FUNCIONES - goncaiwo.files.wordpress.com · Walter Orlando Gonzales Caicedo FUNCIONES 1....

Walter Orlando Gonzales Caicedo

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FUNCIONES

1. DEFINICIONES:

Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).

Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen:

1) f AxB.

2) (x,y) f (x,z) f y = z ó x Df; ! y Rf / (x,y) f y = f(x).

De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada.

Dominio de f: Df = {x A/ ! y B y = f(x) }

Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) B/ x A}

OBSERVACION: 1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir

sólo y sólo una flecha hacia B. 2) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si

cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto. 3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

4) f: A B. y = f (x) “Regla de correspondencia”. Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional. 2. NOTACIÓN FUNCIONAL Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado. Se denota por f(x) y se lee “f de x”.

Ejemplo: Si . Calcular: E = f(1) + 1 f(2)

Solución: Si x = 1 entonces: f(1) = 1 (1+1)/ 2= 1 Si x = 2 entonces: f(2) = 2 (2+1)/ 2= 3 Luego:

E = f(1) + 1 f(2) = (1 + 1)3 = 8 3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES: Si f es una función real de variable real si y solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto. Ejemplo: De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias y las rectas verticales no corresponden a funciones.



4. APLICACIÓN

Dado fA B, f es aplicación sí y sólo sí Df = A.

OBSERVACION:

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Toda aplicación es función, pero no toda función es aplicación.

FUNCIONES ESPECIALES 1. F. LINEAL:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=ax+b

a, b son constantes. Df = R Rf = R

2. F. CONSTANTE:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=b Df = R Rf = {b}

3. F. IDENTIDAD:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=x

Es una función lineal donde a=1, b=0

Df = R Rf = R

4. F. VALOR ABSOLUTO:

Regla de Correspondencia: y=f(x)= x

0 xsi x;

0 xsi x;f(x)y

5. F. RAÍZ CUADRADA:



Regla de Correspondencia:

y=f(x)= x

Df = 0R

Rf = 0R

6. F. CUADRÁTICA:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. 2 2 2, / 9f x y R y x

2 3 4, /g x y R y x

2, / 3h x y R x y

2, / 4j x y R x

Solución: Tenemos:

2 2 2, / 9f x y R y x

Donde:

2 29y x

Como “y” esta elevado a una potencia par Luego: f no es función

2 3 4, /g x y R y x

Tenemos:

3 4y x

Donde: “g” si es función porque la potencia de la variable y es impar.

2, / 3h x y R x y

Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c.

La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k



Tenemos:

3x y

22

3x y

23x y

Entonces:

2

2

2

2

2

3 , 03

3 , 0

3 , 0

3 , 0

x y yx y

x y y

y x y

y x y

Luego: Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto “h” no es función.

2, / 4j x y R x

Tenemos:

4x Luego: j no es función

2. Dado el conjunto de pares ordenados

23,2 3 , 1,5 , ,3 3,4 , 6,7 1,3 2, 4 , 2,2g x y x y x y x y

Hallar “x” e “y” para que g sea función y dar como respuesta Dom (g)∩Ran(g) Solución: Tenemos:

23,2 3 , 1,5 , ,3 , 3,4 , 6,7 , 1,3 , 2, 4 , 2,2g x y x y x y x y

Entonces: De Se tiene que:

2 3 4x y De Se tiene que:

2 4x y Luego: se tiene el sistema de ecuaciones

2 3 4

2 4 (3)

2 3

x y

x y

x y 4

6 3x y 12



8 8

1

x

x

2( 1) 3 4y 2 3 4

3 6

2

y

y

y

Entonces:

3,4 , 1,5 , 1,3 , 6,7 , 4,3 , 2, 4

3, 1,1,6,4,2

4,5,3,7, 4

3,4

g

g

g g

g

D

R

D R

3. Hallar el Dominio de:

3/ 22

2

2 3( ) 5 6

5 6

xf x x x

x x

Solución:

3/ 22

2

3/ 2 22

2 35 6

5 6

1 2 3

5 65 6

xf x x x

x x

xf x

x xx x

2 223

1 2 3

5 65 6

xf x

x xx x

Donde: Para:

2 5 6 0

3 2 0

x x

x x

+ - + - -∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

, 3 2,

Para:

22 5 6 0x x

2

2 2

3 2 0

3 2 0

x x

x x



+ + + - -∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

R- {-3,-2}

Luego: el dominio de la función es: Dom(f)= {(-∞,-3)U(-2,+∞)}∩[R- {-3,-2}] Dom(f)= (-∞,-3)U(-2,+∞)

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Sea la función F = {( x, y ) / y = x + 2 }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.

2. Para la función F = {(x,y)/ y = }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.

3. Hallar el dominio, el rango y esbozar la gráfica de las siguientes funciones con

valores en R.

a) 23)( xxf

b) 142)( 2 xxxg

c) 53)( xxh

4. La utilidad por fabricar una cantidad x de cierto producto viene dada por la

función:

1610)( 2xxxf , 0x . Graficar f

5. Sea la función f definida por 13122)( 2 xxxf , ]3,1[x . Hallar el

Ran( f )

6. Graficar la función:

)(xh

-2x si x < -1

x2 si 1x 1

1 si 1< x < 3

4x si 3x



7. Si F representa una función: F = {(3; 7a+2b), (2; 5) (2; a+2), (3; 5b-2a)} ¿Cual o cuales de los siguientes conjuntos son funciones? A = {(a;b), (b-a; 5), ( 5; b-a), ( a+b ; 5)} B = {3;b),(b;3),(3;8),(9;2a-b)} C = {(3;5),(9,7),(b;a),(5a+3b)}

8. Sean los conjuntos: A= {1,2,3} y B= {a,b,c,d,e} ,entonces: F= {(1,b);(2,b);(3,d)} es una función de A en B F= {(1,b);(1,c);(2,a); (3,e)} es una función de A en B F= {(1,b);(2,c)} es una función de A en B F= {(1,c);(2,c);(3,c)} es una función de A en B Representar cada caso en un diagrama sagital.

9. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta:

a)

b) c)

d) II. Hallar el dominio, rango y graficar cada uno de las siguientes funciones:

10. 3y

11. 2y

12. 3

xy

13. xy

14. 3xy

15. 33

xy

16. 2

2xy

17. 5

)4( 2xy

18. 25 2 xxy

19. 5

23

x

xy

20. 2)3(xy

CLASES DE FUNCIONES 1 F. INYECTIVA (UNIVALENTE ó 1-1)

f: A B, es inyectiva x1, x2 Df x1 x2 f (x1) f (x2); es decir, cuando los elementos se relacionan uno a uno. OBSERVACIÓN:



Una función es inyectiva cuando cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen diferente, es decir, cuando los elementos del conjunto de llegada tienen una o ninguna contraimagen.

Ejemplos:

1. 3-x

x3)(xf es inyectiva.

2. g(x) = 2x² + 2 no es inyectiva, pues g(1) = g(-1) = 4

2 F. SURYECTIVA, SOBREYECTIVA O SOBRE:

f: A B, es suryectiva si: y B, x A / (x.y) f ó y = f(x) “Regla de correspondencia”; es decir, el Rango es igual al conjunto de llegada. OBSERVACIÓN: Una función es sobreyectva cuando el rango es igual al conjunto de llegada, es decir, cuando todos los elementos del conjunto de llegada tienen una o más contraimagen.

Ejemplo: f(x) = 2x + 5 es sobreyectiva. g(x) = 2x² + 2 no es sobreyectiva, pues -2 no pertenece al recorrido de

g, g(x) 2 x Dg

3 F. BIYECTIVA:

f: A B, es biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez.

f

A B

-1

-2

-3

-a

-b

-c

-d

f

A B

-1

-2

-3

-4

-a

-b

-c



OBSERVACIÓN: Una función es biyectiva cuando es sobreyectiva e inyectiva a la vez, es decir, que cada uno de los elementos del conjunto de llegada tiene una, y nada más que una, contrimagen.

Ejemplo: Dado A = {1,2,3,4} y B = {a,b,c} y f = {(2,b), (3,a), (1,a), (4,c)}

a) f no es inyectiva por (3,a), (1,a)

b) f es suryectiva pues Rf = B.

c) f no es biyectiva, pues no es inyectiva y suryectiva a la vez.

4 FUNCIÓN INVERSA (f-1 ó f*) Una función f tiene inversa si y sólo sí es inyectiva. OBSERVACION: Para toda f-1 se cumple:

Si fA B f*B A.

Df = Rf* y Rf = Df

*.

Ejemplo: Hallar la inversa de: 3-x

2)(xf

Solución:

Tenemos:

3-x

2y

Despejando x:

y

x2

3

32

yx

Luego:

32

)(1

xxf

32

xy

Ejemplo: F1 = {(2,4), (4,6), (6,8)}

f

A B

-1

-2

-3

-4

-a

-b

-c

-d



Entonces: f1

-1 = {(4,2), (6,4), (8,6)} es inyectiva. Luego: tiene f1

-1.

F2 = {(5,1), (6,1), (7,2)} Entonces: Se tiene que no es inyectiva Luego: no tene f2-1.

Ejemplo:

Una función f: AB, se ha representado mediante un diagrama sagital obteniéndose:

A B

Según esto, entonces: f es una aplicación, f es inyectiva, f es suryectiva, f es biyectiva.

Solución:

Tenemos:

f no es aplicación por que sobra el elemento 8

f no es inyectiva por que al 1 le corresponde tres imágenes

f es suryectiva por que en el conjunto de llegada no sobran elementos f no es biyectiva por que f no es inyectiva.

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma y resta de funciones

Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x) Ejemplo: Sean f(x)=x2 y g(x)=2x. Calcular f(x)+g(x) Solución: Tenemos: h(x)=f(x)+g(x)= x2+2x

3

5

7

8

9

1



De forma análoga se encuentra la resta de funciones f - g Es decir: h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x) 2. Multiplicación y división de funciones

Para obtener la función f*g, resultado de multiplicar dos funciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f*g)(x)=f(x)*g(x) Ejemplo: Sean f(x)=2x y g(x)=0.5x Entonces: h(x)=f(x)*g(x)=2x*0.5x= x2 Para obtener la función f/g, resultado de dividir dos funciones, f y g.

Es decir: h(x)=(f/g)(x)=f(x)/g(x) Ejemplo: Sean f(x)=2x2 y g(x)=0.5x Entonces: h(x)=f(x)/g(x)=2x2/0.5x= 4x 3. Composición de funciones

En general, dadas dos funciones f y g

x f f(x) g g[f(x)] g º f

La función g◦f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]

Ejemplo: Sean: y

¿Cuánto vale f(4)? y ¿ g(2)? Calcula g[f(4)] y g[f(0.5)] ¿Cuál es la función g◦f(x)?

Solución:

Tenemos: f(4) = 3 y g(2) = ½

g[f(4)] = g(3) = 1/3 y g[f(0.5)] = g(-4) = -1/4



g◦f(x) = g(2x-5) =

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R y diga la clase de función que es.

a) 23)( xxf

b) 142)( 2 xxxg

2. Si xxf 24)( y 224)( xxg . Determinar el dominio y regla de

correspondencia de:

a) gf b) )( gf c) gf d) gf / e) g ◦ f

3. Sea la función f definida por )(xf = 13122 2 xx , ]3,1[x . Hallar el

Ran( f ) y qué clase de función es.

4. ¿La función dada por f(x) = 6x + 9 es biyectiva?

5. La función: 96)( xxf es biyectiva. Verificar si su inversa 6

9)(1 x

xf

también lo es.

6. Para f(x) = 3x2 + 5x + 2 ; y g(x) = x2 + x, obtener: a) (f + g)(x) b) (f – g)(x)

c) (f * g)(x)

d) )(

)(

xg

xf

e) (f g)(x)

7. Para 1

)(x

xxf ; y

21)( xxg , encuentre:

a) ( f + g )(x)

b) )(xf

g

c) ))(( xfg

d) ))(( xgf

8. Hallar la función inversa para cada una de las siguientes funcione

4

32)(

xxg

12)( xxg 2

3)(

x

xxg

2)( xxg



1

32)(

x

xxg

xxg

1)(

12

12)(

x

xxg

9. Indicar la clase de funciones que representan los siguientes gráficos:

a) b) c) d) e) f)

10. Dar un ejemplo de una función de R en R: a) Inyectiva pero no sobreyectiva. b) Sobreyectiva pero no inyectiva. c) Biyectiva d) No inyectiva ni sobreyectiva.

11. Graficar las siguientes funciones y analizar si son biyectivas. Justificar.

a.

1 si2

11 si1

1 si1

)(2

2

xxx

x

xxx

xf

y

x

y

x

1

2

3

4

a

b

c

A B

5

4

2

6

7

8

A B f

1

2

3

a

b

c

6

7

8

5

4

3

A f B A f B



b.

1 si6

13 si

3 si82

)(29

21

xx

xx

xx

xg

c.

4 si)4(

40 si3

0 si2

)(2 xx

x

xx

xh

d. 0 si

0 si)(

2 xx

xxxk

12. Una empresa de productos químicos determina que, su producción de x unidades de un artículo sus funciones de ingreso y de costo son, respectivamente:

I(x) = 3x2 + 60x C(x) = 2x2 + 550

Calcular: La función utilidad (U); dada por U(x) = I(x) - C(x) Qué clase de función es U(x), indicar su dominio, su rango y graficar. L función casto medio (Q), dada por Q(x) = C(x) / x Qué clase de función es Q(x), indicar su dominio, su rango y graficar.

13. Una empresa exportadora determina que en la fabricación y venta de x unidades de un producto, sus funciones de ingreso y de costo son:

I(x) = x(800 + 2x) C(x) = x2 + 750x - 600

Calcular: La función utilidad (U); dada por U(x) = I(x) - C(x) Qué clase de función es U(x), indicar su dominio, su rango y graficar. L función casto medio (Q), dada por Q(x) = C(x) / x Qué clase de función es Q(x), indicar su dominio, su rango y graficar.

14. Analice lo siguiente: Supongamos ahora el mercado de carne de pollo de un supermercado es el siguiente: cuando el precio del kg. es de S/7.00 no hay demanda, y cuando el precio es S/3.00, la demanda es de 200. Identifique las coordenadas de los puntos a los que hace referencia el

enunciado. Determine la función demanda. ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 45 unidades?. Interprete la pendiente de la función. Grafique.

II. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

15. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R y diga la clase

de función que es.

a) 23)( xxf



b) 142)( 2 xxxg

16. Si xxf 24)( y 224)( xxg . Determinar el dominio y regla de

correspondencia de:

a) gf b) )( gf c) gf d) gf / e) g ◦ f 17. Sea la función f definida por )(xf = 13122 2 xx , 3,1x . Hallar el

Ran( f ) y qué clase de función es.

18. ¿La función dada por f(x) = 6x + 9 es biyectiva?

19. La función: 96)( xxf es biyectiva. Verificar si su inversa 6

9)(1 x

xf

también lo es.

20. Para f(x) = 3x2 + 5x + 2 ; y g(x) = x2 + x, obtener: a) (f + g)(x) b) (f – g)(x)

c) (f * g)(x)

d) )(

)(

xg

xf

e) (f g)(x)

21. Para 1

)(x

xxf ; y

21)( xxg , encuentre:

( f + g )(x)

))(( xf

g

))(( xfg

))(( xgf

22. Hallar la función inversa para cada una de las siguientes funcione

4

32)(

xxg

12)( xxg 2

3)(

x

xxg

2)( xxg

1

32)(

x

xxg

xxg

1)(

12

12)(

x

xxg

LAS FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

1. Graficar las siguientes funciones y luego determinar dominio, rango e intersección con los ejes

a)

Solución: a) Tenemos:



Donde: Dom(g) = < -∞, 0] U < 0, 3] = < -∞, 3] Ran (g) = [-4, +∞> b) Tenemos:

Donde: Dom(g) = R Ran (g) [-4, +∞ >

2. Un fabricante de envases de cartón desea construir cajas sin tapa a partir de

piezas rectangulares de cartón de 14 cm por 11 cm, recortando cuadrados

-4

1

6

3 -2

-4

-2

2/3



iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba siguiendo las líneas segmentadas.

a) Si x cm es la longitud de cada lado del cuadrado que debe recortarse, expresa en cm3, el volumen v de la caja por fabricar, como función de x. b) Esboce una grafica de la función obtenida, el dominio y el rango.

11 cm

14 cm

Solución: Tenemos: 14 x x 11 11-2x x x x 14-2x x

a) El volumen de la caja esta dado por:

V = a.b.h V = (14-2x)(11-2x)x Entonces: f(x) = V f(x) = 4x3 – 50 x2 + 154x

b) La grafica de la función f(x) es:

f(x)

3. En el siguiente grafico:

C

D

3

2x

A O x B Se tiene el triangulo ABC es isósceles, calcular:

a) La diferencia entre sus áreas de los triángulos ABC y ABD en función de “x”.

b) Esboce una grafica de la función obtenida, el rango y el dominio.



Solución:

a) Tenemos:

El área del triangulo ABC es:

A1 = 2

)2( xx

A1 = x2

El área del triangulo ABD es:

A2 = 2

1 (2x)(3

2x )

A2 = 3

2 x2

Entonces: La diferencia entre áreas esta dado por: D = A1 - A2

D(x) = x2 - 3

2 x2

D(x) = 3

1 x2

b) La grafica de la función D(x) es: D(x) Dom(D) = R Ran(D) = [0 , +∞>

4. En el siguiente grafico, la función f está representado por la figura adjunta. Halle

su regla de correspondencia: Y

2

3

45º 45º

X

0

Solución:



25 –x

B 3 C

3/2

2

3 2

3

45º 45º

D

A 2

3 3 2

9 2

3 6

Tenemos: Del punto A a B se tiene:

f(x) = x , 0 ≤ x ≤2

3

Del punto B a C se tiene:

f(x) = 2

3 , 2

3 ≤ x ≤ 2

9

Del punto C a D se tiene:

f(x) = 6 – x , 2

9 ≤ x ≤ 6

Entonces: la función está dada por:

x ; 0 ≤ x ≤2

3

f(x) = 2

3 ; 2

3 ≤ x ≤ 2

9

6 – x ; 2

9 ≤ x ≤ 6

5. De una larga pieza de hoja de lata de 25 cm. de ancho se va a hacer un canalón para lluvia, doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados. Expresar el área de la sección transversal del canalón para lluvia como una función de su altura.

x

Solución:

Tenemos:

Si representamos por x la altura en cm. del canalón para lluvia, podemos expresar el área de la sección transversal A en cm2 por medio de la fórmula



x

y

h

A = x(25 – 2x)

6. Un lote rectangular va a cercarse en tres de sus lados. Si el área del lote es de 30 metros cuadrados, exprese la longitud de la cerca como una función de la longitud del lado no cercado.

Solución: Tenemos: Donde x, y, son las longitudes de los lados del lote. Entonces: Longitud de la cerca = x + 2y Luego: el área esta dado por: xy = 30 Resolviendo esto para y obtenemos: y = 30/x que reemplazamos entonces en la fórmula de la longitud de la cerca. Esto decir: f(x) = x + 60/x en donde f denota la longitud de la cerca. La función f(x) está definida para todos los valores de x excepto x = 0 y representa la longitud de la cerca si x es positiva.

7. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con

un volumen de 24π centímetros cúbicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Exprese el costo del recipiente en función del radio de la base del cilindro. Solución: Tenemos:



2πr

r

Denotamos por r el radio de la base del recipiente y por h la altura (en centímetros). Como el volumen de un cilindro circular es V = πr2h y el volumen del recipiente pedido es de 24π cm3, entonces tenemos:

πr2

h = 24π

Donde:

El costo total del recipiente es igual al costo de la parte curva más el costo de la base del cilindro. Es decir: Si P denota el precio por cm2 del material que se usa para la parte curva, entonces el precio por cm2 del material que se usa para el fondo será 3P. El costo de la parte curva del cilindro es igual al costo del área del rectángulo de base 2πr y altura h, es decir: Cc = P(2πr)h pero h = 24/r2 Así: h Cc = P(2πr)(24/r2) = 48Pπ/r El costo de la base del cilindro es: Cb = 3P (πr2) Luego: El costo total es: C = Cc + Cb = 48Pπ /r + 3Pπr2 C = Pπ(3r2 + 48 /r) ; r > 0

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