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Simulation numérique en MATLAB Pr So Ousséni

107/09/09

INITIATION A LA SIMULATION NUMERIQUE EN MATLAB

DEA DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES ET CALCUL SCIENTIFIQUE

Promo 2007-2008Ouagadougou 12/11/07

SO Ousséni,Docteur en Mathématiques Appliquées,Spécialiste en simulations numériques et biomathématique,Maître de Conférence à l’Université de Ouagadougou.


207/09/09

PLAN DU COURS

Introduction1.Gestion des fichiers2.Gestion du workspace3.Vecteurs4.Matrices5.Programmer en MATLAB6.Le graphisme7.Simulation numérique: cas des EDO8.Simulation numérique: cas des EDP


307/09/09

INTRODUCTION (1/5)

Type d’outil Language de programmation; Environnement de développement.

Société The MathWorks(société américaine)

Domaines: Calcul numérique Education, Recherche, Industrie, Développement de projets.


407/09/09

Historique MATLAB=Matrix Laboratory;

Conçu par le mathématicien Cleve Moler (Univerisité du Nouveau Mexique) à la fin des années 70 à partir des bibliothèques Fortran, LINPACK et EISPACK;

Jack Little (ingénieur) comprend rapidement les capacités et entreprend avec Steve Bangert, de le recoder en C.

En 1984 Jack Little, Cleve Moller et Steve Bangert créèrent la société The MathWorks afin de commercialiser la version 1.0 de MATLAB .

INTRODUCTION (2/5)


507/09/09

Capacités

Interactif;

Langage de haut niveau;

Exécution de tâches plus rapide que C, C++ et fortran.

INTRODUCTION (3/5)


607/09/09

Outils et modules associés Communications Toolbox Control System Toolbox Excel Link MATLAB Compiler Neural Network Toolbox Optimization Toolbox Real-Time Workshop® Robust Control Toolbox SimMechanics Simulink Statistics Toolbox System Identification Toolbox Virtual Reality Toolbox

INTRODUCTION (4/5)


707/09/09

Alternatives

Fermat; GNU Octave; IDL(langage); JMathLib; LMS Imagine.Lab AMESim; Scilab; Sysquake.

INTRODUCTION (5/5)

http://fr.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave


807/09/09

1. GESTION DE FICHIERS

Créer un dossier sur le CDémarrer/poste de travail/C/Fichier/Nouveau/Dossier/ ‘donner un nom’

(votre nom par exemple)

Ou bien

Démarrer/poste de travail/C/Clic droit/Nouveau/Dossier/’donner un nom’

o Créer un sous dossier à l’intérieur du dossier créé


907/09/09

2. GESTION DU WORKSPACE (1/8)

Démarrer MATLAB Double cliquer sur l’icone de démarrage

Raccourci vers matlab.lnk


1007/09/09

Variables scalaires

>>a=2 (entrer)

Donne la valeur 2 à la variable a et affiche le résultat

a=2



1107/09/09

>>b=3; (entrer)Donne la valeur 3 à la variable b et garde le résultat en

mémoire



1207/09/09


>>b (entrer)

Permet d’afficher la valeur de la variable b.


1307/09/09


>>b=a (entrer)

Change la valeur de la variable b en lui assignant la valeur de la variable a.


1407/09/09

Opérations élémentaires>>1+9 (entrer)ans=10>>6/2 (entrer)ans=3>>2\6 (entrer)ans=3>>1/3ans=0.3333>>format long

ans= 0.33333333333333>>format short>>2^5ans=32



1507/09/09

Variables spéciales >>pi (enter)ans=3.1416

>> realminans = 2.2251e-308

>> realmaxans =1.7977e+308

>> epsans =2.2204e-016



1607/09/09

o Fonctions mathématiques>>sin(pi/2)ans=1

cos, tan, sinh, cosh, tanh, exp, log, sqrt, …



1707/09/09

3. LES VECTEURS (1/5)

Création d’un vecteur Par énumération>>v=[1 2 5 4]v = 1 2 5 4Ou bien>>v=[1,2,5,4]w=[1;2;5;4]w = 1 2 5 4Ou bien>>w=v’


1807/09/09

Par description>>x=[0:pi/11:pi]X= Columns 1 through 7

0 0.2856 0.5712 0.8568 1.1424 1.4280 1.7136

Columns 8 through 12

1.9992 2.2848 2.5704 2.8560 3.1416

>>y=linspace(0,pi,12)y = Columns 1 through 7 0 0.2856 0.5712 0.8568 1.1424 1.4280 1.7136 Columns 8 through 12 1.9992 2.2848 2.5704 2.8560 3.1416

>>z=linspace(0,pi)Donne 100 éléments par défaut



1907/09/09

o Indexage et adressage>>v(3)ans = 5>>v(2:1:4)ans=2 5 4Ou >>v(2:4)>>v([4 3 2 3])ans = 4 5 2 5>>v([2 3])=[0 10]v = 1 0 10 4



2007/09/09

o Opérations scalaires>>a=2*va = 2 4 10 8>>b=a-5b =-3 -1 5 3>>c=a.^2c = 4 16 100 64>>d=a*a’d=184 Combinaison de vecteurs>>K=[a b]K =2 4 10 8 -3 -1 5 3>>L=[k([3 7 4]) k(5:-1:1)]L =10 5 8 -3 8 10 4 2



2107/09/09

o Utilisation des symboles [ ] énumération d’éléments : description d’éléments ( ) ensemble d’arguments , séparateur d’arguments ; séparateur de lignes non affichage du résultat de l’exécution d’une

instruction . force l’opération à s’appliquer sur chaque éléments



2207/09/09

4. LES MATRICES (1/8) CréationUne matrice est un ensemble de lignes comportant toutes le même

nombre de colonnes.Créer les matricesM1 = M2= 1 2 3 1 2 3 4 5 6 11 13 15 7 8 9

>>M1=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] ou M1=[1:3;4:6;7:9]

>>M2=[1 2 3;11 13 15] ou M2=[1:1:3;11:2:15]


2307/09/09

Opérations scalaires>>M3=10*M1M3 = 10 20 30 40 50 60 70 80 90>>M4=M1/2M4 = 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000

4. LES MATRICES (2/8)


2407/09/09

>>M5=M1^2M5 = 30 36 42 66 81 96 102 126 150>>M6=M1.^2M6 = 1 4 9 16 25 36 49 64 81



2507/09/09

Opérations entre matrices>>N1=M2*M1N1 = 30 36 42 168 207 246

(2,3)(3,3)=(2,3)

N2=M1*M2(3,3)(2,3) impossible



2607/09/09

>>P=[4 8 6;7 9 4; 7 2 1]>>N3=M2/PN3 = 0.8525 -0.5902 0.2459 3.6967 -2.2131 1.6721>>N4=M2*inv(P)N4 = 0.8525 -0.5902 0.2459 3.6967 -2.2131 1.6721



2707/09/09

Matrices particulières Matrice identité>>eye(4)ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Matrice nulle>>zeros(2,3)ans = 0 0 0 0 0 0



2807/09/09

1 partout

>>ones(2,3)ans = 1 1 1 1 1 1 Matrice diagonale>>diag([4 5 3])ans = 4 0 0 0 5 0 0 0 3



2907/09/09

Indexage>>M1M1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9>>M1(3,2)ans =8>>M1(:,2)ans = 2 5 8>>M1(1,:)ans = 1 2 3



3007/09/09

EXERCICE D’APPLICATION 1

On considère la matrice M1 précédente Renommer cette matrice A. Mettre à 0 l’élément de la 2e ligne 3e colonne. Mettre à 4 tous les éléments de la 1e ligne. Mettre à 5 tous les éléments de la 2e colonne. Appeler cette matrice B. Créer la matrice C en accolant à droite de A la matrice B. Créer la matrice D en extrayant les 2 premières lignes et

les 2 dernières colonnes de A. Créer la matrice diagonale E dont la diagonale principale

est égale à la diagonale principale de A.NB: Faire toutes ces opérations sans boucle.


3107/09/09

CORRECTION

>>A=M1;

>>B=A, B(2,3)=0, B(1,:)=4, B(:,2)=5

>>C=[A B]

>>D=[A(1:2,:) A(:,2:3)’]

>>E=diag(diag(A))


3207/09/09

5. PROGRAMMER EN MATLAB

Opérations logiques >, < , >= , <= , == , ~= , & o Contrôle d’exécution for expression end>>for n=1:5 for m=1:5 A(n,m)=n^2+m^2; end end


3307/09/09

>>A =

2 5 10 17 26

5 8 13 20 29

10 13 18 25 34

17 20 25 32 41

26 29 34 41 50



3407/09/09

while expression commande end if expression commande 1 (si expression vrai) else commande 2 (si expression n’est pas vrai) end



3507/09/09

M-files ou scripts Définition:

Un script (ou M-file) est un fichier extension .m contenant des instructions MATLAB

Créer un M-file>>edit ou Barre d’outils /New M-file



3607/09/09

% message.m affiche un message

beau_temps=1;

if beau_temps ~= 0

disp ('Hello, il fait beau')

end

Pour enrégistrer

save/ (chemin d’accès) nom: message



3707/09/09

Exécuter un M-file>>cd C:/ nom dossier/ nom sous dossier

>>message

Hello, il faut beau



3807/09/09

Fonctionsfunction y=temps(x)

% temps affiche un message suivant le temps qu’il fait

% et retourne l’opposé de la valeur de x

if length(x)>1 error (‘x doit être scalaire’); end

if x~=0

disp (‘espérons que demain sera meilleur!’)

end

y=-x;



3907/09/09


Écrire une fonction qui retourne l’indexe du plus grand élément d’un vecteur A donné comme argument d’entrée.


4007/09/09

CORRECTION

function imax=indexmax(A)%donne l’index du max de AMax=A(1); imax=1;for i=1:length(A) if A(i)>Max Max=A(i); imax=i; endend


4107/09/09

6. LE GRAPHISME

En 2D: plot

>>x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x);

>>plot(x,y)

>>plot(x,cos(x))

>>hold on

>>plot(x,sin(x))

>>hold off

>>clf

>>plot(x,sin(x),x,cos(x))

>>legend(‘courbe de sinus’,’courbe de cosinus’)

>>title(‘Courbes de fonctions circulaires’)

>>xlabel('abscisse'), ylabel('ordonnée')

>>plot(x,sin(x),'r+',x,cos(x),'b<:')

>>help plot


4207/09/09

En 3D Plot3 (courbes paramétrés)

>>t=linspace(0,10*pi); plot3(sin(t),cos(t),t) Mesh (Courbe de fonctions de 2 variables)

>>x=0:.1:10; y=-10:.1:10; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=cos(X+Y);…

Mesh(X,Y,Z)

6. LE GRAPHISME


4307/09/09

>>x=[1 2 3], y=[4 5 6], [X,Y]=meshgrid(x,y)

X =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Y =

4 4 4

5 5 5

6 6 6

(X,Y)={(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),…,(3,6)}

6. LE GRAPHISME


4407/09/09

EXERCICE D’APPLICATION 3Des mesures expérimentales ont donné les résultats suivants:

Le but de cet exercice est d’interpoler ces points c’est à dire tracer une courbe qui passe le plus près possible de l’ensemble des points d’abscisse le temps et d’ordonnée la mesure correspondante. Utiliser d’abord les fonctions polyfit et polyval (voir help polyfit,help polyval) et ensuite la fonction spline (voir help

spline).

0,511,5321,921,210,50mesures

10,90,80,70,60,50,40,30,20,10Temps


4507/09/09

CORRECTION

function interpolation(d)%interpole les données avec un polynome de degré dt=0:.1:1; tt=0:.05:1;m=[0 .5 1 1.2 2 1.9 2 3 1.5 1 .5];c=polyfit(t,m,d);y=polyval(c,tt);z=spline(t,m,tt);plot(t,m,’o’,tt,y,tt,z)legend('Points à interpoler','Courbe avec polyfit', 'Courbe

avec spline')


4607/09/09

7. RESOLUTION DES EDO

EDO du 1er ordrey’(t)=f(y,t) y(0)=y0 Exemple: RésoudreMV’=-cV*V+Mg V(0)=0Avec M=70 kg, g=9,81 N/kg, c=0,27kg/m Écriture standard V’=f(V,t) V(0)=0f(V,t)=-c/M*V*V+g


4707/09/09

Méthode de Euler itérative

V0=0; Vn+1=Vn+hf(Vn,tn) , n=1,…,N

Programme



4807/09/09

function euler(T)c=0.27; M=70; g=9.81; t=0; n=0; V=0; h=.1;while t<T n=n+1; V=V+h*(-c/M*V^2+g); t=t+h; tt(n+1)=t;

VV(n+1)=V;endplot(tt,VV)xlabel('temps')ylabel('vitesse')title('Simulation de la chute d''un corps dans le vide')



4907/09/09

Méthode de Runge Kutta (ODE 45)

Pardef

global M g c T y0

c=0.27; M=70; g=9.81; y0=0;T=1;

F

function y=F(t,y)

global M g c T y0

y=-c/M*y.^2+g;

Solution

function [t,y]=solution(T1)

% solution d'une EDO du 1er degré

global M g c T y0

T=T1;

[t,y]=ode45('F',[0 T],y0);

Plot(t,y)



5007/09/09

Refroidissement d’une plaque métallique épaisse par convection naturelle et par transfert radiatif de chaleur

dT/dt=A/(ro*C*V)*[eps*sig*(297^4-T^4)+hro*(297-T)], 0<t<180[, T(0)=473

ro=300 kg/m3 V=0,001 m3A=.25 m2C=900 J/(kg°K)hro=30 J/(m2°K)eps=0.8;sig=5.67*1e-8 W/(m2°K4)



5107/09/09

CORRECTIONpardefglobal A ro V C eps sig hro TSPAN Y0 h

%paramètres du problème de refroidissement de la plaque métalique% dT/dt=A/(ro*C*V)*[eps*sig*(297^4-T^4)+hro*(297-T) 0<t<180[,

T(0)=473

ro=300; %kg/m3 V=.001; %m3A=.25; %m2C=900; %J/(kg°K)hro=30; %J/(m2°K)eps=.8;sig=5.67*1e-8; %W/(m2°K4)TSPAN=[0 180]; Y0=473;


5207/09/09

F

function Y=F(t,T)

%second membre de l'ODE problème de refroidissement de la plaque métalique

% dT/dt=A/(ro*C*V)*[eps*sig*(297^4-T^4)+hro*(297-T)], 0<t<180, T(0)=473

global A ro V C eps sig hro TSPAN Y0 h

Y=A/(ro*C*V)*(eps*sig*(297^4-T^4)+hro*(297-T));

CORRECTION


5307/09/09

Solvefunction [tt,TT]=solveglobal A ro V C eps sig hro TSPAN Y0 h

%résolution du problème de refroidissement de la plaque métalique% dT/dt=A/(ro*C*V)*[eps*sig*(297^4-T^4)+hro*(297-T) 0<t<180[,

T(0)=473

t=0 ;n=0 ;T=473 ; tt(1)=t ;TT(1)=T ;while t<180n=n+1 ; T=T+h*F(t,T); t=t+h; tt(n+1)=t; TT(n+1)=T;end

CORRECTION


5407/09/09

Courbefunction courbe(hh)global A ro V C eps sig hro TSPAN Y0 h%courbes des solution du problème de refroidissement de la plaque

métalique% dT/dt=A/(ro*C*V)*[eps*sig*(297^4-T^4)+hro*(297-T) %0<t<180,

T(0)=473% par ODE45 et Euler itératifpardefh=hh;[t,Y] = ODE45('F',TSPAN,Y0);[tt,T]=solve;plot(t,Y,tt,T)legend('solution par ODE45','solution par Euler itératif')

CORRECTION


5507/09/09


Résolution matricielle

Discrétisation

Ecriture Matricielle

AU=F

NixffxuuihxN

hh fuu iiiiiiii ,....,0);() ;(;;2

;1

1)(;) ;ex p (s inco s)(' uxxxxu


5607/09/09

o Matrice

function A=matrice(N)

% calcule la matrice du système pour une EDO d'ordre 1 en utilisant un

% schéma décentré amont

A=toeplitz([1 -1 zeros(1,N-2)],[1 zeros(1,N-1)]);

Résolution

function [U,x]=resolution(N)

% résoud une EDO d'ordre 1 en utilisant un schéma centré amont

h=2*pi/N; x=-pi+(0:N)*h; % discrétisation

F=h*cos(x).*exp(sin(x)); F=F(2:N+1); F(1)=F(1)+1;

U=matrice(N)\F'; U=[1;U];



5707/09/09

o Courbe

function courbe(N)

% trace les courbes

[U,x]=resolution(N);

t=-pi:.1:pi;

plot(x,U,t,exp(sin(t)));

legend('solution numérique','solution exacte')



5807/09/09


o EDO du second ordre

On pose

Donc

0'0

'''' )0(;)0();()()()()()( uuuutStutbtutatu

)()( ' tutv

0'0

' )0(;)0();()()()()()( uuuvtStutbtvtatv


5907/09/09


On pose

On a

v

uy

),(' ytfsb ua v

vy


6007/09/09


• Exemple

M=10; B=50; k=200

50;0)0(;1)0(;0 ''''' tuukuuB uuM


6107/09/09

ProgrammePardefglobal M B k a c TSPAN Y0 h%paramètres du problème % M*u''+B*u'*|u'|+k*u=0M=10; B=50; k=200; a=B/M; c=k/M; TSPAN=[0 5]; Y0=[0;1];

F

function Y=F(t,y)%second membre de l'ODE M*u''+B*u'*|u'|+k*u=0global M B k a c TSPAN Y0 hY=[y(2);-a*abs(y(2))*y(2)-c*y(1)];



6207/09/09

Solvefunction [tt,YY]=solveglobal M B k a c TSPAN Y0 h%résolution du problème M*u''+B*u'*|u'|+k*u=0t=0 ;n=0 ;Y=Y0 ; tt(1)=t ;YY(:,1)=Y ; while t<5n=n+1 ; Y=Y+h*F(t,Y); t=t+h; tt(n+1)=t; YY(:,n+1)=Y;endCourbefunction courbe(hh)global M B k a c TSPAN Y0 h%courbes du problème M*u''+B*u'*|u'|+k*u=0 % par Euler itératif et ODE45pardefh=hh; [t,Y] = ODE45('F',TSPAN,Y0); [tt,YY]=solve; plot(t,Y(:,1),tt,YY(1,:))legend('Solution par ODE45','Solution par Euler itératif')title('Solutions du problème Mu''+Bu''|u''|''+ku=0')



6307/09/09

8. RESOLUTION DES EDP

Équation parabolique

0 t;0),(),0(

],0[ ;s in0,;0 ;0 ; t),(),(

tutu

xxxutxxutxu xxt


6407/09/09


Solution exacte

Solution numérique sur [0,T]

• Discrétisation partielle en espace

(1 ) )ex p ()s in (),( txtxu

T ][0 , t,....,0

) ,,( U, , i

N Xi

txuid xxN X

d x ii


6507/09/09

) 's in...s in (s in0

21

1

1

121

12

) U... U(U U)(

1

d t

d U

1,...,1 )(

2

d t

d U(1 )

121

'1-N X212

211i

N X

iii

xxx)U (A

A Ud x

N Xid x

UUU



6607/09/09


Ce problème est résolu par ODE45 ou par discrétisation

• Discrétisation en temps

1,....,0

)0( U,)(

UU

)0( U,)(

1U-U

T ][0 , t,....,0

) ,( U, ,

02

1

02

1

n

N Tn

UA Ud x

d t

UA Ud xd t

N Tn

tUn d ttN T

Td t

nnn

nnn

nn


6707/09/09


Ce schéma converge ssi

2

2

)( 22

2

N TT

N Xd x

d t


6807/09/09

Programmes pardef% Paramètres par défaut de l'EDO d'ordre 2 u_t=u_xx

global T NT NX dt dx

T=1; NX=10; NT=20; dt=T/NT; dx=pi/NX;

matricefunction M=matrice

%matrice de l'EDO d'ordre 2 u_t=u_xx en utilisant un schéma centré en espace


V=[-2 1 zeros(1,NX-3)];

M=toeplitz(V);



6907/09/09

solutionfunction [U,t,x]=solution

% résoud l'EDO d'ordre 2 u_t=u_xx en utilisant un schéma

%centré en espace


t=0:dt:T; x=0:dx:pi;

U0=sin(x'); U0=U0(2:end-1); U=U0; %condition initiale

M=matrice;

for i=1:NT

U0=U0+dt/(dx)^2*M*U0; U=[U U0]; %stockage de la solution

end

U=[zeros(1,NT+1);U;zeros(1,NT+1)]; % ajout des conditions aux limites



7007/09/09

courbe% trace les courbes l'EDO d'ordre 2 u_t=u_xx

%en utilisant une discrétisation totales


[U,t,x]=solution;

[tt,xx]=meshgrid(t,x);

subplot(2,1,1), mesh(tt,xx,U), xlabel temps, ylabel espace, zlabel quantite

te=0:.1:T; xe=0:.1:pi; [tte,xxe]=meshgrid(te,xe);

subplot(2,1,2), mesh(tte,xxe,sin(xxe).*exp(-tte)), xlabel temps, ylabel espace, zlabel quantite

legend(['En haut, solution numérique pour T=',num2str(T),'NT=',num2str(NT),'et NX=',num2str(NX),...

'. En bas,solution exacte.'])



7107/09/09

Simulationfunction simulation(T0,NX0,NT0)


pardef

T=T0; NX=NX0;NT=NT0; dt=T/NT; dx=pi/NX;

courbe



7207/09/09


Équation elliptique et hyperbolique

'121

2

2

2

2

),...,,(

,...,0, ) ,,( ) ,,(

,1y ,1 ,2

,2

)1( b o rd sau x 0

1,1- ;18s in1 0

jNjjj

jiijjiij

ji

uuuu

Njiyxffyxuu

id y-id x-xN

d yN

d x

u

yx)) x (y -((x ,y )uy

(x ,y )ux


7307/09/09


1,...,1,

)2()(

1),()1( 1122

2

Nji

uuudx

yxux jiijjiji

21

1

1

121

12

)(

1

1

2

1

2

1

2

1

2

2

jN

j

j

jN

j

j

u

u

u

d x

u

u

u

x


7407/09/09


1,...,1 ,)(

122

2

NjD ud x

ux

jj

1

2

1

2

1

2

1

2

2

)(

1

NN u

u

u

D

D

D

d x

u

u

u

x


7507/09/09

function M=matrice(N) %matrice du problème hyperbolique

uxx+uyy=10sin(8x(y-1)) D=toeplitz([-2 1 zeros(1,N-3)]); I=eye(N-1); M=kron(I,D)+kron(D,I);

function z=F(x,y) %fonction second membre du problème hyperbolique

uxx+uyy=10sin(8x(y-1)) z=10*sin(8*x.*(y-1));



7607/09/09

function [UU,xx,yy]=solution(N) %fonction second membre du problème hyperbolique

uxx+uyy=10sin(8x(y-1)) x=-1+(0:N)*2/N; y=x;

[xx,yy]=meshgrid(x(2:N),y(2:N)); %discrétisation f=F(xx,yy); f=f(:); [xx,yy]=meshgrid(x,y); U=matrice(N)\f; U=reshape(U,N-1,N-1); %transforme

en matrice UU=zeros(N+1,N+1); UU(2:N,2:N)=U; %condition aux

bords



7707/09/09

function courbe(N) % trace les courbes du problème hyperbolique

uxx+uyy=10sin(8x(y-1)) global T NT NX dt dx [U,x,y]=solution(N); mesh(x,y,U), xlabel x, ylabel y, zlabel z title('Solution du problème hyperbolique

uxx+uyy=10sin(8x(y-1))')


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