหาร
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. ระบหรอยกตวอยางจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนยได
2. เปรยบเทยบจานวนเตมได
3. บวก ลบ คณ หาร จานวนเตม และอธบายผลทเกดขนได
4. บอกสมบตของจานวนเตมและนาความรเกยวกบสมบตของจานวนเตมไปใชได
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนย
เรองท 2 การเปรยบเทยบจานวนเตม
เรองท 3 การบวก การลบ การคณ และการหารจานวนเตม
เรองท 4 สมบตของจานวนเตมและการนาไปใช
2
เรองท 1 จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนย
จานวนเตมประกอบไปดวย จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมศนย ดง
โครงสรางตอไปน
จานวนเตมบวก คอ จานวนนบ เปนจานวนชนดแรกทมนษยรจก มคามากกวาศนย จานวนนบจานวน
แรก คอ 1 จานวนทอยถดไปจะเพมขนทละ 1 เสมอ เหนวาไมสามารถหาจานวนนบทมากทสด และ
สามารถเขยนจานวนนบ เรยงตามลาดบไดดงน 1, 2, 3,... ไปเรอยๆ จานวนนบเหลานอาจเรยกไดวา
“จานวนเตมบวก” ถานาจานวน 0 และจานวนเตมบวกมาเขยนแสดงดวยเสนจานวนได ดงน
จานวนเตมศนย มจานวนเดยว คอ ศนย(0)
สาหรบ 0 ไมเปนจานวนนบ เพราะจะไมกลาววามผเรยนจานวน 0 คน แตศนยกไมได
หมายความวา ไมมเสมอไป เชน เมอกลาวถงอณหภม เพราะทาใหเราทราบและเกดความรสกขณะ
อณหภม 0 องศาเซลเซยสได
จานวนเตมลบ หมายถงจานวนทตรงขามกบจานวนเตมบวก มคานอยกวาศนย (0) มคาลดลง
เรอยๆ ไมมทสนสด เชน -1, -2, -3, ....
พจารณาจากเสนจานวน จะเหนวาจานวนทอยทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวย เขยน
แทนดวย -1 อานวา ลบหนง
จากจานวนทอยทางซายของ 0 สองชอง เขยนแทนดวย -2 อานวา ลบสอง ถาอยทางซาย
ของ 0 สามชอง เขยนแทนดวย -3 อานวา ลบสาม
จานวนเตม
จานวนเตมบวก จานวนเตมศนย จานวนเตมลบ
3
เรองท 2 การเปรยบเทยบจานวนเตม
จานวนเตม 2 จานวน เมอนามาเปรยบเทยบกนจะไดวา จานวนหนงทมากกวาจานวนหนง
หรอจานวนหนงทนอยกวาอกจานวนหนง หรอจานวนทง 2 จานวนเทากน เพยงอยางใดอยางหนง
เทานน
ถา a, b, c เปน จานวนธรรมชาตใดๆ แลว
a – b = c แลว a มากกวา b
a – b = - c แลว b มากกวา a
หรอ a นอยกวา b
a – b = 0 แลว a เทากบ b
เครองหมายทใช > แทนมากกวา
< แทนนอยกวา
= แทนเทากบ หรอเทากน
การเปรยบเทยบจานวนเตมสามารถเปรยบเทยบจากเสนจานวนไดดงน
จากเสนจานวนจะเหนวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซงจะเหนไดวา จานวนทอย
บนเสนจานวนดานขวามคามากกวาจานวนทอยดานซายเสมอ
4
แบบฝกหดท 1
1. จงเลอกจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมจากจานวนตอไปน
- 1, 24
, 0, - 3, 1000500
, 250
500−
จานวนเตมบวก ประกอบดวย...............................................................................................
จานวนเตมลบ ประกอบดวย...............................................................................................
จานวนเตม ประกอบดวย..............................................................................................
2. จงเตมเครองหมาย < หรอ > เพอใหประโยคตอไปนเปนจรง
1) -4 ..................................... 3
2) -4 .................................... -3
3) -2 ..................................... -5
4) 4..................................... -2
5) 4..................................... -8
3. จงเรยงลาดบจานวนเตมจากนอยไปหามาก
1) -2, -8, -4, -15, -20, -7
…………………………………………………………………………………………………..
2) 4, -8, 0, -2, 16, -17
…………………………………………………………………………………………………..
5
2.1 จานวนตรงขามของจานวนเตม
ถา a เปนจานวนใดๆ จานวนตรงขามของ a มเพยงจานวนเดยว เขยนแทนดวย -a
พจารณาจากเสนจานวน
จานวนเตมบวกและจานวนเตมลบจะอยคนละขางของศนย (0) และอยหางจาก 0 เปน
ระยะเทากน เชน -3 กบ 3 เปนจานวนตรงขามกน
ซงสรปไดวา
สาหรบจานวนเตม a ใดๆ จานวนตรงขามของ a คอ –a
และจานวนตรงขามของ -a คอ – a
เนองจากจานวนตรงขามของ(-a) เขยนแทนดวย – (-a)
ดงนน – (-a) = a
เชน จานวนตรงขามของ (-3) เขยนแทนดวย –(-3) คอ 3
2.2 คาสมบรณของจานวนเตม
สญลกษณของคาสมบรณ ไดแก
ขอสงเกต เมอ a แทนจานวนใดๆ
พจารณาจากเสนจานวนจะเหนวา
คาสมบรณของ 2 เทากบ 2 เขยนในรปสญลกษณ 22 =
คาสมบรณของ -2 เทากบ 2 เขยนในรปสญลกษณ 22 =−
ซงสรปไดวาคาสมบรณของจานวนใดๆ เทากบระยะทางทจานวนนนอยหางจาก 0 บนเสน
จานวน
6
แบบฝกหดท 2
1. จงเตมคาวา “มากกวา” หรอ “นอยกวา” หรอ “เทากบ”
1) คาสมบรณของ (-3).................................................คาสมบรณของ 3
2) จานวนตรงขามของ (-4) .........................................จานวนตรงขามของ 4
3) จานวนตรงขามของ 5 ..............................................จานวนตรงขามของ -5
4) คาสมบรณของ A....................................คาสมบรณของ(-A) เมอA เปนจานวนใดๆ
5) จานวนตรงขามของ A ...........................จานวนตรงขามของ (-A) เมอA เปนจานวน
ใดๆ
2. จงเตมเครองหมาย <, > หรอ = ลงในชองวาง
1) – (- 5) ............................................5
2) จานวนตรงขามของ 8 .........................................8
3) จานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8)
4) 25.........................................25 −−
5) ( )20.........................................20 −−
6) 5..........................................25 −−
7) จานวนตรงขามของ (-2) .........................................จานวนตรงขามของ(-7)
8) จานวนตรงขามของ 32.............................................จานวนตรงขามของ 77
7
เรองท 3 การบวก การลบ การคณ และการหารจานวนเตม
3.1 การบวกจานวนเตม
หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปนจานวนเตมบวก เชน 2 + 3 = 5
1). การบวกจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมบวก
พจารณาจากเสนจานวน
เรมตนท 0 นบไปทางขวา 2 ชอง และนบเพมไปทางขวาอก 3 ชอง จะสนสดท 5
จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กบ 3
หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปนจานวนเตมลบ เชน
(-2) + (-3) = (-5)
2). การบวกจานวนเตมลบดวยจานวนเตมลบ
พจารณาจากเสนจานวน
เรมตนท 0 นบไปทางซาย 2 ชอง และนบเพมไปทางซายอก 3 ชอง จะสนสดท -5
จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กบ -3
3.1 กรณทจานวนเตมบวกมคาสมบรณมากกวา
3). การบวกจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมลบ
หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมบวก เชน 12 + (-8) = 4
พจารณาจากเสนจานวน
เรมตนท 0 นบไปทางขวา 12 ชอง เมอบวกดวย -8 ใหนบลดไปทางซายอก 8 ชอง
จะสนสดท 4
จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กบ -8
8
3.2 กรณท จานวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมลบ เชน 3 +(-10) = -7
พจารณาจากเสนจานวน
เรมตนท 0 นบไปทางขวา 3 ชอง เมอบวกดวย – 10 ใหนบลดไปทางซายอก 10 ชอง
จะสนสดท -7
จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กบ -10
4.1 กรณทจานวนเตมบวกมคาสมบรณมากกวา
4). การบวกจานวนเตมลบดวยจานวนเตมบวก
หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมบวก เชน (-3) + 5 = 2
พจารณาจากเสนจานวน
เรมตนท 0 นบไปทางซาย 3 ชอง เมอบวกดวย 5 ใหนบเพมไปทางขวาอก 5 ชอง
จะสนสดท 2
จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กบ 3
4.2 กรณจานวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมลบ เชน (-5) + 3 = -2
พจารณาจากเสนจานวน
เรมตนท 0 นบไปทางซาย 5 ชอง เมอบวกดวย 3 ใหนบเพมไปทางขวาอก 3 ชอง
จะสนสดท -2
จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กบ 3
9
1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจานวนทกาหนดให โดยใชเสนจานวน
แบบฝกหดท 3
1. 3+2
2. (-3)+(-2)
3. 2+1
4. (-2)+(-1)
5. 5+ (-1)
6. (-1) +5
7. (-5) +3
8. 3 + (-5)
10
2. จากผลการบวกโดยใชเสนจานวน จงเตมคาตอบตอไปนใหสมบรณ
ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสมบรณของ a คาสมบรณของ b คาสมบรณของ(a+b) ผลบวกของ a กบ b
เทากนหรอไมกบ ba +
1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากน
2. (-3)+(-2) = -5
3. 2+1 = 3
4. (-2)+(-1) = -3
5. 5+ (-1) = 4
6. (-1) +5 = 4
7. (-5) +3 = -2
8. 3 + (-5) = -2
สรป หลกการบวกจานวนเตม
1. การบวกระหวางจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมบวก ใหนาคาสมบรณมาบวกกน แลว
ตอบเปนจานวนเตมบวก
2. การบวกจานวนเตมลบกบจานวนเตมลบ ใหนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปน
จานวนเตมลบ
3. การบวกระหวางจานวนเตมบวกกบจานวนเตมลบ ทจานวนเตมบวกมคาสมบรณ
มากกวาใหนาคาสมบรณมาลบกน แลวตอบเปนจานวนเตมบวก
4. การบวกระหวางจานวนเตมบวกกบจานวนเตมลบ ทจานวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา
ใหนาคาสมบรณมาลบกน แลวคาตอบเปนจานวนเตมลบ
5. การบวกระหวางจานวนเตมบวกกบจานวนเตมลบทมคาสมบรณเทากน ผลบวกเปน 0
3.2 การลบจานวนเตม
ทบทวนจานวนตรงขามของจานวนเตมดงตอไปน
จานวนตรงขามของ 3 คอ -3
จานวนตรงขามของ – 3 คอ 3 และ 3+(-3) = 0
จานวนตรงขามของ -3 เขยนแทนดวย –(-3) ดงน –(-3) = 3
11
พจารณาการลบจานวนเตมสองจานวนทกาหนดใหดงน
1. 3 – 2
2. 3 – 5
โดยพจารณาทงสองแบบ
1. แสดงการหาผลลบของสองจานวนทกาหนดให โดยใชเสนจานวน
1). 3 – 2 = 1
2). 3 – 5 = -2
2. แสดงการหาผลลบโดย กาหนดให – b แทนจานวนตรงขามของ b แลวพจารณาคาของ a + (-b)
ประโยคแสดงผลลพธของ a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลพธของ a + (-b)
1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1
2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2
จากการลบจานวนเตมสองจานวนทง 2 แบบจะเหนไดวา
กาหนด (-b) เปนจานวนตรงขามของ b
ผลลพธของ a-b และผลลพธของ a+(-b) มคาเทากน
ดงนน การลบจานวนเตม เราอาศยการบวกตามขอตกลงดงตอไปน
ตวตง – ตวลบ = ตวตง + จานวนตรงขามของตวลบ
นนคอ เมอ a และ b แทนจานวนใดๆ
a –b = a + จานวนตรงขามของ b
หรอ a – b = a + (-b)
12
1. จงทาใหเปนผลสาเรจ
แบบฝกหดท 4
1. (-12) – 7
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. 7 – (-12)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. (-8) – (-5)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. (-5) – (-8)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5. [8 – (-2)] – 6
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
6. 8 – [(-2) – 6]
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมอกาหนด a และ b ดงตอไปน
1. a = 5, b = (-3)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. a = (-14), b = (-6)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. a = (-4), b = (-4)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
13
3.3 การคณจานวนเตม
1) การคณจานวนเตมบวกดวนจานวนเตมบวก
เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5
= 15
7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
= 28
การคณจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมบวกนน ไดคาตอบเปนจานวนเตมบวกทมคา
สมบรณเทากบผลคณของคาสมบรณของสองจานวนนน
2) การคณจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมลบ
เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8)
= -24
2 × (-7) = (-7) + (-7)
= -14
การคณจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมลบ ไดคาตอบเปนจานวนเตมลบทมคาสมบรณ
เทากบผลคณของคาสมบรณของสองจานวนนน
3) การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมบวก
เชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบตการสลบทการคณ)
= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)
= -28
การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมบวก ไดคาตอบเปนจานวนเตมลบทมคาสมบรณ
เทากบผลคณของคาสมบรณของสองจานวนนน
4) การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมลบ
เชน (-3) × (-5) = 15
( -11) × (-20) = 220
การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมลบ ไดคาตอบเปนจานวนเตมบวกทมคาสมบรณ
เทากบผลคณของคาสมบรณของสองจานวนนน
14
จงหาผลลพธ
แบบฝกหดท 5
1). [(-3) × (-5)] × (-2)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………
2). (-3) × [(-5) × (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3). [4 × (-3)] × (-1)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4). 4 × [(-3) × (-1)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6). (-5) × [6 + (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
8). (-7) × [(-5) + 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
9). [5 × (-7)] + [5 × 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
10). 5 × [(-7) + 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
15
3.4 การหารจานวนเตม
การหารจานวนเตม เมอ a, b และ c แทนจานวนเตมใดๆ ท b ไมเทากบ 0 จะหาผลหารได
โดยอาศยการคณ ดงน
ตวตง ÷ ตวหาร = ผลลพธ มความหมายเดยวกบ ผลลพธ × ตวหาร = ตวตง
ถา cba =÷ แลว cba ×=
การหาผลหาร 525−
จะตองหาจานวนทคณกบ 5 แลวได -25 ดงนน 5525
−=−
การหาผลหาร 5
25−
จะตองหาจานวนทคณกบ -5 แลวได 25 ดงนน 55
25−=
−
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทงตวตงหรอตวหาร ตวใดตวหนงเปนจานวนเตมลบโดยทอกตวหนงเปนจานวนเตมบวก
คาตอบเปนจานวนเตมลบ ทมคาสมบรณเทากบผลหารของคาสมบรณของสองจานวนนน
การหาผลหาร 525−−
จะตองหาจานวนทคณกบ -5 แลวได -25 ดงนน 5525
=−−
การหาผลหาร 525
จะตองหาจานวนทคณกบ 5 แลวได 25 ดงนน 5525
=
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทงตวตงและตวหารเปนจานวนเตมบวกทงคหรอจานวนเตมลบทงค คาตอบเปนจานวน
เตมบวก ทมคาสมบรณเทากบผลหารของคาสมบรณของสองจานวนนน
16
แบบฝกหดท 6
1. จงเตมคาตอบใหสมบรณเพอแสดงหลกของความสมพนธระหวางการหารและการคณ ตอไปน
ประโยคทแสดงความสมพนธ cba ×= ประโยคทแสดงความสมพนธ cba =÷ หรอ bca =÷
10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรอ 10 ÷ 2 = 5
35 = 7 x 5
33 = 3 x 11
(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรอ (-14) ÷ (-2) = 7
(-21) = 7 x (-3)
(-15) = 3 x (-5)
10 = (-5) x (-2)
จงหาผลหาร
1. 17 ÷ 17
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
2. 23 ÷ (-23)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3. 15 ÷ (-3)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4. (-72) ÷ 9
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
17
เรองท 4 สมบตของจานวนเตมและการนาไปใช
4.1 สมบตเกยวกบการบวกและการคณจานวนเตม
1). สมบตการสลบท
ถา a และ b แทนจานวนเตมใดๆ
a + b = b + a (สมบตการสลบทการบวก)
a × b = b × a (สมบตการสลบทการคณ)
2) สมบตการเปลยนหม
ถา a และ b แทนจานวนเตมใดๆ
(a + b) + c = a + (b + c) (สมบตการเปลยนหมการบวก)
(a × b) × c = a × (b × c) (สมบตการเปลยนหมการคณ)
3) สมบตการแจกแจง
ถา a และ b แทนจานวนเตมใดๆ
a + (b × c) = ab + ac
และ (b + c) × a = ba + ca
4.2 สมบตของหนงและศนย
1). สมบตของหนง
1). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a
2). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว aa=
1
2).สมบตของศนย
1). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a
2). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0
3). ถา a แทนจานวนใดๆ ทไมใช 0 แลว 00=
a (เราไมใช 0 เปนตวหาร
ถา a แทนจานวนใดๆ แลว 0a
ไมมความหมายทางคณตศาสตร)
4). ถา a และ b แทนจานวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรอ b = 0
18
บทท 2
เศษสวนและทศนยม
สาระสาคญ
การอาน เขยนเศษสวน และทศนยมโดยใชสมบต การบวก การลบ การคณ การหาร
การเปรยบเทยบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจรงได
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนยมได
2. เขยนเศษสวนในรปทศนยมและเขยนทศนยมซาในรปเศษสวนได
3. เปรยบเทยบเศษสวนและทศนยมได
4. สามารถบวก ลบ คณ หาร เศษสวนและทศนยมได และอธบายผลทเกดขนได
5. นาความรเกยวกบเศษสวนและทศนยมไปใชแกโจทยปญหา
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 ความหมายของเศษสวนและทศนยม
เรองท 2 การเขยนเศษสวนดวยทศนยม และการเขยนทศนยมซาเปนเศษสวน
เรองท 3 การเปรยบเทยบเศษสวนและทศนยม
เรองท 4 การบวก ลบ คณ หาร เศษสวนและทศนยม
19
เรองท 1 ความหมายของเศษสวน และทศนยม
1.1 เศษสวน หมายถง สวนตางๆ ของจานวนเตมทถกแบงออกเปนสวนละเทาๆ กน การ
นาเสนอเศษสวนสามารถนาเสนอไดทงแบบรปภาพ หรอแบบเสนจานวน เชน
รปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน
สวนทแรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน
เขยนแทนดวย 41
อานวา “เศษหนงสวนส”
หรอ
1 หนวยบนเสนจานวนแบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กน
จด A อยหางจาก 0 ไปทางขวามอเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดงนน A แทนดวย 53
จด B อยหางจาก 0 ไปทางขวามอเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดงนน B แทนดวย
57
หรอ 521
จด C อยหางจาก 0 ไปทางขวามอเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดงนน C แทนดวย
5
13 หรอ
532
จด D อยหางจาก 0 ไปทางซายมอเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดงนน D แทนดวย
58−
หรอ 531−
เศษสวน "
บทนยาม เศษสวนเปนจานวนทเขยนอยในรป เมอ a และ b เปนจานวนเตม โดยท b ไมเทากบศนย
เรยก a วา "ตวเศษ" เรยก b วา "ตวสวน”
20
ตวอยางท 1 จงเตมเศษสวนลงใน ใหถกตอง
1.2. ทศนยม
ทศนยม คอ จานวนทอยในรปทศนยมประกอบดวยสองสวนคอ สวนทเปนจานวนเตม
และสวนทเปนทศนยม และมจด (.) คนระหวางจานวนเตมกบสวนทเปนทศนยม
ทศนยมแบงไดเปน 2 ชนด คอ
1. ทศนยมแบบไมซา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...
2 ทศนยมซา แบงเปน
2.1 ทศนยมซาศนย เชน 1.5000 … เขยนแทนดวย 1.5
0.0030000 … เขยนแทนดวย 0.003
ถาตวซาเปน 0 ไมนยมเขยน
อานวา เศษหนงสวนหา
อานวา เศษหนงสวนสอง
อานวา ลบเศษสามสวนสอง
อานวา ลบเศษสสวนสาม
21
2.2 ทศนยมทตวซาไมเปนศนย เชน
0.3333… เขยนแทนดวย 0.3 อานวา ศนยจดสามสามซา
1.414141 … เขยนแทนดวย 1.41 อานวา หนงจดสหนงสหนงซา
0.213213213 … เขยนแทนดวย 0.213 อานวา ศนยจดสองหนงสาม สองหนงสามซา
2.10371037 … เขยนแทนดวย 2.1037 อานวา สองจดหนงศนยสามเจด หนงศนยสามเจดซา
แบบฝกหดท 1
1. จงเตมเศษสวนลงใน ใหถกตอง
2. จงเขยนเสนจานวนแลวหาจดทแทนจานวนตอไปน
1) 84
, 211 ,
820
2) 211 ,
634 ,
629
จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปของทศนยม
1. 106
= ………………………… 2. .................................10012
=
3. ................................1000357
= 4. ..............
10003
1002
101
=++
1) 2)
22
เรองท 2 การเขยนเศษสวนดวยทศนยม และการเขยนทศนยมซาเปนเศษสวน
2.1 การเขยนเศษสวนดวยทศนยม
เศษสวนและทศนยมอาจเปลยนรปกนได หมายความวา เศษสวนสามารถเขยนใน
รปของทศนยมได และทศนยมสามารถเขยนในรปของเศษสวนไดเชนเดยวกน เชน
1. ทาสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,.......
เชน 0.2 = 102
0.25 =
×+
×
10015
1012
= 100
5102+
= 10025
เพอใหเกดความรวดเรวในการเปลยนทศนยมเปนเศษสวน อาจทาไดโดยการเลอน
จดทศนยมและตวหารเปนจานวน 10, 100 หรอ 1,000 ขนอยกบจานวนทศนยม เชน ถาทศนยม 1
ตาแหนง ตวทเปนสวนกจะเปน 10 ถา 2 ตาแหนง ตวทเปนสวนกจะเปน 100 หรอสรปไดวา จานวน
0 ทถดเลข 1 จะเทากบจานวนตาแหนงของทศนยม
หมายเหต เศษสวนทเปนลบเมอเขยนใหอยในรปทศนยมจะไดทศนยมทเปนลบ
เชน 10
7− = 7.0− ,
000,139−
= 039.0−
2.2 การเขยนทศนยมซาเปนเศษสวน
ทศนยมซา คอ จานวนเตมของทศนยมทซาๆ กน เชน 0.777.... เขยนแทนดวย 7.0
เมอจะเขยนใหเปนเศษสวน สามารถทาไดดงน
ตวอยางท 1 จงเปลยน 7.0 ใหเปนเศษสวน
วธทา 7.0 = 0.77777..... = X
ให X = 0.77777… -------------- (1)
(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)
(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777…
9X = 7
X = 97
∴ 7.0 = 97
23
4ตวอยางท 2 312.1 จงเปลยน เปนเศษสวน
2
จาก 312.1 2
2
= 1.2131313…
ให x = 1.2131313… -------------- (1)
×(1) 10 10x = 12.131313….. ---------------(2) ×(1) 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3)
(3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12 990x = 1213 – 12
990121213− x =
9901201 x =
ดงนน 2 312.1 2
9901201
=
3
จากตวอยาง สรปไดวา การเปลยนทศนยมซาเปนเศษสวนโดยวธลด ทาไดดงน
1. 7134.0 = 9900
373417 −
= 99003383
2.
เศษ เขยนจานวนทงหมดลบดวยจานวนทไมซา สวน แทนดวย 9 เทากบจานวนทซาและ
แทนดวย 0 เทากบจานวนไมซา
513.1 = 990
131315 −
= 990
1302 =
495651
3. 3410.3 = 9900
31031043 −
= 990030733
24
แบบฝกหดท 2
1. จงเปลยนเศษสวนตอไปนใหเปนทศนยม โดยการทาสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......
1) 49
2) 431
........................................................... ............................................................
............................................................ ............................................................
3) 4039
4) 257
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5) 81
6) 125
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
2. จงเปลยนเศษสวนตอไปนเปนทศนยม โดยการหารเศษสวน
1) 119
2) 713
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
3) 167
4) 45
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5) 65
6) 538
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
25
เรองท 3 การเปรยบเทยบเศษสวนและทศนยม
3.1 การเปรยบเทยบเศษสวน
เศษสวนทเทากน
การหาเศษสวนทเทากน ใชจานวนทไมเทากบศนยมาคณหรอหารทงตวเศษและ
ตวสวน
เชน 43
= 2423
××
= 86
43
= 86
= 129
เปนเศษสวนทเทากน
43
= 3433
××
= 129
1812
= 218212
÷÷
= 96
32
96
1812
== เปนเศษสวนทเทากน
1812
= 618612
÷÷
= 32
เศษสวนทไมเทากน
การเปรยบเทยบเศษสวนทไมเทากนตองทาสวนใหเทากน โดยนา ค.ร.น. ของตว
สวนของเศษสวนทตองการเปรยบเทยบกน คณทงตวเศษและตวสวน เมอตวสวนเทากนแลวใหนา
ตวเศษมาเปรยบเทยบกน
เชน 54
มากกวาหรอนอยกวา 107
ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คอ 10
54
= 2524
××
= 108
จะเหนวา 8 > 7
ดงนน 107
108> หรอ
107
54>
ยงมวธเปรยบเทยบโดยใชผลคณไขว ถาผลคณขางใดมคามากกวา เศษสวนขางนน
จะมคามากกวา
เชน 54
107
เปรยบเทยบ 104× กบ 75× จะเหนวา 3540 >
ดงนน 107
54>
26
ตวอยางท 1 จงเปรยบเทยบ 127
และ 1811
วธท 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36
ทาสวนของเศษสวนทงสองใหเปน 36
31237××
= 3621
218211
××
= 3622
จะได 3622
> 3621
ดงนน 1811
> 127
วธท 2
127
1811
ผลจากการคณไขว จะได
7 × 18 และ 12 × 11
จะเหนวา 126 < 132
ดงนน 127
< 1811
2.1 เปรยบเทยบทศนยม
การเปรยบเทยบทศนยมทเปนบวก ใหพจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด
ตวใดมคามากกวาทศนยม จานวนนนจะมคามากกวา เชน 38.586 กบ 38.498 ทศนยมใน
ตาแหนงท 1 ของทง 2 จานวนมเลขโดดคอ 5 และ 4 ตามลาดบ จะเหนไดวา 5 มากกวา 4
ดงนน 38.586 มากกวา 38.498
การเปรยบเทยบทศนยมทเปนลบ เชน -0.7 กบ -0.8
คาสมบรณของ -0.7 เทากบ 0.7
คาสมบรณของ -0.8 เทากบ 0.8
จานวนทมคาสมบรณนอยกวาจะเปนจานวนทมคามากกวา ดงนน
- 0.7 มากกวา - 0.8
27
แบบฝกหดท 3
1. ใหเตมตวเศษหรอตวสวนของเศษสวนลงใน เพอใหไดเศษสวนทเทากน
2. ใหเตมเครองหมาย > , < หรอ = ลงใน ใหถกตอง
28
3. ใหนกศกษาเตมเครองหมาย > , < หรอ = ระหวางจานวนสองจานวน
1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501
3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28
5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534
7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012
9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01
4. ใหนกศกษาเรยงลาดบจานวนตอไปนจากคานอยไปคามาก
1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000
2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017
3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500
4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
29
เรองท 4 การบวก ลบ คณ หารเศษสวนและทศนยม
4.1 การบวกเศษสวน
วธการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทาไดดงน
1) หา ค.ร.น.ของตวสวน
2) ทาเศษสวนแตละจานวนใหมตวสวนเทากบ ค.ร.น.ทหาไดจากขอ 1
3) บวกตวเศษเขาดวยกนโดยทตวสวนยงคงเทาเดม
ตวอยางท 1 จงหาผลบวก
วธทา ค.ร.น. ของ 3 กบ 4 คอ 12
= 129
124+
ตอบ
4.2 การลบเศษสวน
การลบเศษสวน ใชหลกการเดยวกนกบการลบจานวนเตม คอ
ตวอยางท 1 จงหาผลลบ
วธทา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คอ 12
=
=
××
+
××
11217
2625
=
ตวตง - ตวลบ = ตวตง + จานวนตรงขามของตวลบ
30
= 127
1210
+
= 1217
= 1251
ตอบ
31
แบบฝกหดท 4
1. ใหหาผลลพธตอไปน
2. ใหเตมจานวนลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง
3. ใหหาจานวนมาเตมลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง
32
4. ใหหาผลลพธตอไปน
33
4.5 การคณเศษสวน
ผลคณของเศษสวนสองจานวน คอ เศษสวนซงมตวเศษเทากบผลคณของตวเศษสอง
จานวนและตวสวนเทากบผลคณของตวสวนสองจานวนนน
เมอba
และ dc
เปนเศษสวน ซง b , d 0
ผลคณของba
และ dc
หาไดจากกฎ ba
×dc
=dbca
××
ตวอยางท 1 จงหาผลคณของจานวน
วธทา
=
=
ตอบ
ตวอยางท 2 จงหาผลคณของ 10125
52
21
××
วธทา 101
511
11
××
= 10111
511××××
= 101
5
ตอบ 101
5
34
แบบฝกหดท 5
จงหาผลคณตอไปน
1) 511
312 ×
2) 95
511 ×
3) 911
1125 ×
4) 107
3216 ×
5) 521
322
165
××
6) 61
43
326 ××
7) 1835
2524
4915
××
8) 2210
2511
2710
2524
×××
35
4.6 การหารเศษสวน
การหารจานวนทเปนเศษสวนไมมสมบตการสลบท และสมบตการเปลยนหม
เมอ ba
และ dc
แทนเศษสวนใดๆ และ
พจารณาผลหารทเกดจากการหาร ba
ดวย dc
ดงน
dc
ba÷ =
dcba
=
cd
dc
cd
ba
×
× =
1cd
ba×
= cd
ba×
ดงนน dc
ba÷ =
cd
ba×
ตวอยางท 1 จงหาผลหารของ
วธทา
=
ตอบ
36
แบบฝกหดท 6
1. จงหาผลลพธตอไปน
2. จงทาใหเปนผลสาเรจ
37
4.7 การนาความรเรองเศษสวนไปใชในการแกโจทยปญหา
โจทยปญหาเศษสวน
การทาโจทยปญหาเศษสวน ควรกาหนดจานวนทงหมดเปน 1 หนวย แลวดาเนนการตาม
โจทย เชน นกเรยนหองหนง เปนชาย 53
ของจานวนนกเรยนในหอง
ดงนน หองนเปนนกเรยนหญง 1 - 53
= 52
ของจานวนนกเรยนในหอง
ตวอยางท 1 ถงใบหนงจนา 140 ลตร มนาอย 43
ถง หลงจากใชนาไปจานวนหนงจะ
เหลอนาอย 21
ถง จงหาวาใชนาไปเทาไหร
วธทา มนาในถง 43
× 140 = 105 ลตร
หลงจากใชนาเหลอนาในถง ×21
140 = 70 ลตร
ดงนนใชนาไปจานวน 70105 − = 35 ลตร
38
แบบฝกหดท 7
1. ใหหาคาตอบของโจทยปญหาตอไปน
1) ตองมเงน 320 บาท ซอรองเทา 52
ของเงนทงหมด ซอเสอ 165
ของเงนทเหลอ จง
หาวาตองเหลอเงนเทาไร
2) หองประชมหองหนงมความยาวเปน 433 ของความกวาง และความกวางเปน
524 ของ
ความสง ถาหองสง 213 เมตร และมนกเรยน 462 คน จงหาวา โดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศ
หายใจกลกบาศกเมตร
3) จางคนปลกหญาบนสนามรปสเหลยมผนผากวาง 546 เมตร ยาว
2110 เมตร ใน
ราคาตารางเมตรละ 45 บาท จะตองจายเงนทงหมดเทาไร
4) โทรทศนเครองหนงประกาศลดราคาลง 41
ของราคาทปดไวเดม แตผซอเปนเพอน
กบผขายลดใหอก51
ของราคาทประกาศลดแลวในครงแรก ซงปรากฏวาผซอจายไป 4,200 บาท
จงหาวาโทรทศนเครองนปดราคาเดมไวเทาไร
5) ในการเดนทางครงหนงเสยคาทพก 52
ของคาใชจายทงหมด คาเดนทาง 41
ของ
คาใชจายทงหมด คาใชจายอน ๆ คดเปนเงน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทงหมดเปนเงนเทาไร
39
4.8 การบวก และการลบทศนยม
การหาผลบวกของทศนยมใดๆ จะใชหลกเกณฑดงน
1. การหาผลบวกระหวางทศนยมทเปนบวก ใหนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปน
จานวนบวก
2. การหาผลบวกระหวางทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปน
จานวนลบ
3. การหาผลบวกระหวางทศนยมทเปนบวกกบทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาลบ
กนแลวตอบเปนจานวนบวกหรอจานวนลบตามจานวนทมคาสมบรณมากกวา
การหาผลลบของทศนยมใด ๆ ใชขอตกลงเดยวกนกบทใชในการหาผลลบของจานวน
เตม คอ
สรป การบวกและการลบทศนยม จะตองตงใหจดทศนยมตรงกนกอน แลวจงบวก
ลบ จานวนในแตละหลก ถาจานวนตาแหนงทศนยมไมเทากน นยมเตมศนยขางทายเพอให
จานวนตาแหนงทศนยมเทากน
ตวตง - ตวลบ = ตวตง + จานวนตรงขามของตวลบ
40
แบบฝกหดท 8
1. จงเตมผลลพธตอไปน
41
4.9 การคณทศนยม
การคณทศนยม มหลกเกณฑดงน
1. การหาผลคณระหวางทศนยมทเปนบวก ใหนาคาสมบรณมาคณกนแลวตอบเปน
จานวนบวก
2. การหาผลคณระหวางทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาคณกนแลวตอบเปน
จานวนบวก
3. การหาผลคณระหวางทศนยมทเปนบวกกบทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาคณ
กนแลวตอบเปนจานวนลบ
หมายเหต ผลคณทศนยม จะมจานวนหลกทศนยมเทากบผลบวกของจานวนหลก
ทศนยมของตวตงและจานวนหลกทศนยมของตวคณ
ตวอยางท 1 จงหาผลคณของ
1. 1.25 ×2.431
1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25
2.431
12155
125
4862
303875 0
2431 0
∴ 1.25 ×2.431 = 3.03875
2. -5.12 × 0.125
512
2560
125
1024
64000 0
512 0
∴-5.12 × 0.125 = - 0.64000 = -0.64
×
×
42
4.10 การหารทศนยม
การหารทศนยม มหลกเกณฑดงน
1. การหาผลหารระหวางทศนยมทเปนบวก ใหนาคาสมบรณมาหารกนแลวตอบเปน
จานวนบวก
2. การหาผลหารระหวางทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาหารกนแลวตอบเปน
จานวนบวก
3. การหาผลหารระหวางทศนยมทเปนบวกกบทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาหาร
กนแลวตอบเปนจานวนลบ ขอสาคญตองทาใหตวหารเปนจานวนเตม
ตวอยางท 1 จงหาคาของ
1. 15.015 ÷ (-0.15)
วธทา 15.015 ÷ (-0.15) = 15.0
015.15−
= 10015.0100015.15
×−×
= 15
5.1501−
1.100
155.150115
00
0
01
0
15
15
∴15.015 ÷ (-0.15) = -100.1
2. (-37.65) ÷ (-1.5)
วธทา (-37.65) ÷ (-1.5) = 5.165.37
−−
= 105.1
1065.37××
= 15
5.376
1.125
305.37615
76
75
15
15
∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1
43
แบบฝกหดท 9
1. จงหาคาของ
2. จงหาคาของ
1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4)
………………………………………………………………………………………………...
2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26}
………………………………………………………………………………………………...
3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5)
………………………………………………………………………………………………...
4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8)
………………………………………………………………………………………………...
5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2× (-3.6)]
………………………………………………………………………………………………...
44
4.11 การนาความรเรองทศนยมไปใชในการแกโจทยปญหา
ตวอยางท 1 เหลกเสนกลมขนาดเสนผานศนยกลาง 1.75 เซนตเมตร ยาว 1 เมตร จะ
หนก 3.862 กโลกรม ถาเหลกเสนขนาดเดยวกนนยาว 1.25 เมตร จะหนกกกโลกรม
วธทา เหลกเสนกลมมขนาดเสนผานศนยกลาง 1.75 เซนตเมตร
และยาว 100 เซนตเมตร หนก 3.862 กโลกรม
ถายาว 1 เซนตเมตร หนก 03862.0100862.3
= กโลกรม
ดงนน เหลกเสนขนาดเดมแตยาว 125 เซนตเมตร หนก 12503862.0 ×
= 8275.4 กโลกรม
เหลกเสนขนาดเดมยาว 25.1 เมตร หนก 8275.4 กโลกรม
ตวอยางท 2 รปสเหลยมผนผารปหนงมพนท 11.3364 ตารางเซนตเมตร ถาดานยาว
เทากบ 4.23 เซนตเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร
วธทา พนทสเหลยมผนผา = กวาง × ยาว
11.3364 = กวาง × 4.23
ดงนน กวาง = 23.4
3364.11
= 68.2 เซนตเมตร
ดานยาวยาวกวาดานขาง = 68.223.4 −
= 55.1 เซนตเมตร
ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 55.1 เซนตเมตร
45
แบบฝกหดท 10
1. ใหนกศกษาแกปญหาโจทยตอไปน
1) เชอกยาว 17.25 เมตร นาอกเสนหนงยาว 5.2 เมตร มาผกตอกนทาใหเสยเชอกตรง
รอยตอ 0.15 เมตร นาเชอกทตอแลวมาวางเปนรปสเหลยมผนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5
เมตร ดานยาวจะยาวดานละกเมตร
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
2. นาตาลถงหนงหนก 9.35 กโลกรม จานวน 16 ถง ใชทาขนมเฉลยแลววนละ 4.4 กโลกรม
จะใชนาตาลไดทงหมดกวน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
3. หองรปสเหลยมผนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นากระเบองรปสเหลยมจตรสขนาด 32
ตารางเซนตเมตร มาปหองจะตองใชกระเบองกแผน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
4. มทองคาแทงหนงหนก 12.04 กรม ซอเพมอก 25.22 กรม แบงขายไปสองครง หนกครงละ
8.02 กรม ทเหลอนาไปทาแหวน 5 วง หนกวงละ 3.45 กรมเทาๆ กน จะเหลอทองอกกกรม
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
46
บทท 3
เลขยกกาลง
สาระสาคญ
สญลกษณของการเขยนแทนการคณจานวนเดยวกนซา ๆ หลาย ๆ ครง เขยนแทนดวย na
อานวา a ยกกาลง n และการเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตรได
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. บอกความหมายและเขยนเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมแทนจานวนท
กาหนดใหได
2. บอกและนาเลขยกกาลงมาใชในการเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตรได
3. อธบายการคณและหารของเลขยกกาลงทมฐานเดยวกน และเลขชกาลงเปนจานวนเตมได
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 ความหมายและการเขยนเลขยกกาลง
เรองท 2 การเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร
เรองท 3 การคณและการหารเลขยกกาลงทมฐานเดยวกนและเลขชกาลงเปนจานวนเตม
47
เรองท 1 ความหมายและการเขยนเลขยกกาลง
เลขยกกาลง หมายถง การใชสญลกษณ เขยนแทนจานวนทเกดขนจากการคณ ซาๆ กน
หลายๆ ครง เชน 3333 ××× สามารถเขยนแทนไดดวย 43 อานวา สามยกกาลงส ซงมบทนยาม
ดงน
บทนยาม
na
ถา a แทนจานวนใด ๆ และ n แทนจานวนเตมบวก “a ยกกาลง n” หรอ “a
กาลง n” เขยนแทนดวย = n
aaaa ×××× ......
เรยก na วาเลขยกกาลงทม a เปนฐานและ n เปนเลขชกาลง เชน
54 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4
54 ม 4 เปนฐาน และม 5 เปนเลขชกาลง
สญลกษณ 54 อานวา “สยกกาลงหา” หรอ “สกาลงหา” หรอกาลงหาของส
( )62− แทน ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2−
( )62− ม ( )2− เปนฐาน และม 6 เปนเลขชกาลง
ในทานองเดยวกนสญลกษณ ( )62− อานวา “ลบสองทงหมดยกกาลงหก” หรอกาลง
หกของลบสอง
จงพจารณาตารางตอไปน
เลขยกกาลง ฐาน เลขชกาลง เขยนในรปของการคณ แทนจานวน
33 3 3 3×3×3 27
54 4 5 4×4×4×4×4 1,024
( )42− -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 2
21
2
1 2
21 ×
21
41
yx x y X×X×X…(y ครง) X×X×X…(y ครง)
ตวอยาง จงตอบคาถามตอไปน
1. 38 อานวาอยางไร
2. 310 มจานวนใดเปนฐาน
3. 511 มจานวนใดเปนเลขชกาลง
4. 35 มความหมายอยางไร
5. ( )55− อานวาอยางไร
วธทา 1. 38 อานวา 8 ยกกาลง 3
2. 310 ม 10 เปนฐาน
3. 511 ม 5 เปนเลขชกาลง
4. 35 มความหมายเทากบ 5 ×5×5
5. ( )55− อานวา (-5) ลบหาทงหมดยกกาลงหา
48
แบบฝกหดท 1 1. จงเขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมทมากกวา 1 พรอมทง
บอกฐานและเลขชกาลง
1.1 25 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
1.2 64 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
1.3 169 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
1.4 729 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..
ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง
2. จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน
2.1 82 =…………………………………=………………………………
2.2 ( )43− =…………………………………=………………………………
2.3 ( )53.0 =…………………………………=………………………………
2.4 ( )602.0 =…………………………………=………………………………
2.5 3
31
=…………………………………=………………………………
2.6 3
72
=…………………………………=………………………………
2.7 ( )45− =…………………………………=………………………………
2.8 32− =…………………………………=………………………………
2.9 5
101
=…………………………………=………………………………
2.10 ( )65.0 =…………………………………=………………………………
49
เรองท 2 การเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร
การเขยนจานวนทมคามาก ๆ ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร มรปทวไปเปน A × n10
เมอ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจานวนเตม
พจารณาการเขยนจานวนทมคามาก ๆ ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตรตอไปน
1. 2,000 = 2 × 1,000
= 2 × 310
2. 800,000 = 8 × 100,000
= 8 × 510
ตวอยางท 1 จงเขยน 600,000,000 ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร
วธทา 600,000,000 = 6 × 100,000,000
= 6 × 810
ตอบ 6 × 810
ตวอยางท 2 จงเขยน 73,200,000 ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร
วธทา 73,200,000 = 732 × 100,000
= 7.32 × 100 × 100,000
= 7.32 × 210 × 510
= 7.32 × 710
ตวอยางท 3 ดาวเสารมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขยนใหอยใน
รปสญกรณวทยาศาสตร
วธทา ดาวเสารมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร
113,000,000 = 113 × 1,000,000
= 113 × 100 × 1,000,000
= 1.13 × 210 × 610
= 1.13 × 810
ตอบ 1.13 × 810 เมตร
50
แบบฝกหดท 2
1. จงเขยนจานวนตอไปนในรปสญกรณวทยาศาสตร
1. 400,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. 639,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
4. 247,500,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. ดาวเสารอยหางจากดวงอาทตยประมาณ1,430,000,000 กโลเมตร จงเขยนใหอยในรปสญกรณ
วทยาศาสตร 1,430,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. สญกรณวทยาศาสตรในแตละขอตอไปนแทนจานวนใด 3.1 2 × 610 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.2 4.8 × 1310 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.3 4.03 × 910 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.4 9.125 × 510 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
51
3. การคณและการหารเลขยกกาลงทมฐานเดยวกน และเปนเลขชกาลงเปนจานวนเตม
3.1 การคณเลขยกกาลงเมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม
พจารณาการคณเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนตอไปน
32 × 42 = ( ) ( )2222222 ××××××
= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 72 หรอ 432 +
32 33 × = ( ) ( )33333 ××××
= 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 53 หรอ 323 +
23
31
31
×
=
×
×
×
×
31
31
31
31
31
=
×
×
×
×
31
31
31
31
31
= 5
31
หรอ 23
31
+
การคณเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนและมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวกเปนไป
ตามสมบตของการคณเลขยกกาลงดงน
เมอ a แทนจานวนใด ๆ m และ n แทนจานวนเตมบวก nm aa × = nma +
52
แบบฝกหดท 3 1. จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน
1.1 65 22 × =……………………………=…………………………………
1.2 25 32 × =……………………………=…………………………………
1.3 ( )332× =……………………………=…………………………………
1.4 ( )275.0 =……………………………=…………………………………
1.5 22
331
×
− =……………………………=…………………………………
1.6 ( )323×− =……………………………=…………………………………
1.7 43
25
52
×
=……………………………=…………………………………
1.8 56
27
71
×
=……………………………=…………………………………
1.9 ( )4
3
215.0
=……………………………=…………………………………
1.10 ( ) ( )32 1111 −− =……………………………=…………………………………
2. จงเขยนผลคณของจานวนในแตละขอตอไปนในรปเลขยกกาลง
2.1 732 222 ×× =……………………………=…………………………………
2.2 ( ) ( ) ( )53 333 −×−×− =……………………………=………………………………
2.3 5 × 625 × 25 =……………………………=…………………………………
2.4 121 × 11 × 211 =……………………………=…………………………………
2.5 ( ) ( ) ( )734 333 −×−×− =……………………………=………………………………
53
การหารเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนและฐานไมเทากบศนยมเลขชกาลงเปน
จานวนเตมบวกในรปของ
3.2 การหารเลขยกกาลงเมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม
ma ÷ na จะพจารณาเปน 3 กรณ คอ เมอ m > n , m = n และ m <
n ดงน
กรณท 1 ma ÷ na เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m,n แทนจานวนเตมบวก
และ m > n พจารณาการหารเลขยกกาลงตอไปน
1. 2
5
22
= 22
22222×
××××
= 222 ××
= 32 หรอ 252 −
2. 7
533
= 33333
3333333××××
××××××
= 23 หรอ 573 −
3. ( )( )3
8
55
−−
= ( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )55555555555
−−−−−−−−−−−
= ( )( )( )( )( )55555 −−−−−
= ( )55− หรอ ( ) 385 −−
จากการหารเลขยกกาลงขางตนจะเหนวา ผลหารเปนเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดม
และเลขชกาลงเทากบเลขชกาลงของตวตง ลบดวยเลขชกาลงของตวหาร ซงเปนไปตามสมบตของ
การหารเลขยกกาลงดงน
เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m , n แทนจานวนเตมบวก และ m > n nm aa ÷ = nma −
54
ตวอยางท 1 จงหาผลลพธ 410 55 ÷
วธทา 4
10
55
= 4105 −
= 65 ตอบ 65 ตวอยางท 2 จงหาผลลพธ ( ) ( )36 2.02.0 ÷
วธทา ( )( )3
6
2.02.0
= ( ) 362.0 −
= ( )32.0
= ( )( )( )2.02.02.0
= 008.0
ตอบ 008.0
กรณท 2 nm aa ÷ เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m , n แทนจานวนเตมบวก
และ m = n พจารณา 44 55 ÷
ถาใชบทนยามของเลขยกกาลงจะได 4
4
55
= 55555555
××××××
= 1
ถาลองใชสมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − , oa ≠ ในกรณท m = n จะได
4
4
55
= 445 −
= 05
แตจากการใชบทนยามของเลขยกกาลงดงทแสดงไวขางตน เราไดวา 155 44 =÷
ดงนน เพอใหสมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − ใชไดในกรณท m = n
ดวยจงตองให 150 = ในกรณทว ๆ ไปมบทนยามของ 0a ดงน
จะเหนวา nm aa ÷ = nma − , oa ≠ เปนจรงในกรณท m = n ดวย
บทนยาม เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย 10 =a
55
ตวอยางท 1 จงหาผลลพธ 8
53
777 ×
วธทา 8
53
777 ×
= 8
83
77 +
= 8
8
77
= 887 −
= 07
= 1
ตอบ 1
กรณท 3 nm aa ÷ เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m , n แทนจานวนเตมบวก
และ m < n พจารณา 85 22 ÷ ถาใชบทนยามของเลขยกกาลง
จะได 8
5
22
= 22222222
22222×××××××
××××
= 222
1××
= 321
ถาลองใชสมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − , 0≠a ในกรณท m < n จะได
8
5
22
= 852 −
= 32−
แตจากการใชบทนยามของเลขยกกาลงขางตน เราไดวา 85 22 ÷ = 321
ดงนนเพอให
สมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − ใชไดในกรณท m < n ดวยจงตองให
33
212 =− ในกรณทว ๆ ไปมบทนยามของ na − ดงน
บทนยาม เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนยและ n แทนจานวนเตมบวก
na − = na1
56
ตวอยางท 1 จงหาผลลพธ 2313
746
111111111111××××
ในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนบวก
วธทา 2313
746
111111111111××××
= 2313
746
1111
++
++
= 18
17
1111
= 181711 −
= 111−
= 111
ตอบ 111
57
แบบฝกหดท 4 1. จงหาผลลพธ
1.1 29 22 ÷
1.2 336 ÷
1.3 63 1111 ÷
1.4 24
51
51
÷
1.5 ( ) ( )45 03.003.0 ÷
1.6 ( )7
5
548.0
÷
1.7 ( ) 743 555 ÷×
1.8 ( ) 46 777 ÷×
1.9 ( )542 131313 ÷×
1.10 ( ) 476 mmm ×÷ เมอ 0≠m
2. จงหาผลลพธตอไปนในรปทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก 2.1 43 55 −×
2.2 2
68
333 −×
2.3 44 6 ÷−
2.4 ( )0
16
222
−× −
2.5 ( )( )3
2
5.15.1
2.6 52 xx ÷ เมอ 0≠x
2.7 ( ) ( )503 aaaa ×÷× เมอ 0≠a
2.8 5
7
−
−
mm
เมอ 0≠m
58
บทท 4
อตราสวนและรอยละ
สาระสาคญ
1. อตราสวนเปนการเปรยบเทยบปรมาณ 2 ปรมาณขนไป จะมหนวยเหมอนกน หรอ
ตางกนกได
2. รอยละเปนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบปรมาณใดปรมาณหนง ตอ 100
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. บอกและกาหนดอตราสวนได
2. สามารถคานวณสดสวนได
3. สามารถหาคารอยละได
4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละได
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 อตราสวน
เรองท 2 สดสวน
เรองท 3 รอยละ
เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ
59
เรองท 1 อตราสวน
อตราสวน (Ratio) ใชเปรยบเทยบปรมาณ 2 ปรมาณ หรอมากกวากได โดยทปรมาณ 2
ปรมาณทนามาเปรยบเทยบกนนนจะมหนวยเหมอนกน หรอตางกนกได
บทนยาม อตราสวนของปรมาณ a ตอ ปรมาณ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ba
เรยก a วา จานวนแรกหรอจานวนทหนงของอตราสวน
เรยก b วา จานวนหลงหรอจานวนทสองของอตราสวน
(อตราสวน a : b หรอ ba
อานวา a ตอ b )
การเขยนอตราสวน ม 2 แบบ
1. ปรมาณ 2 ปรมาณมหนวยเหมอนกน
เชน โตะตวหนงมความกวาง 50 เซนตเมตร ยาว 120 เซนตเมตร
เขยนเปนอตราสวนไดวา
ความกวางตอความยาวของโตะ เทากบ 50 : 120
2. ปรมาณสองปรมาณมหนวยตางกน
เชน นมเปรยว 4 กลอง ราคา 23 บาท
เขยนเปนอตราสวนไดวา
อตราสวนของนมเปรยวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4 : 23
ตวอยางเชน
ถาเปนปรมาณทมหนวยเหมอนกน อตราสวนจะไมมหนวยเขยนกากบ เชน
มานะหนก 25 กโลกรม มานหนก 18 กโลกรม
จะกลาววาอตราสวนของนาหนกของมานะตอมานเทากบ 25: 18 หรอ 1825
ถาเปนปรมาณทมหนวยตางกน อตราสวนจะตองเขยนหนวยแตละประเภทกากบดวย เชน
สดาสง 160 เซนตเมตร หนก 34 กโลกรม
อตราสวนความสงตอนาหนกของสดา เทากบ 160 เซนตเมตร : 34 กโลกรม
60
1. จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน
แบบฝกหดท 1
1). ระยะทางในแผนท 1 เซนตเมตร แทนระยะทางจรง 100 กโลเมตร
……………………………………………………………………………………………...
2). รถยนตแลนไดระยะทาง 200 กโลเมตร ในเวลา 3 ชวโมง
……………………………………………………………………………………………...
3). โรงเรยนแหงหนงมคร 40 คน นกเรยน 1,000 คน
……………………………………………………………………………………………...
4). อตราการเตนของหวใจมนษยเปน 72 ครงตอนาท
……………………………………………………………………………………………...
2. สลากกนแบงรฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลก เชน 889748 ซงมหมายเลขตางกนทงหมด
1,000,000 ฉบบ ในจานวนทงหมดนมสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตวทงหมด 10,000 ฉบบ ถก
รางวลเลขทาย 3 ตว 4,000 ฉบบ และถกรางวลท 1 อก 1 ฉบบ
จงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบจานวนตอไปน
1) จานวนทถกรางวลท 1 ตอทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
2) จานวนทถกรางวลเลขทาย 3 ตวตอทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
3) จานวนทถกรางวลเลขทาย 2 ตวตอทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
4) อตราสวนของสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตว ตอเลขทาย 3 ตว
……………………………………………………………………………………………...
3. พอคาจดลกกวาดคละสขนาดเทากนลงในขวดโหลเดยวกน โดยนบเปนชดดงน “ลกกวาดสแดง
3 เมด สเขยว 2 เมด สเหลอง 5 เมด” จงหา
1) อตราสวนจานวนลกกวาดสแดงตอลกกวาดทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
2) อตราสวนของจานวนลกกวาดสแดงตอลกกวาดสเหลอง
……………………………………………………………………………………………...
3) ถาสมหยบลกกวาดขนมาจากโหลจานวน 5 เมด นาจะไดลกกวาดสใดมากทสด เพราะ
เหตใด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
61
อตราสวนทเทากน
การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดให ทาไดโดยการคณหรอหารอตราสวน
ทงตวแรกและตวทสองดวยจานวนเดยวกน ตามหลกการ ดงน
หลกการคณ เมอคณแตละจานวนในอตราสวนใดดวยจานวนเดยวกน โดยทจานวนนนไม
เทากบศนย จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
นนคอ dbda
cbca
ba
××
=××
= เมอ c ≠ 0 และ d ≠0
หลกการหาร เมอหารแตละจานวนในอตราสวนใดดวยจานวนเดยวกน โดยทจานวนนนไม
เทากบศนย จะไดอตราสวนใหมเทากบอตราสวนเดม
นนคอ dbda
cbca
ba
÷÷
=÷÷
= เมอ c ≠ 0 และ d ≠0
ตวอยาง
จงหาอตราสวนอก 3 อตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนด
วธทา 3 : 4 หรอ
16
12
44
43
4
3=
×
×=
36
27
94
93
4
3=
×
×=
44
33
114
113
4
3=
×
×=
ดงนน , , เปนอตราสวนทเทากบอตราสวน 3 : 4
การตรวจสอบการเทากนของอตราสวนใดๆ ทาไดโดยใชลกษณะการคณไขว ไดโดยใชวธดงน
เมอ a , b, c และ d เปนจานวนนบ
1) ถา cbda ×=× แลว dc
ba=
2) ถา cbda ×≠× แลว dc
ba≠
62
ตวอยาง จงตรวจสอบวาอตราสวนในแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 43
และ 65
2) 3026
และ 4539
1) พจารณาการคณไขวของ 43
และ 65
เนองจาก 63× = 18
54× = 20
ดงนน 63× ≠ 54×
นนคอ 43
≠ 65
2) พจารณาการคณไขวของ 3026
และ 4539
เนองจาก 4526× = 1,170
3930× = 1,170
ดงนน 4526× = 3930×
นนคอ 3026
= 4539
1. ถาอตราการแลกเปลยนเงนดอลลารตอเงนหนงบาทเทากบ 1 : 43 จงเตมราคาเงนในตาราง
แบบฝกหดท 2
2. จงเขยนอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหตอไปนมาอก 3 อตราสวน
1) 32
= ...............................................................................................................................
2) 95
= ...............................................................................................................................
63
3. จงตรวจสอบวาอตราสวนตอไปนเทากนหรอไม
4. จงทาใหอตราสวนตอไปนมหนวยเดยวกนและอยในรปอยางงาย
ตวอยาง อตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนตเมตร : 1.2 เมตร
มความหมายเหมอนกบ
50 เซนตเมตร : 1.2 x 100 เซนตเมตร
ดงนน อตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 : 120 หรอ 5 : 12
1) อตราสวนของจานวนวนทนาย ก. ทางาน ตอชวโมงทนาย ข. ทางาน เปน 2 วน : 10 ชวโมง
ดงนน อตราสวนเวลาทนาย ก. ทางาน ตอเวลาทนาย ข. ทางานเปน
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) อตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรยนเปน 200 เมตร : 1.5
กโลเมตร ดงนน อตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรยนเปน
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
64
อตราสวนตอเนอง (อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน)
ในสถานการณจรงทเกยวกบชวตประจาวน เรามกจะพบความสมพนธของจานวนหลาย ๆ
จานวน เชน ขนมผงบานคณยาย ใชสวนผสมดงน
แปงขาวเจา 3 ถวยตวง
นากะทเขมขน 1 ถวยตวง
นาตาลมะพราว 21
ถวยตวง
นนคอ อตราสวนของจานวนแปงขาวเจาตอนากะทเปน 3 : 1 หรอ 6 : 2
อตราสวนของจานวนนากะทตอนาตาลมะพราวเปน 1 : 21
หรอ 2 : 1
อตราสวนของจานวนแปงขาวเจาตอนาตาลมะพราวเปน 3 : 21
หรอ 6 : 1 หรอเขยนในรป
อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน ดงน
อตราสวนของแปงขาวเจาตอนากะท ตอนาตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 21
หรอ 6 : 2 : 1
ตวอยาง หองเรยนหองหนงมอตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสงตอ
ความยาวของหองเปน 1 : 2 จงหาอตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสงของหอง
วธทา อตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากบ 3 : 4
อตราสวนความสง : ความยาวของหอง เทากบ 1 : 2 หรอ 1 x 2 : 2 x 2
เทากบ 2 : 4
นนคอ อตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสงของหอง
เทากบ 3 : 4 : 2
65
แบบฝกหดท 3
1. พอแบงเงนใหลกสามคนโดยกาหนด
อตราสวนของจานวนเงนลกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเลกเปน 5 : 3 : 2 จงหาอตราสวนตอไปน
1) อตราสวนจานวนเงนทลกคนโตไดรบตอลกคนเลก
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) อตราสวนจานวนเงนทลกคนเลกไดรบตอลกคนกลาง
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3) อตราสวนจานวนเงนทลกคนกลางไดรบตอเงนทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
4) อตราสวนจานวนเงนทลกคนเลกไดรบตอเงนทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2. เศรษฐคนหนงไดเขยนพนยกรรมไวกอนจะเสยชวตวา ถาภรรยาทกาลงตงครรภคลอดลกเปนชาย
ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลกเปนหญง
ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรหญงเปน 2 : 1 เมอเศรษฐคนนเสยชวต
ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลกแฝด เปนชาย 1 คน หญง 1 คน จงหาอตราสวนของเงนในพนยกรรม
ของภรรยาตอบตรชาย ตอบตรหญง
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
66
เรองท 2 สดสวน
สดสวนเปนการเขยนแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวน
เชน a : b = c : d หรอ d
c
b
a= อานวา เอตอบ เทากบ ซตอด
ตวอยางท จงหาคา m ในสดสวน 1253
=m
วธท 11253
=m
5312
5353
×
×=
m (ทาเศษใหเทากบ 3 โดยคณดวย
53
)
2.7
33=
m
ดงนน m มคาเทากบ 7.2
วธท 21253
=m
12
53=
m (คณไขว)
m=×5123
ดงนน m= 7.2
1. จงเขยนสดสวนจากอตราสวนตอไปน
แบบฝกหดท 4
1) 3 ตอ 4 เทากบ 6 ตอ 8 ……………………………………………………..
2) A ตอ 7 เทากบ 9 ตอ 27 ……………………………………………………..
3) 12 ตอ 10 เทากบ B ตอ 5 ……………………………………………………..
4) 5 ตอ 4 เทากบ 65 ตอ D ……………………………………………………..
2. จงหาคาตวแปรจากสดสวนทกาหนดใหตอไปน
1) 1512
3=
A
……………………………………………………..………………………………………………
2) 28213
=B
……………………………………………………..………………………………………………
67
การแกโจทยปญหาโดยใชสดสวน
ในชวตประจาวนเราจะพบสถานการณทตองแกไขปญหาโดยการใชหลกการคดคานวณ
เชน
กาหนดอตราสวนของเครองดมโกโกสาเรจรป 1 ถวย ตอผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอนาตาล
1 ชอนโตะ ตอนาตมสก 1 ถวย เทากบ 1 : 2 : 1 : 1
ถามผงโกโกทงหมด 30 ชอนโตะ
สมมตวา ชงเครองดมได A ถวย ใชนาตาล B ชอนโตะ ครมเทยม C ชอนโตะ และนาตมสก
D ถวย
ดงนน อตราสวนของจานวนถวยโกโกทชงไดตอจานวนผงโกโก เทากบ 1 ถวย ตอ 2 ชอน
โตะ หรอ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ
นนคอ 1 : 2 = A : 30
หรอ 21
= 30A
จะไดวา 1 x 30 = A x 2
A = 15
ดงนน ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเครองดมได 15 ถวย
ตวอยาง ซอสมโอมา 3 ลก ราคา 50 บาท ถามเงน 350 บาท จะซอสมโอในอตราเดมไดกลก
วธทา สมมต มเงน 350 บาท ซอสมโอได A ลก
ราคาของสมโอ 50 บาท ซอได 3 ลก
จะไดวา A × 50 = 3 × 350
50
50×Ä =
503503×
A = 21
จะซอสมโอได 21 ลก
68
แบบฝกหดท 5
1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงนเทาไร
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
2. กศน.แหงหนงมนกศกษาทงหมด 400 คน มจานวนนกศกษาหญงตอจานวนนกศกษาชาย
เปน 5: 3 จงหาวา มนกศกษาชายกคนและนกศกษาหญงกคน
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
3. พอแบงมรดกใหลกสองคน โดยอตราสวนของสวนแบงของลกคนโตตอสวนแบงลกคนเลก
เปน 7: 3 ถาลกคนโตไดเงนมากกวาลกคนเลก 80,000 บาท จงหาสวนแบงทแตละคนไดรบ
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
69
เรองท 3 รอยละ
ในชวตประจาวน ผเรยนจะเหนวาเราเกยวของกบรอยละอยเสมอ เชน การซอขาย กาไร
ขาดทน การลดหรอการเพมทคดเปนรอยละ การคดภาษมลคาเพม ฯลฯ
คาวา รอยละ หรอ เปอรเซนต เปนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบปรมาณใดปรมาณ
หนงตอ 100 เชน
รอยละ 50 หรอ 50% เขยนแทนดวย 50:100 หรอ10050
รอยละ 7 หรอ 7% เขยนแทนดวย 7:100 หรอ 100
7
การเขยนอตราสวนใดใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนนนใหอยในรปทมจานวน
หลงอตราสวนเปน 100 ดงตวอยางตอไปน
8010080
54
== %
2010020
1022.0 === %
การเขยนรอยละใหเปนอตราสวนทาไดโดยเขยนอตราสวนทมจานวนหลงเปน 100
ดงตวอยางตอไปน
33% = 10033
25.75 % = 400103
100002575
10075.25
==
ตวอยาง จงเขยน 73
ใหอยในรปรอยละ
วธทา วธท 173
ทาใหอตราสวน โดยมจานวนหลงของอตราสวนเปน 100
73
=
7
1007
7
1003
×
×
= 100
7300
ดงนน 73
คดเปนรอยละ 7
300 หรอ
7300
%
วธท 273
สมมต = รอยละ A หรอ 100
A
3 x 100 = A x 7
A = 7
30071003
=×
70
การคานวณเกยวกบรอยละ
ผเรยนเคยคานวณโจทยปญหาเกยวกบรอยละมาแลวโดยไมไดใชสดสวน ตอไปนจะเปนการ
นาความรเรองสดสวนมาใชคานวณเกยวกบรอยละ ซงจะพบใน 3 ลกษณะ ดงตวอยางตอไปน
1. 25% ของ 60 เทากบเทาไร หมายความวา ถาม 25 สวนใน 100 สวน แลวจะมกสวน
ใน 60 สวน
ใหม a สวนใน 60 สวน
เขยนสดสวนไดดงน 10025
60=
a
จะได 2560100 ×=×a
100
2560×=a
ดงนน 15=a
นนคอ 25% ของ 60 คอ 15
2. 9 เปนกเปอรเซนตของ 45 หมายความวา ถาม 9 สวนใน 45 สวน แลวจะมกสวน
ใน 100 สวน
ให 9 เปน x% ของ 45
x% หมายถง 100
x
เขยนสดสวนไดดงน 10045
9 x=
จะได x×=× 451009
451009×
=x
ดงนน 20=x
นนคอ 9 เปน 20% ของ 45
3. 8 เปน 25% ของจานวนใด หมายความวา ถาม 25 สวนใน 100 สวน แลวจะ
ม 8 สวนในกสวน
ให 8 เปน 25% ของ y
เขยนสดสวนไดดงน 100258
=y
จะได 251008 ×=× y
251008×
=y
ดงนน 32=y
นนคอ 8 เปน 25% ของ 32
71
แบบฝกหดท 6
1. จงแสดงวธหาคาตอบ
1) 15% ของ 600 เทากบเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) 120% ของ 40 เทากบเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3) 28 คดเปนกเปอรเซนต ของ 400
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
4) 1.5 เปนกเปอรเซนตของ 6
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
5) 180 เปน 30 % ของจานวนใด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
6) 0.125 เปน 25% ของจานวนใด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
72
เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ
ใหนกเรยนพจารณาตวอยางโจทยปญหาและวธแกปญหาเกยวกบรอยละ โดยใชสดสวน
หรออตราสวน ตอไปน
ตวอยาง 1 ในหมบานแหงหนงมคนอาศยอย 1,200 คน 6% ของจานวนคนทอาศยอยในหมบาน
ทางานในโรงงานสบปะรดกระปอง จงหาจานวนคนงานททางานในโรงงานแหงน
ใหจานวนคนททางานในโรงงานสบปะรดกระปอง เปน s คน
วธทา
อตราสวนของจานวนคนททางานในโรงงานตอจานวนคนทงหมด เปน 200,1s
อตราสวนดงกลาวคดเปน 100
6%6 =
เขยนสดสวนไดดงน 100
6200,1
=s
จะได 6200,1100 ×=×s
100
6200,1 ×=s
ดงนน 72=s
นนคอ จานวนคนงานททางานในโรงงานสบปะรดกระปองเปน 72 คน
ตอบ
72 คน
โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 1,800 คน นกเรยนคนทหนกเกน 60 กโลกรมมอย 81 คน จง
หาวา จานวนนกเรยนทหนกเกน 60 กโลกรม คดเปนกเปอรเซนตของจานวนนกเรยนทงหมด
ตวอยางท 2
ใหจานวนนกเรยนทหนกเกน 60 กโลกรม เปน n% ของจานวนนกเรยนทงหมด
วธทา
เขยนสดสวนไดดงน 800,181
100=
n
จะได 81100800,1 ×=×n
800,1
81100×=n
ดงนน 5.4=n
นนคอ จานวนนกเรยนทหนกเกน 60 กโลกรมคดเปน 4.5% ของจานวนนกเรยนทงหมด
ตอบ
4.5 เปอรเซนต
73
แบบฝกหดท 7
จงแสดงวธหาคาตอบ
1. นกศกษา กศน. 500 คน สอบไดเกรด 4 จานวน 25% ของทงหมด จงหาจานวนนกศกษาท
สอบไดเกรด 4
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 2,000 คน เปนชาย 40% ของทงหมด ในจานวนนมาจาก
ตางจงหวดรอยละ60 จงหา
1) จานวนนกเรยนหญง
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) จานวนนกเรยนชายทไมไดมาจากตางจงหวดทงหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3. รานคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคาทกชนด รอยละ 20 ถาคณแมซอเครองแกวมาไดรบ
สวนลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลตภณฑนนกอนลดราคาเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
74
4. แผนผงสนามหญาแหงหนงกวาง 5 เซนตเมตร ยาว 8 เซนตเมตร ใชมาตราสวน 1
เซนตเมตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนมพนทเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
5. นกนอยฝากเงนไวกบธนาคารเปนเวลา 2 ป อตราดอกเบยรอยละ 3 ตอป คดดอกเบยทบตน
ทก 12 เดอนและถกหกภาษดอกเบย 15% ถานกนอยฝากเงนไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะม
เงนในบญชเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
6. วระซอรถยนตมาคนหนงราคา 200,000 บาท นาไปขายตอไดกาไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงน
ทงหมดไปเลนหนขาดทนรอยละ 20 วระจะมเงนเหลอจากการเลนหนเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
75
บทท 5
การวด
สาระสาคญ
1. การวดความยาวพนท ทมหนวยตางกนสามารถนามาเปรยบเทยบกนได
2. เครองมอการวด ตองเลอกใชใหเหมาะสมกบสงทจะวด
3. การคาดคะเนเกดจากประสบการณของผสงเกตเปนสาคญ
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. บอกการเปรยบเทยบหนวยความยาวพนทในระบบเดยวกนและตางระบบได
2. เลอกใชหนวยการวดเกยวกบความยาวและพนทไดอยางเหมาะสม
3. แสดงการหาพนทของรปเรขาคณตได
4. สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบพนทสถานการณตาง ๆ ในชวตประจาวนได
5. อธบายวธการคาดคะเนและนาวธการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด
นาหนก
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 การเปรยบเทยบหนวยความยาวและพนท
เรองท 2 การเลอกใชหนวยการวด ความยาวและพนท
เรองท 3 การหาพนทของรปเรขาคณต
เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบพนทในสถานการณตาง ๆ
เรองท 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาหนก
76
เรองท 1 การเปรยบเทยบหนวยความยาวและพนท
การวด
การวดเปนเรองทมความสาคญ และจาเปนตอชวตประจาวนอยางมากในทกยคทกสมย ใน
แตละถนฐานแตละประเทศ จะมหนวยการวดทแตกตางกนออกไป และเมอโลกเจรญกาวหนาทง
ดานเทคโนโลยและการสอสาร จงมความจาเปนทตองมความชดเจนของการสอสารความหมาย
เกยวกบปรมาณของการวด หนวยการวด เพอใหเกดความสะดวกในการนามาเปรยบเทยบ และเพอ
ประโยชนในการใชงาน
โดยทวไปคนเรามกจะคนเคยกบการวด หมายถง การชง การตวง การวดความยาว การจบ
เวลา เปนตน ในความเปนจรงนนการวดมหลายอยางเชน
1. การวดความยาว มหนวยเปน มลลเมตร เซนตเมตร นว ฟต เมตร กโลเมตร
2. การวดพนท มหนวยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร
3. การชง มหนวยเปน กรม ขด ปอนด ตน
4. การตวง มหนวยเปน ลกบาศกเซนตเมตร ลตร ถง
5. การวดอณหภม มหนวยเปน องศาเซลเซยส องศาฟาเรนไฮต
6. การวดเวลา มหนวยเปน วนาท นาท ชวโมง วน ป
7. การวดความเรวหรออตราเรว มหนวยเปน กโลเมตร/ชวโมง
1.1 การเปรยบเทยบการวดความยาว
หนวยการวดความยาวทนยมใชกนในประเทศไทย
หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษ
12 นว เทากบ 1 ฟต
3 ฟต เทากบ 1 หลา
1,760 หลา เทากบ 1 ไมล
หนวยการวดความยาวในระบบเมตรก
10 มลลเมตร เทากบ 1 เซนตเมตร
100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร
1,000 เมตร เทากบ 1 กโลเมตร
หนวยการวดความยาวในมาตรไทย
12 นว เทากบ 1 คบ
2 คบ เทากบ 1 ศอก
77
4 ศอก เทากบ 1 วา
20 วา เทากบ 1 เสน
400 เสน เทากบ 1 โยชน
กาหนดการเทยบ 1 วา เทากบ 2 เมตร
หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษเทยบกบระบบเมตรก ( โดยประมาณ )
1 นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร
1 หลา เทากบ 0.9144 เมตร
1 ไมล เทากบ 1.6093 กโลเมตร
ตวอยาง การเปรยบเทยบหนวยการวดในระบบเดยวกนและตางระบบกน
1. สดาสง 160 เซนตเมตร อยากทราบวาสดาสงกเมตร
เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร และสดาสง 160 เซนตเมตร
ดงนน สดาสง 160 = 1.60 เมตร
100
2. ความกวางของรวบานดานตดถนนเปน 1.05 กโลเมตร อยากทราบวาความกวางของรว
บานดานตดกบถนนเปนกเมตร
เนองจาก 1 กโลเมตร เทากบ 1,000 เมตร และรวบานกวาง 1.05 กโลเมตร
ดงนน ความกวางของรวบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร
1.2 การเปรยบเทยบการวดพนท
หนวยการวดพนททสาคญ ทควรรจก
หนวยการวดพนทในระบบเมตรก
1 ตารางเซนตเมตร เทากบ 100 หรอ 102
1 ตารางเมตร เทากบ 10,000 หรอ 10
ตารางมลลเมตร 4
1 ตารางกโลเมตร เทากบ 1,000,000 หรอ 10
ตารางเซนตเมตร 6
หนวยการวดพนทในระบบองกฤษ
ตารางเมตร
1 ตารางฟต เทากบ 144 หรอ 122
1 ตารางหลา เทากบ 9 หรอ 3
ตารางนว 2
1 เอเคอร เทากบ 4, 840 ตารางหลา
ตารางนว
1 ตารางไมล เทากบ 640 เอเคอร
หรอ 1 ตารางไมล เทากบ 1, 7602 ตารางหลา
78
หนวยการวดพนทในมาตราไทย
100 ตารางวา เทากบ 1 งาน
4 งาน เทากบ 1 ไร
หรอ 400 ตารางวา เทากบ 1 ไร
หนวยการวดพนทในมาตราไทยเทยบกบระบบเมตรก
1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร
1 งาน เทากบ 400 ตารางเมตร
หรอ 1 ไร เทากบ 1, 600 ตารางเมตร
1 ตารางกโลเมตร เทากบ 625 ไร
หนวยการวดพนทในระบบองกฤษกบระบบเมตรก ( โดยประมาณ )
1 ตารางนว เทากบ 6.4516 ตารางเซนตเมตร
1 ตารางฟต เทากบ 0.0929 ตารางเมตร
1 ตารางหลา เทากบ 0.8361 ตารางเมตร
1 เอเคอร เทากบ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร )
1 ตารางไมล เทากบ 2.5899 ตารางกโลเมตร
ตวอยาง
1. ทดน 12.5 ตารางกโลเมตร คดเปนกตารางเมตร
เนองจากพนท 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 106
ดงนนพนท 12.5 ตารางกโลเมตร เทากบ 12.5 x 10
ตารางเมตร 6
= 1.25 x 10
7
ตอบ 1.25 x 10
ตารางเมตร 7
2. พนทชนลางของบานรปสเหลยมผนผากวาง 6 วา ยาว 12 วา ผรบเหมาปพนคดคาปพน
ตารางเมตรละ 37 บาท จะตองเสยคาปพนเปนเงนเทาไร
ตารางเมตร
พนทชนลางของบานมความกวาง 6 วา
ความยาว 12 วา
ดงนน พนทชนลางของบานมพนทเปน 6 x 12 = 72 ตารางวา
พนท 1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร
ถาคดพนทเปนตารางเมตร พนทชนลางของบานมพนทเปน
72 x 4 = 288 ตารางเมตร
ดงนน เสยคาปพนเปนเงน 288 x 37 = 10, 656 บาท
ตอบ 10, 656 บาท
79
1. จงเตมหนวยความยาวหรอหนวยพนทใหเหมาะสมกบขอความตอไปน
แบบฝกหดท 1
1) ไมอดชนดบางมความหนาแผนละ 4 .........................................................................................
2) สมดปกออนมความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................
3) จงหวดเชยงใหมและจงหวดเลยอยหางกนประมาณ 1,600 ......................................................
4) สนามฟตบอลแหงหนงมความกวาง 45 …………… มความยาว 90 ..................... และถาวง
รอบสนามแหงนสามรอบ จะไดระยะทาง 1 ...............................
5) แผนดสกมความกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 .........................
6) กระดาษ A4 มพนทประมาณ 630 .........................................
7) หองเรยนมพนทประมาณ 80 ................................................
9) การวดความยาวของทดนในประเทศไทยนยมใชหนวยเปน ................... หรอ....................
และอาจบอกจานวนพนทของทดนตามมาตราไทยเปน ..........................หรออาจบอกโดยใช
มาตรเมตรกเปน ........................ กได
10) แมนาโขงชวงจงหวดมกดาหารมความกวางประมาณ 200 ............................
2. จงเตมคาลงในชองวางทกาหนดใหถกตอง
1) พนท 1 ไร เทากบ ..................................... ตารางเมตร
2) พนท 17 ตารางเมตร คดเปนพนท .................................. ตารางเซนตเมตร
3) ทดน 3,119 ตารางวา เทากบทดน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา)
4) กระดาษแผนหนงมพนท 720 ตารางนว กระดาษแผนนมพนท ............................ ตารางฟต
5) พนท 2 ตารางกโลเมตร คดเปนพนท .................... ตารางเซนตเมตร (ตอบในรป nA 10×
เมอ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจานวนเตม)
6) สวนสาธารณะแหงหนงมพนท 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงนจะมพนท
.................... ตารางวา
7) ทนา 2,900,000 ตารางเมตร เทากบทนา ................................ ตารางกโลเมตร
8) โลหะแผนหนงมพนท 3 ตารางฟต โลหะแผนนจะมพนท ................... .. ตารางนว
9) พนท 9.5 ตารางวา จะเทากบ .......................... ตารางเมตร
10) ลงสอนมทดนอย 2 งาน 68 ตารางวา คดเปนพนท ..................... ตารางเมตร แลวถาลงสอน
ขายทดนไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลงสอนจะไดรบเงน ...................... บาท แสดงวาทดน
ของลงสอน ราคาไรละ......................... บาท
80
3. จงตอบคาถามตอไปน พรอมแสดงวธทา
1) สวนแหงหนงมพนท 4,800 ตารางเมตร คดเปนพนทกไร
2) พนท 25 ตารางฟต คดพนทกตารางเซนตเมตร
3) ลงแดงแบงทดนใหลกชาย 3 คน โดยแบงใหลกชายคนโตได 2 ไร ลกชายคนกลาง 850
ตารางวา และลกชายคนเลกได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงทดนมากทสด
4) พนท 5,625 ไร คดเปนพนท กตารางกโลเมตร
5) สมเกยรตซอโลหะแผนชนดหนง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนกซอโลหะแผน
ชนดเดยวกน 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซอไดถกกวากน ตารางเมตรละกบาท
(กาหนด 1 หลา = 90 เซนตเมตร)
81
เรองท 2 การเลอกใชหนวยการวดความยาวและพนท
การวดความยาว หรอการวดพนท ควรเลอกใชหนวยการวดทเปนมาตรฐาน และเหมาะสมกบ
สงทตองการวด เชน
- ความหนาของกระเบองหรอความหนาของกระจก ใชหนวยวดเปน "มลลเมตร"
- ความยาวของกระเปาหรอความสงของนกเรยน ใชหนวยวดเปน "เซนตเมตร"
- ความยาวของถนน ความสงของตก ใชหนวยวดเปน "เมตร"
- ระยะทางจากรงเทพฯ ถงนครศรธรรมราช ใชหนวยวดเปน "กโลเมตร"
1.จงเตมหนวยการวดทเหมาะสมลงในชองวาง
แบบฝกหดท 2
1.ความยาวของรวโรงเรยน …………………………………
2.ความหนาของหนงสอ ………………………………….
3. ระยะทางจากกรงเทพฯ ถงเชยงใหม ……………………………..
4. นาหนกของแตงโม …………………………………………..
5. เวลาทนกเรยนใชในการวงแขงในระยะทาง 100 เมตร ……………………..
6. อณหภมหอง .....................................
7. พนทสวน ......................................
8. ปรมาณของนา 1 เหยอก ......................................
9. สวนสงของนกเรยน .....................................
10. นาหนกของขาวสาร 1 ถง ....................................
82
เรองท 3 การหาพนทของรปเรขาคณต
1. รปสามเหลยม
รปสามเหลยม คอ รปปดทมดานสามดาน มมสามมม เมอกาหนดใหดานใดดานหนงเปน
ฐานของรปสามเหลยม แลวมมทอยตรงขามกบฐานจะเปนมมยอด และถาลากเสนตรงจากมมยอด
มาตงฉากกบฐาน หรอสวนตอของฐานจะเรยกเสนตงฉากวาสวนสง
จากรปสามเหลยม ABC ใหกาหนด BC เปนฐาน
เรยก A วา มมยอด
เรยก AD วา สวนสง
จากรปท 1 รปท 2 รปท 3 พนทรปสเหลยมผนผา ABCD แตละรปเทากบ 12 ตารางหนวย
และพนทสามเหลยมแตละรปเทากบครงหนงของพนทรปสเหลยมผนผา
จากสตร พนทรปสเหลยมผนผา = ฐาน x สง
ดงนน พนทรปสามเหลยม = ×21
ฐาน × สง
83
ตวอยาง รปสามเหลยมรปหนงพนท 40 ตารางเซนตเมตร และมฐานยาว 8 เซนตเมตร จะมความสง
กเซนตเมตร
วธทา
ดงนน ความสงของสามเหลยมเทากบ 10 เซนตเมตร
1. จงหาพนทสวนทแรเงาของรปตอไปน ตวเลขทเขยนกากบดานไวถอเปนความยาวของดาน และม
หนวยเปนหนวยความยาว
แบบฝกหด 3
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
ใหความสงของสามเหลยม h เซนตเมตร
สตร พนท = ×21
ฐาน × สง
40 = h×× 821
h=×8
240
10 = h
84
2. รปสามเหลยมหนงรปมพนท 90 ตารางเซนตเมตร มฐานยาว 12 เซนตเมตร จะมความสง
กเซนตเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. สามเหลยมมมฉาก ABC มมม BAC เปนมมฉาก และกาหนดความยาวของดานดงรป จงหาความ
ยาวของดาน A
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
85
4. จงหาพนทของสวนทแรเงาของไมฉากรปสามเหลยม ซงมขนาดตามรป (ความยาวทกาหนดม
หนวยเปนเซนตเมตร)
30
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. รปสเหลยม
2.1 พนทของรปสเหลยมมมฉาก
บทนยาม รปสเหลยมมมฉาก คอ รปสเหลยมทมมมแตละมมเปนมมฉาก
ถาแบงรปสเหลยมมมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ
เทาๆ กน แลวลากเสนเชอมจดแบงดงรป
รปสเหลยมมมฉากม 2 ชนด คอ
ก) รปสเหลยมจตรส
เปนรปสเหลยมมมฉากทมดานทกดานยาวเทากน
ข) รปสเหลยมผนผา
เปนรปสเหลยมมมฉากทมดานตรงขามยาวเทากน
86
จากรปตารางเลกๆ ทเกดจากแบงแตละรป จะมความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คด
เปน พนท 1 ตารางหนวย
การหาพนของสเหลยมมมฉากรปท 1
สเหลยมมมฉากรปท 1 มดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมอแบงแลวไดจานวนตาราง
9 ตาราง หรอมพนท 9 ตารางหนวย
สเหลยมมมฉากรปท 2 มดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมอแบงแลวไดจานวนตาราง
12 ตาราง หรอมพนท 12 ตารางหนวย
การหาพนทดงกลาว สามารถคานวณไดจากผลคณของดานกวางและดานยาว
นนคอ พนทรปสเหลยมมมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว
ในกรณทเปนรปสเหลยมจตรส จะมดานกวางเทากบดานยาว
นนคอ พนทรปสเหลยมมมฉาก = ดาน x ดาน
หรอ พนทรปสเหลยมมมฉาก = (ดาน)
ตวอยาง จงหาพนทของรปสเหลยมตอไปน
2
วธทา
(ก) พ.ท. สเหลยมผนผา = กวาง x ยาว
87
= 5 x 8
= 40 ตารางหนวย
ดงนน พนทสเหลยมผนผา เทากบ 40 ตารางหนวย ตอบ
(ก) พ.ท. สเหลยมผนผา = ดาน x ดาน
= 4 x 4
= 16 ตารางเซนตเมตร
ดงนน พนทสเหลยมผนผา เทากบ 16 ตารางเซนตเมตร ตอบ
(ก) พ.ท. สเหลยมผนผา = (2x3) + (4x7)
= 6 + 28
= 34 ตารางนว
ดงนน พนทสเหลยมผนผา เทากบ 34 ตารางนว ตอบ
2.2 พนทของรปสเหลยมดานขนาน
บทนยาม รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามขนานกนสองค
การหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน
88
ถารปสเหลยมดานขนาน ABCD กาหนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ
สง DE
จากรปท 1 ลากเสนทแยงมม BD และลาก DE ใหตงฉากกบ AB ดงรปท 2 เราสามารถ
ใชพนทของรปสามเหลยมหาสตรพนทของรปสเหลยมดานขนาน ABCD ไดดงน
พนทของ � ABCD เทากบผลบวกของพนท ABD และพนท CDB
เนองจาก พนท ABD เทากบ พนท CDB
ดงนน พนท � ABCD = 2 เทาของพนท ABD
=
××× ba
212
สตรพนท รปสเหลยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสง
รปสเหลยมดานขนานทมดานทกดานยาวเทากนและมมไมเปนมมฉาก เรยกวา รปสเหลยม
ขนมเปยกปน
ในกรณเปนรปสเหลยมขนมเปยกปน ถาลากเสนทแยงมม แบงรปสเหลยมออกเปนรป
สามเหลยมสองรป และไดสตรดงน
สตรพนท � ขนมเปยกปน = ×21
ผลคณของเสนทแยงมม
ตวอยาง จงหาพนทของสเหลยมดานขนาน ABCD
วธทา
รปสเหลยมดานขนาน = ฐาน × สง
= AB × AB
= 10 × 7 ตารางเซนตเมตร
ดงนน พนทสเหลยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนตเมตร ตอบ
2.3 พนทของรปสเหลยมคางหม
บทนยาม รปสเหลยมคางหม คอรปสเหลยมทมดานขนานกนหนงคเทานน
89
รปสเหลยมทงสามรป แตละรปมดานขนานกนเพยง 1 คเทานน รปสามเหลยมทงสามรปจง
เปนสเหลยมคางหม
รปสเหลยมรปท 2 มดานทไมขนานกน 1 ดาน ตงฉากกบดานคขนาน เรยกรปสเหลยมคาง
หมนวา สเหลยมคางหมมมฉาก
รปสเหลยมรปท 3 มดานทไมขนานกนยาวเทากน เรยกรปสเหลยมคางหมนวา สเหลยม
คางหมหนาจว
รปสเหลยมคางหม ABCD มดาน AB ขนานกบดาน CD ลาก CE ใหตงฉากกบ AB
และลากเสนทแยงมม AC ดงรปท 2
กาหนด a แทนความยาวของดาน AB
b แทนความยาวของดาน CD
c แทนความสง
เราสามารถใชพนทของรปสามเหลยมหาสตรพนทของรปสเหลยมคางหม ABCD ไดดงน
พนท � ABCD เทากบ ผลบวกของ พนท ABC และพนท ACD
จากพนท ABC = ca ××21
พนท ACD = cb ××21
ดงนน พนท � ABCE =
××+
×× ebea
21
21
= )(21 bac +××
สตร พนท � คางหม = ×21
สง × ผลบวกดานคขนาน
90
ตวอยาง จงหาพนทของสเหลยม ABCD
วธทา
พนทสเหลยมคางหม ABCD = ×21
สง × ผลบวกดานคขนาน
= ( )DCABDE +××21
= ( )812621
+××
= 3 × 20 ตารางเซนตเมตร
ดงนน พนทสเหลยมคางหม ABCD = 60 ตารางเซนตเมตร
2.4 พนทของสเหลยมรปวาว
บทนยาม รปสเหลยมรปวาว คอ รปสเหลยมทมดานประชดกนยาวเทากนสองค
เมอลากเสนทแยงมมของรปสเหลยมรปวาว จะพบวา เสนทแยงมมตดกนเปนมมฉาก และ
แบงครงซงกนและกน
การหาพนทรปสเหลยมรปวาว
รปสเหลยมรปวาว ABCD ม ADAB = และ CDBC =
กาหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมม AC
b แทนความยาวของเสนทแยงมม BD
เสนทแยงมม AC และ BD ตดกนทจด E
ทาให DE ตงฉากกบ AC
BE ตงฉากกบ AC
91
เราสามารถใชพนทรปสามเหลยมหาสตรพนทสเหลยมรปวาว ABCD ไดดงน
พนท � ABCD เทากบ ผลบวกของ พนท ACD และพนท ABC
จาก ABC =
××× ba
21
21
ADC =
××× ba
21
21
ดงนน พนท � ABCD =
×××+
××× baba
21
21
21
21
พนท � ABCD =
×+
××× bba
21
21
21
=
+××
2221 bba
= ba ××21
สตร พนทสเหลยมรปวาว = ×21
ผลคณของเสนทแยงมม
ตวอยาง จงหาพนทรปสเหลยมรปวาว ABCD ทม 10=BD เซนตเมตร และ 12=AC เซนตเมตร
วธทา
พนทรปวาว = ×21
ผลคณของเสนทแยงมม
= BDAC ××21
= 101221
×× ตารางเซนตเมตร
ดงนน พนทรปสเหลยมรปวาว ABCD = 60 ตารางเซนตเมตร
92
2.5 พนทของรปสเหลยมใดๆ
รปสเหลยมใดๆ เปนรปสเหลยมทไมเขาลกษณะของรปสเหลยมขางตน การหาพนทอาจทา
ไดโดยลากเสนทแยงมม แลวหาพนทของรปสามเหลยมทเกดขน
พนท � ABCD เทากบ ผลบวกของ พนท ABC และพนท ADC
จากพนท ABC = BEAC ××21
พนท ABD = DFAC ××21
ดงนน พนท � ABCE =
××+
×× DFACBEAC
21
21
= ( )DFBEAC +××21
สตร พนทสเหลยมใดๆ = 21
× ความยาวของเสนทแยงมม × ผลบวกของความยาวของเสนกง
ตวอยาง จงหาพนทของรปสเหลยม ABCD ม AC = 10 เซนตเมตร เสนกง DF = 7 เซนตเมตร และ
EB = 5 เซนตเมตร
วธทา
พนท � ABCD = ×21
เสนทแยงมม × ผลบวกของความยาวของเสนกง
= ( )DFBEAC +××21
= ( )571021
+×× ตารางเซนตเมตร
ดงนน พนท � ABCD = 60 ตารางเซนตเมตร
จากรปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมใดๆ จากเสนทแยงมม AC
จากจด B ลากเสน BE ใหตงฉากกบ AC
D ลากเสน DF ใหตงฉากกบ AC
ซงเสน BE และ DF เรยกวา เสนกง
93
แบบฝกหดท 4
94
2. จงหาพนทสวนทแรเงา ตวเลขทเขยนกากบไวถอวาเปนความยาวของดานและมหนวยความยาว
เปนเมตร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
95
2.6 พนทรปหลายเหลยม
การหาพนทรปหลายเหลยม ใชวธแบงรปหลายเหลยม เปนรปสเหลยมยอยๆ แลว หาพนท
ของรปแตละรปนาผลลพธมารวมกน แตบางครงอาจใชวธตอเตมรปเพอใหเกดรปเหลยมใหมแลว
นามาหกลบกน ดงตวอยาง
ตวอยาง จงหาพนทรปเหลยมทแรเงา
วธทา ลากตอ EF และ HG ทาใหเกดเปนรปสเหลยมมมฉากยอย 3 รป คอ � DEJC,
� FGKJ, � ABKH
พนทรปหลายเหลยม ABCDEFGH = พ.ท.� DEJC + พ.ท.� FGKJ + พ.ท.� ABKH
= ( 2×6) + (1×4) + (3×10)
= 12 + 4 + 30 ตารางเซนตเมตร
ดงนน พนทรปหลายเหลยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนตเมตร
2.7 พนทรปวงกลม
การหาพนทของรปวงกลมโดยวธแบงออกเปนสวนเลกๆ แลวนาแตละสวนมาสลบกน ดง
รป
จากรป EJ = 6 เซนตเมตร
FJ = 4 เซนตเมตร
96
จะเหนไดวา ถายงแบงสวนยอยใหมจานวนมากขน รปสเหลยมทไดจะมรปใกลเคยงกบรป
สเหลยมผนผา โดยมสวนสงใกลเคยงกบรศมของวงกลม
ความยาวของฐาน ใกลเคยงกบครงหนงของเสนรอบวง หรอ ( ) rr ππ =221
จากสตร พนท � ผนผา = ฐาน × สง
= ( ) rr ×π
= 2rπ
สตร พนทวงกลม = 2rπ
เมอ 722
=π หรอ 3.14 โดยประมาณ
r แทนความยาวรศม
ตวอยาง จงหาพนทวงกลมทมรศมยาว 7 เซนตเมตร
วธทา
พนทวงกลม = 2rπ
= 77722
×× ตารางเซนตเมตร
พนทวงกลม = 154 ตารางเซนตเมตร
97
1. จงหาพนทสวนทแรเงา ตวเลขทเขยนกากบดานมหนวยเปนเซนตเมตร และจด O แทนจด
ศนยกลางของวงกลม
แบบฝกหด 5
1
98
สรปสตรการหาพนท
99
100
เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบพนทในสถานการณตางๆ
ตวอยาง ทดนรปสเหลยมผนผากวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทาถนนในทดนกวาง 1 วา
โดยรอบถนนจะมพนทกตารางวา
วธทา
ตวอยาง หองๆ หนง 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปกระเบองรปสเหลยมจตรส ซงมความกวาง
ดานละ 25 เซนตเมตร จะตองใชกระเบองกแผน
วธทา หองหนงมความยาว 6.5 เซนตเมตร = 650 เซนตเมตร
ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนตเมตร
พนทหอง = 400 × 650 = 260,000 เซนตเมตร
พนทกระเบอง = 25 × 25 = 625 ตารางเซนตเมตร
ตองใชกระเบอง = 416625
000,260= แผน
ดงนน ตองใชกระเบอง 416 แผน
พนททงหมด = 12 × 20
= 240 ตารางวา
พนทรปใน = 10 × 18
= 180 ตารางวา
พนทถนน = 240 – 180
∴ พนทถนน = 60 ตารางวา
101
1. แผนผงบานหลงหนงมลกษณะและขนาดดงรป ถาบรเวณทแรเงาตองการเทปนซเมนต โดยเสย
คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสยคาใชจายทงหมดกบาท กาหนดความยาวมหนวยเปนเมตร
แบบฝกหด 6
2. ตองการตดเสอตวหนงมลกษณะดงรป จะตองใชผากตารางเมตร (ไมคดตะเขบ) ความยาวท
กาหนดมหนวยเปนเซนตเมตร
102
เรองท 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาหนก
ในชวตประจาวนบางครงเราอาจตองการทราบรายละเอยดเกยวกบเวลา ระยะทาง ขนาด
หรอนาหนก ของสงตางๆ แตไมสะดวกทจะวดสงตางๆ เหลานน เนองจากมขอจากดบางประการ
ตวอยางเชน ตองการวดความยาว และความกวางของสนามฟตบอลของโรงเรยน แตไมมอปกรณท
เหมาะสม ทาใหตองมกประมาณอยางคราวๆ ซงในบางครงอาจจะถกตอง หรออาจผดไปจากความ
เปนจรงบาง เราเรยกวธการประมาณในลกษณะนวา การคาดคะเน
การคาดคะเนปรมาณตางๆ เชน ชวงเวลา ระยะทาง ขนาด และนาหนกของสงตางๆ ผ
คาดคะเนมกใชสายตารวมกบประสบการณของผคาดคะเนเอง ซงในการคาดคะเนแตละครงอาจ
ถกตองพอด หรออาจมขอผดพลาดเกดขนบางกได เราเรยกขอผดพลาดนวา ความคลาดเคลอน และ
ความคลาดเคลอนคานวณไดจากผลตางของปรมาณทคาดคะเนไวกบปรมาณทวดไดจรง เชน
คะเนวาหนงสอเรยนกวาง 15 เซนตเมตร ยาว 20 เซนตเมตร และหนา 1 เซนตเมตร แตเมอ
วดจรงพบวาหนงสอเรยนกวาง 14.6 เซนตเมตร ยาว 20.9 เซนตเมตร และหนา 1 เซนตเมตร ดงนน
คะเนความกวาง และความยาวของหนงสอเรยนคลาดเคลอนไป 0.4 และ 0.9 ตามลาดบ (15.0
เซนตเมตร – 14.6 เซนตเมตร = 0.4 เซนตเมตร และ 20.9 เซนตเมตร – 20 เซนตเมตร = 0.9
เซนตเมตร สวนความหนาคาดคะเนไดถกตองไมคลาดเคลอนเลย )
หมายเหต บางครงอาจพบการใชสญลกษณ ± ตามความคลาดเคลอน เชน เครองบรรจนา
ไดขวดละ 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร ± 5 ลกบาศกเซนตเมตร หมายความวา โดยปกตแลวนาดมท
บรรจขวดโดยเครองนจะมปรมาตร 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร แตอาจจะมบางขวดทมปรมาตร
มากกวาหรอนอยกวา 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร ซงปรมาตรทคลาดเคลอนนไมเกน 5 ลกบาศก
เซนตเมตร นนคอ นาดมทบรรจขวดจะมปรมาตรตงแต 995 ลกบาศกเซนตเมตร ถง 1,005
ลกบาศกเซนตเมตร
103
1. จงคาดคะเนเวลาหรอชวงเวลาใหเหมาะสมกบสถานการณตอไปน
แบบฝกหด 7
1) ฟาใกลสวาง อากาศเยนสบาย ไกตวผตปกและสงเสยงขน มนาคางจบตามยอดหญา
นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกา
2) เมออยกลางแจงดวงอาทตยอยตรงศรษะพอด เงาของตวเองอยบนพนทยนอยพอด นาจะ
เปนเวลาประมาณ...................นาฬกา
3) ในจงหวดทางภาคเหนอเปนเวลาเชาตร ฟาสวางแลว แตยงไมเหนพระอาทตย ทองฟาขมกขมว
อากาศหนาวเยนจด นาจะเปนฤด....................และควรจะเปนชวงเดอน.....................
2. จงวงกลมลอมรอบขอทเหมาะสมทสด สาหรบใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาหนก หรอ
ขนาดของสงตอไปน
1) ความยาวของคตเตอร
ก. 1.5 มลลเมตร ข. 15 เซนตเมตร ค. 15 เมตร
2) นาหนกของมะพราว 1 ผล
ก. 1 กรม ข. 1 กโลกรม ค. 1 ตน
3) ปรมาณของนม 1 กลอง
ก. 4 ×5×12 เซนตเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟต3 ค. 4 ×5×12 เมตร
4) รถกระบะ
3
4.1 มนาหนก ก. 10 กโลกรม ข. 100 กโลกรม ค. 1 ตน
4.2 ความกวาง ก. 160 เซนตเมตร ข. 16 ฟต ค. 16 เมตร
4.3 ความยาว ก. 5 ฟต ข. 5 เมตร ค. 5 วา
4.4 ความสง ก. 160 มลลเมตร ข. 1,600 มลลเมตร ค. 16,000 มลลเมตร
5) เกาอนง
5.1 กวาง ยาว สง
ก. 40 ×50×80 มลลเมตร
ข. 40 ×50×80 เซนตเมตร
3 3
ค. 4 ×5×8 เมตร
5.2 นาหนก
3
ก. 10 กโลกรม ข. 100 กโลกรม ค. 1 ตน
104
3. ทางหลวงสายพหลโยธนกรงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโลเมตร รถประจาทางปรบอากาศวงบน
ทางหลวงสายนตลอดเสนทางดวยอตราเรว 80-100 กโลเมตรตอชวโมง
(1) รถประจาทางปรบอากาศใชเวลาวงตลอดเสนทางนานเทาไร
(2) ถารถออกจากกรงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกา จะถงแมสายในชวงใด
(3) ถาตองการใหถงแมสายประมาณเทยงวนท 16 กนยายน จะตองออกจากกรงเทพฯ เวลา
เทาไร
4. ลฟตของโรงแรมแหงหนงบรรทกผโดยสายไดเทยวละไมเกน 10 คน (600 กโลกรม) บางครงม
ผโดยสารเขาลฟตเพยง 8 คน ลฟตจะมเสยงเตอน บางครงมผโดยสาร 12 คน ลฟตไมมเสยงเตอนยง
ใชงานไดเปนเพราะเหตใด จงอธบาย
5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงเทพฯ-บานคลองพราน จงหวดนราธวาส) 1,352 กโลเมตร ทาง
หลวงสายมตรภาพ (กรงเทพฯ-จงหวดหนองคาย) 508 กโลเมตร ทางหลวงสายสขมวท (กรงเทพฯ-
จงหวดตราด) 400 กโลเมตร
(1) ถาขบรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรงเทพฯ แลวมงส
จงหวดหนองคายตามทางหลวงสายมตรภาพ ดวยอตราเรวในชวง 90-100 กโลเมตรตอชวโมง จะใช
เวลาประมาณกชวโมง
(2) ถาเดนทางจากกรงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬกา วนน จะ
ถงจงหวดนราธวาสเมอใด โดยใชอตราความเรว 100 กโลเมตรตอชวโมง
(3) ถาตองการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปจงหวดตราดทางหลวงสายสขมวท และถงจงหวด
ตราดประมาณเทยงวน จะตองออกจากกรงเทพฯ เวลาใด เมอใชอตราความเรว 80 กโลเมตรตอ
ชวโมง
(4) ใหนกเรยนเปรยบเทยบความยาวของทางหลวงทงสามสาย
105
บทท 6
ปรมาตรและพนทผว
สาระสาคญ
การหาพนทผวและปรมาตรของ ปรซม พระมด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จาเปน
จะตองรกระบวนการคด และการใชสตร เพอสะดวกในการคานวณอนจะเปนประโยชนตอการ
นาไปใชในชวตจรง
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. อธบายลกษณะและสมบตของปรซม พระมด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา
ปรมาตรและพนทผวของปรซมได
2. สามารถหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอกได
3. สามารถหาปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลมได
4. เปรยบเทยบหนวย ความจ หรอหนวยปรมาตรในระบบเดยวกนหรอตางระบบ และ
เลอกใชหนวยการวดเกยวกบความจหรอปรมาตรไดอยางเหมาะสม
5. ใชความรเกยวกบปรมาตรและพนทผวแกปญหาในสถานการณตางๆ ได
6. ใชการคาดคะเนเกยวกบปรมาตรและพนทผวในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 ลกษณะสมบตและการหาพนทผวและปรมาตรของปรซม
เรองท 2 การหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอก
เรองท 3 การหาปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลม
เรองท 4 การเปรยบเทยบหนวยปรมาตร
เรองท 5 การแกโจทยปญหาเกยวกบปรมาตรและพนทผว
เรองท 6 การคาดคะเนปรมาตรและพนทผว
106
เรองท 1 ลกษณะสมบตและการหาพนทผวและปรมาตรของปรซม
พนทผวและปรมาตรของปรซม
รปเรขาคณตสามมตทมหนาตด (ฐาน) ทงสองเปนรปหลายเหลยมทเทากนทกประการและ
อยในระนาบทขนานกน มหนาขางเปนรปสเหลยมดานขนาน เรยกวา ปรซม
สวนตางๆ ของปรซมมชอเรยกดงน
เราเรยกชอปรซมชนดตาง ๆ ตามลกษณะของฐานของปรซมดงตวอยาง
ปรซมสเหลยมผนผา ปรซมสามเหลยม ปรซมสเหลยมคางหม
ปรซมหาเหลยม ปรซมหกเหลยม
สตร การหาพนทผวของปรซม = พนทผวขาง + พนทผวหนาตด
ปรมาตรปรซม = พนทฐาน x สง
107
ตวอยาง 1 จงหาพนทผวของปรซมตอไปน กาหนดความยาวทหนวยเปนเซนตเมตร
วธทา
ตวอยาง 2 จงหาปรมาตรของปรซมตอไปน (ความยาวทกาหนดใหมหนวยเปนเมตร)
วธทา
แบบฝกหดท 1
จงหาพนทผวและปรมาตรของปรซมตอไปน
ปรมาตรปรซม = พนทฐาน x สง
= (4 x 5) x 8
= 160 ลกบาศกเมตร
พนทผวดานขาง 4 ดาน = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5)
= 70 ตารางเซนตเมตร
พนทหนาตด = 2 ( 3 x 4)
= 24 ตารางเซนตเมตร
พนทผวของปรซม = 70 + 24
= 94 ตารางเซนตเมตร
108
เรองท 2 การหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอก
ทรงกระบอก คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปวงกลมทเทากนทกประการ และอยในระนาบ
ทขนานกน ซงเมอตดทรงสามมตนดวยระนาบทขนานกบฐานแลวจะไดรอยตดเปนวงกลมทเทากน
ทกประการกบฐานเสมอ
พนทผวของทรงกระบอก
เมอคลผวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปนรปสเหลยมผนผาทมความยาวเทากบเสน
รอบฐานวงกลม และสวนสงเทากบความสงของทรงกระบอก
สตร พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + พนทฐานทงสอง
= 222 rrh ππ +
เมอ r แทน รศมของฐานของทรงกระบอก
h แทน ความสงของทรงกระบอก
109
ปรมาตรทรงกระบอก
จาก ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน x สง
ปรมาตรทรงกระบอก = hr 2π
สตร ปรมาตรทรงกระบอก = hr 2π
ตวอยางท 5 กระปองทรงกระบอกใบหนงมรศม 7 เซนตเมตร และสง 10 เซนตเมตร
ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทงสองจะตองใชกระดาษกตาราง
เซนตเมตร
ข) กระปองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร
วธทา
ข) ปรมาตร = พนทฐาน x สง
= hr 2π
= 1077722
×××
= 1,540 ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนน ก. ตองใชกระดาษ 748 ตารางเซนตเมตร
ข. กระปองมความจ 1,540 ลกบาศกเซนตเมตร
ก) พนทฐานทงหมด = 22 rπ
= 777222 ×××
= 308 ตารางเซนตเมตร
พนทผวขาง = ความยาวรอบฐาน x สง
= hr ×π2
= 1077222 ×××
= 440 ตารางเซนตเมตร
พนทผวกระปอง = 308 + 440
= 748 ตารางเซนตเมตร
110
1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของทรงกระบอกสง 10 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14
เซนตเมตร
แบบฝกหดท 2
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. จงหาปรมาตรของทรงกระบอกใบหนงทมรศมของฐาน 3.5 นว และสง 5 นว
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของถงเกบนารปทรงกระบอกใบหนงทมรศมทฐาน 3 เมตร
สง 4 เมตร 90 เซนตเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
111
เรองท 3 การหาปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลม
3.1 พนทผวและปรมาตรของพระมด
พระมด คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดแหลม ซงไมอยในระนาบเดยวกบ
ฐาน และหนาทกหนาเปนรปสามเหลยม ทมจดยอดรวมกนทยอดแหลม
ลกษณะของพระมดตรง
1. หนาของพระมดตรงเปนรปสามเหลยมหนาจว
2. สนของพระมดตรงจะยาวเทากนทกเสน
3. ความสงเอยงของพระมดตรง ดานเทา มมเทา จะยาวเทากนทกเสน
4. ปรมาตรของพระมด เปนหนงในสามของปรมาตร ปรซมทมฐานเทากบพระมด และม
สวนสงเทากบพระมด
สตร พนทผวขางของพระมด = ×21
ความยาวรอบฐาน x สงเอยง
พนทผวทงหมดของพระมด = พนทผวขาง + พนทฐาน
ปรมาตรของพระมด = ×31
พนทฐาน x สง
112
ตวอยางท 3 พระมดฐานสเหลยมผนผา กวาง 10 เซนตเมตร ยาว 18 เซนตเมตร และความสงของ
พระมดเปน 12 เซนตเมตร จงหาความสงเอยงของพระมดทงสองดาน
1. ความสงเอยงดานกวาง
2. ความสงเอยงดานยาว
ตวอยางท 4 พระมดแหงหนงมฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 6 เมตร สงเอยง 5 เมตร และ
สงตรง 4 เมตร จงหาพนทผวและปรมาตรของพระมด
วธทา
พนทผวขางของพระมด = ×21
ความยาวรอบฐาน x สงเอยง
= ×21
(6x4) x 5
= 60 ตารางเมตร
พนทฐาน = 6 x 6
= 36 ตารางเมตร
ดงนนพนทผวของพระมด = 60 + 36 = 96 ตารางเซนตเมตร
ปรมาตรของพระมด = ×31
พนทฐาน x สง
= ×31
36 x 4
= 48 ลกบาศกเมตร
222 912 +=a
=144 + 81
2252 =a
15=a เซนตเมตร
222 125 +=c
= 25 + 144
= 169
c = 13 เซนตเมตร
113
1. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของพระมดทสง 6 เซนตเมตร ฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาว
ดานละ 16 เซนตเมตร
แบบฝกหดท 3
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. จงหาพนทผวเอยงของพระมดฐานรปหกเหลยมดานเทา มมเทา ยาวดานละ 4 เซนตเมตร สงเอยง
7.5 เซนตเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
114
3.2 พนทผวและปรมาตรของทรงกรวย
กรวย คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกบฐาน
และเสนทตอระหวางจดยอดกบจดใด ๆ บนเสนรอบวงของฐาน เรยกเสนตรงนวา “สงเอยง”
พนทผวของกรวย
การหาพนทผวเอยงของกรวย ทาไดโดยตดกรวยตามแนวสงเอยงแลวคลแผออกจะเกดเปน
รปสามเหลยมฐานโคง
สตร พนทผวของกรวย = 2rrl ππ +
เมอ r เปนรศมของฐานกรวย
l เปนความยาวของสงเอยง
ปรมาตรของกรวย
ความสมพนธของปรมาตรของกรวยกบทรงกระบอก จะเหมอนกบความสมพนธของ
ปรซมกบพระมด ทมสวนสงและพนทฐานเทากน นนคอ
สงตรง สงเอยง
h
115
ปรมาตรของกรวย เปน 31
ของปรมาตรของทรงกระบอก ทมพนทฐานและสวนสงเทากบ
กรวย
สตร ปรมาตรของกรวย = ×31 hr 2π
เมอ r แทน รศมของฐานกรวย
h แทน ความสงของกรวย
ตวอยางท 6 จงหาพนทผวและปรมาตรของกรวย ซงสง 24 เซนตเมตร และเสนผานศนยกลาง 14
เซนตเมตร
วธทา
พนทผวทงหมด = พนทผวขาง + พนทฐาน
= 550 + 154
= 704 ตารางเซนตเมตร
ปรมาตรของกรวย = ×31 hr 2π
= 2477722
31
××××
= 1,232 ลกบาศกเซนตเมตร
พนทผวทงหมด 704 ตารางเซนตเมตร
ปรมาตรของกรวย 1,232 ลกบาศกเซนตเมตร
รศม = 72
14= เซนตเมตร
หาความสงเอยง (l) จาก ABO
222 724 +=l
= 576 + 49 = 625
l = 25 เซนตเมตร
พนทผวขาง = rlπ
= 257722
××
= 550 ตารางเซนตเมตร
พนทฐาน = 2rπ
= 77722
××
= 154 ตารางเซนตเมตร
116
1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสง 24 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14
เซนตเมตร
แบบฝกหดท 4
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสงเอยง 5 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 8
เซนตเมตร (ตอบในรป π)
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. จงหาปรมาตรจรวดทรงกระบอกมปลายเปนกรวย มเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร ความยาว
ทรงกระบอก 30 เซนตเมตร ความสงยอดกรวย 12 เซนตเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
117
3.3 พนทผวและปรมาตรของทรงกลม
ทรงกลม คอ ทรงสามมตทมผวโคงเรยบ และจดทกจดอยบนผวโคงอยหางจากจดคงทจด
หนงเปนระยะเทากน
จดคงท เรยกวา จดศนยกลางของทรงกลม
ระยะทเทากน เรยกวา รศมของทรงกลม
พนทผวของทรงกลม
พนทผวของทรงกลม เปนสเทาของพนทวงกลม ซงมรศมเทากบรศมของทรงกลม
จาก พนทของรปวงกลม = 2rπ
ดงนน พนทผวของทรงกลม = 4 2rπ
สตร พนทผวของทรงกลม = 4 2rπ
ปรมาตรของทรงกลม
ปรมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสมพนธระหวางปรมาตรของครง
วงกลมกบปรมาตรของกรวย
ขอกาหนด
2) กรวยทมรศมเทากบครงทรงกลม r หนวย และสวนสงของกรวย (h) เปน 2 เทา
ของรศม ฐานของกรวย คอ 2 r หนวย
1) ครงของทรงกลมทมรศม r หนวย
118
สตร ปรมาตรของทรงกลม = 3
34 rπ
เมอแทน r รศมของทรงกลม
ตวอยางท 7 จงหาปรมาตรและพนทผวของลกโลกพลาสตก ซงมรศมยาว 7 เซนตเมตร
วธทา
พนทผวของทรงกลม = 616 ตารางเซนตเมตร
ปรมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลกบาศกเซนตเมตร
พนทผวทรงกลม = 4 2rπ
= 777224 ×××
= 616 ตารางเซนตเมตร
ปรมาตรทรงกลม = 3
34 rπ
= 777722
34
××××
= 3312,4
= 1,437.3 ลกบาศกเซนตเมตร
119
1. จงหาปรมาตรและพนทผวของทรงกลมซงมเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร
แบบฝกหดท 5
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. ทรงกลมมปรมาตร 38,808 ลกบาศกเซนตเมตร จงหารศมและพนทผว
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. ทรงกลมมพนทผว 616 ตารางนว จงหาปรมาตรของทรงกลม
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
4. โลหะกลมลกหนง รศมภายนอก 21 เซนตเมตร รศมภายใน 7 เซนตเมตร จงหาปรมาตรเนอโลหะ
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
120
เรองท 4 การเปรยบเทยบหนวยปรมาตร
การตวง คอ การนาสงทตองการหาปรมาตรใสในภาชนะทใชสาหรบตวง หนวยการตวง
ทนยมและใชกนมาก คอ ลตร
เมอเทยบกบหนวยปรมาตร
หนวยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงทนยมใชกนมาก คอ
1 ลตร = 1,000 มลลลตร
1,000 ลตร = 1 กโลลตร
1 ลตร = 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร
10 มลลลตร = 1 ลกบาศกเซนตเมตร
1 ลกบาศกเมตร = 1,000 ลตร
1 ลกบาศกเมตร = 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร
1 ถง = 20 ลตร (ทะนานหลวง)
1 เกวยน = 100 ถง
1 เกวยน = 2 ลกบาศกเมตร
1 เกวยน = 2,000 ลตร
1 แกลลอน = 4.546 ลตร
1 ลกบาศกนว = 16.103235 ลกบาศกเซนตเมตร
1 ลกบาศกนว = 0.0164 ลตร
1 ลกบาศกฟต = 1.728 ลกบาศกนว
1 ลกบาศกฟต = 28.32 ลตร
1 บารเรล = 158.98 ลตร
121
ตวอยางท 1 อางนาทรงสเหลยมมมฉากใบหนง กวาง 30 เซนตเมตร ยาว 50 เซนตเมตร และสง
40 เซนตเมตร 1. อางใบนจนากลตร 2. ถามนาบรรจเตมอาง และนา 1 ลกบาศกเซนตเมตร หนก 1 กรม จงหานาหนกของ
นาในอางใบน
วธทา 1. ปรมาตรของอางนา = ความกวาง × ความยาว × ความสง
ปรมาตรของอางนา = 30 × 50 × 40 แทนคา
= 60,000 ลกบาศกเซนตเมตร
เมอเทยบกบหนวยปรมาตร
1,000 ลกบาศกเซนตเมตร = 1 ลตร
60,000 ลกบาศกเซนตเมตร 000,1000,60
= = 60 ลตร
2. นา 1 ลกบาศกเซนตเมตร หนก 1 กรม
นา 60,000 ลกบาศกเซนตเมตร หนก 60,000 กรม 000,1000,60
= = 60 กโลกรม
ตอบ 60 กโลกรม
4ตวอยางท 2
วธทา ปรมาตร = πr
ถงเกบนาฝนทรงกระบอกเสนผานศนยกลางภายใน 3 เมตร สง 5 เมตร คดเปน
ปรมาตรของนากลตร
2
=
h
55.15.1722
×××
= 35.36 ลกบาศกเมตร
= 35.36 X 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร
= 35,360,000 ลกบาศกเซนตเมตร
เนองจาก 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร = 1 ลตร
ดงนน 35,360,000 ลกบาศกเซนตเมตร = 000,1
000,360,35 = 35,360 ลตร
122
1. สระแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา กนสระกวาง 5 วา ลก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครองสบนา
ออกจากสระไดนาทละ 9,000 ลตร จะตองใชเวลาสบนาเทาไร
แบบฝกหดท 6
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. อางเลยงปลาทรงสเหลยมมมฉากกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.2 เมตร จนา 540 ลตร ตองการป
กระเบองภายในอางดวยแผนกระเบองรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 10 เซนตเมตร ตองใชกระเบอง
อยางนอยทสดเทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. นายาบวนปากขวดหนงปรมาตรสทธ 700 มลลลตร ใชอมปวนปากครงละ 10 มลลลตร วนละ 2
ครง จะใชไดกวน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. ถงนาทรงลกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จนาไดกลตร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5. ถงทรงสเหลยมมมฉากวดภายในกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.50 เซนตเมตร สง 1.20 เมตร บรรจนา
เตมถง ถาตองการตวงนาจากถงใสแกลอนซงมความจ 4.5 ลตร จะไดนาทงหมดกแกลอน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
123
เรองท 5 การแกโจทยปญหาเกยวกบปรมาตรและพนทผว
ตวอยาง ลงกระดาษบรรจกลองซด วดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนตเมตร บรรจ ยาว 14 เซนตเมตร
และสง 15 เซนตเมตร และบรรจกลองซดเตมลงพอด ลงกระดาษนมปรมาตรเทาไร และถาหยบกลอง
ซดออกมา 1 กลอง ซงมปรมาตร 270 ลกบาศกเซนตเมตร กลองซดจะหนาเทาไร
วธทา
= (12 x 14) x 15
ลงกระดาษมปรมาตร = พนทฐาน x สง
= 2, 520 ลกบาศกเซนตเมตร
กลองซด 1 กลอง มปรมาตร = พนทฐาน x หนา
270 = (12 x 15) x หนา
หนา = 1512
270×
กลองใสซดมความหนา = 1.5 เซนตเมตร
ลงกระดาษมปรมาตร 2,520 ลกบาศกเซนตเมตร
ตวอยาง นาขนครงวงกลมรศม 3 นว ตกนาใสถงทรงกระบอกทมรศม 10 นว และสง 27 นว กครง
นาจงจะเตมถง
วธทา21
ปรมาตรนา 1 ขน = ของปรมาตรของทรงกลม
= 3
34
21 rπ×
= 33334
21
××××× π
= 18 π ลกบาศกนว
ปรมาตรถงทรงกระบอก = hr 2π
= π 27102 ××
= 2,700 π ลกบาศกนว
จะตองตกนา = ππ
18700,2
ครง
= 150 ครง
ตอบ 150 ครง
124
1. ถงเกบนามนของปมแหงหนงเปนรปทรงกลม มเสนผานศนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสครง
ทรงกลมบน โดยเสยคาทาสตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยคาทาสกบาท
แบบฝกหดท 7
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. หนออนทรงลกบาศกมขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลงใหเปนรปทรงกลมใหมขนาดเสน
ผานศนยกลางเทากบความยาวของดานลกบาศก จงหาวาจะตองกลงหนออกไปปรมาตรเทาใด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. นาแทงตะกวทรงสเหลยมมมฉากกวาง 8 นว ยาว 11 นว หนา 5 นว ไปหลอมเปนลกปนทรงกลม
ขนาดรศม 1 นว จะหลอมไดกลก
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
125
เรองท 6 การคาดคะเนเกยวกบปรมาตรและพนทผว
การคาดคะเนพนท เปนการประมาณพนทอยางคราวๆ จากการมองโดยอาศยประสบการณ
และความรเกยวกบขนาดและความยาวมาชวยในการเปรยบเทยบและตดสนใจ เพอใหใกลเคยงกบ
พนทจรงมากทสด หนวยพนททนยมใช คอ ตารางเซนตเมตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา
(วา2
การคาดคะเนพนทของรปหลายเหลยม
)
ตวอยาง จงคะเนหาพนทรปหลายเหลยมตอไปน
126
วธคด ในบางครงการหาพนทรปหลายเหลยมตางๆ ทไมไดระบหนวยความยาว เราอาจจะใช
วธการสรางหนวยตาราง 1 หนวย คลมพนทดงกลาว
โดยกาหนด
แทนพนท 1 หนวย
หรอ
แทนพนท 1 ตารางเซนตเมตร
หรอ
แทนพนท 1 ตารางเมตร
หรอ
แทนพนท 1 ตารางวา
จากรปภาพนบรป ได 22 รป ซงแทนพนท 22 ตารางหนวย
ดงนนพนทรปหลายเหลยม = 22 ตารางหนวย
127
บทท 7
คอนดบและกราฟ
สาระสาคญ
คอนดบ เปนการจบคระหวางสมาชกสองตวจากกลม เพอนาไปจดทากราฟบนระนาบพกด
หาปรมาณ ความเกยวของของปรมาณสองชด
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. อานและอธบายความหมายคอนดบได
2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกดฉากทกาหนดใหได
3. เขยนกราฟแสดงความเกยวของของปรมาณสองชดทกาหนดใหได
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 คอนดบ
เรองท 2 กราฟของคอนดบ
เรองท 3 การนาคอนดบและกราฟไปใช
128
เรองท 1 คอนดบ คอนดบ (Ordered pairs) เปนการจบคระหวางสมาชกสองตวจากกลม 2 กลมทม
ความสมพนธภายใตเงอนไขทกาหนด เขยนแทนดวยสญลกษณ (a , b) อานวา คอนดบเอบ
เรยก a วา สมาชกตวหนา หรอสมาชกตวทหนง
และเรยก b วา สมาชกตวหลง หรอสมาชกตวทสอง ดงแผนภาพ
เขยนเปนคอนดบไดดงน (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)
หมายเหต คอนดบ (1,a) ≠ (a,1)
ถากาหนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคอนดบ 2 คใดๆ จะไดวา ( a , b ) = ( x , y ) กตอเมอ
a = x และ b = y
เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12)
ดงนน x = 5 และ y = 12
2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0)
วธทา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0
ดงนน x = 3 และ y = 2
129
แบบฝกหดท 1
1. จงเขยนคอนดบจากแผนภาพทกาหนดให
ตอไปน
1).
……………………………………………
……………………………………………
2).
……………………………………………
……………………………………………
3).
……………………………………………
……………………………………………
2. จงหาคา x และ y จากเงอนไขทกาหนดให
ในแตละขอตอไปน
1). (x,y) = (4,3)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
2). (x,y) = (y,2)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3). (x,0) = (6,y)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4). (x+1,y) = (5,4)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
130
เรองท 2 กราฟของคอนดบ กราฟของคอนดบเปนแผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางสมาชกของกลมหนงกลบ
สมาชกของอกกล มหนงโดยใชเสนจานวนในแนวนอนหรอแนวตง ใหตดกนเปนมมฉาก ท
ตาแหนงของจดทแทนศนย (0) ซงเราเรยกวา จดกาเนด ดงภาพ
เสนจานวนในแนวนอน หรอแกน X และเสนจานวนในแนวตง หรอแกน Y อยบนระนาบ
เดยวกน และแบงระนาบออกเปน 4 สวนเรยกวา จตภาค (Quadrant)
การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกดฉากทกาหนดให
131
ตาแหนงของจด A คอ (1,2)
ตาแหนงของจด B คอ (-2,3)
ตาแหนงของจด C คอ (-3,-2)
ตาแหนงของจด D คอ (2,-4)
เรยกจดทแทนตาแหนงคอนดบวากราฟของคอนดบ และเรยกตาแหนงของคอนดบวา พกด
ตวอยาง กาหนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จด A, B, C, D อยในจตภาคใด
วธทา จด A = (-4,6) อยในจตภาคท 2
จด B = (3,-5) อยในจตภาคท 4
จด C = (2,2) อยในจตภาคท 1
จด D = (-1,-2) อยในจตภาคท 3
132
แบบฝกหดท 2
1. จงหาพกดของจด A, B, C, D ในแตละขอ
1.1
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................. 1.2
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
133
2. จงเขยนกราฟของคอนดบในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)
2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)
134
เรองท 3 การนาคอนดบและกราฟไปใช เราสามารถนาคอนดบและกราฟไปใชในชวตประจาวนได ซงจะกลาวในตวอยางตอไปน 4ตวอยางท 1
4
กราฟทแสดงปรมาณนามน (ลตร) และราคานามน (บาท) ของวนท 5 เดอนมนาคม ป 2552
ซงมราคาลตรละ 19 บาท
วธทา
4ตวอยางท 2
4
จากกราฟในตวอยางท 1 จงตอบคาถามตอไปน
(1) นามน 9 ลตร ราคาเทาใด
(2) เงน 209 บาท ซอนามนไดกลตร
วธทา
ราคานามน (บาท)
ปรมาณนามน (ลตร)
135
(1) จากตาแหนงแสดงปรมาณนามน 9 ลตร ลากเสนตรงใหขนานกบแกนตงไป
ตดกราฟและจากจดทตดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตดแกนทแสดงราคานามน เปนเงน
171 บาท ดงนน นามน 9 ลตร เปนราคา 171 บาท
(2) จากตาแหนงแสดงราคานามน 209 ลตร ลากเสนตรงใหขนานกบแกนนอนไปตดกราฟและ
จากจดทตดกราฟลากเสนตรงขนานแกนตงไปตดทแกนแสดงจานวนนามนเปนปรมาณ 11 ลตร
ดงนน เงน 209 ลตร จะซอนามนได 11 ลตร
กราฟขางลางแสดงการเดนทางของอนวฒนและอนพนธ
แบบฝกหดท 3
จงใชกราฟทกาหนดใหตอบคาถามตอไปน
1.อนวฒนออกเดนทางกอนอนพนธกชวโมง 4.อนวฒนออกเดนทางนานเทาไรจงจะหยดพก
................................................................. .................................................................
2.อนพนธใชเวลาเดนทางกชวโมงจงทนอนวฒน 5.ตาแหนงทอนวฒนหยดพกหางจากตาแหนงท
อนพนธออกเดนทางกกโลเมตร
................................................................. .................................................................
3. อนพนธเดนทางทนอนวฒนเมอทงสอง
เดนทางไดกกโลเมตร
.................................................................
136
บทท 8
ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมตและสามมต
สาระสาคญ
รปเรขาคณตสองมต และสามมต มความสมพนธกนเปนอยางมาก เหมาะทจะนาไปใชใน
การประดษฐเปนรปลกบาศกและใชประโยชนในชวตประจาวน
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. อธบายลกษณะของรปเรขาคณตสามมตจากภาพสองมตทกาหนดใหได
2. ระบภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรปเรขาคณตสาม
มตทกาหนดใหได
3. วาดหรอประดษฐรปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศกเมอกาหนดภาพสองมตทได
จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรอดานบนได
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 ภาพของรปเรขาคณตสองมตทเกดจากการคลรปเรขาคณตสามมต
เรองท 2 ภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรอดานบนของรปเรขาคณตสามมต
เรองท 3 การวาดหรอประดษฐรปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศก
137
เรองท 1 ภาพของรปเรขาคณตสองมตทเกดจาการคลรปเรขาคณตสามมต
รปเรขาคณตมสวนเก ยวของสมพนธกบชวตประจาวนมนษยตงแตอดตจนถงปจจบน
สงแวดลอมตางๆ ทอยรอบตวเราลวนเปนไปดวยวตถรปเรขาคณต นอกจากนเราใชเรขาคณตเพอ
ทาความเขาใจหรออธบายสงตางๆ รอบตว เชน ในการสารวจพนท สรางผงเมอง เปนตน ภาพของรปเรขาคณต รปเรขาคณต เปนรปทประกอบดวย จด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนง
อยาง ตวอยางภาพเรขาคณตสองมต
ตวอยางรปเรขาคณตสามมต
จะเหนวา รปเรขาคณตสามมต หรอทรงสามมต มสวนประกอบของรปเรขาคณตหนงมต
และสองมต
138
รปคลของรปเรขาคณตสามมต รปคลของรปเรขาคณตสามมต หรอทรงสามมตใดๆ เปนรปเรขาคณตสองมตทสามารถ
นามาประกอบกนแลวไดทรงสามมต พจารณาทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสง 1 หนวย เทากน ซงเรา
เรยกทรงสเหลยมมมฉากนวา “ลกบาศก”
139
1. จงบอกชนดของรปเรขาคณตสามมตทมรปคลดงตอไปน แบบฝกหดท 1
1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….
3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….
140
2. จงเขยนรปคลของรปเรขาคณตสามมตในแตละขอตอไปน
141
เรองท 2 ภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรอดานบนของรปเรขาคณต
สามมต โดยทวไปการเขยนรปเรขาคณตสองมต ในการอธบายลกษณะของรปเรขาคณตสามมต
นยมเขยน 3 ภาพ ซงประกอบดวย ภาพทไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบน ดง
ตวอยาง
ตวอยาง จงแรเงาพรอมทงเขยนรปเรขาคณตสองมตสวนทเปนดานบน ดานหนา และดานขางของ
ทรงสามมตทกาหนดใหตอไปน
142
วธทา
143
แบบฝกหดท 2 จงเขยนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรปเรขาคณตสามมตทกาหนดให
144
เรองท 3 การวาดหรอประดษฐรปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศก พจารณารปเรขาคณตสามมตทประกอบขนจากลกบาศกตอไปน
จะเหนวา เมอเขยนรปเรขาคณตสองมต แสดงภาพทไดจากการมองดานหนา ดานขาง และ
ดานบนดงภาพ
จะเหนวาการเขยนรปเรขาคณตสองมต เพอแสดงรปเรขาคณตสามมตทประกอบขนจาก
ลกบาศก เราสามารถเขยนจานวนลกบาศกกากบไวในตารางรปสเหลยมจตรสในดานทมองทงสาม
ดานดงภาพตอไปน
145
ตวอยาง จงเขยนภาพทไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบนของรปสามมตท
กาหนดให พรอมทงเขยนตวเลขแสดงจานวนลกบาศกกากบไวในตาราง
เขยนแสดงภาพทงหมดไดดงน
146
จงจบคภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนกบรปเรขาคณตสามมตท
กาหนดใหทางขวามอ โดยเลอกตวอกษรทกากบไวในรปเรขาคณตสามมต เขยนเตมลงในชองวาง
บนขวาของแตละขอ
แบบฝกหดท 3
147
148
2. จงเขยนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรปเรขาคณตสามมตตอไปน พรอมทงเขยน
จานวนลกบาศกกากบไวในตารางสเหลยมจตรส
149
บทท 9
สถต
สาระสาคญ
1. ขอมลเบองตนของสถต จะชวยใหทราบขอเทจจรงทชดเจนถกตอง ซงจะเปนประโยชน
สาหรบการวางแผนการดาเนนงาน และตดสนใจปรบปรงการดาเนนงานตามผลทไดนาเสนอขอมล
ไว
2. การนาเสนอขอมล มความมงหมายเพอแสดงใหเหนรายละเอยดของขอมลไดงาย ชดเจน
และรวดเรว สามารถนาขอมลไปใชประโยชนไดทนท ฉะนนการเลอกใชวธการนาเสนอขอมลตอง
ใหเหมาะสมกบลกษณะของขอมลและการใชประโยชนเปนสาคญ
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. สามารถจดเกบรวบรวมขอมลทเหมาะสมได
2. สามารถนาเสนอขอมลในรปแบบทเหมาะสมได
3. หาคากลางของขอมลทไมแจกแจงความถ
4. เลอกและใชคากลางของขอมลทกาหนดใหไดอยางเหมาะสม
5. อาน แปลความหมาย และวเคราะหขอมลจากการนาเสนอขอมลทกาหนดใหได
6. อภปรายและใหขอคดเหนเกยวกบขอมลขาวสารทางสถตทสมเหตสมผลได
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 การรวบรวมขอมล
เรองท 2 การนาเสนอขอมล
เรองท 3 การหาคากลางของขอมล
เรองท 4 การเลอกใชคากลางของขอมล
เรองท 5 การใชสถตขอมลและสารสนเทศ
150
เรองท 1 การรวบรวมขอมล
1.1 สถต
คาวา สถต (Statistics) มาจากภาษาเยอรมนวา Statistik มรากศพทมาจาก Stat
สถต หมายถง ขอมลหรอสารสนเทศ หรอตวเลขแสดงจานวนหรอปรมาณของสงตาง ๆ ท
ไดรวบรวมไว
สถต หมายถง วธการทวาดวยการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะห
ขอมลและการตความหมายขอมล สถตในความหมายนเปนทงวทยาศาสตรและศลปศาสตร เรยกวา
"สถตศาสตร”
สรป สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล และการวเคราะห
ขอมล
1.2 การรวบรวมขอมล4
การรวบรวมขอมล หมายถง
(Data Collection)
การนาเอาขอมลตางๆ ทผอนไดเกบไวแลว หรอรายงานไวใน
เอกสารตางๆ มาทาการศกษาวเคราะหตอ
4
4
1.3 ประเภทของขอมล
4
ขอมล หมายถง ขอเทจจรงเกยวกบตวแปรทสารวจโดยใชวธการวดแบบใดแบบหนง
โดยทวไปจาแนกตามลกษณะของขอมลไดเปน 2 ประเภท คอ
4
1) ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative Data) คอ ขอมลทเปนตวเลขหรอนามาใหรหสเปน
ตวเลข ซงสามารถนาไปใชวเคราะหทางสถตได เชน อาย นาหนก สวนสง
2) ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative Data) คอ ขอมลทไมใชตวเลข ไมไดมการใหรหส
ตวเลขทจะนาไปวเคราะหทางสถต แตเปนขอความหรอขอสนเทศ เชน เพศ ระดบการศกษา อาชพ
4
4
1.4 แหลงทมาของขอมล
แหลงขอมลทสาคญ ไดแก บคคล เชน ผใหสมภาษณ ผกรอกแบบสอบถาม บคคลทถก
สงเกต เอกสารทกประเภท และขอมลสถตจากหนวยงาน รวมไปถง ภาพถาย แผนท แผนภม หรอ
แมแตวตถ สงของ กถอเปนแหลงขอมลไดทงสน โดยทวไปสามารถจดประเภทขอมลตาม
แหลงทมาได 2 ประเภท คอ
151
4
4
1) ขอมลปฐมภม (Primary Data) คอ ขอมลทผวจยเกบขนมาใหมเพอ
ตอบสนองวตถประสงคการวจยในเรองนนๆ โดยเฉพาะการเลอกใชขอมลแบบปฐมภม ผวจยจะ
สามารถเลอกเกบขอมลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกบวตถประสงค ตลอดจนเทคนค
การวเคราะห แตมขอเสยตรงทสนเปลองเวลา คาใชจาย และอาจมคณภาพไมดพอ หากเกดความ
ผดพลาดในการเกบขอมลภาคสนาม
2) ขอมลทตยภม (Secondary Data) คอ ขอมลตางๆ ทมผเกบหรอรวบรวมไว
กอนแลว เพยงแตนกวจยนาขอมลเหลานนมาศกษาใหม เชน ขอมลสามะโนประชากร สถตจาก
หนวยงาน และเอกสารทกประเภท ชวยใหผวจยประหยดคาใชจาย ไมตองเสยเวลากบการเกบขอมล
ใหม และสามารถศกษายอนหลงได ทาใหทราบถงการเปลยนแปลงและแนวโนมการเปลยนแปลง
ของปรากฏการณทศกษา แตจะมขอจากดในเรองความครบถวนสมบรณ เนองจากบางครงขอมลท
มอยแลวไมตรงตามวตถประสงคของเรองทผวจยศกษา และปญหาเรองความนาเชอถอของขอมล
กอนจะนาไปใชจงตองมการปรบปรงแกไขขอมล และเกบขอมลเพมเตมจากแหลงอนในบางสวนท
ไมสมบรณ
4
4
1.4 วธการเกบรวบรวมขอมล อาจแบงเปนวธการใหญๆ ได 3 วธ คอ
4
1) การสงเกตการณ (Observation) ทงการสงเกตการณแบบมสวนรวม และการ
สงเกตการณแบบไมมสวนรวม หรออาจจะแบงเปนการสงเกตการณแบบมโครงสราง และการ
สงเกตการณแบบไมมโครงสราง
4
2) การสมภาษณ (Interview) นยมมากในทางสงคมศาสตร โดยเฉพาะการ
สมภาษณโดยใชแบบสอบถาม การสมภาษณแบบเจาะลก หรออาจจะจาแนกเปนการสมภาษณเปน
รายบคคล และการสมภาษณเปนกลม เชน เทคนคการสนทนากลม ซงนยมใชกนมาก
3) การรวบรวมขอมลจากเอกสาร เชน หนงสอ รายงานวจย วทยานพนธ บทความ
สงพมพตางๆ เปนตน
4
1. การสมภาษณบคคลทเกยวของ
2. การบนทกขอมลจากจากบนทกหรอเอกสารของหนวยงานตางๆ
3. การอานและศกษาคนควา
4. การคนหาขอมลจากอนเทอรเนต
5. การเขารวมในเหตการณตางๆ
6. การฟงวทยและดโทรทศน
1.5 ขนตอนการเกบรวบรวมขอมล
152
4แบบฝกหดท 1
4
1. ใหผเรยนพจารณาขอความตอไปนแลวเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบความคดเหนของ
ผเรยน
4ขอท 4
ขอความ ขอมลสถต
4 4เปน ไมเปน
4 41 แดงสง 163 เซนตเมตร
4 42 นางสาวภาวมสวนสดเปน 35-24-36
4 43 นาหนกของนกเรยนทกคนทเรยนชดการเรยนทางไกล
4 44 อณหภมทจงหวดปทมธานวนนวดได 25 องศาเซลเซยส
4 45 สมศรไดคะแนน 15 คะแนน
4
4
6
106
ในการโยนเหรยญ 10 ครง เกดหว 6 ครง เกดกอย 4 ครง ได
อตราสวนทจะเกดหว
4 47 อาจารยศภราเงนเดอน 23,000 บาท
4 48 ความสงเฉลยของประชาชนทเปนชาย 162 เซนตเมตร
4 49 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญง 2 คน ทอยในบานวชย
4
4
10 จานวนคดอาชญากรรมในป 2551 ซงรวบรวมมาจากบนทกคด
อาชญากรรมแตละวนในแตละสถานตารวจ
4
4
2. ใหผเรยนพจารณาขอมลในแตละขอตอไปน แลวเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบความ
คดเหน
4ขอท
4
ขอความ
ขอมลสถต
4 4ขอมล
คณภาพ
ขอมล
ปรมาณ
4 41 สถตคนไขแยกตามเชอโรคของโรงพยาบาลแหงหนง
4
4
2 จานวนครงของการโทรศพททางไกลจากแตละเครองใน
สานกงาน 10 เครอง ในวนหนง
4
4
3 ผจดการถกสมภาษณถงจานวนเปอรเซนตของเวลาทางานทใชใน
การประชม
4
4
4 เครองสาอางโดยเฉพาะสของสทาปาก ซงแตละบรษทใน 10
บรษท ไดระบวามยอดขายมากทสด
153
4
4
3. ใหผเรยนพจารณาขอความตอไปน แลวเตมคาตอบลงในชองวางตามความคดเหนของผเรยนวา
เปนขอมลปฐมภม หรอทตยภม
1) รายงานประจาปของหนวยงานตางๆ
………………………………………………………………………………………………………
4 2) สานกงานสถตแหงชาต ตองการเกบสถตผลผลตขาวทวประเทศ โดยการไปสมภาษณ
ชาวนา
………………………………………………………………………………………………………
4 3) ศรนภาไปขอขอมลเกยวกบจานวนคนเกด ตาย และยาย ซงสานกงานเทศบาลแหงหนง
ไดรวบรวมไว
………………………………………………………………………………………………………
4 4) บรรณารกษหองสมดโรงเรยนแหงหนง ไดสงเกตและบนทกการใชหองสมดของ
นกเรยนแตละวน
………………………………………………………………………………………………………
5) ครคนหนงตองการทราบวาหองสมดของโรงเรยนมนกเรยนใชมากหรอนอยเพยงใดใน
แตละวน จงไปขอลอกขอมลจากบรรณารกษ
………………………………………………………………………………………………………
154
4
4
เรองท 2 การนาเสนอขอมล
การนาเสนอขอมลเปนการนาขอมลทเกบรวบรวมมาจากแหลงตาง ๆ ซงยงไมเปนระบบ
มาจดเปนหมวดหมใหมความสมพนธเกยวของกนตามวตถประสงค เพอสะดวกแกการอาน ทา
ความเขาใจ การวเคราะห และแปลความหมาย เพอประยกตใชในชวตประจาวนตอไป
4
การนาเสนอขอมลแบงออกเปน 2 ประเภท ไดแก
1. การนาเสนอขอมลอยางไมมแบบแผน 4
4
(informal presentation) หมายถง การนาเสนอ
ขอมลทไมมกฎเกณฑ หรอแบบแผนทแนนอนตายตว เปนการอธบายลกษณะของขอมลตามเนอหา
ขอมล ทนยมใชมสองวธคอ การนาเสนอขอมลในรปบทความหรอขอความเรยง และการนาเสนอ
ขอมลในรปบทความกงตาราง
- การนาเสนอขอมลในรปขอความ นยมใชกบขอมลทมจานวนไมมากนก เชน 4 ใน
ปงบประมาณ 2552 กศน.บานแพว ไดอนมตใหนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนตนจบการศกษา
จานวน 480 คน คดเปนรอยละ 92 อนมตใหนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลายจบการศกษา
จานวน 372 คน คดเปนรอยละ 95
- การนาเสนอขอมลในรปขอความกงตาราง (Semi – tabular arrangement) คอ การนาเสนอ
ขอมล โดยแยกตวเลขออกจากขอความ เพอตองการใหเหนตวเลขทชดเจนและเปรยบเทยบความ
แตกตางไดสะดวกยงขน ตวอยาง เชน บรษทคอมพวเตอรแหงหนงมจานวนยอดขายประจาเดอน
มกราคม 2553 ของลกคา จาแนกตามภาคตาง ๆ ดงน
ภาค จานวนยอดขาย ( พนเครอง )
เหนอ 210
กลาง 398
ตะวนออก 135
ตะวนออกเฉยงเหนอ 102
ใต 170
4
2. การนาเสนอขอมลอยางมแบบแผน เปนการนาเสนอขอมลทมกฎเกณฑ โดยแตละแบบ
จะตองประกอบดวยชอเรอง สวนของการนาเสนอ และแหลงทมาของขอมล การนาเสนอขอมล
อยางมแบบแผน ประกอบดวย การนาเสนอขอมลในรปตาราง แผนภมรปภาพ แผนภมวงกลม
(แผนภมกง) แผนภมแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถ
4
2.1 การนาเสนอขอมลในรปตาราง
การนาเสนอในรปตาราง (Tabular presentation) ขอมลตางๆ ทเกบรวบรวมมาไดเมอทา
การประมวลผลแลวจะอย ในรปตาราง เปนการนาเสนอขอมลท งาย และนยมใชกนอยาง
แพรหลาย เพราะมความสะดวกและงายแกการนาไปวเคราะหและแปลความหมายทางสถต
155
เปรยบเทยบการปรบราคานามนป 2521-2523
(ราคา : บาท / ลตร)
ชนดนามน 2521 2522 2523
10 ม.ค. 31 ม.ค. 22 ม.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 ม.ค.
เบนซนพเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 -
เบนซนธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 -
นามนกาด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70
ดเซลหมนเรว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50
ดเซลหมนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27
นามนเตา 450 1.52 - - - - - -
นามนเตา 600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 -
นามนเตา 1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 -
นามนเตา 1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 -
ทมา: ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย
4
4
2.2 การนาเสนอขอมลดวยแผนภมรปภาพ
แผนภมรปภาพ4
ปลกตนไม
คอ แผนภมทใชรปภาพแทนจานวนของขอมลทนาเสนอ เชน แผนภม
รปภาพคน รปภาพคน 1 คน แสดงประชากรทนาเสนอ 1 ลานคน เปนตน
การเขยนแผนภมรปภาพ อาจกาหนดใหรปภาพ 1 รปแทนจานวนสงของ 1 หนวย หรอ
หลายหนวยกไดรปภาพแตละรปตองมขนาดเทากนเสมอ
แผนภมแสดงงานอดเรกของนกเรยนชน ป. 6 ของโรงเรยนแหงหนง (สารวจเมอวนท 19 มกราคม
2548)
อานหนงสอ
วาดรป
เลยงสตว
เลนกฬา
หมายเหต 1 ภาพ แทนจานวนนกเรยน 15 คน
156
2.3 การนาเสนอดวยแผนภมแทง (Bar chart)
ประกอบดวยรปแทงสเหลยมผนผาซงแตละ
แทงมความหนาเทาๆ กน โดยจะวางตามแนวตงหรอแนวนอนของแกนพกดฉากกได
แผนภมแทงแบบทางเดยว เปนการนาขอมลเพยงขอมลเดยวมานาเสนอในรปแบบของ
แทงสเหลยม
ตวอยาง แผนภมแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ
แผนภมแทงแสดงการเปรยบเทยบ เปนการนาขอมลตงแต 2 ชดขนไปทเปนเรองเดยวกน
นามาเขยนบนแกนคเดยวกน แลวระบายสแทงสเหลยมใหตางกนเพองายตอการด แลวอธบายวาส
ใดแทนอะไร
ตวอยาง แผนภมแสดงการเปรยบเทยบยอดการขายแตละเดอนของบรษทหนง
ปรมาณ (ตน)
ประเทศ
จานวน (ลานบาท)
157
2.4 การนาเสนอดวยกราฟเสน (Line graph)
เปนแบบทรจกกนดและใชกนมากทสดแบบ
หนง เหมาะสาหรบขอมลทอยในรปของอนกรมเวลา เชน ราคาขาวเปลอกในเดอนตางๆ ปรมาณ
สนคาสงออกรายป เปนตน
จากตาราง นาเสนอขอมลดวนกราฟเสน ดงน
2.5 การนาเสนอดวยรปแผนภมวงกลม (Pie chart)
4
เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆ
ตามจานวนชนดของขอมลทจะนาเสนอ
ตวอยาง แผนภมวงกลมแสดงการใชทดนทถอครอบ เพอการเกษตร พ.ศ. 2518
158
ขอมลทเกบรวบรวมมาไดนน ถามจานวนมากหรอซากนอยมาก เมอมาเรยงกนหรอจดให
อยเปนหมวดหมแลว จะชวยใหเราบอกรายละเอยดตางๆ หรอสรปผลเกยวกบขอมลไดสะดวกและ
รวดเรวขน
2.6 การนาเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ
เชน
ในการชงนาหนกของนกเรยน 40 คน หนวยเปนกโลกรม ปรากฏผลดงน
57 44 46 41 48 50 51 42 43 45
45 43 42 40 50 41 47 60 50 52
46 42 42 53 46 55 45 41 50 42
44 41 40 45 59 44 49 50 39 42
4
4
ในทางสถตเรยกวา ขอมลดบ หรอคะแนนดบ หรอคาจากสงเกต เมอนามาจดเรยงใหมให
เปนระบบโดยอาจเรยงจากมากไปหานอยหรอจากนอยไปหามาก แลวบนทกรอยขด แสดงจานวน
ครงของขอมลทเกดขนซากนในตาราง จานวนรอยขดทนบไดเรยกวา ความถของแตละขอมล
ตารางทนาเสนอขอมลในรปแบบนเรยกวา ตารางแจกแจงความถ และวธการจาแนกขอมล
โดยการบนทกรอยขดเพอหาคาความถเรยกวา การแจกแจงความถ
การสรางตารางแจกแจงความถ
ในกรณทขอมลทเกบรวบรวมมามจานวนมากๆ และไมคอยซากน ถาจะเรยงลาดบจะเปน
การเสยเวลาและสนเปลองมาก จงกาหนดขอมลเปนชวงๆ และหาความถของชวงขอมลนนๆ
วธการสรางตารางแจกแจงความถ โดยจดเปนอนตรภาคชนใหทกๆ ชนมความกวาง
เทากน มวธการดงน
1. หาพสยของขอมล
พสย = ขอมลทมคาสงสด – ขอมลทมคาตาสด
159
2. กาหนดจานวนชนหรอกาหนดความกวางของอนตรภาคชนขนมา
- ถากาหนดจานวนชนกใหหาความกวางของอนตรภาคชน
ความกวางของอนตรภาคชน = พสย
จานวนอนตรภาคชน
(เศษเทาไรปดขนเสมอ)
- ถากาหนดความกวางของอนตรภาคชนกหาจานวนชนไดจาก
จานวนอนตรภาคชน = พสย
ความกวางของอนตรภาคชน
(เศษเทาไรปดขนเสมอ)
3. เขยนอนตรภาคชนโดยเรยงคาจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย ถาเรยงคาจากนอยไปมาก
ตองใหขอมลทมคาตาสดในอนตรภาคชนแรก และขอมลทมคาสงสดอยในอนตรภาคชนสดทาย
4. นาขอมลดบมาใสในตารางโดยใชรอยขด
5. รวมความถตามรอยขด
ตวอยาง จากขอมล
72 74 49 50 62 43 44 54 46 54
45 53 63 67 65 57 65 50 66 69
80 77 60 55 52 56 61 61 82 74
48 66 71 81 51 59 48 68 70 63
จงหา
1. พสย
2. จงสรางตารางแจกแจงความถ ใหมทงหมด 6 ชน
3. จงสรางตารางแจกแจงความถ ใหมความกวางของอนตรภาคชนทกชนเปน 8 ทกชน
160
วธทา
1. ขอมลทมคาสงสดเปน 82
ขอมลทมคาตาสดเปน 43
ดงนนพสย = 82 – 43= 39
ตอบ พสยเปน 39
2. โจทยกาหนดใหสรางตารางแจกแจงความถทงหมด 6 ชน
จานวนอนตรภาคชน = พสย
ความกวางของอนตรภาคชน
จานวนชน = 6
39
= 6.5
≈ 7
ดงนนความกวางของอนตรภาคชนเปน 7
เขยนอนตรภาคชนโดยเรยงคาจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย ถาเอาขอมลทมคาตาสดเปนตว
เรมตน และใหมความกวางของอนตรภาคชนเปน 7 จดไดดงน
อนตรภาคชน รอยขด ความถ
43-49 //// // 7
50-56 //// //// 9
57-63 //// /// 8
64-70 //// /// 8
71-77 //// 5
78-84 /// 3
รวม 40
จากตารางแจกแจงความถขางตน มคาตางๆ ทผเรยนควรทราบอก คอ
4
4
1. ขอบลาง
= 4
คาทนอยทสดของอนตรภาคชนนน + คาทมากทสดของอนตรภาคชนทตากวาหนง
ชน
2
4หรอ ขอบลาง = คาทนอยทสดของอนตรภาคชนทเราตองการ - 0.5
161
4เชน ขอบลางของอตรภาคชน 4
50-56 ไดแก 49.5
4
4
2. ขอบบน = 4
คาทมากทสดของอนตรภาคชนนน + คาทนอยทสดของอนตรภาคชนทสงกวาหนงชน
2
4
4
หรอ ขอบบน = คาทมากทสดของอนตรภาคชนทเราตองการ + 0.5
เชน ขอบบนของอนตรภาคชน 4 5.562
5756=
−50 - 56 = หรอ ขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5
4
4
3. จดกงกลางชน = 4
ขอบลาง + ขอบบน (ของอนตรภาคชน)
2
4
4
เชน อนตรภาคชน 50 – 56 มขอบบน และขอบลาง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลาดบ
532
5.565.49=
+ ดงนน จดกงกลางชน =
162
4
แบบฝกหดท 2
1. แผนภมรปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสนคาแหงหนงโดยเฉลยตอวน จาแนกตามแผนกตางๆ
จากแผนภมจงตอบคาถามตอไปน
1) รายไดจากแผนกเสอผาบรษ และแผนกเสอผาสตรรวมกนมากกวาหรอนอยกวารายไดจากแผนก
เครองเขยน แบบเรยนอยกเปอรเซนต
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2) รายไดจากแผนกใดนอยทสด และคดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกทรายไดมากทสด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3) รายไดจากแผนกเสอผาสตรคดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกเครองเขยน แบบเรยน
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
4) แผนกใดทมรายไดมากเปนอนดบสอง และรายไดนนคดเปนรอยละเทาไรของรายไดทงหมด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
163
2. จากการสอบถามงบประมาณทแตละกลมสาระการเรยนรไดมาจากการจดสรรงบประมาณของ
ทางโรงเรยน เปนดงน
กลมสาระการเรยนร งบประมาณ
(บาท)
จานวนเปอรเซนต ขนาดของมมทจดศนยกลาง
ของรปวงกลม (องศา)
คณตศาสตร 35,000 29.1010034000035000
=× 06.3736034000035000
=×
วทยาศาสตร 100,000
ภาษาตางประเทศ 48,000
ภาษาไทย 34,500
ศลปะ 18,500
การงานอาชพและเทคโนโลย 40,500
สขศกษาและพลศกษา 29,500
สงคมศกษา ศาสนา และ
วฒนธรรม
34,000
รวม 340,000
3. จงเขยนแผนภมรปวงกลมโดยใชจานวนเปอรเซนตและขนาดของมมทจดศนยกลางของรป
วงกลมทคานวณไดจากตารางขางตน
164
4. ใหผเรยนพจารณากราฟเสนตอไปน
4
4
จากกราฟเสน จงตอบคาถามตอไปน
4
1) ใน พ.ศ. ใดบางทปรมาณไมสกทผลตไดมมากกวาไมประด
4
.............................................................................................................................................................
4
2) ในพ.ศ. ใดทปรมาณของไมสกและไมประดทผลตไดตางกนมากทสด และตางกนประมาณก
ลกบาศกเมตร
4
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
165
4
4
3) ในชวง พ.ศ. 2531 – 2533 ปรมาณไมสกและไมประดทผลตไดมลกษณะการเปลยนแปลงเปน
อยางไร และชนดใดมการเปลยนแปลงมากกวา
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
4) ใน พ.ศ. 2532 ปรมาณไมสกทผลตไดคดเปนกเปอรเซนตของปรมาณไมประดทผลตไดในป
เดยวกน (ตอบเปนคาประมาณของจานวนเตมหนวย)
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
5) ปรมาณไมประดในปทผลตไดมากทสดและในปทผลตไดนอยทสดแตกตางกนประมาณก
ลกบาศกเมตร
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
166
4. ตารางแสดงรายจบ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดอนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดงน
4
จากตารางจงนาเสนอขอมลดวยกราฟเสน
167
4
การหาคากลางของขอมลทเปนตวแทนของขอมลทงหมดเพอความสะดวกในการสรป
เรองราวเกยวกบขอมลนนๆ จะชวยทาใหเกดการวเคราะหขอมลถกตองดขน การหาคากลางของ
ขอมลมวธหาหลายวธ แตละวธมขอดและขอเสย และมความเหมาะสมในการนาไปใชไมเหมอนกน
ขนอยกบลกษณะขอมลและวตถประสงคของผใชขอมลนนๆ
คากลางของขอมลทสาคญ ม 3 ชนด คอ
1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean) คอ คาทไดจากผลรวมของขอมลทงหมด หารดวยจานวน
ขอมลทงหมด ใชสญลกษณ คอ
เรองท 3 การหาคากลางของขอมล
x
Nxxxxx n...321 +++
=
X แทน ขอมล
N แทน จานวนขอมล
ตวอยาง จากการสอบถามอายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 14 , 16 , 20 , 25 , 30
วธทา คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน คอ 5
3025201614 ++++
= 5
105
= 21
ตวอยาง จากขอมล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8
วธทา คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน คอ 8
86585484 +++++++
= 848
= 6
168
2. มธยฐาน (Median)
คอ คาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอไดเรยงขอมลตามลาดบ ไมวาจากนอย
ไปมาก หรอจากมากไปนอย ใชสญลกษณ Med
หลกการคด
21+N
1) เรยงขอมลทมอยทงหมดจากนอยไปมาก หรอมากไปนอยกได
2) ตาแหนงมธยฐาน คอ ตาแหนงกงกลางขอมล ดงนนตาแหนงของมธยฐาน =
เมอ N คอ จานวนขอมลทงหมด
ตวอยาง จงหามธยฐานจากขอมลตอไปน 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23
วธทา 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก หรอมากไปหานอย
จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40
2. หาตาแหนงของขอมล จาก 2
1+N
จะได 62
111=
+
ดงนน มธยฐานอยตาแหนงท 6 มคาเปน 15
ถาขอมลชดนนเปนจานวนค จะใชคาเฉลยเลขคณตของขอมลคทอยตรงกลางเปนมธยฐาน
ตวอยาง จงหามธยฐานจากขอมลตอไปน 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17
วธทา 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก หรอมากไปหานอย
จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50
2. หาตาแหนงของขอมล จาก 2
1+N
จะได 5.72
114=
+
มธยฐานอยระหวางตาแหนงท 7 และ 8
ดงนน มธยฐาน คอ 182
1917=
+
169
3. ฐานนยม (Mode)
ฐานนยมของขอมลชดหนง คอ ขอมลทมความถสงสดในขอมลชดนน หรออาจกลาววา
ขอมลใดการซากนมากทสด(ความถสงสด) ขอมลนนเปนฐานนยมของขอมลชดนน และ ฐาน
อาจจะไมม หรอ มมากกวา 1 คากได
ตวอยาง จากขอมล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนยม
วธทา จากขอมลจะเหนวา
ม 2 อยหนงตว
ม 3 อยสองตว
ม 4 อยสามตว
ม 5 อยหนงตว
ม 6 อยสามตว
ม 7 อยหนงตว
ม 8 อยหนงตว
ขอมลทมความถสงสดในทนม 2 ตวคอ 4 และ 6 ซงตางกมความถเปน 3
ดงนน ฐานนยมของขอมลชดน คอ 4 และ 6
170
1. จากขอมล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน
แบบฝกหดท 3
คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….\
มธยฐาน = ………………………………………………….
ฐานนยม = ………………………………………………….
เรยงขอมลจากมากไปหานอยหรอนอยไปหามาก
คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….
มธยฐาน คอ = ………………………………………………….
ฐานนยม คอ = ………………………………………………….
2. จากขอมล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน
คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….\
มธยฐาน = ………………………………………………….
ฐานนยม = ………………………………………………….
เรยงขอมลจากมากไปหานอยหรอนอยไปหามาก
คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….
มธยฐาน คอ = ………………………………………………….
ฐานนยม คอ = ………………………………………………….
3. จากขอมล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน
คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….\
มธยฐาน = ………………………………………………….
ฐานนยม = ………………………………………………….
เรยงขอมลจากมากไปหานอยหรอนอยไปหามาก
คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….
มธยฐาน คอ = ………………………………………………….
ฐานนยม คอ = ………………………………………………….
171
เรองท 4 การเลอกใชคากลางของขอมล
ในการทจะเลอกใชคากลางคาใดนน ขนอยกบจดประสงคของผใช ซงคากลางทงสามม
สมบตทแตกตางกนดงน
คาเฉลยเลขคณต
ขอเสย
1. ถาขอมลมบางคาตาเกนไปหรอสงเกนไป จะมผลตอคาเฉลยเลขคณต จงไมเหมาะสมท
จะใช เชน รายไดของพนกงาน 5 คน เปนดงน 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท
80,000 บาท
2. ถาขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปด เชน นอยกวาหรอเทากบ มากกวาหรอเทากบ จะ
คานวณหาคาเฉลยเลขคณตไมได
3. ใชไดกบขอมลเชงปรมาณเทานน
ขอด
1. มประโยชนในการใชขอมลจากตวอยางอางองไปสประชากร
2. สามารถคานวณไดงายโดยใชคาทไดมาทกจานวน
3. มการนาไปใชในสถตชนสงมากกวาคาเฉลยแบบอน ๆ
4. สามารถเปรยบเทยบกบขอมลชดอนไดงาย
ฐานนยม
ขอเสย
1. บางครงหาฐานนยมไมได
2. การคานวณฐานนยมไมไดใชคาของขอมลทกตว จงไมเปนตวแทนทดนก
3. คาฐานนยมไมคอยนยมใชในสถตชนสง
ขอด
1. เขาใจงายและคานวณงาย
2. สามารถคานวณจากกราฟได
3. เปนคากลางทใชไดกบขอมลเชงคณภาพ
4. เมอมขอมลบางตวเลกหรอใหญผดปกตจะไมกระทบฐานนยม
5. ใชไดดเมอจดประสงคมงทจะศกษาสงทเกดขนบอย หรอลกษณะทคนชอบมากหรอม
คะแนนสวนใหญรวมกนอย ณ คาใดคาหนง
172
6. กรณทขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปดสามารถหาฐานนยมได
มธยฐาน
ขอเสย
1. ใชไดกบขอมลเชงปรมาณเทานน
2. สาหรบขอมลทแจกแจงความถหรอขอมลทจดกลมมธยฐานทคานวณไดจะไมใชคา
ขอมลจรง
ขอด
1. คานวณไดงายสาหรบขอมลไมจดกลม
2. ขอมลบางคามคาสงหรอตาเกนไป ไมกระทบกระเทอนตอมธยฐาน จงเหมาะทจะใชมธย
ฐานมากทสด
3. กรณทขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปดกสามารถหามธยฐานได
1. จากตารางใหนกเรยนหาความถสะสม โดยเตมลงในชองความถสะสม
แบบฝกหดท 4
2. จากตารางในขอ 1
ฐานนยม คอ ........................................................................................
173
มธยฐาน คอ .......................................................................................
หาคาเฉลยเลขคณต ใหนกเรยนเตมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบรณ
คาเฉลยเลขคณต = ……………………………………………..
= ……………………………………………..
ดงนนคาเฉลยเลขคณต คอ .......................................................
3. ตอไปนเปนตารางแจกแจงความถของนาหนก (หนวยเปนกโลกรม) ของนกเรยน 60 คน
174
175
2) ฐานนยมของนาหนกอยในชวงใด
4
3) โดยสวนใหญนกเรยนหนกอยในชวงใด
.............................................................................................................................................................
4
4) ถาเรยงนาหนกนอยทสดไปยงนาหนกมากทสด จงหาตาแหนงของมธยฐาน
.............................................................................................................................................................
4
5) นกเรยนคดวามธยฐานของนาหนกอยในชวงใด
.............................................................................................................................................................
4
.............................................................................................................................................................
6) หาคาเฉลยเลขคณต ใหนกเรยนเตมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบรณ
คาเฉลยเลขคณต = ……………………………………………..
= ……………………………………………..
ดงนนคาเฉลยเลขคณต คอ .......................................................
176
เรองท 5 การใชสถต ขอมลสารสนเทศ
5.1 สถตในชวตประจาวน
ในชวตประจาวนของคนเรานน สถตมสวนเกยวของอยเสมอ เชน
ในเรองเกยวกบตวนกเรยน อาจจะมการหาความสงโดยเฉลย หรอหานาหนกโดยเฉลย
หรอหาคะแนนเฉลย หรอหาสวนสดโดยเฉลยของนกเรยนทงหองเรยน เปนตน
ในเรองเกยวกบคร-อาจารย กมสถตเกยวกบจานวนคร-อาจารย ระดบผลการเรยนของ
นกเรยน จานวนนกเรยนทตด 0, ร. มส. จานวนนกเรยนทสอบเขามหาวทยาลยไดในแตละรน แต
ละปและสถตการทางานในสถานทตางๆ ของนกเรยนทจบการศกษาในแตละรน เปนตน
ในเรองของขาวสาร สารสนเทศ จะเหนวาในหนงสอพมพ หรอในโทรทศนจะมตวเลข
แสดงใหเหนขอเทจจรงตางๆ เชน สถตเกยวกบการเปลยนแปลงราคาหน อาจจะนาเสนอในรปแบบ
ตางๆ เชน นาเสนอในรปตาราง นาเสนอในรปแผนภมแทง นาเสนอในรปแผนภมวงกลม หรอ
นาเสนอในรปกราฟเสน เปนตน
ในเรองของแรงงาน กมสถตเกยวกบจานวนคนในกาลงแรงงาน เปอรเซนตของคนวางงาน
รายไดและสวสดการทคนงานไดรบ เปนตน
ในเรองเกยวกบการกสกรรม จะเหนวาเกษตรกรตองมการพฒนาอยเรอยๆ เชน การศกษา
ผลผลตขาวพนธใหมเทยบกบพนธเดม หรอการทดลองปลกออยในทดนลกษณะตางๆ การปลกมน
สาปะหลงแบบใดจงจะเหมาะกบสภาพดนของตนเอง หรอการปลกหมอนเลยงไหมพนธไหนดกวา
กน จงจะไดใบหมอนทมคณภาพทงยงเปนการประหยดเวลาและแรงงาน ซงสถตมสวนในการวาง
แผนการ ทดลองและการวเคราะหขอมล
ในเรองของการประกนชวต บรษทประกนกตองมสถตของพนกงานหรอตวแทน หรอ
177
ผจดการแตละฝาย หรอตาแหนงทสงกวา หรอสถตยอดขายในแตละเดอน หรอการปรบอตราการ
ชาระเบยประกนทมการปรบปรงเปลยนแปลง อาจจะแยกตามเพศ ตามอาย ตามวงเงน การกาหนด
อตราเบยประกน จะตองอาศยขอมลทผานมา สถตมสวนในการคานวณเบยประกนตามวธของการ
ประกนภย พรอมทงมการเสนอในรปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน
ในเรองเกยวกบธรกจการคา บรษทหางรานหรอสรรพสนคาตางๆ กมสถตเกยวกบยอดขาย
สนคาในแผนกตางๆ สถตแสดงปรมาณสนคาทขายประเภทตางๆ สถตยอดขายของพนกงานแตละ
คน นอกจากนสถตยงไปเกยวของกบการรบประกนอายใชงานของสนคา สถตชวยในการกาหนด
วธเกบรวบรวมขอมลและการวเคราะหขอมล นอกจากนสถตกยงมสวนเกยวของกบการควบคม
คณภาพสนคาทผลตดวย
ในวงการแพทยกมสถตเกยวกบจานวนแพทย พยาบาล จานวนผปวย จาแนกโรคตางๆ
สถตการผลตและจานวนยาประเภทตางๆ จานวนคนตายจาแนกตามสาเหตของการตาย จานวนผ
บรจาคเลอดในแตละป เปนตน นอกจากนสถตยงไมเกยวของในการออกแบบ และการวางแผนการ
ทดลอง การเกบรวบรวมขอมล การวเคราะหขอมลเพอหาขอสรป เกยวกบการทดสอบประสทธผล
ของยารกษาโรคชนดตางๆ อกดวย
ในเรองของการบรหารงานขององคกรตางๆ อาท องคกรของรฐ เชน ระดบอาเภอกมสถต
เกยวกบประชากร ในแตละหมบาน ในแตละตาบล สถตเกยวกบอาชพตาง ๆ ผลผลตแตละป
การศกษาของคนในแตละชมชนเปนอยางไร จะจดสรรงบประมาณไปใหแตละแหงมากนอย
เพยงใด สถตมสวนเกยวของมาก
นอกจากทกลาวมาแลวขางตน สถตยงไปเกยวของกบชวตประจาวนอกหลายอยาง เชน การ
สารวจความคดเหนหรอโพล การรวมแสดงความคดเหนโดยการสง sms ซงคดออกมาในรปรอยละ
เหนดวยไมเหนดวย นาเสนอผานหนาจอโทรทศนเปนประจา สถตเกยวกบนาทวม ไรนาเสยหายไป
กไร จะมมาตรการอยางไรทจะแกไข ในปตอไปซงตองมการเกบรวบรวมขอมลจากปทผานๆ มา
หรอสถตคนใชบรการรถโดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถตการเกดอบตเหตบนทองถนน ซงขอมล
เหลานลวนแตเกยวของกบสถตทงสน
ใหนกศกษาอภปรายหาขอมลสารสนเทศทเคยมประสบการณ มา 4 – 5 ชนด
แบบฝกหด
178
5.2 การใชขอมลสารสนเทศ
การเลอกใชขอมลในการตดสนใจ เปนสงทมประโยชนมาก เพราะในการดารงชวตของ
คนเรามกเกยวของกบเหตการณตางๆ มากมาย จงจาเปนตองอาศยการตดสนใจอยางมระบบระเบยบ
มหลกมเกณฑ และมเหตผล โดยนาปจจยตางๆ มาพจารณากอนทจะตดสนใจ เพอใหไดทางเลอกท
ดทสด ซงตองอาศยทงความร ประสบการณ ขอมล ขาวสารตางๆ เปนสวนประกอบ เพอไมใหเกด
ความผดพลาดหรอโอกาสทจะผดพลาดมนอยทสด เชน
การเลอกสงตาง ๆ การตดสนใจ
การเลอกซอสนคาอยางหนง 1. คณภาพด
2. ราคาไมแพงเกนไป
3. มคนนยมมาก
4. จาเปนตองใช
5. ชอบเปนชวตจตใจ
การเลอกธนาคารเพอการออม 1. ธนาคารของรฐบาล
2. ธนาคารใกลบาน
3. ธนาคารใกลททางาน
4. ใหผลประโยชนมาก
5. การไปมาสะดวก
6. ธนาคารทมความมนคงไม
สนคลอน หรอ ไมมขาวออกมา
179
ในทางไมสดอยเสมอๆ
การลงทนในกจการอยางใดอยางหนง 1. เงนลงทน
2. ผลผลตทได
3. คมคาแรงงานหรอไม
4. เปนทนยมหรอเปลา
การเลอกชมรายการโทรทศนชองตางๆ 1. รายการโปรด
2. เนอหาสาระด
3. ใหความบนเทง
4. การนาเสนอทนสมย
5. มประโยชนสามารถนาไป
ประยกตใชได
6. เพอการลงทน เชน หน
การเดนทาง
รายงานขาวบอกวามรถตดทถนนใดบาง 1. อาจหลกเลยงเสนทางดงกลาว
2. รอจนกวาจะเดนรถสะดวกกอน
เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมอเดนทาง 1. อาจไมกลบในชวงเทศกาล
ไปตางจงหวด 2. อาจเลอกกลบหลงเทศกาล 1 – 2 วน
เปนตน
นอกจากนการตดสนใจยงมความสาคญในการประกอบธรกจตางๆ ทงธรกจขนาดเลกและ
ธรกจขนาดใหญ นกธรกจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายทจะตองตดสนใจอย เสมอ เชน
ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกาหนดราคา
ปญหาพนกงาน คาครองชพ ปญหาดานการเงน ซงนกธรกจจะใชประสบการณหรอคาสงสอน
อบรมจากพอแม บรรพบรษมาแกปญหาอยางเดยวไมได อาจจะเกดความผดพลาดได ดงน น
นกธรกจควรใชขอมลและวธการทางสถตมาชวยในการตดสนใจ
สาหรบในระดบนการเลอกใชขอมลในการตดสนใจอาจจะเกยวกบคากลางทกลาวมาแลวดวย
เชน ถาตองการกะประมาณรายไดของประชากรทงประเทศ ควรใชคากลาง คอ คาเฉลยเลขคณต หรอ
ประมาณจานวนพลเมองทชอบดทวสชอง 7 ควรเลอกใชคากลางฐานนยม หรอถาขอมลมคาตาและ
คาสงแตกตางกนมากควรตดสนใจเลอกใชคากลางมธยฐาน เปนตน
ในเรองนผเรยนจะไดเรยนละเอยดในชนสงตอไป
180
บทท 10
ความนาจะเปน
สาระสาคญ
1. การนบจานวนผลลพธทเกดจากการทดลองใด ๆ
2. ความนาจะเปน แสดงใหทราบวา เหตการณใดเหตการณหนงมโอกาสเกดขนมากนอย
เพยงใด อนจะมประโยชนตอการตดสนใจในการดาเนนงานนน ๆ
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. หาความนาจะเปนของเหตการณจากการทดลองสมทผลแตละตวมโอกาสทจะเกดขน
เทา ๆ กน
2. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล
3. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนประกอบการตดสนใจ
ขอบขายเนอหา
เรองท 1 การทดลองสมและเหตการณ
เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ
เรองท 3 การนาความนาจะเปนของเหตการณตางๆ ไปใช
181
เรองท 1 การทดลองสม และเหตการณ
1.1 การทดลองสม
คอการกระทาทเราทราบผลทงหมดทอาจจะเกดขนได แตเราไมทราบวาผลลพธใดจะ
เกดขน เชน
1. โยนเหรยญ 1 อน 1 ครง ผลทเกดขนไดมสองอยาง คอ “ออกหว” หรอ “ออกกอย” จะได
วาผลทงหมดทอาจจะเกดขนคอ หวและกอย
2. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลทเกดขน คอ การขนแตมของหนาใดหนาหนงของลกเตา ซง
มทงหมด 6 หนา ไดแก 1, 2 , 3, 4, 5, 6
ตวอยาง จงเขยนผลทอาจเกดขนไดทงหมดในการโยนเหรยญสบบาท 1 อน และเหรยญหาบาท 1
อน พรอมกน
วธทา ในการโยนเหรยญ 1 อน ผลทอาจเกดขนคอ หวและกอย
ถาให H แทนหว
ให T แทนกอย
ในการหาผลทอาจจะเกดขนไดทงหมด จากการโยนเหรยญสบบาท และโยนเหรยญหาบาท
อยางละ 1 อน อาจใชแผนภาพชวยไดดงน
H
182
จากแผนภาพจะเหนวา ถาเหรยญสบบาทออกหว เหรยญหาบาทจะออกหวหรอออกกอยก
ได จงไดผลทอาจเกดจากการโยนทงสองเหรยญเปน H,H กบ H,T
ในทานองเดยวกน ถาเหรยญสบบาทออกกอย เหรยญหาบาทอาจจะออกหวหรอออกกอยก
ได จงไดผลทอาจเกดจากการโยนเหรยญทงสองเปน T,H กบ T,T
ฉะนน ถาเราใชคอนดบเขยนผลทงหมดทอาจเกดขนได โดยใหสมาชกตวทหนงของค
อนดบแทนผลทอาจเกดขนจากเหรยญสบบาท สมาชกตวทสองของคอนดบแทนผลทอาจเกดขน
จากเหรยญหาบาท จะได
ผลทงหมดทอาจจะเกดขน คอ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T)
เราอาจเขยนแสดงผลในรปตารางไดดงน
แบบฝกหดท 1
1. ใหผเรยนพจารณาการทดลองสมตอไปนวาผลจากการทดลองสมอาจเปนอยางไรบาง
1). โยนเหรยญสบบาท 1 อน
……………………………………………………………………………………………...
2). โยนเหรยญสบบาทสองอนพรอมกน
……………………………………………………………………………………………...
3). หยบลกปงปอง 2 ลกพรอมๆกน จากกลองทมลกปงปองสเหลอง 3 ลก สแดง 1 ลก
……………………………………………………………………………………………...
183
2. จงเขยนผลทอาจจะเกดขนไดทงหมดจากการหมนแปนวงกลมทมหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน
เหรยญบาท 1 อน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
3. จงเขยนผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดจากการหยบสลาก 1 ใบ จากสลากทเขยนหมายเลขตงแต 10
ถง 20 ไว
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
1.2 เหตการณ
ในการทดลองสมโยนเหรยญบาท 1 เหรยญและเหรยญหาสบสตางค 1 เหรยญ นกเรยน
ทราบแลววาผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดคอ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลท
จะเกดกอยอยางนอย 1 เหรยญ จะไดวา ผลทจะเกดกอยอยางนอย 1 เหรยญ คอ (H, T), (T, H)
และ (T, T) เราเรยกผลทเราสนใจจากการทดลองสมวา
พจารณาการหลบตาหยบลกบอล 1 ลกจากถงซงมลกบอลสเขยว 4 ลก คอ ข1, ข2, ข3
และ ข4 ดงนน
เหตการณ
จากการทดลองสมครงนจะเหนไดวาจะหยบลกบอลครงใดกจะไดลกบอลสเขยวเสมอ ซงผล
ทงหมดทอาจจะเกดขนไดคอ ข1, ข2, ข3 และ ข4
และถาสนใจเหตการณ "หยบไดลกบอลสเขยว” จะไดวาเหตการณคอ ข1, ข2, ข3 และ ข4
จะเหนวา ผลทงหมดทอาจเกดขนได และเหตการณทจะหยบไดลกบอลสเขยวเปนผลชด
เดยวกน เราเรยกเหตการณ "หยบไดลกบอลสเขยว" จากการทดลองสมครงนวา "เหตการณท
แนนอน"
และจากการทดลองสมครงนจะเหนวาเราไมอาจทจะหยบไดลกบอลสแดงไดเลย เราเรยก
เหตการณ "หยบไดลกบอลสแดง" จากการทดลองสมครงนวา "เหตการณทเปนไปไมได”
184
ตวอยางเหตการณ
ตวอยางท 1
จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน
หลบตาหยบลกบอล 1 ลกจากกลองทมลกบอลสแดง 1 ลก สขาว 1 ลก และสนา
เงน 1 ลก
(1) หยบไดลกบอลสแดง
(2) หยบไดลกบอลทไมใชสแดง
วธทา
ดงนน จานวนทงหมดทอาจจะเกดขนไดเปน 3
ผลทงหมดทอาจเกดขนไดจากการทดลองสมคอ แดง ขาว และนาเงน
(1) เหตการณทจะหยบไดลกบอลสแดง คอ แดง
จานวนผลทเกดในเหตการณนเปน 1
ฉะนนความนาจะเปนของเหตการณหยบไดลกบอลสแดงเปน
(2) เหตการณทจะหยบไดลกบอลทไมใชสแดง คอ
หยบได ขาว และ นาเงน
จานวนผลทเกดขนในเหตการณเปน 2
ฉะนนความนาจะเปนของเหตการณหยบไดลกบอลทไมใชสแดงเปน
แบบฝกหดท 2 1. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงเขยน
1) ผลทงหมดทอาจเกดขน
……………………………………………………………………………………………
2) เหตการณทไดแตมไมเกน 5
……………………………………………………………………………………………
3) เหตการณทไดแตมเปนจานวนทหารดวย 3 ลงตว
……………………………………………………………………………………………
185
2. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครงจงเขยน
1) ผลทงหมดทอาจเกดขน
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2) ผลรวมของแตมเปน 8
……………………………………………………………………………………………
3) ผลรวมของแตมมากกวา 9
……………………………………………………………………………………………
4) ผลรวมของแตมนอยกวา 4
……………………………………………………………………………………………
5) ผลรวมของแตมหารดวย 2 ลงตว
……………………………………………………………………………………………
6) ผลรวมของแตมนอยกวา 2
……………………………………………………………………………………………
3. จากการสอบถามถงปกรายงานทผเรยนชอบ 2 ส ในจานวน 5 ส คอ สขาว สฟา สชมพ ส
เขยว และสเหลอง จงเขยน
1) ผลทงหมดทอาจเกดขน
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2) เหตการณทนตยาจะชอบสฟาหรอสชมพ
…………………………………………………………………………………………
186
เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ
พจารณาการทดลองสมและเหตการณทสนใจ
ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลทงหมดทอาจเกดขน คอ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซงมทงหมด 6 จานวน
1). ถาเหตการณทสนใจ คอ แตมหงายบนหนาลกเตาเปนจานวนค ซงไดแก 2, 4, 6 จะเหน
ไดวาม 3 จานวน นนคอ จานวนผลทจะเกดในเหตการณ เปน 3
เรากลาววาความนาจะเปนของเหตการณทแตมหงายบนหนาลกเตาเปนจานวนค คอ 63
หรอ 21
2). ถาเหตการณทสนใจ คอ แตมทหงายบนหนาลกเตา เปนจานวนทนอยกวา 3 ซงไดแก
1, 2 จะเหนวามทงหมด 2 จานวน นนคอ จานวนผลทจะเกดในเหตการณเปน 2
เรากลาววาความนาจะเปนของเหตการณทแตมหงายบนหนาลกเตาเปนจานวนค คอ 62
หรอ 31
จากทง 2 เหตการณทกลาวมาเราสามารถเขยนใหอยในรปของตารางได ดงน
จากตวอยางทกลาวมาแลวขางตน อาจจะสรปเปนสตรการหาความนาจะเปนของเหตการณไดดงน
จานวนผลของเหตการณทสนใจ
จานวนเหตการณทงหมดของการทดลองสม
ความนาจะเปน =
187
1. เหตการณทแนนอน คอ เหตการณทมความนาจะเปน = 1 เสมอ
ขอควรจา
2. เหตการณทเปนไปไมได คอ เหตการณทมความนาจะเปน = 0
3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมคาไมตากวา 0 และ ไมเกน 1 เสมอ
4. ในการทดลองหนงสามารถทาใหเกดผลทตองการอยางมโอกาสเทากนและมโอกาส
เกดได N สง และเหตการณ A มจานวนสมาชกเปน n ดงนนความนาจะเปนของ A
คอ P(A) = Nn
188
1. มสลาก 10 ใบ เขยนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอง ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากทเปนจานวน
คเทาไร
แบบฝกหดท 3
………………………………………………………………………………………………………
2. ใสลกเตา 1 ลกลงในถวยแกว เขยาแลวเทออก จงหาความนาจะเปนของเหตการณทขนแตม 6
………………………………………………………………………………………………………
3. ถงใบหนงมลกกวาดสแดง 5 เมด สเหลอง 2 เมด แมวหยบขนรบประทาน 1 เมดโดยไมไดด
จงหาความนาจะเปนทแมวจะหยบไดลกกวาดสแดง
………………………………………………………………………………………………………
4. ความนาจะเปนทจะหยบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สารบเปนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
5. ความนาจะเปนทจะหยบไดไพสดาจากไพ 1 สารบ เปนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
6. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ความนาจะเปนทจะทอดไดแตมรวมกนเปน 7 คอขอใด
………………………………………………………………………………………………………
7. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ความนาจะเปนทจะทอดไดแตมรวมกนไมเกน 1 คอขอใด
………………………………………………………………………………………………………
8. ถาตองการถกรางวลเลขทาย 2 ตวแนๆ จะตองซอสลากกนแบงรฐบาลกใบ
………………………………………………………………………………………………………
9. จากการทดลองโยนเหรยญหนงอน 3 ครง ความนาจะเปนทออกหว 1 ครง เปนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
10. ถาทอดลกเตาทสมดล 1 ลกพรอมกนกบโยนเหรยญ 1 เหรยญ จงหาความนาจะเปนทแตมบน
ลกเตาจะเปนแตมค
………………………………………………………………………………………………………
189
เรองท 3 การนาความนาจะเปนของเหตการณตางๆไปใช
ในชวตประจาวน คนเราไดนาประโยชนจากความนาจะเปนมาใชอยตลอดเวลา เพยงแต
ไมไดเรยกวาความนาจะเปนเทานน เชน ในเรองการซอหวย หรอสลากกนแบงรฐบาล จะเหนวา
โอกาสทจะถกเลขทาย 2 ตวมคาเปน 1 ใน100 และโอกาสทจะถกรางวลอนๆ ยงนอยลงตามลาดบ
นอกจากนยงมการคานวณคาความนาจะเปนเพอประมาณคาอตราการเกดอบตเหต ในแต
ละลกษณะของการกาหนดเบยประกนภยรถยนต หรอการคาดหมายผลการเลอกตง การพยากรณ
ตางๆ ทางธรกจ การทดสอบคณภาพผลตภณฑใหมจากโรงงาน ฯลฯ ซงความนาจะเปนมบทบาท
สาคญมาก ผเรยนจะไดเหนประโยชนชดเจนขนเมอเรยนตอในระดบสงขนไป
จากโจทยตอไปนใหนกเรยนตอบวาใครไดเปรยบ
แบบฝกหดท 4
1. ใหนกเรยนทาลกบาศกหนงลกแลวเขยนเลข 1 ทหนาหนงของลกบาศก เขยนเลข 2 ทหนาอก
สองหนา สวนอกสามหนาทเหลอเขยน 3 ใชกตกาตอไปนตดสนการแพ ชนะ เสมอ ในการโยน
ลกบาศกททาขนนคนละครง
1) ผเลนคนทหนงชนะถาเขาโยนลกบาศกแลวหนาทเขยนเลข 3 หงายขน และคแขงขน
ไดเลข 3 ดวย ผเลนคนทสองชนะถาไดเลขทตากวา 3 และผแขงขนไดเลขทตากวา 3 กรณอน ๆ
ถอวาเสมอกน
2) ผเลนคนทหนงถาเขาโยนลกบาศกแลวหนาทเขยนเลข 1 หงายขน และคแขงขนได
เลขทตากวา 3 ผเลนคนทสองชนะ ถาเขาโยนลกบาศกหงายหนาทเขยนเลข 3 และคแขงขนไดเลข
สงกวา 1 กรณอนถอวาเสมอกน
190
เฉลยแบบฝกหด
191
เฉลย บทท 1 จานวนและการดาเนนการ
แบบฝกหดท 1
1. จงเลอกจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมจากจานวนตอไปน
- 1, 24
, 0, -3, 1000500
, 250
500−
จานวนเตมบวก ประกอบดวย 24
จานวนเตมลบ ประกอบดวย -1 -3 250
500−
จานวนเตม ประกอบดวย -1, 24
, 0, -3, 250500−
2. จงเตมเครองหมาย < หรอ > เพอใหประโยคตอไปนเปนจรง
1) -4 ............... <................. 3
2) -4 .............. <................. -3
3) -2 .............. >............... -5
4) 4................ >................ -2
5) 4................ >................. -8
3. จงเรยงลาดบจานวนเตมจากนอยไปหามาก
1) -2, -8, -4, -15, -20, -7
………-20, -15, -8, -7, -4, -2…………………
2) 4, -8, 0, -2, 16, -17
………-17, -8, -2, 0, 4, 16 ……………………
192
แบบฝกหดท 2
1. จงเตมคาวา “มากกวา” หรอ “นอยกวา” หรอ “เทากบ”
1) คาสมบรณของ (-3)..................เทากบ...........คาสมบรณของ 3
2) จานวนตรงขามของ (-4) ...........มากกวา..........................จานวนตรงขามของ 4
3) จานวนตรงขามของ 5 ...............นอยกวา..........................จานวนตรงขามของ -5
4) คาสมบรณของ A...........เทากบ...................คาสมบรณของ(-A) เมอA เปนจานวนใดๆ
5) จานวนตรงขามของ A .....นอยกวา......จานวนตรงขามของ (-A) เมอA เปนจานวนใดๆ
2. จงเตมเครองหมาย <, > หรอ = ลงในชองวาง
1) – (- 5) .....................=...........................5
2) จานวนตรงขามของ 8 .................. <..................................8
3) จานวนตรงขามของ (-8)................. >................................(-8)
4) 25......................................25 −=−
5) ( )20........................................20 −⟩−
6) 5..........................................25 −⟩−
7) จานวนตรงขามของ (-2) .......................... <.........................จานวนตรงขามของ(-7)
8) จานวนตรงขามของ 32........................ >...............................จานวนตรงขามของ 77
193
1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจานวนทกาหนดให โดยใชเสนจานวน
แบบฝกหดท 3
1. 3+2
2. (-3)+(-2)
3. 2+1
4. (-2)+(-1)
5. 5+ (-1)
6. (-1) +5
7. (-5) +3
8. 3 + (-5)
194
2. จากผลการบวกโดยใชเสนจานวน จงเตมคาตอบตอไปนใหสมบรณ
ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสมบรณของ a คาสมบรณของ b คาสมบรณของ(a+b) ผลบวกของ a กบ b
เทากนหรอไมกบ ba +
1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากน
2. (-3)+(-2) = -5 3 2 5 เทากน
3. 2+1 = 3 2 1 3 เทากน
4. (-2)+(-1) = -3 2 1 3 เทากน
5. 5+ (-1) = 4 5 1 4 เทากน
6. (-1) +5 = 4 1 5 6 เทากน
7. (-5) +3 = -2 5 3 2 เทากน
8. 3 + (-5) = -2 3 5 2 เทากน
195
1. จงทาใหเปนผลสาเรจ
แบบฝกหดท 4
1. (-12) – 7
วธทา (-12) – 7 = (-12) + (-7)
= - 19
2. 7 – (-12)
วธทา 7 – (-12) = 7 + 12
= 19
3. (-8) – (-5)
วธทา (-8) – (-5) = (-8) + 5
= -3
4. (-5) – (-8)
วธทา (-5) – (-8) = (-5) + 8
= 3
5. [8 – (-2)] – 6
วธทา [8 – (-2)] – 6 = [ 8 + 2] + (-6)
= 10 + (-6)
= 4
6. 8 – [(-2) – 6]
วธทา 8 – [(-2) + (-6)] = 8 – (-8)
= 8 + 8
= 16
2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมอกาหนด a และ b ดงตอไปน
1. a = 5, b = (-3)
วธทา a – b = 5 – (-3) b – a = (-3) – 5
= 5 + 3 = (-3) + (-5)
= 8 = -8
2. a = (-14), b = (-6)
วธทา a – b = (-14) – (-6) b – a = (-6) – (-14)
= (-14) + 6 = (-6) + 14
= (-8) = 8
3. a = (-4), b = (-4)
วธทา a – b = (-4) – (-4) b – a = (-4) – (-4)
= (-4) + 4 = (-4) + 4
= 0 = 0
196
จงหาผลลพธ
แบบฝกหดท 5
1). [(-3) × (-5)] × (-2)
วธทา [(-3) × (-5)] × (-2) = 15 × (-2)
= (-30)
2). (-3) × [(-5) × (-2)]
วธทา (-3) × [(-5) × (-2)] = (-3) × 10
= -30
3). [4 × (-3)] × (-1)
วธทา [4 × (-3)] × (-1) = (-12) × (-1)
= 12
4). 4 × [(-3) × (-1)]
วธทา 4 × [(-3) × (-1) ] = 4 × 3
= 12
5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]
วธทา [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)] = 30+30
= 60
6). (-5) × [6 + (-6)]
วธทา (-5) × [6 + (-6)] = (-5) ×0
= 0
7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]
วธทา [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2] = 35 + (-14)
= 21
8). (-7) × [(-5) + 2]
วธทา (-7) × [(-5) + 2] = (-7) × (-3)
= 21
9). [5 × (-7)] + [5 × 3]
วธทา [5 × (-7)] + [5 × 3] = (-35) + 15
= (-20)
10). 5 × [(-7) + 3]
วธทา 5 × [(-7) + 3] = 5 × (-4)
= (-20)
197
1. จงเตมคาตอบใหสมบรณเพอแสดงหลกของความสมพนธระหวางการหารและการคณ ตอไปน
แบบฝกหดท 6
ประโยคทแสดงความสมพนธ cba ×= ประโยคทแสดงความสมพนธ cba =÷ หรอ bca =÷
10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรอ 10 ÷ 2 = 5
35 = 7 x 5 35 ÷ 7 = 5 หรอ 35 ÷ 5 = 7
33 = 3 x 11 33 ÷ 3 = 11 หรอ 33 ÷ 11 = 3
(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรอ (-14) ÷ (-2) = 7
(-21) = 7 x (-3) (-21) ÷7 = (-3) หรอ (-21) ÷ (-3) = 7
(-15) = 3 x (-5) (-15) ÷3 = (-5) หรอ (-15) ÷ (-5) = 3
10 = (-5) x (-2) 10÷(-5) = (-2) หรอ 10÷(-2) = (-5)
จงหาผลหาร
1. 17 ÷ 17
วธทา 17 ÷ 17 = 1
2. 23 ÷ (-23)
วธทา 23 ÷ (-23) = -1
3. 15 ÷ (-3)
วธทา 15 ÷ (-3) = -5
4. (-72) ÷ 9
วธทา (-72) ÷ 9 = -8
5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]
วธทา [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)] = 3 ÷ (-3)
= -1
6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]
วธทา [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)] = (-8) ÷ (-8)
= 1
198
1. จงเตมจานวนเตมในชองวางทเวนไวเพอใหแตละประโยคตอไปนเปนจรง
แบบฝกหดท 7
1.1 5 1.2 (-5)
1.3 7 1.4 6
1.5 (-9) 1.6 (-5)
1.7 (-13) 1.8 13
1.9 0 1.10 (-3)
2. เมอกาหนดให a = 8, b = 10, c = 3 และ d = -6 จงหาคาของ babdac
++
วธทา ( ) ( )( ) ( )
186024
10861038 −+
=+
−×+×
( )
18
36−=
= (-2)
199
เฉลย บทท 2 เศษสวนและทศนยม
แบบฝกหดท 1
1. จงเตมเศษสวนลงใน ใหถกตอง
1)
2)
2. จงเขยนเสนจานวนแลวหาจดทแทนจานวนตอไปน
1) 84
, 211 ,
820
2) 211 ,
634 ,
629
3. จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปของทศนยม
1. 106
= 0.6 2. =10012
0.12
3. =1000357
0.357 4. =++1000
3100
2101
0.123
*
211
0 1 2 3
200
แบบฝกหดท 2
1. จงเปลยนเศษสวนตอไปนใหเปนทศนยม โดยการทาสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000,.......
1) 49
= 100225
= 2.25 2) 431 =
100175
= 1.75
3) 4039
= 100
5.97 = 0.975 4)
257
= 10028
= 0.28
5) 81
= 1000125
= 0.125 6) 125
8 =
100064
= 0.064
2. จงเปลยนเศษสวนตอไปนใหเปนทศนยม โดยการหารเศษสวน
1) 119
= 18.0 2) 713 = 3.14
3) 167
= 0.4375 4) 45
= 1.25
5) 65
= 38.0 6) 538 = 8.6
201
แบบฝกหดท 3
1. ใหเตมตวเศษหรอตวสวนของเศษสวนลงใน เพอใหไดเศษสวนทเทากน
2. ใหเตมเครองหมาย > , < หรอ = ลงใน ใหถกตอง
202
3. ใหนกศกษาเตมเครองหมาย > , < หรอ = ระหวางจานวนสองจานวน
1) -0.500 ......<........0.501 2) 103.012 .........>............. – 0.501
3) 5.28 .......... <.......... 5.82 4) – 5.28 .........=................. -5.28
5) 8.354 ......... <........ 8.534 6) -8.544 .............. <............. -8.534
7) -13.06 ......... <........ 13.06 8) 103.012 ......... >........... -103.012
9) -5.125 ..........=........ -5.1250 10) -7.10 .............. <........... -7.01
4. ใหนกศกษาเรยงลาดบจานวนตอไปนจากคานอยไปคามาก
5) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000
- 2.000, - 1.738, -1.724, 0.832
6) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017
-30.710, -31.170, -31.107, 30.017
7) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500
-138.500, -83.001, -38.000, 83.000
8) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
-42.50, -41.54, -39.62, -37.40, -34.50
แบบฝกหดท 4
1. ใหหาผลลพธตอไปน
1.1 62
12= 1.2
21
126=
1.3 21224
= 1.4 1116
= 1151
1.5 61
122= 1.6
121
242=
203
2. ใหเตมจานวนลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง
2.1 86
2.2 66
2.3 8
12 2.4
35
2.5 87
3. ใหหาจานวนมาเตมลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง
3.1 63
3.2 149
3.3 61
3.4 6
15 =
212
632 =
3.5 47
= 431 3.6
2414
3.7 1835
=18171 3.8
28111
4. ใหหาผลลพธตอไปน
1. วธทา =
++
3520
3514
73
2. วธทา = 99
107
94
95
107
+=
++
= 3534
3515
3534
5753
3534
73
+=+××
=+ = 1107+
= 3549
= 1071
= 35141
= 521
3. วธทา =52
55
87
88
53
+
++
× 4. วธทา =
−+
337
37
1146
= 52
4035
4024
+
+ =
−
×+
337
1111
37
1146
= 52
4059
+ =
−+
337
3377
1146
=
×+
88
52
4059
= 3370
1146
+
204
= 4016
4059
+ = 3370
33
1146
+
×
= 40351
4075
= = 3370
33138
+ = 33208
=
33106
แบบฝกหดท 5
1. จงหาผลคณตอไปน
1) 511
312 ×
วธทา = 56
37×
= 1542
= 542
15122 =
2) 95
511 ×
วธทา = 95
56×
= 32
4530
=
3) 911
1125 ×
วธทา = 9
101157
×
= 33255
99755
99570
==
4) 107
3216 ×
วธทา = 107
350
×
= 3211
335
=
5) 521
322
165
××
วธทา = 57
38
165
××
= 611
67=
6) 61
43
326 ××
205
วธทา = 61
43
320
×× =65
321115=
××××
7) 1835
2524
4915
××
วธทา = 1835
2524
4915
××
= 74
8) 2210
2511
2710
2524
×××
วธทา 2210
2511
2710
2524
×××
=15951128××××××
= 22516
206
แบบฝกหดท 6
1. จงหาผลลพธตอไปน
1.1 วธทา = 58
54×
= 2571
2532
=
1.2 วธทา = 52
1110
×
= 114
1.3 วธทา = 6
12249×
= 43
1.4 วธทา = 524
1615
×
= 214
29=
1.5 วธทา = 1125
10099
×
= 412
49=
1.6 วธทา = 31
23×
= 21
207
2. จงทาใหเปนผลสาเรจ
2.1 วธทา =
−×
931
521
179
= 4534
179
45155
45189
179
×=
−×
= 52
2.2 วธทา =
−÷
+
62
63
62
63
= 665
61
65
×=÷
= 5
2.3 วธทา = 1112
67
311
××
= 3
14
= 324
2.4 วธทา = 3
1057
724
××
= 16
208
แบบฝกหดท 7
1. ใหหาคาตอบของโจทยปญหาตอไปน
1) ตองมเงน 320 บาท ซอรองเทา 52
ของเงนทงหมด ซอเสอ 165
ของเงนทเหลอ จง
หาวาตองเหลอเงนเทาไร
วธทา ตองมเงน 320 บาท
ซอรองเทา 52
ของเงนทงหมด คดเปน 12832052
=×
เหลอเงนจากการซอรองเทา 320 – 128 = 192 บาท
ซอเสอ 165
ของเงนทเหลอ คดเปน 60192165
=× บาท
เหลอเงนจากการซอเสอ 192 – 60 = 132 บาท
ตอบ ตองเหลอเงน 132 บาท
2) หองประชมหองหนงมความยาวเปน 433 ของความกวาง และความกวางเปน
524 ของความ
สง ถาหองสง 213 เมตร และมนกเรยน 462 คน จงหาวาโดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศ
หายใจกลกบาศกเมตร
วธทา หองประชมมความกวาง 524 ของความสง =
577
27
522
=× เมตร
มความยาวเปน 433 ของความกวาง =
4231
577
415
=× เมตร
ดงนนหองประชมมปรมาตร = 40
509,1244
2315
7727
=×× ลกบาศกเมตร
ในหองประชมมนกเรยน 462 คน โดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศหายใจ
= 46240
509,124÷
= 4621
40509,124
×
= 6.7375 ลกบาศกเมตร
ตอบ โดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศหายใจ 6.7375 ลกบาศกเมตร
209
3) จางคนปลกหญาบนสนามรปสเหลยมผนผากวาง 546 เมตร ยาว
2110 เมตร ในราคาตาราง
เมตรละ 45 บาท จะตองจายเงนทงหมดเทาไร
วธทา สนามรปสเหลยมผนผากวาง 546 เมตร =
534
เมตร
ยาว 2110 เมตร =
221
เมตร
พนทสนาม = 5
357221
534
=× ตารางเมตร
จายคาจางคนปลกหญา ตารางเมตรละ 45 บาท
ตองจายเงน = 375,35
35745 =× บาท
ตอบ จายคาจางปลกหญาบนสนามเทากบ 3,213 บาท
4) โทรทศนเครองหนงประกาศลดราคาลง 41
ของราคาทปดไวเดม แตผซอเปนเพอนกบผขาย
ลดใหอก51
ของราคาทประกาศลดแลวในครงแรก ซงปรากฏวาผซอจายไป 4,200 บาท จงหาวา
โทรทศนเครองนปดราคาเดมไวเทาไร
วธทา โทรทศนเครองหนงลดราคาลง 41
ของราคาทปดไว
ถาลดราคา 41
บาท ราคาทลดแลวเหลอ 43
411 =− บาท
ขายใหเพอนลดใหอก 51
ของราคาทประกาศลด 203
43
51
=×
ขายไปจรงราคา 53
2012
20315
203
43
==−
=− บาท
เศษสวน 53
คดเปนเงน 4,200 บาท
ดงนนราคาเดมขายไว = 000,735200,4 =× บาท
ตอบ เดมตดราคาไว 7,000 บาท
210
5) ในการเดนทางครงหนงเสยคาทพก 52
ของคาใชจายทงหมด คาเดนทาง 41
ของคาใชจาย
ทงหมด คาใชจายอน ๆ คดเปนเงน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทงหมดเปนเงนเทาไร
วธทา คาใชจายทงหมดเปนเงน 1 บาท
เสยคาทพก 52
ของคาใชจายทงหมดเปนเงน = 52
บาท
เสยคาเดนทาง 41
ของคาใชจายทงหมดเปนเงน = 41
บาท
รวมคาทพกและคาเดนทาง = 2013
41
52
=+ บาท
เปนคาใชจายอนๆ = 207
20131 =− บาท
ดงนน 207
คดเปนเงน 1,470 บาท
ดงนน คาใชจายทงหมด = 1,470 x 200,4720
= บาท
ตอบ คาใชจายทงหมด 4,200 บาท
แบบฝกหดท 8
1. จงเตมผลลพธตอไปน
1.1 0.99 1.2 -0.2
1.3 -0.1 1.4 0.1
1.5 -16.7 1.6 -12.5
1.7 50.09 1.8 -15.15
1.9 10.1 1.10 3.306
1.11 -9.1 1.12 -16.57
1.13 -36.7 1.14 -50.1
1.15 8.4782 1.16 2.7843
1.17 -57.03 1.18 -63.938
1.19 -3.237 1.20 3.327
211
แบบฝกหดท 9
1. จงหาคาของ
1.1 -28.92 1.2 -0.1176
1.3 6.6742 1.4 -32.6808
2. จงหาคาของ
2.1 -1,240
2.2 -10.1802
2.3 -12.596
2.4 24.5746
2.5 -3.33
แบบฝกหด 10
ใหนกศกษาแกปญหาโจทยตอไปน
1. เชอกยาว 17.25 เมตร นาอกเสนหนงยาว 5.2 เมตร มาผกตอกนทาใหเสยเชอกตรงรอยตอ
0.15 เมตร นาเชอกทตอแลวมาวางเปนรปสเหลยมผนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5 เมตร ดาน
ยาวจะยาวดานละกเมตร
วธทา เชอกทเหลอจากการนามาตอกนคดเปน (17.25 + 5.2) – 0.15 = 22.3 เมตร
นามาวางใหเปนรปสเหลยมผนผาใหดานกวางยาว 1.5 เมตร
ดานกวางทง 2 ดานจะใชเชอกไป 1.5 x 2 = 3 เมตร
เหลอเชอกเปนดานยาว 22.3 – 3 = 19.3
แตดานยาว ม 2 ดาน ดงนนดานยาว ดานละ 19.3 ÷ 2 = 9.65 เมตร
ตอบ ดานยาวจะยาวดานละ 9.65 เมตร
212
2. นาตาลถงหนงหนก 9.35 กโลกรม จานวน 16 ถง ใชทาขนมเฉลยแลววนละ 4.4 กโลกรม
จะใชนาตาลไดทงหมดกวน
วธทา นาตาลถงหนงหนก 9.35 กโลกรม จานวน 16 ถง = 9.35 x 16 = 149.6 กโลกรม
ใชทาขนมเฉลยแลววนละ 4.4 กโลกรม จะใชนาตาลได = 344.46.149= วน
ตอบ จะใชนาตาลไดทงหมด 34 วน
3. หองรปสเหลยมผนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นากระเบองรปสเหลยมจตรสขนาด 32
ตารางเซนตเมตร มาปหองจะตองใชกระเบองกแผน
วธทา พนทหองสเหลยมผนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร = 480 x 960 = 460,800 ตร.ซม.
พนทกระเบองรปสเหลยมจตรสขนาด = 32 ตร.ซม.
ถาปหองจะตองใชกระเบอง = 400,1432
800,460 แผน
ตอบ จะตองใชกระเบอง 14,400 แผน
4. มทองคาแทงหนงหนก 12.04 กรม ซอเพมอก 25.22 กรม แบงขายไปสองครง หนกครงละ
8.02 กรม ทเหลอนาไปทาแหวน 5 วง หนกวงละ 3.45 กรมเทาๆ กน จะเหลอทองอกกกรม
วธทา ทองคาแทงหนงหนก 12.04 กรม ซอเพมอก 25.22 กรม = 12.04 + 25.22 = 37.26 กรม
แบงขายไปสองครง หนกครงละ 8.02 กรม = 8.02 x 2 = 16.04 กรม
เหลอทอง = 37.26 – 16.04 = 21.22 กรม
นาไปทาแหวน 5 วง หนกวงละ 3.45 กรมเทา ๆ กน = 5 x 3.45 = 17.25 กรม
ทองทเหลอจากการทาแหวนจะได = 21.22 – 17.25 = 3.97 กรม
ตอบ จะเหลอทองอก 3.97 กรม
213
เฉลย บทท 3 เลขยกกาลง
แบบฝกหดท 1
1. จงเขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมทมากกวา 1 พรอมทง
บอกฐานและเลขชกาลง
1.1 25 = ……… 5 x 5…………………=……..… 25 ……………..
ม = …………5…………….เปนฐานและ..............2..................เปนเลขชกาลง
1.2 64 = ………8 x 8…………………=…………… 28 …………..
ม = …………8…………….เปนฐานและ...............2..................เปนเลขชกาลง
1.3 169 = ………13 x 13……………....=…………… 213 …….…..
ม = ……………13……….เปนฐานและ..............2....................เปนเลขชกาลง
1.4 729 = ……………27 x 27………..=………… 227 ……….…..
ม = …………27………….เปนฐานและ............2......................เปนเลขชกาลง
1.5 -32 = …(-2) (-2) (-2) (-2) (-2)…….=………… ( )52− ………..
ม = …………(-2)…………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชกาลง
1.6 -243 = …(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)……….=……… ( )53− …………..
ม = ……………(-3)………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชกาลง
1.7 0.125 = …(0.5) (0.5) (0.5)………….=………… ( )35.0 ……..…..
ม = …………(0.5)………เปนฐานและ.....................3..............เปนเลขชกาลง
.2. จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน
2.1 2 × 2 ×2 ×2 ×2× 2× 2 × 2 = 256
2.2 (-3) (-3) (-3) (-3) = 81
2.3 (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) = 0.00243
2.4 (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) = 0.000000000064
2.5
31
31
31
=
271
2.6
72
72
72
= 343
8
2.7 (-5) (-5) (-5) (-5) = 625
2.8 - (2×2×2) = -8
2.9
101
101
101
101
101
= 100000
1
2.10 (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) = 0.015625
214
แบบฝกหดท 2
1 จงเขยนจานวนตอไปนในรปสญกรณวทยาศาสตร
1. 4 x 510
2. 2.3 x 1010
3. 6.39 x 810
4. 2.475 x 810
2. ดาวเสารอยหางจากดวงอาทตยประมาณ1,430,000,000 กโลเมตร จงเขยนใหอยในรปสญกรณ
วทยาศาสตร
ตอบ 1.43 x 910
3. สญกรณวทยาศาสตรในแตละขอตอไปนแทนจานวนใด
3.1 2,000,000
3.2 48,000,000,000,000
3.3 4,030,000,000
3.5 912,500
แบบฝกหดท 3
1 จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน
1.1 652 + = 2,048
1.2 32 x 9 = 288
1.3 36 = 216
1.4 275.0 = 0.5625
1.5 991
×
= 1
1.6 ( )36− = -216
1.7 16625
1258
× = 25
= 2
12
1.8 32
16807117649
1× =
224
1
1.9 ( )
161125.0 = 0.0078125
1.10 ( )511− = 161051
215
2. จงเขยนผลคณของจานวนในแตละขอตอไปนในรปเลขยกกาลง
2.1 7322 ++ = 122
2.2 ( ) 5133 ++− = ( )93−
2.3 24 555 ×× = 2415 ++ = 75
2.4 22 111111 ×× = 21211 ++ = 511
2.5 ( ) 7343 ++− = ( )143−
แบบฝกหดท 4
1. จงหาผลลพธ
1.1 292 − = 72
1.2 163 − = 53
1.3 6311 − = 311− = 311
1
1.4 24
51 −
=
2
51
1.5 ( ) 4503.0 − = ( )03.0
1.6 ( ) 75 )8.0(8.0 ÷ = ( ) 758.0 − = 2)8.0( − = 2)8.0(
1
1.7 ( ) 7435 −+ = 05 = 1
1.8 ( ) 4167 −+ = 37
1.9 ( )54213 −+ = 13
1.10 ( ) 476 +−m = 3m
2. จงหาผลลพธตอไปนในรปทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก
2.1 )4(35 −+ = 15− = 51
2.2 ( ) 2683 −−+ = 03 = 1
2.3 ( ) 164 −− = 74− = 741
2.4 ( )162 −+ = 52
2.5 ( ) 325.1 − = ( ) 15.1 − = 5.11
2.6 52−x = 3−x = 3
1x
2.7 ( ) ( )5013 ++ ÷ aa = 54−a = 1−a = a1
2.8 ( )57 −−−m = 57+−m = 2−m = 2
1m
216
เฉลย บทท 4 อตราสวนรอยละ แบบฝกหดท 1
1.จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน
1.1 1 เซนตเมตร : 100 กโลเมตร
1.2 200 กโลเมตร : 3 ชวโมง
1.3 40 คน : 1,000 คน
1.4 72 ครง : 1 นาท
2. สลากกนแบงรฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลก เชน 889748 ซงมหมายเลขตางกนทงหมด
1,000,000 ฉบบ ในจานวนทงหมดนมสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตวทงหมด 10,000 ฉบบ ถก
รางวลเลขทาย 3 ตว 4,000 ฉบบ และถกรางวลท 1 อก 1 ฉบบ
2.1 1 : 1,000,000
2.2 10,000 : 1,000,000
2.3 4,000 : 1,000,000
2.4 10,000 : 4,000
3. พอคาจดลกกวาดคละสขนาดเทากนลงในขวดโหลเดยวกน โดยนบเปนชดดงน “ลกกวาดสแดง
3 เมด สเขยว 2 เมด สเหลอง 5 เมด” จงหา
3.1 3: 10
3.2 3: 5
3.3 สเหลองเพราะมจานวนมากทสด ดงนนโอกาสทจะหยบไดสเหลองจงมมาก
แบบฝกหดท 2
1. ถาอตราการแลกเปลยนเงนดอลลารตอเงนหนงบาทเทากบ 1 : 43 จงเตมราคาเงนในตาราง
2. จงเขยนอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหตอไปนมาอก 3 อตราสวน
2.1 128,
96,
64
2.2 3620,
2715,
1810
43 86 129 430 860
217
3. จงตรวจสอบวาอตราสวนตอไปนเทากนหรอไม
4. จงทาใหอตราสวนตอไปนมหนวยเดยวกนและอยในรปอยางงาย
4.1 2x 24 : 10 หรอ 48 : 10 หรอ 24 : 5
4.2 200 : 1.5 x 1,000 เมตร หรอ 200 : 1,500
แบบฝกหดท 3
1. พอแบงเงนใหลกสามคนโดยกาหนด
อตราสวนของจานวนเงนลกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเลกเปน 5 : 3 : 2 จงหาอตราสวนตอไปน
1.1 5 : 2
1.2 2 : 3
1.3 3 : 10
1.4 2 : 10
6 x9 = 8 x 7
54 ≠ 56
12 x15 = 18 x 10
180 =180
0.3 x200 = 6 x 10
60 = 60
86 ≠
97
1012 =
1518
103.0 =
2006
218
2. เศรษฐคนหนงไดเขยนพนยกรรมไวกอนจะเสยชวตวา ถาภรรยาทกาลงตงครรภคลอดลกเปนชาย
ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลกเปนหญง
ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรหญงเปน 2 : 1 เมอเศรษฐคนนเสยชวต
ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลกแฝด เปนชาย 1 คน หญง 1 คน จงหาอตราสวนของเงนในพนยกรรม
ของภรรยาตอบตรชาย ตอบตรหญง
ตอบ อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรชาย เปน 1 : 2
อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรหญง เปน 2 : 1
เมอเศรษฐเสยชวตลงภรรยาคลอดลกเปนฝาแฝด ชาย 1 คน หญง 1 คน ตองแบงพนยกรรมเปน
สามสวน คอ
อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรชาย เปน 1: 2 = 2: 4
อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรหญง เปน 2 : 1
นนคอ อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรชายตอบตรหญงเปน 2 :4 : 1
แบบฝกหดท 4
1. จงเขยนสดสวนจากอตราสวนตอไปน
1.1 86
43=
1.2 279
7=
A
1.3 510
12 B=
1.4 D
65
4
5=
2. จงหาคาตวแปรจากสดสวนทกาหนดใหตอไปน
2.1 1512
3=
A
วธทา 31512
×=A
= 2.4
2.2 28213
=B
วธทา 21283×=B
= 4
219
แบบฝกหดท 5
1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงนเทาไร
วธทา ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท
ขายมะละกอ 15 ผล ราคา x บาท
จะได x
15503=
35015xx =
x = 250
2. กศน.แหงหนงมนกศกษาทงหมด 400 คน มจานวนนกศกษาหญงตอจานวนนกศกษาชาย
เปน 5: 3 จงหาวา มนกศกษาชายกคนและนกศกษาหญงกคน
วธทา กศน. แหงหนงมนกศกษาทงหมด 400 คน
มจานวนนกศกษาหญงตอจานวนนกศกษาชาย เปน 5: 3
ดงนนถาแบงนกศกษา กศน.ทงหมดออกเปน 5+3 = 8 สวน
จะไดนกศกษา กศน. สวนละ 8
400= = 50 คน
ฉะนน มนกศกษาชาย อย 3 สวน เปน 3 x 50 = 150 คน
มนกศกษาหญงอย 5 สวน เปน 5 x 50 = 250 คน
3. พอแบงมรดกใหลกสองคน โดยอตราสวนของสวนแบงของลกคนโตตอสวนแบงลกคนเลก
เปน 7: 3 ถาลกคนโตไดเงนมากกวาลกคนเลก 80,000 บาท จงหาสวนแบงทแตละคนไดรบ
วธทา อตราสวนของสวนแบงของลกคนโตตอสวนแบงลกคนเลก เปน 7: 3
ดงนน พอแบงเงนทงหมดเปน 10 สวน
ลกคนโตมเงนมากกวาลกคนเลก 4 สวน เปนเงน 80,000 บาท
ดงนน เงน 1 สวน เปนเงน 000,204000,80
= บาท
สรปไดวา ลกคนโตไดรบเงนมรดก 7 สวน เปนเงน 7 x 20,000 = 140,000 บาท
ลกคนเลกไดรบเงนมรดก 3 สวน เปนเงน 3 x 20,000 = 60,000 บาท
220
แบบฝกหดท 6
1.1 90
1.2 48
1.3 7%
1.4 25%
1.5 600
1.6 0.5
แบบฝกหดท 7
1. 125 คน
2. 2.1 1,200 คน
2.2 480 คน
3.
วธทา สนคาทกชนดลดราคา 20 %
คณแมซอเครองแกวแลวไดสวนลด 250 บาท
ดงนนรานคาปดราคา =×20
100250 1, 250 บาท
4. วธทา สนามหญาแหงหนงกวาง 5 เซนตเมตร ยาว 8 เซนตเมตร
มาตราสวน 1 เซนตเมตร : 50 เมตร
ดงนนสนามหญาจรงกวาง 250 เมตร ยาว 400 เมตร
หาพนทสเหลยมผนผา จะได 250 x 400 = 100,000 ตารางเมตร
221
5. วธทา นกนอยไดอตราดอกเบยรอยละ 3 ตอป แตถกหกภาษรอยละ 15 คดเปน 45.0310015
=×
เทากบดอกเบยทถกหกภาษแลว 3 – 0.45 = 2.55
นกนอยฝากเงน 10,000 บาท สนปจะไดดอกเบยทถกหกภาษ รอยละ 2.55
คดเปน 255000,10100
55.2=× บาท
รวมมเงนบญช 10,000 + 225 = 10,225 บาทในตนปทสอง
สนปทสองจะไดดอกเบยรอยละ 2.55 ของเงนฝากปทสอง = 50.261255,10100
55.2=× บาท
ครบสองปจะมเงนในบญช 10,255 + 261.50 = 10,516.50 บาท
6. วธทา วระซอรถยนต ราคา 200,000 บาท
ขายตอไดกาไร 20% เปนเงน 000,40000,20010020
=× บาท
วระมเงนทงหมด 240,000 บาท
วระเอาเงนไปเลนหนขาดทน 20% เปนเงน 000,48000,24010020
=× บาท
ดงนนวระเหลอเงน 240,000 - 48,000 = 192,000 บาท
222
เฉลย บทท 5 การวด
1. จงเตมหนวยความยาวหรอหนวยพนทใหเหมาะสมกบขอความตอไปน
แบบฝกหดท 1
1.1 มลลเมตร
1.2 เซนตเมตร, เซนตเมตร, มลลเมตร
1.3 กโลเมตร
1.4 เมตร, เมตร, กโลเมตร
1.5 เซนตเมตร, เซนตเมตร, มลลเมตร
1.6 ตารางเซนตเมตร
1.7 ตารางเมตร
1.8 เมตร หรอ วา , ไร-งาน-ตารางวา, ตารางเมตร
1.9 เมตร
2. จงเตมคาลงในชองวางทกาหนดใหถกตอง
2.1 1,600
2.2 170,000
2.3 7 ไร 3 งาน 19 ตารางวา
2.4 5
2.5 2 x 1010
2.6 2,222
2.7 2.9
2.8 432
2.9 38
2.10 1,072 938,000 และ 1,400,000
3. จงตอบคาถามตอไปน พรอมแสดงวธทา
1) สวนแหงหนงมพนท 4,800 ตารางเมตร คดเปนพนทกไร
วธทา พนท 1,600 ตารางเมตร เทากบ 1 ไร
พนท 4,800 ตารางเมตร เทากบ 3600,1800,4
= ไร
2) พนท 25 ตารางฟต คดพนทกตารางเซนตเมตร
วธทา 1 ฟต = 30 เซนตเมตร
1 ตารางฟต = 30 x 30 ตารางเซนตเมตร
25 ตารางฟต = 30 x 30 x 25 = 22,500 ตารางเซนตเมตร
223
3) ลงแดงแบงทดนใหลกชาย 3 คน โดยแบงใหลกชายคนโตได 2 ไร ลกชายคนกลาง 850
ตารางวา และลกชายคนเลกได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงทดนมากทสด
วธทา คนโตได 2 ไร คดเปน 2 x 1,600 = 3,200 ตารางเมตร
คนทสองได 850 ตารางวา คดเปน 850 x 4 = 3,400 ตารางเมตร
คนเลกได 3,000 ตารางเมตร
แสดงวา คนกลางไดมากทสด
4) พนท 5,625 ไร คดเปนพนท กตารางกโลเมตร
วธทา พนท 625 ไร = 1 ตารางกโลเมตร
พนท 5,625 ไร = 9625625,5
= ตารางกโลเมตร
5) สมเกยรตซอโลหะแผนชนดหนง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนกซอโลหะแผน
ชนดเดยวกน 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซอไดถกกวากน ตารางเมตรละกบาท
(กาหนด 1 หลา = 90 เซนตเมตร)
วธทา 1 หลา = 90 เซนตเมตร
1 ตารางหลา = 90 x 90 ตารางเซนตเมตร
4 ตารางหลา = 90 x 90 x 4 ตารางเซนตเมตร
100 x 100 ตารางเซนตเมตร = 1 ตารางเมตร
ดงนน 90 x 90 x 4 ตารางเซนตเมตร = 24.3100100
49090=
xxx
ตารางเมตร
ดงนน สมนกซอโลหะแผน ราคา 567 บาท คดเปนราคาตารางเมตรละ 17524.3
567= บาท
สมเกยรตซอโลหะแผนราคา 456 บาท คดเปนราคาตารางเมตรละ 1523
456= บาท
ดงนน สมเกยรตซอไดในราคาทถกกวา
224
1.จงเตมหนวยการวดทเหมาะสมลงในชองวาง
แบบฝกหด 2
2.1 เมตร
2.2 มลลเมตร
2.3 กโลเมตร
2.4 กโลกรม
2.5 วนาท
2.6 องศาเซลเซยส
2.7 ไร – งาน – ตารางวา
2.8 ลกบาศกเซนตเมตร หรอ ลตร
2.9 เซนตเมตร
2.10 กโลกรม
1. จงหาพนทสวนทแรเงาของรปตอไปน ตวเลขทเขยนกากบดานไวถอเปนความยาวของดาน และม
หนวยเปนหนวยความยาว
แบบฝกหด 3
1. 150152021
=xx ตารางหนวย 2. 2551021
=xx ตารางหนวย
2. รปสามเหลยมหนงรปมพนท 90 ตารางเซนตเมตร มฐานยาว 12 เซนตเมตร จะมความสงก
เซนตเมตร
วธทา 90 = xx1221
สง
ความสง = 1512
290=
x
225
3. สามเหลยมมมฉาก ABC มมม BAC เปนมมฉาก และกาหนดความยาวของดานดงรป จงหาความ
ยาวของดาน A
วธทา ABC เมอ AB เปนฐาน พนทสามเหลยมคอ 1248621
−−−−−=xx
ABC เมอ BC เปนฐาน พนทสามเหลยม คอ 21021
−−−−−−−xax
สมการท 1 = สมการท 2 จะได 241021
=xax
ดงนน a = 4.8 หนวย
4. จงหาพนทของสวนทแรเงาของไมฉากรปสามเหลยม ซงมขนาดตามรป (ความยาวทกาหนดม
หนวยเปนเซนตเมตร)
30
วธทา พนทสามเหลยมรปนอก = 375253021
=xx ตารางหนวย
พนทสามเหลยมรปใน = 240202421
=xx ตารางหนวย
ดงนน พนทสวนทแรเงามพนทเทากบ 375 – 240 = 135 ตารางหนวย
226
1.1 พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน x ดาน = 8 x 8 = 64 ตารางเซนตเมตร
แบบฝกหด 4
1.2 พนทรปสเหลยมจตรส = x21
ผลคณของเสนทแยงมม = 72)1212(2
1=× ตาราง
เซนตเมตร
1.3 พนทรปสเหลยมผนผา = กวาง x ยาว = 4 x 7 = 28 ตารางเซนตเมตร
1.4 พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง = 12 x 8 =96 ตารางเมตร
1.5 พนทสเหลยมคางหม = 21
x ผลบวกดานคขนาน x สง = ( ) 48611521
=+ xx ตารางเมตร
1.6 พนทรปสเหลยมขนมเปยกปน = x21
ผลคณของเสนทแยงมม = 4881221
=xx ตารางเมตร
1.7 พนทรปสเหลยมรปวาว = x21
ผลคณของเสนทแยงมม = 4010821
=xx ตารางเมตร
1.8 พนทรปสเหลยมรปวาว = x21
ผลคณของเสนทแยงมม = 4212721
=xx ตารางเมตร
1.9 พนทรปสเหลยมใดๆ = x21
เสนทแยงมม x ผลบวกของเสนกง = ( ) 60751021
=+xx
ตารางเมตร
2. จงหาพนทสวนทแรงเงา ตวเลขทเขยนกากบไวถอวาเปนความยาวของดานและมหนวยความยาว
เปนเมตร
วธทา พนทสามเหลยมรปเลก = 84421
=xx ตารางเมตร
พนทสามเหลยมรปใหญ = 246821
=xx ตารางเมตร
จะเหนวาพนทสวนทแรเงามพนทเทากบ 24 – 8 = 16 ตารางเมตร
227
วธทา พนทสเหลยมรปใหญ = 000,24050 =x ตารางเมตร
พนทสเหลยมรปเลก = 496,13444 =x ตารางเมตร
จะเหนวาพนทสวนทแรเงามพนทเทากบ 2,000 – 1,496 = 504 ตารางเมตร
1. จงหาพนทสวนทแรเงา ตวเลขทเขยนกากบดานมหนวยเปนเซนตเมตร และจด O, Q แทนจด
ศนยกลางของวงกลม
แบบฝกหด 5
1.1
วธทา พนทสามเหลยม รป 1 = 123821
=xx
พนทสเหลยม รป 2 = 4081021
=xx
ดงนน พนททแรเงาทงหมด = 12 + 40 = 52 ตารางหนวย
228
1.2
วธทา พนทวงกลม = 5.35.3722 xx
พนททแรเงาทงหมด = 38.5 ตารางหนวย
1.3
วธทา พนทวงกลม = 15477722
=xx
พนทสเหลยม = 14 x 14 = 196
พนททแรเงาทงหมด = 196 – 154 = 42 ตารางหนวย
229
1.4
วธทา พนทสามเหลยมรปท 1 = 1 x 6 = 6
พนทสามเหลยมรปท 2 = 2 x 1 = 2
พนทสามเหลยมรปท 3 = 1 x 6 = 6
ดงนนพนทแรเงาทงหมด = 6+2+6 = 14 ตารางหนวย
1.5
วธทา พนทสเหลยมรปท 1 = 4 x 5 = 20
พนทสามเหลยมรปท 2 = 63421
=xx
ดงนน พนททงหมด = 20 + 6 = 26 ตารางหนวย
1.6
วธทา พนทสามเหลยมรปท 1 = พนทสามเหลยมรปท 2
พนทสามเหลยมรปท 1และรปท 2 = 622321
=
xxx
พนทสเหลยมรปท 3 = 5 x 3 = 15
ดงนนพนทสเหลยมทงหมด = 6 + 15 = 21 ตารางหนวย
1 1
6
2.5
2.5 2
230
1. แผนผงบานหลงหนงมลกษณะและขนาดดงรป ถาบรเวณทแรเงาตองการเทปนซเมนต โดยเสย
คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสยคาใชจายทงหมดกบาท กาหนดความยาวมหนวยเปน
เซนตเมตร
แบบฝกหด 6
วธทา พนทสเหลยมรปท 1 = 1 x 2 = 2 ตารางเมตร
พนทสเหลยมรปท 2 = 1 x 3 = 3 ตารางเมตร
พนทสเหลยมรปท 3 = 1.5 x 2 = 3 ตารางเมตร
ดงนนพนทสวนทแรเงา = 2+3+3 = 8 ตารางเมตร
ตองการเทปนซเมนตโดยเสยคาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท
จะตองเสยคาใชจายทงหมด = 250 x 8 = 2,000 บาท
2. ตองการตดเสอตวหนงมลกษณะดงรป จะตองใชผากตารางเมตร (ไมคดตะเขบ) ความยาวท
กาหนดมหนวยเปนเซนตเมตร
231
วธทา พนทสเหลยมสวนแขนเสอ สวนท 1= (21
x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร
พนทสเหลยมสวนแขนเสอ สวนท 2= (21
x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร
พนทสเหลยมสวนทเปนลาตว = 0.4 x 0.4 = 0.16 ตารางเมตร
พนททงหมด คอ 0.0375 + 0.0375 + 0.16 = 0.235
จะตองใชผา 2 ชน จะตองใชผาทงหมด 0.235 x 2 = 0.47 ตารางเมตร
1. จงคาดคะเนเวลาหรอชวงเวลาใหเหมาะสมกบสถานการณตอไปน
แบบฝกหด 7
1.1 5.00 นาฬกา
1.2 12.00 นาฬกา
1.3 หนาว , ธนวาคม
2. จงวงกลมลอมรอบขอทเหมาะสมทสด สาหรบใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาหนก หรอ
ขนาดของสงตอไปน
2.1 ข
2.2 ข
2.3 ก
2.4
2.4.1 ค
2.4.2 ก
2.4.3 ข
2.4.4 ข
2.5
2.5.1 ข
2.5.2 ก
3. ทางหลวงสายพหลโยธนกรงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโลเมตร รถประจาทางปรบอากาศวงบน
ทางหลวงสายนตลอดเสนทางดวยอตราเรว 80-100 กโลเมตรตอชวโมง
3.1 10 – 12 ชวโมง
3.2 4.00 – 6.00
3.3 24.00 – 2.00
232
4. ลฟตของโรงแรมแหงหนงบรรทกผโดยสายไดเทยวละไมเกน 10 คน (600 กโลกรม) บางครงม
ผโดยสารเขาลฟตเพยง 8 คน ลฟตจะมเสยงเตอน บางครงมผโดยสาร 12 คน ลฟตไมมเสยงเตอนยง
ใชงานไดเปนเพราะเหตใด จงอธบาย
ตอบ ถานาหนกของคน 8 คน รวมกนเกน 600 กโลกรม
ถานาหนกของคน 12 คน รวมกนไมเกน 600 กโลกรม
5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงเทพฯ-บานคลองพราน จงหวดนราธวาส) 1,352 กโลเมตร ทาง
หลวงสายมตรภาพ (กรงเทพฯ-จงหวดหนองคาย) 508 กโลเมตร ทางหลวงสายสขมวท (กรงเทพฯ-
จงหวดตราด) 400 กโลเมตร
5.1 ระยะทาง 1,352 + 508 = 1,860 กโลเมตร
ใชอตราเรว 90 – 100 กโลเมตร ตอชวโมง จะใชเวลาประมาณ 19 – 22 ชวโมง
5.2 ใชเวลา 52.13100352,1
= ชวโมง จะถงนราธวาสเมอเวลาประมาณ ต 2
5.3 ใชเวลา 580400
= ชวโมง
5.4 ทางหลวงเพชรเกษม ประมาณ 1,400 กโลเมตร
ทางหลวงมตรภาพ ประมาณ 500 กโลเมตร
ทางหลวงสขมวท ประมาณ 400 กโลเมตร
233
เฉลย บทท 6 พนทผวและปรมาตร แบบฝกหดท 1
1. จงหาพนทผวและปรมาตรของปรซมตอไปน
วธทา ปรมาตร = พนทฐาน x สง
= 53821 xxx
= 60 ลกบาศกเซนตเมตร
วธทา ปรมาตร = พนทฐาน x สง
= 421221 xxx
= 48 ลกบาศกเซนตเมตร
1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของทรงกระบอกสง 10 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14
เซนตเมตร
แบบฝกหดท 2
วธทา ปรมาตร = ¶ 2r h
= 540,11077722
=xxx ลกบาศกเซนตเมตร
พนทฐาน = ¶ 2r
= 15477722
=xx ตารางเซนตเมตร
พนทผวขาง = 2¶rh
= 4401077222 =xxx ตารางเซนตเมตร
ดงนนพนทผวทงหมด คอ 440 + (154 x 2) = 748 ตารางเซนตเมตร
234
2. จงหาปรมาตรของทรงกระบอกใบหนงทมรศมของฐาน 3.5 นว และสง 5 นว
วธทา ปรมาตร = ¶ 2r h
= 5.19255.35.3722
=xxx ลกบาศกนว
3. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของถงเกบนารปทรงกระบอกใบหนงทมรศมทฐาน 3 เมตร
สง 4 เมตร 90 เซนตเมตร
วธทา ปรมาตร = ¶ 2r h
= 6.1389.433722
=xxx ลกบาศกเมตร
พนทผวขาง = 2¶rh
= 4.929.437222 =xxx ตารางเมตร
พนทฐานทง 2 ขาง = 2 x (3.14)x 3x 3 = 56.52 ตารางเมตร
ดงนนพนทผวทงหมด = 92.4 + 56.52 = 148.92 ตารางเมตร
1. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของพระมดทสง 6 เซนตเมตร ฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาว
ดานละ 16 เซนตเมตร
แบบฝกหดท 3
วธทา หาสงเอยง จากสตร 222 bac +=
222 68 +=c
C = 10
พนทฐานสเหลยมจตรส = 16 x 16 = 256 ตารางเซนตเมตร
ปรมาตรพระมด = x31
พนทฐาน x สง
= 625631 xx = 512 ตารางเซนตเมตร
พนทผวเอยง = ( ) 1016421 xxx = 320 ตารางเซนตเมตร
ดงนนพนทผวทงหมด = 256 + 320 = 576 ตารางเซนตเมตร
235
2. จงหาพนทผวเอยงของพระมดฐานรปหกเหลยมดานเทา มมเทา ยาวดานละ 4 เซนตเมตร สงเอยง
7.5 เซนตเมตร
วธทา พนทผวเอยง = x21
ความยาวรอบฐาน x สงเอยง
= x21
(4 x 6) x 7.5
= 2 x 6 x 7.5 = 90 ตารางเซนตเมตร
1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสง 24 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14
เซนตเมตร
แบบฝกหดท 4
วธทา ปรมาตร = 31 ¶ 2r h
= 2477722
31 xxxx
= 1,232 ลกบาศกเซนตเมตร
สงเอยง = 222 724 +=A = 625
A = 25
พนทฐาน = ¶ 2r
= 15477722
=xx ตารางเซนตเมตร
พนทผวเอยง = ¶rl
= 550257722
=xx ตารางเซนตเมตร
ดงนนพนทผวทงหมด = 154 + 550 = 704 ตารางเซนตเมตร
2. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสงเอยง 5 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง
8 เซนตเมตร (ตอบในรป π)
วธทา หาสงตรง 222 bac +=
222 45 −=a
a = 3
ปรมาตร = 31 ¶ 2r h
236
= 31 ¶ 342 x = 16 ¶ ลกบาศกเซนตเมตร
พนทผวเอยง = ¶rl
= ¶ (4)(5) = 20 ¶ ตารางเซนตเมตร
พนทฐาน = ¶ 2r
= ¶ 24 = 16 ¶ ตารางเซนตเมตร
พนทผวทงหมด = 20 ¶ + 16¶ = 36¶ ตารางเซนตเมตร
3. จงหาปรมาตรจรวดทรงกระบอกมปลายเปนกรวย มเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร ความยาว
ทรงกระบอก 30 เซนตเมตร ความสงยอดกรวย 12 เซนตเมตร
วธทา ปรมาตรทรงกระบอก = ¶ 2r h
= 3077722 xxx = 4,620 ลกบาศกเซนตเมตร
ปรมาตรทรงกรวย = 31 ¶ 2r h
= 1277722
31 xxxx = 616 ลกบาศกเซนตเมตร
ปรมาตรทงหมด = 4,620 + 616 = 5,236 ลกบาศกเซนตเมตร
1. จงหาปรมาตรและพนทผวของทรงกลมซงมเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร
แบบฝกหดท 5
วธทา ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r
= 777722
34
×××× = 1,437.3 ลกบาศก
เซนตเมตร
พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r
= 4 x 77722 xx = 616 ตารางเซนตเมตร
237
2. ทรงกลมมปรมาตร 38,808 ลกบาศกเซนตเมตร จงหารศมและพนทผว
วธทา ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r
38,808 = 3
722
34 xrx
3r = 224
73808,38×
××
r = 21 เซนตเมตร
พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r
= 21217224 xxx = 5,544 ตารางเซนตเมตร
3. ทรงกลมมพนทผว 616 ตารางนว จงหาปรมาตรของทรงกลม
วธทา พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r
616 = 2
7224 r××
2r = 616 227
41××
r = 7 เซนตเมตร
ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r
= 777722
34
××××
= 1,437.33 ลกบาศกเซนตเมตร
4. โลหะกลมลกหนง รศมภายนอก 21 เซนตเมตร รศมภายใน 7 เซนตเมตร จงหาปรมาตรเนอโลหะ
วธทา ปรมาตรทรงกลมรปนอก = 34 ¶ 3r
= 212121722
34
××××
= 38,808 ลกบาศกเซนตเมตร
ปรมาตรทรงกลมรปใน = 34 ¶ 3r
= 777722
34
××××
= 1,437.33 ลกบาศกเซนตเมตร
ดงนนปรมาตรเนอโลหะ = 38,808 - 1,437.33 = 37,370.67
238
1. สระแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา กนสระกวาง 5 วา ลก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครองสบนา
ออกจากสระไดนาทละ 9,000 ลตร จะตองใชเวลาสบนาเทาไร
แบบฝกหดท 6
วธทา ปรมาตรสระนา = กวาง x ยาว x ลก
= 10 x 15 x 3 ลกบาศกเมตร
= 450 ลกบาศกเมตร
1 ลกบาศกเมตร = 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร
= 450 x 1,000,000
= 450,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร
1 ลตร = 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร
= 000,450000,1
000,000,450= ลตร
สบนาออกจากสระไดนาทละ = 9,000 ลตร
ตองใชเวลาสบนา = 50000,9
000,450= นาท
2. อางเลยงปลาทรงสเหลยมมมฉากกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.2 เมตร จนา 540 ลตร ตองการป
กระเบองภายในอางดวยแผนกระเบองรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 10 เซนตเมตร ตองใชกระเบอง
อยางนอยทสดเทาไร
วธทา อางเลยงปลาจนา 540 ลตร คดเปน 540 x 1,000 = 540,000 ลกบาศกเซนตเมตร
หาความลกอางเลยงปลาจาก 540,000 = 90 x 120 x ลก
ความลก = 5012090000,540
=×
เซนตเมตร
หาพนทอางเลยงปลาดานท 1 = 50 x 90 = 4,500 ตารางเซนตเมตร
หาพนทอางเลยงปลาดานท 2 = 50 x 90 = 4,500 ตารางเซนตเมตร
หาพนทอางเลยงปลาดานท 3 = 50 x 120 = 6,000 ตารางเซนตเมตร
หาพนทอางเลยงปลาดานท 4 = 50 x 120 = 6,000 ตารางเซนตเมตร
หาพนทอางเลยงปลาดานท 5 = 90 x 120 = 10,800 ตารางเซนตเมตร
หาพนทอางเลยงปลาดานท 6 = 90 x 120 = 10,800 ตารางเซนตเมตร
ดงนนพนทอางเลยงปลาทงหมด = 4,500 +4,500 +6,000 +6,000 +
10,800 +10,800= 42,600 ตารางเซนตเมตร
หาพนทกระเบอง = 10 x 10 = 100 ตารางเซนตเมตร
ดงนนตองใชกระเบอง = 426100
600,42= แผน
239
3. นายาบวนปากขวดหนงปรมาตรสทธ 700 มลลลตร ใชอมปวนปากครงละ 10 มลลลตร วนละ 2
ครง จะใชไดกวน
วธทา นายาบวนปากขวดหนงปรมาตรสทธ 700 มลลลตร
ใชนายาบวนปาก ครงละ 10 มลลลตร วนละ 2 ครง = 10 x 2 = 20 มลลลตร
จะใชไดทงหมด = 3520
700= วน
4. ถงนาทรงลกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จนาไดกลตร
วธทา ถงนาทรงลกบาศก มความจ = 2 x 2 x 2 = 8 ลกบาศกเมตร
คดเปน = 8 x 1,000,000 = 8,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร
จนาได = 000,1
000,000,8 = 8,000 ลตร
5. ถงทรงสเหลยมมมฉากวดภายในกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.50 เซนตเมตร สง 1.20 เมตร บรรจนา
เตมถง ถาตองการตวงนามนจากถงใสแกลอนซงมความจ 4.5 ลตร จะไดนาทงหมดกแกลอน
วธทา ถงทรงสเหลยมมปรมาตร = 90 x 150 x 120
= 1,620,000 ลกบาศกเซนตเมตร
สามารถจนาได = 000,1
000,620,1
= 1,620 ลตร
และแกลอน 1 ใบสามารถจนาได = 4.5 ลตร
ดงนน นา 1,620 ลตร สามารถจได = 3605.4
620,1= แกลอน
240
1. ถงเกบนามนของปมแหงหนงเปนรปทรงกลม มเสนผานศนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสครงทรงกลม
บน โดยเสยคาทาสตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยคาทาสกบาท
แบบฝกหดท 7
วธทา พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r
พนทผวครงทรงกลม = x21
4¶ 2r
= 5.35.37224
21
××××
= 77 ตารางเมตร
เสยคาทาสตารางเมตรละ = 40 บาท
จะเสยคาทาส = 77 x 40
= 3,080 บาท
2. หนออนทรงลกบาศกมขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลงใหเปนรปทรงกลมใหมขนาดเสน
ผานศนยกลางเทากบความยาวของดานลกบาศก จะหาวาจะตองกลงหนออกไปปรมาตรเทาใด
วธทา
ปรมาตรลกบาศก = ดาน
= 2.1 x 2.1 x 2.1 = 9.261 ลกบาศกเมตร
3
ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r
=
×
×
××
21.2
21.2
21.2
722
34
= 4.851 ลกบาศกเมตร
จะตองกลงออก = 9.261 – 4.851
= 4.41 ลกบาศกเมตร
241
3. นาแทงตะกวทรงสเหลยมมมฉากกวาง 8 นว ยาว 11 นว หนา 5 นว ไปหลอมเปนลกปนทรงกลม
ขนาดรศม 1 นว จะหลอมไดกลก
วธทา ปรมาตรของรปสเหลยมมมฉาก = 8 x 11 x 5
= 440 ลกบาศกนว
ปรมาตรลกปนทรงกลม 1 ลก = 34 ¶ 3r
= ( )31722
34
××
= 2188
ลกบาศกนว
จานวนลกปนทได = 440 ÷ 2188
= 440 × 8821
= 105 ลก
242
เฉลยบทท 7 เรองคอนดบและกราฟ
1. จงเขยนคอนดบจากแผนภาพทกาหนดใหตอไปน
แบบฝกหดท 1
1.1 (1,-1), (2,-2), (3,-3), (4,-4)
1.2 (1,c), (2,b), (3,a) , (4,d)
1.3 (1,0), (2,-1), (3,-2), (4,-3),(5,-4)
2. จงหาคา x และ y จากเงอนไขทกาหนดใหในแตละขอตอไปน
2.1 x = 4 , y = 3
2.2 x = y , y = 2
2.3 x = 6 , y = 0
2.4 x = 4 , y = 4
แบบฝกหดท 2
1.1 A = ( 1,3) B= (-1,2) C= (-4, -2) D=(1,-1)
1.2 A = ( 0,2) B= (-3,1) C= (4, 0) D=(3,-4)
243
2.1
244
2.2
กราฟขางลางแสดงการเดนทางของอนวฒนและอนพนธ
แบบฝกหดท 3
3.1 2 ชวโมง
3.2 3 ชวโมง
3.3 320 กโลเมตร
3.4 2 ชวโมง
3.5 160 กโลเมตร
245
เฉลย บทท 8 ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมตและสามมต
1. จงบอกชนดของรปเรขาคณตสามมตทมรปคลดงตอไปน
แบบฝกหดท 1
1. พระมดฐานสามเหลยม 2. ปรซมสเหลยม หรอทรงสเหลยมมมฉาก
3. พระมนฐานหกเหลยม 4. ปรซมหาเหลยม
2. จงเขยนรปคลของรปเรขาคณตสามมตในแตละขอตอไปน
246
247
แบบฝกหดท 2
248
จงจบคภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนกบรปเรขาคณตสามมตท
กาหนดใหทางขวามอ โดยเลอกตวอกษรทกากบไวในรปเรขาคณตสามมต เขยนเตมลงในชองวาง
บนขวาของแตละขอ
แบบฝกหดท 3
ค
ก
249
ข
จ
ง
250
2. จงเขยนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรปเรขาคณตสามมตตอไปน พรอมทงเขยน
จานวนลกบาศกกากบไวในตารางสเหลยมจตรส
251
เฉลย บทท 9 สถต
แบบฝกหดท 1
4 4ขอท 4
ขอความ ขอมลสถต
4 4เปน ไมเปน
4 41 แดงสง 163 เซนตเมตร
4 42 นางสาวภาวมสวนสดเปน 35-24-36
4 43 นาหนกของนกเรยนทกคนทเรยนชดการเรยนทางไกล
4 44 อณหภมทจงหวดปทมธานวนนวดได 25 องศาเซลเซยส
4 45 สมศรไดคะแนน 15 คะแนน
4
4
6
106
ในการโยนเหรยญ 10 ครง เกดหว 6 ครง เกดกอย 4 ครง ได
อตราสวนทจะเกดหว
4 47 อาจารยศภราเงนเดอน 23,000 บาท
4 48 ความสงเฉลยของประชาชนทเปนชาย 162 เซนตเมตร
4 49 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญง 2 คน ทอยในบานวชย
4
4
10 จานวนคดอาชญากรรมในป 2551 ซงรวบรวมมาจากบนทกคด
อาชญากรรมแตละวนในแตละสถานตารวจ
4
4
2. ใหผเรยนพจารณาขอมลในแตละขอตอไปน แลวเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบความ
คดเหน
4ขอท
4
ขอความ
ขอมลสถต
4 4ขอมล
คณภาพ
ขอมล
ปรมาณ
4 41 สถตคนไขแยกตามเชอโรคของโรงพยาบาลแหงหนง
4
4
2 จานวนครงของการโทรศพททางไกลจากแตละเครองใน
สานกงาน 10 เครอง ในวนหนง
4
4
3 ผจดการถกสมภาษณถงจานวนเปอรเซนตของเวลาทางานทใชใน
การประชม
4
4
4 เครองสาอางโดยเฉพาะสของสทาปาก ซงแตละบรษทใน 10
บรษท ไดระบวามยอดขายมากทสด
252
4
3.1 ทตยภม
3. ใหผเรยนพจารณาขอความตอไปน แลวเตมคาตอบลงในชองวางตามความคดเหนของผเรยนวา
เปนขอมลปฐมภม หรอทตยภม
3.2 ปฐมภม
3.3 ทตยภม
3.4 ปฐมภม
3.5 ทตยภม
4
แบบฝกหดท 2
1. แผนภมรปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสนคาแหงหนงโดยเฉลยตอวน จาแนกตามแผนก
ตางๆ
1.1 นอยกวา 0.86 %
1.2 รายไดจากแผนกเครองสาอางนอยทสด คดเปน 12.87% ของรายไดจากแผนกทรายไดมาก
ทสด
1.3 51.43%
1.4 แผนกเครองเขยนแบบเรยน คดเปน 20.11% ของรายไดทงหมด
253
2. จากการสอบถามงบประมาณทแตละกลมสาระการเรยนรไดมาจากการจดสรรงบประมาณของ
ทางโรงเรยน เปนดงน
กลมสาระการเรยนร งบประมาณ
(บาท)
จานวนเปอรเซนต ขนาดของมมทจดศนยกลาง
ของรปวงกลม (องศา)
คณตศาสตร 35,000 29.10100000,340
000,35=× 06.37360
000,340000,35
=×
วทยาศาสตร 100,000 29.41 105.88
ภาษาตางประเทศ 48,000 14.12 50.82
ภาษาไทย 34,500 10.15 36.53
ศลปะ 18,500 5.44 19.59
การงานอาชพและเทคโนโลย 40,500 11.91 42.83
สขศกษาและพลศกษา 29,500 8.68 31.24
สงคมศกษา ศาสนา และ
วฒนธรรม
34,000 10.00 36.0
3. จงเขยนแผนภมรปวงกลมโดยใชจานวนเปอรเซนตและขนาดของมมทจดศนยกลางของรป
วงกลมทคานวณไดจากตารางขางตน
254
4. ใหผเรยนพจารณากราฟเสนตอไปน
4.1 พ.ศ. 2529 , พ.ศ. 2531 , พ.ศ. 2533
4.2 พ.ศ. 2529 แตกตางกนประมาณ 28,000 ลกบาศกเมตร
4.3 ปรมาณไมสกและไมประดทผลต จะลดลงเรอยๆ แตปรมาณไมประดจะมการเปลยนแปลง
มากกวา
4.4 ไมสกผลตได %47.76100000,34000,26
=× ของไมประด
4.5 ปทผลตไดมากทสด คอ พ.ศ. 2530 คอ 52,000 ลกบาศกเมตร
ปทผลตไดนอยสด คอ พ.ศ. 2533 คอ 5,000 ลกบาศกเมตร
ดงนน ทงสองปนตางกนอย 52,000 – 5,000 = 47,000 ลกบาศกเมตร
5. ตารางแสดงรายรบ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดอนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดงน
255
4จากตารางนาเสนอขอมลดวยกราฟเสน ไดดงน
แบบฝกหดท 3
1. จากขอมล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน
คาเฉลยเลขคณต = 7
มธยฐาน = 4
ฐานนยม = 6
2. จากขอมล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน
คาเฉลยเลขคณต = 20.33
มธยฐาน = 18
ฐานนยม = 36
3. จากขอมล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน
คาเฉลยเลขคณต = 11.83
มธยฐาน = 11.95
ฐานนยม = -
256
1. จากตารางใหนกเรยนหาความถสะสม โดยเตมลงในชองความถสะสม
แบบฝกหดท 4
มธยฐาน = 45
ฐานนยม = 45
คาเฉลยเลขคณต คอ 44.72
257
3. ตอไปนเปนตารางแจกแจงความถของนาหนก (หนวยเปนกโลกรม) ของนกเรยน 60 คน
หาความถสะสมไดดงน
2) ฐานนยมของนาหนกอยในชวงใด4
ตอบ 40 -44
3) โดยสวนใหญนกเรยนหนกอยในชวงใด4
ตอบ 40 -44
4). ถาเรยงนาหนกนอยทสดไปยงนาหนกมากทสด จงหาตาแหนงของมธยฐาน
4
5) นกเรยนคดวามธยฐานของนาหนกอยในชวงใด4
ตอบ มธยฐานอยระหวางนาหนกของคนท 30 และ 31
ตอบ 40 -44
258
6) หาคาเฉลยเลขคณต ใหนกเรยนเตมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบรณ
259
260
เฉลย บทท 10 เรองความนาจะเปน
แบบฝกหดท 1
1. ใหผเรยนพจารณาการทดลองสมตอไปนวาผลจากการทดลองสมอาจเปนอยางไรบาง
1.1 อาจได หว หรอ กอย
1.2 อาจไดหวทง 2 เหรยญ หรอได หว และ กอย หรออาจไดกอยทงสองเหรยญ
1.3 อาจไดลกปงปองสเหลองสองลก หรอสเหลอง 1 ลกและสแดง 1 ลก
2. จงเขยนผลทอาจจะเกดขนไดทงหมดจากการหมนแปนวงกลมทมหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน
เหรยญบาท 1 อน
ตอบ H,1 H,2 T,1 T, 2
3. จงเขยนผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดจากการหยบสลาก 1 ใบ จากสลากทเขยนหมายเลขตงแต 10 ถง 20
ไว
ตอบ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
แบบฝกหดท 2 1. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงเขยน
1.1 1, 2, 3, 4, 5,6
1.2 1, 2, 3, 4, 5
1.3 3, 6
2. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครงจงเขยน
2.1 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
2.2 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) (6,2)
2.3(4,6), (5,5), (5,6), (6,4),(6,5),(6,6)
2.4 (1,1),(1,2), (2,1)
2.5 (1,1), (1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6), (3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),
(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)
261
2.6 ไมม หรอ เปนเหตการณทเปนไปไมได
3. จากการสอบถามถงปกรายงานทผเรยนชอบ 2 ส ในจานวน 5 ส คอ สขาว สฟา สชมพ ส
เขยว และสเหลอง จงเขยน
3.1 (สขาว,สฟา), (สขาว,สชมพ), (สขาว,สเขยว), (สขาว,สเหลอง), (สฟา,สชมพ), (สฟา,ส
เขยว), (สฟา,สเหลอง), (สชมพ,สเขยว), (สชมพ,สเหลอง), (สเขยว,สเหลอง)
3.2 (สขาว,สฟา), (สขาว,สชมพ), (สฟา,สชมพ), (สฟา,สเขยว), (สฟา,สเหลอง), (สชมพ.ส
เขยว), (สชมพ,สเหลอง)
1
แบบฝกหดท 3
105
2. 61
3. 75
4. 521
5. 5226
6. 366
7. ไมม
8. 100 ใบ
9. 41
10. 126
จากโจทยตอไปนใหนกเรยนตอบวาใครไดเปรยบ
แบบฝกหดท 4
1. ใหนกเรยนทาลกบาศกหนงลกแลวเขยนเลข 1 ทหนาหนงของลกบาศก เขยนเลข 2 ทหนาอก
สองหนา สวนอกสามหนาทเหลอเขยน 3 ใชกตกาตอไปนตดสนการแพ ชนะ เสมอในการโยน
ลกบาศกททาขนนคนละครง
1.1 ไมมใครไดเปรยบเสยเปรยบ
1.2 ผเลนคนทสองไดเปรยบ
262
คณะผจดทา
ทปรกษา
1. นายประเสรฐ บญเรอง เลขาธการ กศน.
2. ดร.ชยยศ อมสวรรณ รองเลขาธการ กศน.
3. นายวชรนทร จาป รองเลขาธการ กศน.
4. ดร.ทองอย แกวไทรฮะ ทปรกษาดานการพฒนาหลกสตร กศน.
5. นางรกขณา ตณฑวฑโฒ ผอานวยการกลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
ผเขยนและเรยบเรยง 1. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ
2. นางสาวกรณา ตตยรตนาภรณ ขาราชการบานาญ
ผบรรณาธการ และพฒนาปรบปรง
1. นายชมพล หนสง ขาราชการบานาญ
2. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ
3. นางสาวสรนธร นาคคม สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร
4. นางสาวบบฮารา สะมท สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร
5. นางพรทพย กลารบ กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
6. นายสรพงษ มนมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
คณะทางาน
1. นายสรพงษ มนมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
2. นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
3. นางสาววรรณพร ปทมานนท กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
4. นางสาวศรญญา กลประดษฐ กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
5. นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
ผพมพตนฉบบ
นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน
ผออกแบบปก
นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน