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Teorema de Bayes en la toma de decisiones, ejemplos. G. Edgar Mata Ortiz
| Date post: | 12-Aug-2015 |
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Teorema de Bayes en la toma de decisiones, ejemplos.
G. Edgar Mata Ortiz
βThe illiterate of the XXI century will not
be those who cannot read and write, but
those who cannot learn, unlearn and
relearn.βAlvin Tofler
Puedes emplear todos los datos cuantitativos que puedas conseguir, pero aΓΊn asΓ
debes desconfiar de ellos y aplicar tu inteligencia y buen juicio.
Conocimientos previos
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Evento
Probabilidad de un evento
AsignaciΓ³n de probabilidades
Probabilidad condicional
Para una mejor comprensiΓ³n de este material es
necesario revisar los siguientes conceptos.
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
El artΓculo que contiene dicho
teorema fue publicado despuΓ©s
de la muerte de Bayes y,
probablemente, no imaginΓ³ el
impacto tan grande que tendrΓa
en el desarrollo de la teorΓa de
probabilidades.
Estos conceptos son fundamentales en la toma de
decisiones, especialmente el Teorema de Bayes
porque permite determinar la probabilidad de las
causas a partir de los efectos observados.
Probabilidad Total
Si se conocen las probabilidad condicionales P(S|Ei)
de un suceso S, entonces la probabilidad de
ocurrencia del suceso S, conocida como probabilidad
total, se determina con la siguiente expresiΓ³n:
Cuando se sabe que el espacio muestral estΓ‘
formado por un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
π· πΊ = π· π¬π Γ π· πΊ π¬π + π· π¬π Γ π· πΊ π¬π +β― ,+π· π¬π Γ π· πΊ π¬π
Teorema de Bayes
Si se conocen las probabilidad de los eventos Ei y las
probabilidades condicionales P(S|Ei), entonces se
puede determinar la probabilidad condicional de que
haya ocurrido uno de los eventos Ei dado que ocurriΓ³
el suceso S mediante la fΓ³rmula:
Cuando se sabe que el espacio muestral estΓ‘
formado por un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
π· π¬π|πΊ =π· π¬π Γ π· πΊ|π¬π
π· π¬π Γ π· πΊ π¬π + π· π¬π Γ π· πΊ π¬π +β― ,+π· π¬π Γ π· πΊ π¬π
Ejemplo 2
Los mΓ©dicos saben que una enfermedad es
padecida por el 1% de la poblaciΓ³n.
Se dispone de una prueba de laboratorio que
tiene una alta sensibilidad, de modo que siempre
detecta la enfermedad. No produce falsos
negativos.
ππππππππ π π ππ ππππππππ.
Ejemplo 2
No obstante, su alta sensibilidad provoca un
5% de falsos positivos, es decir, indica que
el paciente padece la enfermedad aΓΊn
cuando no es asΓ.
ππππππππ π π ππ ππππππππ.
Ejemplo 2
Si un paciente presenta los sΓntomas y se
somete a la prueba, obteniΓ©ndose un
resultado positivo, ΒΏcuΓ‘l es la probabilidad
de que efectivamente padezca la enfermedad
en cuestiΓ³n?
ππππππππ π π ππ ππππππππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (SoluciΓ³n)
Podemos identificar con variables cada
uno de los elementos de este problema:
RP = Resultado positivo en la prueba
SΓ = Paciente que efectivamente padece la
enfermedadNo = Paciente que no padece la enfermedad
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (SoluciΓ³n)
RP = Resultado positivo en la prueba
SΓ = Paciente que efectivamente padece la
enfermedadNo = Paciente que no padece la enfermedad
Las probabilidades disponibles son:
π· πΊΓ = π. πππ π· π΅π = π. ππππ· πΊΓ πΉπ· = π π· π΅π πΉπ· = π. ππ
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (SoluciΓ³n)
Las probabilidades disponibles son:
π· πΊΓ = π. πππ π· π΅π = π. ππππ· πΉπ· πΊΓ = π π· πΉπ· π΅π = π. ππ
La fΓ³rmula de bayes es:
π· πΊΓ πΉπ· =π·(πΉπ·|πΊΓ) Γ π·(πΊΓ)
π· πΉπ· πΊΓ Γ π· πΊΓ + π·(πΉπ·|π΅π) Γ π·(π΅π)
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (SoluciΓ³n)
Las probabilidades disponibles son:
π· πΊΓ = π. πππ π· π΅π = π. πππ
π· πΉπ· πΊΓ = π π· πΉπ· π΅π = π. ππ
La fΓ³rmula de bayes es:
π· πΊΓ πΉπ· =π·(πΉπ·|πΊΓ) Γ π·(πΊΓ)
π· πΉπ· πΊΓ Γ π· πΊΓ + π·(πΉπ·|π΅π) Γ π·(π΅π)
Sustituyendo:
π· πΊΓ πΉπ· =π Γ π. πππ
π Γ π. πππ + π. ππ Γ π. πππ
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (SoluciΓ³n)
Efectuando operaciones:
π· πΊΓ πΉπ· =π Γ π. πππ
π Γ π. πππ + π. ππ Γ π. πππ=
π. πππ
π. πππππ
π· πΊΓ πΉπ· = π. ππππππ
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (SoluciΓ³n)
InterpretaciΓ³n:
π· πΊΓ πΉπ· = π. ππππππ
La probabilidad de que una persona que
obtuvo un resultado positivo en esa
prueba, realmente padezca la enfermedad
es menor al 2% (1.96%).
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Ejemplo 3
Una empresa requiere
construir una nueva
secciΓ³n para el
departamento de calidad.
El departamento de staff
realiza una estimaciΓ³n de
costos y un proveedor
genera informaciΓ³n
diferente al respecto.
ππππππππ π π ππ ππππππππ.
Ejemplo 3
La tabla siguiente contiene la estimaciΓ³n de
costos y sus probabilidades efectuados por
el departamento de staff y un proveedor.
ππππππππ π π ππ ππππππππ.
Ejemplo 3
Tabla de datos:
ππππππππ π π ππ ππππππππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (SoluciΓ³n)
En este caso tenemos dos posiciones:
La visiΓ³n optimista del proveedor
La visiΓ³n pesimista del departamento Staff
El teorema de Bayes tambiΓ©n puede
emplearse en estas circunstancias
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (SoluciΓ³n)
Sustituyendo en la fΓ³rmula de Bayes:
π· $ππ΄ πΈ =π. ππ Γ π. ππ
π. ππ Γ π. ππ + π. ππ Γ π. ππ + π. ππ Γ π. ππ + π. ππ Γ π. ππ
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (SoluciΓ³n)
Efectuando operaciones:
π· $ππ΄ πΈ =π. ππ Γ π. ππ
π. ππ Γ π. ππ + π. ππ Γ π. ππ + π. ππ Γ π. ππ + π. ππ Γ π. ππ
π. ππ
π. ππ + π. πππ + π. ππ + π. πππ=π. ππ
π. ππ
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (SoluciΓ³n)
Efectuando operaciones:
π· $ππ΄ πΈ =π. ππ
π. ππ + π. πππ + π. ππ + π. πππ=π. ππ
π. ππ
π· $ππ΄ πΈ = π. πππππ
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (SoluciΓ³n)
InterpretaciΓ³n:
π· $ππ΄ πΈ = π. πππππ
La probabilidad de que la construcciΓ³n
cueste $5β000,000 es mayor al 70%, incluso
la probabilidad del departamento Staff fue
menor, es decir, el resultado es aΓΊn menos
optimista.
π»ππππππ π π π©ππππ:π·ππππππ ππππππππ ππ ππππππππππ ππ π π πππ πππππππ ππππππ π π πππ πππππππ ππππππππ ππ.
Gracias por su atenciΓ³n
[email protected]://licmata-math.blogspot.com/http://www.scoop.it/t/mathematics-learninghttp://www.slideshare.net/licmata/http://www.facebook.com/licemataTwitter: @licemata
![Bayesian InferenceStatisticat].pdf1. Bayesβ Theorem Bayesβ theorem shows the relation between two conditional probabilities that are the reverse of each other. This theorem is](https://static.documents.pub/doc/80x56/5f8dd532af152601480d83ba/bayesian-inference-statisticatpdf-1-bayesa-theorem-bayesa-theorem-shows-the.jpg)
