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CUEEP Juin 2006

GEOMETRIE Trigonométrie

Département Mathématiques

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Photocopies de triangles Situations

Voici un triangle rectangle et ses réductions successives à la photocopieuse.

La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.

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Photocopies de triangles Plan de travail

1 - Repérer dans quel ordre se sont déroulées les différentes réductions : Départ... photo 1,

photo 2 et ainsi de suite jusqu'à la plus petite.

Observer que les angles ne changent pas dans les réductions. Mesurer les longueurs des côtés et les reporter au crayon dans le tableau. Pour repérer les côtés correspondant sur chaque figure, choisir un angle de référence (autre que l'angle droit) et le griser sur chaque photocopie de triangle.

2 - Quel est le coefficient de réduction ?

Observer que deux réductions successives divisent les longueurs par 2. La photocopieuse est réglée pour diviser les dimensions par 2 en deux coups. Quelle est la réduction en un coup ?

3 - Utiliser ce coefficient pour corriger vos mesures dans le tableau. 4 - Calculer les coefficients de proportionnalité entre colonnes.

5 - En utilisant la calculette, calculer le sinus (touche : sin), le cosinus (touche : cos), la

tangente (touche : tan) de l'angle de référence. Comparer ces résultats avec les coefficients de proportionnalité entre colonnes.

En déduire la définition du sinus, du cosinus, de la tangente d'un angle.

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Photocopies de triangles Aide

Définitions des côtés Dans un triangle rectangle le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse . Si l'on choisit dans ce triangle un angle de référence (différent de l'angle droit, exemple l'angle grisé) le côté situé en face de l'angle de référence est appelé côté opposé , le côté qui forme l'angle avec l'hypoténuse est appelé côté adjacent.

côté opposé à l'angle droit : hypoténuse

côté situé en face de l'angle de référence : côté opposé

le troisième côté : côté adjacent.

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Angle de référence 30°

Si l'on choisit l'angle de référence de 30° sur le triangle de départ l'hypoténuse mesure 18,5 cm, le côté adjacent 16,1 cm, le côté opposé 9,3 cm. La photocopieuse divise les dimensions par 2 en deux coups. En un coup, elle divise les dimensions par 2 .

Remarque : Vu les "déformations" liées à la photocopie du document, il se peut que vous ne

trouviez pas exactement les mêmes mesures. La calculette fournit les résultats suivants : sin 30° = 0,5 cos 30° ˜ 0,866 tan 30° ˜ 0,577.

hypoténuse × cos 30° = côté adjacent

hypoténuse × sin 30° = côté opposé

côté adjacent × tan 30° = côté opposé

Suivant le type de calculette on tape : «30 sin» ou «sin 30» mais les mathématiciens écrivent sin 30°

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Angle de référence 60°

Si l'on choisit l'angle de référence de 60° sur le triangle de départ, l'hypoténuse mesure 18,5 cm, le côté adjacent 9,3 cm, le côté opposé 16,1 cm. La photocopieuse divise les dimensions par 2 en deux coups. En un coup, elle divise les dimensions par 2 .

La calculette fournit les résultats suivants : sin 60° ˜ 0,866 cos 60° = 0,5 tan 60° ˜ 1,732 .

hypoténuse × cos 60° = côté adjacent

hypoténuse × sin 60° = côté opposé

côté adjacent × tan 60° = côté opposé

Suivant le type de calculette on tape : «60 sin» ou «sin 60» mais les mathématiciens écrivent sin 60°

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Photocopies de triangles Fiche technique

SINUS Hypoténuse × sin a = côté opposé

ehypothénus

opposéasin =

COSINUS Hypoténuse × cos a = côté adjacent

ehypothénusadjacent

acos =

TANGENTE Côté adjacent × tan a = côté opposé

adjacentopposé

atan =

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OU ENCORE :

SINUS Hypoténuse × sin a = côté opposé

ehypothénusopposé

asin =

COSINUS Hypoténuse × cos a = côté adjacent

ehypothénusadjacent

acos =

TANGENTE Côté adjacent × tan a = côté opposé

adjacentopposé

atan =

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Trouver les opérateurs à l'aide des fiches techniques

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Utilisation des fiches techniques

Vous pouvez utiliser l'une des deux méthodes suivantes pour trouver le bon opérateur trigonométrique.

Méthode visuelle Détacher les feuilles techniques de façon à pouvoir présenter les triangles dans le sens qui vous convient. Trouver le cas qui correspond à votre problème.

Méthode par les noms Repérer sur votre figure l'hypoténuse, le côté adjacent, le côté opposé. Choisir à partir de là, l'opérateur à utiliser.

Utilisation de la calculette

Il faut, avant tout, vérifier que votre calculette lit la bonne unité d'angle. Ici, nous utiliserons les degrés. Il se peut que votre calculette affiche plus ou moins de chiffres que la nôtre.

Sens direct : on connaît l'angle.

1 - CALCUL DE SIN 38° Taper 38 sin ou sin 38 (selon les machines) La machine affiche 0,615661475 Présenter le résultat sous la forme : sin 38° = 0,6157 2 - CALCUL DE COS 38° Taper 38 cos ou cos 38 (selon les machines) La machine affiche 0,788010754 Présenter le résultat sous la forme : cos 38° = 0,7880 3 - CALCUL DE TAN 38° Taper tan 38 ou tan 38 (selon les machines). La machine affiche 0,781285627 Présenter le résultat sous la forme : tan 38° = 0,7813

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Photocopies de triangles Réponses

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Connaissant l'angle et un côté, calculer la longueur des deux autres côtés.

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Dans les premiers triangles, le calcul se fait en sens direct. Voir les fiches techniques (p. 6 et 7).

- Dans le cas du triangle dont on connaît l'angle de 70° et son côté adjacent 33, il faut calculer les longueurs de l'hypoténuse et le côté opposé.

1 2

- Dans le cas du triangle dont on connaît l'angle 52° et son côté opposé 52, il faut retrouver l'hypoténuse et le côté adjacent.

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Photocopies de triangles Synthèse

Vérifier la validité de ce schéma sur quelques exemples.

Remarquer que a cosa sin

= a tan

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Trouver les opérateurs trigonométriques, en déduire les angles à l'aide de la calculette.

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Utilisation de la calculette Sens inverse : on connaît les rapports trigonométriques.

• Calcul de l'angle b tel que sin b = 0,4

Suivant les machines : Taper 0,4 sin-1 ou sin-1 0,4 La machine affiche 23,57817848

Présenter le résultat sous la forme : a sin 0,4 ≅ 23,6°

• Calcul de l'angle b tel que cos b = 0,4

Suivant les machines Taper 0,4 cos -1 ou cos -1 0,4 La machine affiche 66,42182152

Présenter le résultat sous la forme : a cos 0,4 ≅ 66,4°

• Calcul de l'angle b tel que tan b = 0,4

Suivant les machines Taper 0,4 tan-1 ou tan-1 0,4 La machine affiche 21,80140949

Présenter le résultat sous la forme : a tan 0,4 ≅ 21,8° Reportez vous à la notice de votre calculatrice pour accéder aux fonctions sin-1 , cos-1, tan-1

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Compléter les mesures des côtés et des angles.

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Table trigonométrique Comment faire sans calculette ? VALEURS ENTIERES D'ANGLES La table donne les valeurs arrondies au 1/10 000. Il faut lire de haut en bas pour les angles de 0° à 45°. Il faut lire de bas en haut pour les angles de 45° à 90°.

Ex. :

sin 38° = 0,6157 cos 38° = 0,7880 1/tan 38° = 1,280

sin 52° = 0,7880 cos 52° = 0,6157 1/tan 52° = 0,7813

tan 38° = 0,7813→

←tan 52° = 1,280

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Quart de cercle trigonométrique

• On lit la valeur du sinus d'un angle sur l'axe des ordonnées.

• On lit la valeur du cosinus sur l'axe des abscisses.

• On lit la valeur de la tangente sur l'axe "de droite" des ordonnées. Par exemple : sin 40° = 0,64 cos 40° = 0,77 tan 40° = 0,84

Date post:	06-Jan-2020
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