BAB I

PENGERTIAN STATISTIKA

A. Pengertian Statistika

Ada banyak ilmuwan yang mencoba mendefinisikan statistika. John W. Best dalam bukunya Research in Education (1983,219) menyatakan :

statistics is a body of mathematical techniques or processes for gathering, organizing, analyzing and interpreting numerical data. Since research yields such quantitative data, statistics is a basic tool of measurement, evaluation and research.

Ferguson dan Takane (1989, 4) menyatakan statistics is a branch of scientific methodology. It deals with the collections, classification, description and interpretion of data obtained by the conduct ofsurvey and experiments.Its essential purpose is to describe and draw inferences about the numerical properties of populations . . . .

Kata statistik juga dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta, umumnya berbentuk angka yang disusun dalam tabel dan atau diagram,yang menggambarkan suatu persoalan, seperti misalnya dalam kata-kata :

statistik kelahiran, statistik pendidikan, statistik kesehatan maupun yang lainnya. Kata statistik juga mengandung pengertian lain, yakni dipakai untuk menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mengenai sesuatu hal, seperti misalnya penggunaan kata-kata persen dan rata-rata (Sudjana, 1986, 2). Harap dibedakan antara kata statistik seperti tersebut di muka dan statistika.

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan penganalisisan yang dilakukan. Tidak jauh berbeda dengan pengertian yang telah disebutkan di atas, adalah pendapat Hadi (1995, 1) yang menyatakan bahwa statistika adalah cara-cara ilmiah untuk mengumpulkan, menyusun, meringkas dan menyajikan data penyelidikan untuk kemudian menarik kesimpulan yang teliti dan keputusan-keputusan yang logik.

Dari berbagai pendapat tersebut di atas maka dapat dirangkum pengertian bahwa statistika adalah : cara ilmiah untuk mengumpulkan, menyusun, meringkas, menyajikan data dan menarik kesimpulan. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic).

Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Statistika adalah pengetahuan caracara mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis data dan menafsirkannya atau menarik kesimpulan berdasarkan analisis tersebut.

Statistika Deskriptif adalah bagian dari statistika yang hanya berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan dan penyajian data sehingga memberikan informasi yang berguna, tanpa menarik kesimpulan terhadap gugus data (populasi).

Statistika Inferensia adalah semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai gugus data (populasi).

Data adalah keterangan mengenai suatu hal yang berbentuk bilangan atau kategori.

Data Statistika dapat dibagi atas dasar :

1. Sifatnya :

a. Data Kuantitatif adalah data yang berbentuk bilangan.

Data Diskrit : Data hasil menghitung (membilang) ; merupakan bilangan bulat.

Data Kontiny : Data hasil mengukur; bisa berbentuk bilangan pecahan.

b. Data Kualitatif adalah data yang dikategorikan menurut kualitas objek.

2. Sumbernya :

a. Data Internal : Data yang menggambarkan keadaan di dalam suatu organisasi.

b. Data Eksternal : Data yang menggambarkan keadaan di luar suatu organisasi.

3. Cara Memperolehnya :

a. Data Primer : Data yang diperoleh langsung dari sumbernya.

b. Data Sekunder : Data yang diperoleh dari pihak lain.

4. Skala Data :

a. Skala Nominal atau Data Klasifikasi, misal jenis kelamin, pekerjaan dll..

b. Skala Ordinal atau Data Berperingkat, misal opini (baik, sedang, jelek).

c. Skala Interval, misal suhu.

d. Skala Rasio,misal pendapatan keluarga, produksi dll.

Data yang baru dikumpulkan dan belum mengalami pengolahan apapun disebut Data Mentah. Proses pengumpulan data dapat dilakukan melalui Sensus dan Sampling.

Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita. Banyaknya pengamatan atau anggota populasi disebut Ukuran Populasi. Ukuran populasi ada terhingga ada yang tak hingga. Dalam Statistika Inferensia, kita ingin memperoleh kesimpulan mengenai populasi, meskipun kita tidak mungkin atau tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun populasi. Oleh karena itu,kita terpaksa menggantungkan pada sebagian anggota populasi (contoh) untuk menarik kesimpulan mengenai populasi tersebut.

Contoh atau Cuplikan adalah himpunan bagian dari populasi.

Apabila kita menginginkan kesimpulan dari contoh terhadap populasi menjadi sah, maka contoh harus bersifat representatif (mewakili). Sebaliknya apabila contoh tidak representatif maka kesimpulan akan menjadi bias.

Kesimpulan yang tidak bias adalah kesimpulan yang sesuai dengan keadaan sebenarnya. Untuk menghilangkan kemungkinan kesimpulan yang bias, kita perlu mengambil Contoh Acak Sederhana atau disingkat Contoh Acak.

Contoh Acak npengamatan adalah suatu contoh yang dipilih sedemikian rupa sehingga himpunan bagian yang berukuran n dari populasi tersebut mempunyai peluang yang sama untuk dipilih.

Apabila populasinya terhingga, penentuan contoh acak dapat dilakukan dengan menuliskan semua anggota pada sepotong kertas kecil (cara undian). Untuk populasi yang berukuran besar, penentuan contoh acak dilakukan dengan menggunakan Tabel Angka Acak.

Penyajian Dataada dua cara, yaitu dalam bentuk :

1. Tabel atau Daftar, seperti Tabel Distribusi Frekuensi dan Daftar Baris Kolom.

2. Grafik atau Diagram, seperti Diagram Batang , Diagram Garis (Grafik), Diagram Lambang atau Simbol (Piktogram), Diagram Pastel (Lingkaran) dan Diagram Pencar (Titik).

Parameter dan Statistik

Terminologi dan notasi yangdi gunakan statistikawan dalam mengolah data sepenuhnya bergantung pada apakah data tersebut merupakan populasi atau suatu contoh yang diambil dari suatu populasi. Misal banyaknya kesalahan ketik pada setiap halaman yang dilakukan oleh seorang sekretaris ketika mengetik sebuah dokumen setebal 10 halaman adalah 1, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 0 dan 2.

Pertama, jika diasumsikan bahwa dokumen itu memang tepat setebal 10 halaman maka data tersebut merupakan populasi terhingga yang kecil. Kita dapat mengatakan bahwa banyaknya kesalahan ketik terbesar adalah 4, atau menyatakan nilai tengah (ratarata) hitungnya adalah 1,5. Bilangan 4 dan 1,5 tersebut merupakan deskripsi bagi populasi. Kita menyebut nilainilai demikian itu parameter populasi.

Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi Sekarang misalkan bahwa data tersebut merupakan contoh 10 halaman dari naskah yang jauh lebih tebal. Maka bilangan 4 dan 1,5 tersebut merupakan deskripsi bagi contoh, dan disebut statistik.

Statistik adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu contoh.

Distribusi Frekuensi

Ciriciri penting bagi data dengan segera dapat diketahui melalui pengelompokan data tersebut ke dalam beberapa kelas, kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Susunan demikian dalam bentuk tabel disebut distribusi (sebaran) frekuensi. Data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi dikatakan sebagai data yang dikelompokkan. Pengelompokan memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai data tersebut, tetapi kita kehilangan identitas masingmasing pengamatan.

Distribusi Frekuensi adalah susunan data berdasarkan kelas interval atau kategori tertentu.

Distribusi Frekuensi ada dua macam, yaitu :

1. Distribusi Frekuensi Numerik adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan dengan angka.

2. Distribusi Frekuensi Kategori adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya berdasarkan kategori.

Langkahlangkah penyusunan distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

a. Menentukan banyaknya kelas interval (5 sampai 20) atau digunakan Aturan Sturges, yaitu : 1 + 3,3 Log n, dimana n menunjukkan ukuran sampel.

b. Menentukan selisih bilangan terbesar dengan terkecil, yang disebut rentang (range).

c. Menentukan panjang kelas interval (p) dimana p = (rentang :banyaknya kelas interval).

d. Mencacah banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam kelas interval.

BAB II

PROBABILITAS

A. Definisi Peluang

Probabilitas atau peluang secara umum diartikan sebagai peluang terjadinya suatu peristiwa, dan secara khusus diart ikan sebagai perbandingan antara kemungkinan munculnya suatu kejadian dibandingkan dengan semua kemungkinan kejadian yang dapat terjadi.

Apabila sebuah mata uang yang masih bagus (belum melengkung), dan dilemparkan ke atas seperti pada pengundian, maka kemungkinan yang ada adalah muncul gambar (G) dan angka (A). Kemungkinan muncul disebut sebagai sukses dan kemungkinan tidak muncul disebut sebagai gagal. Apabila peluang sukses diberi simbol p dan peluang gagal diberi simbol q, dan kemungkinan munculnya p dan q adalah sama, maka dapat dibatasi bahwa p = q. Dari semua kejadian yang mungkin maka dapat

disimpulkan :

ps= p = 1 - q = pg= q = 1 p

dimana ps adalah kemungkinan sukses pgadalah kemungkinan gagal.

Sebagai contoh apabila sebuah mata uang dilemparkan secara bebas sebanyak sepuluh kali, maka apabila tidak adaunsur kebetulan atau tidak ada kekuatan yang khusus yang mengendalikan pelemparan uang, maka kemungkinan atau probabilitas atau peluang muncul gambar (G) adalah lima kali dan maupun angka (A) juga sebanyak lima kali. Dengan demikian kemungkinan atau peluang munculnya G adalah setengah (5 dari 10 kemungkinan) dan kemungkinan atau peluang munculnya A juga setengah (5 dari 10 kemungkinan). Jika ditulis dengan simbul :

p = 1/2 dan q = 1/2 atau p = 0,5 dan q = 0,5.

Distribusi Probabilitas

1. Variabel acak

Adalah suatu variabel yang nilainya merupakan bilangan yang ditentukan oleh suatu hasil percobaan.umunya dipakai huruf capital misalnya X,dan untuk menyatakan salah satu diantara nilai-nilai dilambangkan dengan huruf kecil x,variabel acak ada 2 yaitu variabel diskrikt dan continu.

2. Variabel acak diskrit

Adalah suatu variabel yang dapat memiliki sejumlah nilai yang dapatdihitung,atau nilainya dapat dinyatakan dangan bilangan bulat positif 0,1,2,,,.. missal :

a. Banyaknya nyamuk aedes aegepti yang mati pada saat penelitian.

b. Jumlah mahasiswa DO padatahun tertentu.

c. Pasien yang meninggal pada hari tertentu di RS.

3. Distribusi peluang diskrit

Adalah sebuah table atau rumus yang mencamtumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak.

4. Nilai harapan matematis (ekspektasi)

Nilai harapan merupakan rata-rata hitung dari distribusi peluang,jadi harapan matematis adalah harapan untuk memperoleh nilai tertentu yang berkaitan dengan besar peluangnya,untuk variabel diskrit rusmus sbb :

E(x) = x = Xi P(Xi)

= X1 P(X1) + X2 P(X2) + + XnP(Xn)

5. Distribusi Binominal

Distribusi binominal menggambarkan fenomena dengan dua hasil (outcome).contoh,peluang sukses dan gagal,sehat dan sakit.

Ada 3 syarat dalammenggunakan distribusi binominal.

1. Tiap peristiwa hanya mempunyai 2 hasil (outcome) yaitu sukses dan gagal.contoh : laki/perempuan, sehat/sakit, setuju/tidak setuju.

2. Peluang sukses sama setiap eksperimen.

3. Setiap experimen independen satu sama lain.

Dengan rumus sbb :

P (X=x) = px (1- P)n x X = kejadian yang kita inginkan (jumlah sukses yang kita inginkan).

P = probabilitas yang kita inginkan.

q = 1 p

n = banyaknya peristiwa (trial)

BAB III

DISTRIBUSIBeberapa Distribusi Peluang Kontinu (Hampiran Normal Terhadap Binormal, Distribusi Gamma, Eksponensial) dan KHI-Kuadrat)

1. Hampiran Normal terhadap Binominal

Hampiran normal dipakai untuk menghitung peluang binominal bila p tidak dekat dengan nol atau 1. Hampiran tersebut baik sekali bila n besar dan cukup baik untuk nilai n yang kecil asal saja p cukup dekat . Hampiran normal masih baik dipakai bila np maupun ng lebih besar dari 5. Teorema

Bila x peubah acak binominal dengan rataan M = np dan variansi (2 = npq maka bentuk limit distribusi

Z =

Bila n ( ialah distribusi normal baku n (z, 0, 1) Oleh karena distribusi binominal mempunyai variabel diskrit, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinue, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan binominal perlu diadakan penyesuaian sebagai berikut : untuk harga variabel x batas bawah diundurkan 0,5 dan harga variabl x batas atas diajukan 0,5.

Contoh :

Hitung besarnya probabilitas untuk memperoleh 5 permukaan gambar dalam 12 kali lemparan dari mata uang logam yang masih baik

N = 12, x = 5 dan p =

P (5 ; 12) = x

x

= 792 x

= = 0,1934

Apabila kita gunakan kurva normal :

M = np =12 (1/2 ) = 6

( =

= 1732

Z1= = -0,87

Z2= = -0,29

P (4,5 < x < 5,5)= P (-0,87 < Z < -0,29)

= P (Z < - 0,29) P (Z < -0,87)

= 0,3859 0,1922

= 0,1937

Perbedaan antara hasil rumus binomial dengan normal = 0,1937 0,1934 = 0,0003 karena kecil sekali dapat kita abaikan.

2.Distribusi Gamma

Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan. Terlebih dahulu akan diperkenalkan sebuah fungsi gamma.

Fungsi gamma r (() adalah :

r (() = , untuk ( > 0

Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah :

1. Untuk sebuah bilangan bulat positif n,

(n) = (n 1) !

2. Didefinisikan = (1/2) =

Distribusi gamma

Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter ( dan (, bila padatnya diberikan oleh :

f(x : (, () =

= 0 untuk x lainnya

Bila ( > 0 dan ( > 0

Distribusi Gamma Standard

Jika parameter skala sebuah distribusi gamma ( = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar.

FG = (x : () = P (X ( x) =

P (X( x) = FG (x ; (, () = FG

Contoh :

Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan ( = 8 dan ( = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut!

Jawab :

P (60 x ( 120) = P (x ( 120) P (x ( 60)

= FG (120; 8 , 15) - FG (60 ; 8, 15 )

= FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8)

= FG (8 ;8) - FG (4 ; 8)

= 0,5470 0,0511 = 0,4959

3.Distribusi Eksponensial

Distribusi Gamma khususnya dengan ( = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah acak kontinu x distribusi eksponensial dengan parameter (, bila fungsi padatnya diberikan oleh :

1. fE (x ; ) = e-x/( x ( 0 = 0 untuk x lainya

Dengan ( > 0

2. FE (x ; ) = P (X ( x) =

= 1 e-x/(Contoh :

Misalkan x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang merupakan tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai sistem mulai memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu distribusi eksponensial dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang perintah tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 10 detik.

P (X ( 10) = F (10 ; ) = 1 e-10/0,2 = 1 e-2 = 1 0,135 = 0,865

4.Distribusi Khi-kuadrat (X2)

Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila ( = V/2, ( = 2 dan V bilangan bulat positif. Fungsi peluang padat seperti itu disebut distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V.

Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V, bila fungsi padatnya diberikan oleh :

Fx2 (x ; v) =

= 0 untuk x lainnya

Teorema :

Rataan dan variansi distribusi gamma adalah :

( = (( dan (2 = ((2Akibat 1

Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah

( = ( dan (2 = (2Akibat 2

Rataan dan variansi distribusi khi-kuadrat adalah

( = V dan (2 = 2V

BAB IV

BAB V

RANTAI MARKOV

BAB VI

KORELASI DAN REGRESI

1 Defenisi Analisis Regresi dan Korelasi1.Analisis Korelasi adalah metode statstika yang digunakan untuk menentukan kuatnya atau derajat hubungan linier antara dua variabel atau lebih. Semakin nyata hubungan linier (garis lurus), maka semakin kuat atau tinggi derajat hubungan garis lurus antara kedua variabel atau lebih. Ukuran untuk derajat hubungan garis lurus ini dinamakan koefisien korelasi.

2.Analisis Regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk menentukan kemungkinan bentuk hubungan / pengaruh antara dua atau lebih variabel bebas (X) dengan variabel terikat (Y). Tujuan pokok penentuan metode ini adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari satu variabel (Y) dalam hubungannya dengan variabel yang lain (X).

2.2 Analisis Regresi Sederhana dan Berganda2.2.1 Analisis Regresi SederhanaAnalisis regresi sederhana adalah proses mengestimasi (menaksir) sebuah fungsi hubungan antara variabel dependen (Y) dengan variabel independen (X). Dalam suatu persamaan regresi besarnya nilai variabel dependen adalah tergantung pada nilai variabel lainnya.

Persamaan regresi linier sederhana Y terhadap X adalah :

1. Model populasi regresi linier sederhana dinyatakan dalam persamaan := + ... 2.3

2. Model sampel (penduga) untuk regresi linier sederhana :di mana : = variable bebas (independen)= variable terikat (dependen)a = penduga bagi intersep ()b = penduga bagi koefisien regresi ()

i = 1,2,3,Nilai dan adalah parameter yang nilainya tidak diketahui sehingga diduga menggunakan statistik sampel. Komponen sisaan / kesalahan ( = galat) menunjukkan

1)Pengaruh dari variabel yang tidak dimasukkan dalam persamaan regresi karena berbagai pertimbangan.2) Penetapan persamaan yang tidak sempurna.

3) Kesalahan pengukuran dalam pengumpulan dan pemrosesan data.Nilai a menunjukkan intersep (konstanta) persamaan tersebut, artinya untuk nilai variable X = 0 maka besarnya Y = a, parameter b menunjukkan besarnya koefisien (slope) persamaan tersebut, nilai ini menunjukkan besarnya perubahan nilai Y jika nilai X berubah sebesar satu satuan. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

dan Alisis Regresi BergandaRegresi berganda adalah bentuk hubungan atau pengaruh dari dua atau lebih variabel babas X dengan variabel terikat Y. persamaan regresi linier berganda dari Y terhadap X adalah :

1. Model populasi berganda adalah

Y = + + + + ... 2.52. Sedangkan model penduganya (model sampel) regresi linier ganda adalah

= a + + + + ... 2.6

Koefisien dan adalah parameter yang nilainya tidak diketahui, sehingga diduga menggunakan satistik sampel. Nilai a, , dan akan diperoleh dari tiga persamaan normal berikut :

= + b +Koefisien a, dan dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

a ===Nilai dari a, dan dari tiga persamaan normal di atas dapat juga dihitung dengan metode matriks. Persamaan normal di atas adalah bentuk sistem persamaan.

linier (SPL) yang dapat diselesaikan dengan metode determinan, yaitu menggunakan aturan Crammer.Jika AX = b merupakan suatu persamaan linier dalam k peubah, maka sistem persamaan tersebut mempunyai penyelesaian dengan metode determinan sebagai berikut :

a = = . . . =dengan adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota anggota pada kolom ke j dari matriks A dengan anggota pada matriks b.2.3 Uji Regresi Linier BergandaUntuk mengetahui atau menguji kepastian dari persamaan regresi berganda tersebut apakah dan berpengaruh secara simultan dan signifikan terhadap Y dilakukan dengan uji F.

Hipotesis yang diuji: = = 0, berarti dan tidak berpengaruh simultan dan signifikan

terhadap Y:

= 0, berarti antara dan berpengaruh simultan dan signifikan terhadap Y.

2. Pengaruh uji statistik (taraf nyata = 5 %)JK res = JKT = JKreg = JKT JKres , JKres + JKreg.

= + di mana : JKres (Jumlah Kuadrat Residu) adalah variasi yang tidak dijelaskan.

JKreg (Jumlah Kuadrat Regresi) adalah variasi yang dijelaskan. JKT ( Jumlah Kuadrat Total) adalah variasi total.

= = BAB VII

LINEAR BERGANDA & NON LINEAR

A. LINEAR BERGANDA

1. Kegunaan Analisis Regresi Linear Berganda

Analisis Regresi Linear Berganda digunakan untuk mengukur pengaruh antara lebih dari satu variabel prediktor (variabel bebas) terhadap variabel terikat.

Rumus:

Y = a + b1X1+b2X2++bnXn

Y = variabel terikat

a = konstanta

b1,b2 = koefisien regresi

X1, X2 = variabel bebas

Contoh:

Seorang Manajer Pemasaran deterjen merek ATTACK ingin mengetahui apakah Promosi dan

Harga berpengaruh terhadap keputusan konsumen membeli produk tersebut?

Hipotesis:

Ho : b1 = b2 = 0, Promosi dan Harga tidak berpengaruh signifikan terhadap keputusan konsumen membeli deterjen merek ATTACK.

Ha : b1 b2 0, Promosi dan Harga berpengaruh signifikan terhadap keputusan konsumen membeli deterjen merek ATTACK. Tabel 7.1 Data Kasus

Tabel 7.2 Tabel pembantu

170 = 10 a + 60 b1 + 40 b2. (1)

1122 = 60 a + 406 b1 + 267 b2.. (2)

737 = 40 a +267 b1 + 182 b2.. (3)

Persamaan (1) dikalikan 6, persamaan (2) dikalikan 1:

1020 = 60 a + 360 b1 + 240 b2

35163 = 60 a + 406 b1 + 267 b2__ _

-102 = 0 a + -46 b1+ -27 b2

-102 = -46 b1-27 b2. (4)

Persamaan (1) dikalikan 4, persamaan (3) dikalikan 1:

680 = 40 a + 240 b1 + 160 b2

737 = 40 a + 267 b1 + 182 b2 _

-57 = 0 a + -27 b1 + -22 b2

-57 = -27 b1 22 b2.. (5)

Persamaan (4) dikalikan 27, persamaan (5) dikalikan 46:

-2754 = -1242 b1 - 729 b2

-2622 = -1242 b1 - 1012 b2 _

-132 = 0 b1 + 283 b2

b2 = -132:283 = -0,466

Harga b2 dimasukkan ke dalam salah satu persamaan (4) atau (5):

-102 = -46 b1- 27 (-0,466)

-102 = -46 b1+ 12,582

46 b1 = 114,582

b1 = 2,4909

Harga b1 dan b2 dimasukkan ke dalam persamaan 1:

170 = 10 a + 60 (2,4909) + 40 (-0,466)

170 = 10 a + 149,454 18,640

10 a = 170 149,454 + 18,640

a = 39,186 : 10 = 3,9186

Jadi:

a = 3,9186

b1 = 2,4909

b2 = -0,466

Keterangan:

a = konstanta

b1 = koefisien regresi X1

b2 = koefisien regresi X2

Persamaan regresi:

Y = 3,9186 + 2,4909 X1 0,466 X2

PENGUJIAN HIPOTESIS 1Koefisien Korelasi Berganda (R)

Koefisien Determinasi (R2) R2 = (0,775252308)2

= 0,60

Ket: K = jumlah variable bebas

F Tabel

Dk Pembilang = k

= 2

Dk Penyebut = n-k-1

= 10-2-1

= 7

F tabel= 4,74 PENGUJIAN HIPOTESIS IIHo : b1 = b2 = 0, Variabel Promosi Dan Harga Tidak Berpengaruh Signifikan Terhadap

Keputusan Konsumen Membeli Deterjen Merek Attack

Ha : b1 b2 0, Variabel Promosi Dan Harga Berpengaruh Signifikan Terhadap Keputusan

Konsumen Membeli Deterjen Merek Attack

Kriteria:

F hitung F tabel = Ho diterima

F hitung > F tabel = Ho ditolak, Ha diterima

F hitung (5,25) > F tabel (4,74) = Ho ditolak, Ha Diterima

Jadi, dapat disimpulkan bahwa Promosi dan Harga berpengaruh signifikan terhadap keputusan

konsumen membeli deterjen merek ATTACK.

B. NON LINEAR

Sifat nonlinier dalam suatu model dapat terjadi dalam parameter, nonlinier dalam variabel, atau keduanya. Contoh model nonlinier misalnya adalah fungsi produksi Cobb Douglas dan fungsi produksi constant elasticity of substitution (CES). Terdapat dua bentuk fungsi nonlinier yaitu:

1. Model nonlinier yang dapat ditranformasi menjadi fungsi linier, misalnya fungsi produksi Cobb Douglas . Bentuk ini dapat ditranformasi dalam bentuk fungsi linier menjadi , sehingga dapat diestimasi dengan teknik statistik linier.

2. model nonlinier yang tidak dapat ditransformasi menjadi bentuk linier, misalnya fungsi produksi Cobb Douglas, . Bentuk ini tidak dapat ditranformasi dalam bentuk fungsi linier. sehingga harus diestimasi dengan teknik statistik non linier. Seperti halnya model linier, estimasi parameter model non linier didasarkan pada minimisasi atau maksimisasi fungsi objektif yaitu sum squared errors dan likelihood function. Perbedaannya terletak pada proses estimasi parameter model nonlinier yang memerlukan penyelesaian yang relatif rumit. Hal ini disebabkan banyaknya pertimbangan yang harus dilibatkan dalam static optimization yaitu proses menentukan titik optimum secara statis. Pertimbangan-pertimbangan tersebut antara lain adalah perlu atau tidaknya constraint yang akan mendefinisikan letak titik optimum dan kondisi sufficient untuk local atau global minimum. Estimasi parameter model nonlinear dapat menghasilkan nilai yang berbeda untuk estimator yang sama karena random error-nya mempunyai power function. dimana metode nonlinear least square menghasilkan penaksir yang unbiased, sedangkan penaksiran dengan metode maximum likelihood menghasilkan penaksir yang biased.Penentuan titik optimum dalam metode non linear least square dilakukan dengan menggunakan first order condition (FOC) atau second order condition (SOC) dari sum of least square error. Beberapa metode estimasi non linear least square yang menggunakan first order condition adalah iterasi Gauss Newton dan iterasi Marquant Levenberg, sedangkan yang menggunakan second order condition adalah iterasi Newton-Raphson dan Quadratic-Hill Climbing. Sementara itu, dalam metode maximum likelihood, jenis iterasi yang digunakan adalah Newton-Raphson, Method of Scoring, dan Berndt-Hall-Hall-Hausman.Metode dan beberapa teori yang mendukung untuk pengerjaan analisis hubungan non-linear.

1. Uji Deteksi Non-linear dengan Uji Ramseys RESET, Uji White dan Uji Terasvirta

Uji Ramseys RESET, Uji White dan Uji Terasvirta untuk mendeteksi apakah suatu model mengikuti pola linear atau non-linear tersedia dalam software R. Statistik uji Ramseys RESET adalah (Lihat pembahasan lengkap di Gujarati, 1996).

dengan p jumlah variabel independen baru, k jumlah parameter pada model baru, n jumlah data. Kesimpulanya Ho ditolak bila F > F((,p,n-k)Uji White adalah uji deteksi non-linearitas yang dikembangkan dari model neural network yang ditemukan oleh White (1989). Uji white menggunakan statistik dan F. Prosedur yang digunakan untukadalah :a. Meregresikan yt pada 1, x1, x2, , xp dan menghitung nilai-nilai residual ut.

b. Meregresikan pada 1, x1, x2, , xp dan m prediktor tambahan dan kemudian hitung koefisien determinasi dari regresi R2. Dalam uji ini, m prediktor tambahan ini adalah nilai-nilai dari hasil dari hasil dari suatu transformasi komponen utama.

c. Hitung =nR2, dimana n adalah jumlah pengamatan yang digunakan.

Dengan hipotesis linearitas, mendekati distribusi atau tolak Ho jika P-value < .

Uji Terasvirta adalah uji deteksi non-linearitas yang juga dikembangkan dari model neural network dan termasuk dalam kelompok uji tipe Lagrange Multiplier (LM) yang dikembangkan dengan ekspansi Taylor (Terasvirta, 1993). Pengambilan kesimpulan ketiga uji tersebut dapat dilihat melalui nilai P-value, yaitu tolak Ho jika kurang dari .2. Model Regresi Non-linear Parametrik

Berdasarkan kelinearan antar parameter pada model regresi, maka suatu model regresi dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu model linear dan non-linear. Model regresi dikatakan linear jika dapat dinyatakan dalam model :

(2)Apabila model tidak dapat dinyatakan dalam model tersebut maka model yang diperoleh adalah model non-linear. Secara umum model regresi non-linear parametrik dengan sebagai variabel respon pada replikasi sebanyak dan setiap nilai merupakan variabel independen.dapat dinyatakan dalam persamaan (Ripley, 2002) :

(3)dengan f adalah fungsi regresi dengan parameter

QUOTE yang harus diduga dan N~(0,,-2.)

adalah galat dengan sifat N(0,). Salah satu metode pendugaan parameter dalam sistem non-linear adalah jalan tengah Marquardt (Marquadts compromise). Metode Marquardt merupakan kompromi atau jalan tengah antara metode linearisasi atau deret Taylor dengan metode steepest descent (Draper & Smith, 1996).3. Model Nelson Siegel (N-S) dan Nelson Siegel Svensson (N-S-S)

Tahun 1987, Nelson dan Siegel menunjukkan yield curve dari model yang terletak pada bentuk range yang sama. Model N-S dan N-S-S merupakan pendekatan untuk mendapatkan model yield curve. Model N-S dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut

(4)

dengan adalah nilai yield to maturity (YTM yang )merupakan yield dengan pendekatan forward rate pada maturitas m atau time to maturity (TTM). Sedangkan parameter merupaka konstanta waktu dari belokan kurva dan parameter menunjukkan nilai asimtotik atau konstanta, serta dan merupakan parameter yang menunjukkan arah lengkungan dari kurva.

Sedangkan model N-S-S berikut merupakan pengembangan dari model N-S dengan penambahan parameter dan yang digunakan untuk menambah fleksibilitas kurva (Amoako et al, 2005).

(5)

Fungsi produksi menunjukkan hubungan antara input (masukan) dan output (keluaran) yang dihasilkan dari suatu proses produksi (Nicholson, 2005). Secara matematis fungsi produksi dapat dituliskan sebagai berikut

dimana Q menunjukkan output, K sebagai kapital, L sebagai tenaga kerja, M sebagai bahan baku, dan tanda titik-titik menunjukkan kemungkinan adanya faktor lain yang mempengaruhi proses produksi. Dalam literatur, pembahasan tentang fungsi produksi umumnya dilakukan dengan simplikasi yang hanya mempertimbangkan dua jenis input yaitu kapital dan tenaga kerja atau .

Terdapat empat jenis fungsi produksi, yaitu

1. Fungsi produksi linear

2. Fungsi produksi fixed proportion

3. Fungsi produksi Cobb-Douglass

4. Fungsi Produksi CES (Constant Elasticity of Subtitution)

Untuk kesesuaian dengan tugas ekperimen, landasan teoritis yang dikemukakan dalam bab ini hanya membahas dua jenis fungsi produksi yaitu fungsi produksi Cobb-Douglass dan fungsi produksi CES.BAB VIII

OPERASI MATRIKSA. Pengertian Operasi MatriksMatriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

B. Penjumlahan MatriksDua matriks dapat dijumlahkan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Matriks hasil penjumlahannya juga akan memiliki ordo yang sama dengan matriks yang dijumlahkan. Komponen-komponen matriks hasil penjumlahan diperoleh dengan cara menjumlahkan komponen-komponen setiap matriks yang seletak. Coba perhatikan penjumlahan dua matriks berordo 2 x 2 berikut ini.

Pada penjumlahan matriks di samping, masing-masing matriks yang dijumlahkan sama-sama berordo 2 x 2 dan hasil penjumlahannya juga berordo 2 x 2 sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan. Komponen baris1-kolom1 diperoleh dengan cara menjumlahkan baris1-kolom1 pada matriks pertama (yaitu a) dan komponen baris1-kolom1 pada matriks kedua (yaitu e), dan seterusnya.C. Pengurangan MatriksPengurangan matriks A oleh matriks B, ditulis A - B adalah penjumlahan matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu (-B). Konsep pengurangan matriks ini sama dengan penjumlahan matriks. Syarat pada penjumlahan matriks berlaku juga untuk pengurangan matriks. Perhatikan contoh pengurangan matriks berikut ini.

D. Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Untuk setiap matriks A, B, dan C yang berordo sama berlaku:1.A+B

= B+A (sifat komutatif)

2.A+ (B + C) = (A + B) + C (sifat asosiatif)

3.A+ O

= O + A = A (sifat matriks nol/identitas)

4.A+ B

= O B = -A

5.A- B

= A + (-B)E. Perkalian MatriksOperasi perkalian matriks berbeda dengan operasi penjumlahan/pengurangan matriks yang cukup sederhana. Operasi perkalian matriks mempunyai metode tersendiri. Dua matriks dapat dioperasikan dengan perkalian jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua , sedangkan hasil perkalian matriksnya akan memiliki baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama dan memiliki kolom yang sama banyak dengan kolom matriks kedua, dapat ditulis sebagai berikut :

Metode perkalian dua matriks adalah memasangkan baris pada matriks pertama dengan kolom pada matriks kedua. Perhatikan metode perkalian matriks berikut ini.

Perhatikan matriks hasil perkaliannya. Baris1 pada matriks pertama adalah [a b] dan kolom1 pada matriks kedua adalah [e g]. Pasangan ini akan mengisi baris1-kolom1 pada matriks hasil perkaliannya. Memasangkannya adalah dengan menjumlahkan hasil perkalian masing-masing komponen secara berurutan, yaitu menjumlahkan ae dengan bg, ditulis ae+bg. Dengan cara yang sama, akan didapat komponen-komponen lainnya.

F. Martiks InversJika A dan B adalah matriks persegi, dan berlakumaka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 22, coba perhatikan berikut ini :

Jikadengan, maka invers dari matriks A (ditulis) adalah sebagai berikut:

Jikamaka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.DAFTAR PUSTAKAAbdurachman Edi, Konsep Dasar Markov Chain serta kemungkinan penerapannya di Bidang Pertanian, Journal Inform atika Pertanian Volume 8, Desember 1999.

Buku pengantar statistika. 2014. Korelasi dan regresi linier sederhana. File type PDF

Catatan kuliah 1. 2014. Matematika ekonomi. Memahami dan menganalisa aljbar matriks. File type PDF.

Dajan, Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Penerbit LP3ES, Jakarta.

Ira prasetyaningrum. Distribusi peluang kontinyu. File type PDF

Matriks dan operasinya. Bab 1. Buku Penuntun Statistika. file type PDF. 2015

Rambe, A. Jabbar M. 2005. Teknik Analisa Rantai Markov dalam Analisa Posisi dan Perpindahan Fungsi Produk Sejenis. Jurnal Sistem Teknik Industri. Vol. 6 (5): hal. 1-4.

Supranto, 1994. Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2. Penerbit Erlangga,Jakarta.

Rinaldi Munir. 2014. Beberapa distribusi peluang kontinyu. Bahan kuliah 112092 probabilitas dan statistic. Sekolah teknik elektro dan Informatika ITB

Walpole, Ronald E, 1995. Pengantar Statistik Edisi Ke-4. PT Gramedia,Jakarta.

4,5 5,5 6

(1)

_1491234655.unknown

_1491234659.unknown

_1491234663.unknown

_1491234665.unknown

_1491234667.unknown

_1491234668.unknown

_1491234669.unknown

_1491234666.unknown

_1491234664.unknown

_1491234661.unknown

_1491234662.unknown

_1491234660.unknown

_1491234657.unknown

_1491234658.unknown

_1491234656.unknown

_1491234651.unknown

_1491234653.unknown

_1491234654.unknown

_1491234652.unknown

_1491234649.unknown

_1491234650.unknown

_1491234647.unknown