Etude d’un hacheursurvolteur

Charges R, RL, RLE

Bontjes Joamie

ECAM EPMISeptember 6, 2017

Contents

Introduction 2

1 Charge R 21.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Etude theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Formes d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Charge RL 42.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Etude theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Conduction dicontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Dimensionnement des composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Formes d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Charge RLE 93.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Etude theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Formes d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Cas non-ideal 134.1 Resistances parasites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Tension de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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Introduction

Un convertisseur Boost, ou hacheur parallele, est une alimentation a decoupagequi convertit une tension continue en une autre tension continue de plus fortevaleur.

On utilise un convertisseur boost lorsqu’on desire augmenter la tension disponibled’une source continue. Les systemes alimentes par batterie d’accumulateursutilisent souvent plusieurs accumulateurs en serie afin de disposer d’un niveaude tension suffisamment eleve. La place disponible etant souvent limitee, iln’est pas toujours possible de disposer d’un nombre suffisant d’elements. Unconvertisseur boost permet d’augmenter la tension fournie par les batteries etainsi diminuer le nombre d’elements necessaires pour atteindre le niveau de ten-sion desire. Les vehicules hybrides ainsi que les systemes d’eclairage (utilisantdes lampes a economie d’energie) sont deux exemples typiques d’utilisation desconvertisseurs boost.

• Les convertisseurs boost sont utilises dans des applications de faible puis-sance comme les systemes d’eclairage portatifs. Une diode electroluminescenteblanche necessite une tension de 2,7 a 3,6 V environ pour fonctionner, unconvertisseur boost permet d’augmenter la tension fournie par une pile de1,5 V afin de realiser une lampe torche faible consommation.

• Les convertisseurs boost peuvent aussi delivrer des tensions bien pluselevees afin d’alimenter les tubes a cathode froide presents dans le retro-eclairage des ecrans a cristaux liquides ou les flash des appareils photo parexemple.

• Une automobile hybride comme la Toyota Prius utilise un moteur electrique,necessitant une tension de 500 V. Sans convertisseur boost, cette auto-mobile devrait embarquer 417 elements d’accumulateurs NiMH connectesen serie pour alimenter ce moteur. Cependant, la Prius n’utilise que168 elements ainsi qu’un convertisseur boost afin de passer la tensiondisponible de 202 a 500V.

1 Charge R

1.1 Hypotheses

Dans cette etude theorique, nous admettrons les hypotheses suivantes :

• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)• Le regime sera suppose etabli• La capacite du condensateur de sortie sera supposee suffisamment grande

pour que la tension a ses bornes puisse etre consideree comme constanteau cours de la periode

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Figure 1: Circuit hacheur survolteur charge R

1.2 Etude theorique

1.2.1 0 ≥ t ≥ αT

Figure 2: Circuit hacheur survolteur charge R 0 ≥ t ≥ αT

D’apres la loi d’Ohm, on a:

Vs = R2I2 + Ve

⇔ I2 =Vs − VeR2

3

1.2.2 αT ≥ t ≥ T

Figure 3: Circuit hacheur survolteur charge R αT ≥ t ≥ T

On a :

Ve +R2I2 = Vs or i2 = iC1 + iR1 = CdVsdt

+VsR1

1.3 Formes d’ondes

1.3.1 Mode continu

1.3.2 Mode discontinu

2 Charge RL

Figure 4: Circuit hacheur survolteur charge RL

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2.1 Hypotheses

Nous admettons les memes hypotheses qu’avant :

• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)• Le regime sera suppose etabli• La capacite du condensateur de sortie sera supposee suffisamment grande

pour que la tension a ses bornes puisse etre consideree comme constanteau cours de la periode

2.2 Etude theorique

2.2.1 0 ≥ t ≥ αT

Figure 5: Circuit hacheur survolteur charge RL 0 ≥ t ≥ αT

L’interrupteur K est ferme, la diode D est bloquee. On a alors :

Ve = L1diL1dt

d’ou iL1(t) = Im +VeL1t

A l’instant t = αT le courant dans l’inductance atteint la valeur crete :

IM = Im +VeL1αt

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2.2.2 αT ≥ t ≥ T

Figure 6: Circuit hacheur survolteur charge RL αT ≥ t ≥ T

A t = αT on ouvre l’interrupteur K. La diode D devient conductrice. On aalors :

Ve = L1diL1dt− Vs = 0 d’ou Vs − Ve = −L1

diL1dt

A t = T , ce courant sera minimal donc egal au courant i0:

im = i0 = iM −Vs − VeL1

(t− α)T

Soit ∆i, l’ondulation du courant dans l’inductance ∆i = iM − im: On a alors :

∆i =VeL1αt

et

∆i =Vs − VeL1

αt

En combinant ces 2 equations, on a alors :

VeL1αt =

Vs − VeL1

αt⇔ Vs =Ve

1− α

On constate que la tension de sortie du convertisseur ne depend que de latension d’entree et du rapport cyclique α. Celui ci etant toujours compris entre 0et 1, le convertisseur est toujours elevateur de tension. On notera que la tensionde sortie est theoriquement independante de la charge. Dans la pratique, laboucle de regulation ne devra donc compenser que les variations de la tensiond’entree et les imperfections des composants reels. La strategie de regulationqui semble la plus evidente est la modulation de largeur d’impulsion (MLI) afrequence fixe et rapport cyclique α variable.

Courant d’entree moyen :Tous les elements etant supposes parfaits, le rendement theorique de ce con-

vertisseur est egal a 1. On peut donc ecrire: VsIs = VeIe

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On etablit l’expression du courant d’entree:

Ie =Is

1− α

Limite de fonctionnement en conduction continue Lorsque le courant de sor-tie IS diminue, par exemple par augmentation de la resistance R, le circuit peutpasser en conduction discontinue (le courant s’annule au cours de la periode).On montre que l’expression de la tension de sortie s’ecrit alors:

Vs =

2.3 Conduction dicontinue

En conduction discontinue, on rajoute une phase pendant laquelle la diode Dne conduit pas (iL1 = 0). A partir de l’allure de iL1 (figure 6), on peut ecrire :

< iL1 >=1

2IL1M

tf + t0td

et IL1M =VeL1tf

La tension moyenne aux bornes de l’inductance etant nulle, on a alors :

tfVe = t0(Vs − Ve)

L’egalite des puissances d’entree et de sortie de la structure conduit a :

Is =Ve

2

2L1f

α2

Vs − Ve

Ou bien :

Vs = Ve[1 + α2 Ve2LfIs

]

Dans ce regime de fonctionnement, la tension de sortie est donc dependantede la charge pour un rapport cyclique fixe. Ceci implique qu’en conductiondicontinue, il est necessaire de mettre en œuvre une boucle de regulation.

2.4 Dimensionnement des composantes

Condensateur :Pour determiner l’expression de l’ondulation en tension ∆VS , on fait l’hypothese

que le courant IS est parfaitement constant. On a la relation suivante iC = C dV s

dtor, pour 0 ≤ t ≤ αT on a iC = −IS . La resolution de cette equation differentielledonne :

Vs = −IsCt+ Vsmax

A t = αTd, on a :

Vs(αT ) = Vsmin = −IsCαTd + Vsmax

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Donc:

∆Vs = Vsmax − Vsmin =IsCαTd

Finalement :

∆Vs =αVsRCf

avec f =1

Td

C ≥ αmaxVsR1f∆Vs

Inductance :On a vu que :

∆i =VeL1αT ⇔ L1 =

VeαT

∆i

2.5 Formes d’ondes

2.5.1 Mode continu

Figure 7: Forme d’onde pour un hacheur survolteur charge R en continu

2.5.2 Mode discontinu

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Figure 8: Forme d’onde pour un hacheur survolteur charge R en discontinu

3 Charge RLE

Figure 9: Circuit hacheur survolteur charge RLE

3.1 Hypotheses

Nous admettons les memes hypotheses qu’avant :

• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)• Le regime sera suppose etabli• La capacite du condensateur de sortie sera supposee suffisamment grande

pour que la tension a ses bornes puisse etre consideree comme constanteau cours de la periode

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3.2 Etude theorique

3.2.1 0 ≥ t ≥ αT

Figure 10: Circuit hacheur survolteur charge RLE 0 ≥ t ≥ αT

Dans ce mode, le commutateur est ferme et le circuit equivalent est representesur la figure 6. Le Le courant augmente a travers l’inductance L et commute.Le courant dans ce mode est donne par

Vs = L1diL1dt

Comme les instants de temps impliques sont tres faibles, le termedt ≈ t. Parconsequent, la solution de l’equation est

iL1 =VsL1t+ Im

ou I0 est la valeur initiale du courant.A l’instant t = αT le courant dans l’inductance atteint la valeur crete :

IM = Im +VeL1αt

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3.2.2 αT ≥ t ≥ T

Figure 11: Circuit hacheur survolteur charge RLE αT ≥ t ≥ T

A t = αT on ouvre l’interrupteur K. La diode D devient conductrice. On aalors :

Ve = Vs = L1diL1dt

+ E

A t = T , ce courant sera minimal donc egal au courant i0. On obtient donc :

im = IMe−R1

L1t +

Vs − EL1

(1− e−R1L1t)

Or on a :

iL1(t = (1− α)t) = IM =Vs − EL1

(1− e−(1−−R1L1

αT )) + IMe−(1−−R1

L1αT )

En resolvant I1et I2, on obtient:

I1 =Vsα

L1

e−(1−−R1L1

αT )

1− e−(1−−R1L1

αT )+Vs − ER1

Soit ∆i, l’ondulation du courant dans l’inductance ∆i = iM − im: On a alors :

∆i =VsL1αT

L’equation ci-dessus est valide si E ≤ Vs. Si E ≥ Vs, le hacheur fonctionneen mode discontinu.

3.3 Formes d’ondes

11

3.3.1 Mode continu

Figure 12: Forme d’onde charge RLE continu

3.3.2 Mode discontinu

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Figure 13: Forme d’onde charge RLE discontinu

4 Cas non-ideal

4.1 Resistances parasites

En utilisant la methode de l’etude en valeur moyenne, on peut ecrire :

Ve = VL1 + Vs

Avec VL1, Vs les tensions moyennes, sur un cycle de fonctionnement, aux bornesrespectivement de l’inductance et de l’interrupteur.

Si on considere que le convertisseur est en regime permanent, le courantmoyen a travers l’inductance est constant. La tension moyenne aux bornes del’inductance devient donc :

Ve = LdIL1dt

+R2IL1 = R2IL1

Quand l’interrupteur est passant, VS=0. Quand il est bloque, la diode de-vient passante donc VS=Vo. Par consequent, la tension moyenne a traversl’interrupteur est :

Vs = α0 + (1− α)V0 = (1− α)V0

Le courant de sortie est egal a celui dans l’inductance durant l’etat bloque. Lecourant moyen dans l’inductance s’ecrit donc :

IL1 =Im

1− α

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Figure 14: Circuit hacheur survolteur avec resistances parasite

Si on considere les ondulations de tension et de courant en sortie comme negligeables,la charge peut etre consideree comme purement resistive. Si on note R laresistance de la charge, l’expression precedente devient :

IL1 =Im

(1− α)R1

En utilisant les equations precedentes, la tension d’entree s’ecrit :

Ve = R2V0

R1(1− α)+ (1− α)V0

⇔ V0Ve

=1

R2

R1(1−α) + 1− α.

4.2 Tension de sortie

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Figure 15: evolution de la tension de sortie d’un convertisseur Boost en fonctiondu rapport cyclique quand la resistance parasite de l’inductance augmente

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