Universidad de Chile Departamento de Econom´ ıa Macroeconom´ ıa I Material de Estudio 1 Semestre Primavera 2008 Sebasti´ an Bustos David Coble ´ Oscar Landerretche Julio de 2008 1 Este material deestudio corresponde a unarecopilaci´on del curso Macroeconom´ ıa I de la Facultad de Econom´ ıa y Negocios de la Universidad de Chile dictado en distintos semestres por los profesores Sebasti´an Bustos, David Coble, ´ Oscar Landerretche, Jorge Lorca y Christopher Neilson. Muchos de los ejercicios han sido elaborados por los ayudantes del curso: Rudy Canales, Juan Ignacio Elorrieta, Nicol´as Franz, Federico Huneeus, Crist´obal Gamboni, Mario Giarda, Pablo Guti´ errez, Eduardo Jim´ enez, Nicol´ as Lillo, Maria Luisa Maino, Francisco Marcet, Claudia Mart´ ınez, Alexis Montecinos, Eugenio Rojas y Dami´an Romero. Se agradece cualquier comentario, error o typo al mail [email protected].
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Universidad de Chile
Departamento de Economıa
Macroeconomıa I
Material de Estudio1
Semestre Primavera 2008
Sebastian Bustos
David Coble
Oscar Landerretche
Julio de 2008
1Este material de estudio corresponde a una recopilacion del curso Macroeconomıa I de la Facultad de Economıay Negocios de la Universidad de Chile dictado en distintos semestres por los profesores Sebastian Bustos, DavidCoble, Oscar Landerretche, Jorge Lorca y Christopher Neilson. Muchos de los ejercicios han sido elaborados por losayudantes del curso: Rudy Canales, Juan Ignacio Elorrieta, Nicolas Franz, Federico Huneeus, Cristobal Gamboni,Mario Giarda, Pablo Gutierrez, Eduardo Jimenez, Nicolas Lillo, Maria Luisa Maino, Francisco Marcet, ClaudiaMartınez, Alexis Montecinos, Eugenio Rojas y Damian Romero. Se agradece cualquier comentario, error o typo almail [email protected].
Mientras mas acceso tienen los consumidores al mercado de capitales, mas se endeudan, por ende, gen-eran una mayor volatilidad de la economıa. ¿Es correcto?
Respuesta:Falso. Al tener mas acceso al mercado de capitales, los individuos podran suavizar su consumo intertem-poralmente. Si asumimos agentes racionales, las variaciones del consumo seran producidas solo por shocksaleatorios, lo que hace que la economıa se vuelva menos volatil, ya que el consumo y el ahorro (la inversion)solo cambiaran cuando existan sorpresas en la economıa. Es posible argumentar, sin embargo, que en unaeconomıa en que los agentes se sobreendeudan, es decir, copan completamente su capacidad de endeudarse,se tienden a limitar las posibilidades de endeudamiento lo que, finalmente, tiende a limitar las posibilidadesde que el consumo sea un mecanismo suavizador del ingreso. La razon es que si un consumidor usa com-pletamente sus lıneas de credito ya no podra suavizar shocks negativos adicionales al ingreso. Sin embargo,esto no resulta del acceso al mercado de capitales sino de su uso excesivo, lo que, finalmente refleja unaincorrecta evaluacion de riesgos de credito por parte de los intermediarios financieros.
1.1.2. Friedman y Modigliani
¿Que elemento comun comparten la teorıa de las teorıas del consumo de Friedman y de Modigiliani?¿Que diferencia? ¿Cuando son matematicamente muy diferentes?
Respuesta:El elemento en comun que comparten estas teorıas es que ambas se fundamentan en suponer que estamosen un mundo de consumidores con utilidad marginal decreciente que intentan, por ende, suavizar sus pa-trones de consumo. La diferencia central es el concepto de agente que se esta analizando. En el caso deteorıa del Ciclo de Vida,modelamos agentes finitos, individuos. En el caso de la teorıa del Ingreso Perma-nente, dinastıas de individuos u hogares. Una forma de conectar las dos teorıas es a traves del concepto de.altruismo”, es decir, la valoracion que le da una generacion al consumo de la siguiente. Si a los agentesles importa el bienestar de su descendencia entonces existira altruismo y sera un buen supuesto modelaragentes que se comportan como si tuvieran horizontes infinitos. Si el altruismo es un mal supuesto decomportamiento, entonces, las dos teorıas seran matematicamente diferentes.
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1.1. COMENTES DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.1.3. Riqueza, sustitucion e ingreso
¿Cual es la diferencias entre el efecto riqueza, sustitucion e ingreso en la teorıa de la elasticidad delconsumo a la tasa de interes? Explique matematicamente.
Respuesta:Usando la siguiente expresion (que resulta de una optimizacion utilizando una forma funcional CRRA),podemos observar tres vıas por la cuales la tasa de interes afecta el consumo:
C1 =1
1 + β1σ (1 + r)1−
1σ
·(Y1 +
Y2
1 + r
)(1.1)
Efecto Sustitucion: Un aumento en la tasa de interes hace mas atractivo ahorrar hoy y ası se reduceel consumo presente.
Efecto Ingreso: Una tasa mas alta le entrega mayores recursos a los que tenıan ahorro y le reduceel ingreso a los que eran deudores. Por ello este efecto es ambiguo. Al buscar suavizar su consumointertemporal aumenta el consumo presente. La tension entre el efecto sustitucion y efecto ingreso seve en el termino (1 + r)1−
1σ . Dependiendo del valor que tome σ, predominara un efecto u otro.
Efecto Riqueza: Este efecto es a traves del termino Y1 + Y21+r donde una tasa mas alta disminuye el
valor presente de la riqueza. Este efecto refuerza el efecto sustitucion.
1.1.4. ¿Impuestos o deuda?
Si el fisco se endeuda para aumentar el gasto genera efectos macroeconomicos diferentes de cuandoaumenta los tributos. ¿Es correcto? ¿Siempre? ¿Como se llama la teorıa que discute esto y cuales son suslımites?
Respuesta:El aporte de David Ricardo (rescatado por Roberto Barro) es reconocer que el fisco debe cumplir una restric-cion presupuestaria intertemporal, al igual que lo hacen los agentes privados. La teorıa de la EquivalenciaRicardiana propone que cualquier cambio en el “timing” de los impuestos no tiene efectos sobre la economıa.Es decir, que lo relevante desde el punto de vista del presupuesto de los individuos privados es que ellosinternalizan el comportamiento del gasto publico y su financiamiento en sus decisiones. Es decir, si el fiscoaumenta el gato financiado con deuda, los privados internalizan que en algun momento del tiempo tendranque pagar los impuestos necesarios. Sin embargo, es importante reconocer que detras de la EquivalenciaRicardiana hay un conjunto de supuestos crıticos. Por estos motivos esta teorıa no se cumple cuando:
Existen restricciones de liquidez que impiden que los individuos puedan endeudarse para deshacer elefecto del cambio tributario.
La gente no tiene horizonte infinito (son mortales) o no les entrega utilidad lo que ocurra con susdescendencia.
Existe incertidumbre (sobre quien va a pagar) y distorsiones (impuestos proporcionales a actividadeseconomicas).
Estructuras tributarias progresivas o con excenciones que generan que no todos los agentes de unaeconomıa paguen los impuestos que financian la deuda.
Algunos individuos son miopes (no toman en cuenta el futuro lejano).
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1.1. COMENTES DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.1.5. Consumo segun los Keynesianos 1
¿Que justificacion teorıca podrıa dar ud. en contra del uso de la teorıa de consumo keynesiana paraexplicar el movimiento del consumo de una economıa?
Respuesta:La principal justifiacion teorica para no usar esta teorıa es que no incluye variables relevantes. La funcionde consumo keynesiana es de la forma:
Ct(Yt) = C + c · Yt (1.2)
De la ecuacion (1.3) podemos observar que esta no depende de cambios en la tasa de interes, aumentospermanentes o transitorios del nivel de ingreso futuro, cambios en las expectativas, presencia de activosfinancieros, etc; que son variables relevantes que influyen sobre el comportamiento del consumo. Es poresto que es necesario contar con teorıas que incluyan estas variables.
1.1.6. Consumo segun los Keynesianos 2
Utilizando la siguiente funcion keynesiana de consumo derive las tres conjeturas de Keynes con respectoal comportamiento del consumo. ¿Cual(es) de las tres conjeturas cree ud. que no se ajusta(n) a la realidad?
Ct = C + c · Yt (1.3)
Tip: Describa de que depende el consumo, obtenga la propension marginal a consumir, la propensionmedia y analize su evolucion en el tiempo.
Respuesta:De (1.3) podemos notar 3 cosas:
1. El consumo depende solo del ingreso y no incluye cosas como ingreso futuro o tasa de interes.
2. La propension marginal al consumo es:
∂Ct
∂Yt= c < 1
Lo que nos dice que ante un aumento en el ingreso (Yt), el consumo aumentara menos que propor-cionalemente con respecto al ingreso.
3. La propension media al consumo es:
Ct
Yt=
C + c · Yt
Yt
=C
Yt+ c
Y analizamos como cambia la PMeC con respecto a Yt,
∂PMeC∂Yt
= − C
Y 2t
(1.4)
De (1.4) podemos ver que la funcion keynesiana predice que a medida que aumente el nivel de in-greso, el consumo ira disminuyendo. Esta conclusion se llamo “Estancamiento Secular” y fue unapreocupacion para los economistas de la epoca, hasta que Simon Kuztnets demostro que esto no secumplıa.
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1.1. COMENTES DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.1.7. Equivalencia Ricardiana
El gobierno de Gambonilandia ha decidido emitir bonos por un monto de $ 1.200 millones de dolares.Por este concepto, el gobierno recaudara mucho dinero y podra realizar todos los proyectos que antes nopodıan ser realizados. Entonces ¿Es el gobierno Gamboniles mas rico debido a esta emision? Sea claro ensu razonomiento y explicite sus supuestos.
Respuesta:
Depende. Si se cumplen ciertos supuestos, la teorıa de la Equivalencia Ricardiana del Prof. RobertBarro nos dice que el gobierno enfrenta una restriccion intertemporal, por lo tanto, emitir bonos hoy (ten-er mas recursos hoy), significa disponer de menos recursos manana. Es por esto que no se puede decirque el gobierno Gamboniles es mas rico hoy; esta simplemente trayendo ingresos futuros al presente, vıaendeudamiento. Esta teorıa no se cumple, cuando
Existen restricciones de liquidez que impiden que los individuos puedan endeudarse para deshacer elefecto del cambio tributario.
La gente no tiene horizonte infinito (son mortales).
Existe incertidumbre (sobre quien va a pagar) y distorsiones (impuestos proporcionales a actividadeseconomicas).
Estructuras tributarias progresivas o con excenciones que generan que no todos los agentes de unaeconomıa paguen los impuestos que financian la deuda.
Algunos individuos son miopes (no toman en cuenta el futuro lejano).
1.1.8. Ingreso permanente
En un modelo de consumo intertemporal, un aumento en la tasa de interes genera una caıda del consumodebido a que el ingreso permanente disminuye. Comente.
Respuesta:En un modelo de consumo intertemporal existen tres efectos: sustitucion, ingreso y riqueza. Es cierto queun aumento de la tasa de interes, por efecto sustitucion, disminuye el ingreso permanente. Sin embargo,para saber el efecto final necesitamos saber que pasa con los otros dos efectos. Esto hace que el comente seafalso o incierto.
1.1.9. ¿Deuda excesiva?
Todos los habitantes de Gambonilandia estan endeudados. Es mas, durante el ultimo ano los Gam-bonileses han mostrado consistentemente niveles de consumo mayores a sus niveles de ingresos actuales.Ante esta situacion, Cristobal Gamboni le pregunta a ud. si esta situacion es preocupante y que riesgosexisten. Explique bajo que esquema teorico esta situacion no serıa preocupante y comente como se llega aesta conclusion.
Respuesta:
Esta situacion no serıa preocupante bajo un esquema de Hipotesis del Ingreso Permanente o Ciclo deVida. Estas dos teorıas complementarias nos dicen que los agentes son racionales y que desean suavizar susniveles de consumo a traves del tiempo.
Estas teorıas complementarias establecen que los individuos maximizan su utilidad del consumo a lo largode su vida. Como resultado de este problema de maximizacion, podemos ver que los individuos preferiranun nivel de consumo constante a traves de sus vidas.
Si los agentes preven un nivel de ingreso permanente mayor en el futuro, esta teorıa nos indicarıa quees natural que los individuos deseen endeudarse para ası poder tener un nivel de consumo constante en eltiempo.
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1.1. COMENTES DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.1.10. Cambios en la tasa de interes
Si un individuo es acreedor neto, una disminucion de la tasa de interes aumentara indudablemente suconsumo presente. Comente.
Respuesta:Ante una disminucion de la tasa de interes, no sabemos como cambiara el nivel de consumo de un individuoque es acreedor neto. Por una parte el efecto sustitucion hara mas barato el consumo presente respecto delfuturo por lo que consumira mas y disminuira su ahorro. Pero por otra sus activos disminuiran su retornodisminuyendo los frutos de su ahorro inicial. Por efecto ingreso entonces el individuo querra aumentarsu ahorro y disminuira su consumo. El efecto final dependera de la magnitud de los efectos sustitucion eingreso. El efecto final sera ambiguo.
1.1.11. Euler de Consumo
El nivel de consumo optimo intertemporal no solo considera el cumplimiento de la restriccion pre-supuestaria intertemporal sino que ademas depende de cuanto sea la distribucion de ingresos totales encada perıodo del tiempo. Comente
Respuesta:El problema que enfrenta un consumidor de dos perıodos requiere optimizar el consumo debiendo cumplirla restriccion presupuestaria intertemporal que basicamente nos dice que la suma de ingresos debe ser ex-actamente igual a la suma de consumo, ambos en valor presente.
Las decisiones de consumo se hacen independientes de la trayectoria de ingresos en el tiempo. En un casoextremo, el consumidor podrıa querer consumir todo hoy y tener todos sus ingresos en el futuro. Obviamente,el supuesto implıcito es que los consumidores tienen acceso al mercado de capitales pudiendo traer riquezafutura al presente y al reves, pudiendo de esta manera suavizar su consumo, independiente de la distribucionde los ingresos en el tiempo.
1.1.12. Shocks permanentes o transitorios
Suponga que una persona recibe un incremento de sueldo que estima sera permanente en el tiempo.Segun lo aprendido con las Teorıas de Ciclo de Vida e Ingreso Permanente, ¿que ocurrira con su nivel deconsumo? ¿Como cambia su respuesta si el aumento es transitorio?
Respuesta:Las Teorıas de Ciclo de Vida e Ingreso Permanente, enunciadas por Modigliani y Friedman respectivamente,nos dicen que si los individuos quieren mantener una consumo constante a lo largo de su vida (y tiene unavida suficientemente larga), consumiran la anualidad de su riqueza, la que corresponde a la tasa de interesque rinde la totalidad de su riqueza. La primera supone individuos con vidas finitas y la segunda con vidasinfinitas, por lo cual en lo indicado por Modigliani supone que ademas el individuo consumo parte del lariqueza con lo cual llega al final de su vida sin riqueza.
Si el individuo experimenta un aumento de su salario, y este es permanente en el tiempo, aumentara lasuma presente de todos sus ingresos futuros (su riqueza total). De esta forma el consumo de cada periodoaumentara proporcionalmente al incremento de su salario. En cambio, si el aumento de salario es con-siderado como transitorio, el consumo se incrementara menos que 1 a 1. ¿La razon? El mayor ingresoque durara solo algunos perıodos debe ser distribuido durante toda la vida, por lo que en cada perıodo seconsumira solo una fraccion de este ingreso.
1.1.13. Keynesian update
Del comente anterior, ud. sabe que la funcion keynesiana no logra predecir de manera satisfactoria elcomportamiento del consumo de una economıa. ¿Que cree ud. que la funcion keynesiana esta omitiendo yque podrıa ser relevante para las decisiones de consumo? Describa las teorıas de consumo que tratan de
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1.1. COMENTES DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
resolver estos problemas.
Respuesta:La funcion keynesiana omite factores relevantes como ingreso futuro esperado, shocks, tasa de interes ypreferencias de los individuos. Esto hace que sus predicciones de corto plazo no sean muy buenas.
Buscando solucionar este inconveniente, distintos autores disenaron distintas teorıas para describir elconsumo que hacıan enfasis en cada uno de los factores relevantes descritos anteriormente. Estas teorıasson:
1. Consumo Intertemporal (Fisher): Irving Fisher desarrollo un modelo de agentes racionales y pre-visores que toman decisiones de consumo intertemporal. Este modelo hace enfasis en las preferenciasy en las restricciones a la cual estan sometidos estos agentes.
2. Ciclo de Vida (Modigliani): Modigliani uso como base para su teorıa el modelo de Fisher, perohizo incapie en el hecho de que el ingreso de un agente varıa a traves de su vida y que el ahorropermite suavizar el consumo en todos los perıodos.
3. Ingreso Permanente (Friedman): Esta hipotesis es complementaria a la de Modigliani. Friedmanhizo enfasis en el caracter transitorio y no-transitorio del ingreso y concluyo que la reaccion delindividuo ante cambios en el ingreso dependera si este es de caracter transitorio o no.
1.1.14. Variacion del consumo 1
Explique porque las variaciones del consumo son impredecibles si los consumidores obebedecen a lahipotesis de ingreso permanente y tienen expectativas racionales.
Respuesta:De acuerdo a la hipotesis de ingreso permanente, los agentes se enfrentan a una renta fluctuante y hacentodo lo posible por para suavizar el consumo a traves del tiempo. En cualquier momento del tiempo, ladecision de consumo es optima segun las expectativas de ingreso del agente.A medida que pasa el tiempo,los agentes van cambiando sus decisiones de consumo de acuerdo porque agregan informacion nueva que hacecambiar sus expectativas. Si estamos bajo el supuesto de expectativas racionales, los individuos utilizarantoda la informacion disponible para formar sus expectativas, por lo que cambios en el consumo, i.e., unarevision de las expectativas de ingreso futuro, solo puede ocurrir si el individuo es “sorprendido”. Por eso,los cambios en el consumo obedecerıan a un “paseo aleatorio”.
1.1.15. Variacion del consumo 2
¿Que componentes de la demanda agregada (y de tipos de consumo) son mas o menos volatiles enterminos relativos? Explique conceptual y empıricamente.
Respuesta:La demanda agregada, en economıa cerrada, esta compuesta por consumo, inversion y gasto del estado.Adicionalmente, para efectos de esta pregunta es conveniente desagregar el consumo en dos componentes:durable y no durable. Empıricamente si es que calculamos la varianza de cada componente en torno a susrespectivas tendencias, descubrimos que la inversion es mas volatil que el consumo y que el consumo durable,a su vez, es mas volatil que el consumo no durable. La razon teorica es doble: primero, la existencia deutilidad marginal decreciente (que expresamos matematicamente con la concavidad de la funcion de utilidad)y la existencia de costos convexos de ajuste de la inversion. El resultado de esto es que los agentes intentaransuavizar la trayectoria de consumo y, en cambio, trataran de concentrar la inversion en ciertos perıodos parahacer uso de las economıas de escala en la inversion. Esta misma racionalidad explica que el consumo durablesea mas volatil que el consumo no durable, o dicho de otro modo, la mayor volatilidad relativa del consumodurable es un demostracion de que los consumidores enfrentan costos de ajuste convexo. Finalmente, esinteresante notar que el gasto fiscal es, por lo general, mas estable que el resto de los componentes del gastodebido a las rigideces propias del proceso presupuestario y, en el caso de chile, a la mecanica de las reglasdel Balance Estructural.
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1.2. COMENTES DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.2. Comentes de Inversion
1.2.1. Efectos de la concavidad/convexidad
Tanto la concavidad de la funcion de utilidad de los consumidores y la convexidad de la funcion decostos generan efectos amortiguadores sobre la economıa. ¿Es correcto?
Respuesta:La concavidad de la funcion de utilidad es la expresion matematica de la utilidad marginal decreciente delos consumidores que genera el comportamiento de suavizacion de los patrones de consumo y, por lo tanto,contribuye a la estabilizacion de los ciclos de la economıa. La convexidad de la funcion de costos de inversiones una expresion matematica de la existencia de costos fijos a la inversion que hace que los agentes intentenconcentrar en ciertos perıodos la inversion, generando una trayectoria mas volatil de este componente dedemanda. Por ende, el comento es correcto en lo que respecta a la funcion de utilidad y falso en lo querespecta la funcion de costos.
1.2.2. Volatilidad segun Tobin
Una economıa donde las firmas enfrentan un funcion de costos convexa (crecientes a tasa creciente) esmenos volatil que una en donde las firmas enfrentan costos concavos (decrecientes a tasa creciente). En elcontexto de la teorıa de Q de Tobin, comente.
Respuesta:Verdadero. Si las firmas enfrentan costos convexos, los ajustes del nivel de capital,i.e. los niveles de in-version, se haran de forma paulatina. En cambio, si las firmas enfrentan costos concavos, estos ajustes seharan de golpe. En el primer escenario la inversion es menos volatil que en el segundo, luego, ceterisparibus, la primera economıa sera menos volatil.
1.2.3. Costos de ajuste
Explique en detalle la importancia de la concavidad/convexidad de la funcion de costos de ajuste delcapital en un modelo de inversion. Dependiendo de su respuesta, ¿que decisiones cree que tomaran lasempresas en uno u otro caso?
Respuesta:En primer lugar, recordemos que la intencion de las firmas es maximizar sus beneficios a la lo largo deltiempo (maximizacion intertemporal). Dado esto, no sera irrelevante la estructura de los costos de la in-version. Como bien sabemos, si esta funcion es concava, entonces dichos costos seran crecientes a tasadecreciente por cuanto la mejor opcion sera realizar grandes inversiones en capital en poco tiempo. Por elcontrario, si la funcion es convexa, tendremos que los costos seran crecientes a tasa creciente por cuantono sera optimo realizar grandes cambios en un periodo de corto plazo puesto que los costos explotaranal invertir marginalmente en capital. A partir de esta situacion, las inversiones en capital se realizaranpaulatinamente en el tiempo.
1.2.4. Un cambio anticipado
Suponga una economıa con costos de ajuste de inversion concavos.1 Ante un anuncio de una futuradisminucion de la tasa de interes, ¿que haran con su inversion las empresas?
Respuesta:La teorıa de la Q de Tobin vista durante el semestre nos ayuda a entender como las empresas distribuyen enel tiempo su inversion. Una disminucion anunciada (y creıble) de la tasa de interes hace que las empresascomiencen a realizar en forma anticipada.
En el caso mas comun, en el que las empresas tienen costos de ajustes convexos, mientras mayor esla inversion mas costoso es para la empresa realizar el ajuste por lo que deseara distribuir en el tiempo el
1Primera derivada positiva y segunda negativa.
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1.2. COMENTES DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.1: Dinamica del modelo con cambio Anticipado de la tasa de interes
∆K = 0
q
K
∆q1 = 0∆q2 = 0
1
q
K
r
I
t1 t2
ajuste. Sin embargo, si los costos son concavos, como indica este comente, lo optimo sera realizar toda lainversion en un solo momento, lo que se conoce como inversion abultada o “lumpy”.
1.2.5. Inversion y shocks no anticipados
El dıa Martes 10 de Junio, el Banco Central emitio el siguiente comunicado “En su reunion mensual depolıtica monetaria, el Consejo del Banco Central de Chile acordo aumentar la tasa de interes de polıticamonetaria (TPM) en 50 puntos base, hasta 6,75% anual.”En el contexto de la teorıa de la Q de Tobin, ¿como afectara esto las decisiones de inversion de las firmas?Suponga que este cambio en la TPM era totalmente inesperado y que la funcion de costos de las firmas esconvexa. Explique la dinamica y grafique el movimiento de las variables de relevantes en el tiempo.
Respuesta:
Dado que la disminucion de la tasa de interes era totalmente inesperada por las firmas, el precio sombradel capital instalado, q, caera de golpe por debajo de 1.
En un esquema de firmas enfrentando costos convexos, las firmas tienen dificultades para cambiar sucapacidad instalada. Por lo tanto, las firmas gradualmente iran des-invirtiendo hasta llegar a un nivel decapital instalado inferior al que exisitıa antes del cambio en la tasa de interes. (ver figura (1.1))
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1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.2: Restriccion Intertemporal
Y1, C1
Y2, C2
100
150
1.3. Matematicos de Consumo
1.3.1. Consumo intertemporal
Considere una persona que vive dos perıodos, t y t+1, y sus ingresos son de 100 y 150 respectivamente.Si la tasa de interes es del 15 %:
1. Determine la restriccion presupuestaria de este individuo y grafıquela.
Respuesta:La restriccion presupuestaria es:
C1 +C2
1 + r= Y1 +
Y2
1 + r(1.5)
Reemplazando los valores entregados, tenemos que:
C1 +C2
1,15= 100 +
1501,15
(1.6)
Graficamente se puede ver en la figura 1.2.
2. Suponga que a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos perıodos. Encuentre el valorde este.
Respuesta:Tomando (1.5) y reemplazando C1 = C2 = C, tenemos que
c) Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble del primer perıodo t en elperıodo t+ 1, identifique el consumo en t y t+ 1.
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1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Respuesta:Utilizando (1.5) y sabiendo que 2C1 = C2,
C1 +C2
(1 + r)= Y1 +
Y2
(1 + r)
C1 +2C1
(1 + r)= Y1 +
Y2
(1 + r)C1(1 + r) + 2C1
(1 + r)= Y1 +
Y2
(1 + r)
C1 =1 + r
3 + r
[Y1 +
Y2
(1 + r)
](1.11)
C1 =1,153,15
[100 +
150(1,15)
]C∗
1 84C∗
2 168
d) Explique conceptual y matematicamente que ocurre con el consumo de cada perıodo si la tasa deinteres aumenta a 20 %. Las preferencias de consumo del individuo se mantienen como en la parte c).
Respuesta:Mirando la ecuacion (1.11) podemos ver que el cambio en la tasa de interes afectara por medio delprimer termino en llaves
[1+r3+r
]el cual aumenta con r y tambien mediante el efecto de bajar el valor
presente de los ingresos futuros en el termino Y2/(1 + r) el cual es obviamente negativo.
C1 =[1 + r
3 + r
] [Y1 +
Y2
(1 + r)
]
Al reemplazar los datos tenemos que el consumo permanece casi constante con una pequena alza de84.13 a 84,38. El consumo el el segundo periodo es simplemente el doble (168,8). Por lo tanto unaumento de la tasa de interes genera un aumento en el consumo en el primer periodo
Esto se puede explicar porque Y1 > C1, es decir, el individuo es un acreedor neto. Dado que no hayefecto de cambio en la distribucion de consumo (i.e. no puede ahorrar mas dado el mayor incentivo)debido a que esta dado por el enunciado, solo existe el efecto ingreso positivo y el efecto negativo sobreel valor presente de los ingresos en el segundo periodo.
e) Identifique en un mismo grafico los resultados obtenidos en las partes b) y c), y explique los cambiosocurridos en el consumo debido a las variaciones de la tasa de interes.
Respuesta:
Graficamente tenemos lo que aparece en 1.3
Ver explicacion en comente anterior.
f ) Suponga ahora que el gobierno ha instaurado un nuevo impuesto de suma alzada de 50 en cadaperıodo. Encuentre la nueva restriccion presupuestaria considerando una tasa del 15 % y grafique.
Respuesta:El rol del gobierno en este caso seria de cambiar la dotacion de ingreso.
C1 +C2
(1 + r)= Y1 − T +
Y2 − T
(1 + r)
C1 +C2
(1,15)= 50 +
100(1,15)
(1.12)
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1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.3: Variacion Tasa de Interes
Y1, C1
Y2, C2
Dotacion
(1, 15)
(1, 2)
Figura 1.4: Restriccion Intertemporal con Impuestos
U
U'
Y1, C1
Y2, C2
100
150
50
100
15
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
El grafico correspondiente se ve en la figura 1.4
g) Si la estructura de impuesto se mantiene de igual forma y el individuo desea consumir 40 en el primerperıodo:
i. ¿Cual es el consumo en t+ 1?
Respuesta:Utilizando (1.7) y sabiendo que C1 = 40,
(1,15)50 + 100 = 40(1,15) + C2
C2 = 111,5 (1.13)
ii. ¿Como cambia la recta presupuestaria si los impuestos cambian de estructura y se cobra 60 ent y 40 en t+ 1?
Respuesta:Considerando la solucion empleada en la parte d) y reemplazando por la nueva estructura trib-utaria tenemos:
C1 +C2
(1 + r)= Y1 − T +
Y2 − T
(1 + r)
C1 +C2
(1,15)= 40 +
110(1,15)
(1.14)
iii. ¿Como cambia el consumo en ambos perıodos?
Respuesta:Dado que, por enunciado, el consumo en el primer periodo es 40, debemos obtener el consumodel segundo periodo. Considerando que C1 = 40 y la ecuacion (1.14) tenemos:
(1,15)40 + 110 = 40(1,15) + C2
C2 = 110 (1.15)
El cambio en la estructura de impuestos hace que el individuo pase de una situacion ahorradoraa una situacion neutral, donde Y1 = C1 e Y2 = C2.
1.3.2. Consumo Intertemporal y subsidios
Suponga un individuo que vive dos perıodos y maximiza la siguiente funcion de utilidad:
U(C1, C2) = logC1 +(
11 + ρ
)logC2 (1.16)
Donde C1 y C2 corresponden al consumo del perıodo 1 y 2 respectivamente. Ademas, el individuo recibeingresos de Y1 e Y2 respectivamente. La tasa de interes de mercado es r y la tasa de descuento intertemporales ρ (con r = ρ).
a) Construya la restriccion intertemporal para este individuo. Determine el consumo optimo del perıodo1 y 2 ademas del ahorro optimo. Denotelos C∗
1 , C∗2 y S∗ respectivamente.
Respuesta:La restriccion presupuestaria para este individuo vendra determinada por lo siguiente:
En el primer perıodo sabemos que el ingreso es igual al consumo de ese perıodo mas el ahorro(deuda):
Y1 = C1 + S (1.17)
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1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Para el segundo y ultimo perıodo tenemos que el individuo consumira todo su ingreso disponible, porlo que tendremos que:
C2 = Y2 + (1 + r)S (1.18)
Despejando el ahorro (deuda) de la ecuacion (1.21) y reemplazandola en la ecuacion (1.22) obtenemosla restriccion presupuestaria intertemporal:
C1 +C2
1 + r= Y1 +
Y2
1 + r(1.19)
Ahora encontramos el consumo optimo del perıodo 1 y 2 ademas del ahorro optimo. Para esto armamosel lagrangiano correspondiente:
L = logC1 +(
11 + ρ
)logC2 + λ
(Y1 +
Y2
1 + r− C1 −
C2
1 + r
)De las CPO del problema o bien por la ecuacion de Euler tenemos lo siguiente:
C2
C1=
1 + r
1 + ρ(1.20)
Despejando C2 de la ecuacion (1.27) y reemplazandolo en la ecuacion (1.23) tendremos que el consumooptimo del perıodo 1 vendra dado por:
C∗1 =
1 + ρ
2 + ρ·(Y1 +
Y2
1 + r
)El ahorro optimo vendra dado por S∗ = Y1 − C∗
1 , reemplazando C∗1 tenemos:
S∗ =1
2 + ρ·(Y1 −
1 + ρ
1 + r· Y2
)Por ultimo, calculamos C∗
2 reemplazando C∗1 en la ecuacion (1.27):
C∗2 =
1 + r
2 + ρ·(Y1 +
Y2
1 + r
)Con lo que determinamos lo que se pedıa.
b) Determine la Elasticidad Intertemporal de Sustitucion.2
Respuesta:De la ecuacion de Euler tenemos:
C2
C1=
1 + r
1 + ρ
Manipulando un poco:
2Recuerde que EIS = − ∂log(C1/C2)∂log(1+r)
.
17
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
C1
C2=
1 + ρ
1 + r/ln
ln
(C1
C2
)= ln(1 + ρ) − ln(1 + r)
Derivando:
∂ log(C1/C2)∂ log(1 + r)
= −1
En otras palabras:
EIS = 1
c) Suponga que la autoridad otorga un subsidio θ (con θ > 0) en dinero al individuo en el perıodo 1.Determine en cuanto variara el ahorro e interprete su resultado.
Respuesta:Es facil ver que con esto lo unico que cambia es la restriccion presupuestaria intertemporal. Haciendolo mismo que en la parte a) llegaremos a que el consumo optimo del perıodo 1 sera:
C∗1 =
1 + ρ
2 + ρ·(Y1 + θ +
Y2
1 + r
)Calculando el ahorro optimo:
S∗ =1
2 + ρ·(Y1 − (1 + ρ) · θ − 1 + ρ
1 + r· Y2
)
Vemos que el ahorro cae en(
1+ρ2+ρ
)· θ. Esto debido a que el individuo presenta mayores ingresos en
el primer perıodo (ahorrara menos) y, para suavizar su consumo, decide consumir solo parte de estenuevo ingreso y guardar la otra parte para el futuro.
1.3.3. Consumo Intertemporal y amigos
Suponga un individuo que vive solo dos perıodos. La funcion de utilidad del individuo es una CRRA(Constant Relative Risk Aversion) de la forma
U(C1, C2) =C1−σ
1
1 − σ+
11 + ρ
· C1−σ2
1 − σ
El individuo tiene un ingreso Y1 en el perıodo 1 e Y2 en el perıodo dos. Ademas, no tiene restriccionesde liquidez, por lo que puede ahorrar o desahorrar, y no dejara ningun tipo de herencia despues de morir.
a) ¿Por que el individuo desea suavizar consumo?, ¿Como se comporta la utilidad marginal del consumode esta funcion?3
Respuesta:El individuo, al tener una funcion de utilidad concava y por ende curvas de indiferencia convexas,
3Suponga σ > 0.
18
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
preferira “combinaciones intermedias”de bienes. Esto implica que no se prefieren soluciones esquina:consumir toda la riqueza en uno de los perıodos. En el caso de este modelo el individuo prefiere teneruna trayectoria estable de consumo, por ende, suavizara el consumo a lo largo del tiempo consumiendocantidades relativamente parejas.
Si analizamos el comportamiento de la funcion con respecto al consumo tendremos que:
∂U(C1, C2)∂C1
= C−σ1 > 0
∂2U(C1, C2)∂C2
1
= −σC−σ−11 < 0
Vemos que la funcion de utilidad es concava por lo que se entiende que el individuo al tener utilidadesmarginales decrecientes preferira tener trayectorias de consumo estables, de modo de hacer que sus“utilidades marginales”se parezcan en los perıodos de su vida.
b) Determine y grafique la restriccion presupuestaria del individuo. ¿Que representa el parametro ρ?
Respuesta:La restriccion presupuestaria para este individuo vendra determinada por lo siguiente:
En el primer perıodo sabemos que el ingreso es igual al consumo de ese perıodo mas el ahorro(deuda):
Y1 = C1 + S (1.21)
Para el segundo y ultimo perıodo tenemos que el individuo consumira todo su ingreso disponible, porlo que tendremos que:
C2 = Y2 + (1 + r)S (1.22)
Despejando el ahorro (deuda) de la ecuacion (1.21) y reemplazandola en la ecuacion (1.22) obtenemosla restriccion presupuestaria intertemporal:
C1 +C2
1 + r= Y1 +
Y2
1 + r(1.23)
Graficamente:
El parametro ρ representa la importancia relativa que el individuo le otorga al consumo futuro, o bien,el nivel de impaciencia de este.
c) ¿Que ocurrirıa con el ahorro si es que cambia la tasa de interes?4
Respuesta:Es necesario distinguir si es que el individuo es un deudor neto o acreedor neto.
• Deudor Neto: Ante alzas en la tasa de interes vemos que el deudor neto siempre aumentara suahorro, puesto que tanto el efecto sustitucion como el efecto ingreso van en la misma direccion.Si es que la tasa de interes baja, veremos que el ahorro disminuye.
• Acreedor Neto: Ante alzas o bajas en la tasa de interes veremos que el efecto final es ambiguodebido a que el efecto sustitucion y efecto ingreso van en direccion contraria. Dependera de lamagnitud de los efectos el efecto final.
4Considere el efecto ingreso y sustitucion ademas de si el individuo es acreedor o deudor.
19
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
−(1 + r)
C1
C2
Y1 + Y21+r
(1 + r)Y1 + Y2
Figura 1.5: Restriccion Presupuestaria
d) Plantee el problema de optimizacion al que se enfrenta el individuo, encuentre las condiciones deprimer orden y resuelva cual es el consumo optimo para cada perıodo.
Respuesta:Planteamos el lagrangiano:
L =C1−σ
1
1 − σ+
11 + ρ
· C1−σ2
1 − σ+ λ
(Y1 +
Y2
1 + r− C1 −
C2
1 + r
)Obtenemos las Condiciones de Primer Orden:
∂L∂C1
= C−σ1 − λ = 0 (1.24)
∂L∂C2
=1
1 + ρ· C−σ
2 − λ
1 + r= 0 (1.25)
∂L∂λ
= Y1 +Y2
1 + r− C1 −
C2
1 + r= 0 (1.26)
Despues de un poco de algebra llegamos a la Ecuacion de Euler o bien:
(C1
C2
)−σ
=1 + r
1 + ρ(1.27)
Despejando C1:
C1 = C2
(1 + ρ
1 + r
) 1σ
(1.28)
Reemplazando la ecuacion (1.28) en la ecuacion (1.26) tenemos:
20
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
C2
(1 + ρ
1 + r
) 1σ
+C2
1 + r= Y1 +
Y2
1 + r
C2
1 + r
((1 + ρ)
1σ + (1 + r)
1−σσ
(1 + r)1−σ
σ
)= Y1 +
Y2
1 + r
C∗2 =
((1 + r)
1σ
(1 + ρ)1σ + (1 + r)
1−σσ
)(Y1 +
Y2
1 + r
)
Reemplazando el consumo optimo del perıodo 2 en la ecuacion (1.27) podemos obtener el consumooptimo del perıodo 1:
C∗1 =
((1 + ρ)
1σ
(1 + ρ)1σ + (1 + r)
1−σσ
)(Y1 +
Y2
1 + r
)
e) Exprese, no calcule, el ahorro optimo del individuo. Exprese ademas el ingreso disponible para elsegundo perıodo.
Respuesta:Para hacer lo pedido en el enunciado basta reemplazar lo obtenido en la parte anterior:
S∗ = Y1 − C1
S∗ = Y1 −(
(1 + ρ)1σ
(1 + ρ)1σ + (1 + r)
1−σσ
)(Y1 +
Y2
1 + r
)
Vemos ademas que el ingreso disponible para el siguiente perıodo viene dado por:
Y d2 = Y2 + (1 + r)S∗
Y d2 = Y2 + (1 + r)
(Y1 −
((1 + ρ)
1σ
(1 + ρ)1σ + (1 + r)
1−σσ
)(Y1 +
Y2
1 + r
))
f) Obtenga la elasticidad intertemporal de sustitucion y analice su resultado. ¿Que representa esto?
Respuesta:Sabemos que la Elasticidad Intertemporal de Sustitucion (EIS) viene determinada por:
EIS = −∂log
(C1C2
)∂log(1 + r)
De la ecuacion de Euler sabemos que:
21
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
(C1
C2
)−σ
=1 + r
1 + ρ
C1
C2=(
1 + ρ
1 + r
) 1σ
log
(C1
C2
)=
1σlog(1 + ρ) − 1
σlog(1 + r)
∂log(
C1C2
)∂log(1 + r)
= − 1σ
EIS =1σ
La EIS representa la disposicion a sustituir consumo presente por futuro ante cambios en la tasade interes. Otra forma de verlo es como cambia porcentualmente la razon entre consumo presente yfuturo antes cambios porcentuales en la tasa de interes.
g) ¿Que ocurre si es que ahora existen restricciones de liquidez?. A su juicio, ¿Que pasarıa con el bienestardel individuo?
Respuesta:Al existir restricciones de liquidez se le esta impidiendo al individuo endeudarse o ahorrar. Estosin duda le quita posibilidades de poder suavizar su consumo, lo que implica a su vez perdidas debienestar. Salvo el caso en que el consumo optimo coincida con el ingreso de cada perıodo veremosque las restricciones de liquidez siempre empeoran el bienestar del individuo.
1.3.4. Consumo y restricciones de liquidez
Considere un consumidor que vive dos perıodos y cuyas preferencias son representadas por una funcionde utilidad U(C1, C2), donde C1 y C2 denotan consumo en el primer y segundo perıodo, respectivamente,y la utilidad no es necesariamente separable.
Los ingresos del consumidor en los perıodos 1 y 2 son Y1 y Y2, respectivamente, y no hay incertidumbre.
El consumidor puede endeudarse a una tasa rD y puede ahorrar a una tasa rA, con rA < rD.
1. Dibuje la restriccion presupuestaria del consumidor en el plano (C1, C2). Concluya que esta se componede dos rectas e identifique la pendiente de cada una de ellas.
Respuesta:Las pendientes son −(1 + rD) para la seccion que implica deuda, donde C1 > Y1 y −(1 + rA) parala seccion de la restriccion presupuestaria que implica ahorro en el primer periodo con C1 < Y1.Entonces, dependiendo de las preferencias del consumidor, y por ende de las formas de sus curvas deindiferencia, este tendra un consumo en la parte ahorradora o deudora.
El correspondiente grafico se puede ver en 1.6.
2. Determine condiciones necesarias y suficientes para que la trayectoria de consumo optima sea (Y1, Y2).Estas condiciones debieran ser dos desigualdades en terminos de la funcion u(C1, C2) y sus derivadasparciales evaluadas en (Y1, Y2) y ambas tasas de interes.
Respuesta:De las condiciones de primer orden se tiene que
UC1(C1, C2)UC2(C1, C2)
= 1 + r (1.29)
(1.30)
22
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.6: Restriccion Intertemporal con Diferentes Tasas de Interes
Y1, C1
Y2, C2
Y1 = C1
Y2 = C2
−(1 + rA)
−(1 + rD)
Sabemos que rA < rD, entonces
UC1(C1, C2)UC2(C1, C2)
≤ |1 + rD| (1.31)
UC1(C1, C2)UC2(C1, C2)
≥ |1 + rA| (1.32)
Evaluando en C1 = Y1 y C2 = Y2
UC1(Y1, Y2)UC2(Y1, Y2)
≤ |1 + rD| (1.33)
UC1(Y1, Y2)UC2(Y1, Y2)
≥ |1 + rA| (1.34)
3. ¿En que se traducen las condiciones de la parte anterior cuando u(C1, C2) es aditivamente separable?
Respuesta:Si la funcion es separable, las expresiones de la utilidad marginal con respecto a C1 y C2 dependeransolamente de el consumo en un perıodo. Esto es,
UC1(Y2)UC2(Y1)
≤ |1 + rD| (1.35)
UC1(Y2)UC2(Y1)
≥ |1 + rA| (1.36)
4. Considere las condiciones de desigualdad derivadas en la parte b) y suponga ahora que estas desigual-dades se cumplen estrictamente. Muestre graficamente que si Y1 aumenta en una cantidad pequena,∆Y1, entonces ∆C1/∆Y1 = 1 y ∆C2/∆Y1 = 0, lo que resulta mucho mas cercano a lo que predice lafuncion de consumo keynesiana que lo que se infiere de las teorıas racionales del consumo.
Respuesta:En este caso se debe cumplir estrıctamente la desigualdad y, ademas, debe haber un cambio marginal enY1. Esto significa que si nos movemos marginalmente en el consumo C1 o C2, se continuan cumpliendoambas condiciones, y por lo tanto aun se consume la dotacion.
23
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.7: Efecto de ∆ Y
Y1, C1
Y2, C2
∆Y
Y2 = C2
−(1 + rA)
−(1 + rD)
UC1(Y2)UC2(Y1)
< |1 + rD| (1.37)
UC1(Y2)UC2(Y1)
> |1 + rD| (1.38)
El grafico de la situacion se muestra en la figura 1.7. Por construccion hemos definido que el individuoconsumira donde ambas pendientes se cruzan, entonces, al aumentar solo Y1, C1 aumentara en lamisma proporcion. Dado que no hemos movido Y2, el aumento de Y1 no tendra efectos sobre C2.
5. Notando que la brecha entre rD y rA es mayor en paıses en desarrollo, discuta utilizando sus resultadosde las partes anteriores, si las restricciones de liquidez son mas relevantes en paıses en desarrollo o enpaıses industrializados.
Respuesta:Si la brecha entre rD y rA es muy grande y se cumple que rD > rA, sucede que es muy caro en-deudarse y el retorno del ahorro es muy bajo (relativamente). Al ser la brecha grande entre tasas,existe un conjunto mas grande de agentes que optan por consumir su dotacion y se utiliza menos elmercado financiero para suavizar su consumo lo cual genera bajos niveles de ahorro y deuda. En lospaises en desarrollo, es de esperar que tengan una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que lospaıses industrializados y, por ende, menores incentivos al ahorro. Este punto es vital para un paıs endesarrollo, ya existe una correlacion positiva entre ahorro y crecimiento.
6. Notando que el caso de restriccion total de liquidez (no hay acceso a credito) corresponde a rD = +∞,vuelva a responder las partes anteriores para este caso.
Respuesta:En este caso, los individuos pueden solo ahorrar, y graficamente se puede describir en la siguientefigura.
Vemos que el mercado financiero sera mas restrictivo y que se limitan aun mas las decisiones deconsumo intertemporal por cuanto los agentes suavizaran dicho consumo en menor medida, dadas suspreferencias.
24
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.8: Restriccion Intertemporal con rD = +∞
Y1, C1
Y2, C2
Y1 = C1
Y2 = C2
−(1 + rA)
−(1 + rD) = +∞
1.3.5. Ahorro y Crecimiento
Considere a un individuo que vive por tres perıodos: en el perıodo 1 su ingreso es Y1 = Y , y en el perıodo2 el ingreso crece a una tasa γ, es decir Y2 = Y (1 + γ). Finalmente, en el perıodo 3 se jubila y no tieneingresos, o sea Y3 = 0. La tasa de interes en la economıa es 0. Por otra parte su utilidad es tal que siemprequerra un consumo parejo durante toda su vida (es decir, C1 = C2 = C3).
1. Calcule el consumo y ahorro (S1, S2 y S3) en cada perıodo.
Respuesta:Primero, encontramos la restriccion presupuestaria,
3∑i=1
Yi = Y + (1 + γ)Y + 0 (1.39)
3∑i=1
Yi = (2 + γ)Y (1.40)
Como sabemos que C1 = C2 = C3, Ci sera
Ci =Y (2 + γ)
3(1.41)
(1.42)
Dado que ahorro es Si = Yi − Ci,
S1 = Y − Y (2 + γ)3
S2 = Y (1 + γ) − Y (2 + γ)3
S3 = −Y (2 + γ)3
25
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. Suponga que en esta economıa no hay crecimiento de la poblacion. Tampoco crecen los ingresos entregeneraciones. ¿Que pasa con el ahorro agregado en cada momento? Interprete su resultado.
Respuesta:Ya que no hay crecimiento de la poblacion ni del ingreso, el ahorro para cualquier perıodo sera lasuma de los ahorros para cada perıodo de la vida del individuo.
S1 + S2 + S3 = Y − Y (2 + γ)3
+ Y (1 + γ) − Y (2 + γ)3
− Y (2 + γ)3
= 0 (1.43)
Vemos que el ahorro agregado sera cero en cada momento.
3. Suponga que se introduce un sistema de pensiones donde se obliga a cada individuo joven y en edadmedia a ahorrar una magnitud A, y le devuelven 2A cuando viejo. ¿Que pasa con el ahorro de losindividuos? ¿Tiene alguna implicancia sobre el ahorro o la conducta de los individuos la introduccionde un sistema de seguridad social?
Respuesta:Lo relevante en este caso es ver que no ha cambiado el valor total de los recursos de las personas.Partamos comparando el ahorro obligatorio con el ahorro optimo que ya escoge el individuo en cadaetapa de su vida. Si se cumple que 2A < Y (2+γ)
3 , entonces se ahorra la diferencia y no cambia elconsumo ni ahorro. En el caso que 2A > Y (2+γ)
3 , tenemos que el consumo en el ultimo periodo esmayor al deseado y hay los agentes suavizan igual pero ahora los viejos le traspasan recursos a losjovenes. Dado que no hay restricciones al mercado de capitales, y el valor del ingreso permanente noha cambiado, el ahorro forzado no tiene ningun efecto sobre el consumo ni el ahorro agregado, solosobre quienes son los ahorradores.
4. Suponga que la poblacion crece a una tasa n. Calcule el ahorro agregado de la economıa (cuide deponderar adecuadamente el ahorro de cada generacion).
Respuesta:Hasta el momento, la poblacion no crecıa (apenas nacıa un nino, morıa un viejo) por lo que larestriccion presupuestaria del individuo aplicaba a la economıa entera. Ahora, el crecimiento es positivopor lo que mientras los individuos cumplan su restriccion presupestaria, el agregado va a depender deque sector (ahorrantes o deudores) son los que estan creciendo.
Si en el periodo t = 0 el ingreso era Y , entonces:∑St = (1 + n)tS1 + (1 + n)t−1S2 + S3(1 + n)t−3
∑St =
[(1 + n)2
[Y − Y (2 + γ)
3
]+ (1 + n)
[Y (1 + γ) − Y (2 + γ)
3
]− Y (2 + γ)
3
]El signo del ahorro depende de γ y n.
(1 + n)2[Y − Y (2 + γ)
3
]+ (1 + n)
[Y (1 + γ) − Y (2 + γ)
3
]− Y (2 + γ)
3> 0
(1 + n)2 [1 − γ] + (1 + n) [1 + 2γ] > 2 + γ
(1 + n) [(1 + n)(1 − γ) + (1 + 2γ)] > 2 + γ
3 + n(1 − γ) > 0
Vemos que mientras ambas sean tasas lo mas probable es que aumente el ahorro agregado cuandoaumenta el numero de personas que generan recursos (aun ası, dependera de los valores que adoptenn y γ). Suponemos que se cumple para el resto del ejercicio.
5. ¿Cual es la tasa de crecimiento del ingreso agregado en esta economıa? Muestre como varıa (sube obaja) el ahorro agregado con un aumento en la tasa de crecimiento de esta economıa. Interprete suresultado, y comparelo con el obtenido en b.
26
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Respuesta:El ingreso total de esta economıa, en el perıodo t, sera:
Yt = Y (1 + n)t + Y (1 + γ)(1 + n)t−1 = Y (2 + n+ γ)(1 + n)t−1 (1.44)
En el periodo
Yt+1 = Y (1 + n)t+1 + Y (1 + γ)(1 + n)t = Y (2 + n+ γ)(1 + n)t (1.45)
La tasa de crecimiento en esta economıa seria de:
∆Y =Y (2 + n+ γ)(1 + n)t − Y (2 + n+ γ)(1 + n)t−1
Y (2 + n+ γ)(1 + n)t−1= n
El ahorro tambien crece a la misma tasa.
1.3.6. Consumo en tres actos
Suponga que un individuo que vive tres perıodos (ninez, adultez y vejez, denotados por 1, 2, y 3,respectivamente) tiene la siguiente funcion de utilidad intertemporal:
U(c1, c2, c3) =c1−σ1
1 − σ+ β
c1−σ2
1 − σ+ β2 c
1−σ3
1 − σ(1.46)
donde β = 1/(1 + ρ), con 0 < ρ, σ < 1. La restriccion intertemporal del individuo es:
c1 +c2
1 + r+
c3(1 + r)2
= y1(1 − t1) +y2(1 − t2)
1 + r+y3(1 − t3)(1 + r)2
(1.47)
donde ti ∈ (0, 1) es un impuesto a los ingresos del perıodo i, ∀i = 1, 2, 3
1. Suponga que ti = t ∀i. Encuentre las Condiciones de Primer Orden del problema planteado.
Respuesta:
Segun lo visto en clases el problema general:
maxN∑
i=0
βiu(ci+1)
s.a
N∑i=0
yi+1(1 − ti+1)(1 + r)i
tiene una CPO conocida (llamada Ecuacion de Euler), como sigue:
u′(ct) = β(1 + r)u′(ct+1)
con u′ > 0;u′′ < 0. Por tanto para el caso particular de este problema tenemos que las CPO son:(c2c1
)σ
=(c3c2
)σ
= β(1 + r) (1.48)
27
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. suma que r = ρ. Encuentre una expresion para ci ∀i = 1, 2, 3. En otras palabras determine las
demandas marshallianas por consumo en cada perıodo. Le sera util recordar que∑N
i=0
(1
1+r
)i
=1+r
r
[(1+r)N+1−1(1+r)N+1
]Respuesta:
Si r = ρ, entonces β(1 + r) = 1. Luego, la condicion de primer orden (1.48), queda
c1 = c2 = c3 = c
Ademas sabemos que la sucesionN∑
i=0
(1
1 + r
)i
=1 + r
r
[(1 + r)N+1 − 1
(1 + r)N+1
]Por tanto, reemplazando la condicion de primer orden en la restriccion presupuestaria (1.47), y conun poco de algebra llegamos a que:
c1 = c2 = c3 = c =[r(1 + r)2
(1 + r)3 − 1
] [y1(1 − t) +
y2(1 − t)1 + r
+y3(1 − t)(1 + r)2
]3. El gobierno ha decidido que bajara los impuestos durante el perıodo 1, en la misma magnitud que los
subira en el perıodo 3. Suponga que esa magnitud es de tamano δ ∈ (0, 1), tal que t± δ ∈ (0, 1). Portanto, t1 = t−δ, t2 = t, y t3 = t+δ. Muestre las demandas marshallianas de consumo en cada perıodo.Compute la diferencia entre este resultado y el resultado de la pregunta anterior. ¿Cual cantidad esmayor?
Respuesta:
Computando la diferencia tenemos que:
cc − cb =[r(1 + r)2
(1 + r)3 − 1
]δ
[y1 −
y3(1 + r)2
]︸ ︷︷ ︸
D
La cantidad mayor dependera del valor de D.
4. Los ingresos en el ciclo de vida de este individuo son tal que:
y3 = 0 < y1 < y2
¿Como cambia su respuesta en la pregunta anterior? ¿Por que?
Respuesta:
Si y3 = 0, entonces
cc − cb =[r(1 + r)2
(1 + r)3 − 1
]δy1 > 0
Es decir el consumo de todos los perıodos aumenta en esa magnitud. Esto debido a que la disminucionde impuestos al principio de su vida (perıodo 1), es reconocida por el individuo como un aumento ensu ingreso disponible. El tema es que al no tener ingresos durante su vejez, nunca tuvo que pagar nadaa cambio del aumento de ingreso disponible que recibio en su ninez (impuesto ad-valorem t× 0 = 0),por tanto el ingreso permanente aumento. Esto trae consigo que el consumo en TODOS los perıodosaumentara. Esto se revertirıa en el caso que y3
(1+r)2 > y1, pues el aumento del impuesto en su vejezhara que en total el impuesto que debera pagar (en valor presente) sera mayor que la disminucionde impuestos que recibio en la ninez. Esto debido a que el impuesto se gravara sobre un ingreso basemayor.
28
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.3.7. Detalles de la optimizacion del consumo
Suponga que la funcion de utilidad de un agente puede representarse de la forma
U =n∑
i=0
βi · u(ci+1) (1.49)
Donde β = 11+ρ . Asuma que U(·)′ > 0 y que U(·)′′ < 0. Suponga que la restriccion presupuestaria que este
individuo enfrenta es de la forma
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)=
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1ci+1
)1. Plantee el problema de Maximizacion que enfrenta el individuo y traduscalo a un lagrangeano
Respuesta:
maxci
N∑i=0
βiu(ci+1) s.a.N∑
i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)=
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1ci+1
)Luego, el lagrangeano puede ser expresado como
L =N∑
i=0
βiu(ci+1) + λ
[N∑
i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)−
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1ci+1
)]
2. Resuelva el problema planteado en (3.2.6) y obtenga la ecuacion de Euler. Respuesta:
Obtenemos las CPOs
Lci
= βiu′(ci) − λ1
(1 + r)i= 0
βiu′(ci) = λ1
(1 + r)i(1.50)
Lci+1
= βi+1u′(ci+1) − λ1
(1 + r)i+1= 0
βi+1u′(ci+1) = λ1
(1 + r)i+1(1.51)
Dividiendo (1.50) por (1.51)
βi
βi+1
u′(ci)u′(ci+1)
=1λ
λ
(1 + r)i+1
(1 + r)i
1β
u′(ci)u′(ci+1)
= (1 + r)
u′(ci)u′(ci+1)
= β(1 + r)
3. Asumiendo que r = ρ, encuentre una expresion para ci en funcion de yi y otros parametros.
29
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Respuesta:Si r = ρ y recordando que β = 1
1+ρ , entonces
u′(ci)u′(ci+1)
=1
1 + ρ(1 + r)
u′(ci)u′(ci+1)
=111 + r
(1 + r)
u′(ci) = u′(ci+1) (1.52)
Como sabemos que la funcion de utilidad cumple que U ′(ci) > 0; ∀ci > 0, sabemos que para que secumpla (1.52)
ci = ci+1 ∀i ∈ [0, n− 1] (1.53)
Como sabemos que ci = ci+1 = c, podemos reemplazar en
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)=
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1ci+1
)N∑
i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)=
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1c
)N∑
i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)= c
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1
)
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)[ N∑i=0
(1
(1 + r)i+1
)]−1
= c = ci (1.54)
4. Suponga que el valor presente de los ingresos es igual a θ. Encuentre una expresion para ci en funcionde θ. Asuma que N → ∞ Respuesta:
En este caso, la respuesta es
N∑i=0
(1
(1 + r)i+1yi+1
)︸ ︷︷ ︸
θ
[N∑
i=0
(1
(1 + r)i+1
)]−1
︸ ︷︷ ︸r
= c = ci
rθ = c = ci (1.55)
5. Este modelo nos muestra, entre otras cosas, que los individuos estan mejor cuando se pueden endeudar.Asumiendo que los supuestos de este modelo se cumplen (enuncie cuales se cumplen) ¿Cual es laconsecuencia de este resultado sobre la estabilidad de la economıa? En particular, ¿Es una economıacon capacidad de contraer deudas una economıa mas o menos volatil?
Respuesta:Suponiendo que los individuos son agentes racionales y, ademas, que existe la profundidad suficientecomo para tener un mercado de capitales perfecto, la teorıa nos indica que:
Los individuos teoricamente deberıan poder suavizar de mejor manera su consumo, absorbiendo shocksahorrando o des-ahorrando segun sea la direccion del shock.
Esto hace que, a pesar de que la economıa presente vaivenes, el nivel de consumo se mantendra rela-tivamente estable, haciendo que la economıa se vuelva menos volatil
30
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.9: Restriccion Presupuestaria Intertemporal
C2
C1
V (1 + r)
Y2
VY1
Pendiente = −(1 + r)
1.3.8. Consumo en dos perıodos
Un individuo vive solo dos perıodos y luego muere. Ante esta situacion, el le pide a ud. que le diga comooptimizar su consumo. El individuo tiene una funcion de utilidad de la forma:
U(C1, C2) =C1−σ
1
1 − σ+
11 + ρ
C1−σ2
1 − σ(1.56)
El individuo tiene un ingreso Y1 en el perıodo 1 e Y2 en el perıodo dos.Ademas, no tiene restriccionesde liquidez, por lo que puede ahorrar o desahorrar, y no dejara ningun tipo de herencia despues de morir.
1. Obtenga la restriccion presupuestaria. Grafique y explique que pasa con el ahorro ante un cambio enla tasa de interes. Considere el efecto sustitucion y el efecto ingreso.
Respuesta:
Y1 = C1 + S (1.57)C2 = S(1 + r) + Y2 (1.58)
Despejando S de (2) y reemplazando en (3)
C2 = (1 + r)(Y1 − C1) + Y2
C1 +C2
1 + r= Y1 +
Y2
1 + r
La reaccion ante un aumento en r provoca dos efectos:
Efecto Sustitucion: Si la tasa de interes sube, el consumo presente se hace relativamente mascaro que el consumo futuro. Esto provoca una disminucion de C1, es decir, un aumento en S,sin inportar si el individuo es deudor o ahorrador.
Efecto Ingreso: El efecto ingreso depende si el individuo es deudor o ahorrador. Si es deudor,un aumento en la tasa de interes lo lleva a aumentar el ahorro, pues el aumento de r hace mascaro endeudarse. Si es ahorrador, el efecto ingreso ira en sentido opuesto; El individuo puedeahorrar menos ahora, pues el retorno del ahorro ha aumentado.
31
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. Plantee el problema de optimizacion al que se enfrenta el individuo, encuentre las condiciones deprimer orden y resuelva cual es el consumo optimo para cada perıodo.
Respuesta:Planteamos la optimizacion,
L :C1−σ
1
1 − σ+
11 + ρ
C1−σ2
1 − σ+ λ
[Y1 +
Y2
1 + r− C1 −
Y2
1 + r
](1.59)
Obtenemos las CPOs,
∂L
∂C1=
11 + σ
(1 + σ)C−σ1 − λ = 0 (1.60)
∂L
∂C2=
11 + ρ
11 + σ
(1 + σ)C−σ2 − 1
1 + rλ = 0 (1.61)
de (1.60) y (1.61),
C−σ1 = λ (1.62)
C−σ2 =
1 + ρ
1 + rλ (1.63)
de (1.62) y (1.63),
(C1
C2
)σ
=1 + ρ
1 + r(1.64)
C1 =(
1 + ρ
1 + r
) 1σ
C2 (1.65)
Reemplazando (1.65) en la restriccion,
C∗2 =
(Y1 +
Y2
1 + r
)((1 + ρ
1 + r
) 1σ
− 11 + r
)(1.66)
C∗1 =
(Y1 +
Y2
1 + r
)(1 + ρ)
1σ
[(1 + r)
1−σσ + (1 + ρ)
1σ
](1.67)
3. Obtenga la elasticidad intertemporal de sustitucion (EIS).
EIS = −∂ ln(C1/C2)∂ ln(1 + r)
Tip: Utilize las CPOs...
Respuesta:De las CPOs obtuvimos que, (
C1
C2
)σ
=(
1 + ρ
1 + r
)Aplicamos logaritmo,
ln(C1
C2
)σ
= ln(
1 + ρ
1 + r
)
32
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.10: Restriccion de Liquidez 1
C2
C∗2
C∗1 C1
V (1 + r)
Y2
VY1
U
U ′
Pendiente = −(1 + r)
σ ln(C1
C2
)= ln(1 + ρ) − ln (1 + r)
ln(C1
C2
)=
ln(1 + ρ)σ
− ln 1 + r
σ
Derivamos con respecto a ln(1 + r),∂ ln (C1/C2)∂ ln(1 + r)
= − 1σ
4. ¿Que sucede si el individuo tiene restricciones de liquidez? Ilustre graficamente y explique.Respuesta:
El efecto de esta restriccion depende si el individuo es ahorrador o deudor neto. Si es ahorrador, latrampa de liquidez no tendra efectos sobre el comportamiento del individuo (restriccion inactiva). Encambio, si el individuo es deudor neto, la restriccion es activa y esto cambia la eleccion de consumodel individuo.
Si el individuo desea endeudarse, las restricciones de liquidez no se lo permitiran. Esto lo obligaran aconsumir solo su Y1, disminuyendo ası su nivel de utilidad.
1.3.9. Restricciones de liquidez, seguridad social y bienestar
En este problema estudiaremos como las restricciones de liquidez y la existencia de sistemas de seguri-dad social afectan el bienestar de los individuos. Para ello, supondremos una economıa compuesta por tresclases de individuos: jovenes, desde el nacimiento hasta los 20 anos; adultos, desde los 21 hasta los 60, yviejos, desde los 61 hasta los 70, edad a la cual mueren. Cada ano nace un nuevo joven y muere un viejo.De esta forma, en la economıa hay 70 individuos: 20 jovenes, 40 adultos y 10 viejos.
Los individuos reciben anualmente ingresos iguales a YA cuando son adultos, mientras que cuando sonjovenes reciben YJ = 1
4YA al ano, y en la vejez su ingreso es igual a YV = 15YA anuales.
La funcion de utilidad de los habitantes de esta economıa viene dada por:
33
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.11: Restriccion de Liquidez 2
C2
C1
V (1 + r)
Y2
VY1
U
Pendiente = −(1 + r)
C∗2
C∗1
U =70∑
t=1
logCt
Donde Ct representa el consumo en cada perıodo. Considere para todo el problema que r = ρ = 0 (ρ esla tasa de descuento).
a. Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de optimizacionque afronta el individuo, incorporando la restriccion presupuestaria (esta ultima no es necesario de-ducirla) y obtenga el consumo optimo Ct para cada perıodo. Derive expresiones para el ahorro st alo largo de la vida del individuo y para el ahorro agregado St.
Respuesta:El individuo enfrenta distintos ingresos a lo largo de su vida: durante los primeros veinte anos enfrenta1/4Y (con Y = YA). Los siguientes cuarenta anos enfrenta Y , y en los ultimos diez anos de su vidaobtiene 1/5Y . Por principio de no saciedad, el individuo gasta todo su ingreso en consumo, por lo quetenemos que la restriccion puede plantearse como:
204Y + 40Y +
105Y =
70∑t=1
Ct
5Y + 40Y + 2Y =70∑
t=1
Ct
47Y =70∑
t=1
Ct
Planteamos el lagrangeano para resolver el problema de maximizacion:
L :70∑
t=1
logCt + λ
(47Y −
70∑t=1
Ct
)
Resolviendo las CPO tenemos:
34
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
∂L∂Ci
=1Ci
− λ = 0
∂L∂Cj
=1Cj
− λ = 0
⇒ Cj
Ci= 1
⇒ Cj = Ci
Esto, para cualquier periodo. Reemplazando en la restriccion tenemos:
47Y = 70Ct
⇒ Ct =47Y70
Entonces, el ahorro para cada periodo de juventud queda definido como:
sJ = YJ − Ct =Y
4− 47Y
70=
−59Y140
Para cada periodo de adultez:
sA = YA − Ct = Y − 47Y70
=23Y70
Y para la “viejetud”:
sV = YV − Ct =Y
5− 47Y
70=
−33Y70
En el agregado, tenemos:
St =−59Y140
· 20 +23Y70
· 40 − 33Y70
· 10 = 0
b. Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de formatal que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimizacion que enfrenta el individuo en estecaso y calcule la trayectoria optima del consumo Ct, el ahorro st y el ahorro agregado de la economıaSt. ¿Como se compara con el calculado en la parte a)?
Respuesta:Dado que los individuos no pueden endeudarse en su juventud, el consumo durante ese periodo dela vida sera igual al ingreso que reciban en cada momento t. Por lo tanto, en cada ano de juventudsu consumo sera igual a: Ct = YJ = Y/4 con t = 1 . . . 20. En el resto de su vida, el individuointentara suavizar su consumo, de la forma:
40Y +105Y =
70∑t=21
Ct
42Y =70∑
t=21
Ct
Ci = Cj
42Y = 50Ct
⇒ Ct =21Y25
35
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Por lo que el ahorro durante la adultez sera:
sA = YA − Ct = Y − 21Y25
=4Y25
Y en la vejez:
sV = YV − Ct =Y
5− 21Y
25=
−16Y25
El ahorro agregado es entonces:
St = 0 · 20 +4Y25
· 40 − 16Y25
· 10 = 0
El ahorro agregado se mantiene en cero, pero ahora el ahorro en la adultez es menor que en el casoen que no tenıa restricciones crediticias durante la juventud. Esto ocurre, ya que no puede suavizarconsumo durante sus anos juveniles.
c. Calcule la utilidad de los individuos en los casos a) y b). ¿En que caso es mayor la utilidad? Expliquesu resultado5.
Respuesta:Para el primer caso, la utilidad queda definida de la forma:
U =70∑
t=1
logCt = 70 · log(
47Y70
)En el segundo caso, tenemos:
U =20∑
t=1
logCJ +70∑
t=21
logCt = 20 · log(Y
4
)+ 40 · log
(21Y25
)Desde ya vemos que para cualquier valor de Y , el primer caso entrega una mayor utilidad (hagan laprueba si es que no nos creen). Esto ocurre porque en el segundo caso, el individuo se enfrenta a unarestriccion intertemporal mas acotada, al no tener posibilidades de endeudamiento en su juventud.Esto lo limita en cuanto al nivel de consumo que el quisiera conseguir para ese periodo de su vida, yaque es mayor a lo que puede acceder con el ingreso que recibe en ese momento.
d. Discuta que sucede con el ahorro agregado en caso que la poblacion crezca a una tasa de n% anual6
cuando no hay restriccion de liquidez y cuando sı la hay. ¿Estan mejor los individuos cuando laeconomıa tiene mayor capacidad de ahorro?
Respuesta:Hasta el momento, la poblacion no crecıa (apenas nacıa un nino, morıa un viejo). Ahora, el crec-imiento es distinto de cero y positivo. Eso quiere decir que de un ano a otro, el endeudamiento va acrecer en un n%, por lo que el ahorro agregado va a ser negativo. Esto no ocurre con restriccionescrediticias, ya que los jovenes no se podrıan endeudar. De todas maneras, individualmente ocurre quelas personas estan mejor sin las restricciones crediticias, ya que pueden alcanzar un mayor nivel deutilidad.
5Ayuda: Puede serle util recordar que en el caso de funciones concavas se cumple la relacion f(αx + (1 − α)y) > αf(x) +(1 − α)f(y).
6Es decir, si en el ano t nacen Pt personas, entonces en t + 1 nacen Pt+1 = (1 + n)Pt.
36
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
e. Suponga ahora que los individuos no tienen restricciones de liquidez, pero se ven forzados a pagar unimpuesto de suma alzada τ = 1
6YA durante su juventud y adultez que se les devuelve ıntegramente enforma de transferencia al llegar a la vejez. Calcule nuevamente las trayectorias de ahorro y consumo.
¿Tiene algun efecto sobre la conducta del individuo este mecanismo de seguridad social? ¿En que casosse podrıa justificar la existencia de mecanismos de seguridad social?
Respuesta:Reconstruyendo la restriccion presupuestaria para este caso, tenemos que, para el periodo de juventud,el ingreso sera: Y/4 − Y/6 = Y/12. Para la adultez, tenemos: Y − Y/6 = 5Y/6. Por ultimo, para elperiodo de los achaques tenemos que cada periodo recibira Y/5, pero ademas, les sera devuelto todoese impuesto pagado durante su vida, que serıa igual a 60 · Y/6 = 10Y . Por lo tanto, la restriccionintertemporal del individuo queda descrita como:
2012Y + 40Y · 5
6+
105Y + 10Y =
70∑t=1
Ct
53Y +
1003Y + 2Y + 10Y = 70Ct
35Y + 12Y = 70Ct
⇒ Ct =47Y70
El consumo optimo no cambia. El ahorro durante cada periodo de la vida es como sigue:
sJ = YJ − Ct =Y
12− 47Y
70=
−247Y420
sA = YA − Ct =5Y6
− 47Y70
=17Y105
Y el agregado sigue sumando cero.
Como vemos, el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones optimas de consumo de el individ-uo. Este mecanismo de seguridad social puede servir para una sociedad con muchos individuos pocoprevisores, que no ahorran para el futuro y se inclinan fuertemente por el consumo actual.
1.3.10. Seguridad social
Considere una economıa donde todos los agentes se comportan de acuerdo a la teorıa del ciclo de vida odel ingreso permanente. Suponga que el gobierno obliga a todos a ahorrar una fraccion de su ingreso (que sellama cotizacion previsional). Cual cree usted que sera el efecto sobre el ahorro de la economıa (comparandocon el caso donde a nadie se le exige ahorrar) en las siguientes situaciones:
a. Todos los agentes tienen pleno acceso al mercado financiero y puede pedir prestado o ahorrar todo loque quieran a una tasa de interes dada (igual a la del retorno del fondo de pensiones).
Respuesta:Si los individuos se comportan de acuerdo con la teorıa del ciclo de vida, no hay restricciones deliquidez y la tasa de retorno es la misma, entonces la implementacion de un sistema de seguridadsocial no tiene ningun efecto sobre el ahorro. Los individuos ya estarıan ahorrando lo necesario comopara mantener el nivel de ingreso constante durante su vida.
b. Hay una fraccion importante de agentes (jovenes), que no pueden pedir prestado todo lo que quisieran.
Respuesta:Si existen restricciones de liquidez, los individuos que desean “desahorrar” no pueden hacerlo, por lotanto, el ahorro aumenta. Si a esto le sumamos la obligacion de ahorrar una fraccion del ingreso,aquellos que ahorran estaran indiferentes (en la medida que el ahorro forzoso no sea excesivo) y losque no ahorran se veran forzados a ahorrar. El efecto final es un aumento aun mayor del ahorro.
37
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c. En el caso anterior, como podrıa variar su respuesta si los padres se preocupan por el bienestar de sushijos y les pueden transferir recursos mientras estan vivos (o sea, pueden transferir no solo a travesde la posible herencia).
Respuesta:Si los padres hacen transferencias a sus hijos, la restriccion de liquidez desaparece. Ahora los jovenespueden suavizar su consumo, por lo que la obligacion a ahorrar no tendrıa efecto sobre el ahorro.
d. Considere ahora el siguiente supuesto sobre el comportamiento de las personas: cuando llegan a laedad de jubilar y dejan de trabajar, ellos saben que el gobierno no los dejara morirse de hambre y lesproveera transferencias en caso de no tener ingresos. Suponga en este contexto que el gobierno obliga ala gente a ahorrar y les entrega la plata solo cuando jubilan. ¿Que cree usted que pasa con el ahorro?.¿Le parece esta una racionalizacion util para justificar la existencia de un sistema de pensiones?
Respuesta:En este escenario, los agentes no tienen incentivos para ahorrar; la conducta optima en este casoes no ahorrar. Luego, la implementacion de un sistema de seguridad social provocarıa un aumentoen el ahorro. Este argumento es bastante razonable, pues un sistema de seguridad social evita que lasociedad se haga cargo de conductas indeseables.
1.3.11. Consumo y restricciones de liquidez
Considere un consumidor que vive dos perıodos y cuyas preferencias son representadas por una funcionde utilidad U(C1, C2), donde C1 y C2 denotan consumo en el primer y segundo perıodo, respectivamente,y la utilidad no es necesariamente separable.
Los ingresos del consumidor en los perıodos 1 y 2 son Y1 y Y2, respectivamente, y no hay incertidumbre.
El consumidor puede endeudarse a una tasa rD y puede ahorrar a una tasa rA, con rA < rD.
a) Dibuje la restriccion presupuestaria del consumidor en el plano(C1, C2). Concluya que esta se compone de dos rectas e identifique la pendiente de cada una de ellas.
Respuesta:Las pendientes son −(1 + rD) para la seccion que implica deuda, donde C1 > Y1 y −(1 + rA) parala seccion de la restriccion presupuestaria que implica ahorro en el primer periodo con C1 < Y1.Entonces, dependiendo de las preferencias del consumidor, y por ende de las formas de sus curvas deindiferencia, este tendra un consumo en la parte ahorradora o deudora.
Graficamente tenemos la figura 1.12.
b) Determine condiciones necesarias y suficientes para que la trayectoria de consumo optima sea (Y1, Y2).Estas condiciones debieran ser dos desigualdades en terminos de la funcion u(C1, C2) y sus derivadasparciales evaluadas en (Y1, Y2) y ambas tasas de interes.
Respuesta:
De las condiciones de primer orden se tiene que
UC1(C1, C2)UC2(C1, C2)
= 1 + r (1.68)
(1.69)
Sabemos que rA < rD, entonces
UC1(C1, C2)UC2(C1, C2)
≤ |1 + rD| (1.70)
UC1(C1, C2)UC2(C1, C2)
≥ |1 + rA| (1.71)
38
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.12: Restriccion Intertemporal con Diferentes Tasas de Interes
Y1, C1
Y2, C2
Y1 = C1
Y2 = C2
−(1 + rA)
−(1 + rD)
Evaluando en C1 = Y1 y C2 = Y2
UC1(Y1, Y2)UC2(Y1, Y2)
≤ |1 + rD| (1.72)
UC1(Y1, Y2)UC2(Y1, Y2)
≥ |1 + rA| (1.73)
c) ¿En que se traducen las condiciones de la parte anterior cuando u(C1, C2) es aditivamente separable?
Respuesta:Si la funcion es separable, las expresiones de la utilidad marginal con respecto a C1 y C2 dependeransolamente de el consumo en un perıodo. Esto es,
UC1(Y2)UC2(Y1)
≤ |1 + rD| (1.74)
UC1(Y2)UC2(Y1)
≥ |1 + rA| (1.75)
d) Considere las condiciones de desigualdad derivadas en la parte 1.3.11 y suponga ahora que estasdesigualdades se cumplen estrictamente. Muestre graficamente que si Y1 aumenta en una cantidadpequena, ∆Y1, entonces ∆C1/∆Y1 = 1 y ∆C2/∆Y1 = 0, lo que resulta mucho mas cercano a lo quepredice la funcion de consumo keynesiana que lo que se infiere de las teorıas racionales del consumo.
Respuesta:En este caso se debe cumplir estrıctamente la desigualdad y, ademas, debe haber un cambio marginal enY1. Esto significa que si nos movemos marginalmente en el consumo C1 o C2, se continuan cumpliendoambas condiciones, y por lo tanto aun se consume la dotacion.
UC1(Y2)UC2(Y1)
< |1 + rD| (1.76)
UC1(Y2)UC2(Y1)
> |1 + rD| (1.77)
39
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.13: Efecto de ∆ Y
Y1, C1
Y2, C2
∆Y
Y2 = C2
−(1 + rA)
−(1 + rD)
La figura 1.13 muestra el problema en cuestion. Por construccion hemos definido que el individuoconsumira donde ambas pendientes se cruzan, entonces, al aumentar solo Y1, C1 aumentara en lamisma proporcion. Dado que no hemos movido Y2, el aumento de Y1 no tendra efectos sobre C2.
e) Notando que la brecha entre rD y rA es mayor en paıses en desarrollo, discuta utilizando sus resultadosde las partes anteriores, si las restricciones de liquidez son mas relevantes en paıses en desarrollo o enpaıses industrializados.
Respuesta:Si la brecha entre rD y rA es muy grande y se cumple que rD > rA, sucede que es muy caro en-deudarse y el retorno del ahorro es muy bajo (relativamente). Al ser la brecha grande entre tasas,existe un conjunto mas grande de agentes que optan por consumir su dotacion y se utiliza menos elmercado financiero para suavizar su consumo lo cual genera bajos niveles de ahorro y deuda. En lospaises en desarrollo, es de esperar que tengan una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que lospaıses industrializados y, por ende, menores incentivos al ahorro. Este punto es vital para un paıs endesarrollo, ya existe una correlacion positiva entre ahorro y crecimiento.
f) Notando que el caso de restriccion total de liquidez (no hay acceso a credito) corresponde a rD = +∞,vuelva a responder las partes anteriores para este caso.
Respuesta:En este caso, los individuos pueden solo ahorrar, y graficamente se puede describir en la figura 1.14.
Vemos que el mercado financiero sera mas restrictivo y que se limitan aun mas las decisiones deconsumo intertemporal por cuanto los agentes suavizaran dicho consumo en menor medida, dadas suspreferencias.
1.3.12. Franco, Milton y mucha diversion
Suponga un agente representativo que recibe en cada perıodo ingresos laborales Yt, e ingresos financierosque vienen de las tasas de retorno r de los activos At que posee al principio del perıodo t (la tasa de intereses constante). Suponga que el agente tiene una funcion de utilidad del tipo
U =N∑
i=0
β · U(Ct+i)
40
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.14: Restriccion Intertemporal con rD = +∞
Y1, C1
Y2, C2
Y1 = C1
Y2 = C2
−(1 + rA)
−(1 + rD) = +∞
a) Escriba la restriccion del individuo en el perıodo t y consolıdela con la del perıodo t+ 1.
Respuesta:Luego dado que el ingreso total debe ser igual al consumo mas el pago de impuestos mas la acumulacionde activos, tenemos que la restriccion presupuestaria para cada momento t sera:
yl,t + rAt = Ct +At+1 −At (1)
Reescribiendo la ecuacion tenemos:
At+1 = yl,t +At(1 + r) − Ct (2)
Adelantando en un periodo la expresion (2), tenemos la restriccion del segundo perıodo, pues (2) secumple para todo t:
Con lo que tenemos la relacion entre los dos perıodos
41
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
b) Generalice para mostrar la restriccion presupuestaria para N perıodos y luego generalice para mostrarla restriccion presupuestaria para ∞ perıodos.
Respuesta:Luego para N periodos, reemplazando recursivamente tenemos:
(1 + r)At =N∑
i=0
Ct+i − yl,t+i
(1 + r)i+At+N+1
(1 + r)N
Luego si imponemos que el agente solo piensa en el y no deja nada para despues de su muerte (principiode la no saciacion),
At+N+1
(1 + r)N= 0
Nota: Otra posibilidad es asumir que N es suficientemente grande como para que este valor converjaa 0, es decir
limN→∞At+N+1
(1 + r)N= 0
A este tipo de modelos se le llama de horizonte infinito
Por lo que la restriccion presupuestarıa intertemporal del agente representativo queda de la siguienteforma:
(1 + r)At =N∑
i=0
Ct+i − yl,t+i
(1 + r)i
lo que es igual a:N∑
i=0
Ct+i
(1 + r)i=
N∑i=0
yl,t+i
(1 + r)i+ (1 + r)At
c) Suponga que el individuo desea planificar una trayectoria de consumo plana o constante. ¿Quesupuesto se requiere para poder asumir esto?7
Respuesta:Se requiere que el factor de descuento intertemporal sea igual a la tasa de interes (ρ = r)
d) Calcule el nivel de consumo por perıodo para un individuo que vive N perıodos y la tasa de interes esigual al factor de descuento intertemporal.
Respuesta:Si suponemos un mismo nivel de consumo C para todo periodo t (supuesto de suavizacion del con-sumo), tenemos que:
(1 + r)At +N∑
i=0
yl,t+i
(1 + r)i=
N∑i=0
Ct+i
(1 + r)i
(1 + r)At +N∑
i=0
yl,t+i
(1 + r)i= C
[1 − 1
(1+r)N+1
1 − 11+r
]
C =
((1 + r)At +
N∑i=0
yl,t+i
(1 + r)i
)(r
1 + r
)[(1 + r)N+1
(1 + r)N+1 − 1
]7Puede suponer, para esta pregunta, una funcion de utilidad logarıtmica.
42
1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO Macroeconomıa I - Primavera 2008
e) Interprete el resultado del punto anterior, distinguiendo entre el nivel de consumo de agentes dehorizonte infinito y finito.
Respuesta:En este modelo de tiempo finito, la persona se consume un poco mas que la anualidad de su riqueza,ya que tiene que depreciar el capital con el objeto de llegar al final de su vida sin recursos que no uso.
Lo que nos dice el modelo de horizonte infinito es que un individuo que distribuye su consumo a lolargo de su vida (y tiene una vida suficientemente larga), termina consumiendo la anualidad de suriqueza, la que corresponde a la tasas de interes que rinde la totalidad de su riqueza.
f) Relacione sus resultados con las dos teorıas canonicas de consumo de Franco Modigliani y MiltonFriedman. ¿Cuales son las diferencias entre las dos teorıas?
Respuesta:Los resultados se relacionan en que el individuo planifica el consumo de su vida de acuerdo a todoslos ingresos proyectados que tendra en ella (suaviza consumo). La diferencia entre estas dos teorıases que una se enfoca en el ciclo del agente y la otra en la diferencia entre los ingresos que eset recibe(permanentes o transitorios).
43
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.4. Matematicos de Inversion
1.4.1. Q de Tobin: Version “Plain vanilla”
Suponga firmas que tienen la siguiente estructura de ajuste de costos:
(It − δKt)2
2
Se sabe ademas que la funcion de produccion es a siguiente:
f(K,L) = Kα + Lβ
a) Determine entre que valores deben fluctuar α y β. Muestre ademas, que el invertir mas hara que loscostos crezcan a tasas crecientes (Suponga It/δ > Kt). A que corresponde δ?.
Respuesta:Como sabemos, la funcion de produccion debe tener retornos decrecientes a escala para que existasolucion. Es por esto que 0 < α, β < 1 (no puede existir un α o β negativo ya que implicarıa productomarginal negativo para cualquier nivel de K o L). Ademas debe cumplirse que α + β < 1, lo queimplican retornos decrecientes a escala.
Con respecto a la segunda parte del ejercicio, basta con demostrar que los costos de ajuste son convexos.Para esto derivamos la ecuacion de los costos con respecto a la unica variable que puede modificarse(La variable Kt esta determinada por lo tanto cuenta como un componente fijo) la cual es la deinversion. Mas detalladamente:
∂C
∂It= It − δ ·Kt
Como habıa sido definido en el enunciado, It/δ > Kt, por lo que se cumple que ∂C∂It
> 0.
Ahora debemos ver el comportamiento de la segunda derivada:
∂2C
∂I2t
= 1
Es facil ver que la segunda derivada tiene signo positivo. Entonces, queda demostrado que los costosde ajuste son convexos o como lo decıa el enunciado, el invertir mas hara que los costos crezcan atasas crecientes.
Por otro lado, el parametro δ corresponde a la tasa de depreciacion, la cual debe estar en el rango0 ≤ δ ≤ 1.
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento del valor q y del capital, interprete y grafique detalladamenteel diagrama de fases. Para simplificar, normalice el precio a 1.
Respuesta:Primero debemos plantear la ecuacion de maximizacion de beneficios de la firma:
Max∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [Kα
s + Lβs − ws · Ls − Is −
(Is − δKs)2
2
]s.a. Ks+1 −Ks = Is − δKs
44
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Armando el Lagrangiano:
L =∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [Kα
s + Lβs − ws · Ls − Is −
(Is − δKs)2
2+ qs(Is − δKs −Ks+1 +Ks)
]Ahora derivamos con respecto a las variables de decision:
∂L∂Is
= [−1 − (Is − δ ·Ks) + qs] ·(
11 + r
)s
= 0
qs − 1 = Is − δ ·Ks = Ks+1 −Ks
K = qs − 1
Esta ecuacion corresponde a la del movimiento del capital.
∂L∂Ks+1
= (−qs) ·(
11 + r
)s
+(
11 + r
)s+1
·[α ·Kα−1
s+1 − (Is+1 − δ ·Ks+1) · −δ − qs+1 · δ + qs+1
]= 0
qs + qs · r =[α ·Kα−1
s+1 + δ(Is+1 − δ ·Ks+1) − qs+1 · δ + qs+1
]
De la ecuacion del movimiento de capital sabemos que qs−1 = Is−δ ·Ks ası que podemos adelantarloun periodo y obtener que qs+1−1 = Is+1−δ ·Ks+1. Reemplazando este termino en la ultima ecuacion:
qs + qs · r =[α ·Kα−1
s+1 + δ(qs+1 − 1) − qs+1 · δ + qs+1
]qs + qs · r =
[α ·Kα−1
s+1 − δ + qs+1
]qs+1 − qs = δ + qs · r − α ·Kα−1
s+1
q = δ + qs · r − α ·Kα−1s+1
Esta es la ecuacion de movimiento del valor q. El diagrama de fases es el de la figura 1.15.
c) Imagine que se anuncia que el parametro α crecera a α′ (con α′ > α) el proximo periodo. Suponga quea pesar del crecimiento del parametro α se siguen manteniendo las condiciones necesarias para desar-rollar el problema. Interprete este incremento y grafique detalladamente la dinamica en el diagramade fases.
Respuesta:En la figura 1.16 vemos que el incremento en el valor del parametro α es equivalente a un aumentode la productividad del capital. Por lo tanto, al ser anunciado, veremos que existe un salto inicialen el valor de la q debido a un aumento en el valor de las empresas. Posteriormente las firmasiran ajustando su nivel de capital (aun cuando la medida no se haya concretado) con el objeto deir gradualmente hacia el nuevo equilibrio y no de una vez (es importante mencionar que el ajustegradual de capital que comienza antes de que la medida se concrete no implica que se haya llegadoal brazo estable del nuevo equilibrio, se esta “en camino”hacie el). Esto debido a los costos de ajusteconvexos, vale decir, los costos de ajuste crecen a tasas crecientes con respecto a la inversion por loque las firmas preferiran hacer ajustes graduales de capital.
45
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.15: Diagrama de Fase
Q
K
1 K = 0
Q = 0
Figura 1.16: Diagrama de Fase
q
K
1 K = 0
q = 0 q′ = 0
46
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.17: Diagrama de Fase
q
K
1 K = 0
q = 0 q′ = 0
d) Imagine ahora que cuando se debıa concretar el aumento de α, este se mantiene en su nivel inicial.Grafique la dinamica de esta situacion mediante un diagrama de fases.
Respuesta:
e) Suponga que ahora la autoridad necesita dinero para financiar cursos de LATEXpara sus trabajadorespero quiere ademas de eso mantener un presupuesto equilibrado. Para esto decide cobrar sorpresiva-mente un impuesto µ > 0 a los dividendos de las firmas, de manera de costear los cursos. Muestreel cambio que ocurrirıa en las ecuaciones de movimiento al cobrar el impuesto. Ademas, grafique enel diagrama de fases la dinamica de esta situacion (Considere esta situacion independiente de lasanteriores, c) y d)).
Respuesta:Vemos que un impuesto a los dividendos hace que lo que se destinaba a re-invertir ahora debera tributary por lo tanto es equivalente a un impuesto a la inversion. Por lo tanto, ahora el precio de invertirsera de (1 + µ).
Debemos plantear la ecuacion de maximizacion de beneficios nuevamente, incluyendo el impuesto ala inversion.
L =∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [Kα
s + Lβs − ws · Ls − (1 + µ) · Is −
(Is − δKs)2
2+ qs(Is − δKs −Ks+1 +Ks)
]
Ahora derivamos el Lagrangeano con respecto a las variables de decision que nos generan las ecuacionesde movimiento.
47
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.18: Diagrama de Fase
q
K
1 K = 0
q = 0q′ = 0
K ′ = 0(1 + µ)
∂L∂Is
=(
11 + r
)s
· [−(1 + µ) − (Is − δ ·Ks) + qs] = 0
qs − (1 − t) = K
Vemos que la ecuacion de movimiento de capital si cambia debido al impuesto.
Vemos en la figura 1.18 que tambien la ecuacion de movimiento de la q ha cambiado por el impuesto.
1.4.2. Tobin y Bernanke
Una vez realizada la maximizacion, el modelo de la q de Tobin con una funcion de costos de ajustecuadratica (Is − δKs)2 se reduce a dos ecuaciones:
48
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.19: Diagrama Fase q-Tobin: Ks = 0
1
q
K
Ks = 0
Ks+1 −Ks =qs − 1
2(1.78)
qs+1 − qs = qsr −As+1FK + δ (1.79)
a) Explique verbalmente de donde salen las dos ecuaciones, el orıgen del numero 2 en el denominadorde la ecuacion (2.34), el significado que juega el parametro q y su rol en la maximizacion de la cualprovienen las ecuaciones.Respuesta:
Las ecuaciones surgen de la maximizacion de utilidades de una empresa con coste de ajuste cuadratico,sujeto a una ley de movimiento de capital comun. El numero 2 surge por los costes de ajuste, quehacen que q se desvie temporalmente. El parametro q representa el beneficio marginal de la inversiony mientras mayor es, mayor la inversion neta.
b) Use la ecuacion (2.34) para representar en en el plano K,q (donde q es la vertical y K es la hor-izontal), el conjunto de puntos para los cuales K se encuentra estacionario y describa las leyes demovimiento de K para los demas puntos del plano.
Respuesta:K se va a encontrar en estado estacionario cuando Ks = Ks+1 −Ks = 0. Forzando esta restriccionen la ecuacion (2.34), obtenemos que el valor de q de equilibrio que hace que el capital no varıe en eltiempo sea 1. Sobre esta recta, q > 1, lo que significa que el valor presente del proyecto es mayor queel coste de capital. Esto significa que invertir es rentable y por lo tanto Ks > 0. Bajo la recta q = 1,el valor presente del proyecto es menor que el coste de capital, por lo que conviene desinvertir, y porlo tanto Ks < 0. De esta forma obtenemos el grafico presentado en la figura 1.19.
c) Use la ecuacion (2.35) para representar en en el plano K,q (donde q es la vertical y K es la horizontal),el conjunto de puntos para los cuales q se encuentra estacionario y describa las leyes de movimientode q para los demas puntos del plano.Respuesta:
q se encontrara estacionario cuando no varıe en el tiempo, es decir, qs+1 − qs = qs = 0. Forzandoesta restriccion en la ecuacion (2.35) derivamos la siguiente funcion:
qs =As+1FK − δ
r(1.80)
cuya pendiente es negativa dado que por supuestos basicos FKK < 0.
∂qs∂K
=As+1FKK
r< 0 (1.81)
Sobre esta curva, el valor presente de la firma es mayor al coste de capital, por lo que el parametro qesta en aumento. Bajo esta curva, el coste de capital es mayor que el valor presente de la firma y porende la q disminuye. Graficamente tenemos la figura 1.20
49
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.20: Diagrama Fase q-Tobin: qs = 0
q
K
qs = 0
Figura 1.21: Diagrama Fase q-Tobin
1
q
K
qs = 0
Ks = 0
d) Grafique el equilibrio de estado estacionario en K y q de esta economıa. Muestre como se combinanlas leyes de movimiento para generar trayectorias estables e inestables.
Respuesta:La interseccion de ambas curvas anteriores nos da el equilibrio. Solo existe UNA trayectoria posibleque nos lleva al equilibrio. Esta se llama el brazo estable, y se presenta en la figura 1.21.
e) Explique el efecto de la instauracion de un presidente del Banco Central menos conservador que elanterior (con mas disposicion a tolerar inflacion alta). Muestre el efecto sobre el equilibrio representa-do en el punto (d)). Muestre la trayectoria de la q y de I en un par de graficos que tengan el tiempos en la horizontal.
Respuesta:Un presidente del Banco Central menos conservador que el anterior genera una esperanza de la es-tructura de tasas mas baja. Si baja r vemos que afecta a la curva mediante una reduccion en eldenominador de (1.80) lo que genera una alza en la pendiente de la curva de estacionariedad de q.
Graficamente tenemos la figura 1.22.
f) Explique el efecto del descubrimiento de una tecnologıa nueva que mejora los procesos productivos dela empresas (internet). Muestre el efecto sobre el equilibrio representado en el punto (d.) Muestre la
50
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
q
K
1
Qs = 0
Q′s = 0
ks = 0
(a) Diagrama Fase
q
K1
K0
t
(b) Grafico Temporal
Figura 1.22: Presidente del BC menos conservador
51
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
trayectoria de la q y de I en un par de graficos que tengan el tiempo s en la horizontal.
Respuesta:Una nueva teconologıa genera un aumento de la productividad marginal del capital, lo que se traduceen un desplazamiento de la curva de estacionariedad de q (qs = 0) hacia la derecha. Esto genera uninmediato aumento del valor de “q”, el cual ira disminuyendo a medida que el aumento del capital atraves del brazo estable genere que se vuelva a llegar a un equilibrio, en K∗
1 . El movimiento de la q yla inversion es similar al caso anterior.
Graficamente tenemos la figura 1.23.
g) Explique el efecto de la destruccion de parte del stock de capital a causa de una guerra. Muestre elefecto sobre el equilibrio representado en el punto (d.). Muestre la trayectoria de la q y de I en unpar de graficos que tengan el tiempo s en la horizontal.
Respuesta:La destruccion de parte del stock de capital de un paıs a causa de una guerra no produce un cambioen las curvas del diagrama de fases, pero si corresponde a reducir exogenamente la cantidad de capitalinstalado. Por lo tanto, si se esta en una situacion de equilibrio y una parte del capital instalado esdestruıdo, entonces la economıa se situa en la fase superior izquierda del diagrama, la que convergeaumentando la cantidad de capital y reduciendo la q.
Graficamente tenemos la figura 1.24.
1.4.3. Transantiago y Q de Tobin
Suponga una economıa donde las firmas maximizan el valor presente de sus utilidades futuras eligiendoel nivel de capital sujeto a la siguiente ley de movimiento:
Kt+1 = It +Kt(1 − δ) (1.82)
La formacion neta de capital de esta economıa se caracteriza por costos de ajuste cuadraticos:
(It − δKt)2 (1.83)
La produccion se genera a traves de una funcion de produccion F (K) = AKα con 0 < α < 1. Asumaque el precio del bien producido es igual a 1, y que el costo de arrendar capital para la inversion tambienes igual a 1.8
a.) Resuelva el problema de maximizacion de las firmas, determine las ecuaciones de movimiento para elcapital y el precio sombra de este. Desarrolle detalladamente el diagrama de fases.(5 pts)
Respuesta:Primero se debe plantear la ecuacion que la firma debe maximizar. Esta viene dada por:
∞∑t=0
(1
1 + r
)t
·(AtK
αt − It − (It − δKt)2
)Sin embargo, esta se encuentra sujeta a una restriccion (ley de movimiento del capital). Por lo tanto,el problema expresado en terminos de un Lagrangiano queda como:
L =∞∑
t=0
(1
1 + r
)t
·(AtK
αt − It − (It − δKt)2 + qt(It − δKt −Kt+1 +Kt)
)8Estos son los mismos supuestos utilizados en los apuntes de clase por lo que debiera llegar a las mismas expresiones, salvo
que por simplicidad no estamos incorporando el factor trabajo. A pesar de esto el analisis del problema se ve inalterado.
52
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
q
Q′s = 0
1
Qs = 0
K
ks = 0
(a) Diagrama Fase
K0
q
K1
t
(b) Grafico Temporal
Figura 1.23: Mejora de procesos gracias a nueva tecnologıa
53
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
k0k1
q
1
Qs = 0
K
ks = 0
(a) Diagrama Fase
K0
q
K1
t
(b) Grafico Temporal
Figura 1.24: Destruccion del stock de capital
54
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Derivando con respecto a las variables de decision tenemos lo siguiente:
∂L∂It
=(
11 + r
)t
· (−1 − 2(It − δKt) + qt) = 0
qt − 12
= It − δKt
qt − 12
= Kt+1 −Kt
De esta condicion de primer orden obtenemos la ecuacion de movimiento del capital. A continuacionderivamos con respecto a la otra variable de decision, el capital del proximo perıodo, para obtener laecuacion de movimiento de la q:
∂L∂Kt+1
=(
11 + r
)t
(−qt) +(
11 + r
)t+1 (αAt+1K
α−1t+1 + 2δ(It+1 − δKt+1) − δqt+1 + qt+1
)= 0
∂L∂Kt+1
= −(1 + r)qt + αAt+1Kα−1t+1 + 2δ
(qt+1 − 1
2
)− δqt+1 + qt+1 = 0
qt+1 − qt = qt · r − αAt+1Kα−1t+1 + δ
La ultima ecuacion corresponde al movimiento del precio sombra del capital ante cambios de la tasade interes, la productividad marginal y la depreciacion. Usando las dos ecuaciones de movimiento,desarrollaremos el diagrama de fases para estudiar la dinamica del precio sombra y del capital.
Al igualar Kt+1 − Kt a 0, obtenemos la forma de la ∆K = 0. Al repetir este procedimiento paraqt+1 − qt encontramos la forma de ∆q = 0. Nos quedan las ecuaciones:
0 =qt − 1
20 = qt · r − αAt+1K
α−1t+1 + δ
Lo que se puede despejar como
qt = 1
qt =αAt+1K
α−1t+1 − δ
r
Es importante que notemos que ∆K = 0 indica que si q se encuentra por sobre el nivel de estadoestacionario del capital, el mercado desea aumentar el nivel de capital, impulsando mayor inversion;y si se encuentra por debajo, hace que las empresas quieran disminuir el capital dejando que estese deprecie. Finalmente notamos que ∆q = 0 indica que si el capital esta por sobre el optimo, laproductividad FK es muy baja por lo que q tiene que estar aumentando y vice versa.
Juntando ambos ecuaciones y sus respectivas leyes de movimiento en un grafico, tenemos la figura1.25.
b.) Suponga que el Gobierno anuncia la implementacion del Transantiago, un cambio en el sistema detransporte publico que promete mejor calidad y menor tiempo de viajes cuando se complete la op-eracion del plan. Las empresas interpretan esto como un incremento en la productividad de la economıa(aumento anticipado del parametro A).9 Muestre los cambios que (supuestamente) ocurriran en el di-agrama de fases y en la dinamica temporal de q, K e I.
9Si bien el modelo no incluye explicitamente trabajadores, asuma que de todas maneras los problemas del transporte losafecta y esto empeora la productividad de la empresa.
55
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 1.25: Diagrama de Fase
q
K
1 K = 0
q = 0
Respuesta:
Ver figuras 1.4.3 y 1.4.3.
c.) Asuma el mismo enunciado que en la parte B. Sin embargo, al poco tiempo de comenzar a operar elplan de transportes los empresarios se dan cuenta de su equivocacion. En la practica el plan empeoro lacalidad y los tiempos de viaje, con lo cual los trabajadores estan mas estresados y menos productivosque en la situacion inicial. En consencuencia el plan, en vez de aumentar la productividad la hadisminuido. Muestre los cambio que ocurriran en el diagrama de fases y en la dinamica temporal deq, K e I.
Respuesta:
Ver figuras ?? y 1.29.
1.4.4. Depreciacion, impuestos e inversion
Considere un inversionista que puede comprar un bien de capital por un valor Q. Este bien le permiteobtener un ingreso de Z el perıodo de compra, y Z(1 + r) = 2 el siguiente perıodo. En consecuencia elcapital se deprecia la mitad del total cada perıodo. A finales del perıodo 2 el capital no vale nada, pues seha depreciado completamente. Suponga que no hay inflacion y la tasa de interes real es r. El inversionistapaga impuestos a una tasa τ sobre las utilidades.
a.) Asuma que r = 0. Suponga que se le permite depreciar la mitad del valor del capital en cada perıodo.Calcule el valor presente del proyecto y demuestre que la tasa de impuesto es irrelevante en cuanto ala decision de realizar o no la inversion.Respuesta:
Del enunciado sabemos que el activo, de precio Q, genera ingresos en dos perıodos: C0 = Z y C1 =Z(1+r)
2 . Ademas, se le aplica un impuesto τ a las utilidades y que se permite depreciar en dos periodos,D0 y D1. Luego, el valor presente neto (VPN) del proyecto es:
56
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
1 ∆K = 0
q
K
∆q1 = 0 ∆q2 = 0
Figura 1.26: Dinamica del modelo
k
A
I
q
t1 t2
Figura 1.27: Dinamica temporal ante cambios
1 ∆K = 0
q
K
∆q1 = 0 ∆q2 = 0∆q3 = 0
Figura 1.28: Dinamica del modelo
57
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
Respuesta:El impuesto no afecta la decision de hacer o no el proyecto, ya que el hecho de aplicar un impuestono cambia el signo del VPN.10
b.) Siga asumiendo que r = 0. Suponga ahora que se le permite depreciar aceleradamente el capital,imputando el total de su valor como costo el primer perıodo. Muestre que el valor presente es elmismo que el del caso anterior y por lo tanto la decision de inversion es independiente de la forma enque se permite depreciar el capital.Respuesta:
Ahora solo se deprecia en un perıodo, luego D0 = Q. Entonces, VPN queda como:
Respuesta:V NPA = V PNB, luego, si la tasa es r = 0, el cuando depreciar no afecta la decision de inversion
10suponiendo τ < 1
58
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
c.) Asuma ahora que r > 0. Calcule el valor presente del proyecto bajo las dos formas de depreciacion:lineal (un medio-un medio) y acelerada (todo el primer perıodo). ¿En que caso es mas probable quese realize el proyecto? ¿Que puede decir respecto de la forma en que se tributa la depreciacion y lainversion?
V PNA = (1 − τ)(Z − 3Q
2+Z(1 + r)
2− Q(1 + r)
2
); como r > 0
= (1 − τ)(Z − 2Q+
Z(1 + r)2
− Q(1 + r)2
)V PNB = (1 − τ)
(Z − 2Q+
Z(1 + r)2
)Respuesta:El caso mas probable que se realize es el de depreciacion acelerada, pues su VNP es mayor que el casode depreciacion lineal. Se puede decir que el modo de depreciar afecta a la inversion. Si permitimosdepreciacion acelerada, el VPN de los proyectos aumenta (comparados con el caso de depreciacionlineal). Esto genera un aumento de la inversion.
d.) ¿Por que si r > 0 o r = 0 hace la diferencia? Para responder calcule el valor presente de los descuentoshechos por la depreciacion.
V PDA =(Q
2+Q(1 + r)
2
)=(Q+
Qr
2
)V PDB = Q
Respuesta:Como podemos ver, el VP de los descuentos por depreciacion es mayor en el caso lineal solo cuandor > 0. Esto ocurre porque, al tener una tasa de descuento positiva, el valor del dinero no es el mismoa traves del tiempo.
1.4.5. Nivel de capital
Suponga que la demanda por inversion de una economıa esta dada por:
It = φ(K −Kt−1)
Donde K es el nivel deseado de capital, Kt−1 es el capital del perıodo anterior It la inversion del periodo.La ecuacion que determina el nivel deseado de capital es la siguiente:
K = 0, 2Y
r
Donde Y es el producto del perıodo y r la tasa de interes. Suponga que no existe depreciacion.
a) Interprete economicamente el parametro φ.
Respuesta:Este parametro representa la importancia que la economıa le da a no estar en el nivel de capitaloptimo, entre mas alto sea mayor sera la inversion puesto que el costo de no estar en el optimo esmuy alto. Si el parametro es bajo, entonces es posible esperar que la inversion sea baja, puesto que elcosto de no estar en el nivel de capital optimo es muy bajo (o importa relativamente poco).
59
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
b) Suponga que φ = 0, 3, el producto es ochocientos, la tasa de interes es 10 % y el capital del periodoanterior es 300. Determine el nivel de inversion.
Respuesta:Primero es necesario calcular el nivel de capital deseado:
K = 0, 2 · 8000, 1
= 1600
Ahora reemplazamos en la ecuacion de demanda de inversion:
It = 0, 3 · (1600 − 300) = 390
Lo que corresponde a la inversion que se hara en el periodo.
c) Imagine que producto de que la confianza de la gente ha caıdo, el parametro φ cae dos tercios de suvalor inicial y el banco central decide bajar la tasa de interes a 5 % para tratar de contrarrestar estabaja en la confianza. Determine el nivel de inversion.
Respuesta:Primero determinamos el nivel de capital deseado, con la nueva tasa de interes:
K = 0, 2 · 8000, 05
= 3200
Ahora reemplazamos el nuevo nivel de capital deseado en la ecuacion de demanda de inversion:
It = 0, 1 · (3200 − 300) = 290
Con este resultado vemos que la baja en la tasa de interes no fue suficiente para mantener el nivel deinversion.
d) Determine la tasa de interes necesaria para que la inversion sea la misma a pesar de existir la caıdaen confianza.
Respuesta:Para resolver esto es necesario encontrar la tasa de interes en la ecuacion de demanda de inversion:
390 = 0, 1(
0, 2 · 800r
− 300)
3900 = 0, 2 · 800r
− 300
4200 · r = 160
r ≈ 0, 0381
Con esto es posible ver que el banco central debe bajar la tasa de interes aproximadamente a 3,81%para mantener el mismo nivel de inversion.
60
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
1.4.6. Costos de Ajuste e Inversion
Suponga que la demanda por inversion de una economıa esta dada por:
It = φ(K −Kt−1)
Donde K es el nivel deseado de capital, Kt−1 es el capital del perıodo anterior It la inversion del perıodo.La ecuacion que determina el nivel deseado de capital es la siguiente:
K = 0, 2Y
r
Donde Y es el producto del perıodo y r la tasa de interes. Suponga que no existe depreciacion.
a) Interprete economicamente el parametro φ.
Respuesta:Este parametro representa la importancia que la economıa le da a no estar en el nivel de capitaloptimo, entre mas alto sea mayor sera la inversion puesto que el costo de no estar en el optimo esmuy alto. Si el parametro es bajo, entonces es posible esperar que la inversion sea baja, puesto que elcosto de no estar en el nivel de capital optimo es muy bajo (o importa relativamente poco).
b) Suponga que φ = 0, 3, el producto es ochocientos, la tasa de interes es 10 % y el capital del periodoanterior es 300. Determine el nivel de inversion.
Respuesta:Primero es necesario calcular el nivel de capital deseado:
K = 0, 2 · 8000, 1
= 1600
Ahora reemplazamos en la ecuacion de demanda de inversion:
It = 0, 3 · (1600 − 300) = 390
Lo que corresponde a la inversion que se hara en el periodo.
c) Imagine que producto de que la confianza de la gente ha caıdo, el parametro φ cae dos tercios de suvalor inicial y el banco central decide bajar la tasa de interes a 5 % para tratar de contrarrestar estabaja en la confianza. Determine el nivel de inversion.
Respuesta:Primero determinamos el nivel de capital deseado, con la nueva tasa de interes:
K = 0, 2 · 8000, 05
= 3200
Ahora reemplazamos el nuevo nivel de capital deseado en la ecuacion de demanda de inversion:
It = 0, 1 · (3200 − 300) = 290
Con este resultado vemos que la baja en la tasa de interes no fue suficiente para mantener el nivel deinversion.
61
1.4. MATEMATICOS DE INVERSION Macroeconomıa I - Primavera 2008
d) Determine la tasa de interes necesaria para que la inversion sea la misma a pesar de existir la caıdaen confianza.
Respuesta:Para resolver esto es necesario encontrar la tasa de interes en la ecuacion de demanda de inversion:
390 = 0, 1(
0, 2 · 800r
− 300)
3900 = 0, 2 · 800r
− 300
4200 · r = 160
r ≈ 0, 0381
Con esto es posible ver que el banco central debe bajar la tasa de interes aproximadamente a 3,81%para mantener el mismo nivel de inversion.
62
Capıtulo 2
La economıa abierta
2.1. Comentes de tipo de cambio y cuenta corriente
2.1.1. Interes de autarquia
Explique como cambia la tasa de interes de autarquıa al caer la pendiente de la trayectoria de los ingresosfuturos esperados.
Respuesta:Si la pendiente de la trayectoria de ingresos esperados disminuye, se nos indica que disminuye lo queesperamos de ingreso a futuro. Esto hace que se requiera una tasa menor para que los agentes quieranahorrar. Es decir, en comparacion con la situacion inicial, cae la tasa de interes.
2.1.2. Cuenta corriente y estados futuros
Si la cuenta corriente es muy deficitaria, esto simplemente refleja que se espera una trayectoria decrecienteen los ingresos futuros y es el resultado del comportamiento optimo de suavizacion intertemporal. Comente.
Respuesta:La cuenta corriente refleja la condicion de ahorrante/deudor de los paıses ya que para traer riqueza futurase endeudan pidiendo bienes y servicios a otros paıses y se devolveran a futuro. Si la cuenta corriente deun paıs es deficitaria se requiere necesariamente que este pueda pagar a futuro, por lo que la trayectoria deingresos debe ser creciente y no decreciente como indica el enunciado.
2.1.3. Metzler
Suponga un mundo con dos economıas grandes y abiertas A,B. Usando un diagrama de Metzler, expliqueel efecto sobre la tasa de interes de equilibrio mundial de una guerra donde el paıs A destruye la mayorıade la capacidad instalada del paıs B.
Respuesta:Si una guerra destruye la mayorıa del capital del paıs B, aumentara la productividad del poco capital quequede. En terminos del diagrama de Metzler, la curva de inversion se desplaza de forma que a cada tasa deinteres de invierte mas. Esto hace que aumente el deficit en cuenta corriente y aumente la tasa de interesmundial.
2.1.4. Fluctuaciones cambiarias
El evolucion del tipo de cambio real de ha sido creciente (depreciado), sin embargo, la productividaddel sector transable ha crecido mas que el sector no transable, por lo que se contradice la teorıa de Harrod-Balassa-Samuelson.
Respuesta:Para determinar la evolucion del tipo de cambio real no es importante la productividad del sector transable
63
2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
y no transable al interior de un paıs, sino como evoluciona esta en comparacion con el resto del mundo. Elcomente NO contradice la teorıa de Harrod-Balassa-Samuelson ya que la afirmacion esta equivocada.
2.1.5. Decisiones separadas
Los evidencia empırica presentada en el curso indica que gracias al comercio internacional paıses pobresseparan sus decisiones de ahorro de las de inversion, lo cual queda registrado contablemente en la cuentacorriente. Comente.
Respuesta:En terminos teoricos la apertura al comercio internacional permite separar las trayectorias optimas de con-sumo, y por ende ahorro, de las de inversion. En la clase 2.1 se presento un simple modelo de dos perıodosen la que el nivel de produccion depende de la inversion realizada en el perıodo anterior. En su resolucion sehizo incapie en que la condicion de primer orden para el consumo es independiente de la respectiva condi-cion para la inversion. De esta forma, un paıs podrıa en el optimo podrıa consumir mas de lo que producesin dejar ahorros, y ademas continuar invirtiendo. Para esto se pedira financiamiento al resto del mundo,lo que como indica el comente, queda registrado en la cuenta corriente.
Lo anterior debiera traducirse en que al observar el comportamiento de los paıses en el tiempo, no sepudiera encontrar correlacion entre el ahorro y la inversion. Feldstein y Horioka mostraron que incluso paralos paıses OCDE, todos paıses desarrollados y abiertos al comercio internacional, hay una alta correlacionentre ahorro domestico e inversion.
2.1.6. Transables - No Transables
Segun el modelo visto en el curso de Transables - No Transables, un aumento de la productividad de losbienes transables, generara un aumento del salario real en terminos de bienes No Transables, por lo cualalgunos de los trabajadores del sector No transables se trasladaran, lo que genera un aumento del preciode los bienes No transables. Comente
Respuesta:La primera parte del comente es Verdadero. Ante aumentos en la productividad del sector transable, lo quesen puede ver como un incremento exogeno en el termino aT que re-escala las funcion de produccion, segenera un aumento en el precio de los bienes NO transables. Esto se debe a a que el precio de los bienestransables no puede variar respecto a los precios internacionales ya que uno de los supuestos es que se laley de unico precio o la Paridad del Poder de Compra en su version absoluta. De esta forma los salarios delos trabajadores (transables) debe subir, al ocurrir esto hace que aumente el precio de los NO transables.
La segunda parte del comente es falso debido principalmente a ley de unico precio, ya que no puedeaumentar el salario (NO transables), debido a que esto generarıa presiones al alza en el precio de los trans-ables, por ende lo unico que puede ocurrir es la disminucion relativa de los precios de los NO transables.
Lo que sucede en el modelo ante un incremento de la productividad de los Transables es equivalente a ladevaluacion real presentada en la clase 2.4 (paginas 10 y 11)
2.1.7. Tipo de cambio y PPC
Si la inflacion mundial ha sido 4 % y la inflacion domestica ha sido 8 % en el ultimo trimestre, ysupononiendo que se cumple la Paridad del Poder de Compra, ¿Que debiesemos esperar que suceda con eltipo de cambio? Comente.
Respuesta:Por la Paridad Relativa del Poder de Compra, sabemos que la inflacion de las canastas del consumidor(identicas) valoradas en la misma moneda, debe ser igual entre paıses. Segun lo estudiado en la Clase 2.3,lo anterior se puede presentar en terminos formales:
64
2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
donde hemos usado el supuesto de que x esta en torno a uno, y las letras minusculas denotan logaritmo dela variable en cuestion.1 Restando la misma ecuacion del perıodo anterior (t− 1) tenemos que,
et − et−1︸ ︷︷ ︸∆et
+ p∗1,t − p∗1,t−1︸ ︷︷ ︸π∗1
−p2,t + p2,t−1︸ ︷︷ ︸π2
= 0
Con la informacion entregada en el enunaciado y utilizando la anterior expresion obtenemos el siguientecalculo.
∆e = π2 − π∗1
= 8,0 % − 4,0 %= 4,0 %
De esta forma, por la paridad del poder de compra relativa, se debiese esperar una depreciacion de 4,0 %del tipo de cambio nominal.
2.1.8. Tipo de cambio y productividad
Ante un shock de productividad, un paıs abierto al comercio internacional con costos de ajuste al capitalapreciara su moneda mas que uno sin estos costos.
Respuesta:Ante un shock productivo un paıs deseara aumentar su nivel de capital por lo que debe realizar inversiones.En el caso de que esta economıa enfrente costos de ajuste convexos, distribuira el aumento del capital en eltiempo. En comparacion con un paıs sin estos costos, la economıa en cuestion enfrentara un menor deficiten cuenta corriente.
Por lo anterior, durante el primer perıodo el tipo de cambio se apreciara menos que un paıs sin estoscostos. Intuitivamente, estan entrando mas recursos en moneda externa lo cual al interior del paıs la vuelvemenos escaza (ie. para comprar un dolar se deben entregar menos pesos). De esta forma, la segunda frasedel comente es falsa.
2.1.9. Consecuencias del exito exportador
Durante los ultimos 20 anos gran parte del exito exportador de Chile se ha basado en el constanteincremento de productividad de este sector. Por este motivo algunos economistas indican que no debieraextranar la apreciacion cambiara experimentada por el paıs en los ultimos anos. ¿Es correcta esta afirma-cion? ¿Que sucede con el TC real si se incrementa la productividad del paıs?
Respuesta:La afirmacion es correcta si se entiende que la productividad del sector transable (exportador) ha aumentadopor sobre la productividad del sector transable.2 El tipo de cambio real refleja el poder adquisitivo relativode las economıas. En la clase 2.4 derivamos una expresion para el TCR en terminos de la productividad.
1Cuando x es exactamente 1 es un casi particular, ya que se esta cumpliendo la paridad del poder de compra en su versionabsoluta.
2Un analisis mas completo que el estudiado en el curso requerirıa ademas como condicion para la apreciacion que laproductividad agregada se hubiese incrementado mas que la productividad mundial.
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2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
TCR = ε =FLNT
FLT
Esta ecuacion nos indica que el TCR esta determinado por las productividades relativas del trabajo en elsector No transable y Transable. Como indica el comente, si aumenta la productividad de las exportaciones,es decir la una mayor incremento en la productividad del sector transable versus el no transable, en eltiempo debieramos observar una apreciacion real.
De la anterior ecuacion podemos concluir que un incremento generalizado de la productividad, por ejem-plo igual en ambos sectores no afecta el tipo de cambio real. Se requiere analizar el cambio de productividadrelativo entre sectores para saber como se altera el tipo de cambio.
2.1.10. Deficit de CC de EE.UU.
En los ultimos cinco anos Estados Unidos a registrado un importante deficit de cuenta corriente lo quese explica en buena medida por un alto deficit presupuestario del gobierno. Comente ¿Que se debe cumplirpara que esta situacion sea sostenible en el tiempo?
Respuesta:Como vimos en clases la cuenta corriente permite a los paıses suavizar sus trayectorias de consumo. Pode-mos representar la cuenta corriente de la siguiente forma,
CCt = (Yt − Yt) − (Gt − Gt) − (It − It)
la cual refleja que el pedir recursos del exterior permite enfrentar cualquier aumento del desviacionesrespecto a la tendencia del producto, variaciones del gasto del gobierno o incrementos transitorios de lainversion
Es de esperar que los paıses en desarollo, bajo el supuesto de que a futuro tendran un nivel de productomayor, puedan traer riqueza al presente pidiendo recursos al resto del mundo. Esto se ve en la practica conestos paises registrando deficits en cuenta corriente.
Sin embargo, un paıs como Estados Unidos al registrar un deficit en cuenta corriente esta suponiendoque a futuro A) tendra un nivel de producto mayor que le permita devolver al resto del mundo los recursosutilizados o B) disminuira durante un largo perıodo de tiempo (o incluso en forma permanente) su consumo.
Por otra parte, el hecho de que gran parte del deficit en cuenta corriente se deba al creciente deficitpresupuestario del gobierno requiere que A) se reduzca el gasto y que EE.UU. tenga un mayor producto obase impositiva que le permita recaudar mas recursos, o B) subir permanentemente los impuestos para tenersuperavit y ası reponer los recursos pedidos al resto del mundo.
2.1.11. Estatica Comparativa
Explique los siguientes enunciados, a traves de los cambios en el Ahorro, Inversion y Cuenta Corriente.
En la Actualidad el tipo de cambio al apreciarse hace que las exportaciones de bienes transables caigan.Por ende los individuos independiente de si el efecto es el permanente o transitorio, disminuyen elconsumo.
Respuesta:Es importante destacar la diferencia entre un shocks permamente y uno transitorio en la caıda delos terminos de intercambio, si bien es cierto que ambos shocks reducen en el producto, los efectossobre el consumo y el ahorro e inversion son muy distintos. Si en la actulidad el shocks en el tipode cambio es permanente, los individuos nuevamente maximizaran su bienestar intertemporalmete ydisminuiran su consumo, pero manteniendo el ahorro y la inversion constante. En cambio si el shockses transitorio , los agentes mantendran su consumo constante y disminuiran el ahorro mientres dureel shocks para mantener el mismo nivel de bienestar. Ahora, la cuenta corriente en el primer caso, nose vera afectada ya que el ahorro y la inversion no cambiaran. En cambio en el segundo caso la cuentacorriente se ve afectada debido a una disminucion del ahorro nacional cuando el shock es transitorio.
66
2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Se encuentran reservas de Petroleo en tierra del fuego.
Respuesta:La reservas de petroleo como recurso natural renovable son muy apetecidas por los inversionistas debidoa su alta rentabilidad, por lo cual al encontrarse dichas reservas, muchos inversionistas trasladansus recursos a tierra del fuego para invertir en la extraccion, debido a que esta supera el costo deoportunidad de las inversiones en otros activos fuera de Chile, por lo cual entran capital por la via deun aumento en la inversion, y esto repercute en el deficit de la cuenta corriente (aumenta).
Un aumento del riesgo paıs.
Respuesta:Un aumento del riesgo paıs genera, cierta desconfianzas por parte de los inversionistas en paises queantes eran se encontraban atractivos, al aumentar el riesgo, el inversionista exige un mayor retornosa las inversiones en dicho paıs por ende muchos proyectos quedan fuera del atractivo para los socioscapitalistas, debido a esto el pais ve disminuido el flujo de divisas del mundo para dicha nacion. Estoproduce una reduccion de la inversion, con lo que la cuenta corriente se ve favorecida.
La Economıa de EE.UU se esta desacelerando, no es una recesion 3, pero los individuos siguen man-teniendo el mismo consumo autonomo.
Respuesta:Si los individuos siguen teniendo el mismo consumo autonomo, esto es debido a que este shockses transitorio y tienen la confianza en que el producto americano se va a mantener cercano al detendencia, por en ende su consumo autono se mantiene constante. Caso contrario seria el cual loindividuos diminuyeran su consumo automo debido a que el crecimiento del producto sera menoren el largo plazo. Si esto ocurre los individuos buscaran disminuir su consumo de susbsitencia, peromanteniendo el ahorro constante.
2.1.12. Evidencia de decisiones separadas
La teorıa nos dice que sin restricciones al comercio y a la movilidad de capitales, las decisiones de in-version debieran estar separadas de las de consumo, y por ende a las de ahorro. ¿Que puede decir sobre laevidencia empırica al respecto?
Respuesta:Feldstein y Horioka muestran que para un perıodo importante de tiempo (1960-1974) y un numero significa-tivo de paıses desarrollados, existe una elevada correlacion entre las tasas e inversion y ahorro. El resultadose verifica para ampliaciones de la muestra de paıses y otros periodos temporales. Esta alta correlacionparece, a primera vista, como evidencia de que los paıses no tienen acceso (o no usan) a los mercados decapitales internacionales para suavizar sus patrones de consumo. Los paıses estarıan, en promedio, autofi-nanciando sus proyectos de inversion lo que, evidentemente, es ineficiente desde una perspectiva global.
Sin embargo, hay varias explicaciones posibles para la paradoja de Feldstein Horioka: una es que alcruzar las fronteras se profundizan los problemas de informacion asimetrica que se producen en todas lasinversiones debido a la dificultad de interpretar universalmente patrones sociales, culturales o polıticoslocales. Otra explicacion es que los gobiernos de los paıses limitan a proposito los deficit de cuenta corrientedebido al temor que tienen a la reaccion de los mercados frente a un paıs que se endeuda demasiado rapido.La otra posibilidad es que el tipo de shocks predominantes en los perıodos analizados hayan sido shocks quemueven las tasas de ahorro e inversion en la misma direccion como es el caso de los shocks de productividad.
3En EE.UU la recesion se considera como tal, cuando hay dos trimestres de crecimiento negativo.
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2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
2.1.13. CC y cambios impositivos
Suponga una economıa abierta con acceso al mercado de capitales que enfrenta costos de ajuste a lainversion convexos. Sin aviso previo se introduce una importante reduccion tributaria. Explique y grafiquelos cambios en la cuenta corriente. ¿Como se altera su respuesta si la empresa tuviera costos concavos enel ajuste de su capacidad instalada?
Respuesta:Sabemos que una economıa abierta con acceso a los mercados de capitales podra, mediante el comerciointernacional, prestar o pedir prestados recursos al resto del mundo segun las decisiones optimas intertem-poralmente. En el caso que se reduzcan los impuestos, sabemos que el modelo de Q de Tobin nos indicaque esto se puede ver como un aumento de la productividad marginal del capital lo cual motiva una mayorinversion. Como las decisiones de consumo e inversion estan separadas el aumento de la inversion no vaacompanado de una reduccion del consumo, por lo que habra un deficit en cuenta corriente. En el casoque los costos de ajuste sean convexos, para las empresas sera optimo distribuir el ajuste de la capacidadinstalada en el tiempo. Graficamente, en el caso de costos convexos se ve un deficit en cuenta corriente, elcual se va reduciendo en el tiempo al completar el ajuste de la inversion. En cambio, en el caso de costosconcavos el ajuste, lo optimo es realizar grandes inversiones. En este caso se observarıa un gran deficit encuenta corriente, pero solo por un perıodo en el cual se realiza toda la inversion.
2.1.14. Productividad cambiaria
Explique porque el tipo de cambio real esta determinado por la productividad. ¿Que sucede con el TCreal si se incrementa la productividad del paıs?
Respuesta:El tipo de cambio real refleja el poder adquisitivo relativo de las economıas. En la clase 2.4 derivamos unaexpresion para el TCR en terminos de la productividad.
TCR = ε =FLNT
FLT
Esta ecuacion nos indica que el TCR esta determinado por las productividades relativas del trabajo enel sector No transable y Transable. Por ejemplo, si aumenta la productividad de las exportaciones, en eltiempo debieramos observar una apreciacion real.
De la anterior ecuacion podemos concluir que un incremento generalizado de la productividad, por ejem-plo igual en ambos sectores no afecta el tipo de cambio real. Se requiere analizar el cambio de productividadrelativo entre sectores para saber como se altera el tipo de cambio.
2.1.15. Terremoto cambiario
Suponga el caso de una economıa que registra un importante deficit en cuenta corriente. Producto deun terremoto, la productividad de esta economıa se reduce considerablemente y se requiere nueva inversionpara reponer lo perdido. Explique, ¿Que sucede con el tipo de cambio?
Respuesta:El enunciado de la pregunta nos indica una economıa abierta que inicialmente registra un deficit en cuentacorriente. Producto del terremoto se pierde productividad lo que contre el sector exportador lo cual depreciarael tipo de cambio en terminos reales. Si aumenta la inversion para reponer lo perdido se incrementara eldeficit en cuenta corriente.
En la siguiente figura se presentan lo descrito.La reduccion de la productividad del sector exportador contrae la cuenta corriente de C1 a C2, con lo
cual se deprecia el tipo de cambio desde ε1 a ε2. Con el incremento de la inversion se incrementa el uso deahorro externo pasando de SE1 a SE2, con un consiguiente incremento en el deficit en cuenta corriente(d1 < d2). Esto nos hace pasar a un tipo de cambio levemente mas apreciado (ε3). En el largo plazo cuando
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2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
cc
C1
C2
ε
ε1
ε2ε3
d1
d2
SE1SE2
Figura 2.1: Cambio en la cuenta corriente y efectos en el Tipo de cambio real
las inversiones permitan recuperar la productividad perdida, se continuara apreciando el tipo de cambio realhasta llegar a la situacion inicial (ε1).
En la figura 2.1.15 se presenta una descripcion de lo que sucede en el tiempo con el tipo de cambio.
2.1.16. Versiones de PPC
Explique el concepto de Paridad del Poder de Compra en sus versiones Absoluta y Relativa. ¿Comocomprobarıa en la practica que se cumplen ambas versiones?
Respuesta:
La Paridad del Poder de Compra (PPC) se refiere a la capacidad de comprar una canasta de bienes endos paıses. Si existiera un PPC absoluta se debe cumplir que,
P1
P2=EP ∗
P2= 1
La ecuacion nos dice que el costo de adquirir una canasta de bienes en el paıs 1 en moneda del paıs 2(precios de 1 por el tipo de cambio nominal) debe ser el mismo. Esta es una prediccion bastante fuerte queno se cumple simpre.
Una segunda version es la PPC relativa, que nos dice que, aunque el costo de adquirir las canasta nosea exactamente equivalente, la inflacion del costo debe ser el mismo en el tiempo.
EP ∗1
P2= x /ln() ⇒ E = π2 − π1
Para ver si se cumple PCC Absoluta tendriamos que tener una Canasta de Bienes exactamente igual yver cual es el costo de adquirirla en distintos paıses. En tal caso, debemos tener cuidado con las diferenciasen calidad. Uno de los problemas seria la composicion de una canasta representativa, ya que paıses en de-sarrollo tienen un alto gasto en Alimentacion, lo que se va reduciendo mientras mas ricas son las economıas.
Para el caso de PPC Relativa debiramos encontrar que el tipo de cambio sigue los cambios de la inflacionrelativa entre paıses en el tiempo. Esto es lo que se hizo en la tarea 2.
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2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
TT1 T2 T3
ε1
ε
Figura 2.2: Cambio del Tipo de cambio real en el tiempo
2.1.17. CC y Q de Tobin
A comienzos de los noventas Chile era una economıa pequena, abierta al comercio y con un buen accesoal mercado de capitales internacional. Como es de suponer, en el agregado las empresas que enfrentabancostos de ajuste a la inversion convexos. Como un shock sin posibilidades de ser anticipados hubo unadisminucion de las tasas de interes para los proyectos de inversion. Con lo aprendido, explique y grafiquelos cambios en la cuenta corriente. ¿Como se altera su respuesta si las empresas hubieran tenido costosconcavos en el ajuste de su capacidad instalada?
Respuesta:Sabemos que una economıa abierta con acceso a los mercados de capitales podra, mediante el comerciointernacional, prestar o pedir prestados recursos al resto del mundo segun las decisiones optimas intertem-poralmente. En el caso que se reduzcan las tasas de interes, sabemos que el modelo de Q de Tobin nos indicaque esto se puede ver como un aumento de la productividad marginal del capital lo cual motiva una mayorinversion. Como las decisiones de consumo e inversion estan separadas el aumento de la inversion no vaacompanado de una reduccion del consumo, por lo que habra un deficit en cuenta corriente. En el casoque los costos de ajuste sean convexos, para las empresas sera optimo distribuir el ajuste de la capacidadinstalada en el tiempo. Graficamente, en el caso de costos convexos se ve un deficit en cuenta corriente, elcual se va reduciendo en el tiempo al completar el ajuste de la inversion. En cambio, en el caso de costosconcavos el ajuste, lo optimo es realizar grandes inversiones. En este caso se observarıa un gran deficit encuenta corriente, pero solo por un perıodo en el cual se realiza toda la inversion.
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
2.2. Matematicos de tipo de cambio y cuenta corriente
2.2.1. CC y el ahorro-inversion
A partir de las decisiones de ahorro-inversion, las que se ven reflejadas en la cuenta corriente, y una de-scripcion del comportamiento de la balanza comercial es posible determinar el tipo de cambio real endogeno.
Suponga una economıa que dura solo dos perıodos y que es descrita por la siguiente funcion de utilidad:
U(C1, C2) = u(C1) +1
1 + ρ· u(C2) (2.1)
sujeta a la restriccion intertemporal:
C1 +C2
1 + r= Y1 +
Y2
1 + r(2.2)
Por facilidad asumiremos un nivel de producto exogeno para cada perıodo.
Asuma ademas que la balanza comercial (exportaciones - importaciones) puede ser descrita por lasiguiente funcion.
XN(y∗, y, ε)t = α+ θ ∗ εtLos valores para los anteriores parametros son los siguientes:
r = 5 %β = 0,952y1 = 100y2 = 110α = −20θ = 20
1. Resuelva en forma analıtica la cuenta corriente de cada perıodo (cct = yt − c∗t ).4
Respuesta:El problema del consumidor consiste en maximizar (2.1) sujeto a la restriccion dada por (2.2). Por elmetodo que se utilice para su resolucion, encontramos que la condicion de optimalidad esta dado por,
U ′(c1)U ′(c2)
= β(1 + r)
Despejando para el consumo de cada perıodo y reemplazando en la restriccion presupuestaria encon-tramos las demandas por consumo.
c∗1 =(
1(1 + β)(1 + r)
)((1 + r)Y1 + Y2)
c∗2 = (1 + r)(Y1 − C∗1 ) + Y2)
De esta forma la cuenta corriente para cada perıodo sera,
cc∗1 = Y1 −(
Y1
(1 + β)+
Y2
(1 + r)(1 + β)
)cc∗2 = Y2 − (1 + r)(Y1 − C∗
1 ) + Y2)
4En este caso el asterisco refleja que c∗ es optimo.
71
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. Calcule utilizando la informacion entregada el deficit o superavit de cuenta corriente (cct) para cadaperıodo. ¿Cuanto ahorro externo se usa en cada perıodo?
Respuesta:Utilizando las ecuaciones para la cuenta corriente de cada perıodo (cc∗t ) tenemos que,
lo que indica en el perıodo se esta solicitando ahorro al resto del mundo por 4,88 y en el segundo perıodode tiempo se devuelve 5,12. Como usted sabe, en valor presente la suma de las cuentas corrientes debeser cero.
cc∗1 +cc∗2
1 + r= −2,38 +
5,121 + r
= −4,88 + 4,88 = 0
3. Asuma que en esta economıa no hay pago de factores externos (F = 0). Utilizando el valor de lacuenta corriente que encontro para cada perıodo y la balanza comercial, determine el tipo de cambioendogeno.5
Respuesta:La cuenta corriente tiene varias formas de ser expresadas. Utilizando su equivalencia con la balanzacomercial tenemos que,
CCt = Yt − ct = XNt + Ft︸︷︷︸0
Yt − ct = α+ θεt
Despejando para εt tenemos el siguiente tipo de cambio endogeno para cada perıodo:
εt =Yt − ct − α
θ
4. ¿Como cambia en el tiempo el tipo de cambio real? Calcule y explique intuitivamente las razones deporque, respecto al resultado del primer perıodo, el tipo de cambio real del segundo perıodo se apreciao deprecia.
Respuesta:Segun la informacion del comente tenemos que,
εt =Yt − ct − α
θ
ε1 =−4,88 + 20
20= 0,76
ε2 =5,12 + 20
20= 1,26
En el primer perıodo se esta pidiendo ahorro al resto del mundo para ası poder consumir mas. Esdecir, estan entrando recursos en moneda extranjera por lo que esta se vuelve menos escaza lo queimplica un mayor valor relativo de la moneda local lo que explica su apreciacion real.
En el segundo perıodo se deben pagar, incluido los intereses, los recursos que se solicitaron al restodel mundo. De esta forma aumenta la demanda por moneda extranjera que tiene por consecuenciauna depreciacion del peso debiendo pagar mas pesos locales por cada divisa.
5Hint: despeje εt.
72
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
2.2.2. Costos de ajuste y cuentas internacionales
Suponga una economıa donde las firmas maximizan el valor presente de sus utilidades futuras eligiendoel nivel de trabajo y capital sujeto a la siguiente ley de movimiento del capital:
Kt+1 −Kt = It − δKt (2.3)
La formacion neta de capital se caracteriza por costos de ajuste cuadraticos:
(It − δKt)2 (2.4)
La produccion se genera a traves de una funcion de produccion Y = F (K) con FK > 0 y FKK < 0.Ademas de esto usted debe saber que las firmas venden su producto a un precio γ, el costo unitario de lainversion es igual a D, donde D = e · d (e es el tipo de cambio nominal vigente y d el costo unitario endolares) el Gobierno cobra un impuesto τ a la inversion y la tasa de interes viene denotada por r. En basea la informacion entregada en el enunciado se pide:
1. Resuelva el problema de maximizacion de las firmas y determine las ecuaciones de movimiento parael capital y la q.
Respuesta:Las firmas desean maximizar el valor presente de sus flujos. Sin embargo estan sujetas a la ecuacionde movimiento del capital. Entonces, la ecuacion de maximizacion de la firma viene dada por:
Derivando con respecto a las variables de decision tenemos:
∂L∂It
= −(1 + τ)D − 2(It − δKt) + qt = 0 (2.6)
qt − (1 + τ)D2
= It − δKt (2.7)
Donde (2.31) representa la ecuacion de movimiento del capital.
L∂Kt+1
=(
11 + r
)s
[−qt] +(
11 + r
)s+1 [γFKt+1 + 2δ(It+1 − δKt+1) − δqt+1 + qt+1
]= 0 (2.8)
Reemplazando (2.31) en (2.32) tenemos:
(1
1 + r
)s
[−qt] +(
11 + r
)s+1 [γFKt+1 + 2δ
(qt+1 − (1 + τ)D
2
)− δqt+1 + qt+1
]= 0
Con un poco de algebra llegamos a que:
qt+1 − qt = qtr − γFKt+1 + δ(1 + τ)D (2.9)
Donde (2.33) representa la ecuacion de movimiento de la q.
73
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.3: Diagrama de Fases
q
K
q = 0 q′ = 0
K = 0
K ′ = 0
(1 + τ)D
D
2. Suponga que dada la precaria situacion actual de la economıa el gobierno decide actuar: Anuncia quelas firmas no deberan pagar impuestos. Grafique detalladamente la dinamica de esta situacion enun diagrama de fases y ademas grafique la trayectoria de la q, de la Cuenta Corriente y del nivel decapital en el tiempo.
Respuesta:La dinamica vendra dada por el siguiente grafico:
La trayectoria de las variables pedidas en el enunciado sera la siguiente:
3. Imagine que el gobierno recalcula sus proyecciones y ve que el panorama economico no sera tan malocomo inicialmente lo habıa previsto. Es por esto que ha decidido posponer sorpresivamente el set demedidas de las que se hablaban en la parte b) hasta un nuevo aviso. Grafique detalladamente ladinamica de esta situacion en un diagrama de fases y ademas grafique la trayectoria de la q, de laCuenta Corriente y del nivel de capital en el tiempo.
Respuesta:La dinamica de esta situacion viene dada por:
Mientras que el movimiento en el tiempo de las variables es:
4. Dıas despues de lo acontecido en la parte c), el Banco Central decide que ha llegado el momento deintervenir el precio del dolar (que estaba por debajo de su valor de largo plazo). Es por esto que hadecidido salir a comprar dolares de forma no anticipada por los individuos de esta economıa haciendoque el tipo de cambio suba de e a e′. Grafique detalladamente la dinamica de esta situacion enun diagrama de fases y ademas grafique la trayectoria de la q, de la Cuenta Corriente y del nivel decapital en el tiempo.
Respuesta:
La dinamica es la siguiente:
La dinamica de las variables es:
74
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.4: Movimiento en el tiempo
q
K
t
CC
Figura 2.5: Diagrama de Fases
q
K
q = 0 q′ = 0
K = 0
K ′ = 0
(1 + τ)D
D
75
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.6: Movimiento en el tiempo
q
K
t
CC
Figura 2.7: Diagrama de Fases
q
K
q = 0q′ = 0
K = 0
K ′ = 0
(1 + τ)D
(1 + τ)D′
76
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.8: Movimiento en el tiempo
q
K
CC
t
2.2.3. Consumo optimo y cuenta corriente
Suponga que las preferencias de un agente representativo de una economıa pueden ser descritas por lasiguiente funcion de utilidad intertemporal
∞∑s=t
βs−t c1− 1
σs
1 − 1σ
Donde β es una tasa de descuento subjetivo. No existe ni inversion ni gobierno y los activos en t soncero, Bt = 0. Se conoce ademas con certeza la trayectoria de futuros ingresos y que la tasa de interes seraconstante en el tiempo y se cumple que β = 1
1+ρ = 11+r .
1. Muestre que con esta informacion, se puede derivar una expresion para el consumo optimo en funcionde la riqueza de esta economıa de la forma
Ct =(
r
1 + r+ Φ)Wt
Respuesta:Maximizando la utilidad intertemporal sujeto a la restriccion presupuestarıa nos entrega la ecuacionde euler familiar
u′(ct) = u′(ct+1)β(1 + r)
Esta ecuacion nos dice como debe evolucionar el consumo en el tiempo. Reemplazando la forma fun-cional de u′(c):
u′(ct) = u′(ct+1)β(1 + r) (2.10)
c− 1
σt = c
− 1σ
t+1β(1 + r) (2.11)ct+1 = ct [(1 + r)β]σ (2.12)
Ahora reemplazamos este comportamiento optimo en la restriccion presupuestarıa para atar unatrayectoria particular. Ademas, podemos desarrollar la sumatoria del consumo usando la regla en-contrada arriba para encontrar una expresion para el consumo en t en funcion de la riqueza:
77
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
∞∑s=t
(1
1 + r
)s−t
Cs =∞∑
s=t
(1
1 + r
)s−t
[Ys − Is −Gs] + (1 + r)Bt︸ ︷︷ ︸Wt
Desarrollando la sumatoria:
Ct + Ct1
1 + r[(1 + r)σβσ] + Ct
[1
1 + r[(1 + r)σβσ]
]2+ . . . = Wt
Si 1 − ((1 + r)σ−1βσ) < 1, podemos escribir el consumo de la siguiente manera:
Ct =r + ϑ
1 + rWt (2.13)
Donde ϑ = 1 − (1 + r)σβσ siguiendo la notacion de OR.
2. Desarrolle la ecuacion fundamental de la cuenta corriente usando el resultado anterior.
Respuesta:Para encontrar la ecuacion fundamental, usamos esta expresion en la ecuacion para la cuenta corri-ente:
CAt = Yt − It −Gt + rBt − Ct
= Yt − It −Gt + rBt −r + ϑ
1 + rWt
= Yt − It −Gt + rBt −r
1 + rWt︸ ︷︷ ︸
Yt−It−Gt−rBt
− ϑ
1 + rWt
= (Yt − Yt) − (It − It) − (Gt − Gt) −ϑ
1 + rWt
Vemos que hay dos efectos que mueven la cuenta corriente en este caso. Por un lado esta el efectotıpico de suavizaremos del consumo segun teorıas tipo Friedman de ingreso permanente. Por otro ladoesta el efecto de las preferencias y la discrepancia entre δ y r.
3. Explique como cambia su respuesta si r = ρ?
Respuesta:
4. Suponga que Yt = Yt+1 = Y = 10. Ademas se sabe que r = 0,5. Calcule cual sera el consumo y saldoen cuenta corriente para los perıodos t, t+ 1 y t+ 2.
Respuesta:Con esta informacion podemos encontrar exactamente cuanto sera el consumo, cuenta corriente ydeuda en cada periodo. Primero calculamos la riqueza. Podemos calcular el valor presente del ingresoperpetuo:
∞∑s=t
(1
1 + r
)s−t
Ys =1 + r
rY
= 30
Como la deuda inicial es nula y no hay inversion ni gobierno, la riqueza en t es 30. El consumo sera
78
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Ct = 2r1+2rWt = 1
2Wt = 15 en el periodo t.
Ahora calculamos el deficit en cuenta corriente. Como el ingreso es constante e igual a 10, sabemosque Y = 10. Dado que el ingreso es 10 y el consumo es 15, el saldo de cuenta corriente es de -5. Sepuede calcular tambien con la ecuacion fundamental reemplazando valores.
Para el el periodo t+ 1 debemos calcular como cambia la riqueza ahora que se debe 5.
Wt+1 = 30 + (1 + r)Bt+1 = 30 − 7,5 = 22,5
El consumo entonces sera de la mitad de esto: Ct+1 = 11,25 De manera similar la cuenta corrientetendra un deficit de 1.25.
Para el periodo t+ 2, la deuda es de 7,5 + 1,25 8,8 por lo que la riqueza total del individuo es de
Wt+2 = 30 + (1 + r)Bt+2 = 30 − 13,2 = 16,8
El consumo sera entonces 8,4, y la cuenta corriente tendrıa un superavit de 1,4.
C -B CAt 15 5 -5
t+1 11.25 7.5 -1.25t+2 10 13.2 1.4
5. ¿Como se ve afectada la cuenta corriente por un aumento transitorio del ingreso en t+1 de ∆Yt+1 = 10.
Respuesta:La diferencia entre un shock transitorio previsto y no previsto es que si se espera, se suaviza a losperiodos anteriores ademas de los futuros. Si el shock es inesperado, se consume 15 y se genera undeficit de 5 en cuenta corriente. El siguiente periodo la riqueza en valor presente es de 40−7,5 = 32,25y el consumo aproximadamente 16 con un superavit de 4.
Si se espera, cambia el valor presente del ingreso a 30 + 101,5 36,5. Esto llevarıa a consumir mas en
el primer periodo donde Ct = 18,25 y el deficit en cuenta corriente seria de 8.25 en vez de 5. Estolleva a que en el siguiente periodo se tenga una mayor deuda y se consuma menos que en el caso deque fuera imprevisto. La riqueza en este caso es aproximadamente 40− 12 = 28. Le consumo es de 14y el superavit de cuenta corriente es de 16.
Caso Shock No PrevistoC -B CA
t 15 5 -5t+1 16 1 4
Caso Shock PrevistoC -B CA
t 18.25 8.25 -8.25t+1 14 2.25 6
6. Comenta como cambia su respuesta si este aumento es previsto en t.
Respuesta:Vemos que en el caso de que es shock sea previsto, el superavit de la cuenta corriente es mayor.Estose debe a que se suavizo el shock para periodos anteriores como tambien posteriores por lo que sedebio ahorrar mas del shock que en el caso imprevisto.
2.2.4. Trabajo, capital y el tipo de cambio real
Considere una economıa en la que se producen dos tipos de bienes: transables y no transables. Supongaque las empresas de esta economıa usan capital y trabajo para producir esos bienes. Asuma que la funcionde produccion de cada sector es:
Yi = AiKαi
i L1−αi
i (2.14)
donde i es el sector. Suponga que esta economıa se encuentra abierta al mercado de capitales inter-nacional, pero que es insular en cuanto al mercado del trabajo y que el stock total de trabajadores de laeconomıa es L
79
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
1. Calcule las proporciones de trabajadores de esta economıa que se emplearan en cada uno de lossectores y represente este equilibrio graficamente.
Respuesta:La empresa representativa de cada sector contratara trabajadores hata que:
AiKαi
i (1 − αi)L−αi
i = wi (2.15)
de modo que el equilibrio en el mercado laboral implica:
ATKαT
T (1 − αT )L−αT
T = ANTKαNT
NT (1 − αNT )L−αNT
NT (2.16)
a lo que hay que imponer equilibrio de mercado:
LT + LNT = L (2.17)
Supuesto: si αT = αNT = α,
ATKαT
T (1 − αT )ANTK
αNT
NT (1 − αNT )=
LαT
T
LαNT
NT
(2.18)
AT
ANT
(KT
KNT
)α
=(LT
LNT
)α
(2.19)(AT
ANT
)αKT
KNT=(LT
LNT
)(2.20)
LT = ΦLNT (2.21)
Luego,
ΦLNT + LNT = L (2.22)LNT (1 + Φ) = L (2.23)
LNT =L
1 + Φ(2.24)
LT =ΦL
1 + Φ(2.25)
Si no se asume αT = αNT = α, la solucion esta implıcita en (2.17) y (2.18)
2. Suponga que se produce un alza importante (una triplicacion) de los precios de los bienes transablesrelevantes para esta economıa. ¿Que efecto tiene sobre la distribucion de trabajadores entre sectores?¿Sobre el tipo de cambio real de equilibrio? ¿Sobre el tipo de cambio nominal de equilibrio?
Respuesta:
Si el tipo de cambio nominal es flexible, este se aprecia para compensar el alza en los precios transables.Mantiene el tipo de cambio real y la distribucion de trabajadores entre factores.
3. ¿Como cambia su respuesta si es que el tipo de cambio hubiese estado fijo o contenido en una bandacambiaria?
Respuesta:Presumiblemente el tipo de cambio nominal no se harbrıa podido apreciar para ajustar el cambio enel precio de los no transables completamente. Entonces el TCR se devalua. Se produce un alza enlos salarios reales medidos en unidades de no transables y un traslado de trabajadores del sector notransable al transable.
80
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
T NT
wPNT
PMgNT εPMgT
4. Suponga que este paıs tenıa originalmente una tasa de crecimiento de la productividad del trabajoequivalente entre los sectores transables y no transables. Suponga que repentinamente en este paıs seproduce una aceleracion del crecimiento de la productividad del sector transable. ¿Como cambia eltipo de cambio real de equilibrio? ¿El tipo de cambio nominal?Respuesta:
Si el aumento en el crecimiento relativo de la productividad del sector transable es exclusivo de estepaıs, por el efecto HBS debiera generar tipos de cambio sobrevaluados y sectores transables relativa-mente mas grandes. El ajuste del tipo de cambio real se puede producir vıa tipo de cambio nominal oprecios de no transables.
5. ¿Que ocurre si en un paıs como el descrito anteriormente se fija el tipo de cambio?Respuesta:
El ajuste se produce con inflacion de no transables.
6. ¿Que efecto tiene sobre el tipo de cambio real de equilibrio la entrada masiva de capitales a un paıs?¿Que diferencia hace si es que el tipo de cambio nominal esta fijo o flexible? Muestre graficamente.
Respuesta:La entrada masiva de capitales genera excesos de demanda de transables y no transables. El paıspuede sostener el exceso de demanda de transables con los flujos de capitales, pero los precios de losno transables tienen que subir para ajustar el mercado de no transables. El tipo de cambio real se tieneque apreciar. Es irrelevante si ello se produce a traves de una apreciacion real o nominal.
2.2.5. Desalineamientos del tipo de cambio real
El siguiente problema tiene por objetivo analizar las consecuencias intertemporales que puede producir,en un paıs pequeno, intentar mantener un tipo de cambio fijo en una economıa en pleno empleo con unpatron rıgido de ahorro e inversion.
El paıs en cuestion puede ser modelado por los siguientes parametros y ecuaciones:
Y = Y
S = sY
I = I0 − br∗
X = dq −X0
M = M0 − fq
81
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
donde Y , s, I0, b, d, X0, M0 y f son constantes y r∗ es la tasa de interes internacional, que para efectosdel problema tambien la consideraremos constante.
1. Calcule el ahorro externo, cuenta corriente, balanza comercial y tipo de cambio para el primer perıodoen esta economıa. (Suponga que el paıs comienza a existir en este perıodo y por lo tanto su deudainicial es 0).
Respuesta:Partimos calculando la balanza comercial del primero perıodo que corresponde a las exportacionesnetas. Estas serıan:
XN1 = X −M
XN1 = dq1 −X0 −M0 + fq1
XN1 = −(X0 +M0) + (f + d)q1
Y como no hay pago de factores al exterior, la balanza comercial (o exportaciones netas) correspondena la cuenta corriente.
CC1 = XN1 = −(X0 +M0) + (f + d)q1
El ahorro externo, por su lado, corresponde al deficit en la cuenta corriente:
SE1 = −CC1 = (X0 +M0) − (f + d)q1
Otra forma de definir esto es diciendo que el ahorro externo es la diferencia entre la inversion y elahorro interno. Es decir, son todos los fondos necesarios para financiar la inversion y que no alcanzacon los fondos del ahorro interno.
SE1 = I − SN = I0 − br∗ − sY
Por ultimo, el tipo de cambio lo podemos extraer de la definicion de deficit:
Dt(1 + r∗) = Dt+1 +XNt (2.26)
Como el paıs parte sin deuda, D1 = 0 y reemplazando la funcion de XN1 que recien encontramos nosquedarıa para el primer perıodo con:
2. Calcule los mismos parametros de la parte a.) para el segundo perıodo de la economıa.
Respuesta:Para el caso de la cuenta corriente en el perıodo 2, y considerando que la balanza comercial en el mismoperıodo es igual, vemos de la parte a. que hay solo constantes y una variable: el tipo de cambio.
Por esto, quedarıa como:
CC2 = XN2 = −(X0 +M0) + (f + d)q2
El ahorro externo por su parte serıa:
SE2 = I2 − SN2 = I0 − br∗ − sY
Y por el lado de la cuenta corriente quedarıa:
SE2 = (X0 +M0) − (d+ f)q2
El tipo de cambio serıa algo distinto. De la ecuacion () y sabiendo que D3 = 0 porque el Gobierno essolvente en el futuro, obtenemos:
82
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
D2(1 + r∗) = D3 +XN2
D2(1 + r∗) = XN2
D2(1 + r∗) = (d+ f)q2 − (X0 +M0)
q2 =(1 + r∗)D2 + (X0 +M0)
d+ f
3. ¿Como cambia la cuenta corriente y la balanza comercial? ¿Como cambia el tipo de cambio? Expliqueintuitivamente a que se debe la evolucion del tipo de cambio. ¿Puede ser sostenible esta economıa enel largo plazo? Explique.
Respuesta:En la medida que se cumplan las condiciones de Marshall-Lerner, vemos que el ponderador del tipode cambio (f + d) debiera ser mayor que cero, ası a mayor tipo de cambio, mayor es el saldo en labalanza comercial y tambien mayor el de la cuenta corriente.
El tipo de cambio, por su lado, en el primer perıodo dice que a mayor deficit el primer perıodo,menor va a ser. Dicho de otra forma, si el tipo de cambio es alto el primer perıodo, van a generarserecursos que haran tener un deficit bajo. La evolucion del tipo de cambio dependera del nivel de pasivosexternos que hayan. Si hay un elevado nivel de estos (Dt) tendra un tipo de cambio real depreciadopara generar los recursos que le permitan pagar dichos compromisos. Por el otro lado, un elevadodeficit en la cuenta corriente (D(t+ 1)−Dt) resultara en un tipo de cambio real apreciado. Entoncessi un paıs quiere evitar tener un perıodo con alto deficit y quiere controlar eso, debera tener un tipo decambio depreciado. Pero esta medida solo se puede mantener en el corto plazo. Ya que en el proximoperıodo, al haber mejor situacion comercial, el tipo de cambio se apreciara (como lo que ocurrio conJapon) debilitando la economıa y haciendola menos competitiva. Incluso con la posibilidad de llegara un punto como el inicial. Lo que impide que la economıa sea sostenible en el largo plazo.
Suponga ahora que el gobierno decide implementar una polıtica de tipo de cambio fijo, para lo cual fijaqn = . . . = qk = . . . = q3 = q2 = q1, es decir estanca el tipo de cambio en su valor del primer perıodo,para poder realizar esta polıtica suponga que ahora el gobierno puede mediante algun mecanismoalterar el valor del nivel de ahorro s.
4. Discuta por que el gobierno no podrıa implementar esta medida si la tasa de ahorro se mantuvieraconstante y calcule la nueva tasa de ahorro para el segundo perıodo.
Respuesta:Al ser la tasa de interes internacional la relevante si congelamos el tipo de cambio al valor del primerperıodo, el Gobierno pierde la unica variable de control que tiene en esta economıa por lo tanto todopasa a ser un dato. Si no es capaz de alterar algun parametro pierde su condicion de hacer polıticapara poder cumplir con sus compromisos financieros y ser finalmente solvente.
Como habıamos visto en la parte a. el ahorro externo se podıa ver como la diferencia entre la inversiony el ahorro interno, o como el deficit de la cuenta corriente. De esto, podemos obtener una condicionde equilibrio para el ahorro:
SE1 = −CC1 = I − SN
(X0 +M0) − (f + d)q1 = I0 − br∗ − sY
sY = (f + d)q1 − (X0 +M0 − I0) − br∗
s∗2 =(f + d)q1 − (X0 +M0 − I0) − br∗
Y
83
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
5. Calcule el valor de la balanza comercial para un perıodo n, con n ≥ 2. Discuta si es sostenible estevalor de la balanza comercial en el largo plazo.
Respuesta:A partir de la restriccion intertemporal en economıa abierta tenemos que la deuda y sus respectivosintereses que un paıs tiene el perıodo n deben ser igual al valor presente de las futuras exportacionesnetas:
Dn(1 + r∗) =∞∑
s=0
XNn+s
(1 + r∗)s
Por lo tanto de esto, debemos despejar el valor n de la balanza comercial (exportacio neta) y reemplazarla funcion de exportaciones netas que tenıamos al principio:
Dn(1 + r∗) −∞∑
s=1
XNn+s
(1 + r∗)s= XNn
Dn(1 + r∗) −∞∑
s=1
[(f + d)qn+s − (X0 +M0)](1 + r∗)s
= XNn
∀n ≥ 2
Manteniendo constante la tasa de interes y todos los otros parametros mencionados, este valor solo essostenible en el tiempo si se producen suficientes superavits para pagar los posibles deficits que pudieronhaber habido (los que estan expresados en la deuda Dn) pero sin la explosion de ellos (los superavits).Ya que esto conducirıa a una apreciacion del tipo de cambio lo que ahogarıa el sector transable yterminarıa produciendo un efecto riqueza que podrıa hacer volver a la economıa a la condicion dedeficit.
2.2.6. El Regreso de G, BC, Cuenta Corriente y Q de Tobin
Suponga una economıa donde las firmas maximizan el valor presente de sus utilidades futuras eligiendoel nivel de trabajo y capital sujeto a la siguiente ley de movimiento del capital:
Kt+1 −Kt = It − δKt (2.27)
La formacion neta de capital se caracteriza por la siguiente funcion de costos:
(It − δKt)θ
θ(2.28)
La produccion se genera a traves de una funcion de produccion Y = F (K) con FK > 0 y FKK < 0.Ademas de esto usted debe saber que las firmas venden su producto a un precio φ, el costo unitario de lainversion en dolares es igual a d, la tasa de interes viene denotada por r y el tipo de cambio nominal vigentees e. En base a la informacion entregada en el enunciado se pide:
1. Verifique bajo que condiciones se cumple estrıctamente la caracterıstica mas importante de unafuncion de costos de ajuste en el contexto de la q de Tobin. ¿Cual es la importancia de este resultado?
Respuesta:Es facil ver que la principal propiedad que una funcion de costos de ajuste debe cumplir es que estadebe ser estrıctamente convexa. Matematicamente:
∂C∂It
= (It − δKt)θ−1 > 0
84
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
∂2C∂I2
t
= (θ − 1)(It − δKt)θ−2 > 0
La ultima condicion implica que θ > 1 para que la funcion sea estrıctamente convexa .
Este resultado es importante porque determina la estructura que la funcion de costos de ajuste tendra.Bajo los supuestos anteriores vemos que esta estructura hara que la funcion sea convexa, lo que implicaque las firmas preferiran hacer ajustes graduales de capital y no de golpe.
2. Resuelva el problema de maximizacion de las firmas y determine las ecuaciones de movimiento parael capital y la q. Para esto puede suponer que θ = 2 para lo que sigue del ejercicio.
Respuesta:Las firmas desean maximizar el valor presente de sus flujos. Sin embargo estan sujetas a la ecuacionde movimiento del capital. Entonces, la ecuacion de maximizacion de la firma viene dada por:
L =∞∑
t=0
(1
1 + r
)s [φF (Kt) − ed · It −
(It − δKt)2
2+ qt (It − δKt −Kt+1 +Kt)
](2.29)
Derivando con respecto a las variables de decision tenemos:
∂L∂It
= −ed− (It − δKt) + qt = 0 (2.30)
qt − ed = It − δKt = Kt+1 −Kt (2.31)
Donde (2.31) representa la ecuacion de movimiento del capital.
L∂Kt+1
=(
11 + r
)s
[−qt] +(
11 + r
)s+1 [φFKt+1 + δ(It+1 − δKt+1) − δqt+1 + qt+1
]= 0 (2.32)
Reemplazando (2.31) en (2.32) tenemos:
(1
1 + r
)s
[−qt] +(
11 + r
)s+1 [φFKt+1 + δ (qt+1 − ed) − δqt+1 + qt+1
]= 0
Con un poco de algebra llegamos a que:
qt+1 − qt = qtr − φFKt+1 + ed · δ (2.33)
Donde (2.33) representa la ecuacion de movimiento de la q.
3. Suponga que el Ministro de Hacienda ha decidido tomar medidas sorpresivas con el objeto de lograrun fuerte golpe anımico en la alicaıda situacion economica que se vive. Para esto decide otorgar unsubsidio a las Pymes, el cual consta de s dolares por unidad de maquinaria invertida. En base a lainformacion otorgada determine detalladamente los movimientos en el diagrama de fases y analicela dinamica de la q, el capital y la cuenta corriente en el tiempo.
Respuesta:
El Presidente del Banco Central no ha podido dormir bien desde hace algunas semanas. Esto debidoa los fuertes episodios de inflacion que ha sufrido el paıs en los ultimos tiempos. Un asesor insiste enque suba la tasa de interes en una cuantıa no menor. El Presidente seguramente accedera a su consejo.
85
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.9: Diagrama de Fases
q
K
q = 0 q′ = 0
K = 0
K ′ = 0
ed
ed(1 − s)
Figura 2.10: Dinamica
q
t
CC
K
86
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.11: Diagrama de Fases
q
K
q = 0q′ = 0
K = 0ed
4. En base a lo anterior determine los efectos que tendrıa un anuncio del Presidente del Banco Centralacerca de una potencial alza en la tasa de interes en diagrama de fases y en la dinamica de la q, elcapital y la cuenta corriente en el tiempo.
Respuesta:
Los efectos del anuncio del Presidente del Banco Central se presentan en las figuras 2.11 y 2.12.
2.2.7. Economıa Abierta y CC
Suponga una economıa pequena y abierta que divide su existencia en dos periodos. Los agentes tienenutilidad logarıtmica. Los ingresos de esta economıa son constantes (Y1 = Y2 = Y ) y los agentes descuentanla utilidad del segundo periodo por un factor β = 1/(1 + r), donde r es la tasa de interes relevante para laeconomıa.
1. Encuentre el consumo optimo y el saldo en CA que se genera. Muestra graficamente el equilibrio yidentifique la CA.
Respuesta:Buscamos maximizar la utilidad intertemporal de esta economıa sujeto a su restriccion presupuestarıa.Esto se puede escribir de la siguiente manera:
maxU(c1, c2) = ln(c1) + β ln(c2) s.a. Y +Y
1 + r= c1 +
c21 + r
= ln(c1) + β ln ((2 + r)Y − c1(1 + r))
∂U
∂c1=
1c1
− β(1 + r)1c2
= 0
=c2c1
= β(1 + r) = 1 ⇒ c1 = c2 = C
Este resultado es obvio dado el descuento que se impuso en esta economıa. Reemplazando este resultadoen la restriccion presupuestarıa encontramos el nivel optimo de consumo:
87
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.12: Dinamica
q
t
CC
K
Y +Y
1 + r= C +
C
1 + r→ C = Y
Esto lleva a que el saldo de la CA es 0.
2. Ahora suponga que existe un gobierno quien gasta (G1, G2) el cual no es valorado por los agentes. Estegasto debe ser finaciado en cada momento a traves de impuestos (T1, T2). En este caso el gobierno secompromete a un gasto parejo en el tiempo. (T1 = T2). ? Como cambia el equilibrio encontrado ena)? Grafique ambos equilibrios para comparar.
Respuesta:
Se repite el mismo proceso de maximizacion pero tomando en cuenta el efecto del gasto del gobiernoen la restriccion presupuestarıa. Dado que el gasto no es valorado, solo entra al problema a traves delos impuestos que se deben recaudar para financiar este y por lo tanto afectan el ingreso disponible ypor lo tanto la riqueza total del individuo.
Como G1 = G2 = G, entonces T1 = T2 = T dado la restriccion presupuestarıa del gobierno.
maxU(c1, c2) = ln(c1) + β ln(c2) s.a. Y − T +Y − T
1 + r= c1 +
c21 + r
= ln(c1) + β ln((2 + r)(Y − T ) − c1(1 + r))
∂U
∂c1=
1c1
− β(1 + r)1c2
= 0
=c2c1
= β(1 + r) = 1 ⇒ c1 = c2 = C
Vemos que este resultado nos muestra que no cambia la eleccion de consumo en el tiempo. La eleccionde el consumo relativo no es afectado por la trayectoria de ingreso disponible sino a traves de las
88
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
preferencias (β ) y la tasa de interes que esta dada en este caso. Esto se puede ver en nuestracondicion de primer orden para el consumo:
c2c1
= β(1 + r)
Reemplazando c1 = c2 = C en la restriccion presupuestarıa encontramos el nivel optimo de consumo:
Y − T +Y − T
1 + r= C +
C
1 + r→ C = Y − T = Y −G = Y d
Vemos ademas que CA=0. Vemos que no fue afectado por los impuestos.
3. Suponga que el gasto del gobierno ira creciendo en el tiempo de forma que G2 = 3G1. Sin embargo elvalor presente del gasto total sera el mismo que en la parte b). Esto significa que
G = G+G
1 + r= G1 +
3G1
1 + r
Encuentre el nuevo equilibrio y grafique. Muestre como cambia la CA en este caso y discuta porquees distinto que los casos anteriores.
Respuesta:Vemos que nuestro problema es el mismo pero que nuestra restriccion presupuestarıa cambia.
Reemplazando este resultado en la restriccion presupuestarıa encontramos el nivel optimo de consumo:
2 + r
1 + rC = Y − T1 +
Y − 3T1
1 + r
=1 + r
2 + r
[Y −G1 +
Y − 3G1
1 + r
]=
1 + r
2 + r
[(2 + r)Y − (4 + r)G1
1 + r
]=
1 + r
2 + r
[(2 + r)Y − (2 + r)G
1 + r
]C = Y −G = Y d
Vemos que el consumo es el mismo que en la pregunta a). Esto se debe a que el valor presente delgasto del gobierno es el mismo en ambos caso y que los agentes suavizan completamente su consumo.
Sin embargo este caso es distinto a los anteriores ya que el efecto del gasto del gobierno creciente generaun incentivo a ahorrar en el tiempo debido a que los ingresos del segundo periodo seran disminuidosdebido a los impuestos mas altos con respecto al primer periodo.
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
El ahorro es
Y −G1 − C = Y −G1 − (Y −G)En terminos del gasto del gobierno total y constante:
CA =1 + r
2 + rG− 1 + r
4 + rG
=2(1 + r)
(4 + r)(2 + r)G > 0
Con Y d1 = Y −G1 y Y d2 = Y − 3G1 por lo que Y d1 > Y d2
2.2.8. Inversion optima y la Cuenta Corriente
Suponga una economıa de agentes ricardianos que optimizan sobre un horizonte infinito su funcion deutilidad que tiene la caracterıstica que ser CRRA
Ut =C
1− 1σ
t
1 − 1σ
y donde el proceso de formacion de capital se caracteriza por una funcion
Costos de Ajuste = φ(Is)2
2donde φ ∈ [0, 1]
. La produccion se genera a traves de una funcion de produccion Y = AF (K,L) con las usuales propiedadesde retornos marginales decrecientes en cada factor y dondeA es un factor exogeno que mide la productividad.El capital se acumula atraves de la siguiente regla Kt+1 −Kt = It − δKt.
1. Desarrolle el problema de maximizacion de las firmas en esta economıa y derive el diagrama fase quedescribe el equilibrio en cual se invierte solo lo que se deprecia el capital.
Respuesta:Por teorema de separacion de Fischer, sabemos que los agentes maximizan beneficios independientede sus preferencias. Por lo tanto, el problema de optimizacion del agente es:
maxLs,Ks+1,Is
∆ =∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [AsF (Ks, Ls) − Is − wsLs − φ
(Is)2
2
]s.a. Ks+1 −Ks = Is − δKs
L =∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [AsF (Ks, Ls) − Is − wsLs − φ
(Is)2
2+ qs[Is − δKs −Ks+1 +Ks]
]CPOs:
LLs
= FL − ws = 0
Este es el clasico resultado de un mercado laboral competitivo, en el cual el valor de la productividadmarginal del trabajo es el salario.
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Por lo tanto, resumiendo:
qs = φIs + 1 (2.34)
qs+1 − qs =qs(r + δ) −As+1FK
1 − δ(2.35)
Ahora, para encontrar el equilibrio vemos donde las variables no cambian:
qs = 0 ⇒ qs =As+1FK
(r + δ)
Ks = 0 ⇒ qs = φδKs+1 + 1
2. En este contexto derive la ecuacion fundamental de la cuenta corriente. NO se puede suponer queβ(1 + r) = 1.
Respuesta:Para encontrar la trayectoria del consumo, simplemente usamos la ecuacion de Euler, lo que nospermitira reemplazar el consumo en el perıodo s, Cs, en la restriccion presupuestaria.
u′(Ct) = u′(Ct+1)β(1 + r) (2.36)
C− 1
σt = C
− 1σ
t+1β(1 + r) (2.37)Ct+1 = Ct [(1 + r)β]σ (2.38)
En la restriccion presupuestaria:
∞∑s=t
(1
1 + r
)s−t
Cs =∞∑
s=t
(1
1 + r
)s−t
[Ys − Is −Gs] + (1 + r)Bt︸ ︷︷ ︸Wt
Desarrollando la sumatoria ahora que sabemos como es su movimiento en el tiempo:
Ct + Ct1
1 + r[(1 + r)σβσ] + Ct
[1
1 + r[(1 + r)σβσ]
]2+ . . . = Wt
Si tomamos (1 + r)σ−1βσ < 1 esta progresion geometrica se reduce a:
11 − ((1 + r)σ−1βσ)
Si hacemos que ν = 1 − ((1 + r)σ−1βσ), podemos escribir el consumo de la siguiente manera:
Ct = νWt =r + ϑ
1 + rWt (2.39)
Donde ϑ = 1 − (1 + r)σβσ. Usando esta expresion en la ecuacion para la cuenta corriente:
CAt = Yt − It −Gt + rBt − Ct
= Yt − It −Gt + rBt −r + ϑ
1 + rWt
Para seguir hacemos un pequeno desvıo para explicar una idea que nos va ser util mas adelante.
91
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Suponga una variable que es constante en el tiempo X pero que tiene el mismo valor presente de otravariable X que es variable.
En otras palabras se cumple:
∞∑s=t
(1
1 + r
)s−t
X =∞∑
s=t
(1
1 + r
)s−t
Xt
lo que se puede escribir como:
X =r
1 + r
∞∑s=t
(1
1 + r
)s−t
Xt
Se puede interpretar a X como el valor permanente de los Xt.
Entonces, continuando con el desarrollo de la cuenta corriente, nos damos cuenta que:
r
1 + rWt = Yt − It − Gt − rBt
Por lo tanto, el desarrollo de la cuenta corriente nos da:
= Yt − It −Gt + rBt −r
1 + rWt︸ ︷︷ ︸
Yt−It−Gt−rBt
− ϑ
1 + rWt
= (Yt − Yt) − (It − It) − (Gt − Gt) −ϑ
1 + rWt
Vemos que hay dos efectos que mueven la cuenta corriente en este caso. Por un lado esta el efectotıpico de suavizacion del consumo segun teorıas tipo Friedman de ingreso permanente.
Por otro lado esta el efecto de las preferencias y la discrepancia entre δ y r.
Donde el ultimo termino refleja un segundo motivo (ademas de la suavizacion intertemporal) quepersiguen los consumidores: Inclinacion del patron de consumo con β = 1
1+r .
3. Explique usando la ecuacion derivada en b) como se vera afectada la CC si se da a conocer el elperiodo t+ 1 una caıda transitoria de FK en t+ 3 hasta t+ 6. Muestre graficamente el diagrama defase y la evolucion detallada de CC, I,K, q, y C.
Respuesta:
La reduccion temporal de la productividad marginal del capital genera un perıodo de desinversion,dados los costos de mantener capital improductivo. Al conocer la noticia y no poder modificar lacantidad de capital, baja el valor de q. De t + 2 hasta t + 3 las firmas reducen capital y se reducela q. Una vez que la baja en productividad se hace efectiva, las firmas siguen desinvirtiendo, pero elcapital que va quedando va subiendo de valor, por lo que la q sube. Finalmente, las firmas, previendoel final del perıodo de baja productividad empiezan a invertir, por lo que el stock de capital aumentay tambien la q. Una vez reestablecida la productividad del capital, las firmas han alcanzado el brazoestable y lentamente continuan inviritiendo, aumentando el stock de capital y a la vez reduciendose laq.
Durante este perıodo, la Cuenta Corriente se tiene un perıodo de superavit y despues de deficit.Primero, la desinversion genera una disminucion de la absorcion, lo que genera una desvıacion tem-poral de Is con respecto a Is. En este primer perıodo,
Is − Is < 0
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
, esto significa un superavit fuerte e instantaneo de la CC. Para verificar esto simplemente tenemosque observar la ecuacion 2. El termino −(Is − Is) es positivo, por lo que (todo lo demas constante),la CC > 0.Despues, cuando las firmas empiezan a invertir, Is > Is, por lo que la CC < 0.
4. Explique usando la ecuacion derivada en b) como se vera afectada la CC si se da a conocer en elperiodo t + 1 una caıda transitoria de FK > F ′
K en t + 3 hasta t + 6 y que despues de la baja de laproductividad se sabe que viene un aumento en F ′′
K > FK de manera permanente. Muestre grafica-mente el equilibrio para la inversion en un diagrama de fase y la evolucion detallada de CC, I,K, q, y C.
Respuesta:Las firmas, al anunciarse la menor productividad del capital transitoria, se comportan similarmenteal item anterior. Sin embargo, una vez que el cambio en productividad se realiza, se conoce la noticia(sorpresiva), que la productividad va a aumentar por sobre el nivel original en t + 6, una vez que seacabe la baja productividad transitoria. Entonces, cuando conocen esta noticia (en t+ 3), el valor delcapital aumenta drasticamente, por lo tanto aumenta la q. Esto hace que las firmas inviertan en losperıodos siguientes hasta que se materializa el aumento permanente en productividad, es ahı cuandolas firmas ya se ubican en el brazo estable final.La cuenta corriente se vera afectada por una inicial disminucion de capital, por lo que en un principioIs − Is < 0, sin embargo, una vez conocida la noticia del aumento permanente en productividad, esesigno va a cambiar, por lo que Is−Is > 0. Finalmente la inversion va a caer lentamente hasta alcanzarel punto de equilibrio.
2.2.9. La tasa de interes y la cuenta corriente
En una economıa cerrada existe un agente y su vida se divide en dos perıodos. Su funcion de utilidad eslogarıtmica y esta dada por la ecuacion U = lnC1 +β lnC2, donde C1 es el consumo en el primer perıodo yC2 el consumo del segundo perıodo. En cada perıodo, el agente recibe un ingreso de Y1 = 100 e Y2 = 200.Este ingreso es exogeno y es el unico bien que existe. Suponga que su factor de descuento subjetivo δ es de15 %.
1. ¿Cual es la tasa de interes de equilibrio prevaleciente en esta economıa dado que el agente vive enautarquıa? Calcule su utilidad.
Respuesta:
L = lnC1 + β lnC2 + λ
(Y1 +
Y2
1 + r− C1 −
C2
1 + r
)(2.40)
∂L
∂C1= C−1
1 − λ = 0 ⇔ C−11 = λ (2.41)
∂L
∂C2= βC−1
2 − λ1
1 + r= 0 ⇔ C−1
2 = λ1 + δ
1 + r(2.42)
Dividiendo (2.41) por (2.42),
C2
C1=
1 + r
1 + δ(2.43)
C2 =1 + r
1 + δC1 (2.44)
Sabemos que el individuo vive en autarquıa y su tasa de descuento subjetivo es de 15%, luego200100
=1 + r
1,15(2.45)
2 × 1,15 = 1 + r (2.46)r = 1,3 (2.47)
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Su utilidad sera,
U0 = ln(100) +ln(200)1,15
= 9,21 (2.48)
2. Suponga ahora que el agente puede ahorrar a una tasa de interes de 20 %. Calcule su consumo enambos perıodos y su utilidad.
Respuesta:Reemplazamos (2.44) en la restriccion presupuestaria,
Y1 +Y2
1 + r− C1 −
1+r1+δC1
1 + r= 0 (2.49)
Y1 +Y2
1 + r= C1
(1 +
11 + δ
)(2.50)
Y1 + Y21+r(
1 + 11+δ
) = C1 (2.51)
100 + 166,61,87
= C1 (2.52)
142,6 = C1 (2.53)148,8 = C2 (2.54)
U0 = ln(142,6) +ln(148,8)
1,15= 9,31 (2.55)
3. Sin hacer calculos, diga si esta economıa tendra un superavit o un deficit en la cuenta corriente en elprimer perıodo.
Respuesta:Como la tasa de interes de autarquıa es mayor que la tasa de interes, el individuo prefiere tener masconsumo en el perıodo, por lo cual la economıa experimentara un deficit en el primer perıodo.
4. Calcule el deficit(superavit) de la cuenta corriente.
5. Con los resultados anteriores responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas, falsas o inciertas:
a) Los deficit comerciales son siempre negativos para los paıses.
Respuesta:Falso. Para que exista un paıs con deficit comercial,es decir, esta consumiendo mas de lo queproduce, tiene que existir una contraparte que tenga un superavit comercial. Ademas, un paıs nopuede estar endeudado para siempre, en algun momento tendra que pagar a sus acreedores.
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
b) Paıses con tasa de interes de autarquıa mayores que la tasa de interes mundial tendran un deficiten la cuenta corriente, porque para ellos es mas barato consumir en el futuro que en el presente;por tanto, importaran en el perıodo 1 y exportaran en el perıodo 2.
Respuesta:Falso. La tasa de autarquıa es aquella que hace que el individuo elija no ahorrar ni endeudarse.Como vimos en el capıtulo de consumo, si un individuo es neutro, ante un cambio en la tasade interes solo opera el efecto sustitucion. El precio de consumir en el perıodo 2 viene dado por1/(1 + r) y sabemos que 1/(1+ rA) < 1/(1 + r∗), es decir, el presente se hace relativamente masbarato.
2.2.10. Equilibrio con dos paıses
Suponga que en el mundo existen dos paıses, A y B. En cada paıs las funciones de ahorro e inversionestan dadas por:
A : SA = 350 + r + 0, 2Y A
IA = 1000 − 2r,
B : SB = 10 + r + 0, 2Y B
IB = 150 − r
Donde, I es inversion, S ahorro nacional, r tasa de interes real, Y A es el ingreso del paıs A que se suponeexogeno e igual a 3000 e Y B es el ingreso corriente del paıs B tambien exogeno e igual a 300.
1. Calcule la tasa de interes y los niveles de ahorro-inversion de cada economıa en el equilibrio de autar-quıa financiera, es decir cuando no se pueden endeudar ni prestar.
Respuesta:Resolviendo S = I en cada paıs se llega a rA = 16, 6 y rB = 40. En este caso SA = IA = 966, 7 ySB = IB = 110.
2. Suponga ahora que ambos paıses firman un acuerdo, al cual denominan TLC, el cual permite elcomercio libre de activos financieros, con lo cual los paıses podran endeudarse o prestar al otro sinrestricciones. Determine el equilibrio de la economıa mundial (tasa de interes, ahorro e inversion) y losmontos de ahorro, inversion y cuenta corriente de cada paıs. ¿Como es la tasa de interes de equilibriomundial comparado con el equilibrio de autarquıa de cada paıs?
Respuesta:Ahora hay que calcular el ahorro y la inversion mundial, para llegar a r∗ = 26, con lo que SA = 976,IA = 948, lo que da un superavit de cuenta corriente (CC) igual a 28. Similarmente en B: SB = 96e IB = 124, con lo cual tendra un deficit en cuenta corriente de 28.
3. Ahora, la economıa del paıs A se ve afectada por un gran shock fiscal expansivo que reduce el ahorroen una cantidad igual a 60. Calcule el efecto de dicha polıtica sobre el equilibrio de ambos paıses (tasade interes real mundial, ahorro, inversion y saldo de la cuenta corriente).
Respuesta:En este caso SA cae en 60, lo que lleva un alza de la tasa de interes mundial a r∗ = 38. En A elahorro cae a 928, la inversion a 924, con lo que el superavit en la cuenta corriente llega a solo 4. EnB el deficit es de 4 con ahorro de 108 e inversion de 112.
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
1
2
Y1
Y2
−(1 + rA)
−(1 + r∗1)
−(1 + r∗2)
E
E1
E2
Figura 2.13: Equilibrio economıa abierta sin produccion.
4. Use un diagrama de una economıa en dos perıodos para mostrar que cuando una economıa se abrefinancieramente al exterior, mientras mas diferente es la tasa de autarquıa de la tasa de interes inter-nacional, mayores son los beneficios de la apertura, independiente de si el paıs termina siendo deudoro acreedor. Explique intuitivamente su resultado.
Respuesta:Al abrirse al comercio exterior el pais puede realizar proyectos que antes no podıa, y desarrollar lasactividades que realmente le retornan mas en los distintos periodos de tiempo.
Supongamos dos casos:
Caso 1: r∗1 > rA
Caso 2: r∗2 < rA
Observamos en el grafico que en cualquiera de los casos, la economıa alcanza una curva de indiferenciamayor al abrirse a los mercados, por lo que independiente de si la tasa de interes internacional esmayor o menos a la de autarquıa de un paıs, ese paıs se va a beneficiar de la apertura.
Ahora suponga que ambos paıses exportan e importan de acuerdo a las siguientes funciones:
MA = 250 − 2q + 0, 4Y A (2.58)XA = 1200 + 3q (2.59)
1. Suponga que las economıas no tienen ni activos ni pasivos externos. En autarquıa financiera ambaseconomıas pueden exportar e importar. Calcule el tipo de cambio real de equilibrio en cada paıs cuan-do las economıas son financieramente cerradas (considere los parametros sin shock fiscal).
Respuesta:Ya que son economıas financieramente cerradas, no pueden endeudarse ni ahorrar, por lo que no haydeficit ni superavit de cuenta corriente, entonces se igualan exportaciones con importaciones en cadapaıs, con lo que se llega a qA = 50 y qB = 70.
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. ¿Cual es el tipo de cambio real de equilibrio despues de TLC?¿Que se puede decir respecto al im-pacto que tiene sobre el tipo de cambio real la apertura financiera en una economıa que al finalterminara endeudandose?
Respuesta:El tipo de cambio debe variar de modo que A tenga un superavit de 28 y B un deficit de 28. En Ahabra una depreciacion real para inducir el superavit y en B una apreciacion real. SE llega a qA = 55, 6y qB = 63. La apertura financiera aprecia el tipo de cambio en las economıas deudoras.
3. Suponga ahora que los aranceles en B caeran con TLC y esto resultara en un aumento de las im-portaciones de 16 unidades. ¿Que pasara con el tipo de cambio real de equilibrio en B? ¿Que puedeconcluir respecto al impacto sobre el tipo de cambio real de una apertura al comercio internacional?
Respuesta:Sumando 16 a las importaciones en B y con un deficit de 28 se llega a qB = 67, con lo cual laapertura comercial deprecia el tipo de cambio para inducir exportaciones que compensen el aumentode las importaciones. El efecto neto de apertura comercial y financiera es ambiguo, aunque en esteejercicio domina el financiero.
2.2.11. Desalineamiento del tipo de cambio real
El siguiente problema tiene por objetivo analizar las consecuencias intertemporales que puede producir,en un paıs pequeno, intentar mantener un tipo de cambio fijo en una economıa en pleno empleo con unpatron rıgido de ahorro e inversion.
El paıs en cuestion puede ser modelado por los siguientes parametros y ecuaciones:
Y = Y (2.62)S = sY (2.63)I = I0 − br∗ (2.64)X = dq −X0 (2.65)M = M0 − fq (2.66)
donde Y , s, I0, b, d, X0, M0 y f son constantes y r∗ es la tasa de interes internacional, que para efectosdel problema tambien la consideraremos constante.
1. Calcule el ahorro externo, cuenta corriente, balanza comercial y tipo de cambio para el primer perıodoen esta economıa. (Suponga que el paıs comienza a existir en este perıodo y por lo tanto su deudainicial es 0).
Respuesta:Partimos calculando la balanza comercial del primero perıodo que corresponde a las exportacionesnetas. Estas seıan:
XN1 = X −M
XN1 = dq1 −X0 −M0 + fq1
XN1 = −(X0 +M0) + (f + d)q1
Y como no hay pago de factores al exterior, la balanza comercial (o exportaciones netas) correspondena la cuenta corriente.
CC1 = XN1 = −(X0 +M0) + (f + d)q1
El ahorro externo, por su lado, corresponde al deficit en la cuenta corriente:
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2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
SE1 = −CC1 = (X0 +M0) − (f + d)q1
Otra forma de definir esto es diciendo que el ahorro externo es la diferencia entre la inversion y elahorro interno. Es decir, son todos los fondos necesarios para financiar la inversion y que no alcanzacon los fondos del ahorro interno.
SE1 = I − SN = I0 − br∗ − sY
Por ultimo, el tipo de cambio lo podemos extraer de la definicion de deficit:
Dt(1 + r∗) = Dt+1 +XNt (2.67)
Como el paıs parte sin deuda, D1 = 0 y reemplazando la funcion de XN1 que recien encontramos nosquedarıa para el primer perıodo con:
2. Calcule los mismos parametros de la parte a.) para el segundo perıodo de la economıa.
Respuesta:Para el caso de la cuenta corriente en el perıodo 2, y considerando que la balanza comercial en el mismoperıodo es igual, vemos de la parte a. que hay solo constantes y una variable: el tipo de cambio.
Por esto, quedarıa como:
CC2 = XN2 = −(X0 +M0) + (f + d)q2
El ahorro externo por su parte serıa:
SE2 = I2 − SN2 = I0 − br∗ − sY
Y por el lado de la cuenta corriente quedarıa:
SE2 = (X0 +M0) − (d+ f)q2
El tipo de cambio serıa algo distinto. De las ecuaciones anteriores y sabiendo que D3 = 0 porque elGobierno es solvente en el futuro, obtenemos:
D2(1 + r∗) = D3 +XN2
D2(1 + r∗) = XN2
D2(1 + r∗) = (d+ f)q2 − (X0 +M0)
q2 =(1 + r∗)D2 + (X0 +M0)
d+ f
98
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
3. ¿Como cambia la cuenta corriente y la balanza comercial? ¿Como cambia el tipo de cambio? Expliqueintuitivamente a que se debe la evolucion del tipo de cambio. ¿Puede ser sostenible esta economıa enel largo plazo? Explique.
Respuesta:En la medida que se cumplan las condiciones de Marshall-Lerner, vemos que el ponderador del tipode cambio (f + d) debiera ser mayor que cero, ası a mayor tipo de cambio, mayor es el saldo en labalanza comercial y tambien mayor el de la cuenta corriente.
El tipo de cambio, por su lado, en el primer perıodo dice que a mayor deficit el primer perıodo,menor va a ser. Dicho de otra forma, si el tipo de cambio es alto el primer perıodo, van a generarserecursos que haran tener un deficit bajo. La evolucion del tipo de cambio dependera del nivel de pasivosexternos que hayan. Si hay un elevado nivel de estos (Dt) tendra un tipo de cambio real depreciadopara generar los recursos que le permitan pagar dichos compromisos. Por el otro lado, un elevadodeficit en la cuenta corriente (D(t+1) −Dt) resultara en un tipo de cambio real apreciado. Entonces siun paıs quiere evitar tener un perıodo con alto deficit y quiere controlar eso, debera tener un tipo decambio depreciado. Pero esta medida solo se puede mantener en el corto plazo. Ya que en el proximoperıodo, al haber mejor situacion comercial, el tipo de cambio se apreciara (como lo que ocurrio conJapon) debilitando la economıa y haciendola menos competitiva. Incluso con la posibilidad de llegara un punto como el inicial. Lo que impide que la economıa sea sostenible en el largo plazo.
Suponga ahora que el gobierno decide implementar una polıtica de tipo de cambio fijo, para lo cual fijaqn = . . . = qk = . . . = q3 = q2 = q1, es decir estanca el tipo de cambio en su valor del primer perıodo,para poder realizar esta polıtica suponga que ahora el gobierno puede mediante algun mecanismoalterar el valor del nivel de ahorro s.
4. Discuta por que el gobierno no podrıa implementar esta medida si la tasa de ahorro se mantuvieraconstante y calcule la nueva tasa de ahorro para el segundo perıodo.
Respuesta:Al ser la tasa de interes internacional la relevante si congelamos el tipo de cambio al valor del primerperıodo, el Gobierno pierde la unica variable de control que tiene en esta economıa por lo tanto todopasa a ser un dato. Si no es capaz de alterar algun parametro pierde su condicion de hacer polıticapara poder cumplir con sus compromisos financieros y ser finalmente solvente.
Como habıamos visto en la parte a. el ahorro externo se podıa ver como la diferencia entre la inversiony el ahorro interno, o como el deficit de la cuenta corriente. De esto, podemos obtener una condicionde equilibrio para el ahorro:
SE1 = −CC1 = I − SN
(X0 +M0) − (f + d)q1 = I0 − br∗ − sY
sY = (f + d)q1 − (X0 +M0 − I0) − br∗
s∗2 =(f + d)q1 − (X0 +M0 − I0) − br∗
Y
5. Calcule el valor de la balanza comercial para un perıodo n, con n ≥ 2. Discuta si es sostenible estevalor de la balanza comercial en el largo plazo.
Respuesta:A partir de la restriccion intertemporal en economıa abierta tenemos que la deuda y sus respectivosintereses que un paıs tiene el perıodo n deben ser igual al valor presente de las futuras exportacionesnetas:
Dn(1 + r∗) =∞∑
s=0
XNn+s
(1 + r∗)s
99
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Por lo tanto de esto, debemos despejar el valor n de la balanza comercial (exportacion neta) y reem-plazar la funcion de exportaciones netas que tenıamos al principio:
Dn(1 + r∗) −∞∑
s=1
XNn+s
(1 + r∗)s= XNn
Dn(1 + r∗) −∞∑
s=1
[(f + d)qn+s − (X0 +M0)](1 + r∗)s
= XNn
∀n ≥ 2
Manteniendo constante la tasa de interes y todos los otros parametros mencionados, este valor solo essostenible en el tiempo si se producen suficientes superavits para pagar los posibles deficits que pudieronhaber habido (los que estan expresados en la deuda Dn) pero sin la explosion de ellos (los superavits).Ya que esto conducirıa a una apreciacion del tipo de cambio lo que ahogarıa el sector transable yterminarıa produciendo un efecto riqueza que podrıa hacer volver a la economıa a la condicion dedeficit.
2.2.12. Inversion optima y la cuenta corriente
Suponga una economıa donde el proceso de formacion de capital se caracteriza por una funcion crecientea tasa creciente dada por
φ
2(Is − δKs)
2
La produccion se genera a traves de una funcion de produccion Y = AF (K,L) con las usuales propiedades deretornos marginales decrecientes en cada factor y donde A es un factor exogeno que mide la productividad.El capital se acumula a traves de la siguiente regla Ks+1 −Ks = Is − δKs.
1. Desarrolle el problema de maximizacion de las firmas en esta economıa y derive el diagrama fase quedescribe el equilibrio en cual se invierte solo lo que se deprecia el capital.
Respuesta:Es necesario maximizar los flujos descontados a valor presente recordando que existe una restriccion...
Max∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [P · F (Ks, Ls) − ws − Is −
φ(Is − δKs)2
2
]s.a. Ks+1 −Ks = Is − δKs
Lo cual se traduce en:
L :=∞∑
s=0
(1
1 + r
)s [P · F (Ks, Ls) − ws − Is −
φ(Is − δKs)2
2+ λs(Is − δKs −Ks+1 +Ks)
]
Ahora derivamos esta expresion con respecto a las variables de decision:
∂L∂Ls
=(
11 + r
)s [P · ∂F
∂Ls− ws
]= 0
De la ultima ecuacion podemos concluir que el producto marginal de la mano de obra es igual a susalario real.
100
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
∂F
∂Ls=
ws
P
Ahora derivamos con respecto a la inversion (Is):
∂L
∂Is=(
11 + r
)s
[−1 − φ(Is − δKs) + λs] = 0
λs − 1φ
= Is − δKs = Ks+1 −Ks
Recordemos que Tobin demostro que el multiplicador de Lagrange es igual a la q...
qs − 1φ
= Is − δKs
Ks+1 −Ks =qs − 1φ
Esta ecuacion corresponde a la ecuacion de movimiento del capital.
Luego,
∂L∂Ks+1
=(
11 + r
)s
· (−qs) +(1
1 + r
)s+1 [P · ∂F
∂Ks+1+ δφ(Is+1 − δKs+1) + qs+1(1 − δ)
]= 0
De la ecuacion de movimiento del capital sabemos que Is − δKs = qs−1φ , por lo que podemos decir
tambien que Is+1 − δKs+1 = qs+1−1φ . Reemplazando esto en la ultima ecuacion obtenemos:
qs(1 + r) = P · ∂F
∂Ks+1+ δφ
(qs+1 − 1
φ
)+ qs+1(1 − δ)
qs + qsr = P · ∂F
∂Ks+1+ δqs+1 − δ + qs+1 − δqs+1
qs + qsr = P · ∂F
∂Ks+1+ −δ + qs+1
qs+1 − qs = qsr + δ − P · ∂F
∂Ks+1
Este resultado corresponde a la ecuacion de movimiento de la q.
En el equilibrio se cumple que K y q son iguales a cero, por lo tanto:
K = 0 → qs = 1 (2.68)
q = 0 → qs =P
r· ∂F
∂Ks+1− δ
r(2.69)
101
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.14: Cuenta Corriente en el tiempo
CC
t
0
2. En este contexto derive la ecuacion fundamental de la cuenta corriente y explique como se vera afectadala CC si existe un shock transitorio en el ingreso de la economıa. Suponga que β(1+r) = 1 y la utilidades cuadratica de la forma vista en la ayudantıa pasada.
Respuesta:La derivacion de la ecuacion de la cuenta corriente para β(1 + r) = 1 se encuentra en la clase 6,diapositivas 4-10.
Suponiendo que el shock de ingreso es positivo, entonces veremos que la CC se la siguiente forma:
Vemos que este shock positivo de ingresos transitorios provocara un superavit en la cuenta corriente.Este superavit ira decayendo gradualmente puesto que los individuos iran consumiendo este ingresoadicional, lo que implica un descenso en el superavit como ya fue mencionado.
3. ¿Como cambia su respuesta si existe un aumento de productividad permanente y sorpresivo?
Respuesta:Si existe un aumento sorpresivo y permanente en la productividad veremos que se incurrira en undeficit de la CC de manera de poder financiar la inversion que se hara. El diagrama de fases es elsiguiente:
Ahora veremos como se mueve la inversion, el valor de la q y el saldo de la CC en el tiempo:
4. ¿Que pasarıa con la cuenta corriente en el caso anterior si no hubieran costos convexos a la inversionen capital?
Respuesta:En el caso de costos no convexos veremos que el total del capital requerido serıa instalado inmediata-mente. Esto llevarıa a que la CC fuera mucho mas negativa en el primer perıodo pero cero del segundoen adelante.
5. ¿Como cambia su respuesta si el shock de productividad del capital que era percibido como permanentedesaparece un par de periodos despues? Describa el movimiento de la inversion, q, el stock de capitaly la cuenta corriente en este caso.
Respuesta:El diagrama de fases es el siguiente:
El movimiento de las variables en el tiempo es el que sigue:
102
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.15: Diagrama de Fases
1 K = 0
q = 0 q′ = 0
q
K
Figura 2.16: Movimiento en el tiempo
CC
I
q
t
103
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 2.17: Diagrama de Fases
1 K = 0
q = 0 q′ = 0
q
K
CC
I
q
t
Figura 2.18: Movimiento en el tiempo
104
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
1 K = 0
q′ = 0 q = 0
q
K
Figura 2.19: Diagrama de Fases
6. ¿Como cambia su respuesta si se anticipa que no durara el aumento en productividad pero igual sonsorprendidos por la magnitud de la caıa a niveles mas bajos que los originales? Describa la evolucion delas variables claves en un diagrama de fase y muestre la evolucion de la cuenta corriente en el tiempoindicando claramente los momentos que se llevan acabo los cambios y se entrega la informacionefectiva.
Respuesta:El diagrama de fases es el que sigue.
El movimiento de las variables en el tiempo es:
2.2.13. Enfermedad Holandesa (Chilena?)
Suponga un paıs que produce dos bienes; uno transable internacionalmente y otro no. Los precios deestos bienes son PT y PN respectivamente. Ambos bienes se producen segun las siguientes funciones deproduccion:
YT = aTLT (2.70)YN = aNLN (2.71)
Existe una dotacion de trabajadores fija. Suponga ademas que las preferencias de los consumidores estandadas por:
U = mınγCT , φCN (2.72)
Con esta informacion responda lo siguiente:
1. Derive la frontera de posibilidades de produccion de esta economıa.
Respuesta:Dado que la economıa tiene una dotacion fija de trabajadores, la mano de obra repartida en ambossectores tienen que sumar una constante:
L = LT + LN
105
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
CC
I
q
t
Figura 2.20: Movimiento en el tiempo
Despejando de el trabajo requerido en las funciones de produccion obtenemos:
LT =YT
aT
LN =YN
aN
Reemplazando en la restriccion laboral y desarrollando:
L =YT
aT+YN
aN
YN
aN= L− YT
aT
YN = LaN − aN
aTYT
2. ¿Que implicancia tiene la forma de la funcion de utilidad sobre la estructura del consumo? Grafiquela FPP y la estructura del consumo y encuentre el equilibrio para una situacion con balanza comercialpositiva, 0, y negativa. Encuentre la pendiente de la FPP y de la estructura de consumo.
Respuesta:La funcion de utilidad de la economıa (agente representativo) es de forma Leontieff, o de proporcionesfijas. Esto implica que la relacion de consumo transable y no transable va a ser constante. En estecaso:
U = mınγCT , φCN⇒ γCT = φCN
CN
CT=
γ
φ
Para encontrar el equilibrio, hay que recordar que siempre el consumo de bienes no transables tieneque se igual a la produccion de bienes no transables, es decir, CN = YN . A continuacion vemos lostres casos posibles:
106
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
N
T
γφ
−aN
aT
︸︷︷︸CT YT
CN = YN
BC > 0
Figura 2.21: Caso A: BC > 0
BC<0
N
T
γφ
−aN
aT
︸︷︷︸ CTYT
CN = YN
Figura 2.22: Caso B: BC < 0
107
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
N
T
γφ
−aN
aT
YT = CT︸ ︷︷ ︸
CN = YN
BC = 0
Figura 2.23: Caso A: BC = 0
3. Si la economıa produce una fraccion σ del producto total en transables, encuentre el nivel de preciosgeneral, el tipo de cambio real y el salario de equilibrio.
Respuesta:Primero tenemos que encontrar el precio en ambos sectores. Si W es el salario, de la maximizacionde beneficios de la firma obtenemos que los precios en ambos sectores seran los siguientes:
PT =W
aT
PN =W
aN
Pero como PT esta dado por la ley de un solo precio (PT = eP ∗T ), los salarios quedan enteramente
determinados por el precio de los bienes transables. Es decir:
W = eP ∗TaT
Donde e es el tipo de cambio nominal.
Dado que el trabajo es el unico factor de produccion, y es perfectamente movil entre sectores, el preciode los bienes no transables estara enteramente determinado por este nivel de salario:
PN = eP ∗T
aT
aN
Para encontrar el nivel de precios general, asumimos que en ambas economıas (nacional y externa),la fraccion σ es la misma. Por lo tanto:
P = P σT P
1−σN
P ∗ = P ∗σT P ∗1−σ
N
El tipo de cambio real lo encontramos aplicando la ley de un solo precio senalada anteriormente:
108
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
q =eP ∗
P=eP ∗σ
T P ∗1−σN
P σT P
1−σN
=(eP ∗
T
PT
)(PT
PN
)1−σ (P ∗
N
P ∗T
)1−σ
=(PT
PN
)1−σ (P ∗
N
P ∗T
)1−σ
=(p
p∗
)1−σ
Donde:
p ≡ PT
PN=aN
aT
p∗ ≡ P ∗T
P ∗N
=a∗Na∗T
4. Suponga un descubrimiento de algun recurso natural nuevo en esta economıa (cobre). ¿Que ocurrecon el salario, nivel de precios, producto total y tipo de cambio real de esta economıa?
Respuesta:Si un paıs encuentra una dotacion de cobre, expande la frontera de posibilidades de produccion. Lamayor disponibilidad de un recurso natural no significa una mayor dotacion de trabajadores, por loque hay que trasladar trabajadores del sector transable al no transable.
Supongamos que el paıs produce bienes transables no cobre. A estos los llamaremos bienes transablestradicionales. El descubrimiento del nuevo recurso natural cobre desplaza la FPP hacia la derecha,aumentando la cantidad de bienes transables que puede producir en Y0 unidades.
La produccion y consumo de no transables se incrementa como resultado del boom de gasto, del puntoCa
N = Y aN al punto Cb
N = Y bN .
La produccion de transables tambien aumenta, pero de un modo mas complicado. El aumento deproduccion de cobre genera una apreciacion del tipo de cambio, por lo que los bienes transables tradi-cionales se ven perjudicados, mientras que la produccion de cobre aumenta la produccion total detransables. El nivel de produccion de bienes transables tradicionales se reduce a Y b
T , mientras que laproduccion total de transables es Y b
T + Y0.
Graficamente:
La entrada de divisas al paıs aprecia el tipo de cambio nominal. Esto significa una apreciacion del tipode cambio real. Es por esto que el sector transable tradicional percibe menos ingresos y debe disminuirla produccion.
Por otro lado, el aumento del precio promedio de los bienes transables (dada la incorporacion de unnuevo bien transable como el cobre) incrementa el nivel de precios general de la economıa.
El producto total de la economıa aumenta tambien, dada la expansion de la FPP. El nuevo productoes: Y ′ = Y b
N + Y bT + Y0.
La variacion del salario depende. En el caso de los bienes transables tradicionales, la caıda en el tipode cambio fuerza a la baja el precio de los transables, lo que significa una disminucion en el salario.En el sector cobre, el precio alto significa un mayor salario. Sin embargo, como la movilidad entresectores es perfecta, el salario tenderıa a igualarse. Si este salario es mayor o menor que antes deldescubrimiento de cobre dependera en la magnitud del descubrimiento y por ende en la magnitud delaumento del precio del cobre.
109
2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconomıa I - Primavera 2008
C
N
T
γφ
− aNaT
BC = 0
P
F
A
B
0
CaN = Y a
N
CbN = Y b
N
Y aT = Ca
T︸ ︷︷ ︸Y bT Y b
T + Y0︸︷︷︸
Y0
Figura 2.24: Enfermedad Holandesa en modelo TNT
110
Capıtulo 3
Crecimiento y desarrollo
3.1. Comentes de crecimiento
3.1.1. Analisis de la post-guerra
Describir los efectos que predice el modelo de Solow-Swan en el perıodo de la post-guerra si:
1. Durante esta se produjo una destruccion del capital
Respuesta:Si es que la economıa se encontraba creciendo, hacia su estado estacionario, o se encontraba en este ydebido a la guerra su stock de capital se reduce, lo que aca ocurre es que el capital inicial se desplaza ala izquierda,sea cual sea su nivel inicial. Esta reduccion del capital aumenta su productividad marginal,lo que hara que a la misma tasa de inversion se generara un mayor crecimiento y ası aumentaranlas tasas de crecimiento del capital y el PIB. Aunque aca se produsca un crecimiento claramente elbienestar es menor, ya que la economıa solo crece mas rapido para recuperar lo que perdio, gracias alaumento de la productividad del capital que se tiene ahora.
2. Las bajas durante la guerra redundaron en una disminucion de la mano de obra.
Respuesta:Al diminuir la mano de obra, debido a las bajas durante la guerra para poder seguir produciendo comose hacia antes va a ser necesario sustituir esta mano de obra por capital, por lo cual el capital deberaaumentar y una forma de hacer esto es aumentar el ahorro, ya qu paises que ahorran mas tienenun mayor estado estacionario. Otra de las consecuancias que puede haber traido las bajas durante laguerra es una disminucion de la poblacion, que puede derivar en un mayor ingreso percapita, pero nodebido a que el paıs esta mejor, si no que a la disminucion de la poblacion.
3.1.2. El Chile de los noventas
Habitualmente se comparan las altas tasas anuales de crecimiento registradas por Chile a comienzos delos noventas con el reciente crecimiento de Chile. Segun esta comparacion, lo anterior es evidencia de unmal desempeno de la economıa. Segun la literatura teorica de crecimiento, ¿Que puede usted comentar alrespecto??
Respuesta:La literatura teorica de crecimiento, al igual que la empırica, destaca la idea de Convergencia Condicional.Esto es, a igual condiciones, paıses mas pobres crecen mas rapido que paıses mas ricos. Esto nos permitecomparar entre paıses pero tambien un mismo paıs en dos perıodos del tiempo.
Chile crecıa mas rapido durante los anos noventa porque era un paıs pobre (o al menos mas pobre queel Chile los ultimos anos). Por convergencia era de esperar que las tasas de crecimiento se desaceleren
111
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c
k
k
SS
SS
k = y − c − (n + δ) − gcc = 1
σ
[f ′(k) − δ − ρ
]
k′ = 0
k = 0
c = 0
c∗
c∗τ1
(a) Impuesto Suma Alzada (τ1)
c
k
k
SS
SS
k = y − c − (n + δ) − gcc = 1
σ
[(1 − τ)f ′(k) − δ − ρ
]
k′ = 0
c′ = 0
k = 0
c∗
c∗τ1
c∗τ2
(b) Impuesto Ad-Valorem (τ2)
Figura 3.1: Efectos de los impuestos de Suma Alzada y Ad-Valorem
mientras mas rico se vuelve el paıs.
Alguien podrıa haber complementado su respuesta con una nueva referencia a los condicionantes delcrecimiento. Es decir, la pregunta es ¿cual hubiera sido el crecimiento si se hubieran tenido condicionessimilares a paıses mas desarrollados? En este caso habrıamos alcanzo un nivel de capital de estado esta-cionario mayor. Las condiciones, por lo general, se refieren a caracterısticas de las instituciones, las cualesse pueden resumir en el parametro tecnologico de la funcion de produccion. Sin embargo, aunque falta mu-cho por avanzar es difıcil saber si Chile podrıa haber mejorado mas sus condiciones, ya que en terminoscomparativos lo hizo mucho mas que la mayorıa de los paıses.
3.1.3. Comentes Varios
1. En el modelo de Ramsey las familias deciden optimamente cuanto consumir y cuanto ahorrar por loque con ello logramos superar dos problemas del modelo de Solow: la tasa de crecimiento per capitade largo plazo es positiva sin necesidad de incluir el progreso tecnico y se elimina la posibilidad desobre ahorro en el estado estacionario de largo plazo.
Respuesta:El segundo es verdadero pero el primero no. El hecho que los agentes optimizan intertemporalmenteelimina la posibilidad de sobre ahorro. En el modelo de crecimiento de Ramsey simple tambien tenemosun nivel fijo de capital per capita en steady state.
2. Suponga una economıa habitada por agentes Ramsey y donde existe un gobierno que recauda fondospara gastar en proyectos no productivos. La decision de financiar el gasto por medio de impuestos desuma alzada o por impuestos ad-valorem a la renta es irrelevante dado que ambos llevan necesariamentea un nivel de consumo per capita mas bajo en el corto y largo plazo.
Respuesta:No es irrelevante debido a que impuestos ad-valorem no solo quitan recursos a la economıa para serusados en proyectos no productivos sino ademas distorsionan la decision de inversion por lo que seahorra menos.
La clave esta en el hecho que los impuestos recaudados no se devuelven a los hogares como transferen-cias por lo que en el caso de ambos impuestos cae la acumulacion de capital a cada nivel de k. En elcaso del impuesto ad-valorm, cae ademas el nivel de k consistente con el consumo de steady state porlo que este caso es mas importante en terminos de la caıda del ingreso en el largo plazo. Sin embargoen el corto plazo puede caer menos en el caso ad-valorem. Graficamente tenemos los efectos de losimpuestos en la figura 3.1.
112
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.2: A posee mayor crecimiento poblacional
k
(na + d + g)k(nb + d + g)k
kbka
f(k)
3.1.4. Convergencia entre economıas 1
Existen dos economıas A y B, donde la primera posee una mayor tasa de crecimiento de la poblacionque B. Sin embargo la segunda economıa posee niveles de capital per capita mayores. Considerando esto y ala luz del modelo de Solow-Swan, ¿Son consistentes ambas observaciones? ¿Que implican estas diferencias?¿Que tipo de convergencia se verifica?
Respuesta:Primero debemos considerar que la economıa A al tener una tasa de crecimiento poblacional mayor va aconverger a un nivel de estado estacionario menor que la economıa B.(puede justificarse con el desarrollo matematico o un grafico comparativo).
A la vez debemos notar que los paıses tienen distinto estado estacionario. La economıa B tiene mayoresniveles de producto y capital per capita en la actualidad, como en su estado estacionario. Dicho esto nopodemos verificar la convergencia absoluta; dado que esta supone la existencia de unico estado estacionariopara los paıses.
A pesar de esto no podemos descartar la convergencia condicional, dado que sabemos que el paıs masalejado de su estado estacionario crecera mas rapido.
3.1.5. Convergencia entre economıas 2
La evidencia empırica senala que los paıses africanos han crecido a menor ritmo que los europeos enlos ultimos 30 anos, esto considerando que su ingreso per capita era menor que el de Europa en esa epoca.¿Contradice esto lo planteado en el modelo de Solow?
Respuesta:Si consideramos el supuesto de convergencia absoluta (donde todos los paıses convergen hacia un mismoestado estacionario), se verifica el hecho de que los paıses mas pobres respecto de su estado estacionariocrecen mas rapido que aquellos que tienen un ingreso mas cerca de su estado estacionario.
Sin embargo, sabemos que la hipotesis de convergencia absoluta no es efectiva en la realidad, por lo tantopodemos argumentar que las razones por la cual los paıses africanos han crecido menos son:
Una mayor tasa de crecimiento de la poblacion, escaso progreso tecnologico, bajo capital humano.
3.1.6. Solow y la acumulacion 1
El modelo de Solow nos muestra que el crecimiento es basicamente un proceso de acumulacion. Poresto, mientras mas se ahorra, mejor para la poblacion ya que ası aumenta el nivel de capital de estadoestacionario y con ello el bienestar.
113
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Respuesta:Falso. Si bien el modelo de Solow funciona en base a la acumulacion de capital no es siempre una buenarecomendacion aumentar el ahorro. Por sobre el nivel de ahorro consistente con el nivel de capital de estadoestacionario, un aumento del ahorro aumenta el capital pero reduce el nivel de consumo de la poblacion.Si asumimos que se obtiene utilidad solo del consumo, este aumento de la tasa de ahorro disminuirıa lautilidad. Lo que esta detras de esto es lo que se conoce como Ineficiencia dinamica: en el modelo de Solowno hay nada que nos haga ahorra exactamente lo optimo, por lo cual podrıamos estar manteniendo en eltiempo (dinamicamente) tasas de ahorro ineficientes.
3.1.7. Solow y la acumulacion 2
Los modelos de crecimiento economico neo clasicos nos ensenan que el crecimiento se genera solamentevıa la acumulacion de capital.
Respuesta:Para el crecimiento es muy importante la acumulacion de capital. Pero en terminos per capita la unicaforma de crecer es aumentar la productividad de los recursos, por ejemplo a traves de mejoras tecnologicas.
3.1.8. Solow y la acumulacion 3
Una de las recomendaciones de polıtica economica que se hace a partir del modelo de Solow es quepara el crecimiento se deben incrementar las tasas de ahorro. Esta recomendacion se debe a que siempresera bueno para una economıa y para el bienestar de su poblacion incrementar el capital instalado, lo quese logra ahorrando e invirtiendo la mayor cantidad de recursos posibles. Comente.
Respuesta:Falso. Si bien el modelo de Solow funciona en base a la acumulacion de capital no es siempre una buenarecomendacion aumentar el ahorro. Por sobre el nivel de ahorro consistente con el nivel de capital de estadoestacionario, un aumento del ahorro aumenta el capital pero reduce el nivel de consumo de la poblacion.Si asumimos que se obtiene utilidad solo del consumo, este aumento de la tasa de ahorro disminuirıa lautilidad. Lo que esta detras de esto es lo que se conoce como Ineficiencia dinamica: en el modelo de Solowno hay nada que nos haga ahorra exactamente lo optimo, por lo cual podrıamos estar manteniendo en eltiempo (dinamicamente) tasas de ahorro ineficientes.
3.1.9. Las diferencias
Explique la diferencia fundamental entre el modelo de crecimiento de Solow basico y el modelo deRamsey visto en clases.
Respuesta:La diferencia fundamental entre los modelos de Solow y Ramsey es que en el primero la tasa de ahorro esexogena. En cambio en el modelo de Ramsey la decision de ahorro es endogena. Esto elimina la posibilidadde ineficiencia dinamica, lo que si es un problema para el modelo de Solow.
3.1.10. Crecimiento en tres actos
Primer acto: un paıs largo y angosto en sudamerica que esta por debajo de su capital de estado esta-cionario (EE) y crece a altas tasas. Segundo acto: Veinte anos despues el mismo paıs, aun le falta poralcanzar su nivel de capital de EE, y crece a un ritmo menor. Tercer acto: Hay desconcierto, y algunosindican que debiese haber ocurrido todo lo contrario. Pregunta: ¿Como se llama la pelıcula y que debieseocurrir a futuro?
Respuesta:La literatura teorica de crecimiento, al igual que la empırica, destaca la idea de Convergencia Condicional.Esto es, a igual condiciones, paıses mas pobres crecen mas rapido que paıses mas ricos. Esto nos permitecomparar entre paıses pero tambien un mismo paıs en dos perıodos del tiempo.
114
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Chile crecıa mas rapido durante los anos noventa porque era un paıs pobre (o al menos mas pobre queel Chile los ultimos anos). Al estar lejos de el capital de estado estacionario crecıa rapidamente. Por con-vergencia era de esperar que las tasas de crecimiento se desaceleren mientras mas rico se vuelve el paıs.
Alguien podrıa haber complementado su respuesta con una nueva referencia a los condicionantes delcrecimiento. Es decir, la pregunta es ¿cual hubiera sido el crecimiento si se hubieran tenido condicionessimilares a paıses mas desarrollados? En este caso habrıamos alcanzo un nivel de capital de estado esta-cionario mayor. Las condiciones, por lo general, se refieren a caracterısticas de las instituciones, las cualesse pueden resumir en el parametro tecnologico de la funcion de produccion. Sin embargo, aunque falta mu-cho por avanzar es difıcil saber si Chile podrıa haber mejorado mas sus condiciones, ya que en terminoscomparativos lo hizo mucho mas que la mayorıa de los paıses.
3.1.11. Ramsey y la oferta de trabajo
En el modelo de Ramsey con oferta de trabajo fija, el rol del gasto publico depende solamente de comose relaciona con la funcion de produccion. Comente.
Respuesta:Falso. Dependera de como se financia el gasto publico tambien. Si los impuestos se recaudan en base aimpuestos sobre el trabajo, no habran problemas ya que en el modelo la oferta de trabajo es inelastica alprecio. En cambio, si la recaudacion de los fondos para el gasto publico se realiza con un impuesto al capital,cambia el precio de este y por tanto cambian las decisiones de inversion. En este caso si cambia el resultadodel modelo.
3.1.12. Evidencia de crecimiento
Segun la evidencia empırica presentado en clases y en el libro De Gregorio, enumere al menos cuatrovariables que estan relacionado con el crecimiento y explique el signo de dicha relacion.
Respuesta:Ver la evidencia presentada en el capıtulo 13 del libro De Gregorio.
3.1.13. Impuestos y decisiones
En el caso del modelo de Ramsey, donde se optimiza el comportamiento de los agentes, un impuestoad-valorem altera las decisiones. En ambos casos, un impuesto al capital o uno al trabajo reducen el nivelofrecido. Comente.
Respuesta:Un impuesto al capital, al reducir el beneficio que obtienen sus propietarios desincentiva la acumulacionlo cual nos lleva a un nivel menor de capital de estado estacionario. En el caso del trabajo, la decision deoptimizacion no incluye la oferta de trabajo lo cual hace que la oferta de trabajo sea infinitamente elastica.Dicho de otro modo, se ofrecera trabajo al salario vigente, y si este es menor ya que parte va a pagar losimpuestos, la oferta no se vera alterada.
3.1.14. Las tres diferencias
Explique tres diferencias importantes entre el modelo de Solow neoclasico y el modelo ampliado.Respuesta:
La tasa de crecimiento del producto per capita puede crecer continuamente sin tener que suponer que incidealgun factor exogeno, esto debido a que consideramos que el trabajo L tiene implıcita cierta calidad reflejadaen el capital humano.En el modelo ampliado no existe una relacion entre el nivel inicial de ingreso por trabajador y el crecimiento.La tasa de crecimiento es independiente del nivel inicial de capital.
115
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.3: Modelo de Solowsf(k)
k
(n + δ)
kk1 k0 k∗
n + δ
sf(k)k
kk
> 0
kk
< 0
3.1.15. Aguante Chaiten!
La prospera ciudad de Chaiten, como ud. sabe, se ha visto profundamente afectada por la erupcion delvolcan del mismo nombre. Producto de este evento inesperado, parte del stock de capital de Chaiten hasido destruido. En el contexto del Modelo de Solow, explique y grafique que ocurre con el nivel de capitalde estado estacionario. ¿Este shock tiene efectos transitorios o permanentes?
Respuesta:Si hay una disminucion en el stock de capital, esto se traducira en una disminucion del capital de estadoestacionario (se desplaza hacia la izquierda, su nivel inicial). La reduccion de capital hace que la productivi-dad marginal de este aumente y se crezca mas rapido para recuperar lo perdido. Como tenemos que reponerel capital perdido, existira un aumento temporal de k
k hasta volver al nivel inicial.
En terminos de la figura 3.3, podemos suponer un estado inicial descrito por k0. Como gran parte delcapital es destruido por la erupcion del Volcan, el nivel de capital se reduce a k1. A este nivel de capitalpodemos ver en el eje vertical que esta economıa tendra una tasa de crecimiento mayor a la registradacuando el capital es mayor. El nivel de capital se seguira acumulando y la velocidad de crecimiento seira reduciendo hasta llegar a k∗.
3.1.16. Control de natalidad
Segun se pudo leer en un destacado medio escrito “...las polıticas de control de natalidad en China ten-dran graves concecuencias para el nivel de crecimiento de la economıa. Al disminuir el total de trabajadores,la economıa crecera a un ritmo mas lento...”. Comente.
Respuesta:La frase esta equivocada. Ver por ejemplo el modelo de Solow en el cual un incremento en la tasa a la cualcrece la poblacion diminuye el nivel de capital de estado estacionario n1 > n2.
3.1.17. ¿Las mismas conclusiones?
El modelo de Ramsey llega a la misma conclusion que el modelo de Solow, es decir, que los agentes seranineficientes a lo largo del tiempo, pues escogeran un capital de estado estacionario distinto al que maximizael nivel de consumo a lo largo del tiempo (capital de regla dorada).
Respuesta:
La principal diferencia entre los modelos de Solow y Ramsey es que en el ultimo la tasa de ahorro, y porlo tanto la proporcion del producto que se consume, es endogeno siendo elegido de forma tal de maximizarla utilidad derivada del consumo. Por esta razon es que el modelo de Solow sufre de la llamada “ ineficienciadinamica” ya que en el tiempo una economıa descrita por este modelo podrıa estar en cada perıodo ahor-rando mas o menos que lo optimo.
116
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
δ + n1
δ + n2
γk
K∗1 K∗
2
Figura 3.4: Crecimiento con distintas tasas de incremento de la poblacion
En el caso de que en el modelo de Solow se determinara el nivel de capital que maximiza el consumohabran diferencias: en el modelo de Ramsey tiene por resultado un menor nivel de capital de estado esta-cionario que maximiza el consumo. La razon es que en Ramsey se considera la preferencia inter-temporalpor consumo presente lo que hace que se acumule menos capital.
3.1.18. Financiamiento del gasto
Para la sociedad, que el gobierno financie el consumo de los individuos de bajos ingresos medienteimpuestos ad-valorem es equivalente a que sea financiado con impuestos de suma alzada si suponemos queel monto recaudado es el mismo.
Respuesta:La decision de recaudacion de impuestos no es un tema trivial, pues cada una afecta al equilibrio de estadoestacionario diferentemente. Un impuesto ad-valorem afectara el capital de estado estacionario pues elagente optimizador ve que el retorno de la produccion es menor y, por lo tanto, sera optimo reducir el stockde capital, por lo que disminuye el capital de estado estacionario y el consumo de estado estacionario (paralos que no son beneficiados por el subsidio). Un impuesto de suma alzada, en cambio, no modifica el stockde capital de estado estacionario pues no hay una distorsion en las rentas de los factores, pero si hay unareduccion en el consumo de estado estacionario (nuevamente para aquellos que no estan beneficiados porel subsidio) pues tendran un menor ingreso para destinar a consumo. Por lo tanto la decision del tipo deimpuesto no es tan simple pues ambas tienen efectos distintos en la economıa.
3.1.19. Recomendaciones de Solow
Considere el modelo de Solow neoclasico con una funcion de produccion de la forma:
Y = F (K,L)
De este modelo se deduce que, para que Chile “alcance” a los paıses desarrollados, en terminos de ingresoper capita, es necesario aumentar la tasa de ahorro.
Respuesta:Incierto. En el contexto de un modelo de Solow necolasico , el crecimiento del producto per capita depende
117
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.5: Solow y la Regla de Oro
f(k)
k
sy
yf(k)k
(δ + n)k
k∗oro
no solo de la tasa de ahorro, sino que tambien de el crecimiento de la poblacion. Si el objetivo fuese alcanzara los paıses desarrollados, la tasa de ahorro no es la unica herramienta disponible, segun el modelo. Unopodrıa suponer una polıtica orientada a una de reduccion de la natalidad.
k∗ =[
s
δ + n
] 1α
(3.1)
Ademas, una polıtica orientada a aumentar las tasas de ahorro podrıa llevar a una situacion inconsis-tente con el criterio de maximizacion del consumo. Los paıses no buscan maximizar crecimiento, sino quemaximizar consumo, por lo que una tasa de ahorro mayor a la de regla de oro es ineficiente dinamicamente.
3.1.20. Trabajo, impuestos y Ramsey
Considere el modelo de Ramsey como el estudiado en clases. Un impuesto a las rentas del trabajo generadesincentivos a trabajar, por lo que el efecto final es una disminucon de la oferta labora y, ademas, unadisminucion del stock de capital. ¿Refleja esto el modelo de Ramsey? ¿Que modificiones sugerirıa usted?
Respuesta:Falso. Dados los supuestos del modelo de Ramsey, al oferta laboral es infinitamente elastica, lo que significaque si cambian los impuestos al trabajo, no se altera la cantidad de trabajo.
De este resultado se desprende que lo mas eficiente es que los impuestos sean pagados por los bienes ofactores mas inelasticos. Los impuestos que cumplen estas condiciones se conocen como Impuestos Ramsey.
A modo de objecion, debemos notar que en este modelo no consideramos, como una de las optimizacionesa resolver, la decision entre cuando consumir y cuando dejar para ocio. Si incluyeramos esta decision,nuestra respuesta serıa distinta.
3.1.21. Ramsey, ¿Centralizado o descetralizado?
De los resultados del modelo de Ramsey podemos concluir que da lo mismo tener un gobierno centralizadoo una economıa descentralizada ya que ambos conducen a resultados ideenticos. Comente.
Respuesta:
Falso. Esta conclusion es valida bajo ciertos supuestos, dentro de los cuales estan:
Fallas de Estado:El planificador central es benevolente, es decir, busca maximizar el bienestar dela sociedad en su conjunto. Esto es un supuesto cuestionable bajo la teorıa del agente-principal.
118
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Fallas de Estado:El planificador central posee informacio perfecta, es decir, el planificador esta altanto de todo lo que sucede en cada momento y para cada individuo y es por eso que puede tomardecisiones optimas.
Fallas de Mercado:No existen externalidades.
Un complemento a esta respuesta son los distintos teoremas del bienestar, y otras extensiones, que seranvistos en cursos posteriores (Asignacion de Recursos, Finanzas Publicas, etc.)
Los argumentos anteriores son consistentes con los teoremas del bienestar que nos dicen que: (TEO1)Todo equilibrio de Walras (eq. de mercado competitivo) es un optimo de Pareto y (TEO2) si se permitentransferencias y existe convexidad de preferencias, a todo optimo de Pareto se puede asociar un sistema deprecios tal que exista, a tales precios, un equilibrio competitivo.
Al existir fallas de mercado, los teoremas del bienestar no se cumplen, por lo que la asignacion de re-cursos vıa mercado competitivo ya no es necesariamente una asignacion Pareto-optima.
Esto es consistente, tambien, con el teorema de Greenwald-Stiglitz que nos dice que:
“El gobierno podrıa potencialmente mejorar consistentemente la asignacionde recursos que resulta de lasolucion de mercado”
Este teorema se cumple si existen fallas de mercado, lo que hace que este teorema tenga limitaciones yno sea aplicable de manera universal.
3.1.22. Extensiones de Solow
El modelo de Solow neoclasico concluye que, en el largo plazo, las economıas no crecen ya que se encuen-tran en su estado estacionario. Sin embargo, la evidencia empırica nos indica algo distinto. ¿Que modelosbasados en el modelo de Solow han tratado de conciliar la teorıa con la realidad? Enumere y describabrevemente el(los) modelo(s) y los hechos que buscan explicar.
Respuesta:El modelo de Solow ha sido modificado para poder “conciliarse” basicamente con dos hechos: (1) hay gruposde paıses que crecen siempre mas alla del crecimiento de su poblacion y (2) hay paıses que consistentementeno crecen.
Para explicar el primer fenomeno se han desarrollado modelos de Solow enchulados que incluyen cambiosen las funciones de produccion, como por ejemplo: progreso tecnico, capital humano, educacion y external-idades.
Para explicar el segundo fenomeno se desarrollo el modelo de Solow con trampas de pobreza que nosexplica porque hay paıses que aparentemente no convergen a su estado estacionario.
3.1.23. Shocks y la convergencia
Un gran shock positivo sobre el ingreso (como podrıa ser un aumento transitorio en el precio del cobre)no genera ningun cambio fundamental de largo plazo ya que volveremos al ingreso per capita de estado esta-cionario, solo que llegaremos mas rapido. Por esta razon no tiene sentido hablar del aumento en los preciosde los commodities (entre ellos el cobre) como una oportunidad de desarrollo para los paıses emergentes.
Respuesta:Si hay trampas de pobreza y el aumento transitorio es suficientemente grande como para trasladar al paısde un equilibrio a otro si podira se relevante el “big push” que lleva al paıs a un “salto al desarrollo”.
Si el paıs no esta en una trampa de pobreza,shocks como el del precio de los commodities no tieneimpacto sobre el nivel de producto de estado estacionario, segun la teorıa.
119
3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.6: Solow y McNamara
f(k)
k
sy
y
f(k)A
f(k)B
(δ + nA)k
(δ + nB)k
k∗Ak∗B
3.1.24. Mas de Solow
“El crecimiento de la poblacion es el problema mas grave que afecta al mundo hoy. Si no hacemos algoal respecto, el problema se solucionara con hambruna, protestas, revueltas y guerras.”1
En el contexto del modelo de Solow, comente.Respuesta:
Bajo los supuestos del modelo de Solow, la tasa de crecimiento de la poblacion es uno de los determinantesdel ingreso per capita de una economıa.
Si comparamos dos economıas identicas, pero con tasas de crecimiento de la poblacion distintas, es facilver que la que la con mayor n converge a un nivel de producto menor que la con menor n. Dado que elnivel de ingreso per capita es un indicador de bienestar, ceteris paribus, una economıa con mayor ritmo decrecimiento demografico estara peor que una con un ritmo menos acelerado.
1Robert McNamara, Ex-Presidente del Banco Mundial, Ex-Secretario de Defensa de E.E.U.U.
120
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
3.2. Matematicos de crecimiento
3.2.1. Crecimiento e impuestos
Considere una economıa, con crecimiento de la poblacion (entonces podemos normalizar la poblacion a1) con la siguiente funcion de produccion:
y = f(k) = Ak1−α (3.2)
El capital se deprecia a una tasa δ.El gobierno gasta un flujo g, el cual es financiado con una tasa de impuesto τ proporcional al ingreso
(se recauda τy). El gobierno sigue una polıtica de presupuesto equilibrado, o sea que en todo momento losingresos de gobierno son iguales a sus gastos.
Las personas ahorran una fraccion s de su ingreso disponible (neto de impuestos).
1. Escriba la restriccion presupuestaria de recursos de esta economıa (demanda agregada igual producciono ahorro igual inversion).Respuesta:
Tenemos que yd = (1 − τ)Aκ1−α.
2. Determine el stock de capital de estado estacionario (k∗). Determine tambien el consumo (c∗) y laproduccion (y∗) de estado estacionario.Respuesta:
κ = s(1 − τ)yd − δκ
κ = s(1 − τ)Aκ1−α − δκ
igualamos a κ = 0 y encontramos el κ∗ de estado estacionario:
s(1 − τ)Aκ1−α = δκ
κ∗ =(s(1 − τ)A
δ
) 1α
El consumo es c∗
c∗ = syd
c∗ = s(1 − τ)Aκ∗1−α
c∗ = (s(1 − τ)A)1α
1δ
1−αα
Y la produccion y∗:
y∗ = Aκ∗1−α
y∗ = A
(s(1 − τ)A
δ
) 1−αα
121
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
y∗ = A1α
(s(1 − τ)
δ
) 1−αα
3. Discuta intuitivamente el efecto que tienen los impuestos sobre el capital de largo plazo y discutaque pasa con el crecimiento en la transicion. Para eso ultimo compare dos economıas que tienendistintos τ , uno alto y uno bajo, y suponga que ambas parten de un nivel de capital menor que elcapital de largo plazo. ¿Cual de las dos economıas crece mas rapido?Respuesta:
A mayores impuestos, menor sera el κ de largo plazo, o sea, la economıa que tiene menos impuestoscrece mas rapido, esto se ve claramente pues acumula capital mas rapido que la otra economıa, τreduce el ingreso disponible de las personas, con ello el ahorro y la inversion de la economıa sonmenores, lo que reduce el crecimiento para la economıa con mas impuestos.
4. Considere una economıa sin impuestos ni gasto de gobierno. ¿Cual es el nivel de capital de la regladorada (kRD)? Compare el nivel de capital de estado estacionario de la regla dorada con k∗ de la parteb). Determine cual deberıa ser la tasa de impuesto (que si es negativa serıa un subsidio) para que sellegue a la regla dorada. Discuta su resultado considerando la tasa de ahorro s y como se comparacon la tasa de ahorro requerida para llegar a la regla dorada.
Respuesta:Sabemos que para una economıa sin impuestos ni gasto del gobierno el κRD se da cuando:
Max c∗ = f(κ∗) − δκ
Max c∗ = Aκ1−α − δκ
∂c∗
∂κ= (1 − α)Aκ−α − δ = 0
κRD =(
(1 − α)Aδ
) 1α
Ahora tenemos que encontrar τ , tal que κ encontrado en b), sea igual al κRD.
κ∗ = κRD
(s(1 − τ)A
δ
) 1α
=(
(1 − α)Aδ
) 1α
1 − τ =1 − α
s
τ =s+ α− 1
s
Si s+ α es menor que 1, para poder encontrar lo pedido el monto deberıa ser un subsidio.
122
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
5. Ahora cambiaremos un poco el problema para suponer que el gasto de gobierno es productivo, perosujeto a congestion (piense en un camino). En consecuencia, la productividad total de los factores Aes una funcion creciente de g/y = τ , es decir A = A(τ) con A′ > 0 y A′′ < 0. Mas aun asumiremos queA(τ) = Bτ ε. Calcule la tasa de impuesto que maximiza el consumo de estado estacionario. Comenteintuitivamente por que el impuesto optimo no es 0.Respuesta:
Es imposible que τ sea 0, puesto que el gobierno no recaudarıa nada y no podrıa suministrar bienpublico alguno. Y como g en este caso es un bien productivo (se encuentra dentro de la funcion deproduccion), este pasa a ser un bien necesario.
3.2.2. Crecimiento endogeno y exogeno.
Considere una economıa con funcion de produccion:
Y = AK +BKαL1−α
Donde K denota el stock de capital, L el numero de trabajadores y A, B y α constantes positivas con0 ≤ α ≤ 1. Esta economıa cumple con todos los supuestos del modelo de Solow, salvo que la funcion deproduccion no satisface una de las condiciones de Inada. Denotamos la tasa de ahorro mediante s, la tasade crecimiento de la fuerza de trabajo mediante n, la tasa de depreciacion mediante δ y el capital portrabajador mediante k = K
L . No hay progreso tecnologico y suponemos que sA ≥ n+ δ. A continuacion sele pide que responda varias preguntas. Recuerde que k esta dado por la ecuacion:
k = sf(k) − k(n+ δ)
1. Determine la tasa de crecimiento de k: γk = kk . ¿A que valores converge γk a medida que k crece?
Respuesta:
Partiendo de la ley de movimiento de capital generica:
k = sf(k) − (δ + n)k (3.3)
Hacemos los reemplazos correspondientes:
k = s(Ak +Bkα) − (δ + n)k (3.4)
k
k=s(Ak +Bkα)
k− (δ + n) (3.5)
γk = sA+ sBkα−1 − (δ + n) (3.6)
Aplicamos lımites a ambos lados, y dado que el exponente de k, α − 1 es menor que 1, el terminosBkα−1 tiende a 0 a medida que k tiende a infinito. Por lo tanto:
lımk→∞
γk = sA− (δ + n) (3.7)
Dado que sA ≥ (n+ δ), existira crecimiento de largo plazo.
2. Diga en cuanto aumenta γk si:
a) s aumenta en ∆s.
b) n disminuye en ∆n. Determine en cada caso si se trata de un efecto transitorio o permanente.
Respuesta:Si el cambio es transitorio, entonces usamos el caso en que:
γk = sA+ sBkα−1 − (δ + n)
Diferenciamos con respecto a s.
∆γk = (A+Bkα−1)∆s
123
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Esto significa, que la mayor tasa de ahorro desplaza la curva de ahorro hacia la derecha, lo que implicaque para cada nivel de capital la tasa de crecimiento del capital va a ser mayor. Sin embargo, en ellargo plazo este cambio transitorio no va a afectar la tasa de crecimiento del capital2:
lımk→∞
∆γk = (A+lımk→∞
Bkα−1)∆s
lımk→∞
∆γk = 0
Si el cambio, por el contrario, es permanente, entonces:
lımk→∞
∆γk = (A+lımk→∞
Bkα−1)∆s
lımk→∞
∆γk = A · ∆s
Para ver un cambio negativo en la tasa de crecimiento de la poblacion sobre la tasa de crecimientodel capital, diferenciamos con respecto a n:
γk = sA+ sBkα−1 − (δ + n)∆γk = −∆n
Por lo tanto, una disminucion transitoria de n desplaza la curva de depreciacion hacia abajo transi-toriamente, aumentando γk durante todo el perıodo que dure el cambio.
Por otro lado, si el cambio es permanente, este persistira en el tiempo y el cambio sobre γk contin-ura siendo −∆n.
3. Compare sus respuestas en la parte final de b.), si el efecto es transitorio o permanente, con losresultados correspondientes del modelo de Solow.Respuesta:
El modelo de solow senala que una disminucion transitoria en la tasa de crecimiento de la poblacionaumentara la tasa de crecimiento del capital per capita para todo nivel de capital durante el perıodo. Eneste modelo, el efecto es similar. Sin embargo, en el largo plazo, es decir, si el cambio es permanente, enel modelo de solow vemos que aumenta la tasa de crecimiento del capital per capita para todo nivel decapital pero este sigue convergiendo a 0. En este modelo tambien converge la tasa, pero a sA− (n+δ).Si disminuye n, la tasa de crecimiento del capital per capita de largo plazo va a disminuir en la mismacuantıa.
4. Sin ningun calculo adicional, determine si en el modelo anterior se tiene:
a) Crecimiento endogeno.Respuesta:
Sı existe crecimiento endogeno. Este modelo se llama Sobelow, que es un cruce entre el modelode Solow-Swan y de Rebelo. Existe crecimiento endogeno porque no es necesario un shock externode productividad total para que en el largo plazo haya crecimiento. Sin embargo, hay que notarque la condicion para que haya crecimiento de largo plazo es que sA ≥ n + δ, es decir, que latecnologıa sea lo suficientemente grande.
b) Que los paıses mas pobres crecen mas rapido que los paıses mas ricos.Respuesta:
Un paıs pobre tendra stock de capital menor. Esto significara que el paıs pobre crecera a una tasade crecimiento mayor que la del paıs rico. Sin embargo, en el largo plazo, ambos paıses, ricos ypobres creceran a la tasa γk encontrarada en la primera parte. La diferencia es que el paıs ricoprobablemente tendra un desarrollo tecnologico mayor, por lo que Arico > Apobre. Por lo que elpaıs rico aun ası seguira creciendo a tasas mayores.
2En el largo plazo, dado que el cambio en la tasa de ahorro es transitorio, ∆s = 0
124
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
3.2.3. Crecimiento con tasa de ahorro variable
Considere un modelo tradicional de crecimiento donde y = f(k) y la tasa de depreciacion es igual a δ .La unica diferencia es que ahora la tasa de ahorro no es constante si no que depende de k, es decir s = s(k)
1. Escriba la restriccion presupuestaria de la economıa, y despeje k.
Respuesta:Sabemos que el ingreso es igual al consumo mas la inversion y que la variacion del capital debe serigual a la variacion de la inversion (que corresponde al ahorro) menos la depreciacion del capital, porlo tanto tenemos que:
y = c+ i
k = sy − δk
k = s(k)f(k) − δk
En lo que sigue discutiremos la posibilidad de que existan multiples equilibrios, y las implicancias deesta situacion en las polıticas de ayuda a paıses subdesarrollados.
Se ha determinado que en un paıs pobre la tasa de ahorro depende dle stock de capital de la siguienteforma:
s(k) =(
k
k + 20
)10
(3.8)
f(k) = 5k0,5 (3.9)
Ademas, la depreciacion es δ = 0, 14.
2. Grafique en el espacio (k, k) o ( kk , k) el equilibrio y determine el numero de ellos. En particular, discuta
si y = k = 0 es un equilibrio.
Indicacion: grafique los puntos k = (0, 100, 200, 500, 1000)
Respuesta:Como ahora s = s(k), o sea el ahorro depende de k, lo que vamos a obtener al despejar k es queeste ya no depende del parametro s, si no que queda expresada en k, como se puede ver en el caso deEtiopia:
k = s(k)f(k) − δk
k = (k
k + 20)105k0,5 − 0, 14k
remplazando tenemos que cuando y = k = 0, k = 0 pero aunque en este punto la variacion del capitales 0 no quiere decir que sea un punto de equilibrio,ya que no tiene sentido que que una economıa seencuentre equilibrada en un punto en que su produccion es 0 y claramente si su produccion es 0 sucapital tambien lo sera. Luego en el caso en que k = (0, 100, 200, 500, 1000) tenemos que la situaciondescrita por las siguientes igualdades y por la figura 2.
k = 100 → k = −5, 9k = 200 → k = −0, 24k = 500 → k = 5, 53k = 1000 → k = −10, 30
125
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
f(k)
k
s(k) · y
y
(δ + n)k
100 200 5001000
3. Analice la estabilidad de cada equilibrio.
Respuesta:Los equilibrios encontrados anteriormente no son estables, ya que en esos puntos la variacion delcapital no es 0 como deberıa ser en steady state
El Banco Mundial ha visto que este paıs se encuentra en una situacion crıtica puesto que k = 0, ypropone hacerle un prestamo.Conteste lo siguiente:
4. ¿Que sucedera con este paıs en el largo plazo si el prestamo asciende a 100?
Respuesta:En el largo plazo si es que el prestamo asciende a 100 lo que vamos a tener, es que este prestamoen vez de ayudar a Etiopıa la va a perjudicar, haciendo que su capital disminuya en el largo plazo,ya que al ser tan pobre, al recibir un prestamo,este no alcanza a ser ahorrado para ası aumentar sucapital
5. ¿Como cambia su respuesta si el prestamo asciende a 300?
Respuesta:En el caso en que el prestamo sea de 300 el resultado cambiara, ya que aca a diferencia del casoanterior, este si producira un aumento del capital de 3,4
126
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
3.2.4. Servicios publicos y derechos de propiedad en el modelo de Ramsey
Actividades como infraestructura, generacion de energıa electrica, etcetera, pueden ser vistas por susefectos sobre la funcion de produccion. Por otro lado, actividades que resguardan los derechos de propiedadcomo policıa, defensa nacional, justicia, etcetera. pueden ser vistas como afectando la probabilidad de quelos agentes economicos retengan la propiedad sobre sus bienes.
Suponga que la probabilidad, p, de mantener la propiedad de la produccion que un agente produce esuna funcion creciente del gasto en seguridad p(G) (p′ > 0, p′′ < 0). Suponga ademas que el gasto se financiacon un impuesto de suma alzada τ sobre la base de un presupuesto equilibrado.
La funcion de utilidad del individuo consumidor-productor representativo (no hay ni progreso tecniconi crecimiento de la poblacion) es:
U =∫ ∞
0
c1−σt − 11 − σ
e−ρtdt (3.10)
Su restriccion presupuestarıa es:
p(G)f(kt) = kt + ct + δkt + τ (3.11)
1. Explique la restriccion presupuestarıa.
Respuesta:Las componentes de la restriccion presupuestaria son el ingreso esperado, p(G)f(kt), la acumulaciondel capital, k, el consumo en el periodo t, ct, la depreciacion del capital δkt y un impuesto de sumaalzada τ .
La ecuacion puede ser vista de dos maneras:
⇒ p(G)f(kt) − τ = ct +(k + δkt
), esto es, ingreso disponible esperado = consumo + inversion.
⇒ k+δkt = (p(G)f(kt) − τ − ct), esto es, inversion bruta en perıodo t = ahorro esperado en periodot
2. Plantee el problema de optimizacion y explique la idea detras del problema a resolver.
Respuesta:El problema optimo del consumidor-productor es:
MaxU =∫ ∞
0
c1−σt − 11 − σ
e−ρtdt s.a kt = p(G)f(kt) − ct − δkt − τ
Trivialmente se puede ver que si G esta fijo, entonces p(G) es una constante que multiplica la funcionde produccion y el problema se reduce a la derivacion desarrollado en clases.
3. Resuelva el problema y descrıbalo en un diagrama de fase en c y k. Muestre explicitamente lasecuaciones que esta traficando.
Respuesta:Al derivar las condiciones de primer orden del Hamiltoniano, se obtiene la ecuacion de la dinamicadel consumo:
c
c=
1σ
[p(G)f ′(kt) − δ − ρ] (3.12)
La ecuacion de dinamica del capital esta dada por la restriccion presupuestaria (ec. (2)).
kt = p(G)f(kt) − ct − δkt − τ (3.13)
127
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c
k
SS
SSc = 0 ⇒ k∗ = f ′−1
(δ+ρp(G)
)k = 0 ⇒ c = p(G)f(k) − δk − τ
k = 0
c = 0
c∗
k∗
E0
Figura 3.7: En el largo plazo
En estado estacionario c = 0 y k = 0. Para un nivel de G dado, el capital k∗ y consumo c∗ de estadoestacionario (EE) se obtienen de:
c = 0 ⇒p(G)f ′(kt) = δ + ρ⇒ k∗ = f ′−1
(δ + ρ
p(G)
)(3.14)
Donde ∂c∂k = 0 y ∂k
∂G > 0. Vemos que el nivel de capital de estado estacionario depende del gasto delgobierno positivamente dado f ′ > 0 → f ′−1
< 0.
k = 0 ⇒p(G)f(kt) = ct + δkt + τ ⇒ c = p(G)f(kt) − δkt − τ (3.15)
Podemos ver que ∂c∂k = p(G)f ′(k)−δ−τ 0 pero que ∂2c
4. Analice un aumento permanente y no anticipado de G. ¿Cual es el rol del presupuesto equilibrado?¿Cual es la importancia de las propiedades de p(G)?
Respuesta:Un aumento del gasto de gobierno G implica directamente dos cosas, primero un incremento de laprobabilidad de mantener la propiedad de la produccion p(G), y segundo, el gasto publico en base a unpresupuesto equilibrado, implica que tambien habra un aumento del impuesto de suma alzada τ quees constante en el tiempo y igual a G.
De la ecuacion 3.14 vemos que el nivel de capital tiene la siguiente relacion con el gasto de gobierno(G):
∂k∗
∂G= − Φ′︸︷︷︸
−p′(G)︸ ︷︷ ︸
+
> 0
Donde Φ = f ′−1(
δ+ρp(G)
)Vemos entonces que inambiguamente se desplaza la a la derecha la condicion
de equilibrio entregada por c = 0.
De la ecuacion 3.15 vemos que tiene la siguiente relacion con G:
128
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c
k
SS
SSc = 0
E2
k = 0
k′ = 0c∗ E0
c∗′
Figura 3.8: Caso 1: ∂c∂G > 0
∂c
∂G=p(G)G
f(kt)︸ ︷︷ ︸+
− τ
G=p(G)G
f(kt) − 1 0 (3.16)
5. Describa la trayectoria de equilibrio, y explique que pasa con el nivel de consumo y capital en el nuevoestado estacionario. ¿Sube o baja el consumo de estado estacionario? ¿Y el capital? ¿De que depende?
Respuesta:Vemos que dependiendo de las propiedades de la funcion p y el nivel de f(kt), la relacion entre alcondicion de equilibrio para k = 0 sera positiva o negativa.
Resumido tenemos que mas derechos de propiedad siempre aumentan el nivel de capital de equilibrio.Esto es claro debido a que aumenta la productividad marginal del capital. (esperado)
Lo que no se sabe bien es que ocurre con el consumo de steady state. Tenemos tres casos:
Caso 1: ∂c∂G > 0. (Figura 5) Esto implica un consumo de steady state mayor. Lo que no se sabe es si
predomina el efecto de incentivo al ahorro o al mayor consumo en t = 0. Esto depende de la pendienteque tiene SS. Si los agentes son pacientes, entonces el saddle path tiene mayor pendiente, se ahorramas y se llega al estado estacionario mas rapidamente. El opuesto esta tambien graficado.
Caso 2: ∂c∂G < 0. (Figura 5) El capital de steady state aumenta pero el consumo baja. Debido a que
la productividad maginal del capital aumenta se dedican mas recursos a la inversion, pero el ingresodisponible baja debdio al aumento en los impuestos. El consumo cae y el steady state sigue mas bajoen E2 que antes en E1.
Caso 3: ∂c∂G = 0 (Figura 5) El consumo y capital de steady state aumentan pero el ingreso disponible
no cambia por lo que debe caer el consumo de manera de poder ahorrar mas y aumentar el stock decapital hasta llegar a E2.
3.2.5. Ramsey y Highbridge School of Economics
La comunidad de Highbridge tiene un sistema economico de libre mercado sin gasto de gobierno, ademas,el individuo representativo tiene la siguiente funcion de utilidad a lo largo de su vida
129
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
cstar1
cstar0
c
k
SS
SS
k = 0
c = 0
Figura 3.9: Caso 2: ∂c∂G < 0.
cstar1
cstar0
c
k
SS
SS
k = 0
c = 0
Figura 3.10: Caso 3: ∂c∂G = 0
130
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
U =∫ ∞
0
c1−σ−t − 11 − σ
e−ptNtdt
con Nt = n0ent
Se sabe, ademas, que la tasa de interes de mercado es r y la depreciacion es δ
1. Desarrolle el problema de optimizacion del hogar representativo y encuentre la trayectoria del consumoen funcion de la tasa de interes.
Respuesta:
Sabemos que la ecuacion de acumulacion de activos de la economıa es
Atrt + wtLt = CT + At
Pero necesitamos que esta ecuacion este expresada en terminos per capita es decir:
atrt + wtlt = ct +A
L
A
L=AL− LA
L2
a =A
L− L
La
a+ na =A
Latrt + wt − nat − ct = at
Ahora para obtener la trayectoria del consumo debemos resolver el problema de optimizacion intertem-poral, para esto planteamos el siguiente Hamiltoneano:
H = e−(p−n)t
[c1−σt − 11 − σ
N0 + λt(atrt + wt − nat − ct)]
Ahora planteamos las condiciones de primer orden
∂H
∂ct= e−(p−n)t[c−σ
t N0 − λt] = 0
⇒ c−σt N0 = λt
∂H
∂kt= −d(λte
−(p−n)t
dt
e−(p−n)tλt(r − n) = −[e−(p−n)tλ− (p− n)e−(p−n)tλt
]e−(p−n)tλt(r − n) = −e−(p−n)t[λ− (p− n)λt]
λt(r − n) =[(p− n)λt − λ
]Y sabemos que c−σ
t N0 = λt luego:
c−σt N0 = λt/
d
dt
−σct−σ−1cNo = λ
131
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
reemplazando tenemos:
c−σt N0(r − n) = [(p− n)c−σ
t N0 + σc−σ−1t cN0]
c−σt N0(r − n) = c−σ
t N0[(p− n) + σc
ct]
(r − n) = (p− n) + σc
ct(r − p)σ
=c
ct
2. Asuma que la funcion de produccion de la firma representativa es KαL1−α. Con esto, desarrolle elproblema de optimizacion de las firmas y encuentre el equilibrio en la economıa.
Respuesta:Sabemos que:
Π = KαL1−α − wtLt− (rt + δ)Kt
En terminos per capita
∂π
∂kt= akα−1 − (rt + δ)
r = (akα−1 − δ)
Reemplazamos esta ecuacion en la ecuacion del movimiento del consumo y tendremos
c
ct=[akα−1 − (δ + p)
σ
]Ademas sabemos que:
Y = C + I
Y = C + K + δK /÷ L
y = c+K
L+ δk
kα = ct + k + (δ + n)k
Puesy = kα y KL = k + nk Ahora estamos en condiciones de determinar el equilibrio de la economıa
k = kα − ct − (δ + n)k = 0⇒ ct = kα − (δ + n)k
c
ct=[akα−1 − (δ + p)
σ
]= 0
⇒ kα−1 =(p+ δ)α
kss =(
α
(p+ δ)
) 11−α
132
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c
kk∗t
k = 0
Figura 3.11: c = 0
3. Grafique el diagrama de fases y explique las leyes del movimiento de las ecuaciones diferenciales.
Respuesta:De c = 0 vemos que el capital no depende del consumo. Graficamente tenemos la figura 3.11.
Las flechas a la izquierda de la curva nos indican niveles de capital menores al optimo. Dado esto,se estan liberando recursos que no se estan ahorrando por cuanto crece el nivel de consumo de losagentes. Analogamente para las flechas del lado derecho.
A partir de k sabemos que el consumo depende del capital. El grafico del problema queda como semuestra en la figura 3.
Las flechas bajo la curva (curva que por lo demas esta definida por la forma de la productividadmarginal del capital) nos indican que para cualquier combinacion de capital y consumo en dicha zona,estaremos en un punto no optimo por cuanto los recursos no empleados en consumo se hallan librespara ser utilizados en acumulacion de capital. Esto lleva a que aumente dicha variable. Analogamentepara los puntos sobre la curva.
Veamos ahora el diagrama de fases en 3.13.
4. ¿Que ocurre en la economıa si aumenta p? Grafique el diagrama de fases y la trayectoria del consumoy del capital con respecto al tiempo.
Respuesta:Si aumenta p entonces la gente prefiere aun mas consumir en el presente que en el futuro, se vuelevnindividuos ”Carpe diem”, lo que ocurre en la economıa es que al principio consumiran mas, sin em-bargo a medida que transcurre el tiempo, dado que consumieron demasiado en el instante del cambio,disminuye el capital y por consiguiente el consumo de estado estacionario.
Graficamente tenemos lo que ocurre en 3.14.
La trayectoria de C y K seran como se muestra en las figuras 3.15 y 3.16.
5. Demuestre que el consumo en cualquier instante del tiempo se puede determinar como: ct = e(r−p)t
σ c0.Indicacion: Se sabe que 1
t
∫ t
0 rdt = r.
133
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c
k
k = 0
Figura 3.12: k = 0
c
k
c = 0
k = 0
Figura 3.13: Diagrama de fase: Modelo de Ramsey
134
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
cc`c
k
c = 0
k = 0
Figura 3.14: Efecto de un cambio en p
c
T
Figura 3.15: Trayectoria del consumo
135
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
K
T
Figura 3.16: Trayectoria del capital
Respuesta:Sabemos que:
c
ct=
(r − p)σ
/
∫ t
0
dt∫ t
0
cctdt =∫ t
0
(r − p)σ
dt
ln(ct) − lnc0 =1σ
[∫ t
0
rdt −∫ t
0
pdt
]/
∫ rt
0
dt = tr
ln(ct) =(r − p)t
σ+ ln(c0)/e(•)
ct = e((r−p)σ
) c0
6. Interprete, intuitivamente y matematicamente, que ocurre en la economıa cuando aumenta σ. Grafique.
Respuesta:Sabemos que σ es la elasticidad de sustitucion, si esta es alta entonces vamos a suavizar mucho nuestratrayectoria del consumo, y si es baja estamos dispuestos a tener grandes saltos de consumo a lo largodel tiempo. Entonces si esta aumenta, vamos a suavizar aun mas nuestro consumo. Matematicamente:sabemos que el consumo a lo largo del tiempo es ct = e
(r−p)σ c0 por lo que si aumenta σ disminuye el
consumo, o dicho de otra forma, si cambia (r − p) entonces el consumo no cambiara tanto. Grafica-mente se puede ver en 3.17.
3.2.6. Reminiscencias de Ramsey
Los agentes de esta economıa se comportan segun la siguiente funcion de utilidad. En esta economıa noexiste crecimiento de la poblacion, por lo que la funcion se puede expresar como:
U =∫ ∞
0
(c1−σt − 11 − σ
e−ρt
)dt (3.17)
136
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
c
k
c = 0
k = 0
Figura 3.17: Efecto de un aumento de σ
Suponga que las firmas de esta economıa pueden ser representadas por la siguiente funcion de produccion(en terminos per capita)
yi = kαi con 0 < α < 1 (3.18)
Suponga, ademas, que el capital se deprecia a tasa δ.
1. Desarrolle el problema de optimizacion del hogar representativo y encuentre la trayectoria optimapara el consumo. Obtenga esto a traves de la solucion original de Ramsey (centralizada).
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.18: k = 0
c
k
k = 0
˙λ(t)λ(t)t
= −σc−σ−1ct (3.26)
Reemplazando lo anterior en 3.24
−σc−σ−1ct + c−σt (αkα−1 − δ − ρ) = 0 (3.27)
(3.28)
Jugando con un poco de algebra llegamos a que:
ctct
=1σ
(αkα−1 − δ − ρ
)(3.29)
2. A partir de los resultados encontrados en 3.2.6, plantee las ecuaciones necesarias para construir eldiagrama de fases. Sea cuidadoso en el desarrollo y explicacion de sus pasos.
Respuesta:Primero usamos la ecuacion del movimiento del capital:
f(kt) = ct + k + δk
kαt − ct − δk = k = 0
kα−1t − δk = ct
Esto nos permite graficar nuestra recta k = 0. Dadas las caracterısticas indicadas por enunciado, estafuncion es concava y la depreciacion es mayor que cero. Asi llegamos a la figura 3.18.Para graficar y encontrar nuestra recta c = 0 usamos 3.29
1σ
(αkα−1 − δ − ρ
)= 0 (3.30)
αkα−1 − δ − ρ = 0 (3.31)
kα−1 =ρ+ δ
α(3.32)
k∗ =(
α
ρ+ δ
) 11−α
(3.33)
138
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.19: c = 0
c
kk∗
c = 0
Figura 3.20: El diagrama de fases
c
k
k = 0
k∗
c = 0
Lo que es solo una constante, por lo que la recta c = 0 queda de la forma presentada en 3.19.
Juntando ambas condiciones y rectas de movimiento construimos la figura 3.20.
3. Encuentre el nivel de capital de regla de oro usando lo obtenido en 1. Sea cuidadoso con su desarrolloalgebraico. Grafique el diagrama de fases encontrado en 1 agregando sus resultados encontrados.Explique sus resultados.
Respuesta:Para encontrar el capital de regla de oro (kRD) imponemos la siguiente condicion:
f ′(kRD) = δ +0
n (3.34)
αkα−1RD = δ (3.35)
kα−1RD =
δ
α(3.36)
kRD =(αδ
) 11−α
(3.37)
Como podemos ver kRD > k∗
(αδ
) 11−α
>
(α
ρ+ δ
) 11−α
139
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.21: Regla de oro y la impaciencia
c
k
k = 0
k∗kRD
c = 0
Graficamente llegamos a la figura 3.21.
Esto ocurre porque, al ser este modelo dinamico, los agentes son “ impacientes”, lo que los lleva aconsumir menos y de capital de estado estacionario menor.
3.2.7. Crecimiento y la evidencia empırica
Dos grupos de investigadores, A y B, toman los mismos datos del PIB de 30 paıses y obtienen los graficosque se muestran en la figura 3.22.El primer grupo comparo el crecimiento del PIB de los 30 paıses para 1960 hasta el 2000 (γ1960−2000) conrespecto a su nivel de PIB en 1960 (log(PIB1960)), mientras que el segundo grupo hizo lo mismo, peroseparo a los paıses en 2 grupos: los 15 con mayor PIB inicial y los 15 con menor PIB inicial.Se le pide a ud. que analice los resultados presentados
1. ¿Que es lo que nos dice el grafico 3.23(a)? ¿Hay alguna teorıa que sustente/refute este resultado?
Respuesta:Este grafico nos muestra que la convergencia absoluta no se cumple. Al tener pendiente positiva, estarecta nos indica que las tasas de crecimiento estan relacionadas positivamente con el nivel inicial deproducto, contradiciendo ası a las predicciones del modelo de Solow y sus extensiones. La hipotesis deconvergencia absoluta nos dice que los paıses tienen el mismo estado estacionario, por lo que convergenal mismo nivel de ingreso per capita. Ademas, si esto se cumple, es de esperarse que los paıses maspobres crezcan mas rapido que los paıses mas ricos, cosa que este grafico refuta.
2. ¿Que es lo que nos dice el grafico 3.23(b)? ¿Hay alguna teorıa que sustente/refute este resultado?
Respuesta:Este grafico nos muestra que se cumple la teorıa de la convergencia condicional. Esta teorıa asumeque los paıses pueden tener niveles de capital de estado estacionario distintos. Esta hipotesis servirıapara explicar porque hay paıses pobres aparentemente no convergen.El estudio compara paıses de mayores ingresos y paıses de menores ingresos, y la convergencia secumple, es decir, el grafico nos muestra una relacion negativa entre crecimiento y PIB inicial entrepaıses “similares”
En vista de la respuesta que ud. le dio a los respectivos grupos, los del grupo A deciden investigar queexplica realmente el crecimiento economico. Despues de mucho trabajo, le presentan a ud. la figura3.23.
Responda:
3. ¿Como podrıa explicar ud. este fenomeno? ¿Hay alguna teorıa que lo respalde o refute?.
140
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.22: Crecimiento
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 114
6
8
10
12
14
16
Paises0.47393
γ1960−
2000
log(PIB1960)
(a) Grupo A
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 114
6
8
10
12
14
16
Paises−0.29549−0.32859
γ1960−
2000
log(PIB1960)
(b) Grupo B
Figura 3.23: ¿Porque crecen los paıses?
0 5 10 15 20 25 30−20
0
20
40
60
80
100
120
Paises3.3483
PIB
per
capit
a,2000
tasa de ahorro promedio, 1960-2000 ( %)
141
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.24: Efectos de ∆s
f(k)
k
sy0
sy1
sy2
y
(δ + n)k
k∗
Figura 3.25: Efectos de la polıtica de Grupo B
2001 2002 2003 2004 20052400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
4000
4200
Consu
mo
en
dola
res
Anos
Respuesta:Este resultado es consistente con las predicciones del Modelo de Solow: “ A mayores tasas de ahorro,mayor es el nivel de producto per capita de estado estacionario”. Los investigadores del grupo A estan“respaldados” por la teorıa, llegando a la figura 3.24.
El grupo B, al tanto de los resultados del grupo A, recomienda al paıs 31 que aumente sus tasas deahorro a niveles estratosfericos. El paıs 31 obedece y decide aumentar su tasa de ahorro cada ano. 5anos despues, los resultados se presentan en la figura 3.25.
Responda:
4. ¿Que es lo que sucedio en el paıs 31? ¿Como explica ud. que aumentos en la tasa de ahorro disminuyanel consumo? Respalde sus argumentos con materia estudiada para este control.3
Respuesta:Lo que puede haber ocurrido es que este paıs se econtraba ahorrando a su tasa de regla de oro, porlo que este resultado es totalmente consistente con las conclusiones extraıdas del modelo de Solow.Ceteris paribus, mayores tasas de ahorro conducen a mayores niveles de producto per capita, pero noa mayores niveles de consumo. Ver figura 3.26.
3.2.8. Solow versus Ramsey
Usted es contactado por Joseph Kabila, presidente de Republica Democratica del Congo para zanjar undebate sobre sus perspectivas de crecimiento. Como usted sabe el Congo, antes llamado Zaire, ha sufrido
3Asuma, para efectos del analisis, que el paıs 31 converge inmediatamente a su estado estacionario
142
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.26: Ineficiencia Dinamica
f(k)
k
syRD
sy1
sy2
yf(k)k
(δ + n)k
k∗oro
de continuas crısis polıticas que han mermado el desarrollo economico. Su poblacion, que crece a una tasade 2 % a visto disminuida sus condiciones de vida tras 40 anos de conflictos sociales.
Tras los acuerdos polıticos de 2005, se ha logrado una cierta estabilidad que ha permitido planear unaestrategia de desarrollo. Sin embargo dentro del gabinete del presidente hay dos corrientes que no se hanlogrado poner de acuerdo. Por una lado, hay un grupo que sostiene que la situacion de crecimiento de largoplazo esta correctamente descrito por el modelo de Solow. Sin embargo, otro grupo indica que lo correctoes lo que indica el modelo de Ramsey. Al menos hay acuerdo en que la funcion de produccion per capitaesta descrita por f(k) = kα con α = 0,2, que la depreciacion δ = 6 %. Otro dato de interes es que en losultimos 5 anos se ha logrado invertir el 30 % de lo producido y que el descuento por impaciencia es ρ = 1 %.
En base a los antecedetes entregados, el Presidente Kabila le solicita ayuda con las siguientes interro-gantes:4
1. Se le pide determinar el nivel de capital de estado estacionario segun el modelo de Solow con la actualtasa de ahorro. Con este nivel de capital ¿cual es el nivel de consumo?
Respuesta:Sabemos que en el modelo de solo esta descrito por una simple ecuacion
k = s · kα − (δ + n) · kAl imponer el estado estacionario y reemplazar los valores indicados en el enunciado tenemos que,
k∗ =(
s
δ + n
)( 11−α )
(3.38)
=(
0,30,03 + 0,02
)( 11−0,2 )
(3.39)
= 9,391 (3.40)
Ahora, para obtener el nivel de consumo debemos reemplazar este capital en la ecuacion del modelode Solow. Primero despejamos la expresion recordando que estamos en estado estacionario por lo cualk = 0, de forma tal que,
c = kα − (δ + n) · k (3.41)= kα · (1 − s) (3.42)
Reemplazando los valores tenemos que c∗ = 1,096
4Por facilidad suponga que los valores que obtenga estan expresados en miles de dolares mensuales. Por lo anterior, reportesus resultados con los tres primeros decimales.
143
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. Determine el nivel de capital de estado estacionario segun el modelo de Ramsey ¿Cuanto es el nivelde consumo?
Respuesta:
En el caso del modelo de Ramsey, para resolver el nivel de capital de estado estacionario debemosutilizar la expresion para c = 0. Esto es,
0 =c
c=
1σαk(α−1) − (δ + n+ ρ)
Despejando y reemplazando tenemos que,
αk(α−1) = δ + n+ ρ
k∗ =(
α
δ + n+ ρ
)( 11−α )
=(
0,20,03 + 0,02 + 0,01
)( 11−0,02 )
Con lo cual k∗ = 4,504. Despejando de forma similar a lo hecho en (3.41) encontramos que c∗ = 1,126
3. Compare y comente los resultados que obtuvo segun los modelos de Ramsey y Solow. ¿Es posibleincrementar el nivel de consumo en alguno de estos casos? ¿A cuanto?
Respuesta:
Se puede ver que, aunque en el caso del modelo de Solow se alcanza un nivel de capital de estado esta-cionario mas alto, el nivel de consumo es mas alto el resultado entregado por el modelo de Ramsey.Detras de esto esta el concepto de Infeciencia Dinamica: si el congo continuara para simpre ahorrandoun 30% de lo que produce, estarıa ahorrando mas que lo optimo.
El modelo de Ramsey obtuvo un resultado optimo, por lo cual no se puede mejorar. En el caso delmodelo de Solow se puede encontrar un resultado en el que se incrementa el consumo. Recordemosque el nivel de capital de Regla Dorada se obtiene al igualar la productividad marginal del capital ala tasa de depreciacion mas el incremento de la poblacion. El nivel de ahorro que tenga por resultadoeste nivel de capital es el optimo. En terminos matematicos esto es,
αk(α−1) = δ + n
k∗ =(
α
δ + n+
)( 11−α )
=(
0,20,03 + 0,02
)( 11−0,02 )
Es decir k∗ = 5,657. Luego, el nivel de ahorro consistente con este nivel de capital de regla dorada es
sk(α−1) = (δ + n)k
s =(δ + n)kα−1
y reemplazando con k∗ = 5,657
s = 0,2
4. Suponga ahora que el nivel de ahorro pasa a ser de 20 %. Las diferencias con este cambio, entre lopredicho por los modelos de Solow y Ramsey son una de las principales discusiones que se tiene en elCongo ¿Cuales son las diferencias y por que se producen?
144
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Respuesta:
Los resultados para en el caso del modelo de Ramsey se ven inalterados, por lo que se mantiene quek∗R = 4,504 y c∗R = 1,126.
En el caso del modelo de Solow los resultados cambian. Utilizando la misma resolucion que en laprimer pregunta, tenemos que k∗S = 5,657 y c∗S = 1,131.
Vemos que ahora el nivel de capital y nivel de consumo per capita es en ambos casos superior segunla resolucion del modelo de Solow respecto al caso de Ramsey. La razon de las diferencias se puedever a continuacion
k∗R =(
0,2δ + n+ ρ
)( 11−0,2 )
k∗S =(
0,2δ + n+ ρ
)( 11−0,2 )
La diferencia esta en que el modelo de Ramsey considera la impaciencia que tienen los agentes, pre-firiendo consumo presente por sobre el consumo futuro. Esto hace que el modelo tenga como resultadoun nivel de capital en estado estacionario menor al que se alcanza en el caso de Solow. Esta diferencia,y su efecto en el nivel de capital de estado estacionario, es lo que hace que el nivel de consumo deRamsey sea levemente menor.
3.2.9. Cambios en la productividad
Suponga una economıa sin crecimiento de la poblacion con una tasa de depreciacion del capital igual aδ, una tasa de ahorro de s y una funcion de produccion per capita igual a:
y = akα (3.43)
Donde a es un parametro asociado a la productividad que cumple con las siguientes condiciones:
a = a1 si k < k (3.44)a = a2 si k ≥ k (3.45)
Ademas, se cumple con la siguiente condicion:
a1 <k1−αδ
s< a2 (3.46)
Es decir que, cuando el nivel de produccion es elevado, tambien lo es la productividad. Lo anterior refleja,por ejemplo, la existencia de economıas de escala o el aumento de los conocimientos para difundir.
a) Muestre que existen dos estados estacionarios posibles y encuentre el valor del producto de equilibrio.¿De que sirve la condicion (3.46)?. ¿Que sucede si se cambia por (3.47)?
k1−αδ
s< a1 < a2 (3.47)
Respuesta:
145
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Utilizando (3.46) para despejar k
a1 <k1−αδ
s< a2
sa1
δ< k1−α <
sa2
δ(sa1
δ
) 11−α
< k <(sa2
δ
) 11−α
Por otro lado sabemos que en estado estacionario k = 0
k = sy − δk
0 = sakα − δk
k∗ =(saδ
) 11−α
Luego, k∗1 < k < k∗2 , con lo que garantizamos 2 estados estacionarios. Para obtener los productos deestado estacionario desarrollamos el caso general:
y = akα
y∗ = a(saδ
) α1−α
∴
y∗1 = a1
1−α
1
(sδ
) α1−α
y∗2 = a1
1−α
2
(sδ
) α1−α
Para ver que sucede si cambiamos (3.46) por (3.47), utilizamos los resultados obtenidos anteriormente.Con ello obtenemos que:
k(1−α)δ
s< a1 < a2
k < k∗1 < k∗2
Lo anterior implica que solo existe un estado estacionario al que puede converger esta economıa: k∗2 .
b) Muestre que si la tasa de ahorro aumenta, una economıa estancada en el equilibrio de bajo ingresopodrıa salir de el. Justifique ademas que incluso un aumento “transitorio” de la tasa de ahorro podrıasacar a esta economıa de la trampa de pobreza.
Respuesta:
Asumiendo que se esta en el estado estacionario de bajo ingreso:
k∗1 < k(sa1
δ
) 11−α
< k
146
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Se puede observar que un aumento en la tasa de ahorro (s) hara que el capital de estado estacionariode bajo ingreso aumente, por lo tanto, si dicho aumento logra revertir el sentido de la desigualdad,estaremos en camino al estado estacionario de alto ingreso (dado que ahora la productividad es mayor).Aun si el cambio en el ahorro es transitorio, notando que existe una dependencia con las magnitudesde a1 y a2, podrıamos continuar en la senda hacia el equilibrio de alto ingreso.
3.2.10. Estados Hundidos
Considere la economıa de los Estados Hundidos, la cual esta descrita por las siguientes ecuaciones:
Y = (1 − τ)Kα(AL)1−α , 0 < α < 1 (3.48)K = sY (3.49)
L
L= 0 (3.50)
A
A= g (3.51)
En esta economıa, τ es la tasa impositiva a la produccion la cual es utilizada por el presidente JorgeArbustos para financiar una guerra contra Vietlang la cual no contribuye en ninguna medida con el productoni el stock de capital.
a) Defina la unidad de capital por trabajador efectivo como k =K
ALy derive una expresion para su
evolucion en el tiempo∂k
∂t.
Respuesta:
Primero que todo lo que el enunciado pide es la evolucion en el tiempo de k, la cual denotaremoscomo k. Para encontrar dicha expresion debemos derivar con respecto a t:
∂k
∂t= k =
K(AL) −K(AL+ LA)(AL)2
k =K
AL− k
(A
A+L
L
)k = sy − gk
k = (1 − τ)skα − gk.
b) Derive el nivel de capital por unidad efectiva de trabajo de largo plazo, k∗, y el nivel de producto
(tambien por unidad efectiva) y∗, donde y∗ =Y
AL. Suponga que el VietKung (enemigo de EEHH)
destruye la septima division de blindados de don Jorge, por lo que se ve obligado a aumentar la tasaimpositiva y ası recuperar su posicion belica.¿Cual es el efecto sobre y∗?.
Respuesta:
Sabemos que en el largo plazo k = 0 , por lo tanto:
147
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
k = 00 = (1 − τ)skα − gk
g = (1 − τ)skα−1
∴
k∗ =(
(1 − τ)sg
)( 11−α )
y∗ = (1 − τ)(k∗)α
= (1 − τ)(
(1 − τ)sg
)( α1−α )
Luego analizando∂y∗
∂τ< 0 por lo que un aumento en la tasa impositiva hace disminuir el nivel de
producto por unidad efectiva de trabajo de estado estacionario.
c) Ahora suponga que el impuesto a la produccion disminuye los incentivos para crear nuevas tecnologıas.Especıficamente, suponga que el ratio de crecimiento de la tecnologıa tiene la siguiente forma funcional:
g = b(1 − τ)1α , b > 0 (3.52)
¿Cual es el nuevo nivel de estado estacionario?. ¿Cuales son los efectos, bajo esta nueva situacion, deun aumento en los impuestos?.
Respuesta:
Para resolver no es necesario desarrollar todo el sistema nuevamente, basta con reeplazar g = b(1−τ) 1α
y∗ = (1 − τ)(
(1 − τ)sb(1 − τ)
1α
)( α1−α )
y∗ =(sb
) α1−α
Como es posible observar, en esta nueva situacion, el efecto del impuesto sobre el nivel de productode estado estacionario es nulo. La razon por la que sucede esto es que el impuesto tiene dos efectosque son de igual magnitud pero en sentido contrario, es decir, reduce la inversion actual (1 − τ)skα,con la consecuente caıda en el producto de estado estacionario y por otro lado disminuye la tasa decrecimiento de la tecnologıa. Con un crecimiento mas lento de la tecnologıa, menor es el requerimientode nuevo capital en cada perıodo para mantener un mismo nivel de capital por unidad efectiva detrabajo y por lo tanto k∗ sera mayor en el nuevo estado estacionario (Como tambien lo sera y∗).
d) Continue asumiendo que g = b(1 − τ)1α , ademas recordemos que el consumo corresponde a C =
(1 − s)Y . Con esta informacion, ¿Cual es la tasa de crecimiento del consumo en estado estacionario?y ¿Como se ve afectado por las variaciones en la tasa del impuesto?
Respuesta:
En estado estacionario y =Y
ALes una constante, lo que implica que:
148
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Y
Y=
A
A+L
L
Y
Y= g + 0
Y
Y= b(1 − τ)
1α
Luego utilizando C = (1 − s)Y tenemos que:
C
C=
Y
Y
C
C= b(1 − τ)
1α
Con el resultado anterior es posible observar que un aumento en la tasa impositiva reduce la tasa decrecimiento del consumo mediante su efecto negativo en la tasa de crecimiento de la tecnologıa.
e) Suponga ahora que en EEHH habra elecciones presidenciales. Los candidatos, Hilary Lewinsky yDerek Osahama, tienen los siguientes discursos respectivaente:
• H. Lewinsky: “... terminare con esta guerra que nada de bueno ha traıdo a los buenos ciu-dadanos de Estados Hundidos. Si gano las elecciones, ademas, abolire inmediatamente los im-puestos..”
• D. Osahama: “... yo tambien terminare con la guerra, pero a diferencia de mis contrincantespropongo que el impuesto que subsidiaba la guerra lo usemos para mejorar la educacion denuestros hijos...” (aplausos!!)
Lo anterior se resume en que si sale electa la senora H. Lewinsky la guerra termina y la tasa impositivaτ cae a cero, por lo que g = b. Por otro lado, si sale electo D. Osahama, la guerra termina, la tasaimpositiva se mantiene pero la tasa de crecimiento de la tecnologıa aumenta (debido a las mejoras enla educacion). En este escenario g = B(1 − τ)
1α , donde b < B .
¿Cual sera la nueva tasa de crecimiento del consumo de largo plazo para cada uno de los escenar-ios posibles? y, ¿Bajo que condiciones sera optimo para los ciudadanos de EEHH votar por DerekOsahama? (Para responder esto ultimo asuma que a los votantes les importa solo el crecimiento deconsumo promedio). Explique en no mas de 5 lıneas.
Respuesta:
De la parte d) sabemos que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento de latecnologıa; por lo tanto bajo el esquema de la senora H.L. la tasa de crecimiento del consumo es iguala b, y bajo el esquema de D.O. la tasa es igual a B(1 − τ)
1α . Luego, sera optimo votar por D.O. si y
solo si B(1 − τ)1α > b.
3.2.11. Crecimiento con Postinor 2
Suponga una economıa donde el “postinor 2” es gratuito y que por lo tanto el crecimiento de la poblaciones nulo. Dado lo anterior la funcion de utilidad que guıa el comportamiento de los agentes se puede expresarcomo:
Z =∫ ∞
0
(c1−σt − 11 − σ
e−ρt
)dt (3.53)
149
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Ademas las firmas pueden ser representadas por la funcion de produccion en terminos per capita (3.54)y el capital se deprecia a una tasa δ.
yi = kαi 0 < α < 1 (3.54)
a) Plantee y desarrolle el problema de optimizacion del hogar representativo y encuentre la trayectoriaoptima para el consumo mediante la solucion centralizada.
Respuesta:
El problema que enfrenta el hogar representativo es el siguiente:
max∫ ∞
0
U(ct)e−ρtdt
s.a. kt = kαt − ct − δkt
k0 = k0
kt ≥ 0 , ∀tct ≥ 0 , ∀t
Tomando en cuenta el problema anterior planteamos el Hamiltoneano:
H = e−ρtU(ct) + λt(kαt − ct − δkt)
Luego obtenemos las condiciones de primer orden5:
∂H∂λt
= kt → kt = kαt − ct − δkt
∂H∂kt
= −λt → λt = −λt(αkα−1t − δ)
∂H∂ct
= 0 → e−ρtc−σt = λt
Luego tomamos la ultima condicion, aplicamos logaritmo natural y diferenciamos con respecto altiempo:
−ρt− σ ln ct = lnλt∂
∂t
−ρ− σctct
=λt
λt
Reemplazando en la segunda CPO obtenemos:
−ρ− σctct
= −(αkα−1t − δ)
ctct
=1σ
(αkα−1t − δ − ρ)
5Las condiciones de primer orden son suficientes para resolver el problema dado que existe tanto para kt como para ct.
150
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
b) A partir de los resultados obtenidos en a) plantee las ecuaciones necesarias para construir el diagramade fases. Explique detalladamente y refierase a las condiciones de transversalidad y su importancia enel modelo.
Respuesta:
El diagrama de fases que nos interesa en este ejercicio es el que relaciona consumo con capital, porlo que las escuaciones de movimiento que utilizaremos son:
kt = kαt − ct − δkt
ctct
=1σ
(αkα−1t − δ − ρ)
Ahora analizamos que sucede en estado estacionario. Sabemos que en ese horizonte las variables notienen incentivos a moverse por lo tanto kt y ct son iguales a cero. Resolviendo obtenemos:
kt = 0 → c∗ = kαt − δkt
ct = 0 → k∗ =(
α
ρ+ δ
) 11−α
Luego analizmos independientemente en ambas ecuaciones de movimiento que sucede si nos movemosdel equilibrio estacionario:
• kt = 0
¿Que sucede con el capital ante una variacion positiva en el consumo (i.e. por sobre el con-sumo de equilibrio)?
En esta pregunta planteamos lo siguiente: ct > kαt − δkt. Es faci ver que si se cumple lo an-
terior la funcion que define a kt es menor que cero y por lo tanto el capital esta disminuyendo.
¿Que sucede con el capital ante una variacion negativa en el consumo (i.e. por debajo delconsumo de equilibrio)?
Analogamente al caso anterior observamos que cuando ct < kαt − δkt la funcion que define
a kt es mayor que cero y por lo tanto el capital esta creciendo.
• ct = 0
¿Que sucede con el consumo ante una variacion positiva en el capital (i.e. por sobre el capitalde equilibrio)?
El analis es similar: se plantea kt >
(α
ρ+ δ
) 11−α
. Luego como la productividad marginal
del capital es negativa y el consumo es siempre positivo se concluye que ct es menor que ceroy por lo tanto el consumo esta disminuyendo.
¿Que sucede con el consumo ante una variacion negativa en el capital (i.e. por debajo delcapital de equilibrio)?
Analogamente, el consumo aumenta.
151
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.27: Vientos
cc
kk
k = 0 c = 0
De las observaciones anteriores podemos graficar como aparece en la figura 3.27 los vientos que muevenconsumo y capital.
Las condiciones de transversalidad plantean que en el infinito el valor del capital es igual a cero o queel costo de oportunidad de acomularlo es cero:
lımt→0
λtkt = 0
Lo anterior es de importancia ya que elimina la posibilidad de trayectorias explosivas y por lo tantodefine al brazo estable como tal. El grafico queda como se muesra en la figura 3.28
c) Encuentre el nivel de capital de regla de oro usando los resultados encontrados en a) y grafiquelos enel diagrama de fases. Explique sus resultados.
Respuesta:
El nivel de capital de Regla de Oro viene dado por la maximizacion del consumo en estado estacionario.De b) sabemos que corresponde a ct = kα
t − δkt , por lo tanto:
∂ct∂kt
= 0 → kGR =(αδ
) 11−α
∴
(αδ
) 11−α
>
(α
ρ+ δ
) 11−α
→ kGR > k∗
Esto ocurre debido a la “impaciencia” de los agentes de esta economıa que descuentan el futuro a unatasa ρ , si esto no ocurriese el consumo de estado estacionario serıa el mismo que el de Regla de Oro.Ver figura 3.29.
152
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.28: Diagrama de Fases
c
k
k = 0
c = 0
Brazo estableTrayectorias explosivas
Figura 3.29: Diagrama de Fases
c
k
k = 0
c = 0
kgrk∗
153
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
3.2.12. Ramsey Tributario
Considere una economıa competitiva con consumidores-productores identicos que viven eternamente ymaximizan la siguiente funcion de utilidad :
U =∫ ∞
0
(Ntc1−σt − 11 − σ
e−ρt + gt
)dt
Donde Nt = N0ent y N0 = 1. La funcion de produccion de cada firma i es la siguiente:
Yi = Kαi L
1−αi
Donde 0 < α < 1, Yi es la produccion, Ki el stock de capital en la firma i y K es el stock de capital totalde la economıa. El capital se acumula de la manera usual con K = I − δK.
El gasto del gobierno es financiado por un impuesto al ingreso de los hogares (wL +Ar) de τ .
a) Encuentre la ley de movimiento del los activos per capita de un hogar representativo.
Respuesta:
En este esquema el hogar tiene ingresos por su trabajo wL y ingresos por los intereses sobre sus activosAr. Estos los puede consumir o ahorrar. La restriccion agregada es:
A = (wL +Ar)(1 − τ) − C
y per capita es simplemente:
a =˙(AL
)=AL− LA
L2
=A
L− L
L
A
L
=(wL +Ar)(1 − τ) − C
L− na
= w(1 − τ) + a(r(1 − τ) − n) − c
b) Desarrolle el problema de optimizacion del hogar representativo y encuentra la trayectoria optimapara el consumo en funcion de la tasa de interes.
Note que el gasto del gobierno al entrar sumando a la utilidad no afecta las decisiones sino solo elnivel de utilidad alcanzada, ya que el g, lo agentes lo consideran como dado.
154
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Obtenemos las CPOs:
∂H∂ct
= 0 → λt = u′e−(ρ−n)t
∂H∂at
= −λt → λt
λt= n− r(1 − τ)
∂H∂λt
= at
Luego log diferenciando la primera y reemplazando por la segunda y tomando en cuenta que u′ = c−σt
λt = c−σt e−(ρ−n)t
lnλt = −σ ln ct − (ρ− n)t /∂
∂t
−σ ctct
− (ρ− n) =λt
λt
−σ ctct
− (ρ− n) = n− r(1 − τ)
∴ctct
=1σ
[r(1 − τ) − ρ]
c) Tiene τ y g algun efecto sobre el consumo de estado estacionario? Explique para cada uno.
Respuesta:
Vemos que g no tiene efectos sobre las decisiones de los agentes porque es tomado como dado y nogenera ninguna distorsion. Esto es debido a la equivalencia Ricardiana. Sin embargo aunque no afectala trayectoria del consumo, si afecta el nivel de capital y consumo de “steady state”. En el caso de losimpuestos a los ingresos si genera ademas una distorsion al bajar el retorno percibido de invertir ypor lo tanto llevan a un estado estacionario mas bajo para el consumo, debido a que los individuos vana tener que eliminar para que aumente la productividad del capital (INADA), generando una mayorrentabilidad para poder pagar los impuestos.
d) Desarrolle el problema de optimizacion de cada firma individual y encuentre el equilibrio descentral-izado para esta economıa.
Respuesta:
Las firmas enfrentan cada una el siguiente problema:
maxKi
πi = Yi − w · Li − (r + δ) ·Ki
= Kαi L
1−αi − wLi − (r + δ)Ki
Sacando la CPO:
155
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
FKi = αKα−1i L1−α
i
Fki = αkα−1i
Como todas las empresas hacen lo mismo, ki = k, y por enunciado, K = kL. Por lo tanto:
Fk = αkα−1
Entonces, de la optimizacion:
r = αkα−1 − δ
e) Derive un diagrama de fase en el espacio (k, c) para encontrar el estado estacionario en esta economıa.
Respuesta:
Tenemos en equilibrio que:
c
c=
1σ
([αkα−1 − δ
](1 − τ) − ρ
)Dado que el capital k y a debe ser iguales en esta economıa cerrada, y usando que w = y − rf ′(k) yr = f ′(k) − δeste se acumula de la siguiente forma:
a = w(1 − τ) + a(r(1 − τ) − n) − c
k = (y − kf ′(k))(1 − τ) + k((f ′(k) − δ)(1 − τ) − n) − c
k = (y(1 − τ) − k(δ(1 − τ) + n) − c
k = y − k(δ + n) − c− τ(y − δk)︸ ︷︷ ︸g
Donde la ultima linea es debido a que suponemos que el gobierno cumple con su restriccion presupues-taria.
kt = yt − ct − (n+ δ)kt − gt
Si tomamos la ecuacion para el capital, y hacemos que este no cambie, tenemos
kt = kα − ct − (n+ δ)kt − gt
ct = kα − (n+ δ)kt − gt
Tomando la derivada con respecto al capital vemos la forma de la funcion:
ctkt
= αkα−1 − (n+ δ)
156
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.30: Eliminacion de Impuesto
c
k
c = 0 c′ = 0
k′ = 0
k = 0
kgr
E0
E1
BE
Inicialmente la funcion es creciente debido a que α(0)α−1 → ∞ Pero el primer elemento tiende a ceroa medida que crece k y se torna negativo la pendiente.
Existe un kgr =(
n+δα
) 1α−1 que es consistente con el maximizo nivel de consumo.
Por el lado del consumo, tenemos que al hacer c = 0, tenemos
c
c=
1σ
([αkα−1 − δ
](1 − τ) − ρ
)ρ =
[αkα−1 − δ
](1 − τ)
k∗ =(
ρ
α(1 − τ)+δ
α
) 1α−1
f) Suponga que se se esta en el estado estacionario y se anuncia sorpresivamente que se eliminara parasiempre el impuesto a la renta. Muestre graficamente la trayectoria del consumo y capital hacia elnuevo equilibrio6.
Respuesta:
El resultado se presenta en la figura 3.30. Al eliminar el impuesto, los individuos veran modificadassus trayectorias de consumo y capital. La ecuacion de movimiento de capitalahora se “agrandara”; es
6Asuma que el nuevo brazo pasa debajo del equilibrio inicial.
157
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.31: Cambio Impuesto Renta por Laboral
c
k
c = 0 c′ = 0
k = 0
kgr
E0
E1
BE
decir, para cada nivel de capital ahora el consumo es mayor. La trayectoria de consumo se desplazahacia la derecha, ya que ahora no hay una distorsion (impuesto), que exija una mayor rentabilidad alcapital para poder pagar el impuesto.
g) Suponga ahora que a diferencia de la parte f), se elimina el impuesto a la renta total pero se cambiapor un impuesto al ingreso laboral que recauda el mismo monto original. Explique como cambia suresultado en comparacion con las partes e) y f).
Respuesta:
En este caso al seguir existiendo un gasto fiscal financiado con recaudacion de impuesto (aunque ahorasea solo al trabajo), sigue existiendo un crowding out, con lo cual el gasto se financia con menor con-sumo privado. El cambio sucede en la trayectoria de consumo (ver figura 3.31), ya que ahora no hayun impuesto al capital, en consecuencia, la curva de moviento del consumo se traslada a la derecha,debido a que ahora al capital no se le exige un mayor retorno.
h) Suponga ahora que para financiar el gasto de gobierno, lo hace con un impuesto de suma alazado.¿Cambian las conclusiones descritas anteriormente?
Respuesta:
Ahora al ser un impuesto de suma alzada, la restriccion presupuestaria queda escrita de la siguienteforma:
a = w + a · (r − n) − c− τ
Como el gobierno financia su gasto con impuestos se cumple que g = τ , con lo cual las ecuaciones demovimiento queda:
158
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 3.32: Impuesto Suma Alzada
c
k
k = 0
k′ = 0
kgr
E1
k = f(k) − c− (n+ δ) · k − g
Escrito en funcion de la tasa de ahorro:
k = s · f(k) − (n+ δ) · k − g
c
c=
1σ· (f ′(k) − δ − ρ)
Como se muestra en la figura 3.32, el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones de ahorroe inversion, hay un “crowding out” exacto e inmediato. El gasto es pagado con una disminucion delconsumo privado en igual magnitud.
3.2.13. Ramsey, IVA y elecciones
Considere una economıa competititva compuesta por individuos que viven eternamente y que maximizanla siguiente funcion de utilidad:
U =∫ ∞
0
(c1−σt − 11 − σ
e−(ρ−n) + gt
)dt
Como Ud bien se ha dado cuenta, en esta economıa consideramos que la poblacion crece a una tasa n yque el gasto de gobierno entra aditivamente en la funcion de utilidad del agente representativo. El gobiernose financia a traves del impuesto al valor agregado (IVA)7 y de un impuesto sobre el ingreso de las personas.Ademas, existe tasa de depreciacion en la economıa y la notacion es la usual. Ademas, las firmas poseen
7El cual llamaremos ι.
159
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
una tecnologıa tipo Cobb-Douglas, es decir, F (K,L) = KαL1−α.
A partir de lo anterior se pide:
1. Modele la restriccion presupuestaria per capita del agente representativo. A partir de esto y de susconocimientos, desarrolle el problema de optimizacion de la firma y del agente representativo. ¿Cuales el efecto de gt en la optimizacion del agente?
Respuesta:
En primer lugar escribimos la restriccion presupuestaria de un agente representativo, incorporandolos impuestos:
Ct(1 − ι) + A = (wLt + rAt)(1 − τ)
donde ι corresponde al IVA y τ corresponde al impuesto al ingreso. Reescribimos la restriccion enterminos per capita y consideramos el hecho de que hay crecimiento de la poblacion. Esto nos llevaa:
Gracias a los supuestos realizados sobre la funcion de produccion (recuerde que es neoclasica) y enparticular sobre sus rendimientos marginales, podemos asegurar la forma curvada deseada.
El diagrama de fases queda como se presenta en la figura 2.
El movimiento bajo la funcion de produccion sera hacia la derecha pues nos indica que no se esta con-sumiendo todo lo que se podrıa. Dado lo anterior, es logico que los recursos que no se estan empleandoen consumir, si se estan gastando en aumentar el capital (analogamente para los puntos por sobrela funcion). A la izquierda de la c = 0 estaremos en una situacion de capital sub optima, es decir,
8Considere que en economıa cerrada, los activos de las familias so iguales al capital. Ademas, considere que la ecuacionrelevante de equilibrio fiscal es gt = τ(y − δkt) − ιct. Recuerde ademas que la parte del producto que no se “lleva” el retornoal capital, se lo lleva el salario.
161
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
kd
cdc
k
1
2
3
4
Figura 3.33: Diagrama de Fases Ramsey
con un nivel de capital menor al de estado estacionario. Esto indica que hay recursos que se estanempleando en consumir y no en inversion en capital.
3. Suponga que nos acercamos vertiginosamente a las elecciones presidenciales. En esta epoca es comunque las coaliciones polıticas realicen sus mejores esfuerzos de campana para captar votos. Considereque los que gobiernan actualmente desean fuertemente seguir en el poder por cuanto deciden aumentarel gasto de gobierno para mostrar al publico el interes en ellos. ¿Como varıa el equilibrio anteriormenteencontrado? Grafique la nueva situacion, en comparacion con la anterior, y explique el por que de surespuesta.
Respuesta:
Como podemos notar en la figura 3, el mayor gasto de gobierno solamente afecta a la curva k = 0dado que es solo ahı donde esta presente. El argumento para la contraccion de dicha curva es que amedida que aumenta el gasto del gobierno, entonces se tendran menos recursos disponibles para poderconsumir, para todo nivel de capital.
4. No contentos con la actitud de sus rivales polıticos, los opositores al actual gobierno prometen que, desalir elegidos, disminuiran el IVA. Asumiendo que salen elegidos y que cumplen, ¿Como afecta estapromesa al equilibrio? Compare con la situacion anterior. ¿Cual tiene un mayor efecto?
Respuesta:Como se puede notar, esta polıtica no tiene efecto alguno sobre el equilibrio por cuanto nos encon-traremos en la situacion inicial. Dado lo anterior, es facil ver que solo la polıtica de aumentar el gastode gobierno tiene un real efecto.
162
3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO Macroeconomıa I - Primavera 2008
kd
cdc
k
1
2
3
4
Figura 3.34: Mayor gasto de gobierno
163
Capıtulo 4
Dinero y estabilizacion
4.1. Comentes de dinero
4.1.1. Dinero y tipo de cambio
Explique como un aumento de la oferta monetaria se traspasa a una depreciacion del tipo de cambionominal. ¿Es posible que un fuerte aumento de la oferta de dinero no implique un cambio en el tipo decambio?
Respuesta:Esto se ve directamente al hacer uso de la ecuacion de paridad del poder de compra y la teorıa cuantitativadel dinero:
e =p
p∗(4.1)
M · v = p · y (4.2)
despejando (4.2) para el precio local y reemplazando en (4.1) tenemos que,
e =Mv
yp∗(4.3)
De esta ecuacion concluimos que, ceteris paribus, un aumento de la oferta incrementa el tipo de cambio(se deprecia el valor de la moneda).
Si un aumento de la oferta de M va acompanado de un incremento proporcional igual de los preciosinternacional o de el nivel de transacciones (producto), no hay un alza del nivel de precios.
4.1.2. Demanda por Dinero
En la practica el dinero es un bien mas, pero como es aceptado por la gran mayorıa de las personas,facilita las transacciones. En este sentido comente dos razones vistas en el curso para demandar dinero.
Respuesta:El dinero es un bien que como permite realizar transacciones con mayor facilidad que si realizaramos con-stantemente un trueque para comprar bienes. Vimos varias razones para demandar Dinero.
Una primera razon para demandar dinero es que existen costos de realizar las compras o Shopping Costs,segun la idea original de MacCallum. La idea es que al tener dinero disponible es mas facil realizar compras.Una segunda razon es que requerimos dinero ya que solo podemos comprar un valor de bienes menor o igualal monto de dinero en efectivo disponible. Finalmente vimos el modelo de Baumol-Tobin en el cual el dineroes un bien mas que se demanda y se administra con un inventario. La idea de los tres modelos comentadoses que existen razones para demandar mas o menos dinero.
164
4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
4.1.3. Dinero y el rol del Estado 1
Durante el siglo XIX en Chile hubo banca libre, lo que significa que distintos bancos emitieron suspropios billetes y monedas. Comente, ¿cuales son las razones para no permitir este tipo de practica ennuestros dıas?.
Respuesta:La industria bancaria es una actividad intrınsecamente riesgosa. Los bancos son intermediarios financieroque prestan el dinero depositado para lo cual deben administrar ciertos riesgos. Por lo general esto se hacemanteniendo una proporcion de los depositado en forma de reservas, lo que esta disponible si un depositantedesea sacar en forma imprevista su dinero.
Para los bancos su negocio es prestar la mayor cantidad de dinero que se pueda por lo que tienenincentivos a mantener las menores reservas posibles. Una solucion es que los mismos clientes verifiquenque los bancos manejan adecuadamente los riesgos que asumen manteniendo en todo momento un niveladecuado de reservas. Sin embargo, para cada cliente es muy costoso hacer monitoreo de los bancos por loque nadie termina verificando el riesgo. ¿La solucion? Como el sistema financiero tiene caracterısticas debien publico del cual nos beneficiamos todos, hay un caso para que el Estado sea quien realice un controlsobre los bancos y verifique que el sistema funciona adecuadamente. Esto es lo que explica que, a diferenciasde los comienzos de la actividad bancaria, esta industria este regulada y de su correcto funcionamiento nosbeneficiemos todos.
4.1.4. Dinero y el rol del Estado 2
El uso del dinero en la sociedad presenta un desafıo para la polıtica publica. Indique y comente al menosdos roles para el Estado.
Respuesta:El sistema bancario tiene algunas caracteristicas de bien publico. Entre los roles que tiene el estado en elmercado del dinero se pueden comentar los siguientes;
Regulacion: Para un individuo que esta interesado en usar el sistema de pagos es privadamente muycostoso de monitoriar el funcionamiento del sistema bancario. Existen externalidades de que alguienhaga ese monitoreo. La solucion es que el Estado regule la actividad que realizan los Bancos.
Monopolio del Dinero: Antiguamente los distintos bancos emitıan sus propias notas de depositoo dinero. Como estas cada una de estas notas tenia distinta probabilidad de que fuera honrada, cadapersona debıa analizar privadamente el valor esperado los billetes de cada banco, lo cual era costos.La solucion que se encontro es entregar el monopolio de la emision del circulante a una entidad (i.e.Banco Central) de forma tal que el valor de cada billete esta respaldado por la solidez financiera delEstado.
Liquidez: En ciertas ocasiones los bancos comerciales necesitan liquidez, no porque hayan tomadomalas decisiones y esten con problemas de solvencia. Es en estos casos donde se requiere que alguienprovea de liquidez a la economıa. Para esto los Bancos Centrales se convierten en prestamistas, yası los atribulados banqueros pueden acudir para obtener dinero y cumplir sus obligaciones. Por ejem-plo, el Banco Central de Chile (BCCh) tiene lıneas de credito para para los bancos, y una ventanillade descuento a traves de las cuales el BCCh compra con un descuento activos poco lıquidos (bonos) yentrega a cambio dinero.
4.1.5. Dinero y el rol del Estado 3
¿Cuales son las razones para justificar la existencia de una entidad estatal con el monopolio sobre laemision de dinero y que supervise la intermediacion financiera? Comente.
Respuesta:La razon principal que justifica la existencia del Banco Central, es que si no fuese ası, el dinero perderıauna de sus funciones, que es la de medio de pago.
165
4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Los bancos privados tienen, o es de esperarse que tengan, polıticas distintas con respecto a su manejode los fondos e inversiones. Esto hace que el riesgo a depositar sea distinto para cada banco.
Es por esto que los billetes, a pesar de representar la misma cantidad de activos, tendrıan valoresdistintos. Esto dificultarıa el uso del dinero como medio de pago.
4.1.6. Kiyotaky y Wright
Explique en forma breve cual es la explicacion que dan Kiyotaky y Wright para el origen del dinero.Respuesta:
Kiyotaky y Wright nos abstraen de la realidad para explicar como endogenamente surje el dinero. En unaeconomıa de intercambio se requiere hacer un match perfecto entre los bienes que un oferente tiene, lavolaracion este tiene por los bienes que se le ofrecen a cambio. En estas circuntancias es muy probable queexistan varias transacciones que no se realizan. Una solucion es hacer transacciones por bienes que no senecesitan directamente para ser consumidos pero si es altamente probable que a furturo sean demandandos.De esta forma nacen por un acuerdo tacito las primeras formas de dinero, siendo bienes no perecibles ypor todos aceptados o demandados. Lo anterior es importante porque permiten acumular riqueza y sirvende medios de pago. Esta es una explicacion breve al origen del dinero segun Kiyotaky y Wright.
4.1.7. Ingreso de capitales y precios
Suponga una economıa con tipo de cambio fijo. Por un alza en las tasas de interes domestica ingresancapitales extranjeros a la economıa. ¿Como puede controlar la autoridad monetaria la cantidad de dineroy en definitiva los precios?
Respuesta:Una economıa que tiene un tipo de cambio fijo compra en un determinado monto de moneda local (pesos)cada divisa que recibe (Dolares, Euros, Yenes, etc.). De esta forma, si aumenta la tasa de interes sabemosque se incentiva el flujo de capitales hacia el paıs con lo cual se estara poniendo una mayor cantidad dedinero en circulacion en la economıa. Por la ecuacion cuantitativa del dinero sabemos que esta mayoroferta de dinero aumentara el nivel de precios. ¿Como puede entonces la autoridad controlar los precios?La autoridad tiene distintas posibilidades dentro de las cuales la mas comun es hacer una oferta de mercadoabierto (OMA). Es decir, el Banco Central vende un bono u otro instrumentos financieros y a cambio recibedinero sacando parte de este de la economıa. De esta forma la autoridad puede “esterilizar” (dejar sin efectosobre el cambio en precios) el aumento de dinero producto de un alza en la tasa de interes.
4.1.8. Multiplicador monetario
En las economıas donde el sistema bancario juega un papel importante, con una alta cobertura obancarizacion, el multiplicador monetario es menor porque hay una alta proporcion del dinero en forma dereservas. Comente.
Respuesta:El multiplicador monetario no depende en ningun caso de la proporcion de la economıa que este bancarizada.Segun la determinacion del multiplicador vista en las notas de clase o en la guia del bloque se puede verel multiplicador dependera de la proporcion del dinero que se deposita en el banco, y de la proporcion deldeposito que se mantendra en forma de reservas.
4.1.9. Otros tipos de Dinero
En los campos de concentracion en la Segunda Guerra Mundial, los cigarrillos eran usados como dinero,y estos hacıan variar los precios de otros bienes en terminos de cigarrillos, explique el ciclo en el nivel deprecios en el campo de concentracion, desde el momento en que la cruz roja llegaba con las provisiones, enlos cuales se incluıan cigarrillos, y hasta la llegada del otro cargamento de vıveres.
Respuesta:Al llegar el cargamentos con vıveres , la pequena economıa existente dentro del campo de concentracion seveıa enfrentada una inyeccion fuerte dinero, con lo cual existıa un gran volumen de cigarrillos persiguiendo
166
4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
a los bienes en los primeros dıas de llegado el cargamento, pero el dinero tambien se fumaba, y con el pasarde los dıas las personas adictas al cigarrillo hacıan que bajara el stock de este ”dinero”, por ende ahorahabıa menos dinero en la economıa haciendo que el nivel de precios comenzara a decaer hasta llegar a casostan extremos de deflacion como cuando la cruz roja se demoraba en llegar con los vıveres. En el momentoen que el nuevo cargamento llegaba al campo de concentracion se volvıa a inyectar dinero a la economıa yse comenzaba con un nuevo ciclo.
4.1.10. Cantidad de dinero e inflacion
Un analista, al observar las tasas de crecimiento de M1 (dinero en efectivo + depositos a la vista)cercanas al 18 por ciento en los ultimos meses, senala que la inflacion aumentara y que el crecimientodel dinero es inconsistente con la meta de inflacion de 3 por ciento. ¿Bajo que supuestos logra el analistaconcluir lo anterior? ¿En la practica ocurre esto?
Respuesta:El analista sustenta sus conclusiones en base a la Teorıa Cuantitativa del Dinero (Friedman); donde MV =PY , considerando la velocidad de transaccion y el Pib como fijos, vemos que aumentos en la masa monetariase traducen en aumento en precios. Esto sucede porque hay mayor disponibilidad de compra, por ende masdinero persiguiendo la misma cantidad de bienes lo que empuja los precios al alza. El analista puede estarerrado, dado que en la practica si existen cambios en el crecimiento del producto y la velocidad de lastransacciones. Por lo demas la evidencia empırica nos muestra que pueden existir altas tasas de crecimientodel dinero y tasas de inflacion bajas simultaneamente (DeGregorio).
4.1.11. Ecuacion cuantitativa del dinero y tipo de cambio
Desarrolle y explique en detalle la determinacion de la inflacion, la tasa nominal de interes y el tipo decambio nominal usando la ecuacion cuantitativa.
Respuesta:
Usando la ecuacion de la teorıa cuantitativa del dinero M ·V = P · y , ademas asumiendo pleno empleoy velocidad de circulacion constante, obtenemos: P = M·V
y , y log diferenciando nos queda π = ∆MM − ∆y
y ,si hay un aumento del dinero sin un crecimiento del producto como contrapartida ∆y
y , los precios creceranen forma proporcional a dicho aumento (los precios se ajustan instantaneamente). Relacionando todo loanterior con la ecuacion de Fisher i = r+π, donde la tasa de interes real permanece constante. Los efectosde la inflacion se veran reflejados en un aumento de la tasa de interes nominal en una proporcion 1:1(Efecto Fisher). El tipo de cambio nominal lo podemos expresar como e = M·V
yP∗ , aumentos en la cantidadde dinero afectan proporcionalmente al tipo de cambio nominal.
4.1.12. Dicotomıa clasica y neutralidad
Explique y relacione los conceptos de Dicotomıa clasica y Neutralidad del dinero.Respuesta:
Dicotomıa clasica: Este concepto nos indica que existe una separacion entre la parte real de laeconomıa y su parte nominal. Ambas cosas son independientes, es decir, las variables reales se deter-minan en la parte real de la economıa y las variables nominales en la parte nominal.
Neutralidad del dinero: Esto nos dice que el dinero no tiene efecto sobre ninguna variable real.
La relacion entre ambos conceptos se da en el largo plazo. Al asumir que en el largo plazo se cumple laneutralidad del dinero, se hace valida la dicotomıa clasica.
167
4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
4.1.13. Dinero como un activo
El dinero es un bien como cualquier otro que es producido y es demandado por lo que tiene un mercadopropio donde se determina la cantidad y su precio. Explique en detalle los factores fundamentales en ladeterminacion de la oferta por un lado y la demanda de dinero por otro, segun los modelos vistos en clases.
Respuesta:Las expectativas de los agentes se ven reflejados en la oferta y demanda de dinero de la siguiente forma:
Demanda de dinero: De acuerdo a las expectativas de los agentes con respecto al futuro, estosdecidiran cuanta liquidez demandar, afectando ası el mercado del dinero. Es ası como las esperanzasy temores afectan la demanda de dinero
Oferta de dinero: El efecto de las esperanzas y temores de los agentes sobre la ofera de dinero sepuede ver a traves del multiplicador monetario:
Multiplicador = mm(rd, π, rbc, σb, e)
Donde rd es la tasa de interes real de los depositos, rbc es la tasa de interes real de la lınea de creditodel BC, π es la inflacion, σb es el riesgo de la banca y e es las epxectativas del BC. Por lo tanto,cualquier cambio de expectativas de los agentes tendra un efecto a traves de las variables anteriores.
4.1.14. La vigencia de Baumol-Tobin/Allais
El modelo de Baumol-Tobin y Allais es anticuado en que no toma en cuenta que hoy todos tienen cuentascorrientes y usan descuentos electronicos.
Respuesta:Falso. El modelo de Baumol-Tobin puede incorporar esa aplicaccion de los descuentos electronicos y cuentascorrientes, debido a que sigue existiendo, el costo de oportunidad del dinero, existe un costo por tener unservicio financiero como el de las tarjetas de credito, y por ultimo no todos los mercado (ej. negocios debarrio), se puede pagar con tarjetas de debito o credito, con lo cual el dinero sigue siendo necesario.
4.1.15. El efecto del Encaje
Discuta la efectividad de una polıtica monetaria expansiva (aumenta M s) cuando el encaje es alto vscuando el encaje es bajo.
Respuesta:Sabemos que el encaje cuando es alto, el efecto multiplicador del dinero es menor, y cuando el encaje esbajo, los bancos al tener menores reservas provocan que el el efecto multiplicador aumente. Es decir, siH = C + R con H como la base monetaria, C es el dinero circulante, y R las reservas de que tienenlos bancos. Supongamos θ corresponde a la porcion de los depositos que se mantienen como encaje, esdecir R = θR, entonces, el multiplicador monetario tendra una relacion negativa con este parametro θ,Multiplicador = mm(rd, π, rbc, σb, e, θ−). Por lo tanto, tener una polıtica monetaria expansiva, cuando elencaje es bajo, a un pequeno aumento de m, la oferta de dinero total del mercado aumenta mucho mas,siendo mas efectiva. Ver la figura 4.1.15.
4.1.16. Elasticidad de la demanda por dinero
Explique por que la demanda por que i) si la demanda por dinero no depende de la tasa de interes, lacurva LM es vertical. ii) si la demanda por dinero no depende del ingreso, la curva LM es horizontal. iii) sila demanda por dinero es extremadamente sensible a la tasa de interes, la curva LM es horizontal.
Respuesta:Primero que todo, recordemos que la demanda por dinero dependera principalmente de la tasa de interes dela economıa (negativamente pues representa el costo de oportunidad de tener dinero) y de la cantidad deingreso de la misma (positivamente, pues a mayor nivel de ingresos se incrementara en un cierto porcentajeel consumo y la inversion lo cual llevara a demandar dinero para fines de transaccion.A partir de lo anterior tendremos que:
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4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
r
Y
Md
Figura 4.1: Demanda de dinero inelastica.
i.- Si la demanda por dinero no depende de la tasa de interes, es decir, no habrıa un costo de oportunidaddel uso del dinero, entonces se demandara la cantidad de dinero necesaria para finaes de transaccionde los agentes, tal que esto estara definido por la capacidad adquisitiva de dicho dinero o, en otraspalabras, el dinero real. Gracias a lo anterior, tendremos una demanda por dinero (Md) vertical ocompletamente inelastica.Graficamente la figura 4.1.16.
ii.- Si la curva de demanda de dinero no depende del ingreso, significa que los unicos motivos por los cualesdemandaremos dicho bien sera por los retornos que pueda dejar de entregar en su costo alternativo(dado por la tasa de interes). En el caso en que la tasa de interes ofrecida sea distinta a la de equilibrio,tal que los agentes cambien su combinacion de activos financieros, entonces se demandara todo eldinero (si la tasa de interes baja) o nada de este (si la tasa de interes sube). En este sentido, lademanda por dinero sera completamente elastica frente a la tasa de interes. graficamente tenemos lafigura 4.1.16.
iii.- El plantear que la curva de demanda es extremadamente sensible a la tasa de interes, es analogo alplanteamiento anterior en el sentido de que se variara fuertemente la cantidad demandada de dineroante variaciones en su costo de oportunidad (r). Esto a su vez implica que los agentes (o el agenterepresentativo estudiado) tiene gran capacidad de sustitucion entre sus activos financieros (al menossera facil sustituir el dinero al aumentar su costo). El grafico, es similar al anterior.
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4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
r
Y
Md
Figura 4.2: Demanda de dinero elastica.
4.1.17. Polıtica monetaria segun Poole
Discuta brevemente el instrumento optimo de polıtica monetaria y el fundamento teorico que respaldasu eleccion.
Respuesta:Suponiendo que el objetivo de la polıtica monetaria es la minimizacion de la volatilidad de la demandaagregada, la respuesta a que instrumento de polıtica es mas eficiente viene dada por el planteamiento desar-rollado por Poole (1970), en donde se concluye que la tasa de interes sera el instrumento optimo cuandola demanda por dinero sea relativamente volatil.
Lo anterior se refleja en el siguiente modelo:
yt = −αit + µt (4.4)mt = yt − cit + νt (4.5)
En donde los errores se distribuyen N(0, σ2µ,ν) respectivamente, y E(yt)2 corresponde a la volatilidad del
producto. Luego, si mt es el instrumento utilizado por la autoridad la volatilidad sera:
Em(yt)=cσmu
2 + ασnu2
(α+ c)2
Por otro lado, si el instrumento es la tasa de interes la volatilidad sera1 Ei(yt) = σ2µ. Comparando ambos
resultados obtenemos que para que Ei(yt)2 < Em(yt)2, se debe cumplir:
σ2ν
σ2µ
>
(1 +
2cα
)
4.1.18. EL control del dinero
Explique los distintos mecanismos que tiene la autoridad para variar la cantidad de dinero de alto poder.Refierase en detalle a las operaciones de credito interno.
Respuesta:El Banco Central puede manejar la cantidad de dinero de alto poder de dos maneras: operaciones de cambioy operaciones de credito interno.
1Recordar que cuando el instrumento es la tasa de interes no hay transmision de los shocks de la demanda de dinero alproducto ya que se absorven completamente por la oferta de dinero
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4.1. COMENTES DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
Figura 4.3: Curva de retorno invertida
Reto
rno
Madurez
Operaciones de cambio: Es cuando el Banco Central decide cambiar su estructura de pasivos yactivos con el fin de variar la cantidad de dinero circulante de alto poder.
Operaciones de credito interno: Es cuando el Banco Central otorga creditos a los bancos privados,permitiendo ası que estos le presten dinero, a su vez, a los demas agentes. Esto provoca que aumentela cantidad de dinero a traves del multiplicador monetario.
4.1.19. Expectativas y el precio de los activos
Explique como se transmite las expectativas sobre la polıtica monetaria a los precios de activos en laeconomıa.
Respuesta:La polıtica monetaria podrıa depender de su credibilidad, sin embargo su rol es siempre fundamental en lasexpectativas de los agentes.
La TPM afecta el precio de los activos financieros y a traves de estos cambiaran las decisiones deendeudamiento e inversion. Debemos notar que esta estructura refleja implıcitamente las expectativas queel mercado tiene sobre la evolucion futura de la economıa.
4.1.20. Expectativas y la curva de retorno
Suponga que los agentes esperan una recesion para lo anos que vienen. ¿Que forma esperarıa ud. quetendrıa la curva de retorno (yield curve) y curva (forward) en este escenario?
Respuesta:Concepto Clave: yield curve invertida.
La curva de retorno se puede interpretar como las expectativas que tiene el mercado con respecto alas tasas de interes. Si los agentes esperan una recesion, uno pordrıa esperar que la curva de retorno seinvirtiera, es decir, que las tasas de los papeles cortos sean mayores que la de los papeles largos. Esto se veen la figura 4.3.
Esto ocurre porque, en un escenario de recesion, es esperable que la polıtica monetaria sea mas expansivapara contrarrestar la debilidad economica.
171
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
4.2. Matematicos de dinero
4.2.1. Teorıa Cuantitativa
Supongamos la siguiente demanda por dinero:
M
P=yφ
iβ(4.6)
donde y es el producto e i es la tasa de interes nominal.
1. Calcule la elasticidad de dinero necesaria si se desea reducir la tasa de interes en una magnitud ∆i yse espera que el producto real crezca en ∆y
Respuesta:Aplicando logaritmo a la (4.6):
ln(M
P
)= ln
(yφ
ıβ
)lnM − lnP = φ ln y − β ln i derivando c/r al tiempo∆Mm
2. ¿Que sucede si el gobierno esta dispuesto a aceptar inflacion?
Respuesta:Simplemente incorporamos el crecimiento del nivel de precios2 a la (4.7)
γM − γP = φγy − βγi
γM = γP + φγy − βγi (4.8)
4.2.2. Multiplicador Monetario
Suponga ahora que la razon depositos-circulante es 1c y depositos-reservas es 1
θ . La base monetaria esH y el nivel de producto es y.
1. Determine la oferta de dinero.
Respuesta:Sabemos que la oferta de dinero corresponde al circulante y a los depositos, es decir, M = C + D.Por otro lado, sabemos que la base monetaria corresponde a H = C+R. Por enunciado, sabemos quese cumple R = θD y C = cD. Combinando estas igualdades:
2Tambien conocido como inflacion.
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4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
M = C +D
= cD +D
= (1 + c)D
D =M
(1 + c)(4.9)
H = C +R
= cD + θD
= (c+ θ)D
D =H
(c+ θ)(4.10)
Combinando (4.9) y (4.10)
M
(1 + c)=
H
(c+ θ)
M =(1 + c)(c+ θ)
H (4.11)
2. Obtenga la tasa de interes a partir de (4.6)
Respuesta:Combinando (4.6) con (4.11)
Md = M s
yφ
iβ=
(1 + c)(c+ θ)
H
iβ =yφ(c+ θ)(1 + c)H
i∗ =yφ(c+ θ)(1 + c)H
1β
(4.12)
3. Considere que el producto depende de la tasa de interes. A partir de esto, demuestre que en equilibriose cumple3:
εy,i =β
φ
Respuesta:Tendremos entonces:
3Hint: Asuma que lo unico que cambia en el tiempo es el producto y la tasa de interes.
173
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
! "
#$$% $% #$$% $
Figura 4.4: Oferta Monetaria e inflacion
iβ =y(i)φ(c+ θ)(1 + c)H
Aplicando logaritmo y juntando todos los parametros que no cambian en el tiempo tenemos:
β ln i = φ ln y(i) + lnA derivando c/r al tiempo
βdii
= φ
(1y(i)
∂y
∂idi
)(4.13)
β = φ
(i
y(i)y(i)i
)β
φ= εy,i quedando trivialmente demostrado (4.14)
4.2.3. Demanda por dinero e Inflacion
Considere la siguiente demanda por dinero:
L(i, y) = ξ − βi+ ζy (4.15)
Suponga ademas que la oferta monetaria no depende de la tasa de interes y que no hay intermediacionbancaria
1. Grafique el equilibrio en el emrcado del dinero (M/P,r) ¿Como varıa con las expectativas inflacionarias?
Respuesta:Si se piensa que habra una tendencia inflacionaria, entonces la autoridad monetaria aplicara unapolıtica contractiva que disminuya estas presiones por cuanto disminuira la cantidad de dinero (laoferta monetaria) de la economıa. Esto llevara a una menor cantidad de dinero en la economıa y aun alza en la tasa de interes. En conjunto con lo anterior, dado que hay un aumento en los precios, eldinero pierde su poder adquisitivo por cuanto la gente preferira otros activos que preserven o aumentenel valor como por ejemplo, los bonos. La situacion antes descrita se ilustra en la figura 1.
2. Si inicialmente no hay crecimiento del dinero y ahora este crece a la tasa θ, ¿que ocurre con la tasade interes nominal ante esta medida?
Respuesta:Gracias al efecto Fisher sabemos que i = r + πe, por cuanto el incremento del dinero afecta el nivelinflacionario gracias a la ecuacion cuantitativa tal que ∆M
M = ∆πe = ∆i = θ. Luego, con una tasa de
174
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
interes mas alta, aumenta la velocidad del dinero gracias a la disminucion en la demanda por dinero,esto es:
↑ V =y
↓ L(↑ i, y)
3. A partir de sus respuestas en las secciones anteriores y la demanda dada en 4.26, que deberıa ocurrircon la cantidad de dinero real de equilibrio en el largo plazo. Explique el por que y la intuicion de susresultados y la relacion entre m1 y m2.
Respuesta:Gracias a la teorıa cuantitativa del dinero y al efecto Fisher, sabemos que en el largo plazo la inflaciones un fenomeno monetario. Ello implica que no deberıa existir un crecimiento en la amsa monetariapor no tener efectos reales de largo plazo (solo habra inflacion y una mayor tasa de interes nominal).Dado lo anterior, el crecimiento del dinero es nulo y el dinero real de largo plazo es igual al inicial.
4.2.4. El Condorbank
Condorito, en su desconocida faceta de emprendedor, decide formar el primer banco de Pelotillehue -el “Condorbank”. Para esto, Condorito necesita saber que cantidad de los depositos dejar en reservas yque cantidad prestar para ganar dinero.
En Pelotillehue hay dos agentes mas: Garganta de Lata, que deposita su dinero, y el respetable DonChuma4, el presidente del Banco Central de Pelotillehue.
Suponga que los costos del “Condorbank” se pueden expresar como:
CT =πR2
2Dp+rbc(Dp −R)2
2D2p
Donde R representa la cantidad de dinero mantenido como reserva, Dp la cantidad de dinero que depositaGarganta de Lata y rbc es la tasa de interes que cobra el Banco Central al “Condorbank”.
a) Encuentre el valor de R que minimiza los costos de “Condorbank”
Respuesta:Para obtener R optimo, tenemos que minimizar
mınR
CT =πR2
2Dp+rbc(Dp −R)2
2D2p
Es decir,
∂CT∂R
= πRDp
− rbc(Dp−R)D2
p= 0
1Dp
[πR − rbc(Dp−R)Dp
] = 0
πDpR = rbc(Dp −R)R(πDp + rbc) = rbcDp
R∗ =rbcDp
πDp + rbc
4Como ud. sabe, Don Chuma es un hombre de vida muy ordenada, inteligente y prudente. Esto lo llevo a obtener un PhDen Economıa en el Mapocho Institute of Technology(MIT) y, posteriormente, a ser nombrado presidente del Banco Central dePelotillehue, labor que ha realizado impecablemente.
175
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
b) Analice las propiedades de R∗ encontrado en la parte a). ¿De que variables depende R∗? Comenteque ocurre con R∗ ante cambios en estas variables. Si lo desea puede apoyarse en expresionesmatematicas.
Respuesta:Como podemos ver de 4.16, R∗ depende de
R∗ = R(rbc, Dp, π)
Derivando 4.16 con respecto a las variables de las que depende podemos encontrar el tipo de depen-dencia que existe entre ellas:
• Dp:
∂R
∂Dp=
r2bc
(πDp + rbc)2> 0
Vemos que depende positivamente de la cantidad de depositos.
• π:
∂R
∂pi=
−rbcD2p
(πDp + rbc)2< 0
Depende negativamente de la inflacion.
• rbc:
∂R
∂rbc=
πD2p
(πDp + rbc)2> 0
Y depende positivamente de la tasa de interes.
c) Los habitantes de Pelotillehue se han vuelto locos: el perıodo de Don Chuma como presidente delCentral ha terminado y, debido a presiones polıticas, ha sido nombrado Pepe Cortisona como el nuevopresidente del Central. Pepe Cortisona planea cobrar una mayor tasa de interes a Condorito ¿Queefectos tendra esta subida de rbc sobre las decisiones del “Condorbank”? Apoyese en expresionesmatematicas y explique la intuicion detras de sus resultados.
Respuesta:Para analizar como afectara este cambio en rbc al “Condorbank”, debemos ver como afecta esto a lavariable de decision de Condorito, que es R
∂R
∂rbc=
πD2p
(πDp + rbc)2> 0
Es decir, Condorito estara menos dispuesto a correr riesgos en sus prestamos, por lo que decidira au-mentar las reservas. Esto se puede explicar debido a que ahora quedarse sin reservas es mas caro.
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4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
4.2.5. Senoreaje e Hiperinflacion a la Cagan
Suponga la siguiente demanda por dinero:
m = Aye−ai (4.16)
donde la notacion es la habitual y A > 0.
1. Demuestre que 4.16 puede ser escrito como
m = Byeaφ
Donde φ es la tasa de inflacion y B > 0
Respuesta:Aplicando Fisher y asumiendo que la tasa de interes real es constante:
2. Con el resultado anterior, determine la tasa de inflacion que maximiza el senoreaje.
Respuesta:Recordando la definicon de senoreaje:
S =∆MP
Luego
S =∆MP
M
M
=∆MM
M
P(4.18)
Asumiendo que el producto no crece, tendremos que ∆MM = φ, por cuanto el senoreaje o impuesto
inflacion sera:
S = φm (4.19)
Reemplazando 4.17 en 4.19:
S = φBye−aφ optimizando c/r a φS
φ=
Bye−aφ − aφBye−aφ = 0
φ∗ =1a
(4.20)
177
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
3. ¿Cual sera la cantidad real de dinero de la economıa?
Respuesta:Reemplazando 4.20 en 4.17:
m = Bye−1 (4.21)
4. Suponga ahora que el aumento gradual de la demanda real puede ser escrito de la siguiente forma:
m
m= α(lnmd − lnm) (4.22)
Reemplace la demanda encontrada en la primera parte y demuestre que 4.22 puede escribirse como:
m
m=
α
1 − aα
(lnC − aS
m− lnm
)(4.23)
donde S es la cantidad de senoreaje.
Respuesta:Aplicando ln a la demanda encontrada anteriormente tenemos:
lnmd = lnB − aφ− ln y
Asumiendo un producto constante By = C tendremos lnmd = lnC − aφ. Luego denotamos por σ elcrecimiento porcentual de la cantidad de dinero nominal por cuanto se cumple φ = σ− m
m . Tendremosentonces:
m
m= α
(lnC − α
(σ − m
m
)− lnm
)m
m(1 − aα) = α(lnC − aσ − lnm)
m
m=
α
1 − aα(lnC − aσ − lnm) (4.24)
Ademas S = ∆MP y σ = ∆M
M , por cuanto S = σm. Reemplazando σ en 4.24
m
m=
α
1 − aα
(lnC − aS
m− lnm
)(4.25)
por cuanto queda demostrado.
4.2.6. Teorıa Cuantitativa y Senoreaje
Considere una economıa con las siguientes caracterısticas:
mt · v = pt · yt (4.26)i = 0, 05 + πe (4.27)
Donde (4.26) corresponde a la Ecuacion Cuantitativa del Dinero y (4.27) es la Ecuacion de Fisher.
178
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1. Asuma que la economıa en t = 0 se encuentra en un estado estacionario donde γy = 0 y γm = 0.Ademas vt se mantiene constante. ¿Cual sera la inflacion efectiva y esperada en el primer periodo?
Respuesta:Planteando la ecuacion cuantitativa del dinero en tasas de crecimiento tenemos:
lnmt + ln v = ln pt + ln yt∂()∂t
dm
m+dv
v=
dp
p+dy
yγm + γv = γp + γy
Considerando que la velocidad de circulacion del dinero se mantiene constante y que la tasa de crec-imiento de los precios es igual a la inflacion, tenemos que:
γm = π + γy (4.28)
Dado el enunciado, sabemos que no habra crecimiento ni del producto ni de la cantidad de dinero,por cuanto se cumple π = 0. dado lo anterior, serıa normal que los agentes considerasen que estasituacion se mantenga, por lo tanto, πe = 0
2. El Banco Central sorpresivamente aumenta la oferta monetaria en un 15 % en el segundo periodo,para luego mantener la oferta constante. Cual sera la inflacion efectiva y esperada en este periodo?
Respuesta:Dada la relacion encontrada en la parte a) y la nueva informacion, se cumplira entonces que γm = π.Luego, tendremos π = 15 % gracias al crecimiento de la masa monetaria. Consideremos ademas, elhecho de que este crecimiento se considera sorpresivo por cuanto, no habran motivos para que losagentes cambien sus expectativas. Esto nos lleva a πe = 0
3. Suponga ahora que la economıa crece al 10 % ¿Que decision esperarıa de parte del BC para que laeconomıa no caiga en un proceso deflacionario?
Respuesta:Nuevamente a partir de (4.28) tendremos que π = γm−γy. Para q ue no haya deflacion, debe cumplirseque π ≥ 0. para que esto ocurra tendremos lo siguiente:
π ≥ γm − γy
γm ≥ γy
γm ≥ 10 % (4.29)
Entonces, a partir de (4.29), tenemos que la autoridad monetaria debe incrementar la masa de dineroen un 10% o mas.
Ahora el Gobierno busca financiar su gasto vıa senoreaje. Los ingresos generados por este procesoson:
S =∆mp
y la demanda por dinero en terminos reales queda definida de la forma:
(m
p
)d
= L(i, y)
179
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
4. Demuestre que, existiendo crecimiento del producto, el senoreaje vendra dado por:
S = [π + εyγy]m
donde m es la cantidad real de dinero, y εy = ∂L∂y
yL . Para esto suponga que el mercado del dinero
se encuentra siempre en equilibrio y recuerde que la velocidad de circulacion del dinero es igual alinverso de la demanda por dinero. ¿Que pasa si π = 0?
Respuesta:Empleamos la definicion de dinero real dada por:
m =m
p
En terminos de tasas de crecimiento:
γm = γm − π
γm = γm + π / ·m∆m = γmm+ πm
Reemplazando en la definicion del senoreaje tenemos:
S =∆mp
=γmm+ πm
p(4.30)
(4.31)
Consideremos :
γm =∆mpmm
Reemplazando lo anterior en (4.30):
S = ∆m+ πm
p(4.32)
Ahora buscamos una expresion para ∆m en el equlibrio del mercado del dinero. Esta sera:
m = L(i, y) /d()∆m = Li∆i+ Ly∆y sin embargo ∆i = ∆r + ∆πe = 0∆m = Ly∆y (4.33)
Reemplazando (4.33) en (4.32):
S = Ly∆y + πm
= Ly∆yL
L
y
y+ πm considerando el equilibrio del mercado monetario (m = L)
= εyγym+ πm
= [π + εyγy]m (4.34)
A partir de (4.34) notamos que si π = 0 entonces tendremos S = εyγym lo cual nos dice que de todosmodos se tendra una recaudacion por senoreaje gracias al aumento en la demanda por dinero.
180
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
5. Si el Gobierno busca recaudar por senoreaje una cantidad de S = 20, ¿cual debe ser el crecimientodel producto para que se cumpla la meta? Asuma que εy = 0, 5, m = 1000 y γm = 0
Respuesta:A partir de (4.34) y de la ecuacion cuantitativa del dinero enterminos de variacion porcentual, ten-dremos que:
20 = [π + 0,5γy]10000 = π + γy
Luego: π = 0,04 y γy = −0,04
Sea la demanda por dinero de la siguiente forma:
L(i, y) = ay(b− i)
6. Suponiendo que la inflacion esperada es igual a la efectiva, que la autoridad fija π y que la economıase encuentra en pleno empleo (es decir, γy = 0), ¿cual es la tasa de inflacion que maximiza los ingresospor senoreaje?
Respuesta:En ausencia de crecimiento del producto, el senoreaje sera:
S = πL(0,05 + π, y)
Reemplazando se tendra:
S = π[ay(b− 0,05 − π)] (4.35)
Optimizando para (4.35)
∂S
∂π= [ay(b− 0,05 − π)] −ayπ = 0
π∗ =b− 0,05
2
4.2.7. Dinero y Shopping Costs
Suponga que un agente representativo usa una proporcion ω de su tiempo en trabajar y una proporcionχt de su tiempo en comprar. El tiempo de trabajo es fijo mientras que el tiempo de compra es variabledependiendo del periodo de analisis. Dado lo anterior, 1−χ−ω es el tiempo que destina al ocio y tambienes variable. A partir de lo anterior:
1. Escriba la funcion de utilidad del agente representativo considerando que los argumentos de la mismason el consumo y el ocio de cada periodo. Expresela para dos periodos.
Respuesta:La funcion de utilidad sera del siguiente tipo:
maxU = U(C1, 1 − ω − χ1) +(
11 + ρ
)U(C2, 1 − ω − χ2) (4.36)
181
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. Asuma que la tecnologıa de compra se puede expresar a traves de la siguiente igualdad: 1− ω− χt =ψ(mt−1, Ct), donde mt es la cantidad real de dinero. ¿Que propiedades deberıa cumplir la funcionψ(·)?
Respuesta:
a) Dado un cierto nivel de consumo, un aumento marginal en el nivel real de dinero se traduceen una disminucion en el tiempo de compra lo cual aumenta el tiempo disponible para el ocio.Matematicamente, ψm > 0.
b) La tecnologıa presenta rendimientos marginales decrecientes con respecto a la cantidad real dedinero, es decir ψmm < 0.
c) Incrementos en el consumo requieren mayores costos de compra (ψC < 0). Sin embargo, estoscostos aumentan a tasa decreciente (ψCC > 0).
d) Finalmente, los costos se hallan acotados: 0 < ψ(∞) < ψ(0) < 1 − ω
3. Considere que los argumentos que se optimizan, es decir, que son elegidos por el agente son su consumoen ambos periodos, la proporcion del tiempo que emplea en compras y la cantidad de dinero real delsegundo periodo5. Para lo que viene asuma el sigiuente problema:
maxL = U(C1, 1 − ω − χ1) +(
11 + ρ
)U(C2, 1 − ω − χ2)
+ λ
A− C1 −
C2
1 + r1− R1m1
1 +R1
−
2∑t=1
λt[1 − ω − χt − ψ(mt−1, Ct)] (4.37)
donde Ri es la tasa de interes nominal y ri es la tasa de interes real. Interprete el lagrangeano descritoen 4.37.
Respuesta:El anterior lagrangeano consta de la funcion de utilidad descrita en la (4.36) la cual es nuestra funcionobjetivo a maximizar. La primera restriccion corresponde a la restriccion presupuestaria del individuodonde A representa sus ingresos y el resto representa sus gastos en consumo y en perdida de interesespor mantener dinero. La segunda restriccion, que en verdad corresponde a dos restricciones, una paracada periodo, nos indica que en cada momento del tiempo se debe cumplir la igualdad impuesta en latecnologıa de compra.
4. Determine las CPO del problema anterior.
Respuesta:Tendremos entonces cinco condiciones de primer orden. Estas seran:
5Asumimos que en el primer periodo esta viene determinada.
182
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
5. ¿En que caso se dara m1 = 0? ¿Que debe ocurrir?
Respuesta:Si la utilidad marginal del ocio y/o la productividad marginal del dinero son bajas, entonces la primeraparte de la req28 sera estrictamente negativa por cuanto con la segunda parte de la misma ecuacionse asegura que m1 = 0 es optimo. Intuitivamente, no se mantendran saldos monetarios en este casodebido a que el agente no considera el hecho de comprar (bajo UO) y/o debido a que el dinero noreduce en gran medida los shopping costs (bajo ψm).
4.2.8. Poole y Polıtica Monetaria
William Poole comenzo a finales de los anos sesenta una linea de investigacion preguntando comoimplementar la polıtica monetaria. Su pregunta era como mantener el mayor tiempo posible a la economıaen equilibrio. Entre las distintas preguntas se cuestiono fue cual era el instrumento indicado: el control dela cantidad de dinero o la tasa de interes (i.e. el precio del dinero). Para contestar esta pregunta utilizo unsimple modelo IS-LM linealizados. Utilizo el siguiente modelo log-linealizada de la forma,
yt = −ρ · it + ηt (4.43)mt = yt − φ · it + ξt (4.44)
Ademas se tiene que ηt ∼ N (0, σ2η), ξt ∼ N (0, σ2
ξ ) y Cov(ηt, ξt) = 0.
a) Interprete las ecuaciones, relacion de variables y sus correspondientes parametros.
b) ¿Bajo que condiciones serıa optimo usar como instrumento de polıtica la tasa de interes? Apoye supregunta con un analisis matematico.
c) Suponga que ηt ∼ N (0, 4) y que ξt ∼ N (0, 16). Ademas se sabe que la sensibilidad de la IS a la tasa deinteres es de 0.6 y que la sensibilidad de la demanda de dinero a la tasa de interes es 0.75. Determineel instrumento de polıtica a usar.
d) Suponga que hay un shock negativo de demanda por dinero. Grafique y explique lo que usted (enterminos de polıtica monetaria) harıa con el objeto de neutralizar el shock. Basese en el instrumentode polıtica elegido en la parte c).
4.2.9. El regreso de House e instrumento de polıtica optima
Supongamos que Greg House se aburrio de ser medico. House ha sido contratado como “diagnosticadoreconomico” en el banco central, como es nuevo necesita un nuevo equipo de trabajo, el que ha estimado lassiguientes IS y LM log linealizadas:
yt = −α · it + µt (4.45)mt = yt − c · it + ηt (4.46)
Con µt ∼ N(0, σ2µ), ηt ∼ N(0, σ2
η) y Cov(µt, ηt) = 0.
1. Explique por que se ha llegado a estas ecuaciones y que significa cada una α y c?
Respuesta:
La ecuacion (5.37) es una demanda agregada, la cual depende inversamente de la tasa de interes yproporcionalmente del shock de demanda agregada. La ecuacion (5.36) corresponde a una demanda dedinero, la cual depende proporcionalmente de el nivel de producto (ingreso) y del shock de demandade dinero e inversamente de la tasa de interes. El parametro α corresponde a cuan sensible es lademanda agregada con respecto a la tasa de interes y el paramentro c representa cuan sensible es lademanda de dinero a la tasa de interes.
183
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. Suponga que Cameron cree que lo que ocurre en la economıa es lo siguiente: α < 2c(
σ2µ
σ2η−σ2
µ
). Deter-
mine el examen que debemos aplicar a la economıa y que es lo que este dice(determine el instrumentode polıtica que minimiza las fluctuaciones del producto ante shocks y muestre la condicion que debecumplirse para la eleccion del instrumento.)
Respuesta:
Primero es necesario encontrar el producto de equilibrio cuando se tiene en cuenta el mercado dedinero. Despejamos la tasa de interes de la ecuacion (5.37) y la reemplazamos en la ecuacion (5.36):
it =−yt + µt
α
En (5.36)
mt = yt − c ·(−yt + µt
α
)+ ηt
mt =α · yt + c · yt − c · µt + αηt
αα ·mt = (α+ c) · yt − c · µt + αηt
yt =α ·mt + c · µt − αηt
α+ c
Ahora, si tomamos en cuenta el hecho de que para este caso se estarıa fijando la oferta de dinero(mt = m), determinamos la varianza del producto cuando se esta fijando la oferta de dinero:
V arm(yt) =c2 · σ2
µ + α2 · σ2η
(α+ c)2
Vemos que este ultimo termino representa la varianza del producto si es que se fija la oferta de dinero.Ahora es necesario obtener la variacion del producto si es que se fija la tasa de interes. Si hacemos loultimo entonces ya no sera necesario tomar en cuenta la demanda de dinero puesto que es irrelevanteal momento de fijar la tasa de interes (it = i). Entonces, determinamos la varianza del producto sintomar en cuenta el mercado del dinero (Ergo, la varianza de la ecuacion (5.37)):
V ari(yt) = σ2µ
Luego, si es que se usara la oferta de dinero como instrumento de polıtica, la varianza del productoal fijar la oferta de dinero debe ser menor a la varianza del producto cuando de fija la tasa de interes
V ari(yt) > V arm(yt)
σ2µ >
c2 · σ2µ + α2 · σ2
η
(α+ c)2
(α + c)2 · σ2µ > c2 · σ2
µ + α2 · σ2η
(α2 + 2 · α · c) · σ2µ > α2 · σ2
η
(α+ 2c) · σ2µ > α · σ2
η
σ2η < σ2
µ ·(
1 +2cα
)Ahora, si manipulamos un poco la condicion que nos dieron en el enunciado:
184
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
α
2c<
σ2µ
σ2η − σ2
µ
2cα
>σ2
η − σ2µ
σ2µ
2cα
>σ2
η
σ2µ
− 1
2cα
+ 1 >σ2
η
σ2µ
σ2µ ·(
2cα
+ 1)
> σ2η
σ2η < σ2
µ ·(
2cα
+ 1)
Que es lo mismo que obtuvimos en la parte anterior. Por lo tanto, y de acuerdo al supuesto que nosdan en el enunciado, vemos que lo optimo es fijar la oferta de dinero, puesto que se minimiza lavariacion del producto.
3. Explique que ocurrira al fijar la tasa de interes cuando tenemos los siguientes sıntomas: shocks dedemanda de dinero y de demanda agregada. En este ultimo caso, ¿Que cree que House propondra?
Respuesta:
Vemos que usando como instrumento la tasa de interes los shocks de demanda de dinero quedanneutralizados. Sin embargo, los shocks de demanda agregada no. Es necesario entonces neutralizarlos,si es que el shock es expansivo (la IS se desplaza hacia la derecha) entonces hay que subir la tasade interes (polıtica monetaria contractiva) para neutralizar este shock. De lo contrario, si el shockrepresenta una contraccion de la IS es necesario bajar la tasa de interes (polıtica monetaria expansiva)para poder estabilizar el producto.
4. Gracias al uso de Ecodins podemos ahora determinar ecuaciones que muestran la periocidad de losshocks. Nuestras ecuaciones quedan de la siguiente manera:
yt = −α · it + β · µt (4.47)mt = yt − c · it + γ · ηt (4.48)
Donde β y γ indican el numero de veces en promedio que el shock ocurre en ese perıodo. Determinenuevamente las condiciones para las cuales fijar la tasa de interes sea el instrumento optimo.
Respuesta:Despejamos la tasa de interes de la ecuacion (5.38) para reemplazarla en la ecuacion (4.48):
mt = yt − c ·(β · µt − yt
α
)+ γ · ηt
mt =α · yt − β · c · µt + yt · c+ α · γ · ηt
α
yt =α ·mt + β · c · µt − α · γ · ηt
α+ c
Ahora determinamos la varianza del producto como si fijaramos la oferta de dinero:
185
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
V arm(yt) =β2 · c2 · σ2
µ + α2 · γ2 · σ2η
(α+ c)2
Luego determinamos la varianza del producto como si fijaramos la tasa de interes (Recordar quepara este caso la demanda de dinero no es relevante). Obtenemos la varianza de la ecuacion (5.38)solamente:
V ari(yt) = β2 · σ2µ
Como en el enunciado nos piden la condicion para la cual fijar la tasa de interes es el instrumentooptimo entonces tenemos que debe cumplirse lo siguiente:
V arm(yt) > V ari(yt)β2 · c2 · σ2
µ + α2 · γ2 · σ2η
(α + c)2> β2 · σ2
µ
β2 · c2 · σ2µ + α2 · γ2 · σ2
η > β2 · σ2µ · (α+ c)2
α2 · γ2 · σ2η > β2 · σ2
µ · (α2 + 2 · α · c)α · γ2 · σ2
η > β2 · σ2µ · (α+ 2 · c)
σ2η >
β2 · σ2µ
γ2·(
1 +2cα
)De cumplirse esta desigualdad, fijar la tasa de interes sera el instrumento de polıtica optimo.
5. La doctora(en economıa) Cuddy (la banquera central) pregunta ¿Que ocurre con el instrumento elegidosi es que los shocks de demanda agregada son mucho mas frecuentes que los shocks de demanda pordinero? ¿Se cumple esto en la realidad? ¿Es consistente la autoridad con respecto a este resultado?
Respuesta:
Para responder esto basta ver como se comporta la condicion encontrada en el punto d. Vemos que silos shocks de demanda agregada son muy frecuentes (β alto) tendremos que la desigualdad ya no secumple. Si es que β → ∞ tendremos que el lado derecho de la ecuacion tiende a infinito caso en quela desigualdad claramente es hacıa el otro lado.
En la realidad, en el caso chileno por lo menos, los shocks de demanda de dinero son mucho mascomunes que los de demanda agregada por lo que es aun mejor medida el fijar la tasa de interes.Como todos deberıan tener claro a estas alturas, el Banco Central fija la tasa de interes por lo que enla realidad no se cumple lo que se deduce del enunciado.
6. ¿Que cree que recomendara House y su equipo si se sabe que este perıodo habran θ6 shocks de demandapor dinero y un solo shock de demanda agregada, el cual sera contractivo.
Respuesta:El hecho de que nos digan que habran varios shocks de demanda de dinero implica que el fijar la tasade interes serıa una buena medida. Sin embargo, si es que fijamos la tasa de interes y hay un shockde demanda agregada tendremos que se contrae la is por lo que cae el producto
Es por esto que es necesario bajar la tasa de interes (polıtica monetaria expansiva) de manera deneutralizar el shock y mantenerse en el mismo nivel de producto.
6k ∼ N(6, 6).
186
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
4.2.10. La demanda por dinero de Condorito
Suponga que Condorito se enfrenta con el problema de maximizar su utilidad, dada por el consumo debienes, durante dos perıodos. Al final de estos se casara finalmente con Yayita por lo que no debe llegar condeudas ni activos. El tiene ingresos asegurados por una pension que recibe en cada perıodo, mas un bonoque le heredo su abuelo y un monto de dinero que mantiene en su billetera. De esta forma su restriccionpresupuestaria intra-temporal esta dada por,
P1Y1 +M0 + (1 +R0)B0 = P1C1 +M1 +B1
1. Exprese toda la expresion en terminos reales.7 Escriba la restriccion presupuestarıa inter-temporalque enfrenta Condorito.8
Respuesta:Las dos restricciones presupuestarias inter-temporales son,
Sabemos por el enunciado que al final Condorito no llegara ni con dinero en efectivo ni deudas al finalde los dos perıodos. Por lo anterior M2 y B2 seran iguales a cero. Consolidando ambas restriccionesobtenemos la siguiente restriccion inter-temporal.
Y1 +Y2
1 + r+P0
P1m0 + (1 + r0)b0︸ ︷︷ ︸
A
= C1 +C2
1 + r+R1M1
1 +R1(4.51)
2. Exprese en terminos genericos el problema de optimizacion que enfrenta Condorito.9
Respuesta:El enunciado indica una expresion generica, lo que se refiere principalmente a la funcion de utilidadla cual no ha sido ni necesita ser especificada. El problema de optimizacion que enfrenta Condoritose puede expresar como,
L = U(C1) + βU(C2) + λ
[A− C1 −
C2
1 + r− R1M1
1 + R1
]Es decir, el problema de Condorito debe maximizar la utilidad que le da el consumo de bienes enambos perıodos sujeto a que debe cumplir con una restriccion presupuestaria intertemporal. Hemossupuesto que parte de su riqueza pueden estar en forma de activos (A) o en forma de dinero.
3. Determine las condiciones de primer orden para el consumo de ambos perıodos (c1, c2) y su demandapor dinero (M1).
Respuesta:El problema de maximizacion se resuelve al determinar los valores optimos de las variables sobre lascuales Condorito puede tomar decisiones. Estas son el consumo en ambos perıodos, activos y dinero.Implicitamente, como todo debe cuadrar, es lo mismo solo tomar las decisiones sobre ambos consumosy cantidad de dinero y dejar implıcito los activos. De esta forma las condiciones de primer ordenseran,
7Hint: Divida todo por Pt. La expresion para la tasa de interes bruta real quedara como (1 + rt) = Pt(1+Rt)Pt+1
.8Recuerde que como el problema es de solo dos perıodos9Este problema no requiere una funcion de utilidad especifica, solo que esta sea concava y obtenga beneficios solo del
consumo. Deje su problema expresado en terminos genericos.
187
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
∂L∂C1
= U ′(C1) − λ = 0
∂L∂C1
= βU ′(C2) −λ
1 + r1= 0
∂L∂m1
= λ
(−Rt
1 +Rt
)= 0
4. Segun las CPO ¿Cual es la demanda por Dinero? Comente porque su resultado se puede intuir antesde resolver el problema.
Respuesta:Las ecuaciones (4.52) y (4.52) son exactamente las mismas CPO del problema intertemporal de en-frenta un consumidor en un mundo sin dinero. La combinacion de estas ecuaciones nos da la relacionoptima de consumo en el tiempo y podemos ver que la existencia de dinero NO afecta la trayectoriaoptima.
La ecuacion (4.52) es nueva y requiere de nuestra atencion. Si la tasa de interes de esta economıa espositiva, la expresion en parentesis es estrictamente negativa indicando que lo ideal es tener dineronegativo. Como esto no se puede, e imponemos que la cantidad de dinero es mayor o igual a cerotenemos que,
si Rt > 0 ⇒ m1 = 0
La intuicion detras de este resultado es que al existir un costo de oportunidad de tener dinero (Rt > 0)lo ideal es no tener dinero. En este caso el dinero no esta “haciendo” nada util en el modelo, y siCondorito es racional lo mejor que puede hacer es no mantener parte de su riqueza en forma de dineroporque al hacerlo esta dejando de ganar intereses.
Este resultado se podıa intuir ya que el dinero no estaba haciendo nada util y sin resolver el modelose podia ver que lo optimo era no mantener riqueza en forma de dinero .
Una extension del analisis, que no se pedıa en este caso pero que alguien podrıa haber dado en formade respuesta, es analizar lo que ocurre cuando la tasa de interes es negativa. Suponga que Condoritoenfrenta una escenario bursatil y financiero en crısis por lo que los activos tienen rentabilidad negativa.En este caso el termino de la ecuacion (4.52) es positivo indicando que lo mejor que se puede haceres mantener toda la riqueza en forma del activo mas seguro que en este caso es el dinero.
si Rt < 0 ⇒ m1 → ∞
Es decir, como en este caso el dinero es el activo con la mejor rentabilidad posible, Condoritoquerra mantener toda su riqueza de esta forma. Obviamente, este caso esta lejos de ser realista.
4.2.11. Friedman vs Baumol Tobin
Se le pide a usted ayuda para dirimir una vieja discusion sobre la elasticidad en la demanda por dineroentre economistas .Por una parte se encuentran los seguidores de Milton Friedman, quienes argumentan que la teorıa cuantita-tiva del dinero es la forma correcta de entender la demanda por dinero. Otro grupo esta compuesto por losseguidores de Baumol y Tobin quienes sostienen que su modelo indica correctamente como se debe analizarla demanda por dinero.
Recuerde que segun Baumol y Tobin el individuo minimiza el costo de mantener dinero en efectivo:
188
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
CT = iM
P+ Zn
donde i es la tasa de interes,M/P son los saldos real por dinero, n el numero de transacciones que quierehacer un individuo en un perıodo determinado y Z el costo de transaccion involucrado en cada interaccioncon el banco al transformar su riqueza en dinero.10
En concreto, se le pide a usted que responda algunas preguntas para dirimir quienes tienen la razon.
1. Presente y comente la ecuacion basica que sustenta la demanda por dinero para los seguidores deFriedman.
Respuesta:
Los seguidores de Friedman basan su analisis de demanda por dinero en base a la teorıa cuantitativadel dinero , la cual nos indica que,
M · V = P · Y
Donde M es la cantidad por dinero, V es la velocidad de circulacion del dinero, P es el nivel deprecios de la economıa e Y es el nivel o cantidad de producto.
2. Desarrolle y comente el modelo de Baumol Tobin de demanda por dinero.
Respuesta:El problema del individuo consiste en optimizar la demanda que debe realizar por dinero. En la practicaesto consiste en minimizar:
mınn
(iY
2n+ Zn
)La cpo es
− iY
2n2+ Z = 0
Reordenando la expresion podemos despejar para n y ası encontrar el numero optimo de veces que sedebe acudir al banco.
n∗ =
√iY
2Z
Con la definicion de saldos reales promedio,
M
P=
Y
2n
=Y
2√
iY2Z
=
√ZY
2i
10Si en cada perıodo el individuo retira la totalidad del dinero que tiene para consumir (por ejemplo para un mes) entoncesdebe ser cierto que la magnitud de retiros es Y
n. Si los recursos los gasta en forma homogenea en el tiempo, durante el perıodo
mantendra en promedio saldos reales por un monto total Y2n
.
189
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
3. Obtenga las elasticidades por demanda real de dinero (M/P ) respecto al ingreso. (Tip: aplique loga-ritmo natural) ¿Cuales son las diferencias?
Respuesta:
Para los seguidores de Friedman tenemos que,
MV = PYM
P=
Y
V/ln()
ln
(M
P
)= ln(Y ) − ln(V )
La elasticidad es entonces,
∂ln(M/P )F
∂ln(Y )= 1
En cambio, para los seguidores de Baumol-Tobin tenemos que
M
P=
√ZY
2i/ln()
ln
(M
P
)=
12
(ln(Z) + ln(Y )) − 12
(ln(2) + ln(i))
La elasticidad es entonces,
∂ln(M/P )B−T
∂ln(Y )= 1/2
Como vemos, la elasticidad saldos reales de dinero-renta es en ambos casos positiva. Segun la teorıacuantitativa del dinero la elasticidad es igual a 1, es decir un incremento de 1% del ingreso requiereun aumento de 1% en la cantidad real de dinero. Esto es el doble de la elasticidad que obtenemossegun la prediccion teorica del modelo de Baumol Tobin la cual indica que un incremento de 1% enel ingreso hace aumentar solo en 0.5% la demanda por dinero.
4. Segun la prediccion teorica que acaba de encontrar, ¿Que grupo de economistas parece tener la razon?¿Por que?
Respuesta:No hay una respuesta correcta ya que ambos grupos tienen razon. Todo depende de los supuestos quese utilicen. Recuerde que la ecuacion cuantitativa del dinero es un identidad que siempre se cumpleen el largo plazo, aunque en el corto plazo se presenten ciertas desviaciones.
Por su parte, es en el corto plazo que es interesante el modelo de Baumol-Tobin, que nos ayuda aentender la demanda en su uso para transacciones.
Ası, pareciera que en el corto plazo la elasticidad-ingreso por demanda de dinero es 1/2 mientrasque en el largo plazo la elasticidad es igual a 1. La evidencia empırica confirma en el largo plazo laprediccion de los seguidores de Friedman, mientras que en el corto plazo sugiere que en el corto plazose cumple la prediccion de Baumol y Tobin (Alvarez & Lippi 2007).
4.2.12. Baumol-Tobin y descuentos electronicos
Suponga el modelo simple de Baumol Tobin donde un individuo gasta linealmente su ingreso y realizan retiros de igual magnitud (R), de manera de minimizar el costo de oportunidad
(in + Y 2/3
2n
)de mantener
efectivo y el costo de hacer retiros (Z), en el contexto donde es necesario el dinero para hacer sus compras.
190
4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
a. Plantee el problema de minimizacion de costos y encuentre el optimo para la cantidad de retiros deeste individuo.
Respuesta:El proceso de maximizacion lleva a que el agente mide el costo de oportunidad del dinero contra elcosto de cada viaje.
mınC
(n) =i
n+Y 2/3
2n+ Zn
∂C (n)n = − i
n2− Y 2/3
2n2+ Z = 0
z =2i+ Y 2/3
2n2
Despejando la ultima ecuacion respecto de n encontramos el numero optimo de retiros.
n∗ =
√2i+ Y 2/3
2z(4.52)
b. Cual es la conclusion mas importante de este modelo y cuales son los supuestos mas fundamentales?¿cual es la intuicion del costo fijo de hacer retiros?
Respuesta:La idea del modelo es que el dinero se requiere para hacer transacciones pero que tiene un costo deoportunidad. Supone entonces que el dinero cumple una funcion de “medio de cambio” y por lo tantojustifica una demanda por dinero. Se le podrıa criticar que no es exclusivo en poder ser utilizado comomedio de intercambio. El modelo no escoge el dinero endogenamente como medio de cambio. Ademasevidentemente se observa que existen otras formas de hacer transacciones en la realidad.
c. ¿Como serıa afectada la demanda por saldos reales si aumenta la cantidad de bancos donde se puedeacceder a dinero en este modelo?
Respuesta:El aumento de bancos se puede modelar como una disminucion en el costo de ir a buscar dinero Z. Loque aumente el numero optimo de viajes, ya que se vuelve menos costoso hacer los retiros, y reduce lossaldos reales promedios que tiene el agente. Matematicamente lo podemos ver de la siguiente forma:
∂n
∂Z=
∂
(√2i+Y 2/3
2z
)∂Z
∂n
∂Z= −1
2Z−3/2
√2i+ Y 2/3
2
Es decir, al aumentar Z, disminuye la cantidad de retiros optimos, por otro lado, si disminuye el costode los retiros Z los viajes aumentaran.
d. Un amigo economista de la Universidad de Chile le dice que existe una mejor funcion para representarel costo de oportunidad,siendo iY
2n . ¿Estara en lo correcto?¿Porque?
Respuesta:Si nos fijamos bien, el costo de oportunidad representa, en este caso, las ganancias financieras quepodrıa tener manteniendo el dinero en el banco versus mantener este dinero en el bolsillo. Si el dineroesta en el banco, este debe obtener ganancias financieras, es decir, ganar intereses por el dinero que
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4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
mantengo en el banco, lo cual se ve representado por iY . A pesar que las dos funciones cumplen queel costo de oportunidad aumenta al aumentar i e Y y disminuir al aumentar n. Solo en la funcionpresentada por su amigo economista se cumple con que con el hecho de las ganancias financieras demantener el dinero en el banco. Por lo tanto la ecuacion que mejor describe el costo de oportunidades iY
2n .
e. Suponga ahora que existe otra forma de llevar a cabo transacciones a traves de descuentos electronicos(T ) con ≤ T ≤ Y .Donde T es el total de recursos descontados en el periodo. Este sistema es recibidoen todos los negocios y no se descuentan hasta el momento de llevarse a cabo la transaccion por loque no presentan un costo de oportunidad i. ¿Que pasa con la demanda por dinero en este caso si eluso de T tiene un costo fijo de τ para cada peso descontado? ¿bajo que condiciones existe demandapor dinero en esta economıa?
Respuesta:Esto se podrıa incluir en el modelo y en la maximizacion de la siguiente manera:
minn,TC (n, T ) =i (Y − T )
2n+ Zn+ τT
∂C (n, t))∂n
= − i(Y − T )2n2
+ Z
− i(Y − T )2n2
+ Z = 0
2zn2 = i (Y − T )
Despejando la ultima ecuacion respecto de n encontramos el numero optimo de retiros.
n∗ =
√i(Y − T )
2z(4.53)
Dado que es menor a Z y no presenta costo de oportunidad, domina el no llevar dinero en el bolsillo.Esto equivale a no usar dinero y siempre pagar con tarjeta ⇒ Y = T .
f. Suponga ahora que los descuentos electronicos y el dinero no son perfectos sustitutos en todos losescenarios y que el ingreso del individuo se gasta una proporcion. Y en actividades informales (kioscos)y (1 − λ) Y en actividades formales (malls). Si los kioscos no aceptan pagos electronicos pero sı efectivo,encuentre la demanda por dinero en funcion de (λ, τ) dado un costo τ por cada peso descontado. ¿comoevoluciona la demanda por dinero si λ se acerca a 0?
Respuesta:Como vimos en el caso anterior, cuando son sustitutos el dinero y las tarjetas, no se demanda dinero,por lo que tenemos que (1 − λ)Y = T . La demanda por dinero entonces es funcion positiva de λ y esigual a el caso inicial.
n∗ =
√iλY
2Z
A medida que λ tiende a 0 el dinero se vuelve obsoleto para ser utilizado como medio de intercambio.
4.2.13. Cuando el dinero es neutral
Considere una economıa en la que el dinero es neutral. En particular suponga que π = ∆m y que res constante e igual a cero. Suponga ademas que la oferta de dinero viene dada por ∆mt = k∆mt−1 + εt,donde ε es una perturbacion tipo ruido blanco. Suponga que It = (it +Etit+1)/2. Ademas sabemos que porla identidad de Fisher se cumple que it = rt +Et(pt+1)− pt. La variable p es el logaritmo natural del nivelde precios.
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4.2. MATEMATICOS DE DINERO Macroeconomıa I - Primavera 2008
1. Exprese it en funcion de ∆m y k. Asuma que ∆m es conocido en el momento t.
2. Exprese Etit+1 en funcion de ∆m y k.
3. ¿Cual es la relacion entre It e it?
4. ¿Como afectarıa un cambio en k a la relacion entre It e it?. Explique la intuicion que hay detras deeste hallazgo.
5. Un anuncio del Banco Central en su comunicado mensual dice lo siguiente:
De seguir dandose este escenario de persistente inflacion, es probable que en los proximosmeses se reduzca el impulso monetario...
¿Que espera usted que suceda con It? Explique en breves palabras que variable es afectada tras esteanuncio, y por que.
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Capıtulo 5
La nueva oferta y demanda agregada(Modelos Neo-Keynesianos)
5.1. Comentes
5.1.1. Phillips ’58
¿Cual fue la relacion original que establecio Phillips en su artıculo de 1958? ¿Cuales eran las recomen-daciones de polıtica economica que a partir de esta se hicieron? ¿Tuvieron efectos permanentes estas re-comendaciones?
Respuesta:La relacion original que describio Phillips para Inglaterra fue entre inflacion de salarios y desempleo. Larelacion se popularizo en los anos siguientes como una relacion negativa entre inflacion general de preciosy desempleo o producto.
A partir del trade-off que establecıa esta relacion se hicieron recomendaciones de una polıtica monetariaactiva, ejemplo al buscar una expansion monetaria induciendo un mayor nivel de precios pero con un menornivel de desempleo.
Sin embargo, la curva de Phillips es una relacion de corto plazo. En el largo plazo la polıtica monetariaNO puede reducir el desempleo por debajo de la tasa de pleno empleo. En el largo plazo los aumentosmonetarios solo tienen como consecuencia un mayor nivel de precios. Es decir, la polıtica no tiene efectospermanentes sobre el empleo/producto pero si sobre los precios.
5.1.2. Expansion de M
Un polıtico conocido por sus crıticas a la polıtica economica afirma que “...siempre que hay una polıticamonetaria expansiva que busca un mayor nivel de empleo esta tendra como unica consecuencia un mayornivel de precios, el que sera su unico efecto permanente...”. Comente.
Respuesta:La afirmacion depende de las condiciones en que se encuentre la economıa.
Si el nivel de desempleo es mayor al nivel calculado como de pleno empleo, una monetaria expansivasi ayudara a acercar a la economıa al pleno empleo con una presion, aunque leve, sobre la oferta para queaumente los precios.
En el caso de que la economıa se encuentre en la tasa de desempleo natural y la polıtica economicaintente disminuir aun mas esta tasa, durante algunos perıodos se podra disminuir. Pero poco tiempo tran-scurrira antes de que el nivel de precio comience a aumentar. El resultado final sera el mismo nivel dedesempleo natural con un mayor nivel de precios.
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.1.3. Islas de Lucas
En el modelo de las Islas de Lucas, ¿Explique cual es la razon que genera una Curva de Phillips de cortoplazo? ¿En que caso la polıtica monetaria es Neutral?
Respuesta:
En el modelo de las Islas de Lucas el supuesto clave es que la informacion no fluye perfectamente. Estaes la imperfeccion que hace que los empresarios comentan ciertos errores nominales (precios) que tienenconsecuencias reales (produccion).
En este modelo hay dos posibilidades en que la polıtica monetaria puede ser neutral. La primera essuponer que la informacion comienza a ser perfecta. Esta observacion no es menor ya que fue una de lasprincipales criticas al modelo ya que se requiere un muy buen argumento para decir que si los errores soncostosos para los empresarios, estos no van a buscar formas de mejorar el flujo de informacion o afinarsus proyecciones. La segunda posibilidad en que la polıtica monetaria es Neutral es cuando la volatilidadde precios en la economıa es tan alta que la curva de Phillips alcanza una gran inclinacion. En este casocualquier intento de empujar la economıa sobre el producto de pleno empleo se traduce solamente en inflacionde precios.
5.1.4. Calvo y Rotemberg
La Nueva Curva de Phillips es una relacion que se origina a partir del comportamiento optimizador deagentes economicos. ¿Cuales son los supuestos utilizados por los modelos de Rotemberg y de Calvo paraexplicar las rigideces nominales?
Respuesta:
Los modelos Neo-Keynesianos han buscando fundamentar las relaciones en base al comporamiento mi-croeconomico optimizador de los agentes economicos. En el caso de la curva de Phillips se ha buscadodistintas formas de explicar el porque los cambios no cambian con perfecta flexibilidad de forma de no tenerefectos sobre variables reales.
En el caso del modelo de Rotemberg este asume que los empresarios enfrentan costos de cambiar losprecios en cada perıodo. Mas aun, en este modelo se asume que el costo del cambio de precios es concavo.De esta forma, el comportamiento optimo de los empresarios es cambiar los precios gradualmente en eltiempo.
El modelo de Guillermo Calvo se basa en el supuesto de que los empresarios perciben del mercado ciertassenales que les indica que pueden o no cambiar los precios. Por simplicidad esto se ha modelado como unaprobabilidad para cada empresarios de si poder cambiar los precios, o no. De esta forma en cada perıodoconviviran firmas que pudieron ajustar sus precios al nivel optimo, y otras que solo pueden ajustar su nivelde produccion.
5.1.5. Nueva Curva de Phillips 1
Describa la ecuacion de la Nueva Curva de Phillips detallando cada variable. A partir de esta expliquepor que es importante para el Banco Central influir en las expectativas del publico.
Respuesta:
La Nueva Curva de Phillips puede ser descrita por la siguiente expresion:
πt = βEtπt+1 + θ (yt − y)︸ ︷︷ ︸xt
+εt.
Esta ecuacion nos indica que la inflacion de hoy es Forward-Looking. ya que depende las expectativas deinflacion futuras (Etπt+1). Los precios cambiaran segun las presiones de demanda que surjan de la brecha
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
de producto (xt). Ademas habra un shock de costos que se supone con media cero (ε).
La relacion expuesta es forward-looking nos ayuda a entender porque es tan importante para el bancocentral alinear las expectativas de inflacion futura. Por ejemplo, si la inflacion esperada a futuro (t+ 1) esmayor a la meta, los precios comenzaran a aumentar hoy (t).
5.1.6. Nueva Curva de Phillips 2
A pesar de la fundamentacion teorica del la Nueva Curva de Phillips no hay evidencia empırica quesustente esta relacion. Comente.
Respuesta:
Como vimos en el curso la curva de Phillips es uno de los componentes que describen el funcionamientode la economıa segun la vision de la mayorıa de los bancos centrales.
Para Chile presentamos evidencia de Cespedes y Soto (2006). Sus estimaciones indican que la NKPCdescribe satisfactoriamente la evolucion de los precios, es decir, confirman que la inflacion de hoy dependeen buena medida de la inflacion futura. Debido a que en Chile existe una gran proporcion de precios que sereajustan siguiendo la inflacion pasada (UF), tambien depende de la inercia inflacionarıa.
5.1.7. Taylor
Escriba una Regla de Taylor segun su formulacion original y explique cada uno de sus componentes.Suponga que la inflacion esta por sobre la meta en la misma proporcion que el producto esta por debajodel potencial, ¿Cual sera la recomendacion de polıtica que nos indica esta regla: aumenta o disminuye?
Respuesta:
Una regla de Taylor puede ser,
it = i+ β(πt − πM ) + α(yt − y)
donde it es la tasa de polıtica monetaria del Banco Central, i es la tasa de interes natural. El coeficiente βes la reaccion de la tasa de interes respecto a las desviaciones de la inflacion respecto a la meta, y α es lareaccion a la brecha de producto.
En el caso supuesto se nos dice que la inflacion es mayor a la meta, por lo que β estara multiplicadopor una proporcion positiva (v > 0). Por otra parte, la segunda brecha es negativa en la misma proporcion(v < 0). Es decir,
it = i+ v(β − α)
Como discutimos en clase, para que el sistema de ecuaciones que describe a la economıa sea estable sedebe cumplir el Principio de Taylor. Este nos dice que la reaccion de la autoridad monetaria debe ser masque proporcional a alzas de la inflacion. Mas aun, debe ser mayor que α. Luego, sabemos que β es mayorque α, lo que nos indica que en esta situacion la recomendacion de polıtica es que la tasa de interes debieraaumentar.
5.1.8. Ecuaciones NKE
Escriba las ecuaciones que describen lo que se conoce como los Nuevos Modelos Keynesianos. ¿Cualesson las caracterısticas principales de estos modelos?
Respuesta:
Las ecuaciones que componen estos modelos son
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
πt = βEtπt+1 + θ (yt − y)︸ ︷︷ ︸xt
+εt (5.1)
yt − y = Etyt+1 − y − 1σ
(it − Etπt+1 − ρ) (5.2)
it = i+ β(πt − πM ) + α(yt − y) (5.3)
La ecuacion (5.37) es una Curva de Phillips que representa la oferta de la economıa. Esta establece unarelacion entre la inflacion en t que depende positivamente de la inflacion esperada a futuro y la presion quese origina en la brecha de producto. La ecuacion (5.36) es la demanda agregada o IS. En este caso la IS estaescrita como brechas de producto. En este caso la demanda de hoy depende de lo que se espera que sea lademanda en los siguientes perıodos, y negativamente de la tasa de interes. La ecuacion (5.38) es una reglade Taylor que indica la conducta de la polıtica monetaria: se aumenta la tasa respecto a su nivel naturalo de estado estacionario (i) cuando la inflacion (que puede ser la esperada, dependiendo del modelo) esmayor a la meta, y/o cuando la brecha de producto es positiva.
Las caracterısticas principales de los modelos Neo-Keynesianos son:
Las ecuaciones han sido derivadas a partir del comportamiento optimizador intertemporales que en-frentan los agentes economicos.
Son modelos consistentes con las expectativas racionales.
Una de las caracterısticas claves es que sus componentes son Forward-Looking. Es decir, las expecta-tivas de las variables a futuro determinan las variables hoy.
5.1.9. La hipotesis de Milton
Explique en que consiste la Hipotesis Aceleracionista de Milton Friedman. ¿Que sucede con esta hipotesissi las expectativas son Forward Looking?
Respuesta:
Milton Friedman argumentaba el desempleo no era un fenomeno monetario. Segun su vision,
Los trabajadores a la hora de negociar sus contratos y salarios estan interesados en el Salario real(poder adquisitivo)
La unica forma de mantener el desempleo por debajo del nivel natural es aumentando permanen-temente la inflacion ya que una vez que ha sido internalizada se necesita mas inflacion para lograrefectos sobre la economıa.
En el largo plazo el uso del trade-off entre empleo e inflacion por parte del Banco Central solo esposible si la inflacion acelera cada vez mas.... explotando.
El analisis de Friedman asumıa que los trabajadores utilizaban expectativas adaptativas (se fijan en πe =πt−1). De esta forma la autoridad monetaria en la practica, segun el argumento de Friedman, explota elerror que se produce cuando las expectativas son bayesianas, es decir, se ajustan segun el error pasado. Paramantener la efectividad de la polıtica se requiere seguir enganando al publico constantemente.
Sin embargo, la hipotesis de Friedman deja de ser correcta si pensamos en agentes forward looking(πe =
∑πt+i). En este caso no hay forma de explotar la persistencia de los errores que comente el publico.
Ya que los agentes no responden ajustando sus expectativas segun lo ocurrido en los perıodos anteriores, sinoque usan todo el set de informacion, los bancos no pueden explotar la persistencia de los errores. Luego, sila autoridad quisiera empujar la economıa, podrıa hacerlo en el corto plazo. Pero muy poco tiempo pasarıaantes de que los agentes dejaran de reaccionar a los shocks monetarios
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.1.10. Relaciones de Euler 1
Explique en que se relaciona la Nueva demanda agregada, la teorıa del ingreso permanente y el consumooptimo en el modelo de Ramsey.
Respuesta:Existe una fuerte relacion entre estos tres conceptos. Lo principal es que la nueva demanda agregada, elingreso permanente y el consumo optimo reflejan las decisiones de agentes que optimizan intertemporal-mente. Esto hace que las tres respondan a expectativas racionales. En todos los casos se nos indica que lasdecisiones de consumo de hoy depende del ingreso que se espera se tenga a futuro. Incluso, si lo analizancon detencion, las ecuaciones nos muestra que todas responden a la misma ecuacion de Euler!!!.
5.1.11. Relaciones de Euler 2
El comportamiento del consumo fue estudiado en tres ocasiones: primero vimos la optimizacion inter-temporal, de la cual concluimos la existencia de la Teorıa del Ingreso Permanente. Luego vimos el consumoen el modelo de ahorro optimo de Ramsey. Finalmente estudiamos la nueva demanda agregada. Explique ycomente como se relacionan los anteriores conceptos.
Respuesta:Existe una fuerte relacion entre estos tres conceptos: si lo analizan con detencion, las ecuaciones nos muestraque todas responden a la misma ecuacion de Euler!!! Lo principal es que la nueva demanda agregada, el in-greso permanente y el consumo optimo reflejan las decisiones de agentes que optimizan inter-temporalmente:esto sera consistente con suavizar el consumo en el tiempo (Teorıa de Ingreso Permanente), como optimizarla trayectoria en el tiempo (Modelo de Ramsey) o con que el consumo de hoy depende de las expectativas(racionales) de lo que pasara con el consumo en el siguiente perıodo (Nueva Demanda Agregada) En todoslos casos se nos indica que las decisiones de consumo de hoy depende del ingreso que se espera se tenga afuturo.
5.1.12. Efectos de shocks
En teorıa, el caso es claro, los shocks de oferta y demanda ambos generan aumentos en la inflacion, ycaıdas en el empleo. Comente.
Respuesta:Falso. Si revisan las clases de polıtica monetaria del Bloque 5 podran ver que ante shocks de oferta el empleocae y la inflacion aumenta. Sin embargo, en el caso de shocks de oferta el empleo aumenta y la inflacionaumenta.
5.1.13. Diferencias en las Reglas
La Regla de Taylor y la Regla Optima no son iguales, aunque ambas cumplen con el principio de Taylor.Escriba ambas reglas y comente la frase anterior.
Respuesta:La Regla de Taylor nos indica como reacciona la autoridad monetaria ante desviaciones de la inflacionrespecto a su nivel meta, y el producto respecto a su nivel de pleno empleo o potencial. Por ejemplo, estohace que ante aumentos de la inflacion, la regla indica que la tasa debe aumentar. Si el producto es menoral de pleno empleo, la tasa debe disminuir. Lo importante es que se cumpla el principio de Taylor, queindica que la reaccion del banco ante aumentos de la inflacion debe ser mas que proporcional, y mayor paradesviaciones de inflacion que de producto. Hay distintas versiones de Reglas Monetarias Optimas. En elcurso vimos un caso extremos en el cual lo mejor que puede hacer la autoridad para maximizar el bienestarde la poblacion es solo observar las desviaciones de inflacion y no preocuparse de los cambios del producto.
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5.1.14. Una des-inflacion, ¿Magica?
La mayorıa de los episodios desinflacionarios llevan a una caıda en el producto importante. Sin embargo,algunas veces, como en Bolivia en 1985, se logra bajar la inflacion sin ningun costo sobre el producto, loque contradice el modelo neokeynesiano. Usando un grafico OA-RPM, comente la afirmacion anterior.
Respuesta:La afirmacion del comente se basa en una regularidad empırica que se debe al trade-off entre empleo/productoe inflacion: si queremos una menor inflacion se requiere sacrificar producto. Sin embargo, en el contextode los nuevos modelos keynesianos existe una alternativa: Anclar las expectativas. El caso de Bolivia esun ejemplo de como al alinear las expectativas de inflacion, el Banco Central logro que las decisiones decambios en los precios se preocuparan de la inflacion futura esperada y no de la hiper-inflacion que venıanarrastrando.
5.1.15. La observacion de Phillips
La curva de Phillips comenzo como una observacion empırica por lo que para ser validada requerıa unsustento teorico. Explique cuales son los supuestos utilizado en el modelo de Islas de Lucas para generaruna Curva de Phillips.
Respuesta:Basicamente informacion imperfecta lo cual induce errores en las decisiones de produccion. Ver libro.
5.1.16. El principio de Taylor
La regla de Taylor describe el comportamiento de la polıtica monetaria. Esta regla debe cumplir, entreotras cosas, con el principio de Taylor que dice que la reaccion a desviaciones de inflacion respecto a la metaes mayor a la reaccion de desviaciones del producto respecto al potencial. Comente.
Respuesta:La regla de Taylor describe como debe ser la reaccion de la tasa interes del banco central frente a desviacionesde la inflacion y del producto. Su formulacion original es del tipo,
it = (r + π) + α(πt − π) + β(yt − y)
El principio de Taylor, a diferencia de lo que indica el enunciado, es que el parametro α debe ser mayor queuno lo que indica que la reaccion de la polıtica monetaria debe ser mas que proporcional ante desviacionesde la inflacion respecto a la meta. La relacion indicada en el enunciado respecto a las reacciones de inflaciony producto se conoce como aversion inflacionaria. Mientras mas averso sea un Banco Central mayor sera elratio α/β. Aunque no fue visto en clases, algunos modelos buscan responder cuales son los parametrosoptimos. Dependiendo de los supuestos hay incluso modelos que indican que lo mejor para el bienestarsocial de la economıa es que β sea cero, con lo cual se dice que la autoridad monetaria no debe tomar encuenta lo que suceda con el producto en sus decisiones.
5.1.17. Forward-Looking
¿Que significa que la Nueva Curva de Phillips y la Nueva Demanda Agregada forward-Looking, es decir,dependan de la expectativa de valores futuros?
Respuesta:Completar
5.1.18. Evidencia de la Nueva Curva de Phillips para Chile
A pesar de la fundamentacion teorica de la Nueva Curva de Phillips para el caso de Chile no hayevidencia empırica que sustente esta relacion. Comente.
Respuesta:Como vimos en el curso la curva de Phillips es uno de los componentes que describen el funcionamientode la economıa segun la vision de la mayorıa de los bancos centrales. Para Chile presentamos evidencia de
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
Cespedes y Soto (2006). Sus estimaciones indican que la NKPC describe satisfactoriamente la evolucionde los precios, es decir, confirman que la inflacion de hoy depende en buena medida de la inflacion futura.Debido a que en Chile existe una gran proporcion de precios que se reajustan siguiendo la inflacion pasada(UF), tambien depende de la inercia inflacionaria.
5.1.19. Senales para los productores
Suponga dos economıas; en una la autoridad monetaria a logrado una gran estabilidad de precios,mientras que en la otra los precios han sido altamente inestable. Productores representativos de ambaseconomıas observan un cambio en su propio precio (pi). ¿Que sucedera con la produccion agregada?
Respuesta:Para contestar la pregunta recordemos que en el modelo de Islas de Lucas llegamos a una oferta agregadadel tipo,
y = γ
(Vr
Vr + Vp
)︸ ︷︷ ︸
α
(p− pe)
Como nos muestra esta ecuacion la volatilidad de esta economıa determina la pendiente de la Curva dePhillips, tambien llamada Oferta a la Lucas.
En una economıa con nivel general de precios muy volatil, la curva de Phillips tendra una gran incli-nacion (α 0). Por otra parte, si la autoridad monetaria genera estabilidad de precios, los cambios depi seran percibidos principalmente como cambios de precios relativos y por lo tanto la curva de Phillipssera mas horizontal (α 1). Esto nos lleva a que la reaccion de la economıa a cambios en los preciosdependa de cuan estable mantenga la autoridad monetaria el nivel de precios.
De esta forma, en la economıa volatil en el agregado los productores asumiran que el cambio de preciosno amerita una mayor produccion mientras que en la estable es muy probable que el shock sea particular albien producido y, por lo tanto, en el agregado se incremente la produccion.
5.1.20. Implicancias de la Nueva Curva de Phillips
Suponga una curva de Phillips Nuevo-Keynesiana del tipo
πt =φψ(1 − (1 − ψ)β)
1 − ψ︸ ︷︷ ︸θ
(yt − y) + βEtπt+1 +νt
1 − ψ︸ ︷︷ ︸εt
.
donde ψ es el parametro de ajuste a la Calvo y β es el factor de descuento intertemporal del consumidor.En palabras breves describa la ecuacion anterior, en especial el rol de los parametros, y explique el aportegenerado por la escuela Nuevo-Keynesiana a la formulacion de esta relacion.
Respuesta:El parametro φ da cuenta de la rigidez en que los mercados reciben la informacion necesaria para la tomade decisiones de ajuste de precios optimos. En otras palabras, si los agentes son racionales y conocen per-fectamente la forma en que funciona la economıa, y la informacion es disponible en todo momento, el valorde φ debiera acercarse a cero. En el extremo, si φ = 0, llegamos a una curva de Phillips Neoclasica, conpendiente infinito, en donde siempre se da que y = 0. Sin embargo, como existen rigideses nominales,contratos y otros, las no todas las empresas no pueden cambiar sus precios todos los periodos. Esto causacierta rigides y es la forma en que el modelo alcanza una Curva de Phillips con cierta pendiente.
El aporte fundamental de los Nuevos Keynesianos es responder ante la Crıtica de Lucas, y demostrar confundamentos microeconomicos que el pensamiento intuitivo de Keynes en realidad sı tiene asidero teorico.Se demuestra que las relaciones macroeconomicas fundamentales del modelo Keynesiano, responde a uncomportamiento optimo dependiente de parametros profundos “invariantes”, como es el caso de el factorde descuento y la elasticidad de sustitucion intertemporal (en el caso de la curva IS).
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.1.21. La importancia de ser creıble
En el contexto de la Nueva Curva de Phillips explique porque es importante la credibilidad que tienenlos agentes en el accionar del Banco Central.
Respuesta:Los bancos centrales en los ultimos 20 anos han cambiado su forma de hacer polıtica monetaria y la formade entender la economıa mediante la Nueva Curva de Phillips, Nueva Demanda Agregada y Regla Taylores gran parte de la explicacion.
Un manejo consecuente con un objetivo definido (inflation targeting) les ha dado credibilidad lo queles ha permitido anclar las expectativas de inflacion. Pensando en una forward-looking Phillips curve, losresponsables de la polıtica monetaria han anclado las expectativas de la inflacion en t+1.
πt = θ(yt − y) + βEtπt+1 + εt.
Los Bancos Centrales mediante un accionar creıble buscan influir y en lo posible determinar las ex-pectativas (un referente en las decisiones de las firmas cuando estan deben cambiar sus precios, renegociarcontratos, etc.) que tiene el publico de la inflacion futura (Etπt+1) y, como la inflacion de hoy depende delo que se espera a futuro, se consigue controlar la inflacion hoy (πt). un referente en las decisiones de lasfirmas cuando estan deben cambiar sus precios, renegociar contratos, etc.
5.1.22. La Crıtica de Lucas
Robert Lucas reflexiono sobre la dependencia entre decisiones de polıtica y los intentos por describirempıricamente las relaciones economicas. Explique en que consiste lo que a partir de su reflexion se conocecomo la Crıtica de Lucas. Apoye su respuesta con un ejemplo.
Respuesta:
La Crıtica de Lucas indica que las relaciones empıricas que los economistas que intentan describir rela-ciones economicas deben tener mucho cuidado. Esto porque los parametros economicos no son invariantesa las polıticas economicas. Dicho de otra forma, las decisiones de polıtica determinan los resultados que seobservan.
Uno de los ejemplos que utilizo Lucas cuando escribio sobre este problema fue la Curva de Phillips.Como vimos en el modelo de las Islas de Lucas el parametro que determina la inclinacion de la Curva dePhillips en este modelo depende de la volatilidad de los precios, y esta depende a su vez de las decisionesque adopte la autoridad monetaria.
5.1.23. Islas de Lucas
En el contexto del modelo de las Islas de Lucas ¿Explique cual es la razon que genera una Curva dePhillips de corto plazo? ¿De que depende la pendiente de la Curva de Phillips en este contexto? ¿Que im-plicancias sobre la neutralidad de la polıtica monetaria tiene como resultado esta caracterıstica?
Respuesta:
En el modelo de las Islas de Lucas el supuesto clave es que la informacion no fluye perfectamente. Estaes la imperfeccion que hace que los empresarios comentan ciertos errores nominales (precios) que tienenconsecuencias reales (produccion).
En este modelo, la pendiente de la Curva de Phillips es de la forma
y = y + α(γ, Vr, Vp) (p− E[p])
Donde la pendiente depende de γ y del varianza de los precios relativos y del nivel de precios.
La Polıtica Monetaria sera neutral en la medida que α ≈ 0. Para que esto ocurra se deberıa cumplir almenos una de las siguientes condiciones:
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
E[p] = p En este caso, y = y. Para que esto ocurra, le informacion deberıa ser perfecta.
Vp → ∞ En este caso y = y.
5.1.24. Leyendo a Taylor
Suponga una ecuacion de la Regla de Taylor de la forma
it = r + π + α(πt − π) + β(yt − y)
Explique que representa α, β y (pi, y). Explique, ademas, porque el Principio de Taylor establece que α > 1.Respuesta:
Estos parametros representa, respectivamente:
α representa el grado de sensibilidad que tiene la autoridad monetaria ante desviaciones en el nivelde inflacion
β representa el grado de sensibilidad que tiene la autoridad monetaria ante desviaciones en el nivelde producto.
(pi, y) representan las respectivas metas escogidas por la autoridad monetaria.
El Principio de Taylor establece que α > 1 por dos razones:
Si la autoridad desea afectar la inflacion, debe mover la tasa de interes mas alla de su nivel nominalpara afectar ası las variables reales.
Matematicamente, uno puede expresar la regla de Taylor de la forma
πt − pi = −(
1 + βφ
(α− 1)φ
)(yt − y) +
ut
(α − 1)φ
En este caso, si α < 1 el sistema no es estable
5.1.25. Efectividad segun Mishkin
Hace algunos meses en una entrevista Frederic Mishkin, Gobernador de la Fed de EE.UU. advierte sobrelos desafios de una Cruva de Phillips mas plana “... la que implıca un mayor ratio de sacrificio, es decir mastiempo en el que el producto debe estar por debajo de su nivel potencial para disminuir en 1% la inflacion”.Explique con fundamentos en lo visto en clases por que ha sucedido este cambio. ¿Cuales son las implianciaspara la polıtica monetaria?.
Respuesta:La pendiente de la curva de phillips depende del comportamiento de las empresas al establecer relacionesentre producto-empleo y precios. Por ejemplo, una de las lecciones del modelo de las Islas de Lucas es quela pendiente de la curva de Phillips depende de la volatilidad del nivel general de precios.
En la mayorıa de los paıses en que se ha logrado bajar y hacer estable la inflacion, la Curva de Phillipsse ha vuelto mas plana.
Esto es un desafıo para la polıtica monetaria ya que una menor pendiente de la curva de Phillips implicaque cuando el Banco Central requiera reducir la inflacion debera desincentivar con mas severidad o por untiempo mas prolongado la demanda agregada para tener efecto sobre los precios. Esto hace que la polıticamonetaria se haga menos efectiva.
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5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.1.26. La critica de Valdes
En el Mercurio del sabado 14 de Junio de 2008, Rodrigo Valdes, ex-Gerente de Estudios del BancoCentral comenta: “...creo que la intervencion cambiaria enredo mucho el tema de tasas. El tipo de cambiofue una piedra en el zapato para ver que hacer con el problema de la alta inflacion. Hoy es importante volvera la meta de inflacion (de 3%), pero la prioridad numero uno es intensificar su credibilidad”. Comente,¿Cual es la relacion tipo de cambio y la credibilidad? ¿Cual es la critica de fondo de Valdes hacia el accionardel Banco?
Respuesta:La intervencion cambiaria realizada por el Banco Central durante este ano ha tenido por objeto depreciarel peso. Esto implica que todos los bienes importados y en general todos los bienes transables se hacen mascaros para el consumidor, presionando un alza del IPC. Esto es inconsistente con el objetivo de reducir laalta inflacion de los ultimos meses. Es decir, el intervenir el tipo de cambio buscando su apreciacion haceque no sea tan creıble la intencion de la autoridad monetaria respecto al control de la inflacion.
Una forma alternativa de entender la critica de Valdes es que en terminos de la regla de Taylor quedescribe el comportamiento de la polıtica monetaria seguida por el Banco Central, el ponderador de ladesviacion de la inflacion respecto a su meta ha perdido importancia relativa frente al ponderador de lasdesviaciones del producto.
La crıtica de fondo que se hace es que, en opinion de Valdes, el Banco no debiera haber intervenido tipode cambio ya que su meta perdio credibilidad.
5.1.27. Solo y unicamente inflacion
Hay economistas que abogan que los Bancos Centrales se deben preocupar exclusivamente del controlde la inflacion ya que, segun argumentan, implıcitamente, eso es preocuparse por el nivel de crecimiento delproducto en el futuro. Comente.
Respuesta:Una de las caracterısticas de la Nueva curva de Phillips es que esta es forward looking. Esto hace que lainflacion de hoy sea reflejo de las desviaciones del producto respecto a su nivel potencial.
Bajo esta logica el control de la inflacion de hoy es preocuparse de las desviaciones del producto.
Si continuamos reemplazando las expresiones para la futura inflacion llegamos a,
πt = E
∞∑i=0
βi [θ(yt − y)]
Esta expresion nos permite ver con mayor claridad la afirmacion anterior. Si la inflacion de hoy seexplica por las futuras desviaciones del producto respecto al nivel potencial, el control de la inflacion de hoyes preocuparse del producto a futuro.
203
5.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.1.28. Meta y salarios
Cespedes y Soto (2006) investigan la forma en que los trabajadores Chilenos han negociado sus reajustessalariales en los ultimos anos. Para ello proponen que los reajustes siguen una formula como Γt = (1 +πt−1)α(1 + πM
t+1)1−α, donde Γt es el reajuste de cada perıodo y πM corresponde a la inflacion meta del
Banco Central para cada perıodo de tiempo.1 Se estima el parametro α en forma recursiva, lo que se hacepartiendo en 1993, estimando el parametro y luego incrementando en un trimestre la muestra hasta llegar amediados de 2006. Al observar el valor de α en el tiempo se encuentra que su valor ha caıdo con el transcursode los anos. ¿Como se pueden interpretar los resultados? Comente.
Respuesta:En el trabajo de Cespedes y Soto el parametro α da cuenta para la negociacion de sus reajustes salarialesdel peso que los agentes le atribuyen a la inflacion pasada (πt−1)y a la meta inflacionaria (πM
t+1) anunciadapor el Banco Central.
Al disminuir la estimacion del parametro α en el tiempo, se puede interpretar que esto es evidencia deuna mayor credibilidad en la meta inflacionaria anunciada por el banco Central. Esto porque en la formacionde expectativas ha ganado mayor peso la meta que la inflacion del perıodo recien pasado. )
1La formulacion para la determinacion de los salarios utilizada en Cespedes y Soto (2006) no es exactamente esta sino unamuy similar. Para efectos de la pregunta, no hay diferencias importantes.
204
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.2. Matematicos
5.2.1. Una economıa Neo-Keynesiana
Suponga una economıa descrita por una curva de Phillips dada por la ecuacion (5.31) y una IS descritapor (5.32).
πt = πet + θ(yt − yt) + εt (5.4)
y − y = A− φ(i− πe) + µ (5.5)
El Banco Central fija su polıtica monetaria de acuerdo con la regla de Taylor descrita por (5.33), pero parasimplificar supondremos que el objetivo inflacionario es 0 y el parametro b tambien es 0.
i = r + π + a(π − π) + b(y − y) (5.6)
1. Explique cada una de las ecuaciones y senale que dice el principio de Taylor respecto del valor delparametro a.
Respuesta:
Ecuacion (5.31): Curva de Phillips. Esta ecuacion en particular corresponde a la Curva dePhillips aumentada por expectectativas, donde εt corresponde a un shock inflacionario, π πe
corresponden a la infacion y su valor esperado, respectivamente, e y− y corresponde a la brechade producto2. Esta ecuacion se deriva de un modelo con rigideces en el ajuste de salarios y preciosy describe la relacion entre producto e inflacion.
Ecuacion (5.32):IS escrita como desviaciones del producto respecto del pleno empleo. A esuna constante que considera el gasto autonomo, entre otros el gasto fiscal. El segundo termi-no (φ(i − πe)) corresponde a la inversion, donde φ es un parametro positivo correspondiente ala sensibilidad del consumo y la inversion a la tasa de interes real. Por ultimo, µ es un shock dedemanda.
Ecuacion (5.33):Regla de Taylor, esta ecuacion describe el comportamiento (aproximado) dela autoridad cuando su instrumento es la tasa de interes. La razon a/b representa la aversion dela autoridad a la inflacion y r + π corresponde a la tasa neutral de interes.
Respecto del parametro a, se puede decir que para que la reaccion de la autoridad (aumento o dismin-ucion de la tasa de interes nominal) tenga efectos reales, tiene que ser mayor que uno. Lo anteriores conocido como el Principio de Taylor.
2. Muestre los valores de equilibrio de la inflacion el producto y la tasa de interes nominal (ı) comofuncion de los parametros.
Respuesta:
En el equilibrio la economıa no recibe los azotes de los componentes aleatorios de (5.31) y (5.32), y elvalor esperado de la inflacion (proveniente de las expectativas de los agentes) es igual a la inflacionefectiva y a la meta (πe = π = π). Dado lo anterior, mas la informacion entregada por el enunciado:
y = y
π = π = 0i = ı = r = A/φ
2Como y e y estan medidos en logaritmo la brecha corresponde a una desviacion porcentual.
205
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
3. Encuentre la expresion para π como funcion de los parametros, πe, µ y ε. ¿Cuanto impacta un aumentode la inflacion esperada a la inflacion efectiva (∂π/∂πe)?.¿Como es el valor de esta derivada cuandoa es mayor o menor que 1 ?. Discuta su resultado, y a la luz de esto la racionalidad del principio deTaylor.
Respuesta:
πt = πet + θ(A− φ(ı+ aπt − πe
t ) + µt) + εt
πt = πet + θA− θφı− θφaπt + θφπe
t + θµ+ εt
πt(1 + θφa) = πet (1 + θφ) + θµt + εt
πt =1 + θφ
1 + θφaπe
t +θµt
1 + θφa+
εt1 + θφa
∂πt
∂πet
=1 + θφ
1 + θφa> 0
Cuando a < 1 un aumento en la inflacion esperada genera un aumento mayor en la inflacion, loque en un esquema con dinamica generarıa trayectorias explosivas. La razon es que un aumento enla inflacion esperada genera un aumento en la inflacion, el que conduce a un aumento en la tasa deinteres, pero la tasa real cae, con lo cual el producto sube, y la inflacion sube mas de lo que lo hace lainflacion esperada.
4. Ahora, suponga que la inflacion esperada es igual a la inflacion del periodo anterior (πe = πt−1).Esto le permitira escribir la expresion para la inflacion como un proceso autorregresivo. Expliquelas caracterısticas (¿Es estable o no?) de este proceso dependiendo del valor de a. En consecuencia,¿que ocurre con la trayectoria de la inflacion cuando hay un shock de demanda o de precios ?.
Respuesta:
Partiendo de (5.31) y reemplazando con (5.32) y (5.33):
πt = πt−1 + θ(yt − yt) + εt
πt = πt−1 + θ(A − φ(i− πt−1) + µ) + εt
πt = πt−1 + θ(A − φ((ı+ aπt) − πt−1) + µ) + εt
πt =(1 + θφ)πt−1
1 + θφa+
θA− θφı
1 + θφa+θµt + εt1 + θφa
∴πt =
(1 + θφ)πt−1
1 + θφa+θµt + εt1 + θφa
De lo anterior es posible ver que, partiendo de una inflacion igual a cero, si a es menor que uno, laexpresion que acompana a πt−1 sera mayor que uno. Si ocurriese lo anterior cualquier shock tantode oferta como de demanda harıa que la inflacion fuese creciendo mas en cada periodo convirtiendoloen un proceso explosivo. En caso de que a fuese igual a 1, el proceso quedarıa determinado por loserrores aleatorios, lo cual es conocido como random walk. Por ultimo, si a > 1 entonces el shock seira disipando en el tiempo.
206
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
5.2.2. En busca del equilibrio
Suponga que la demanda agregada esta determinada por
y = y + b (π − πe) , b > 0 (5.7)
donde y es el logaritmo de la produccion e y es el logaritmo que esta bajo el supuesto de precios flexibles,la funcion de perdida del Banco Central.
L =12
(y − y∗)2 +12a (π − π∗)2 , y∗ > y, a > 0 (5.8)
1. ¿Que significa el parametro a?.
Respuesta:Este refleja el peso relativo de la produccion y de la inflacion con el bienestar social, que esta repre-sentado por la funcion de perdida L.
2. Suponga que el Banco Central fija la tasa de inflacion antes de que las expectativas de los agentes.Encuentre el valor de π optimo para en Banco Central.
Respuesta:Puesto que el compromiso del estado es vinculante π = πe y para hacer la mınima perdida, entonces
π = π∗ (5.9)
y con este valor la funcion de perdida queda:
L =12
(y − y∗)2 +12a (π − π∗)2 (5.10)
L =12
(y − y∗)2 (5.11)
3. Ahora suponga que el Banco Central toma las expectativas de inflacion como dadas, determine elvalor de π optimo en este caso.
Respuesta:Debemos reemplazar la demanda agregada en L:
L =12
(y + b (π − πe) − y∗)2 +12a (π − π∗)2 (5.12)
L = (y + b (π − πe) − y∗) b+ a (π − π∗) = 0 (5.13)
π =aπ∗ + b2πe + b (y − y∗)
a+ b2(5.14)
4. ¿Cual es la condicion de equilibrio para la inflacion en esta economıa?¿Como queda la ecuacionencontrada en (c) de acuerdo a esto? Respuesta:
Para el equilibrio sabemos que π = πe, entonces, reemplazando el resultado anterior:
πe =aπ∗ + b2πe + b (y − y∗)
a+ b2(5.15)
πe = π∗ +b
a(y − y) = π (5.16)
207
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
5. ¿Que implica economicamente el resultado anterior?
Respuesta:
Explica que el unico equilibrio posible es donde, π = πe y por lo tanto y = y, lo que implica que lainflacion esperada se eleva hasta el punto, en el cual, el banco central, al tomar πe como dado, decideigualar π = πe, por lo tanto lo unico que consigue el gobierno con su discrecionalidad es incrementarla tasa de inflacion, sin poder de esta forma incidir en cambios reales sobre el producto.
6. ¿A que se debe que la inflacion siga en aumento?
Respuesta:Esto se debe a la discrecionalidad de las autoridades y debido a esto su polıtica de mantener la inflacionbaja no es creıble, ya que los agentes piensan, que aumentara mas la masa monetaria provocandoinflacion.
7. Suponga ahora que las mismas autoridades estan por dos periodos y que la nueva funcion de perdidaes la siguiente:
Lt = yt − y − 12aπ2 (5.17)
Y la demanda agregada viene dada por:
yt = y + b− (πt − πet ) (5.18)
Ademas se sabe que la polıtica economica puede estar en mano de dos tipos de banco central, el tipo1 que se da con probabilidad p y que comparte las preferencias del publico en relacion con yt y π, porlo que maximiza L = L1 +βL2, con β < 0 ≤ 1 y un tipo 2 que se da con probabilidad 1-p, el cual solose preocupa por la inflacion de modo que para el π1 = π2 = 0. Determine la inflacion optima para elindividuo 1.
Respuesta:
Lt = yt − y − 12aπ2 (5.19)
Lt = b (πt − πet ) −
12aπ2 (5.20)
b− baπt = 0 ⇒ πt =b
a(5.21)
8. Determine Lt para el individuo 1 de acuerdo al resultado anterior. como en el periodo dos los agentesformulan sus espectativas de modo que π2 = πe
2 y sabemos que en el periodo uno fue π1 = ba , entonces:
Respuesta:
L =
[b
(b
a− πe
1
)− 1
2a
(b
a
)2]
+ β
[b (πe
2 − πe2) −
12a
(b
a
)2]
(5.22)
L =
[b
(b
a− πe
1
)− 1
2a
(b
a
)2]
+ βa
2
(b
a
)2
(5.23)
208
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
9. Suponga ahora que el individuo 1 puede π1 = 0 con probabilidad q y π1 = ba a con probabilidad 1-q.
determine la funcion objetivo o L.
Respuesta:Sabemos que al ser π1 = 0, los agentes pueden pensar que es un individuo del tipo 1 o 2, por lo tanto,la probabilidad de que el individuo sea del tipo 1 dado que la inflacion en el periodo 1 fue de cero es:
P
(1
π1 = 0
)=
P (1)P (π1 = 0)/1P (1)P (π1 = 0)/1 + P (2)P (π1 = 0)/2
⇒ P
(1
π1 = 0
)=
pq
pq + (1 − p)(5.24)
Notar que es 1 en el tipo 2, pues el siempre elige inflacion 0, despues de obtener la probabilidad yrecordando que esto es para π2.
L =[b (0 − πe
1) −12a (0)2
]+ β
[b
(b
a− pq
pq + (1 − p)b
a
)− 1
2a
(b
a
)2]
(5.25)
L = [b (−πe1)] + β
[b
(b
a− pq
pq + (1 − p)b
a
)− 1
2a
(b
a
)2]
(5.26)
5.2.3. El objetivo de la autoridad
Suponga una autoridad que posee las siguientes preferencias: No le gustan las fluctuaciones del productoni la inflacion. El producto optimo no es el de pleno empleo sino que yp+k; ademas la economıa esta descritapor: y = yp + θ (π − πe) + ε Donde ε es un shock de productividad. Para el resto de las partes suponga queel shock es nulo.
1. Plantee el problema que resuelve la autoridad, suponiendo que las perdidas por motivos inflacionarioscomo el producto son cuadraticas. Ademas explique cada una de las ecuaciones.Respuesta:
La autoridad resuelve:minπ
π2 + λ(y − y − k)2
(5.27)
sujeto a:y = y + θ (π − πe) (5.28)
La ecuacion de perdida expresa el disgusto que le provoca a la autoridad la existencia de inflacion,ası como tambien las fluctuaciones entorno al producto potencial mas una constante. λ representa elpeso relativo que le otorga la autoridad a los cambios en el nivel de producto respecto de la existenciade inflaciones o deflaciones. La restriccion representa la curva de oferta agregada (curva de Phillips),la que indica que niveles de producto sobre el potencial estaran acompanados por niveles de inflacionmayores de los esperados.
2. Encuentre una expresion para π en funcion de los parametros. ¿Que efectos tiene θ en dicha in-flacion?.¿A que hace referencia dicho parametro?
Respuesta:Despues de imponer las CPO se obtiene:
π =λθ2
1 + λθ2πe +
λθ
1 + λθ2k (5.29)
θ hace referencia a la velocidad con la cual afectan los movimientos inflacionarios al producto y a laelasticidad de la curva de oferta.
209
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
3. Suponiendo expectativas racionales. ¿Cual es el valor esperado de la inflacion?
Respuesta:Suponiendo expectativas racionales πe = E(π), luego tomando la esperanza a la ecuacion anterior setiene que:
πe = λθk (5.30)
En este modelo la inflacion implıcita es cero y con expectativas racionales y = y
4. Suponga el Banco Central se compromete a obtener una inflacion nula. ¿Deben creerle los agentes?
Respuesta:La respuesta dependera de la credibilidad que posea el BC, ya que si este no posee una reputacion decumplir con sus promesas, no existe ningun incentivo para que los agentes le crean. Luego si ocurreeste escenario, la inflacion resultante no sera nula, ya que los agentes no actuaran como si creyesenen el compromiso del Central, por lo que la inflacion optima para la autoridad dejara de ser nula, ieexiste inconsistencia dinamica. Si existen los mecanismos en que los agentes pueden asegurarse queel BC cumplira con sus promesas, entonces inflacion nula puede ser un equilibrio.
5.2.4. El comportamiento segun distintas reglas
Considere una economıa descrita por la siguiente curva de Phillips, la demanda agregada, la regla deTaylor y la funcion de preferencia dada por:
πt = πet + θ (yt − yt) + εt (5.31)
yt − yt = A− φ (i− πet ) + µt (5.32)
i = r + π + a(π − π) + b(y − y) (5.33)
Ω = λ(y − y)2 + (π − π)2 (5.34)
¿Cuanto sube la tasa de interes, dada la tasa de inflacion, en los siguientes casos?
1. La autoridad sigue una regla de Taylor.
Respuesta:Si la autoridad sigue una regla de Taylor, la reaccion ante una diferencia entre la inflacion efectiva yla meta viene dado por el parametro a. Matematicamente:
∂i
∂(π − π)=
∂[r + π + a(π − π) + b(y − y)]∂(π − π)
∂i
∂(π − π)= a
2. La autoridad sigue una regla optima.
Respuesta:Para poder responder esta pregunta debemos encontrar la regla que minimiza la perdida de la au-toridad (6.7), sabiendo que lo anterior se encuentra sujeto a la Curva de Phillips (5.31), ademas deconsiderar que el instrumento que va a utilizar la autoridad es la tasa de interes, por lo que debemosconsiderar la IS. Sabiendo lo anterior despejaremos y y π en funcion de la tasa de interes y el resto
210
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
de los parametros.
Entonces con (5.31) y (5.32) obtenemos:
y = y +A− φ(i− πe) + µ
π = πe + θ(A− φ(i− πe) + µ) + ε
Con lo anterior, reemplazamos en la funcion de perdida y minimizamos utilizando la tasa de interes:
De lo anterior, y reconociendo que A/φ = r y que ı = r + π, obtenemos:
i = r + πe +θ
φ(θ2 + λ)(π2 − π + ε) +
µ
φ
i = ı+(
1 +θ
φ(θ2 + λ)
)(πe − π) +
θ
φ(θ2 + λ)ε+
µ
φ(5.35)
Correspondiendo (5.35) a la funcion de reaccion optima de la autoridad. Luego haciendo un analisissimilar al de la parte a):
∂i
∂(πe − π)=(
1 +θ
φ(θ2 + λ)
)
3. Compare y explique sus resultados.
Respuesta:Primero que nada, cabe destacar que el resultado obtenido en b) es resultado de un proceso de opti-mizacion que incorpora, entre otros, las expectativas inflacionarias de los agentes de esta economıa,por lo tanto, no es de extranar la aparicion de estas en la funcion de reaccion de la autoridad. Porotro lado, tampoco es de extranar que el termino que acompana la brecha de inflacion sea mayor queuno, dado que para que la reaccion de la autoridad tenga efectos reales, el cambio en la tasa de interestiene que ser mayor al cambio en la brecha de inflacion, reforzando la intuicion detras del principiode Taylor.
5.2.5. Macroeconomıa en el Mundo de Papel (Mache)
El mundo de papel mache de Pinky y Cerebro esta con un grave problema inflacionario. Con el fin deatraer a la gente a su mundo de papel, han desarrollado la estrategia de regalar poleras a quienes decidanirse a vivir a este nuevo planeta. Este esfuerzo se financio emitiendo dinero, por lo que Pinky y Cerebro
211
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
estan muy complicados por el nivel de inflacion actual. Cerebro detuvo la emision de dinero y la gente yadecidio vivir en este nuevo mundo. Suponga, ademas, que se cumple la Ley de Okun, es decir,
ut − ut−1 = −φ(yt − yt−1) (5.36)
Cerebro decide crear la Comision para la Inflacion, la cual esta compuesta por ellos mismos, para resolverel problema. Dado que Cerebro esta muy ocupado tratando de conquistar el mundo (el otro mundo), locontrata a ud. para hacer las estimaciones correspondientes.
1. Cerebro le indica a ud. que debe considerar la siguiente ecuacion y estimar cuales seran las conse-cuencias de la reduccion de la inflacion. Cerebro esta particularmente interesado en el efecto quetendra sobre el nivel de desempleo, denotado por u.
yt = y + α(pt − pe) (5.37)
Ademas, Cerebro esta convencido que πe = πt−1. Encuentre la relacion entre una reduccion de lainflacion y el nivel de desempleo.
Respuesta:Usando (5.37) tenemos que
yt = y + α(pt − pe)yt − y = α(pt − pe)
yt − y
α+ pe = pt
Restando pt−1
yt − y
α+ pe − pt−1 = pt − pt−1
yt − y
α+ πe = πt (5.38)
Usando ahora (5.36)
−ut − ut−1
φ= yt − yt−1 (5.39)
Reemplazando en (5.38)
yt − y
α+ pe − pt−1 = pt − pt−1
− 1αφ
(ut − ut−1) + πe = πt
− 1αφ
(ut − ut−1) = πt − πe
Suponiendo que Cerebro tiene razon
− 1αφ
(ut − ut−1) = πt − πt−1
Avanzando la ecuacion hasta t+ 1 y sabiendo que la inflacion hoy, πt, es alta, podemos ver que unareduccion de la inflacion tendra efectos sobre la tasa de desempleo u
− 1αφ
(ut+1 − ut)︸ ︷︷ ︸>0
= πt+1 − πt︸ ︷︷ ︸<0
Por lo tanto, ut+1 > ut para que se cumpla la identidad.
212
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
2. A pesar de ser amigos y trabajar juntos para conquistar el mundo, Pinky no comparte la visiondel proceso de formacion de expectativas de los individuos. En mas, la teorıa de Pinky es que losagentes utilizan toda la informacion disponible para formar sus expectativas. ¿Que implicancias tieneel aceptar este supuesto?
Respuesta:Si Pinky tiene razon, entonces los agentes anticiparan el cambio en el objetivo de polıtica monetaria.En particular, sabran que Pinky y Cerebro desean bajar la inflacion a un nivel πt+1. Por lo tanto,
− 1αφ
(ut − ut−1) = πt − πe
− 1αφ
(ut − ut−1) = πt − πt = 0
Como vemos, dado que los agentes son racionales, el nivel de desempleo no cambia, ya que todos seajustan anticipadamente.
5.2.6. Macroeconomıa Callejera
Suponga una economıa compuesta de muchos individuos con comportamiento competitivo. En particu-lar, la oferta de cada individuo viene dada por
Qi = Li (5.40)
Donde Qi es la cantidad producida por el individuo i y Li es la cantidad de trabajo que invierte el individuoi. Ademas, la funcion de utilidad de cada individuo es de la forma
Ui = Ci −1γLγ
i 0 < γ < 1 (5.41)
1. Pruebe que la oferta individual de trabajo puede escribirse como
i =1
γ − 1(pi − p) (5.42)
Donde pi es el logaritmo natural de los precios del bien i,pi = lnPi, y p es el logaritmo del nivelgeneral de precios, pi = lnPi. Suponga que tanto pi como p son conocidos.
Respuesta:La cantidad consumida Ci dependera del ingreso del individuo, del nivel de precios P y del precioindividual del bien Pi. Entonces,
Ci =QiPi
P(5.43)
Reemplazando (5.40) y (5.43) en 5.41
Ui =LiPi
P− 1γLγ
i
Luego, el problema puede ser visto como que el individuo elige Li con el fin de maximizar utilidad.Por lo tanto, obtenemos las condiciones de primer orden
∂Ui
∂Li=Pi
P− Lγ−1
i = 0
Lγ−1i =
Pi
P
Li =(Pi
P
) 1γ−1
213
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
Aplicando logaritmo natural
lnLi =1
γ − 1ln(Pi
P
)lnLi =
1γ − 1
(lnPi − lnP )
i =1
γ − 1(pi − p)
2. ¿Que sucede si los individuos no pueden observar p? Demuestre que, en este caso, la oferta puedeescribirse como
y = b(p− E[p]) (5.44)
Asuma que p ∼ N(E[p], Vp) y que ri ∼ N(E[ri], Vr). Notar que E[i] = = y y E[pi] = pi = p.
Respuesta:Sea ri el precio relativo del producto i con respecto al nivel general de precios. Entonces, asumiremosque el individuo estima ri dado pi y, asumiremos tambien, que produce como si lo estimado fuesecierto.
i =1
γ − 1E[ri|pi]
Ahora, dado que asumimos que p ∼ N(E[p], Vp) y que ri ∼ N(E[ri], Vr), podemos expresar
E[ri|pi] =Vr
Vr + Vp(pi − E[p])
Reemplazando,
i =1
γ − 1Vr
Vr + Vp︸ ︷︷ ︸b
(pi − E[p])
i = b (pi − E[p])
Aplicando valor esperado
y = b (p− E[p]) (5.45)
3. Encuentre el equilibrio en una situacion de informacion imperfecta. Recuerde que, por la teorıa cuan-titativa del dinero, y = m− p y que m ∼ N(E[m], Vm).
Respuesta:
Reemplazando y = m− p en (5.45)
m− p = b (p− E[p])m− p = bp− bE[p]
−p− bp = −m− bE[p]p+ bp = m+ bE[p]
p(1 + b) = m+ bE[p]
p =b
1 + bm+
b
1 + bE[p]
214
5.2. MATEMATICOS Macroeconomıa I - Primavera 2008
Aplicando valor esperado
E[p] =b
1 + bE[m] +
b
1 + bE[p]
E[p] − b
1 + bE[p] =
b
1 + bE[m]
E[p](
1 − b
1 + b
)=
b
1 + bE[m]
E[p](
1 + b− b
1 + b
)=
b
1 + bE[m]
E[p]
(1
1 + b
)=
b
1 + bE[m]
E[p] = E[m]
215
Capıtulo 6
Topicos de polıtica economica
6.1. Comentes
6.1.1. Soluciones a la incoNsistencia
Explique en el contexto del modelo de Barro-Gordon, las consecuencias de la ausencia de un mecanismode compromiso con respecto a su meta de inflacion. ¿Existe forma de evitar este resultado?
Respuesta:En el modelo de Barro-Gordon el Banco Central debe balancear sus objetivos de reducir la inflacion e inten-tar empujar la economıa por sobre el producto de pleno empleo. Como existe un trade-off entre inflacion yproducto (Curva de Phillips), cuando el publico espera un nivel de inflacion bajo, el Banco Central esta ten-tado no cumplir lo esperado por el publico y empujar la economıa por sobre el producto potencial. Ante estoexisten diversas formas de solucionar el problema. Una es nombrar banqueros centrales que sean mas aver-sos a la inflacion que el votante medio. De esta manera el publico sabe ex ante que no existira tentacionde desviarse. Una segunda, implementada en Nueva Zelanda, es que la remuneracion del los BanquerosCentrales esta ligada a su objetivo: si ha finales de ano no cumplieron, no reciben su sueldo. El punto esque son arreglos institucionales creıbles de cumplir con la meta de inflacion.
6.1.2. Lo que implica el horizonte
En el contexto de una polıtica monetaria regida por un esquema de metas de inflacion, comente lasimplicancias del horizonte de polıtica. ¿Que nos indica que el banco central aumente el horizonte de uno ados anos?
Respuesta:El horizonte de polıtica se refiere al plazo a futuro que es el relevante para guiar las decisiones del BancoCentral de forma de situar la inflacion dentro de un rango y en particular una meta. En el contexto de unaforward-looking Phillips curve, se refiere a cuantos periodos en adelante miran los modelos de la autoridad.Mientras mas cercano es el plazo, el Banco debe reaccionar mas para alinear a la economıa. Al ser maslejano, significa que entre hoy y ese perıodo futuro el banco permitira fluctuaciones fuera del rango. Estoimplica que en estos casos no cambiara la tasa y no afectara el producto.
6.1.3. Deficit fiscal de los conservadores
En las ultimas semanas el debate polıtico en EE.UU. entre los candidatos Obama y McCain esta llegadoal terreno economico. Los partidarios de Obama han destacado lo contradictorio que resulta para un partidocomo el Republicano, de corte conservador y con preferencias por un sector publico pequeno, haber man-tenido deficit fiscales en todos los gobiernos que ha sostenido en las ultimas decadas. Al respecto, artıculosacademicos han contestado diciendo que es absolutamente esperable que gobiernos conservadores terminenen deficit. ¿Puede explicar la logica de ambos argumentos?
Respuesta:La acumulacion de deuda puede tener un fin estrategico desde el punto de vista polıtico.
216
6.1. COMENTES Macroeconomıa I - Primavera 2008
Uno de estos fines puede ser restringir el gasto de los futuros gobiernos: si elevados niveles de deudareducen el gasto del gobierno, esto entrega razones a los polıticos que prefieren menor gasto a acumularestrategicamente deuda. Por ejemplo, la administracion Bush recorto impuestos y mantuvo el nivel de gas-to, acumulando varios deficit fiscales. De esta forma los conservadores amarran las manos del siguienteGobierno.
Detras de esta estrategia polıtica esta el concepto de inconsistencia intertemporal. Esta es unaforma de comprometer al siguiente gobierno a no poder incrementar el gasto, y ha tener dificultades siquiere incrementar los impuestos.
217
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
6.2. Matematicos de Inconsitencia dinamica
6.2.1. La tentacion del Banco Central
Suponga una economıa donde el Banco Central busca minimizar los costos que tiene para la sociedadla inflacion y las desviaciones del producto, de acuerdo a lo que establece una expresion como la siguiente:
Ωπ = π2 + λ(y − y)2
donde v es el nivel por sobre el cual la autoridad monetaria quisiera incrementar el producto. Ademas,la oferta esta economıa se describe por la siguiente ecuacion,
y = y + θ(π − πe) + ε con ε ∼ (0, σ2ε )
Suponga finalmente que el Banco Central tiene perfecta informacion sobre los shocks dados por ε, los que sonno-observables para el publico. Como la autoridad monetaria tiene perfecto control de la inflacion observael shock y toma sus decisiones.
1. Resuelva el problema y encuente la condicion de primer orden (CPO) del problema. Comente larelacion que se establece.
Respuesta:Una forma simple es hacer la derivada implıcita reemplazando la Oferta a la Lucas o Curva de Phillipsen la funcion de perdida del Banco Central.
Ωπ = π2 + λ(θ(π − πe) + ε)2
Como esta es una ecuacion globalmente concava, para encontrar el mınimo (donde se maximiza elbienestar) solo debemos derivar respecto a la variable de decision que se controla e igualar a cero.
∂Ω∂π
= 2π + 2λ(θ(π − πe) + ε)θ = 0
π + λθ2π − λθ2πe + λθε = 0
π =λθ2πe
(1 + λθ2)− λθε
1 + λθ2
π =λθ2πe
(1 + λθ2)− λθε
1 + λθ2
Esta ultima ecuacion es la condicion de primer orden, y nos indica cual es la inflacion optima que debeelegir la autoridad segun las expectativas que tiene el publico respecto a la inflacion y la realizaciondel shock de oferta.
2. Suponga que la autoridad anuncia en forma creıble que la inflacion sera igual a cero, y que efectiva-mente cumple con su anuncio. Evalue la utilidad social y llamela ΩC .
Respuesta:En el caso de que la autoridad anuncie en forma creıble y cumpla con la inflacion igual a cero, tenemosel siguiente resultado. En este caso tendremos que π = πe = 0.
Ωπ = π2 + λ(θ(π − πe) + ε)2
Resolviendo usando los resultados obtenidos anteriormente
Ωπ = 0
π2 + λ(0θ(π − πe) + ε)2
Ωπ = λ(ε)2
218
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
Notando que ε2 = σ2ε tenemos que:
Ωπ = λσ2ε
3. Ahora suponga que la poblacion estima segun expectativas racionales el nivel de inflacion de equilibrio.Con este nivel evalue la utilidad social y llamela ΩEq.
Respuesta:En el caso de expectativas racionales es equivalente con decir que el publico no se equivocara al formarsu expectativas por lo que π = πe.
Como el publico conoce el comportamiento del Banco Central puede utilizar la CPO antes derivadapara econtrar cual sera la inflacion en la economıa.
π =λθ2πe
(1 + λθ2)− λθε
1 + λθ2con πe = π
π =λθ2π
(1 + λθ2)− λθε
1 + λθ2despejando para π
π = −λθε
Ahora evaluando en la funcion de utilidad,
Ωπ = π2 + λ(θ(π − πe) + ε)2
= (−λθε)2 + λ(ε)2
ΩEq =(1 + λθ2
)λσ2
ε
4. Asuma finalmente que una vez que se ha anunciado que habra inflacion cero, la autoridad elige lainflacion optima segun la CPO antes encontrada. Evalue este escenario discrecional en la utilidadsocial y llamela ΩD.
Respuesta:Suponiendo que se anuncia π = 0 y el publico cree,
π =λθ2πe
(1 + λθ2)− λθε
1 + λθ2con πe = 0
= − λθε
1 + λθ2
Reemplazando en la funcion de utilidad del Banco,
Ωπ = π2 + λ(θ(π − πe) + ε)2
=(− λθε
1 + λθ2
)2
+ λ
(− λθ2ε
1 + λθ2+ ε
)2
=(− λθε
1 + λθ2
)2
+ λ
(ε
1 + λθ2
)2
ΩD =λσ2
ε
(1 + λθ2)
219
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
5. Compare las expresiones dadas por ΩD, ΩEq y ΩC . ¿Cual es el problema que estas relaciones plantean?
Respuesta:
Resumiendo los resultados que hemos encontrado, tenemos que
ΩC = λσ2ε
ΩEq =(1 + λθ2
)λσ2
ε
ΩD =λσ2
ε
(1 + λθ2)
De donde es claro que,ΩD ≥ ΩC ≥ ΩEq
El problema de esta desigualdad es la siguiente: Si inicialmente se anuncia inflacion cero y los agentesde la economıa creen el anuncio la utilidad social sera ΩC . En este caso existe la tentacion de nocumplir con el anuncio actuando discrecionalmente y ası alcanzar un costo social menor ΩD. Como sesabe la existencia de esta tentacion el publico ex-ante se comporta con expectativas racionales eligiendoun nivel de inflacion distinto de cero llegando a la utilidad dada por ΩEq, lo cual es claramente unresultado sub-optimo.
6. Explique al menos dos formas para solucionar el problema de polıtica publica que se plantea en laanterior relacion.
Respuesta:A partir del modelo de Barro-Gordon se desprenden las siguientes soluciones posibles:
a) Reputacion.
b) Independencia del banco central.
c) Nombrar a un banquero sin tentaciones para desviarse (mas averso a la inflacion que la poblacionpromedio (propuesta de Obstel y Rogoff)).
6.2.2. Reputacion y inconsistencia dinamica
Imagine una autoridad que desempena su cargo durante dos perıodos y cuya funcion objetivo es
E
[2∑
t=1
b(πt − πet ) + cπt −
a
2π2
t
]La autoridad es elegida al azar entre un conjunto, en el que cada miembro tiene distintas preferencias. Enconcreto, c ∼ N (c, σ2
c ) Los parametros a y b son identicos para todos los posibles candidatos.La autoridad monetaria no puede controlar perfectamente la inflacion, sino que πt = πt + εt, donde πt es elvalor que se ha elegido para la inflacion (dada πe
t ) y εt ∼ N (0, σ2ε ). Considere ε1 y ε2 son independientes. El
publico no puede observar πt y εt por separado, ni dispone de informacion sobre el valor del parametro c.Finalmente, asumiremos que πe
2 en una funcion lineal de π1: πe2 = α+ βπ1.
1. ¿Que valor de π2 elige la autoridad monetaria? ¿Cual es el valor esperado de la consiguiente funcionobjetivo de la autoridad en el segundo perıodo, b(π2 − πe
2) + cπ2 − aπ22/2, como funcion de πe
2
Respuesta:Dado que el problema es de horizonte finito, es posible resolverlo usando induccion, es decir, lorelevante del problema es la decision de la autoridad monetaria en el ultimo perıodo (t = 2) y, en basea eso, podremos resolver el resto de los perıodos.
De acuerdo al enunciado, la autoridad elige la inflacion dada la inflacion esperada, luego, πe2 = πe
2.Entonces, para t = 2
220
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
V = E[b(π2 − πe
2) + cπ2 −a
2π2
2
]
Sabemos que π2 = π2 + ε2, luego
V = E[b(π2 + ε2 − πe
2) + c(π2 + ε2) −a
2(π2 + ε2)2
]V = E
[b(π2 + ε2 − πe
2) + c(π2 + ε2) −a
2(π2
2 + 2π2ε2 + ε22)]
V = E[bπ2 + bε2 − bπe
2 + cπ2 + cε2 −a
2π2
2 + aπ2ε2 +a
2ε22
]
Como π2 y πe2 son variables no-aleatorias, entonces
V = bπ2 + bE[ε2] − bπe2 + cπ2 + cE[ε2] −
a
2π2
2 + aπ2E[ε2] +a
2E[ε22]
Por enunciado, sabemos qu E[ε2] = 0 y E[ε22] = σ2ε , luego
V = b(π2 − πe2) + cπ2 −
a
2(π2
2 + σ2ε ) (6.1)
Buscamos el valor de π2 que minimiza el valor de V , luego
V
π2= b+ c− aπ2 = 0
π2 =b + c
a
Reemplazando 6.2 en 6.1
V = b
(b+ c
a− πe
2
)+ c
(b+ c
a
)− a
2
((b+ c
a
)2
+ σ2ε
)
V = −bπe2 + b
(b+ c
a
)+ c
(b+ c
a
)− a
2
(b+ c
a
)2
+a
2σ2
ε︸ ︷︷ ︸A(a,b,c,σ2
ε )
V = −bπe2 +A(a, b, c, σ2
ε ) (6.2)
2. ¿Cual es la decision de la autoridad monetaria sobre π1, tomando α y β como dadas y teniendo encuenta los efectos de π1 sobre πe
2?
Respuesta:Del enunciado sabemos que
πe2 = α+ βπ1
πe2 = α+ β(π1 + ε1)
221
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
Ademas, la funcion objetivo en t = 1 es
V = b(π1 − πe1) + cπ1 −
a
2(π2
1 + σ2ε ) − bπe
2 +A(a, b, c, σ2ε ) (6.3)
Reemplazando
V = b(π1 − πe1) + cπ1 −
a
2(π2
1 + σ2ε ) − b(α+ β(π1 + ε1)) +A(a, b, c, σ2
ε )
Derivando,
V
π1= b+ c− aπ1 − bβ = 0
π1 =b+ c− bβ
a(6.4)
3. Suponiendo que las expectativas son racionales, ¿Cual es el valor de β?
Respuesta:Dado que π1 y π2 son funciones lineales de c y ε que, a su vez, son variables aleatorias con distribucionnormal, podemos usar la siguiente expresion de expectativas condicionales
E[π2|pi1] = E[π2] +cov(π2, π1)
var(π1)[π1 − E[π1]] (6.5)
Por otro lado, sabemos que
E[π1] = E[π1 + ε1] =b+ c− bβ
a
E[π2] = E[π2 + ε2] =b+ c
a
var(π1) = var(π1 + ε1) = var(b+ c− bβ
a+ ε1
)=σ2
c
a2+ σ2
ε
cov(π1, π2) = cov(b+ c− bβ
a+ ε1,
b+ c
a+ ε2
)= cov(c/a, c/a) =
σ2c
a2
Reemplazando en 6.5 y despejando β, tenemos que
β =σ2
c
a2
σ2c
a2 + σ2ε
4. Explique intuitivamente por que la autoridad monetaria elegira un valor mas bajo de π en el primerperıodo que en el segundo.
Respuesta:Como podemos ver, π1 < π2. Esto se explica por la naturaleza finita del horizonte temporal. En elperıodo 2 la autoridad monetaria no tiene incentivos para ser consistente, debido a que ya no hayreputacion que perder. En cambio, en el perıodo 1, la autoridad debe ganarse la credibilidad de losagentes, lo que hace que la inflacion objetivo sea mas baja en el primer perıodo.
222
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
6.2.3. La trampa de la inflacion
Considere una economıa descrita por:
y = y + θ(π − πe) (6.6)L = π2 + λ(y − y − κ)2 κ > 0 (6.7)
Donde (6.6) corresponde a la curva de Phillips y (6.7) a la funcion de perdida de la autoridad.
1. Encuentre la inflacion y producto de equilibrio y llamelos πq e yq respectivamente. ¿Es la autoridadconsistente dinamicamente?. Justifique.
Respuesta:
Sabemos que la autoridad minimiza su funcion de perdida sujeto a la curva de Philips
mın L := π2 + λ(y − y − κ)2
s.a. y = y + θ(π − πe)
De lo cual obtenemos la siguiente condicion de primer orden:
λθ(θ(π − πe) − κ) + π = 0
π =λθ2
1 + λθ2πe +
λθκ
1 + λθ2
Luego, como no existen elementos que anadan incertidumbre y asumiendo expectativas racionales,π = πe con lo que obtenemos:
πq = λθκ
Por otro lado, sabemos queyq = y
La autoridad es inconsistente dinamicamente debido a que a pesar de que obtiene una perdida menorpor obtener una inflacion igual a cero y un producto igual al potencial, una vez estando ahı, tienetodos los incentivos para minimizar su perdida aumentando un poco la inflacion y el producto. Loanterior no serıa cierto si κ = 0.
En adelante suponga que la autoridad estara en el cargo hasta el infinito y que su tasa de descuentoes igual a ρ. Asuma , por otro lado, que los agentes fijan expectativas de la siguiente manera:
πet =
0 si πt−1 = 0
πq si πt−1 > 0
(6.8)
Donde πq corresponde a la inflacion encontrada en la parte (a.).
2. Si esta economıa se encuentra en el equilibrio con inflacion, es decir π = πq, y sin olvidar que paradisminuirla es necesario un perıodo de recesion, ¿que condicion debe cumplir ρ para que la autoridadtenga incentivos para implementar un programa desinflacionario1?. Llame a esta tasa ρb.
Respuesta:Primero que todo, debemos considerar las consecuencias en la perdida de la autoridad en ambosescenarios, es decir debemos comparar los valores presentes netos de ambas situaciones.
1Es decir pasar de π = πq a π = 0
223
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
i) Si no se realiza el programa desinflacionario implica la siguiente perdida:
∞∑t=0
(λκ2 + θ2λ2κ2)(1 + ρ)t
=λκ2(1 + λθ2)(1 + ρ)
ρ
ii) Si se realiza el programa implica que se tendra una inflacion efectiva igual a cero, pero lasespectativas de los agentes no cambian si no hasta el proximo periodo, por lo que en el primerperiodo πe = πq. De lo anterior se concluye que el producto en el primer periodo es igua a
y = y − θ(λθκ)
Por lo que el valor presente neto de la perdida de la autoridad queda
λ(−θ(λθκ) − κ)2 +∞∑
t=1
λκ2
(1 + ρ)t= λκ2(1 + λθ2) +
λκ2
ρ
Comparando ambos escenarios, y tomando en cuenta que se pide encontrar las condiciones de ρ paraque existan incentivos para ejecutar un programa desinflacionario, tenemos:
λκ2(1 + λθ2)(1 + ρ)ρ
> λκ2(1 + λθ2) +λκ2
ρ
=⇒ ρb <1
1 + λθ2
3. Por otro lado, si se encuentra en el equilibrio sin inflacion (π = 0), ¿que condicion debe cumplir ρpara que la autoridad no tenga incentivos a desviarse?. Llame a esta tasa ρa.
Respuesta:
Analogamente al caso anterior, tenemos dos escenarios: desviarse y no desviarse.
i) Si la autoridad se desvıa, en el primer periodo se obtendra
π =λθκ
1 + λθ2
y = y +λθ2κ
1 + λθ2
Luego, desde el segundo periodo en adelante se obtiene el equilibrio inflacionario, por lo que laperdida descontada neta queda:
(λθκ
1 + λθ2
)2
+ λ
(y +
λθ2κ
1 + λθ2− y − κ
)2 ∞∑t=1
λκ2(1 + λθ2)(1 + ρ)t
= λκ2 λθ2
(1 + λθ2)2+ λκ2
(λθ2
1 + λθ2− 1)2
+λκ2(1 + λθ2)
ρ
ii) Si la autoridad no se desvıa obtenemos que la perdida descontada sera:
∞∑t=0
λκ2
(1 + ρ)t=
(1 + ρ)λκ2
ρ
224
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
Comparando los resultados anteriores e imponiendo la desigualdad que incentiva a la autoridad a nodesviarse obtenemos:
(1 + ρ)λκ2
ρ< λκ2 λθ2
(1 + λθ2)2+ λκ2
(λθ2
1 + λθ2− 1)2
+λκ2(1 + λθ2)
ρ
ρa < (1 + λθ2)
4. ¿Que sucedera si la tasa de descuento cumple con ρ < ρa y con ρ > ρb?
Respuesta:
Es claro ver que si el escenario inicial es el inflacionario, esta economıa se encuentra en una trampa deinflacion, dado que no existen incentivos a salir de ella. Por otro lado, si la economıa se encuentra enel equilibrio sin inflacion, basta con un pequeno desanclaje de las expectativas para llegar al equilibrioinflacionario y por consecuencia una caida en la trampa.
6.2.4. Contratos para Bancos Centrales
Suponga una economıa descrita por la curva de Phillips en la ecuacion (6.9) y un banco central con laspreferencias dadas por la ecuacion (6.10):
y = y + α (π − πe) + ε (6.9)
Ω ≡ φ(y − y∗)
2
2
+ µπ2
2(6.10)
Donde y∗ > y. Suponga que la autoridad puede escoger el nivel de la inflacion y el producto, pero lainflacion esperada es determinada por agentes racionales.
1. Encuentre la inflacion de equilibrio en el caso que el banco central fija una meta de inflacion deπe
M = 0. ¿Por que no se logra la meta?
Respuesta:
mın(π,y)
L = φ(y − y∗)
2
2
+µ
2π2 + λ [y − y − α(π − πe) − ε]
∂L∂y
= φ(y − y∗) + λ = 0
∂L∂π
= µπ − αλ = 0
⇒ −αφµ
(y − y∗) = π (6.11)
Los agentes de la economıa son racionales y conocen las preferencias del BC por lo que usaran estainformacion sobre las CPO del BC al derivar sus propias expectativas de πe.
y = y + α(π − πe) + ε (6.12)
y∗ − µ
αφπ = y + απ − απe + ε (6.13)
π
[α2φ+ µ
αφ
]= y∗ − y + απe − ε (6.14)
π =αφ (y∗ − y − ε) + α2φπe
α2φ+ µ(6.15)
225
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
Tomando esperanzas de expresion podemos encontrar las expectativas de inflacion de los agentes.
πe =αφ
µ(y∗ − y) (6.16)
Reemplazando en la ecuacion (6.15), nos da la inflacion de equilibrio:
π =αφ
µ(y∗ − y) − αφ
α2φ+ µε (6.17)
Vemos que existira un sesgo inficionarlo producto a que el banco central busque aumentar el productomas aya de y. Dado que el banco no puede creıblemente comprometerse a su meta de cero inflacion,los agentes anticipan su comportamiento discrecional generando un sesgo inflacionario.
2. Explique en que caso podrıa el banco central lograr el cumplimiento de la meta.
Respuesta:Si no busca empujar el producto por sobre y.
3. Suponga ahora que el estado presenta a los funcionarios del banco central un contrato que estipulasu remuneracion en una funcion lineal de la inflacion (¡su objetivo!) de la siguiente manera:
V = t0 + t1π (6.18)
Donde el monto fijo t0 representa el costo de oportunidad de los distinguidos funcionarios del bancocentral. (trabajos en Wall Street, de profesores etc.)
Suponiendo que ahora la utilidad de los banqueros centrales se puede representar por su ingreso menossu funcion de perdida:
U = V − Ω (6.19)
Encuentre el valor de t1 que lleve a la economıa a π = 0.
Respuesta:En efecto es el mismo problema pero se puede ahora alterar los incentivos del BC a traves del contratocontingente.
mın(π,y)
L = −t0 − t1π + φ(y − y∗)
2
2
+µ
2π2 + λ [y − y − α(π − πe) − ε]
∂L∂y
= φ(y − y∗) + λ = 0
∂L∂π
= −t1 + µπ − αλ = 0
⇒ −αφµ
(y − y∗) +t1µ
= π (6.20)
y = y∗ − µ
αφπ +
1αφ
t1 = y + απ − απe + ε (6.21)
π
[α2φ+ µ
αφ
]= y∗ − y + απe − ε+
t1αφ
(6.22)
π =αφ(y∗ − y − ε+ t1
αφ
)+ α2φπe
α2φ+ µ(6.23)
226
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
πe =αφ
µ(y∗ − y +
t1αφ
) (6.24)
Reemplazando en la ecuacion (6.23), nos da la inflacion de equilibrio:
π =αφ
µ(y∗ − y) +
t1µ
− αφ
α2φ+ µε (6.25)
Con lo que para lograr π = 0 en valor esperado, se requiere que t∗1 = −αφ(y∗ − y)
4. Explique como cambia la respuesta optima frente a un shock e al existir el contrato optimo t∗0, t∗1.
Respuesta:Dado que la autoridad no observa el shock porque, bueno, es un shock, vemos que el contrato optimono cambia. De hecho, la situacion con respecto al caso sin contrato no cambia! El sesgo inflacionarioproducto del problema de inconsistencia dinamica no depende el shock ε por lo que la estructurade incentivos solo tienen elevar el costo marginal de la inflacion en un monto fijo e igual al sesgoinflacionario para logra π = 0
6.2.5. Inconsistencia temporal y polıtica monetaria
Suponga una economıa que puede ser caracterizada por las siguientes tres ecuaciones:
π = πe + ay + ε (6.26)y = −br + u (6.27)
∆m− π = −di+ y + v (6.28)
La tasa de interes real esta denotada por r y la tasa nominal por i, donde i = r+πe. La autoridad monetariaimplementa su polıtica eligiendo el nivel de i para minimizar el valor esperado de la funcion de perdidadada por,
P =12[λ(y − y∗)2 + π2
](6.29)
donde y∗ denota el producto potencial de la economıa. Suponga que la autoridad monetaria tiene proyec-ciones de los shocks (tiene mejor informacion que el publico) y que los agentes deben formar sus expectativasantes de que se anuncie la polıtica sobre i y sin informacion de los shocks.
1. Interprete cada una de las ecuaciones de este modelo.
Respuesta:
La ecuacion (6.26) es una Oferta agregada que ha sido escrita en forma de una curva de Phillips (ex-pectations augmented). La ecuacion (6.27) ecuacion es una sencilla forma para la curva IS o demandaagregada. Finalmente, (6.28) es la ecuacion de demanda por dinero, en la cual ∆m representa la ofertapor saldos monetarios, y donde se ha supuesto, como es habitual, que la demanda por dinero guardauna relacion negativa con la tasa de interes, y un dependencia positiva respecto al nivel de producto.La ecuacion (6.29) es corresponde a una funcion de perdida del Banco Central en la cual se buscaminimizar los desvios respecto al producto potencial y la inflacion meta que en esta caso es cero. Lapreferencia entre los desvios esta determinado por λ.
2. Suponga que la autoridad se compromete a una polıtica anunciada del tipo,
Respuesta:
227
6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
En la ecuacion de la IS vemos como se afecta la demanda respecto a la tasa de interes real. Reem-plazando en esta su composicion (r = i − πe) e igualando con la oferta agregada para obtener elequilibrio tenemos que,
y = −b(i− πe) + u
DDA = OF ⇒ π = (1 + ab)πe − abi+ au+ e
Tomando esperanza a ambos lados de esta expresion, condicional a la informacion que maneja elpublico tenemos que,
πe = (1 + ab)πe − abie
y simplificando llegamos a que,
πe = ie
de esta forma obtenemos una expresion para la inflacion del periodo que sera:
π = (1 + ab)ie − abi+ au+ e.
La funcion objetivo de polıtica que tiene el Banco Central, expresada en terminos de su instrumentose vuelve,
Bajo la polıtica de compromiso, la autoridad monetaria sigue una polıtica de la forma i = c0 +c1ε
f + c2uf + c3v
f , donde la f denota en cada caso el forecast que tiene para cada shock la autoridadmonetaria. Bajo esta regla, ie = c0, lo que al ser substituido en 6.30 nos da que,
P =12E[λ(−b(c1εf + c2u
f + c3vf ) + u− y∗)2 +
(c0 − ab(c1εf + c2u
f + c3vf ) + au+ e
)2](6.31)
Debemos recordar que el objetivo del Banco Central es minimizar esta funcion de perdida, lo que sehace eligiendo los valores de los parametros ci previo a que se observen los shocks o que se tenga unaidea (forecast) de la magnitud de estos. Entonces, para minimizar el impacto de los shocks debemosobtener la condicion de primer orden respecto a cada parametro:
donde hemos usando para las tres ultimas ecuaciones el hecho de que c0 = 0, lo cual sale de la primeracondicion. Si suponemos que los shocks no estan correlacionados, las ecuaciones anteriores pueden serexpresadas como,
CPO(c1) ⇒ = c1(λ+ a2)b2σfε − abσf
ε = 0CPO(c2) ⇒ = c2(λ+ a2)b2σf
u − (λ + a2)bσfu = 0.
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6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
Por facilidad asumiremos que los shocks en ambos casos distribuyen N (0, 1). Haciendo uso de esteultimo supuesto, y despejando las ecuaciones anteriores en funcion de los parametros de la reglaanunciada, tenemos que
c0 = 0, c1 =a
(λ+ a2)b, c2 =
1b, c3 = 0
Bajo los supuestos utilizados, note que dado que c0 = 0, la tasa no tiene un valor constante inde-pendiente de los shocks, y que al ser c3 = 0 se nos esta diciendo que la polıtica optima no debierareaccionar a los shocks de demanda de dinero.
Al introducir estos valores en la funcion de perdida, vemos que el compromiso o regla de polıticaoptima es
i∗c =1buf +
a
(λ+ a2)bεf (6.32)
regla que tiene distintas ponderaciones para los shocks de oferta y de demanda agregada, y en la quese debe destacar la inexistencia de reaccion ante los shocks de demanda monetaria2.
3. Derive en el caso de discrecion en la polıtica de la autoridad monetaria, el equilibrio consistentetemporalmente. ¿Como se compara la tasa de interes al caso con compromiso? ¿Que puede decir dela tasa de inflacion promedio?
Respuesta:
Para resolver el caso en que la autoridad monetaria opera discrecionalmente debemos suponer que estetrata las expectativas del publico como dadas al momento en que este elige el nivel de i necesario paraminimizar el valor esperado de la funcion de perdida, en la cual se deben considerar las expectativasde los shocks. Esto se hace tomando esperanza condicional a la funcion 6.30. La condicion de primerorden para la eleccion de i bajo una polıtica discrecional es,
y tomando expectativas en base a la informacion que posee el publico,
ie =λy∗
a.
De esta manera (6.33) se vuelve,
i∗d =λy∗
a+
1buf +
a
(λ+ a2)bεf (6.34)
Si comparamos la expresion que hemos obtenido para la polıtica discrecional del Banco Central(ecuacion 6.34) con la regla optima bajo una regla o compromiso (ecuacion 6.32) podemos ver que laparte derecha de la ultima expresion es igual al comportamiento bajo compromiso. Esto nos indicaque en ambos casos se reacciona de igual manera a los shocks de oferta y demanda. La diferenciaradica en que la tasa de interes bajo discrecion es sistematicamente mayor a la que se obtendrıa bajo
2El subındice c indica que esta es la regla correspondiente a compromiso.
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6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA Macroeconomıa I - Primavera 2008
un compromiso. Esto nos indica que la tasa de inflacion, que en este caso es igual a la tasa de interesesperada, es igual a
