Interpolasi

Umi Sa’adah

Interpolasi

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

x0 x1 x

f(x)

L(x)

Interpolasi Linier

Interpolasi Kudrat

x0 x1 x

f(x)

x2h h

L(x)

Interpolasi QubicInterpolasi Qubic

x0 x1 x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

Interpolasi dg Polinomial

2251

1)(

xxf

Table : Six equidistantly spaced points in [-1, 1]

Figure : 5th order polynomial vs. exact function

x 2251

1

xy

-1.0 0.038461

-0.6 0.1

-0.2 0.5

0.2 0.5

0.6 0.1

1.0 0.038461

Interpolasi dg Polinomial

Figure : Higher order polynomial interpolation is a bad idea

Original Function

16th Order Polynomial

8th Order Polynomial

4th Order Polynomial

Uji Coba

2251

1)(

xxf

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Interpolasi Kuadratik Titik yang digunakan

-0.52 0.128866 0.52 0.128866 0 1

F(x) =-3.22165x2 + 1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y1

y2

Interpolasi Polinom derajat 4 Titik yang digunakan

0 1 0.2 0.5 -0.2 0.5 0.8 0.058824 -0.8 0.058824

F(x) =18.3824x4-13.2353x2+ 1

Interpolasi Polinom derajat 4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y1

y2

Contoh 2 :

Titik2 yang digunakan untuk menghitung interpolasi n = 3

(-3,-63) (3,-9)

(0,0) (-2,-24)

Contoh 2 : Persamaan

-27a3 + 9a2 – 3a1 + a0 = -63 27a3 + 9a2 + 3a1 + a0 = -9 -8a3 + 4a2 – 2a1 + a0 = -24 a0 = 0

Didapatkan : a0=0, a1=1.59872e-15, a2=-4 dan a3 = 1

Sehingga didapatkan pers sbb : X3 – 4x2 + 1.59872e-15X

(-3,-63) (3,-9)(0,0) (-2,-24)

Hasil

y2

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

-6 -4 -2 0 2 4 6

y2

Interpolasi Linier ide dasar : pada saat

data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.

Interpolasi Linier

xaaxp 101 )(

1101

0100

xaay

xaay

01

10010

01

011

xx

yxyxa

xx

yya

01

01

01

10011

)()(

xx

xyy

xx

yxyxxp

Polinom yang menginterpolasi 2 titik :

Didapat 2 persamaan sbb :

Dengan proses eliminasi didapatkan :

Sehingga persamaan mjd :

Dengan sedikit manipulasi aljabar didapat :

)()(

)( 001

0101 xx

xx

yyyxp

Interpolasi Linier

Interpolasi Linier

)()(

)(

)(

)()(

001

0101

01

01

01

1000

01

0101

01

01

01

10011

xxxx

yyyxp

xx

xyxy

xx

yxyx

xx

xxyxp

xx

xyy

xx

yxyxxp

)()(

)( 001

0101 xx

xx

yyyxp

Sehingga, persamaan untuk interpolasi linier:

Contoh : Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk

berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

Contoh : maka untuk mencari nilai x=45 maka,

feetf

f

xxxx

xfxfxfxf

5.775.1265510

2565)45(

)4045(4050

659065)45(

)()()(

)()( 001

010

Example The upward velocity of a rocket is given as a

function of time in Table 1. Find the velocity at t=16 seconds using linear splines.

t v(t)

s m/s

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

Table : Velocity as a function of time

Figure : Velocity vs. time data for the rocket example

Linear Interpolation

10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x desired

x s1

10x s0

10 x s range x desired

,150 t 78.362)( 0 tv

,201 t 35.517)( 1 tv

)()()(

)()( 001

010 tt

tt

tvtvtvtv

)15(1520

78.36235.51778.362

t

)15(913.3078.362)( ttv

At ,16t

)1516(913.3078.362)16( v

7.393 m/s

Interpolasi Kuadrat

F(x) = ax2 + bx + c

Interpolasi Kuadrat

Titik-titik data (x0,y0) (x1,y1) (x2,y2)

Hitung a0, a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss

2

2

2

221102

121101

020100

xaxaay

xaxaay

xaxaay

Interpolasi Kuadrat (Versi lain)

))((

))((

))((

))((

))((

))((

2313

213

3212

312

3121

321 xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxyy

Untuk memperoleh titik baru Q (x,y)

Contoh : Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) =

2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a2 + 8 a1 + a0 = 2.0794 81 a2 + 9 a1 + a0 = 2.1972 90.25 a2 + 9.5 a1 + a0 = 2.2513

Penyelesaian a2= -0.0064 a1 = 0.2266 a0 = 0.6762

Jadi polinom kuadratnya = Sehingga p2(9.2) = 2.2192

20064.02266.06762.0)(2 xxxp

Interpolasi QubicInterpolasi Qubic

x0 x1 x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

Interpolasi Qubic

Terdapat 4 titik data (x0,y0) (x1,y1) (x2,y2) dan (x3,y3)

p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

Polinom p3(x) ditentukan dengan cara Masukan (xi,yi) ke dalam persamaan

a0 + a1x0 + a2x02 + a3x0

3 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1

3 = y1

a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2

3 = y2

a0 + a1x3 + a2x32 + a3x3

3 = y3

Hitung a0 , a1 , a2 , dan a3

Metode Lain Secara umum, penentuan polinomial

dengan cara tsb kurang disukai, karena mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi.

Terdapat beberapa metode polinom interpolasi : Polinom Lagrange Polinom Newton Polinom Newton Gregory

Polinom Lagrange Polinom berderajat satu

Dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk (*)

Dimana

Persamaan * dinamakan Polinom Lagrange derajat 1.

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

)(

)(

)(

)()(

01

01

10

101 xx

xxy

xx

xxyxp

)()()( 11001 xLaxLaxp

00 ya

)(

)()(

10

10 xx

xxxL

11 ya

)(

)()(

01

01 xx

xxxL

Polinom Lagrange

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1

1

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

01

01

10

10

01

01

01

010

01

01

01

010

01

01

01

0000010

01

01

01

00

01

010

001

0101

xx

xxy

xx

xxy

xx

xxy

xx

xyxy

xx

xxy

xx

xyxy

xx

xxy

xx

xyxyxyxy

xx

xxy

xx

xxy

xx

xxy

xxxx

yyyxp

)(

)(

)(

)()(

01

01

10

101 xx

xxy

xx

xxyxp

Polinom Lagrange Bentuk umum Polinom Lagrange

derajat ≤ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :

Yang dalam hal ini

)(...)()()()( 110

00 xLaxLaxLaxLaxp nn

n

iiin

ii ya

n

ijj ji

ji xx

xxxL

0 )(

)()(

Contoh : Hampiri fungsi f(x) = cos(x) dengan

polinom interpolasi derajat tiga pada range [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik

x0 = 0.0, x1 = 0.4, x2 = 0.8, x3 = 1.2 Perkirakan nilai p3(0.5) dan

bandingkan dengan nilai sebenarnya.

Xi 0.0 0.4 0.8 1.2

yi 1 0.921061

0.696707

0.362358

Contoh : Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat

titik tsb.

))()((

))()((

))()((

))()((

))()((

))()((

))()((

))()(()(

)()()()()(

231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

332211003

xxxxxx

xxxxxxy

xxxxxx

xxxxxxy

xxxxxx

xxxxxxy

xxxxxx

xxxxxxyxp

xLaxLaxLaxLaxp

)8.02.1)(4.02.1)(0.02.1(

)8.0)(4.0)(0.0(362358.0

)2.18.0)(4.08.0)(0.08.0(

)2.1)(4.0)(0.0(696707.0

)2.14.0)(8.04.0)(0.04.0(

)2.1)(8.0)(0.0(921061.0

)2.10.0)(8.00.0)(4.00.0(

)2.1)(8.0)(4.0(1)(3

xxxxxx

xxxxxxXp

877221.0)5.0(3 p 877583.0)5.0cos( y

Polinom Newton Polinom Lagrange kurang disukai dalam

praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali

interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange

Polinom Newton bisa mengatasi hal ini, di mana polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.

Polinom Newton Persamaan Polinom Linier

Bentuk pers ini dapat ditulis :

Yang dalam hal ini (1) Dan (2)

Persaman ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

)()( 0101 xxaaxp

)( 000 xfya

)(

)()(

)(

)(

01

01

01

011 xx

xfxf

xx

yya

],[ 011 xxfa

Polinom Newton Polinom kuadratik

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

Polinom Newton Jadi tahapan pembentukan polinom Newton

:)()()( 0101 xxaxpxp

)()( 0101 xxaaxp

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp

Polinom Newton Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih

terbagi (ST) , dengan nilai

Yang dalam hal ini ],,...,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

012111011

),,...,,[],...,,[],,...,,[

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjjikji

ji

jiji

Polinom Newton

i xi yi = f(xi)

ST-1 ST-2 ST-3

0 x0 y0 f[x1, x0] f[x2, x1, x0] f[x3, x2, x1 , x0]

1 x1 y1 f[x2, x1] f[x3, x2, x1]

2 x2 y2 f[x3, x2]

3 x3 y3

Polinom Newton Dengan demikian polinom Newton dapat

ditulis dalam hub rekursif sebagai : Rekurens

basis Atau dalam bentuk polinom yang lengkap

sbb :

],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn

)()( 00 xfxp

],,...,,[))...()((

],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

Contoh Soal : Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan

empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147

1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880

2.0 -0.4161

-0.5739 0.4551

3.0 -0.99 0.3363

4.0 -0.6536

Contoh Soal : Contoh cara menghitung nilai selisih

terbagi pada tabel :

2484.002

4597.09564.0

)(

],[],[],,[

9564.012

5403.04161.0

)(

)()(],[

4597.001

15403.0

)(

)()(],[

02

0112012

12

1212

01

0101

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

Contoh Soal :

Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :

)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.0(4597.00.1)()cos(

4

3

2

1

xxxxxxx

xxxxpx

xxx

xxxxpx

xxxxpx

xxpx

Contoh Soal : Nilai fungsi di x=2.5 dengan polinom

derajat 3 adalah :

Nilai sejati f(2.5) adalah f(2.5) = cos(2.5)=-0.8011

Jadi solusi hampiran mengandung error = -0.8011 – (-0.8056) = 0.0045

8056.0)0.25.2)(0.15.2)(0.05.2(1466.0

)0.15.2)(0.05.2(2484.0)0.05.2(4597.00.1)5.2()5.2cos( 3

p

Grafik f(x) vs p1(x)

Grafik f(x) vs p2(x)

Grafik f(x) vs p3(x)

Grafik f(x) vs p4(x)