82
UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE ȘTIINȚE JURIDICE ȘI ȘTIINȚE ECONOMICE PROGRAM DE STUDII UNIVERSITARE: MANAGEMENT ECONOMETRIE Titular curs: Conf.univ.dr. Laura Patache
UNIVERSITATEA SPIRU HARET
FACULTATEA DE ȘTIINȚE JURIDICE ȘI ȘTIINȚE ECONOMICE
PROGRAM DE STUDII UNIVERSITARE: MANAGEMENT
ECONOMETRIE
Titular curs: Conf.univ.dr. Laura Patache
2
CUPRINS
Introduction....................................................................................................................................4
CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA: ISTORIC ŞI CONCEPTE ................................................ 7
1.1. Definiţiile econometriei .................................................................................................... 7
1.2. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei ......................................................... 9
1.3. Elemente fundamentale privind erorile econometrice .................................................... 16
CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI ....... 17
2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric .................... 18
2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor ............................................................................... 18
2.1.2 Firma privită ca sistem .................................................................................................... 26
2.2. Comportamentul econometric al firmei .......................................................................... 27
2.3. Situaţia decizională econometrică ................................................................................... 29
CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN
ECONOMIE……………………………………………………………………………………32
3.1. Dependenţe şi interdependenţe între fenomenele economice în tabloul econometric .... 32
3.2. Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie ....................................... 37
3.2.1 Modele econometrice liniare ........................................................................................... 37
3.2.2 Modele econometrice neliniare ....................................................................................... 37
3.2.3 Modele unifactoriale ....................................................................................................... 37
3.2.4 Modele multifactoriale .................................................................................................... 38
3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple ................................... 38
3.2.6 Modele econometrice euristice sau raţionale şi modele decizionale sau operaţionale ... 39
3.2.7 Modele statice şi modele dinamice ................................................................................. 39
3.2.8 Modele econometrice parţiale şi globale (agregate) ....................................................... 40
CAPITOLUL 4. MODELUL UNIFACTORIAL ..................................................................... 41
4.1. Definirea şi identificarea unui model unifactorial .......................................................... 41
4.2. Estimarea parametrilor modelului unifactorial ............................................................... 46
3
4.3. Ipotezele modelului liniar ............................................................................................... 52
4.4. Verificarea ipotezelor modelului liniar ........................................................................... 54
4.5. Verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric ................. 66
4.6. Evaluarea modelului de ajustare ..................................................................................... 67
4.7. Cea mai bună regresie ..................................................................................................... 71
BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………. 99
ANEXE
4
INTRODUCERE
Econometria este o disciplină economică de frontieră apărută în domeniile de interferenţă
ale teoriei economice, statisticii şi matematicii.
Informaţia receptată prin intermediul simţurilor determină universul mental. Metodele
statistice şi econometrice exploatează informaţiile culese în scopul „obiectivizării” spaţiului
mintal. Dacă spaţiul fizic este limitat la trei dimensiuni, cel mental are proprietatea unei
dimensiuni nelimitate, de aceea percepţiile noastre sunt diferite, ele fiind consecinţa proceselor
psihice sub impactul dorinţelor, intereselor, aspiraţiilor etc., astfel: „Lumea exterioară n-ar putea
exista fără universul mental care o percepe, iar, în schimb, universul mental îşi împrumută
imaginile de la percepţii”1.
Etimologic, termenul de econometrie provine din cuvintele greceşti: eikonomia
(economie) şi metren (măsură). El a fost introdus (1926) de către Ragnar A.K. Frisch2, economist
şi statistician norvegian, prin analogie cu termenul „biometrie”, folosit de Fr. Galton şi K. Pearson
la sfârşitul secolului al XIX-lea, care desemna cercetările biologice care utilizau metodele
statisticii matematice.
Apariţia şi rapida afirmare a econometriei trebuie înţeleasă şi explicată prin prisma
raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între
elementele acestui raport.
Dezvoltarea continuă şi dinamică a forţelor de producţie sub impactul progresului ştiinţific
şi tehnic modifică condiţiile şi interdependenţele din producţie, repartiţie, circulaţie şi consum,
ceea ce, pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea şi
dirijarea evoluţiei fenomenelor economico-sociale către anumiţi indicatori ţintă, formulaţi şi
urmăriţi de o anumită politică economică.
Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a eficienţei metodelor
de organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte, şi succesele metodelor statistico-
matematice în alte domenii ale ştiinţei – fizică, chimie, astronomie etc. – pe de altă parte, au
determinat adoptarea de către ştiinţele economice a acestor metode.
1 P. Culiano, Out of this world, Shambhala Publications, Inc., Boston & London, 1991, citat de Tudorel Andrei, Regis
Bourbonnais, în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, pag.20 2 Ragnar Anton Kittil Frisch (1895-1973), economist norvegian cu domenii de studiu econometria şi teoria producţiei
a obţinut Premiul Nobel pentru Economie în anul 1969. Amintim următoarele lucrări ale sale: Kvantitativ formulering
av den teoretiske økonomikks lover [Quantitative formulation of the laws of economic theory](1926);
"Sammenhengen mellem primærinvestering og reinvestering [The relationship between primary investment and
reinvestment]"(1927) şi "Correlation and scatter in statistical variables" (1929).
5
Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de diversificare a ştiinţei
economice, ci prin integrarea dintre teoriile economică, matematică şi statistică.
În cadrul acestei triade, teorie economică - matematică – statistică, locul central îl ocupă
teoria economică. Deşi, penetrarea ştiinţei economice de către metodele statistico-matematice
reprezintă un progres calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă
componenta lor cuantificabilă, conţin aspecte care nu pot fi reprezentate prin cantitate.
Aceste particularităţi ale fenomenelor economice constituie, în general, limitele
econometriei în sistemul ştiinţelor economice. De remarcat că raporturile econometriei cu ştiinţele
economice nu sunt numai de dependenţă.
Într-adevăr, un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie
economică a obiectului cercetat. Similitudinea sa formală cu obiectul economic investigat depinde
de nivelul de abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi operaţională a noţiunilor şi categoriilor
economice, de scopurile urmărite de teoria economică - scopuri euristice sau de dirijare privind
obiectul studiat.
Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între teorie şi realitate. El
reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de experimentare pe baza
căruia ştiinţa economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său de cercetare
poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat în laborator.
Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric, ştiinţele economice
validează, renunţă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de semantică şi semiotică
economică, îmbogăţindu-şi în felul acesta sistemul de informaţii privind structura şi evoluţia
obiectului economic.
În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiinţele economice este extrem
de vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a acestor modele la investigarea fenomenelor
economice se datorează progreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a
parametrilor modelelor şi al testelor de verificare pe care se fundamentează acestea şi, nu în
ultimul rând, al utilizării calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor mai
complexe modele econometrice.
Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele economice, este necesar
să subliniem corespondenţa dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea macro sau
microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele simulării şi, mai
ales, ale predicţiei econometrice. Activitatea de previziune a economiei este aceea care „oferă” o
serie de elemente utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de specificare a acestuia. În
această etapă, previziunea defineşte variabilele endogene (rezultative) şi pachetul variabilelor
6
exogene corespunzătoare obiectivelor urmărite în funcţie de informaţiile statistice existente.
Econometria, la rândul ei, contribuie la obţinerea variantelor economice, oferind informaţii cu
privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de acţionare a pârghiilor
economice. În acest fel, previziunii economice i se oferă o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar
putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferitele variante ale politicii economice
care ar putea fi aplicate.
Menţionăm, de asemenea, legătura econometriei cu sistemul financiar-contabil, domeniu
în care modelarea pătrunde tot mai mult – vezi modelele ARCH. De asemenea, trebuie remarcat
faptul că, la elaborarea modelelor econometrice, se recomandă, cu o tot mai mare insistenţă,
introducerea relaţiilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de semnificative pentru descrierea
mecanismelor economice. Domeniul cooperării economice internaţionale, ca, de altfel, şi cel
privind comerţul interior, domeniu în care previziunile sunt greu de realizat, altfel decât cu
ajutorul metodelor statistice, reprezintă, de asemenea, sectoare ale economiei ce pot beneficia de
rezultatele econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea activităţilor desfăşurate.
Este totodată necesar să subliniem frecvenţa tot mai mare a aplicării metodelor econometrice în
lucrări din domeniul biologiei, medicinii, demografiei şi, în special, în domeniul marketingului,
managementului sau viitorologiei.
În concluzie, se poate reţine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau
metoda modelelor. Modelul econometric – expresie formală, inductivă a unei legităţi economice –
reprezintă un mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este o
metodă care conduce la obţinerea de cunoştinţe sau informaţii noi privind starea, structura
(conexiunile dintre elemente) şi evoluţia unui proces sau sistem economic.
7
CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA: ISTORIC ŞI CONCEPTE
1.1. Definiţiile econometriei
Un an de referinţă pentru istoricul Econometriei se consideră a fi anul 1930 când la
Cleveland s-a înfiinţat Societatea de Econometrie (Econometric Society), avându-i ca iniţiatori pe:
Irving Fischer – preşedinte, L. V. Bortkiewicz, R. Frisch, H. Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener
şi alţii. Mulţi dintre preşedinţii acestei societăţi au fost laureaţi ai premiului Nobel de-a lungul
anilor, precum: K. Arrow, G. Debreu, R. Frisch, T. Haavelmo, L. Klein, T. Koopmans, W.
Leontief, R. E. Lucas, Jr., J. Mirrlees, F. Modigliani, P. Samuelson, R. Solow, J. Tinbergen, şi J.
Tobin.
Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut revista acestei
societăţi, „Econometrica”, care a apărut trimestrial, începând din ianuarie 1933 şi începând cu anul
1970 emite 6 numere pe an. (pentru detalii puteţi accesa http://www.econometricsociety.org)
Studierea cantitativă a fenomenelor economice este mult mai veche. Printre precursorii
econometriei moderne amintim: F. Quesnay3, W. Petty
4, Gregory King, A. Cournot, Leon Walras,
E. Engel, A. Marshall, R. A. Fisher, K. Pearson şi alţii.
Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor definiţii cu privire la
domeniul acestei discipline economice.5
Există mai multe categorii de definiţii: definiţia istorică; definiţia restrictivă și definiţia
extinsă.
Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei
„Econometrica” (ianuarie 1933): „înţelegerea efectivă a realităţilor constitutive din economie prin
unificarea temei economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia
studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice”.6
Definiţia restrictivă (cvasi-stabilă) a econometriei propusă de Cowles Commission for
Research in Economics (Chicago, 1940-1950), consideră că există econometrie dacă investigarea
3 Francois Quesnay (1694 - 1774) a fost economist francez al şcolii fiziocrate. În 1758 a publicat Tableau économique
creat pe bazele gândirii fiziocrate marcând, astfel, o prima fază de abordare a economiei în sens analitic. 4 Sir William Petty (1623 - 1687) a fost economist şi filosof englez. El a dezvoltat metode eficiente pentru studiu
pământului, în contextul în care acest pământ era confiscat şi dat soldaților lui Oliver Cromwell. A avut contribuții
însemnate în teoria fiscalității, teoria monetară, diviziunea muncii şi conturile de venituri. Amintim câteva dintre
lucrările sale: A Treatise of Taxes and Contributions (1662); Political Arithmetic posthum. (approx. 1676, pub.
1690); Verbum Sapienti posthum. (1664, pub. 1691); Political Anatomy of Ireland posthum. (1672, pub. 1691);
Quantulumcunque Concerning Money posthum. (1682, pub. 1695). 5 Vezi Eugen Ştefan Pecican, Econometrie ediţia a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colecţia Oeconomica,
Bucureşti, 2006; Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007 şi alţii 6 R. Frisch citat de Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.15
8
fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stocastice). Susţinătorii acestei
definiţii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările
economice care utilizează metodele inducţiei statistice (teoria estimaţiei, verificarea ipotezelor
statistice) la verificarea relaţiilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la
fenomenele sau procesele economice cercetate.
Conform acestor definiţii, un studiu econometric presupune:
existenţa prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul
economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă
formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul
investigat;
posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la verificarea ipotezelor teoriei
economice; construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia.
Această definiţie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările economice care
nu se fundamentează pe:
o teorie economică – implicită sau explicită privind modelul econometric al fenomenului,
procesului sau sistemului studiat;
o interpretare aleatoare a modelului respectiv.
Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief (Balanţa Legăturilor între Ramuri
– B.L.R.7) ca şi statistica economică (care se fundamentează pe metoda balanţelor) nu intră în
sfera de cuprindere a econometriei: prima, deoarece existenţa unei teorii economice nu este
necesară, iar ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea metodelor inducţiei statistice.
Definiţia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ţările anglo-saxone, ţine
seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării operaţionale: teoria
optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor, teoria jocurilor etc.
Prin econometrie, în sensul larg al termenului, se înţelege econometria, definită în mod
restrictiv, adică, include domeniile menţionate atunci când ea este înţeleasă în sens restrictiv, la
7 Balanţa legăturilor dintre ramuri − BLR − este un model matematic de structură ce oglindeşte trăsăturile esenţiale
ale reproducţiei, reflectă dezvoltarea economiei naţionale de ansamblu şi, separat, pe ramurile acesteia, conexiunile
existente în economie, evidenţiază fluxurile de bunuri ce au loc în procesul reproducţiei, ca urmare a legăturilor dintre
ramuri, proporţiile ce se formează în economia naţională.
Preocupat de problema echilibrului economic în contextul crizei mondiale, economistul Wassily Leontief a început, în
anul 1931, activitatea de cercetare a legăturilor de producţie dintre ramurile economiei americane. El divizează
economia naţională pe ramuri ale producţiei, ramuri pe care le pune faţă în faţă (pe de o parte, producătoare, pe de altă
parte, consumatoare pentru a putea produce), oferind, astfel, posibilitatea relevării interdependenţelor dintre ele.
Balanţele, BLR, pot avea caracter statistic sau previzional, pot fi elaborate în expresie fizică sau valorică, sunt modele
statice sau dinamice. (vezi Caracotă D. şi Caracotă C., Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi
competitive, Capitolul 5: Analiza input-output, disponibilă la adressa: http://www.biblioteca-
digitala.ase.ro/biblioteca/pagina2.asp?id=cap5)
9
care se adaugă metodele cercetării operaţionale. În prezent, în domeniul econometriei se includ şi
tehnicile moderne de analiză a datelor sau analiza marilor tabele.
Deoarece încă nu s-a cristalizat o concepţie unitară privind „frontierele” econometriei, în
manualele sau tratatele de econometrie, autorii, de regulă, îşi menţionează concepţia pe baza
căreia şi-au structurat lucrările.
În ţara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se fac precizări exprese, cât şi
prin structura planurilor de învăţământ de la facultăţile economice, econometria este concepută şi
aplicată ca metodă generală de investigare cantitativă a fenomenelor şi proceselor economice –
adică, în accepţiunea largă a termenului.
1.2. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei
Modelele sunt reprezentări ale sistemelor care pot fi studiate fără ca sistemele să fie atinse
fizic, social şi economic. Există trei clase mari de modele: iconice, analogice şi analitice. Cele
iconice sunt modele vizuale ale obiectivelor reale pe care le reprezintă şi se folosesc cu predilecţie
în arhitectură, redând, la scară: clădiri, cartiere, porturi, centrale electrice, aeroporturi ş.a.m.d..
Modelele analogice sunt utilizate mai rar. Ele reproduc fenomene din anumite domenii apelând la
tehnici din alte domenii, prin analogie. De exemplu, circuitul monetar naţional se poate reda
printr-un sistem hidraulic cu pompe, conducte şi recipiente astfel încât să poată fi examinată
circulaţia unui lichid, reprezentând fluxul bănesc. Se pot face experimente pe astfel de modele
accelerând sau frânând circulaţia prin manipularea de robinete sau vane cu care sistemul de
conducte este echipat. Aceste modele sunt, evident, mai scumpe decât modelele analitice datorită
construcţiilor speciale şi proceselor tehnice la care se apelează. În vederea realizării unor scenarii
privind evoluţia ocupării în zonă, am recurs la modelarea analitică, specifică activităţii de
management. Aceste modele apelează, de regulă, la formule matematice. Cele mai cunoscute
modele analitice sunt modelele cercetărilor operaţionale dintre care: programarea liniară,
programarea dinamică, programarea stocastică, modele de stocare, modele cu fenomene de
aşteptare, lanţuri Markov ş.a..
Întrucât modelarea, şi în special cea analitică, se realizează prin simplificarea realităţii,
există posibilitatea ca această simplificare să afecteze precizia redării faptelor. În consecinţă,
luarea oricărei decizii bazate pe modelare implică un anumit grad de risc. De aceea, atunci când
se aplică, este necesar ca modelele să fie validate artificial, anterior aplicării practice. Chiar şi în
aceste condiţii, este recomandat ca asociat deciziei care se ia în urma folosirii unui model, să se
calculeze riscul aferent astfel încât aplicarea deciziei în prezenţa riscului să fie eficientă economic.
10
Abilitatea de a construi modele prin care să se reprezinte tot mai adecvat sistemele la care
se referă, a crescut considerabil în ultimele decenii, atât ca urmare a dezvoltării cercetărilor
operaţionale care pun la dispoziţie tot mai multe tipuri de modele sub formă prefabricată, cât şi,
datorită posibilităţilor de a apela la o tehnică de calcul tot mai performantă pentru testarea
validităţii şi rezolvării modelelor.
Concomitent cu progresele şi facilităţile oferite de ştiinţă şi tehnologie, se lărgeşte şi gama
complicaţiilor care limitează modelele, astfel: se reduc resursele naturale, populaţia globului
creşte, se accentuează globalizarea, pretenţiile cresc în toate domeniile vieţii ş.a.m.d.. 8
În general, modelul reprezintă un instrument de cercetare ştiinţifică, o imagine
convenţională, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării.
Fiind o construcţie abstractă, în care se neglijează proprietăţile neesenţiale, modelul este
mai accesibil investigaţiei întreprinse de subiect, aceasta fiind una din explicaţiile multiplelor
utilizări pe care modelul le are în epoca contemporană.
Utilizat în economie, modelul - imagine abstractă, formală a unui fenomen, proces sau
sistem economic – se construieşte în concordanţă cu teoria economică, rezultând modelul
economic.
Modelul economic, reproducând în mod simbolic teoria economică a obiectivului
investigat, prin transformarea sa în model econometric, devine un obiect supus cercetării şi
experimentării (verificării), de la care se obţin informaţii noi privind comportamentul fenomenului
respectiv.
În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de modelele economice care
explică structura fenomenului sau procesului economic de pe poziţia teoriei economice, au
întotdeauna o finalitate practică, operaţională, ele devenind instrumente de control şi dirijare, de
simulare şi de previziune a fenomenelor economice.
Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi:
a) variabile economice;
b) variabila eroare (aleatoare), u;
c) variabila timp, t.
a) Variabilele economice, de regulă, se împart în:
variabile explicate, rezultative sau ENDOGENE, Yi , i= , şi
variabile explicative, factoriale sau EXOGENE, Xj, j = independente de variabilele
endogene Yi .
8 Laura Iacob Patache, Piaţa muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Editura Universitară, Bucureşti, 2010, 152 şi urm.
11
unde: n = numărul variabilelor rezultative;
k = numărul variabilelor factoriale.
În cazul modelelor de simulare sau de prognoză, variabilele Xj se mai împart în:
variabile exogene predeterminate (variabile de stare a sistemului – capacitatea de
producţie a unei întreprinderi, sau cu lag – xt-1, yt-1) şi
variabile instrumentale sau de comandă economică (dobânda, impozitul pe profit
etc.)
b) Variabila aleatoare, u, sintetizează ansamblul variabilelor, cu excepţia variabilelor Xj, care
influenţează variabila endogenă Yi, dar care nu sunt specificate în modelul econometric.
Aceste variabile (factori), pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt considerate factori
întâmplători (neesenţiali), spre deosebire de variabilele Xj, care reprezintă factorii
determinanţi (esenţiali) ai variabilei Yi.
De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de măsură – erori
întâmplătoare şi nu sistematice – conţinute de datele statistice privind variabilele
economice.
Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila aleatoare „u” urmează o
lege de probabilitate L(u), în acest scop formulându-se o serie de ipoteze statistice cu
privire la natura distribuţiei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu
teste statistice adecvate fiecărei ipoteze.
c) Variabila timp, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a
fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de
modelele statice.
Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă (economică), se recurge la
această variabilă explicativă (fictivă) din două motive:
în primul rând, timpul, ca variabilă econometrică, permite identificarea unor regularităţi
într-un proces evolutiv, ceea ce constituie un prim pas spre specificarea precisă a unor
variabile care acţionează în timp;
în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor variabile care acţionează asupra
variabilei Y care, fiind de natură calitativă, nu pot fi cuantificate şi, ca atare, nici specificate
în modelul econometric. Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie funcţia de
producţie Cobb-Douglas cu progres tehnic autonom9:
(1.1)
9 Vezi, Daniela Luminiţa Constantin, Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998, pag.164-167
12
unde:
Q = volumul fizic al producţiei;
K = capitalul;
L = forţa de muncă;
e = numărul natural;
t = timpul;
u = variabila aleatoare;
A, α, (1-α) şi g = parametrii funcţiei, A este o constantă, α şi (1-α) reprezintă
elasticitatea outputului în raport cu capitalul fix şi, respectiv, forţa de muncă (cu cât
creşte outputul dacă K, respectiv L cresc cu 1%):
(1.2)
(1.3)
g este rata progresului tehnic în perioada [0,t].
Sursa de date - Variabilele economice se introduc într-un model econometric cu valorile
lor reale sau empirice (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unităţilor observate). Aceste
valori ale variabilelor unui model se pot obţine pe două căi: fie pe baza sistemului informaţional
statistic (banca de date), fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul
anchetelor statistice.
O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o reprezintă calitatea datelor
statistice, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Dacă un model economic se
construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficienţe, fiind
compromis sub aspect operaţional. Deoarece problema autenticităţii datelor economice ţine de
domeniul statisticii economice, ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc
variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare
şi de prelucrare, îndeplinind condiţiile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune:
o colectarea lor de la unităţi statistice omogene;
o reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere
ale acestora în timp sau în spaţiu;
o descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări
fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat;
o exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă, în mod
special, la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale.
13
„Materia primă” pentru calcule economice o constituie seriile cronologice (serii de timp
sau serii dinamice), mai rar seriile teritoriale, ale variabilelor economice respective, preluate sau
construite pe baza băncii de date statistice existente.
O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de
timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică:
t 1 2... T
xt x1 x2... xT
yt y1 y2... yT
În comparaţie cu aceasta, o serie de spaţiu rezultă prin observarea variabilelor Y şi X într-o
anumită perioadă de timp - lună, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unităţi socio-
economice omogene, i= , n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce aparţin aceluiaşi sector
economic etc. O astfel de serie se prezintă, de regulă, sub următoarea formă:
xi x1 x 2 … xn
yi y1 y2 … yn
Într-un model econometric, un fenomen economic X={xi}, i= , poate fi introdus cu
următoarele valori:
[1] Valori reale sau empirice, xi = (x1, x2,.., xn), valori exprimate în unităţi de măsură
specifice naturii fenomenului X, ele fiind mărimi concrete şi pozitive, deci aparţin
sistemului numerelor raţionale. Vectorul valorilor lui X, xi = (x1, x2,.., xn), poate fi definit
prin doi parametri:
- media aritmetică a variabilei X
- abaterea medie pătratică a variabilei X
unde: = fiind dispersia variabilei.
14
De obicei, se consideră că variabila X urmează o distribuţie normală de medie şi de
abatere medie pătratică σx : L(x) = N( ,σx).
[2]Valorile centrate :
Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele aparţin sistemului numerelor reale având
atât valori pozitive cât şi negative.
Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală cu zero, iar dispersia lor
este egală cu dispersia valorilor reale:
(1.6)
= = = M(x2) (1.7)
[3] Valori centrate şi normate sau abateri standard:
Media şi dispersia acestor valori este:
(1.8)
= = (1.9)
În plus faţă de aceste două proprietăţi L( ) = N(0;1)10
, abaterile standard sunt mărimi
abstracte (adimensionale). Aceste calităţi conduc, atât la diminuarea calculelor statistice cu aceste
valori, cât şi la efectuarea de comparaţii între distribuţiile mai multor fenomene economice de
naturi diferite.
Un model econometric poate fi format dintr-o singură relaţie sau dintr-un sistem de relaţii
statistice. Aceste relaţii pot fi: relaţii de identitate sau deterministe, relaţii de comportament,
relaţii tehnologice şi relaţii instituţionale.
Relaţiile de identitate sunt de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite în „Sistemul de balanţe
ale economiei naţionale”.
Relaţiile de comportament sunt acele ecuaţii stocastice care reflectă şi modelează un
proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma
deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model macroeconomic,
relaţiile de comportament se referă la dependenţe privind consumul, investiţiile, importul şi
exportul, sistemul de preţuri, cererea monetară etc.
10
Relaţia L(x**) = N(0;1) se citeşte: variabila x** = urmează legea de probabilitate normală având media
egală cu zero iar abaterea medie pătratică este egală cu unu (legea normală, centrată şi redusă).
15
Relaţiile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic privind producţia cât şi
relaţiile tehnico-economice existente în producţie, forţa de muncă şi fondurile de producţie ale
unei unităţi, ale unei ramuri sau ale economiei naţionale. Aceste relaţii tehnologice sunt
reprezentate de cunoscutele funcţii de producţie de diferite tipuri.
Relaţiile instituţionale sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stocastic
fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradiţie sau fie de obiceiuri. Din rândul
acestora fac parte, de exemplu, ecuaţiile care explică stabilirea impozitelor sau a cotizaţiilor în
funcţie de venit.
Testele statistice11
sunt instrumente de lucru indispensabile investigaţiei econometrice.
Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul că demersul econometric constă într-o
înşiruire logică de ipoteze privind semnificaţia variabilelor exogene, a calităţii estimaţiilor
obţinute, a gradului de performanţă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor
formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul
χ2, testul t, testul F etc.
Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă, în diverse domenii, se foloseşte frecvent
un test denumit „testul erorii”.
În general, aplicarea acestui test presupune compararea a două valori:
0 = valoarea observată sau estimată;
T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată.
Pe baza celor două valori se definesc:
- eroarea absolută, = ;
- eroarea relativă, = 100 .
Se construiesc cele două ipoteze:
H0: 0 ≈ T;
H1: 0≠ T.
Stabilindu-se arbitrar o valoare absolută (Ea) sau relativă (Er)12
de echivalare a celor două
valori, (0) şi (T), regula de (alegere) decizie a celor două ipoteze este următoarea:
este acceptată ipoteza H0 dacă Ea ≤ ea sau Er ≤ er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), sunt
echivalente, adică diferenţele dintre ele sunt întâmplătoare şi nu sistematice;
11
Vezi – ipoteză statistică, test, eroare de gradul 1 şi gradul 2, prag de semnificaţie, nivel de semnificaţie – Dicţionar
statistic-economic, D.C.S., Bucureşti, 1969 12
Un astfel de test şi criteriu de decizie se utilizează în comerţul cu produse îmbuteliate sau ambalate pentru care, de
regulă, criteriul de decizie este de ± 5 % din volumul sau greutatea, T, a ambalajului.
16
este acceptată ipoteza H1 dacă Ea > ea sau Er > er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), diferă
semnificativ şi nu pot fi considerate ca echivalente, respectiv extrase din aceeaşi urnă sau
dintr-o colectivitate omogenă.
Acest test al erorii este utilizat în mod curent în domeniul analizei statistico-economice a
variaţiei în timp şi/sau în spaţiu a unui fenomen economic, dar poate fi aplicat şi în domeniul
econometriei, dar cu discernământ şi nu în mod excesiv.
1.3. Elemente fundamentale privind erorile econometrice
Modelarea econometrică prezintă şi anumite limite. Astfel, un model econometric
surprinde numai coordonatele principale ale evoluției unui fenomen economic, numai variabilele
importante şi relațiile dintre acestea. Intr-adevăr modelul cuprinde şi influenţa unei variabile
reziduale, numai că, niciodată, nici un model, indiferent cât de performant ar fi el, nu poate copia
întreaga realitate. Astfel, putem spune că de fiecare dată când elaborăm un model econometric
luăm în calcul şi o anumită probabilitate.
Erorile care apar au ca principale surse, pe lângă cele oferite de calculul probabilităților, şi
erori care apar din comportamentul uman strict implicat în evoluția unui fenomen economic sau
social. Acest aspect afectează eventualele previziuni şi simulări.
Eroarea este definită ca diferenţa dintre rezultatul x al măsurării (respectiv a eliminării
neterminării) şi valoarea reală, adevărată, originară x0. (în cazul econometriei eroarea este numită
şi eroare reală econometrică13
)
Cauzele apariţiei erorilor în econometrie se regăsesc în insuficienţa metodelor de măsurare,
a celor de analiză şi interpretare sau calcul, respectiv în sfera subiectiv-umană prin care se percepe
multi-variant, n-dimensional, fenomenul economic studiat.
Rezolvarea erorilor conţine proceduri de revenire asupra determinărilor respective.
În prezent, nu putem concepe modelarea proceselor economice fără a apela la utilizarea
unor pachete de programe. Dintre acestea, cele mai des utilizate în econometrie sunt: Data
Analysis din EXCEL, EVIEWS, SAS, SPSS, STATISTICA, MATLAB şi altele cu performanţe
diferite şi multiple.
13
vezi Ioan Gâf-Deac, 2007, p.77
17
CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI
Diferitele situaţii ce reflectă realităţile dintre variabile se regăsesc în exprimări teoretice
economice.
În practică apar însă cerinţe ce vizează necesitatea cunoaşterii mărimii relative a
parametrilor dintre variabile. Totodată, aspectele teoretice enunţate sau formulate într-un anume
conţinut trebuie testate, pentru ca într-o etapă imediată, relaţiile confirmate să fie folosite pentru
predicţii cantitative şi calitative.
Paul Samuelson (1954) arăta că econometria este „aplicarea statisticii matematice pentru
a furniza suport empiric modelelor construite cu ajutorul economiei matematice şi pentru a
furniza estimări numerice”.
Matematica, statistica şi economia în interferenţă dau atribut complex econometriei,
preponderent fiind, aşa cum am mai spus, studiul cantitativ al realităţii micro sau
macroeconomice.
În sens extins, economia conferă lărgimea semnificativă a econometriei, respectiv limite
extreme pentru acţiunile de măsurare ce pot prezenta interes decizional.
Obiectul, domeniul şi metodele econometriei sunt subordonate manipulării sistemelor
complexe, respectiv stabilirii elementelor decizionale, pentru managementul comportamentului
productiv/reproductiv.
Înregistrările statistice primare sunt urmate de evaluări intuitive, căutând legăturile între
conţinutul şi valoarea datelor provenite din observaţii, şi cele măsurate prin modelare.
Astfel, se identifică raporturi structurale reale pe baze cauzale, deterministe. Unele valori
din serie sunt determinate probabilistic pe baza valorilor precedente.
Desluşind mecanismele de transformare a variabilelor între ele se pot preciza relaţiile
funcţionale, aferente structurii reale a obiectului, procesului sau fenomenului economic studiat.
Evidenţierea modului şi a formei sub care o variabilă influenţează altă variabilă reprezintă
complexitatea de a acţiona a cercetării.
De regulă, se urmăreşte reducerea pe cât posibil la relaţii de formă liniară.
Prin demersuri econometrice, mecanismul de transformare este descompus până la
obţinerea seturilor de date considerate a fi adevărate, atunci când se demonstrează verosimilitatea
maximă a acestora.
Între realitate şi model se înregistrează un anume izomorfism, în conţinutul căruia persistă
contradicţii între:
1) structura şi procesul economic cercetat
18
2) cauze şi manifestările stocastice, şi între
3) situaţiile empirice şi cele reale-raţionale.
Constatarea de mai sus marchează diferenţele între econometrie şi economia matematică,
respectiv între tratarea cantitativă, empirică a fenomenologiei şi statisticii problemei economice şi,
respectiv, cercetarea raţională a structurii şi cauzelor problemei economice.
În sine, econometria prin faptul că „măsoară”, deci induce cuantificări ale informaţiilor,
determină „cunoaştere”, în înţeles general, cognitiv.
Dintr-un model raţional este posibilă construirea, deci generarea, unui model empiric, care
„împinge” cunoaşterea în noi areale evolutive, cu ajutorul rezultatelor-imagini.
Modelele econometrice reconstituie mecanismele economice în imagini, care sub procesări
statistice duc la noi rezultate-imagini, folositoare managementului comportamentului sistemelor
complexe.
Modelele posibilităţilor sunt generate de statistici specifice, cu ajutorul cărora se
experimentează întreg setul de modele alternative, până la stabilirea celui cu verosimilitate
maximă.
Statisticile reprezintă intrările (inputs) principale în procesele economice cercetate.
Reductibilitatea poate afecta predicţia, în măsura în care concentrarea sau simplificările
operate prin statistici pierd din calcule variabile cu potenţial permanent de influenţă.
În fapt, econometria reprezintă o extensie sau o dezvoltare ulterioară a economiei
matematice.
Între micro şi macroeconomie sunt marcate raporturi dimensionale, respectiv este
formalizat un dualism necontradictoriu.
Aplicabilitatea modelelor econometrice este urmărită concomitent ca imagine – rezultat, în
cele două niveluri, respectiv micro şi macroeconomic.
Ajustarea ecuaţională econometrică şi deopotrivă estimarea reprezintă proceduri sau
instrumente de căutare a aliniamentelor de predicţie, cu grad cât mai înalt de verosimilitate.
Ipotezele simplificatoare nu trebuie să influenţeze tendinţa de creştere a identificării
verosimilităţi.
2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric
2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor
a) Definiţia sistemului
Bertalamffy – părintele teoriei sistemice defineşte sistemul „ca un complex de elemente în
interacţiune”.
19
În cadrul acestuia, interacţiunea se conduce după principii ştiinţifice care ordonează şi face
ca ansamblul, în general, să aibă tendinţa optimizării permanente a activităţii lui.
Pentru scopuri ştiinţifice şi practice sistemul se defineşte astfel: „este un grup, un complet,
un ansamblu de elemente naturale şi artificiale, care generează scopuri comune (scopul comun
care le reuneşte)”.
Sistemul organizaţiei sociale este cea mai complexă categorie de sistem; în cadrul acestuia
are loc fenomenul de conducere.
Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o
definiţie mai largă a acestuia: „un ansamblu organizat, o clasă de fenomene care satisfac
următoarele exigenţe:
- să se poată specifica un set, o mulţime de elemente identificabile;
- să existe relaţii identificabile cel puţin între unele dintre ele;
- anumite relaţii să implice alte relaţii (lanţul infinit de relaţii);
- un complex de relaţii, la un timp dat implică un anume complex la un timp următor,
aspect ce pune în evidenţă dinamica sistemului.”
Structural, sistemele se referă la reunirea părţilor specifice, din rândul cărora enumerăm:
b) Componentele sistemului econometric.
Acestea sunt reprezentate de elemente şi conexiuni.
Elementul este o calitate (un obiect, un proces, „ceva”) dintr-un fenomen, care este privit
ca parte nesupusă analizei. Elementele fixează limitele infinitului din orice concret.
Conexiunea este un anumit raport între elemente, care le reuneşte în cadrul funcţionării
sistemului.
Conexiunile pot fi: legături cauzale, de coordonare a funcţiilor, succesiunii sau
simultaneităţii, raporturi de subordonare (fără a fi relaţii cauzale) ş.a.
Conexiunile stabilesc limitele sintezei anumitor părţi ale unui fenomen economic în sistem.
Pe lângă conexiunile interne dintre elementele sistemului există şi conexiuni externe (legături cu
alte sisteme).
Sistemele, în realitate, nu există; ele se construiesc în scopul cunoaşterii şi reprezintă o
ordonare ce răspunde unui anumit scop epistemologic.
La definirea unui sistem econometric este necesară o informaţie prealabilă despre
fenomenul studiat şi o formulare foarte riguroasă şi precisă a obiectului cercetării economice.
În raport cu el însuşi, sistemul econometric are o structură, stare, repertoare, calendarul şi
transformarea.
20
Structura este o ordine relativ stabilă, calitativ determinată a conexiunilor dintre
elementele sistemului (structura se mai numeşte şi organizare econometrică).
Starea sistemului este definită de mulţimea de valori pe care o au variabilele ce
caracterizează conexiunile la un moment dat.
Transformarea este o trecere de la o stare la alta. Dacă sistemul econometric acţionează
în scopul realizării transformării el se numeşte operator. Dacă sistemul se transformă, el se
numeşte operant.
Rezultatul oricărei transformări se numeşte imagine econometrică.
Repertoarul reprezintă mulţimea stărilor posibile ale sistemului econometric într-o
perioadă (O-T).
Calendarul reprezintă mulţimea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică în
(O-T).
Orice sistem econometric este definit univoc în timp şi spaţiu.
c) Relaţiile sistemului econometric cu mediul exterior
În raport cu mediul, sistemul econometric apare ca o incluziune şi are o intrare, o ieşire, o
comportare şi o funcţie.
Conceptul de incluziune semnifică faptul că orice sistem se poate încadra într-o structură
mai largă. Limitele unui sistem econometric sunt relative.
Sistemele econometrice sunt în toate cazurile deschise (nu pot funcţiona decât în universul
ce le înconjoară, ca o incluziune a acestuia şi aşa cum cere acesta).
Pentru a analiza un fenomen economic ca sistem, acesta trebuie să fie separat de alte
fenomene, individualizat ca un lucru independent (relativ), definit riguros şi univoc.
Numai astfel sistemul econometric devine un câmp, un spaţiu obiectiv şi structurat pentru
cercetarea problemei economice de interes (fenomenul econometric în cazul de faţă).
Pentru a defini un proces, un obiect sau un fenomen economic ca sistem, el trebuie separat
şi opus restului „lumii”, trebuie să i se cunoască graniţele.
Intrarea apare ca un dispozitiv ce recepţionează acţiunile exterioare, format din elemente
identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recepţionează informaţii (intrarea este
informaţională în econometrie).
Intrarea mai este definită şi drept capacitatea de a recepţiona informaţii exterioare, sau
orice acţiune informaţională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior
acţionează aspra sistemului.
Ieşirea este definită analog intrării, fiind un dispozitiv prin care sistemul acţionează asupra
altor sisteme, respectiv un grup de elemente identificabile prin care informaţiile ies din sistem.
21
Elementele intrării sunt: capacitatea de a transmite informaţii, orice acţiuni informaţionale
ale sistemului asupra altor sisteme.
d) Caracteristicile şi principiile funcţionării sistemelor econometrice.
Valoarea de comandă este sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în
ansamblu, superior organizat în condiţiile unui mediu ce produce perturbaţii.
Adaptabilitatea este însuşirea de a menţine la ieşire valoarea de comandă neschimbată, în
condiţiile unui mediu perturbator. Sistemul econometric adaptiv funcţionează după principiul
independenţei relative a ieşirii, în raport cu intrarea.
Relaţia intrare – ieşire în sistemele econometrice adaptive nu mai este explicabilă prin
cauzalitatea liniară din viziunea clasică ci rezidă dintr-o cauzalitate specifică, fiind înţeleasă prin
conceptul de stabilitate.
Stabilitatea înseamnă menţinerea stării la ieşire, independent de modificările intrării.
Stabilitatea se realizează prin echilibru, prin homeostază şi prin perfecţionarea structurii
(autoorganizare şi instruire).
Echilibrul reprezintă stabilitatea sistemelor econometrice cu o structură slabă (acestea tind
să se deplaseze spre un punct propriu de echilibru).
Homeostaza reprezintă stabilitatea sistemelor biologice (menţinerea unui sistem de
organizare ridicat, deja câştigat). Pe calea schimbării interioare a conexiunilor, în anumite limite
normale, sistemul econometric îşi permite menţinerea comportamentului.
Stabilitatea dinamică adaptivă se realizează prin autoorganizare, autoreglare şi instruire.
Autoreglarea este capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu
scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se
depărtează de valoarea de comandă dată.
Folosirea capacităţii proprii de reglare impune o altă caracteristică, şi anume autonomia
(independenţa de a crea şi folosi capacitatea proprie de reglare).
Autoorganizarea este un proces de adaptare la perturbaţii externe pe calea diversificării
structurii, cu scopul de păstrare a stabilităţii, de a nu oscila, de a nu se distruge.
Atingerea valorilor de comandă e posibilă numai prin existenţa unei structuri funcţionale,
adaptată, adecvată valorii de comandă.
Modificându-se valorile de comandă şi/sau condiţiile în care funcţionează sistemul
econometric se înregistrează schimbări adecvate de structură. Aceste schimbări fac parte din
procesul de autoorganizare. Structura nu este ceva static ci este singura, deseori, care trebuie să se
schimbe, pentru adaptarea sistemului la perturbaţii.
22
Legătura inversă (feed-back) este capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux
permanent din spaţiu, dinspre punctul terminus (unde se evidenţiază ieşirea) spre dispozitivul de
reglare.
În managementul economic controlul este denumit feed-back.
Reglatorul este legat cu intrarea şi cu ieşirea. Ca urmare a conexiunii inverse, acesta
intervine asupra stării generale a sistemului econometric (se realizează intervenţii directe asupra
intrării şi asupra stării sistemului).
Mecanismul reglării este redat în figurile de mai jos:
Figura nr.1: Schema unui sistem cu legături directe
Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47
Figura nr.2: Schema unui sistem cu legături inverse (feed-back)
Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47
Downtime (Tm)
Effective time adjustment
a b
X+ΔX ZX Y+ΔY Y
Z
Figura nr.3: Schema unui sistem cu autoreglare prin circuitul feed-back
a = apariţie, perturbare dispozitiv de comandă;
I
III II I
III II
disturbance
S
adjustment
R
23
b = timp de stocare + prelucrare informaţii la dispozitivul de comandă şi timpul transmiterii
comenzii la efector;
- Pentru Tab < Tm perturbaţia nu are timp de traversare stabilitate;
ΔY = capacitate de sarcină pentru R
Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48
Figura nr.4: Schema unui sistem cu autoreglare şi autoorganizare
Valoarea x a intrării în S variază, ajungând xx .
Rezultatul y la ieşire trebuie menţinut constant.
Sesizarea variaţiei lui y, care devine yy , se transmite prin legătură inversă la
regulatorul R.
R aplică valorii x la intrare o corecţie Z, care este de natură să restabilească rezultatele la
valoarea y.
Noua intrare se modifică la Zx şi sistemul îşi menţine y la ieşire la norma dată.
Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48
Timpul mort Downtime (Tm) este intervalul dintre apariţia perturbaţiei la intrare şi până
când aceasta se reflectă la ieşire, traversând întregul ansamblu.
Timpul de reglare efectivă (de transfer) Effective time adjustment este perioada de la
apariţia perturbaţiei până când informaţia ajunge la dispozitivul de comandă (recepţie, transmitere,
mesaj) plus timpul pentru stocare-prelucrarea informaţiilor la dispozitivul de comandă şi
transmiterea comenzii până la efector.
Reglarea efectivă are loc în paralel cu procesul de traversare a perturbaţiei prin ansamblu.
Acest aspect este posibil numai pentru perturbaţii ce sunt sesizate încă la intrare, când regulatorul
este legat direct cu intrările.
Există şi perturbaţii care nu sunt sesizate la intrare de către regulator, fie pentru faptul că
nu se urmăresc sistematic, deci nu sunt cunoscute sub aspectul efectelor lor, fie că informaţia
întârzie să atingă la regulator.
[S]
R
24
Dacă timpul de transfer sau de reglare efectivă este mai scurt decât timpul mort, perturbaţia
nu are timp să traverseze sistemul şi să-şi realizeze efectul, rezultatul rămânând stabil.
Capacitatea de sarcină a dispozitivului de reglare este reflectată de nivelul perturbaţiei pe
care o poate prelua regulatorul.
Fiecare sistem acţionează într-un mediu specific, are o funcţie specifică şi trebuie, în
general, să răspundă la un anumit tip de intrări perturbatoare (să aibă o anumită capacitate de
sarcină).
La perturbaţii foarte puternice R se blochează şi depărtează ieşirea de valoarea de
comandă, iar sistemul econometric se dezorganizează. Apare necesitatea intervenţiei din afara
sistemului, pentru reorganizare şi pentru deblocarea dispozitivului de reglaj.
Reglarea se poate face prin: autoreglare; autoorganizare; compensare; schimbări aduse în
mediul perturbator.
Autoreglarea este acţiunea dispozitivului de reglare asupra intrării perturbatoare.
Autoorganizarea este acţiunea de intervenţie asupra structurii sistemului pentru adaptarea
acestuia la perturbaţii (schimbarea unor legături în structură, schimbarea destinaţiei unor elemente,
suplimentarea sau scoaterea unor elemente din sistem).
Compensarea (comanda pură) are loc când forţele exterioare compensează efectele
perturbărilor deja suferite şi când acestea procedează la reorganizare. Rezultă necesitatea obiectivă
a existenţei unui sistem supraordonat, care să joace acest rol compensator. La reglarea prin
compensare nu mai are loc alertarea dispozitivului propriu de reglaj (circuitul informaţional se
deschide de către sistemul supraordonat).
O organizaţie, respectiv un fenomen economic se manifestă ca sistem econometric
suprastabil atunci când funcţionează ca sistem de autoreglare şi autoorganizare (există tendinţa de
a apela la reglare prin compensare chiar şi în situaţii când şi-ar putea folosi propriile capacităţi
pentru a putea face faţă perturbaţiilor).
Reglarea prin schimbări aduse mediului perturbator înseamnă eliminarea din afară a
intrărilor perturbatoare.
e) Alte caracteristici de funcţionare şi comportare
Orientarea este însuşirea sistemului econometric de a-şi optimiza nivelul răspunsurilor în
condiţii de perturbaţii variate. Orientarea este rezultatul capacităţii sistemului de a capta şi
prelucra, şi de a folosi informaţia despre mediu şi despre starea lui însuşi pentru a elabora stări noi,
neconforme cu tendinţa liniară a cauzei.
Finalitatea nu este o însuşire generală a sistemelor (sistemele fizice n-au această însuşire).
Nu se poate reduce la o finalitate determinată acţiunea sistemelor hipercomplexe, de tipul
25
organizaţiilor sociale sau cele ale fenomenelor economice, (deci organizaţiile sociale nu au însuşiri
de finalitate, ci au însuşiri de elaborare, de creştere, de creaţie, de dezvoltare).
Acţiunea este finalistă în sistemele cibernetice. Unele entităţi se pot manifesta ca
organizaţii finaliste, pentru realizarea unei valori comandate, ele fiind, în esenţă, subsisteme
sociale cu structuri şi destinaţii specifice.
Echifinalitatea constă în aceea că interacţiunile dintre părţile unui sistem se subordonează
cerinţei realizării aceleaşi valori de comandă.
Comportarea înfăţişează sistemul în acţiune sau funcţionarea lui. Aceasta e definită de
totalitatea acţiunilor sistemului, ca reacţie sau adaptare la mediul exterior, în urma recepţionării şi
prelucrării informaţiei.
Comportarea este un rezultat al caracterului orientat al funcţionării, al capacităţii de
autoreglare şi autoorganizare, al posibilităţii de a răspunde într-un mod adecvat la un mediu
complex.
Comportarea este un rezultat direct al conducerii sistemului ca un proces de obţinere, de
recepţie, de prelucrare şi transmitere de informaţie.
Eficienţa comportării se măsoară prin orientarea către scopul urmărit.
Prin comportare sistemul îndeplineşte o funcţie. Funcţia sistemului se defineşte din mai
multe unghiuri.
Există o funcţie externă, ca o expresie a comportării exterioare a sistemului. Ea este dată de
menţinerea conexiunilor cu alte sisteme.
Funcţia internă este o expresie a comportării interioare, pentru adaptarea şi perfecţionarea
propriei structuri. Ea corespunde cu dinamica structurii.
O definiţie mai îngustă a funcţiei este cea a funcţiei cu rol instrumental sau scop. Aceasta
se exprimă prin finalitatea sistemului sau subsistemului (apare ca realizare a valorii de comandă).
În îndeplinirea funcţiei (atât internă cât şi externă) sistemele econometrice, au două
caracteristici importante în cadrul entităţilor organizate: de căutare şi de iniţiativă.
Căutarea este caracteristică sistemelor hipercomplexe de a lua în consideraţie anumite
condiţii, de a căuta şi de a selecta cea mai bună soluţie ce se impune, ca rezultat al comportării
intenţionale a sistemelor din mediul economic unde intervine omul ca factor de cunoştinţă.
Iniţiativa este calitatea de a se comporta, în sensul de a găsi un drum nou, de a inventa.
Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt:
1. Caracterul aleator (pentru aceeaşi acţiune corespund comportării diferite ale sistemului
se impune obiectiv necesitatea conducerii economice);
26
2. Caracterul dinamic (schimbarea conexiunilor interne şi externe în timp, pentru adaptare
şi stabilitate, prin perfecţionarea parametrilor, a structurii şi a programului general de
comportare);
3. Comportarea (este determinată de conexiunile informaţionale neechivalente cu cele
substanţiale şi energetice);
4. Feed-back (conexiunea inversă) (joacă rol determinant în comportarea sistemelor
dinamice complexe);
5. Stabilitatea dinamică reprezintă adaptarea structurii şi autoinstruirea (homeostaza).
6. Calitatea substanţială specifică este a unuia dintre elemente, care interacţionează în
sistem şi se manifestă nestabil şi activ, respectiv omul.
7. Caracterul deschis; sistemul este în permanentă interacţiune cu mediul ca factor esenţial
al viabilităţii, al capacităţii sale de reproductivitate, de continuitate şi de schimbare.
8. Tendinţa de optimizare este dată de caracterul proiectiv, de capacitatea de creştere şi de
creaţie.
9. Caracterul complex rezultă din faptul că are cel puţin o componentă care este la rândul
ei sistem (omul).
2.1.2 Firma privită ca sistem
Caracteristicile sistemice ale firmelor pot fi privite ca aspecte econometrice, întrucât ele
constau dintr-un număr de elemente şi de conexiuni între ele.
Secţiile, serviciile, atelierele, locurile de muncă sunt verigi ale firmei care pot fi privite ca
subsisteme ale acesteia, şi ele însele se pot identifica drept sisteme/subsisteme.
Omul, - individual luat în considerare – este un sistem complex, de tipologie cu totul
deosebită.
Rezultă că firma poate fi privită ca sistem în cele mai diferite moduri, în funcţie de scopul
cercetării econometrice.
Ca sistem econometric, firma este locul de realizare a anumitor procese şi relaţii
valorice, economice, a creării elementelor forţei de muncă şi a mijloacelor.
Ca sistem economic complet, firma este un produs al activităţii conştiente a oamenilor,
care o pot schimba sau lichida în mod deliberat.
Oamenii şi mijloacele de producţie funcţionează ca principali factori ai producţiei sociale,
dar şi cu principalele rezultate ale activităţii de producţie.
Elementele sistemului „firmă” sunt verigile care pot fi privite, fie autonom, fie în
compunerea obiectului, procesului sau fenomenului cercetat.
27
Toate elementele firmei au o destinaţie funcţională în cadrul sistemului (funcţia pe care o
îndeplineşte unul din elemente nu o mai poate îndeplini şi altul).
Destinaţia funcţională a unui element din structura firmei trebuie privită ca posibilitate a
comportării sale dinamice în componenţa sistemului econometric şi ca o condiţie a acţiunii
reciproce cu celelalte elemente.
Orice element poate să-şi manifeste funcţia sa numai în prezenţa altui element.
Într-un sistem econometric un element trebuie să dispună de capacitatea de a influenţa un
alt element şi de a recepţiona influenţele altora. Numai astfel e posibil să existe setul, mulţimea de
conexiuni şi relaţii definitorii pentru un sistem econometric.
Aşadar, teoria sistemelor econometrice aplicată la nivel de firmă arată evoluţiile din
verigile firmei.
Relaţiile sau conexiunile între elementele sistemului econometric sunt de trei categorii:
materiale; valorice și de proprietate.
1. Relaţiile materiale reprezintă setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care
rezultă o valoare de întrebuinţare.
Legând mijloacele de anumite caracteristici, cu oamenii de anumite calificări, rezultă o
valoare de întrebuinţare corectă.
Scopul relaţiilor materiale este acela al creării unui produs al muncii care să aibă o anumită
valoare de întrebuinţare.
Aceste relaţii sunt, deci, în legătură cu crearea şi mişcarea valorilor de întrebuinţare.
2. Relaţiile valorice sunt reprezentate de conexiunile între forţa de muncă şi mijloacele
materiale exprimate valoric, necesare reproducţiei.
Scopul producţiei privită ca sistem de relaţii valorice este crearea de valoare nouă.
3. Relaţiile de proprietate îl reprezintă pe om ca proprietar al unei cantităţi de bogăţie
materială, opus celorlalţi subiecţi economici (omul este proprietar la repartiţia valorii nou create).
2.2. Comportamentul econometric al firmei
Comportamentul general al firmei este suprastabil, urmărind realizarea funcţiei firmei,
independent de relaţiile multiple cu mediul exterior.
Pentru o comportare suprastabilă, firma acţionează circuitul de reglare internă, care
reuşeşte să atragă capacităţile interne de inventivitate şi iniţiativă în vederea rezolvării tuturor
problemelor care se ivesc în procesul de funcţionare.
28
Intervenția de reglare prin compensare are loc prin deschiderea circuitului de reglare
intern pentru a solicita mijloacele de stabilire a echilibrului; firma dispune de posibilităţi duble de
reglare, dar este cu adevărat eficientă doar atunci când se manifestă în sistem suprastabil.
Intervenţia de reglare-compensare este necesară în unele perioade, tocmai ca urmare a
locului pe care îl are firma în sistemul economic general.
Firma are funcţii precise şi este dotată cu mijloace specifice, fiind capabilă pentru
preluarea doar a anumitor perturbaţii.
Modelul „intrări – proces - ieşiri” al producţiei (input-output)
Lărgirea înţelesului noţiunii de producţie se extinde şi asupra unor entităţi considerate
neproductive, ca urmare a definirii producţiei sistem (I-P-I).
Într-o astfel de viziune, producţia se defineşte după cum urmează:
un ansamblu de activităţi care au drept rezultat o creştere a valorii de întrebuinţare a unui
obiect sau serviciu;
orice proces sau procedură care transformă un set de intrări într-un set specific de ieşiri;
un proces prin care sunt create bunuri sau servicii.
Caracteristicile generale ale sistemului de producţie sunt: intrările; procesul propriu zis şi
ieşirile.
Intrările antrenează cheltuieli variabile, nivelul lor fiind în funcţie de numărul de unităţi
productive.
Procesul propriu-zis este o secvenţă complexă de operaţii, care depind ca natură şi ca
număr de specificul intrării.
Caracteristica procesului de producţie este transformarea şi sporirea valorilor intrărilor,
datorită intervenţiei muncii vii.
Spre deosebire de procesele fizice, randamentul procesului de producţie este supraunitar.
η = > 1
Cadrul procesului de producţie este constituit din elementele care conturează
transformările.
Cadrul generează cheltuieli fixe (nu variază cu volumul operaţiilor). Modificarea cadrului
se realizează mai dificil şi prin cheltuieli de investiţii.
Orice sistem de producţie trebuie să producă ceva util.
Înfiinţarea, construirea, organizarea şi menţinerea unui sistem de producţie trebuie să aibă
anumite obiective.
Trebuie, deci, definite ieşirile sistemului econometric, cu toate caracteristicile lor.
29
Toate elementele enunţate se încadrează în legea finalităţii sistemelor econometrice.
Ieşirile sunt în formulă compusă, primul element definitoriu al producţiei.
Producţia este deci, un sistem condus, dirijat către un anumit scop, către o finalitate ce este
orientată către ieşirile din sistem.
Pe lângă legea finalităţii, sistemele trebuie să se supună legii optimalităţii conform căreia
realizarea obiectivului să se facă pe calea cea mai avantajoasă din punct de vedere economic.
Stocările (depozitările) se întâlnesc imediat după intrarea în sistem a elementelor de intrare
şi în faţa fiecărei operaţi pentru care apare necesar un timp de staţionare.
Transferul sau deplasarea între operaţiile fluxului se realizează cu toate mijloacele de
transport posibile.
În funcţie de stocările necesare şi de transferul între operaţii, există procese de producţie
continue sau discontinue.
2.3. Situaţia decizională econometrică
Ea este caracterizată prin reunirea a trei elemente, şi anume:
1. Mulţimea parametrilor independenţi sau a stimulilor (notată S) care definesc condiţiile
obiective şi alcătuiesc variabilele necontrolabile;
2. Mulţimea alternativelor raţional posibile sau a reacţiilor (notată R), cu care se răspunde
la fiecare stare a condiţiilor obiective şi care alcătuiesc variabilele controlabile;
3. Mulţimea indicatorilor de rezultat (notată I), ce pot fi raţional luaţi în considerare la
alegerea criteriului de decizie.
1) Stimulii – În această categorie intră acele elemente ale mediului care nu pot fi
modificate în momentul luării deciziei.
Există şi parametri necontrolabili, comuni, sub forma unor restricţii politice şi economice
ale ţării, comportarea maşinilor, a inovaţiilor, a unor fenomene legate de forţa de muncă.
Parametrii necontrolabili pot fi continui, discreţi sau categorii de stare.
2) Reacţiile – Această mulţime este constituită din totalitatea posibilităţilor ce stau la
dispoziţia decidentului pentru rezolvarea unei probleme de decizie. Ca valoare sunt înţelese în cel
mai general sens al cuvântului de „valoare” (cantitate, mărime, tip, număr, ş.a.). Mulţimea
reacţiilor este generată de mulţimea stimulilor dintr-o stare a naturii.
3) Indicatorii – În stări ale naturii date pentru fiecare variantă raţional aplicabilă, se obţin
rezultate, care pot fi caracterizate prin indicatori.
Luarea unei decizii înseamnă alegerea unei variante econometrice de acţiune dintre mai
multe posibile, şi se face subordonat cerinţei de optimalitate.
30
Optimizarea se înfăptuieşte totdeauna relativ la un criteriu. O variantă este mai bună decât
alta numai în măsura în care ea satisface mai mult un criteriu decât altul.
Criteriile de decizie sunt:
1. criteriul simplu de decizie; se ia în considerare un singur indicator de rezultat, ceilalţi
fiind neglijaţi sau păstraţi la un nivel constant (optimul relativ).
2. criteriul complex de decizie; constituie o submulţime a mulţimii indicatorilor de rezultat
I, care se ia în considerare la rezolvarea unei probleme de decizie.
În cazul criteriilor complexe de decizie se deosebesc mai multe variante:
a) se aleg valori limitative pentru toţi indicatorii de rezultat din submulţimea lui I, mai
puţin unul, în funcţie de care se optimizează maximum sau minimum (programare matematică);
Exemplu:
Producţia în perioada t = Qt
B1,B2 – constante
Cheltuielile totale în perioada t = Cht
Productivitatea muncii WL
Atunci:
max[WL]
b) Se stabilesc relaţii funcţionale între doi sau mai mulţi indicatori şi se combină într-unul
singur.
Exemplu: Cheltuieli echivalente = Cheltuieli din exploatare + Cheltuieli din investiţii
c) Transformarea indicatorilor de rezultat în abateri de la valorile optime.
Se stabileşte o matrice A care conţine pe rânduri valoarea unui indicator în fiecare variantă,
iar pe coloane, valoarea tuturor indicatorilor pentru o variantă.
Matricea A
V V1 V2 V3 … Vn
I
I1 a11 a12 a13 … a1n
I2 a21 a22 a23 … a2n
I3 a31 a32 a33 … a3n
… … … … aij …
Im am1 am2 am3 … amn
De la matricea indicatorilor de rezultat se calculează elementele unei matrice C
transformate; acestea constituie abateri de la valoarea optimă a indicatorului de rezultat.
31
Matricea C
V V1 V2 V3 … Vn
I
I1 c11 c12 c13 … c1n
I2 c21 c22 c23 … c2n
I3 c31 c32 c33 … c3n
… … … … cij …
Im cm1 cm2 cm3 … cmn
Σcij
Elementele cij se obţin cu ajutorul relaţiei:
cij = ξ
ξ
aij = valoarea optimă a unui indicator.
Varianta optimă este aceea care are suma abaterilor cij minimă:
Varianta optimă = varianta min [Σcij]
cu aij = elemente din matricea A.
32
CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE
UTILIZATE ÎN ECONOMIE
3.1. Dependenţe şi interdependenţe între fenomenele economice în tabloul econometric
Teoria economică studiază fenomenele şi procesele economice pornind de la premisa că
acestea nu se desfăşoară la întâmplare ci pe baza unor legi proprii, relativ stabile şi relativ
repetabile, specifice naturii acestor fenomene. Deoarece fenomenele din economie sunt, în
general, cuantificabile, legile economice pot fi descrise sub forma unor legături cantitative (a unor
determinări numerice) între aceste fenomene. Acest fapt face posibilă utilizarea statisticii şi
matematicii de către teoria economică. În plus, succesele deosebite obţinute de astronomie prin
utilizarea metodelor statistico-matematice – descoperirea planetei Neptun, în 1846, ca urmare a
calculelor efectuate de astronomul francez Urbain de Verrier (1811-1877) sau a planetei Pluton, în
1930, în urma calculelor efectuate în 1915 de astronomul american Percival Lowell (1855-1916)
etc. – au convins economiştii de utilitatea şi necesitatea adoptării acestor metode, adoptare
justificată de cel puţin două motive:
1) Atât fenomenele astronomice, cât şi fenomenele economice nu pot fi decât observate; ele
nu pot fi nici izolate din mediul real şi nici reproduse în laborator, pentru a fi cercetate în
cursul unor experienţe controlate.
2) În economie acţionează anumite legi asemănătoare prin formularea lor cu legile ce se
manifestă în alte domenii ale ştiinţei – fizică, chimie, astronomie etc. Istoria doctrinelor
(gândirii) economice relevă următoarele exemple în acest sens, cum ar fi:
- legea lui Malthus – în lume, producţia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar populaţia
în progresie geometrică;
- legile lui Engel14
– atunci când venitul naţional creşte într-o ţară dezvoltată:
a) cheltuielile alimentare cresc într-o proporţie mai mică;
b) cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi proporţie;
c) cheltuielile pentru bunuri de folosinţă îndelungată cresc într-o proporţie mai mare;
- legea lui Pareto descrie polarizarea veniturilor, respectiv un număr tot mai mare de
locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari:
y= (3.1)
14
Legile lui Engel au fost formularizate de Törnqvist prin intermediul următoarelor modele:
a) y = a +u; b) y = a +u; c) y = ax +u;
unde: y = cheltuielile familiilor; x = venitul familiilor; a, b ,c = parametrii modelelor; u = variabila aleatoare.
33
unde: x = venitul familiilor;
y = numărul familiilor al căror venit este mai mare sau egal cu venitul xk ;
y = N (x ≥ xk );
A, a = parametrii funcţiei. 15
Faptul că o serie din aceste formulări au fost criticate, reformulate sau dezvoltate de teoria
economică interesează mai puţin în cazul de faţă. Trebuie apreciată intenţia autorilor de a oferi
descrieri riguroase, lipsite de ambiguităţi, cu posibilităţi operaţionale privind explicarea, reglarea
şi dirijarea funcţionării mecanismelor economice.
Existenţa obiectivă a acestor legături (legi economice, relativ stabile şi relativ repetabile)
dintre fenomenele şi procesele ce formează un sistem economic, reprezintă suportul teoretic pe
care econometria îşi fundamentează reflectarea formală a acestora. Aceste legături pot fi descrise
cu ajutorul metodelor statistico-matematice. În domeniul economic, deşi există o mare diversitate
de modelele, modelarea acestora la orice nivel – micro sau macroeconomic – se pot interpreta cu
ajutorul următoarei scheme:
Feed back
la variabilele de intrare
Feed back
la relaţiile modelului
Figura nr.5: Bazele constitutive ale modelului analitic/matematic
15
Vezi, Eugen Pecican, Ovidiu Tănăsoiu, Andreea Iluzia Iacob, Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001,
pag.22 şi urm.
Constante şi parametri
, A, B
Sistem de relaţii Variabile
X
Ieşiri
Y
34
După cum se vede pe grafic, modelul comportă, în primul rând, o funcţie Y a ieşirilor ca
variabilă dependentă care contabilizează impacturile variabilelor independente X şi ale
parametrilor A asociaţi.
Dacă ne referim la un proces de producţie, de exemplu, analiza economică efectuată pe
baza schemei de mai sus, evidenţiază faptul că indicatorii de rezultate yi = Qi – volumul producţiei
globale, marfă sau nete – depind atât de volumul şi natura factorilor de producţie, respectiv
volumul şi calitatea obiectelor muncii (M), volumul şi nivelul tehnic al mijloacelor de muncă (K),
numărul, experienţa şi nivelul de instruire al forţei de muncă (L), cât şi de modul lor de
interacţiune în cadrul structurii tehnice, organizatorice a procesului de producţie.
Cunoaşterea legităţii de variaţie în timp sau în spaţiu a unui indicator de efect economic în
funcţie de variaţia factorilor cuantificabili se poate face folosind două modele de lucru:
a) Primul, cel mai frecvent utilizat şi în prezent, îl constituie modelul determinist, care
reflectă legătura funcţională dintre elementele de intrare şi de ieşire ale sistemului –
variabilele exogene şi variabilele endogene. Pe baza definiţiilor formulate de teoria
economică cu privire la elementele obiectului respectiv, statistica economică, utilizând
metode proprii, exprimă, printr-un sistem de indicatori, elementele cuantificabile ale
sistemului economic. Pe baza parametrilor de performanţă ai sistemului (sau ai
indicatorilor de eficienţă a factorilor de producţie) se construiesc modele econometrice
deterministe între efecte şi eforturi, explicându-se variaţia variabilelor factoriale şi a
indicatorilor de performanţă sau de eficienţă ale acestora.
Astfel, în cazul unui proces de producţie, se definesc:
consumul specific c = Q = c x M (3.2)
productivitatea muncii W = Q = W x L (3.3)
eficienţa fondurilor fixe e = Q = e x K (3.4)
Pe baza modelelor deterministe (3.2), (3.3) şi (3.4), de exemplu, prin operaţii simple, se pot
obţine modele deterministe ce conţin trei şi patru factori.
Astfel, pe baza relaţiilor (3.3) şi (3.4) se obţine:
W x L = e x K
w = e x
w = e x f (3.5)
unde: f = reprezintă înzestrarea tehnică a muncii.
35
Relaţia (3.1) devine:
Q = W x L = e x f x L (3.6)
În cazul unui ansamblu de i unităţi sau ramuri economice relaţia (3.6) se însumează:
=
Această relaţie, înmulţită cu termenul se transformă în:
= = (3.7)
unde: gi = Li/ reprezintă structura forţei de muncă.
Modelul (3.6) reflectă dependenţa deterministă dintre efectul economic Q şi cele trei grupe
de factori utilizate de analiza economică: factori calitativi, structurali şi cantitativi.
În general, un model determinist se exprimă prin relaţia:
y = f(x), sau y = f(x1, x2,…) (3.8)
Modelele deterministe se utilizează curent în practica economică la analiza pe factori a
variaţiei, în timp sau spaţiu, a multor fenomene economice. În acest scop, modelul determinist
reprezintă suportul teoretic al aplicării metodei indicilor – teritoriali sau dinamici – metodă ale
cărei avantaje şi limite sunt bine cunoscute economiştilor.
b) Al doilea model de lucru este reprezentat de modelul econometric – în sensul definirii
restrictive a econometriei – care, fundamentându-se pe metoda regresiei (metodă specifică
statisticii), descrie legătura statistică sau stocastică dintre intrările sistemului – factorii de
influenţă X – şi ieşirile acestuia – variabilele rezultative Y cu ajutorul unui model aleator:
Y = f(X) + U (3.9)
Acest procedeu se bazează pe principiul cutiei negre, principiu cibernetic, care, în
economie, se foloseşte atunci când descrierea formală a structurii sistemului este inaccesibilă din
cauza imposibilităţii obţinerii informaţiilor necesare, sau când obţinerea acestor informaţii ar
necesita cheltuieli excesive, care nu se justifică prin aportul în cunoaştere pe care îl realizează.
Spre deosebire de modelul determinist (3.8), acceptat fără rezerve de teoria şi practica
economică, modelul econometric (3.9) introduce în schema de descriere a legităţii de manifestare
a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă aleatoare sau întâmplătoare (U).
Aparent, această modalitate de formalizare a legăturilor dintre fenomenele economice ar
contrazice teoria economică – fenomenele nu se produc la întâmplare, ci pe baza unor legi proprii,
inerente lor – aşa cum s-a afirmat la începutul acestui capitol. Această interpretare este inexactă.
Acceptarea introducerii variabilei aleatoare în vederea explicării legităţii de variaţie a unui
fenomen economic concret este cerută de unul din motivele de mai jos:
36
apariţia şi variaţia, în timp sau spaţiu, a unui fenomen economic este determinată de un
sistem numeros de factori, calitativi şi cantitativi. Imposibilitatea cuantificării anumitor
factori precum şi dificultăţile ridicate de rezolvarea unor modele cu multe variabile
factoriale conduc la o specificare formală incompletă din punct de vedere economic a
obiectului investigat. Această specificare formală incompletă este corectată şi vizualizată
cu ajutorul variabilei aleatoare (U);
legătura cauză-efect nu poate fi cercetată în mod nemijlocit în laborator, aşa cum
procedează ştiinţele tehnice, deoarece obiectul economic investigat nu poate fi izolat,
extras din mediul economic, ci numai observat prin intermediul datelor statistice. Pe baza
acestora, prin intermediul unui model statistico-matematic, legătura obiectivă este
estimată, aproximată, prin mijlocirea informaţiei statistice;
de foarte multe ori, datele statistice provin din observări selective (seriile cronologice
având, de asemenea, această particularitate), din sondaje aleatoare, care imprimă tuturor
indicatorilor cercetaţi pe baza lor această particularitate statistică.
Pentru a justifica concret necesitatea folosirii variabilei aleatoare (U) în cadrul unui model
econometric, cât şi datorită unor inadvertenţe ce se întâlnesc în practică datorită utilizării unor
modele de regresie în locul modelelor economice deterministe, va fi abordată succint această
problemă.
De foarte multe ori, se studiază legătura dintre un indicator al producţiei (Q) şi
productivitatea muncii (W), sau dintre productivitatea şi înzestrarea tehnică a muncii (f) cu
ajutorul unei funcţii, de regulă, de forma:
Q = a + b x W, sau W = a + b x f .
Teoria economică a formulat dependenţa dintre variabilele de mai sus prin intermediul
modelelor deterministe, Q = W x L şi, respectiv, W = e x f.
În comparaţie cu acestea, modelele Q = a + b x W şi W = a + b x f sunt afectate de erori de
specificare şi de identificare. Eroarea de specificare este reprezentată atât de neglijarea factorului
L – forţa de muncă, sau a eficienţei fondurilor fixe, cât şi de faptul că parametrii modelelor vor fi
calculaţi prin estimaţii statistice, ca să nu mai amintim de faptul că, de cele mai multe ori, datele
statistice provin dintr-un sondaj. Vizualizarea şi interpretarea corectă a legăturii dintre variabilele
respective impune specificarea variabilelor aleatoare în cadrul modelelor econometrice.
Referitor la eroarea de identificare, aceasta constă în alegerea greşită a funcţiei matematice.
Funcţia Q = a + b x W arată că, dacă W = 0, atunci Q = a, ceea ce reprezintă o aberaţie economică.
În astfel de situaţii modelul va trebui să fie de forma: y = b x x + U.
37
3.2. Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie
3.2.1 Modele econometrice liniare
Dacă între variabile factoriale şi variabila finală, rezultantă se identifică liniaritate, forma
legăturilor se prezintă astfel:
y= a0 +a1x1+a2x2+….+u (3.10)
Modelele liniare prezintă o serie de neajunsuri, astfel, anumite elemente de consum nu se
modifică liniar cu evoluţia veniturilor (există anumite intervale de saturaţie, spre exemplu
produsele alimentare), precum şi faptul că coeficientul de elasticitate nu se manifestă ca potenţial
reglator de expresii, cum este coeficientul de regresie.
În situaţia modelelor liniare, coeficientul de regresie este exprimat de parametrii
variabilelor factoriale.
Semnul legăturilor este dat de semnul coeficienţilor (+ sau -).
Atunci când coeficienţii sunt pozitivi legătura este directă, iar în expresie negativă legătura
este inversă (corectivă).
Mărimea coeficientului de regresie este măsură a variaţiei variabilei rezultante (y), la o
modificare cu o unitate a variabilei factoriale.
3.2.2 Modele econometrice neliniare
Acestea se identifică prin funcţii matematice neliniare, cum ar fi: funcţia exponenţială,
parabola, hiperbola, funcţia logaritmică etc.
Modelul neliniar prin logaritmare se poate transforma într-un model liniar.
Astfel, analiza legăturii consumului unui produs cu venitul unei familii se poate face cu un
model de forma:
C = a x Vb x u (3.11)
care prin logaritmare se transformă într-un model liniar de forma:
log C = log a + b log V + log u (3.12)
unde: C – cheltuielile medii de consum pe o familie
V – venitul mediu pe familie.
3.2.3 Modele unifactoriale
Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice
datorită, mai ales, simplităţii şi, de aici, operativităţii şi costului său redus. Îmbracă forma:
y = f(x) + u (3.13)
38
Măsura în care alţi factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt
neglijaţi sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influenţe întâmplătoare.
3.2.4 Modele multifactoriale
Sunt acele modele de forma:
y = f(xi) + u; i = (3.14)
Modelul multifactorial, eliminând deficienţa modelului unifactorial, transformă însă
avantajele acestuia în dezavantaje. Din acest motiv, se recomandă ca, în practică, să nu se
folosească un model cu mai mult de trei sau patru variabile factoriale.
Structural, modelele multifactoriale sunt de o mare diversitate. Ca regulă generală, ele se
construiesc prin dezvoltarea modelului unifactorial al variabilei explicate y. Pe lângă variabila
factorială iniţială x1, se introduc fie alte variabile exogene x2, x3, …, xk, fie valori decalate ale
acestora xt, xt-1, …, xt-h.
3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple
Modelele care sintetizează variaţia prin expresii uni-ecuaţionale sunt din categoria celor
uni şi multifactoriale, liniare şi neliniare, parţiale sau agregate, statice şi cele dinamice.
Complexitatea fenomenelor economice impune însă formula transpunerii prin ecuaţii
multiple.
Forma structurală a modelului econometric semnifică transpunerea ecuaţională formală a
fenomenului economic prin formalizare matematică.
Forma generală a modelului econometric cu ecuaţii multiple este:
Y1 + b12 Y2 + … + b1nYn + c11X1 + c12X2 + … + c1mXm = U1
b21Y1 + Y2 + … + b2nYn + c21X1 + c22X2 + … + c2mXm = U2 (3.15)
……………………………………………………………….
bn1Y1 + bn2Y2 + … + Yn + cn1X1 + cn2X2 + … + cnmXm = Un
unde: Yi (i = ) – variabile explicate sau endogene;
Xj (j = ) - variabile explicative sau exogene.
Soluţionarea modelului aflat într-o astfel de formă impune glisarea sa în forma canonică
(redusă). Asupra acesteia se aplică metode din categoria „celor mai mici pătrate” (MCMMP):
MCMMP într-o singură treaptă(M. Wald);
MCMMP în două trepte (H. Theil);
MCMMP în trei trepte (A. Zellner);
39
Metoda verosimilităţii maxime cu informaţie limitată (Anderson – Rubin).
Un model econometric este sub forma redusă sau canonică dacă fiecare variabilă endogenă
este exprimată numai în funcţie de variabile exogene.
3.2.6 Modele econometrice euristice sau raţionale şi modele decizionale
sau operaţionale
Modelele euristice (raţionale) sunt folosite în special în teoria economică pentru a explica
pe o cale mai simplă un sistem complex de dependenţe şi interdependenţe care se manifestă în
domeniul economic. Modelul teoretic este în fapt o formă simplificată a modelului real deoarece
apelează la un număr restrâns de factori neputând include toţi factorii.
Modele decizionale (operaţionale) se regăsesc uzual în practica economică. Deciziile de
politică economică se bazează pe modele decizionale, fiind vizualizate elementele esenţiale
evolutive ale fenomenului economic, din rândul cărora se extrag punctele de sprijin pentru
prognoză.
Diferenţa dintre aceste două tipuri de modele econometrice nu este absolută, un model
raţional poate fi utilizat ca un model operaţional dacă pot fi acceptate anumite ipoteze.
3.2.7 Modele statice şi modele dinamice
Un model econometric static este acela în care dependenţa variabilelor endogene „y” faţă
de valorile variabilelor exogene „xj” se realizează în aceiaşi perioadă de timp:
y= f(x1t, …, xjt, …, xkt) + ut; t = , j = (3.16)
Modelele dinamice se definesc prin următoarele tipuri:
a) Modele cu variabila timp – prin introducerea în pachetul de variabile explicative „xj”, în
mod explicit, a variabilei timp, astfel formula de calcul va deveni:
yt = f(x1t,x2t,t) + ut (3.17)
Acest model se justifică fie prin existenţa, în unele situaţii, printre factorii de influenţă ai
variabilei y a unor factori de natură calitativă (spre exemplu, influenţa preferinţelor consumatorilor
asupra volumului vânzărilor sau a progresului tehnic în funcţiile de producţie), fie prin acceptarea
ipotezei unui efect inerţial în evoluţia fenomenului y (generată de masa socială )
b) Modele autoregresive - când în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi
variabila explicată „y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k, reprezentând un model
autoregresiv de ordin „k”:
yt = f(xt,yt-k) + ut (3.18)
40
c) Modele cu decalaj – în care variabila factorială „x” îşi exercită influenţa asupra variaţiei
variabilei „y” pe mai multe perioade de timp:
yt = f(xt,…, xt-1,…, xt-k) + ut ; t = , j = , k<t (3.19)
unde: k – lungimea perioadei de decalaj (lag)
3.2.8 Modele econometrice parţiale şi globale (agregate)
Aceste modele rezultă în urma clasificării modelelor econometrice în raport cu sfera lor de
cuprindere. Includerea unui anumit model în clasa modelelor parţiale sau globale este relativă.
Pe exemplul concret al modelării consumului populaţiei, modelul consumului alimentar al
populaţiei este un model parţial în raport cu modelul global al consumului total al populaţiei –
acesta fiind rezultatul agregării consumului: alimentar, nealimentar şi de servicii. Pe de altă parte,
modelul consumului alimentar este un model agregat în raport cu modele parţiale ale consumului
pe panele de consumatori ş.a.m.d.
Indiferent de forma modelului econometric, esenţial este faptul că orice descriere
econometrică trebuie să se fundamenteze pe o concepţie economică, explicită sau implicită, a
fenomenului studiat.
Raportarea modelelor parţiale la modelele globale permite formulare următoarelor
aprecieri:
- agregarea modelelor parţiale nu conduce la obţinerea modelului global al variabilei
respective;
- modelul global rezultă ca o medie a modelelor parţiale;
- în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explicaţie istorică a
dependenţei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate
estima pe baza modelelor parţiale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului
global de regresie (coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficienţilor
parţiali);
- în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă
coeficientul global de regresie rămâne stabil.
41
CAPITOLUL 4. MODELUL UNIFACTORIAL
4.1. Definirea şi identificarea unui model unifactorial
Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice
datorită, mai ales, simplităţii şi, de aici, operativităţii şi costului său redus. Îmbracă forma:
(4.1)
unde:
y = (y1, y2, …, yn) – variabila endogenă, rezultativă sau explicată;
x = (x1, x2, …, xn) – variabila exogenă, factorială, cauzală sau explicativă independentă de
variabila endogenă y;
u = (u1, u2, …, un) - variabila reziduală, aleatoare sau eroare.
Relaţia (4.1) este o ipoteză construită pe baza teoriei economice prin care se presupune
faptul că fenomenul economic y este rezultatul unui complex de factori, dar, doar unul este
principal, x. Măsura în care alţi factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic
sunt neglijaţi sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influenţe întâmplătoare, ei
fiind încorporaţi în variabila reziduală, u. Ca orice ipoteză teoretică, ea trebuie validată sau
invalidată în urma unor testări statistice.
Spre exemplu, plecând de la teoria economică cererea de bunuri şi servicii (q) în sens
microeconomic este o variabilă dependentă, în funcţie de preţ (p) (exprimată prin legea cererii) -
variabila independentă - şi alte împrejurări (numite factorii cererii).
Putem aprecia că:
(4.2)
Plecând de la valorile preţului exprimate în lei/bucată în funcţie de care variază cantitatea
cerută din bunul respectiv, conform comportamentului cumpărătorului raţional, cu cât preţul este
mai mare cantitatea de bunuri cerută este mai mică, curba cererii evoluând ca în Figura nr.7:
Tabelul nr.1
Preţul (lei/buc.) Cantitatea (buc.)
20,00 30
18,00 40
16,00 55
15,00 65
13,00 70
11,00 95
10,00 100
9,00 115
8,00 145
6,00 185
42
Figura nr.7: Dependenţa cererii funcţie de preţ
O determinare a cantităţii cerute doar în funcţie de evoluţia preţului este, desigur,
simplistă, politica economică, ca şi rezultatele economice nu se pot încadra doar în aprecieri
cantitative pozitive sau negative, ci într-o arie definitorie a optimului cantitativ.
În economie este, de asemenea, posibilă raportarea unui proces sau fenomen necunoscut la
unul cunoscut, respectiv la categorii de cunoaştere sesizată.
Datele certe furnizează concluzii certe, iar cele aproximative intră sub incidenţa statistică,
furnizând date aproximative.
Ştiinţa economică, în esenţă, este cantitativă, şi prin măsurări, deci prin înlăturări de
nedeterminări, se stabilesc raporturi între obiectele şi fenomenele, respectiv procesele, măsurate.
Este sesizat întotdeauna un anume izomorfism între realitate şi model.
Descoperirea legăturilor constante între relaţiile economice obiectivează imaginea
structurală a obiectului, fenomenului sau a procesului economic.
Starea de suficienţă explicativă a evoluţiilor economice rezultă din suficienţa statisticii,
întrucât măsurarea operează asupra cantităţilor care sunt înscrise în orizonturile aşteptate,
productive şi reproductive.
Toate obiectele, fenomenele şi procesele economice se pot măsura, nu este obligatoriu,
însă, ca în primă faza aceste raporturi matematice să devină şi expresii matematice.
În alte cazuri, ştiinţa computaţională, prin expresii matematice prealabile, anticipează
raporturile matematice economice. Chiar legile din economia politică sunt raporturi între cantităţi
măsurabile.
Alternativ, prin măsurarea economică sunt aşteptate rezultate distincte, punctuale sau
rezultate medii.
În practică, în ştiinţa economică sunt aşteptate rezultatele medii care reflectă desfăşurarea
individuală a obiectului, fenomenului sau procesului economic.
Realităţile economice reprezintă câmpul de verificare al teoriei economice. Noţiunile
economice formulate pe baza observaţiilor pot structura raţionamente, care la rândul lor
cristalizează teorii. Raţionamentele intră sub incidenţă deductivă.
43
Sesizarea cantitativă şi calitativă a unui fenomen economic conduce la cunoaşterea sa, în
corelaţie cu legităţile generale.
Elementele de algoritm general de mai sus sunt completate de practica analizelor de
senzitivitate a modelelor, când variaţiile infinitezimale pot provoca schimbări în procesările de
ansamblu. De aceea, raportul cauză-efect este posibil să fie perceput ca un raport de echilibru.
Această perspectivă asupra evoluţiei realităţilor economice ne ajută să avem o viziune mai
largă, astfel, funcţia deterministă (4.2) se transformă în:
(4.3)
unde: u = variabila reziduală cuprinde toţi factorii cantitativi şi calitativi a căror influenţă
este neglijată sau au efecte întâmplătoare.
Identificarea modelului constă în alegerea unei funcţii/sau a unui grup de funcţii
matematice, cu ajutorul căreia/cărora se urmăreşte să se aproximeze valorile variabilei endogene y
numai în funcţie de variaţia variabilei exogene x. Gama de funcţii matematice, liniare sau
neliniare, care se pot utiliza în acest sens este largă. Dintre acestea menţionăm următoarele:
- funcţia liniară: y=a+bx+u - funcţia semilogaritmică: y=a+b log x+u
y a>0;b<0 a,b>0 y b>0
a<0;b>0
b<0
0 x 0 x
- funcţia putere16
şi funcţia logaritmică: - funcţia inversă (hiperbola):
y=a xb+u şi log y=a+b log x+u
y b>1 y
b=1 b>0 nivel de saturaţie
0<b<1 a
b<0
b<0
0 x 0 x
16
Menţionăm că funcţia putere prin logaritmare se transformă într-o funcţie logaritmică.
44
- parabola de gradul II - funcţia lui Konius
y=a+bx+cx2+u y=x(a+b log x)+u
y a<0; b,c>0 y a>0; b>0
yM yM
a,c>0; b<0
a>0; b<0
a,c<0; b>0
ym
0 x 0 x
- funcţiile lui Tornquist - funcţia logistică
I. I.
II. II.
III. III.
y nivel de saturaţie III y
aII
II nivel de saturaţie
nivel de saturaţie c (b>0)III I(b<0) aI
I II (b<0)
0 c x 0 x
Alegerea unei funcţii matematice ca funcţie de regresie a unui model econometric se face
pe baza valorilor reale sau empirice ale celor două fenomene economice, sistematizate, fie în serii
cronologice (de timp), fie în serii spaţiale.
În cazul modelului unifactorial funcţia de regresie se numeşte regresie simplă deoarece
implicate în model avem o variabilă dependentă şi una independentă. Ea este şi liniară atunci când
relaţia dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte.
45
O primă apreciere asupra distribuţiei variabilelor x şi y o vom avea dacă realizăm diagrama
de împrăştiere a valorilor, de fapt reprezentarea într-un sistem de axe a punctelor având
coordonatele xi şi yi. Analiza vizuală a organizării şi formei norului de puncte obţinut poate oferi
indicii importante asupra relaţiei dintre variabile. Datele de sondaj vor susţine ipoteza asocierii
între variabile dacă forma norului de puncte se apropie de o curbă funcţională. Astfel, se pot
aprecia asocieri liniare, curbilinii etc. Dacă în norul de puncte nu se poate distinge o tendinţă, se
va spune că variabilele nu sunt corelate.
În figura de mai jos sunt ilustrate câteva tendinţe identificabile direct.
Cazul (a) ilustrează o asociere pozitivă, (b) – o asociere negativă, (c) – lipsă de asociere,
(d) – asociere curbilinie.
(a) (b) (c) (d)
Figura nr.8: Asocierea dintre variabilele modelului
Relaţiile de interes pentru regresia liniară sunt cele ilustrate în cazurile (a) şi (b), unde este
identificabilă o tendinţă liniară în norul de puncte.
Plecând de la exemplul de mai sus construim corelograma dintre cele două variabile.
Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin
puncte. (vezi Figura nr.9)
Figura nr.9: Corelograma cererii funcţie de preţ
46
Prin alegerea liniei de tendinţă care aproximează cel mai bine funcţia putem identifica
ecuaţia (R2 – coeficientul de determinare - trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1). (vezi
Figura nr.10)
Figura nr.10: Linia de tendinţă a evoluţiei cererii funcţie de preţ
Astfel, cazul în discuţie se apropie cel mai bine de forma unei funcţii exponenţiale:
(4.4)
, deoarece y trebuie să fie pozitiv, iar care ne relevă legătura indirectă dintre cele
două variabile; care prin logaritmare se transformă în:
(4.5)
unde, dacă notăm: ln a = a1 şi ln u = u1 obţinem o funcţie logaritmică:
(4.6) .
4.2. Estimarea parametrilor modelului unifactorial
Parametrii unui model econometric sunt reprezentaţi de coeficienţii funcţiei de regresie
acceptată în etapa de identificare a acesteia. Aceşti parametrii fiind necunoscuţi ei vor trebui
estimaţi pe baza datelor experimentale sistematizate în seriile statistice ale celor două variabile y şi
x, prin valorile yi, xi, i = .
Funcţiile de regresie ale unui model unifactorial pot fi funcţii liniare, sau funcţii neliniare
dar care pot fi liniarizate prin procedee ca: logaritmarea, schimbarea de variabile şi fixarea
arbitrară a valorii unor parametri.
Liniarizarea prin logaritmare
1) Dacă plecăm de la modelul neliniar exprimat prin funcţia putere:
(4.7)
prin logaritmare obţinem:
(4.8) .
47
2) Dacă avem modelul neliniar exponenţial:
(4.9)
prin logaritmare obţinem:
(4.10) .
Liniarizarea prin schimbarea de variabile
Fie modelul neliniar:
yi = a0 +a1xi + a2xi2 + … + akxik + ui (4.11);
dacă notăm cu: x1i = xi; x2i = xi2;…; xki = xi
k; se obţine modelul liniar multifactorial de forma:
yi = a0 +a1x1i + a2x2i + … + akxki + ui (4.12).
Liniarizarea prin schimbarea arbitrară a valorii unor variabile
Acest procedeu se poate aplica doar atunci când pe baza unei analize economice a
fenomenelor studiate, se poate evalua valoarea unui parametru.
Astfel, dacă luăm exemplul funcţiei logistice:
(4.13)
care se pretează la descrierea evoluţiei consumului (y) unui anumit produs în funcţie de venitul
consumatorului (x) şi având în vedere faptul că: consumul unui anumit produs are anumite limite/
un nivel de saturaţie, nivel exprimat de parametrul (e) al funcţiei logistice; constanta (c) putând să
ia, spre exemplu, valoarea pe care consumul produsului a atins-o într-o ţară dezvoltată unde acesta
s-a stabilizat, funcţia logistică poate fi transformată într-una liniară:
(4.14) .
Dacă notăm cu ajungem la forma ecuaţiei liniare:
(4.15) .
Metodele pe baza cărora se pot calcula parametrii unui model econometric sunt:
a) metoda punctelor empirice;
b) metoda punctelor medii;
c) metoda celor mai mici pătrate;
d) metoda celor mai mici pătrate generalizată;
e) metoda verosimilităţii maxime cu informaţie limitată sau completă17
.
Dintre toate metodele mai sus menţionate cea mai des utilizată este metoda celor mai mici
pătrate. Primele două metode nu asigură o rigoare statistică a calculelor, iar celelalte două metode
17
Vezi E. Şt. Pecican, Econometria pentru…economişti. Econometrie - teorie şi aplicaţii, Ediţia a treia, Ed.
Economică, Bucureşti, 2007, p.75-80
48
au o valoare mai mult teoretică, deoarece în economie, ipotezele pe care se fundamentează pot fi
acceptate doar cu multă reţinere.
Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) pleacă de la următoarele relaţii:
unde:
yi, xi = valorile reale ale celor două fenomene economice existente în seriile statistice ale acestora;
a = este interceptul (locul pe ordonată unde dreapta de regresie se intersectează cu Oy, valoarea lui
y pentru x=0);
b = este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică y atunci când x creşte (scade) cu o unitate);
= valorile teoretice ale variabilei y, obţinute numai în funcţie de valorile factorului esenţial xi şi
de valorile estimatorilor/parametrilor a şi b, respectiv şi ;
= estimaţiile valorilor variabilelor reziduale ui.
Prin MCMMP minimizăm funcţia:
Sistem de ecuaţii ce se transformă în final în:
din care se vor calcula valorile estimatorilor:
- estimaţia parametrului a:
49
;
- estimaţia parametrului b:
(4.20) ;
- dispersia variabilei x:
- covarianţa dintre variabilele y şi x:
- coeficientul de corelaţie liniară a celor două variabile:
unde: R= coeficientul de corelaţie dintre X şi Y;
= abaterea standard a variabilei Y;
= abaterea standard a variabilei X.
Procesul de regresie, aşa cum am văzut mai sus, presupune doi paşi. Primul se referă la
determinarea ecuaţiei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecuaţii în
predicţie.
Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corelaţie. O asociere puternică între două
elemente conduce la creşterea preciziei predicţiei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o
corelaţie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă.
50
Calcularea coeficienţilor de regresie a, respectiv b se pot determina, atunci când se
cunoaşte valoarea coeficientului de corelaţie dintre cele două variabile X şi Y, media şi abaterea
standard a celor două variabile, şi astfel:
unde: R = coeficientul de corelaţie dintre X şi Y;
= abaterea standard a variabilei Y;
= abaterea standard a variabilei X.
unde: = media variabilei Y;
= media variabilei X.
Între caracteristicile estimatorilor un interes aparte îl reprezintă acele calităţi care fac ca
estimaţiile să reprezinte cât mai fidel valorile adevărate ale parametrilor, adică acele valori care
reprezintă pentru econometrician aportul fiecărui factor la modificarea variabilei-efect. Estimatorii
pot fi nedeplasaţi, consistenţi şi eficienţi.
Estimatorul nedeplasat, este acel parametru a cărui mărime rezultată prin aplicarea
metodei de estimare ( nu se abate sistematic de la valoarea adevărată (a,b) aşa încât dacă avem
k eşantioane de aceiaşi dimensiune n, media estimatorilor obţinuţi pe baza datelor din aceste
eşantioane r fi egală cu valoarea adevărată ( .
Estimatorul consistent vizează acea proprietate a estimatorului care interesează calitatea
metodei de estimare de a oferi soluţii ( care se apropie de adevăratele valori (a,b) cu o
probabilitate din ce în ce mai mare pe măsură ce numărul de unităţi ce formează eşantionul creşte.
Abordând, pentru început, cazul general, afirmăm că estimatorul (pentru parametrul a
reprezentând fie media, fie dispersia, fie parametrul de regresie) obţinut în urma prelucrării datelor
unui eşantion de n unităţi este consistent dacă:
unde: m=număr pozitiv oricât de mic
Dacă egalitatea este adevărată, afirmăm că secvenţa de valori aleatoare ( ), valori
obţinute pentru n din ce în ce mai mare, converge în probabilitate spre constanta a. Aşadar,
constanta a reprezintă limita de probabilitate a secvenţei , ceea ce exprimăm prin :
51
Revenind la parametru de regresie b şi la estimatorul acestuia se poate argumenta că:
cu o probabilitate care devine tot mai apropiată de 1 pe măsură ce
dimensiunea eşantionului n creşte.
Estimator eficient (eficace) se referă la calitatea estimatorului de a reprezenta, în raport
cu valoarea adevărată b, o estimaţie nedeplasată având totodată o împrăştiere (evaluată de
dispersie) mai mică decât a altor estimatori obţinuţi prin alte metode.
Eficienţa este legată de precizie, întrucât o împrăştiere mică a rezultatelor estimării în raport cu
valoarea adevărată atribuie metodei de estimare calitatea de a fi precisă, eficace, performantă.
Pentru a aprecia mărimea împrăştierii şi pentru a putea obţine o dispersie în condiţii normale sunt
necesare mai multe eşantioane(secvenţe ale unei serii de date) abordate printr-o anumită metodă,
obţinându-se mai multe estimaţii care, în raport cu b, prezintă o împrăştiere mai mică decât dacă
aceleaşi eşantioane ar fi fost prelucrate cu altă metodă.
Pentru obţinerea estimaţiei intervalului de încredere pentru parametru regresiei b ne sunt
necesare elementele:
- estimaţia punctuală ;
- repartiţia estimaţiei parametrului care, acceptând normalitatea repartiţiei variabilei
reziduale, este cea normală. Pentru valorile standardizate18
ne este dată probabilitatea de
a ne situa în intervalul Variabila standardizată pentru estimaţia va rezulta
astfel: = Dacă avem în vedere că dispunem, de regulă, de un eşantion mic de
valori (ceea ce face ca în loc de să preferăm testul t Student) indicatorul este de cele
mai multe ori necunoscut, urmând a-l estima ( iar , variabila normată devine
.
Considerând că variabila normată construită pe baza estimaţiei punctuale este perfect
compatibilă cu valorile normate pentru care se cunosc probabilităţile în tabelul respectivei
repartiţii, astfel încât pentru un risc apriori stabilit α, putem defini intervalul:
18
Conform tabelului distribuţiei normale reduse (standard) - z
52
În această relaţie observăm:
- intervalul de încredere reprezentat de distanţa dintre şi
dependentă în mare măsură de împrăştierea estimaţiei ;
- nivelul de încredere α reprezintă probabilitatea de a comite o eroare de genul I (de a
infirma o ipoteză deşi ea este adevărată). De regulă, se consideră α =0,05 (sau
5%), α =0,01 (sau 1%);
- coeficientul de încredere (1-α) este mărimea complementară a nivelului de
încredere exprimată în raport cu unitatea (0,95; 0,9) sau în procente (95%, 99%);
- valorile critice sunt reprezentate de nivelul inferior, respectiv, de nivelul superior al
intervalului de încredere.
4.3. Ipotezele modelului liniar
Clasa modelelor liniare poate fi exprimată prin relaţia:
y = α1x1 + α 2x2 +…+ α pxp + u (4.28)
unde:
y = variabila dependentă (explicată, endogenă, rezultativă),
x = vectorul variabilelor independente (explicative, exogene), de dimensiune 1×p,
α = vectorul coeficienţilor, de dimensiune p×1, parametrii modelului,
u = o variabilă, interpretată ca eroare (perturbare, eroare de măsurare etc.).
Observaţii
1. Liniaritatea relaţiei se referă la coeficienţi şi nu la variabile. Astfel, modelul:
y = α1x12 + α2 +…+ α3 + u (4.29)
este tot un model liniar.
2. Considerând că x1 este constant egală cu 1, se obţine un model liniar care include un
termen constant (termenul liber al modelului).
3. Pentru p=2 şi x1=1 se obţine modelul liniar simplu/ unifactorial, dreapta de regresie (y =
α1+ α2x+u).
4. Utilitatea principală a unui model liniar este aceea de predicţie a valorii lui y din valorile
cunoscute ale variabilelor x.
5. Un coeficient αi are interpretarea: modificarea cu 1 a valorii variabilei xi produce o
modificare a valorii y cu αi unităţi. Deoarece scalele de măsură sunt, în general, diferite,
interpretarea în acest sens a coeficienţilor poate deforma imaginea importanţei variabilelor
53
independente în model. Din acest motiv se introduc coeficienţii de regresie standardizaţi (bi,
i= definiţi drept coeficienţii de regresie estimaţi ai modelului:
=b1 + b2 + … + bp (4.30)
în care nu există termen liber, iar variabilele şi sunt variabilele standardizate, prin
standardizare înţelegându-se transformarea de tipul = .
Coeficienţii de regresie standardizaţi au interpretarea: modificarea cu o abatere standard a
valorii variabilei x produce o modificare cu bi abateri standard a valorii variabilei dependente. În
acest fel, mărimea coeficienţilor standardizaţi reflectă importanţa variabilelor independente în
predicţia lui y.
Presupunem că avem un set de n observaţii efectuate asupra variabilelor implicate în
model. Prin urmare dispunem de (xi1, xi2, . . . . , xip, yi), i = .
Notând cu y vectorul de tip n×1 având drept componente valorile măsurate pentru variabila
y, cu X matricea (xij)n×p a valorilor măsurate pentru variabilele x şi cu u vectorul de tip n×1 având
drept componente valorile erorilor, modelul se rescrie în relaţia matriceală:
y = α X + u (4.31)
Ipotezele modelului ar putea fi sintetizate după cum urmează:
1) Matricea de experienţe, n observaţii pentru p variabile, este fixată: Xn×p nu este stocastică.
În plus, n > p. Altfel spus, datele obţinute corect (fără erori sistematice de observare) sunt
în număr suficient de mare (peste numărul de parametrii care urmează a fi estimaţi) astfel
încât soluţiile să prezinte stabilitate.
2) X este de rang p (coloanele sunt liniar independente – formează o bază a unui spaţiu
vectorial p-dimensional).
3) a) Valorile variabilei reziduale sunt independente (nu sunt corelate) adică nu există
fenomenul de autocorelare a erorilor:
cov(ui,uj) =0, pentru
b) Variabila reziduală prezintă o împrăştiere (dispersie) egală pentru diferitele segmente de
valori xi, altfel spus, dispersia este constantă şi independentă de variabila xi:
σ2(ui/xi) = M[ui – M(ui/xi)]
2 = M[ui
2/ xi] = σ
2 , deoarece M(ui) =0.
c) Vectorul de perturbaţii (n-dimensional) u constă din n variabile aleatoare cu media 0 şi
urmează, fie şi asimptotic, o repartiţie normală (vectorul u este o variabilă aleatoare n-
dimensională normală):
M(ui) = 0
54
u ~ N(0, σ2).
Este evident că reziduurile constituie estimaţii ale erorilor ui. Se poate demonstra că:
unde:
= dispersiile reziduurilor
= dispersiile teoretice ale reziduurilor.
Este de notat că numitorul este egal cu numărul gradelor de libertate a sumei de la
numărător (n observaţii din care am obţinut p estimaţii).
De remarcat că ultima ipoteză, a normalităţii, este, mai degrabă, o ipoteză simplificatoare
decât una restrictivă, cum sunt primele două. Aceasta deoarece erorile se datorează, în general, în
procesele studiate, acţiunilor simultane ale unor factori aleatorii, ceea ce prin teorema de limită
centrală conduce la concluzia că u, ca sumă a lor, tinde spre o repartiţie normală.
4.4. Verificarea ipotezelor modelului liniar
Prima ipoteză, conform căreia variabilele x şi y sunt corecte şi nu sunt afectate de erori
de măsură, ar putea fi apreciată ca „de la sine înţeleasă”, totuşi există o serie de aspecte care
îndreptăţesc menţionarea explicită, deşi nu unanim acceptată a problemei calităţii datelor,
respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora.
Variabilele economice se introduc într-un model econometric (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1,
x2,…,xn; n = numărul unităţilor observate) cu valorile lor reale sau empirice. Aceste valori se pot
obţine: fie pe baza sistemului informaţional statistic (banca de date) şi/sau evidenţa financiar-
contabilă, fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor
statistice.
Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va
căpăta aceste deficienţe, fiind compromis sub aspect operaţional. Deoarece problema autenticităţii
datelor economice ţine de domeniul statisticii economice19
, ne vom rezuma numai a aminti că
datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără
erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condiţiile de omogenitate.
Omogenitatea datelor presupune:
o colectarea lor de la unităţi statistice omogene;
19
Vezi regula celor trei sigma, regulă care constă în verificarea următoarelor relaţii: şi
, dacă valorile se încadrează în aceste intervale ipoteza se acceptă fără rezerve.
55
o reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere
ale acestora în timp sau în spaţiu;
o descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări
fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat;
o exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă, în mod
special, la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale.
Neconfirmarea celei de-a doua ipoteze, independenţa variabilelor exogene - specifică
modelelor multifactoriale -, este semnalată prin noţiunea de multicoliniaritate20
.
Cea mai simplă metodă de detectare a multicoliniarităţii este bazată pe studiul matricei de
corelaţie dintre variabilele x. Se pot determina astfel perechile de variabile independente care sunt
puternic corelate între ele. O structură mai complexă a intercorelaţiilor poate fi detectată prin
calcularea determinantului acestei matrice de corelaţie. O valoare apropiată de zero a
determinantului reflectă o puternică corelaţie între anumite variabile, deci existenţa
multicoliniarităţii.
O altă abordare a problemei este aceea a stabilirii unui indicator sintetic pentru a decide
dacă o variabilă este coliniară cu celelalte (sau cu un grup dintre celelalte). Notând cu Ri2
coeficientul de determinare21
obţinut la estimarea regresiei multiple având ca variabilă dependentă
pe xi şi ca variabile independente restul variabilelor x, adică:
xi = f(x1,x2,…,xi-1, xi+1,…,xp)
se introduce toleranţa variabilei xi prin:
τ i = 1 − Ri2
O valoare mică a lui τi (uzual mai mică decât 0,1) reflectă un coeficient Ri2 apropiat de 1,
deci o legătură liniară puternică între xi şi restul variabilelor independente. Prin urmare xi este
coliniară cu celelalte variabile independente.
Se defineşte factorul de inflaţie a varianţei (variance inflating factor), notat VIF, inversul
toleranţei:
VIF i =
Denumirea provine din aceea că un asemenea factor apare multiplicativ în definirea
varianţei coeficienţilor estimaţi (se poate spune că se măsoară de câte ori este supraevaluată
varianţa coeficienţilor datorită multicoliniarităţii în raport cu situaţia când nu ar exista
20
Termen introdus de R. Frisch, Statistical Confluence Analysis by Means of Complete Regression Systems, Institute
of Economics, Oslo University, 1934 21
Vezi subcapitolul 4.6. Evaluarea modelului de ajustare
56
coliniaritate). Interpretarea este dedusă din cea a toleranţei: o valoare VIF mare (uzual mai mare
decât 10), denotă multicoliniaritate.
Eliminarea multicoliniarităţii
O rezolvare comună a problemei multicoliniarităţii este aceea ca dintre două variabile
independente corelate să se reţină în model doar una.
Prin interpretarea toleranţelor sau a factorilor de inflaţie se vor exclude din model acele
variabile care au toleranţe mici (sau factori de inflaţie mari).
Cea de-a treia ipoteză vizează trei aspecte legate de variabila aleatoare ui, pe de-o parte, ca
valorile variabilei reziduale u să fie necorelate, adică nu există fenomenul de autocorelare a
erorilor, pe de altă parte, erorile au dispersii egale (sunt homoscedastice)şi nu diferite
(heteroscedastice) şi, de asemenea, variabila aleatoare urmează o distribuţie normală.
Depistarea autocorelării erorilor se face utilizând următoarele procedee:
- Procedeul grafic vizează realizarea corelogramei între valorile estimate ale variabilei
endogene şi valorile variabilei reziduale .
ûi
ŷi
Figura nr.11: Corelograma între valorile estimate ale variabilei endogene
şi valorile variabilei reziduale
O regularitate a graficului semnalează o corelare a reziduului. Totuşi, trebuie menţionat că
prin grafic nu putem decât semnala prezenţa autocorelării, decizia finală trebuie însă luată pe baza
aplicării unui test statistic adecvat cum ar fi: testul Durbin-Watson sau testul Breusch-Godfrey.
- Autocorelarea reziduurilor se poate verifica şi pe baza calculării coeficientului de
autocorelare de ordinul I:
(4.42)
Acesta este definit în intervalul [-1,1]. Dacă valoarea sa este de -1 avem o autocorelare
strict negativă, dacă este 0 variabilele sunt independente, iar dacă este +1 autocorelarea
este strict pozitivă.
57
- Testul Durbin-Watson constă în calcularea valorii:
Această valoare empirică DW, se compară cu două valori teoretice, d1 şi d2, preluate din
tabelul distribuţiei Durbin-Watson în funcţie de un prag de semnificaţie α, arbitrar ales,
(α=0,05 sau α=0,01), de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate
(n,n≥15).
Regula de decizie a aplicării testului este:
Dacă: 0<DW<d1 - autocorelarea este pozitivă;
d1≤DW≤d2 - indecizie;
d2<DW<4-d2 - erorile sunt independente;
4-d2≤DW≤4-d1 - indecizie;
4-d1<DW<4 - autocorelarea este negativă.
Cei doi autori, acceptând ipoteza de normalitate a variabilei reziduale, au demonstrat că
distribuţia variabilei aleatoare d este cuprinsă între două distribuţii limită, d1 şi d2, ale căror
mărimi depind de pragul de semnificaţie α, de numărul de variabile exogene (k) şi de
valorile observate (n,n≥15).
Dezvoltând relaţia lui DW aceasta devine:
Pentru un n suficient de mare cele trei sume, , fiind
aproximativ egale, relaţia de mai sus se transformă în:
Se notează cu coeficientul de autocorelare de ordinul I al reziduurilor ui şi
atunci rezultă:
unde: .
Dacă DW=4 şi r1=-1 avem o autocorelare strict negativă, dacă şi r1
nu ne putem pronunţa, dacă DW=2 şi r1=0 variabilele sunt independente, dacă
58
şi r1 nu ne putem pronunţa, iar dacă DW=0 şi r1=1 autocorelarea este
strict pozitivă.
- Testul Breusch-Godfrey este utilizat în vederea depistării unei autocorelării de ordin
superior. Ca urmare a presupunerii existenţei unei autocorelări de ordin superior se
construieşte următorul model:
unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă.
Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia toţi coeficienţii
corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt
care implică non-existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor.
În vederea utilizării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ui, obţinute în urma
aplicării metodei celor mai mici pătrate asupra modelului iniţial. Variabila reziduală ui este
regresată apoi în funcţie de variabilele exogene iniţiale ale modelului şi de valorile sale
decalate, respectiv ui-1, ui-2, …, ui-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea
coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma:
Presupunând că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila BG este
asimptotic distribuită sub forma unui χ2
α,v, pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu:
v=p, unde p = mărimea decalajului, respectiv: .
Dacă BG> χ2
α,v, ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că există cel puţin un
coeficient de autocorelare nenul.
În general, autocorelarea erorilor este provocată de două cauze: fie faptul că variabila
endogenă y se autocorelează în evoluţia sa (ca urmare a unui efect inerţial) generând o
autocorelare în timp a erorilor, fie datorită omiterii unei variabile exogene x, cu influenţă
semnificativă asupra lui y, adică a unei erori de specificare a modelului econometric.
Eliminarea fenomenului de autocorelare a variabilei reziduale ui se fundamentează pe
evitarea cauzelor care îl generează.
Dintre modalităţile de a evita consecinţele statistice pe care le generează acest fenomen
menţionăm:
- Aplicarea metodei celor mai mici pătrate generalizate în vederea estimării parametrilor
modelului care, în cazul autocorelării reziduurilor, permite obţinerea de estimatori
nedeplasaţi, consistenţi şi eficienţi. Această metodă se utilizează atunci când avem modele
multifactoriale, numărul variabilelor explicative fiind mai mare de unu.
59
- În cazul modelului unifactorial de forma: se estimează parametrii
acestuia, a şi b, cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate. Se determină valorile ajustate
ale variabilei endogene:
(4.49)
şi reziduurilor:
(4.50)
şi se aplică testul Durbin-Watson. Dacă ipoteza de independenţă a variabilelor reziduale nu
poate fi acceptată aceasta presupune o autocorelare de ordinul întâi a erorilor, respectiv:
unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă.
Ştiind că
.
Dacă înlocuim relaţiile (4.50) şi (4.52) în relaţia (4.51) obţinem:
În ecuaţia de mai sus variabilele yi şi xi sunt cunoscute, iar valoarea coeficientului de
autocorelaţie se va calcula cu relaţia:
Se introduce valoarea acestuia în relaţia (4.53) şi se vor estima parametrii a şi b prin
aplicarea din nou a metodei celor mai mici pătrate. Fie şi estimaţiile parametrilor a şi
b, calculate pe baza diferenţelor de ordinul întâi a variabilelor y şi x.
Se ajunge la modelul:
(
unde: ( = diferenţele teoretice (ajustate) de ordinul întâi ale variabilei
endogene y, calculate pe baza funcţiei de regresie.
Se pot utiliza şi alte metode de eliminare a autocorelării erorilor cum ar fi: procedeul prin
baleiaj –Hildreth-Lu, procedeul iterativ al lui Cochran şi C. Orcutt, procedeul Durbin şi
altele.22
22
Vezi E. Şt. Pecican, Op.cit., p. 222-224 şi T.Andrei, R. Bourbonnais, Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti,
2008, p.230-233 ş.a.
60
În baza ipotezei de homoscedasticitate a variabilei reziduale (3) se poate admite că legătura
dintre cele două variabile y şi, respectiv, x este relativ stabilă.
Contrariul homoscedasticităţii este heteroscedasticitatea, care înseamnă că erorile nu au
dispersiile egale ci diferite.
Dacă dispersiile nu sunt egale, estimatorii rămân nedeplasaţi, dar nu mai sunt eficace,
MCMMP conducând la o subestimare a parametrilor modelului influenţând sensibil şi calitatea
diferitelor teste statistice aplicate acestuia.
Depistarea heteroscedasticităţii23
se poate realiza prin mai multe procedee dintre care
menţionăm:
- Procedeul grafic prin care se construieşte corelograma privind valorile variabilei factoriale
x şi valorile variabilei reziduale u. Dacă pe măsura creşterii/scăderii valorilor variabile x se
observă o creştere/scădere a valorii variabilei u înseamnă că acestea sunt corelate şi nu
independente.
û û
x x
a) Corelare pozitivă b) Corelare negativă
- Procedeul dispersiilor variabilelor reziduale (Testul F, Fisher-Snedecor) se poate aplica
atunci când se utilizează serii lungi de date. În acest caz, seria valorilor reziduale ui (care în
prealabil a fost ordonată în raport cu mărimea variabilei x) se împarte în două sau mai
multe grupe calculându-se dispersiile corespunzătoare (grupa trebuie să conţină cel puţin 5
valori). Dacă seria a fost împărţită în 3 sau 4 grupe se testează perechile de grupe,
corespunzător, se obţin perechi de dispersii, urmând ca dispersia cea mai mare dintre cele
două să fie plasată la numărătorul raportului F. Dacă numărul de termeni ai seriei este
impar se recomandă eliminarea termenului de mijloc al seriei, astfel încât să se ajungă la
subeşantioane egale.
23
Vezi D.N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd edition, New York, Mc Graw-Hill, 1995, p.369-380; T.Andrei, R.
Bourbonnais, op.cit., p.239-266; I.Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 2007,
p.193-196 ş.a.
61
unde: k = numărul variabilelor exogene
care, întrucât numitorii dispersiilor se simplifică, iar M(ui)=0, se obţine relaţia:
Dacă Fc > Fα, adică valoarea calculată a lui F este mai mare decât
valoarea tabelată24
, se infirmă ipoteza de homoscedasticitate, erorile fiind heteroscedastice,
eliminarea acestui fenomen făcându-se cu ajutorul metodei regresiei ponderate.
- Calculul coeficientului de corelaţie liniară simplă:
Dacă valoarea coeficientului de corelaţie liniară este aproximativ egală cu zero atunci se
acceptă ipoteza de homoscedasticitate.
- Testul Goldfeld-Quandt presupune în prealabil ordonarea datelor astfel încât valorile seriei
de date xi să apară în ordine crescătoare. Se elimină un număr de c valori centrate (unde, de
regulă, se consideră că c trebuie să reprezinte o treime sau un sfert din numărul total de
observaţii) pentru a se face mai evidentă eventuala discrepanţă dintre împrăştierea
termenilor din prima parte a seriei ui, respectiv din ultima parte a acesteia. Se aplică
MCMMP în fiecare grupă separat (grupă de dimensiune (n-c)/2) şi calcularea sumei
pătratelor erorilor pentru fiecare grupă în parte. Calcularea raportului dintre sumele
pătratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunzătoare celor două subeşantioane se
realizează cu formula (suma pătratelor erorilor având valoarea cea mai mare se plasează la
numărător):
unde: k=numărul variabilelor exogene
24
Valoarea tabelată, corespunzătoare distribuţiei Fisher-Snedecor este prezentată în Anexa 1.
62
Dacă Fc > Fα, atunci ipoteza de homoscedasticitate este
infirmată.
- Testul Park se bazează pe existenţa unei relaţii de dependenţă între dispersia
corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabila exogenă x de forma:
(4.60)
unde: ωi = variabila reziduală care verifică ipotezele aferente metodei celor mai mici
pătrate
Prin logaritmare modelul neliniar (4.33) este liniarizat:
Necunoscând valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice se notează cu ûi2 pătratul
erorilor, astfel relaţia devine:
Ipoteza de homoscedasticitate este verificată dacă parametrul b aferent variabilei exogene x
are valoare nesemnificativă, cazul contrar indicând heteroscedasticitatea.
- Testul Glejser presupune că variabila exogenă ar fi cauza heteroscedasticităţii. Astfel dacă
se formulează relaţia între variabila exogenă şi erorilor estimate, în urma aplicării metodei
celor mai mici pătrate, asupra modelului iniţial sunt create premisele de testare.
După calcularea erorilor, valoarea absolută a acestora este amplasată în regresie, în raport
de valorile variabilei exogene. Pentru acest scop între cele două variabile sunt folosite
următoarele relaţii:
;
în această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul , caz în care se va aplica
regresia ponderată asupra datelor iniţiale, care vor fi împărţite la xi, rezultând astfel un
model de forma:
63
La toate relaţiile de mai sus se poate aplica regresia ponderată asupra datelor iniţiale
rezultând modelele aferente.
Verificarea homoscedasticităţii erorilor presupune, ca şi în cazul testului precedent,
verificarea semnificaţiei parametrului corespunzător variabilei exogene. Aplicarea acestui test
conduce la rezultate semnificative în cazul unor eşantioane de dimensiuni mari, iar, în cazul celor
de dimensiuni mici, este pur teoretică.
Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate realiza prin următoarele
procedee:
- Construirea modelului pe baza abaterilor centrate ale variabilelor.
Dacă :
pe baza relaţiilor (4.69), (4.71) şi în baza ipotezelor obţinem:
Notând cu =
= rezultă:
Estimarea parametrului b presupune minimizarea funcţiei:
Şi calculul derivatei parţiale a funcţiei:
- Metoda regresiei ponderate.
Dacă :
Heteroscedasticitatea presupune că , ceea ce înseamnă:
64
unde: = coeficient de ponderare.
Estimarea parametrilor modelului presupune minimizarea funcţiei:
Conform relaţiei (4.72) rezultă:
unde: σu2 şi λi sunt, în general, necunoscute.
Însă, în practică, s-a constatat faptul că abaterile standard sunt aproximativ proporţionale
cu valorile variabilei exogene x, adică:
În baza relaţiilor (4.76), (4.79) şi (4.78) obţinem:
Dar relaţia de mai sus este echivalentă cu aplicarea metodei celor mai mici pătrate modelului
iniţial, după ce în prealabil a fost împărţit la xi:
Calculând derivatele parţiale în raport cu şi ale funcţiilor (4.80) şi (4.81) şi anulându-le
se ajunge la acelaşi sistem de ecuaţii pe baza căruia se determină cei doi estimatori:
65
Metoda poate fi utilizată în practică pentru modelarea investiţiilor unor întreprinderi de
dimensiuni diferite în funcţie de capital, cifră de afaceri şi venit: I=f(K, CA, V)+u.
Legea de probabilitate a variabilei reziduale ui este legea normală, de medie nulă şi
abatere medie pătratică constantă ( .
Se ştie faptul că, dacă erorile urmează legea normală şi în baza celorlalte ipoteze putem
scrie relaţia:
Plecând de la relaţia de mai sus, în funcţie de diferite praguri de semnificaţie ale lui α, din
tabela distribuţiei normale sau a distribuţiei Student se vor prelua valorile corespunzătoare lui 25
.
Verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza unui grafic în cadrul căruia pe axa
Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y ( , iar pe axa Oy se vor trece valorile
variabilei reziduale . Dacă valorile empirice ale variabilei reziduale se înscriu în banda ,
cu un anumit prag de semnificaţie α, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi
acceptată cu acest prag de semnificaţie (vezi Figura nr.12)
ûi
0
ŷi
Figura nr.12: Histograma de verificare a ipotezei de normalitate 25
Valoarea tabelată, corespunzătoare distribuţiei t Student este prezentată în Anexa 2.
66
O altă modalitate de verificare a ipotezei de normalitate a erorilor o constituie testul
Jarque-Bera. El reprezintă o cale mai obiectivă fiind fundamentat pe prezumţia că în cazul
repartiţiei normale nivelul coeficientul de asimetrie („skewness”) (S) este egal cu zero şi nivelul
coeficientului de boltire („kurtosis”) (K)este egal cu 3.Dacă u urmează o repartiţie normală nivelul
calculat al „JB” urmează asimptotic distribuţia χ2 cu 2 grade de libertate:
unde: n = numărul de observaţii;
S = coeficientul de asimetrie, care măsoară asimetria distribuţiei erorilor în jurul mediei
acestora, care este egală cu zero;
K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson, care măsoară boltirea distribuţiei –cât de
„ascuţită” sau de aplatizată este distribuţia comparativ cu distribuţia normală;
JB = coeficientul Jarque-Bera care trebuie să fie mai mic sau cel mult egal cu valoarea lui
pentru a verifica ipoteza de normalitate.
4.5. Verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric
Verificarea semnificaţiei estimatorilor constă în a accepta, sau a respinge, una din cele
două ipoteze:
H0: a,b = 0
H1: a,b ≠ 0.
Testul adecvat în acest scop, şi fiind variabile aleatoare repartizate normal, este testul t
Student. Prin centrarea şi normarea estimaţiilor şi , în cazul ipotezei:
H0: L( )=N(0, ) şi L( )=N(0, )
unde: ) – abaterea medie pătratică a estimatorului ;
– abaterea medie pătratică a estimatorului ;
67
se obţin valorile: şi care se compară cu valoarea teoretică, astfel:
tα= variabila normală, dacă i= , n>30, preluată din tabela distribuţiei normale, în funcţie
de o valoare arbitrar aleasă a probabilităţii p sau a pragului de semnificaţie α, p+α=1;
aceste valori, de regulă fiind: p=0,9 şi α=0,1; p=0,95 şi α=0,5; p=0,99 şi α=0,01;
tα,n-(k+1) = variabila student, dacă i= , n≤30, preluată din tabela distribuţiei Student, în
funcţie de valoarea stabilită pentru α şi de numărul gradelor de libertate, n-(k+1);
n=numărul observaţiilor; k=numărul variabilelor exogene xj, j= ,(k+1= numărul
parametrilor modelului econometric).
Pe baza celor două valori, tcal şi tα,v, regula de decizie a testului este:
dacă: atunci se acceptă ipoteza nulă, estimatorii nu sunt semnificativ
diferiţi de zero, se renunţă la ei şi la model;
dacă: atunci se acceptă cea de-a doua ipoteză, modelul este corect;
dacă: atunci se reţine modelul fără termen liber de forma:
y=bx+u .
În practică, deoarece t0,05 > 2, economiştii acceptă ipoteza a doua dacă: .
În acelaşi timp, ştiind că şi sunt repartizaţi normal, se poate estima intervalul de
încredere al parametrilor acestora:
Parametrii a şi b vor fi consideraţi semnificativ diferiţi de zero dacă:
4.6. Evaluarea modelului de ajustare
Modelul econometric , este expresia formală a modelului economic real,
, conceput pe baza teoriei economice şi rezultat pe baza unui singur experiment,
unui singur sondaj statistic.
Prin urmare, în această etapă se urmăreşte să se verifice:
1) dacă ipoteza de pornire - x este principalul factor de influenţă al fenomenului y – este
corectă sau nu;
2) dacă legitatea economică dintre cele două variabile este de forma y=a+bx;
68
3) dacă rezultatele obţinute pot fi considerate sistematice – în sensul că se vor obţine aproape
aceleaşi rezultate dacă se va repeta experienţa cu alte sondaje, de volum şi structură (alte
unităţi statistice) diferite.
În general, scopurile urmărite în această etapă se rezolvă cu ajutorul metodei analizei
variaţiei, cunoscută şi sub numele de metoda ANOVA.
Reziduuri mici exprimă o ajustare mai bună a datelor experimentale, dar stabilirea unui
criteriu care să indice cât de mici trebuie să fie reziduurile pentru ca regresia să fie acceptată este o
problemă dificilă.
Metoda analizei variaţiei porneşte de la identitatea:
ridicăm la pătrat rezultând:
Prin ridicarea la pătrat a binomului din partea dreaptă a relaţiei (4.88) rezultă:
, adică xi şi ui sunt variabile independente, dacă variabilele sunt
homoscedastice (ipoteza 3b).
În baza relaţiei (4.90) relaţia (4.89) devine:
Această relaţie arată că variaţia valorilor observate în jurul valorii medii se descompune
într-un termen ce exprimă variaţia valorilor estimate în jurul mediei şi într-un termen datorat
reziduurilor ajustării. Prin urmare, regresia estimată va fi cu atât mai bună cu cât ultimul termen va
fi mai mic, sau cu cât variaţia valorilor estimate va fi mai apropiată de variaţia valorilor observate.
Se alege drept indicator sintetic de precizie a ajustării raportul:
69
Pentru o bună ajustare a ecuaţiei de regresie la datele experimentale, trebuie ca acest raport
să fie apropiat de 1.
Cantitatea R2 se numeşte coeficientul de determinare şi, exprimat procentual, arată cât din
varianţa variabilei dependente este explicată de ecuaţia estimată.
deci poate fi interpretat şi în următorul sens: cu cât se îmbunătăţeşte prognoza valorilor y prin
considerarea modelului estimat.
Se arată că R2 creşte prin includerea mai multor variabile în model, astfel încât are loc o
supraestimare în cazul modelelor extinse. O soluţie propusă este ajustarea coeficientului de
determinare prin:
Ca măsură a asocierii dintre y şi ansamblul variabilelor x se introduce coeficientul de
corelaţie multiplă, notat cu R. Poate fi definit drept coeficientul maxim de corelaţie simplă
(Pearson) dintre y şi o combinaţie liniară de variabile x. Astfel se explică faptul că valoarea
calculată a lui R este întotdeauna pozitivă şi tinde să crească o dată cu mărirea numărului de
variabile independente.
Metoda celor mai mici pătrate poate fi astfel gândită ca o metodă care maximizează
corelaţia dintre valorile observate şi valorile estimate (acestea reprezentând o combinaţie liniară de
variabile x). O valoare R apropiată de 0 denotă o regresie nesemnificativă, valorile prognozate de
regresie nefiind mai bune decât cele obţinute printr-o ghicire aleatorie (sau bazate doar pe
distribuţia lui y).
Deoarece R tinde să supraestimeze asocierea dintre y şi x, se preferă indicatorul definit
anterior, coeficientul de determinare, R2, care este pătratul coeficientului de corelaţie multiplă.
Dacă notăm cu:
SPg = ;
SPreg = ;
SPrez = ;
cele trei sume de pătrate care apar în identitatea introdusă la definirea coeficientului de
determinare, relaţia (4.93). Sumele sunt referite ca suma pătratelor globală (SPg), suma pătratelor
datorate regresiei (SPreg) şi suma pătratelor reziduale (SPrez). Fiecare sumă de pătrate are ataşat un
70
număr de grade de libertate: νg = n-1, νreg = p-1, νrez = n-p şi se poate realiza un tabel al analizei
dispersionale (ANOVA) sub forma:
Tabelul nr.4
Sursa
de variaţie
Suma
de pătrate
Grade de
libertate
Media pătrată F
Regresie SPreg νreg SPreg / νreg = s2reg F = s
2reg / s
2
Reziduală SPrez νrez SPrez / νrez = s2
Globală SPg νg SPg / νg
Testul F de semnificaţie globală
Primul test utilizat în analiza regresiei este un test global de semnificaţie a ansamblului
coeficienţilor (exceptând termenul liber, dacă acesta apare).
Ipotezele testului sunt:
H0: α1 = α2 = … = αp = 0
H1: ()i, astfel încât αi ≠ 0.
În condiţiile ipotezei nule, se demonstrează că statistica F, calculată în tabelul ANOVA
(Fc), este repartizată Fisher-Snedecor Fα,p-1,n-p, încât se poate verifica ipoteza nulă.
Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea
unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus iniţial.
Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă:
Fc >Fα,p-1,n-p .
Teste t – Student
În situaţia când este respinsă ipoteza nulă, se acceptă că ecuaţia de regresie este
semnificativă la nivel global, cu menţiunea că s-ar putea ca anumiţi coeficienţi/estimatori să nu fie
semnificativi. Pentru testarea fiecărui coeficient se utilizează un test t cu ipotezele:
H0: αi = 0
H1: αi ≠ 0.
În condiţiile ipotezei H0 se arată că statistica ti= este repartizată Student cu n – p grade
de libertate, ceea ce permite utilizarea testului t. În expresia care dă statistica testului, s(ai) este
abaterea standard estimată a coeficientului, dată ca rădăcina pătrată din elementul corespunzător
de pe diagonala principală a matricei s2(X’X)
-1 - matricea X a variabilelor independente exogene.
Nerespingerea ipotezei nule arată că datele experimentale nu permit stabilirea necesităţii
prezenţei variabilei xi în model, variabila este nesemnificativă în model.
Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă:
tc >tα, n-p .
71
4.7. Cea mai bună regresie
Procesul de selectare a celei mai bune regresii are loc în contextul în care există o variabilă
dependentă y şi o mulţime de variabile independente posibile x.
Problema poate fi formulată:
Care este acea submulţime minimală de variabile independente care permite estimarea
unui model liniar semnificativ şi adecvat valorilor observate y?
Etapele selectării celei mai bune regresii
1. Se identifică toate variabilele independente posibile (cu alte cuvinte se specifică modelul
maxim).
2. Se specifică criteriul de selectare a celei mai bune regresii.
3. Se specifică o strategie pentru selectarea variabilelor independente.
4. Se realizează estimarea şi analiza modelului.
5. Se evaluează reliabilitatea modelului ales.
Strategii de selectare a celui mai bun model
Metoda tuturor regresiilor posibile
Se estimează toate regresiile posibile.
Se reţin valorile coeficienţilor de determinare; gruparea este după cardinalul mulţimii de
predictori.
Variabile independente R2
{x1}, {x2} … …
{x1,x2}, {x1,x3}, …, {xn-1,xn} …
… …
{x1,x2,…,xn} …
Se analizează valorile R2 şi se reţine acea submulţime de variabile pentru care se realizează
compromisul acceptabil între numărul de variabile şi mărimea coeficientului de determinare.
Selecţia prospectivă
Procedura începe prin includerea în model a variabilei independente având cel mai mare
coeficient de corelaţie cu variabila y. La fiecare pas următor, se analizează fiecare dintre
variabilele neincluse încă în model printr-un test F secvenţial şi se extinde modelul prin includerea
acelei variabile care aduce o contribuţie maximă (probabilitatea critică din testul F este cea mai
mică). Procesul se opreşte atunci când modelul nu mai poate fi extins, criteriul uzual fiind acela al
fixării un prag de intrare (PIN) şi acceptând doar variabilele pentru care probabilitatea critică în
testul F secvenţial este mai mică sau egală cu acest prag.
72
Procedura are ca limitări faptul că anumite variabile nu vor fi incluse în model niciodată,
deci importanţa lor nu va fi determinată. Pe de altă parte, o variabilă inclusă la un anumit pas
rămâne permanent în model, chiar dacă, prin includerea ulterioară a altor variabile, importanţa ei
poate să scadă.
Selecţia retrogradă
Se începe cu estimarea modelului complet şi apoi, într-un număr de paşi succesivi, se
elimină din model variabilele nesemnificative. La fiecare pas, pe baza unui test F parţial, se
elimină acea variabilă care are cea mai mare probabilitate critică. Procesul se opreşte atunci când
nici o variabilă nu mai poate fi eliminată.
Criteriul uzual este acela de fixare a unui prag de eliminare (POUT) şi considerarea
doar a variabilelor care au probabilitatea critică mai mare decât acest prag.
Selecţia pas cu pas
Procedura pas cu pas (stepwise regression) este o combinaţie a celor două metode descrise
anterior. La un pas ulterior al regresiei prospective se permite eliminarea unei variabile, ca în
regresia retrogradă. O variabilă eliminată din model devine candidată pentru includerea în model,
iar o variabilă inclusă în model devine candidată la excludere. Pentru ca procesul să nu intre într-
un ciclu infinit, trebuie ca PIN ≤ POUT.
73
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
Andrei T., Bourbonnais R., Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008
Andrei T., Statistică şi econometrie, Bucureşti, Ed. Economică, 2004
Anghelache C., Capanu I., Indicatori macroeconomici. Calcul şi analiza economică, Ed.
Economică, Bucureşti, 2003
Anghelache C., Tratat de statistică teoretică şi economică, Ed. Economică, Bucureşti, 2008
Begu L.S., Statistică şi software statistic, Ed. Claudet, 1999
Biji E.M, Lilea E., Roşca E., Vătui M., Statistica pentru economişti, Ed. Economică, Bucureşti,
2010
Fair R., Using a Macroeconometric Model to Analyze the 2008–2009 Recession and Thoughts on
Macroeconomic Forecastability, martie 2009, disponibil la adresa: http://fairmodel.econ.yale.edu, (accesat
iulie 2011)
Gâf-Deac I., Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007
Greene W. H., Econometric Analysis, ediţia a 4-a, Prentice Hall International, 2000
Griffiths W. E., Hill R. C., Judge G. G., Learning and Practicing Econometrics, New York, John
Wiley& Sons, 1993
Hymans, S. H., Forecasting and Econometric Models. The Concise Encyclopedia of Economics,
2008, disponibil la adresa: http://www.econlib.org/library/Enc/ForecastingandEconometricModels.html
(accesat septembrie 2011)
Iacob Patache L., Piaţa muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Ed. Universitară, Bucureşti, 2010
Jula D., Introducere în Econometrie, Ed. Profesional Consulting, Bucureşti, 2003
Kennedy P., A Guide to Econometrics, ediţia a 5-a, Cambridge: MIT Press, 2003
Klein L. R. (coord.), Comparative Performance of U.S. Econometric Models. Oxford: Oxford
University Press, 1991
Lapin L. L., Statistics for Modern Business Decisions, Harcourt Brace Iovanovich Publishers,
N.Y., 1987
Patache L., Evoluţia câştigului salarial prin prisma modelului unifactorial, Vol. Educaţie şi
cercetare în spaţiul comun european al învăţământului superior/ Ed. Ex Ponto, vol.1, pp.118-127, 2010
Pecican E. Şt., Tănăsoiu O., Iacob A. I., Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001
Pecican E. Şt., Econometrie ed.a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colecţia Oeconomica,
Bucureşti, 2006
Taşnadi Al., Econometrie, Ed. ASE, Bucureşti, 2005
Zaman G., Econometrie, Ed. Pro Democraţia, Bucureşti, 1998
74
ANEXA 1
Distribuţia F
Tabelul conţine valorile F corespunzătoare ariei indicată pe grafic,
definită de o pereche de grade de libertate. Valorile F sunt tipărite
cu caractere subţiri, iar valorile αsunt redate cu caractere
îngroşate.
Numărul de grade de libertate ale numărătorului mediei pătratice
este înregistrat în capul coloanelor, iar numărul de grade de
libertate de la numitorul mediei pătratice este pe linii.
75
continuare ANEXA 1
76
77
continuare ANEXA 1
78
continuare ANEXA 1
79
continuare ANEXA 1
80
continuare ANEXA 1
81
ANEXA 2
82
continuare ANEXA 2
