Foro Educadores para la era digital. Seminario Modelos innovadores en las aulas:

aprender en la sociedad del conocimiento, escuelas y tecnologías.

EL ERROR MATEMÁTICO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRASLACIÓN DE FIGURAS EN

SEGUNDA VIDA

TENDENCIAS EDUCATIVAS 2.0

MATHEMATICS ERROR IN THE PROBLEMS OF TRASLATION FIGURES IN SECOND LIFE

EDUCATIONAL TRENDS 2.0

Mta. Alejandro Uribe López

Universidad Marista de Guadalajara

alejandro.uribe.lopez@gmail.com

Phd Yolanda Gayol de Pallán

Fielding Graduate University

yolandagayol@gmail.com

1 Foro Educadores para la era digital

1.1Seminario Modelos innovadores en las aulas: aprender en la sociedad del

conocimiento, escuelas y tecnologías.

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RESUMEN

El tema de las matemáticas genera frecuentemente aversión y resistencia en las

comunidades educativas de todos los niveles. Ello se debe a los pobres desempeños

que en nuestro país se observan en la sociedad contemporánea, cuando se comparan

con el resto del mundo. Sin embargo, no siempre ha sido así. Nuestras culturas de

origen, entre ellas los mayas y los aztecas se aproximaban a las matemáticas con

gran respeto y admiración pues las concebían como una parte de la esfera de lo

sagrado. Quizás debido a esa actitud, la habilidad de nuestros ancestros para utilizar

los códigos matemáticos en la astronomía, la arquitectura y el registro de su propia

historia aún asombra a los estudiosos del pasado. Gracias a esa devoción hacia las

matemáticas, manifestada en la construcción de templos, el diseño de sus ciudades y

la narración de sus hazañas en el tiempo, podemos rescatar esa parte de nuestro

legado cultural, aún con la tremenda devastación colonial que se empeño en borrar de

la historia esos logros.

Una actitud de veneración hacia las matemáticas semejante a la de nuestros

ancestros se encuentra en los Pitagóricos, reconocidos como raíz y fundamento de la

historia de los símbolos numéricos en sociedad occidental que heredamos de los

europeos. En esa narrativa de la historia de las matemáticas se entrelazan dos

perspectivas. Una que analiza el origen, la naturaleza, el concepto, los métodos y los

límites de esta forma de conocer (Larroyo, 1976) y la otra que ausculta el sentido y la

finalidad de las matemáticas. Cualesquiera que sea la aproximación hacia el estudio

de las matemáticas, resulta importante preguntarse: ¿cómo rescatar esa actitud de

respeto y aprecio hacia las matemáticas en el mestizaje de nuestra cultura

contemporánea? Hoy más que nunca, el desarrollo de la sociedad global depende de

una sólida formación en la comprensión lectora y numérica y al logro de este objetivo

no contribuye la reproducción del síndrome de ansiedad hacia las matemáticas, la cual

se gesta al utilizar pedagogías obsoletas en el aula.

La presente ponencia da cuenta de la problemáticas de aprendizaje que existe en

torno a las Matemáticas en sus áreas pedagógicas, sociales y tecnológicas. Con ese

propósito se propone una postura filosófica, teórica y pedagógica, apoyada en un

entorno virtual inmersivo, que aspira a contribuir a la solución del problema de la

enseñanza de las matemáticas en nuestro país. Una enseñanza que recupere las

habilidades inquisitivas y promueva la exploración no punitiva en el proceso de

construcción de significados numéricos.

PALABRAS CLAVES

Didáctica del error matemático, Geometría y Segunda Vida.

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SUMARY

The theme of mathematics generates aversion and resistance in educational

communities in all levels. This is due to the poor performance in our country are

observed in contemporary society when compared with the rest of the world. However,

it has not always been so. Our cultures of origin, including the Maya and Aztecs

mathematics approached with great respect and admiration for the conceived as a part

of the sphere of the sacred. Perhaps because of that attitude, the ability of our

ancestors to use mathematical codes in astronomy, architecture and recording their

own history still amazes scholars of the past. Thanks to that devotion to mathematics,

manifested in the construction of temples, the design of their cities and the narration of

his exploits in time, we can rescue that part of our cultural heritage, even with the

tremendous colonial devastation that efforts to erase history of those achievements.

An attitude of reverence towards similar mathematics to our ancestors is in the

Pythagoreans recognized as root and foundation of the history of numerical symbols in

Western society that we inherited from the Europeans. In this narrative of the history of

mathematics two perspectives are intertwined. One that analyzes the origin, nature,

concept, methods and limits of this way of knowing (Larroyo, 1976) and the other

listens to the meaning and purpose of mathematics. Whatever the approach to the

study of mathematics, it is important to ask: how to rescue this attitude of respect and

appreciation for mathematics in the mix of our contemporary culture? Today more than

ever, the development of global society depends on a strong background in reading

and numeracy and the achievement of this goal does not contribute reproduction

anxiety syndrome towards mathematics, which exploits the use outdated teaching

methods in the classroom.

This paper realizes the problem of learning that exists around mathematics in their

educational, social and technological areas. For this purpose a philosophical,

theoretical and pedagogical stance, supported in an immersive virtual environment,

which aims to contribute to the solution of the problem of teaching mathematics in our

country is proposed. Teaching skills to recover the inquisitive non-punitive and promote

exploration in the construction process of numerical meanings.

Mathematics error, geometry and Second Life.

1. Problemática

La enseñanza de las matemáticas esta centrada en tres factores que deben

analizarse críticamente: los problemas pedagógicos, sociales y tecnológicos.

KEYWORDS

Mathematical error didactics, Geometry and Second Life

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1.1. Problemas pedagógicos

Se ha observado que en la enseñanza de las matemáticas en América Latina

hay ambigüedad, contradicción y dispersión en los objetivos de aprendizaje. Además,

los contenidos de los programas no están basados en los estándares internacionales

en cuanto a claridad, alineamiento y rigor (Valverde & Naslund-Hadley, 2010).

Asimismo, la evidencia demuestra que los alumnos tienen una gran dificultad para

adquirir tanto el lenguaje como la estructura lógica de las matemáticas (Piu A.&

Fregola C. 2011). Esto da como resultado que los estudiantes adquieran solo el nivel

básico de razonamiento matemático al terminar su tercero de secundaria (Valverde &

Naslund-Hadley, 2010).

A manera de enfrentar los anteriores problemas en el nuevo modelo pedagógico

propuesto se elegirá una pequeña unidad de enseñanza que sirva de modelo para

demostrar el potencial de la propuesta innovadora. A partir de esta se analizarán las

necesidades del alumno y se observará meticulosamente su proceso de aprendizaje.

Asimismo, se revisarán los contenidos de enseñanza y se observará la práctica así

docente y se valorarán los métodos de enseñanza utilizados.

Según se observó al principio de este artículo, las actitudes del alumno hacía las

Matemáticas son un factor fundamental para lograr una aproximación amigable y una

adopción adecuada de sus códigos. Por ello, dentro de la dimensión pedagógica se

explorarán con particular atención las siguientes variables:

1.1.1. La motivación. A través de la revisión de los intereses intrínsecos de

los estudiantes será posible conocer si ellos se interesan por las

Matemáticas y subsecuentemente, si son capaces de aproximarse a estas

sin temor. Los datos del Programa Internacional para la Evaluación de

Estudiantes (PISA, por sus siglas en Inglés) muestran lo contrario. pues

En estos se evidencia que sólo el 1.5% de los alumnos evaluados tienen

motivación por las Matemáticas. Asimismo, los alumnos reportan que

tienen un cero por ciento de actitudes positivas hacia su escuela y

únicamente el 0.1% siente pertenencia a esta(Gómez, 2005). Por lo

tanto, es crucial que se creen espacios educativos que motiven a los

alumnos a aprender Matemáticas.

1.1.2. El autoconcepto. La percepción que tienen los alumnos de sí mismos

es una expresión del grado de confianza que tienen en sus capacidades

para resolver problemas matemáticos. Investigaciones realizadas en este

tema indican que solamente el 10.8% cree en sus habilidades numéricas.

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Asociado al autoconcepto se encuentra la creencia en la autoeficacia. A

este respecto se observa que solo el 22.7% se percibe como alguien

capaz de superar los retos que se presentan en el área matemática

(Gómez, 2005).

1.1.3. Los factores emocionales. En este ámbito se analizará el grado de

ansiedad que tienen los alumnos mientras abordan el tema de las

Matemáticas. Los estudios realizados demuestranque el 99.8% tiene

ansiedad hacia las Matemáticas (Jiménez & Salgado, 2003). Los

comportamientos exhibidos son de nerviosismo e inseguridad tanto

durante las clases como al hacer sus tareas. Estos comportamientos

desencadenan reacciones fisiológicas que terminan por bloquear la

dimensión cognitiva, lo que genera fallas en la comprensión y por

consiguiente, en el desempeño. Por eso resulta urgente minimizar los

niveles de ansiedad hacia las matemáticas en los estudiantes.

1.1.4. Las estrategias de aprendizaje. Desde esta perspectiva se analizará

el grado en que los alumnos se apropian de la información nueva y lo

relacionan con lo que ya han aprendido. De este modo serán capaces de

controlar su propio aprendizaje y comprobar que alcanzan los objetivos

educativos que les demanda el sistema escolar. Se ha estudiado que

muy pocos alumnos utilizan estrategias de control de su aprendizaje, solo

el 0.2%, y el 0.3% es capaz de elaborar estrategias y rutinas propias

(Gómez, 2005). Estos hallazgos dan cuenta de que los docentes

requieren intervenir pedagógicamente para desarrollar esta área.

1.1.5. El docente. Los profesores desempeñan un rol fundamental en el

logro de los estudiantes, pero en nuestro contexto existen limitaciones que

impiden la evolución de la escuela hacia las prácticas pedagógicas del

siglo XXI. La primera limitación es que los docentes utilizan muy

escasamente las tecnología de la información y la comunicación (TIC)

para enseñar Matemáticas (Stegman, Perez & Sánchez, 2011). Más allá

de los problemas de acceso y conectividad, los estudios realizados en la

región latinoamericana muestran que los maestros exhiben una gran

resistencia a la inclusión de computadora para actividades didácticas en el

aula (Morales, 2011). Una segunda limitación es que los docentes y las

instituciones ofrecen una retroalimentación muy escasa, tanto a los

estudiantes como a sus padres, sobre las evaluaciones del desempeño en

las matemáticas que realizan a los alumnos (Valverde & Naslund-Hadley,

2010). En tercer lugar, se observa que el uso de contextos reales donde

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los estudiantes aprendan las Matemáticas es muy escaso (Piu A. &

Fregola C. 2011). Los anteriores problemas de la práctica docente permite

concluir que los profesores tienen grandes dificultades para educar la

generación digital. De ahí que se proponga en este trabajo la

transformación de la práctica docente para adecuarla a las necesidades

de la sociedad global.

1.2. Problemas socioculturales

Las diferencias socioeconómicas y culturales tienen un impacto en el desempeño

de los estudiantes. Se ha investigado que en el tercer grado escolar, el cuarenta y

ocho por ciento de los estudiantes que pertenecen familias a con altos recursos tienen

nivel de desempeño satisfactorio. En contraste, solamente el diez por ciento de las

personas de escasos recursos alcanzan ese mismo nivel en las matemáticas. En el

sexto grado la realidad no es distinta ya que las proporciones en esta caso son de un

sesenta y veintisiete por ciento (Valverde & Naslund-Hadley, 2010).

A finales de la década de los sesenta, los sociólogos de la educación formularon

conceptos críticos que sirven para interpretan el papel de la escuela en la

reproducción de la desigualdad social. A Phillip Jackson (1968) se le atribuye el

término de curriculum oculto, que explica cómo las practicas cotidianas en la

institución escolar incentivan las aspiraciones de los niños de estratos altos al tiempo

que apagan la motivación de los estudiantes pertenecientes de las capas

socioeconómicas más desfavorecidas. A su vez, Pierre Bordieu y Claude Passeron

(1977) explican las razones de esta desigualdad en el desempeño a través del

concepto de capital cultural. En este caso, se observa un paralelismo entre la

formación que ofrece la escuela (usos lenguaje, hábitos, etiqueta) y la que ya han

recibido los niños de estratos medios y altos. Adicionalmente, Ivan Illich(1985)

cuestionó la burocratización y rutinización del aprendizaje, que apaga el entusiasmo

de los escolares y Paulo Freire (1970), señaló a través de su crítica a la ‘educación

bancaria’ las formas de control docente que subordinan a las clases marginadas. Por

último, el premio Nobel de economía, Amartya Sen indicó mediante el enfoque de

capacidades (Freeman, 2010) que los escenarios de posibilidad de los niños,

entendiendo y aceptando sus diferencias, deberían reforzar, no condenar su futuro

como gente capaz.

En virtud de los anteriores fundamentes, podemos concluir que la escuela debe de

tener claridad en la forma de integrar los tres elementos con los que está relacionada

el contexto político, tecnológico y pedagógico con el que decide, con cierta autonomía,

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relacionarse. El aprendizaje de las matemáticas esta orientado a impulsar el desarrollo

económico de las personas, las empresas y las naciones. También está relacionado

con el contexto político ya que contribuye a construir y controlar discursos,

significados e identidades.

El imaginario social presenta los códigos y significados matemáticos como

“difíciles” y solo “accesibles” a personas inteligentes y que no se equivocan. Esta

concepción social contribuye a que los estudiantes se distancien de estas. Asimismo,

la estructura del sistema educativo y por consiguiente, dan por hecho que el estudio

de las matemáticas sólo es “útil” para ciertos contexto de aprendizaje y carreras

universitarias tales como las ingenierías y el área económico administrativa, pero que

no son indispensables para contextos formativos humanistas, sociales y culturales. En

otras palabras, la educación funciona como una forma diferencial de enseñanza que

ofrece clases a diferentes tipos de estudiantes que, en el caso de este estudio, son

accesibles de acuerdo al uso o no de las matemáticas.

La visión social de las diferencias de poder se reproduce también en la perspectiva

de genero porque la socialización diferencia los papeles profesionales y laborales

según el sexo. Desde esta perspectiva, la escuela trabaja en contra del logro de las

mujeres en determinadas áreas académicas. Por ejemplo, se asume que las

matemáticas son más sencillas de aprender para los hombres que para las mujeres.

Este circulo promotor de la desigualdad se cierra cuando se observa que la deficiente

apropiación de las matemáticas limita las oportunidades económicas de la mujer en la

sociedad (Arnot, 1981). Es por ello que la enseñanza de las matemáticas también esta

limitada por esta estructura de genero.

Este estudio explora las variables sociales, pedagógicas y culturales imbricadas en

el estudio de las matemáticas en la institución escolar, con el fin de reducir el impacto

de los factores negativos arriba descritos y de esta manera, impedir su reproducción

acrítica. Por ello se debe dar seguimiento a la forma en que ha evolucionado el

pensamiento matemático. El esclarecimiento de la historia, la cultura, la política y la

pedagogía permitirá desarrollar programas atractivos para los alumnos al tiempo que

se fomenta su confianza frente a las Matemáticas. Ya se ha explicado a través de Sen,

que la percepción de los alumnos sobre su autoconfianza para desarrollar su potencial

en el futuro se incrementan conforme adquieren competencias Matemáticas:

Este hallazgo se amplificó aún más por la entrevistas con los estudiantes

que reveló el poder de las Matemáticas para cultivar la comprensión de los

estudiantes sobre las conexiones entre las Matemáticas y los resultados

para su futuro, tales como ir a la universidad o conseguir un trabajo mejor.

(Freeman, 2010,pág 54)

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En síntesis, el análisis de las dimensiones económica, social y cultural y

pedagógica son importantes para desarrollar programas que motiven el aprendizaje

de las Matemáticas y mejoren la confianza en sus capacidades para desempeñarse en

el futuro.

1.3. Problemas tecnológicos

La Organización de la Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura

(UNESCO por sus siglas en Inglés) publicó un estudio que evalúa el uso que los

profesores hacen de las tecnologías de la información para la enseñanza de las

Matemáticas. En dicho estudio se explica que:

En enero del 2008, UNESCO publicó un documento que brinda asistencia y

directrices para crear [o reformar] los programas de formación de profesores para las

Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), con el fin de cumplir con la

tarea de ofrecer una formación real a los estudiantes (futuros maestros). Estas guías

se dividen en tres marcos diferentes: el marco de las políticas educativas, las normas

de los módulos de la competencia y las directrices para su aplicación. (Morales, 2011)

La intención de la UNESCO al publicar este reporte fue la de ofrecer directrices a las

comunidades educativas de todo el mundo respecto a tres aprendizajes necesarios: la

competencia en tecnología, la profundización del conocimiento en matemáticas y la

creación de nuevas estrategias de enseñanza por parte de los docentes. Aunque esta

propuesta fue publicada desde 2008, su adopción ha sido muy limitada. Muchos

maestros la desconocen o no la comprenden. Por ello, los estudiosos del problema

consideran que deben atenderse cuatro prioridades nacionales:

1. La investigación sobre el uso de las TIC y su impacto en el rendimiento;

2. La investigación sobre el uso de las TIC y las características ambientales

(edad, sexo, raza, nivel socioeconómico, entre otros).

3. La investigación sobre el uso de las TIC y el software especializado en todas

las áreas (geometría, funciones, cálculo, entre otros) y las estrategias de

aprendizaje.

4. La investigación sobre el uso de las TIC y el diseño de actividades educativas

con la computadora. (Morales, 2011).

Tales prioridades son relevantes no solamente para América Latina sino también

en algunos países de la comunidad Europea. Por ejemplo, en España se observa que,

al encuestar al profesorado sobre el uso de las TAC1 sólo 53% reportan su utilización.

Llama la atención que el 20% de los encuestados no están de acuerdo en

1 El autor usa esta abreviatura para referirse a las “Tecnología del Aprendizaje y el Conocimiento”

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incorporarlas al aula. (Stegman, Pérez & Sánchez 2011). De ahí que la enseñanza

efectiva de las matemáticas en el siglo XXI comienza con problemas críticos como la

resistencia de los docentes para incluir las TIC en el aula. Aunado a lo anterior se

encuentra la carencia de software especializados en Matemáticas en nuestro país

(Morales, 2011)

Aunado a lo anterior, faltan programas académicos para adolescentes en espacios

virtuales inmersivos tales como “Segunda Vida” (Sweeney, 2008). Es por ello que la

dimensión tecnológica se presenta como una prioridad tanto para los investigadores

como para los pedagogos.

En breve, el aprendizaje en Matemáticas resulta un área de expansióñ importante

para los expertos en educación mediada por tecnología, sobre todo si tomamos en

cuenta el poco uso que se hace de las TIC´s en esta materia. La utilización de mundos

inmersivos en este campo de la enseñanza abrirá posiblidades de aprendizaje más

atractivas para los jóvenes nacidos en la “era digital”.

2. Respuesta a esta problemática

Las Matemáticas son un área de conocimiento evaluada constantemente debido a

su importancia para la sociedad contemporánea. Los múltiples estudios arriba

presentados muestran que su aprendizaje presenta múltiples problemas tanto

tecnológicos como metodológicos. Procede por ello preguntarse: ¿cuál es la

solución? ¿qué metodologías permitirán que los estudiantes aprendan?

La propia metodología de las Matemáticas arroja cierta luz sobre la forma en que

debemos plantear y resolver dichas preguntas. En primer término debemos centrarnos

en el concepto de “estructura”, que nos remite a la idea de ordenar, numerar y

posicionar la realidad, o una serie de realidades, por medio de un método

estructuralista. A través de este método se desarrollará una hipótesis, se definirán las

operaciones a realizar y se harán las generalizaciones correspondientes (Larroyo,

1976). La limitación al usar este método y esta ciencia es que se cometen errores.

Por ello, otro camino a seguir es analizar la noción de “error” en la ciencia.

Si se elige esta trayectoria, se debería repensar el aprendizaje de las matemáticas

(y en particular de la geometría) ya que su evolución histórica va develando los límites

en su avance a partir de los errores que se han ido cometiendo a través del tiempo.

Haciendo un paralelismo entre la evolución de las matemáticas y el error en el aula es

posible favorecer su aprendizaje, gracias a una didáctica muy particular. Asimismo, al

utilizar la teoría del error en entornos inmersivos como Segunda Vida, asumimos que

el aprendizaje de la geometría será más realista y significativo para los estudiantes.

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Procederemos entonces a escrudiñar la evolución histórica de la geometría como

disciplina matemática y la visión del error como estrategia didáctica para combinar

ambos problemas y desarrollar estrategias que favorezcan el aprendizaje de la

geometría en Segunda Vida.

3. Evolución histórica de la Geometría

El desarrollo de la geometría en la sociedad occidental puede agruparse en cuatro

grandes estadios: la geometría griega, la geometría del renacimiento, la geometría

proyectiva y las geometrías esféricas. Enseguida se explican las características

esenciales de cada etapa.

3.1. Geometría griega

Aristóteles explica que la geometría “es una ciencia deductiva, es decir, que tiene la

forma de un sistema de conclusiones obtenidas silogísticamente partiendo de un

conjunto de premisas fundamentales" (Laroyo, 1976). Euclides abunda en este tema

mediante la premisa de que en la geometría lineal, las líneas paralelas son las más

importantes. Esta aportación permitió conceptualizar y medir el espacio plano.

Pitágoras y sus discípulos tenían un respeto especial por la geometría ya que la ven

en relación con el Cosmo donde ven el dualismo del universo, aunado a la creación

del teorema de Pitágoras que permite la representación algebraica de los triángulos

rectángulos y nuevos principios geométricos que permitirán que esta se relacione con

la realidad

3.2. Renacimiento e ilustración

Copérnico y su sistema astronómico así como por las ideas de Galileo en el siglo

XVII hicieron avanzar el legado de los griegos. Asimismo, Descartes propone dos

conceptos que cambian la manera de comprender la geometría. El primero, es la

noción de orden matemático, es decir la matemática estudia el orden. Segundo, el

concepto de posición que tiene que ver con dar cuenta de fijar ordenadas y accisas en

dos ejes perpendiculares y asignando signos de menos y más a cada línea. Dicha

postura permitió desarrollar la concepción del plano cartesiano.

Por su parte, Tomas Hobbes aumenta la importancia de la geometría al proponer

que: “La geometría es la única disciplina cierta; todo conocimiento de la naturaleza

enraíza en ella; sólo conocemos aquellos objetos que podemos construir; de está

peculiar operación se derivan todas las demás consecuencias” (Hobbes, 1999). A su

vez, los conceptos desarrollados por Descartes serían mas tarde utilizadas por el

arquitecto Desargue cuyas ideas fundarían la geometría proyectiva. Como arquitecto,

Desargue aplicó la proyección central de las figuras geométricas, especialmente

enfocado en las cónicas, lo que permitió plantear la idea de las proyección geométrica.

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3.3. La Geometría proyectiva

La base de la geometría proyectiva se encuentra en la creación de un nuevo

método para resolver teoremas llamado geometría descriptiva. La estrategia básica

para la solución de dichos teoremas es la premisa de que la proyección permite

transformar una figura en otra, y así inferir las propiedades de una partiendo de la otra

(Larroyo, 1976). Esta premisa es utilizada por Monge (1999) para explicar que, “El

primer objeto es suministrar métodos para representar en una hoja de dibujo, que solo

tiene dos dimensiones: largo y ancho, todos los cuerpos de la naturaleza, que tiene

tres, largo, ancho y alto, siempre que estos cuerpos se puedan definir rigurosamente”.

Uno de sus discípulos, Lacroix hace avanzar la geometría al definir una serie de

reglas para crear figuras de tres dimensiones. Este trabajo conduciría al desarrollo de

la geometría esférica.

3.4. Geometría esférica y su evolución

El desarrollo de esta corriente presenta una visión totalmente distinta de la realidad.

Así, la geometría heredada de Euclides deja de ser plana para convertirse en curva. Al

respecto Boll (1966) explica que, “La geometría esférica es una geometría sin

paralelas”. En este sentido la geometría a designado las paralelas en dos planos. En el

contexto Euclidiano genera líneas paralelas, y en la geometría esférica, curvas. Ello

tiene como resultado cero. Estas dos posibilidades no pueden ser únicas y se abre

una tercera posibilidad, la del infinito. “hay una tercera alternativa. Así es como se ve.

Tiene una línea recta y hay infinitas líneas que pasan por el punto sin tocar la línea

original” Wertheim (2009)

A este modelo Tiamina & Herdenson (2001) lo llamo diagrama de crochet. Estudios

recientes de la geometría buscan comprender de que manera el modelo de crochet se

desarrolla en la realidad descubriendo que las babosas de mar lo replican.

(Figura 7: La tierra y el océano presentada por Taimina en 2010)

Esta breve síntesis histórica evidencia que las matemáticas están en constante

evolución. Actualmente se están investigando los espacios hiperbólicos donde la

realidad se torna infinita. Pero también se observa que la geométría ha ido

evolucionando y generando nuevos conocimientos a pesar de algunas posturas

erróneas que en ocasiones se han adoptado temporalmente. A partir de estas

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observaciones históticas se puede concluir que una postura pedagógica centrada en el

error puede dar luces y ayudar al desarrollo científico de los estudiantes.

4. Error matemático

El error matemático debe de ser entendido en sus dimensiones filosóficas, teóricas

y pedagógicas. Para ello se hará un repaso por Karl Popper y sus refutaciones en

torno a la verdad pura. Asimismo, se revisarán los principios teóricos en torno a la

concepción del error y se observará su aplicación pedagógica al área Matemática.

4.1. Orígenes filosóficos

El desarrollo de la teoría pedagógica del error tiene sus raíces en Karl R. Popper.

En el libro “Diálogos y Refutaciones”, Popper propone que el conocimiento científico

evoluciona porque “…en la búsqueda de la verdad, el mejor plan podría ser comenzar

por la crítica de nuestras más caras creencias” (Popper, 1983). La verdad científica se

fundamenta en la critica de las formas de pensamiento y la posibilidad de equivocarse

para desarrollar verdades científicas.

El error es parte integral de la acción y la cognición humana. En consecuencia, no

es posible acceder a la verdad científica sin reconocer que nuestro pensamiento es

falible. Por ello el origen del error como mediador didáctico se expresa en la posición

epistemológica de Popper.

4.2. Elementos Teóricos

El reconocimiento de la posibilidad de error no es la meta en la enseñanza de las

matemáticas. Es simplemente darle cabida a la reflexión en torno a sus componentes

y las relaciones causales que lo propician. La didáctica basada en el error es una

nueva forma de ver la ciencia. Suponemos con Trujillo (2005) que, “El error no puede

ser tomado como objetivo o meta en sí, sino como un obstáculo provocador que

hemos de superar. El error por sí mismo no conduce a nada, sino va seguido de una

reflexión sobre el mismo para encontrar la verdad”.

El estudio del error permite replantear cuatro aspectos claves de la manera de

enseñarlas:

Concebir las matemáticas como una disciplina humanística, en la que la

incertidumbre, el conflicto y la duda proporcionan la motivación para realizar

una búsqueda continua de ese saber a través de una comprensión

crecientemente compleja y refinada de su corpus de conocimiento.

Proponer el aprendizaje como un proceso de creación de sentido, que

requiere tanto la interacción social y la construcción de una idea de sí

mismo como un estudiante eficaz; es decir informado y competente.

Elaborar una pedagogía de las matemáticas para estimular la

autoconfianza como las habilidades de investigación de los estudiantes

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mediante el establecimiento de un ambiente de aprendizaje propicio.

(Borasi, 1990)

En síntesis, desde la perspectiva del error, las matemáticas se concibe como una

disciplina humanista que parte de un proceso de investigación, promueven la creación

de sentido, afirman la confianza en las capacidades individuales y estimula la

investigación autónoma de los estudiantes.

Estas afirmaciones están basadas en el constructivismo social. Desde esta

perspectiva epistemológica se propone que la forma de conocer se fundamenta en las

interacciones consigo mismo, con los demás y con la realidad. Son las comunidades

humanas quienes desarrollan la interpretación matemáticas de la realidad (Confrey,

1990). Así, el régimen de verdad matemática es desarrollada por la comunidad y su

evolución o involución ocurre en un contexto histórico determinado.

Desde esta postura se asume que el conocimiento es activamente construido por el

sujeto cognoscente y no pasivamente recibido desde el entorno (Kilpatrick, 1987). Por

ello, los alumnos deben ser parte del proceso de investigación y solución de los

problemas matemáticos. Ellos deben ser los artífices de su propio proceso de

aprendizaje.

Esto se logra mediante la construcción social del conocimiento donde las

interacciones sociales permiten la apropiación del conocimiento matemático. La

aprehensión de los contenidos implica un desajuste entre el nuevo conocimiento y la

experiencia previa que logra su acomodo a través de la reflexión y la reorganización

de lo aprendido. (Coob, Wood, & Yackel, 1990). A partir de ese conflicto, el alumno

debe reorganizar su visión de la realidad, y de las matemáticas, a manera que estas

tengan una relación vívida con su vida cotidiana. Este enfoque de las matemáticas,

social y humano las convierte en un tema significativo para los estudiantes.

4.3. Pedagogía del error matemático

Como ya se expresó, la pedagogía del error tiene su fundamento teórico en el

humanismo y el constructivismo social. Busca que el alumno sea consciente de los

errores matemáticos y aprenda de ellos por medio de la interacción social. Con esos

propósitos, Borasi (2008) ha desarrollado una estrategia didáctica que apoya este

proceso.

La pedagogía del error incluye tres fases: la intuitiva, la de conflicto y la de

resolución. En la fase intuitiva se invita al estudiante a exponer sus ideas previas, sin

calificarlas como verdaderas o erróneas. La fase de conflicto sirve para abrir un

espacio a las ideas alternativas generadas por los estudiantes, las cuales son

contrastadas con las propuestas por el profesor. La fase de resolución incluye la

presentación de los resultados del tema estudiado y la discusión en clase. A partir del

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diálogo se identifican las inconsistencias y se identifican las mejores concepciones. Es

un momento de retrospección del proceso en el que los estudiantes reflexionan sobre

el significado y las implicaciones de la solución propuesta.

Ésta forma de enseñar matemáticas evidencia el conflicto que el estudiante

encuentra al interactuar con nuevos conocimientos para que estos se vuelvan

significativos en su proceso de aprendizaje. A la vez, promueve la ruptura de la visión

de certidumbre asociada al talento, ya que cualquier estudiante tiene derecho a

equivocarse y, por ende, cualquiera pueda aprender.

El uso de las TIC para diseminar la pedagogía del error permitirá su apropiación de

manera universal y significativa. Los mundos inmersivos son un contexto que puede

favorecer la construcción de significados, sobre todo en el área geométrica ya que

permiten la objetivación de conceptos abstractos. La construcción y traslación de

objetos geométricos virtuales puede fácilmente implementarse en Segunda Vida.

5. Segunda Vida

Segunda Vida (SL por sus siglas en inglés) es un Entorno Virtual Multi-Usuario

(MUVE por sus siglas en inglés). En otras palabras, es un espacio donde se puede

construir y transformar la realidad. Este mundo sintético fue desarrollado por Philip

Rosedale, a través de la empresa “Linden Lab”. Él se planteó la posibilidad de crear un

mundo donde todos los usuarios pudieran cumplir sus sueños creando la realidad

virtual perfecta. Rosedale comienza a desarrollar su proyecto en el año de 1991. En

2002 lanza la versión Beta y el 23 de junio de 2003 se abre al público.

SL esta poblada por avatares, que son representaciones virtuales de los usuarios.

Estos a su vez construyen el mundo virtual por medio de objetos. Segunda Vida tiene

su propia moneda de cambio, llamada “linden dólar”, que permite comercializar

cualquier objeto o servicio generado en el ‘mundo interior’.

Esta plataforma gana un promedio de 18,000 nuevos usuarios diariamente, y el

número de visitas mensuales de sus ‘residentes’ se acerca a los 800 mil usuarios. La

tierra virtual construira supera los 2,060 kilometros cuadrados, además de generar

ingresos por $115 millones de dólares el año pasado (Gayol, Rosas y Uribe, 2011)

Segunda Vida ha sido adoptada por muchas instituciones educativas y cuenta con

muchos espacios para estudiar matemáticas. Un ejemplo es el Penn State Upward

Bound Math & Science Island de Penn State UBMS (82, 107, 29). En este territorio

virtual, los estudiantes de preparatoria cuentan con una isla que tiene música de fondo

atractiva para ellos, audio libros, presentaciones en power point, una biblioteca, un

aula y monitores de computadora para acceder a información diversa. Además cuenta

con una cafetería para interactuar socialmente entre clase y clase. En breve, los

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estudiantes disponende un espacio rico en recursos que permite la interacción

cognitica y social, lo cual los motiva a seguirse reuniendo y a escribir múltiples

entradas para que otros usuarios aprendan de ellos.

Otro espacio semejante es Math Bear Education Initiative de Dalton(68, 81, 109).

Esta isla cuanta con un salón de clases con televisión, con fórmulas matemáticas

escritas en las paredes, un computadora virtual y diversas presentaciones para

aprender matemáticas. También existe el Artsea SciLab en Xalfor (23, 184, 21) donde

se presentan figuras, planetas e información para aprender matemáticas y astronomía.

Hypatia's Classroom en EduIsland (25, 197, 22) cuenta con salón, alberca, biblioteca,

computadora para la búsqueda de información un reloj con la hora de las ciudadesmas

importantes del mundo, además de un letrero a la entrada que dice “I love math” para

motivar a los estudiantes en su estudio.

5.1. Elementos teóricos

Segunda Vida es un espacio de enseñanza virtual flexible, pues permite el acceso

en cualquier momento y desde cualquier lugar. Asimismo, favorece el aprendizaje

colaborativo con participantes de todo el mundo y ello aumenta la motivación (Joint

Information Systems Committee, JISC, 2006). Otra ventaja de SL es que promueve lo

que en inglés se define como affordance que es la relación entre el perceptor y el

objeto a estudiar en el entorno virtual (Laurillard, Stratfold, Luckin, Plowman & Taylor,

2000). En otras palabras, affordance permite que ocurra la relación entre el mundo

virtual y el usuario. El entorno pedagógico Segunda Vida cuenta con los elementos

teóricos necesarios para generar aprendizaje y favorecer el diseño instruccional de

actividades en línea.

5.2. Diseño pedagógico

El uso de la plataformas en internet para generar aprendizaje como es el caso de

Moodle, Segunda Vida, suponen una forma de aprendizaje diferente. El modelo de

Salmons propone cómo motivar a los participantes en línea, para construir el

aprendizaje a través de e-actividades apropiadas. Mediante esta estrategia es posible

promover el aprendizaje a través de programas de capacitación y desarrollo (Salmons,

G., 2002)

Dicho modelo tiene cinco etapas: 1) Acceso y motivación a partir de la cual los

estudiantes conocen el entorno virtual y buscan los elementos que le permiten

navegar confortablemente y generar un sentido de pertenencia; 2) Socialización en

línea a través de la cual se constituye una micro-comunidad que trabaja en línea

colaborativamente; 3) Intercambio de información, etapa en la cual los estudiantes

cooperan para alcanzar las metas trazadas y desarrollar las tareas requeridas

mediante el uso de estrategias para recuperar la información relevante; 4)

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Construcción del conocimiento, momento en el cual se desarrolla el pensamiento

critico, práctico y creativo para inventar, criticar, formular hipótesis y aplicar el

conocimiento (Sternberg, 1999); 5) Desarrollo fase en la que los estudiantes

reflexionan sobre su proceso de aprendizaje y realizan una mirada retrospectiva que

les permita autoevaluarse.

En breve, el modelo de Salmnos favorece la adopción de la plataforma, la

interacción entre los estudiantes, el aprendizaje cooperativo, la construcción del

conocimiento y la reflexión y evaluación de sus procesos de formación.

Este modelo puede utilizarse conjuntamente con la didáctica del error matemático,

mediante el traslapamiento de fases. Así, la fase de intercambio de información de

Salmons favorece la etapa intuitiva de Borasi, proponiendo concepciones erróneas.

Asimismo, la fase de construcción del conocimiento se puede asociar con las fases de

conflicto y resolución. Por último, es posible combinar la fase de desarrollo con la

visión retrospectiva del trabajo de los estudiantes.

6. Sintesis

El presente documento ha dado cuenta de la problemática en torno al aprendizaje

de las matemáticas, contextualizándola mediante la exploración de las áreas

pedagógicas, sociales y tecnológicas. Se propuso la estrategia didáctica del error

matemático como una alternativa pedagógica que permitiría el desarrollo de un

curriculum donde lo primordial es la solución de problemas y la interacción social del

conocimiento. Se explicó que este modelo favorece la motivación, el sentido de auto

eficiencia y auto eficacia, siendo ambos logros algo que da sentido a la vida e

identidad de los estudiantes. Asimismo se planteó que, diferencia de los métodos que

actualmente se utilizan en nuestro país, la pedagogía del error propone una visión no

punitiva del derecho a equivocarse, posición que resiste a la idea de que solamente

unos cuantos estudiantes privilegiados tienen posibilidad de desarrollar

adecuadamente sus competencias matemáticas. Esta estrategia favorece una

construcción social del conocimiento en matemáticas en la cual se promueve que

cualquier estudiante, independientemente de su género ó extracción social, sea

favorecido por la interacción colaborativa, con la intención de que vuelva capaz de

apropiarse del conocimiento matemático. Se propuso que desde esta pedagogía, es

posible realizar una nueva forma de enseñanza donde el docente estimule el

aprendizaje, en lugar de dedicarse solamente a impartir contenidos de manera lineal.

El modelo presentado también devela el curriculum oculto en tanto generador y

reproductor de desigualdades y promueve un cambio de actitud que permita al

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estudiante percibirse como una persona capaz de desarrollar sus competencias

matemáticas.

Por último, se discutió que el entorno inmersivo llamada Segunda Vida ofrece un

contexto tecnológico ideal para desarrollar esta nueva pedagogía porque las

características intrínsecas de la plataforma facilitan el interaccionismo social y el

desarrollo de esquema de construcción del conocimiento creativa y novedosa. En este

sentido Segunda Vida es un entorno favorecedor del aprendizaje matemático y, en

este contexto, de la Geometría.

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