Date post: | 21-Jul-2015 |
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UNPRG ING. CIVIL
Universidad Nacional:
“Pedro Ruiz Gallo”
GIROS
Responsables:
Arteaga Gómez, Luis Gustavo
Babastre Ramos, Victor José
Chunga More, Yony Raúl
De la Oliva Sánchez, Elizabeth Rocío
Profesor:
Ing. Marco Guzmán Vigo
Curso:
Geometría Descriptiva
Lambayeque, Junio del 2007
Geometría descriptiva GIROS
UNPRG ING. CIVIL
GIROS Y REVOLUCIONES
GENERALIDADES
Un objeto o figura cualquiera en el espacio y referidas a los planos
horizontal y frontal de proyección, no siempre puede aparecer en su
verdadera magnitud o en una de las formas que nosotros quisiéramos que
fuesen presentadas a nuestra vista para su estudio. Por lo tanto, para lograr
que un objeto se halle en posición favorable o conveniente existen en forma
general dos procedimientos:
a. Cambio de Posición del Observador, manteniendo fijo, el objeto,
de manera que se puede lograr una posición favorable al observar
la figura;
b. Cambio de Posición del Objeto, manteniendo fija la posición del
observador hasta lograr la posición deseada.
Evidentemente estos procedimientos, no pueden ser ejecutados en
forma arbitraria, sino para ser factible el estudio de estas posiciones,
existen reglas determinadas y normas que la reglan, y es esto lo que
determina los siguientes métodos:
1-a: Objeto fijo y Observador variable: Cambio de Planos.
1-b: Objeto variable y Observador fijo: Método de Giros.
1.- ELEMENTOS DE UN GIRO:
Para que un cuerpo del espacio tal como P efectúe un giro, es necesaria la
concurrencia de los siguientes factores:
a) Objeto de giro
b) Eje de giro
c) Plano de giro
d) Angulo de giro
Geometría descriptiva GIROS
UNPRG ING. CIVIL
o
PH''-
oP'
Objeto girante 2º posición
UN SOLO GIRO
o
o
eP
Po
e1
Eje de Giro
Vértice Angulo de giro
VARIOS GIROS
P''e2
e
o
c
Po
e1
o
o P'
P
P'''e3
o
a). Objeto de giro: En geometría en general, es considerado como objeto
girante: un punto, una recta, un plano y en general una figura geométrica
cualquiera.
b). Eje de giro: Se llama así, a una recta cualquiera, alrededor del cual se
efectúa el giro. El eje de giro puede ser: exterior al objeto, o tener puntos
de contacto con el.
c). Plano de giro: Es el plano que generan los puntos del objeto al girar
alrededor de un determinado eje. Podemos observar que cada punto del
objeto generara un plano de giro. Este plano de giro es perpendicular al eje
de giro.
Geometría descriptiva GIROS
UNPRG ING. CIVIL
d). Angulo de giro: Cuando un punto describe un giro alrededor de un eje,
barre una parte del plano de giro, que se llama ángulo del giro. Este ángulo
de giro tiene como vértice un punto del eje y como lados, las rectas que
unen el vértice con el objeto que gira en sus proyecciones inicial y final.
Eje de Giro
Vértice Angulo de giro
Angulo de Giro
bH
Objeto girante 2º posición
Plano de Giro
o
e'
cØ o
e
bH-
Objetos girante1º posición
HF
2.- PRINCIPIOS BASICOS DE LOS GIROS:
Primero: Todo objeto elemental P al girar alrededor de un eje, describe
una circunferencia o arco de circunferencia que se llama trayectoria t. El
centro C de la trayectoria se encuentra en el eje de giro e y su radio r es la
distancia existente entre el objeto P y el eje.
P= Objeto que giraG= Plano de girot= trayectoriaG'= Plano paralelo al plano de giroc= centro de giroe= eje de girot'= Proyección de la P
c
e
t'
t
Ø
t
t
P r
c
P= punto que girat= trayectoriar= radio de giro c= centro de giroe= eje de giro
P
r
e
bF
PH
-PH
bHbHsHs'H
FH
-bF
-
Segundo: Todo objeto P al girar alrededor de un eje, genera un plano G
llamado Plano de giro y que es perpendicular al eje de giro.
Geometría descriptiva GIROS
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P
Plano de Giro P
Ø
c
t
H
e
Tercero: La proyección de la trayectoria del giro de un objeto P sobre
cualquier plano paralelo al plano de giro G, se ve siempre en verdadera
magnitud: G’.
G'
GP
c
et
P= Objeto que giraG= Plano de girot= trayectoriaG'= Plano paralelo al plano de giroc= centro de giroe= eje de girot'= Proyección de la trayectoria, t sobre el punto G' t=t'
c'
e'
P'
t'
Cuarto: La proyección de la trayectoria de giro de un objeto P sobre un
plano perpendicular al plano de giro, es un segmento de recta cuya
verdadera magnitud es igual al diámetro de la trayectoria.
Geometría descriptiva GIROS
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e
GtP
mm'
e= eje de girot= trayectoriaG= plano de giroW= plano perpendicular al plano Gm-m'= proyección de la trayectoria t sobre el plano W
eW
Al girar el objeto P alrededor del eje e, describe la trayectoria t. La
proyección de dicha trayectoria sobre el plano W es el segmento mn’ cuya
longitud es igual al diámetro de la circunferencia descrita: siendo los puntos
m y m’ las posiciones sobre el plano W, del objeto P al girar.
Corolario: Las proyecciones del objeto P sobre el plano W al girar, siempre
estará comprendido entre los extremos m y m’ y además nunca podrá ser
exterior a el.
3.- GIROS EN EL SISTEMA ORTOGONAL H-F-P:
En este sistema, los giros pueden realizarse siempre empleando los
siguientes tipos de ejes:
a) Eje perpendicular al plano horizontal (punta vertical)
b) Eje perpendicular al plano frontal (punta normal)
c) Eje perpendicular a H-F
d) Eje cualquiera
Nomenclatura:
- El eje de giro será designado por el segmento ee’.
- El punto girado se le llamara con el mismo nombre del punto en su
posición original y con una rayita en la parte superior si ha efectuado
un solo giro; con dos rayitas si hubiese efectuado dos giros, y asi
sucesivamente.
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4.- GIRO DE PUNTOS:
4-a: Giro alrededor de un eje vertical:
Sea P un punto del espacio que debe girar alrededor del eje ee’
perpendicular al plano horizontal de proyección.
Por el segundo principio básico, el plano de giro es un plano no paralelo al
plano horizontal, por lo tanto la trayectoria se ve en el, en verdadera
magnitud.
Descripción del Giro en el espacio:
• Sea el eje de giro, la recta vertical ee’
• Llamemos P al punto del espacio que ha de girar, en su posición
inicial.
• La trayectoria del giro es la circunferencia t, cuya verdadera
magnitud es la circunferencia proyectada en el plano horizontal de
proyección.
• El centro de la trayectoria es el punto c.
• Indiquemos el sentido del giro, mediante un arco con una flecha en
su extremo.
Geometría descriptiva GIROS
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De la observación de la figura anterior, para obtener las proyecciones del
giro del punto, podemos deducir el siguiente procedimiento:
Depurado:
• Se unen las proyecciones horizontales eHeH’ del eje con la
proyección horizontal pH del punto que va a girar.
• Con centro en la proyección horizontal del eje de giro y un radio
igual al segmento que une las proyecciones horizontales del eje y
del punto, se describe un arco de circunferencia en el sentido
horario (o antihorario) hasta barrer el ángulo θ dado, llegando a la
posición que es pH, que será la proyección horizontal del punto ya
girado en su posición final.
• Para encontrar la proyección frontal del punto girado: por pH
trazamos una línea de referencia y por pF una paralela al eje H-F.
El punto de corte de estas dos líneas, determinaran la proyección
pF girado.
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4-b: Giro alrededor de un eje Normal:
Tratándose de un eje normal, o sea uno perpendicular al plano frontal, el
procedimiento es semejante al caso anterior y por estas razones, nos
limitaremos a describir el procedimiento general.
• Se unen las proyecciones frontales del eje de giro con la proyección
frontal del punto a girar, en su posición inicial.
• Con centro en la proyección frontal del eje y tomando como radio la
distancia al punto a girar, se describe un arco de circunferencia,
barriendo el ángulo θ dado y en la dirección señalada.
• Habiendo barrido el ángulo θ obtenemos la proyección frontal del
punto girado.
• Por la proyección frontal del punto girado, se traza una línea de
referencia; por la proyección horizontal del punto en su posición
inicial se traza una paralela al eje H-F.
• El punto de corte de las dos líneas antes trazadas, definirán la
proyección frontal del punto girado.
H
F
-PF
e'F
eF
PF
Ø
PH-
eHe'H
PH
Geometría descriptiva GIROS
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4-c: Giro alrededor de un eje paralelo al H-F:
Siendo el eje paralelo al eje H-F, el plano de giro deberá ser paralelo al
plano lateral de proyección, luego la trayectoria t del punto al girar, se vera
en verdadera magnitud en la proyección de perfil.
eHe'Ho
o
bH-
aH
o
-bH
Ø
PF
eF
PF
F P
e'FePe'P
HF -
eH
bF
PH
e'H
-PH
PP
PP
-
F
H
-bF
aF aFeFe'F
-
Procedimiento a emplear:
- Se halla la proyección de perfil del punto: pP
- Se determina la proyección de perfil del eje de giro: ePeP’.
- Con centro ePeP’ y una radio igual al segmento ePeP’pP se describe
un arco de circunferencia en el sentido fijado y barriendo el ángulo θ
dado, hasta llegar a la posición ya girado y representado por el punto
pP girado.
4-d: Giro alrededor de un eje cualquiera:
Cuando los ejes son perpendiculares a los planos de proyección, los giros se
efectúan directamente sobre el sistema H-F.
Pero tratándose de un eje que tiene una posición cualquiera, la trayectoria
del punto al girar no podrá verse en verdadera magnitud en forma directa
en sus proyección horizontal y frontal; por lo tanto, previo a la operación
del giro, se debe llevar el eje dado a una posición favorable mediante
obtención de una vista auxiliar para tener el eje transformado en uno de
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punta que puede ser vertical o normal. En este nuevo sistema, se ejecuta el
giro aplicando las reglas de los casos anteriores. Obtenido las proyecciones
del punto girado en el nuevo sistema, se debe efectuar el regreso al sistema
original y en el cual se debe dar la solución final.
Aplicación: Girar el punto p del espacio, alrededor de un eje cualquiera ee’,
en un cierto sentido y un determinado ángulo θ dado.
--
e'F
PF
H
F
eF
eH
PH e'H
PF- PF'
e'F
PH
PF'-
F'H
Ø
PH''
PH''
eH'e'H''
H''F' -
-
Procedimiento General:
• Se transforma el eje dado cualquiera, en uno que se vea vertical, de
modo que en el sistema final F’-H’’ tenemos el eje transformado en
vertical.
• Se obtienen las nuevas proyecciones del punto a girar, en el nuevo
sistema.
• Se efectúa el giro en el nuevo sistema, aplicando el proceso ya
conocido, obteniéndose así el punto girado.
• Con la nueva posición del punto, se regresa al sistema original,
obteniendo en esta forma la posición del punto girado alrededor del
eje dado, con el ángulo θ y la dilección señaladas.
5.- GIRO DE RECTAS:
Geometría descriptiva GIROS
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Elementalmente, una recta queda determinada por dos puntos cualquiera,
por lo tanto, el procedimiento general que se debe aplicar en el giro de una
recta dada alrededor de un cierto eje y en una dirección determinada, se
sigue en la siguiente forma:
• Se toman dos puntos cualesquiera de la recta dada.
• Se giran los puntos tomados, el ángulo dado y en el mismo sentido.
• Los puntos obtenidos ya girados, se unen, determinado en esta forma
la posición de la recta dada, ya girada.
Se deben considerar los dos siguientes sub-casos:
Sub-caso 5-a: Girar una recta cualquiera alrededor de un eje exterior a
ella: Girar la recta ab alrededor del eje ee’ un cierto ángulo.
aF -aF
F
H
aH
aH-
e'F
eFbF -
bF
Ø
eHe'HØ
bH
-bH
Procedimiento:
• El eje dado es de punta vertical.
• Se giran los puntos a y b en el sentido horario y el mismo ángulo θ.
• Se unen los puntos girados, que determinan las proyecciones de la
recta en su nueva posición.
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Sub-caso 5-b: Girar una recta cualquiera alrededor de un eje que tiene un
punto en común con la recta.
Este método es el mas empleado, ya que teniendo la recta y el eje un punto
en común, bastara con tomar otro punto de la recta y girarlo bajo las
condiciones dadas.
Aplicación: Girar la recta ab alrededor del eje ee’ que pase por un punto
de ella.
Se debe girar en cierto sentido y el ángulo θ.
bF
bF-
aF-
aF
H
F
H bH
F
eFe'FØ
aF
aH eH
bH-
-aH aH
-bHbH
e'H
Procedimiento:
● Se gira el puntob el ángulo propuesto y en el sentido señalado.
● Se une el punto girado obtenido, con el punto a , que no ha variado su
posición por pertenecer al eje, determinando en esa forma las
proyecciones de la recta ya girada.
6.-GIRO DE PLANOS
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Sabemos que en el caso más general, un plano está determinado por tres
puntos no situados en línea recta. Por lo tanto para girar un plano
cualquiera bajo ciertas condiciones, seguiremos el siguiente procedimiento:
● Se giran tres puntos cualesquiera del plano bajo las condiciones
establecidas.
● Se unen los puntos girados, determinando en esta forma el plano girado
Aplicación: Se da el plano abc. Girarlo alrededor del eje ee un ángulo θ y
en sentido horario.
aF-
bF
-aH
e'F
bF
aF
bF-
-cF cF
bHeHe'H
Ø
H
F
aH
eF
cH-
Ø
cH
-aH
eHe'HØ
bH
-bH
Nota: Normalmente, en este tipo de problemas, siempre es menester
emplear ejes que sean perpendiculares a los planos de proyección, y
además para mayor simplificación del trabajo, tomar siempre el eje de
manera que pase por algún punto del plano dado.
Geometría descriptiva GIROS
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APLICACIONES GENERALES DE LOS GIROS
Concentrándonos sólo en las aplicaciones generales de los giros, éstas la
vamos a dividir para su estudio en las siguientes partes:
6-A: Transformar una Recta a otra que sea paralela a los
Planos de Proyección: Verdadera Magnitud.
6-B: Transformar una Recta a otra que sea perpendicular a los planos de
Proyección: Rectas de Punta.
6-C: Transformar un Plano a otro que sea Perpendicular a los Planos de
Proyección: Planos de- Canto.
6-D: Transformar un Plano a otro que sea Paralelo a los Planos de
proyección: Verdadera Magnitud.
6-A: TRANSFORMAR UNA RECTA A OTRA QUE SEA PARALELA A LOS
PLANOS DE PROYECCIÓN: Verdadera Magnitud de la Recta.
Las transformaciones a realizar pueden ser los siguientes:
6-A-a: Transformar una recta cualquiera a Horizontal:
Transformar la recta ab en horizontal.
F
eFe'F
eFe'FaF
--bF
bF
bF-
bF aF-
aF
HF
H bH
bF-bF
F
eFe'FØ
aF
aH eH
bH-
e'HeHe'HaH
H
--bH
-aH aH
eHbH
-bHbH
e'H
Geometría descriptiva GIROS
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Procedimiento
● Empleando un eje perpendicular1 al plano frontal: Eje Normal ee.
Hacemos pasar dicho eje por el punto b de la recta dada.
● Se gira el punto a alrededor del eje dado, de modo que la proyección
frontal de los puntos de la recta, queden situados en una misma paralela
al eje H-F, determinando en esta forma la proyección frontal de la recta
ya girada: FF ba .
● La proyección horizontal de la recta girada, queda determinada al unir
las proyecciones horizontales de los puntos girados HH ba y que han
sido determinados por el procedimiento general conocido.
6- A - b: Transformar una recta cualquiera a Frontal:
Transformar la recta ab en frontal.
eHe'H
eFaF
bF-
H bH
bF-bF
F
eFe'FØ
aF
aH eH
bH-
bH
aH
e'F
-aF aF
F
aH
H
-
Procedimiento:
● Empleamos un eje perpendicular al plano horizontal de proyección: eje
Vertical ee.
● Hacemos pasar el eje por el punto a de la recta.
● Giramos el punto b de la recta, alrededor del eje dado, de modo que las
proyecciones horizontales de los puntos queden situados en una misma
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paralela al eje H-F. Uniendo los puntos girados obtenemos la proyección
horizontal HH ba y de la recta girada.
● La proyección frontal de la recta girada, queda determinada al unir las
proyecciones frontales de los puntos gira -dos que son FF ba y y que
han sido hallados por el método general.
6-A-c: Transformar una recta cualquiera a Perfil:
Transformar la recta ab a una eme sea de perfil.
eHe'H
eFaF
eHe'H aF-
aH
e'F
-aF
aF--
aF
F
aH
H
-
bFeFe'F
-aH-
aF aF-
H
F
aH
bF
-aH
e'F
bF
aF
bF-
-cF cF
aH
bHeHe'H
Ø
H
F
aH
eF
cH-
Ø
cH
-aH
eHe'HØ
bH
Procedimiento:
● Se hace pasar un eje vertical por un punto de la recta: lo hacemos pasar
por el punto b.
● Se gira el punto a alrededor del eje ee, de modo que la proyección
horizontal de los puntos do la recta, se sitúen en una misma
perpendicular al eje H-F. En esta forma queda determinado la proyección
horizontal HH ba de la recta.
● La proyección frontal de la recta girada, queda determinada al. unir las
proyecciones frontales de los puntos girados FF ba y que previamente
han sido hallados por el método general de puntos. La proyección
frontal de la recta también debe ser perpendicular al eje H-F.
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6-B: TRANSFORMAR RECTAS A OTRAS QUE SEAN PERPENDICULARES
A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: Rectas de punta:
Los casos a estudiar serán los siguientes:
6-B-a: Transformar una recta cualquiera a Vertical: Se deben
emplear en este caso dos giros:
1. La recta dada se transforma primero en Frontal, mediante un giro
alrededor de un eje vertical.
2. Empleando un nuevo eje, ahora normal, se transforma la Frontal
anterior en Vertical.
Aplicación: La recta ab transformarla a Vertical median el empleo de los
giros.
eHe'H
eFaF
H bH
bF-bF
F
bH-
eHe'H -
aH
e'F
-aF
aF--
aF
F
aH
H
-
bFeFe'F
-aH-
aF aF-
H
F
aH
bF
-aH
aF
aH
bHeHe'HH
F
aH
-aH
Procedimiento:
Primer Paso: La recta dada ab la transformamos a frontal girando en la
forma ya conocida alrededor del eje vertical ee.
Segundo Paso: La recta vertical ba (girada una vez) la transformamos a
vertical, girándola alrededor del eje normal que hacemos pasar por el
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punto b , de modo que la proyección frontal de la recta girada sea
perpendicular al eje H-F.
La proyección horizontal de la recta ya vertical, se determina mediante el
procedimiento conocido.
Aclaraciones en el Depurado
● Proyección horizontal del eje vertical es eHeH. La proyección frontal del
eje no se dibuja por no ser necesaria y sobre todo para no recargar el
depurado. Se gira aH alrededor del eje, hasta que está en una paralela
al eje H-F y que será la proyección horizontal de la recta ya girada.
● En el segundo giro, se ha hecho pasar el eje por el punto b y cuya
proyección frontal es sFsF cuya proyección horizontal no se ha dibujado
por razones obvias.
● Se ha girado la proyección frontal aF hasta que quede situado en una
perpendicular al eje H-F y que viene a ser la proyección frontal de la
recta ya girada y que ya es vertical.
6-B-b: Transformar una recta cualquiera a Normal:
Se deben efectuar también en este caso Dos giros:
1. La recta dada se transforma en recta horizontal mediante el giro
alrededor de un eje normal.
2. Mediante un segundo giro, esta vez alrededor de un eje vertical, se
transforma la horizontal anterior, en recta normal.
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Aplicación: Transformar la recta ab en normal.
FF
eFe'F
bF
bF-
eFe'FaF
--bF
bF aF-
aF
e'H
-cFaF
H
-bH bH
eHe'HaH
H
mF cF--
PF
--bH
-aH aH
eHbH
e'F
Procedimiento:
Primer Paso: La recta dada ab ha sido transformada a horizontal,
girándola alrededor del eje normal ee, obteniendo la recta cuya proyección
frontal FF ba es paralela al eje H-F.
Segundo paso: La recta horizontal ba , se vuelve a girar, esta vez
alrededor de un eje vertical ss que hacemos pasar por el punto girado a ,
de modo que la proyección horizontal del punto girado dos veces ba quede
perpendicular al eje H-F.
La proyección frontal de la recta (pe. ya es un punto) se encuentra por el
procedimiento general.
Aclaraciones en el depurado
● El primer eje de giro es ee que se ha hecho pasar por el punto a de la
recta dada, de modo que la proyección frontal FF ee se confunde con aH. La proyección horizontal del eje no se dibuja por no ser necesario.
● Se ha girado la proyección bF, alrededor del eje, hasta que con la
proyección frontal del punto a quede situado en una paralela al eje H-P,
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formando en esta forma la proyección frontal FF ba de la recta
girada.
● El segundo eje está representado por ss que hacemos pasar por el punto
a de la recta, Su proyección horizontal es HHS S que se confunde con aH. Análogamente, la proyección frontal de dicho eje no se ha trazado.
● Alrededor del nuevo eje, se gira el punto b , hasta que su proyección
horizontal Hb se sitúe en una misma perpendicular con Ha al eje H –
F. La proyección frontal de la recta que ya es normal, se halla en la
forma conocida.
6-B-c: Transformar una recta cualquiera a paralela al eje H – F
Como ya sabemos, una recta paralela al eje H-P es paralela
simultáneamente a los dos planos de proyección, luego es la vez horizontal
y frontal. Por lo tanto, para efectuar esta transformación emplearemos dos
giros.
Aplicación: Transformar la recta ab a paralela al eje H – F
-
HF
PF
ØePe'P
e'H
-
eH
PH
PH
PP-
sHs'H
F
H
aFeFe'F
bF
-bF
aF -
aH
bHbH- aH
- G
G'
P
e
c
t
Procedimiento:
Primer paso: La recta ab se transforma a horizontal mediante un giro
alrededor de un eje normal, obteniendo la nueva recta girada ba .
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Segundo paso: La recta horizontal ba , se transforma ahora a frontal,
mediante un giro alrededor de un nuevo eje vertical, obteniendo la recta
ba que ya es paralela al eje H-F.
Nota aclaratoria
● El primer eje es ee cuya proyección horizontal no figura en el depurado
por no ser necesario.
● El segundo eje es la recta ss y cuya proyección frontal tampoco se traza
por no ser necesaria.
6-C: TRANSFORMAR UN FLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA
PERPENDICULAR A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN:
En general, ya conocemos cuales son los procedimientos generales, para
transformar un plano cualquiera a otros que sean perpendiculares a los
planos de proyección (ver Primera Parte). Por esta razón, solamente nos
limitaremos a enunciar los procedimientos generales, trazando el depurado
de la solución de cada problema con una ligera explicación.
6-C-a: Transformar un Plano cualquiera a ano que sea de Canto
Vertical (perpendicular al plano Horizontal).
Transformar el plano abc cualquiera a uno que sea de Canto Vertical.
PH
PF-
-cFaF
aF
mF
mF cF-
-PF
--bH
eF
aH-
F
H
aH
mH
cH
e'FeFbFF
H
eH
PH
cH
bHmH-
-
-
PF'
e'F
PF'-
HF'
e'H
Geometría descriptiva GIROS
UNPRG ING. CIVIL
Procedimiento:
● Se toma en el plano dado, una recta frontal tal como bm.
● Mediante un giro se transforma la recta bm en una que sea de punta
vertical
● Girando el mismo ángulo y en el mismo sentido a los otros puntos del
plano, se obtiene finalmente el plano y convertido a vertical (proyección
horizontal una recta).
Depurado:
● Se ha tomado un eje normal ee que pasa por el punto b
● Se transforma bm a recta vertical, habiendo girado para esto un ángulo
de valor θ.
● Los puntos a y c se han girado el mismo ángulo y en el mismo sentido.
● La proyección horizontal del plano girado es una recta.
6-C-b: Transformar un plano cualquiera a uno de Canto Normal:
Transformar el plano mns cualquiera a uno que sea de Canto Normal
(perpendicular al plano Frontal).
-
PP
nF nF
-aF-
mF
eHe'HmH
F
H
sF-
aF
sF
nHaH
nH- -
sH-
sH
aH
Geometría descriptiva GIROS
UNPRG ING. CIVIL
Procedimiento
● Se toma en el plano dado, una recta horizontal tal como am.
● Mediante un giro, se transforma la recta am en una de punta normal.
● Girando el mismo ángulo y en el mismo sentido a los demás puntos del
piano, se obtendrá el plano que ya es de posición normal (proyección
frontal es una recta).
Depurado:
● Se toma el eje vertical ee que hacemos pasar por el punto del plano: m.
● Se transforma la recta am en normal, determinando en este giro el
valor del ángulo θ.
● Los otros puntos del plano, o sea n y s se giran en el mismo sentido y el
mismo ángulo anterior.
● La nueva proyección frontal del plano girado debe ser una recta.
6-C-c: Transformar un plano cualquiera a paralele al eje H – F
Transformar el plano abc cualquiera a uno que sea paralelo al eje H- F
(perpendicular al plano lateral)
--
bH
--- cHcH
sH bH
aH-
o -
-bH-
aH-
aF
FH
aF
aH-
cF-
cF
-
HF
e'H
PF
Plano de Giro
PH-
-bF
bF
bH-bH
eH
PH
P
co
sH
cH-
cH
e
Geometría descriptiva GIROS
UNPRG ING. CIVIL
Procedimiento:
● Tomamos en el plano una recta frontal tal como as.
● Esta recta frontal, mediante un giro se transforma a una que sea
paralela al eje H – F (Ver 7-B-c) o sea que es perpendicular al plano
lateral de proyección
● Los otros puntos del plano, también se giran en el mismo sentido y el
ángulo θ determinado en el primer giro.
● Se obtiene los puntos a, b y c girados que van a formar el nuevo plano,
que por tener la recta as que es paralela al eje H-F, también lo es.
Depurado:
• Tomamos la frontal del plano: as.
• Hacemos pasar por el punto s un eje vertical ee’
• La frontal as se gira liaste que quede paralela al eje H-F, barriendo
en esta operación el ángulo 0. Se determina las nuevas proyecciones
horizontal y frontal, obtenemos las nuevas proyecciones giradas que
forman el plano que ya es paralelo al eje H-F o sea perpendicular al
plano lateral de proyección.
6-D: TRANSFORMAR UN PLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA
PARALELO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: "Verdadera magnitud
de un plano
Prácticamente, el hecho de que un plano sea transformado a uno que sea
paralelo a uno de los planos de proyección, significa determinar su
verdadera magnitud, o sea encontrar su verdadera extensión, de manera
que cualquier figura contenida en dicho plano se vea en su verdadera
magnitud (Se recuerda que estos conceptos ya se habían visto en la
Primera Parte: Vistas Auxiliares).
6-D-a: Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al
plano frontal de proyección:
Transformar el plano abc a uno que sea paralelo al plano frontal de
proyección.
Geometría descriptiva GIROS
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-
aF
bF-bF
--
aF
aF
-cF
mF
bF
H
F
mF cF--
e'FeFbF
aH
--cF
H
F
-cH-
bH
--cF
cF-
aF
--- cHcH
sH
aH
mH
bH
cH
aH-
Ø -
-bH-
aH-
aF
aF
cF-
cF
-
bHmH-
cH-
-bF
bF
Procedimiento:
• Con el empleo primeramente de un eje de giro normal, que pasa por
el punto a, transformamos la recta frontal bs del plano en una
vertical, para que el plano dado sea perpendicular al placo horizontal
de proyección,
• Tomando un segando eje vertical, se transforma al plano de canto
vertical a paralelo al plano frontal* de proyección (haciendo girar su
proyección horizontal hasta que quede paralelo al eje H-P.)
• Determinando las proyecciones frontales de los puntos girados,
obtenemos la proyección frontal del plano en su verdadera magnitud
(figura a rayas).
Depurado:
• Se toma la recta frontal bs en el plano dado.
• Por el punto s pasamos el primer eje Normal
• Se transforma la recta sb en frontal, girando en sentido horario el
ángulo Q. Los demás puntos también se giran en igual forma» En
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esta forma, el "plano ya ha sido transformado en uno de canto
vertical (proyección aHbHcH una recta)
• Tomamos un segundo eje, esta vez, vertical que pase por el punto a
(la proyección horizontal del eje pasa por aH).
• Se gira el plano hasta que la proyección horizontal quede paralelo al
eje H--P (giro en sentido horario el ángulo θ').
• Se determinan las proyecciones frontales del plano, obteniendo en su
verdadera magnitud (aFbFcF).
6-D-b: Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al
Plano "horizontal" de proyección:
Transformar el plano abc a uno paralelo al plano horizontal de proyección.
e'F
PH''
eH'e'H''o
aF
P
e'F
H''F'PH''-
-PF
e'PFcF
F
H
aH
PeF
c
-t
H
-bF
aF
bF
wF
-
cF
aF--
--
aH--
cF
aH- cH
bH-bH
-- aHbHwH
bH
cH-
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Procedimiento:
• Con un primer giro, tenemos que transformar el plano dado en
uno de canto normal (perpendicular al plano frontal). El eje
empleado en este caso es vertical
• Ejecutando un segundo giro alrededor de un eje normal, se
transforma el plano normal en Horizontal. El plano en referencia
se verá en verdadera magnitud en proyección horizontal.
Depurado:
• Tomemos la recta horizontal aw en el plano dado. -Mediante un giro
alrededor del eje vertical que pasa por el punto w se transforma la
recta aw en normal. Con esta .operación el planos se ha
transformado en uno de canto normal (la proyección frontal aFbFcF es
una recta).
• Empleando un segundo eje normal (que pasa por el punto c) se gira
el piano normal, hasta que queda paralelo al plano horizontal de
proyección. El ángulo girado en este caso es θ’. La proyección frontal
aFbFcF queda paralela al eje H-F.
• La proyección horizontal aHbHcH del plano queda en verdadera
magnitud.
6-D-c: Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al
plano Lateral de proyección:
Siendo este tipo de plano, perpendicular simultáneamente a los dos planos
de proyección, es de advertir que basta que, mediante dos giros, se
transforme el plano dado en normal primero, y luego en vertical; o también
en su defecto primero en vertical y luego en normal. En ambos casos
deberá emplearse los ejes convenientes y efectuar los giros en la forma
reglamentaria.
Deberá tenerse en cuenta que al final del trabajo, las proyecciones
horizontales y frontales del plano deberán quedar en una misma línea
perpendicular al eje H-F.
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Aplicación: Dado el plano abc, transformarlo en paralelo al plano lateral de
proyección de proyección mediante giros.
Indicaciones generales y simplificaciones para la ejecución de
problemas generales con aplicación de los giros:
Hacemos las siguientes indicaciones:
1.- AI emplear un eje vertical, no necesitamos indicar la proyección frontal
del eje, porque no cumple ninguna función.
2.- En el empleo de ejes normales, la puede prescindir de su proyección
horizontal.
3.- Al emplear varios giros, sólo es conveniente poner nombres a los
elementos en sus posiciones finales.
4.- Siempre emplear el eje en posición que ayude a simplificar los giros.
5.- No es necesario indicar los ejes con sus respectivos nombres. Basta con
indicar el centro del giro en la proyección respectiva" con un pequeño
circulito, que indicará que en dicho lugar se encuentra la proyección del eje
como un punto.
6.- Cuando se emplee un eje que tiene una posición arbitraria, siempre es
necesario emplear una vista auxiliar y obtener el eje en una posición de
punta.
7.- A veces será conveniente combinar el empleo de giros y cambio de
planos, para poder simplificar algunos trabajos. Explicar esto siempre en
forma clara para justificarse del método empleado.
7.-EMPLEO GENERAL PE LOS GIROS:
En la solución de los numerosos problemas que se pueden presentar en
cualquier ocasión, también se pueden resolver empleando el procedimiento
de giros. A continuación resolveremos empleando giros, los problemas que
más comúnmente se presentan. Queremos dejar constancia, que en todos
ellos emplearemos las simplificaciones anotadas anteriormente, dando una
explicación clara del procedimiento seguido, de modo que el estudiante se
familiarizo como se trabaja en la práctica.
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7-A: LONGITUD PE UNA LINEA:
Para determinar la longitud de una línea cualquiera, basta con transformar
ella, a horizontal o frontal con empleo del eje respectivo,
Aplicación: Determinar la verdadera longitud del segmento de línea mn.
EJE VERTICAL
mH
nH
mF
nF
HF
Procedimiento:
Se ha empleado un eje de punta vertical, que pasa por el punto n,
transformando la línea en frontal. La verdadera magnitud de la línea se ve
en proyección frontal: (en los textos se indica con las letras T.L.).
7-B: LONGITUD DE VARIAS LINEAS QUE PASAN POR UN PUNTO:
Aplicación: Determinar la verdadera magnitud de las líneas ab, at, an, az.
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aH
bH
nH
tH
zH zH
bH
nH
tH
tF nF aF bF zF
nF bF
Procedimiento:
Empleando un eje vertical, hemos transformado la recta ab en paralela al
plano frontal de proyección. En esta forma, obtenemos la verdadera
magnitud del ángulo θ buscado, en la proyección frontal.
7-D: ÁNGULO DE PENDIENTE O GRADIENTE DE UN PLANO:
Nosotros sabemos (Primera Parte) que el ángulo que forma un plano
cualquiera con el plano horizontal de proyección o con un plano paralelo a
este, es lo que se llama Ángulo de pendiente o gradiente del plano dado.
Este ángulo se verá en verdadera magnitud, cuando el plano sea
perpendicular al plano Frontal de Proyección.
Aplicación: Hallar el ángulo de pendiente o gradiente del plano abc.
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EJE VERTICAL
mH
nH
mF
nF
HFF
H
aH aH
bH
bF bF
Ø
aF
FH
aH
Ø
aF
bH_ bH
sH
cH
aH
_sH
HF
Ø
_bF
aF_
_cF
cF
sFsF_
bF
ANGULO BUSCADO
Procedimiento:
Basta con transformar el plano dado en uno de canto normal. En la
proyección frontal, veremos el valor verdadero del ángulo Φ buscado.
El ángulo encontrado podrá ser de pendiente o gradiente, según las
necesidades que tenemos.
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EJERCICIOS
1. ROTAR EL PUNTO A ALREDEDOR DEL EJE VERTICAL E HAST
HACERLO CONTENER EN EL PLANO RST.
RH
OH
AH
EF
AFOF
RF
SF
HF
AH
AF
EH
TH
SH
TF
1H
2H
1F2F
SOLUCION:
SETRAZA POR A EL PLANO DE GIRO
EL PLANO DE GIRO SE INTERSECTA CON EL PLANO RST
SE CORTA A (RADIO DE GIRO OA) HASTA QUE CORTE A 12.
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2. MEDIR EL ANGULO QUE DEBE ROTAR EL PUNTO X ALREDEDOR DE LA
RECTA AB PARA QUE EL APARTAMIENTO DEL PUNTO ROTADO SEA
DE 77.62 INDICAR TAMBIEN LA POSICION DEL PUNTO ROTADO.
XF
XF
AF
XH
BF
H
XHAH
BH
P
P
F
F
AP
XP
F´
XP
XP´
P´
F´
XF´
XF´
BF´
AF´
BP
XP´
AP´BP´
SOLUCION:
SE PONE AB A VM CON EL APARTAMINETO DE X (77.62) HASTA CORTAR AL
PLANO DE GIRO, SE OBTIENE XF´ (VER PROYECCION F´) SE LLEVA AB DE
PUNTA Y SE OBTIENE EL ANGULO DE ROTACION.
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3. SE FDA LA PROYECCION HORIZONTAL DE UN PUNTO P; DETERMINAR
SU PROYECCION FRONTAL DE MANERA QUE SE LE HACE GIRAR
ALREDEDOR DEL EJE e. PUEDE SER COLOCADA SOBRE LA RECTA
MN.
H
NH
NF
F
MH PH
MF
F´
EF
EH
PF
H
MF´
NF´
PF´
PF´
PF´ PH
r
SOLUCION:
SI EL PUNTO P ES POSIBLE DESPLAZARLO HASTA TOMAR LA POSICION P
EN LA RECTA MN, ES QUE HA TENIDO UN DEZPLAZAMIENTO DESDE P A P
´ ALREDEDOR DE EJE DE GIRO e. ESTE DESPLAZAMIENTO LO REALIZA EN
UN PLANO PERPENDICULAR A DICHO EJE , EL QUE CORTA A MN EN P . EN
EL PLANO H EL EJE DE GIRO SE PROYECTA EN VM, Y EL PLANO DE GIRO DE
CANTO Y CONTENIENDOA P Y P . EN EL PLANO F´ EL EJE SE PROYECTA
COMO UN PUNTO Y EL DESPLAZAMIENTO CIRCULAR DE RADIO r (r = eF´PF
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´) EN VM ENCNTRANDOSE DOS SOLUCIONES P Y P´ QUE SATISFACEN LAS
CONDICIONES DEL PROBLEMA .
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Bibliografía
- www.google.com
- Héctor Chumbiray Calderón
Geometría Descriptiva
- Geometría Descriptiva
Nakamura
- Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004
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