Fourier Analyse

7/25/2019 Fourier Analyse

http://slidepdf.com/reader/full/fourier-analyse 1/28

Abstract…………………………………………………………………..……… 2

Indledning………………………………………………………………………. 3

Lyd og svingninger……………………………………………………………... 4toneintervaller………………………………………………………….….. 7

Formler for sinus og cosinus …………………………………………………... 8

sumformlen for cosinus…………………………………………………… 8

sumformlen for sinus……………………………………………………… 1

!rodu"tformler…………………………………………………………….. 11

Fourieranalyse…………………………………………………………………… 13

teoretis" Fourieranalyse………………………….………………………… 13

!ra"tis" Fourieranalyse……………………………..……………………... 1#

$uitarens "langfarve……………………………………………………….……. 21

%on"lusion……………………………………………………………………… 22

Litteraturliste………………………………………………………….………… 23

&ilag

1



Abstract

'(is !ro)ect investigates t(e t(eory be(ind musical tones* as Fourier series. '(roug( an e+!lanationof t(e general t(eory be(ind sound* (armonics and consonance or dissonance in music* formulas for

t(e sum* difference and !roduct of cosine and sine functions are derived* closely connected ,it(

t(eory of t(e unit circle and calculation of vectors.

An e+amination of t(e t(eory be(ind -ose!( Fouriers analysis of a com!le+ ,aveform leads into

furt(ermore mat(ematical t(eory be(ind some calculus manoeuvres ,it( relevance to t(e

determination of t(e Fourier coefficients.

'(is leads into an e+!erimental !art of t(e !ro)ect. /it( t(e recording of an electric guitar* t(e

sound file is analy0ed bot( manually and automatically on a com!uter.

'(roug( t(e e+!eriment it ,as noted t(at* manually* it is difficult to define a function ,(ic( fits t(e

gra!( of a com!le+ sound ,ave. It ,as observed t(at t(e !rogramme Logger ro ,as insufficient as

to t(e number of !arameters ma+imum # !arameters in total* so* in t(is !ro)ect* t(is met(od of

Fourier analysis ,as not used later on. '(e manually fitted curve for t(e sound ,ave ,as

transcribed into a Fourier series using t(e t(eory described !rior to t(e e+!eriment. Finally* t(e

guitar ,as evaluated as a uniue instrument* and it ,as described (o, small factors can influence

t(e result of t(e Fourier analysis.

2



Indledning

5usi" er i stigende grad blevet en del af det almene mennes"es "ulturforbrug i ta"t medudvi"lingen af nye og bedre medieudbud* samt te"nologier for !rodu"tion og mar"edsf6ring af

musi". r en musi"er s!iller en tone ! sit musi"instrument "an vi (6re det. 9ette er fordi lyden*

som musi"instrumentet frembringer* nr vores 6rer. 5en (vordan "an lyden* som bliver frembragt

langt fra os* neto! n vores 6rer:

9ette s"yldes b6lger* som er svingninger* der for!lanter sig* oftest i luft. 9isse b6lger er noget vi

st6der ! mange gange dagligt* da b6lger "an (ave mange fors"ellige fun"tioner* (vor lyd er ;n af

disse. 9en frans"e fysi"er og matemati"er -ose!( Fourier 17#8<183 udvi"lede allerede i sin tid*

det* der s"ulle (edde Fourieranalyse = som er en central del i dette !ro)e"t.

9ette !ro)e"t om(andler de svingninger som g6r musi" muligt og som g6r* at der efter(nden findes

instrumenter i flere (undrede afs"ygninger.

ro)e"tet vil i begyndelsen om(andle teoretis"e bes"rivelser af lyd og guitarens o!bygning som et

lyd!roducerende instrument* med bes"rivelser af* (vordan toneintervaller "an o!fattes (armonis"e

eller dis(armonis"e. 9erefter vil e"s!erimentelt arbe)de l>gge grund for en analyse af den

ele"tris"e guitars overtoner* og dette sammenlignes med teoretis"e unders6gelser. ?lutteligt vil

guitarens "langfarve blive vurderet* samt fa"torer som (ar indflydelse ! udfaldet af analysen.

3



Lyd og svingninger

Lyd er b6lger der for!lanter sig i et materiale* og som er sammensat af fre"venser som "an (6res.9isse b6lger bestr ydermere af svingninger* og for lyd er disse svingninger fors"elle i lufttry""et.

@vis en sanger synger* "an det (6res !ga. de gentagne try"svingninger i luften* som sangerens

stemmebnd !roducerer.

n svingning "an illustreres overs"ueligt ved et !endul* som bestr af et lod som (>nger i en snor.

Loddet tr>""es ud fra !endulets (vile!osition og nr det sli!!es igen svinger !endulet frem og

tilbage. r !endulet svinger fra den ene yderstilling til den anden og tilbage igen* (ar !endulet

udf6rt en svingning. samme mde fungerer en svingning i luftry""et* dog er det (er mole"ylerne

i luften* som svinges frem og tilbage. 9isse b6lger bliver sat i gang af f.e"s. en membran* et bnd*

en streng* !lader osv.* (vorefter b6lgerne bliver overf6rt til luften.

Bi "igger ! svingningerne i en streng. &6lgerne som frembringes ved at "ni!se strenge "aldes

tv>rb6lger* da de vibrerer ! tv>rs af udbredelsesretningen. ?vingningen i strengen s>tter gang i

svingninger i luftry""et om"ring strengen. 9isse lufttry"ssvingninger "aldes l>ngdeb6lger* da de

vibrerer i udbredelsesretningen.

'iden for en svingning "aldes b6lgens !eriode* med svingningstiden T . $runden til* at vi "an

s"elne mellem fors"ellige toner* er* at antallet af svingninger !r. se"und* "aldet fre"vensen f *

som mles i @ert0 Hz * >ndres. Fre"vensen af en svingning (ar ogs en(eden s−1

* som ogs

"aldes den reci!ro""e v>rdi af et se"und* daC

antal svingninger

sekund =antal svingninger ∙

1

sekund=antal svingninger ∙ s

−1

.

For en svingning er ω vin"el(astig(eden. Bin"el(astig(eden er defineret ved ω=2π ∙ f * (vor

f er fre"vensen. Fraf =

ω

2π fr viCω=2π ∙ f ⟹ω=2π ∙ s

−1⟹ω=2π ∙

1

s⟹ω=

2 π

s *

alts radianer !r. se"und.

4



T er svingningstiden* eller !erioden for b6lgen. ?vingningstiden angiver den tid* det tager et

svingende system at udf6re en svingning* og denne mles ofte i se"under. T er defineret ved

l>ngden fra b6lgeto! til b6lgeto! < b6lgel>ngden λ=

v

f ⟹ λ=

m/s

1/s =

m

s ∙

s

1=m

λ mles alts i

m * divideret med (astig(eden v i mlt im

s . T er altsT =

λ

v og en(eden er

T =

m

m/ s=s

.

?om sagt vil en streng vibrere med flere fors"ellige fre"venser* "aldet overtoner. n streng vil oftest

svinge med en grundsvingnings(astig(edω0 * med svingningstiden

T 1 . 'oner "an

frem"omme med flere fors"ellige overtoner* som frem"ommer ved bestemte fre"venser if(t.

grundtonen* med dertil(6rende bestemte vin"el(astig(eder og !erioder. Dvertoner "an bes"rives

som !artialtoner. 1. !artialtone "aldes grundtonen* og (vis vi "igger ! 2. !artialtone* vil denne (ave

en svingningstidT

2 * der er (alvt s lang som grundtonens. ?amtidig vil fre"vensen v>re den

dobbelte af grundtonens* da der gr to svingninger af 2. !artialtone ! ;n svingning af grundtonen.

9ette illustreres ! f6lgende graftegnet i !rogrammet $ra!(C

5



<EFG EFG 2EFG 3EFG 4EFG E #EFG 7EFG 8EFG HEFG 2E

<.8

<.#

<.4

<.2

.2

.4

.#

.8

x

y

@er er svingningstiden for grundtonenr6d graf T 1=4 π * for 2. !artialtone gr6n graf er den

T 2=

4 π

2=2π

og for 3. !artialtone!in" graf er denT

3=4 π

3=

2

3∙2 π

.

Bi vil unders6ge om svingningstiden T "an oms"rives* idet vi er interesserede i at f

vin"el(astig(eden til at v>re radianer !r. svingningstid for grundtonen* alts s

ω=2 π

T . Bi

"ender ω=2π ∙ f * og (er er fre"vensenf =

v

λ . Bi inds>tter dette i definitionen af

vin"el(astig(eden* isolerer b6lgel>ngden λ * og inds>tter dette udtry" i definitionen af

svingningstidenC

6



ω=2π ∙ f ⟹ω=2πv

λ ⟹ λ=

2πv

ω

9ette inds>ttes som sagt i definitionen af svingningstidenC

T = λ

v⟹T =

2πv

ω

v =

2πv

ω

v

1

=2 πv

ω ∙1

v=

2πv

ωv =

2π

ω

Bin"el(astig(eden er radianer !r. !eriode for grundsvingningen* som s"rivesω0=

2 π

T 1

for

grundsvingningen. 9a svingningstiden for 2. !artialtone*

T 2

* er (alvt s stor som for

grundsvingningen* (ar denne alts svingningstiden

T 2=

T 1

2=

2π

ω0

2=

2π

2ω0

= π

ω0

og vin"el(astig(eden2ω

0 * daC

ω1=2 π

T 1

2

=

2π

1

T 1

2

=2π

1∙ 2

T 1

=2∙ 2 π

T 1

=2ω0

i en(edscir"len nr vi alts 2 omgange rundt !r.T

1 osv. for 6vrige !artialtoner.

Bi "an o!summere i f6lgende to s>tningerC

< For !artialtonen n til en grundsvingningω

0 * med en vin"el(astig(edωn−1 * g>lder

derC

ωn−1=n ∙ω0

< ?amt svingningstidenT n C

T n= 2π

n ω0

7



9isse regler g>lder for alle strengens overtoner* og 3. !artialtone vil alts (ave svingningstiden

T 3=

2π

3ω0

og dermed vin"el(astig(edenω

2=3ω

0 .

Alle overtoner (ar dog i""e n6dvendigvis samme startv>rdi ved t =0 . 9ette "aldes

fasefors"ydning. @vis vi f.e"s. fr givet en fre"vens z * vil en svingning f v>re af(>ngig af

tiden t . Bi v>lger en cosinusb6lge* og dette s"rives f ( t )=cos(2πft )=cos(ωt ) . n

fasefors"ydning er som sagt en fors"ydning i startv>rdien* og i en(edscir"len vil det svare til* at

retningsvin"len i""e er 0 ved t =0 * men ved en anden vin"el φ * og vi "an s"rive

f (0 )=cos(φ) . en graf for en svingning viser dette sig i en vandret fors"ydning. 9enne

fors"ydning er en "onstant for den en"elte fre"vens og vi "an s"rive f ( t )=cos(ωt +φ) .

ndeligt "an de fors"ellige overtoner (ave fors"ellige am!lituder. 9vs. at deres udsving i for(old til

(vilestillingen* som er gennemsnittet af fun"tionen* i""e n6dvendigvis er ens for alle overtoner.

@vis vi inds>tter am!lituden A i vores forrige formel for en svingning* ser vi at formlen bliverC

f ( t )= A cos (ωt +φ)

Bi vil "igge n>rmere ! denne formel under afsnittet ?umformlerne.

Toneintervaller

5usi" siges at s"ulle v>re rent* eller stemt "orre"t* for at "unne lyde be(ageligt. 9ette ses da ogs*

nr en musi"er s>tter sig ved sit musi"instrument for at s!ille. ?trengeinstrumentet stemmes*

sledes at strengene stemmer overens med (inanden.

n guitar bestr normalt af en tr>!lade* "aldet "ro!!en* samt en tynd !lan"e* som "aldes (alsen.

$uitarens strenge er s!>ndt ud fra omtrent midten af "ro!!en* (vor det sted de foran"res "aldes

stolen* til enden af (alsen* som "aldes (ovedet. Bed (ovedet sidder ;n s"aldt strengeme"ani" !r.

streng. 9isse me"ani""er er s"ruer* som benyttes til at regulere s!>ndingen af strengene. For(oldet

mellem de fors"ellige strenges s!>nding er af afg6rende betydning for* om musi""en der senere

frembringes er rent.

8



5en (vad vil det sige* at et instrument er stemt rent:

”Pythagoras is said to have discovered the fact that two similar strings under the same tension and

differing only in length, when sounded together give an effect that is pleasant to the ear if the

lengths of the strings are in the ratio of two small integers”1

Dversat vil det sige* at yt(agoras s"ulle (ave g)ort den o!dagelse* at to ;ns strenge dvs. af samme

materiale og ty""else af fors"ellige l>ngder* nr de s!illes samtidigt* giver en be(agelig lyd* men

dette "un (vis for(oldet mellem de to strengel>ngder er to sm tal.

Bi n>vnte tidligere* at 2. !artialtone (ar (alvt s lang svingningstid som grundtonen. 9ette vil

medf6re* at b6lgel>ngden er (alvt s stor. 9ette "an overf6res til en guitarstrengs svingninger* og

dertil(6rende intervaller. F.e"s. (vis for(oldet mellem to strengel>ngder er 1: 2 "aldes dette en

o"tav. @vis for(oldet er 2: 3 "aldes dette en "vint. @er svarer fre"vensen for den lange strengs 3.

!artialtone til fre"vensen af den "orte strengs 2. !artialtone.

9et vil alts sige* at for at strenge s"al lyde rene i for(old til (inanden* s"al de (ave overtoner som

(ar samme fre"vens. 9ette "aldes "onsonans. I mods>tning (ertil findes dissonans. 9ette vil sige*

at to strenges svingninger in"l. overtoner neto! i""e (ar samme fre"vens.

Formler for sinus og cosinus

I afsnittet Lyd og svingninger "om vi frem til formlen f ( t )= A cos (ωt +φ) for en (armonis"

svingning. For cos(ωt +φ) g>lder en bestemt formel* ligesom der for sin(ωt +φ) g>lder en

bestemt formel. 9isse formler "aldes sumformlerne.

Sumformlen for cosinus

?umformlen for cosinus sigerC

cos(ωt +φ)=cos (φ ) cos (ωt )−sin (φ )sin (ωt )

Bi vil (er g indu"tivt til v>r"s for at bevise denne s>tning. Bi "alder i en(edscir"len cir"lens

s">ring med x <a"sen i x=1 for !un"tet F .

1 50.1: Harmonics. Feynman: The Feynman Lectures on Physics. Addison-

Wesley 1963

9



@vis vi (ar to retningsvin"ler t og s "alder vi deres til(6rende retnings!un"ter s">ringer

med cir"len for Pt og

Ps .

@vis vi v>lger t =45 ° og s=135° er de to retningsve"torerO Ps og

O Pt ortogonale*

og dermed er deres s"alar!rodu"tO Ps ∙ O Pt =0

. 9ette "an bevisesC

Bi bestemmer vin"len mellemO P s og

O Pt v(a. cosinusrelationerne. Bi (ar sidel>ngderne

|O Ps| * |O P t | og | Pt Ps| og vin"lerne s * t og vin"el∠Os−t * som er vin"len

mellem |O Ps| og |O P t | . Bi "an dermed s"riveC

a2=b

2+c2−2bc∙csA ⟹| Pt Ps|

2=|O P s|

2+|O Pt |

2−2|O P s||O Pt |∙cos(∠Os−t )

⟹|O P s−O P t |2=|O Ps|

2+|O Pt |

2−2|O Ps||O Pt |∙cos (∠Os−t )

|O Ps−O Pt |2

bestemmesC

10



|O Ps−O Pt |2=(O P s−O P t ) (O P s−O Pt ) ¿O P s∙ O P s−O P s∙ O Pt −O Pt ∙ O P s+O Pt ∙ O Pt

¿|

O Ps|2

−

O Ps ∙

O Pt −

O Ps ∙

O Pt +|

O Pt |2

¿|

O P s|2

−2

O Ps ∙

O P t +|

O P t |2

@er er det udnyttet* at a ∙ a=|a|2 * da

a ∙ a=(a1

a2) ∙(a

1

a2)=a

1a1+a

2a

2=a

1

2+a2

2=(√ a1

2+a2

2 )2

=|a|2

Bi regner videreC

|

O Ps|2−2

O P s∙

O P t +|O Pt |2=|

O Ps|2+|O Pt |

2−2|

O P s||O P t |∙cos(∠Os−t )

⟺−2O Ps ∙O Pt =−2|O P s||O P t |∙cos (∠Os−t ) ⟺O Ps ∙ O Pt =−2|O Ps||O P t |∙cos(∠Os−t )

−2

O Ps ∙ O Pt =|O Ps||O Pt |∙cos(∠O s−t )

Bi ser nu* at (vis to ve"torer O P s og O Pt er ortogonale* er deres s"alar!rodu"t

O Ps ∙ O Pt =0* da cos (90° )=0 .

Bi ser igen ! vores en(edscir"el fra f6r* med retningsvin"lerne t =45 ° og s=135° . Bi ser* at

vin"len mellem disse retningsvin"ler er s−t =135°−45 °=90 ° . 9a cos(90°)=0 * ligesom

s"alar!rodu"tet er "an vi sammenfatte* atC

cos(s−t )=O P s ∙ O Pt

%oordinaterne til retningsve"torerne til retnings!un"terne erC

O P s=(cos(s)sin(s) )

O Pt =(cos( t )sin(t ))

11



Dg vi (ar dermed atC

cos(s−t )=(cos(s)sin(s)) ∙(cos(t )

sin(t ) )=cos(s)cos(t )+ sin(s )sin( t )

Bi oms"river dette* idet cos(a+b)=cos(a−(−b)) . @vis t s"ifter fortegn vil "un sin(t )

s"ifte fortegnC

cos(s−(−t ))=cos(s)cos(−t )+sin (s)sin(−t ) ⟺cos(s+ t )=cos(s)cos(t )−sin(s)sin(t )

Bi (ar dermed bevist sumformlen for cosinus.

Sumformlen for sinus

?umformlen for sinus sigerC

sin(ωt +φ)=cos (φ )sin (ωt )+sin (φ )cos(ωt )

Bi "igger ! en(edscir"len igenC

Bi (ar nye retningsvin"lerC t =45 ° og s=−135° * (vormed de to retningsve"torerO Ps og

O Pt er !arallelle. @er er sin(t −s)=sin(45 °+135°)=sin(180°)=0 .

9er g>lder* at (vis to ve"torer er !arallelle* er determinanten .

det (O Ps ! O Pt )=0

Bi "an derfor s"riveC

sin ( t −s )=det (O P s !O Pt )

%oordinaterne til retningsve"torerne til retnings!un"terne for retningsvin"lerne s og t erC

O P s=(cos(s)sin(s) )

O Pt =(cos( t )sin(t ))

9erfor er determinantenC

12



det (O Ps ! O Pt )=|cos(s) cos(t )sin(s) sin(t )| ¿cos(s)sin(t )−sin(s)cos(t )

@vil"et er lig med * da de to retningsve"torer er !arallelle. Bi "an derfor s"riveCsin ( t −s )=cos(s)sin (t )−sin(s )cos(t )

Bi udnytter at sin(t +s )=sin(t −(−s)) . @vis s s"ifter fortegn vil "un sin(s) s"ifte fortegnC

sin

(t −(−s )

)=cos (−s)sin(t )−sin(−s)cos(t )

sin ( t +s )=cos (s)sin(t )+sin(s)cos(t )

?umformlen for sinus er dermed bevist.

Produktformlerne

Bi "an s"rive sumformlen for cosinus som cos( A+")=cos ( " ) cos ( A )−sin ( " ) sin( A) . @vis vi

erstatter " med # " fr viC

cos ( A−" )=cos (−" )cos ( A )−sin (−" )sin ( A ) ¿cos ( " ) cos ( A )+sin (" )sin ( A )

@vis vi l>gger disse to formler cos( A+") og cos ( A−" ) sammen* fr viC

cos ( A+" )+cos ( A−" )=cos (" ) cos ( A )−sin (" )sin ( A )+cos (" )cos ( A )+sin ( " ) sin ( A )

cos ( A+" )+cos ( A−" )=2cos ( " ) cos ( A ) ⟺cos ( " ) cos ( A )=12

(cos ( A+" )+cos ( A−" ) )

Dg dermed (ar vi en regel for !rodu"tet af cosinus. @vis vi i stedet for at l>gge cos( A+") og

cos( A−") sammen* subtra(erer vi og frC

13



cos( A+")−cos( A−")=cos ( " ) cos ( A )−sin (" ) sin( A)−(cos ( " ) cos ( A )+sin ( " ) sin( A))

¿cos ( " ) cos ( A )−sin ( " ) sin( A)−cos (" )cos ( A )−sin (" )sin ( A ) ¿−2sin ( " ) sin( A)

⟺sin (" )sin( A)=−1

2 (cos( A+")−cos ( A−"))

Dg dermed en formel for !rodu"tet at sinus.

Bi "an s"rive sumformlen for sinus for sin( A+")=cos (" )sin ( A )+sin ( " ) cos( A) . @vis vi

erstatter " med # " fr viC

sin( A−")=cos (−" )sin ( A )+sin (−" )cos( A) ¿cos ( " ) sin ( A )−sin (" )cos( A)

@vis vi l>gger disse to formler sin( A+") og sin ( A−" ) sammen* fr viC

sin( A+")+sin ( A−" )=cos ( " ) sin ( A )+sin (" ) cos( A )+cos (" )sin ( A )−sin (" )cos( A )

¿2cos (" )sin ( A ) ⟺cos ( " )sin ( A )=12

(sin ( A+" )+sin ( A−" ) )

Dg dermed (ar vi en regel for !rodu"tet af cosinus og sinusC

cos ( " ) sin ( A )=1

2(sin ( A+" )+sin ( A−" ) )

Bi "an samle afsnittets formlerC

?um< og differensformlerC

sin( A+")=cos (" )sin ( A )+sin ( " ) cos( A)

sin( A−")=cos ( " ) sin ( A )−sin (" )cos ( A)

cos( A+")=cos ( " ) cos ( A )−sin ( " ) sin( A)

cos( A−")=cos ( " ) cos ( A )+sin ( " ) sin( A)

rodu"tformlerC

14



cos ( " ) cos ( A )= 1

2(cos ( A+" )+cos ( A−" )) sin (" )sin( A )=

−1

2 (cos( A+")−cos( A−"))

cos ( " ) sin ( A )= 1

2(sin ( A+" )+sin ( A−" ) )

Fourieranalyse

Teoretisk Fourieranalyse

I afsnittet om"ring lyd og svingninger "om vi frem til* at en svingning "an inde(olde fors"ellige

overtoner. Bi fandt ud af* at en svingning "an s"rives ! formen cos(ωt +φ) * (vor φ er

fasefors"ellen for den en"elte overtone.

Bi udledte i forrige afsnit* at der for denne svingning g>lder formlenC

cos(ωt +φ)=(cos (φ )cos (ωt )−sin (φ ) sin(ωt ))

15



9a φ er en "onstant for en svingning* "an cos (φ ) "aldes "onstanten a * og −sin ( φ )

"aldes b .

cos(ωt +φ)=acos (ωt )+b sin(ωt )

Bi "an se* ved at sammenligne med tidligere* (vor vi sagde* at am!lituden A af en svingning

s"rives A cos(ωt +φ) * at "onstanterne a og b nu er am!lituder for den en"elte svingning.

9isse "onstanter "aldes Fourier"oefficienter.

For grundsvingningencos(ω0 t )

med fasefors"ellenφ

1 g>lder der altsC

cos(ω0

t +φ1)=a

1cos (ω0

t )+b1sin(ω

0t )

For grundsvingningens 2. !artialtonecos(2ω0 t )

med fasefors"ellenφ2 g>lderC

cos(2ω0

t +φ2)=a

2cos (2ω

0t )+b

2sin (2ω

0t )

@vis en tone bestr af flere fors"ellige overtoner "an vi s"riveC

f ( t )=cos(ω0

t +φ1)+cos(2ω

0t +φ

2)+cos(3ω

0t +φ

3)$+cos(n ω

0t +φn)

r vi taler om lufttry" er denne i""e n6dvendigvis . Bi er n6dt til at till>gge en "onstanta0 *

som er gennemsnittet af lufttry""et over en !eriode* dvs. gennemsnittet af fun"tionen f (t ) * da

f (t ) er !eriodis".

r vi benytter sumformlen for cosinus og regner videre* fr viC

f ( t )=a0 +a1cos (ω0t )+b1sin (ω0t ) +a2cos (2ω0t )+b2 sin (2ω0 t )

+a3cos (3ω

0t )+b

3sin (3ω

0t ) $+ancos (n ω

0t )+bn sin (n ω

0t )

eto! dette formel "aldes Fourierr>""en for f (t ) .

9et er nu muligt for os at danne en(ver "ontinuerlig !eriodis" fun"tion. 5en (vad (vis vi fr givet

denne fun"tions graf:

16



”It is easy to make a cake from a recipe; but can we write down the repice if we are given a cake?”2

Bi starter med at "igge ! "onstantena0 . Bi sagde tidligere* at dette er det gennemsnitlige

lufttry"* og vi "an derfor* da f (t ) er !eriodis"* bestemme "onstanten ved at finde gennemsnittet

af f (t ) over en !eriode T .

@elt element>rt er gennemsnittet af en m>ngde lig med summen af delm>ngderne divideret med

antallet af delm>ngder. Bi "an matematis" s"rive* at gennemsnittet af n delm>ngder erC

x1+ x2+$+ xn

n

For en !eriodis" fun"tion med svingningstiden T * (ar vi at% t =

T

n * (vis vi inddeler

intervallet 0 & T i n intervaller. Fra dette "an vi ogs s"rive* at gennemsnittet af

f (t 1)+f (t 2)+$+f (t n) erC

f (t 1)+ f (t 2)+$+ f (t n)n

9a vi (ar% t =

T

n⟺n=

T

% t og inds>tter dette i ovenstende ligning* fr viC

f (t 1 )+ f (t 2)+$+ f (t n )T

% t

=

f (t 1)+ f (t 2 )+$+ f (t n )1

T

% t

¿ f (t 1 )+ f (t 2)+$+f (t n )

1∙ % t

T

¿( f (t 1 )+f (t 2 )+$+ f ( t n) )% t

T ¿ 1

T ( f (t 1)+ f (t 2 )+$+ f (t n )) % t

2 50.4: !e Fo"rier coe#cien$s. Feynman: The Feynman Lectures on Physics.

Addison-Wesley 1963

17



Bi "an s"rive ( f (t 1 )+ f (t 2 )+$+f (t n ))% t som en s"aldt Jiemann sum. r vi (ar en sum af

arealer for re"tangler det svarer (er til allef (t n) ∙ % t

* som er (6)dernef (t n ) gange bredden

% t "an dette s"rives ∑i=1

n

f (t i ) % t . Fra ovenstende regner vi videreC

1

T ( f (t

1 )+ f ( t 2 )+$+ f ( t n )) % t =

1

T ∑i=1

n

f (t i ) % t

r vi inddeler !erioden T i o! mod uendeligt mange dele* og re"tanglernes bredde bliver

uendeligt lille* dvs. nr n gr mod uendeligt* fr vi integralet af !un"tm>ngden i stedet for

JiemannsummenC

1

T lim

n ' (∑i=1

n

f (t i ) % t =1

T ∫0

T

f (t )dt

$ennemsnittet af en !eriodis" fun"tion f med !erioden T er alts1

T ∫0

T

f (t )dt * (vil"et

neto! er "onstantena0 .

9e resterende Fourier"oefficienter "an bestemmes v(a. et tric" som Fourier o!dagede. @vis vi

ganger Fourierr>""en med en (armonis" fun"tion* f.e"s.cos(5ω0 t )

* fr viC

f ( t ) ∙cos(5ω0

t )=a0

∙cos(5ω0

t ) +a1cos (ω0

t ) ∙cos(5ω0

t )+b1sin ( ω

0t ) ∙cos(5 ω

0t ) +$

+a5cos (5ω0t ) ∙cos(5ω0t )+b5sin (5ω0 t ) ∙cos(5ω0t ) +$

+ancos ( n ω0 t ) ∙cos(5ω0t )+bn sin (n ω0 t )∙cos (5ω0 t )

@er vil gennemsnittet af n>sten alle udtry" v>re lig med . Bi viser dette* idet vi bruger

!rodu"treglen for cosinusC

18



cos ( " ) cos ( A )= 1

2(cos ( A+" )+cos ( A−" ))

?om udledtes under afsnittet Formler for sinus og cosinus.

a2cos (2ω

0t )∙cos (5 ω

0t )=

1

2a2cos (2ω

0t +5ω

0t )+

1

2a

2cos (2ω

0t −5ω

0t )

¿a2

1

2cos (7ω

0t )+

1

2a2cos (−3ω

0t ) ¿

1

2a2cos (7ω

0t )+

1

2a2cos (3ω

0t )

9a gennemsnittet af en (armonis" svingning* f.e"s.cos (2ω

0t ) er nul vil (ele denne udregning

v>re * som det bevises ved brug af den udledte formel for gennemsnittet af en !eriodis" fun"tionC

1

T ∫0

T

cos (2ω0t ) dt =1

T [−sin (2ω0t ) ] T

0

(2ω0

∙0 )−sin ¿

−sin (2ω0

T )−(¿¿)

¿ 1

T ¿

¿ 1

T (−sin(2( 2π

T )T )−sin(0))

¿ 1

T (−sin (4 π ) ) ¿

1

T ∙0=0

9enne udregning g>lder for n>sten alle de andre udtry" i Fourierr>""en* bortset fra

a5cos (5ω

0t ) ∙cos (5ω

0t )

. Bi fr daC

a5cos (5ω

0t ) ∙cos (5ω

0t )=

1

2a5cos (5ω

0t +5ω

0t )+

1

2a5cos (0 ) ¿

1

2a5cos (10ω

0t )+

1

2a5 ¿

1

2 a5

$ennemsnittet for fun"tionenf (t )∙cos (5ω

0t ) er dermed lig

a5

2 * og Fourier"oefficienten

a5 er dermedC

a5

2 =

1

T ∫0

T

f (t ) ∙cos (5ω0 t ) dt

19



a5=

2

T ∫0

T

f (t ) ∙cos (5ω0

t ) dt

!r>cis samme mde bestemmes Fourier"oefficienterne bn * (vor det f6lgelig er n6dvendigt at

gange fun"tionen medsin (n ω0t ) for at o!n at* f.e"sC

b3=2

T ∫0

T

f (t ) ∙sin (3ω0t ) dt

$enerelt set "an vi nu o!summere dette i f6lgende tre s>tninger for Fourier"oefficienternea0 *

an ogbn C

a0=1

T ∫0

T

f (t )dt an= 2

T ∫0

T

f (t ) ∙cos (n ω0

t ) dt bn=2

T ∫0

T

f (t ) ∙sin ( n ω0

t ) dt

Praktisk Fourieranalyse

den ele"tris"e guitar er der !laceret mi"rofoner under stlstrengene ! "ro!!en. 9issemi"rofoner bestr af en "erne af magnet omvi"let af ele"tris" ledende trd. r en streng over en

mi"rofon vibrerer* vil der induceres str6m i lederen. r vi o!tager elguitarens lyd dire"te ind i

com!uteren via. "ablet fra mi"rofonerne* vil vi f en b6lge* som derfor i""e er forstyrret af

baggrundsst6) i samme grad som (vis vi (avde o!taget en a"ustis" guitar.

9ette g6res* og lydfilen im!orteres til et databe(andlings!rogram* (er er det 5a!le 13. bilag A er

vist (vorledes dette g6res. n liste frembringes en liste der viser alle tidsintervallerder er o!taget

med en "valitet ! 44,1 kHz * s vi (ar alts ;t tidsinterval !1

44100s=2,2676 ∙10

−5s

og

deres til(6rende s!>nding og vi (ar nu en m>ngde data vi "an mle !se bilag & for dataliste. 9er

er flere mder at g6re dette !. n mde "an v>re at tegne en graf* som viser den ele"tris"e

s!>nding som fun"tion af tiden. @erefter er det bare at !r6ve sig frem. Fre"vensen for

grundsvingningen er for(oldsvis nem at finde* ved at 0oome ind ! en !eriode og afl>se

tidsintervallet fra !eriodestart til !eriodeslut. @vis en !eriodes l>ngde starter vedt 0 og slutter

20



vedt 1 er fre"vensen

f = 1

t 1−t

0

Hz. @vis vi mler

t 0=3,057 og

t 1=3,073

er fre"vensen

for grundsvingningenf 1= 1

3,073−3,057=62,5 Hz

. r vi f6rst (ar grundsvingningens fre"vens

f 1 (ar overtonerne selvf6lgelig fre"venserne

f n=n ∙ f 1 . Bi (ar (erefter en r>""e at

svingninger* (vor am!litudenan og fasefors"ellen

φn s"al til!asses* (vil"et g6res i (nden.

Bi ser (er bort fra starttry""eta0 .

f ( t )=a1sin (ω0

t +φ1 )+a

2sin (2ω0

t +φ2 )+$+an sin (n ω

0t +φn )

?om en sidebem>r"ningC For at g6re det en smule (urtigere at g>tte en grundsvingning* udnyttes

detmed en smule "ends"ab til guitarens tonenavne at vi (ar o!taget tonen A* som er to o"taver

under "ammertonen A som (ar fre"vensen 440 Hz . r en tone dy""er en o"tav* svarer det til* at

svingningstiden bliver dobbelt s stor* og fre"vensen bliver (alvt s lav. t o"tavs!ring ned fra

"ammertonen vil dermed give fre"vensen440 Hz

2=220 Hz

og et yderligere o"tavs!ring ned

giver fre"vensen220 Hz

2=110 Hz

. $rundsvingningen for vores o!tagede lydfil m alts (ave

fre"vensen ca. 11 @0* og "un ca.* da strengen evt. i""e er stemt (elt !r>cist til 11 @0.

n anden metode vil v>re brug af !rogrammer som Logger ro. Bores r mledata fra 5a!le "an

ved en "onvertering som indeb>rerC overf6rsel til /ord<do"umentgemmes som alm. te"stfil*

"o!iering til e+celregnear"* (vor dataene fordeles i to "olonner. 9isse "olonner "o!ieres over til

Logger ro* (vor en graf tegnes. r der er 0oomet ind ! en !eriode* "an man benytte fun"tionen

Kurve Fit* (vor "an man definere en fors"riftsformel* (vormed !rogrammet selv bestemmer

fre"venser* am!lituder og fasefors"elle = dvs. en regression af en Fourierr>""e.

21



9er er dog et !roblem. Logger ro "an "un arbe)de med # !arametre* (vil"et er en alvorlig

begr>nsning. For grundsvingningenf ( t )=a

1sin(ω

0t +φ

1)=a

1sin(2π f

1t +φ

1)

(ar vi 3 !arametre*

a1 *f 1 og

φ1 . Bi (ar dermed "un 3 !arametre tilbage at arbe)de med. r f6rst

f 1 er

bestemt for grundsvingningen bruger vi derefter "un 2 !arametre !r. overtone. For 2. !artialtone

bruger vi to !arametrea2 og

φ2 da vi "an s"rivef ( t )=a

1sin(ω

0t +φ

1)+a

2sin(2ω

0t +φ

1)

.

Bi (ar nu "un ;n !arameter tilbage* og med "un ;n !arameter "an vi i""e lave flere overtoner i

Logger ro. $raferne for mledata og fun"tionen man (ar fundet v(a. Kurve Fit "an dermed se

sledes udC

Bi fr fors"riften

f ( t )=−0,1397sin (2π ∙110 ∙t +2 )+0,06 ∙ sin (2 ∙2π ∙110∙ t −2,8 )

H%il&e$ %i ser i&&e er 'yldes$()rende 'or s$ren(ens 're&%enser.

A$ ()re de$ i !*nden er al$s* den +eds$e a' de n,%n$e me$oder om end de$

$a(er lid$ $id a$ +es$emme amli$"der o( 'ase'ors&elle !%il&e$ der i de$$e

$il',lde i&&e er e$ $ils$r,&&eli($ r*der"m a'. /'$er en sm"le ar+ede &an %i '*

22



')l(ende (ra' !%or de sor$e ri&&er er da$a"n&$er mens den r)de (ra' er den

man"el$ $ilassede (ra'.

@er (ar vi fors"riften

f ( t )=0,16 ∙ sin (2π ∙110∙ t +2,4 )+0,06 ∙ sin (2π ∙220∙ t −2 )

+0,05 ∙sin (2 π ∙330 ∙t +1 )

?om det ses er der stadig mange fe)l i fors"rifterne* men med enten mere tid eller et !rogram der

"an arbe)de med flere !arametre vil vi v>re t>ttere ! et "orre"t resultat.

Bi vil (er oms"rive vores fun"tion f (t ) til en Fourierr>""e. Bi vil analysere vores fors"rift fra

5a!leC

f ( t )=0,16 ∙ sin (2π ∙110 ∙ t +2,4 ) +0,06 ∙ sin (2 π ∙220 ∙ t −2 ) +0,05 ∙sin (2 π ∙330 ∙t +1 )

Bi s"al f6rst oms"rive denne fors"rift til en Fourierr>""eC

f ( t )=a0

+a1

cos

(ω

0

t

)+b

1

sin

(ω

0

t

) $+a

n

cos

(n ω

0

t

)+b

n

sin

(n ω

0

t

)

23



Bi (us"er vores sumformel for sinusC

sin(ωt +φ)=cos (φ )sin (ωt )−sin (φ ) cos(ωt )

og oms"river de fors"ellige sinussvingninger i fors"riften f ( t ) C

• $rundtonenC

0,16 (sin (2π ∙110∙t +2,4 ) )=0,16 (sin (220 πt +2,4 ) )

¿0,16 (cos (2,4 )sin (220 πt )−sin (2,4 ) cos (220 πt ) )

¿0,16 ∙0,9991sin (220πt )−0,16∙0,0419cos(220πt ) ¿0,1599sin (220πt )−0,0067cos(220πt )

• 2. !artialtoneC

0,06 ∙ sin (2 π ∙220 ∙ t −2 )=0,06 (sin (440πt −2 ) ) ¿0,06 (cos (−2 ) sin (440πt )−sin (−2 ) cos (440 πt ) )

¿0,06 ∙0,9994sin (440πt )+0,06 ∙0,0349cos(440πt ) ¿0,0599sin (440πt )+0,0021cos(440πt )

• 3. !artialtone

0,05 ∙sin (2 π ∙330 ∙t +1 )=0,05 (sin (660 πt +1 ) ) ¿0,05 (cos (1 ) sin (660πt )−sin (1 ) cos (660πt ) )

¿0,05 ∙0,9998sin (660 πt )+0,05 ∙0,0175cos(660 πt )

¿0,04999sin (660πt )+0,00088cos(660 πt )

Bi "an alts nu s"rive for vores f (t ) C

f ( t )=0,1599sin (220πt )−0,0067cos (220πt ) +0,0599sin (440 πt )+0,0021cos (440 πt )

+0,04999sin (660πt )+0,00088cos(660 πt )

Fourierr>""en ! den rigtige form bliverC

24



f ( t )=−0,0067cos (220 πt )+0,1599sin (220πt ) +0,0021cos (440 πt )+0,0599sin (440 πt )

+0,00088cos(660πt )+0,04999sin (660πt )

Guitarens klangfarve

t instruments "langfarve "an defineres som instrumentets en"elttoners lydstyr"e af overtoner.

9ette g6r os mulige at s"elne fors"ellige instrumenter* og det er ogs derfor vi f.e"s. "an s"elne

fors"ellige mennes"ers stemmer.

9er er mange ting der afg6rer* (vordan "langfarven for en genstand er* nogle f n>vnev>rdige "an

v>re f6lgendeC

< antallet af overtoner og deres styr"efor(old. -o flere overtoner* )o mere "om!le"s bliver

fors"riften for svingningen* og styr"efor(oldet overtonerne imellem (ar is>r betydning.

< (vordan lyden aftager og dermed ogs (vordan overtonerne aftager.

< (vil"en tone der s!illes* som (>nger sammen medC

25



< Instrumentets o!bygning og materiale* som selvf6lgelig ogs afg6rende betydning for

"langfarven* f.e"s. vil en tr>fl6)te lyde meget anderledes fra en metalfl6)te* selvom de

s!iller samme tone. Dvertonernes fordeling og styr"e (>nger t>t sammen med instrumentets

o!bygning og materiale. For en guitar (ar tr>sorterne* der er brugt til (alsen og "ro!!en

indflydelse* da "ro!!en resonerer med ved bestemte fre"venser* og "an dermed forst>r"e

visse overtoner. 9ermed (ar o!bygningen ogs indflydelse. -o mere tr> der "an resonere* )o

mere (ar det indflydelse ! overtonernes styr"e. For en a"ustis" guitar vil strengens

svingninger blive overf6rt til luften* (vorefter disse svingninger bliver refle"teret og

forst>r"et af guitarens s"aldte lyd"asse oftest udf6rt i tr>. I guitarbygning er selve

udformningen af tr>"assen med diverse afstivere af betydning for selve guitarens lyd* og

dermed alts fordelingen af overtoner. For at undg denne fe)l"ilde i dette !ro)e"t* da vi "un

er interesserede i at unders6ge selve strengens svingninger* er der benyttet en ele"tris"

guitar. @er bliver denne fe)l"ilde minimeret* men guitaren som (el(ed (ar dog stadig en

mindre indflydelse ! strengens svingninger.

Konklusion

baggrund af arbe)det med !ro)e"tet* "an vi "on"ludere* at

-ose!( Fourier udvi"lede en god form til at bes"rive "om!le"se

svingninger. 5ed udgangs!un"t i redeg6relsen for teorien

om"ring lyd og svingninger* samt udledningerne af bestemte

oms"rivninger for trigonometris"e fun"tioner* er

Fourierr>""en blevet bevist.

Bi "an samtidig "on"ludere* at det er vans"eligt at frembringe

relativt u"om!licerede toner fra musi"instrumenter* idet mange

fa"torer* (eriblandt guitarens "onstru"tion* tr> m.fl.* (ar

indflydelse !* (vordan niveauet af overtoner er fordelt for en svingning. 9et er dermed ogs

tids"r>vende at o!stille en "orre"t Fourierr>""e for en given lydo!tagelse.

26

Figur 1: Afstivere på bagsiden afen akustisk guitars frontplade



'il videre unders6gelse "unne det unders6ges* (vorvidt der er udvi"let et !rogram* som benytter

flere end # !arametre til automatis" at bestemme grundfre"vens* am!lituder og fasefors"elle for en

"om!le"s lydb6lge.

Litteraturliste

&6gerC

Albrec(tsen* ?teenC ourieranalyse. 9 data 1HH1.

K(ristensen* -6rgenC !"lger . yt ordis" Forlag Arnold &usc" 1H8

Klausen* Flemming et al.C #yldendals #ymnasiematematik #rundbog $. $yldendal 27.

Feynman* Jic(ard . et al.C %he eynman &ectures on Physics. Addison</esley 1H#3.

@)emmesiderC

27



@usc(* La,rence ?. 'isual (alculus.

,,,.arc(ives.mat(.ut".eduvisual.calculus. 1. 9ecember 2H

http://www.archives.math.utk.edu/visual.calculus

http://www.archives.math.utk.edu/visual.calculus

Date post:	28-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	kasper-ploug-jacobsen
View:	221 times
Download:	0 times

Fourier Analyse

Documents