UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

“Facultad de ingeniería civil”

Escuela de ingeniería civil

Curso: física II

Tema: INFORME DEL PRIMER LABORATORIO (MÓDULO DE RIGIDEZ)

Profesor: FLORES ROSSO Francisco Constante

Integrantes: DOMÍNGUEZ FALCÓN Pedro.LOPEZ MORENO Miguel.AGUIRRE MENACHO Junior.SANCHEZ LÁZARO Juan.MARQUEZ QUISPE George.PEJE ZELAYA Sleyter.

Huaraz – Ancash - Perú

El presente trabajo Le dedicamos al profesor,

Francisco Constante FLORES ROSSO Puesto que él es el guía de Nuestras investigaciones y

Nos lleva hacia la investigaciónPura de nuestra carrera.

INTRODUCCIÓN

La enseñanza de la física II, dirigida a los estudiantes de la facultad de ingeniería civil, principalmente a los alumnos del tercer ciclo ha venido desarrollándose intensamente en diferentes universidades, puesto que es de suma importancia para la formación de nuestra carrera que es la ingenierita civil, buscando de mejorar para un correcto aprendizaje de la física en general, creemos conveniente elaborar un resumen que incluyera todos los temas referidos al modulo de rigidez. Exponiendo del modo mas elemental posible, abordándose en el inicio de los temas solo necesario de su aspecto teórico y señalándose con precisión las ecuaciones y/o formulas mas indispensables para cada tópico, incluyéndose su correspondiente identificación.

El presente trabajo (INFORME) titulado “MODULO DE RIGIDEZ” pretende convertirse prácticamente en un manual del tema especialmente útil para el lector, al ofrecerles mejores alternativas de selección de material teórico- práctico que los forme y capacite idóneamente en el aprendizaje de la materia en referencia.

Se trata de un trabajo que recoge los conocimientos e imprescindibles que deben poseer los estudiantes de física II, siguiendo una secuencia didáctica que consiste en reunir estructuralmente por temas que van ordenando, paulatina, progresiva y lógicamente los fundamentos teóricos del tema referido. Se incluye también material actualizado.

Los autores que componen este humilde trabajo “MODULO DE RIGIDEZ” agradece las valiosas sugerencias constructivas dadas por el lector.

OBJETIVOS

1) Determinar la constante elástica de un resorte por el método dinámico.

2) Calcular el modulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal.

3) Indagar mediante la experimentación y el calculo la veracidad del a constante de rigidez del resorte helicoidal de acero

4) Comparar los resultados según los métodos de evaluación empleados.

5) Relacionar estadísticamente las características estudiadas.

6) Observar las deformaciones sufridas en el transcurso del experimento.

MATERIALES

1) Resorte helicoidal: elementos de máquinas que poseen la propiedad de experimentar grandes deformaciones (tal vez por excelencia), dentro del período elástico, por la acción de las cargas que los solicitan, construidos con materiales de alta elasticidad (típicamente acero). El resorte helicoidal de compresión, como parte de los automotores, sustenta las carrocería y carga de los mismos transmitiendo la carga total a los ejes (puntas de eje) y / o árboles (palieres) de ruedas. El resorte helicoidal de compresión es utilizado también en los motores alternativos de combustión interna y en los compresores alternativos de gases, como elemento asegurador del cierre de las válvulas de admisión y escape.

2) Soporte Universal Con Sus Varillas De Fierro Y Su Nuez: el pie universal o soporte universal es un elemento que se utiliza en laboratorio para realizar montajes con los diversos materiales y obtener sistemas de medición o de diversas funciones, como por ejemplo un fusiómetro o un equipo de destilación. Está formado por una base o pie en forma de semicírculo o de rectángulo, y desde el centro de uno de los lados, tiene una varilla cilíndrica que sirve para sujetar otros elementos a través de doble nueces.

3) Regla Graduada: es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud, por ejemplo centímetros o pulgadas; es un instrumento útil para trazar segmentos rectilíneos con la ayuda de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígido, semirrígido o flexible, construido de madera, metal, material plástico, etc. Su longitud total rara vez supera el metro de longitud. Suelen venir con graduaciones de diversas unidades de medida, como milímetros, centímetros, y decímetros, aunque también las hay con graduación en pulgadas o en ambas unidades Es muy utilizada en los estudios técnicos y materias que tengan que ver con uso de medidas, como arquitectura, ingeniería, etc. Las reglas tienen muchas aplicaciones ya que tanto sirve para medir como para ayudar en el dibujo técnico; las que hay en las oficinas suelen ser de plástico pero las de los talleres y carpinterías suelen ser metálicas, de acero flexible e inoxidable.

4) Vernier Con Sensibilidad De 0.05mm: El nonio o vernier es una segunda escala auxiliar que tienen algunos instrumentos de medición, que permite apreciar una medición con mayor precisión al complementar las divisiones de la regla o escala principal del instrumento de medida.

5) Pesas Ranuradas Y Porta Pesas:

MÉTODOS

Los métodos utilizados en el siguiente informe fueron el método inductivo, deductivo y experimental, puesto que son los métodos indispensables para la elaboración de nuestro trabajo.

MARCO TEÓRICO

Un soporte que se encuentra sujeta por su parte superior, cuelga verticalmente y si se suspenden pesas de la parte superior, este se alarga y los alargamientos son siempre que no sobrepase el límite de elasticidad, proporcionales a las fuerzas aplicadas (la ley de Hooke)

Fig. 1. Instalación del equipo para hallar la constante elástica k de un resorte

si la longitud inicial del resorte y ∆ L=L−L0 el alargamiento que produce una fuerza tracción F, se tiene:

F=K . X…………………………………………(1)

Donde:

K = constante elástica del resorte.-

X = ∆ L=L−L0 , es el alargamiento del resorte.

Luego según la ecuación (1). La grafica F vs X se muestra en la siguiente figura.

Fig. 2. grafica F vs X se

Al suspender del resorte una masa M, este ese estira por acción del peso Mg, asta que alcance una posición de equilibrio, de tal forma que se cumple la ley de Hooke

Mg=K . X…………………………………………(2)

LEY DE HOOKE

Esta ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

Siendo:

= el alargamientoδ

L = la longitud original,

E: = módulo de Young,

A = la sección transversal de la pieza estirada.

La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

LEY DE HOOKE PARA LOS RESORTES: La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

Donde:

k = se llama constante elástica del resorte

= es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la k antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando k por la longitud total, y llamando al producto o intrínseca, se tiene:

Llamaremos F ( x ) a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, kΔx a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud Δx a la misma distancia y δΔx al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza F(x). Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

Que por el principio de superposición resulta:

LEY DE HOOKE EN SÓLIDOS ELÁSTICOS: En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el modulo E seЄ expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades pa, psi y ksi). El máximoσ

valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la similitud entre y deje de ser lineal.σ σ Є Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

CASO UNIDIMENSIONAL: En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar = σ σ11, = ε ε11, C11 = E y la ecuación anterior se reduce a:

Donde: E es el módulo de Young.

CASO TRIDIMENSIONAL ISÓTROPO: Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson ( ). Por otro lado, las ecuaciones deν Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin - Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

TORSIÓN

Llámese deformación a la deformación que experimenta una barra fija por uno de sus extremos y el otro sometido a un par (M=Fd) aplicado en un plano perpendicular al eje, como se muestra en la figura 2. La aplicación de la carga de torsión produce la barra:

a. Un desplazamiento angular de la sección de un extremo respecto del otro, y.b. Origina esfuerzos cortantes en cualquier sección de la barra.

fig. 3. Cilindro sometido a momento externo.

Para deducir las ecuaciones de torsión deben establecer las siguientes hipótesis.

Hipótesis I. las ecuaciones del árbol perpendiculares al eje longitudinal se conservan como superficies planas después de la torsión del árbol.

Hipótesis II. Todos los diámetros de la sección transversal se conservan como líneas rectas diametrales después de la torsión.

MOMENTO TORSOR (Mt)

En la figura 4 se observa una barra de alambre sometido en momento torsor Mex

aplicado a un extremo de la barra. Una generatriz cualquiera, tal como AB en la superficie del cilindro, inicialmente paralela al eje y se tuerce formando una hélice AC al mismo tiempo que la sección en B gira un ángulo con respecto a la sección en A.θ

Fig. 4. Momento torsor aplicado a una barra de alambre.

El momento torsor viene expresado por la relación:

M t=πG r4θ

2 L…………………………………………(3)

Donde: M t = momento de torsión.

θ = es el ángulo de giro total.

L = la longitud del alambre.

G = el modulo de rigidez.

RESORTES HELICOIDALES

La figura 4a representa un resorte helicoidal de espiras cerradas estiradas bajo la acción de una fuerza axial P. el resorte está formada por u alambre de radio r, enrollado en forma de hélice de radio R, la pendiente de esta hélice es pequeña de tal manera que podemos considerar con bastante aproximación que cada espira esta situada en un plano perpendicular al eje de resorte.

Para poder determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por una sección m-m y se determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de una de las porciones separadas por esta sección. Después de analizar la distribución de esfuerzos. La figura 4b muestra el diagrama de cuerpo libre de a parte superior del resorte, para que el resorte este en equilibrio, en la sección m-m, deberá de actuar un fuerza de corte Pr y un momento Mt= PR.

El esfuerzo cortante máximo se produce en la parte interna del resorte y viene expresado por:

τ=τ1+τ2=Pr

A+M t r

I p

τ=2 Pr R

πr2 (1− r2 R )

En los resortes en los que el valor de r es pequeño comparado con el valor de R, la razón r/2R=0, entonces.

τ=2 Pr R

π r3

Fig. 5a. Resorte helicoidal sometido a Fig. 5b. D.C.L de la sección m-m

Carga axial

ELONGACIÓN DE UN RESORTE

La elongación del resorte de espiras cerradas según su eje puede determinarse con suficiente precisión, empleando la teoría de la torsión. la figura 6 representa un elemento infinitamente pequeño del alambre del resorte aislado como un cuerpo libre de longitud dL.

dL=Rdα

Donde R es el radio de resorte, representado por OS en la figura y ∝ el ángulo central en S de dL.

Bajo la acción del momento de torsión Mt el radio de Oa de la sección transversal del alambre girará hasta ocupar Ob. El punto de aplicación de la fuerza O (punto C) descenderá verticalmente la distancia Ce.

Ce=cd cos β

Como el ángulo dθ es pequeño el arco cd puede considerarse como una resta perpendicular a OC, con la que la ecuación anterior se escribe.

ce=cdcos β

De la grafica se observa que: cd ≅ ocdθ y cos β= osoc

=R /oc con lo que la ecuación

anterior se escribe:

ce=(oc ) (dθ )( Roc )dδ=ce=Rdθ

Fig. 6. Deformación de un resorte helicoidal.

Donde dθ es el ángulo de torsión correspondiente ala elemento dL.

Teniendo en cuenta la ecuación de torsión este ángulo de función del momento torsor se escribe:

dθ=MT dL

G I p

Reemplazando en la ecuación anterior resulta:

dδ=R(M T dL

G I p )=R(PR )(dL)G I p

dδ= PR2dLG I p

La distancia vertical ce=dδ , es la aportación del elemento de longitud dL al desplazamiento vertical, la elongación total se obtiene integrando la ecuación anterior.

δ=∫ PR2

G I pdL=¿ PR

2

G I p∫ dL ¿

δ=dδ= PR2

GI p[Ltotal ]

Teniendo en cuenta que la longitud total del alambre es:

L=2 πRN

Donde N es el número de espiras del resorte, la ecuación anterior se puede escribirse:

δ= PR2

G I p(2 πRN )

δ=2πP R3 NG I p

Si el alambre es de sección circular de radio r, el momento polar de inercia es

I p=π r 4

2, entonces la elongación se escribe:

δ=2πP R2N

G( π r4

2)

=4 πPR2NGr4

G=4 NK R3

r4 …………………………………………(4 )

Esta última ecuación nos permite determinar experimentalmente el modulo de rigidez de un resorte siempre que se reconozca:

N=numero de espiras.

k=constante de resorte.

R=radio de resorte.

r=radio del alambre.

PROCEDIMIENTO O MÉTODO

1. Para Calcular El Módulo De Rigidez Del Resorte:

a) Armar el equipo tal como se muestra en la figura (1).

b) Colgar del resorte la pesa mas pequeña, y una vez que el sistema esta en equilibrio, medir la longitud Li, que nos servirá de como longitud inicial, por que a partir de este punto se harán las medidas de alargamiento ∆ L=L−L0. Anotar el dato Li en la tabla I.

c) Medir las longitudes finales L, al suspender 6 pesas diferentes en aumento. Anotar los datos de los pesos y longitudes L e la tabla I.

d) Medir 6 veces el diámetro del hilo (dh) en diferentes puntos del mismo. Anotar los datos en la tabla I.

e) Medir 6 veces el diámetro del resorte (dR) en diferentes puntos del mismo. Anotar los datos en la tabla I.

f) Contar el mínimo de espiras (N) del resorte. Anotar el dato en la tabla I.

TABLA DE RESULTADOS

Tabla I. datos y cálculos para hallar G, Li=206mm. N=184

MEDIDASPesa 1 500 g

Pesa 2 750 g

Pesa 3 1000 g

Pesa 4 1250 g

Pesa 5 1500 g

Pesa 6 1750g

F(N) 4.9 7.35 9.8 12.25 14.7 17.15

L(mm) 374 461.5 550 637 705 801

X(mm) 168 255.5 344 431 499 595

d(mm) 1.1 1.09 1.1 1.1 1.09 1.1

D(mm) 14.21 14.23 14.21 14.22 14.22 14.21

CUES TIONARIO

1) Hallar la constante del resorte K, utilizando los datos obtenidos en los pasos (b) y (c).

2) Encontrar el módulo del valor de rigidez.

3) Deducir la formula (4).

4) ¿Qué importancia tiene determinar el modulo de rigidez de algunos cuerpos?

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN

1) Solución:

F=K . X⟹K=Fx=

Kg .m

s2

m=New .

m

Donde:

K = constante elástica del resorte.

F = El peso de la pesa

X = ∆ L=L−L0 , es el alargamiento del resorte.

k 1=4.9kg .m /s2

168×10−3m=29.17New /m

k 2=7.35 kg .m/ s2

255.5×10−3m=28.76New /m

k 3=9.8kg .m /s2

344×10−3m=28.49New /m

k 4=12.25kg .m /s2

431×10−3m=28.42New /m

k 5=14.7 kg .m /s2

499×10−3m=29.49New /m

k 6=17.15 kg .m /s2

595×10−3m=28.82New /m

Luego calculamos el valor verdadero de la constante K aplicando la teoría de errores: ya que es un tratamiento no estadístico (los resultados medidos son menores que diez) aplicaremos el siguiente método.

K=29.17+28.76+28.49+28.42+29.49+28.826

K=28.85New /m

Calculando el error:

∆ K=K max−K min

2=29.49−28.42

2

∆ K=0.535New /m

Por lo tanto el valor verdadero de la constante K será:

K=28.85±0.535New /m

2) Calculamos el módulo de rigidez (G):

G=8NK D3

d4

Para el cual encontraremos los valores verdaderos de los datos necesarios para el cálculo mediante la teoría de los errores para el cual solo aplicaremos el tratamiento no estadístico, ya que las mediadas repetidas son menores que diez:

Calculamos d:

d=1.1+1.09+1.1+1.1+1.09+1.16

d=1.1mm.

Calculando el error:

∆ d=dmax−dmin

2=1.1−1.09

2

∆ d=0.005mm.

Por lo tanto el valor verdadero de la constante K será:

d=1.1±0.005mm.

Calculamos D:

D=14.21+14.23+14.21+14.22+14.22+14.216

D=14.22mm.

Calculando el error:

∆ D=Dmax−Dmin

2=14.23−14.21

2

∆ D=0.01mm.

Por lo tanto el valor verdadero de la constante K será:

D=14.22±0.01mm.

Calculamos K: el valor de K calculamos en la pregunta anterior por ese motivo presentaremos directamente su valor:

K=28.85±0.535New /m

Finalmente calculamos el módulo de rigidez:

G=8×184×28.85× (14.22 )3× (10−3 )3

(1.1 )4 (10−3 )4

G=83.40G . PaCalculando el error:

σ G=( dGdD )σ D+( dGdd )σd+( dGdK )σ K

σ G=(24×D2×N ×Kd4 )σ D+(−32×D3×N × K

d5 )σd+( 8×D3×Nd4 )σ K

σ G=(24× (14.22 )2× (10 )−6×184×28.85

(1.1 )4× (10 )−12 ) (0.01 )+¿

(−32× (14.22 )3× (10 )−9×184×28.85

(1.1 )4 4255× (10 )−15 ) (0.005 )+¿

( 8× (14.22 )3× (10 )−9×184

(1.1 )4× (10 )−12 ) (0.535 )

σ G=1.622G .Pa

Por lo tanto el valor verdadero de la constante K será:

K=83±1.622G .Pa

3) La deducción se presenta en el marco teórico del informe, por haber encontrado un error de digitación en la pregunta del manual.

4) La importancia que tiene, determinar el modulo de rigidez de algunos cuerpos es visto de diferentes maneras y son los siguientes:

a) la elasticidad en las construcciones son muy importantes. las ventajas de conocer y aplicar correctamente los materiales, sus constantes y deformaciones optimizan las grandes producciones de construcciones civiles.

b) Para poder utilizar los materiales resistentes correctos, es necesario conocer o determinar su límite elástico, identificando que los sólidos tienen elasticidad de alargamiento, de esfuerzo cortante y de volumen, mientras los líquidos solo tienen elasticidad de volumen.

c) En las construcciones es necesaria la utilización de varios materiales, en este ensayo, conoceremos las tensiones y los efectos que se producen sobre aquellos enseres, tales como los alambres, barras, resortes, tendidos de cables, como muchos otros, con el manejo correcto de aquellos materiales, con mucho margen de seguridad, puede llegarse a la construcción de puentes, soportes, estructuras, aparatos médicos, elevadores, grúas, entre otros que brinden comodidad y seguridad para la sociedad.

d) Para determinar las constantes elásticas de cada material es necesario conocer y aplicar la ley de Hooke, para esto es preciso identificar el límite elástico del cuerpo, sabiendo que para cada cuerpo el límite elástico es diferente.

e) Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos

especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones seria imposible resolver un problema de gran importancia como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro.

f) En las construcciones, el ingeniero siempre encuentra en su práctica, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples son: barra, placa, bóveda y bloque.

g) Cuando utilicemos cualquier material es obligatorio conocer las propiedades y características del mismo. Para poder utilizarlo adecuadamente sin fallas y sin enmendaduras.

h) Cada construcción se distingue ya sea por la mano de obra, o por la calidad de material usado para realizar el proyecto, ya que si nos vamos a la calidad del material este puede cambiar, ya que en algunos casos la materia prima no es procesada correctamente y los materiales de construcción pueden ser inservibles. Por eso hay que conocer todo respecto al material, incluyendo su procesamiento.

CONCLUSIONES

a) este tipo de ensayos necesita un grado de exactitud y mucha concentración.

b) Tenemos que estudiar bien el marco teórico así mismo tenemos que saber aplicar las formulas correspondientes de una manera muy optima.

c) Todas las medidas y ensayos que hacemos esta sujeta a errores involuntarios.

d) Ya aprendido ha encontrar los valores pedidos podemos decir que estamos capacitados para ejecutar otros ensayos con diferentes materiales que podemos encontrar.

e) Tenemos que manipular con precaución los instrumentos.

f) El las verificaciones de los resultados se acercan a lo propuesto pero tienen un margen de error

SUGERENCIAS Y DIFICULTADES

En este primer laboratorio podemos decir que el laboratorio de física II necesita otro tipo de materiales y equipos para poder hacer bien los ensayos. Los ensayos que tenemos que hacer en los laboratorios deberían de hacerse con materiales que se

utilizan en las construcciones de las diferentes edificaciones y estructuras de estudio en la ingeniería aplicada.

BIBLIOGRAFIA

1. GOLDEMBERG, J. “Física general y experimental” vol. I y II. Edit. Interamericana S.A. México 1972.

2. SINGER, F. “Resistencia de Materiales “. Edit. Harla. México 1999.

3. BEER – JONSTHON “mecánica de materiales”. Edit. Mc Graw Hill. Colombia 1993.

4. TIPLER, P “Física” vol. I. edit. Reverte. España 1994.

5. S. TIMOSHENKO Espasa – Calpe, S.A., Madrid 1957.