ATPS Matemática (Final)

5/24/2018 ATPS Matemtica (Final)

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ANHANGUERA EDUCACIONAL

Disciplina:Matemtica Aplicada

Professora: Luciana

ALESSANDRA VIEIRA LINS

ALCENIR CAETANO APOLINARIO

DEIVID COSTA FARIA

JEAN MARTINS

JHONATAS NASCIMENTO

LUANA DOS SANTOS PEREIRA

RAFAEL MELLO

REINAN SOARES DOS REIS

RA 7093567152

RA 7423677870

RA 7248604136

RA 9977019256

RA 7626705616

RA 7252602935

RA 2289530579

RA 7626706665

Atividade Prtica Supervisionada

2 Periodo - Noturno

2014

FACULDADE ANHANGUERA NITERISUNIPLI


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2

Etapa 1 - Aula-tema: O conceito de derivada.

Passo 1

O estudo das derivadas resultado de um longo e lento processo de analises iniciado naantiguidade e aperfeioado no decorrer das dcadas. Por definio podemos dizer que trata-sede uma forma de representar a taxa de variao de uma funo ou, partindo de outro ponto devista, poderamos dizer que, assim como o nome sugere, derivar trata-se de encontrar aequao de onde provm a outra ou simplesmente a sua origem.

Passo 2f(x) = 7x

()

( )

() ( )

()

()

()

f(x) = 7

Passo 3

Exemplo 1:Vamos atravs de uma demonstrao encontrar a taxa de variao da funo f(x) = 5x+6.

f(x) = 5x+6f(x + h) = 5*(x + h)+6f(x + h) = 5x+5h+6 (h 0)f(x + h) f(x) = 5x+5h+6-(5x+6)f(x + h) f(x) = 5x+5h+6-5x-6f(x + h) f(x) = 5hOu seja:

() ()()

() f '(x)=5Analisando o exemplo acima podemos verificar que a taxa de variao geral para a funoapresentada equivale a 5.

Exemplo 2Ainda usando a funo f(x)=5x+6 vamos calcular f(2) e as variaes f(2+1) e f(2-1) a fim de

provar o exemplo anterior.

F(x)=5x+6 F(2+1)= 5(2+1)+6 F(2-1)= 5(2-1)+6

F(2)=5*2+6 F(2+1)= 15+6 F(2-1)= 5+6F(2)=16 F(2+1)= 21 F(2-1)= 11


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3

Analisando esse segundo exemplo, em conjunto ao primeiro podemos notar a aplicao dataxa de variao obtida anteriormente na prtica, ou seja, para cada alterao aplicada houve avariao proposta.

ETAPA 2- Aula-tema: Tcnicas de derivao

Passo 1

Em termos gerais temos que a derivada de uma funo se d pela regra:

() ()()

No entanto em muitos casos o processo de derivao se tornaria extremamente longo ecomplexo, por isso devemos fazer uso de alguns mtodos de derivao, a fim de facilitar etornar mais prtico o processo de derivao, so esses processos:

1Funo Constante

Seja a funo f(x)= k, onde k uma constante, teremos que f(x)= 0

2Funo Linear

Seja a funo dada por f(x)= ax + b, sua derivada ser f(x)= a

3Soma ou diferena de funes

Seja a funo f(x) obtida a partir das somas de g(x) e h(x), ou seja, f(x)= g(x) + h(x), entosua derivada ser a soma das derivadas das funes que a originou, logo, f(x)= g(x) + h(x).

4Potncia de x

Seja a funo f(x)= xn sua derivada ser f(x)= nxn-1

5Funo Exponencial

Seja a funo f(x)= axonde a um numero real maior e diferente de que 1, sua derivadaser dada por f(x)= axln(a)

6Funo exponencial na base e

Seja a funo f(x)= exonde e equivale ao numero exponencial ( aproximadamente2,71828...), sua derivada ser dada pela prpria funo, ou seja, f(x) = ex.

7Logaritmo Natural

Seja a funo f(x)= ln(x), sua derivada ser ()


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4

8Produto de Funes

Seja a funo f(x) obtida a partir da multiplicao de g(x) por h(x), ou seja, f(x)= g(x) * h(x),ento sua derivada ser f(x)= g(x)*h(x) + h(x)*g(x)

9Quociente de Funes

Seja a funo f(x) obtida a partir da diviso de g(x) por h(x), ou seja, () ()(), ento suaderivada ser ()

()()()()()

10Funo Composta (Regra da Cadeia)

Seja a funo f(x) obtida a partir da funo composta entre h(x) e g(x), ou seja, f(x)= h(g(x)),

sua derivada ser obtida por f(x)=h(g(x))*g(x)

Passo 2

Pede-se calcular a derivada de f(x) = 3x + 5x12

Partindo pelo principio de que se f(x)= axnlogo f(x)= n*axn-1e sabendo que a derivada deum numero inteiro sempre 0 temos a seguinte situao:

f(x)= 3x2

+ 5x12

f(x)= 2*(3x2-1) + 1*(5x1-1)12

f(x)= 6*(x1) + 5*(x0)0

f(x)= 6x + 5

Passo 3

Alternativa correta :

d) A taxa de variao media a inclinao da reta secante

Vamos usar a funo f(x)= 10x2-2x no intervalo [2,4] como exemplo:

f(2)= 10.22 - 2.2 f(4)= 10.42 - 2.4


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5

f(2)= 10.44 f(4)= 10.168

f(2)= 404 f(4)= 160 -8

f(2)= 36 f(4)= 152

() ()

TVM = 58

Sabendo que a equao da reta secante expressa por y = ax + b, podemos resolve-la daseguinte forma:

y= ax + b

y = 152x +b

4 = 152*2 +b

4304 = b

b= -300

Assim sendo a equao final da reta secante dada por y = 152x - 300

Passo 4

Para determina a equao tangente curva C(q)=q-6q+8 devemos seguir as seguintes etapas:

Primeiramente vamos Calcular C(1):

C(1) = 1 - 6.1 + 8

C(1) = 1-6+8

C(1)= 3

Ou seja, quando q=1 ento C(1)=3, em outras palavras, o ponto de tangencia dado pelas

coordenadas (x,y), representadas por (1,3) .

Agora vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente, derivando a funo:


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6

C(q) = q - 6q + 8

C'(q) = 2q - 6

Em seguida devemos calcular C(1).

C(1)= (2*1)-6

C(1)= 2-6

C(1)= -4

Agora vamos fazer uso da equao reduzida y = ax + b, onde a equivale ao valorencontrado acima:

y = -4x + b

Ainda precisamos encontrar o valor de b, para isso vamos substituir os valores x= 1 e y= 3

encontrados anteriormente.

y= -4x + b3 = -4.1 + b

b = 7Agora s retomar a equao reduzida y = ax + b e substituir os valores de "a" e "b" para

finalmente obter a equao da reta tangente conforme solicitado y = -4x + 7.

Para montar o grfico vamos encontrar os seguintes pares ordenados: (x;0) e (0;y)

Para y=0: -4x+7 = 0 logo: x= :. x= 1,75. Obtendo o par ordenado (1,75; 0)

Para x= 0: y= -4*(0)+7 :. y= 7. Obtendo o par ordenado (0; 7)

Assim sendo, traamos o grfico abaixo

.


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7

ETAPA 3- Aula-tema: Aplicaes das derivadas no estudo das funes..

Passo 1

Problemas existem e sempre vo existir, e em dos objetivos da matemtica tornar o mtodo

de tomada decises mais racional possvel, para a resoluo de problemas, no entendimento

dos fatos, conclumos que a matemtica tem como objetivo capacitar o administrador a

formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor

resultado. O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informao

para o processamento de dados, produzindo informao, que ajudar a visualizar e analisar

grficos, projetos, relatrios, simulao de vendas, planejamentos das despesas, anlise de

receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. O fato de voc ter se formado levando

a srio o seu Curso de Administrao que o segundo melhor curso valorizado do mundo, em

um ambiente de pesquisa, de ter sido habituado a questionar, buscar novas solues, verificar

suas ideias e compar-las com as de outros ser uma vantagem no mercado de trabalho,

sabemos que, em relao aos consumidores, a demanda de um produto pode ser associada a

seu preo. Em geral, se o preo aumenta, a demanda diminui.

Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem para a formao da

receita proveniente do volume de vendas, fatores como volume da produo e potencial de

mercado no podem ser esquecidos na formao da receita: porem em pequenos intervalos,

onde j foram consideradas as variveis restritivas, e considerando-se o preo constante nesse

intervalo de produo, o rendimento total da empresa ou receita total, ser funo, somente,

da quantidade vendida. Os conceitos de que referimos no so desta cadeira mas sim so

tratados nesta no ponto de vista totalmente matemtico, por isso no deveremos nos

aprofundar.

Funo CustoC (q);

Funo Custo MdioCme (q);

Funo Custo MarginalC (q);

Funo Custo Mdio MarginalC'me(q);

Funo ReceitaR (q) = p.q = p. f (q) se p = f (q)equao da demanda (preo) do produto

e q quantidade demandada ou ofertada;

Funo Receita MarginalR (q);

Funo LucroP (q) = L (q) = (q);


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8

Funo Lucro MarginalP' (q) = L' (q) = ' (q);

Elasticidade da demandaE (p);

Propenso Marginal a consumir e a poupar.

Elasticidade

ElasticidadePreo da demanda.

Para produtos diferentes, existem diferentes comportamentos de mudana da demanda em

relao s variaes de preos. Por exemplo, se houver um considervel aumento no preo de

sal, a demanda dos consumidores praticamente no se altera, uma vez que tal produto

indispensvel e tem pouco peso no oramento domstico; entretanto, se houver um

considervel aumento no preo da carne bovina, a demanda se alterar, uma vez que talproduto pode ser substitudo por outros tipos de carnes, alm de ter grande peso no oramento

domstico.

Assim, de maneiras diferenciadas, a demanda por um produto " sensvel" mudana dos

preos. Avaliaremos a "sensibilidade" da demanda em relao s mudanas de preos com o

auxlio do conceito elasticidadepreo da demanda.

De modo simplificado, podemos dizer que, para as famlias, o consumo somado poupana

se iguala renda, ou seja, renda = consumo + poupana ou y = c+s naturalmente, temos que a

poupana das famlias dada pela diferena entre a renda e consumo, ou seja, poupana =

renda consumo ou s = y c como o consumo c funo da renda y, comum analisar a

variao no consumo correspondente variao da renda; em outras palavras, a taxa de

variao do consumo em relao renda; de modo prtico, a derivada do consumo em relao

renda. Tal derivada tambm conhecida como Propenso Marginal a Consumir, que mede

em quanto aumenta o consumo quando h o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando

c=f (y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propenso Marginal a Consumir: cmg=c'(y).

Comparando a poupana s a funo da renda y e comum analisar a variao na poupana

correspondente variao da renda; em outras palavras, a taxa de variao da poupana em

relao renda; de modo prtico, a derivada da poupana em relao renda. Tal taxa

tambm conhecida como Propenso Marginal a Poupar, que mede em quanto aumenta a

poupana quanto h o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando s = f(y), temos

algumas maneiras de simbolizar a Propenso Marginal a poupar: smg = s'(y) = .

Vimos que y = c + s e, nessa expresso, derivando em relao a y, temos ou seja, a soma da


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9

Propenso Marginal a Consumir com a Propenso Marginal a Poupar resulta em 1:

cmg+smg= 1

Como as funes c e s so crescentes, as derivadas indicadas so positivas, assim temos 0


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10

Passo 2

A empresa MAFRA SA tem funo de demanda dada por q=100 4p e funo custo C(q)

= q - 30,25q + 100q + 20. Determine o nvel do produto no quais os lucros so

maximizados.

q= 1004p

-4p= q100

R= p*q

L= RC

( )

)

L= -q3+ 30q275q20

Para encontrar o ponto mximo, ou seja, o momento em que o lucro maximizado,precisamos derivar a equao obtida e iguala-la a 0 . Para isso vamos dizer que L = f(q):

f(q)= -q3+ 30q275q20

f(q)= -3q2+ 60q75

-3q2+ 60q75 = 0

()

()


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Agora precisamos verificar se os pontos encontrados anteriormente fazem com que f(x) seja

menos que 0.

f(q)= -3q2+ 60q75

f(q)= -6q + 60

para q = -1,18

f(q)= -6*(-1,18) + 60 :. f(q)= 67,08 ou seja, maior que 0

para q= 21,18

f(q)= -6*(21,18) + 60 :. f(q)= -67,08 ou seja, menor que 0

Assim sendo podemos dizer que q= 21,18 o ponto de lucro mximo da funo.

Passo 3

Sabe-se que a equao de demanda de um produto p =-q + 12q. Determine a quantidade qe o correspondente preo p que maximiza o faturamento.

p= f(q)

f(q)= -q + 12q


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f(q)= -3q2+ 24q

(())()

f(q)= -6q + 24

f(0)= -6*(0)+24 = 24

f(8)= -6*(8)+24 = -24 (como f(8) < 0, ento devemos considerar que a partir desse valor deq h maximizao do faturamento)

p= -q3+12q2

p= -83+ 12*(82)

p= -512 + 768 p= 256

Dessa forma temos que o faturamento maximizado em q= 8 e p= 256.

Passo 4

Quando o preo de venda de uma determinada mercadoria R$ 100,00, nenhuma vendida; quando a mercadoria fornecida gratuitamente, 50 produtos so procurados. Ache

a funo do 1 grau ou equao da demanda e calcule a demanda para o preo de R$30,00.

Se p= 100, logo q=0

Se p=0, logo q=50

p=aq+b

100= a(0) + b b= 100

0= a(50) + b

50a + b = 0

50a + 100 = 0


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50a = -100 a= -2

Portanto a equao geral de demanda dada por:

p= -2q + 100 ou

Para o preo de R$30,00 temos:

Assim sendo, quando a empresa oferece a mercadoria a um preo de R$30,00 a mesmaapresentar uma demanda de 35 produtos.

ETAPA 4- Aula-tema: Aplicaes das derivadas nas reas econmicas e

administrativa..

Passo 1

Determinar os intervalos em que a funo f(x) = x27x + 60 crescente e os intervalos em

que decrescente, em seguida faam um esboo de seu grfico e determine as coordenadas

dos pontos extremos locais.

Primeiramente vamos derivar a funo f(x) e iguala-la a 0:

f(x) = x27x + 60

f'(x) = 3*x - 27

f'(x) = 3x - 27

3x - 27 = 0

3x = 27

x = 27/3

x = 9

x = 3

Ou seja e ou seja, a funo positiva para x3 e negativa para"x" entre as razes, ou seja, para: -3


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Temos x = 3 como um ponto mnimo, assim calculamos f(3) para encontrar par ordenado do

ponto mnimo.

f(3) = 3 - 27*3 + 60

f(3) = 27 - 81 + 60

f(3) = 27 - 21

f(3) = 6

Assim, a funo ter ponto mnimo em (3; 6).

Passo 2

Analisar a seguinte questo: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se

comercializar a quantidade x, em unidades, dada pela funo: R = - 2 x + 1000 x. Agora

resolva as seguintes questes:

Calcule a derivada R(100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa

numericamente? O que ela representa graficamente?

R(x)= -2x2+ 1000x

R(x)= -4x + 1000

R(100)= -4 (100) + 1000R(100)= 1000 400 :. R(100)= 600

A derivada da receita representa a Receita Marginal, ou seja, o valor gasto para a produo de

1 produto a mais, no caso da questo acima temos que para a produo do 101 produto

haver um gasto de R$600,00. Graficamente se trata da reta tangente ao grfico da funo

primria.

Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja mxima?

R(x)= -4x + 1000


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15

-4x + 1000= 0

-4x= -1000

x= 250

Devero ser comercializados 250 produtos para a obteno de receita mxima.

c) Qual a receita mxima correspondente ao item anterior?

R(x)= -2x2+ 1000x

R(x) = y

y= -2x2+ 1000x

y= -2*(250)2+ 1000*(250)

y= -2*(62500) + 250000

y= -125000 + 250000

y= 125000

Assim sendo a Receita mxima que ser obtida com a venda de 250 produtos equivale a

R$125.000,00.

Passo 3

Determinar a taxa de variao da temperatura T, em relao ao tempo, no instante t=10

minutos para seguinte hiptese: A temperatura de um forno varia com o tempo t de acordo

com a expresso: T= 0,02t+0,2t+110. A temperatura est expressa em graus Celsius e o

tempo em minutos.

T(t)= 0,02t3+ 0,2t2110

T(t)= 0,06t2+ 0,4t

T(10)= 0,06*(10)

2

+ 0,4*(10)T(10)= 6 + 4

T(10)= 10

Assim sendo, temos que no instante t= 10 minutos temos uma variao de temperatura T= 10

graus Celcius (10oC).

Passo 4

Demonstrar a soluo para o problema e em seguida escolher a alternativa correta. O

grfico da funo quadrtica definida por y= x-mx+(m-1), onde m R, tem um nico ponto


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em comum com o eixo das abscissas. Ento, o valor de y que essa funo associa a x = 2

:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

Por conceito temos que toda funo quadrtica possui 2 pontos em comum com o eixo das

abscissas, exceto quando = 0. Assim sendo temos:

() ( ) () :.

()

:. m= 2

Retomando a equao inicial y = x mx + (m 1) e agora vamos substituir m = 2, e assim

vamos obter a lei da funo

y = x2x + (21)

y = x2x +1Temos no enunciado que x = 2, e a partir dele vamos determinar o valor de y

y = 22*( 2) + 1

y = 44 + 1

y = 1

Por fim, temos que a equao possui a lei de formao y = x2x +1. E quando x = 2, o valor

de y se torna igual a 1, ou seja, a resposta correta a letra d.


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Consideraes finais

Aps a realizao das atividades solicitadas foi possvel ter noo da grande importncia do

uso das derivadas no contexto administrativo empresarial a fim de resolver com praticidade e

eficincia as necessidades da organizao, bem como nos permitiu por em prtica de forma

abrangente o contedo aprendido na disciplina.


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Referncias Bibliogrficas

www.mundoeducacao.com/matematica

MUROLO, Afrnio Carlos; BONETTO, Gicomo. Matemtica Aplicada Administrao,Economia e Contabilidade. 2 ed. So Paulo: Cengage Learning, 2012.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Matemtica Aplicada. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC,2008.

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