Integrales de Surface

8/18/2019 Integrales de Surface

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Chapitre IXIntégrales de surface

1. SURFACE PARAMÉTRÉE - PLAN TANGENT - VECTEUR NORMAL. ....................................................... 2

1.1 SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 2 1.2 VECTEUR NORMAL ..................................................................................................................................................... 4

2. AIRE D'UNE SURFACE PARAMÉTRÉE ............................................................................................................ 6

2.1 SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 6 2.2 SURFACE EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES .............................................................................................................. 7 2.3 AIRE D'UNE SURFACE DE RÉVOLUTION. .................................................................................................................... 10

3.

INTÉGRALE DE SURFACE. ............................................................................................................................... 11

4.

FLUX D'UN CHAMP DE VECTEUR À TRAVERS UNE SURFACE. ............................................................ 12

4.1 DÉFINITION .............................................................................................................................................................. 12

5.

THÉORÈME DE LA DIVERGENCE OU D'OSTROGRADSKI OU THÉORÈME DEGREEN DANS L’ESPACE ........................................................................................................................................... 15

5.1

PREMIER ÉNONCÉ

..................................................................................................................................................... 15

5.2

E NONCÉ GÉNÉRAL .................................................................................................................................................... 18

6. THÉORÈME DE STOKES .................................................................................................................................... 19

7. MASSE, CENTRE D’INERTIE, MOMENT D’INERTIE ................................................................................. 24

7.1 MASSE D’UNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................................... 24 7.1.1 Exemple ............ ............. ............. ............. ............. ............. ............ .............. ............. ............ ............. .............. ..... 24

7.2 CENTRE D’INERTIE D’UNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................. 24 7.2.1

Exemple ............ ............. ............. ............. ............. ............. ............ .............. ............. ............ ............. .............. ..... 25

7.2.2

Exemple ............ ............. ............. ............. ............. ............. ............ .............. ............. ............ ............. .............. ..... 25

7.3 MOMENT D’INERTIE D’UNE PLAQUE GAUCHE ........................................................................................................... 26 7.3.1

Exemple ............ ............. ............. ............. ............. ............. ............ .............. ............. ............ ............. .............. ..... 27


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C H A P I T R E 9

Leila Richa

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Part 1

1. Surface paramétrée - Plan tangent - Vecteur

normal.1.1 Surface paramétrée

Rappelons qu’une courbe parametrée est une application de R dans

R2 ou R 3 ;

C(t) =(x(t), y(t)) ou C(t)=(x(t), y(t), z(t)), t a b∈[ , ]

( ) ( )( )2, cos ,3 2 ; 0 2C t t t t t π = + ≤ ≤

0

2

4

6 −1−0. 5

00. 5

122. 533. 54

0

2

4

Figure 1

Une surface parametrée est par contre, une application de R2 dans

R3

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆. R2

( ) ( )( )2 3, ,cos 2 , 1 ; 0 ; 0 1 X t v t v t v v t vπ = + + + ≤ ≤ ≤ ≤

01

23

4 −1

0

1

2

3

11. 251. 5

1. 752

12

3

Figure 2


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C H A P I T R E 9

Leila Richa

3 2 8

E X E M P L E

L’équation de la sphère centrée à l’origine et de rayon ;avec 0a a >

est en coordonnées sphériques:

( ) ( ), sin cos , sin sin , cos ; 0 ;0 2 X a a aθ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ π θ π = ≤ ≤ ≤ ≤

P L A N T A N G E N T

Considérons une surface S, définie par:

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆. R2 .

Pour chaque valeur fixée de u, la courbe :

C t X t u1( ) ( , )=

est une courbe appartenant à la surface S.

De même pour t fixée, la courbe:

C u X t u2 ( ) ( , )=

est aussi une courbe de S. Le vecteur

C t X

t t u1

' ( ) ( , )= ∂

∂

est le vecteur directeur de la tangente à la courbe C t 1( ) et par

contre celui de la tangente à la surface S au point X(t, u).

De même le vecteur

C u X

ut u2

' ( ) ( , )= ∂∂

est le vecteur directeur de la tangente à la courbe C u2 ( ) et par

contre celui de la tangente à la surface S au même point X(t, u).

Nous pouvons énoncer:


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C H A P I T R E 9

Leila Richa

4 2 8

Définition

Pour une surface S définie comme ci-dessus, le plan passant par

le point X(t, u) et parallèle aux deux vecteurs∂

∂

X

t t u( , ) et

∂ ∂ X u

t u( , ) (lorsqu'il existe) est par définition le plan tangent à la

surface S au point (t, u)

1.2 Vecteur normal

Le vecteur normal à la surface S au point X(t, u) est par définition le

vecteur normal au plan tangent en ce point.

( , ) ( , )

X X N t u t u

t u

∂ ∂= ∧

∂ ∂

Le vecteur unitaire de cette normale est alors:

( , ) ( , )

( , ) ( , )

X X t u t u

t un X X

t u t ut u

∂ ∂∧

∂ ∂=∂ ∂

∧∂ ∂

E X E M P L E

Soit la sphère donnée par son équation paramétrique:

( ) ( ), sin cos , sin sin , cos ;0 ;0 2 X a a aθ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ π θ π = ≤ ≤ ≤ ≤

Nous avons alors:

( , ) ( cos cos , cos sin , sin )

sin ( , )

( , ) ( sin sin , sin cos ,0)

X a a a

X X a X

X a a

ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ

ϕ ϕ θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ

∂ ⎫= − ⎪ ∂ ∂∂ ⎪⇒ ∧ =⎬

∂ ∂∂ ⎪= −⎪∂ ⎭

2 sin ( , ) sin X X a X aϕ ϕ θ ϕ ϕ θ

∂ ∂∧ = =∂ ∂

1 ( , )n X a

ϕ θ ⇒ =


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∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑j

∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

∑q

∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ q

^ ∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑j

Figure 3

R E M A R Q U E 1

Trouvons la normale à cette sphère à l’aide du gradient. Posons :

2 2 2 2( , , ) 0 f x y z x y z a= + + − =

2 2 2

2( , , ) 2( , , ) 12( , , ) ( , , )

22

x y z x y zgradf x y z n x y z

a a x y z= ⇒ = = =

+ +

Or ( , ) X ϕ θ et (x, y, z) ne sont autre que le rayon vecteur OM.

R E M A R Q U E 2

X X

θ ϕ

∂ ∂∧

∂ ∂ étant aussi un vecteur normal à la surface de même

direction que le premier, mais dans le sens opposé, nous

choisissions pour n le vecteur dirigé vers l’extérieur de la surface. Si

le contour de la surface est non fermé, et si il est parcouru dans le

sens direct, n a la direction du bonhomme d’Ampère.

0 0. 5 1 1. 5

1 1. 5

22. 530. 5

1

1. 5

2

Figure 4


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6 2 8

2. Aire d'une surface paramétrée

2.1 Surface paramétrée

0

2

4

6

0

1

2

3

0

1

2

3

4

θ

0

2

4

0

1

2

Figure 5

Considérons deux vecteurs non nuls et non colinéaires A et B de

l’espace. Ces deux vecteurs engendrent un parallélogramme dont la

surface est égale à:

sins A B θ = θ étant l’angle des deux vecteurs.

Or A B A B∧ = sinθ

Soit la surface parametrée suivante:

X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆ R2.

Si A et B sont les tangentes et X X

t u

∂ ∂

∂ ∂ à cette surface en un point

(t, u), alors :

X X

t u

∂ ∂

∂ ∂ ∧

est égale à l’aire du parallélogramme engendré par et X X

t u

∂ ∂

∂ ∂ ;

Ce parallélogramme appartient au plan tangent.

Ajoutons alors la condition suivante:

1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )t u t u X t u X t u≠ ⇒ ≠

autrement dit la surface est injective ou dite " surface à deux faces".


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7 2 8

Alors si les composantes x(t, u), y(t, u), z(t, u), (t, u) ∈ A sont de

classe C 1 on définit l'aire de la surface S par:

( )S A

X X Aire S d dtdu

t uσ

∂ ∂= = ∧

∂ ∂∫∫ ∫∫

On écrit symboliquement :

X X d dtdu

t uσ

∂ ∂= ∧

∂ ∂

E X E M P L E

Dans l’espace ( ), ,θ ϕ ρ la sphère est réduite au plan a ρ = qui est

une surface à deux faces.

Calculons l’aire d’une sphère de rayon a. Nous savons que :

22 2 2 2

0 0

sin sin sin 4

S R

X X a S d a d d a d d a

π π

ϕ σ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ π ϕ θ

∂ ∂∧ = ⇒ = = = =

∂ ∂ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

{0 ; 0 2 } R ϕ π θ π = ≤ ≤ ≤ ≤

2.2 Surface en coordonnées cartésiennes

Soit la surface donnée en coordonnées cartésiennes par z= f(x, y).

Une représentation paramétrique de cette surface peut s'écrire:

X(x, y)=(x, y, f(x, y) )

d’où

( )'1,0, x X

f x

∂=

∂ et ( )'0,1, y

X f

y

∂=

∂ ⇒ ( )' '

, ,1

x y X X

f f x y

∂ ∂∧ = − −

∂ ∂

⇒ '2 '2

1 x y X X

f f x y

∂ ∂∧ = + +

∂ ∂

22

1 S A f f

d dxdy x y

σ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫∫

E X E M P L E 1

Calculer l’aire de la portion de paraboloïde définie par:

2 2 , 0 2 z x y z= + ≤ ≤


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En appliquant la formule précèdent, on obtient:

2 2 2 21 4 4 {( , ) / 2} D

S x y dxdy avec D x y x y= + + = + ≤∫∫

En passant en coordonnées polaires, on obtient:

2 22

0 0

131 4

3S d r r dr

π

θ π = + =∫ ∫

E X E M P L E 2

Calculer l’aire d’une sphère d'équation: 2 2 2 2 x y z a+ + =

Dans l’espace ( ), , x y z la sphère n’est pas une surface à deux

faces. Elle en a quatre, deux faces pour 2 2 2 z a x y= + − − et deux

autres pour2 2 2

z a x y= − − − .

Nous calculerons l’aire de l’hémisphère 2 2 2 z a x y= − − et nous

multiplions le résultat par 2.

'

2 2 2 x

x z

a x y

−=

− −; '

2 2 2 y

y z

a x y

−=

− −;

' 2 ' 2

2 2 21

x y

a z z

a x y+ + =

− −

' 2 ' 21 2 2 2

2 2

0 0 2 2

1

2

x y

S R R

a

aS d z z dxdy dxdy

a x y

ar d dr a

a r

π

σ

θ π

= = + + =− −

= =−

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

212 4S S aπ = =

R E M A R Q U E I M P O R T A N T E

Soit S une surface à deux faces et D xy sa projection sur le plan

xOy. Supposons que l’équation de S soit donnée par :

z= f(x, y)

où f est une fonction continue et bijective. Soit n la normale à la

surface en un point :


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' 2 ' 21 1cos

yz yz

y z

D D

S dydz x x dydzα

= = + +∫∫ ∫∫

' 2 ' 21 1cos

xz xz

x z

D D

S dxdz y y dxdz β

= = + +∫∫ ∫∫

2.3

Aire d'une surface de révolution.

Soit une courbe plane z= z(x), allant du point A x zo o

= ( , ) au point

B x z= ( , )1 1 Quand cette courbe tourne autour de l'axe des z, elle

décrit une surface S.

A

B

xy

z

Figure 7

xy

z

Figure 8

Chaque point de cette courbe décrit un cercle de périmètre

p(x)=2πx.

L'aire de cette surface, est donnée par:

2 B

AS x dsπ = ∫

ds étant la longueur élémentaire de la courbe z(x). Donc

' 21 x

ds z dx= +

Enfin


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12/28

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Leila Richa

1 2 2 8

4.

Flux d'un champ de vecteur à travers une surface.

4.1 Définition

Soit S une surface déterminée par sa représentation paramétrique

X(t, u). Supposons que S est contenue dans un certain ouvert U de R3.

Soit F un champ de vecteurs de R3 défini dans U.

Soit n le vecteur unitaire normal à la surface dirigé vers son extérieur.

Le produit scalaire F . n est la composante normale du champ F.

On appelle flux du champ F à travers la surface S, la quantité

.S

flux F n d σ = Φ = ∫∫

Ce flux est donc égal à:

. ( ( , )). S A X X

F n d F X t u n dtdut u

∂ ∂ σ

∂ ∂ Φ = = ⋅ ∧∫∫ ∫∫

avec ( ),t u A∈

or

n

X

t

X

u

X

t

X

u

=∧

∧

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

donc

. ( ( , )) S U

X X F n ds F X t u dtdu

u t

∂ ∂

∂ ∂ Φ = = ⋅ ∧∫∫ ∫∫

.S U

F n ds F N dtduΦ = = ⋅∫∫ ∫∫

C’est∂∂

∂∂

X

t

X

u∧ ou

∂∂

∂∂

u

X X

t ∧ selon l'orientation de ce vecteur

normal.

R E M A R Q U E

Il n’est pas toujours possible d’orienter la surface de manière à avoir

un extérieur et un intérieur. Nous nous limiterons dans ce cours aux

cas où cette orientation est possible géométriquement.


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1 3 2 8

E X E M P L E 1

Calculer le flux du champ de vecteurs : F(x, y, z) = (x, y, 0)

à travers l’hémisphère z a x y= − −2 2 2

Figure 10

2 2 23 3 3 2 3

0 0 0

4. . sin 2 sin (1 cos )

3S D

F nd F Nd d d a d a d a

π π π

σ ϕ θ θ ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ π Φ = = = = − =∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫E X E M P L E 2

Calculer le flux du champ de vecteurs : F x y z y x z( , , ) ( , , )= − 2

à travers le paraboloïde z x y z= + ≤ ≤2 2 0 1;

Figure 11


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Paramétrisons cette paraboloïde:

X x y x y x y x y D x y x y( , ) ( , , ); ( , ) {( , ) / }= + ∈ = + ≤2 2 2 2 1

( )'(1,0, 2 ); (0,1,2 ); ( 2 , 2 ,1) ', ,1 x y X X X X

x y x y f f x y x y

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = = ⇒ ∧ = − − = − −

Ce vecteur est dirigé vers l'intérieur de la paraboloïde, nous prenons

alors pour vecteur normal:

∂∂

∂∂

X

y

X

x x y∧ = −( , , )2 2 1

Ainsi le flux est égal:

2 2 2

2 15

0 0

( )

3

S D D

F nd F Ndxdy x y dxdy

d r dr π

σ

π θ

Φ = ⋅ = ⋅ = − +

= − = −

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

Part 2

R A P P E L 1

On appelle divergence d’un champ de vecteurs F de

composantes: ( )1 2 3, , f f f le scalaire:

31 2 f f f divF x y z

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + +

R A P P E L 2

On appelle rotationnel d’un champ de vecteurs U de

composantes: U P Q R= ( , , ) le scalaire:

, ,Q Q R P R P

rotU y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠


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5.

Théorème de la divergence ou d'Ostrogradski

ou Théorème de Green dans l’espace

5.1 Premier énoncé

Soit U une région de l'espace R 3 formant l'intérieur d'une surface

fermée S de classe C 1 à l'exception peut-être d'un nombre fini de

surfaces de classe C 1 .

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert A contenant S.

Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S.

Alors le flux du champ F à travers la surface S est donné par:

.S U

F n d divF dV σ Φ = =∫∫ ∫∫∫

Figure 12

D E M O N S T A R T I O N

Soit S une surface fermée telle que toute parallèle à l’un ou à l’autre

des axes de coordonnées, coupe S en deux point tout au plus.

Considérons le champ de vecteurs

1 2 3( , , )F f f f =


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Leila Richa

1 6 2 8

Supposons que les équations des parties inférieures et supérieures

soient: 1 1 2 2( , ); ( , ) z g x y z g x y= = et que D, la projection de la

surface sur le plan xOy.

-0

1

- 1 0 1

0

0. 5

1

1. 5

2

z1=g1Hx, yL

z2=g2Hx, yL

D

Figure 13

Nous avons alors:

2

1

3 3

3 2 3 1[ ( , , ( , )) ( , , ( , ))]

z

U D z

D

f f dxdydz dxdy dz

z z

f x y g x y f x y g x y dxdy

∂ ∂

∂ ∂ =

= −

∫∫∫ ∫∫ ∫

∫∫

Pour la portion supérieur S 2 la normale n2 à S 2 fait un angle aigu

γ 2 avec k.

2 2cosdxdy dsγ = ⇒ 2 2.dxdy k n ds=

Pour la portion inférieur S 1 :

1 1cosdxdy dsγ = − ⇒ 1 1.dxdy k n ds= −

puisque la normale n1 à S 1 fait un angle obtus γ 1 avec k.

Alors:


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1 7 2 8

2 1

33 2 2 3 1 1

3

( , , ) . ( , , ) .

( , , ) .

U S S

S

f dxdydz f x y z k n ds f x y z k n ds

z

f x y z k nd

∂

∂

σ

= +

=

∫∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

33 ( , , ) .

U S

f dxdydz f x y z k nd z

∂ σ ∂

=∫∫∫ ∫∫ (1)

De la même façon, en projetant S sur les autres plans de

coordonnées on obtient:

22 ( , , ) .

U S

f dxdydz f x y z j nd

y

∂ σ

∂ =∫∫∫ ∫∫ (2)

11( , , ) .

U S

f dxdydz f x y z i nd

x

∂ σ

∂

=∫∫∫ ∫∫ (3)

En additionnant (1), (2) et (3), nous obtenons:

1 2 3[ ). .U S S

divF dV f i f j f k nd F n d σ σ = + + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫

Notons que ce flux peut s’écrire:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. [ ).

. . .

cos cos cos

S S

S

S

S

F n d f i f j f k nd

f i nd f j nd f k nd

f d f d f d

f dydz f dxdz f dxdy

σ σ

σ σ σ

α σ β σ γ σ

= + +

= + +

= + +

= + +

∫∫ ∫∫∫∫

∫∫∫∫

E X E M P L E 1

Calculer le flux du champ:

( )2 2 2( , , ) , ,F x y z x y z=

sortant à travers le cube de côté 1 (rép. 3)

E X E M P L E 2

Calculer le flux du champ:

F(x, y, z) = (x, y, z)

à travers la sphère de rayon 1 centrée à l’origine. (rép. 4π)


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1 8 2 8

5.2

Enoncé général

Soit U une région de l'espace R 3 dont la frontière est la réunion

d'un nombre fini de surfaces orientées de sorte que U se trouve à

l'intérieur (dans le sens opposé à la normale) de chacun d'elle.

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant U et

S . Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S.

Alors:

Φ = =∫∫ ∫∫∫F n d divF dV S U . σ

E X E M P L E

Soit U la région comprise entre deux sphères concentriques, S 1 et

S 2 , et soit F un champ de vecteurs vérifiant : div F=0

S1

S2

Alors

divF dV F nd F nd F nd F nd U

S S S S

∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫= ⇒ + = ⇒ = −0 01 2 1 2

. . . .σ σ σ σ

Si on change l’orientation de n dans S 2 nous aurons:

F nd F nd S S

. .σ σ1 2

∫∫ ∫∫=

D’où le corollaire suivant:

Corollaire


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1 9 2 8

Si S1 et S2 sont deux surfaces fermées telle que S1 est dans

l'intérieur de S2 . Si F est un champ vectoriel tel que: divF=0,

alors le flux de F à travers S1 est égal au flux de F à travers S2 .

rotF n d F dC S C . σ∫∫ ∫=

6. Théorème de Stokes

Enoncé

Soit S un domaine superficiel à deux faces, limité par une courbe

fermée C.

Orientons C de sorte que S soit située à sa gauche.

Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant S

et sa frontière .

Alors :

.S C rotF n d F dC σ

+=∫∫ ∫

F I G U R E 1 4

D E M O N S T R A T I O N

Soit une surface “à deux faces” S donnée par

z = f(x, y)


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C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 2 8

Supposons que S est comprise à l’intérieur d’un domaine U de

l’espace, et que C est sa frontière.

Rappel

La normale à cette surface étant donnée par le gradient de“z - f(x, y)=0”, on a:

' '

'2 ' 2

( , ,1)

1

x y

x y

f f n

f f

− −=

+ + ⇒

'

'2 ' 2.

1

x

x y

f n i

f f

−=

+ + et

'

'2 ' 2 .

1

y

x y

f n j

f f

−=

+ +

Comme

'2 ' 2

1 .

1 x yn k

f f =

+ +

⇒ '. . ; xn i f n k = − et'. - . yn j f n k =

D’autre part, nous savons que :

1

.S D

d dxdyn k

σ =∫∫ ∫∫ autrement dit . D S

dxdy n kd σ =∫∫ ∫∫

Fin du rappel

Considérons alors un champ de vecteurs de classe C 1 défini dans

U.

( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,F x y z X x y z Y x y z Z x y z=

Nous voulons montrer que:

rotF n d F dC S C

. σ∫∫ ∫=

C’est à dire:

. . .S C

Z Y X Z Y X i n j n k n d Xdx Ydy Zdz y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ ∫

Soit D la projection de S sur le plan xOy et L le contour de D.

Calcul de

C

Xdx∫


21/28

C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 1 2 8

( , , ) ( , , ( , ))C L

X x y z dx X x y f x y dx=∫ ∫

Posons P =X et Q =0, et appliquons le théorème de Green:

C D D

Q P P

Xdx dxdy dxdy x y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫∫ ∫∫

Or

( ) ( )( ), , , ,P x y X x y f x y= ⇒ P X X z

y y z y

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

Alors

C D

f X X Xdx dxdy

y z y

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫∫ ;

. D S

dxdy n kd σ =∫∫ ∫∫ ⇒ .C S

X X f Xdx n kd

y z yσ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫

'- . . y f n k n j= ⇒ . . .S S S

X X f X X n kd n kd n jd

y z y y zσ σ σ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫

⇒ . .C S S

X X Xdx n kd n jd

y zσ σ

∂ ∂= − +

∂ ∂∫ ∫∫ ∫∫

Calcul de

C

Ydy∫

( , , ) ( , , ( , ))C L

Y x y z dx Y x y f x y dx=∫ ∫

Posons Q=Y et P(x, y)=0, et appliquons le théorème de Green:

C D D

Q P QYdy dxdy dxdy

x y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫∫ ∫∫

Or

( ) ( )( ), , , ,Q x y Y x y f x y= ⇒ Q Y Y z

x x z x

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

Alors


22/28

C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 2 2 8

C D

Y Y f Ydy dxdy

x z x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫

. D S

dxdy n kd σ =∫∫ ∫∫ ⇒

.C S

Y Y f Ydy n kd

x z x

∂ ∂ ∂ σ

∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫

' . . x f n k n i− = ⇒

. . .S S S

Y Y f Y Y n kd n kd n id

x z x x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ σ σ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫

⇒ . .C S S

Y Y Ydy n kd n id

x z

∂ ∂ σ σ

∂ ∂ = − +∫ ∫∫ ∫∫

Calcul deC Zdz∫

' '( , , ( , )) ( , , ( , ))( ) x yC L L

Zdz Z x y f x y dz Z x y f x y f dx f dy= = +∫ ∫ ∫

Posons

'

'

( , ) ( , , ( , )) ( , )

( , ) ( , , ( , )) ( , )

x

y

P x y Z x y f x y f x y

Q x y Z x y f x y f x y

=

=

et appliquons le théorème de Green:

' ' '' ' ' ''

' '

C D

x y xy y x xy

D

y x

D

Q P Zdz dxdy

x y

Z Z Z Z f f Zf f f Zf dxdy

x z y z

Z Z f f dxdy

x y

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= + + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫∫

∫∫

∫∫

. .C D

Z Z Zdz n j n i d

x y

∂ ∂ σ

∂ ∂

⎛ ⎞= − −

⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫

Faisons la somme

C

Xdx Ydy Zdz+ +∫


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C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 3 2 8

. . .

.

C S

S

Z Y X Z Y X F n i n j n k d

y z z x x y

rotF nd

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫ ∫∫

∫∫

c q d f

E X E M P L E

Vérifier le théorème de Stokes pour le champ:

F(x, y, z) = (z - y, x + z, -x - y)

sur le domaine

2 24 ; 0 z x y z= − − =

(rép. 8π)

−1−0. 500. 51

−1 −0. 5 0 0. 5 11

1. 25

1. 5

1. 75

2

R E M A R Q U E

Le théorème de Stokes peut être appliqué à une surface contenant

plusieurs trous (comme dans le gruyère). L’intégrale de surface de

rotF.n, est alors égale à l’intégrale curviligne le long de TOUTES les

frontières de S.


24/28


25/28

C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 5 2 8

( )

( )

( )

1, ,

1, ,

1 , ,

G

D

G

D

G

D

x x x y z d m

y y x y z d m

z z x y z d m

ρ σ

ρ σ

ρ σ

⎧=⎪

⎪⎪

=⎨⎪⎪

=⎪⎩

∫∫

∫∫

∫∫

Pour une plaque gauche homogène, on emploie le terme centre de gravité au lieu de centred’inertie.

7.2.1 Exemple

Trouver le centre de gravité de l’hémisphère :

z a x y= − −2 2 2

de densité constante 1. On vérifie facilement, par symétrie, que G Gx =y 0= .

G 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 22

1 1 z

1

2 2

S S

S

D

a z d z dxdy

m m a x y

aa x y dxdy

m a x y

a a a adxdy a a

m m a

ρ σ

π π π

= =− −

= − −− −

= = = =

∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫

7.2.2 Exemple

Déterminer le centre de gravité de la plaque homogène ( ),1S où S est la surfacedéfinie par :

( ) [ ] [ ]cos ; sin ; ; , 0,1 0,1v v v x ue v y ue v z e u v= = = ∈ × 0. 5 1 1. 5

0 0. 5 1 1. 5

2

1

1. 5

2

2. 5

1

1. 5

2

2. 5

Figure 15

On a :

cos

sin

0

v

v

e v X

e vu

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟

= ⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠

;

( )

( )

cos sin

sin cos

v

v

v

ue v v X

ue v vv

e

⎛ ⎞−∂ ⎜ ⎟

= +⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠


26/28

C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 6 2 8

2

sin

cosvv

X X e v

u vu

⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟∧ = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ 2 21v X X

e uu v

∂ ∂∧ = +

∂ ∂

La masse m est donnée :

( )( )

( )( ) ( )

1 12 2

0 0

2

1

12 ln 1 2 1 3.667

4

v

S

X X m dudv u du e dv

u v

e

∂ ∂= ∧ = +∂ ∂

= + + − ≅

∫∫ ∫ ∫

7.3

Moment d’inertie d’une plaque gauche

Soit H un point ou une droite ou un plan de3

R ; pour tout point M de3

R , on note

( ),d M H la distance de M à H.

Le moment d’inertie d’une plaque gauche ( ),S ρ par rapport à H est le réel H I défini

par :

( ) ( )( )2

, H

S

I M d M H d ρ σ = ∫∫

où ( ), , M x y z décrit S.


27/28

C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 7 2 8

7.3.1 Exemple

Calculer le moment d’inertie par rapport à l’axe z’z dela plauqe homogène ( ),1S où

S est la surface définie par { }; 0 1; 0 1S z xshy x x= = ≤ ≤ ≤ ≤

00. 20. 40. 6

0. 8

0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1

0

0. 25

0. 5

0. 75

1

00. 20. 40. 6

0. 8

0

0. 25

0. 5

0. 75

1

Figure 16

' 2 ' 2 2 2 2 21 1 1 x y

z z sh y x sh y x chy+ + = + + = +

( ) ( )( )1 12 2 2 2 2

' 0 01 1

z z

S

I x y x chydxdy x x dx chydy ρ = + + = +∫∫ ∫ ∫

' 1.59 z z I =


28/28

C H A P I T R E 9

Leila Richa

2 8 2 8

A

Aire

d'une surface de révolution · 10 d'une surface paramétrée · 6

C

centre d’inertied'une plaque gauche · 24

F

flux · 12

I

Intégralede surface · 11

M

masse plaque gauche · 24

moment d’inertied'une plaque gauche · 26

O

OstrogradskiThéorème · 16

P

parametréecourbe · 2 surface · 2

plan tangent · 4

S

StokesThéorème · 20

V

vecteur normal · 4

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Integrales de Surface

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