EL CONCEPTO DE MODELO EN LA LOC/CA MATEMATICA

por

Xavier CAICEDO FERRER

INTRODUCCION

A partir de la aparicion de la obra de Bertrand Russell y Allred N. White·

head, "Principia Mathematica", a comien zos del s ig lo; Y mas alin, de spues de

iniciada la obra monumental de Bourbaki. que bus ca bac er una s in te s is de las

mat emdticas partiendo de bases puramente axiomatic as. s e ha vue Ito casi un

lugar comtin la afirm acidn de que las matemdtic as son reducible s a pura ldgic a-

La razon que p ermite [us ti ji car esta afirm acion es pre ci sam ente el metodo ax io-

matico. Una teoria matemdtica se puede cons iderar como un sistema de ax iom as

que afirman propie dade s y relacione s de cierto uniuers o de indiuiduos u "obje-

tos". Los teoremas , es decir las "verdades de la teor ia'", se deriuan a partir de

los axiomas us ando las ley es de inferencia que proporc iona la logica. E I ejem-

pia c lds ico de una teoria axiom dtic a es la Geometria Euc li dian a, Una te oria

axiom dt ic a s eria tamb ien la Teoria de los ruimero « reale s. En esta teoria los

indioidaos son ll amados por conuenc ion "nlimeros re ale s" y los axiom as son

aquellos que rigen la adicion y la multiplic acidn, tanto como los que rig en la

re lacidn de orden, exi gi endo le que sea compatible con las operaciones y que

cumpla ciertas propiedades de complelitud. Pues to que las operaciones se pue.

considerar como relaciones temarias es claro que los axiomas hab/an de pro·

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piedades y rel acione s entre los indiuiduo s, Podriamos p ens ar tambien en teo-

rt as mas generales como l a Teor ia de grupos, 0 en desarrollos axiomdtico s

mas modernos como el proporcionado por Kolmogorov a la Teori a de probobtlt:

dad.

iSignifican las con sider acione s ant eriore 5 que el trabajo matemdti co se

reduce a deducir te orema s a partir de los axiomas de una teori a? Examinemos

esto un poco mas. a [ondo, Si el trabajo matemdtico se redujera a la p ura de due-

cion de teorem as a partir de uno s axiom as dado s, las matem dti cas simplemente

no exist irian. No exi stirian por la s en cill a razon de que no babria ax iomas de

don de deducir los tales teor emas, Los sistemas de axiom as tambien forman

parte de la creac ion matem dt ic a, La maner a clds ic a de entender los axiom as

como "verdades euidente s en si mism as, que por 10 tanto no ne ces itan demos-

tracidn" estd compl et ament e equiuoc ada des de el punto de vista de l a logic a

modern a, Los axiom as no se de s cubren porque sean "evidentes en si mi smo s'",

EI ais lar un sistema axiomd tico para la teoria de los numerus re ale s re quirid

siglos, y los esfuerzos de mucbo s hombres geni ale s, La grande za de l a o br a de

Euclides depen de tal vez mas del des cubrimiento de sus postulados geometri >

cos, que de la deduc cion de los teorem as .

Es un hecho, ademas, que el proceso historico del desarrollo de las mate,

maticas sigue un camino contrario al que podriamos llamar proceso d eductivo;

que se caracteriza por el metodo axiomatico. No fue a partir de los axiom as del

algebra real 0 de la teoria de campos (cuerpos) que el hombre llego a descubrir

las propiedades de los numeros. Al contrario, se partio de unos numeros muy

concretos, muy ligados a la intuidon sensible; y POTmedio de sucesivas abs'

tracdones se llegaron a descubrir las estTucturas mas generales de las cuales

esos "numeros" eran una manifestacion concreta •

iQue son las matematicas entonces? iLa deduccion de teoremas a partir

de un conjunto de axiomas prefijados, 0 la labor de milenios que ha llevado a

abstraer y aislar como basicos esos axiomas? Ambas componentes son esencia'

les al desarrollo matematico. E I proceso deductivo de las matematicas es como

un ir de los esquemas abstraetos a resultados mas concretos; y el hallar estos

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resultados, el de scubrir los c aminos para demostrar resultados 0 teore mas ya

intuidos como ciertos parece ser la labor a la que se da mas im portanc ia dentro

de las matemdt icas, En cambio, historicamente las m.atemdticas se han de s arro-

llado al reues, a partir de entes intuitiuamente muy concretos iaunque vaga-

mente definidos de sde un punta de vista ri guro so) a la ab straccidn de sus

propiedades y relacione s,

Podemos pregunt arnos abora iLa compren sidn y el aprendiz aie de las

matemdt ic as no siguen un camino similar al del desarrollo bis tori co de las

matemdt icas? Parece incue s tionable que es asi: eft l a compren s ion de las

matemdtic as se comienz a en intuicion y se termina en abstracciOn. Los obje tos

matemdticos, los ntimeros re ale s por e jemplo, deb en haber sido interpre tados

inicialmente por la imaginac ion como objetos tangibles, tal ue z longitudes ge :-

me tric as en el mundo [is ico, antes de que tenga s entido una teoria abs tract a de

los niimeros re ale s , Y los axiom as de una teoria, como el axioma sobre parale-

las de la Geometria de Euc/ides, solo adquiere "eenti do" cu ando 10 con side-

ramos como la expre sidn [orm al iz ada de ciertas e xigen cias intuitiuas de nue s-

tra sensibilidad, En pocas palabras, para la eficaz comprension matematica

la imaginadon necesita saber de que esta habfando.

A primera vista, el metodo axiomatico niega la posibilidad de saber de

que esta hablando. Una teoria axiomatica supone un universo de individuos, que

son algo asi como los aetores de la teoria; pero estos individuos son compfe1a-

mente indeterminados. La teoria 0 sus axiomas solo habla de las relaciones

entre los individuos, de ciertas propiedades que deben poseer; pero estas no

determinan a esos objetos. La teoda no habla de que son esos individuos.

Un ejemplo aclarara las anteriores afirmaciones que pueden parecer Un poco

extranas. Los axiomas de una teorfa son como las reglas del juego de ajedrez,

estas reglas establecen interrelaciones entre las piezas, regulan sus movimien-

tos, etc.; pero estas reg/as no dicen como deben ser f as piezas. Tanto que se

podria jugar ajedrez con tapas de botella convenientemente identificadas, sin

que e llo alterara en ahsoluto la esencia del juego. Un "caballo", por ejemplo,

es UTI "indivMuo " de la teorfa. que se define por sus posibilidades de movi-

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miento en el tabl ero y por sus posibilidades de "comer" 0 "ser c omido' por

otras p ie z as; y no se de jin e por su [orma ni por el material de que es td be cbo,

En principio pue s, un "caballo" podrio ser cu al qui er coso. Lo mismo pasa con

una teoria ax iomdtic a, La teoria axi omdtic a de los ndme ros re ale s, que ya he -

mos traido como ejemplo, bab la simplemente de las condiciones que debe cum-

pl ir cierto universo de indivi duo s para que sus objetos mere z can ser ll amado s

ruimero s reale s, Es mas. la teoria no dice nada sobre si en realidad existen in-

diuiduos con esas prop ie dade s, Y en el caso de que exi s tan ni siquiera as egura

que eso s indiuiduas s eaiinicos : es de cir, queda abierta la posibilidad de que

haya muchos sistemas de individuos con las propiedades especi/icadas por

los axiom as de las ndmeros re ale s , Asi COmo hay muchos tablerosy mucbi simas

pi ez as , tan buenos los uno s como los OtTOSpara jugar el aje dr ez; De s er as i,

bablar de el coniunto de los numeros reales en singular seria algo cue s tionabl e,

pue s no habria un uniuer so al cual l e conviniera el apelatiuo, sino mucbos;

Es cierto que esta caracteristica del metoda axi omdtico, de de jar inde ter-

min ados los indiuiduo s, es prob ablement e la que ha dado a las matemdtic as su

actual potenci a, liberdndola de la sujec ion al pen s ami ento intuitivo, que pue de

ll egar a ser un obstaculo a ta creacion. y permitiendole construir teorias como

las de las geometrias no euclidianas. las cuales parecen a primera vista impo-

sibles de realizarse en un universo de individuos. T ambien es verdad que en

ciertas teorias como la de los numeros reales. una vez que se desarrollan sus

teoremas principales y se comienzan a manipular las propiedades algebraicas y

de orden, pierde importancia el hecho de que los individuos esten indetermina-

dos; pues 10 que importa son sus propiedades, sus relaciones, el desenvolvi-

miento interminable de la teoria. Despues de mucho analizar y descubrir nue-

vas propiedades, se adquiere /amiliaridad con los /antasmales "individuos" de

la teoria; estos se cargan de sentido y se vuelve natural el llamarlos numeros

reales. aunque en realidad podrian ser mesas 0 sillas, como decia Hilbert de

los "individuos" de su teoria axiomatic a de la geometria.

5in embargo. existe el peligro de que un sistema axiomatico de individuos

indeterminados se convierta en una especie de discurso vacio, sin contenido.

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En otras palabr as, no bas tan los axiom as de los niimero s reale s para comprend er

cl arament e que son los niimeros reales; ne ce s it amos identi/icar aquel los indio

oi duos de cuyas propiedades se habla con objetos determinados, es una ne cesi-

dad de la imaginacion .

Decia que a primer a vista el metoda axiomd tico no tenia en cue nta es ta

posibilidad de determinar los individuos de una teori a, Pero esto no es asi.

La logica matemotic o t iene en cuent a est e otro aspecto de las teoria s ax iomdti-

cas. Se le pue de dar s entido, pue s, dentro de la logi ca rnatemd tic a, a la ex igen-

cia de det erminar los indioiduos sobre los cuale s habla una teoria, En terminos

logi cos, el problema cons i s te en "interpretar" es a teoria, 0 en dar un mode lo

para la teoria, Un mode lo es un sistema de objetos y rel acione s concre tos que

sati sf ac en una teoria axiomdti ca dada.

La interpretacion logi ca de las matem at icas no se reduce, pue s, al hecho

de la dedue cion, usan do regl as de inferenci a, sino que cons idera la cons trucc idn

de modelos para esas teorias, Veremos como el concepto de mode lo tiene una

importancia mucbo mas profunda que la de la simple s atis jac cidn imaginatiua

(aunque no debe des pre ci arse en absoluto es ta con secuen cia sobre todo si se

es td int eres ado en los problemas de la comprension de las matematicas).

II LA NOCION DE MODELO

En la enseiianza elemental de las matematicas se usan continuamente mo-

delos en el sentido general que acabamos de descubrir. Un ejemplo muy simple

seria el uso de los dedos de las manos como modelo para las propiedades ordi-

nales de los numeros naturales. Otro seria el usa de pedazos de totlas 0 /raccio-

nes de naranja para expl'car el concepto de numero racional.

Sin embargo, el modelo clasico tanto para los numeros racionales como

para los reales, sigue siendo el /isico-geometrico que los asocia con longitudes

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o con magnitudes [is ic as en general. La efectividad de es to s modelos se basa

en sus cual idade s puramente s en sible s; los 'indioi duos y las relaciones de la

teoria se han tom ado del mundo empirico, Sabemos como los grie gos dieron

priori dad al modelo geometrico; "las propiedades de sus ntlmer os [ueron intuidas

y demos tradas muc bas veces en el modelo ge ometrico, Sabemos tambien los

dolores de cabe z a que este modelo les proporciono, c uando apare c ieron los

ntimeros irracionales; ntimeros que sal taban a la vista en la diagonal de un

cuadr ado, por ejemplo; pero que no cumplian los requisitos te orico s de s er

"razon", proporcion ,

Debemos anot ar que este concepto de modelo para una teotia matemdtic a

difiere completamente del conc ep to de modelo us ado en cienc ias como laFisi-

ca. En Fi sic a se llama modelo a una teorl a, gener alme nt e expre s ab le en termi-

nos mate maticos, que explica los be cbos de la re alidad emp iric a, Desde un

pun to de vista logico, los becho s emp/ricos serl on el mode/o para es a teoria;

y la teoria no seria modelo de 71ada. Se inuiert en compl etamente los term ino s,

Pon gamo s por caso la geome tria cu atri-dimens ional de la Re latiuidad, Desde

un punta de vista [is ico, esta con s tituiri a un modelo para los [enomenos del

mundo real. Logic amente , sin embargo, la geometria de cuatro dimen sione s

seria una teor io matematica para la cual ciertos [enomenos espacio-temporale s

podrian servir de modelo. En logica, no se puede hab/{Jr de modelo independien-

te de una teotia axiomatica de la cual el modelo sea una interpretacion.

Aclarado esto. tratemos de precisar mas el concepto de modelo. Los

ej,emplos anteriormente citados adolecen de una falla. Las naranjas, 0 los

dedos de la mano, 0 los puntos de una regIa graduada pertenecen al mundo sen-

sible, no son objetos matematicos. Y aunque a un nivel elemental pueden con-

tribuir a la comprension de las teorias matematicas, aun nivel mas avanzado

pueden convertirse en obstaculo; ya que la teoria se vuelve dependiente de la

intuicion sensible, haciendo que se tom en como hechos de la teoria hechos que

solo corresponden al modelo empirico (0 viceversa). Los ntimeros racionales

no son cascos de naranja y los ntimeros reales no son puntos marcados en una

regia.

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t'Como de jinir, pues, el concepto de mod elo, de manera que sea un concep-

to uerdaderament e matemdtico? lComo evitar los mode los empiricos que sue len

lleuar a confusiones [iloso ji cas> Vamos a trat ar de conte s iar esta pre gunt a,

EI problema cons is te en que cl as e de objetos uamos a ac ept ar como "indivi-

duos". que clase de rel acione s y propiedad es concret as uamos a utilizar como

interpretacion 0 mode lo de las teorias axiomdticas, La respue sta es s encilla

Los mor/e/os van a ser tomar/os r/e 10 Teoria r/e Conjuntos. Los indiuiduo s

van a ser objetos de la Teoria de Conjuntos. Las relac ion es van a s er re lacio-

ne s de la Teoria de Conjuntos ,

Esto que acab amos de decir es pr ecisament e el sentido de la afirmacidn

que se bac e cont inuamente de que 10 Teori« r/e Conjuntos sirve de fundarnento

a Ias matemaficas; Ella es la fuente de los model os para las teorias ax iomdti-

cas, 0 por 10 menos para las teorias que cons tituy en las dis ciplinas matemdti-

cas corriente.s, Proporeiona los "objetos" matemdticos ,

Un Ejemplo de 10 Geometrja

Vamos a ex aminar dos de los axiomas de la Geometria Euc lidi anar e s de-

cir, bablaremo s de una teoria mas general que la Euc lidian a, Los axiomas son:

Ai Por cada par de punto» paso una y solo una recta.

A2 Por un punto exterior a una recta pas a una y solo una paralela aesa

recta.

L4 teoria estti constituida por :

(1) Un universo indeterminado de individuos llamados puntos y rectas

(es decir el universo estti dividido en dos clases).

(2) Una relacion entre rectas y puntos llamada: pasor (una recta) por ( un

punto).

(3) Una relacion de ser exterior (un punto a una recta), que se puede con-

siderar como la negacion de la relacion pasor.

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(4) Una rel ac ion entre rec tas ll am ada: ser paralela (una recta) a (otra;

rec ta) •

Si utilizamos las variables: x, y, e tc ., para de s ign ar los "puntos", y las

variables: L, L', etc. para re jerirnos a las "r ec tas'", y si ademds bautizamos

las r elaciones en la forma siguiente :

"L paso por x" se simboliza : L 7S:J x

"U as p arolel a a L" se simboliza : L' 5 L

podemos expre s arl os ax ioma s de una forma mucho mas conc isa :

A1

L (py.Sixf.y, ent once s exis te una y solo una L tal que L OJx , y

AZ

uS L.

entonces existe una y solo una L'" tal que L'~x, y

La teoria ha que dado com pl etament e ax ioma tiz ada, El significado inici al

de los individuos y de las re lac iones ya no apar ece , No era sino el significado

de uno de los modelos asoci ados a esta teoria: el plano geometrico; pero la teo-

ria en si no depende de esta interpretacion. En su forma pura, la t eoria con s ta

de un par de axiom as s obre indiuiduos y tam bien sobre relac ione s sin identidad,

sin determinacion. Las variables x, y, L, L' etc. e stdn abora en libert ad de ser

interpretadas de mucb as maneras , Lo mismo podemos dec ir de las re lac ion es,

,;,Cual seria un modelo para es ta teoria, tomado de la Teoria de Con junt os ?

S.eria, por ejemplo, el que damos a continuacion :

Universo : Los puntas s erdn a, b, c, d, cu atro elementos arb itr ario s; Las

r ect as s erdn ciertos conjuntos con a, b, c, 0 d como elementos. En resumen,

el universo es el con junto :

U '" I a, b, c, d,l a, bl , la, cl , Ia, dl , 1b, el, Ib, dl, Ie, dl I

Relacionas: Las relaciones se interpretan asi:

(l) L~x quiere decir x E L

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(2) uS L quiere decir un L

De esta manera, los dos ax iom as de la teoria se conuertirian en dos afirmacio-

ne s comple tamente ci ertas en el uniuer so de indiuiduos tomado, Por ejem plo :

a 01 b, y ex; ste uno y solo un ente del univ er so, el conjunto I a, bl, tal que

a E! a, bl y bEl a, b I .. es decir : 1 a, b l 'tpas a" por a y por b , yes 10un;ca "recta" del uniuer so con es a prop iedad, lgualment e para el Testa de

pare ja s, Tenemos, por otra parte, que a no pertenece a la !'recta" Ib, c ] y la

un;ca '<paraiela" a ! b, c I que "pasa': por a es 1 a, d I •

La "Geometria" asi obtenida

se ilustra en el diagram a adjunto,

Cabe anotar que este modelo no es

zinico, p ue s el uniuers o :

U = Ia I 91a, b I I, con la mism a in-

terpretacion para las rel acione s,

salis/ace los axiom as de una man era

trivial.

III MODELOS PARA LOS SISTEMAS NEMER/COS

A) Los niimeros naturales

A la pre gunt a ~'Que son los ntimer os naturales?, se puede conte s tar con una

teoria axiomdti ca como la con stituida por los ax iom as de Pe ano, No son, sin

embargo, estos axiomas la iinic aforma de hacer una teoria de los nzimeros natu-

rales. Se puede dar un conjunto de axiom as que ins is tan mas en las propiedades

algebraic as que en las de orden (como 10 hacen los axiom as de Pe ano), 8stos

axiom as se podrian re s umir asi :

(1) Hay una operac idn (adicion) que es conmu tatiua, as oci atiu a y pos e e

identidad, el 0, ( + ) •

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(2) Hay otra operac ion (multip lic ac ion) con las mi smas caracteris ti cas, y

con un elemento ident idad, ell, (.)

(3) La mul tip lic acion es di stribu tiua con resp e ct o a la adicidn •

(4) Si n =I m, entonc e s n+1 =I m--L

(5) No existe k tal que k+1 = O.

(6) EI principio de induccion .

Se pue de comprobar que estos axioma s son completamente equiualente s a los

de Pe ano, si se tom a como sucesor de n, en el s ent ido de P'eano, a nv l ,

Pero estos axiom as, como cuale s quier a otros, bablan de un uniuers o inde-

terminado de indiuiduos, No concre tan el universo de los ndmeros naturales.

Un modelo que vendria a llenar este vacio podria ser el de Cantor:

Se define una re lacidn de '<equipotenc ia'" entre conjuntos :

A,.J B <;::::::::> '3 f : A ....B, tal que ( es biyectivo

es ta, en realidad es una relacion de equivalencia y por 10 tanto eng endra

closes de equivo/encio. Los indiuiduos que ne ce s it amo s para nue s tra teoria van

a ser pre ci samente e s as clases de equivo/encio.

Un niimer o natural sera una close de conjuntos todos equipotente s entre si:

es dec ir, un ntlmero natural sera un ente de la forma:

[A]=ISISNAI donde A es cual quier conjunto [lnit»

Mas conc re tamente tenemos

o=!¢l; 1=[!01]; 2=[10,11];3=[10,1,21]; etc.

Que da, entonc es el problema de interpretar las operacione s, Esto se bace

de la siguiente forma:

Si n = [A] y m = [ B ]

n+m=[A] + [ B ] [A U B ] (A y B deben tom ars e disyuntos)

n.m=[A] [ B ] [ A x B ]

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Todos los axiomas pue den s er comprobados para es tas dos operacione s, Aun-

que en este sistema axiomdtico el orden de los ntimeros naturales se pue de de-

[inir a partir de la adi cidn, es intere s ante anotar que s e p ue de interpre tar

directamente liz relacion de orden :

s, n = [ A] Y

[ A ] ~ [ B ]) signi/ica

junto A en el conjunto

m = [ B ] , entonc e s n" m,(o 10 que es 10 mismo :

simpl emente que existe una [uncion inyecti"a del con-

B.

E I valor de este modelo para comprender 10 que es un ntim ero natural es

indi scutible, Cldsicamente, el ntimero es aquello que tienen en comtin dis tin-

tas cole cc ione s con la misma cantidad de elementos. Ese algo en come)n s e

reue la en la relacidn de e quipot encia; y se viene a cris taliz ar en las clas es de

equiualencia, El ntimero se ha conue rtido abora en tin obje to muy de finid o: la

clas e de todos los conjunt os equipotente s a uno dado.

c'Es este un modelo uerdaderamente s u st entado en la Teoria de C onjunto s?

iSon los indiuiduos de este modelo conjuntos 0 elementos de un conjunto?

P'are c e que no hay porque dudarlo, Pero realme nte no es asi, t.« con struc cidn

anterior se basa en la idea de "La clase de todos los conjuntos" y bien sabe-

mos que.la clase de todos los conjuntos no es ella rr,isma un conjunto. Pues

de serlo, llevaria a contradicciones con respecto a su cardinal. Lo mismo su-

cede con el concepto de la clase de todos los conjuntos equipotentes a uno

dado. Los individuos de este modelo no son objetos de la Teoria de Conjuntos.

Por eso falla, porque no cumple las exigencias dadas inicialmente. (1).

iSe podra dar un modelo que cumpla los requisitos? ique sea puramente

conjuntista? Un modelo tal seria el correspondiente al desarrollo riguTOso de la

teoria de ordinales (Von Neumann) en el cual un ordinal es un conjunto de carac

teristicas muy precis as; y se define un cardinal como el minimo ordinal COrTes-

pondiente a un conjunto. Como a los conjuntos /initos corresponde un solo

ordinal, el cardinal y el ordinal se identifican. Los cardin ales /initos sirven

de individuos para la teoria de los ntimeros naturales. E stos son:

21

o ¢1011 o. 1 I1 o, 1. 21

o U 1 0 I1 U 11 I2Ul21

I¢ II ¢.I ¢ II1¢.I¢1.1 ¢ III

2

3

Esto quiere decir que los indiuiduos se con str uye n por me dio de la definicion

rc cur siua :

suc esortn) •n

¢nU In I

o

Las operaciones deben definirse tambien de man era recurs ic a

m + 0 = m

m* + n = (m + n/

m.O o•m .n m , n + n

La rel acion de orden, en cambio, adquiere en este modelo un significado SOT-

prendente :

n<m significa n Em

EI orden de los ntimeros naturales se ba identificado con lare lacion bds ic a

de la Teoria de Conjuntos, la pertenencia •

Obs erue se que si cons ideramos el ord en debit. este se conuierte en inclusion:

n ~ m s ignific a que n C m

(1) Debe advertirse que el modelo "c antori ano" de los ntimeros naturales pue-

de volvers e udlido si en lug ar de trabaj ar con clas es ex traidas de I univers 0 de

:"todos los conjuntos'", las extraemos de un uniuer so de conjuntos mil; restrin-

g ido como el siguiente :

u = '"If (H) donde H=I¢.I¢I,II¢II.1Il¢IIL ... 1

E s dec ir, la relacion de equipotencias se define entre los subconjuntos finitos

de H. Las clases de equivalencia van a ser, esta vez, uerdadero s c onjuntos ,

B) Suponiendo que ya tenemos un modelo para los ntimeros naturales, 10 cual

nos da derecho a hablar del conjunto de los ntimeros naturales. porque ahora si

22

se trat a de un coniunt» complet amente determinado y tinico; podemos p as ar a

la cons truce ion de un modelo para la teoria de los n timeros enteros ,

Es un hecho que la introduccion de los ntimero s entero s a niuel intuitivo

choca con [uerte s obs tdculos, pues los mode los bas ados en c ontar objetos

[isicos 0 en me dir magnitudes [is ic o-geometricas [allan cuando se quieren

aplic ar a los ntimeros enteros; En este sentido, tenian razdn los anti guo s cuan-

do recb azaban lila exis tenci a" de los negatiuos: de la mis ma manera que el

es tudiante de matemdtic as element ale s recbaz aba los ne gatiuo s p orque "cos as

que son menos que nacla no pue den exis tir' ', La vieja idea de inte rpre tar las

magnitudes neg atiuas como dis tanc ias hacia atras en un sistema de re ferencia,

o como de udas de dinero, no son 10 suficientemente conuinc ente s para la imag i-

nacion, Solo el trabajo algebrai co con la teoria de los entero s permite familia-

ri zars e con ellos y ac eptarlos ,

Pero las pre guntas ,Existen los ruimeros entero s ne gatiuos? ,Que es un

nsimero negativo? no son pre guntas carente s de sentido y que deb an ser des-

pr eci adas, Ni son pre guntas que por su cardc ter aparentemente me tafis ic o no

deb an ser contes tadas por las matematicas. La pregunta tiene una respuesta

dentro de las matematicas, diferente del simple enunciado de los axiomas.

Si existen los enteros (y por 10 tanto los negativos). Hay un modelo que satis-

face los axiomas. Hay un conjunto (un verdadero conjunto) de objetos y rela-

ciones que cumplen las propiedades exigidas para poder llamaTse enteros.

Partiendo del modelo N que ya se tiene para los ntimeros naturales, for-

mamos el producto carte siano N x N •

Se define en N x N una relacion de equivalencia asi

(x, y) R (z. w) <=> x + w = y + z

E sta relacion de equivalencia determina una particion en clases de equivalen-

cia en el conjunto N x N .

Ahora si, procedemos a la definicion del modela

23

1) Universo c/e indivic/uos .

Se toman como individuos de la teoria las clases de equiu alencia det erm i-

nada s por la re lacion R. Es decir el conjunto

I [ n , m)] In, mEN l NxN/R

(Llamado conjunto cociente )

2) Operaciones

Las operacione s de los enteros que deb en cump lir los axiom as de ani/lo

algebraico se interpret an de la manera siguiente :

Ac/icion [(n,m)] + [(P,q)) = [(n+p,m+q))

Multiplicacion [ (n, m)] • [(p, q)] = [(np + mq , nq + mp)]

(Debemos obs eruar que estas operac ione s corre s ponden a las operacione s en-

entre las expre sione s (n-m} y (P-q) s uponiendo que ya tuuie ran uri s enti do),

3) Ore/en

La relacidn de orden de la teoria de los e ntero s se in terpre ta como:

[ ( n , m)] < [( p, q) ] «> n + q < m + p

Hem os us ado del mode lo que teni amos para los naturales, no solo sus

indiuiduos sino sus operacione s y relaciones .

Viene ahara un proceso que merece ser anali zado en detalle , Entre las

clases de e quiualenc ia que forman este modelo se tom an aque llas que tienen

la forma :

[ ( n, m)] en dond e

E s [dc il mo strar que es ta es una c aracteris tic a que se conserva para cual qu ier

e lemento 0 repre sentant e de la c la se , Una c las e de este tipo s e identifica con

el natural n' m • Qui quiere decir esto ?

24

E s posible demos trar que entre e I conjunto de las clas es de la [orma

indic ada :

N = I [(n, m)] In::: m I (se pue de repre sentar en la forma [(n,O)])

y el ar.tiguo modelo que teniamos para los naturales (N) se puede establecer

un isomorfismo por medic de la fun cion :

f: N ....N /( [ ( n , in) ]) = n - m

Este no es solo un isomorfismo de la e structura algebraica de anillo, sino

de la e struc tur a de orden, Como el nuevo conjunto de cl as e s, que a su vez es

un subconjunto del mode lo cons truido para los entero s, tiene las propieclacles

cle los naturales. Pue s el isomor[ismo garantiza, que las propiedades se con-

s eruan al cambiar [(n, m)] por nom y viceversa; llamamos numeros naturales a

este nuevo conjunto •

La ultima afirmacion no queda completamente clara, cuando s e cons truy en

los niimeros enteros de esta maner a, ,'Que paso con los anteriores naturales?

,Porque re sulta que y a no son los naturales, y llamamos nsimeros naturales

al c onjunto artificial que ac abamos de construir? En. term inos de modelos la

re spue s ta es muy s encilla •

'Teniamos un modele para la te oria de los numeras naturales. Hemos

cons truido un modelo para la teoria de los numeros enteros .

Dentro de este modelo (llamado Z) hemos encontrado como subconjunto

otro modelo para la teorfa de los numeros naturales. Tan bueno como el primero

pues cumple todos los axiomas de la teorfa de los naturales. La unica di/eren-

cia es que el primer modelo no es submoclelo de Z; en cambio, el segundo es

un submoclelo, (obviamente un subconjunto) de Z. E s clara, pues, la razon pa-

ra seguir trabajando con el nuevo modelo y no con el in ida I (2) •

La construe cion de los numeros racionales sigue un proceso an'lilogo a la

de los enteros •

Se parte de un modelo ya determinado para los enteros, llamado Z. Se forma

25

el produc to carte siano 2 x (2 -I 0 I)

En 2 x (2 - 1 0 I) sede jine la relacion de equivalencia :

(x , y) R (z, w) <=> xw yz

Se pro cede a la c onstruccion del modelo :

1) Universo de indivic/uos 2 x (2 - I 0 I) /R

(es dec ir, el conjunto de las clas es de e quiualencia ) •

2) Operac:iones

Ac/ic:ion: [ (x. y)] + [( z , w) ] = [( xw + yz, yw)]

Multiplicacion: [(x. y)] [(z, w) ] = [( x z , yw)]

3) Orc/en

[ (x, y) ] < [ (z. w) ] <=> xw < yz

tomando : y > O. w > 0

Como en los c aso s anteriore s se pue de comprobar que este mode lo cumple

todos los axiomas de los niimeros raci onale s, Es decir es un campo (cuerpo)

ordenado y cumple ci ert a s propi edades de minimalidad ,

LLamamos a este modele Q. el c onjunto de los numeros racionale s, Lo

mismo que antes, dentro del modelo Q hallam os un subconjunto que, con las

mi'smas operaciones y la mism a relacion, de arden de Q, re s trin gid as, s irue de

modele para la teoria de los numeros enteros. Es e submodelo es el [orm ado

POTlas cl ase s de e quiualenc ia de laforma:

[(x,y)] donde x es mtlltiplo de y

T odas estas clases se pueden re pr e s en tar en la forma:

[(z .1) 1 y si ident ific amos cada clase corre s pondiente con el entero z, obtene-

mo s el modelo nueVo para los enteros que tiene la ventaja de ser subconjunto

26

del modelo Q.

(2) Nota. Dentro de Z hay tambien un s ubc onjunto que s irue de mode lo para

los '<negatiuos'", Los ne gatiuos son las c la se s de Ia forma [(n, my] donde

n < m • De acuerdo con la definicion de arden en el modelo, tenemos que

[(n , mY]< [( 0 ,0)] pues n + 0 < m + 0

Pero [(0, 0)] es precisamente el elemento neutro de la adicion en Z. Si us amos el

hecho de que todas estas clases se pue den repre sentar en la forma: [(0 , n)]

n €: N podemos bacer la identificacidn simbdlic a: [(0 , n)] =-n y tenem os los

negatiuos en la es critur a acos tumbrada, Ob s erues e que

[(n , mY]+ [(m , n)] [(n + m, m--n} ] = [(0 , 0)]

C) El si guient e paso seria, naturalmente , con struir un mode lo para la teorla

de los numeros reales. E sta teoria con sta de un univers o de indiuid uo s inde-

terminado s, dos operacione s y una re lacion de orden, Los axiom as se pue den

resumir asi : (1) Axioma s de campo (cuerpo) para las dos operac ione s

(2) Axiomas de compatibilidad del ord en, es d ecir :

A) x > Y => x + a > y + a

B) x> Y A a> 0 => ax > ay

(3) Axioma de completitud (todo conjunto no vacio acotado superiormen-te tiene sUfnemo l.

La cons truccion de los numeros re ale s fue uno de es os logros maravillo-

sos de las matematicas del siglo pas ado. Y habria sMo imposible sin el rigor

logico que habia alcanzado el analisis 0 s in las ideas de la teoria de conjun-

tos que hacian su aparicion en ese momento •

Modelo cantor;mo de doses de suces;ones .

Se toma como punto de partida un modelo Q para los racionales •

Se forma el conjunto de todas las suces;ones ;nl;n;tas de Cauchy de nume-

ros racionales •

27

(la con structibilidad de este conjunto e std garant iz ada p or la Teorfa de Con-

juntos ).

Se define una re lac ion de e quiualenc ia entre las suce s ione s de este con -

conjunto por me dio de la nocidn de limite:

Como es natural esta re lac ion de termin a en S una particion en clas es

de e quiualenc ia, Como en los c aso s anteriore s, est as c las es de equiualencia

van a ser los indiui duos dela teoria,

Mode/o

7) Un;ver so de ;nd;v;duos : S !r-J

Un real es una clase de equiva/encia de suces;ones c!e racionales :

2) Operac;ones

[( rI' r2, 0 ; 0 ) ] + [( t1 ' 12' • 0 • )] = [( r1 + 11' rz + 12 ' 0 0 0 J1

[( r1, r2' 0 0 0 )] • [ (11 ' 12' • 0 0)] [( rl xiI' rz x 12 ' 0 0 • ) ]

3) Orden

[( r1 ' rz ' 0 0 • )] < [( 11 ' 12' 0 0 0)] significa que '3M tal que para i ~ M,

Ciertas clases de s uce sione s tienen entre sus elementos una su ces idn

constante de numeros racionale s, Es decir :

[ ( r, r, r, 0 0 0 ) ] donde r€ Q

Se puede demos trar que estas clases, con las mismas operacione s, siroen de

28

modelo para la teoria de los ntimeros rac ionale s, La ualide z del modelo s e

puede est ablecer por medio del is omorfi smo que res ulta al bac er la id ent ifi-

cacidn

[ (r. r, r••••••• .i)~

Tenemos un modele para los rac ionale s que es s ubmode lo del modelo para los

reales •

EI moJe/o de .DeJekinJ

Sea Q un modelo de los rac ionale s, Se tom a la familia de subconjunto s de

Q que cumplen Ids s iguientes propiedade s

(1) x E A " ,..< x => yEA

(2) A es acotado superiormente

(3) A no tlene ultimo elemento

A estos subconjuntos se les llama "cortes" y cons tituyen los indiuiduos del

mode lo, La relacidn de orden se reduce a la inclu s ion r

sign ific a ACB

La adicidn se define [dcilmente :

A+.B = I x+y I xEA,.. y~B I (que es un corte)

La multiplicacidn es un ·poco mds complic ada, y bace us o del orden, Entre los

conjuntos del modele hay algunos que tienen «Supremo71en Q. y otros que no 10

tienen, La familia de subconjuntos de Q que sf tienen supremo en Q consti-

·tuyen un moJe/o para los racionales. Un isomorfis mo de los nueuos rac ionale s

con los viejos se puede establecer por la [unc idn :

I(A) = sup (A) E Q

D) Los numeros complejos

La exis tenc ia de los ndmeros complejos [ue uno de los escollos con que

se tropezo el pens amiento .matemdtlc o durante mucb o tiemp~. Todo el problema

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puede res umirs e en la pregunta : "Existe V.l? ,I.2ue es V·U Cabezas como

la de Descartes se ui eron p erple i as ante los parado iic os numero s "inagina-

rio s'", y aunque los ll amaron imaginarios pre cis amen te por cons id erarlos irrea-

les, como no exi s tente s.; de s cubrie ron que era posible "{m aginarlos ", suponer

que si exi st ian, y trabajar algebraic amen te con ello s, Desde nuestro punto de

vista el problema se puede expre s ar asi: se tenia una teoria pero no se tenia

un mode/o. Los modelos intuitiuo s tradicion ale s, s acado s del mundo [is ico-geo-

me trico, [raca sab an aqui; no era po s ib le en contrar "entes" reale s con los

cuale s aso ci ar los ntimeros imagin arios ,

Pero es te problema no solo se pres en to bis tori camente sino que se pre sen-

fa cont inuamente a quien es, en el aprendizaje elemental de las matemdtic as ,

se en cue ntran con los nsimeros compleio s, T oda la aritm eti ca anterior de los

numero s naturales. enteros, racional es y algo de la de los re al e s, ha sido

comprendida gracias a los modelos basado s en contar y medir, modelos que

aqui no son apl ic able s, Surge inme dia tament e, entonc es, la pre gunta : ,'E xis te

i = V -U iExiste un ntimero i , tal que i2 = - U D'entro de Iateoria de los

niimero s re ale s esto es impo sible, pues to dos los cuadrados de ben ser positi »

vos 0 nulos .

No sabemos si existe i. No sabemos que es i. Pero resulta que se puede

hacer una teoria de i. Podemos suponer que existe y cumple la propiedad

deseada : i2 = - 1. Podemos suponer tam bien que i se porta como un verda-

dero numero; es decir que se puede combinar con los numeros rea/es, y tiene

la mayor parte de sus propiedades algebraicas. Todo esto es suponer. Pero

este suponer con stituye una teor/a. C uando todas las suposiciones se expre-

san de manera clara y precisa, tenemos los axiomas de la teoria de los nume-

ros complejos •

Los axiom as para la teoria de los numeros complejos se podrian resumir

en la siguiente forma:

(1) Los axiomas algebraicos de campo (cuerpo)

(2) Axioma de existencia de i :

30

(3 i) (i2 + 1 = 0)

(don de 1 y 0 son las identi dade s multiplicativa y aditiva del campo, respec-

tiuame nte ),

(3) Los complejos deb en ser uri campo que conte ng a a los re ale s y sea

minimal con res pee to a los ax iomas anteriore s,

Desde un punto de vista pur ament e axiomatic 0, se ha s olu cionado el pro-

blema della existencia de i . Simplemente hay un ax ioma de la teoria que

postula la exi s tenci a de es a i. No tie ne, pue s, s entido dudar de ella. dNo

tiene s ent ido? Lo sigue teniendo, Cuando el e studiante de maiemdtic as pre-

gunt a por la existencia de y se le da esta re spues ta, l a axiomatic a, no

queda conuencido, Le huele a truco, a circ ulo uic ioso, y tiene toda la razon,

Estti pidiendo que se le conuenxa de la "existencia" de un nsimero cuyo cUrl

drado e s -I, y se le conte s ta con un axiom a que iranquilamente afirma esa

existencia!. Sabemos, por otra parte, que es ab solut amente corr ecto pos tular

los ax ioma s, y que todas las propiedades de los complejos s e pu eden derivar

de ellos .

dE s obsoleta la pregunta sobre la exis ten c ia de i? c'Porque no es con-

uinc ente, intuitiuamente, la simple enunc iac ion de los axiomas ? Queremos que

se nos exhiba una cos a, un objeto tangible al cual identificar con i. Lo que

se esta pidiendo es un modelo en el cual corresponda a uno de sus objetos

concretos. Pero, dimporta"el modelo algol dCambiarian las cosas si tal modelo

no fuera posible, no existiera? La respuesta es simple: si tal modelo no exis-

tiera, la teoria no seria realizable, no se podria satisfacer, seria una teoria

imposi bl e, contradietoria .

La pregunta tenia un sentido mucho mas profundo de 10 que pare cia. Al

preguntar por la posibilidad de i se estaba preguntando por la posibilidad de

la teoria misma. Se estaba pidiendo mostrar que la teoria de los numeros com-

plejos no es absurda, no es contradtetaria.

Suponiendo que R es un modelo para la teoria de los reales ,

31

se pue de cons truir un modele para la te oria de los nsimeros complejos asi:

(1) Universo: R x R

(2) Operaciones: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a, b). (c,d) = (ac - bd , ad s. bc)

E.s [dc il c omprob ar que en e ste universo la identidad aditiva es la pare ja :

0' = (0,0) y la identidad multiplicativa es la p are]a I' = (1,0). Y en general,

que se cumplen las propiedades de campo. Para mo s trar que este mode lo cum-

pie el ax ioma de existencia de i, bautizamos con el nombre de i ala pareja

(0,1). Utilizando las de/iniciones de las operac ione s, tenemos :

(O,li + (l,0)

(0,1) • (0.1) + (1,0)

(00 - 11,01 + 10) + (1,0)

(-1,0) + (1,0)

(-1 + 1,0+0)

(0,0) = 0' es decir , i2 = - 1

Hemos obt enido, abor a si, la seguridad de que los ntimero s imaginarios son

re al iz abl e s, no son abs urdos; Han dejado de ser imaqin orio s ,

POT otr a parte, el conjunto RO = l(x,O) I x C R I , con las mis mas opera-

ciones ac abadas de de/in ir, y con una definicion ob uia del orden, re sulta ser

un modelo para la te oria de los ntimeros re ale s , T enemos, pue s, a los re ale s

como subconjunto de los complejos, c omprobando asi el ultimo axioma (no re-

quiere mucbo trab ajo pro bar la minimal idad ),

E) Hemos lle gado a construir un mode lo, C para la teoria de los n umer os

complejos, us ando para ello un mode lo, R ,de los re ale s; el c ual, a su ue z,

se cons truyo us ando uno de los racionale s, 1> ; este se construyo usando un

modelo Z ,de los enteros; para construir Z se uso un modelo N, de la teo-

ria de los numeros naturales. Y este modelo N se construyo usando directa-

mente conjuntos, prticticamente a partir del conj/mto vacio. Y en la 'sucesiva

32

construccion de los mode los solo se us aron las berramientas proporcionadas

par la te ori a de conjuntos, P odemos concluir entonces que los individuos de

todos los mod elos son conjuntos de conjuntos de conjuntos ... y que to das

las relaciones y operac ione s son re lac ione s y operaciones entre conjunto s,

reducibles a 10 pertenencia, ala intersecci on y a 1a union.

El siguiente diagr ama mue s tra clarame nte el proceso s e guid o

Veamos como en el proceso se han c ons tru id o N1 ,2] , Q] ,R], C] en su ce-

sion unos a partir de otros y al mis mo t ie mpo se han e ng endrado 5 mode los

para los naturales, 4 para los enteros, 3 para los rac ionale s, y 2 para los

re al e s, Modelos que, desde un punta de vista conjuntista, son diferente s, Solo

los modelos finales: N5 ' 24 ' Q3 ' R2 ' C] tie nen las pro pie dad e s de in-

clusion exigidas a los sistemas numericos •

IV CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS MODELOS

De los casas analiz ados anteriormen te p odemos extra er algunos ideas

generales.

A) Los modelo s posibles para una teoria sun mucbo s; en re alid ad hay una

infinidad de mode los para c ada teoria ax iom dtic a, En la construcc ion de mode-

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los para las teorias numeric as se de se cbab a un mocle/o y se tomaba otro, con

la se guridad de que claba 10 mi smo,

B) La noci6n de i somorli smo es l a que permite compar ar y e s table cer re lacione s

entre los modelos de una teori a, En los sistemas num eric as, ya menc ion ados;

los mode los corr e spondiente s a una teoria, p or ejemp lo los 5 mode los de la

teoria de los naturales, son is omor jo s, uno se puede trans form ar en otro por

me dio de un a biyecci6n. E sta biyecci6n traduce las op eracion es y re laciones

de un mode lo en las operac ione s y re lacione s del otro,

C) No todos los modelos de una teoria tie nen que s er is omorjos; E I ejemplo

ge ometrico dado inici almente tenia por 10 menos dos mod e los , uno de 10 indi-

uiduo s ; ob uiamente estos dos mode los no p ue den ser isomorfos . Ademds s abe-

mos abora que R x R (donde R es un modelo de los re ale s), conueniente-

mente int erpre tado, s irue de modelo para la teoria del plano e uclide ano; y a

fortiori en un mode lo infinite para los dos ax iomas dis cutidos, T enemo s pue s,

modelos complet amente incongruentes para una mi sma teoria,

La Teor,a cle grupos nos da otro ejemplo para el c u al no todos los mode los

son isomor jos :

Teor,a :

Al (x + y) + z = x + (y + z)

A2 (30) (\1x)(x+ 0= x)

A3 (('t/x)(3y)(x+y=0)

Z 6 R. modelos para los enteros y los reales son perfectos modelos de la teo-

ria de grupos. Sin embargo, sabemos que Z y R no son isomorfos. OtTo modelo

de grupo seria el conjunto :

U = I ° I don de 0 se ha tomado de Z. Tenemos pues, modelos infinitos no

enumerables. modelos enumerables. y modelos finitos para una misma teoria

algebraica.

Todo esto nos /leva a la idea de teorlas categor;cas. Una teoria categ6rica

34

es aque lla en la cual todos sus mode/os son isomorfos, por ejemp lo : la teoria

de los numeros naturales. Una teoria no categorica s er ia, por eje mpla, la de

grupo s ,

,D) En el algebra se trab aja continuament e con los modelos. Cuando se de mue s-

tra un teorem a "algebraico" como por ejemplo :

T. Existe un grupo abeliano de n elementos, para todo natural n no se

e s td de mos trando un teorem a de la teoria de grupos; puesto que los axiom as de

l a teoria de grupos no permiten deduc irlo, Se e s td babl ando es s obre mode lo s

de la teoria de grupos , E I te orem a no se prueba deduciendolo de los axiom as,

sino cons truy endo model os de n elementos y comprobando que cumplen los

axiomas de grupo. Esto se puede bacer, por ejemp lo, tom an do c las e s de e qui-

valencia modulo n a partir de un mode lo de los naturales, y d efin iend o apro-

p iadament e la suma •

Ab ora bien, la comprobac idn de que el mo de lo cump le los ax ioma s, es a la

vez una demo stracion de ciertas propiedades del mode/o, demo str ac ion que se

bace dentro de la Teoria de Coniuntos, puesto que el modele es un con junto muy

de terminado, La comprobacion de que un mode lo conjuntista satis jac e una teo-

ria, es en el [ondo un teorema de la Teoria de Conjuntos.

Y LA CONSISTENC/A DE UNA TEORIA

Una teoria es consistente cuando no se pue de deducir nin guna contradic-

cion de sus axiomas. La inconsistencia 0 contradiccion de una teoria seria en-

tonces la posibilidad de deducir una proposicion del tipo P y no (P) a partir

de s !tS axiomas. E I problema cltis ico de I barbero nos va a proporcionar un e je m-

plo de 10 que seria una teoria inconsistente 0 contradictoria. La teoria es la

siguiente :

"En cierto pueblo existe un barbero que afeita exactamente a aquellas

personas que no se afeitan a si mismas".

35

Obs erues e que se trata de una uerdadera te ori a en la cual se bab la de cierto

uniuers o de indiuiduos (el pueblo) y de c iertas relac ion es (afeitar) entre in-

dividuo de ese universo (el barbero] y el re s to; Si llamamos: b al barber o

R a la re lac ion de afeitar podemos pre s ent ar la teoria como un uniu ers o in de-

terminado de ind iuiduas, un e le men to con s tante b y una relacion R para los

cu ale s valen los dos ax ioma s :

Ai x R x => bI x

A2 x I x => b R x

(Ai significaria: si x afeita a x, es decir se afei ta a si mismo, enton ces b

(el barbero) no afeita a x. A2 significaria : si x no se afe ita a si mis mo ,

entonc es b 10 afeit a ), Esta teoria no es c on s is tente

Sabemo s que b R bob lb. Sib R b, por e I ax ioma Ai podemos concluir

que bib, 10 cual es contr adic torio, Si bib, tambien lle gamos a una con-

tradicc uin por el ax ioma A2: b R b .

Ha s ido pos ible deriuar una contradicc idn de los axiom as y por 10 tanto

la teoria no es consistente, es contradic toria, iPodria baber un modelo para

esta te oria? Obs erues e que el pueblo y e l barbero no son un modelo riguro so

para la teoria, puesto que ni ellos son objetos de la Teoria de Conjuntos, ni

la relacion de afeitar es una relacion conjuntista .

Si hubiera un modelo conjuntista para la anterior teoria, llegariamos a la

conclusion de que hay un conjunto b y cierta relacion natural de los conjun-

tos' tal que Ii esta relacionado con b, y b no esta relacionaJo con b. Pe-

ro esto significaria que la Teoria de Conjuntos es contradictoria !

En resumen: si una teoria es contradietoria no puede tener modelos. Siuna teoria tiene mode/os es consistente. De esta manera, vemos que el metodo

apropiado para demostrar ta consistencia de una teoria es exhibir un modelo •

Las construcciones que se hicieron para fa teoria de los numeros naturales pru!J.

ban la consistencia de esta teoria, 10 mismo para las demos teorias numeric as.

36

La cons is tenc ia de los dos ax iomas geometric os tambien quedd demo strad a con

con el mode lo exbibido, Que l a Teoria de g rupos, por ejeml 10 no es absurda 0

inconsistente quedo d emos trado con el modelo de los entero s dado anteriorm en-

teo

Las ute ja s pregunt as : ~'Que es un ruimero ? ~'Existen los ne gatiuos ? dPue-

de existir y- l? ~'Son uerdade ros niimer os los irrac ionale s? dQue es un punto ?

etc ., no eran pre guntas ne c ias , sino que eran prdc tic amen te pre guntas por la

cons is tenc ia de las teorias inuolucrada s, Estas pre gunt as no que daron cont e s-

tad as ba st a que se con s truy eron modelos bas ados en la T eoria de Conjuntos ,

en los cuale s los ax iomas de la teoria eran demostrables como propiedades

del model», Estas demo str ac ione s se bac en dentr o de la mis ma T'eori a de Con-

juntos, y esto signi jic a que todos los problemas de c ons is tenc ia se re dujeron

ala Teoria de Conjuntos ,

lnme diatament e surge una dud a. Si la cons is ten cia de una te ori a la podemos

[undam entar en la Teorfa de Conjuntos, es p orque es tamos s uponien do 10 con-

sistencia de la Teoria de Conjuntos mi sm a. dComo probar la con sis tenc i a de

la Teoria de Conjub tos ? En realidad esta no ha s id o probada de una manera

completa. Pero esto no signijica que el metodo de modelos para demostrar

consistencia jracase totalmente en el caso de la Teoria de Conjuntos misma.

Fue por este metoda que Godel y Cohen lograron resolver el problema de

ta hipotesis del continuo. La hipotesis consiste en la ajirmacion de que el

segundo cardinal transjinito (el sucesor de NaY es c (ta paten cia del continuo).

Partif?1ldo de la suposicion de que la Teoria de Conjuntos es consistente, y

por'lo ta1'l,to apta para construir modelos, Godel, en 1940, adjunto a los axiomas

de la T. de C. la hipotesis del continuo como un nuevo axioma. Luego constru-

yo un modelo para esta nueva teoria, basandose, claro esta, su construccion

en la vieja. De esta manera demostro que si la Teoria de Conjuntos corriente era

consistente, entonces, al adjuntarle la hipotesis del continuo, seguia siendo

consistente. Es decir, la hipotesis del continuo podia suponerse verdadera sin

peligro de contradiccion. En 1963, p. Cohen adjunto a la T. de C. la negacion

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de la bipotes is del continuo, y cons truvo tambien un mode lo, de mostr ando asi

que la bipdt es is del continuo podia ne gars e sin peligro de c ontr adic cion ,

Quedo claro de es ta man era que ni la [al se dad ni la uerdad de la b ipdte s is

se podian deducir dentro de la Teoria de Conjuntos. Es·decir esta era indepen-

dienfe de la teori a, La no cion de independencia, de la cual e l anterior es un

ejemplo concreto es aplic abl e a las te oria s axiomdtic as en general, y son los

model os la berram ient a mas titil para trabajar con ella. Se pue de bab lar de la

independencia de una propo sic ion con respecto a una teoria, 0 a un con junto

cual qui era de otr as propos ic ione s; Se puede babl ar, entonc es, de la indepe n-

dencia mutua de los ax iomas de una teoria •

Para indicar la cl ase de resultados a los que se pue de lle gar con la no-

cion de modelo, me nc ionaremos como ciertos te orem as de lo gic a (Godel,

Loioenbeim-Skolem) implic an que c ual quier teoria cons is tente, con un conjunto

[inito de axioma s, fiene un mode/o cuya c ardin alid ad es enumerable. Sobra

explicar la importancia que esto puede tener en algebra, por ejem plo, Es sor >

prend ente, sin embargo, encontr ar que la Teoria de Con juntos misma, que con-

tiene como individuos conjuntos que no son enumerable s, tiene un modelo

enumerable.

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