Editorial -...

ELEMENTOS DE MATEMATICA

Publicación didáctico científica de la Universidad CAECE - Trimestral

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Colaboradores permanentes: Dr. Luis Santaló

Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta

Lic. Lucrecia Iglesias Prof. Elena García

Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Adherido al Comité Interamericano de Educación Matemática

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Exterior: 17 dólares o el equivalente en moneda de cada país Ejemplar suelto: $ 4,50

Ejemplar atrasado: $ 4,50 Exterior: 5 dólares

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ELEMENTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA de la U N I V E R S I D A D C A E C E

VOLUMEN VII NUMERO XXVI Diciembre 1992

SUMARIO

Editorial 3

H o m e n a j e 5

El impacto de las c o m p u t a d o r a s en la e n s e ñ a n z a de la m a t e m á t i c a en la Universidad

Prof. Beatriz V. Batesteza Prof. Nicolás D. Patetta 6

T e m a s n u e v o s en la e n s e ñ a n z a de la m a t e m á t i c a en el n ivel s e c u n d a r i o

Dr. Luis A. Santaló 11

T e o r í a e l e m e n t a l de c a t e g o r í a s Prof. Jorge E. Bosch 29

P r o p u e s t a d i d á c t i c a Lic. Lucrecia D. Iglesias 36

La c o m p u t a c i ó n c o m o r e c u r s o Prof. Elena Inés García 43

Editorial

Este número, el XXVI, de Elementos de Matemática debe comenzar, lamentablemente, informando a nuestros estimados colegas de la pérdida irreparable que ha sufrido el elenco de la Revista con el fallecimiento de la Sra. María Esther Spivak de Hernández. Por razones obvias, el que es-to escribe se siente inhibido de hablar de la que en vida fuera su esposa. La Comunidad Educativa de la Universi-dad CAECE ha querido sin embargo dejar impreso un tes-timonio de gratitud y amor hacia tan querida colega, ho-menaje que se incluye en página aparte. También, por lo dicho en este número no aparece la sección fija que estaba a su cargo. Como seguramente el deseo de la Sra. de Her-nández era el de que todos siguiéramos trabajando, estare-mos permanentemente en ello.

El presente ejemplar incluye temas de las otras dos secciones fijas; una información bibliográfica interesante; la continuación del trabajo del Profesor Jorge Bosch sobre "Teoría de Categorías" y dos artículos que habrán de inte-resar a nuestros colegas: uno de los Licenciados Beatriz Batesteza y Nicolás Patetta sobre "El impacto de las com-putadoras en la enseñanza de la matemática en la Univer-sidad" y el otro, que contiene la conferencia, que en opor-tunidad de la finalización del 1er Congreso de Educación Matemática, pronunciará nuestro querido maestro Dr. Luis Santaló sobre "Temas nuevos en la enseñanza de la mate-mática en el nivel secundario".

Y ya que aparece la referencia al 1" Congreso de Educación Matemática permítasenos expresar que el mis-mo superó todas las expectativas que concibieron sus orga-nizadores, razón por la cual, los mismos, con la participa-ción del Instituto de Pedagogía de las Ciencias que ha re-suelto recrear la Universidad CAECE, están preparando ya un amplísimo plan de actividades para el año lectivo de 1993, del que se anticipará información en el número de Marzo de Elementos de Matemática.

Sean las últimas líneas de este Editorial para trans-mitir a todos nuestros amigos fervorosos deseos de que puedan obtener aquello a lo que con derecho aspiran, du-rante el próximo año.

Homenaje

La revista Elementos de Matemática y la comunidad educativa de la Universidad CAE-CE, han sufrido la pérdida de una querida cola-boradora y docente, la Prof. María Esther Spi-vak de Hernández, poseedora de una calidad humana extraordinaria. En particular, redactó hasta último momento la sección "Los proble-mas matemáticos en el aula", tema en que era experta y en el que volcó con entusiasmo sus amplios conocimientos del trabajo con alumnos.

Los que tuvieron el privilegio de tenerla co-mo profesora, aún hoy recuerdan la claridad de sus exposiciones y el amor que ponía en la pre-paración y dictado de cada una de sus clases.

Los que fueron sus colegas la recuerdan co-mo una profesional de primera línea, como una muy buena compañera, de personalidad íntegra e intachable.

Los que fuimos sus amigos tendremos por siempre el recuerdo de su calidez y su disposi-ción permanente para tender una mano en el momento preciso.

Es por eso que hoy, desde aquí, rendimos este pequeño pero muy sentido homenaje a quien fuera colaboradora permanente de la re-vista Elementos de Matemática, docente de al-ma, y por sobre todo una mujer excepcional.

Universidad CAECE

6 LAS COMPUTADORAS EN LA ENSEÑANZA MATEMATICA EN LA UNIVERSIDAD

SEL IMPACTO DE LAS CO MPUTADORAS EN LA iWSiÉAPIZA DE LA MATEMATICA EN LA UNIVERSEOAD

Licenciados BEATRIZ V. BATESTEZA - NICOLAS D. PATETTA

Desde la aparición de las computadoras personales, se planteó como un problema ineludible su inserción en el sistema educativo considerán-dose que la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles sería la primera en verse afectada. Nos proponemos en este artículo analizar la situación actual en el nivel terciario de enseñanza considerando las posi-bilidades que brinda la herramienta informática disponible.

Un poco de historia.

Resulta interesante considerar los aportes realizados en los comien-zos de la "revolución informática" producida por la masificación del uso de computadoras personales.

Podemos tomar como uno de los trabajos más representativos en el or-den internacional el simposio convocado por la International Comission on Mathematical Instruction (ICMI), comisión dependiente de la Unión Mate-mática Internacional. El mencionado simposio, bajo el título "La influencia de los computadores y la Informática sobre las matemáticas y su enseñan-za", tuvo lugar en Estrasburgo del 25 al 29 de marzo de 1985, apuntando esencialmente al nivel universitario y preuniversitario de enseñanza.

La metodología de trabajo empleada por la ICMI para la realiza-ción del simposio consistió, en primer término, en la difusión por parte de la Comisión de un documento de discusión sobre el tema. Este docu-mento presenta el advenimiento de las computadoras como detonante de una segunda revolución industrial, la que implica nuevas necesidades, nuevas ciencias, nuevas tecnologías, nuevas idoneidades profesionales, la eliminación de tareas repetitivas y laboriosas, y por supuesto nuevos desafíos sociales para afrontar. El documento se organizó alrededor de tres preguntas claves:

1. ¿Cómo pueden las computadoras y la Informática influenciar las ideas matemáticas, los valores y los avances de la Ciencia Mate-mática?

2. ¿Cómo pueden nuevos contenidos curriculares afrontar las nue-vas necesidades y posibilidades?

PROF. BEATRIZ V. BATESTEZA - NICOLAS D. PATETTA 7

3. ¿Cómo puede el uso de las computadoras ayudar a la enseñanza de las matemáticas?

Este documento fue publicado, en 1984, en "L'enseignement mathé-matique" tomo 30, e invitaba a la presentación de trabajos alrededor de las preguntas claves. Con los trabajos presentados se elaboraron los do-cumentos de trabajo, base del simposio, encontrándose editados los "Pro-ceedings" por Cambridge University Press.

Si prestamos atención a lo debatido sobre los problemas derivados de la implementación del uso de las computadoras en la enseñanza de la mate-mática, encontramos discusiones alrededor de dos cuestiones claves, a sa-ber: problemas para el desarrollo de software para uso educativo y proble-mas para la introducción del computador en los procesos de aprendizaje.

En particular, en lo que a desarrollo de software se refiere, se distin-guen dos categorías: el software amateur, desarrollado por el instructor que lo utiliza en sus propios cursos pero difícilmente transferible a otros usuarios, y el software profesional, más sofisticado en su concepción y mucho más costoso. Una conclusión intermedia lleva a concebir la utili-zación en la enseñanza de herramientas computacionales comunes a la enseñanza y a la utilización de la matemática.

Se plantea la dificultad para obtener software adecuado a las exactas necesidades del docente y al hardware de que éste dispone. Con referen-cia a la utilización de paquetes de software pensados originalmente como herramientas de cálculo, resulta muy ilustrativo considerar la presentación de M. Newmann (Australia). En ella describe algunas experiencias y pro-blemas con la implementación de un "paquete" denominado MATRIX en la enseñanza de álgebra lineal en los cursos universitarios. Dado que la mitad de los estudiantes no utilizó esta herramienta a lo largo del curso, indagó sobre las causas obteniendo las siguientes respuestas:

a. Falta de tiempo para dedicar al aprendizaje de esta herramienta adicional al aprendizaje de lo específico de la asignatura;

b. Necesidad de comprender previamente los conceptos básicos de la asignatura (que se adquieren con ejemplos sencillos y artificia-les), no resultando entonces atractivo para una mayoría de los es-tudiantes afrontar ejemplos más complejos y reales;

c. Desagrado de los estudiantes por el uso de las computadoras; d. Uso en los exámenes. Por dificultades de implementación no era

posible diseñar exámenes en los cuales se utilizara la herramienta computacional.

No vamos a continuar detallando los aportes de este simposio, pero


hemos tocado la cuestión que consideramos fundamental. Más allá de las adecuaciones metodológicas a que obliga la utilización de las computa-doras en la enseñanza, existe una cuestión previa que es disponer de soft-ware. Los paquetes de software para uso específico en la enseñanza son difíciles de obtener y soportar en términos comerciales. Los paquetes de software diseñados para proveer soluciones de problemas matemáticos específicos (se menciona como ejemplo muMath) han sido pensados sin tener en cuenta ninguna consideración didáctica y en general su uso re-quiere el conocimiento acabado del problema a resolver.

Las anteriores consideraciones reflejan acabadamente las dificulta-des que los autores de este artículo han encontrado para la implementa-ción de las computadoras en la enseñanza, a la fecha de realización del simposio, pero dejemos ahora la historia del problema y veamos qué no-vedades han ocurrido desde 1985 hasta el presente.

La situación actual.

No ha variado mucho la situación en lo que al software especialmente diseñado con fines didácticos se refiere, pero sí hay novedades respecto al concebido para el cálculo. En primer lugar, se ha avanzado muchísimo en lo que a "amigabilidad " se refiere. Hoy en día existen paquetes de softwa-re sumamente potentes para el cálculo tanto numérico como simbólico, así como también para la graficación, sumamente sencillos de manipulear.

Tan sólo para ejemplificar, mencionaremos un software comercial muy difundido y económicamente muy accesible: Mathcad. La última versión aparecida a fines del año pasado permite el cálculo simbólico de una manera inmediata y sencilla. Basta tipear una expresión funcional uti-lizando la simbología habitual de la matemática (nada de oscuras traduc-ciones a lenguajes computacionales) y luego con un simple clic del mouse en el renglón elegido de una "ventana" de opciones aparecerá debajo de la expresión su derivada, una primitiva, su desarrollo en serie, etc., todo esto sin necesidad de tener mayor conocimiento sobre el tema, uno de los prin-cipales escollos para la utilización de software con fines didácticos.

El software mencionado no es el más potente ni el más amigable; es simplemente un ejemplo entre muchos. Quizá uno de los productos mas destacables en la actualidad sea el Mathematica, "un sistema para hacer matemáticas mediante un computador", como lo denomina su creador Stephen Wolfram. Este producto, ubicado en el ranking como uno de los diez mejores productos de 1988 por la revista Business Week, es uno de los más completos y amigables de difusión masiva.

PROF. BEATRIZ V. BATESTEZA - NICOLAS D. PATETTA 9

Puede ser utilizado como calculador numérico y simbólico, como un sistema de visualización de funciones y datos, como un entorno de mo-delización y análisis de datos, y una gran cantidad de aplicaciones que no podemos aquí detallar.

Los ejemplos mencionados tienen como objetivo poner en evidencia que en la actualidad se cuenta con software accesible, el que utilizado con una metodología adecuada puede introducirse en la enseñanza de la matemática universitaria.

Mirando hacia el futuro. El párrafo anterior pretende poner en evidencia que se han supera-

do o están por superarse muchos de los escollos existentes algunos años atrás. La situación actual es que una gran mayoría de los estudiantes de disciplinas científicas y técnicas, incluidos entre éstos los estudiantes de Profesorados, tienen a su alcance (económicamente hablando) software que un tiempo atrás hubiéramos llamado sofisticado y las computadoras necesarias para ejecutarlos. Esto ya de por sí hace carecer de sentido la enseñanza de muchos métodos tradicionales de cálculo. Por ejemplo, la enseñanza exhaustiva de los métodos de integración puede llegar a ser tan obsoleta como la enseñanza de los logaritmos decimales para la ope-ratoria aritmética. No es infrecuente observar alumnos que concurren a sus exámenes con potentes computadoras portátiles (laptop), y la prohi-bición de su uso será ridicula cuando este hecho sea masivo. La realidad informática observada en los últimos años hace pensar que esto ocurrirá en un lapso razonablemente breve.

La reflexión final que los autores desean establecer en este artículo es la siguiente: el estado del desarrollo tecnológico actual y las innova-ciones previsibles para los próximos años hacen pensar que la enseñanza de las asignaturas de matemática a nivel universitario, especialmente las dirigidas a formar usuarios de las matemáticas, sufrirán importantes mo-dificaciones tanto en contenido como en metodología, y la mejor manera de avanzar hacia el futuro consiste en la incorporación paulatina de estas innovaciones, lo cual obliga a una capacitación permanente de los docen-tes en el conocimiento de las mismas, así como también en el conoci-miento de nuevos contenidos y nuevos problemas a incorporar con las consiguientes modificaciones metodológicas.

Bibliografía. - Batesteza, B. Análisis de estrategias posibles para la inserción de la In-


formática en la Educación. Congreso de Informática y Educación. Tu-cumán. 1984.

- Biehler, R.; Strasser, R.; Winkelmann, B. Report on the ICMI -Symposium on "The influence of computers and informatics on mathe-matics and its teaching". Bulletin of the International Commission on Mathematical Instruction Nro 20 june 1986.

- Howson, A.; Kahane, J. The influence of computers and informatics on mathematics and its teaching. Proceedings of the Symposium. Cam-bridge University Press.

- Wolfram, S. Mathematica. Addison Wesley. 1991. •

BIBLIOGRAFIA

Mathematica S. Wolfram Addison Wesley. Segunda edición 1991 Se trata de un texto escrito por el principal arquitecto del "Sistema para hacer matemáticas medíante computadoras", denominado Mathematica. Esta segunda edición, completamente revisada, describe todas las posibi-lidades de "Mathematica versión 2" y cubre el uso del mismo sobre Ma-cintosh, PC, Workstation y otros sistemas de computación.

Mathematica soporta la computación numérica, simbólica y gráfica. Pue-de ser utilizado como un entorno interactivo de solución de problemas y como un moderno lenguaje de programación de alto nivel. Sobre algunos sistemas de computación, Mathematica provee documentos interactivos que mezclan textos, gráficos, animación y sonidos.

ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 26, Diciembre de 1992 11

TEMAS NUEVOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA EN EL NIVEL SECUNDARIO!*) |

Doctor LUIS A. SANTALO

El problema de modificar el sistema educativo de un país es uno de los más difíciles de resolver, prestándose a interminables divagaciones y polémicas entre diferentes puntos de vista que obstaculizan y retardan, a veces indefinidamente, la puesta en marcha de los proyectos de reforma. Ello es debido a varias causas; tal vez la más importante es el hecho de que, por haber participado en su momento del sistema educativo, todo el mundo tiene sus propias opiniones, desconfiando de los estudios y reco-mendaciones de los técnicos y especialistas, los cuales son pocas veces escuchados o, por lo menos, no con el interés y fuerza necesarios para que los responsables de legislar al respecto acepten sus puntos de vista, aunque vayan apoyados por argumentos sólidos procedentes de expertos y de congresos nacionales e internacionales.

Por otra parte, las tomas de decisión de las autoridades competentes no son cosas consideradas de urgencia, pues los frutos se ven tan sólo a largo plazo. No se piensa que la parálisis o retrasos pueden perjudicar por años a los educandos y, en consecuencia, a la buena marcha del país.

Todo ello, en épocas de estabilidad o de evolución lenta de la socie-dad y del modo de vivir en la misma, no tiene mayor importancia, pues si la sociedad cambia poco puede admitirse que la educación permanezca estática o cambie muy lentamente. Pero en pocas de cambios rápidos en la manera de vivir, como en la época actual, si la educación permanece estancada pronto se va alejando de la realidad y los educandos pasan a ser preparados para un mundo de otra época, con necesidades muy dis-tintas a las del presente.

La urgencia de los cambios educacionales los comprenden y apoyan la mayoría de los docentes que se dan cuenta de que el mundo de hoy, con sus rápidos avances tecnológicos, necesita una educación diferente, en contenidos y metodología, a la que se aplicaba hace unas pocas déca-das. También los empleadores y quienes necesitan ingresar y desempe-ñarse con eficacia en el mundo laboral del día de hoy se dan cuenta de que, para una misma edad, la educación actual debe ser diferente de la que tenía lugar unos años atrás. Es curioso, que aunque parecería natural

* Conferencia pronunciada en el Congreso de Educación Matemática, Universidad CAECE, Buenos Aires, 31 de octubre de 1992.

12 TEMAS NUEVOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA EN EL NIVEL SECUNDAR: :

que las reformas educativas se originaran siempre en las altas esferas res-ponsables de las mismas, que deberían captar las necesidades presentes y la manera de asegurar a la población una preparación eficiente para que el país pudiera marchar al compás de las naciones más avanzadas, ocurre lo contrario: el pedido de reformas procede mas bien de quienes deberían ser aconsejados e instruidos, es decir, de alumnos, maestros y empleadores.

Todo esto es muy general y seguramente aplicable a todos los nive-les de la enseñanza y a todas las disciplinas, pero para estudiar un caso particular nos vamos a referir al nivel de enseñanza media y a los progra-mas de matemática.

Por suerte, a pesar de que los programas que pueden considerarse vigentes datan de la década de los años 60, la conducción actual de la educación permite bastante libertad para que cada colegio y aun cada profesor, naturalmente dentro de ciertos límites, adapte los contenidos y la didáctica a la manera que estime más conveniente, dada la prepara-ción y las necesidades futuras de los alumnos. Esto hace, por otra parte, que la responsabilidad de los profesores o de los departamentos de ma-temática de cada escuela sea grande, debiendo cada uno de ellos anali-zar y pensar bien acerca de si su enseñanza es la apropiada o no para las necesidades de los alumnos y el mundo en que se mueven, opinando so-bre las posibles modificaciones y discutiéndolas con colegas del mismo o de otros colegios, directamente o a través de reuniones o congresos organizados al efecto.

Dos puntos de vista que parecen comúnmente aceptados, tanto a ni-vel nacional como internacional, son los siguientes:

l e La enseñanza obligatoria debe abarcar un período de 10 años, es decir, la actual escuela primaria de 5 a 12 años debería prolongarse unos tres años, incluyendo, con muchos cambios en ellos, los tres primeros años de la actual enseñanza media, o ciclo básico de la misma. Esto fue recomendado en el Congreso Pedagógico Nacional celebrado en Embal-se (Córdoba) en 1988 y actualmente parece aceptado por los distintos proyectos de la esperada Ley General de Educación. El hecho es impor-tante y auspicioso, haciendo urgente la modificación casi integral de los contenidos y metodología de dicho ciclo básico, que deberá ser una pro-longación natural de la actual escuela primaria. Si se estima que con la nueva enseñanza obligatoria (hasta los 15 años de edad), el alumno debe quedar en condiciones de insertarse en el mundo actual, y moverse con facilidad en el mismo, hay que estar seguro que lo que se enseña es útil al respecto, ayuda a la formación integral del educando y abandona lo

DR. LUIS A. SANTALO 13

mucho que hay de inútil -tanto desde el punto de vista formativo como del informativo- en los programas actuales.

2e En toda la enseñanza media, pero sobre todo en los años siguien-tes al ciclo obligatorio, deberían ponerse en marcha talleres o laborato-rios de Ciencias, con su sección de matemática, destinados a aquellos alumnos más propensos a los estudios científicos que a las humanidades. En estos talleres se podrían tratar temas diversos, dentro del nivel de ca-da año, con el espíritu de motivar la creatividad, detectando los talentos matemáticos y prestándoles la ayuda conveniente. La intervención en las olimpíadas matemáticas podría ser una de las tareas, aunque no la única, pues hay muchos temas que se podrían desarrollar con detalle y que no caben en los cursos formales obligatorios para todos.

Con respecto a los contenidos de matemática en los distintos años, los cambios tecnológicos y el crecimiento de las aplicaciones de la mate-mática en las distintas áreas del saber, obliga a cambios fundamentales. Deben suprimirse muchas cosas obsoletas e inútiles y sustituirlas por otras actualmente útiles para muchas necesidades profesionales y para la comprensión de cómo funcionan muchas de las tecnologías del presente.

Queremos mencionar algunos temas que no figuran en los programas actuales y que sería recomendable introducir, con mayor o menor intensi-dad, en cada uno de los años de la escuela media. Se trata tan sólo de ejemplos y cada profesor debería ir buscando otros por el estilo que sirvie-ran tanto como motivación para el estudio, como para desarrollar las cua-lidades de deducción, síntesis y creación de la matemática. Dejando aparte la imperiosa necesidad de dar cabida abundante a temas de probabilidades y estadística, lo mismo que al uso de la computación, vamos a referirnos a ejemplos más especiales, como ejemplos de otros muchos temas que pue-den verse en publicaciones de la UNESCO, en revistas destinadas al pro-fesorado de la enseñanza media, en libros de texto nacionales y extranje-ros y, especialmente, en los Anuarios de los últimos años publicados por la Asociación Nacional de Profesores de Matemática (nivel medio) de los Estados Unidos de Norte América. Podemos citar, como ejemplos:

1. Discrete Mathematics across the Curriculum, 1991. Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

2. Calculators in Mathematics Education, 1992. Yearbook of the NCTM.

3. Estándares curriculares y de evaluación para la educación Matemática (NCTM), traducción española por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES, Sevilla, 1991.


4. Para pensar mejor, de Miguel de Guzmán, Editorial Labor, Bar-celona, 1991.

1. ITERACIONES

Es clásico el estudio de funciones y = /(x) y de sus representaciones gráficas. Pero es menos común, y sin embargo actualmente muy útil e ins-tructivo, el estudio de las iteraciones sucesivas f(f(x)), /(/(/(x)))), . . . anali-zando los casos de convergencia o divergencia y su comportamiento. El cálculo de iteradas sucesivas de una función suele ser casi imposible de re-alizar sin una calculadora, pero con el uso de ellas -bastan las de bolsillo-se pueden resolver muchos problemas, de muy variable grado de dificultad.

Empecemos con un ejemplo bien sencillo. Consideremos la iteración xü) = (1/2) (x + 3) , x(2) = (1/2) (xd>+ 3) = (1/4) (x + 4) , . . .

y, en general x(n) = (1/2) (x(n-D + 3)

Se pueden pensar varias cuestiones: 1. Obtener la forma general de x ^ . Procediendo por inducción se

llega a x(n) = 3 + x /2n-3/2

Por tanto, para n —• xW -* 3, independientemente del valor inicial x. 2. El mismo resultado anterior se puede obtener observando que pa-

ra x -» tanto xW como x(n_1) deben tender al mismo límite, suponien-do que existe y es finito, con lo cual tenemos la ecuación L = (L+3)/2 y por tanto L = 3.

3. Es curiosa la interpretación geométrica. Dibujemos las rectas y = x, y la y = (x+3)/2. Se encuentran en el punto P(3,3) (fig. 1). Partien-do de un punto cualquiera x, el sucesivo x(1> será la ordenada de A,, que trasladada sobre la recta y = x nos da A'j y luego A2. Procediendo sucesi-

vamente se ve que An tiende a P. Lo mismo si se parte de un punto de abscisa mayor que 3.

4. Con esto es fácil pasar a la generalización

xd) = (x + h ) / k , . . . , x ( n ) = (x(n-D + h ) / k

Se observa que x(") conver-ge para | k | > 1 y diverge para


| k | < 1. En el caso de convergencia, el límite es L = h / (k—1). Es intere-sante hacer los cálculos sucesivos con una calculadora, para comprobar

el resultado, para valores diversos de h, k, siempre números enteros.

Conviene que los alumnos ob-serven que a partir de cualquier valor inicial de x se tiende siempre al lími-te h / (k - 1) si | k | > 1.

El método gráfico anterior se puede aplicar a otras funciones.

Por ejemplo al caso xW = eos x, x(2) = cos(cos x) , . . . . Se observa en

este caso, siempre con una calculadora, que x(n) —• 0,73908 . . . , que es la abscisa del punto en que la recta y = x corta a la curva y = eos x, o sea, la raíz de la ecuación x = eos x (fig. 2).

Conviene hacer el cálculo, y también la representación gráfica, para distintas funciones, tales como xW = x , x(*> = x2 - 3 , xW = sen x , . . .

FUNCIONES LOGISTICAS

Un caso de iteración muy estudiado es el de la función Xü) = 4 x ( l - x ) , x(2) = 4x(D (1 -x<»), . . . , x(n) = 4x(n-!) (1 - x(n-D)

para 0 < x < 1. Los transformados sucesivos de un valor x se dice que constituyen la órbita de x. Esta ecuación es utilizada en biología para es-timar el número de individuos de una población a través de los períodos de tiempo 1, 2, 3, . . . El valor de x y sus transformados sucesivos x^), x®, . . . representan el porcentaje de la población respecto de un límite superior preestablecido. Se comprende que al transcurrir el tiempo, por un lado el número de individuos x(") es proporcional a x^-1) (cuantos más individuos, mayor la reproducción y por tanto mayor el crecimien-to), pero también, al acercarse al límite máximo posible de individuos, o sea, al acercarse xW a 1, la población decrece por falta de alimentos, ex-tinguiéndose para x = 1. El factor 4 se introduce por el hecho de que la órbita de x(') = 4x(l-x), para distintos valores iniciales de x, presenta ciertas características especiales.

Por ejemplo: a) partiendo de 3/4 = 0,75 se obtiene x(n> = 0,75 (constante), o sea,

la población permanece estacionaria; b) partiendo de x = 0,5 se obtiene x(D = 1 , x(2) = x(3> = . . . = 0;


c) para otros valores iniciales se obtienen sucesiones muy variadas e impredecibles. Así:

Para x = 0,3: 0,84 ; 0,538 ; 0,994 ; 0,022 ; 0,088 ; 0,321 ; 0,871 ; 0,448 ; 0,989 ; 0,043 ; 0,166 ; . . .

Para x = 0,51: 0,999 ; 0,001 ; 0,006 ; 0,025 ; 0,099 ; 0,356 ; 0,917 ; 0,301 ; 0,0842 ; 0,530 ; 0, 996 ; 0, 014 ; . . .

Es decir, con sólo pasar de x = 0,50 a x = 0,51 la sucesión se com-porta de manera completamente diferente. Lo mismo ocurre si compara-mos el caso x = 0,75 (punto fijo) con el valor muy próximo 0,749, para el cual resulta la sucesión:

x = 0,749: 0,752 ; 0,746 ; 0,758 ; 0,734 ; 0,781 ; 0,684; 0,865 ; 0,466 ; 0,995 ; 0,018 ; 0,071; 0,262 ; . . .

En general es frecuente que partiendo de valores iniciales muy pró-ximos se obtengan órbitas muy diferentes. Por esto se dice que se trata de sucesiones caóticas, que actualmente se están estudiando mucho por sus aplicaciones a las ciencias naturales.

De manera general, han sido muy estudiadas las llamadas funciones logísticas

x(D = Ax(l - x ) , . . . , x(n) = 7ix(n-!) (1 -x(n~D) para distintos valores de X. Se han obtenido resultados curiosos. Por ejem-plo, para 3 < A. < 3,43 parece que todas las órbitas oscilan entre dos polos (ciclo de orden 2). Para 3,43... < A. < 3,53... aparecen ciclos de orden 4, o sea, la sucesión oscila alternativamente alrededor de 4 valores. Para A, = 3,83 se obtiene un ciclo de orden 3. Para detalles, ver el Yearbook (1991) de la NCTM citado en la bibliografía (págs. 178-194).

OTROS EJEMPLOS DE ITERACION

a) Consideremos la iteración

x(i) = / T + x " ; x(2) = 7 l+xd) , . . . , x(n) = / 1 + x N )

Partiendo de cualquier valor inicial x > 0 se calcula con la calcula-dora la suces ión y se consta ta que t iende s iempre al valor r0 = 1,618033989.... Se puede hallar este valor directamente observando que si existe el límite de xW para n —• este debe satisfacer a la ecua-ción r0 = 7 l + r0 o sea r0 - r0 - 1 =0 , cuya raíz positiva es

r0 = (1/2) (1 + / 5 ~ ) = 1,61803 . . .


Esta constante r0 aparece en muchos lugares de la geometría, y se llama el número de oro. Los rectángulos tales que la razón del lado ma-yor al lado menor vale r0 se llaman rectángulos áureos.

b) Si se considera la iteración x(D = 1 + 1/x ; x(2) = 1+1/xCD ; . . . ; xW = 1 +l/x(n-!)

se observa que, cualquiera que sea el valor x de partida (x > 0), también la sucesión tiende al número de oro r0, puesto que debe ser r0 = 1 + 1 / r0, que es la misma ecuación de segundo grado anterior.

c) La sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21, . . . , x(n> = x(n-D + x(n"2), se llama la sucesión de Fibonacci. Comprobar y demostrar que el límite de x ( n ) ¡ x ( n - i ) e s también el número de oro r0. Respecto a la división áurea es históricamente importante el libro Divina Proportione de Luca Pac-cioli (1445-1514).

d) Otra sucesión interesante es la definida por X(n+D = (X(n))2 n _ 1

Partiendo de x = 0,5 se obtiene la sucesión 0,5 ; -0,75 ; -0,4375 ; -0,80859 ; -€,346176 ; -0,880162 ; . . .

que al llegar a la iteración x(8>, x(9>, x(10>, ... se observa que los resultados tienden alternativamente a los valores 0 y -1 , cualquiera que sea el valor inicial entre - 1 y +1.

e) Comprobar con la calculadora que cualquiera que sea el valor ini-cial x, la iteración

X(D = (1/2) (x + 2/x) , . . . , x(n) = (1/2) (x(n-l) + 2/x(n-D)

tiende siempre a V~2~= 1,41421356...

2. MUESTRAS

La teoría de muestras, es decir, la manera de obtener ciertas caracte-rísticas de una población a partir de una "muestra" limitada de la misma, es cada día de uso más frecuente en la vida diaria. Las encuestas de opi-nión, el "rating" de la televisión, los análisis de mercado, la posible in-fluencia del fumar en las enfermedades del pulmón, son ejemplos de la teoría de muestras. No se trata, al nivel de la enseñanza media, de pre-tender dar una teoría completa ni de las técnicas que deben adoptarse en cada caso particular, lo cual pertenece a niveles superiores de la ense-ñanza, pero sin embargo hay que procurar desde los primeros años del nivel medio dar una idea simplificada y aproximada de cómo se opera y de cómo se pueden obtener resultados aproximados utilizando solamen-


te conjuntos parciales (muestras) de una población. Vamos a considerar algunos ejemplos.

1. Frecuencia de las vocales

La palabra "frecuencia", originada en la estadística, es de uso co-mún y en la escuela hay que tomarla como palabra corriente puntuali-zando, si es necesario, su significado preciso en cada caso. Se habla, por ejemplo, de la frecuencia con que pasan los colectivos de cierta lí-nea, o de la frecuencia con que llegan o salen los aviones en el aeropar-que, o de la frecuencia con que una persona va al cine, o de la frecuen-cia de lluvias en una determinada época o región. Un ejemplo fácil de realizar y muy instructivo, es el cálculo de la frecuencia de las letras vocales en el idioma castellano. No se puede considerar todo lo escrito, ni sería correcto tomar solamente las palabras del diccionario, pues al-gunas palabras se utilizan mucho más que otras. Se trata de su frecuen-cia en los libros comunes de literatura o en los artículos de los diarios o revistas. Para calcularla hay que elegir una "muestra". Se pide que cada alumno de la clase elija un libro, luego al azar una página del mismo, y luego 10 líneas de la página. Los párrafos elegidos deben ser diferentes para cada alumno, tanto para que no se copien el resultado como para tener muestras distintas y, por tanto, una mayor exactitud en el resulta-do. Dentro de las 10 líneas elegidas, cada alumno debe contar el núme-ro total de letras, sea N, y luego los números N(a), N(e), N(i), N(o), N(u) de cada vocal. Los cocientes N(a)/N, N(e)/N, . . . etcétera, serán las frecuencias de la respectiva vocal en la muestra considerada. Se comprobará que los resultados obtenidos serán diferentes para cada alumno (puede haber algunos iguales), los cuales no diferirán mucho de los siguientes

a e i o u

0,10 0,12 0,06 0,08 0,035

que son (aproximadamente) las frecuencias reales de cada vocal en el idioma castellano. Tomando la media aritmética de los valores obtenidos por cada alumno, se obtendrán valores casi seguro más aproximados a es-tas frecuencias reales. Si algún alumno ha obtenido algún resultado muy diferente a los anteriores, por ejemplo, para la letra a una frecuencia fuera del intervalo (0,07; 0,14), es muy probable que no haya contado bien.

La experiencia es muy educativa, pues enseña que si bien no son de


esperar resultados exactos (como en los problemas de la matemática clá-sica) se pueden obtener aproximaciones útiles para apreciar, por ejemplo, el número de letras a en 20 páginas de un libro o estimar (midiendo la frecuencia) si un símbolo de un escrito criptográfico es representante o no de alguna de las vocales. Naturalmente que lo hecho para las vocales podría hacerse para las demás letras. Hay que hacer notar que la frecuen-cia de las letras es una característica del idioma, variando de uno a otro.

2. Números de peces de un lago

Como no hay que pensar en contarlos uno a uno, se pesca una mues-tra, supongamos de M peces, y después de marcarlos con alguna señal se devuelven con vida al lago. Al cabo de un tiempo prudencial (algunos días) se pesca otra cantidad, sea N, de peces. Si entre ellos hay N* de los antes marcados, se tiene la proporción

M N* T N

que permite calcular el número total T de los peces del lago. Natural-mente que es un cálculo aproximado, que puede variar con la muestra elegida, por lo cual hay que repetir la experiencia varias veces, pero es una prueba de que la matemática (o la estadística) permite decir algo, aunque de manera aproximada, sobre problemas imposibles de calcular exactamente.

3. Una clase práctica

Para poner de manifiesto el método de las muestras, tomemos una caja de fósforos de madera que contenga, por ejemplo, un número total de ellos del orden de los 500. Un problema puede ser el de averiguar el número total de fósforos sin contarlos uno por uno. Es el mismo proble-ma anterior de los peces de un lago. Se toma un puñado de fósforos, sean M, y se les hace una determinada señal. A continuación se mezclan de nuevo con todos los demás. Se saca luego de la mezcla otro puñado que resulte, por ejemplo, de N fósforos y se cuenta el número N* de ellos que están marcados. Se tiene la misma proporción del apartado anterior, en que T es ahora el número total de fósforos buscado.

También, si se conoce T y se quiere estimar el número de fósforos marcados (por ejemplo podrían ser los que tienen un determinado defec-to), se puede despejar M de la misma proporción anterior. Si se repite la

20 TEMAS NUEVOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA EN EL NIVEL SECUNDARIO

operación varias veces por distintos alumnos, se observará que se obtie-nen resultados bastante concordantes con la realidad.

El caso de las encuestas de opinión o del "rating" de la televisión es el mismo anterior: se toma una muestra y de la proporción en ella de ciertas características se extrapola a toda la población. Lo importante es saber tomar la muestra de manera que sea lo suficientemente numerosa y que sea realmente al azar, sin determinado sesgo hacia alguna de las ca-racterísticas que se desean conocer.

3. GRAFOS

Un grafo en el plano es un conjunto discreto de puntos, llamados vér-tices, mas un conjunto de arcos o aristas, que tienen uno o los dos extre-mos como vértices. Supondremos siempre grafos conexos, es decir, tales que se puede pasar de un vértice a cualquier otro por un camino formado por arcos. Los arcos no pueden tener otros puntos comunes que los vérti-ces. Un camino cerrado formado por arcos se llama un circuito. Si el grafo carece de circuitos se llama un árbol, como el tercer ejemplo de la fíg. 3.

Si un circuito no contiene vértices en su interior, se dice que es una cara del grafo. Llamaremos V al número de vértices, A al número de ar-cos y C al número de caras.

La relación fundamental es V - A + C = 1

que se puede comprobar en los ejemplos de la fig.3 y en muchos grafos que los alumnos dibujarán por su cuenta. La demostración es muy sim-ple: basta ir quitando arcos que no rompan la conexión y observar que cualquiera que sea el arco que se quite se mantiene constante la relación V - A + C. Se llega así a un último arco, para el cual es V = 2, A = 1, C = 0 y por tanto V - A + C = 1 para el grafo de partida.

Otra relación importante es que si se representa por N¡ el número de vértices a los que concurren i arcos, se verifica

Fig.3


Nj + 2N2 + 3N3 + 4N4 + . . . = 2A puesto que cada arco viene contado dos veces, una para cada uno de los vértices extremos. Por tanto se puede escribir (Nj + N3 + N5 + ...) + 2(N2 + 2N4 + 3N6 +...) + 2(N3 + 2N5 + 3N7 + ...) = 2A de donde se deduce que la suma N¡ + N3 + N5 + . . . debe ser un número par. Es decir, llamando grado de un vértice al número de arcos que con-curren en el mismo se tiene: en todo grafo el número de vértices de grado impar es un número par. Por tanto, por ejemplo, no puede haber grafos con un solo vértice de grafo impar.

Grafos eulerianos Un juego instructivo es el de averiguar si en un determinado grafo

se pueden recorrer todos los arcos sin pasar por cada uno de ellos más de una vez. En este caso el grafo se llama euleriano. Por ejemplo, los dos primeros grafos de la fig. 4 son eulerianos y los dos segundos no lo son.

Después de dar varios ejemplos para que los alumnos averigüen si son eulerianos o no, se puede demostrar el siguiente criterio, debido a Euler: para que un grafo sea euleriano, es necesario y suficiente que el número de vértices a los que concurren un número impar de arcos sea 0 o 2 . La demostración es simple. Si en un vértice concurren un número impar de arcos, sólo puede ser comienzo o final de un camino euleriano (que recorra todos los arcos), luego su número no puede ser mayor de 2. En los vértices en que concurren un número par de arcos, cada vez que se llega se puede volver a salir, es decir, el vértice puede ser comienzo o final del recorrido, o simplemente vértice intermedio.

Grafos hamiltonianos Un grafo se dice que es hamiltoniano si existe un recorrido cerrado

circuito) que pasa por todos los vértices una sola vez, pudiendo dejar ar-


Nx + 2N2 + 3N3 + 4N4 + . . . = 2A

puesto que cada arco viene contado dos veces, una para cada uno de los vértices extremos. Por tanto se puede escribir (Nj + N3 + N5 +...) + 2(N2 + 2N4 + 3N6 + ...) + 2(N3 + 2N5 + 3N7 + ...) = 2A de donde se deduce que la suma Nx + N3 + N5 + . . . debe ser un número par. Es decir, llamando grado de un vértice al número de arcos que con-curren en el mismo se tiene: en todo grafo el número de vértices de grado impar es un número par. Por tanto, por ejemplo, no puede haber grafos con un solo vértice de grafo impar.

Grafos eulerianos Un juego instructivo es el de averiguar si en un determinado grafo

se pueden recorrer todos los arcos sin pasar por cada uno de ellos más de una vez. En este caso el grafo se llama euleriano. Por ejemplo, los dos primeros grafos de la fig. 4 son eulerianos y los dos segundos no lo son.

Después de dar varios ejemplos para que los alumnos averigüen si son eulerianos o no, se puede demostrar el siguiente criterio, debido a Euler: para que un grafo sea euleriano, es necesario y suficiente que el número de vértices a los que concurren un número impar de arcos sea 0 o 2 . La demostración es simple. Si en un vértice concurren un número impar de arcos, sólo puede ser comienzo o final de un camino euleriano (que recorra todos los arcos), luego su número no puede ser mayor de 2. En los vértices en que concurren un número par de arcos, cada vez que se llega se puede volver a salir, es decir, el vértice puede ser comienzo o ñnal del recorrido, o simplemente vértice intermedio.

Grafos hamiltonianos Un grafo se dice que es hamiltoniano si existe un recorrido cerrado

( circuito) que pasa por todos los vértices una sola vez, pudiendo dejar ar-

F i g . 4


eos sin recorrer. Para saber si un grafo dado es o no hamiltoniano no hay un criterio simple general, como en el caso de los grafos eulerianos. Hay criterios especiales, por ejemplo: si un grafo de V vértices es tal que en todos ellos concurren por lo menos V/2 arcos, el grafo tiene un circuito hamiltoniano. Comprobarlo con algunos ejemplos.

El nombre de hamiltoniano proviene de haber sido Hamilton quien en 1859 propuso el problema de la existencia o no de un camino cerrado formado por aristas de un dodecaedro, que pase por todos los vértices una sola vez. El problema es posible, como indica la primera figura de la fig. 5. Los grafos segundo y tercero de la misma figura no son hamiltonianos.

A veces no se impone la condición de volver al vértice inicial, admi-tiéndose caminos que pasen por todos los vértices una sola vez y empie-cen en uno y terminen en otro. Así el cuarto grafo de la fig. 5 puede re-correrse partiendo de A y llegando a B, pasando por todos los vértices, pero no tiene un circuito con esta propiedad.

Muchos ejemplos se encuentran en el libro de Harary citado en la bibliografía y es instructivo que los alumnos inventen grafos que sean o no eulerianos o hamiltonianos (en el sentido estricto de caminos cerrados o en el menos fuerte de caminos abiertos).

4. GRAFOS Y MATRICES La manera más natural de introducir las matrices es considerarlas

como representantes de transformaciones lineales, observando cómo el producto de matrices aparece como resultado de la composición de trans-formaciones lineales.

Así, la transformación x' = 3x - 2y , y' = x + 4y está representada por la matriz


Si a continuación se realiza la transformación

x" = -2x ' + y' , y" = 3x' + 5y' cuya matriz es

- 2 1

3 5

la transformación producto es la x" = -5x + 8y , y" = 14x + 14y , cuya matriz es el producto

Obsérvese que hay que hacer el producto de las transformaciones de derecha a izquierda. Conviene hacer dibujos de figuras fáciles y sus transformadas por transformaciones lineales, haciendo el producto de ambas y observando que la matriz resultante es el producto de las matri-ces primitivas.

Por ejemplo, la transformación T ^ x ' = 2x , y' = x + y) cuya matriz

es | | lleva la fig. 6 a) a la fig. 6 b); x 1 1 /

y la transformación T2(x" = +x' - y ' , y" = - x ' + 2y') de matriz

lleva la fig. 6 b) a la fig. 6 c). La transformación producto T2 • Tx (x" = +x - y , y" = 2y) de

matriz | \ lleva directamente la fig. 6 a) a la fig. 6 c).

Fig. 6 a) Fig. 6 b)


La teoría de grafos permite practicar el producto de matrices con ejemplos diferentes a los anteriores. Para mayor generalidad podemos considerar grafos "orientados", en que a cada arco se le asigna un senti-do. Entonces, a cada grafo de vértices A1; A 2 , . . . se le puede asignar una matriz cuyo elemento (i, j) (fda i, columna j) indica el número de arcos que van del vértice A¡ al vértice Aj. Así, un grafo y la correspondiente matriz son

A. A.2 A3

Aj 0 0 1

M = A2 1 0 1

A3 0 1 0

Se observa que los elementos de las matrices

(0 1 ( 1 0 n ( 0 1 1 \ M2 = 0 1 1 | M3 = 1 1 1 M4 = 1 1 2

l 1 0 i j 1 ° 1 1 i 1 1 w indican, respectivamente, el número de caminos compuestos de 2, 3 y 4 arcos que unen A¡ con Aj. Naturalmente que en estos caminos algunos arcos pueden repetirse.

Un ejemplo un poco más complicado es el grafo

n g . 0 ^ ^

í

A 4

M =

At A2 a3 a4

At 0 1 1 1

a2 1 0 0 1

a3 1 1 0 1 a4 1 0 2 0

Las matrices

M2 =

3 1 2 2 1 1 3 3 2 1 3 2 2 3 1 1

M3 =

( 5 5 1 5 4 3 6 5 6

^ 7 63 8

6 5 6 6


indican los caminos compuestos de 2 arcos (M2) o de 3 arcos (M3) que unen Aj con Aj. Así, de M2 se deduce que se puede ir de A2 a A3 por 3 ca-minos diferentes de 2 arcos cada uno (A2A tA3 , A2A4A3W , A2A4A3(2>), pues de A4 a A3 se puede ir a través de 2 arcos diferentes. La matriz M3

nos dice, por ejemplo, que de A3 a A4 se puede ir por 6 caminos diferen-tes de 3 arcos cada uno (A 3A 2A!A 4 , A3A4A3( !)A4 , A3A4A3<2)A4, A3A¡A2A4, A3AjA3A4, A3A4A1A4).

Ejemplos de este estilo ayudan a calcular el producto de matrices y a descubrir los recorridos posibles de un cierto número de arcos que unen dos vértices del grafo.

5. TESELADOS O MOSAICOS Se llama mosaico o teselado, a un grafo que cubra todo el plano,

cumpliendo las condiciones siguientes: 1. Todo punto del plano que no pertenezca a un arco ni sea un vérti-

ce pertenece a una y a una sola cara. 2. Los arcos (o aristas) pertenecen a las dos caras que limitan y los

vértices a todas las caras y arcos que concurren en ellos. 3. Las caras tienen el diámetro acotado superior e inferiormente, es

decir, es inferior a una cierta constante y superior a otra, también dada (ello quiere decir, que no hay caras infinitamente grandes ni caras infini-tamente pequeñas).

4. En todo vértice concurren por lo menos 3 arcos y, por tanto, por lo menos 3 caras.

Con estas condiciones, se propone realizar las siguientes tareas: a) Dibujar mosaicos cuyas caras sean todas triángulos congruentes.

Basta partir de un triángulo cualquiera y trazar sucesivamente paralelas a los lados opuestos, alternando, si se quiere, con simetrías. Ejemplos:

Fig. 9

7

b) Dibujar mosaicos cuyas caras sean todas cuadriláteros congruen-tes. Se puede partir de cualquier cuadrilátero e ir tomando sus simétricos respecto de los puntos medios de los lados. Ejemplo:

26 TEMAS NUEVOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA EN EL NIVEL SECUNDARIO

c) Dibujar mosaicos cuyas caras sean todos pentágonos congruentes. Se observa que en este caso el pentágono que se repite no puede ser cual-quiera. Por ejemplo, no pueden ser todas las caras pentágonos regulares congruentes, pues en este caso la suma de los ángulos en un vértice no puede ser 360°. Se han estudiado aquellos pentágonos que pueden ser ca-ras de mosaicos, todas congruentes. He aquí unos ejemplos:

d) Cubrir el plano con exágonos congruentes. En este caso pueden ser exágonos regulares, o bien deformaciones afines del mosaico resul-tante. Ejemplos:

Fig. 12

e) No se puede cubrir el plano por mosaicos cuyas caras, congruentes o no, tengan todas más de 6 lados. Este es un teorema importante y curio-so. Una idea de la demostración es la siguiente. Supongamos que cada ca-ra tiene n lados. Puesto que cada lado o arco pertenece a dos caras se tiene nC = 2A. Como hemos supuesto que en todo mosaico en cada vértice con-curren por lo menos 3 aristas, se tiene también 3V < 2A. Sustituyendo C = 2A/n , V < (2/3)A en la relación de Euler V - A + C = 1, resulta [(2/3) - 1 + 2/n] > 1/A y como A —> °° al considerar todo el mosaico resulta n < 6.


Obsérvese que se trata de una "pseudodemostración" intuitiva, pues se aplican valores de V, A, C que, para el mosaico completo, son todos infinitos. Para hacerla rigurosa, lo que no es difícil, hay que considerar el grafo que aparece como parte del mosaico interior a un círculo de radio R y pasar luego a R —* pero la idea es la misma anterior.

Obsérvese también que el teorema supone la condición 4 de que en cada vértice concurren por lo menos 3 arcos. En caso contrario, se puede cubrir el plano con mosaicos de caras congruentes que tienen cualquier número de lados. Ejemplos:

Conviene mostrar a los alumnos algunos cuadros de Escher para ver cómo se puede cubrir el plano con figuras congruentes de formas muy diversas, colocadas convenientemente.

6. MOSAICOS DE VORONOI

Supongamos un rectángulo, o mejor el plano de una ciudad, e indique-mos en el mismo algunos puntos P|,P2, . . . , los cuales pueden significar, por ejemplo, la posición de escuelas, hospitales, sucursales de correo, bo-cas de subterráneo u otras oficinas públicas, y se quieren señalar en el ma-pa las zonas formadas por los puntos que distan de cada uno de los Pj me-


nos que de cualquier otro de la sucesión dada. Sea, por ejemplo, el punto P,. Los puntos que distan menos de P, que de otro punto P¡, son los del se-miplano formado por la mediatriz del segmento P ^ j que contiene P,. Tra-zando estas mediatrices para los pares P,P2, PjP3, P,P4,... ellas limitarán un polígono convexo (intersección de semiplanos) que contiene en su interior el punto Pj como único de la sucesión dada. Haciendo lo mismo para todos los demás puntos, se tendrá el llamado mosaico de Voronoi correspondien-te a los puntos Pj, P2, P 3 , . . . en el cual cada cara contiene un solo punto P r

Se observa que, en general, supuestos los puntos de partida dados al azar, las caras resultan en término medio exagonales. Se llaman también mosaicos de Dirichlet (Coxeter, pág. 53) y tienen muchas aplicaciones, incluso en teoría de números, pero sobre todo para delimitar en un mapa o plano las zonas cuyos puntos distan menos de un punto (el correspon-diente a la zona) que de los demás de la sucesión dada.

A la bibliografía general mencionada al principio, podemos añadir, para algunos de los temas especiales tratados, la siguiente:

H. S. M. COXETER, "Introduction to Geometry", J. Wiley, New York, 1961.

M. C. ESCHER, "Le monde de Escher", Chene, París, 1977. F. HARARY, "Graph Theory", Addison-Wesley, Reading, 1969. L. A. SANTALO, "Mosaicos Aleatorios", Revista de la Real Acade-

mia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Tomo 82, págs. 483-522, Madrid, 1988. •


TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS

Profesor JORGE E. BOSCH

(Quinta Parte)

Criterio práctico para subcategorías Para no tener que realizar demostraciones tan minuciosas y rutina-

rias como la que acabamos de esbozar para las inclusiones, es conve-niente formular un criterio general que permitirá definir subcategorías de categorías previamente dadas. A saber:

Sea B una categoría y consideremos los siguientes datos: (a) Una subclase de la clase de los objetos de B; a esta subclase

llamémosla | A |; luego, | A \ está incluida en \B\; (b) Para cada cupla (X,Y) de elementos de | A |, llamemos A(X,Y) a

una cierta subclase, bien determinada, de B(X,Y); se tendrá entonces que A(X,Y) está incluida en B(X,Y);

Supongamos que estos datos satisfagan las dos condiciones si-guientes:

(i) Para todo X perteneciente a \A \ el morfismo idéntico de X en B pertenece a A(XPC);

(ii) Para cada triple (X,Y,Z) de objetos de A, y para cada cupla (f,g) tal que f € A(X,Y) y g € A(Y,Z), el morfismo compuesto gof en B pertenece a A(X, Z);

entonces, si se agrega como dato (c) El compuesto en A de los morfismos f y g mencionados en (ii) es

el compuesto gof en B, los datos (a), (b), (c), precedentes, determinan una categoría A que

es subcategoría de B. Este enunciado constituye en realidad un teorema, cuya demostra-

ción queda a cargo del lector. Hay que reconocer que dicho enunciado es largo, pero esta longitud se ve compensada por el hecho de que, por apli-cación de él, se podrán acortar sensiblemente las demostraciones de que una cierta categoría es subcategoría de otra. Obsérvese, en particular, que no hace falta demostrar en cada caso que A es categoría, pues el teorema precedente afirma que, si los datos (a), (b) y (c) cumplen (i) y (ii), A re-sulta ser categoría y, además, subcategoría de B.

Ejemplo. Demostremos que, mediante elecciones adecuadas, los bimorfismos

de una categoría cualquiera B forman una subcategoría de ésta. Refirién-

30 TEORIA ELEMENTAL DE CATEGCIUAS

donos al enunciado del teorema precedente (criterio para subcategorías sea: (a) \A | = \B |; (b) Para toda cupla (X,Y) de objetos de B, sea A(X,Y) la subclase de B(X,Y) formada por todos los morfismos de X en Y que son bimorfismos respecto de la categoría B\ (c) Si / y g son com-ponibles en B, tomemos como composición de ellos (en el orden dado respecto de A, al compuesto gof en B. Apliquemos ahora el criterio:

(i) Sea X perteneciente a | A | , o sea a B, y consideremos su morfis-mo idéntico en B, i x ; éste es obviamente bimorfismo, como puede de-mostrar el lector; luego l x £ A(X,X);

(ii) Sean los bimorfismos f £ B(X,Y), g £ B(Y,Z); sabemos que su composición en B, que designamos por gof, es a su vez bimorfismo de X en Z (Teorema 3), luego gof £ A(X,Z).

Queda probado que los datos (a), (b), (c), que hemos definido más arriba, satisfacen las condiciones del criterio anterior; luego tales datos definen una categoría A que es subcategoría de B, o sea A<B.

Observación: No hemos demostrado que los bimorfismos de B, que son los morfismos de A, sean también bimorfismos de A. Esto surgirá del teorema que sigue.

Objetos y morfismos especiales en subcategorías

Teorema 9. Sea A < B ; luego:

(i) Si X es objeto inicial de B y X £ | A | , y además A(X,Y) * <j) para todo objeto Y de A, entonces X es también inicial en A; si X es fi-nal en B y X £ A, y además A(Y,X) * (j) para todo objeto Y de A, enton-ces X es también final en A; si X es nulo en B y X £ | A | , y además A(X,Y) * (j) * A(Y,X) para todo objeto Y de A, entonces X es también nulo en A.

(ii) Si / e s monomorfismo (respectivamente epi, bi, constante) en B, y / es morfismo de A, también es monomorfismo (respectivamente epi, bi, constante) en A;

(iii) Si / es i-invertible (respectivamente, d-invertible o isomorfis-mo) en A, también lo es (respectivamente) en B\

(iv) Si X e Y son objetos de A y X es isomorfo a Y en A, también lo es en B.

Demostración. (i) Sea X inicial en B, con las hipótesis enunciadas, y demostremos

que lo es en A. Para ello sea Y un objeto cualquiera de A. Como también lo es de B y X es, por hipótesis, inicial en B, resulta que B(X,Y) es un con-

PROF. JORGE E. BOSCH 31

junto unitario. Pero, también por hipótesis, A(X,Y) es no vacío y debe estar incluido en B(X,Y); luego A(X,Y) es unitario y entonces X es inicial en A.

En forma completamente análoga se demuestra la segunda afirma-ción de (i), y la tercera es un simple corolario de las dos primeras.

(ii) Sea / un morfismo de A que es monomorfismo en B. Para pro-bar que es monomorfismo en A sean g,h, morfismos de A tales que gof = hof. Pero por hipótesis / es monomorfismo en B, o sea simpli-f i c a r e a derecha, luego g = h. Esto prueba que / es también simplifi-cable a derecha en A, o sea que es monomorfismo en A.

En forma completamente análoga se demuestra la segunda afirma-ción de (ii), y la tercera es un simple corolario de las dos primeras. Vea-mos la cuarta afirmación: sea / un morfismo de A que es constante como morfismo de B. Para probar que es también constante en A, sea X el do-minio de / y sean g,h € A(Y,X), para un cierto objeto Y, de A. Como / es, por hipótesis, constante en B, se verifica f og = f oh] y como Y, g, h, se han elegido arbitrariamente en A, resulta que / es constante en A.

(iii) Supongamos que / sea i-invertible en A, y demostremos que también lo es en B. Sea / : X —*• Y. Por hipótesis existe en la categoría A el morfismo g :Y —• X tal que gof = l x . Pero, por ser A < B, esta igual-dad vale también en B y entonces / es i-invertible en B.

La segunda afirmación de (iii) se demuestra en forma completamen-te análoga, y la tercera es un corolario de las dos primeras.

(iv) Esta proposición es un corolario de la tercera afirmación de (iii). Así termina la demostración del teorema 9. Se plantea en forma natural la cuestión de establecer qué sucede con

los recíprocos de los enunciados anteriores. Por ejemplo, si A < B y X es objeto inicial de A, ¿puede no ser inicial en BI Habría que dar un ejem-plo de esta situación. Para dar ejemplos se pueden seguir dos caminos: o bien se recurre a las categorías usuales en matemática (TC, TG, TVR, TT, etc.), o bien se construyen categorías «artificiales» dando objetos X, Y, Z, etc., de manera abstracta, sin precisar la naturaleza matemática de tales objetos, y análogamente se dan morfismos de manera abstracta; se define luego mediante tablas o convenciones ad-hoc la composición de morfismos, tomando la precaución de que se cumplan los axiomas que definen una categoría; una vez hecho esto se prueba que en ese ejemplo, fabricado expresamente para el caso, se cumple la propiedad en cuestión. Vamos a ilustrar estas ideas con ejemplos particulares.

Ejemplo 1. Queremos fabricar una categoría B y una subcategoría A, de modo

tal que haya en A un objeto inicial que no sea inicial en B. Para ello va-


mos a individualizar un objeto X de A tal que, para todo objeto Y de A, el conjunto A(X,Y) sea unitario, pero exista en tí un objeto Z (no perte-neciente a | A | , por supuesto) tal que B(X,Z) tenga, por ejemplo, dos elementos (o bien no tenga ninguno). Hay una manera muy trivial de lo-grar esto, a saber: tomamos como A (categoría «chica») a la que contie-ne un único objeto, al que llamamos X, provisto de un único morfismo, un ente abstracto al que llamamos l x , y establecemos por definición A(X,X) = { l x } , con una única fórmula de composición: l x o l x = l x . El lector puede comprobar que se obtiene así una categoría. (Ver, en 9, el Criterio práctico para definir categorías). Es obvio que X es objeto ini-cial de A. Ahora se trata de «ampliar» esta categoría mediante el agre-gado de un nuevo objeto y nuevos morfismos, de modo tal que el ente «ampliado» siga siendo categoría y que en ella X deje de ser inicial. La cuestión es sencilla; agregamos un nuevo objeto Y y ponemos por defi-nición: | i l | = {X,Y}, B(X,X) = {lx}, B(Y,Y) = {1Y}, B(X,Y) = [f,g], siendo 1Y, f y g tres nuevas entidades distintas entre sí dos a dos, y Z?(Y,X) = ()); se definen las composiciones de manera obvia para que I x

y 1Y resulten ser morfismos idénticos. El lector puede comprobar que de este modo queda definida una categoría B, de la que A es subcategoría, y se ve que el objeto X, que es inicial en A, ya no lo es en B. El proble-ma está resuelto, pero conviene advertir que hay soluciones todavía mas sencillas que ésta. Por ejemplo, podríamos haber definido la categoría B agregando un nuevo objeto Y completamente análogo al X, es decir, con B(Y,Y) = {1Y}, y poniendo B(X,Y) = B{Y,X) = (j) (lo que equivale a establecer que los dos únicos objetos de esta categoría están «aisla-dos»). Se ve que B es categoría, que A < B y que X no es inicial en B porque el conjunto B(X,Y) no es unitario, ya que es vacío por defini-ción. Finalmente, otra variante consistiría en no agregar ningún nuevo objeto, sino solamente un nuevo morfismo f :X —*• X, distinto de l x y con la ley de composición obvia para que l x continúe siendo morfismo idéntico. Entonces X no es inicial en B porque B(X,X) no es unitario, ya que B(X,X) = { l x , / } .

Estas tres variantes se pueden graficar del siguiente modo:

Primera variante

/ l x C x T Y o L


Segunda variante

X

Tercera variante

Ejemplo 2. Es pertinente preguntar si no hay ejemplos menos triviales que éstos

y, sobre todo, menos artificiosos. En otras palabras, es pertinente pregun-tar por el camino mencionado más arriba en primer término, que consiste en recurrir a las categorías usuales en matemática. Se puede, en efecto, dar un ejemplo más o menos «natural». Para ello comencemos por definir un conjunto punteado como un par ordenado (X,a), donde X es un conjunto y a es un elemento de X. Formemos ahora una categoría, a la que llamare-mos categoría superflua de los conjuntos punteados, abreviadamente TSCP, definida de este modo: | TSCP | es la clase de todos los conjuntos punteados; dados los conjuntos punteados (X, a ) , (Y, b), definimos como TSCP ( ( X , a ) , ( Y , b ) ) a la clase de todos los triples de la fo rma f = (f*,(X,a), (Y, b)), siendo / * una función cualquiera de X en Y. La función / * será llamada función subyacente del morfismo / . La composi-ción en TSCP se define del siguiente modo: si / : ( X , a ) —+ (Y,b) es un morfismo en TSCP con función subyacente / * y g : (Y, b) —• (Z, c) lo es con func ión subyacente g*, entonces el mor f i smo compuesto g of : (X, a) (Z, c) es el triple (g*of* , (X, a), (Z, c)). Se comprueba de inmediato, aplicando el criterio práctico para definir categorías visto en 9, que se obtiene de este modo una categoría TSCP. La palabra «superflua» que figura en el nombre de esta categoría se refiere al hecho de que los puntos distinguidos de los conjuntos punteados, como el a del conjunto punteado (X,a), no desempeñan ninguna función relevante. Ahora defini-remos una subcategoría en la que tales puntos no son superfluos: la llama-remos categoría usual de los conjuntos punteados y la denotaremos por TCP. Ponemos | TCP | = | TSCP |; para objetos cualesquiera (X, a ), (Y,b), definimos TCP ((X,a),(Y,b)) como la subclase de TSCP ((X, a ),(Y, b)) formada por los morfismos que respetan los puntos distinguidos, o sea los morfismos de la forma / = (f*(X, a ),(Y, b)) tales que f*(a) = b. Ahora los puntos distinguidos desempeñan una función relevante al intervenir en una condición para definir los morfismos. Tomando como composición en TCP

D D

l x C x J f


la composición correspondiente en TSCP, el criterio práctico para subcate-gorías permite demostrar que TCP < TSCP. Y bien: el lector podrá demos-trar fácilmente que en TSCP no hay ningún objeto inicial, en tanto que para TCP todos los objetos de la forma ({a} ,a), o sea los conjuntos unitarios con punto distinguido, son iniciales. También se puede demostrar que son los únicos objetos iniciales de TCP. Tenemos así un ejemplo bastante «natu-ral», aunque quizá no todo lo «natural» que el lector desearía.

Ejemplo 3.

Ahora preguntamos por ejemplos relativos a la parte (ii) del Teore-ma 9. Más concretamente, queremos saber si existen una categoría B, una subcategoría A y un morfismo / de A, tales que / sea monomorfismo en A y no lo sea en B. Es particularmente difícil hallar ejemplos «naturales» en este sentido, ya que tales ejemplos se basan siempre, aunque sea de manera indirecta y complicada, en conjuntos y funciones, y para las fun-ciones la propiedad de ser monomorfismo está muy ligada a la inyectivi-dad (ver lemas 1, 4 y 7 de 6); de modo que si en una subcategoría de las «naturales» el morfismo / es monomorfismo, muy probablemente resul-tará que está construido esencialmente mediante una función inyectiva, y en consecuencia también será monomorfismo en la categoría «más gran-de». La palabra probablemente que he utilizado se debe a que el concepto de «naturalidad», tal como lo estamos utilizando, está impregnado de va-guedad y por tanto no se puede afirmar con precisión nada respecto de él. En efecto: el ejemplo que vamos a dar se obtiene forzando la naturalidad hasta límites que dependen de la subjetividad de cada uno.

Vamos a definir una subcategoría de TC del siguiente modo: distinga-mos un conjunto no vacío y no unitario cualquiera pero bien determinado; para fijar ideas, sea el conjunto Z de los números enteros. Suprimamos to-das las funciones que tienen a Z por codominio, excepto la identidad l z y dejemos invariable el resto de las funciones entre conjuntos, dejando tam-bién invariable la composición entre tales funciones. Se obtiene así una subcategoría de TC a la que denominaremos A. Sean ahora un conjunto X y una función no inyectiva f : Z —* X (por ejemplo, una función constante de Z en N, conjunto de los números naturales). Para que esto funcione bien hay que adoptar las definiciones formales de función y de categoría ex-puestas en 9. Es obvio que, por ser no inyectiva, / no es monomorfismo en TC. Sin embargo, mostraremos que lo es en la subcategoría A, aunque lo es de manera trivial y algo artificiosa. En efecto: para demostrar que / es mo-nomorfismo en A basta probar que es verdadera la siguiente implicación:

g, h, morfismos de Y en Z en A y fog = foh ==> g = h


Pero en A no hay morfismos de codominio Z, de modo que el ante-cedente de la implicación es falso para todo g y todo h, y en consecuen-cia la implicación es verdadera, como deseábamos demostrar.

Más «naturales», y en consecuencia menos artificiosos, son los ejem-plos relacionados con epimorfismos. En el párrafo que precede al Lema 11 de 9 se definió la categoría TT2 acudiendo al concepto de espacio to-pológico de Hausdorff, y ahora se ve que TT2 es (trivialmente) subcatego-ría de TT. El Lema 11 de 9 nos proporciona un epimorfismo de la catego-ría TT2 que no es suryectivo, y por tanto no es epimorfismo en TT (ver Lema 5 de 9). Este es un buen ejemplo, que puede considerarse «natural».

Por otra parte, el Lema 12 de 9 establece que hay bimorfismos en TT2 que son morfismos en TT pero no bimorfismos.

Ejemplo 4. Buscamos ahora un ejemplo relativo a la parte (iii) del Teorema 9.

Necesitamos mostrar un morfismo que sea (por ejemplo) i-invertible en la categoría «grande» y no lo sea en la subcategoría. La misma categoría A construida (¿artificiosamente?) en el Ejemplo 3 a propósito de los mo-nomorfismos sirve para el presente caso. En efecto: sea X un conjunto isomorfo a Z en TC pero distinto de Z. Para conseguirlo basta introducir en Z una ligera modificación; por ejemplo, en vez del número 0 coloque-mos el par ordenado (0,0) y al conjunto resultante llamémoslo X. Ahora construimos en TC un isomorfismo obvio de Z en X poniendo /(z) = z para z G Z y z ^ O , y además /(O) = (0,0). Es obvio que / es i-invertible en TC (en realidad, es isomorfismo) pero no lo es en A, por la sencilla razón de que en esta categoría no hay morfismos de X en Z.

Queda a cargo del lector dar ejemplos (naturales o artificiosos, co-mo pueda) de las siguientes situaciones, para A <B:

(a) Objeto final en A que no lo sea en B; (b) Objeto nulo en A que no lo sea en B\ (c) Morfismo constante en A que no lo sea en B; (d) Morfismo d-invertible en B que no lo sea en A; (e) Morfismo invertible en B que no lo sea en A; ( f ) Objetos isomorfos en B que no lo sean en A. •

36 PROPUESTA DIDACTICA

PROPUESTA D IDACTICA |

Licenciada LUCRECIA D. IGLESIAS

Nuestra propuesta anterior acerca de una aproximación intuitiva a las operaciones con números naturales dejó pendientes diversas cuestio-nes. Por una parte, es necesario ampliar aspectos relacionados con nue-vos contenidos (análisis de operaciones inversas, propiedades que invo-lucren más de una clase de operaciones, inclusión de 0 en el campo de definición de las operaciones...). Por otra parte, es necesario atender cuestiones inherentes al proceso de aprendizaje en un aula de clase. Es-tos últimos merecen una explicitación particular.

En efecto, es notorio el hecho de que cada alumno tiene su propio ritmo en la construcción de conocimientos matemáticos y que la marcha normal de un grupo numeroso no es homogénea, sino que da lugar a des-niveles más o menos marcados en el proceso general.

¿Es pertinente ignorar en la práctica la existencia de esos desniveles, manteniendo a todos los alumnos en la realización de actividades comu-nes, a nivel intermedio? Esa solución margina tanto a quienes no alcan-zaron dicho nivel como a los que pueden superarlo. Pensamos que sería mejor organizar, en cambio, un período de trabajo diferenciado donde cada alumno tenga la opción de mejorar su propio nivel.

El subrayado puesto en "tener la opción" apunta tanto a la oportuni-dad como a la posibilidad de elección. Esto es, debe haber dos o más ofer-tas generadas por el profesor atendiendo a distintos niveles, debe haber un tiempo adecuado para la ejecución de las tareas diferenciadas, cada alum-no debe poder elegir con cierta autonomía. La experiencia indica que los alumnos están mejor dispuestos a la realización de tareas accesibles y que es frecuente que ellos mismos vayan elevando sus miras a medida que van logrando buenos resultados en ellas. En general, basta disponer de:

• actividades integradoras de nivel intermedio; • actividades de reelaboración para quienes necesitan, previamen-

te, completar la construcción de las nociones matemáticas invo-lucradas;

• actividades de profundización para quienes disponen de los esque-mas asimiladores necesarios.

Nuestra propuesta intentará desarrollar algunos de los contenidos pendientes dando satisfacción también a la necesidad de trabajo diferen-

LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS 37

ciado. Tomemos la definición de la resta y la división, como operaciones inversas. Para hacerlo basta que los alumnos dispongan del marco asimi-lador relativo a las operaciones directas, tal cual se puede construir a par-tir de las actividades propuestas en el número anterior de la revista.

GUIA DE TRABAJO

1. ¿Qué número natural(*) puesto en lugar de la letra hace ver-dadera la igualdad? Decir si hay uno, infinitos o ninguno. Si hay uno, indicar cuál es.

a) x + 8 = 12 g) b) 10 + x = x + 10 c) 7 + x = 18 d) x + 5 = 5 e) x + 15 = 23 f) x + 13 = 6

h) 4 i) 1 j) x k) 1 1) 7

3 = 18 x = 20 x = x 5 = 22 x = 16 x = 7

(*) Llamamos número natural a todo número que pertenece a N = {1, 2, 3,...); esto es, 0 no pertenece a N.

2. Explorar aquellos casos del ejercicio 1 que tienen solución y sólo una. ¿Con qué operación sobre los números dados se en-cuentra el número que es la solución? Indicarla en cada caso.

3. Completar los cuadros de las operaciones de resta y de divi-sión, en los lugares que sea posible.

sustraendo

minuendo

- 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

?


divisor

dividendo

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

4. La resta en N ¿es completa? ¿es conmutativa? Justificar las respuestas.

5. ¿La división en N ¿es completa? ¿es conmutativa? Justificar las respuestas.

6. ¿Cómo se comporta el 1 cuando es divisor? ¿Por qué?

Hasta aquí toda la exploración es de un nivel puramente in-tuitivo, se basa en lo que los alumnos aprenden en la escuela pri-maria y sólo apunta al uso de un lenguaje técnico que, aunque co-nocido, escasamente forma parte de las formulaciones espontá-neas de los alumnos.

Lo próximo puede ser una aproximación a la definición for-mal de las operaciones inversas.

Por ejemplo, con el ejercicio que sigue:


Completar el cuadro. En los dos renglones vacíos se trata de que inventes los ejemplos a tu gusto.

Ecuación en suma

¿Tiene solución?

Si la solución es única, ¿cuál es? Resta

x + 12 = 20

2 7 - 11 = 16

p + 18 = 30

35 — 14 — t

a + b = c

x - y = z

A partir de este ejercicio tiene sentido que los alumnos analicen la siguiente definición:

Definición:

V a € N y V b e N , a - b = c sí y sólo sí existe c € N tal que b + c = a

Análogamente se puede llegar a la definición de la división a partir de una ecuación en multiplicación.

Como las reglas de lectura en expresiones que combinan varias ope-raciones ponen en pie de igualdad la resta con la suma, y la división con la multiplicación, se trata de integrar todas las operaciones en ejercicios como los que siguen:


EJERCICIOS DE INTEGRACION

1. Resolver, recordando que la raya que se usa para indicar di-visión separa como si hubiera paréntesis:

a) 33:3 + 55:5 =

b) 3 • 62 - 22 • 32

12

c) (B + b) • h paraB = 4 ; b = 2 ; h = 3 2

d) B + b - h p a r a B = 4 ; b = 2 ; h = 3 2

e) x • (R2 - r2) para x = 1 0 ; R = 5 ; r = 3

f) x • R2 - r2 para x = 1 0 ; R = 5 ; r = 3

g) (x • R)2 - r2 para x = 1 0 ; R = 5 ; r = 3

2. En cada uno de los cálculos del 1, las operaciones se de-ben efectuar en un cierto orden. Analizar paso a paso las opera-ciones efectuadas indicando los componentes en cada una.

Por ejemplo:

33:3 dividendo 33 divisor 3 cociente 11

55:5 dividendo 55 divisor 5 cociente 11

11+11 sumando 11 sumando 11 suma: 22


EJERCICIOS DE REELABORACION

1. Para resolver 12 + 18 : 6

hay que hacer dos operaciones.

a) ¿Cuál es la primera operación? ¿Cuál es su resultado?

a) ¿Cuál es la segunda operación? ¿Cuál es su resultado?

2. En la suma 12 + 3, ¿cuáles son los sumandos? En la división 15:3, ¿cuál es el dividendo? ¿y el divisor?

EJERCICIO DE PROFUNDIZACION

Analizar cada una de las igualdades que siguen para decidir si son identidades. Justificar cada decisión.

a) (M + n) • (m - n) = m + n • m - n

b) 2 • m + n2 = 2 (m + n2)

c) z2 - y2 • 3 = z2 - 3 • y2

d) m + n : p = m + (n : p)

e) (x2 - y2) : z = x2 - y2 : z

f) (3ab3 + 2ab) • 8 = 3ab2 + 2ab • 8

g) x + 2y3 - 3z4 = x + y3 • 2 - z4 • 3


Un solo ejercicio de reelaboración no es suficiente. Pero el patrón que aquí se presenta puede repetirse con expresiones cada vez más com-plejas, en un orden gradual de dificultades. Por ejemplo:

96 - 34 que combina dos operaciones

(18 + 2 5 ) : 2 que combina tres operaciones

7 : 9 - 32 • 5 que combina cuatro operaciones

En cuanto al proceso de profundización, importa destacar que es el momento apropiado para plantear situaciones formales donde las deci-siones, si bien pueden anticiparse haciendo sustituciones numéricas, re-quieren argumentos que se basen en propiedades estructurales. •

BIBLIOGRAFIA

Fractals Creations Wegnerer - Peterson Waite Group Press 1991

El libro, juntamente con el cual se provee un disco flexible de 5 1/4", es-tá pensado como un manual de aplicación del software Fractint, que per-mite trabajar con aproximadamente setenta tipos de fórmulas para gene-rar fractales, en algunos casos con presentación tridimensional. Se pro-vee también el clásico anteojo tridimensional para percibir en forma más realista la sensación de tres dimensiones. Se requiere para operar este Software una PC 100%, compatible 640W de memoria Ram, y un disco rígido admitiéndose distintas plaquetas gráficas.


LA COMPUTAC ION COMO R E C U R S O |

Profesora ELENA INES GARCIA

En junio último se realizó en Santo Domingo, República Dominica-na, el Congreso Iberoamericano de Informática Educativa. Este congreso fue organizado por RIBIE (Red Iberoamericana de Informática en Edu-cación) en el marco de las actividades que por el Quinto Centenario pro-mueve la CYTED-D (Programa Iberoamericano de Ciencia y Tecnología para el Desarrollo).

Por Argentina se presentó un documento elaborado con el aporte de un grupo de profesionales especialistas en Informática Educativa, que tu-ve el placer de integrar. La convocatoria fue realizada por la Cátedra de Informática del Departamento de Educación de la Universidad de Buenos Aires, y auspiciada por la Universidad Nacional de Luján, a través del Departamento de Educación y la División de Educación a Distancia, y por la Universidad de La Plata, a través del Laboratorio de Investigación y Formación en Informática Avanzada de la Facultad de Ciencias Exactas.

La síntesis de la ponencia nacional que hoy presentamos fue redac-tada por la C. C. Susana Muraro y el Lic. José Chelquer.

SITUACION ACTUAL Y NUEVAS TENDENCIAS EN INFORMATICA PARA LA EDUCACION

I. Encuadre de la Informática Educativa con respecto a la institu-ción escolar.

La escuela cumple el rol de ser el "instrumento" productor de la for-mación de las generaciones de recambio. Sobre ella pesan dos funciones de características contradictorias, una modificadora, pues debe formar las futuras generaciones acordes a los cambios científicos y sociales, y otra conservadora, pues debe mantener la estructura social que la propicia.

Dependiendo de la situación político-social de cada país varía el pe-so sobre estas características, pero es axioma educativo que siempre es-tán presentes.

Cada momento histórico ha utilizado algún instrumento, concreto o abstracto, para crear formas modificadoras. El momento que nos toca vi-vir promovió la incorporación de la tecnología informática.

Durante la década del 60, para los países desarrollados, y las déca-

44 LA COMPUTACION COMO RECURSO

das siguientes, para los subdesarrollados, la incorporación de la IE asu-mió el papel modificador y, como todo modificador, accionaba sin una clara delimitación de su entorno, sin una sistemática conceptualización de los elementos que la constituyen, con metodologías de análisis contra-dictorias, aplicaciones disímiles y su objeto de estudio se generó a partir de la directa aplicación de la computación en el aula, mediante un proce-so que partió de la "acción" para pasar a la "reflexión".

Este proceso es natural en toda construcción de nuevos conocimien-tos, en los cuales el objeto de estudio y las herramientas epistemológicas no están delimitadas a priori y se construyen con el propio conocimiento.

II. La IE en la Argentina, situación histórica

En la Argentina, el movimiento educativo que gira en torno al uso de recursos informáticos en educación se inicia con la década del 80 pre-sentando las siguientes características fundamentales:

1. Desde el punto de vista escolar, las instituciones educativas se ca-racterizaban por ser escolásticas sin que la realidad tecnológica modificara sus métodos y contenidos. La estructura compartimentada del conocimien-to, los curricula envejecidos y en especial los recursos humanos docentes no acostumbrados al reciclaje profesional, constituyeron el nido sobre el cual se insertaron los proyectos de incorporación de la computadora.

2. Desde el punto de vista social, se incorporó la computadora bajo el supuesto de "informatizar a los alumnos".

3. Desde el punto de vista de los recursos informáticos disponibles, se tuvo acceso a las home-computer; por lo tanto, los proyectos se cen-traron en la programación (lenguaje BASIC) como forma de compren-sión de la solución de los problemas. Esta corriente elaboró el supuesto básico "programar desarrolla la inteligencia", sobre el cual se estructura-ron proyectos de organismos privados y estatales.

4. Desde el punto de vista de los recursos humanos, la implementa-ción de proyectos de IE quedó en manos de especialistas en computa-ción, los cuales poseían una visión algorítmica del conocimiento sin un adecuado marco educativo.

5. Desde el punto de vista comercial, las empresas proveedoras de computadoras debieron ampliar su mercado, y sobre el educativo se lan-zaron con todas sus fuerzas. Sin embargo, no lo proveyeron de herra-mientas informáticas que facilitaran la incorporación de la computadora al quehacer educativo.

PROF. ELENA INES GARCIA 45

En síntesis, el objetivo era informatizar y desarrollar la inteligencia en los alumnos a través de la programación, para lo cual el docente era el puente. Pero este docente debía cargar con todo el peso de comprender una tecnología sofisticada, crear aplicaciones sobre un contenido curricu-lar avejentado en una institución escolar con gran inercia al cambio y con una tecnología que exigía de niveles de abstracción y modelización para los cuales no había sido formado en su profesorado.

En una etapa posterior se incorpora la posibilidad de estimular la creatividad, y de esta forma, entre lógica y creatividad, el niño se trans-formaría en un reconstructor de los conocimientos. Esta propuesta se basaba en el uso del LOGO como lenguaje procedural para la expre-sión de las soluciones de los problemas, comenzando un período de discusión sobre las bondades de los lenguajes de programación (LOGO versus BASIC).

Al evolucionar el mercado, se incorporan computadoras de mayor capacidad de memoria y variedad de software. Consecuentemente, se ini-cia un proceso de incorporación de utilitarios (planilla de cálculo, proce-sadores de textos, administradores de base de datos, graficadores, etc.) y la computadora invade otras disciplinas para las cuales las propuestas de programación eran difíciles de expandir, ya que presentan problemas téc-nicos no resolubles por un alumno de nivel medio.

En esta etapa aparece otro concepto de especiales características so-ciales, tecnológicas y metodológicas: la "información" y el acceso a ella como fuente de conocimiento.

En un aparente paralelismo surge el concepto de software educativo, cuyo uso se ve perturbado por los escasos desarrollos locales y el empleo de materiales informáticos que nada tienen que ver con la forma de ense-ñanza local, inclusive presentando problemas de comprensión de expre-siones idiomáticas.

Por vía separada aparecen los desarrollos a nivel universitario, cuya metodología de investigación consiste en la construcción de prototipos de simulación de procesos cognitivos. Temas que en la actualidad no lle-gan al Sistema Educativo (nivel primario y secundario).

Este proceso de incorporación de la IE se ve acompañado por un acentuado peso en la capacitación docente. El rol modificador de la IE se quería implementar a través de:

a) los alumnos, exigiendo de ellos el aprendizaje de técnicas de programación, lenguajes y conocimientos de algunos utilitarios;


b) los docentes, exigiendo su capacitación y la puesta en práctica de metodologías y contenidos para los cuales no tenían ni conoci-mientos ni experiencia previa.

Pero para los docentes, la IE no les resolvía problemas de aula; al contrario, les agregaba uno nuevo y muy complicado, que consistía en comprender una herramienta con la cual no convivían y para la cual no habían sido preparados durante su formación de grado. Que, además, im-plicaba modificar metodologías de enseñanza y contenidos sin entender el por qué de su obsolescencia.

III. Marco conceptual de la IE

Si bien bajo el nombre de IE se alberga una cantidad de aplicaciones diferentes, a veces contradictorias y que van cambiando a medida que se generan nuevos enfoques y se incorporan teorías pedagógicas y de com-putación, fue propósito de los asistentes al encuentro definir su alcance tratando de crear un único objeto de conocimiento.

Una definición elaborada por el grupo considera a la IE como el de-sarrollo y aplicación de un conjunto de instrumentos físicos o abs-tractos que permiten:

a) modelizar el conocimiento de las diferentes disciplinas; b) estimular el aprendizaje inteligente; c) almacenar la información y acceder a ella en tiempo real; d) proveer de recursos para la enseñanza de distintas discipli-

nas, para lo cual es necesario acercar al alumno al aprendiza-je de instrumentos informáticos estimulándolo en la elabora-ción de estrategias personales para la construcción del cono-cimiento.

Esta definición plantea que el ámbito de la IE es la institución escolar y sus herramientas son tanto la computadora como los métodos propios de la Informática. En esta definición se detectan los siguientes núcleos:

1. El metodológico, corresponde a la estimulación de estrategias cognitivas aplicables a la resolución de problemas y a la construcción del conocimiento.

2. El computacional, corresponde a la elaboración de formas de re-presentación del conocimiento por computadora.

3. El social, ya que existe un proceso de realimentación entre los de-sarrollos que se construyen y los efectos sociales que provocan.

Los tres núcleos mencionados necesitan del aporte de teorías del Aprendizaje, Psicología Cognitiva, Psicología Genética, Psicolingüística,


Lingüística y Comunicación así como de las Lógicas, Técnicas de reso-lución de problemas e Ingeniería del software, debiendo emplearse méto-dos de investigación que varían según el tipo de problema a investigar, entre los cuales se pueden mencionar: método clínico-crítico, grupo testi-go-grupo control, experimental y cuasi-experimental, técnicas estadísti-cas, así como planteos teóricos a partir de las teorías aplicadas.

Por todo esto la IE genera un espacio de conocimiento complejo que exige de la interdisciplina como dinámica de trabajo para la producción del conocimiento y de sus herramientas y, por lo tanto, su inserción edu-cativa debe operar también interdisciplinariamente.

IV. Conclusiones de las mesas de trabajo

IV-a) Informática y curriculum

La informática tiene un impacto en el curriculum escolar de dos for-mas distintas: a) Por su incorporación como área de contenido específico y adicional. b) Por generar una necesidad de reexaminar las áreas de contenido

existentes a la luz de la incorporación de otros instrumentos que obli-gan a rever contenidos y metodologías.

1. Area de contenido específico

Lo que podríamos denominar "educación informática" es una nece-sidad creciente y abarca los siguientes aspectos: 1.1. La adquisición de habilidades prácticas para operar con computadoras

y con los programas que las tornan útiles para los propósitos de uno. 1.2. La comprensión de un modelo que permita entender los principios

de funcionamiento, las posibilidades y las aplicaciones de estos ins-trumentos. Debe pensarse a la Informática como un subconjunto de herramien-

tas y métodos comprendidos en la Tecnología, y dentro de esta perspecti-va la Informática es la rama de la Tecnología que se ocupa de objetos simbólicos y es, a la vez, un recurso al servicio de la producción de obje-tos concretos.

Así, la Informática es una de las áreas en las que los alumnos diseñan y construyen "objetos" (programas, planillas, archivos, etc.) para satisfacer necesidades específicas y uno de los recursos integrados a la producción ingenieril (como por ejemplo, a través de la robótica).


2. Incidencias de la Informática en otras áreas curriculares

Como disciplina, está en condiciones de ofrecer nuevas formas de almacenar, organizar, presentar y comunicar la información. Buena par-te de la actividad escolar consiste en la manipulación de representacio-nes de la realidad. En este sentido, la Informática acarrea oportunidades y riesgos como: 2.1. Mejorar las posibilidades de acceder a fuentes de información tanto

desde el punto de vista de la factibilidad física como de los medios pa-ra procesar grandes cantidades de datos y convertirlos en información.

2.2. Ofrecer fuentes de información estructuradas en formas diversas. 2.3. Manipulear las representaciones en formas menos abstractas que las

que pueden ofrecer los modelos estáticos y/o formales, modificando el comportamiento aparente de los mismos (simulaciones).

2.4. Diversificar las formas de representación de la información a través de la capacidad de traducción automática entre formas numéricas, gráficas, textuales, sonoras, etc. El mayor riesgo que se corre es el de sobreestimar el papel de las representaciones abstractas, suficien-temente alentadas en el sistema escolar, y aumentar la distancia en-tre el mundo concreto y el intelectual.

2.5. Mejorar las formas de comunicación en enseñanza no presencial, ya que las telecomunicaciones ofrecen a la Tecnología Educativa un re-curso valioso para la asistencia pedagógica en tiempo real.

2.6. Acercar la Informática como herramienta para el desarrollo de pro-puestas metodológicas para la formación de recursos humanos a distancia. De lo expuesto en los puntos anteriores se deduce que, incorporar la

Informática como recurso didáctico o como disciplina en sí misma, el cu-rriculum escolar debe permitir un constante movimiento dialéctico de di-ferenciación e integración de las disciplinas y de su propio conocimiento, y un ejemplo de esta organización es el curriculum por proyectos.

IV- b) Formación de recursos humanos en Informática

Es evidente que existe carencia de formación de recursos humanos en IE. Ni los Institutos de Profesorados ni las Universidades se hicieron cargo del problema y fueron los diferentes proyectos (nacionales o priva-dos) los que generaron las diferentes ofertas de capacitación.

Menos aún está definida la formación de investigadores y técnicos en desarrollo y producción de recursos informáticos.

i


Sobre el problema de la formación de recursos humanos en IE desti-nados al ámbito escolar convergen los siguientes factores:

1. El curriculum específico que impone nuevos conocimientos teóri-cos y sus aplicaciones a situaciones reales.

2. Las modificaciones curriculares de las diferentes disciplinas que promueve la computadora, tanto desde el punto de vista metodológico como de los contenidos a enseñar.

3. La existencia de nuevos roles al incorporar metodologías de ense-ñanza asentadas tanto en la interdisciplina como en la elaboración de proyectos. La Informática necesita de nuevos perfiles docentes y una for-mación sistemática en planificación de proyectos pedagógicos.

4. Se incorpora un área no sólo de enseñanza, sino también de servicio dentro de la misma organización escolar, lo cual exige recursos humanos específicos no habituales en la formación de grado de los Profesorados.

Aparece la necesidad de que la institución escolar cuente con un "co-ordinador de recursos informáticos", cuyos roles fundamentales serían:

a) Promover el uso de la computadora como recurso didáctico según el tipo de actividad a desarrollar;

b) Introducir metodologías informáticas en diferentes disciplinas (modelización, representación del conocimiento, simulación, acceso a la información, etc.);

c) Organizar la formación de los alumnos y docentes en el uso de la Informática;

d) Administrar los recursos del ámbito de computación; e) Seleccionar instrumentos informáticos y adecuarlos a las necesi-

dades de la escuela.

3. La diversidad de proyectos

La diversidad de proyectos institucionales promovió la formación a medida y una falta de continuidad en la formación de los docentes.

Los presentes detectaron los siguientes niveles de formación y capa-citación docente:

1. Para el coordinador de recursos informáticos, una formación pe-dagógica sólida con amplios conocimientos en computación. La propues-ta es no dejar la coordinación en manos de personal exclusivamente for-mado en computación.

2. Para los directivos escolares es necesario informatizar a la institu-ción comprendiendo el sentido educativo e instrumental de la computadora.

La formación de los directivos debe contemplar que una de sus fun-


ciones es comprender la escuela en su totalidad y que la computadora es un instrumento más dentro de la totalidad de recursos que debe contemplar.

3. Los docentes que enseñan la disciplina Informática cuya forma-ción específica es la computación y sus métodos de enseñanza. El pro-blema que se presenta en esta especialidad es que su disciplina es tan nueva que prácticamente no existe una didáctica de la computación.

4. Los docentes de diferentes disciplinas que incorporan recursos in-formáticos a sus metodologías de enseñanza, donde la formación debe ser especialmente instrumental con mayor incidencia de propuestas pe-dagógicas sobre proyectos educativos interdisciplinarios.

IV- c) Investigación en IE

Dentro de un enfoque constructivista de la educación, compartido por los asistentes, se señalan las siguientes líneas centrales:

1. El uso de tecnología informática de punta o ideas extraídas de ella para, a través de la producción de los propios alumnos, propender a su desarrollo intelectual a través de la representación del conocimiento por medio de lenguajes de programación lógica, la resolución de problemas con técnicas de Inteligencia Artificial (IA) y técnicas de programación modular (Logo) y ambientes concretos (robótica).

2. La cooperación entre la computación y las ciencias ligadas a la educación en el terreno de la organización de la información, con eje ac-tual en el uso de hipertextos e hipermedia.

3. Los aspectos éticos de la incorporación de la computación a la es-cuela y que impiden una inserción humanista de la tecnología como: la imposición de los productos por el mercado y un sistema educativo que no puede contener las innovaciones tecnológicas ni asimilarlas; la situa-ción económica que estimula centros de excelencia junto a situaciones de miseria; la desvalorización laboral y social del docente, y sobre el que pesan los cambios.

4. Los aspectos estructurales como: la inestabilidad de la política oficial de la que dependen los centros de investigación y casas de altos estudios que dificulta la producción científica, que los centros de investi-gación no cuentan con equipamiento o bien éste, lejos de corresponder a lo que el mercado impondrá en el futuro, está retrasado respecto a lo que ya está en uso.

La propuesta de investigación central del grupo es estudiar la compu-tadora en tanto instrumento que colabore con el desarrollo de la inteligen-cia, concentrándose en los aportes de la IA. Descartada la validez de una


comparación entre la mente y la computadora que vaya más allá de una hipótesis metodológica, identifica tres áreas de la IA que revisten interés:

a) El aprendizaje simbólico automático; b) Resolución de problemas y sus formas de estimulación con uso

de herramientas de IA como un recurso educativo; c) Representación del conocimiento, tal como se hace en el desa-

rrollo de sistemas expertos, encierra oportunidades educativas, especialmente en sus etapas de interpretación y análisis del cono-cimiento del experto en términos de estructura lógica y significa-tiva del discurso;

d) Los problemas de interfase hombre-máquina que comprenden aspectos comunicacionales, ya que una interfase bien desarrolla-da puede implicar el logro de una comunicación efectiva con el usuario así como una reducción en los tiempos de entrenamiento y los volúmenes de respaldo documental requeridos.

Asistentes al encuentro Mesa Curriculum Abel Rodríguez Fraga Ana María Lippi Graciela Carbone Guillermo Lutzkty Liliana Hindi Liliana Saidón Marcos Berlatzky M. Aleksevicius Regina Meta

Formación de Recursos Humanos Adriana Gaudiani Beatriz Carballo Elena García Florencia Zocchi Leticia M. Viegas Lorenzo Pérez Marta Fernández Miriam Manavella Mónica Cáffaro

Date post:	24-Feb-2020
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