مصوغة ديداكتيكالرياضيات

إعداد:الغزالي المومن عبد

اليعقوبي السالم عبد1

بوعيشية القادر عبداللطيفزريوال عبد

I.:تقديماآلن إلى االستقالل منذ مستمرا تطورا بالمغرب الرياضيات تدريس محتويات عرف حيث من سواء ،

التدريس وطرق البيداغوجية المقاربة جهة من أو التدريس. المادة في التقليدية الطرق من انتقلنا وهكذا ( العصرية الرياضيات مرحلة والجاهز النهائي شكلها في الرياضية المفاهيم إلى ) maths modernesوتقديم ،

فيها بما المواد جميع يهم بيداغوجي كخيار بالكفايات المقاربة اعتماد خاللها تم التي الحالية المرحلةالرياضيات.

) ( قد وتأهيلي إعدادي بالثانوي الرياضيات مادة لتدريس التربوية التوجيهات فإن المواد، باقي وبخالفصانعا يكون أن للتلميذ تتيح التي الرياضية باألنشطة التدريس مقاربة قصيرة غير مدة ومنذ اعتمدت

. علم تهم التي والدراسات البحوث تقدم على بناء االختيار هذا تبني وتم لتربيته أساسيا وفاعال لتعلمهو بنائية والسوسيو البنائية النظرية أسسوفرضيات على وارتكازا الرياضيات، وديداكتيك المعرفي النفس

. بالكفايات للمقاربة النظرية الدعامة الحقا ستشكل التي

تدريس وترصد رصدت التي التقارير من العديد وحسب الفصول داخل التعلمية التعليمية الممارسة أن إالمستوى على إن تقليدية مجملها في زالت ال بسلكيه، بالثانوي التعليمية األقسام داخل حاليا الرياضيات

التعلمات . ،تخطيط تقارير حسب الممارسة هذه وتتجلى التقويم جهة من أو الرياضية، المفاهيم تدريس أو: التفتيشفي

وتقويما، - وتدبيرا تخطيطا المدرسي الكتاب على الكلي االعتماد-) متوفرة ) كانت إن التربوية التوجيهات تغييبالتعليمية - الحصة على لألستاذ كلية شبه هيمنةمنعدمة، - نقل لم إن ضعيفة تظل التعلمات بناء في التلميذ مساهمةالتربوية، - المستجدات و يتماشى للدرس عقالني تخطيط غياب- ................................................

يقترح المستمر، بالتكوين والخاص الرياضيات مادة لتنسيق السنوي العمل برنامج مع وتماشيا عليه وبناء : التالية المصوغة والتأهيلي باإلعدادي الرياضيات مادة أساتذة تكوين أرضية بإعداد تكلف الذي الفريق

II. باإلعدادي الخاصة الرياضيات ديداكتيك مصوغة1): المستهدفة المهنية الكفايات

بالثانوي - الرياضية لتدريسالمفاهيم النظرية األدوات تملكالحرفي - - الحساب تهم تعلمية تعليمية وضعيات وإعداد تصورالمستهدفة - الكفاية نماء ودرجة الموارد إرساء تقدم تقويم

الحرفي بالحساببالكفايات - المقاربة وفق التعلمات تخطيط

األهدافاألساسية (2باإلعدادي، - معين رياضي مفهوم لبناء مسألة وضعيات إنتاجالمتسلسلة - لتقديم تعلمية وضعيات والمتطابقة k)a+b( = ka + kb بناء

o(a + b()a – b = )a2 – bالحرفي، - بالحساب المرتبطة التالميذ أخطاء وتصنيف تحليلالحساب - خالل من المستهدفة الكفاية نماء درجة تقويم أجل من وضعيات بناء

الجبري،

2

-. باإلعدادي الرياضيات مادة برنامج من تعلمي مقطع تخطيط3): للمصوغة األساسية المحاور

المسائل أ- حل طريق والتدريسعن البنائية المقاربةالرياضية - للمعرفة اإلبستيمولوجية الطبيعةالتعلم - حول تصورات ثالثةالبنائية - المقاربةالقسم - داخل الرياضي النشاط وتدبير المسألة الوضعية

النمط ب- من واالنتقال باإلعدادي الحرفي الحسابالجبري النمط إلى الحسابياتي

الجبري، - والنمط الحسابياتي النمطالحرف ))- ، Statut de la lettreوضعالتساوي، - لعالقة المختلفة المعانيالحرفي - للحساب األساسية األهدافباإلعدادي - الحرفي للحساب التدريجي التدريس اجل منقطيعة؟ - أم امتداد الحرفي، الحساب

:ت- بالكفايات المقاربة وفق التعلمات تخطيطباإلعدادي، - الرياضيات تدريس واقع من نماذج

للدرس - القبلي للتحضير األساسية الخطواتبيداغوجية - وثيقةاإلعدادي - من مثال

III.مصوغة التأهيلي بالثانوي الخاصة الرياضيات ديداكتيك

1): المستهدفة الكفاياتبالثانوي - الرياضية لتدريسالمفاهيم النظرية األدوات تملك

التأهيليمفاهيم - - بناء تستهدف تعلمية تعليمية وضعيات وإعداد تصور

الـتأهيلي بالثانوي رياضيةالبنائية - المقاربة وفق التعلمات تخطيط

األهدافاألساسية (2برنامج - من رياضية مفاهيم لبناء مسائل وضعيات التأهيلي بناء ، الثانويالدرس - وتنظيم الثالثة الدرجة من معادالت لحل كأداة العقدي العدد تقديم

- - أداة موضوع أداة جذلية وفقالمسائل - حل في اإلطار تغيير أهمية تبرز مسألة وضعيات وتخطيط تصورالمفاهيم - تقريب في اإلطار تغيير أهمية تبرز تعلمية تعليمية وضعيات بناء

)... الدوران ) النهايات، الرياضية-. درس تخطيط

3) : للمصوغة األساسية المحاورالمسائل أ- حل طريق والتدريسعن البنائية المقاربة

الرياضية - للمعرفة اإلبستيمولوجية الطبيعة

3

التعلم - حول تصورات ثالثةالبنائية - المقاربةالقسم - داخل الرياضي النشاط وتدبير المسألة الوضعية

- ب- كائن أداة وجدلية اإلطار موضوع تغييرالرياضية، - المعرفة ابستمولوجياالرياضيات - في الباحث عملمعين - رياضي مفهوم لدى الكائن ووضع األداة وضعاإلطار - تغييروجذلية - اإلطارات كائن- لعبة موضوع أداة

البنائية ت- المقاربة وفق التعلمات تخطيطاإلعدادي - بالثانوي التدريس واقع من نماذجللدرس - القبلي للتحضير األساسية الخطواتبيداغوجية - وثيقة-. التأهيلي الثانوي من مثال

) تأهيلي ) - إعدادي األول المحورالمسائل حل طريق والتدريسعن البنائية المقاربة

I.:تقديم: - بينها فيما وتتفاعل مادي وجود لها عناصر ثالثة من تعلمية تعليمية وضعية كل تتشكل

. . المثلث هذا ويتفاعل التعليمي بالمثلث عليه يصطلح ما وهو والتلميذ والمعرفة المدرس. المؤسساتية والقيم التربوية السياسة ومع فيه، يتواجد الذي الحضاري المناخ مع بدوره

على ينبني الرياضيات تعليم يستهدف المدرسة داخل تعلمي تعليمي نشاط فكل وهكذا، . الرياضية؟ المعرفة هذه طبيعة هي فما الرياضية والمعرفة والتلميذ المدرس تفاعل

II. الرياضية المعرفة طبيعة: أصناف أربعة إلى الرياضية المعرفة الرياضيات ديداكتيك في الباحثين بعض يقسم

:أ- المختص أو الباحث عند الرياضية وخالية المعرفة ونهائي جاهز شكل في من تقدم . وعن التاريخي سياقها عن بمعزل وتعرض الفاشلة والمحاوالت واألخطاء الشوائب كل

. النشأة مجال عن معزولة أي األولى، المسألة عن وحتى الباحث شخصيةتدرس ب- أن يجب التي الرياضية عن المعرفة األولى المعرفة من اشتقاقها ويتم ،

( الديداكتيكي بالنقل، يسمى ما بالمقررات( la transposition didactiqueطريق وتوجد ، الدراسية،

المدرسية ت- الرياضية بطابعه المعرفة مطبوعة وتكون المدرس طرف من تقدم التي وهيفي يتجلى والذي الخاص

،للمعارف تقديمه عند ذاك أو الترتيب لهذا تفضيله ،التوظيف ومجاالت المفاهيم معاني لمختلف يوليها التي األهمية و التعليمية األهداف وحول المدرسة، المفاهيم وحول مجملها في الرياضيات حول تصوراته

... التعلم حولالمتعلم، ث- منطرف المستوعبة الرياضية المعرفة

4

III. التالميذ؟ يتعلم كيفالتعلم ثالث حول تصورات :

: أ- الرأسالفارغة :تصور أهمها الفرضيات من مجموعة على التصور هذا ويرتكز ،له سنقدمها التى المعرفة عن شيء أي يعرف ال المتعلم : يصاغ ما على مبنية مثلى تواصلية وضعية خلق هي للتعلم وسيلة أفضل

/ المتعلم، المتلقي طرف من محالة ال سيفهم بوضوح، ،ويصادق ويقيم يقدر الذي وهو المرجع، أي المعرفة، حامل المدرسهو طبقات المتعلم رأس في ويثبتها المدرس طرف من محتكرة المعرفة

متراكمة.: ب- الصغيرة الخطوات تصور

السلوكية ) المدرسة على اعتمادا التصور هذا :béhaviorismeتطور على( ويقوم المراحل من مجموعة تهييئ علينا آخر، إلى معرفي مستوى من التلميذ لنقل

على. يسهل صغيرة صعوبة تضم المراحل هذه من واحدة كل الوسيطيةعليها، التغلب المتعلم

،وبسيطة جزئية معارف إلى المعرفة تجزيئ يمكن ،الجزئية المعارف تراكم طريق عن نتعلم

5

الرأسالمملوءة ت- تصورمجموعة يملك وهو القسم إلى يأتي تلميذ كل أن فرضية من التصور هذا ينطلق

. وغير ناقصة العموم على تبقى األخيرة هذه أن إال سيدرس ما حول المعارف منهته. االنطالق وضعية هذه من تنقله أن التعلمية التعليمية الوضعية وعلى مهيكلة

. التصور هذا ويشكل وجديدة مهيكلة التلميذ معارف فيها تكون نهائية وضعية إلى . البنائية للمقاربة مرتكزا

IV.: بنائية السوسيو المقاربةمن كل أبحاث على اعتمادا المقاربة هذه ,Piaget, Vygotsky, Bachelard تطورت

Doise, Mugny وأعمال : أمثال الرياضيات ديداكتيك في ,BrousseauالباحثينVergnaud, Chevallard, Douady وترتكز ، : أهمها الفرضيات من مجموعة على

األولى بياجي: الفرضية أعمال من مأخوذةبالفعل أشياء نتعلم على الفعل وليس المسائل حل فعل بعبارة هنا ويقصد ،

والفرد الفرد به يقوم فكري بناء وهو خطية، ال ذهنية عملية فالتعلم فقط، ومواضيعوحده.

أفادتنا" تسجيل 30لقد عن ناتجة حالة لمعرفة وجود ال بأنه البحوث من سنةبياجي » ) ( الفرد نشاط من نابعة هيكلة غياب وفي خارجية مالحظات

الثانية بياجي: لفرضية أعمال من كذلك هي مأخوذةفي النظر يعاد حيث انتقالية أطوار عبر آخر إلى توازن حالة من المعرفة تمر

. االمع من المرء تمكن إذا السابقة الالتوازن رف حالة فمعناه Déséquilibreاجتياز ، المعارف إلى الجديدة المكتسبات إدماج خالله يتم للمعارف، تنظيم إعادة هناك أن

.القديمة الثالثة : الفرضية

العفوي ) التمثل مفهوم باشالر (:les représentations spontanéesأدخلسنه « يكن مهما بكر، شمع لوحة وال ليسفارغا تتركب« ويظيف: »العقل

العلمية المعرفة أمام كعوائق تلميذ ». التمثالت كل يستطيع أي وهكذا رموز فكبتعبئة عليه تقترح المسائل تمثالتوضعية حل وتقنيات ذهنية صور من مكونة

. السابقة... بمكتسباته مرتبطة وكلها ، وخوارزميات : الرابعة الفرضية

. ) األقران ) مع وبتعاون ، المدرس شخصراشد بحضور أفضل يتعلم أن للطفل يمكن« L’apprentissage donne donc naissance, réveille et anime chez l’enfant toute une série de développements internes qui, à un moment donné, ne lui sont accessibles que dans le cadre d’une communication avec l’adulte et la collaboration avec les camarades, mais qui, une fois intériorisés, deviendront une conquête propre de l’enfant. » (Vygotsky)

الخامسة : الفرضيةصراع حالة في التالميذ جعل المعارف، معرفي إن اكتساب عليهم يسهل الحديثقد

: معرفي سوسيو صراع عن من هنا جزء هناك صراع كل داخل ألن سوسيو،

( . أبحاث. نتائج المعرفة هو الصراع موضوع ألن ومعرفي، ، مدرسة االجتماعي

.) التكوني النفساالجتماعي علم حول جنيف

6

V. المسائل حل طريق والتدريسعن البنائية المقاربة1.: درسالرياضيات في المسائل أنواع

مقطع - إنجاز بعد مباشرة تقدم التي التطبيقية التمارين أو المسائلأو خاصية او مفهوم وتوظيف تفعيل إلى تهدف والتي الدرس من

غيرها.مفهوم - تقديم تستهدف التي التمهيدية أو االستكشافية المسائل

. معرفة إلى التوصل أو معين-. التعلمات تقويم تستهدف التي االختبارية والروائز المسائل- . ملموسة ترييضوضعية وتتوخى النمذجة تستهدف التي المسائلاإلدماج - تستهدف التي المسألة الوضعية

الرياضي؟ .2 النشاط هو ما : خطابات، بناء مسائل، حل التساؤالت، طرح باألساس تعني الرياضيات ممارسة

. براهين بناءالمسألة؟ .3 الوضعية هي ما

تعلم دون حلها للتلميذ يمكن ال مسالة بأنها المسألة الوضعية ميريو فيليب يعرفجديد:

« c’est une situation dans laquelle il est proposé à l’enfant une tâche qu’il ne peut mener à bien sans effectuer un apprentissage précis. »

• P.MEIRIEU, Apprendre... oui, mais comment, ESF, 1995.حسب .4 المسألة الوضعية Regine Douady مميزات

حسب المسألة الوضعية طريقة Douadyتستهدف أو نتيجة أو مفهوم تعلم: . كالتالي... المسالة الوضعية مميزات حددت وقد ذاته لحد الحل وليسهو حل

التلميذ -1 بمقدور يكون أن. المسألة حل في االنخراط

جوابا أو حال يتوقع أن يمكنه .ممكنا

يستثمر فلن وإال األيدي مكتوف يبقى ال ان التلميذ علىكافية غير انها يدرك ولن معارفه،

عموما -2 التلميذ معارف تبقىالمسألة يحل لكي كافية غير

.مباشرة

استثمار إعادة هناك جديد، إدراك هناك يكون فلن وإالغير ) انه إال ضروري شيء وهذا السابقة المكتسبات

عليه(. معارفه، باستثمار ألنه أساسية، الميزة هذه كافيينميها، لن االقتصاد، مبدإ وإالحسب كافية، غير أنها يعي أن

الوضع حسب ءمتها على فقط .سيبحث

المسألة -3 تسمح أن يجبالحل هل يقرر بأن للتلميذ

ال ام مالئم علية .المعثور

معارفه كفاية عدم ويعي يدرك ان وحده التلميذ علىثقل. أو األخطاء خالل من يدرك الذي الشيء بنفسه

المتبعة الطريقةالمعرفة -4 تكون أن يجب

التلميذ يدركها أن نريد التيإلى للتوصل مالءمة األكثر هي

مستوى في للمسالة حل .التلميذ

, التلميذ إن حيث المنال، صعب أنه إال بديهي الشرط هذاللمعرفة مالئمة وغير المسألة لحل مالئمة اداة يكتشف قد

: ماذا. للمسألة القبلي التحليل ضرورة يؤكد مما المنشودةالمسألة؟ هذه أمام التلميذ سيفعل

7

القسم .5 داخل المسألة الوضعية تدبير: بروسو غوي حسب مراحل عدة يتضمن التدبير الفعل، هذا مرحلة مرحلة الصياغة، مرحلة

. بتقييم متبوعة تمارين مرحلة المأسسة، مرحلة التصديق،

هي .6 الوضعية هذه هل نقرر لكي عليها نجيب أن يجب التي األسئلة هي مامسألة؟ وضعية بالفعل

:أ- التعليم في المفهوم دورالمقررات، - دراسة-. المدرسي الكتاب وتحليل دراسة

المدروس ب- المفهوماليومية - الحياة في دوره-. المعنية المادة في دوره

للتالميذ ت- األصلية التصوراتأخطاؤهم،-العوائق،--. األصلية التصورات

:ث- المرجوة النهائية التصوراتوالمهارات، - المعرفة أهدافهذا - أدرك التلميذ أن ستبث التي الملحوظة التصرفات هي ما

المفهوم؟المفهوم؟ - هذا حول لديه تكون أن أرغب تمثالت أي

7.: الحصة تحضير: المسألة للوضعية قبلي تحليل

التالميذ؟ - سيفعل ماذاحل؟ - عن بحث سيرورة في االندماج بإمكانهم هلبالفعل - سيستعملون " تهل الكافية " غير أي العاجزة ؟صوراتهم

الفصل؟ داخل تدبير أيالمجموعات؟ - هذه تكوين يتم كيف مجموعات؟ في البحث ينظم هلللتالميذ؟ - سأعطيها التي التعليمات هي ماحصر؟ - حالة في أخرى، بعبارة البحث؟ فترة خالل سألعب دور أيتصديق؟ - مرحلة صياغة؟ مرحلة هناك ستكون هل

التقييم

تصوراتهم؛ - تطور وكذلك التالميذ، ومهارات معارف سنقيم؟ ماذاذلك؟ - أجل من سأستعمل تقييم أدوات أيالتالميذ؟ - تصورات تطورت هل

: البعدي التحليل

الفروقات؟ - هذه لماذا بالفعل؟ حدث وما توقعته ما بين الفرق ما-. جديد مقطع في أغيره أن علي ماذامسألة؟ .8 وضعيات نبني كيف

8

الذي بالمفهوم وثيق بشكل والمرتبطة المجاورة المفاهيم االعتبار بعين نأخذ أن بجب.... : والتناسب العدد بمفهومي مرتبط الخطية الدالة مفهوم مثال تدريسه نريد

الرياضيات تعليم في باألمر المعني المفهوم يلعبه الذي الدور كذلك نعتبر أن علينا كما. األخرى والمواد

المدروس، المفهوم حول التالميذ تصورات بخصوص معلومات على نتوفر أن يجب كما... المنشودة والكفايات المعارف وأهداف القبلية مكتسباتهم وحول

انتهى

.ملحوضة المحور: هذا تهم األمثلة من مجموعة المدمج بالقرص توجد

9

: الحرفي الحساب الثاني المحورباإلعدادي

ال من واالنتقال الحرفي إلى نالحساب الحسابي مطالجبري النمط

الجبري والنمط الحسابي النمط: أ- الحسابي النمط

•. المجهول إلى المعلوم من التدريجي واالنتقال فقط المعروفة الكميات استعمال•. أساسية بصورة والكسرية والصحيحة العشرية األعداد استعمال مع عددية مسائل حل•. العددي الحساب ومصطلحات العادية اللغة هي الرئيسية أداتهتأخذ • و وسيطية مراحل إال الحسابية العمليات تشكل وال بحتا، تقنيا دورا الحساب يلعب

. النهاية في عليها المحصل النتيجة خالل من أهميتها:ب- الجبري النمط

مجهولة، • أو معلومة كميات بين عالقات كتابةوالمتغيرات، • الوسيطات استعمال•. ) حرفي ) حساب موضوع تكون جبرية حرفية تعابير إلى العادي الخطاب يترجم

الحرفوأدواره statut de la lettre قانونالكائن ).1 وضعية (:lettre objetالحرففي

- : محددا شيئا أو Aيمثل المستوى من .نقطة- : قياس وحدة يمثل أحل m 4الحرف أمتار 4منرياضيا : - كائنا يمثل ( lL= Sالحرف أو ) (D =Pالمساحة المحيط )

المتغير .2 وضعية :lettre variableالحرففيالحرف - مكان وضعه يمكننا الذي العدد هو t: 1,2 <t < 1,5ما

المجهول .3 وضعية : lettre inconnueالحرففي-. المعادالت حل أو المسائل ترييض وضعيات في نجده

المبهم .4 وضعية (:indéterminé ) الحرففياألعداد - kو bو aلكل ، k)a+b( =ka+kb الهامة - المتطابقات

الوسيط .5 وضعية (:paramètre) الحرففيالحروف - باقي مع مقارنة معروفة تحسب كمية الحالة هذه في الحرف يمثل

: المجهول أو المبهم أو المتغير دور تأخذ التي ax+b=0, y = ax+b, f)x( = axاألخرى

10

III.: التساوي لعالقة المختلفة المعاني

عملية (1 إنجاز إلى الدفع نتيجة، عن اإلعالن = .... اليسار= على توجد التي العملية ينجز أن عليه أن للتلميذ بالنسبة تتم ،4/5 +1/2يعني

: وليسالعكس اليمين إلى اليسار من الحالة هذه في 13/10 = 4/5 + 1/2القراءة

2): المعادلة المشروط، التساوي( : صحيحا = التساوي تجعل التي األعداد هي ما كالتالي ويفهم يقرأ الحالة هذه ( x+2 = 3 – xفي

3) : المتطابقة صحيحا دائما التساويجبرية وأخرى عددية متطابقات المتطابقات، هذه من نوعين نجد أن :يمكننا

: العددية 2/1+10= 10.5، 5+3=4+4المتطابقة ،

: الجبرية k)a+b( =ka+kbالمتطابقة

ربط )(4 أو تعيين يعني ( cadre fonctionnelالتساوي : محدد بإجراء الترميز نربط أن يعني

f)x(=x2+5 الترميز نربط أن احسبأس )f)xيعني أضف 2باإلجراء 5ثم

IV.: الحرفي للحساب األهدافاألساسيةالذهني، ) أ- الحساب على تطبيقات الحساب وتقنيات قواعد وتوضيح لتعليل أداة

)... األقواس إزالةالمسائل ب- لحل فعالة أداةوالبرهنة ت- للتعميم أداة

V. قطيعة؟ أم امتداد الجبري، والنمط الحسابياتي النمطقطيعة توجد وإنما العددي، للحساب مبسطا تعميقا أو امتدادا ليس الجبر أن على الباحثون يجمع

: . يستوجب ما وهذا الجبري والنمط الحسابي النمط بين إبستملوجية

لمفاهيم - والمتأني التدريجي واإلدخال المفاهيمي المستوى على بجدية العملالتدريب في اإلفراط وتجنب المعنى بناء مستوى على والعمل وتقنياته الجبر

التقني.والصياغة - للحل بالنسبة العددي الحساب مع مقارنة الجبري الحساب قوة إبراز

. والتعليل والتعميمتنظيما، ) - واألكثر األسرع المالئم الشكل واختيار تعرف الحساب مهارات تنمية

.) المعقلن الذهني الحسابأمام - المجال فسح يجب بل محض، تقني هو ما على الجبري النمط يقتصر ال

. حرية بكل البادرات وأخذ للتفكير التلميذبأن - التلميذ يعي حتى االستدالل مهارات تنمية في الجبري الحساب استثمار

بين انسجاما هناك وأن تبنى الرياضيات وأن الهندسة، في فقط توجد ال البراهينأن إلى باإلظافة عشوائية، ليست الحساب وتقنيات أدوات مفاهيمها،وأن

إلى الحاجة وتبين المضاد للمثال المبكر باالستعمال تسمح الجبرية الممارسةاالستدالل.

11

VI. لالستثمار أنشطة

12

S

OER

P T

a 8

أهداف تمرين

على التعرفالجذاء و المجموعبينهما والتفريق

: الحرف وضعيةمتغير

x ،عددأن (1 )A=x-1 ; B=x+9/5 ; C=)x+9(/5 ; D=9/)x+5علما

: التالية الجمل أتممA ...... 1و xهو .....مجموع حارج 5على 9و xهو ......مجموع 5على 9وخارج xهو....... ل.... ..... 9هو ل 5و xعلى

الجدول (2 في الثاني العمود أتممرياضية كتابة

xو 8وجذاء 5مجموع xو 8ومجموع 5جذاء

1

مهام إنجازواحترام التعويضاألسبقية

: الحرف وضعيةمتغير

ممارسة االستدالل:

عن البرهنةمثال طريقمضاد.

التالي الجدول :أتمم

a-b+c a-b-c a-)b-c( c b a14 26 500,3 0,3 5

جوابك علل النتائج؟ نفس على نحصل هل

2

متغير: الحرف

بداللة مقدار حسابآخر

TROP و مستطيل TRESمربع،a[ الضلع طول إلى بالسنتمتر[ ORيرمز

القطعة ] cm8هو[ REطول

التالي الجدول في حدد الشكل باستعمالمساحة أم محيطا المقترح التعبير كان إذا ما

أجوبةa 8a + 8

a2 + 8a(a+8)+(a+8)+a+a

4aa (a+8)

4a + 16

3

13

A B

A Bx

x

جبرية تعابير تحويلاستعمال طريق عن

الضرب توزيعيةللجمع بالنسبة

:مبهم الحرف

دائما تساوي ال التي احذف التالية، التعابير بين :n + 4 4من8 n ; n+3n+4 ; n+1+n+1+n+1+n+1; (2n+2n)+(n+n+n+n) ;

22+2+2n ; 4(n+4) 4

: ترييضوضعية نصلغوي ترجمة

جبري تعبير إلى :مجهول الحرف

طوله مكتبة رف على الكتب من مجموعة الكتب. 1,5mوضعنا هذه من بعضمنه 3cmعرضه واحد عرضكل مألت. 5cmوالبعضاآلخر الكتب هذه أن وحيث

الرف؟ هذا في وضعناها التي الكتب عدد هو ما بأكمله، الرف 5

: االستدالل ممارسةباستعمال البرهنة

جبري تعبير :مبهم الحرف

. جوابك علل صحيحة؟ دائما العبارة هذه هل ) مضاعفل" ) هو متتالية متتابعة أعداد ثالثة . "3مجموع 6

السجل في تغيير(changement de

registre)لغة إلى العادية اللغة من

الرموز :متغير الحرف جبري تعبير تبسيط

. حسابي برنامج يظهر الجدول من األول العمود فيالثاني( 1 العمود اتمم.xالحرف( 2 الثالث العمود أتمم المختار، العدد يمثل

: الحساب برنامج عددا xأختار العدد أحسبضعف الجذاء مجموع أحسب

والعدد 6السابق بين الفرق أحسب

العدد و السابق المجموعالمختار

7

مبهم الحرف: التالية التعابير بسط

A=0 a + b c + 1 d = …. ; B= x + x + 4 + x +7 = ….C= 5x + 3 + x + 7 = …. ; D= 5x + 3x + 7x = … ; E = 3 5 ) a + b ( = … F = 3 x 2 x

8

متغير: الحرف

بداللة القطعة xأحسب :[ AB]طول الحالتين في

9

على التالميذ تحفيزالحرف إلى الرجوع

بعد التعليل لضرورةالتضنن

متغير : الحرف

عددا، (1 في( 2اختر عليه، 10أضف( 3، 8اضربه المحصل الجذاء (4إلىعلى المجموع المجموعثم 7أضف( 5، 2اقسم ربع خذ الخارج، إلى

.3احذف . وشرح توضيح يمكنك كيف مختلفة اأعداد مع مرات عدة العملية هذه هذا أعد

. عليها المحصل النتائج

10

العددي بالحساب تعويضمتغير: الحرف

A= 3x +4y - 2 احسبA ل y = 1 11و x = 0بالنسبة

تنمية تستهدف روائزالتساوي، معاني

تكون قد متساوياتحسب ال أو صحيحة

القيممجهول: الحرف

: التالية المتساويات لدينا2x + 3 = 10 ; 4x – 2 =10 ; 6)1 + x( = 9 2 ; 7x – 3 =7 + 2x

. صحيحة تراها التي المتساويات حدد 12

14

2

2

3x-7

3x-7

3x-5

2x+1

A E F

D C

J I

AG

B

المتطابقات تعرفالتعويضفي بعد العددية

جبري تعبيرعدد: الحرف

شعاعها دائرة محيط تساوي التي حدد التالية الجذاءات بين :10من 2 ; 10  ; 2 10 ; 102 10 13

المجهول إلى المبهم منC = )5x -3 (2 – )2x – 1()5x – 3(

ورتب .1 واختصر Cانشرل Cاحسب .2 x = -2بالنسبةالمعادلة = .3 (5x – 3()2 – 3x )0حل

14

أخذ فالتح على يزأم ) التعميل المبادرة

النشر(الحرف

A = )2x +3 ()-4 + x( – 4x)x - 4(المعادلة- 1 A= 12حلالمعادلة- 2 A = 0حل 15

العددية المتطابقات : الضرب عملية وضع ودون سريعا احسب-A = 109 91 ، B= 1252 – 752 ،- C = 1032

16

اإلطار من االنتقالاإلطار إلى الهندسي

ترييض عبر الجبريوضعية

مجهول: الحرف

الشكل، الحظبداللة -1 المستطيل xاحسب ABCDمساحةبداللة -2 الملون xاحسب الشكل EFGHIمساحة3-. متساويتين المساحتين تكون متى

17

ترييضوضعية مجهول: الحرف

وهما المغربية المدن باقي إلى البيضاء الدار من البضائع لنقل شركتان توجد" " " األسلم" النقل و السريع النقل

السريع النقل شركة شركة 3.2تحتسب أما الواحد، الكيلومتر عن درهمامبلغا إضافة مع الواحد للكيلومتر درهمين تحتسب فإنها األسلم النقل

قدره .180إجماليا نقلة لكل درهمامسافة (1 يبعد الذي متجره إلى البيضاء الدار من بضاعة نقل تاجر يريد

ما. 100 أقل النقل تكلفة لتكون التاجر هذا سيختارها شركة أي كلميمكن.

شركة (2 األفضل أي طنجة؟ هي إلى البيضاء الدار من بضاعة لنقل

18

15

1,37

2,63 2,63

2,63

2,63 2,63 2,63 2,63

2,632,63

1,37

1,37

1,37

1,37 1,37 1,37

C D0,25 1,51,5 1,5 1,50,25 0,250,25

A B

: المتسلسلة لتقديم تمهيدية k)a + b( = kaأنشطة

+ kb

1: العمليات وضع دون احسب1( 22,1 11

2( 101 28,5

3( 3,25 96

4( 42,5 998

القطعة ]2 طول القطعة[ ]ABاحسب :CDوطول حيث[

:104شارك 3 يوميا ينفق تلميذ كل وكان رحلة، في تلميذا -120. واإلقامة التغذية أجل من درهم -66.25. األثرية األماكن وزيارة التنقل أجل من

للجميع بالنسبة الرحلة لهذه اليومية الكلفة هي ماتاجر 4 بثمن 86.50اشترى قطني ثوب من أظاف 52.55مترا ثم الواحد، للمتر ثوب 86.50درهما من مترا

بثمن .47.45حريري الواحد للمتر درهماالتاجر؟ دفعه الذي الثمن هو ما

16

25.75 dam

يمكن 5 ما بأسرع األرضية القطعة هذه محيط احسب

لتقديم تمهيدي نشاط

: الهامة a2-b2(=a-b()a+b) المتطابقة

جميع (1 اكتب ثم بالخانات، المكتوبة األعداد تفحصجيدا سطر، لكل بالنسبة

ببالك تخطر التي .المتساويات

5 3 5 3 2 5 3 2 25 3 25 3 2 23 5

8 7 8 7 28 7 2 7 8 28 7 2 28 7

50 20 50 20 2 250 20 2 250 20 2 220 50 20 50 20 50

2 9 2 9 2 22 9 9 2 9 2 2 29 2 29 2

2). الممكنة المتساويات جميع واكتب ذلك من تحققتتضنن؟ (3 أن يمكنك ماذا4). تجدها مضنونة كل على برهن

انتهى

17

شعاعها دائرة ربع1,25m

) + ( : تأهيلي إعدادي الثالث المحورالتعلمات تخطيط

I. للدرس القبلي التحضير أهمية: للدرسمن والجدي القبلي التحضير يمكن

الدرس - أنشطة على العقالنية طابع إضفاءالعشوائية - الدرسوتجنب مسار في التحكموجزئياته - الدرسوعناصره وأهداف المستهدفة القدرات تحديد-. لها المالزمة واألنشطة التعلم وضعيات تحديدتذليلها - وسائل وبرمجة الصعوبات طبيعة توقعالتقييم - أدوات تحديدالدعم - أنشطة تحديد

........................................

II. للدرس القبلي التحضير خطوات: الرياضيات لدرس القبلي التحضير أثناء التالية الكبرى المراحل نتبع أن يمكننا

- ( لتدريس التربوية التوجيهات الدرس من المنتظرة والقدرات األهداف تحديدالرياضيات(

الدرس - سيناريو وضع-) التلميذ ) سيدونه ما ملخصات تهيئيالبحث - وتمارين التطبيقية التمارين اختيارالتقويم - أدوات تحضير

1.: المنتظرة األهدافوالقدراتيكتسبها - أن التلميذ على التي والقدرات والكفايات والمهارات المعارف هي )ما ,Savoirs؟

savoir faire, savoir être)السابقة )- المكتسبات هي أجل( les prerequisما من منها متمكنا يكون أن التلميذ على التي

الجديد؟ للدرس مسايرته2.: للدرس سيناريو وضع

ومقاربات - ومدتها، سيرها وضبط التالميذ على ستقترح التي األنشطة اختيار يعنياألدوار تعيين مع للتالميذ، ستقدم التي والتوجيهات التعليمات مختلف وتحديد اإلنجاز،

. ) الالزمة ) األدوات وكذلك مرحلة، كل في والتلميذ األستاذ طرف كل سيلعبها التي : إلى المختارة األنشطة تقسيم ويمكن

المكتسبات ضبط أنشطة) الجديدة ) المفاهيم تقديم عند التحفيز أنشطة البناء أنشطة( التوظيف (faire fonctionner la notionأنشطة

3.: الملخصات تحضيرتوليف )- هبي ومأسسة( . synthèseالملخصات هيكلة من التلميذ تمكن للتعلمات

. . ووظيفية. مركزة تكون أن الحرصعلي يجب له أساسيا مرجعا وتشكل معارفه

18

4.: البحث وتمارين التطبيقية التمارين اختيار

- . الجديدة مكتسباته اختبار من التلميذ تمكن ومتدرجة متنوعة تكون أن عليها. التواصلية كفاياته وتنمية المسائل وحل البحث على والتدرب

5.: التقويم أدوات تحضير

من - المسطرة األهداف تحقق مدى معرف من األستاذ تمكن أن التقويم أنشطة على . األهداف تلك من موقعه معرفة من التلميذ وتمكن جهة،

-. مختلفة الدرسوبطرق مراحل جميع خالل التقويم ينجز

1.

IV.: تدريسه المراد المفهوم تحليلوالالحقة ) (- السابقة االمتدادات الوقت؟ هذا في المفهوم هذا لماذاالعامة ( - الحياة في المسائل، من مجموعة حل من يمكن المفهوم لهذا االجتماعية األهمية

)... األخرى المواد في أوالتعلم؟ - أجل من سنوظفها التي الوضعيات هي ما-. للدرس المفاهيمية الخريطة

V.اقتراح : بيداغوجية وثيقة

19

بيداغوجية :وثيقة

...: رقم وثيقة

....................................: الدرس عنوان

............ الزمنية:................................ المدة المستوى

.......................................... : المنتظرة والقدرات األهداف

المكتسبات:.................................................

............................................: ......................................................: التقنيات البيداغوجية المقاربة

.................................................................................................................: التعليمية الوسائل

:) السيناريو ) اإلنجاز خطوات

الموضوع المدة، األستاذ المرحلة، التلميذ دور دور

20

) دقيقة )... األولى، المرحلة

المكتسبات ضبط

) دقيقة )... الثانية، المرحلة

تقديم- أجل من التالميذ تحفيزالجديد المفهوم

) دقيقة )... الثالثة، المرحلة

البناء- أنشطة

خاصية،- ) تعريف، المفهوم تقديمتقنية....(

تقييم-

توليف

) دقيقة )... الرابعة، المرحلة

الخاصية، المفهوم، توظيف...... الخواريزمية التقنية،

) دقيقة )... المرحلةالخامسة،

النهائي- التقييم

النشاط التركيز 1اقتراح مع وتصحيحهعلى .........

........... التالية األسئلة طرح

المفهوم،- عن تاريخية نبذة تقديم

... السبورة- على العنوان كتابة

السبورة،- على األنشطة كتابة

باإلنجاز،- التالميذ تكليف

والتوجيهات- التعليمات تقديم

........ األسئلة- طرح

التالميذ- تصورات ضبط

المعرفية- الصراعات إذكاء

النتائج- توليف على المساعدةوالتعلمات

المعرفة- مأسسة

والعناصر- المهمة النقط تلخيصاألساسية

األهداف تحقق مستوى تقييم

للنشاط- الفردي 1اإلنجاز

األسئلة- عن اإلجابة

لألنشطة- الجماعي أو الفردي اإلنجازالمقترحة.

الذاتي- التصحيح

التساؤالت- طرح

السبورة- على التصحيح كتابة

عنها- والدفاع اقتراحاته تبليغ

الدفتر- على الملخصات كتابة

المقترحة للتمارين الفردي اإلنجاز

واالستفسارات التساؤالت طرح

VI. تخطيطدرساإلسقاط: 1مثالاإلسقاط: الموضوع-والتكنلوجي: المستوى- العلمي المشترك الجذعساعات 5: المدة-

التربوية؟ أ- التوجيهات تقول ماذاo : المنتظرة طاليس القدرة لمبرهنة المتجهية الترجمةoاألهداف :

آخر • مستقيم مع بتواز مستقيم على نقطة مسقط على التعرفهندسية • مسائل حل في اإلسقاط توظيفهندسية • مسائل حل طاليسفي مبرهنة توظيفعالقات • إلثبات متجهيتين استقامية معامل على الحفاظ خاصية توظيف

متجهية: ب- تاريخية نبذة

مثال األكبر طاليسوالهرم

21

المفهوم ت- لهذا االجتماعية األهميةاألطوال بحساب المرتبطة المسائل من مجموعة حل من اإلسقاط يمكن

. المواد أو العامة بالحياة المسائل هذه وتتعلق المستقيمية القطع وتقسيم..... والمعمارية الصناعية والهندسة كالفيزياء األخرى الدراسية

الوقت؟ ث- هذا في المفهوم هذا لماذا : الخاصة المعارف وتعميق لتتميم الدرس هذا يأتي والالحقة السابقة االمتدادات

الثانية مستوى منذ دراستها في شرع والتي والعكسية المباشرة طاليس بمبرهنةإعدادي .....

التعلم؟ ج- أجل من التيسنوظفها الوضعيات هي ما المستوى،: 1وضعية في لنقطة العمودي المسقط على التعرف آخر،: 2وضعية مستقيم مع بتواز مستقيم على نقطة مسقط على التعرف هندسية،: 3وضعية مسائل حل في اإلسقاط استعمال طاليس،: 4وضعية باستعمال هندسية مسائل حل متجهتين،: 5وضعية استقامية معامل عل الحفاظ توظيف أخرى،: 6وضعية مواد من أو المعاش الواقع من مسائل حل…………………………………………

22

اإلسقاط

الرياضيات مجال اليومية الحياة : فيزياء أخرى مواد

الفضاء في اإلسقاط مستقيم مع بتوازي مستقيم على نقطة مسقط طاليس مبرهنة

تعريف المرتبطة المسائل المفاهيم حل المتجهي طرق إلى الهندسي اإلطار من المرور االستعمال وضعيات

والتعامد التوازي المتجهة المعرفي النقل االستقامية عملية معامل

لدرساإلسقاط ح- المفاهيمية الخريطة

( : ملحوظة المدمج ) بالقرص إعدادي المعادالت درس لتحضير مثال يوجد انتهى

23

: الرابع المحوركائن – أداة وجدلية اإلطار تغيير

موضوع: أولية مالحظات

الفرنسية أ- الباحثة مقال باألساسعلى العرض هذا RegineيرتكزDouady

: المتخصصة بالمجلة Recherche en didactique desوالمنشورmathématiques

R. DOUADY - 1986 - Volume 7-2 – Recherche en Didactique desالمرجع: Mathématiques - La Pensée Sauvage .

" ب- - شخصية " ترجمة هي الموضوع أو الكائن األداة جذلية الصيغةالفرنسية " الخاصفإن dialectique outil-objetللصيغة رأيي وفي

" objetمصطلح السياقاتسنقف " " " بعض في الكائن عن يعبر " الكائن " يكون عندما الموضوع عن ويعبر العرض خالل عندها

. دراسة موضوعلمصطلح " المقابل العربي المصطلح "objet mathématiqueأما

( الوطنية التربية وزارة عن الصادر المعجم فهو (1)(1980حسب ، . ." المرادفين" استعمال ارتأينا لذا الرياضي الكائن

(1)"  ." عربي معجم العام التعليم في الرياضيات مصطلحات . . البيضاء. الدار النجاح مطبعة فرنسي

I. الرياضية المعرفة ابستمولوجياحسب انواع اربعة إلى الرياضية المعرفة الرياضيات ديداكتيك في الباحثون يقسم

: االشتغال مجاالت-) المختص ) أو الباحث عند العالمة المعرفةالدراسية - المقررات في الرياضية المعرفةاألستاذ - يقدمها التي المدرسية المعرفةالتلميذ - طرف من المكتسبة المعرفة

II. الرياضيات في الباحث عمل لها وجد أن ألحد يسبق لم التي المشاكل من مجموعة الرياضيات في الباحث يواجه

مؤسسي. بعضها الرياضية، المعارف من مجموعة الغرض لهذا يستثمر فتراه حلوال) ال؟ ) أم متصلة الدالة هذه ال؟ أم مقعر الفضاء هذا الرياضيين جماعة بين ومشترك

24

. الشخصية والممارسات المختارة والطرائق المطروحة باألسئلة مرتبط اآلخر والبعض

المسألة، الوضعيات ) ولحل الكائنات أو األشياء من مجموعة أيضا الباحث (objetsيعبئ

)... داخل ) داللة لها والتي التقعر، المتصلة، الدوال الطوبولوجي، الفضاء الرياضية. المدروس المجال

األداة ) وضع في تكون األشياء هذه من : outilجملة بدالة(: ) مقعر فضاء صورة المبرهنة.) مقعر فضاء هي متصلة

إلى أو اإلطار نفس إلى تنتمي مفاهيم بين العالقات من شبكة أيضا الباحث ينسج و .)... ما ) عادة اإلطار تغيير عملية عددي تحليلي، مبياني، هندسي، جبري، مختلفة إطارات

( “ أدوات ” تسمى جديدة، وطرق مفاهيم وابتكار إنتاج إلى بالباحث تجيب( outilsتؤدي. اللحظة حاجيات على

III. رياضي مفهوم لدى الكائن ووضع األداة وضعstatut d’outil et statut d’objet pour un concept mathématique

ابتكروها أو عدلوها التي األدوات وأهمية مدى تقييم الضروري من أنه الرياضيون يعتبر . عن يبحثون تراهم ذلك أجل من الرياضي المجتمع على عرضها و عملهم سياق في

الممكنة ) الصياغات ( formulationأفضلتمكن معممة صيغة في وتقديمها للنشأة الخاص السياق عن األدوات هذه تعزل والتيطرف من جديدة مفاهيمية أدوات خلق إلى تؤدي وتحويالت تعديالت إدخال من الحقا

. أخرى مجاالت وفي جدد باحثين

الكائن أ- وضعstatut d’objet

النشأة سياق على يحيل ما كل عنها نزع وقد الجديدة المعرفة عن إذن اإلعالن يتم . سابقا موجودة معرفية منظومة في المعرفة هذه تدمج ما فعادة الباحث شخصية أوعلي

. الجديدة المعارف تصبح وهكذا األخيرة لهذه العامة الهندسة تغيير بإمكانها يصبح بحيثوضعية دوادي. الكائنفي ريجين له وحسب ثقافي موضوع هو الرياضي فالكائن

العالمة ) الرياضية المعارف منظومة ضمن وموقعه في( savoir savantمكانته. اجتماعيا به ومعترف معينة فترة

. وضعية وتمكن والتوظيف االستعمال مجاالت عن تام باستقالل رياضيا الكائن يعرفإعادة من أيضا تمكن كما المعرفية، المنظومة وتوسيع المعرفة رسملة من الكائن

. األصلي المجال عن البعد كل وبعيدة جديدة مجاالت في استثمارهكائنات األحيان بعض في الباحثون يبتكر المسائل، حل أي البحث، ضرورات اجل ومن

المسائل توحيد أو النتائج تعميم أو والمعارف األفكار ترتيب منها الهدف يكون رياضية. العرض ضرورات ألجل أو مثال كالجبر المجال نفس من مفاهيم طريق عن تحل التي

العقدية: األعداد ظهور مثال : واحد بمجهول الثالثة الدرجة من للمعادلة حلول عن البحث سياق في + ax3 + bx2ظهرت

cx + d =0 القرن إنه السالبة، واألعداد الموجبة األعداد فيها معروفا كان حقبة وفي. عشر السادس

: الثالثة الدرجة من معادلة لحل أنه نفسر كيف كالتالي كان آنذاك طرح الذي المشكلالمعنى هو ما سالبة؟ ألعداد مربعة جذور حساب إلى نحتاج حقيقية، معامالت وذات

( عدد هو عدد مربع ألن أعدادا تكون أن يمكن ال والتي الجذور هته ستأخذه الذي؟( موجب

25

تمكن التي المعادلة حلول صحة خالل من مشروعيتها تأخذ أن األعداد هذه استطاعت. إيجادها من

( ) ( كوس عشر التاسع القرن وبداية ويسيل عشر الثامن القرن نهاية انتظار ووجب ) الكائن وضعية إلى وتنتقل األعداد لهذه الرياضي البناء يتم لكي كوشي بعد وفيما

(statut d’objetالرياضي )

األداة )ب- ( statut d’objetوضعالمسائل، لحل استعماله إلى الحاجة تدفعنا عندما أداة وضعية في معين مفهوم يكون

أن مختلفة ألدوات يمكن كما مختلفة، مسائل لحل مالئمة تكون أن األداة لنفس ويمكن . البلورة طور في بمفهوم مرتبطة األداة هذه كانت وإذا المسألة نفس لحل مالئمة تكون

) ضمنية) تكون فإنها العقدي )impliciteالعدد صريحة((. ارتبطت( expliciteوتكون إذا. ما مسألة حل في محدد رياضي لكائن وإرادي واعي باستعمال

. الرياضي المفهوم مكونات من مكون هو األدواتي البعد إن

مثال:مساحته مربع يوجد ؟ cm2 12هل

: اإلعدادي أو االبتدائي تلميذ جوابمن الضلع يمر من 4cmإلى 3cmعندما محالة ال ستمر المساحة ، cm2 16إلى cm2 9فإن

لحظة توجد المساحة إذن فيها .cm2 12 تكون

. واإلعدادي االبتدائي تلميذ لدى معلنة أداة هي ومساحته المربع أبعاد بين العالقة الدالةx®x2 دفوعات لتبرير ضرورية مفاهيم هي الوسيطية القيم ومبرهنة واتصالها

تتدخل. واإلعدادي االبتدائي تالمذة طرف من المجهولة الرياضية المفاهيم هذه التلميذضمنية ) (.outils implicitesكأدوات

ل . )Vergnaudبالنسبة بالفعل موجودة بمبرهنات األمر يتعلق ،théorèmes en acte)

IV. الإلطار تغييرالرياضيين أ- عمل من كبيرا جزءا إن نجد التاريخ، عبر الرياضيات تطور إلى نظرنا إذا

: ل يخصصفيها، - يبحثون التي المسائل تأويل

26

16

3

4 129 ؟

- ( مقاربة نتبنى هل التفاضلية، للمعادالت بالنسبة مثال نحوها آرائهم تغيير) ، جبرية مقاربة أو تحليلية

المسائل، - هذه صياغة في تغييرتنسجم - جديدة تساؤالت طرح مع آخر إلى إطار من المسائل هذه نقل

( بعد إال معنى على السالبة لألعداد المربعة الجذور تحصل لم الجديد، واإلطار : مستوى الهندسي اإلطار إلى العددي اإلطار من ومستوى Argandاالنتقال

Gauss) العقدي ) المستوى

:ب- وخصائص تعريف تنتمي والتي المتنوعة وصيغها رياضية كائنات مجموعة من ما إطار يتكون

هذه بين تجمع التي العالقات وكذلك الرياضيات فروع من واحد فرع إلى كلها . هذه وعالقاتها األخيرة بهذه ترتبط التي الذهنية الصور ومختلف الكائنات،

. كأدوات ما إطار كائنات توظيف في أساسيا دورا تلعب الصور الذهنية الصور في يختلفا لكن الكائنات نفس على يشتمال أن إلطارين يمكن

. يولدانها التي واإلشكاليات أن يمكنه ال لكن الفرد وحسب الزمن في ويتطور بطبعه دينامي اإلطار

. العالمة المعرفة سقف يتجاوز ومن الفرع نفس من رياضية كائنات على اإلطار يتأسس الرياضي، بعده في

تقتضي والتي متنوعة، وعالقات وبصياغات التعقيد، مستويات مختلف . متنوعة رمزية تشفيرات استعمال

27

األعداد على العمليات

األعداد

الترتيب عالقة

للحساب الضرورية الخاصيات جميع مع العددية الدوال

نسبية وهي محصورة غير العناصر الئحة

العددي اإلطار

بعد مدرسي ثقافي غير سوسيو مدرسي بعد بعد

مثال:

V. الرياضيات لمادة التعلمية التعليمية العمليةالمدرسية أ- المعرفة

بالكائنات الئحة دراسية مقررات شكل وعلى العموم على المدرس يتلقىالتربوية بالتوجيهات مصحوبة للمتعلمين يدرسها أن عليه التي الرياضية

.) وتبليغها) لعرضها الكائنات هذه تنظيم عن المسؤول ويكون الرسمية التعليمات. الشأن هذا في قرارات يتخذ وأن باختيارات يقوم أن عليه إذن التالميذ، إلى

. المدرس هذا يحملها التي التصورات لمختلف تخضع األخيرة هذهالمدرسية؟ ب- المعرفة تقدم كيف

: األول السيناريو

مستوى في للتالميذ المقررة المحتويات مع انسجام في المدرس، يعرض: اختيارين أمام يجعله وهذا الرياضية، الكائنات من مجموعة معين،

والمبرهنات - التعاريف عرض المدرس من االختياراألول يتطلبوما سياق، أي عن بمعزل واألمثلة والخوارزميات والبراهين والخاصيات

. والمسائل التمارين حل في ويطبقه الدرس يستوعب ان إال التلميذ علىالمقدمة الرياضية للكائنات معنى إعطاء عن مسؤوال التلميذ يجعل مما

. الحاجة عند لالستعمال أدوات لتصبح إليه

28

النماذج: )- من الكافي العدد لتالمذته يقدم أن األستاذ على االختيارالثانيles prototypes . هذه( في سيكون االستعمال طرق تطوير على يركز وأن

في تقليص مع الخوارزميات لتدريس األولوية إعطاء على مجبرا الحالة . االستعمال مجاالت

( - فعل معارف الحالة هذه في التالميذ لصيقة( savoirs- faireيكتسب . أخرى مجاالت إلى نقلها ويصعب المعروضة بالمجاالت

: الثاني السيناريو

: أو يختار الرياضي الكائن نشأة لسياق مشابه تأسيسسياق هنا األستاذ يعيدالمستهدف الرياضي الموضوع استحضار دراستها تستدعي مسألة يبني أو يكيف

بالتدريس.

1.. المقترحة المسألة الوضعية بدراسة يقوموا أن التالميذ علىضمني .2 بعضها األدوات، وضعية في ستكون المستعملة الرياضية الوسائل

. معلن أو صريح واآلخراالقتراحات ج-

التعليم (1 :علىمستوىالقسم جماعة فيها تلعب فترات التنظيمية هيكلته ضمن يدمج أن التعليم على

. نشاطهم يمارسون وهم للباحثين مصغر مجتمع دورالوضعية (2 :علىمستوى

: محاور ثالثة على مبنية التعلمية التعليمية للوضعية جديدة تنظيمية هيكلة-/ موضوع – كائن أداة جذليةجديد – - قديم جذلية- ( اإلطارات (jeu de cadresلعبة

: التالية المواصفات تحمل مسائل عل االعتماد العناصر هذه تقتضيالمسائل (3 :علىمستوى

للتلميذ؛ - بالنسبة معنى يحمل المسألة نصحل؛ - عن البحث عملية في االنخراط على التلميذ قدرةفقط؛ - مكتسباته على باالعتماد مباشرة الحل من التلميذ تمكن عدمخالل - من ال أم مالئم حله هل يقرر أن من التلميذ تمكن ضرورة

الوضعية؛المسألة، - لحل مالءمة األكثر هي تعليمها نريد التي المعرفة-. األقل على مختلفين إطارين ضمن المسألة صياغة يمكن

4)( / – موضوع كائن أداة Dialectiqueجذلية outil-objet) و بعناية، مختارة مسألة وضعية تالمذته على األستاذ بجذلية يقترح نعني

: مراحل - / ستة من المكون التالي المسلسل موضوع، كائن أداة معلنة": القديم" 1 المرحلة كأدوات رياضية مفاهيم عدة التلميذ يعبأ

. المسألة هذه التالميذ يتبنى األقل على جزئيا المسألة لحل. البحث عملية في وينخرطون

29

جديد " 2 المرحلة ضمني عن إلى": البحث التالميذ الحل صعوبة تدفع . أن اإلطار تغيير لعملية يمكن للحل مالئمة جديدة وسائل عن البحث

ضمنية، أدوات توظيف على تساعد

3 المرحلة : : التي العناصر بعض تكون محلية أو جزئية مأسسةفي حاسما دورا لعبت قد األولى المرحلة في التالميذ استعملهاعلى إما صوري، بشكل ويصوغونها التالميذ سيتبناها الثانية، المرحلة . األمر يتعلق أن كذلك يمكن طريقة شكل عل أو كائنات شكل

. مبررة صورية صياغات إنتاج إلى وأدت نقاش موضوع كانت بقناعات " والتعود " استعمالها إعادة يمكن معلنة جديدة بأدوات هنا األمر يتعلق

عليها. نقاش محط واقتراحاتهم التالميذ أعمال كل المرحلة هذه في تكون

جماعي.

4 المرحلة ( - الكائن : وضع (statut d’objet المأسسة . والمبرهنات التعاريف ويهيكل ينظم الجديدة المعارف األستاذ يعرض

. من ويكون ثانوي هو وما أساسي هو ما إلى التنبيه مع والبراهينالكائن ) وضع إسناد التي( statut d’objetمسؤوليته الجديدة للمفاهيم

. المسألة لحل كأدوات استعملت

االستثمار: 5 المرحلة وإعادة االستئناس

تستدعي متنوعة تمارين حل المرحلة هذه في التالميذ على سيكونالممأسسة ) المعرفة سيعملون( institutionnaliséeاستعمال وبالتالي ،

. دمج على سيعملون كما وخبراتهم عاداتهم وتطوير تنمية علىتنمية وعلى الخاصة، بمعارفهم ومواجهتها االجتماعية معارفهم

. المسائل من أوسع حقل مع بالتعامل لهم يسمح بشكل تصوراتهم

جديدة : 6 المرحلة مسائل أو المهام تعقيدموضوع الكائن تجعل تعقيدا أكثر مسألة التالميذ على األستاذ يقترح

" جديدة " دورة في الشروع أجل من الصريح القديم دور يلعب الدرس . - الكائن األداة لجدلية

اإلطارات )(5 (jeu de cadresلعبةأجل من األستاذ من بإيعاز اإلطار تغيير عملية تتم عندما التعبير هذا يستعمل

األسئلة من جملة وبلورة البحث مراحل في التقدم على التالميذ مساعدة . ثالث مراحل بين التمييز ويمكن المطروحة المسألة بخصوص المناسبة

: اإلجراء هذا تهم:أ- والتأويل النقل مرحلة

جبري معين، إطار في مصاغة التالميذ على المقترحة المسألة تكون ... وعاداتهم، وتجاربهم ، لمعارفهم االعتبار بعين وأخذا تحليلي، هندسي،

منه جزء أو المسألة نص ترجمة إلى المقترحة المسألة دراسة ستقودهم . عدد إقامة على سيعملون األسئلة من عدد بتأويل القيام ثم آخر، إطار في

) العالقات ) وبين الكائنات بين اإلطارات بين ما الترابطات أو التقابالت من

30

المسألة

2إطار1إطار

للمسألة أخرى صياغة للمسألة أولى صياغة

اإلطار تغيير

31

:ب- الناقصة التقابالت مرحلةناقصة تظل اإلطارات مختلف بين التالميذ نسجها التي التقابالت إن

كفاية لعدم أو محضة، رياضية إما ألسباب وذلك المرحلة هذه فيالمعرفي الالتوازن لحالة مولدة المقترحة الوضعية فتصبح معارفهم،

. المعارف هيكلة بإعادة وتسمح

: المعرفة- وتقدم التقابالت تحسين ج / أساسيا عامال سيشكل اإلطارات بين مناسب حوار تواصل إقامة إن

اإلطارات هذه بين ما التفاعل أن كما التوازن، حالة حصول في . منها لكل المنتمية المعارف وتنمية بتقدم يسمح

انتهى

32