69
Lo studio del movimento
Lo studio del movimento
Cinematica Domanda
Quando un corpo è in movimento?
RispostaQuando al trascorrere del tempo cambia la sua posizione nello spazio
Cinematica La cinematica è quella parte della Fisica
che studia il movimento
Descrivere il movimento di un corpo significa saper dire qual è la posizione di quel corpo nello spazio istante per istante
CinematicaEsempioUn orologio a pendolo compie una oscillazione
completa (andata e ritorno) in 2 secondi
Se facciamo partire il cronometro quando il pendolo si trova a sinistra, dopo 2 secondi dove si troverà il pendolo?E dopo 3 secondi e mezzo?
Cinematica = studio del movimento Altro esempio
Un treno viaggia ad una velocità costante di 60 km all’ora. Facciamo partire il cronometro quando il treno passa davanti al passaggio a livello.Dopo 20 minuti a quanti km dal passaggio a livello si troverà il treno?
Semplificazione Nello studio della cinematica un qualsiasi
corpo viene considerato come un punto. Un punto è un ente geometrico che non
ha dimensioni. Noi studieremo la cinematica del punto
materiale cioè di un punto dotato di massa o di peso.
Il punto materialeEsempioConsideriamo un’automobile. Nel nostro studio considereremo l’automobile come se fosse un punto in cui è concentrata tutta la massa dell’automobile.
Il punto materialeAltro esempioConsideriamo una nave. Per noi la nave è come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa.
ConclusionePer noi studiare il moto di una nave o di un’automobile o di un aereo o di una persona o di una formica equivale a studiare il moto di un punto in cui è concentrata tutta la massa del corpo.
Il punto materialeAltro esempioAnche per studiare il moto del pianeta Terra rispetto al sole consideriamo la Terra come se fosse un puntoDomandaPerché facciamo questo?RispostaPer semplificarci la vita. Per studiare il moto senza tener conto delle dimensioni del corpo.
Sistema di riferimento Quando studiamo il moto di un corpo
(d’ora in poi diremo moto di un punto materiale) dobbiamo dire rispetto a che cosa andiamo a studiare il moto.
Infatti un corpo può essere fermo rispetto ad un osservatore ma in movimento rispetto ad un altro osservatore.
Sistema di riferimento Esempio
Consideriamo tre ragazzi: Antonio, Giuseppe e Francesco. Antonio e Giuseppe sono seduti nell’autobus uno di fianco all’altro, mentre Francesco è fermo alla fermata in attesa dell’autobus.
DomandaAntonio è fermo oppure è in movimento?E’ ovvio che Antonio è in movimento rispetto a Francesco.E’ anche ovvio che Antonio è fermo rispetto a Giuseppe.
ConclusioneNon si può dire se un corpo è fermo oppure è in moto senza specificare rispetto a chi o a che cosa.
Sistema di riferimento Per descrivere il moto di un punto materiale bisogna
sempre assegnare un sistema di riferimento cioè indicare l’insieme degli oggetti rispetto ai quali si osserva il movimento.
Il sistema di riferimento viene rappresentato con un sistema di assi cartesiani ortogonali sui quali è fissato l’unità di misura delle lunghezze e al quale è collegato un orologio per misurare gli intervalli di tempo.
Sistema di riferimento
La traiettoria del moto Domanda
Che cosa è la traiettoria?RispostaE’ la linea descritta dal punto materiale in movimento con il passare del tempo.
Esempi di traiettorie Traiettoria rettilinea
Anche se la biglia urta contro le sponde, la traiettoria può considerarsi come un insieme di più segmenti ma tutti rettilinei.
Altro esempio di traiettoria rettilinea è quello della caduta di un corpo dall’alto verso il basso
Il corpo (punto materiale) si muove lungo una retta
Esempi di traiettorie Traiettoria circolare
Il corpo (punto materiale) si muove lungo una circonferenza
Esempi di traiettorie Traiettoria curvilinea
Il corpo (punto materiale) si muove lungo una curva
Esempi di traiettorie Traiettoria parabolica
Il corpo (punto materiale) si muove lungo una parabola
Ovviamente una traiettoria può essere anche composta ad esempio da pezzi rettilinei e pezzi curvilinei
Riconoscimento delle traiettorie
b) Curvilineaa) Rettilinead) Parabolicac) Circolare
Moto rettilineo
In questa prima fase ci occuperemo del caso più semplice: il moto rettilineo cioè un moto che ha per traiettoria una retta.
In questo caso non ci serve come sistema di riferimento un piano cartesiano, cioè non ci servono entrambi gli assi x e y
Moto rettilineo
Nel moto rettilineo il punto materiale si può muovere solo lungo la retta, quindi basta il solo asse x per descrivere la posizione
Moto rettilineo
Per comodità d’ora in poi indicheremo la posizione di un corpo rispetto all’origine (zero) con la lettera s minuscola anziché con la lettera x
Il valore di s indica la posizione del punto materiale rispetto all’origine dell’asse (lo zero)
In questo caso s = 2 (possono essere metri, km, cm)
Posizione e distanza percorsaConsideriamo un punto materiale che all’istante t1 = 1 s
si trova a 2 metri dall’origine. Pertanto s=2
Passa il tempo e all’istante t2 = 4 s si trova a 8 m dall’origine. Pertanto s= 8
DomandaQuanto vale la distanza percorsa?E quanto vale il tempo trascorso?
Posizione e distanza percorsa
La distanza percorsa (spazio) dal punto materiale è la differenza tra la sua posizione finale s2 e la sua posizione iniziale s1
Questa differenza (distanza percorsa o spazio) la indicheremo con questo simbolo: Ds (si legge delta esse)
Ds = s2 – s1
Nel nostro esempio Ds = s2 – s1 = 8 m – 2 m = 6 m
Intervallo di tempo Mentre il punto materiale passa dalla posizione iniziale s1 a quella finale
s2 il tempo scorre.
Quanto vale l’intervallo di tempo trascorso?
L’intervallo di tempo trascorso è dato dalla differenza tra il tempo finale t2
e il tempo iniziale t1
Questa differenza (intervallo di tempo) la indicheremo con questo simbolo: Dt (si legge delta ti)
Dt = t2 – t1
Nel nostro esempio Dt = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s
Velocità media di un punto Si definisce velocità media del punto il rapporto tra la distanza percorsa Ds ed il tempo
Dt impiegato per percorrere la distanza.
ts
mv
Nel nostro esempio
smsmvm /2
36
ts
Ciò significa che il nostro punto ha percorso mediamente 2 metri ogni secondo
Unità di misura della velocità
Nel S.I. (Sistema Internazionale) - la distanza si misura in metri (m)- il tempo si misura in secondi (s)Essendo la velocità il rapporto tra la distanza percorsa ed il tempo necessario per percorrerla, la velocità nel S.I. si misura in metri al secondo m/s
Ci capita spesso però di sentire che un automobile va ad una velocità di 90 km/h
Ricordiamo che il km è un multiplo del metro e l’ora è un multiplo del secondo
Conversione km/h m/s
hkm 1
hm 1000
s 3600m 1000
s 3,6
m 1
In definitiva per trasformare una velocità espressa in km/h in m/s basta dividere per 3,6EsempioUn automobile va ad una velocità di 100 km/h. Qual è la sua velocità espressa in m/s ?
Basta fare 3,6
100v m/s 27,7
Conversione m/s km/h
sm 1
s
km 1000
1
h
36001
km 1000
1
s
km1
36001000
1
In definitiva per trasformare una velocità espressa in m/s in km/h basta moltiplicare per 3,6EsempioUn automobile va ad una velocità di 14 m/s. Qual è la sua velocità espressa in km/h ?
Basta fare 6,341 v km/h 4,05
hkm 3,6
Significato di velocità media
ProblemaUn treno parte da Napoli ed arriva a Milano secondo la seguente tabella:
Percorso Ds (km)
tempo Dt (h)
Vm
Napoli - Roma 214 1h 45 minRoma – Firenze 316 1h 52 min
Firenze-Bologna
97 1h 5 min
Bologna-Milano 219 1h 48 min
Andiamo a calcolare la velocità media di ciascuna tappa
Significato di velocità media
Per fare questo dobbiamo trasformare il tempo espresso in ore e minuti in ore
min 45h 1 h 6045h 1
3
4h
47
43 1
Percorso Ds (km)
tempo Dt (h)
Vm
Napoli - Roma 214 1h 45 min 7/4Roma – Firenze 316 1h 52 min 28/1
5Firenze-Bologna
97 1h 5 min
Bologna-Milano 219 1h 48 min
Napoli -Roma
Roma - Firenze
min 52h 1 h 6052h 1
26
30
13
15h
151315
1513 1
h 1528
Significato di velocità media
In definitiva abbiamoPercorso Ds
(km)tempo Dt
(h)Vm
Napoli - Roma 214 1h 45 min 7/4Roma – Firenze 316 1h 52 min 28/1
5Firenze-Bologna
97 1h 5 min 13/12
Bologna-Milano 219 1h 48 min 27/15
Velocità media Napoli-Roma: km/h 123,3h 7/4
km 214ts
mv
Velocità media Roma – Firenze: km/h 169,3h 28/15
km 316ts
mv
Significato di velocità media
In definitiva abbiamoPercorso Ds
(km)tempo Dt
(h)Vm
Napoli - Roma 214 1h 45 min 7/4 122,3Roma – Firenze 316 1h 52 min 28/1
5169,3
Firenze-Bologna
97 1h 5 min 13/12
89,5
Bologna-Milano 219 1h 48 min 27/15
121,7Ci sono tratte più veloci e tratte più lente.Se volessimo calcolare la velocità media sull’intero percorso dovremmo fare:
h 27/15)13/1228/15 (7/4km 219)97316 (214
ts
mv km/h 130,2h 6,5
km 846
Significato di velocità media
La velocità media dunque è quella velocità a cui dovrebbe andare costantemente il treno per percorrere gli 864 km in 6,5 ore.
EserciziUn’automobile percorre 140 km in 2 h. Calcolare la velocità media.
Abbiamo lo spazio in km ed il tempo in ore.Possiamo applicare la formula ottenendo la velocità in km/h
ts
mv hkm
2 140
hkm 70
6,3: 70hkm
sm 4,19
EserciziCome si chiama la grandezza fisica che misura la durata di un fenomeno?
RispostaTempoCon quale strumento si misura un intervallo di tempo?
RispostaOrologio o cronometro
EserciziCalcolare quanti minuti ci sono in un giorno
Risposta60 min/h x 24 h = 1440 minUn’automobile percorre 120 km in 2h 15 min.Calcolare la sua velocità media
Rispostamin 15h 2 h 6015h 2 h
49
41 2
1
4
h 9/4km 120
ts
mv hkm
94 120
hkm 3,53
sm14,83,6: 3,53
EserciziUn automobile viaggia a 70 km/h per un’ora e mezzo e successivamente a 90 km/h per mezz’ora.Calcolare la velocità media e la distanza percorsa.
RispostaLa distanza percorsa a 70 km/h in 1,5 h è:70 km/h x 1,5 h = 105 kmLa distanza percorsa a 90 km/h in 0,5 h è:90 km/h x 0,5 h = 45 kmLa distanza totale percorsa è: 105 km + 45 km = 150 kmIl tempo totale impiegato è: 1,5 h + 0,5 h = 2 hPertanto, la velocità media è:h 2
km 150ts
mv hkm75
sm,8203,6: 75
EserciziOsservando il grafico velocità-tempo, calcolare le distanze percorse in ogni tratto e la velocità media sull’intero percorso. Nel tratto rosso l’auto
va a 30 km/h per un’ora, quindi percorre trenta km.Nel tratto verde va a 60 km/h per 2 h e quindi percorre 120 km.Nel tratto blu va a 90 km/h per 1 h, quindi percorre 90 km.In totale percorre 30+120+90 = 240 kmIl tempo totale è di 4h
hkm60
h 4km 240
ts
mv
Moto rettilineo uniforme
Moto = movimento rettilineo = traiettoria rettilinea uniforme = velocità costante
Nel moto rettilineo uniforme vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali.
Moto rettilineo uniforme
costantets
v
Ciò significa che le distanze percorse sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati a percorrerleEsempioSe un’automobile va a 50 km/h (costante) significa che:
- in 1h percorre 50 km- in 2h percorre 100 km- in 3h percorre 150 km- in mezz’ora percorre 25 km
Moto rettilineo uniforme.Tipologie di problemi
1) conosciamo lo spazio percorso e il tempo impiegato. Dobbiamo calcolare la velocità.
La formula da usare è sempre
Esempio Alle ore 10 34’ 25’’ un’automobile si trova a 320 m più
avanti del semaforo. L’automobile procede a velocità costante e alle ore 10 35’ 15’’ si trova a 800 m dal semaforo.
Calcolare la velocità dell’automobile.
12
12
ttss
ts
v
Moto rettilineo uniforme.Tipologie di problemi
12
12
ttss
ts
mv '25' 34' 10 '15' 35' 10m 320m 800
s 50m 804
s m 6,9
Moto rettilineo uniforme.Tipologie di problemi
2) conosciamo lo spazio percorso e la velocità. Dobbiamo calcolare il tempo.
La formula da usare è
Esempio Sappiamo che la Terra dista dal Sole 150.000.000
km e che la velocità della luce è di 300.000 km/s. Calcolare il tempo impiegato dalla luce emessa
dal Sole per raggiungere la Terra.
vt s
Moto rettilineo uniforme.Tipologie di problemi
La formula da usare è
Lo spazio percorso è 150.000.000 kmLa velocità è di 300.000 km/sPertanto:
vt s
vt s
skm 300.000
km 0150.000.00 s 500
Moto rettilineo uniforme.Tipologie di problemi
ts v
3) conosciamo la velocità e il tempo impiegato. Dobbiamo calcolare lo spazio percorso.
La formula da usare è: Esempio Un bambino in bicicletta pedala ad una velocità costante
di 3 m/s. Dopo 3 minuti quanti metri avrà percorso? 3 min = 180 s
t s v s 180sm3 m 540
Moto rettilineo uniforme.Formule
ts v
ts
v
vt s
Si usa quando conosciamo la distanza percorsa e il tempo impiegato e vogliamo calcolare la velocitàSi usa quando conosciamo la distanza percorsa e la velocità e vogliamo calcolare il tempoSi usa quando conosciamo la velocità e il tempo impiegato e vogliamo calcolare la distanza
Esercizi
Un’automobile deve percorrere 850 m alla velocità di 35 km/h. Quanto tempo impiegherà?
Svolgimento Abbiamo Ds e v ma le unità di misura non sono
omogenee Ci sono due possibilità per renderle omogenee: 1) trasformare 850 m in km (850 m = 0,850 km) 2) trasformare 35 km/h in m/s (35 km/h: 3,6 = 9,72
m/s Poi si applica la formula
vt s
km/h 35km 0,850
h 0,0243 s 5,78
Esercizi
Svolgimento Abbiamo Ds e v ma le unità di misura non
sono omogenee Ci sono due possibilità per renderle omogenee: 1) trasformare 850 m in km (850 m = 0,850 km) 2) trasformare 35 km/h in m/s (35 km/h: 3,6 =
9,72 m/s Poi si applica la formula
vt s
km/h 35km 0,850
h 0,0243 s 5,78
vt s
m/s 9,72m 850
s 5,78
Esercizi
Un aereo si muove con moto rettilineo uniforme ad una velocità di 110 m/s per 18 min. Calcolare la distanza percorsa.
Svolgimento Abbiamo v e Dt ma le unità di misura non
sono omogenee Per renderle omogenee ci conviene trasformare i minuti in secondi (18 min = 18 x 60 = 1080 s) Poi si applica la formula
ts v s 1080sm 110 m 118.800 km 118,8
La legge oraria
Consideriamo una situazione di questo tipo:Un’automobile passa davanti al semaforo verde senza fermarsi, procedendo a velocità costante.
La legge oraria
Introduciamo nello schema:- Un sistema di riferimento, la cui origine coincide con il semaforo- Un cronometro, che parte da zero quando l’auto passa davanti al semaforo
La legge oraria
Il nostro scopo è quello di ricavare una formula matematica che ci permette di sapere in ogni istante dove si trova l’automobile rispetto al semaforo, cioè rispetto all’origine del sistema di riferimento (lo zero).
La legge oraria
Al posto di t1 poniamo t0, indicando l’istante iniziale (quando parte il cronometro, t0 = 0 s), di conseguenza al posto di s1 porremo s0 (posizione all’istante iniziale)
12
12
ttss
ts
vPartiamo dalla formula della velocità media
La legge oraria
Poi al posto di t2 poniamo t, indicando l’istante generico, di conseguenza al posto di s2 porremo s (posizione al generico istante t)
02
02
ttss
ts
vLa formula diventa
La legge oraria
A questo punto ci ricordiamo che t0 = 0 s e quindi nella formula possiamo eliminarlo. In definitiva avremo:
0
0
ttss
ts
vCosì la formula diventa
tss 0
v
La legge oraria
ttsst 0
v
tss 0
v Moltiplicando per t a sinistra e a destra dell’uguale otteniamo:
tss 0 vScrivendola al contrario
0sst v
Portando so a destra si ottiene
tss 0 v
La legge oraria
La legge oraria ci permette di conoscere la posizione del corpo rispetto all’origine del sistema di riferimento istante per istante.Basta conoscere la posizione iniziale (all’istante t0 = 0 s) e la velocità
tss 0 v
La legge oraria
Nel nostro esempio - la posizione iniziale s0 = 0 m- la velocità vale v = 2 m/s DomandaQual è la posizione dell’auto al tempo t = 4 s ?Risposta
tss 0 v
tss 0 v s 4sm2m 0 m 8m 0 m 8
s = 2 t
La legge orariaVediamo cosa succede se facciamo partire il cronometro quando l’auto è 4 m oltre il semaforo
- la posizione iniziale s0 = 4 m- la velocità vale sempre v = 2 m/s DomandaQual è la posizione dell’auto al tempo t = 5 s ?Risposta
tss 0 v
tss 0 v s 5sm2m 4 m 01m 4 m 41
s = 4+2 t
La legge orariaVediamo cosa succede se facciamo partire il cronometro quando l’auto è 3 m prima del semaforo
- la posizione iniziale s0 = -3 m- la velocità vale sempre v = 2 m/sDomandaQual è la posizione dell’auto al tempo t = 6 s ?Risposta
tss 0 v
tss 0 v s 6sm2m 3- m 21m 3- m 9
s = -3+2 t
Esercizi Un treno viaggia ad una velocità costante di 80
km/h. Duecento metri prima del passaggio a livello l’orologio di Antonio segna esattamente le 10,00.
Dove si troverà il treno rispetto al passaggio a livello quando l’orologio di Antonio segnerà le 10,20?
Svolgimento Il tempo che passa dall’istante iniziale (10,00)
all’istante finale (10,20) è ovviamente di 20 min Trasformiamo i 20 min in ore: 20 min = S0=-200 m = -0,200 km
h6020
tss 0 v
h31
h31
hkm80km -0,200 km
380km -0,200
km 26,466
Esercizi Scrivere la legge oraria di un punto che si muove di
moto rettilineo uniforme con velocità di 10 m/s, sapendo che nell’istante iniziale t0 = 0 esso si trovava nell’origine O del sistema di riferimento.
Svolgimento S0= 0 m v = 10 m/s t0 = 0 s Pertanto:
Qundi:
tss 0 v t10 0 t01
t10s
Esercizi Scrivere la legge oraria di un punto che si muove di
moto rettilineo uniforme con velocità di 20 m/s, sapendo che nell’istante iniziale t0 = 0 esso si trovava 2 m dopo l’origine O del sistema di riferimento.
Svolgimento S0= 2 m v = 20 m/s t0 = 0 s Pertanto:
Qundi:
tss 0 v t20 2
t202s
Il diagramma orario
Il diagramma orario è la rappresentazione grafica della legge oraria
Si costruisce riportando sull’asse delle ascisse il tempo e sull’asse delle ordinate le corrispondenti posizioni del punto.
Ad ogni istante posso ricavarmi la posizione del punto materiale rispetto all’origine del sistema di riferimento
Il diagramma orario Consideriamo un’automobile che si muove con
la seguente legge oraria: s = 4 + 2 t
A questo punto non ci resta che unire tutti i punti sul diagramma per ottenere una retta
Il diagramma orario
Dove si trova l’automobile dopo 3,5 s ?s = 4 + 2t = 4 + 2 x 3,5 = 4 + 7 = 11 m
