Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de datos experimentales pretende ser un complemento a la Guía de Laboratorio de Física que normalmente se emplea en el Curso. Su principal enfoque es el tratamiento de datos obtenidos en un laboratorio para su correcta interpretación y discusión. El material que se presenta en esta guía complementaria puede ser usado en otros laboratorios y demás trabajos experimentales que el estudiante vaya a realizar a lo largo de su carrera y posterior ejercicio profesional.
Las medidas experimentales están afectadas de cierta imprecisión en sus valores debido a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones de nuestros sentidos en el caso de que sean ellos los que deben registrar la información.
Además, se ofrecen algunas nociones sobre tratamiento de datos que incluye el ajuste de rectas mediante el método de mínimos cuadrados, método de aproximación de pares de puntos. Cada una con sus respectivas consideraciones.
Obtendremos graficas de datos organizados en tablas y construiremos ecuaciones experimentales e interpretaremos su comportamiento. Para ello utilizaremos algunos materiales muy conocidos en los laboratorios de física, como el papel milimetrado, logarítmico y semilogarítmico. Una de las formas más útiles se logra gráficamente usando papel semilogarítmico o logarítmico.
Los datos obtenidos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de relaciones existen entre un magnitud y otra una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones graficas en un sistemas de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas según el caso.
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TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES
OBJETIVOS:
1. Graficar datos experimentales organizados en tablas con ejes lineales, semi-log y log-log, e identificarlos.
2. Aprender a usar técnicas de ajuste de datos experimentales y determinar sus parámetros.
3. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.
4. Hacer un buen uso de los diferentes papeles existentes para hacer nuestras gráficas.
5. Familiarizarnos con el uso de estos papeles y así poder interpretar las graficas que se generan a partir de las mediciones.
MATERIALES
Hoja de papel milimetrado Hojas de papel logarítmicas Hojas de papel semilogarítmica
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FUNDAMENTO TEÓRICO
En esta práctica nos concentramos en el caso de gráficos en dos dimensiones, es decir solo nos concentramos en dos cantidades físicas. Una de ellas será la variable independiente y la otra la dependiente. Usaremos así mismo un sistema de ejes cartesianos con un eje horizontal abcisa y uno vertical ordenada.
Los datos organizados en tablas pueden seguir o no una ley, si lo hacen, se pueden expresar mediante una ecuación matemática. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas lineales (rectas), para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales que representan las leyes que gobiernan el fenómeno.
El Método de Mínimos Cuadrados.
Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática y=f(x) de la ley física que rige el comportamiento de un determinado fenómeno a partir de una serie de N medidas (xi, yi) de las magnitudes x e y que lo caracterizan.
En este apartado se estudiará el caso de que la representación gráfica del fenómeno estudiado proporcione una distribución de los puntos experimentales en forma prácticamente lineal; esto debe interpretarse como la dependencia lineal de las dos variables físicas y, por ello, es necesario determinar la ecuación de la recta que será la expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado.
El método más frecuente para llevar a cabo este ajuste se denomina de mínimos cuadrados. Se pretende, por tanto, encontrar una recta y = ax + b de forma que se ajuste lo mejor posible a los datos experimentales. Ahora bien, esta bondad de ajuste puede establecerse de varias maneras.
El método de mínimos cuadrados toma como mejor ajuste aquel que hace mínima la siguiente cantidad:
Observe que los parámetros que determinan la recta son su pendiente a y su ordenada en el origen b. Por tanto, estamos frente a un problema de extremos que depende de las variables a y b.
USO DEL PAPEL MILIMETRADO
Empezaremos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:
1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las ordenadas.
2. La distribución de puntos así obtenida se unen mediante una curva suave. usando una regla curva o trazo a mano alzada.
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3. Las representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia son:
Veamos el
entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. (Ver Apéndice 2). Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es:
y=m x + b
En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación.
Primero se construye una tabla de la forma:
Tabla 1
x i y i x i y i x i2
x 1 y 1 x 1 y1 x 12
x 2 y 2 x 1 y2 x 22
.
.
.
x p
.
.
.
y p
.
.
.
x p y p
.
.
.
x p2
∑ x i ∑ y i ∑ x i y i ∑ x i2
Luego se calculan la pendiente y el intercepto.
m=p∑ xi y i−∑ x i∑ y i
p∑ x i2−(∑ x i)
2, b=
∑ x i2∑ y i−∑ x i∑ x i y i
p∑ x i2−(∑ xi )
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En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia
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lineal; se pasan los datos de la tabla a un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una recta.
USO DEL PAPEL LOGARITMICO
Las relaciones de la forma y=k xn ; (n≠1 ) , son funciones potenciales y sus gráficos
en el papel logarítmico son rectas de pendientes m = n , que cortan el eje vertical en b=log k . Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3x3; en donde cada ciclo esta asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con
etc.
Al tomar logaritmo decimal a la ecuación y=k xn ; (n≠1 ) obtenemos
log y = m log x+log k , que tiene la forma lineal Y=m X+b , en donde X=log x , Y=log y
y b=log k . Concluimos entonces, que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna.
x i y i X i=log x i Y i=log y i X i Y i=log x i log y i X i2=( log x i)
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x 1 y 1 log x 1 log y 1 log x 1 log y1 ( log x1 )2
x 2 y 2 log x 2 log y 2 log x 1 log y2 ( log x2 )2
.
.
.
x p
.
.
.
y p
.
.
.
log x p
.
.
.
log y p
.
.
.
log x p log y p
.
.
.
( log x p )2
∑ log x i ∑ log y i ∑ log x i log yi ∑ ( log x i)2
Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, se calculan ahora los valores de:
m=p∑ log x i log yi−∑ log x i∑ log y i
p∑( log x i )2−(∑ log x i)
2,
b=∑ ( log x i)
2∑ log y i−∑ log x i∑ log x i log y i
p∑ ( log x i)2−(∑ log x i)
2
Para encontrar la ecuación de la función potencial y=k xn
graficada en el papel
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milimetrado debemos determinar los valores de m y k. De párrafo anterior se tiene que m=n y
k=10b .
USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO
Para relaciones exponenciales de la forma y=k 10 xn se utiliza papel semilogarítmico ¿Por qué? Construya adecuadamente su tabla para aplicar el método de regresión lineal.
Extensión del método de regresión lineal.
El estudio de este método relativamente sencillo y tiene doble interés: de un lado este tipo de dependencia es frecuente entre magnitudes físicas; por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestra en la siguiente tabla:
Función inicial Cambio Forma lineal
y =ax2 x2 =z y =az
y =a√ x √ x =z y =az
y =a exp (nx ) ln ( y )= z ; ln (a )= b z = nx + b
y =a xn ln ( y ) =z ; ln (a) = b ; ln ( x ) = t z =b + nt
USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA.
Estas calculadoras presentan la función LR del inglés linear regresión lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlación (r) usando el método de regresión lineal por mínimos cuadrados.
Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentar otros modos de regresión tales como: lineal, logarítmica, exponencial, potencial, inversa y cuadrática, aquí el concepto del coeficiente de correlación juega un rol muy importante.
Para hallar la fórmula experimental de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla:
Distribución de puntos en CalculadoraPapel
MilimetradoPapel
logarítmicoPapel
semilogarítmicoTipo
RegresiónFórmula
Lineal Lineal y = A + BxCurva Lineal Potencial y = A x B
Curva Lineal Exponencial y = A exp (Bx)Curva Lineal Cuadrática y = A+Bx+Cx2
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CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos deben ajustarse a 1as siguientes normas de uso general que clarifican y estandarizan los resultados. Se pueden enumerar como sigue:
a) Las gráficas se harán en papel milimetrado con los ejes bien trazados y en cuyos extremos se indique 1a magnitud representada en ellos y 1a unidad en que ha sido medida. El título de la gráfica será claro y vendrá indicado en la parte superior.
Papel Milimetrado
b) La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas.
c) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se elegirán las escalas con intervalos de medida adecuados.
d) Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el citado intervalo.
e) Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala de forma que queden uniformemente espaciadas. En general, no se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas.
f) Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas y rodeado por el denominado rectángulo de error. Este tiene por base la longitud comprendida entre xi - Δx y xi + Δx y por altura se extiende desde y i - Δy hasta yi + Δy, siendo xi e yi las coordenadas del punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables
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en comparación con la escala utilizada el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según el caso.
g) Las líneas que aparezcan en las gráficas representan la tendencia de los puntos experimentales y se obtienen por medio del m‚todo de ajuste correspondiente; por ello, han de ser líneas finas continuas pero nunca quebradas y determinadas por los valores experimentales.
De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semi-logarítmico se calcula la pendiente m y la ordenada b.
El método de ajusta más adecuado para una distribución lineal es la técnica de métodos cuadrados. Para aplicar este método primero se construye la tabla:
Luego se calculan la pendiente y la ordenada en el origen
m = pXi Yi - Xi Yi , b = Xi2 Yi - Xi XiYi
pXi2 - (Xi )2 p Xi
2 - (Xi)2
Donde p es el número de mediciones.
Luego, la fórmula experimental resultante será: Y = mx + b
Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos a fin de encontrar la fórmula experimental buscada.
Papel Semi-Logarítmico
Hay que mencionar que en los casos de las distribuciones lineales en papeles logarítmico y semi-logarítmico las fórmulas experimentales son
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Xi Yi Xi Yi Xi2
X1 Y1 X1Y1 X12
X2 Y2 X2Y2 X22
Xp Yp XpYp Xp2
Xi Yi Xi Yi Xi2
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Y = bxm ..................................................... Se grafica en papel logarítmico
Y = n 10mx , Y = be2.303 mx ......................... Se grafica en papel Semi-logarítmicoDonde 10 = e2.303
Dada que el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados, la Tabla se convierte en logarítmica y semi-logarítmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo de 4 decimales de redondeo en cada columna. Hay que observar que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:
Log Y = m Log x + Log b , y Log Y = mx + Log b
La ordenada en el origen b obtenida por la fórmula será b’ que corresponde a Log b, por lo que b se calcula como antilogarítmo de b’. Así:
b = Antilog b’
En caso de no ser necesario el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongación de la recta con el eje vertical.
El modelo de ajuste que se utiliza es lineal, esto significa que la ecuación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es: Y = mx + b. Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. Pero hay que mencionar que este ajuste o determinación ahora se puede automatizar mediante programas de cómputo que facilitan el trabajo,
Otro método que se utiliza es el método de aproximación de pares.
Método de Aproximación de pares de puntos
Para utilizar este método debemos tener presente las siguientes consideraciones:
a) Se aplica a gráficas donde los puntos del eje horizontal están igualmente espaciados.b) Los puntos se dividen en 2 grupos iguales. Un grupo para valores bajos de Y, y otro para
valores altos de Y.c) A continuación se aparean los puntos unos de cada grupod) Luego se calcula la diferencia de los valores de Y para cada par de puntos.e) A continuación se calcula el valor medio de las diferencias Y.f) Por la primera consideración se sabe que la distancia X entre cada par de puntos es la
misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada será:
m = Y X
g) Se determina el valor medio de X y el valor medio de Y.h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (X, Y ) con una pendiente igual a
m entonces la ecuación de la recta será:
Y = mx + (Y - mX)
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Gráficas en Papel Logarítmico
El papel logarítmico es construido a partir de la superposición de 2 escalas logarítmicas en forma perpendicular. Se utiliza para obtener rápidamente el valor de “n: y el valor de “c”. Sea la función:
Y = Cxn
Si se toman logaritmos a ambos lados en esta relación, resulta:
Log Y = n Log X + Log C
Vemos que al graficar Log Y en función de Log X resulta una línea recta que tiene una pendiente igual a n y su intersección con el eje vertical igual a Log C. Como a veces resulta laborioso obtener los logaritmos de los números de la tabulación, se puede eliminar este trabajo utilizando el papel logarítmico. Es conveniente advertir que el papel logarítmico da la escala en que se dividen los ejes X e Y, por lo cual no es válido alterarla como cuando se usa una escala lineal.
PROCEDIMIENTO
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1. Identifique las variables dependientes e independientes con la ayuda del profesor.2. Identificar el rango de trabajo para cada una de las variables en función de las limitaciones
experimentales.3. Grafique en papel milimetrado las tablas presentadas (tablas 1,2 y 3).4. De ser lineales determine la ecuación con el uso de mínimos cuadrados.5. Si resulta ser una curva linealice en papel semilogaritmico o logarítmico.6. Analice cada grafica y determine su ecuación experimental aplicando mínimos cuadrados.
Se analizarán tres experimentos: la conducción de corriente por un hilo conductor de micrón, la evacuación de agua de un depósito y la actividad radiactiva del radón.
En la Tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente eléctrica i conducida por un hilo conductor de nicrón. y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.
TABLA 1
i (A) V (V)
0.5 2.18
1.0 4.36
2.0 8.72
4.0 17.44
(Sears-Semansky, 1996)
La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depósito con agua y las medidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes diámetros (D).
TABLA 2
h (cm) 30 20 10 4 1
D (cm) Tiempo de vaciado t (s)
1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5
2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.8
3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7
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5.0 6.8 5.3 3.9 2.6 1.5
7.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8
La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de experimentación de los demás días se muestran en la Tabla 3.
Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado y hoja de papel semilogarítmico.
APLICACIONES
1. Grafique las siguientes distribuciones:
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De la Tabla 1:a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. i.
De la Tabla 2:b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D. para cada una de las alturas.c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h. para cada diámetro.d) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D. para cada una de las alturas.e) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. h. para cada diámetro.f) Haga el siguiente cambio de variables z = 1/D 2 y grafique t = t (z) en papel milimetrado.
Obs. En cada hoja deberán presentar cinco gráficas.
De la Tabla 3:g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T.h) En una hoja de papel semilogarítmico A vs. T.
2. Hallar las formulas experimentales.
a) Obtenga las formulas experimentales usando el método de regresión lineal para las graficas en los casos a, d, e y f.
4∗21.25−(7.5)2=0 Entonces la formula experimental es : y=4.36x
El coeficiente de correlación será .-r=4∗92.65−7.5∗32.7
√(4∗21.25−7.52 )(4∗403.954−(32.7)2)=1
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.-r2 =1
CASO d:
De la Tabla 2:
Altura=1
.
-p=5
.-m =
5∗0.7796−2.4983∗2.6696
5∗1.552−(2.4983)2= -1.8251 .-B =
1.552∗2.6696−2.4983∗0 .7796
5∗1.552−2.49832 = 1.4458
Des pues :
b = Antilog B b = Antilog 1.4458 b = 27.9168
La Fórmula experimental sería:
t = bhm t = 28h-2
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗0.7796−2.4983∗2.6696
√(5∗1.552−2.49832 )(5∗2.4361−(2.6696)2)= -
1.0005
.-r2 =1.0010
Altura=4
X i=d Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
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X i=d Y i=t log X i❑ logY i
❑ log X i❑ logY i
❑log X i
2 logY i2
1.5 13.5 0.1761 1.1303 0.1990 0.0310 1.2775
2.0 7.8 0.3010 0.8920 0.2684 0.0906 0.7956
3.0 3.7 0.4771 0.5682 0.2710 0.2276 0.3228
5.0 1.5 0.6990 0.1760 0.1230 0.4886 0.0309
7.0 0.8 0.8451 -0.0969 -0.0818 0.7142 0.0093
2.4983 2.6696 0.7796 1.552 2.4361
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1.5 26.7 0.1761 1.4265 0.2512 0.0310 2.0349
2.0 15.0 0.3010 1.1761 0.3540 0.0906 1.3832
3.0 6.8 0.4771 0.8325 0.3972 0.2276 0.6930
5.0 2.6 0.6990 0.4149 0.2900 0.4886 0.1721
7.0 1.3 0.8450 0.1139 0.0962 0.7140 0.0129
2.4982 3.9639 1.3886 1.5510 4.2961
m = 5∗1.3886−2.4982∗3.9639
5∗1.5510−(2.4982)2 = -1.9548 B = =
1.5510∗3.9639−2 .4982∗1.3886
5∗1 .5510−2 .49822 =
1.7694
Luego:
b = Antilog B b = Antilog 1.7694 b = 58.8030
La Fórmula experimental sería:
t = bhm t = 59h-2
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗1.38 86−2.4982∗3.9639
√(5∗1.552−2.49832 )(5∗4.2961−(3.9639)2)= -1.0000
.-r2 =1
Altura=10
X i=d
Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
1.5 43.0 0.1761 1.6334 0.2876 0.0310 2.6686
2.0 23.7 0.3010 1.3747 0.4137 0.0906 1.8898
3.0 10.5 0.4771 1.0211 0.4871 0.2276 1.0426
5.0 3.9 0.6990 0.5910 0.4131 0.4886 0.3492
7.0 2.0 0.8450 0.3010 0.2543 0.7142 0.0906
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Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
2.4982 4.9212 1.8558 1.552 6.0408
m = 5∗1.8558−2.4982∗4.9212
5∗1.552−(2.4982)2= -1.9849 B =
1.5510∗4. 9212−2 .4982∗1. 8558
5∗1 .5510−2 .49822 =
1.9792Luego:
b = Antilog B b = Antilog 1.9792 b = 95.3407La Fórmula experimental sería:
t = bhm t = 95h-2
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗1.8558−2.4982∗4.9212
√(5∗1.552−2.49832 )(5∗6.0408−(4.9212)2)= -1.0000
.-r2 =1
Altura =20
m = 5∗2.203−2.4982∗5.6336
5∗1.552−(2.4982)2= -2.0137 B =
1.552∗5. 6336−2 .4982∗2. 203
5∗1 .552−2 .49822 =
2.1329
Luego:
b = Antilog B b = Antilog 2.1329 b = 135.7886
La Fórmula experimental sería:
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X i=d Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
1.5 59.9 0.1761 1.7774 0.3130 0.0310 3.1591
2.0 33.7 0.3010 1.5276 0.4598 0.0906 2.3335
3.0 14.9 0.4771 1.1731 0.5596 0.2276 1.3761
5.0 5.3 0.6990 0.7242 0.5062 0.4886 0.5244
7.0 2.7 0.8450 0.4313 0.3644 0.7142 0.1860
2.4982 5.6336 2.203 1.552 7.5791
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
t = bhm t = 136h-2
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗2.203−2.4982∗5.6336
√(5∗1.552−2.49822) (5∗7.5791−(5.6336)2)= -1.0001
.-r2 =1.0002
Altura=30
m = 5∗2.4262−2.4982∗6.0805
5∗1.552−(2.4982)2= -2.0140 B =
1.552∗6.0805−2 .4982∗2. 4262
5∗1 .552−2 .49822 =
2.2223
Luego:
b = Antilog B b = Antilog 2.2223 b = 166.8744
La Fórmula experimental sería:
t = bhm t = 167h-2
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X i=d Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
1.5 73.0 0.1761 1.8633 0.3281 0.0310 3.4718
2.0 41.2 0.3010 1.6148 0.4860 0.0906 2.6075
3.0 18.4 0.4771 1.2648 0.6034 0.2276 1.5997
5.0 6.8 0.6990 0.8325 0.5819 0.4886 0.6930
7.0 3.2 0.8450 0.5051 0.4268 0.7142 0.2551
2.4982 6.0805 2.4262 1.552 8.6271
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗2.4262−2.4982∗6.0805
√(5∗1.552−2.49822) (5∗8.6271−(6.0805)2)= -0.9998
.-r2 =0.9996
CASO e:
D=1.5
X i=h Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
1 13.5 0 1.1303 0 0 1.2775
4 26.7 0.6021 1.4265 0.8588 0.3625 2.0349
10 43.0 1 1.6335 1.6335 1 2.6683
20 59.9 1.3010 1.7774 2.3124 1.6926 3.1591
30 73.0 1.4771 1.8633 2.7523 2.1818 3.4718
4.3802 7.831 7.557 5.2369 12.6116
.-p=5
m 5∗7.557−4.3802∗7.831
5∗5.2369−(4.3802)2 = 0.4978 B = 5 .2369∗7.831−4 .3802∗7.557
5∗5 .2369−4 .38022
= 1.1301Luego:
b = Antilog B b = Antilog 1.1301 b = 13.4934La Fórmula experimental sería:
t = bdm t = 14d0.5
19
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗7.557−4.3802∗7.831
√(5∗5.2369−4.38022 )(5∗12.6116−(7.831)2)=
1.0001
.-r2 =1.0002
D=2
X i=h Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
1 7.8 0 0.8920 0 0 0.7957
4 15.0 0.6021 1.1760 0.7081 0.3625 1.3830
10 23.7 1 1.3747 1.3747 1 1.8900
20 33.7 1.3010 1.5276 1.9874 1.6926 2.3336
30 41.2 1.4771 1.6148 2.3852 2.1818 2.6076
4.3802 6.5851 6.4554 5.2369 9.0099
m = 5∗6.4554−4.3802∗6.5851
5∗5.2369−(4.3802)2 = 0.4905 B =
5 .2369∗6.5851−4 .3802∗6.4554
5∗5 .2369−4 .38022
= 0.8872
Luego:
b = Antilog B b = Antilog 0.8872 b = 7.7142
La Fórmula experimental sería: t = bdm t = 8d0.5
El coeficiente de correlación será: .-r=5∗6.4554−4.3802∗6.5851
√(5∗5.2369−4.38022 )(5∗9.0099−(6.5851)2)= 1.0338
.-r2 =1.0687
D=3
20
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
X i=h Y i=t log X i logY i log X i❑ logY i
❑log X i
2 logY i2
1 3.7 0 0.5682 0 0 0.3229
4 6.8 0.6021 0.8325 0.5012 0.3625 0.6931
10 10.5 1 1.0212 1.0212 1 1.0428
20 14.9 1.3010 1.1732 1.5263 1.6926 1.3764
30 18.4 1.4771 1.2648 1.8682 2.1818 1.5997
4.3802 4.8599 4.9169 5.2369 5.0349
m = 5∗4.9169−4.3802∗4.8599
5∗5.2369−(4.3802)2 = 0.4711 B = 5 .2369∗4.8599−4 .3802∗4.9169
5∗5 .2369−4 .38022
= 0.5592
Luego:
b = Antilog B b = Antilog 0.5592 b = 3.6245
La Fórmula experimental sería:
t = bdm t = 4d0.6
El coeficiente de correlación será:
.-r=5∗4.9169−4.3802∗4.8599
√(5∗5.2369−4.38022 )(5∗5.0349−(4.8599)2)=
0.9992
.-r2 =0.9984
D=5
X i=h Y i=t log X i logY i log X i❑ logY i
❑log X i
2 logY i2
21
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
1 1.5 0 0.1761 0 0 0.0310
4 2.6 0.6021 0.4150 0.2499 0.3625 0.1722
10 3.9 1 0.5911 0.5911 1 0.3493
20 5.3 1.3010 0.7243 0.9423 1.6926 0.5246
30 6.8 1.4771 0.8325 1.2297 2.1818 0.6931
4.3802 2.739 3.013 5.2369 1.7702
m = 5∗3.013−4.3802∗2.739
5∗5.2369−(4.3802)2 = 0.4383 B =
5 .2369∗2.739−4 .3802∗3.013
5∗5 .2369−4 .38022 =
0.1638Luego:
b = Antilog B b = Antilog 0.1638 b = 1.4581La Fórmula experimental sería:
t = bdm t = 1d0.4
El coeficiente de correlación será:
.-r=5∗3.013−4.3802∗2.739
√(5∗5.2369−4.38022 )(5∗1.7702−(2.739)2)= 0.9984
.-r2 =0.9968
D=7
X i=h Y i=t log X i logY i log X i❑ log Y i
❑log X i
2 logY i2
1 0.8 0 -0.0969 0 0 0.0093
4 1.3 0.6021 0.1139 0.0686 0.3625 0.0130
10 2.0 1 0.3010 0.3010 1 0.0906
20 2.7 1.3010 0.4314 0.5613 1.6926 0.1861
22
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
30 3.2 1.4771 0.5051 0.7461 2.1818 0.2551
4.3802 1.2545 1.677 5.2369 0.5541
m = 5∗1.677−4.3802∗1.2545
5∗5.2369−(4.3802)2 = 0.4130 B =
5 .2369∗1.2545−4 .3802∗1.677
5∗5 .2369−4 .38022
= -0.1109
Luego:
b = Antilog B b = Antilog -0.1109 b = 0.7747
La Fórmula experimental sería:
t = bdm t = 1d0.4
El coeficiente de correlación será:
.-r=5∗1.677−4.3802∗1.2545
√(5∗5.2369−4.38022 )(5∗0.5541−(1.2545)2)= 0.9986
.-r2 =0.9972
CASO f:
X i=¿z=1/D2 Y i=t(s) X iY i X i2 Y i
2
0.4444 13.5 5.9994 0.1975 182.25
0.25 7.8 1.95 0.625 60.84
0.1111 3.7 0.4110 0.0123 13.69
0.04 1.5 0.06 0.0016 2.25
23
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
0.0204 0.8 0.0163 0.0041 0.64
∑ X i=0.8659 ∑Y i=27.3 ∑ X iY i=¿¿8.4367 ∑ X i2
=0.8405∑Y i
2
=259.67
Hallando “m” y “b” para lo cual p=5:
.- m=5∗8.4367−0.8659∗27.3
5∗0.8405−(0.8659)2=5.371 .-b=
0.8405∗27.3−0.8659∗8.4367
5∗0.8405−(0.8659)2 =4.53
Entonces la formula experimental es :
y=5.371x +4.53
El coeficiente de correlación será:
.-r=5∗8.4367−0.8659∗27.3
√(5∗0.8405−0.86592 )(5∗259.67−(27.3)2)=0.4244
.-r2 =0.1800
b) Haciendo uso de la calculadora científica encuentre las formulas experimentales e indique el factor de correlación para todas las graficas obtenidas en los casos desde la
a) hasta la h).
CASO a:
Regresión Lineal: y=A + BxV vs i
A= 0B= 4.36r= 0.965
Y=4.36x
CASO b y d son las mismas :
H=1 H=4
24
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
H=10 H=20
Regresión Lineal: y=A + BxT vs D
A= 39.846B= -6.277r= -0.438
Y=39.846-6.277X
H=30
Regresión Lineal: y=A + BxT vs D
A= 68.387B= -10.77r= -0.44
Y=68.387-10.77X
CASO c y e son las mismas:
D=1.5
Regresión Lineal: y=A + BxT vs h
A= 17.56B= 1.9737r= 0.9653
Y=17.56+1.9737X
D=2
25
Regresión Lineal: y=A + BxT vs D
A= 24.947B= -3.91r= -0.437
Y=24.947-3.91X
Regresión Lineal: y=A + BxT vs D
A= 12.746B= -1.969r= -0.431
Y=12.746-1.969X
Regresión Lineal: y=A + BxT vs D
A= 55.977B= -8.831r= -0.441
Y=55.977-8.831X
Regresión Lineal: y=A + BxT vs h
A= 9.8118B= 1.1129r= 0.9675
Y=9.8118+1.1129X
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
D=3 D=5
Regresión Lineal: y=A + BxT vs h
A= 4.4963B= 0.5408r= 0.9677
Y=4.4963+0.540.8X
D=7
Regresión Lineal: y=A + BxT vs h
A= 0.9545B= 0.0804r= 0.9489
Y=0.9545+0.0804X
CASO f: CASO g y h:
h=1
Regresión Lineal: y=A + BxT vs z
A= 0.2965B= 29.816r= 0.1253
Y=0.2965+29.816x
c) Haciendo uso de EXCEL grafique y presente formulas experimentales y el factor de correlación para todos los casos desde la
a) hasta la h:
26
Regresión Lineal: y=A + BxT vs h
A= 1.7563B= 0.1741r= 0.964
Y=1.7563+0.964X
Regresión Lineal: y=A + BxA vs t
A= 88.09B= -8.072r= -0.6
Y=88.09-8.072X
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
f(x) = − 8.07272727272727 x + 88.0909090909091R² = 0.941724986266033
Series2Linear (Series2)
d) Compare sus resultados ¿Cuál(es) de los métodos de regresión le parece confiable?
Los dos sirven para usarlos en determinados problemas , así que los dos nos dan una idea de la formula experimental con un margen de error ínfima.
3. Interpolación y Extrapolación:
32
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
Considerando sus gráficos (en donde ha obtenido rectas):
a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los núcleos de radón, según la tabla 3.
Con la siguiente formula experimental:
A=(100 )∗10−0 ,08T
Ahora despejamos T en función de A para obtener el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los núcleos de radón y se obtiene que:
T = Log A - 2 T = Log 50 - 2 = 3.76
-0.08 -0.08
Por lo tanto el 50% de radón se habrá desintegrado al cabo de 3.76 días.
b) Halle los tiempos de vaciado del agua si:
CASOS ALTURA h (cm) DIAMETRO d(cm) TIEMPO t(s)01 20 4.0 8.54 s
02 40 1.0 190.94 s03 25 3.5 12.46 s
04 49 1.0 211.48 s
Reemplazando los datos en la ecuación anteriormente hallada se dan estos resultados.
c) Compare sus resultados obtenidos en la parte a) y b) con los obtenidos en las formulas experimentales.
Se ve que los datos varían pero en muy poco ya que aquellos son formulas experimentales y su variación es ínfima.
4.-Haga w=√hd2 para las alturas y diámetros correspondientes y complete la tabla:
33
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
t(s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5
W 2.4343 1.405 0.888 0.5 0.351 0.126 0.04
PARA T = 73,0 S:
H = 30 cm.
D = 1.5 cm.
W = / d
W = √30 / (1.5)
W = 2.4343
PARA T = 43,0 S:
H = 10 cm.
D = 1.5 cm.
W = / d
W = √10 / (1.5)
W = 1.405
PARA T = 26,7 S:
H = 4 cm.
D = 1.5 cm.
W = / d
W = √4 / (1.5)
W = 0.888
PARA T = 15,0 S:
H = 4 cm.
D = 2 cm.
W = / d
W = √4 / (2)
W = 0.5
PARA T = 10,5 S:
H = 10 cm.
D = 3 cm.
W = / d
W = √10 / (3)
W = 0.351
PARA T = 3,9 S:
H = 10 cm.
D = 5 cm.
W = / d
W = √10 / (5)
W = 0.126
PARA T = 1,5 S:
H = 1 cm.
D = 5 cm.
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Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
W = / d
W = √1 / (5)
W = 0.04
5._Para investigar:
Para obtener la fórmula de una distribución de puntos en donde solo se relacionan dos variables y = y (x), se utilizó la regresión simple.
Cuando se tiene tres o mas variables, y = y (v,w,…,z) se tendrá que realizar la regresión múltiple.
a) Encuentre la fórmula t = t (h. d), utilice la Tabla 2.
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0,804662884
Coeficiente de determinación R^2 0,647482357
R^2 ajustado 0,615435298
Error típico 12,0587436
Observaciones 25
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de libertad
Regresión 2
Residuos 22
Total 24
Coeficientes
Intercepción 30,42096154
35
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
Variable X 1 0,766153846
Variable X 2 -6,352692308
Suma de cuadradosPromedio de los cuadrados F
5875,893062 2937,946531 20,20411192
3199,092538 145,4132972
9074,9856
Error típico Estadístico t
5,79228446 5,251979897
0,225485721 3,397793191
1,182457095 -5,372450583
Valor crítico de F
Probabilidad 1,04469E-05
2,86833E-05
0,002584889
2,14843E-05
Inferior 95% Superior 95%
18,40849885 42,43342423
0,298525085 1,233782607
-8,804958219 -3,900426396
Inferior 95,0% Superior 95,0%
18,40849885 42,43342423
36
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
0,298525085 1,233782607
-8,804958219 -3,900426396
De donde la formula experimental será: y=B0+B1X 1 +B2 X2
t=30.4209 + 0.7661h – 6.3526 d
b) Encuentre t para h=15cm y D = 6cm
Reemplazando en la fórmula:
t= 30.4209 + 0.7661*15 – 6.3526*6
t=3.7968
c) Encuentre t para h=40cm y D = 1cm
Reemplazando en la fórmula:
t= 30.4209 + 0.7661*40 – 6.3526*1
t=54.7123
CONCLUSIONES
37
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
El tema tratado nos sirve para tener una mayor claridad con el comportamiento de algunos fenómenos de la naturaleza, primero hallando algunos valores mediante la experimentación, luego ellos plasmarlos en un gráfico y de ahí sacar una formula experimental que rige dicho fenómeno.
Bueno al culminar la elaboración de este informe la conclusión a la que llegamos
es que es importante aprender el tratamiento de los datos experimentales a través
de las gráficas en papel milimetrado las cuales nos ayudaran a poder observar el
comportamiento de los experimentos para de esa manera poder distinguir ante que
tipo de comportamiento estamos ya que esta podría ser una distribución lineal,
exponencial o potencial para que según sea el caso poder aplicar la técnica de los
mínimos cuadrados y finalmente linealizar la relación y poder graficarla en papel
logarítmico o semi-logarítmico, los cuales finalmente nos serán de mucha ayuda
para determinar las leyes que rigen los diferentes experimentos a realizar.
Las gráficas nos serán de mucha ayuda , para asi poder interpretar datos.
38
Tratamiento de Datos Experimentales – Laboratorio Nº 2
