Aljabar Linear Mesin v2

8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2

1/59

MATRIKS


2/59

DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS

22

22

kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi

panjang, serta termuat diantara sepasang tandakurung.

Apakah yang dimaksuddengan Matriks ?


3/59

NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS

33

33

Nama matriksmenggunakan huruf besarAnggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecilmaupun angka

Digunakan kurung biasa atau kurung siku

Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknyakolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matrikstersebut.

−=

675

231 A

=

ih g

f ed

cba

H


4/59


Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan nkolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.

Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

Notasi A =(aij)

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

..................

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A =

Dengan i = 1,2,...,m

j = 1,2,...,n


5/59

MATRIKSMATRIKS

!!

!!

Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2

Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks

dinamakan entri dalam matriks atau disebut jugaelemen atau unsur.

−

=

16

12

13

41

A


6/59


""

""

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

6

Baris

Kolom Unsur Matriks

Matriks berukuran m x n

atau berorde m x n


7/59

MATRIKS #ARIS DAN KO$OMMATRIKS #ARIS DAN KO$OM

%%%%

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu

baris

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu

kolom.

[ ]4121=C

=

4

3

1

E


8/59

MATRIKS A & #MATRIKS A & #

''''

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila Adan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama

(berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di

dalamnya sama.

aij = bij dimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j

- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j

A = B

dan

A ≠ B

dan

=

10

42 A

=

10

42 B

=

510

242 A

=

13

41 B


9/59

(EN)*M$A+AN MATRIKS

,,,,

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannyasama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang

diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang

seletakbersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

!atriks-matriks yang ordoukurannya berbeda tidak dapatditambahkan.

dan

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

=

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

+++

+++

+++

=+

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

B A


10/59

(EN)*M$A+AN MATRIKS

-.-.-.-.

"ontoh #oal

−

−=

22

31

24

A

−

−

=

21

12

43

B

−−+++−−+

=+2212

1321

4234

B A

−

−=+

43

4127

B A


11/59

(EN/*RAN/AN MATRIKS

--------

A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan

mengurangkan bersama-sama entri yang seletakbersesuaian

dalam kedua matriks tersebut.

!atriks-matriks yang ordoukurannya berbeda tidak dapatdikurangkan.

dan

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

=

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

−−−

−−−

−−−

=−

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

B A


12/59

(EN/*RAN/AN MATRIKS

-2-2-2-2

Contoh $

−−

=043

322

101

A

−=

243

421

111

B

−−−

−−−+

−−−−

=−

204433

432212

111011

B A

−

−−−

=−

200

703

210

B A


13/59

(ERKA$IAN MATRIKS

DEN/AN SKA$AR

-3-3-3-3

%ika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(a ij ) maka

matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan

mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

!engalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan

atau dibelakang matriks.

[C]=k[A]=[A]k

=

15

83 A

=

1*45*4

8*43*44 A

=

420

32124 A


14/59

(ERKA$IAN MATRIKS

DEN/AN SKA$AR

----

#i&at-si&at perkalian matriks dengan skalar $

k(B+") = kB + k"

k(B-") = kB-k"(k'+k)" = k'" + k"

(k'-k)" = k'" k"

(k'.k)" = k'(k")


15/59

(ERKA$IAN MATRIKS

DEN/AN SKA$AR

-!-!-!-!

"ontoh $

dengan k = , maka

*(A+B) = (A+B) = A+B

−=

12

10 A

=

11

43 B

=

=

+

−=+

06

106

03

53*2

11

43

12

10!*2!2 B A

=

+

−=

+

−=+

06

106

22

86

24

20

11

43*2

12

10*222 B A

TERBUKTI


16/59

(ERKA$IAN MATRIKS

DEN/AN SKA$AR

-"-"-"-"

"ontoh $

dengan k' = dan k = , maka

(k'+k)" = k'." + k."

−=

12

11C

−=

−=

−+=+

510

55

12

11*5

12

11*32!*! 21 C k k

TERBUKTI

−=

−+

−=

−+

−=+

51055

3633

2422

1211*3!

1211*2!**! 21 C k C k


17/59

(ERKA$IAN MATRIKS(ERKA$IAN MATRIKS

-%-%-%-%

erkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak

bersi&at komutati&. #yarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama

matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. %ika matriks A berukuran mn dan matriks B berukuran np

maka hasil dari perkalian AB adalah suatu matriks "=(/ij )

berukuran mp dimana


18/59


-'-'-'-'

Contoh :

=

0

1

3

B

[ ] [ ] [ ]110*1!1*2!3*3!

0

1

3

*123* =++=

= B A

[ ]123= A

[ ]

=

=

=000

123

36"

1*02*03*0

1*12*13*1

1*32*33*3

123*

0

1

3

* A B


19/59


-,-,-,-,

Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A0 = A.A 1 A2=A0.A dan seterusnya

Apabila AB = B" maka tidak dapat disimpulkan bah3a A="

(tidak berlaku si&at penghapusan) Apabila AB = A" belum tentu B = "

Apabila AB = 4 maka tidak dapat disimpulkan bah3a A=4 atauB=4 5erdapat beberapa hukum perkalian matriks $

'. A(B") = (AB)"

. A(B+") = AB+A"

. (B+")A = BA+"A

6. A(B-")=AB-A"7. (B-")A = BA-"A

8. A(B") = (aB)"= B(a")

9. A: = :A = A


20/59

(ER(AN/KATAN MATRIKS(ER(AN/KATAN MATRIKS

2.2.2.2.

#i&at perpangkatan pada matriks sama seperti si&at perpangkatanpada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana

berlaku $

A2 = A A

A

3

= A

2

AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan setersn!a


21/59


2-2-2-2-

5entukan hasil A0 dan A2

−=

02

11 A

−

−=

−

−==

22

13

02

11

02

112 AxA A

−

−=

−

−

−==

26

35

22

13

02

1123 AxA A


22/59


22222222

5entukan hasil A0 + A2

−=

02

11 A

−

−=

−

−⋅=

44

26

22

1322

2 A

−

−=

−

−⋅=

66

"15

22

3533 3 A

−−=

−−+

− −=+ 1010

7"66"15

442632 32 A A


23/59

)ENIS 0)ENIS MATRIKS )ENIS 0)ENIS MATRIKS

23232323

Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang

berukuran n n

Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya

adalah bilangan nol

#i&at-si&at dari matriks nol $-A+4=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 4

-A4=4, begitu juga 4A=4.

=

13

41 A

=

00

00

00

23 xO


24/59


2222

Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemendiatas dan diba3ah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan

sebagai D.

Contoh :

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen

pada diagonalnya sama

=

500

020

001

33 x

D

=

500

050

005

33 x D


25/59


2!2!2!2!

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemenpada diagonal utamanya bernilai '.

#i&at-si&at matriks identitas $

A:=A

:A=A

Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di

ba3ah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga a!ah adalah matriks persegi yang elemen

di atas diagonal utamanya bernilai nol

=

100

010

001

D

=

600

210

542

A

=

152

043

001

B


26/59

DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS

2"2"2"2"

Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memilikinilai determinan

Nilai determinan dari suatu matriks merupakansuatu skalar.

Jika nilai determinan suatu matriks sama dengannol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.


27/59

MATRIKSMATRIKS E$EMENTERE$EMENTER

2%2%2%2%


28/59


2'2'2'2'


29/59


2,2,2,2,


30/59

IN1ERSIN1ERS MATRIKSMATRIKS

3.3.3.3.


31/59

"onto#


32/59

IN1ERSIN1ERS MATRIKSMATRIKS

32323232


33/59

S ( $S ( $

33333333


34/59

S ( $S ( $

3333

$ati#an

%&Tent'an sosi 'eda siste *eri'tse+ara *ersaaan&


35/59

2& Tent'an 'ondisi !an, #arsdi-en#i oe# b

se#in,,a siste -ersaaan inear*eri't

'onsisten

S ( $S ( $

3!3!3!3!


36/59

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

3"3"3"3"

Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkarFungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan Adet(A) sering dinotasikan |A|


37/59

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

3%3%3%3%

Pada matriks 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :

Contoh :

=

2221

1211

aa

aa A

21122211det! aaaa A −=

= 3152

A 156det! =−= A

2221

1211det!

aa

aa A =

31

52

det! = A


38/59

METODE SARR*SMETODE SARR*S

3'3'3'3'

Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

122133112332132231322113312312332211det! aaaaaaaaaaaaaaaaaa A −−−++=

=333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A


39/59

METODE SARR*SMETODE SARR*S

3,3,3,3,

Contoh :

Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrus

det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2= 18

−−

−−=

102

311

322

A


40/59

MINORMINOR

....

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aijadalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ke-ntadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan MijContoh Minor dari elemen a

₁₁

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A3332

2322

11aa

aa M =

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M =


41/59

MINORMINOR

----

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)


42/59

KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS

2222

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan

Contoh :Kofaktor dari elemen a11

2323

32

23 1! M M c −=−= +


43/59

TEOREMA $A($AETEOREMA $A($AE

3333

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlahperkalian elemen-elemen dari sembarang baris ataukolom dengan kofaktor-kofaktornya


44/59


Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada BarisMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor baris pertama|A|

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

131312121111

131312121111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=


45/59


!!!!

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris

kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor barisketiga

|A|

3231

1211

23

3331

1311

22

3332

1312

21

232322222121

232322222121

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=

2221

1211

33

2321

1311

32

2322

1312

31

333332323131

333332323131

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=


46/59


""""

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada KolomMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor kolom pertama|A|

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11

313121211111

313121211111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=


47/59


%%%%

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom

kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomketiga

|A|

2321

1311

32

3331

1311

22

3331

2321

12

323222221212

323222221212

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=

2221

1211

33

3231

1211

23

3231

2221

13

333323231313

333323231313

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=


48/59

DET MATRIKS SE/ITI/ADET MATRIKS SE/ITI/A

''''

Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupasegitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A)adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

dst aaa A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 332211det!

12"64"63!2det! −=⋅⋅⋅−⋅= A


49/59

TRANS(OSE MATRIKS

,,,,

%ika A adalah suatu matriks m n, maka tranpose A

dinyatakan oleh A;

dan dide&inisikan dengan matriks n m A A A A A A A A A A A

yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom

keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan

kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.

"ontoh $matriks A $ berordo

transposenya $ berordo

=

314

131 A

=

31

13

41t A


50/59

TRANS(OSE MATRIKS

!.!.!.!.

Beberapa #i&at !atriks 5ranspose $

T T

T T T

T T

T T T

kAkA

A B AB

A A

B A B A

=

=

=

+=+

.!4

.!3

.!2

.!1


51/59

TRANS(OSE MATRIKS

!-!-!-!-

embuktian aturan no' $

++++++

=

+

=+

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

bababa

bababa

bbb

bbb

aaa

aaa B A

=

232221

131211

bbbbbb B

=

232221

131211

aaa

aaa A

=

2313

2212

2111

aa

aa

aa

AT

=

2313

2212

2111

bb

bb

bb

BT

++

++

++

=

+

=+

23231313

22221212

21211111

2313

2212

2111

2313

2212

2111

baba

baba

baba

bb

bb

bb

aa

aa

aa

B A T T

TERBUKTI

++

++

++

=+

23231313

22221212

21211111

!

baba

baba

baba

B A T


52/59

TRANS(OSE MATRIKS

!2!2!2!2

embuktian aturan no $

=

232221

131211

aaa

aaa A

=

2313

2212

2111

aa

aa

aa

AT

=

=232221

131211

2313

2212

2111

! aaa

aaa

aaaa

aa

A

T

T T

TERBUKTI


53/59

MATRIKS SIMETRI

!3!3!3!3

#ebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose

matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.

"ontoh $'. .

=

=

002

003231

002

003

231

T A

A

=

=

21

12

21

12

T

B

B

A AT =


54/59

IN1ERS MATRIKSIN1ERS MATRIKS

!!!!

1− A

I A A =−1

=

d c

ba A

−

−−

=−ac

bd

bcad A

11


55/59

IN1ERS MATRIIN1ERS MATRI

!!!!!!!!

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi

- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus

T M

!!det!

11 M adjoin

M M =−


56/59


!"!"!"!"

Contoh Soal :

- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M

=

065

410

321

M

=043

612

501T

M


57/59


!%!%!%!%

- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya

- Hasilnya :

==> ==>

−−−−

−−

145

41520

51824

+−+−+−

+−+

−−−

−

145

41520

51824


58/59


!'!'!'!'

Hasil Adjoinnya :

Hasil akhir

−−−

−=

−−−

−=−

145

41520

51824

145

41520

51824

1

11 M

−−−

−

145

41520

51824


59/59

REFERENSIREFERENSI

!,!,!,!,

%& .is+rete Mat#eati+s and itsA--i+ations; Kennet# /& Rosen; M+0ra1/i; sit# edition; 2

2& #tt--4t'ateati'a&or,

3& #tt-111&idoat#s&+oidatri's&-#-

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	cornellius-darwindo
View:	237 times
Download:	0 times

Aljabar Linear Mesin v2

Documents