ESTUDI DELS MOVIMENTS

1- CONCEPTE DE MOVIMENT

2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU)

3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)

3.1- Moviment vertical dels cossos

4-COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS

4.1- Composició de dos MRU perpendiculars

4.2- Moviment parabòlic

5-MOVIMENT CIRCULAR

5.1--Moviment circular uniforme (MCU)

5.2--Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

Sistema de referència: un punt o un conjunt de punts respecte dels quals descrivim el moviment d’un cos.

Un objecte està en moviment respecte un sistema de referència determinat quan la seva posició respecte d’aquest sistema varia amb el temps; en cas contrari, diem que està en repòs.

El moviment és relatiu, ja que l’estat de moviment o de repòs d’un cos depèn del sistema de referència adoptat. No existeix el moviment absolut.

1-CONCEPTE DE MOVIMENT

Posició

O= Origen: punt de referència. Punt on diem x=0

X=0X=0

X=0X=0

X0=2X0=- 6

X0=5 X0=-7

X=8 X=2

X=- 3 X=- 3

x0= Posició inicial: posició del mòbil respecte l’origen inicialment

x= Posició: posició del mòbil respecte l’origen en un instant t

Posició

Un vector és un segment orientat. A més d’ indicar una quantitat (el

mòdul), cal precisar la seva direcció i sentit.

Sentit

Mòdul

Direcció

Vector

Mòdul és la longitud del vector. Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva inclinació. Sentit, indicat per la fletxa. Punt d’aplicació, punt on comença el vector

Desplaçament

X0=2 X0=-6

X0=5 X0=-7

X=8 X=2

X=-3 X=-3

x = Desplaçament: (vector) Posició final menys posició inicial

0x-xxΔ

Desplaçament positiu: ∆x>0 es mou cap a la dretaDesplaçament negatiu: ∆x<0 es mou cap a l’esquerra

x= 8-2 = 6 cm >0 x= 2-(-6) = 8cm >0

x= -3-5= -8 cm < 0 x= -3-(-7)= 4 cm > 0

Trajectòria, desplaçament i espai recorregut

Trajectòria: línia de punts per on passa el mòbil

Espai recorregut, s: distància recorreguda sobre la trajectòria

x = Desplaçament: vector que va des de la posició inicial a la final

Posició inicialx0

posició finalx

x

s

s

x

x ≠ s

x = s

O

Lineal o unidimensional

El vector desplaçament (en vermell) coincideix en direcció

amb la trajectòria en un moviment lineal.

Pla o bidimensional Espaial o tridimensional

O X

Y

El vector desplaçament (en vermell) no coincideix amb la

trajectòria.

r

O

Z

Y

X

El vector desplaçament tampoccoincideix amb la trajectòria.

r→

Trajectòria i vector desplaçament

∆x

x0= posició inicial

x=posició final

trajectòria

trajectòria

desplaçament

desplaçament

s, espai

s

La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció)

ttxx

tx

v0

0

-

-

x= x0 + v (t - t0)

xxx 0-∆x= desplaçament, x0= posició inicial

2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU)

x= x0 + v t

Quan to=0

x= v · t

)0t-(t vx

Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància

de dos metres respecte l’ origen de coordenades

i porta una velocitat constant de 5 m/s.x = x0 + v ⋅ t → x = 2 + 5t

La gràfica x-t és una línia recta que talla a l’eix d’ ordenades en la posició inicial (x0).

La gràfica v-t és una línia horitzontal, paral·lela a l’eix de abscisses, que talla a l’eix d’ordenades

en el valor de la velocitat del mòbil.

Representació gràfica del MRU a partir de l’equació

Valor de la posició inicial

x0 = 92,5 m

Per trobar la velocitat, ens fixem en els valors de temps i posició (t, x) de dos

punts de la línia i apliquem l’expressió de la velocitat:

x2 – x1

t2 – t1 10 – 2

30 – 80= – 6,25 m/s= v =

L’equació del MRU corresponent a la gràfica

és:x = x0 + v t →

Pendent de la recta. Inclinació

Equació d’un MRU a partir de la gràfica

x = 92,5 − 6,25 ⋅ t

Sabadell Barcelona20 km

Joan Pere

v = 10 m/s v = -8 m/s

1. Elegim un origen del sistema de referència.

x0 = 0 m x0 = 20 000 m2. Elegim un origen de temps

Surt a les onze en punt Surt a les onze i deu

to = 0 to= 600 s

3. Plantegem les equacions de moviment de cada corredor

x = 10 t x = 20 000 – 8 (t-600)

10 t = 20 000 – 8 (t-600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800 18 t = 24 800 t = 24 800/18 = 1377,8 s

1377,8 s = 23 min 4. La posició a la que es troben és

x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Sabadell A les 11 h 23 min

Moviment de 2 mòbils

x= x0 + v (t - t0)

El moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) és un moviment on la trajectòria és una línea recta i l’ acceleració és constant.

Equació de posició Equació de velocitat

Acceleració tangencial

3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)

La trajectòria és recta i l’acceleració és constant (en mòdul i direcció)

v = v0 + a (t - t0)x = x0 + v0 (t t0) + a (t t0)2 2

1tv

tv

tva

0

0

-

-

v = v0 + a t Quan to=0

x = x0 + v0 t + a t 2 2

1 Quan to=0

v2 = v0 2+ 2a (x - x0)

Un mòbil es mou en línia recta des d’un punt situat a 2 metres de l’origen amb una

velocitat inicial de 3 m/s i una acceleració constant de 2 m/s2.

x = x0 + v0 t + 1/2 at2

La gràfica v-t serà:x = 2 + 3 t + t2

v = 3 + 2 t

v = v0 + at

Representació gràfica del MRUA

Representació gràfica del MRUA

En ambdós casos, l’acceleració “g” és de -9,8 m/s2.

MRUA

Quan baixa, la seva velocitat és cada cop més negativa, es a dir, el seu mòdul augmenta, però el

seu signe és negatiu, ja que el mòbil

va cap avall.

v0 < 0

v0 > 0 vf = 0

Quan llancem un cos cap amunt, la seva velocitat disminueix en mòdul fins

que es fa zero.

Equacions del moviment de caiguda

lliure:

3.1-Moviment vertical dels cossos

y = y0 + v0 (t - t0) - 9’8 (t - t0)2 2

1

v= vo- 9’8 (t – t0)

y = y0 + v0 t - 9’8 t 2 2

1Quan to=0

v= vo- 9’8 t

Quan to=0v2 = v0 2 - 2· 9’8 (y - y0)

3.1-Moviment vertical dels cossos

Moviments en dues dimensions. Són moviments compostos i són la combinació de 2 o més moviments simples.

•Cal distingir els moviments simples components, i

veure de quin tipus són (MRU o MRUA).•Aplicar a cada moviment les seves equacions.•Obtenir les equacions del moviment compost

Cal treballar amb vectors :

Un vector és un segment orientat que consta dels següents elements: Mòdul és la longitud del vector, es a dir, del segment AB. Es denota per o v.

Es denomina vector unitari al que té mòdul 1. Direcció és la de la recta r que conté el vector. Indica la seva inclinació. Sentit, indicat per la fletxa. (des d’A fins a B) Punt d’aplicació, punt on comença el vector

v

4- COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS

Els vectors són vectors unitaris (de mòdul unitat), la seva direcció és la dels eixos de coordenades X i Y, i amb sentit positiu.

j→

, i→

yxv,v→→Si projectem el vector sobre cada eix,

obtindrem els vectors els quals

es poden expressar com el producte d’un

nombre real pel vector unitari corresponent.

v→

yxv+v=v→→→

→→ia=vx

→→jb=vy

→→→jb+ia=v

22 b+a=v=v

Mòdul

09

i

j

x

y

O(0, 0)a

b

v

v

a

b=tg

a) Vectors en dues dimensions

a

b

c

v

x

y

z

j

i

k

222 cbav

→→→→

z+yx vv+v=v

→→ia=vx

→→jb=vy

→→→→kc+jb+ia=v

→→kc=vz

b) Vectors en tres dimensions

r 0

→OP0

→=Es representa per

X

YP1

P2

r

r2

r1

El vector posició d’un mòbil, és el vector amb origen en O i extrem en P0.

El vector desplaçament, entre dos punts P0 i P1 és el vector amb origen en P0 i extrem en P1.

01 - rrr

r

| |

rs

≥

Si la trajectòria és una recta:

r=s

Trajectòria: Corba que ens indica els punts per on passa un mòbil.

∆S: Distància recorreguda pel mòbil sobre la trajectòria.

c) Trajectòria, posició i desplaçament

Una barca que pretén creuar un riu perpendicularment a la riba.El moviment real de la barca està compost per:

MRU perpendicular a la riba, a causa de l’esforç del remerMRU paral.lel a la riba, degut al corrent del riu

Vector velocitat→→→jyv+ixv=v

2y

2x v+v=v

Vector posició

→→→jy+ix=r

22→

y+x=r

Trajectòria

x= vx t

y= vy t

xv

v=y

v

xv=y

v

x=t

x

y

xy

x

→

4.1- Composició de 2 MRU perpendiculars

Una pilota de futbol llançada cap a la porteria.La trajectòria és parabòlica. El moviment està compost per dos moviments simples:

MRU horitzontal de velocitat vx constant

MRUA vertical amb velocitat inicial v0y cap amunt

VoX = V0. cos

V0Y = V0. sin

VoX = V0. cos

V0Y = V0. sin

V0Y

V0X

V0

Equació de la velocitat

vx=vox= constant

vy= voy- g (t – t0)2y

2x v+v=v

Inicialment

4.2- Moviment parabòlic

X

V0

Y

abast

r

y0

V

alçada màxima

V0x

V0y

Equació de la posició

x= xo+ v0x (t – t0) MRU

y = y0 + v0y (t - t0) - g (t - t0)2 2

1MRUA

→→→jy+ix=r

22→

y+x=r

Temps de moviment: Temps total que el mòbil està en moviment. Quan el mòbil arriba a terra.

y=0

Abast: Distància horitzontal que recorre el mòbil.

Substituïm el temps de moviment en l’equació de x

Alçada màxima:

vy=0

4.2- Moviment parabòlic

Trobem t i el substituïm en l’equació de y

4.2- Moviment parabòlic

Descomposició del vector velocitat en el tir parabòlic

4.2- Moviment parabòlic

0

0

-

-

tt

rr

tr

Vm

Vector velocitat mitjana: quocient entre el vector desplaçament i l’interval de temps transcorregut

Vector velocitat instantània: és el vector al qual tendeix el vector velocitat mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. ∆t0 (velocitat en un instant determinat)

r

v

=

tquan t 0

d) Velocitat mitjana i velocitat instantània

t

rv

Vector acceleració mitjana: quocient entre el vector velocitat instantània i l’interval de temps transcorregut entre dos punts de la trajectòria.

Vector acceleració instantània: és el vector al qual tendeix el vector acceleració mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. ∆t0 (acceleració en un instant determinat)

am

= =

v

t

v2

v1

-

t2 - t1

v→

a

=

tquan t 0

r1

r2

v

v1

v1

v 2

v 2

A A

X

Y

X

Y

B

e) Acceleració mitjana i acceleració instantània

t

va

Quan un conductor d’un automòbil agafa un revolt, el vector velocitat canvia de

direcció en cada instant, i quan prem l’accelerador, canvia el mòdul de la velocitat. En

tot dos casos, si canvia la direcció o el mòdul de la velocitat, hi ha una acceleració.

f) Components intrínseques de l’acceleració

A qualsevol punt de la trajectòria se li pot associar un sistema de referència format per un eix tangent a la trajectòria, i un altre de perpendicular a la trajectòria.

x

y

Definim el vector unitari , de direcció tangent a la trajectòria, i el vector unitari , de direcció normal a la trajectòria.

tu→

nu→

El vector acceleració instantània es pot descompondre, en aquest sistema de referència, en dues components intrínseques: una tangencial i una normal.

nnttnt u.a+u.a=a+a=a 2

n2t a+a=a

f) Components intrínseques de l’acceleració

Component tangencial, at: expressa la variació del mòdul de la velocitat. El seu

valor és:

t

v=at

quan ∆t0

Component normal, an: expressa la variació de la direcció de la velocitat. El

seu valor és:

Rv

=a2

n

v: mòdul de la velocitatR: radi de curvatura de la trajectòria

Pot ser positiva o negativa.

Sempre positiva

Un mòbil té acceleració si varia com a mínim algun factor (mòdul o direcció) del vector velocitat

a

v

t

vat

f) Components intrínseques de l’acceleració

Component tangencial, at:

Variació del mòdul de la velocitat.

Component normal, an: expressa la variació

de la direcció de la velocitat. El seu valor és:

f) Components intrínseques de l’acceleració

L’acceleració normal o centrípeta té la direcció del radi de curvaturai sentit cap al centre del revolt.

f) Components intrínseques de l’acceleració

f) Components intrínseques de l’acceleració

Un moviment és circular quan la trajectòria d’un mòbil és una circumferència.

Quan el disc gira un angle (es llegeix «fi»), els tres punts A, B i C es

desplacen fins les posicions A', B' i C'.

A B C

A’

B’

C’

r = radi

φ = angle

s =arc

Quan l’angle recorregut es mesura en radiants, la relació entre l’angle (ϕ) i

l’espai lineal (s) que descriu el mòbil és:

arc = angle radi⋅

5- MOVIMENT CIRCULAR

s = ϕ ⋅ r

φ

s

5-Velocitat angular

Velocitat angular mitjana, m: quocient entre

l’angle girat, ∆, i el temps recorregut. (rad/s)

Velocitat angular instantània, : velocitat angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s)

0

0

-

-

tttm

t=

Quan ∆t0

t

R=

t

s

R=s ∆s= longitud d’arc∆= angle (en radiants)

R=v

Quan la roda d’una bicicleta gira amb MCU, tots els punts del radi tenen la mateixa velocitat angular, ja que recorren angles igual en el mateix temps.Però com més allunyat del centre és el punt, més gran la distància que recorre, i en conseqüència, major la seva velocitat lineal.

5-Relació entre velocitat angular i velocitat lineal

Acceleració angular mitjana, m: quocient entre la

variació de la velocitat angular , ∆, i el temps recorregut. (rad/s2)

Acceleració angular instantània, : acceleració angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s2)

Quan ∆t0

0

0

-

-

tttm

t=

5-Acceleració angular

Després demostrarem que:

R=at

Moviment en què un mòbil descriu una trajectòria circular amb velocitat angular , , constant.

El mòdul de la velocitat lineal, és constant, però la seva direcció varia en cada instant. No hi ha acceleració tangencial, però si normal.

R=Rv

=a 22

n 0=at

Equació del moviment:

0

0

-

-

ttt

)( 00 tt

Constant

5.1-Moviment circular uniforme (MCU)

El mòbil descriu una trajectòria circular amb acceleració angular , , constant.

La direcció i el mòdul de la velocitat lineal varien en cada instant. Hi ha acceleració tangencial i normal.

R=Rt

=t

)R(=

tv

=at

quan ∆t0

R=Rv

=a 22

n Variable

Constant

Equació de la velocitat angular

0

0

-

-

ttt

)( 00 - tt

Equació del moviment

= 0 +0 (t t0) + (t t0)2 2

1 2 = 0 2+ 2 ( - 0)

5.1-Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

∆S(espai en metres)= ∆( angle en rad ) ·R

V(velocitat)= (velocitat angular )·R

at (acceleració tangencial) = (acceleració angular)·R

6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

Moviments rectilinis

an= 0

Moviment rectilini uniforme (MRU) at = 0

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) at 0

Moviments circulars

an 0 i R = cte

Moviment circular uniforme (MCU) at = 0

Moviment circular uniformement accelerat (MCUA) at = cte

magnitud lineal= magnitud angular · radi

6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

x= x0 + v t

MRU

v = v0 + a t

x = x0 + v0 t + a (t)2 2

1

v2 - v0 2 = 2a x

MRUA

vx=vox= constant

vy= voy- 9’8 t

Parabòlicvox = vo. cos voy = vo. sin

x= xo+ vox t MRU

y = y0 + v0y t - 4’9 (t)2 MRUA

t

rvm

dt

d

t

vam

dt

vda

Rv

an

2

dt

vdat

t0 MCU

21

t0

= 0 + 0 t + (t)2

2 - 0 2 = 2 ( - 0)

MCUA

Rs R=v R=at

RR

an2

2

v

dtrd

v

dt

d

Rat

0

0

n

t

a

a

0

0

n

t

a

a

0

0

n

t

a

a0

0

n

t

a

a