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Universidad Salesiana de Bolivia Ingenier´ ıa de Sistemas Dossier “ ´ Algebra Lineal” Rosalia Arista Martinez La Paz–Bolivia
Universidad Salesiana de Bolivia
Ingenierıa de Sistemas
Dossier“Algebra Lineal”
Rosalia Arista Martinez
La Paz–Bolivia
Indice general
I Dossier 3
1. Introduccion 4
1.1. Presentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Dossier de Algebra Lineal 6
2.1. Objetivos de la Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Contenido Mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Contenido Analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Plan disciplinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1. Proposito de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Lecturas Complementarias 10
3.1. Posiciones en la educacion Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1. Conceptualizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2. Manipulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
II Desarrollo de los Capıtulos 14
4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 15
4.1. Recomendaciones metodologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3. Observaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4. Diferentes interpretaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4.1. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4.2. Interpretacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.5. Metodos de Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.5.1. Escalonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.5.2. Resolucion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. Espacios Vectoriales 23
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Transformaciones lineales 35
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2. Composicion de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3. Nucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4. La matriz de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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Parte I
Dossier
3
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Presentacion
Presentamos el Dossier de la materia Algebra Lineal, destinado a profesores y estu-
diantes. Este conjunto de documentos, permitira una guıa rapida de la materia.
1.2. Objetivo
1.2.1. Objetivo General
El Dossier tiene el objetivo principal de establecer un conjunto de documentos que
rigen la materia: “Introduccion al Algebra Lineal”, la misma debe ser un referente para
el estudiante y el docente interesado.
1.2.2. Objetivos Especıficos
1. Ofrecer el plan disciplinar de la materia.
2. Objetivos de la materia.
3. Los contenidos mınimos y analıticos.
4. Evaluacion.
5. Bibliografıa.
6. Lecturas complementarias.
4
7. Desarrollo de los capıtulos de la materia.
1.3. Importancia
La importancia del Dossier, ayuda al estudiante en aspectos tales como: auto-formacion,
organizacion, informacion, etc.; de modo que aprovechando este medio, es facil de llegar
al estudiante y docente, mas aun, sirve de referencia para cualquier persona que visite
nuestras paginas.
Es prioritario ofrecer el servicio educativo de mayor calidad a los sectores sociales
mas empobrecidos. En este tiempo en que renace la esperanza colectiva, quiero rescatar
el sueno de alcanzar una universidad mejor. Que sea el lugar de la memoria, recuperando
nuestra tradicion cultural boliviana y latinoamericana.
Una universidad abierta a la innovacion, estrechamente vinculada a su medio social.
Una universidad que se constituya en instancia de dialogo entre estudiantes, directores,
docentes, administrativos y familias. Una universidad, que confıe en los jovenes de hoy
valorizandolos y ofreciendoles propuestas pedagogicas atractivas.
Una universidad justa, que sea capaz de luchar contra toda forma de injusticia, dis-
criminacion, intolerancia y no reproduzca en su interior las heridas sociales.
Una universidad democratica y solidaria, que reafirme los valores de nuestra identidad
historica: la solidaridad, el respeto por las personas y las instituciones, la paz y la justicia
social.
Una universidad que reafirme y renueve sus objetivos fundacionales, que pueda re-
cuperar su significado social y educativo. Una universidad concentrada en ensenar y
aprender cuyo sentido se decida en el aula, no en el comedor.
Una universidad esforzada, que afirme el valor del empeno y el trabajo constantes
para alcanzar objetivos significativos. Que estimule el desarrollo de las capacidades y
reconozca el merito en sus estudiantes. Que sea una institucion reflexiva en constante
aprendizaje.
Hemos atravesado momentos de gran turbulencia y tribulacion para nuestro pueblo.
Inaugurar este proceso responsable y riguroso de evaluacion de lo realizado en estos
ultimos 20 anos es un gran paso adelante. Asumimos nuestra responsabilidad y desde
nuestra experiencia nos sentimos autorizados para aportar a la construccion de la nueva
agenda educativa de la democracia.
Nos comprometemos a seguir trabajando para encontrar respuestas a estos desafıos
sosteniendo a la educacion como fuente de esperanza para nuestro pueblo.
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Capıtulo 2
Dossier de Algebra Lineal
2.1. Objetivos de la Materia
2.1.1. Objetivo General
Estudiar una de las estructuras algebraicas de gran aplicacion en la Ingenierıa de
Sistemas y otras areas, como es el de Espacio vectorial en dimension finita. Esta cons-
tituye una generalizacion del espacio euclidiano como unos modelos lineales abstractos
concretos.
2.1.2. Objetivos Especıficos
Se presenta el algebra matricial junto a la resolucion de sistemas de ecuaciones
lineales y la eliminacion de Gauss.
La introduccion a la nocion de espacio vectorial, sus elementos y sus propiedades.
Estudiar las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, es decir las transforma-
ciones lineales, y sus representaciones matriciales para situaciones concretas.
Estudiar algunos conceptos centrales de la materia tales como: norma de un vector,
producto interior, la determinante, valores propios y diagonalizacion.
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2.2. Contenidos
2.2.1. Contenido Mınimo
1. Ecuaciones lineales y matrices.
2. Espacios vectoriales.
3. Transformaciones lineales.
4. Producto interior y ortogonalidad.
5. Determinantes.
6. Vectores y valores propios.
7. Aplicaciones.
2.2.2. Contenido Analıtico
Unidad I. Ecuaciones lineales y matrices: Matrices. Multiplicacion de matrices. Ecua-
ciones lineales homogeneas y eliminacion de Gauss. Operaciones por renglones y
Matrices elementales. Combinaciones lineales.
Unidad II. Espacios vectoriales: Definiciones. Combinaciones lineales. Conjuntos con-
vexos1. Independencia lineal. Dimension. Rango de una Matriz.
Unidad III. Transformaciones lineales: Aplicaciones Lineales. Nucleo e imagen de una
aplicacion lineal. Rango y las ecuaciones lineales. Matriz asociada de una aplicacion
lineal. Cambio de base. Composicion de aplicaciones lineales. Aplicaciones lineales
inversas.
Unidad IV. Producto interior y ortogonalidad: Productos escalares (o interiores). Bases
ortogonales. Ortogonalizacion de Gram-Schmidt.
Unidad V. Determinantes: Determinantes. Rango de una matriz y sub-determinantes.
Regla de Crammer. Aplicaciones: Inversa de una matriz, en la interpretacion del
determinante como area y volumen.
1Opcional.
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Unidad VI. Vectores y valores propios: Vectores y valores propios. El Polinomio carac-
terıstico. Vectores propios y valores propios de matrices simetricas. Diagonalizacion
de las aplicaciones lineales simetricas.
Unidad VII. Aplicaciones: Formas cuadraticas. La ecuacion general de segundo grado.
Areas, volumenes y la matriz de Gram. Formas cuadraticas en R3.
2.3. Plan disciplinar
2.3.1. Proposito de la materia
1. Reorientar al estudiante hacia el tratamiento conceptual y logico de los contenidos
del Algebra Lineal.
2. Madurar de manera consciente grados suficientes de destreza operativa, enfatizan-
do una concepcion logica y generica del algoritmo para su destino aplicado a la
realidad.
3. El Algebra, producto por excelencia del razonamiento analogico, no solo es un
area de vida y vigor independientes y una de las disciplinas fundamentales de la
investigacion matematica, sino que sirve tambien como hilo unificador que entrelaza
no solo las teorıas matematica: geometrıa, teorıa de numeros, analisis, e incluso,
matematicas aplicadas; sino todas las teorıas en general.
2.3.2. Metodologıa
Especıficamente en la ensenanza de la matematica se incluira oportunidades para:
La exposicion por parte del profesor (motivacion hacia la conceptualizacion).
La discusion entre el profesor y el alumno y entre los propios alumnos.
El trabajo practico apropiado (destinada a la manipulacion).
La consolidacion y practica de tecnicas y rutinas fundamentales.
La resolucion de problemas, incluida la aplicacion de las matematicas a situaciones
de la vida real (o la aplicacion).
El trabajo de investigacion.
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Modalidad de Evaluacion
La evaluacion es formativa periodica y sumativa, los examenes parciales y final son
escritos.
Examen Temas Ponderacion
Primer Parcial1(PP ) Capıtulo(s) 1 y 2 100 %
Segundo Parcial (SP ) Capıtulo(s) 3 y 4 100 %
Examen Final2(EF ) Todos los Capıtulos 100 %
La nota final se obtiene por
x =
PP + SP
2+ EF
2,
el estudiante aprueba la materia con x ≥ 51.
Metodos y Medios
Los metodos de aplicacion del proceso curricular de la materia estan contenidas en
el proceso de ensenanza y aprendizaje centrada en el alumno para lograr un aprendizaje
significativo con razonamientos inductivos y deductivos y un aprendizaje por descubri-
miento programado, orientado, puro libre y al azar que permita al estudiante desarrollar
su potencialidad creativa.
1En cada parcial, 40 % trabajo en Grupos de Aprendizaje Cooperativo (GAC) y 60 % evaluacionindividual.
2Evaluacion individual obligatorio.
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Capıtulo 3
Lecturas Complementarias
3.1. Posiciones en la educacion Matematica
Despues de un largo predominio en la ensenanza de la matematica basada en el
adiestramiento de las manipulaciones, hubo una reaccion basada en una idea justa,
que es la idea de la Matematica Moderna, que pregonaba la unificacion de las cosas
basada en la nocion de conjunto y en el pensamiento abstracto –Dieudonne creıa que
el pensamiento abstracto es una forma de democratizar la ensenanza, por que no deja
nada para la imaginacion, queda todo bastante claro, explıcito y riguroso, sin embargo
cometıa un gran error en la concepcion, pues la secuencia normal del aprendizaje va de
lo particular para lo general, que es el sentido opuesto del metodo axiomatico.
Este modelo de la Matematica Moderna fue sustituida el modelo del “back to ba-
sics”, que en cierto sentido constituye un retorno a los orıgenes, que tambien fracaso, por
que no era posible ensenar la Matematica como lo era hace 100 anos. El ultimo modelo
fue sustituida por el modelo de “problem solving”, que es una idea interesante, por
que Matematica es resolver problemas, pero es necesario un fundamento teorico que, al
fin de cuentas, eso es la Matematica. Una manera de considerar a la matematica es como
un conjunto de modelos abstractos para explicar situaciones concretas, que por ser abs-
tractos se aplican a una cantidad enorme de situaciones diferentes, y que, si examinadas
en particular, no nos da una nocion de que es la Matematica.
El “problem solving”fue sustituido por el modelo actual, la conceptualizacion, ex-
pone que toda la Matematica debe partir de problemas de la realidad, del dıa a dıa, y
que deben ser resueltos de forma concreta –buena idea pero igualmente perjudicial si se
lleva a extremos. No se sabe cual sera el proximo modelo, hoy estamos sobre la influencia
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enorme de la tecnologıa, del pragmatismo de las computadoras, que es un instrumento
fantastico, pero no podemos esperar que supere al cerebro humano. ¿Cual de ellas elegir?
La solucion podrıa ser buscar una ensenanza equilibrada, enfatizar en esas tendencias tres
componentes basicos: la conceptualizacion, la manipulacion, y la aplicacion, una especie
de trıpode que sustenta la ensenanza de la matematica.
3.1.1. Conceptualizacion
La conceptualizacion comprende la formulacion correcta y objetiva de las definiciones
matematicas, el enunciado preciso de las proposiciones, la practica del raciocinio deduc-
tivo, la nıtida conscientizacion de que las conclusiones siempre provienen de las hipotesis
que se admiten, la distincion entre una afirmacion y su recıproca, el establecimiento de
conexiones entre conceptos diversos, bien como la interpretacion y la reformulacion de
ideas y hechos sobre diferentes formas y terminos. Es importante tener en mente y desta-
car que la conceptualizacion es indispensable para el buen resultado de las aplicaciones.
3.1.2. Manipulacion
La Manipulacion, de caracter principalmente (pero no exclusivamente) algebraico, es
para la ensenanza y aprendizaje de la Matematica, ası como la practica o entrenamiento
de ciertos deportes, como el futbol, tenis, voleibol, etc. La habilidad y la destreza en
la manipulacion de ecuaciones, formulas y construcciones geometricas elementales, el
desarrollo de aptitudes mentales automaticas, verdaderos reflejos condicionados, permite
al usuario de la Matematica concentrar su atencion consciente en los puntos realmente
cruciales, preparandole de la perdida de tiempo y energıa con detalles secundarios.
3.1.3. Aplicaciones
Las aplicaciones son empleos de las nociones y teorıas de la Matematica para obtener
resultados, conclusiones y previsiones en situaciones que van desde problemas del dıa a
dıa, hasta las cuestiones mas sutiles que surgen en otras areas, cientıficas, tecnologicas,
o sociales. Las aplicaciones constituyen la principal razon por el cual la ensenanza de la
Matematica son difundidas y necesarias, a lo largo de nuestra historia, y ciertamente cada
vez mas en el futuro. Las aplicaciones del conocimiento matematico incluyen la resolucion
de problemas, ese arte intrigante que, por medio de desafıos, desarrolla la creatividad,
nutre la auto estima, estimula la imaginacion y recompensa el esfuerzo de aprender.
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Textos Complementarios
[1] Ian Stewart, De aquı al infinito, Drakontos, 1996.
[2] E. L. Lima, P. C. Pinto, E. Wagner, A. C. Morgado La Matematica de la Ensenanza
Media, IMCA, 2000.
[3] E. L. Lima, Mi profesor de Matematica, IMPA, Rio de Janeiro, 1998.
[4] E. L. Lima, Matematica y Ensenanza, SBM, Rio de Janeiro, 2001.
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Bibliografıa
[1] Serge Lang, Introduccion al Algebra Lineal, Addison Wesley, U.S.A., 1990.
Este libro basico contiene todos los temas a llevarse en la materia, con un grado de
rigor matematico un tanto mas de lo suficiente. Es aconsejable para una profundi-
zacion de muchos topicos.
[2] Hilbert Strang, Algebra Lineal y sus Aplicaciones, Addison Wesley, 1980.
Es un excelente libro para la parte de aplicaciones, se recomienda para una biblioteca
personal.
[3] Howard Anton, Introduccion al Algebra Lineal, Limusa, Mexico, 1989.
En este libro encontrara muchos problemas propuestos y resueltos, se recomienda
su lectura a los estudiantes que tienen primera experiencia con el Algebra Lineal.
[4] Elon Lages Lima, Algebra Lineal, IMPA, Rio de Janeiro, 1995.
Este es un libro para estudiante que quieren llevar el Algebra Lineal de manera muy
seria, permite precisar los conceptos de manera clara y profunda.
[5] Kenneth Hoffman y Ray Kunze, Algebra Lineal, Pretince–Hall Hispanoamericana,
S.A., Mexico, 1973.
Para el estudiante interesado en profundisar sus conocimientos en Algebra lineal,
este libro es un clasico a nivel internacional. Esta destinado particulamente al estu-
diantes de Matematica.
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Parte II
Desarrollo de los Capıtulos
14
Capıtulo 4
Sistemas de ecuaciones lineales y
matrices
4.1. Recomendaciones metodologicas
Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen un topico de interes practico. Su estu-
dio es accesible para todos los estudiantes, pues no requiere el empleo de conocimientos
sutiles o complicados. Ademas de eso, puede servir como punto de partida para diver-
sas teorıas matematicas relevantes y actuales. Por estos tres motivos, esta incluida en la
ensenanza de los currıculos universitarios iniciales.
Es nuestro objetivo dar algunas sugerencias a los estudiantes para ayudarlos a situarse
adecuadamente en la materia dentro del contexto de sus conocimientos.
Para el estudio del tema, se quiere solamente de elementos basicos de las operaciones
algebraicas y numericas vistos en la ensenanza de la secundaria. Abordaremos el tema
a partir de un problema concreto, efectuando observaciones generales, y sus diferentes
interpretaciones (geometrica, matricial y vectorial; y pasaremos a los metodos de solucion
(escalonamiento y matricial).
Efectuaremos paralelamente la cita de libros que debe usarse para mayor profundidad
sobre el tema.
4.2. Un problema
En el curso de matematica del semestre pasado hubo tres pruebas. La preguntas valıan
un punto cada uno, pero los puntajes de las pruebas eran diferentes. Jorge, acerto 6 pre-
15
guntas en la primera prueba, 5 en la segunda y 4 en la tercera, obtuvo en la nota final
un total de 47 puntos. Fernando acerto 3, 6 y 6, totalizando 54 puntos. Pero a su vez,
Marcos acerto 1, 7 y 6 preguntas, acumulando una suma de 50 puntos en el final. Si Re-
nato acerto 5 preguntas correctas en la primera prueba, 8 en la segunda y 3 en la tercera.
Cual fue la nota final de Renato?
Llamando x, y y z respectivamente, a los puntajes de la primera, segunda y tercera
prueba, con las puntuaciones de Jorge, Fernando y Marcos, construimos las siguientes
ecuaciones:
6x + 5y + 4z = 47
3x + 6y + 6z = 54 (S1)
2x + 7y + 5z = 50
De esto, hallaremos x, y y z, y a partir de ahı, la nota final de Renato.
No es difıcil imaginar muchas otras situaciones que conducen a sistema de ecuacio-
nes lineales como el anterior. Los propios alumnos pueden construir tales ejemplos, y
podran concluir que los sistemas lineales no fueron inventados solo por el capricho de los
profesores.
4.3. Observaciones generales
En lo que sigue haremos referencia al sistema (S2) siguiente:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2 (S2)
a3x + b3y + c3z = d3
Una solucion de (S) es una terna ordenada (x, y, z) de numeros reales que, sustituidos
en el primer miembro de cada una de las ecuaciones anteriores lo convierte en una igualdad
al segundo miembro. Por ejemplo, (2, 3, 5) es una solucion del sistema (S1), se escribe
entonces x = 2, y = 3 y z = 5.
El sistema (S2) puede tener una unica solucion, una infinidad de soluciones o ninguna
solucion. En el primer caso se dice que el sistema determinado, en el segundo indetermi-
nado y en el tercero imposible.
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Los sistema lineales obedecen al principio general de que para determinar tres numeros
son necesarias tres informaciones distintas sobre esos numeros. El sistema es indetermi-
nado cuando una o dos de esas informaciones es (o son) consecuencia(s) de las demas.
Por ejemplo, si nos proponemos determinar x, y y z sabiendo que 2x − 4y + 6z = 8, y
x−2y+3z = 4 y 3x−6y+9z = 12 tenemos ahı un sistema indeterminado, pues en la rea-
lidad ellas nos apenas una informacion sobre esos numeros, a saber, que x− 2y + 3z = 4.
La otras otras dos informaciones resultan de esta. En cursos elementales los sistemas
indeterminados se dejan de lado sin mayor atencion, pero esa actitud no es correcta.
La indeterminacion significa que el problema expresado por el sistema (S2) tiene infini-
tas soluciones, permitiendonos en cada caso escoger la que mejor se adapta a nuestras
conveniencias.
El sistema imposible ocurre cuando las informaciones que nos son ofrecidas para
calcular x, y y z son incompatibles. Por ejemplo si una de las ecuaciones del sistema es
x− 2y + 3z = 4, otra ecuacion no puede tener la forma 2x− 4y + 6z = 7. (Multiplicando
la primera por 2 y sustrayendo a la segunda, llegarıamos a un absurdo 0 = 1.)
4.4. Diferentes interpretaciones
Es sistema (S2) puede ser encarado desde diferentes puntos de vista. Esa variedad de
interpretaciones enriquece la gama de aplicaciones que tienen su estudio y, por otro lado,
permite la utilizacion de diferentes instrumentos para resolverlo. Las dos interpretaciones
que presentamos en seguida tiene un nivel elemental y entonces al alcance del estudiante
de los primeros niveles.
4.4.1. Interpretacion geometrica
Cada solucion (x, y, z) del sistema (S2) puede ser vista como un punto P del espacio
tridimensional, dado por sus coordenadas cartesianas: P = (x, y, z). Sobre este punto de
vista, cada una de las ecuaciones del sistema es una ecuacion de un plano en el espacio y
las soluciones del sistema son los puntos comunes a esos planos. Mas precisamente, si π1,
π2 y π3 son los planos definidos por las tres ecuaciones de (S2), entonces las soluciones
de (S2) son los puntos P = (x, y, z) que pertenecen a la interseccion π1 ∩ π2 ∩ π3 de esos
planos.
Ası, por ejemplo, si por lo menos dos de esos dos planos son paralelos, o si dos de
ellos intersecan en dos rectas paralelas al tercero la interseccion π1 ∩ π2 ∩ π3 es vacıa y
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el sistema es vacıa. En otro ejemplo podemos tener una recta r formando una especie de
eje, contenido simultaneamente en tres planos distintos. Entonces π1 ∩ π2 ∩ π3 = r y el
sistema es indeterminado: sus soluciones son los puntos de r. El sistema es determinado
cuando los tres planos se encuentran en un solo punto, como dos paredes adyacentes al
techo.
Hay a lo mas 8 posiciones relativas posibles para los planos π1, π2 y π3. Cuatro de
esas posiciones corresponden a los sistema imposibles: en las otras cuatro, el sistema
tiene solucion. Es importante observar que se puede concluir en cual de las 8 posiciones
se encuentran los planos de (S2) examinando los coeficientes a1, bi, ci y di que en ellas
aparecen.
4.4.2. Interpretacion matricial
En el sistema (S2) se puede destacar las matrices
A =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
, X =
x
y
z
, D =
d1
d2
d3
.
Haciendo uso de la multiplicacion de matrices, ese sistema puede ser escrito de la forma
A ·X = D.
La multiplicacion de matrices funciona ası: el producto de una fila digamos [a1, b1, c1],
por una columna como X es, por definicion, igual a a1x + by + c1z. El producto de una
matriz A, de m filas y n columnas por una matriz B de n filas y p columnas, es la matriz
AB, de m filas y p columnas, cuyo elemento de la i-esima fila y j-esima columna es el
producto de la i-esima fila de A por la j-esima columna de B.
4.5. Metodos de Solucion
4.5.1. Escalonamiento
El metodo de escalonamiento consiste en sustituir el sistema (S1) por otro (S2) que
le sea equivalente (esto es, que posea las mismas soluciones), en la cual la matriz A′
(correspondiente al sistema (S2)) sea escalonada. Una matriz se dice escalonada cuando
el primer elemento no nulo de cada fila se situa a la derecha del primer elemento de la
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fila anterior. Se dice entonces que (S2) es un sistema escalonado. El sistema siguiente es
escalonado:
2x− 3y + 5z = 1
2y + 3z = 2
4z = 8.
El sistema escalonado se resuelve facilmente de abajo para arriba; la ultima ecuacion da
el valor de z. Sustituyendo ese valor en la segunda ecuacion se encuentra y, etc.
Para pasar del sistema (S1) para un sistema escalonado equivalente, se substituye
la segunda ecuacion por a2 veces la primera ecuacion menos a1 veces la segunda. Eso
elimina del termino de x en la segunda ecuacion. De modo analogo, se elimina el termino
x de la tercera ecuacion. Dejando fijo a la primera ecuacion, se usa el mismo proceso en
las dos ultimas (en las cuales x ya fue eliminado) para eliminar y en la tercera ecuacion
y obtener el sistema escalonado.
Por ejemplo, si aplicamos escalonamiento al sistema de (S1), obtendremos el sistema
escalonado
6x + 5y + 4z = 47
21y + 24z = 183
153z = 765,
la cual, resolviendo de abajo para arriba, da z = 5, y = 3, x = 2.
4.5.2. Resolucion matricial
La interpretacion matricial, que consiste en escribir el sistema (S1) en la forma AX =
D, practicamente impone la solucion X = A−1 · D. Esta solucion exige que existe la
inversa A−1 de la matriz A. Por definicion, A−1 es la matriz que multiplicada por la
matriz A da como resultado la “matriz identidad”I. Para que exista A−1 y su forma de
calculo ver [4], [1], etc.
4.6. Ejercicios
1. Sean
A =
(1 −1
2 1
), B =
(1 2 3
−1 0 2
)y C =
(−1 5 −2
1 1 −1
)
19
Encuentre, si es posible, AB, B − 2C, AB −BA, (B + C)t, (−2B)t y CtAt.
2. Determinar la matrix X sabiendo que X +
(0 −1
2 −2
)= I.
3. Hallar la segunda fila, la cuarta columna y el elemento de la fila tres y columna 1
de AB, donde:
A =
1 −2 3 −1
2 −1 2 2
3 1 2 3
, B =
1 3 −1 2
0 11 −5 3
2 −5 3 1
4 1 1 5
.
4. Encuentre A2 y A3, siendo
A =
0 1 6
0 0 4
0 0 0
.
5. Sea A una matriz cuadrada.
a) Si A3 = 0, demuestre que I − A es inversible.
b) Suponga que A2 + 2A + I = 0, demuestre que A es inversible.
6. Si n ∈ N cualquiera y
A =
(2 −1
3 −2
)y B =
(λ 1
0 λ
).
Calcular An y Bn.
7. Hallar la matrix X de las ecuaciones:
a)
(1 2
2 5
)X =
(4 −6
2 1
).
b)
(2 1
3 2
)X
(−3 2
5 −3
)=
(−2 4
3 −1
).
8. Encuentre la solucion general de los sistemas:
20
a)
0 1 −1 2 −2 1
−1 −1 −2 3 −1 −1
−1 0 −3 5 −3 0
1 0 2 −1 2 −2
x1
x2
x3
x4
x5
x6
=
−7
4
−3
8
.
b) x2 − 2x3 + 3x4 = 0
x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 0
x1 − x2 − 2x3 + 7x4 = 0
x1 + 4x3 + 10x4 = 0
x2 − 3x3 + 4x4 = −5
x1 − 2x3 + 3x4 = −4
3x1 + 2x2 − 5x4 = 12
4x1 + 3x2 − 5x3 = 0
.
9. Si A =
2 2 3
1 2 1
2 −2 1
, hallar X =
x
y
z
, en el sistema AX = 4X.
10. ¿Para que valores de c ∈ R los sistemas de ecuaciones que siguen son consistentes?x− 2y + z + w = c,
x− 2y + z − w = −1,
x− 2y + z + 5w = 5.
2x− y + z + w = 1,
x + 2y − z + 4w = 2,
x + 7y − 4z + 11w = c.
11. Para que valores de a, en los sistemas que siguen, se tienen: ¿exactamente una
solucion? ¿infinitas soluciones? ¿ninguna solucion?ax + y + z = −1,
x + ay + z = −1,
x + y + az = 2.
ax + y + z = 0,
5x + y − 2z = 2,
−2x− 2y + z = −3.
12. En el siguiente sistema, halle la inversa de la matriz de coeficientes, ademas halle
los valores de las incognitas:
x +2y +3z = 5
2x +5y +3z = 3
x +10z = 1
.
21
13. Resolver los sistemas AX = B por medio de la matriz inversa A−1, siendo:
a)
A =
1 0 −1
2 1 0
0 3 1
, X =
x
y
z
, B =
1
3
−2
.
b)
A =
1/2 −3/4 5/2
3/4 1/4 −3/8
2 2 −3
, X =
x
y
z
, B =
8
1
0
.
22
Capıtulo 5
Espacios Vectoriales
5.1. Introduccion
La nocion de espacio vectorial, es el terreno donde se desarrolla toda el Algebra Lineal.
En matematica aplicada, por ejemplo en la estadıstica, el investigador trabaja con
grandes cantidades de datos que, en general, se presentan en la forma de tablas de n
lıneas y m columnas de numeros reales, que para nosotros es una matriz. Las filas o
columnas de este arreglo, pueden ser interpretados como vectores o puntos de Rn o Rm.
La distancia de uno de estos puntos al origen, como se vera, puede ser asociada al
concepto de varianza en estadıstica y el angulo que dos de estos vectores forman con
el origen al concepto de correlacion. La regresion lineal puede considerarse como una
proyeccion ortogonal de un punto sobre un espacio vectorial.
De manera a conceptualizar correctamente el enfoque geometrico de algunas ramas
de la estadıstica y otras ramas, conviene considerar estos vectores como elementos de un
espacio vectorial y las tablas de numeros como matrices. Esta observacion lleva natural-
mente a introducir los espacios vectoriales.
Las reflexiones anteriores ponen el acento en la importancia de espacios vectoriales
conformados por n-uplas de numeros reales. Sin embargo, muchas aplicaciones necesitan
tambien la consideracion de espacios vectoriales de n-uplas de numeros complejos.
5.2. Espacios Vectoriales
El juego de ajedrez (o todo otro juego) tiene un soporte, las fichas y el tablero, y
un conjunto de reglas que definen las “operaciones.o jugadas posibles. Aun si es banal,
23
cabe senalar que ninguna ficha puede jugar fuera del tablero y que todas ellas pueden
desplazarse solo segun las reglas predefinidas del juego (por ejemplo, un caballo no puede
desplazarse en lınea recta). La expresion “puede.en este caso no significa una limitacion
absoluta, pero implica que toda violacion a las reglas significa que ya no se trata de un
juego de ajedrez . . .
Un Espacio Vectorial V es un conjunto, cuyos elementos son llamados vectores, en la
cual esta definidas dos operaciones: la adicion, que a cada par de vectores u, v ∈ V hace
corresponder un unico vector u + v ∈ V , llamado la suma de u y v; y la multiplicacion
por un numero real, que a cada numero α ∈ R y cada vector v ∈ V hace corresponder
un unico vector α · v ∈ V , o αv, llamado el producto de α por v. Esas operaciones debe
satisfacer, para cualesquiera α, β ∈ R y u, v, w ∈ V , las condiciones siguientes, llamadas
los axiomas de espacio vectorial:
Conmutatividad: u + v = v + u.
Asociatividad: (u + v) + w = u + (v + w) y (αβ)v = α(βv);
Vector nulo: existe un vector 0 ∈ V , llamado vector nulo, o vector cero, tal que
v + 0 = 0 + v = 0 para todo v ∈ V .
Inverso aditivo: para todo vector v ∈ V existe un vector −v ∈ V , llamado el inverso
aditivo, tal que v + (−v) = 0;
Distributividad: (α + β)v = αv + βv y α(u + v) = αu + αv;
Multiplicacion por 1: 1 · v = v.
Ejemplo 1. Para n ∈ N, el sımbolo Rn representa el espacio euclidiano n-dimensional.
Los elementos de Rn son las listas ordenadas u = (x1, . . . , xn), v = (y1, . . . , yn), de
numeros reales.
Por definicion, la igualdad vectorial u = v significa las n igualdades numericas: x1 =
y1,. . . , xn = yn.
Los numeros x1, . . . , xn son llamados las coordenadas del vector u. Las operaciones
del espacio vectorial Rn son definidas por:
u + v = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
α · u = (αx1, . . . , αxn).
El vector cero es, por definicion, aquel cuyas coordenadas son todas iguales a cero: 0 =
(0, . . . , 0).
El inverso aditivo de u = (x1, . . . , xn) es −u = (−x1, . . . ,−xn). Se deja al estudiante,
verificar que Rn con esta definiciones, es un espacio vectorial. Para n = 1, se tiene
24
R1 = R = la recta real, R2 el plano euclidiano y R3 es el espacio euclidiano tridimensional
de nuestra experiencia cotidiana.
Ejemplo 2. Una matriz de m filas y n columnas se presenta en la forma:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
,
a veces escrita simplemente como A = (aij).
El vector (ai1, ai2, . . . , ain) ∈ Rn es el i-esimo vector fila de la matriz A y el (a1j, a2j, . . . , anj) ∈Rm es la j-esima vector columna de la matriz A.
Cuando m = n, se dice que A es una matriz cuadrada. El conjunto M(m×n) de todas
la matrices m× n, se convierte en un espacio vectorial cuando en ella se define la suma
de matrices A = (aij) y B = (bij) como A + B = (aij + bij), y el producto de un numero
real α por una matriz A = (aij) como αA = (αaij). La matriz nula 0 ∈ M(m × n) es
aquella formada por ceros y el inverso aditivo de la matriz A = (aij) es −A = (−aij).
Ejemplo 3. Si X es un conjunto cualquiera, el sımbolo F (X; R) representa el conjunto
de toda las funciones reales f, g : X → R. Ella se convierte en un espacio vectorial cuando
se define la suma f + g de dos funciones y el producto α · f del numero α por la funcion
f de la manera natural:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α · f(x).
Variando el conjunto X, se obtiene los diverso ejemplos presentados antes: si X =
{1, 2, . . . , n}, entonces F (X; R) = Rn; si X = {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} entonces
F (X; R) = M(m× n).
Como consecuencia de los axiomas de espacios vectorial, podemos ver que aun valen
algunas reglas operacionales habituales en un Espacio Vectorial, veamos algunas de ellas.
Las demostraciones se dejan al estudiante, en caso de desesperacion ver [4], pagina 4.
1. Si w+u = w+v, entonces u = v. E particular, w+u = w implica u = 0 y w+u = 0
implica u = −w.
25
En efecto, de la igualdad w + u = w + v se sigue que
u = 0 + u = (−w + w) + u
= −w + (w + u)
= −w + (w + v)
= (−w + w) + v
= 0 + v = v.
En particular, w + u = w implica w + u = w + 0, luego u = 0. Y, si w + u = 0
entonces w + u = w + (−w), luego u = −w.
2. Dados 0 ∈ R y v ∈ V se tiene 0 · v = 0 ∈ V . Analogamente, dados α ∈ R y 0 ∈ R,
vale α · 0 = 0 ∈ V .
3. Si α 6= 0 es un real y v 6= 0 es un vector, entonces α · v 6= 0.
4. Para v ∈ V , (−1) · v = −v.
En lo que sigue, se suele escribir u− v en lugar de u + (−v).
5.3. Subespacios
Un subespacio vectorial de un espacio vectorial V , es un subconjunto de V que, con
las operaciones restringidas de V , es aun espacio vectorial. Los subespacios vectoriales
constituyen una rica fuente de ejemplos de espacios vectoriales.
Sea V un espacio vectorial. Un subespacio vectorial (o simplemente subespacio) de V
es un subconjunto W ⊂ V con las siguientes propiedades:
1. 0 ∈ W ;
2. Si u, v ∈ W , entonces u + v ∈ V ;
3. Si v ∈ W , entonces para todo α ∈ R, αv ∈ W .
Se sigue que si u y v pertenecen al subespacio W y α, β son numeros reales cuales-
quiera, entonces αu+βv ∈ W . Mas generalmente, dados v1, . . . , vn ∈ W y α1, . . . , αn ∈ Rse tiene α1v1 + · · ·+ αnvn ∈ W .
El conjunto {0}, cuyo unico elemento es el vector 0, y el espacio entero V , son ejemplos
triviales de subespacios vectoriales de V . Todo subespacio es, en sı mismo, un espacio
vectorial.
26
Ejemplo 4. Sea v ∈ V un vector no nulo. El conjunto W = {αv : α ∈ R} de todos los
multiplos de v es un subespacio vectorial de V , llamado la recta que pasa por en origen
y contiene a v.
Ejemplo 5. Sean a1, . . . , an numeros reales. El conjunto H = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn :
a1x1 + · · ·+anxn} es un subespacio vectorial de Rn. Si todos los ai = 0, entonces se tiene
H = Rn, pero si al menos uno de los ai’s es no nulo, H se llama un hiperplano de Rn que
pasa por el origen.
Si W1 y W2 son dos subespacios del espacio vectorial V , entonces es facil demostrar
que W1 ∩W2 es tambien subespacio de V . En general, si W1, . . . ,Wn son subespacios de
V , lo es tambien W1 ∩ · · · ∩Wn.
Ejemplo 6. Se sigue del ejemplo anterior, que el conjunto de vectores (x1, ldots, xn) ∈ Rn
cuyas coordenadas satisfacen las m condiciones siguientes
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
es un subespacio vectorial de Rn.
Sea X = {v1, . . . , vn} un subconjunto del espacio vectorial V . El conjunto de todas
las combinaciones lineales
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
con α1, . . . , αn ∈ R, es un subespacio vectorial, llamado el subespacio generado por X,
denotaremos este espacio por S(X).
El subespacio S(X) contiene a X, es mas, es el menor subespacio de V que contiene
a X.
Cuando S(X) coincide con V , se dice que X es un conjunto de generadores de V .
Explıcitamente, un conjunto X es un conjunto de generadores del espacio vectorial V
cuando todo vector v ∈ V puede escribirse como combinacion lineal
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
de vectores v1, . . . , vn que pertenecen a X.
27
Ejemplo 7. Sean u = (a, b) y v = (c, d) vectores de R2 tales que ninguno de ellos es
multiplo del otro. Entonces, si ad − bc 6= 0, afirmamos que X = {u, v} es un conjunto
de generadores de R2, o sea, cualquier vector w = (x, y) ∈ R2 puede escribirse como una
combinacion lineal w = αu + βv. De hecho, esta igualdad vectorial en R2 equivale a las
dos igualdades numericas:
aα + cβ = x
bα + dβ = y.
Como ad − bc 6= 0, el sistema de ecuaciones anterior posee una solucion (α, β), luego
existen α, β ∈ R tales que w = αu + βv.
Ejemplo 8. Los llamados vectores canonicos
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0),
...
e1 = (0, 0, 0, . . . , 0, 1),
constituyen un conjunto de generadores del espacio Rn. En efecto, dado v = (x1, . . . , xn) ∈Rn, se tiene v = x1e1 + · · ·+ xnen.
Ejemplo 9. El sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
posee una solucion (x1, . . . , xn) si y solo si el vector b = (b1, . . . , bm) es combinacion lineal
de los vectores columna
v1 = (a11, a21x2, . . . , am1)
v2 = (a12, a22x2, . . . , am2)
...
vn = (a1n, a2nx2, . . . , amn)
28
de la matriz A = (aij). En efecto, estas ecuaciones significan que
b = x1v1 + x2v8 + · · ·+ xnvn.
En particular, los vectores columna v1, . . . , vn generan Rm, el sistema posee solucion, sea
cual fuera el vector b.
5.4. Bases
¨Cuantas dimensiones tiene el espacio? Pero, sin duda alguna vivimos en un espacio
espacio con tres dimensiones, podrıamos proponernos explicar esto, para esto ver [?],
pagina 47.
Los espacios vectoriales de dimension finita, objetos centrales de nuestro estudio, po-
seen una estructura algebraica extremadamente simple, que se evidencia por las ideas de
base y dimension, uue presentamos ahora.
Sea V un espacio nectorial. Se dice que un conjunto X ⊂ V es linealmente indepen-
diente (abreviadamente l.i.) cuando ningun vector v ∈ X es combinacion lineal de los
demas vectores de X. Para evitar ambiguedad, en el caso en que U = {v} consta de un
unico elemento, se dice que X es l.i., por definicion, cuando v 6= 0. Cuando X es l.i., se
dice tambien que los elementos de X son vectores linealmente independientes .
Cuando el conjunto X es l.i. sus elementos son todo diferentes de cero, pues el vector
nulo es combinacion lineal de cualesquiera otros: 0 = 0 · v1 + · · ·+ 0 · vn.
Un criterio extremadamente util para verificar la independencia lineal de un conjunto
es dado por el teorema siguiente.
Teorema 1. Sea X un conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial V . Si
α1v1 + · · ·+ αnvn = 0 con v8, . . . , vn ∈ X, entonces α1 = · · · = αn = 0. Recıprocamente,
si la unica combinacion lineal nula de vectores de X es aquella cuyos coeficientes son
todos iguales a cero, entonces X es un conjunto linealmente independiente.
La demostracion lo vera en [4], pagina 21.
Corolario 1. Si v = α1v1 + · · ·+ αnvn = β1v1 + · · ·+ βnvn y los vectores v1, . . . , vn son
linealmente independientes, entonces α1 = β1, . . . , αn = βn.
Ejemplo 10. Los vectores canonicos e1 = (1, 0, . . . , o), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) en Rn son
l.i.. En efecto, α1e+ · · ·+ αnen = 0 significa (α1, . . . , αn) = 0, luego α1 = · · · = αn = 0.
29
Teorema 2. Sean v1, . . . , vn vectores no nulos del espacio vectorial V . Si ninguno de
ellos es combinacion lineal de los anteriores, entonces el conjunto X = {v1, . . . , vn} es
l.i..
Un conjunto X ⊂ V se dice linealmente dependiente (abreviadamente l.d.) cuando no
es l.i..
Esto significa que alguno de los vectores v ∈ X es combinacion lineal de los demas
elementos de X, o entonces que X = {0}. A fin de que X sea l.d. es necesario y suficiente
que exista una combinacion lineal nula α1v1 + · · ·+ αnvn = 0 de vectores v1, . . . , vn ∈ X
con algun coeficiente αi 6= 0. Si X ⊂ Y y X es l.d., entonces Y es tambien l.d.. Si 0 ∈ X,
entonces X es l.d..
Ejemplo 11. Los vectores u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), w = (7, 8, 9) en R3 son l.d., pues
w = 2v − u.
Una base de un espacio vectorial V es un conjunto B ⊂ V linealmente independiente
que genera V .
Esto significa que todo vector v ∈ V se escribe, de modo unico, como combinacion
lineal v = α2v1 + · · ·+αnvn de elementos v7, . . . , vn de la base B. Los numeros α1, . . . , αn
se llaman las coordenadas del vector v en base B.
Ejemplo 12. Los vectores e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) constituyen una base
{e1, . . . , en} de Rn, llamada la base canonica.
Se demuestra que si un espacio vectorial V admite una base con n elementos entonces
todas las bases de V tiene el mismo numero n elementos. Este numero es llamado la
dimension de V .
El punto de partida es el lema que sigue. En el, un sistema lineal es llamado homogeneo
cuando el segundo miembro de cada ecuacion es igual a cero. Todo sistema homogeneo
admite por lo menos la solucion trivial (0, 4, . . . , 0).
Lema 1. Todo sistema lineal homogeneo cuyo numero se incognitas es mayor que el
numero de ecuaciones, admite una solucion no trivial.
Teorema 3. Si lo vectores v1, . . . , vn generan el espacio vectorial V , entonces cualquier
conjunto con mas de m vectores en V es linealmente dependiente.
Corolario 2. Si los vectores v1, . . . , vm generan el espacio vectorial V y los vectores
u1, . . . , un son linealmente independientes, entonces n ≤ m.
30
Corolario 3. Si el espacio vectorial V admite una base B = {u1, . . . , un} con n elemen-
tos, cualquier otra base de V posee tambien n elementos.
Se dice que un espacio vectorial V tiene dimension finita cuando admite una base
B = {v1, . . . , vn} con un numero finito n de elementos. Este numero, que es el mismo
para todas las bases de V , se llama la dimension de V : n = dim V . Por extension, se dice
que el espacio vectorial V = {0} tiene dimension cero.
Corolario 4. Si la dimension de V es n, un conjunto con n vectores genera V , si y solo
si, es linealmente independiente.
En algebra lineal, se trata generalmente, los espacios de dimension finita.
Teorema 4. Sean V un espacio vectorial de dimension finita n. Entonces:
1. Todo conjunto X de generadores de V contiene una base.
2. Todos conjunto l.i. {v1, . . . , vn} ⊂ V esta contenido en una base.
3. Todo subespacio vectorial W ⊂ V tiene dimension finita, la cual es ≤ n.
4. Si la dimension del subespacio W ⊂ V es igual a n, entonces W = V .
5.5. Ejercicios
1. ¿Puede un espacio vectorial constar de: (a) dos elementos; (b) de un elemento; de
100 elementos?
2. ¿Pueden existir en un espacio vectorial dos elementos nulos?
3. Sea V = R2. Se definen
(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′)
c(x, y) = (cx, y).
¿Es V , con estas operaciones, un espacio vectorial?
4. En R2, mantengamos la debinicion del producto αv de un numero por un vector,
pero modifiquemos de tres maneras diferentes, la definicion de la suma de dos
vectores u = (x, y) y v = (x′, y′). En cada tentativa, indicar cuales de los axiomas
de espacio vectorial continuan validos y cuales no:
31
a) u + v = (x + y′, x′ + y);
b) u + v = (xx′, yy′);
5. Considere V = V1 × V2, con V1 y V2 espacios vectoriales, cuyos elementos son los
pares ordenados v = (v1, v2), con v1 ∈ H1 y v2 ∈ V2. Probar que las operaciones en
V dados por:
(v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + u2)
c(v1, v2) = (cv1, cv2).
le convierten en un espacio vectorial.
6. En cada caso determinar si W es un subespacio del espacio vectorial correspon-
diente:
a) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z + 1 = 0} de R3.
b) W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y = 0 ∧ x− y + z = 0} de R4.
7. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores x = (a1, . . . , an) de Rn son subes-
pacios de Rn (n ≥ 3)?
a) todos los x tal que a1 ≥ 0;
b) todos los x tal que a1 + 3a2 = a3;
c) todos los x tal que a1a1 = 0.
8. ¿Cuales de los conjuntos son subespacios vectoriales?
a) El conjunto de los vectores de Rn cuyas coordenadas forman una progresion
aritmetica.
b) Los vectores de Rn cuyas k (k ≤ n) primeras componentes son iguales.
c) Las funciones f : R → R tales que f(0) = f(1).
9. Muestre que el vector v = (1, 2, 2) no es combinacion lineal de los vectores v1 =
(1, 1, 2) y v2 = (1, 2, 1).
10. Es facil ver que
W = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} y U{(x, y, z) ∈ R3 : x = 0}
son subespacios de R3. Hallar W ∩ U y su dimension.
32
11. Sea W el subespacio del espacio vectorial de funciones reales, generado por cos2 t,
sin2 t y 1. Es T = {cos2 t, sin2 t, 1} una base de W?, en otro caso hallar una base
para W .
12. Hallar una base y la dimension del subespacio de R3 generado por los vectores
(1, 0,−1), (0,−1, 1).
13. Sean x1, x2, x3 los vectores fila y y1, y2, y3 los vectores columna de la matriz1 2 3
4 5 6
7 8 9
.
Verifique las relaciones x3 = 2x2−x1, y3 = 2y2−y1. Escriba y1 y y2 como combina-
ciones lineales de x1 y x2, y viceversa. Concluya que los vectores fila y los vectores
columna de la matriz dada generan los mismos subespacios de R3.
14. Sea W el conjunto de todos los (x1, x2, x3, x4, x5) de R5 que satisfacen
2x1 −x2 +43x3 −x4 = 0
x1 +23x3 −x5 = 0
9x1 −3x2 +6x3 −3x4 −3x5 = 0.
.
Encontrar un conjunto finito de vectores que genera W .
15. Demuestre el conjunto
X =
{(1 0
0 1
),
(0 1
−1 0
),
(0 1
1 0
),
(1 0
0 −1
)}genera al conjunto de todas las matrices de tamano 2× 2.
16. Sean V = R3 y U el subespacio generado por (1, 2,−1) y (2, 1,−3). Hallar W
subespacio de V tal que V = U ⊕W .
17. Encuentre las coordenadas del vector v con respecto a los vectores v1, v2 y v3.
a) v = (1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0), v3 = (1, 0,−1);
b) v = (0, 0, 1), v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0), v3 = (1, 0,−1);
18. En cada caso, hallar, si existen, las coordenadas del vector X con respecto a los
vectores A, B y C.
33
a) X = (1, 1, 1), A = (0, 1,−1), B = (1, 1, 0), C = (1, 0, 2).
b) X = (1, 0, 1, 1), A = (1, 0,−2, 1), B = (2, 0, 1, 2), C = (1,−2, 2, 3).
19. ¿Para que valores de k, los vectores (k, 1, 1), (1, k, 1) y (1, 1, k) son linealmente
independientes?
20. ¿Son los vectores (1, 1, 2, 4), (2,−1,−5, 2), (1,−1,−4, 0) y (2, 1, 1, 6) linealmente
independientes en R4?
21. Compruebe que {1, 1 − x, (1 − x)2, (1 − x)3} es una base de P3, luego hallar las
coordenadas del vector 2− 3x + x2 + 2x3 con respecto de dicha base.
22. Hallar una base y la dimension del espacio solucion del sistema homogeneo:
x1 +2x2 +3x3 +x4 = 0
2x1 +x2 +x3 −x4 = 0
3x1 −2x2 +x3 −2x4 = 0
.
23. Probar que {1+x+x2, x+x2, x2} es base para P2 (espacio de polinomios de grado
menor o igual a 2).
24. Obtenga una base y consecuentemente determine la dimension de cada uno de los
subespacios del espacio de las matrices de n× n abajo descritos:
a) matrices cuya suma de los elementos de la diagonal (traza) es cero.
b) matrices que tienen la primera y la ultima fila iguales.
c) matrices cuya segunda fila es igual a la tercera columna.
25. Pruebe que {1, ex, e2x, e3x, e4x} es un conjunto linealmente independiente en el es-
pacio de las funciones f : R → R derivables una infinidad de veces.
34
Capıtulo 6
Transformaciones lineales
6.1. Introduccion
El algebra lineal puede ser presentado desde tres puntos de vista equivalentes: trans-
formaciones lineales, matrices o formas cuadraticas. De modo que interesa conocer a las
transformaciones lineales, que son funciones de un espacio vectorial en otro tal que pre-
serva la estructura de espacio vectorial.
Sean V , W espacios vectoriales. Una transformacion lineal es una funcion T : V → W
que asocia a cada vector v ∈ V un unico vector T (v) = T · v ∈ W de modo que, para
cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R, se tengan:
(i) T (u + v) = Tu + Tv,
(ii) T (αv) = αTv.
Si T : V → W es una transformacion lineal, entonces T · 0 = 0. En efecto, T · 0 =
T (0 · v) = 0 · Tv = 0. Ademas, dados u, v ∈ V y α, β ∈ R, se tiene
T (αu + βv) = T (αu) + T (βv) = α · Tu + β · Tv.
Mas generalmente, dados v1, . . . , vn en V y α1, . . . , αn ∈ R, entonces vale:
T (α1v1 + · · ·+ αnvn) = α1Tv1 + · · ·+ αnTvn.
De ahı resultan: T (−v) = −Tv y T (u− v) = Tu− Tv.
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La suma de dos transformaciones lineales T , S : V → W y el producto de una
transformacion lineal T : V → W por un numero α ∈ R son las transformaciones lineales
T + S : V → W y αT : V → W , definidas respectivamente por
(T + S)v = Tv + Sv y (αT )v = αTv,
para todo v ∈ V . El sımbolo 0 indica la transformacion lineal 0 : V → W , definida
por 0 · v = 0 y, definiendo −T : V → W por (−T ) · v = −Tv, se ve que (−T ) + T =
T + (−T ) = 0.
Sea L(V ; W ) el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W . La defi-
niciones hechas anteriormente, hacen de L(V ; W ) un espacio vectorial. Cuando V = W ,
usaremos la notacion L(V ) en lugar de L(V ; V ).
Una transformacion lineal especial es la transformacion identidad I : V → V , definido
por I · v = v para todo v ∈ V . Cuando fuera necesario especificar, escribiremos IE en vez
de I.
En general, para definir una funcion f : X → Y es necesario especificar el valor f(x)
para cada elemento x ∈ X, sin embargo, para una transformacion lineal T ∈ L(V ; W ),
basta conocer los valores Tv para v en una base B de V . Mas precisamente, vale el
Teorema 5. Sean V , W espacios vectoriales y B una base de V . A cada vector u ∈ B,
hagamos corresponder (de manera arbitraria) un vector u′ ∈ W . Entonces existe una
unica transformacion lineal T : V → W tal que T · u = u′ para cada u ∈ B.
Para la demostracion ver [4], pagina 34.
Ejemplo 13. La rotacion de un angulo θ en torno al origen en R2, es una transformacion
lineal R : R2 → R2, que lleva a cada vector v en el vector Rv que resulta por la rotacion
de un angulo θ en torno al origen. Mas precisamente, R esta definida por
R(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + cos θ).
Ejemplo 14. La recta y = ax es el conjunto de los puntos (x, ax) ∈ R2, donde x varia
en R. Ella es el subespacio vectorial de R2 generado por el vector (1, a). Consideremos
P : R2 → R2 que hace corresponder a cada vector v = (x, y) ∈ R2 el vector Pv = (x′, ax′),
cuya extremidad en dada por la perpendicular bajada de v sobre la recta y = ax. Mas
precisamente
P (x, y) =
1
1 + a2
a
1 + a2
a
1 + a2
a2
1 + a2
.
36
6.2. Composicion de transformaciones lineales
La composicion de transformaciones lineales es un ejemplo concreto de estructura
algebraica que presenta variados e interesantes fenomenos, no encontrados entre numeros
o entre vectores.
Dada las transformaciones lineales T : V → W , S : W → U , se define la composicion
o producto TS : V → U como sigue:
(ST )v = S(Tv), para cada v ∈ V .
Se ve inmediatamente que ST es una transformacion lineal. Observe tambien que si
R : U → X es otra transformacion lineal, vale la:
1. Asociatividad, R(ST ) = (RS)T . Para su prueba no es necesaria la linealidad.
2. La linealidad tampoco en necesaria para mostrar que, dadas T : V → X, S : U →X, se tiene la distributividad a la izquierda:
(S + R)T = ST + RT.
3. Usando la linealidad de R : W → U , se ve que, dadas T , S : V → W , vale la
distributividad a la derecha:
R(S + T ) = RS + RT.
4. Para T : V → W y S : W → U transformaciones lineales y α ∈ R se tiene la
homogeneidad: S(αT ) = α(ST ).
6.3. Nucleo e imagen
Ahora veremos que la posibilidad de que una transformacion lineal admite o no
inversa, esta asociado a la existencia y la unicidad de la solucion de un sistema
de ecuaciones lineales. Ademas introduciremos el concepto de isomorfismo, que
dara un sentido preciso a la afirmacion de que dos espacios vectoriales de la misma
dimension son algebraicamente indistinguibles. Todo comienza con el nucleo y la
imagen de una transformacion.
37
A toda transformacion lineal T : V → W estan asociadas dos espacios vectoriales
indispensables para estudiar el comportamiento de T : el nucleo de T , que es un
subespacio de V y la imagen de T , que es un subespacio de W .
La imagen de T es el subconjunto
=(T ) = {w ∈ W : w = Tv, para algun v ∈ V .}
La nocion de imagen tiene sentido sea cual fuera la funcion T : V → W , sea lineal
o no. Cuando T es lineal, entonces =(t) es un subespacio vectorial de W .
Si =(T ) = W , se dice que la transformacion T es sobreyectiva.
Se invita al estudiante efectuar las demostraciones.
El nucleo de la transformacion lineal T : V → W es el conjunto
ker(T ) = {v ∈ V : Tv = 0}.
Es facil ver este es un subespacio vectorial de V .
Teorema 6. La transformacion lineal T : V → W es inyectiva, si y solo si, ker(T ) = {0}.
Teorema 7. Una transformacion lineal es inyectiva, si y solo si, lleva vectores lineal-
mente independiente en vectores linealmente independientes.
Para las demostraciones ver [4] paginas 54, 55.
Una transformacion lineal T : V → W biyectiva se llama isomorfismo y que los
espacios vectoriales V y W son isomorfos .
Teorema 8. Si la transformacion lineal T : V → W tiene inverso T−1 : W → V ,
entonces T−1 es tambien una transformacion lineal.
El resultado central de esta seccion es el
Teorema 9 (Teorema de la dimension). Sean V , W espacios vectoriales, con V de
dimension finita. Para toda transformacion lineal T : V → W se tiene
dim V = dim ker(T ) + dim=(T ).
Cuya consecuencia principal es:
Corolario 5. Sean V y W espacios de la misma dimension finita n. Una transformacion
lineal T : V → W es inyectiva, si y solo si, es sobreyectiva y por tanto es un isomorfismo.
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6.4. La matriz de una transformacion lineal
La matriz de una transformacion lineal es un objeto concreto, asociado a esa trans-
formacion en la presencia de bases en su dominio y su codominio. La matriz permite
obtener una variedad de datos de transformaciones lineales, por ejemplo permite calcu-
lar especıficamente la imagen de un vector dado por una transformacion. El producto
de transformaciones conducira a una brillante nocion de producto de matrices. Veremos
como se relacionan la matrices de la misma transformacion tomadas en bases diferentes.
Sean V y W espacios vectoriales de dimension finita y T : V → W una transformacion
lineal. Fijadas la bases B = {v1, . . . , vn} de V y B′ = {w1, . . . , wm} de W , para cada
j = 1, . . . , n el vector Tvj se escribe como combinacion lineal de los vectores de la base
B′:
Tvj =m∑
i=1
aijwi.
Ası, la transformacion lineal T : V → W juntamente con las bases B y B′ determinan
una matriz A = (aij) ∈ M(m× n), llamada la matriz asociada a T relativo a las bases.
Ejemplo 15. Sea V un espacio vectorial de dimension finita, dado α ∈ R, sea T : V → V
una transformacion lineal definido por Tv = αv para todo v ∈ V . Relativo a cualquier
base B = {v1, . . . , vn} de V , la matriz de la transformacion lineal T es
A =
α 0 · · · 0
0 α · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · α
6.5. Ejercicios
1. ¿Cuales de las siguientes funciones T : R2 → R2 son transformaciones lineales?
a) T (x, y) = (y, x).
b) T (x, y) = (1 + x, y).
c) T (x, y) = (x− 2, y + 1/2).
d) T (x, y) = −(x, y).
2. ¿Cuales de las siguientes funciones son transformaciones lineales?
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a) T : Rn → Rm con n < m, definida mediante T (x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0).
b) T : Rm → Mm×n(R) definida por
T (x1, . . . , xm) =
x1 0 · · · 0
x2 0 · · · 0...
.... . .
...
xm 0 · · · 0
,
donde Mm×n es el espacio de las matrices de tamano m×n con entradas reales.
c) T : Rn → R dada por T (x1, . . . , xn) = x1 + · · ·+ xn.
3. ¿Existe una transformacion lineal T : R3 → R2 tal que T (1,−1, 1) = (1, 0) y
T (1, 1, 1) = (0, 1)?
4. Sea T : V → W una transformacion lineal.
a) Si Tv1, . . . , T vm ∈ W son linealmente independientes, demuestre que v1 . . . , vm ∈V son linealmente independientes.
b) Si T es no singular (i.e., Tv = 0 implica v = 0) y v1, . . . , vm son linealmente
independientes, demostrar que Tv1, . . . , T vm son linealmente independientes.
5. Sean T y U operadores lineales en R2 definidas por
T (x, y) = (y, x), U(x, y) = (x, 0).
a) ¿Como se describiran T y U geometricamente?
b) Dar reglas semejantes a las que definieron T y U para cada una de las trans-
formaciones T + U , UT , TU , T 2 y U2.
6. Sea T : R2 → R una aplicacion lineal. Sabiendo que T (1, 1) = 3 y T (2, 3) = 1,
calcule T (1, 0) + T (0, 1).
7. Sea T : R3 → R3 el operador lineal definido por
T (x, y, z) = (3x, x− y, 2x + y + z).
¿Es T inversible? De serlo, hallar una expresion para T−1 como aquella que define
para T .
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8. Determine el nucleo y una base para la imagen de cada una de las transformaciones
lineales de abajo; e, indique cuales son inyectivas y cuales son sobreyectivas.
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x− y, x− y).
b) T : R4 → R4, T (x, y, z, t) = (x + y, z + t, x + z, y + t).
c) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x + y/2, y + z/2, z + x/2).
d) T : Pn → R, Tp(x) = p(1).
9. Para cada una de las transformaciones lineales del ejercicio anterior, determine el
nucleo y obtenga una base del mismo, en el caso en que no se reduzca a {0}.
10. Sea T : V → W una transformacion lineal, cuyo nucleo es {0}. Suponga que
dim V = dim W = n < ∞. Demuestre que la imagen de T es todo W .
11. Sea T : V → W una transformacion lineal. Suponga que dim V > dim W = n < ∞.
Muestre que ker T 6= {0}.
12. Demostrar que la transformacion lineal T : R2 → R2 dada como sigue es inversible:
a) T (x, y) = (x + y, x− y).
b) T (x, y) = (2x + y, 3x− 5y).
13. Sea el espacio V = {f : I → R/fes derivable en I} y D : V → V dada por
Df = f ′. Hallar ker D y ker D2.
14. Sea la funcion L : Mn×n(R) → Mn×n(R) dada por L · A =A + At
2.
a) Demuestre que L es transformacion lineal.
b) Hallar ker L y la nulidad de L.
c) ¿Cual es la imagen de L?
15. ¿Cual es la dimension del subespacio de R6 perpendicular a los dos vectores (1, 1,−2, 3, 4, 5)
y (0, 0, 1, 1, 0, 7)
16. ¿Cual es la dimension del espacio de soluciones de los siguientes sistemas de ecua-
ciones lineales? En cada caso encuentre una base para el espacio de soluciones.
a) 2x + y − z = 0, 2x + y + z = 0.
b) x− y + z = 0.
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c) x + y + z = 0, x− y = 0, y + z = 0.
17. Encuentre la matriz asociada con las siguientes transformaciones lineales:
a) T : R4 → R2, T (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2).
b) La proyeccion de R4 en R3.
c) T : Rn → Rn, T ·X = kX, con k ∈ R.
d) T : R4 → R4, T (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2, 0, 0).
e) T : R3 → R2, tal T (1, 0, 0) = (1,−3), T (0, 1, 0) = (−4, 2) y T (0, 0, 1) = (3, 1).
18. Sea T : R2 → R2 el operador lineal definido por T (x, y) = (−y, x).
a) ¿Cual es la matriz de T respecto a la base canonica de R2?
b) ¿Cual es la matriz de T respecto a la base B = {(1, 2), (1,−1)}?
c) ¿Que relacion existe entre las matrices anteriores?
19. Sea {v1, v2, v3} una base del espacio vectorial V , y sea ademas T : V → V la
transformacion lineal cuya definicion sobre esa base se da abajo. Hallar [T ] respecto
de la base dada.
a) Tv1 = 3v2 − v3, Tv2 = v1 − 2v2 + v3, Tv3 = −2v1 + 4v2 + 5v3.
b) Tv1 = 3v1, Tv2 = −7v2, Tv3 = 5v3.
c) Tv1 = −2v1 + 7v3, Tv2 = −v3, Tv3 = v1.
20. Sea la aplicacion lineal T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x + y,−x, 0). Ha-
llar la matriz asociada a T respecto de las base B = {(1, 3), (−2, 4)} y B′ =
{(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)}.
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