Relacin: correspondencia que asocia los elementos de A llamado conjunto de

partida y B llamado conjunto de llegada

FUNCION de A en B: es una relacin que asocia a cada elemento de A y un nico

elemento de B (llamado imagen)

Dominio: conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida

Es funcin No es funcin

Y= x2 Y= X a cada x le toca dos y

FUNCION Y = f(X) Variable independiente Df

Variable dependiente Rf=If

Funciones Especiales

Funcin Constante: Una funcin de la forma F(x) = c, en donde c es una

constante y grficamente es una line paralela al eje de las abscisas

Y= 5

Y=R=Df

Funcin identidad o idntica

Y=x

Funcin de Valor absoluto Recuerde que el valor absolutoo magnitud, de un

nmero real x se denota eso el dominio de f son todos los nmeros reales.

y = IxI

y= IxI -2

Intervalos

a x b [a,b]

a < x < b ]a,a[ o (a,b)

a < x b (a,b] o ]a,b]

Funcin signo

Y= Sgn (x) = IxI / x => 0 no existe

Y=1 o Y=-1

Y= Entero x me quedo con el entero y el smbolo

3.23 = 3

-2.36=-2

Y= Decimal x me quedo con decimal y sin el smbolo

3.5=0.5

-3.5= 0.5

FUNCION LINEAL

Y = a*x + b siendo a y b nmeros reales

b: ordenada al origen corta el eje de las ordenadas (y)

a: pendiente de la recta e indica la inclinacin de la recta si

a>0 es creciente

a0 las ramas van hacia arriba

Si a0 dos races reales distintas =0 dos races reales iguales y es el vrtice 0 y a 1, y el exponente x es

cualquier nmero real. Su Df=R y If=R+ o (0,+). Grafico 1 y 2 cuadrante

Esta funcin crece a una proporcin constante

Todas las funciones exponenciales cortan el eje de las ordenadas (ejes y) en 1

La funcin exponencial es

Creciente cuando a>1

Decreciente si 0

Funcin exponencial con base e Uno de los nmeros ms tiles como base de una funcin exponencial es cierto nmero irracional denotado por la letra e, en honor

del matemtico suizo Leonardo Euler (17071783):

La funcin exponencial con base e se conoce como funcin exponencial natural.

Aunque e puede parecer una base extraa, surge de manera natural en clculo (como se ver ms adelante en otro

captulo).Tambin surge en el anlisis econmico y en problemas que implican crecimiento o decaimiento naturales, como

estudios poblacionales, inters compuesto y decaimiento radiactivo.

Cambio de nivel cuando sumo o resto una constante y es la asntota

Si multiplico por una constante , k es el N que cortan el eje de y

Cambio de signo

La funcin exponencial con base e se conoce como funcin exponencial natural.

FUNCION LOGARITMICA

Es una funcin de la forma ( ) a x, donde a es un N R y a>0 y a 1

Es la funcin inversa a la exponencial entonces

a b=c

Esta funcin tiene su Df=R+ o (0,+). y If=R

Y grficamente ocupa el 1 y 4 cuadrante

De la grfica puede deducirse que el dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. Por tanto,

los nmeros negativos y el cero no tienen logaritmos

El dominio de una funcin logartmica es el intervalo. Esto es, no existe logaritmo de nmeros negativos ni

del cero.

El rango es el intervalo.

El logaritmo de 1 es 0, que corresponde a la interseccin x (1, 0)

Los logaritmos de base e son importantes en el clculo y se conocen como logaritmos naturales. Usamos la

notacin ln

REGLA DE APLICACIN

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Df=R

If= [-1,1]

=> Df= R { k

/ k es impar} y If= R

Crculo trigonomtrico o unitario

Porque cualquier radio es =1

Sen= [0,1] Cos= [-1,0] Tg= [-,0+

Sen= [-1,0] Cos= [-1,0] Tg= *0,+

Sen= [-1,0] Cos= [0,1] Tg= [-,0+

Sen= [0,1] Cos= [0,1] Tg= *0,+

Seno Coseno Tangente

Angulo Punto

00 (1,0) 0 1

90

0 (0,1) 1 0

1800 (-1,0) 0 -1

2700 (0,-1)

-1 0

3600 (1,0) 0 1

Grficos

( )

Frecuencia cuantas veces entra una onda completa en un

tamao de 2 (periodo)

Amplitud que tan alto y bajo llegan las ondas

LIMITE

Definicin El lmite de f(x) cuando x se acerca (o tiende) a a, es el

nmero L, escrito

( )

Siempre que f(x) est arbitrariamente cercana a L para toda x lo

suficientemente cerca (por valores mayores o menores), pero diferente

de a.

Limite lateral derecho ( ) 1 me aproximo por valores

mayores

Limite lateral izquierdo ( ) 2 me aproximo por valores menores

El limite existe si y solo si los limites laterales son iguales

( )

( )

CONTINUIDAD

Una funcin es continua en x=a si se verifica que

( )

( )

( ) ( )

Una funcin es discontinua si no cumple con alguna de las condiciones

mencionadas

Discontinuidad evitable: tiene lmite pero o no existe F(a) o es distinta del

limite

Discontinuidad esencial: no tiene lmite finito o no existe el limite

Funciones continua en un intervalo cerrado (a,b)

1. F es continua en ese intervalo

2. ( ) ( ) y ( ) ( )

Son funciones continuas

Lineales

Cuadrticas

Polinmicas

Exponenciales

Logartmicas

Las trigonomtricas seno y coseno

DERIVADA DE FUNCIONES La pendiente de la recta secante a un grfico de una funcin y =f(x) por los puntos

P=(x,y) y Q=(x+x,f(x+x)) y se define el cociente incremental:

Pendiente de la recta secante ( ) ( )

Pendiente de la recta tangente al grfico de una funcin y =f(x) por los puntos P=(x,y)=(x,f(x)) y se define el lmite del cociente incremental:

Pendiente de la recta tangente ( ) ( )

DERIVADA: es la variacin o fuerza de crecimiento o decrecimiento instantnea que experimenta una funcin en un punto. Matemticamente es el lmite del cociente incremental de una recta secante que pasa por dos puntos a medida que los puntos se acercan entre si

F(x) o

Y se define, para cada x, como: F(x)= ( ) ( )

si dicho limite no existe la

funcin no es derivable en x Interpretacin geomtrica de la derivada

La derivada indica la velocidad, tasa, ndice o rapidez con que cambia la funcion en el punto x

PUNTOS CRITICOS Y PUNTOS DE INFLEXION

Puntos F F

Punto Crtico Mximo 0 -

Punto Crtico Minimo 0 +

Punto de Inflexion +- 0

Punto de inflexin a tg horizontal 0 0

PUNTO CRTICO

La CONDICION NECESARIA es que f sea cero

La condicin suficiente es que la primera derivada no nula que aparezca sea

una derivada par

F l Fll Flll Flv

0 0 0 8 Punto crtico mnimo

0 0 0 -5 Punto crtico mximo

PUNTO INFLEXION

La CONDICION NECESARIA es que f sea cero

La condicin suficiente es que la primera derivada no nula que aparezca sea

de orden impar

F l Fll Flll Flv Fv

-/+ 0 0 0 4

0 0

CALCULAR PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS

Tabla de derivacin

FUNCIN DERIVADA

y = k y= 0

y = x y=1

y = k.x y=k

y = xn y = nxn-1

Operaciones de derivadas

1. ( ) ( ) ( ) ( )

2. ( ) ( ) ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( )

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5. (

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) siempre que g(x)0

6. [ ( ( ))] ( ( )) ( )

NO TODAS LAS FUNCIONES SON DERIVABLES

Si f es una funcin discontinua en x=a, entonces f(a) no existe

Existen funciones continuas que no son derivables (ej: funcin de valor

absoluto tiene puntos corners o punto esquenas)

IMPORTANTE: Si F es derivable decimos que su grafico es

Cncavo hacia arriba o convexa en el intervalo (a, b) si f(x)>0 para todo x en ese intervalo. F es creciente para x en ese intervalo es decir que las

pendientes de la tg son cada vez mayor a medida que crece de a a b Cncavo hacia abajo en el intervalo (a, b) si f(x)

INTEGRAL DE FUNCIONES

Una primitiva de una funcin y=f(x) es una funcin F(x) que verifica: F(x)= f(x) Notacin diferencial: dF(x) = f(x) d(x) La INTEGRAL INDEFINIDA de una funcin y=f(x) respecto de la variable x es la

funcin primitiva F(x) que verifica que:

( ) ( ) ( ) ( )

TABLA de integral indefinida

Operaciones derivada indefinida

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

INTEGRAL DEFINIDA (regla de Barrow)

Si y=f(x) es una funcin continua en un intervalo [a,b] y F(x) es una de f

en dicho intervalo, entonces la integral definida se define como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Esto se resuelve hago la integral y luego sustituyo por el intervalo

ejemplo

Propiedades de la integral indefinida

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

LA INTEGRAL DEFINIDA DA COMO RESULTADO UN NUMERO REAL

APLICACION DE INTEGRAL DEFINIDA: CALCULO DE AREA

EL COSTO TOTAL ES C(x) = 300 x2 + 2000x para encontrar el costo marginal derivo la funcion

c ' (x) =600 x + 2000

SI ME DIERAN COSTO MARGINAL entonces busco su integral indefinida C(x) = 300 x2 + 2000x

Lo mismo pasa con el ingreso total e ingreso marginal