Laboratorio n 03 f isica ii final

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO FÍSICO Optaciano Vásquez G. 2014

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UNIVERSIDAD NACIONAL

SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO

“UNASAM”

Carrera Profesional : Ingeniería Civil.

Año y Semestre : 2014 -I

Asignatura : Física II

Docente : Optaciano Vásquez G.

Tema : Práctica de Laboratorio Nº03

Alumno : Arroyo Suárez Joe Anderson

Fecha : 04-AGO-2014


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Universidad nacional

“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIÉRIA CIVIL

MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II

PRACTICA N° 03 “PENDULO FÍSICO O COMPUESTO”

AUTOR:

M.Sc. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

2014


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UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

SECCIÓN DE FÍSICA

CURSO: FÍSICA II

PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 3.

PENDULO FÍSICO O COMPUESTO

I. OBJETIVO(S)

1.1. OBJETIVOS GENERALES

Estudiar las propiedades del péndulo físico

1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Determinar experimentalmente la aceleración de la gravedad local utilizando la medición del período de un

péndulo compuesto

Determinar experimentalmente el radio de giro con respecto al centro de masa de un cuerpo rígido en forma

de barra homogénea.

Calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido en forma de barra homogénea

Verificar la reversibilidad del péndulo compuesto

II. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

2.1. INTRODUCCIÓN.

La propiedad fundamental de un cuerpo la cual determina como es su comportamiento cuando sufre un

movimiento de rotación es su momento de inercia (I). Para cualquier cuerpo dado esta cantidad puede

determinarse a partir de su distribución de masa, pero su cálculo es muy complicado a excepción de aquellos

cuerpos que poseen un alto grado de simetría. Así por ejemplo, el momento de inercia para una esfera con una

densidad de masa uniforme que tiene una masa m y un radio R está dada por 𝐼 = (2 5⁄ )𝑚𝑟2.

A veces es mucho más fácil determinar el momento de inercia experimentalmente. Uno de estos experimentos

involucra la determinación del momento de inercia de barras de secciones transversales rectangulares

aplicando un método que puede ser aplicado a cuerpos de formas irregulares. En este experimento Ud. podrá

determinar el radio de giro el cual es una cantidad relacionada con el momento de inercia.

Por otro lado, a veces es necesario determinar la aceleración de la gravedad del lugar en donde se desarrolla

los experimentos. Por lo tanto, este experimento nos permite determinar dicha aceleración de la gravedad

simplemente suspendiendo un cuerpo de un punto de oscilación y evaluando el período de las pequeñas

oscilaciones para los diferentes puntos de oscilación.

2.2. CARACTERÍSICAS DEL PENDULO COMPUESTO

Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son pequeñas en comparación con la distancia del eje de

suspensión al centro de gravedad, el péndulo se denomina péndulo compuesto o péndulo físico. Un péndulo

físico es un cuerpo rígido de masa m instalado de tal manera que puede oscilar libremente alrededor de un eje

horizontal que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa, bajo la acción de la gravedad, tal como se

muestra en la figura 3.1. Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es IO, se separa


4

de su posición de equilibrio, un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador �⃗⃗� 𝑂 asociado a la fuerza

gravitacional �⃗⃗⃗� = 𝑚𝑔 le producirá un movimiento oscilatorio. Aplicando la ecuación de la dinámica

rotacional se tiene

0 0M I (3.1)

Donde: �⃗⃗� 𝑂 es el momento o torque alrededor de O, IO es el momento de inercia del cuerpo respecto al punto O

y 𝛼 , es la aceleración angular

Figura 3.1. Cuerpo rígido de forma irregular suspendido de un ponto O desplazado un ángulo θ de la vertical, (b)

péndulo físico utilizado en el laboratorio de física de la UNASAM

Para deducir las ecuaciones que gobiernan al péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra

de sección rectangular AB de masa m, suspendida de un eje transversal que pasa por el punto S, tal como se

muestra en la figura 3.2a.

(a) (b)

Figura 3.3 Péndulo utilizado para determinar las características de del movimiento pendular.

Aplicando la ecuación de movimiento de rotación al péndulo se tiene

S SM I

Smghsen I (3.2)


5

Donde: m es la masa del péndulo, h es la distancia del centro de gravedad al punto de suspensión, IS es el

momento de inercia del péndulo con respecto al punto de suspensión S y θ es el ángulo respecto a la vertical.

La ecuación (3.2) puede escribirse en la forma

0S

mghsen

I (3.3)

Esta ecuación diferencial es no lineal, por lo que no corresponde a una ecuación diferencial de un movimiento

armónico.

Para desplazamientos angulares θ pequeños, la función trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, donde θ se expresa en

radianes. Por tanto la ecuación diferencial (3.3) se escribe

0S

mgh

I (3.4)

La ecuación (3.4), es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, movimiento en el cual la

aceleración angular es directamente proporcional al desplazamiento angular y de dirección opuesta. La

solución de dicha ecuación diferencial es de la forma

max nt sen t (3.5)

Donde las constante θmax y φ se determinan de las condiciones iniciales y 𝝎𝒏 es la frecuencia natural circular

expresada por

2n

S

mgh

T I

(3.6)

El período del péndulo físico, es

2 SIT

mgh (3.7)

A veces es conveniente expresar IS en términos del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que

pase por su centro de gravedad IG, para ello se usa el teorema de los ejes paralelos, esto es

2

S GI I mh (3.8)

Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por otro lado, el momento de inercia también puede expresarse en

función del radio de giro KG, en la forma

2

G GI mK (3.9)

Al remplazar la ecuación (3.9) en (3.8), resulta

2 2 2 2

S G GI mK mh m K h (3.10)


6

Es decir el período del péndulo puede expresarse en la forma

(3.11)*

La ecuación (3.11)* expresa el período del péndulo físico en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, el

período es independiente de la masa, dependiendo sólo de la distribución de masa KG. Por otro lado, debido a

que el radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el período del péndulo en función sólo de h. La

comparación de la ecuación (3.11)* con el período de un péndulo simple 𝑇 = 2𝜋√(𝐿/𝑔) muestra que el

período de un péndulo físico suspendido de un eje a una distancia h de su centro de gravedad es igual al

período de un péndulo simple de longitud dada por

2 2 2

G GK h KL h

h h

(3.12)

El péndulo simple cuyo período es el mismo que el del péndulo físico dado, se le denomina péndulo simple

equivalente.

Algunas veces es conveniente especificar la localización del eje de suspensión S en términos de la distancia d

medida desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia h medida desde el centro de masa.

Si las distancia d1, d2 y D (figura 3.3b) son medidas desde el extremo superior, la distancia h1 debe ser

considerada negativa ya que h es medida desde el centro de gravedad. De esta forma, si D es la distancia fija

desde el extremos superior A de la barra al centro de gravedad G,

1 1

1 2

d D h

d D h

(3.13)

Y en general

d D h (3.14)

La sustitución de estas relaciones en la ecuación que define el período, ecuación (3.11)*, se obtiene

22

2GK d D

Tg d D

(3.15)

La relación entre T y d expresada por la ecuación (3.15), puede mostrarse mejor gráficamente.

Cuando el período T es trazado como función de d, son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y S’P’Q’

como se muestra en la figura 3.4. El análisis de estas curvas revela varias propiedades interesantes y

observables del péndulo físico. Empezando en el extremo superior A cuando el eje es desplazado desde A

hacia B, el período disminuye, encontrándose un valor mínimo en P, después del cual se incrementa cuando d

se aproxima al centro de gravedad. Las dos curvas son asintóticas a una línea perpendicular que pasa por el

centro de gravedad G indicando que cerca de ahí el período tiene un valor significativamente grande. Cuando

el eje de suspensión es desplazado todavía aún más desde A (al otro lado de G), el período T nuevamente

disminuye hasta alcanzar el mismo valor mínimo en el segundo punto P’, después del cual nuevamente se

incrementa.


7

Figura 3.4. Período en función de la distancia al centro gravedad

Una línea horizontal AA’ correspondiente a valores escogidos del período, intersecta la gráfica en cuatro

puntos indicando que hay cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del centro de gravedad para los cuales el

período es el mismo. Estas posiciones son simétricamente localizadas con respecto a G. Existe por lo tanto,

dos valores numéricos de h para los cuales el período es el mismo, representados por h1 y h2 (figura 3.3). Así

para cualquier eje de suspensión escogido S hay un punto conjugado O al lado opuesto de G tal que el

período alrededor de un eje paralelo que pasa por S y O son iguales. El punto O es llamado Centro de

oscilaciones con respecto al eje de suspensión que pasa por el punto S. Consecuentemente si el centro de

oscilación para cualquier péndulo físico es localizado, el péndulo puede ser invertido y soportado de O sin

alterar su período. Esta reversibilidad es una de las propiedades únicas del péndulo físico y ha sido la base

de un método muy preciso para medir la aceleración de la gravedad g (Péndulo Reversible de Káter).

Puede mostrarse que la distancia entre S y O es igual a L, la longitud del péndulo simple equivalente

Alrededor de S

2 222 1

1

4 GK hT

g h

(3.16)

Alrededor de O, es

2 222 2

2

4 GK hT

g h

(3.17)

Igualando estas ecuaciones se obtiene

2

1 2GK h h (3.18)

Por lo tanto el período del péndulo físico se escribe en la forma

1 22h h

Tg

(3.19)


8

De donde se obtiene la longitud del péndulo simpe equivalente a

1 2L h h (3.20)

Es decir, la longitud del péndulo simple equivalente es igual a la distancia SO en las figuras 3.3 y 3.4. De

dichas figuras se observa además que S’ y O’ son un segundo par de puntos conjugados, ubicados

simétricamente con respecto a S y O respectivamente, teniendo los mismos valores de h1 y h2. La figura 3.4,

muestra además que el período de vibración de un cuerpo dado no puede ser menos que cierto valor mínimo

Tmin, para el cual los cuatro puntos de igual período se reduce a dos, S y O’ se combinan en P y S’ y O se

combinan en P’, mientras que h1 llega a ser numéricamente igual a h2. El valor de h’ correspondiente al

período mínimo se encuentra resolviendo las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.20), obteniéndose

2

1 2GK h h

Y establece que

1 2'h h h

Es decir

2' Gh K

Remplazando este valor en la ecuación (3.12), resulta

2' 2 GL K

Sí el péndulo simple más pequeño cuyo período es el mismo que el péndulo compuesto tiene una longitud L’,

igual a dos veces el radio de giro del cuerpo respecto al centro de gravedad. Esto es indicado en la figura 3.4,

para la línea PP’.

III. MATERIAL A UTILIZAR

3.1 Un péndulo físico.

3.2. Dos prensas con tornillo.

3.3. Una prensa con tornillo y cuchilla

3.4. Un soporte de madera

3.5. Una regla graduada en mm

3.6. Un cronómetro

3,7. Una balanza

3.8. Un vernier

IV. METODOLOGÍA

El péndulo físico a utilizar en esta práctica consta de una varilla rígida de acero de forma prismática, de sección

transversal rectangular, que posee orificios equidistantes con relación al centro de gravedad, con un sistema de

suspensión adecuado para que la varilla pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal (eje de suspensión),

con rodamientos para minimizar la fricción como se muestra en la figura 3.5


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Figura 3.5. Péndulo físico utilizado en el laboratorio de física de la UNASAM

Para cumplir con los objetivos planteados siga el siguiente procedimiento:

1) Usando la balanza determine la masa de la barra

2) Mida las dimensiones de la barra (el largo con la cinta métrica y el ancho así como el espesor con el vernier).

Registre sus valores con sus respectivos errores en la Tabla I.

Tabla I. Datos de la geometría y forma de la barra usada como péndulo físico

Masa (kg) Largo (m) Ancho (m) Espesor (m)

1.903 1.104 0.0370 0.00665

1.904 1.104 0.0369 0.00660

1.902 1.105 0.0371 0.00663

3) Sobre la mesa y apoyada sobre su base mayor sujete el soporte de madera con las mordazas simples

4) Sobre la base menor del soporte de madera, sujete la mordaza con cuchilla.

5) Ubique el centro de gravedad G de la barra, suspendiendo ésta horizontalmente en la cuchilla. El punto de

apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad de la barra.

6) Suspenda la barra verticalmente en el orificio más cercano a uno de los extremos (punto A) en el borde de la

cuchilla.

7) Desplace lateralmente a la barra un ángulo no mayor a 10°, a partir de su posición de equilibrio vertical y

suéltela desde el reposo permitiendo que la barra oscile en un plano vertical.

8) Mida por triplicado el tiempo transcurrido para diez (10) oscilaciones (mientras más oscilaciones tome menor

será la incertidumbre en el período. Por qué?. Deduzca de estos datos el período de oscilación de la barra para el

primer punto de oscilación. Registe sus valores en la Tabla II.

9) Repita los pasos (6), (7) y (8) para todos los orificios equidistantes que posee la barra. Registre los valores

obtenidos en la tabla correspondiente.

10) Retire el péndulo del soporte y con una cinta métrica mida por triplicado las distancias d1, d2, d3,………, para

cada uno de los puntos de suspensión desde uno de los extremos de la barra, anote estos datos con sus

correspondientes períodos en la Tabla II.


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Tabla II. Datos y cálculos obtenidos experimentalmente en la práctica “Péndulo Físico”.

N° Distancia medida desde el extremo de la

barra al punto de oscilación

d (cm)

Tiempo para diez oscilaciones

t (s)

Período

T (s)

di1 di2 di3 di,promedio ti1 ti2 ti3 ti, promedio t1/n

1 4.45 4.45 4.46 4,45333333 16.68 16.61 16.65 16,6466667 1,66466667 2 9.5 9.55 9.45 9,5 16.43 16.39 16.41 16,41 1,641 3 14.48 14.50 14.46 14,48 16.04 16.00 16.07 16,0366667 1,60366667 4 19.5 19.52 19.48 19,5 15.88 15.92 15.94 15,9133333 1,59133333 5 24.45 24.43 24.49 24,4566667 15.77 15.69 15.68 15,7133333 1,57133333 6 29.42 29.40 29.48 29,4333333 15.93 15.92 15.90 15,9166667 1,59166667 7 34.40 34.43 34.40 34,41 16.47 16.46 16.34 16,4233333 1,64233333 8 39.45 39.48 39.46 39,4633333 17.81 17.88 17.85 17,8466667 1,78466667 9 44.40 44.42 44.38 44,4 20.27 20.20 20.27 20,2466667 2,02466667 10 49.4 49.4 49.42 49,4066667 26.66 26.44 26.59 26,5633333 2,65633333 11 55.1 55.08 55.12 55,1 0 12 60.9 60.85 60.88 60,8766667 27.52 27.34 27.47 27,4433333 2,74433333 13 65.95 65.93 65.98 65,9533333 20.52 20.58 20.55 20,55 2,055 14 71.00 70.98 71.02 71 17.69 17.99 17.70 17,7933333 1,77933333 15 75.99 75.98 75.95 75,9733333 16.60 16.63 16.66 16,63 1,663 16 80.75 80.71 80.78 80,7466667 16.02 16.03 16.12 16,0566667 1,60566667 17 85.90 85.98 85.89 85,9233333 15.88 15.89 15.82 15,8633333 1,58633333 18 90.90 90.87 90.93 90,9 15.93 15.90 15.94 15,9233333 1,59233333 19 95.80 95.78 95.85 95,81 16.13 16.16 16.12 16,1366667 1,61366667 20 100.81 100.79 100.83 100,81 16.45 16.49 16.42 16,4533333 1,64533333 21 105.82 105.82 105.93 105,856667 16.72 16.78 16.69 16,73 1,673

V. CÁLCULOS Y RESULTADOS

5.1. Con los datos de la Tabla II, trace un gráfica similar a la mostrada en la figura 3.4, colocando el período T, en

el eje de las ordenadas y d en el eje de las abscisas. Trace cualquier recta horizontal SS’ paralela al eje de las

abscisas para un período mayor que el período mínimo. ¿Qué representa los cuatro puntos de intersección de la

recta con las curvas?.

DI,PROMEDIO T1/N DI,PROMEDIO T1/N DI,PROMEDIO T1/N

4,45333333 1,66466667 39,4633333 1,78466667 75,9733333 1,663

9,5 1,641 44,4 2,02466667 80,7466667 1,60566667

14,48 1,60366667 49,4066667 2,65633333 85,9233333 1,58633333

19,5 1,59133333 55,1

90,9 1,59233333

24,4566667 1,57133333 60,8766667 2,74433333 95,81 1,61366667

29,4333333 1,59166667 65,9533333 2,055 100,81 1,64533333

34,41 1,64233333 71 1,77933333 105,856667 1,673


11

120100806040200

5,0

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

DISTANCIA

PER

IOD

O

S 0,795991

R-cuad. 0,0%

R-cuad.(ajustado) 0,0%

PERIODO VS DISTANCIAPERIODO = 1,932 + 0,000141 DISTANCIA

120100806040200

5,0

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

DISTANCIA

PER

IOD

O

DISTANCIA VS PERIODO

Media del

Error

Variable N N* Media estándar Desv.Est. Mínimo Q1 Mediana Q3

Distancia 21 12 55,16 6,91 31,65 4,45 26,95 55,10 83,33

Periodo 21 12 1,940 0,169 0,776 1,571 1,598 1,645 1,905


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Si trazamos una recta horizontal SS’, los puntos que intersectan con esta recta tienen el mismo periodo y los

puntos tomados tienen una misma distancia igual entre el centro de gravedad y el mismo punto.

Es decir, los cuatro puntos de intersección de la recta con las curvas indican que hay cuatro posiciones del eje,

dos en cada lado del centro de gravedad para los cuales el periodo es el mismo.

5.2. Utilizando la gráfica obtenida en el paso anterior, determine el período T mediante la obtención del valor de la

ordenada de la recta horizontal trazada. Así mismo, mediante el promedio de los valores de SO y SO’

determine la longitud del péndulo simple equivalente 𝐿 = ℎ1 + ℎ2 y 𝐿 = ℎ1′ + ℎ2

′ . A partir de estos valores

obtenidos y utilizando la ecuación (3.19), determine la aceleración de la gravedad g de la ciudad de Huaraz con

su respectivo error absoluto y porcentual.

I. El periodo para la recta trazada es: para la recta n°01 T= 1,70 s

para la recta n°02 T= 1,65 s

II. La longitud del segmento SO = L1 = h1+h2 = 51.1 + 18.5 = 69.6 cm y T= 1,70 s

La longitud del segmento SO’ = L2 = h3+h4 = 44.5 + 21.5 = 66 cm y T= 1,65 s

III. Calculo de la aceleración:

Utilizando la fórmula:

1 22h h

Tg

2 iLT

g

2

2

4i

gT

l

Reemprendo valores obtenemos: la aceleración de la gravedad

L1 = 69.6 cm y T= 1,70 s

2

21 2

0.696(4 )9.51

1,7mg

s

L2 = 66 cm y T= 1,65 s

2

22 2

0.66(4 )9.57

1,65mg

s

Como tenemos dos valores con variaciones mínimas sacamos promedio y obtenemos la gravedad mas

aproximada.

1 2

2

9.51 9.57

2

9.54

p

p

p

g gg

g

mgs

gravedad de Huaraz (conocida)=9.78 m/s2:

Cálculo del error absoluto: (9.78 – 9.54)/2 = 0,12

Error relativo: 0,03 /9.54 = 0.01242

Error relativo = 1.2422%


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5.3. A partir de la gráfica T vs d obtenida en (5.1), determine el radio de giro KG de la barra

Del grafico se observa que el valor de KG =0.30 m cuyo valor representa la distancia del centro de

gravedad a la ubicación mínima del periodo.

5.4. Utilizando el valor de la masa de la barra y el radio de giro obtenido en el paso anterior, determine el momento de

inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG usando la ecuación (3.9).

La masa de la barra es: 1.906 kg

El radio de giro obtenido anteriormente es KG =0.30 m

Usando la ecuación (3.9) calculo el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de

gravedad IG.

2

G GI mK

2 21.906 0.30GI x Kgm

20.172GI Kgm

5.5. Utilice el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia IS con respecto al primer punto

de suspensión que pasa por S.

La distancia del primer punto de suspensión al centro de gravedad es:

54.5 - 4.5 = 50 cm = 0.5m

La masa de la barra es igual a 1.906 Kg

El momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG es

Utilizando la ecuación (3.10) calculo el momento de inercia IS

2

S GI I mh

2 2 2 21.906 0.30 1.906 0.5SI x Kgm x Kgm

20.648SI Kgm

5.6. ¿Con respecto a qué línea son simétricas las curvas?. ¿Cuál es el período cuando h = 0?.

Respecto a la recta que representa una asíntota, que es el PERIODO que se calcula cuando el punto

tomado como referencia es el centro de gravedad.

Cuando h=0, el periodo que resulta es nulo (igual a cero)

5.7. ¿Cuál es el período mínimo con el cual el péndulo físico puede oscilar?. ¿Cuál es la longitud del péndulo

simple que tiene el mismo período?

Según el grafico T vs d el periodo mínimo con el cual el péndulo físico puede oscilar es 1.600s.

La longitud del péndulo simple que tiene el mismo periodo es 60 cm.

5.8. ¿Porqué se obtiene el mejor valor de la aceleración de la gravedad, cuando se utiliza un valor de h

correspondiente al período mínimo?.

Porque en el punto de inflexión mínimo para ambas curvas obtenemos que SO y SO tienen la misma distancia

de 60 cm, para un periodo mínimo de 1.6 s de estas se obtendrá el mejor valor de la aceleración de la gravedad

sin necesidad de hacer correcciones y con una probabilidad mínima de cometer errores (solo para este punto).

5.9. Con los datos de la Tabla II y utilizando la ecuación (3.11)*, construya la Tabla III y a partir de ella elabore

una gráfica h2 vs hT2 de esta gráfica determine el valor de la aceleración de la gravedad g y compárela con la

reportada para la Ciudad de Huaraz. Asimismo, determine el radio de giro del péndulo físico con respecto al


14

centro de gravedad. Compárelo con los obtenidos en los acápites (5.2) y (5.3). En cuál de los casos se obtiene

un mejor resultado: en el obtenido de la gráfica T vs d o en ésta gráfica?. Use el ajuste de mínimos cuadrados.

Tabla III. Valores calculados de h2 y hT2 a partir de la Tabla I

N°

Sobre el lado A Sobre el lado B Valores medios

h2

(cm)2

hT2

(cm.s2)

h2

(cm)2

hT2

(cm.s2)

h2

(cm)2

hT2

(cm.s2)

1 2756.25 138,60 16 31,15 1284,81 84,87

2 2255.3001 109,36 81 37,05 1032,53 73,20

3 1806.25 96,44 196.2801 43,78 924,12 70,11

4 1406.505 81,86 324 45,55 820,61 63,71

5 1056.471 73,57 576.4801 57,34 762,50 65,45

6 755.7001 59,44 841 69,91 758,84 64,67

7 505.8001 51,65 1156 83,16 805,79 67,40

8 306.25 48,05 1521.7801 96,58 896,15 72,32

9 156.085 43,20 1936 121,37 1041,86 82,28

10 56.25 35,99 2401 139,09 1235,58 87,54

1. Cálculos para hallar la Ecuación de la Recta para el tramo AP

Y = A + BX

Tabla IV. Datos obtenidos de la tabla Nº 03

Nº T (s) h(cm) h2 (cm2)=Yi hT2=Xi (h2)2 =Xi

2 (h2)(hT2)=XiYi (hT2)2=Xi

1 1.648 52.5 2756.25 142.5849 7596914.063 392999.6306 20330. 4537

2 1.61966 47.49 2255.3001 124.5804 5086378.541 280966.1886 15520.2761

3 1.6 42.5 1806.25 108.8 3262539.063 196520 11837.44

4 1.568 37.5034 1406.505 92.2067 1978256.348 129689.1846 8502.0755

5 1.57566 32.5034 1056.471 80.6963 1116130.998 85253.3007 6511.8928

6 1.589 27.49 755.7001 69.4101 571082.6411 52453.2195 4817.7620

7 1.654 22.49 505.8001 61.5262 255833.7412 31119.9581 3785.4733

8 1.79333 17.5 306.25 56.2805 93789.0625 17235.9031 3167.4946

9 2.02466 12.4934 156.085 51.2135 24362.5408 7993.6591 2622.8225

10 2.58566 7.5 56.25 50.1423 3164.0625 2820.5044 2514.2502

11 - - - - -

12 2.62933 4 16 27.6535 256 442.456 764.7160

13 2.018 9 81 36.6509 6561 2968.7229 1343.2884

14 1.74366 14,01 196.2801 42.5953 38525.8776 8360.6097 1814.3595

15 1.618 18 324 47.1226 104976 15267.7224 2220.5394

16 1.58233 24.01 576.4801 60.1155 332329.3057 34655.3894 3613.8733

17 1.549 29 841 69.5826 707281 58518.9666 4841.7382


15

18 1.56333 34 1156 83.0960 1336336 96058.976 6904.9452

19 1.592 39.01 1521.7801 98.8694 2315814.673 150457.4854 9775.1582

20 1.60033 44 1936 112.6864 3748096 218160.8704 12698.2247

21 1.64866 49 2401 133.1859 5764801 319779.3459 17738.4839

Total 35.20261 549.9902 20110.402 1548.999 34343427.92 2101722.093

Nº T (s) h(cm) h2 (cm2)=Xi hT2=Yi (h2)2 =Xi

2 (h2)(hT2)=XiYi

1 1.648 52.5 2756.25 142.5849 7596914.063 392999.6306

2 1.61966 47.49 2255.3001 124.5804 5086378.541 280966.1886

3 1.6 42.5 1806.25 108.8 3262539.063 196520

4 1.568 37.5034 1406.505 92.2067 1978256.348 129689.1846

5 1.57566 32.5034 1056.471 80.6963 1116130.998 85253.3007

6 1.589 27.49 755.7001 69.4101 571082.6411 52453.2195

7 1.654 22.49 505.8001 61.5262 255833.7412 31119.9581

8 1.79333 17.5 306.25 56.2805 93789.0625 17235.9031

9 2.02466 12.4934 156.085 51.2135 24362.5408 7993.6591

10 2.58566 7.5 56.25 50.1423 3164.0625 2820.5044

11 - - - - -

12 2.62933 4 16 27.6535 256 442.456

13 2.018 9 81 36.6509 6561 2968.7229

14 1.74366 14,01 196.2801 42.5953 38525.8776 8360.6097

15 1.618 18 324 47.1226 104976 15267.7224

16 1.58233 24.01 576.4801 60.1155 332329.3057 34655.3894

17 1.549 29 841 69.5826 707281 58518.9666

18 1.56333 34 1156 83.0960 1336336 96058.976

19 1.592 39.01 1521.7801 98.8694 2315814.673 150457.4854

20 1.60033 44 1936 112.6864 3748096 218160.8704

21 1.64866 49 2401 133.1859 5764801 319779.3459

Total 35.20261 549.9902 20110.402 1548.999 34343427.92 2101722.093

2. Calculamos A y B con los datos de la tabla en 1.

Sabemos que:

A = ∑Xi 2 ∑Yi - ∑Xi ∑ Xi Yi

n∑Xi 2 - ( ∑Xi)2

B = n∑ Xi Yi - ∑Xi ∑ Yi

n∑Xi 2 - ( ∑Xi)2

Entonces con los datos obtenidos

A = (34343427.92)( 1548.999) - (20110.402)( 2101722.093)

20(34343427.92) - (20110.402)2


16

A = 38.703611

B = 20(2101722.093) - (20110.402)( 1548.999)

20(34343427.92) - (20110.4022

B = 0.0385336

Y = 3.360 - 0.176 X

3. Calculamos los errores de a y b

Datos para hallar σa y σb

- 0.176 X

n Yi = Vm Xi= Δt Xi2 Yi’ (Yi - Yi’)2

1 1.701 9.41 88.5481 1.70384 0.000008066

2 2.534 4.74 22.4676 2.52576 0.000067898

3 2.878 2.78 7.7284 2.87072 0.000052998

4 3.125 1.28 1.6384 3.13472 0.0000944784

∑ 10.238 18.21 120.3825 10.23504 0.000223440

Sabemos que:

σA = ∑(Yi – Yi’) 2 ∑ Xi2 1/2

n – 2 n ∑Xi 2 - (∑Xi)2

σB = ∑(Yi – Yi’) 2 n 1/2

n – 2 n ∑Xi 2 - (∑Xi)2

Reemplazando los datos tendremos:

σA = (0.00022344) . (120.3825) 1/2

4 – 2 4(120.3825) – (18.21)2

σA = 0.009 cm/s

σB = (0.00022344) . 4 1/2

4 – 2 4(120.3825) – (18.21)2

σB = 0.002 cm/s2

Entonces los valores de los parámetros serán escritos de la siguiente forma:

A = 3.360 ± 0.009 cm/s

B = - 0.176 ± 0.002 cm/s2


17

• AJUSTE DE LA RECTA

B= 33.82

A= 0.041

• CALCULO DE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD

Comparando las Ecuaciones:

hT2= 0.041 h2 + 33.82

Tenemos:

2

2

/89.962041.0

4scmg

2/63.9 smg

• CALCULO DEL RADIO DE GIRO (KG) DE LA BARRA

2

BgKG

mKG 287.02

)63.9)(338.0(

5.10. Muestre algunas aplicaciones del péndulo físico.

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.

Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se

llama así en honor del físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy

largo.

y = 4.2198x + 0.3797R² = 0.9962

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Series1

Linear (Series1)

X = h2

Y = T2*h


18

También sirve, puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la rotación de la Tierra, aunque

estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula

de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de

arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el

plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.

METRÓMETRO

PLOMADA


19

PÉNDULO DE FOUCAULT

VI. BIBLIOGRAFÍA

1. GOLDEMBERG, J. Física General y Experimental. Vol. I. Edit. Interamericana. México 1972.

2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de Física. Edit. Limusa. México 1980

3. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG. Física Universitaria. Vol. I. Edit. Addison – Wesley Ibe. USA – 2005

4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física Vol. I. Edit. CECSA. México- 2006

5. SERWAY RAYMOND. Física. Vol. II. Edit. Mc Graw - Hill México – 2005.

6. TIPLER A. PAUL. Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol. I. Edit. Reverte, S.A. España – 2000.

7. Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9045-6.

8. Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-

4094-8

9. Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-

398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.

10. Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-

291-4382-3

11. Resnick,R. and Halliday, D. (1996). Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2.

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Laboratorio n 03 f isica ii final

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