Manual 2012-II Matemática I (0143)

Matemática I

2

CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC

MATEMÁTICA I 3

CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES

Índice

Página

Presentación 5

Red de contenidos 6

Unidad de aprendizaje 1

1.1 Tema 1 : LOGICA PROPOSICIONAL

1.1.1 Lógica proposicional 9

1.1.2 Clases de proposiciones 10

1.1.3 Operadores lógicos 13

1.1.4 Jerarquía de los conectivos lógicos 24

1.1.5 Proposiciones equivalentes 27

1.2 Tema 2 : CONJUNTOS

1.2.1 Determinación de conjuntos 37

1.2.2 Relación entre conjuntos 39

1.2.3 Conjuntos numéricos 41

1.2.4 Intervalos 42

1.2.5 Conjuntos especiales 43

1.2.6 Operaciones con conjuntos 47


2.1 Tema 3 : MAGNITUDES PROPORCIONALES

2.1.1 Razones y regla de tres 63

2.2 Tema 4 : TANTO POR CIENTO

2.2.1 : Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades 66

2.2.2 : Descuentos y aumentos sucesivos 67

2.2.3 : Precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y

ganancia

71


3.1 Tema 5 : TEORÍA DE EXPONENTES

3.1.1 : Potenciación 78

3.1.2 : Radicación 81

3.2 Tema 6 : PRODUCTOS NOTABLES

3.2.1 : Productos notables 90

3.2.2

:

Racionalización

Casos de racionalización

96

4


3.3. Tema 7 :

FACTORIZACIÓN

Casos de factorización

100


4.1 Tema 8 : ECUACIONES

4.1.1 : Ecuaciones lineales 108

4.1.2

4.1.2

:

:

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Ecuaciones de segundo grado

112

119

UNIDAD DE APRENDIZAJE 5

5.1 Tema 9 : INECUACIONES

5.1.1 : Inecuaciones lineales 125

5.1.2 : Inecuaciones racionales 128

5.1.3

5.1.4

: Inecuaciones cuadráticas

Inecuaciones con factor elevado a exponente para e impar-

inecuaciones de orden superior

130

136

MATEMÁTICA I 5


PRESENTACIÓN

Matemática I pertenece a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la

Escuela de Gestión y Negocios de la institución. Todo aquel que se dedique a los

negocios necesita contar con ciertas herramientas que le permita efectuar cálculos

con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende que el estudiante

maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los procesos aritméticos y

algebraicos resolviendo problemas aplicativos, además de ecuaciones e inecuaciones

de modelos matemáticos que les permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio

en la resolución de problemas asociados al área de gestión y negocios.

El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de

aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de

ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema

tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben

desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que

deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la

clase.

El curso es teórico–práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la

teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como

modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía.

La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien

demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la

solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo,

con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de

desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o

exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está

desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de

asistir a las evaluaciones calificadas.

6


MATEMATICA I

Magnitudes

proporcionales

Fundamentos

De conjuntos

Fundamentos de

Algebra básicaMatrices

Regla de 3

PorcentajesPrecio de compra

Venta y ganancia

Operaciones y

Cardinalidad

Potenciación

Y RadicaciónFactorización y

Racionalización

Ecuaciones

De 1 y 2 variables

Inecuaciones

De orden

superior

Matrices,

determinantes y

operaciones

RED DE CONTENIDOS

MATEMÁTICA I 7


8


FUNDAMENTOS DE LÓGICA Y CONJUNTOS LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la segunda semana, el alumno, elabora el valor de verdad y simplifica los esquemas moleculares a partir de otro haciendo uso de las tablas de verdad de los operadores lógicos y de las leyes del álgebra proposicional.

TEMARIO

Enunciado y proposición.

Proposiciones simples y compuestas.

Operadores lógicos más utilizados en computación

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Discusión general acerca de lo que es enunciado y proposición.

Exposición dialogada.

Trabajo de grupos.

Como actividad para la casa, se propone desarrollar los ejercicios pendientes del manual.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1

TEMA

1

MATEMÁTICA I 9


LÓGICA PROPOSICIONAL Definición Clásica

Es una disciplina formal que tiene por objeto el análisis de la condición de los razonamientos, por lo que se comienza eliminando las ambigüedades del lenguaje ordinario. Se introducen símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias y aporte claridad y economía de pensamiento.

Conceptos básicos:

Enunciado: Es toda frase, oración o sentencia que usamos en nuestro lenguaje. Ejemplo:

1) La matemática es base de todas las ciencias. 2) ¿Aprobaremos el curso de Lenguaje de Programación? 3) ¡Arriba Perú! 4) El Perú es grande. 5) Te visitaré mañana. 6) X es un número par. 7) José estudia y canta. 8) 4x + 5 = 6 9) 2x + 5 < 8

NOTA: Todas las preguntas, las admiraciones y las órdenes, son “simplemente enunciados” no sufren ninguna transformación o modificación. Enunciado Abierto.- Es aquel enunciado o ecuación con una o más variables, en el cual no se conocen los valores específicos de las variables. Estos enunciados pueden ser modificados a “proposición”(asignándole cualquier valor a la(s) variable(s). Ejemplo:

1) Algunos alumnos del Primer ciclo son más hábiles en álgebra: 2) 3x + y = 10 x = ?, y = ? 3) x + 5 > 20 x = ? 4) Ella está estudiando “No se conoce quién es ella”

Proposición.- Es todo enunciado, al cual se le puede asignar un valor de verdadero o falso; pero nunca ambos a la vez. Ejemplo:

1) Ramón Castilla fue presidente del Perú ( v ) 2) El Perú produce plata ( v ) 3) 4 x 2 = 8 ( v ) 4) 5 < 0 ( f ) 5) Todo hombre es mortal ( v )

10


Notación.- Las proposiciones se denotan con las letras minúsculas como p, q, r, s, t,...etc. Ejemplo: 1) p: El Perú es hermoso v (p) = v

q: 2 + 6 8 v (q) = f r: 6 +1 < 5 + 10 v (r) = v

Ejercicios Propuestos

1. Indique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones o simplemente enunciados.

a) Todo hombre es mortal

b) ¿Cuántos años tienes?

c) ¡Apúrate !

d) 18 es un número primo.

2) Escriba cuatro ejemplos de

enunciados abiertos.

a) ….

b) ….

c) ….

d) ……

3) ¿Cuál es la diferencia entre simplemente enunciado y enunciado abierto?

4) ¿Cuál es la diferencia entre una

proposición y un enunciado abierto?

MATEMÁTICA I 11


CLASES DE PROPOSICIONES a) Simples.- Llamadas también atómicas o elementales. Son aquellas que tienen

un solo sujeto y un solo predicado. No llevan conectivo lógico.

Ejemplo: 1) Cibertec es un Instituto líder en enseñanza. 2) Electrónica es una especialidad. 3) La pizarra es verde. 4) Los animales mueren.

b) Compuestas.- Llamadas también moleculares o coligativas. Son aquellas que

están constituidas por dos o más proposiciones simples, las cuales son enlazadas por algún conectivo lógico.

Ejemplo: 1) César Vallejo nació en Perú y es poeta. 2) Alberto es técnico electrónico y practica deportes. 3) Si el cielo está despejado, entonces se ve celeste. 4) El sol es grande y emite luz.

Además, existen enunciados que no son proposicionales como por ejemplo: Exclamativos : Socorro

Interrogativo : ¿Hasta qué hora dura la clase?

Imperativo : Fuera

Admiración : ¡Oh!

Conectivos Lógicos.- Son aquellos símbolos que usamos para enlazar dos o más proposiciones simples. Son los siguientes:

: que se lee “y”

: que se lee “o”

, : que se lee “o” pero no ambas

: que se lee “si ... entonces...”

: que se lee “si y sólo si”

12


Ejercicios propuestos

Simboliza los siguientes párrafos :

a) Dos tiene sólo dos divisores entonces es primo, además es par.

b) No es cierto que 5 es un número

primo o cuatro no es un número cuadrado perfecto.

c) No es cierto que 6 es un cubo

perfecto, y que 13 sea un número par.

d) 9 es un impar y si 6 tiene más de

2 divisores, entonces es un número compuesto.

2) Escribe la forma correcta de leer las siguientes proposiciones. Sea p: 2 es primo ; q: 3 es impar

:~)

:~)

:~)

:~)

qpd

qpc

qpb

qpa

3. Escriba tres ejemplos de proposiciones simples y tres proposiciones compuesta

5) Escribe el significado de los siguientes conectivos:

: ...................................................

: ....................................................

: ....................................................

: ....................................................

: ....................................................

: .....................................................

MATEMÁTICA I 13


OPERADORES LÓGICOS

Negación de una proposición.- Negar una proposición consiste en cambiar el valor de verdad que tenía antes. Es el conectivo lógico que se usa para negar el valor de verdad de una proposición

cualquiera. Simbólicamente se le denota por: ~p

Ejemplos: 1) p: Las rosas no son rojas

~p: Las rosas son rojas 2) q: 7 es mayor que 5 o q: 7 > 5 V(q) = V

~q: 7 no es mayor que 5 ~q: 7 5 V(~q) = F

Conjunción Definición Es el conectivo lógico que se usa para afirmar simultáneamente la veracidad de dos oraciones componentes. Se le denota por:

Lógica clásica

P q

Ejemplo: Sean p: 4 es divisor de 20 V(p) = V q: 20 es múltiplo de 5 V(p) = V

p q = p y q

= 4 es divisor de 20 y 20 es múltiplo de 5. V(p q) = V

Tabla de verdad # de combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples es:

#c = 2n, donde n = # de proposiciones simples.

Su tabla de verdad es:

Lógica Clásica

Lógica Clásica

P ~p

V F

F V

14


p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción Inclusiva

Definición

La llamada disyunción inclusiva o disyunción débil es un conectivo lógico que se usa para afirmar que, por lo menos una de las oraciones componentes, es verdadera. Se le denota por:

Lógica clásica

p v q

Ejemplo:

P : 8 es menor que 5 V(p) = F

q : 6 es mayor que 3 V(q) = V

p v q: 8 es mayor que 5 ó 6 es mayor que 3 V(p v q) = V


Lógica Clásica

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Condicional

Definición

Es una proposición recíproca, implicación u oración condicional. Una proposición

MATEMÁTICA I 15


condicional es falsa, cuando la proposición como antecedente es verdadera y la proposición como consecuente es falsa. En cualquier otro caso es verdadero. Se le denota por:

Lógica clásica

p q

Ejemplo:

1) Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Nueva York

Si p = Patricia consigue visa de turista

q = Patricia viajará a Nueva York

Entonces la proposición se simboliza por:

p q

2) Si los hombres son inmortales, entonces la luna brilla.

Si p = Los hombres son inmortales V(p) = F

q = La luna brilla V(q) = F

Luego se simboliza: V ( p q) = V

3) Explique por qué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados.

a) 2 + 3 = 8 5 < 6 (V) b) 3 – 1 = 42 29 <2 (V) c) Si 5 es primo, entonces es un número par (F)

Nota: Una implicación puede transformarse en una disyunción, así: p q ~ p v q


16


Lógica Clásica

p q P q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional

Definición

Es el conectivo lógico que se lee “....si y sólo si......”.

En general una oración bicondicional es llamada también “equivalencia material” que se usa para afirmar los casos en que p = q en valores de verdad. Se le denota por:

Lógica Clásica

p q

Ejemplo:

p: 2 > 4 V(p) = F

q: 2 + 6 > 4 + 6 V(q) = F

p q: 2< 4 si y solamente si 2 + 6 < 4 + 6 V(p q) = V

También se lee como:

“p si y solamente si q”

“p es una condición suficiente y necesaria para q”

Nota.- La diferencia que existe entre p q y p = q, está en que una bicondicional es una proposición, pero p = q es una declaración acerca de dos proposiciones más no es una proposición.

MATEMÁTICA I 17



Lógica Clásica

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Disyunción Exclusiva

Definición

Es llamada disyunción excluyente o disyunción fuerte. Este conectivo lógico se usa para afirmar que sólo una de las oraciones componentes es verdadera. Además la disyunción excluyente es la negación de una bicondicional.

Se le denota por:

Lógica clásica

p q

Ejemplo:

p: 3 < 5 V(p) = V

q: 2*3 < 2*5 V(q) = V

p q: 3 < 5 2*3 < 2*5 V(pq) = F


p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplos:

18


1) Sean p, q y r proposiciones tales que p = V, q = F y r = F. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

zywpd

b

xrqpa

t~q~)

pq~qp~q~p~qpc)

t)(qp~)

)()

Solución

a)

b)

c)

d)

MATEMÁTICA I 19


2) Sean p , q , r, s proposiciones tales que . Indica ¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?

q~)

wqr~b)

)s~q~()q~p~()

qpqpc

srq

a

Solución:

a)

b)

c)

20



1) Si se cumple: Fsq;Fsp;Vrqp

Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

rsqp)cqpr)bsp)a

R: a) V b) V c) V

2) Si Ftpssqpqrp ~

Halle el valor de: qppuqrqp ~~

R: ( V )

3) Si la negación de la siguiente proposición es verdadera:

qprpsqs ~~

Halle el valor de verdad de: spmrqp

R: ( F )

4) Si: FnpmΔmqpqrp

Determina el valor de verdad de: nmrprqp

R: ( V )

MATEMÁTICA I 21


5) Si la negación de la proposición: qqprp ~~~ es

verdadera, determine el valor de: rpqpsr ~~

R: ( F )

6) Si la proposición: Fptrqp

Determine el valor de : qtpqrtp ~

R: ( V )

7) Si la proposición Vprsqrqs ~~~

Halle el valor de : ptqxrs ~~~~

R: ( V )

22


Resumen

Un enunciado es cualquier expresión. La proposición es un enunciado que puede ser Verdad o Falsa. Operadores Lógicos:

p ~p

V F

F V

p q qp qp qp qp qp

V V V F V V V

V F V V F F F

F V V V F V F

F F F F F V V

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas. http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

Aquí encontrará toda la información relativa a la lógica.

http://www.guiamath.net/ En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

http://www.guiamath.net/

MATEMÁTICA I 23


JERARQUÍA DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS

Si en una proposición compuesta no aparecen los signos de agrupación como:

paréntesis, llaves, corchetes, etc., los conectivos lógicos: “~”, “”, “” tienen igual

jerarquía, y , tienen mayor jerarquía, avanzando de izquierda a derecha.

Tablas de verdad

La verdad o falsedad de una proposición se denomina validez (o su valor de verdad). La validez de la negación, de la conjunción, de la disyunción, de la condicional y de la bicondicional se pueden representar en tablas.

En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidos, el valor de verdad de una proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones componentes y se determina mediante TABLAS DE VERDAD.

Tautología, Contradicción y Contingencia

Tautología.- Es toda proposición simple o compuesta cuyo valor de verdad es siempre verdadero, para cualquier combinación de valores veritativas de sus componentes.

Contradicción.- Es toda proposición que tiene como valor de verdad siempre falsa para cualquier combinación de sus valores veritativas de sus componentes.

Contingencia.- Cuando la tabla de una proposición tiene al menos una V y una F.

Ejemplos:

1) La proposición: [(~p v q) ~q] ~p es una tautología.

p q [(~p v q) ~q] ~p

V V F V F T = tautología = V

V F F V F

F V F V V

F F V V V

24


T

2) La proposición: [(p q) q] ~q es una contradicción.

p q [(p q) v q] ~q

V V V F F C = contradicción = F

V F F F V

F V V F F

F F F F V

C

La proposición: (~p ~q) v ~q es una contingencia.

p q (~p ~q) v ~q]

V V F F F

V F F V V

F V F F F

F F V V V

Contingente

MATEMÁTICA I 25



1) Por medio de Tabla, determine si los siguientes esquemas moleculares representa una Tautología, Contradicción o Contingencia

rpqrqpa ~~~~)

R: ( T )

pqpb )

R: ( C )

rqprqpc ~)

R: ( C )

rprqqpd )

R: ( T )

26


2) Si la siguiente proposición: .~~ Falsaesmpqp

Indique si las siguientes proposiciones representan una Tautología, Contradicción o Contingencia.

mrpa )

R: ( T )

mrpqb )

R: ( C )

nrnrmc )

R: ( T )

nsmqd ~)

R: ( C )

MATEMÁTICA I 27


PROPOSICIONES EQUIVALENTES

Proposiciones Lógicamente Equivalentes

Dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si al ser unidas con el

conectivo resulta una tautología; es decir, sus tablas de verdad son idénticas.

La equivalencia se denota por “”. Se llama también proposiciones equivalentes. Se lee “ P es equivalente a Q” o “Q es equivalente a P”.

Ejemplo: las proposiciones (p q) y [(~q) ~p] son equivalentes.

p q (p q) [~q ~p]

V V V F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Idénticas

Inténtelo usted ahora, resolviendo el siguiente ejemplo.

¿La proposición rqqp es equivalente a cuál de las siguientes

proposiciones? ( Use Tablas )

a) qrpp

R: ( si es )

b) qrpqp

R: ( Si es )

28


GUÍA DE EJERCICIOS TEMA: Lógica clásica EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Si la proposición ~(~r v s) [(p q) r] F

Halla el valor de:

q ~p~s ~r~~)

q ~s~)

s~p r~)

sqc

srqb

qa

Solución

MATEMÁTICA I 29


2) Si se sabe que:

Fpq

Fsr

Vps

Determina el valor de verdad de:

rqprs~p)b

psqr~)a

Solución:

Valores veritativos:

s = V r = F q = V p = F

30


V

V

FF

F

FF

V

FVFF

FF

VV

VFVF

rqprpbpsa

s~)qr~)

EJERCICIOS PROPUESTOS

3) Si la negación de la siguiente fórmula lógica es verdadera:

sq ~ rpsp

Hallar el valor de verdad de:

s~qp~sr~

Solución:

R: ( V )

MATEMÁTICA I 31


4. Si se sabe que:

Fqp

Vrq

Fsr

Fts

Halla el valor de verdad de la siguiente proposición:

ntmspxrk

Solución:

La proposición es falsa.

32


5. Sean las proposiciones p , q, r, y s tales que:

Fessr

Vesps

Fesqp

Determina el valor de las siguientes proposiciones:

a) spxr ~

b) xqs )(

c) pw~ xpw

d) pqrsqp ~

Fq

FrVsVp

Luego:

a

MATEMÁTICA I 33


pqrsqp ~

Es verdadero (Tautología)

b

c

d

V F F F

? F V

F

V

V

V

34


Resumen

Tipos de proposiciones

1. Tautológica: significa Verdad. 2. Contradicción: significa Falso. 3. Contingencia: significa que no es Verdad ni Falso.

Proposiciones equivalentes.- dos proposiciones son equivalentes cuando sus

tablas de verdad sin idénticas. Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas. http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_03-Logica_Alg-

Proposiciones/0_algebra-proposiciones.html

Aquí encontrará ejercicios sobre álgebra de proposiciones.

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/ En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos.

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

MATEMÁTICA I 35


TEORÍA DE CONJUNTOS

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno, considerando las propiedades y teoremas de operaciones entre conjuntos, y resuelve problemas mediante los diagramas de Venn.

TEMARIO

Definición de conjunto:

Determinación de conjuntos: a) Por extensión b) Por comprensión

Relación de pertenencia y de inclusión


Los alumnos, en una exposición dialogada, discuten acerca de la definición de conjunto.

Desarrollarán los ejercicios propuestos en el manual sobre el uso de y .

Desarrollarán los ejercicios propuestos en el manual sobre conjuntos e intervalos.

Tema 3: Conjunto e intervalos

Conjuntos numéricos - Naturales - Enteros - Racionales - Irracionales - Reales - Complejos

Tipos de conjuntos - Conjunto vacío - Conjunto unitario - Conjuntos

comparables - Conjuntos disjuntos - Conjunto universal

Operaciones: - Unión - Intersección - Diferencia - Diferencia simétrica - Complemento

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1

TEMA 2

36


n (A) = 7

# de elementos

La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. La idea es algo puramente intuitivo, algo no definido; pero sí entendido por cada persona como resultado de su propia experiencia. Es por eso que al referirnos al concepto de conjunto, intuitivamente pensamos o lo identificamos como una agrupación o colección de cualquier tipo de identidades u objetos. Estos objetos se llaman elementos, entes o miembros de un conjunto.

NOTACIÓN

Generalmente, se denota a los conjuntos mediante letras mayúsculas o encerrando entre signos de colección. A aquellos objetos que forman parte del conjunto se les denomina elementos del conjunto. Ejemplo:

A = {a, b, 1, x, 2, , } A

a b

x 1

2

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Se le denota por el símbolo “”. Se usa cuando el elemento está referido respecto a un conjunto. Así, respecto al ejemplo anterior:

A

3 A

3.1 Determinación de conjuntos

Todo conjunto se determina de dos maneras:

Por extensión o forma tabular. Por comprensión o forma constructiva.

DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN

Dado un conjunto cualquiera A, diremos que está determinado por extensión si al expresarlo o escribirlo enumeramos todos los elementos explícitamente.

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

MATEMÁTICA I 37


B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN

Dado un conjunto cualquiera A, diremos que está determinado por comprensión si el conjunto A está dado mediante alguna propiedad única y común de sus elementos que los caracteriza.

Ejemplo: A = {Las vocales del alfabeto} B = {x/x es un día de la semana}

C = {xN / x 7} Ejercicios: Dado el siguiente conjunto A = {3, 5, 12, 24, 41, 63} que está definida por extensión,

transfórmelo a comprensión. Solución:

Como en la segunda diferencia sucesiva se encuentra el número constante, esto indica que el conjunto A lo define una ecuación de segundo grado. Así tenemos:

x = an2 + bn + c

Si n = 1 x = 3 a + b + c = 3 ….................(I)

Si n = 2 x = 5 4a + 2b + c = 5 …............(II)

Si n = 3 x = 12 9a +3b + c = 12 …............(III)

De (II) – (I) : 3a + b = 2 ….................. ()

De (III) – (II) : 5a + b = 7 …...................()

De () – () : 2a = 5

3 5 12 24 41 63

2 7 12 17 22

a b c

5

2

11

26; ;

38


3.2 Relación entre conjuntos

RELACIÓN DE INCLUSIÓN

Se dice que A está incluido o está contenido en B, si todo elemento de A es también elemento de B, denotándose por:

A B que se simboliza.

Por lo que decimos que A es un subconjunto de B, o que A es parte de B, o que

B contiene al conjunto A. El conjunto vacío ( ) es subconjunto de cualquier conjunto.

DEFINICIONES

Si A B, pero existe por lo menos un elemento de B que no pertenece al conjunto A, se dice que A es parte propia de B o A es subconjunto propio de B o que B contiene propiamente al conjunto A.

Ejemplo:

A = {6, 9, 12}

B = {5, 6, 9, 10, 12, 15}

A es un subconjunto propio de B.

RELACIÓN DE IGUALDAD

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, sin

importar el orden como se ubiquen, o la repetición de uno de ellos.

A = B A B B A

A x Z x n n n / , 5

2

11

2 6 6

2

A B x A Si x A x B ( : )

MATEMÁTICA I 39


Ejercicios propuestos para la clase

1) Dé 2 ejemplos de conjuntos determinados por comprensión

2) Determinar por comprensión los conjuntos mencionados en el problema 1

3) Determine por comprensión los siguientes conjuntos: A = { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } B = { 1, 4, 9, 16, 25, … , 100 }

4) Determine por extensión:

27,8,0,1

/)

4,3,2,1,0,1

2/)

4,3,1,0,2

4/)

3

2

nn

nnxxc

nn

nxxb

nn

nxxa

6) Si ;B,y,x,3,2A diga si es F o V c/u de las proposiciones siguientes:

)(,))(3))()

)())(2))()

AyxfAdAyb

ABeAcABa

3.3 Conjuntos numéricos e intervalos

40


No Z+ = N

O

Z-

Decimal Exacto: 1000

abcabc.0

Decimal puro: 999

abcabc.0

Decimal mixto: 0.abcde = 99900

ababcde

Propios: ,5,3,2 …....etc.

= 3, 141592654 …......

Trascendentales: e = 2, 718281828 …...... n = 6, 0235 x 1023

N = {números naturales}

N = {1, 2, 3, 4, 5, …....... + } Z = {números enteros}

Z = {-, …........, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…........+ } Q = {números racionales)

{x/x = m/n , m, n Z, n 0}

I = {números irracionales}

I = x/x tiene representación decimal no periódica}

R = {números reales}

R = {x/x es irracional o racional}

C = {números complejos} C = {x/x = a+ bi / a, b R} Donde: = i ; i2 = -1 ; i3 = = - i

11

MATEMÁTICA I 41


INTERVALOS

Son subconjuntos de los números reales (R) que sirven para expresar la solución de las inecuaciones. Estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.

TIPOS NOTACIÓN DESIGUALDAD GRÁFICA

Intervalos finitos

b;a bxa

a b

b;a

bxa

a b

b;a bxa

a b

Intervalos infinitos

;a x > a Complete…

;a

ax

b; x < b

; x

3.4 Conjunto especiales

a) Conjunto vacío.- Es aquel conjunto que se denota por = { } y cuya característica es que no tiene ningún elemento.

42


Ejemplo:

(i) = {los hombres son inmortales}

(ii) = {x R / x x}

a) Conjunto Unitario.- Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: A = {Satélite de la tierra}

013

1/ xxZxB

b) Conjunto Comparables.- Se dice que A y B son comparables si alguno de ellos está contenido en el otro. Es decir:

A B B A

c) Conjuntos Disjuntos.- Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes. Es decir:

Si x A x B Si x B x A

d) Conjunto Universal.- Es aquel conjunto que se denota por “U”, siendo aquél que contiene todos los elementos que están siendo considerados para un estudio en particular.

N = {Conjunto universal de los enteros positivos}

e) Conjunto Equivalentes.- Dos conjuntos A y B cualesquiera son equivalentes o coordinables si existe una correspondencia biunívoca (uno a otro) entre sus elementos, es decir, que ambos conjuntos tienen la misma característica, siendo

para algunos casos de elementos diferentes. Se le denota por: “”. Ejemplo:

Sea: A = {2,, x} B = {2, 7, 9}

Se observa que: A B, pero A B porque ambos conjuntos tienen tres elementos.

Ejercicios resueltos

1. Si los conjuntos {3a + b – 9, 4a} y {5a + 2b, 4} son unitarios, pruebe que {6a + b,

2b + 8a – 3} también es unitario:

MATEMÁTICA I 43


Resolución: Si son conjuntos unitarios se cumple:

Entonces: {6a + b, 2b + 8a – 3} {6(-2) + 7, 2(7) + 8(-2) –3} = {-5, -5} = {-5}

2. Si A = {{0}, {$, #}, {*}, {@}, {a, b, 0}, B, e}

Indique si es falso o verdadero. Justifique su respuesta en las siguientes expresiones: a) A es una familia de conjuntos.

Falso, porque “e” es un elemento simple de A.

b) {0} A

Verdadero, porque {0} A.

c) {0} {*}

Verdadero, porque ambos conjuntos son unitarios.

d) {{$, #}, {e}, B} A

{$, #} A verdadero

B A verdadero Luego, es verdadero.

{e} A falso

e) {{a, b, 0}, B, {e}} {{0}, {a, b, 0}, B, {e}}

Verdadero, porque es una partición del otro.

3 9 4 9 2 2 18

5 2

7

4

14

2

2 9 7

a b a a b a b

a b

a

a

b b

44



1) Si:

4x2/NxB

4x1/ZxA

0

Determine por extensión. ¿Son iguales, equivalentes, disjuntos? ¿Por qué?

2) Qué conjuntos representan: unitario, vacío, universal. Explique.

,,,D

RxC

0xx/NxB

6x4/QxA

2

3) Determine el conjunto T por extensión, s i :

03254/ 22 xxxxZxT

4) Si: 8;7;6;7;6R ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

a) R6 f) R7

b) R7 g) R9

c) R6 h) R7

d) R7;6 i) R8;7

e) R8 j) R

MATEMÁTICA I 45


Problemas propuestos para la casa

1) Si: 02/ 2 xxZxI Determine: In

2) Si: 0144/ 23 xxxRxN Determine: Nn

3) Si: ZxxxS ;95/32 Determine: Sn

4) Determine por extensión el conjunto :

85

132/

xNxI

5) Determine por comprensión el conjunto: 100;...;20;16;12;8;4T

6) Determine por comprensión el conjunto: 58;...;18;14;10;6;2B

7) Dado NnnnT ;61/12 2 determínelo por extensión

8) Determine la suma de elementos del conjunto: NaaaI ;31/52 3

9) Dados los conjuntos: 046/ 2 xxxZxO

31/ xNxR Calcule: RnOn

10) Se tienen los conjuntos unitarios:

13;12 aaA 8;3 yxyxB

Determine el máximo valor de yxa .

Respuestas :

10 ) 6

Tema 4: CONJUNTOS. OPERACIONES

46


4.1 Operaciones con conjuntos

a) UNIÓN O REUNIÓN

Es el conjunto formado por todos los elementos de A y por todos los elementos de B. Si hubiera algún elemento común en A y B, lo representamos una sola vez.

Se denota A B, el cual se define así:

AB = {x/x A v x B}

Ejemplo:

1) Sea:

Halla: A B Resolución: De A: x2 –5x + 6 = 0

Luego : A = {2, 3}

A x Z x x / 2 5 6 0

x

x

x x

x x

v

x x

3

2

3 2 0

3 0 3

2 0 2 ( )( )

MATEMÁTICA I 47


De B : x2 –8x + 15 = 0

Luego: B = {3, 5} A U B = {2, 3, 5}

b) INTERSECCIÓN

Sean los conjuntos A y B cualquiera, la intersección es el conjunto formado por

todos los elementos comunes a A y B. Se le denota por A B, el cual se define así:

BxAx/xBA

Propiedades de la Intersección

1. Uniforme : A B: Existe y es único

2. Conmutativa : A B = B A

3. Asociativa : (A B) C = A (B C)

4. Idempotencia : A A = A

5. Elemento neutro : A U = A

6. Definición de nulidad : A =

A A| =

Ejemplo

Sean:

Halla : A B

x

x

x x

x x

v

x x

-5

-3

5 3 0

5 0 5

3 0 3 ( )( )

A x N x x y

B x R x x

/

/

2

2

7 12 0

5 6

48


Solución: De A : x2 – 7x + 12 = 0 Luego: A ={3, 4} De B : x2 – 5x + 6 = 0 x -2 Luego: B = {2, 3]

Por tanto : A B = {3}

c) DIFERENCIA ENTRE LOS CONJUNTOS

Sean los conjuntos A y B cualesquiera, la diferencia entre estos dos conjuntos es todos los elementos que están en el primer conjunto, pero ninguna de ellas debe estar en el segundo conjunto.

A – B = BxyAx/x

Propiedades:

BBA)3

'BABA)2

ABBA)1

AC

x

x

x x

x x

v

x x

-3

-4

3 4 0

3 0 3

4 0 4 ( )( )

x

x x

x x

v

x x

-3

3 2 0

2 0 2

3 0 3 ( )( )

A B

A - B

Diagrama de Venn Euler

MATEMÁTICA I 49


d) DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )

BABABA

ABBABA

AxyBx/xBxyAx/xBA

Ejemplo:

A B

e) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto cualquiera, el conjunto “Complemento de A” involucra a todos los elementos del universo U que no pertenecen al conjunto A. Se le denota por: Ac, A’, el cual se define así:

Propiedades del Complemento de un conjunto 1. Uniforme: A’: Existe y es único

2. Ley de Complementación: A A’ = U

3. Propiedad de Nulidad: A A’ = 4. Ley de Involución: (A’)’ = A

5. Propiedad de Inclusión: Si A B B’ A’

6. Definición de Complemento: = U

U =

A B

Diagrama de Venn Euler

U

20,13,9,5,3

20,313,9,5

ABBABA

20,15,11,7,3,2B

15,13,11,9,7,5,2A

A x U x A /

50


Ejemplo:

Dados los conjuntos

Halle: CAB = A - B

Resolución

Ejercicio: Halle

A’ = B’ =


1) 7,9,1F;9,8,5,1E;8,1D;9,8,7,5,1CSean

Halle:

DFCEbDEFCa ))

U 4 3 2 2

5 0 65 8 , , , , . , ,

A x U x Q x R

B x U x R x Z

/

/

0.65,5

2BABC

84,B

80.65,,5

24,A

A

MATEMÁTICA I 51


2) Sean los siguientes conjuntos:

primoesxxxA ..;71/2 ZnnnB ;7;1/1

Determine cuántos elementos t iene BA

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

3) Sean

ACBnHalla

NC

ZB

NA

40,22

24,7

25,208,5

4) Si: edcbaU ;;;;

dcbaBA ;;; caBA ; bBA

Determine: BnAn

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

52



1) Se realiza una encuesta y en ésta se determina que: 78 prefieren escuchar música; 62 prefieren ver televisión. Si los encuestados son 100 y todos tienen preferencia. ¿Cuántas personas prefieren una sola cosa?

2) De 80 estudiantes, 52 llevan el curso de Matemática I, 46 llevan el curso de Administración y 12 alumnos no llevan estas asignaturas. ¿Cuántos estudiantes llevan 2 asignaturas?

3) En un avión viajan 120 personas i) 2/3 de ellas no beben ii) 4/5 de ellas no fuman iii) 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben? ¿Cuántas personas sólo beben?

5) Un determinado colegio tiene 38 jugadores de fútbol, 15 de básquet y 20 de vóley. Si el número total de jugadores es 58 y sólo 3 de ellos figuran en los tres deportes, se pregunta: ¿Cuántos jugadores figuran en exactamente un deporte? ¿Cuántos jugadores figuran en exactamente dos deportes?

MATEMÁTICA I 53


X Y6 5

mañanas tardes

llovió = 7

Ejercicios desarrollados 1. En la editorial LÁSER, laboran 40 personas de las cuales podemos decir que:

3 mujeres tienen 19 años. 20 mujeres no tienen 20 años. 25 mujeres no tienen 19 años. 8 varones no tienen 19 ni 20 años. 2 varones tienen 20 años. a. ¿Cuántas personas tienen 20 años? b. ¿Qué porcentaje del total representa los que tienen 19 años?

Solución:

a. 10 personas

b.

2. Un estudiante salió de vacaciones por n días y observó que en ese lapso:

- Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde. - Cuando llovía en la tarde estaba clara la mañana. - Hubo 5 tardes claras. - Hubo 6 mañanas claras. ¿Cuánto duró el período vacacional?

Solución:

Como el Nº de mañanas es igual al Nº de tardes, se cumple:

6 + x = y + 5 x – y = -1

4y

3x6x2

7yx:pero

12.5%x100%40

5

19 años 20 años

3

2 82

178 mujeres

varones

54


El período vacacional duró 6 + x = 6 + 3 = 9 días.

3. En una batalla campal, intervinieron 1200 hombres, de los cuales:

- 420 fueron heridos en la cabeza. - 430 fueron heridos en el brazo. - 320 fueron heridos en la pierna. - 80 fueron heridos en ambos miembros. - 50 fueron heridos en la cabeza y el brazo. - 60 fueron heridos en la pierna y la cabeza.

Si 200 no fueron heridos, se pide calcular: a. ¿Cuántos fueron heridos en los tres lugares? b. ¿Cuántos fueron heridos a lo más en dos lugares? c. ¿Cuántos fueron heridos por lo menos en dos lugares? d. ¿Cuántos fueron heridos en dos lugares solamente?

Resolución:

ZONA ROJA + ZONA LILA + X = 1200 – 200 430 + ( 320 - 80 ) + X = 1000 X = 330

a. Luego se tiene : en los tres lugares hay 20 personas

b. U – n (C B P) – n (C B P)’ = 1200 – 20 – 200 = 980 hombres

c. n (B C) + n [(C P) – (B C P)] + n [(B P) - (B C P)] ) = 50 + 40 + 60 = 150 hombres

d. n [(B C) – (B C P)] + n [(C P) - (B C P)] + n [ (B P) - (B C P)] = 30 + 40 + 60 = 130 hombres

330 32030

20

60

200

C = 420 B = 430

P = 320

40

MATEMÁTICA I 55


10 + x 30 + x10 - x

x

30 - x

35 + x

T = 45 B = 70

V = 90

25 - x

4060 100

A= 100 C = 140

40

U = 240

4. A una charla de los jueves institucionales de Cibertec, asistieron 240 estudiantes, de los cuales 140 estudian Computación y 100 estudian Administración. Si 40 estudian Computación y Administración. Se pide:

a. ¿Cuántos estudian Computación y Administración? b. ¿Cuántos estudian Computación o Administración? c. ¿Cuántos estudian o Computación o Administración? d. ¿Cuántos estudian Computación, si y sólo si, estudian Administración? e. ¿Cuántos son los estudiantes que estudiando Administración, entonces desean

estudiar Computación?

Resolución:

a. n (C A) = 40 estudiantes.

b. n (C A) = 100 + 100 = 200 estudiantes.

c. n (C A) = 60 + 100 = 160 estudiantes.

d. n (C A) = U – n (A C) = 240 - 160 = 80 estudiantes.

e. n (A C) = n (A’) + n (C) - n (A’ C) = 140 + 140 – 100 = 180 estudiantes.

5. En el instituto Cibertec, muchos son deportistas; por ello, 150 alumnos entraron en competencia para definir al mejor de cada juego. De éstos, 45 juegan tenis, 70 juegan básquet y 90 juegan vóley. 10 juegan tenis y básquet, 25 juegan tenis y vóley y 30 juegan básquet y vóley. ¿Cuántos juegan los 3 deportes?

Resolución: U = 150 alumnos 10 + x + 25 – x +35 + x + 70 = 150 x = 10 alumnos

6. En una ciudad de 100,000 habitantes adultos, el 70% escucha radio, el 40% lee periódicos y el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio, el 30% lee los periódicos y el 4% ve televisión. El 90% de los que ve televisión lee los periódicos y sólo el 2% de la población total lee periódicos, ve televisión y escucha radio. ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no leen periódicos ni ven televisión? Resolución:

56


48 200 12 00019 000

2000

7000

209

R = 70 000 P = 40 000

T = 10 000

10 800

800

U = 100 000

0002000100%2PTR

00090001%90PT

800200070%4TR

0002100070%30PR

00040000100%10T

00040000100%40P

00070000100%70R

6

6x

5

I D

C

8

2x 8

Respuesta: 100 000 – 70 000 – 12 000 – 7 000 – 200 = 10 800 habitantes.

7. En una encuesta realizada sobre las tres mejores marcas de computadoras, se obtuvo la siguiente información al entrevistar a 154 personas o usuarios:

- 6 se deciden por las marcas IBM y DIGITAL, pero no COMPAQ. - 5 se deciden por las marcas DIGITAL y COMPAQ solamente. - 8 se deciden sólo por la marca COMPAQ.

El número de personas que se deciden por las 3 marcas es el séxtuplo de los que se deciden sólo por DIGITAL y el triple de las que sólo se deciden por IBM. Nadie declara decidirse por la compra de IBM y COMPAQ solamente. ¿Cuántas personas se deciden a lo más por 2 tipos de computadoras? Resolución:

(I D) – C = 6

(D C) – I = 5

C - (I D) = 8 2x + 6 + x + 6x + 5 + 8 = 154

x = 15

Se deciden a lo más por: 2 computadoras: = x + 8 + 5 + 2x + 6 = 19 + 3x = 19 + 3 (15) = 64 personas.

“Sin duda alguna, la teoría de conjuntos es uno de los grandes aportes al desarrollo de la matemática. No obstante que el concepto de conjunto

nació junto con el concepto de agrupación en los albores de la humanidad, fue sistematizado por primera vez por GEORGE CANTOR

(1845 – 1918), desde entonces ha pasado a formar el punto de partida del estudio formal de la matemática y las ciencias que se sirven de ellas.”

x

MATEMÁTICA I 57



1) Si: edcbaU ;;;;

dcbaBA ;;; caBA ; bBA

Determine: BnAn

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2) Sean los conjuntos:

0403/ 2 xxZxA ZxxxB ;61/12

BxxxC ;5/12 BCAD Calcule: DPn

a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

3) ¿Qué operación representa la región sombreada?

a) CABA

b) CBA

c) BCA

d) BACA

e) CBA

4) Si U = {X N / 0 < X < 11}

A = {1, 3, 5, 7} ; A C = {1, 3}

B = {2, 4, 6, 8} ; A C = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

Halle n (B C) + n[(A C)’] Rpta 13

5) En CIBERTEC, estudian 500 alumnos en primer ciclo. De éstos: 329 dominan

Matemática, 186 Comunicación de Negocios, 295 Algoritmos; 83 Matemática y Comunicación de Negocios, 217 Matemática y Algoritmos, 63 Comunicación de Negocios y Algoritmos. Halle el número de alumnos que dominan los tres cursos.

A B

C

58


Rpta 53 6) Se reparten juguetes de tres tipos distintos: aviones, autos y trenes a 200 niños de

manera que a…

70 niños se les entrega aviones.

60 niños reciben autos.

20 niños reciben autos y aviones.

27 niños reciben autos y trenes pero no aviones.

90 niños reciben únicamente trenes.

3 niños reciben aviones, autos y trenes.

Se sabe además que los que reciben únicamente autos son tantos como los que reciben únicamente aviones. ¿Cuántos reciben aviones y trenes, pero no autos?

Rpta. 40

7) En una encuesta a los alumnos de CIBERTEC, sobre la posible aprobación de los cursos de Matemática, Algoritmos y Comunicación de Negocios, se obtuvo la siguiente información:

78 alumnos aseguran que aprobarán Matemática o Algoritmos.

80 alumnos aseguran que aprobarán Matemática o Comunicación de Negocios.

82 alumnos aseguran que aprobarán Algoritmos o Comunicación de Negocios.

60 alumnos aseguran que aprobarán solo uno de los cursos mencionados. ¿Cuántos alumnos aseguran que aprobarán a lo más dos de los cursos mencionados, si 10 aprobaran los tres cursos?

Rpta 150

8) En una encuesta sobre el consumo de cervezas Pilsen, Cristal y Cuzqueña, se obtuvo el siguiente resultado:

190 toman la cerveza Pilsen.

110 toman la cerveza Cristal.

150 toman la cerveza Cuzqueña.

Los que sólo toman Cuzqueña son la mitad de los que sólo toman Cristal y la tercera parte de los que sólo toman Pilsen. Los que sólo toman Cristal y Cuzqueña son la mitad de los que sólo toman Pilsen y Cristal, si los que toman las tres cervezas son un tercio de los que sólo toman Pilsen y Cuzqueña ¿cuántos prefieren los tres?

Rpta. 30

9) Si: Rpta {0,4}

10) En una ciudad de 10,000 habitantes adultos, el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen periódicos y el 10% ve televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ve televisión, el 90% de los que ven televisión, lee periódicos y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio. Se pide:

a) ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión? b) ¿Cuántos habitantes leen periódicos solamente?

CABMHalla

xxxZxC

xxNxB

xxNxA

63/

60/

53/

2

0

MATEMÁTICA I 59


Resumen

Conjunto: intuitivamente es una reunión de elementos. Se representa por una letra

mayúscula y sus elementos con letras minúsculas. Determinación de conjuntos:

1. Por extensión.- Cuando se nombran uno a uno los elementos 2. Por comprensión.- Cuando se da una propiedad común a cada uno de los

elementos Relación de Pertenencia () enlaza elemento a conjunto. Relación de Inclusión ( ) enlaza conjuntos. Conjuntos especiales:

1. Conjunto vacío ( ): no tiene ningún elemento.

2. Conjunto unitario: tiene un solo elemento. 3. Conjunto comparable: si uno de ellos está contenido en el otro. 4. Conjuntos disjuntos: no tienen nada en común. 5. Conjunto universal (U): abarca a la totalidad de elementos que se encuentran

definidos bajo una misma propiedad. 6. Conjuntos equivalentes: tiene la misma cantidad de elementos, pero algunos son

diferentes. Operaciones entre conjuntos; Características: Unión ( ).- Se toman a todos los elementos de un conjunto.

Intersección ( ).- Son los elementos comunes de los conjuntos.

Diferencia (-).- Son los elementos que están sólo en uno de los conjuntos.

Diferencia Simétrica ( ).- Son los elementos no comunes de 2 conjuntos.

Complemento de un conjunto (A´).- Es lo que el falta al conjunto A para llegar a ser

el universo.

Cardinal de un conjunto (n(A)).- nos indica la cantidad de elementos que tiene un conjunto simple o compuesto.

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas. http://www.sectormatematica.cl/ppt/conjuntos.ppt

Aquí encontrará información referente a conjuntos.

http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_03_01-Conjuntos_Ext-Comprens/0_conjuntos-extens-comprens.html

Aquí se desarrollan ejercicios de determinación de conjuntos.

http://www.sectormatematica.cl/ppt/conjuntos.ppt



60


MAGNITUDES PROPORCIONALES Y TANTO POR CIENTO


Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de porcentajes y fracciones,

aplicados a los distintos conceptos del precio, haciendo uso de la regla de tres

simple.

TEMA

TEMA


Los alumnos aplican los conceptos de fracciones, razones y regla de tres simple.

Los alumnos diferencian, de acuerdo con el enunciado de los problemas, si se trata

de una regla de tres simple directa o inversa.

Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2

Magnitudes proporcionales

Regla de tres simple directa e inversa

Regla del tanto por ciento

Descuentos y aumentos sucesivos

Precio de venta, de costo, de lista,

Ganancia y Pérdida.

MATEMÁTICA I 61


2.1 TEMA 3: MAGNITUDES PROPORCIONALES

2.1.1Razones

Una razón es la comparación que se establece entre dos cantidades, si dicha comparación se da por medio de una división será una razón geométrica Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 : 15 o . Simplificando se observa que están en la relación:

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, se cumple que el producto de términos extremos es igual al producto de términos medios: 12 • 5 = 4 • 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes están en proporcionalidad directa si el cociente de sus valores correspondientes permanece constante:

Donde: k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

62


Ejemplo:

Un vehículo tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta; por lo tanto, son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,

16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes están en proporcionalidad inversa si el producto de sus valores correspondientes es una constante.

Donde: k es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico, se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.

Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el

MATEMÁTICA I 63


trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)

Regla de tres simple: Directa e inversa

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales; es un procedimiento basado en la relación proporcional de dos magnitudes.

La regla de tres consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos magnitudes proporcionales. a) Regla de tres simple directa: Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP).

Procedimiento:

b) Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Procedimiento:

EJEMPLOS

Magnitudes: M (DP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son DP su cociente es constante. Luego:

x

c

b

a

Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son IP su producto es constante

Luego: xcba

64


1) Una persona puede caminar normalmente 9 kilómetros en 2 horas. En una caminata

normal de 6 horas, ¿cuántos kilómetros puede caminar? Solución: Horas km 2 9

6 x

kmx 272

96

2) Se ha calculado que para construir un edificio se necesita 80 obreros y 60 días. Pero

se cuenta solamente con 75 obreros. ¿Cuántos días se tardará en construir el edificio? Solución: # Obreros días 80 60

75 x

díasx 6475

6080

Problemas Propuestos para la clase

1. Para pintar una pared de forma cuadrada se necesitan 14 tarros de pintura ¿Cuántos tarros de pintura se necesitará? Para pintar otra pared cuadrada cuya lado mida tres veces el lado de la pared anterior

2. La eficiencias de Juan y Pedro están en la relación de 2 a 3. Si Juan demora 15 días en hacer una obra. ¿En qué tiempo? realizarían la misma obra trabajando juntos.

3. 3. Las eficiencias de Juan y Luis están en la

relación de 2 a 3 y juntos realizan una obra en 21 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Luis redujera a su tercera parte su eficiencia ¿En qué tiempo harían la misma obra?

4. Se sabe que 10 obreros pueden realizar una obra en 22 días. Si al cabo de 4 días son despedidos 4 obreros ¿En qué tiempo se culminará toda la obra?

Los kilómetros caminados son DP a las horas de caminata.

El # de obreros que intervienen en una obra y el tiempo que demoran en ejecutarla son IP.

MATEMÁTICA I 65



1. Las edades de Juan y Pedro (juntos) con las edades de Pedro y Luis (juntos) están

en la relación de 8 a 7. Si las edades de Juan y Luis están en la relación de 5 a 3, halle ¿Cuánto tiene cada uno? , si las edades de los tres suman 57 años.

Rpta 9 , 15 y 33 años

2. Las eficiencias de A y B están en la relación de 2 a 3. y se sabe que ambos pueden realizar una obra en 33 días. Si B reduce su eficiencia a la mitad y A lo duplica ¿En qué tiempo harían la misma obra? Rpta 30 días

3. Juan es el doble de eficiente que Enrique y ambos pueden realizar una obra en 32 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Enrique duplicara el suyo ¿En qué tiempo ambos harían la misma obra? Rpta 12 días

4. Pedro realiza una obra en 55 días. Se sabe además que Juan y sus dos hermanos tienen el doble, triple y mitad de eficiencia que Pedro respectivamente. ¿En qué tiempo Juan y sus hermanos harían la misma obra? Rpta 10 días

5. Juan puede realizar un trabajo contable en 15 días. Julia es 50% más eficiente que Juan. Si juntos realizan el mismo trabajo contable ¿En qué tiempo lo terminarían?

66


2.2 TEMA 4: TANTO POR CIENTO

2.2.1 Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades Es una aplicación de la regla de tres simple. Se denomina “Tanto por ciento” porque es el número de unidades que se toman en cuenta de cada 100. Es decir: Total : 100 partes

............... ............................................

“ a “ partes Se toma “a” partes de “100” partes.

Representación:

Ejemplo:

5% nos indica que tomamos: 100

5 de una cantidad cualquiera.

05,0100

5%5

5

2% nos indica que tomamos:

100

52

de una cantidad cualquiera.

004,0500

2

100

1

5

2%

5

2

Ejemplos: 1) Halle el 0,008% de 0,2

100%

aacientopora

NOTA

Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. Ejemplo: a) 25% de A + 63% de A = 88% de A b) 58% de P +126% de P – 20% de P = (58+126-20)

% de P

= 164% de P

c) Mi edad más el 18% de ella me dará: 118% de mi edad.

¡ATENCIÓN!: Las palabras “de”, “del” o “de los” matemáticamente significan

multiplicación y la palabra “es” significa igualdad.

MATEMÁTICA I 67


Problemas Propuestos para la clase

1. Hallar el 10% del 20% del 75% de 40000

2. Operar : 12% A + 13% (2A) - 5% (3A) + 18% (4A)

3. 3. Se tiene un deposito con dos tipos de

líquidos: 7 L del primero y 28 L del segundo ¿Qué tanto por ciento representa cada uno de estos líquidos respecto al total?

4. Cierta empresa gasta primero el 20 % de su presupuesto, luego gasta el 25% de resto del presupuesto, quedándose con 12000 soles ¿Cuánto fue dicho presupuesto?

2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento: Aumento:

%100

100

...1001001001

321

n

AAAAu

Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a

todos los aumentos realizados.

%100

100

...1001001001

321

n

DDDDu

Donde: D1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos

n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a

todos los descuentos realizados.

68


Aplicaciones:

3. Roberto compra un refrigerador y le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y

30%. En lugar de estos tres descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto

sería este descuento?

Solución:

%100100

30100201002010013

Du

Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 %

El descuento único sería de 55,2 %.

4. El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de

Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen

tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año”. ¿A qué aumento

único equivale?

Solución:

%6,71%1006,171

%100100

20100101003010013

Au

Au

El aumento único equivale 71,6 %.

1. Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:

%52

%10048

%100100

8060

%100100

201004010012

Du

Du

Du

Du

Nota:

El signo (-) nos indica el descuento,

por lo que los descuentos sucesivos

del 40% y 20% equivalen a una

descuento único de 52%.

2. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:

%56

%100156

%100100

130120

%100100

301002010012

Au

Au

Au

Au

El signo (+) nos indica aumento, por lo que

los aumentos sucesivos del 30% y 20%

equivalen a un aumento único del 56%.

MATEMÁTICA I 69


2.2.3 Precio de Venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia

a. Precio de venta Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

GPcPv o PePcPv Donde: Pc : Precio de costo del bien o servicio

G : Ganancia

Pe : Pérdida

b. Precio de costo Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases: Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una

mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de

transporte hasta el almacén, carga y descarga.

c. Ganancia y pérdida Ganancia: Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio.

Pérdida : Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Nota: La Ganancia o Pérdida generalmente se expresa como un tanto por del precio de costo

Los aumentos o descuentos generalmente se expresa como un tanto por del precio de lista

Problemas de refuerzo teórico:

2. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00, ¿cuál es el porcentaje de ganancia?

Sol:

(i) Según fórmula: GPcPv , entonces :35 = Pc + 10,

Luego Pc = S/.25

(ii) Como G está en función de Pc, luego: 4.025

10% G ;

por tanto %G = 40 %

70


3. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se perdió el 20%. Resolución:

(i) Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00

(ii) Según fórmula: PePcPv , se tiene: Pv = 4000 – 800

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 3 200.00

4. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se quiere ganar el 25%? Resolución:

(i) Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00

(ii) Según fórmula: GPcPv , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 75 000.00

5. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50 000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00. ¿Cuánto fue el porcentaje de incremento? Resolución: Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces:

%Incremento = 375,080000

30000

Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%. 6. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de

utilidad (ganancia) Resolución:

(i) Según fórmula: GPcPv , entonces : 6 000 = Pc + (20%

Pc)

(ii) Resolviendo: Pc = S/. 5 000.00

Precio de Venta, Precio de Lista y Descuento

Precio de Lista. - Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:

DPvPl Pl : Precio de lista en el catálogo

MATEMÁTICA I 71


D : Descuento

Pv : Precio de venta

Prob 1. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el precio de venta si el perfume tuvo un descuento del 30%.

Resolución:

(i) Como: DPvPl , entonces: 65 = Pv + (30% Pv)

(ii) Resolviendo: Pv = S/. 50.00

Problemas propuestos para la clase

1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo vender para ganar el 30% del precio de costo más el 10% del precio de venta?

2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el 20% del costo. ¿Cuánto costó el libro?

3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada una. En la primera ganó el 25% y en la segunda perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió?

4. Carmen quiere vender su escritorio que le costó $270 y ganar el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta más $81.

5. ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 2 700 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta, más $180?

6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que costó $420 para que aún descontando el 20% se gane el 40%?

Problemas de aplicación:

1. La empresa “Exportación A” ha destinado el 22% de su presupuesto del

presente año en la reparación de su equipo automotor. Halle dicho

72


presupuesto, si el resto del presupuesto que asciende a 11700 soles lo

destina a sus otras áreas.

2. La corporación telefónica destina el 10 % de su presupuesto a su unidad de

negocio “cable mágico”, el 20% de lo restante lo destina a su unidad “Atento”

y lo restante que asciende a 36000 soles los destina al resto de sus unidades

de negocios. Halle dicho presupuesto.

3. Halle el 10% del 25% del 75% del 30% de 320000.

4. Perdí el 40% de mi dinero y luego recuperé el 25% de lo que perdí, con lo

cual tengo la suma de 490 soles. ¿Cuánto tenía al inicio?

5. Si del total de alumnos que llevan Matemática I aprobaron el 80% de ellos, y

en un examen sustitutorio aprobó el 10% de los que habían desaprobado

¿Qué tanto por ciento de los alumnos han aprobado al finalizar?

6. En la venta de un producto se realizan 2 descuentos sucesivos del 20% y

30% y aun así se gana el 20%. Si el precio fijado y precio de costo suman

4400 soles, halle el precio de costo.

7. En la venta de un producto se gana el 30% a pesar de un descuento del 40%.

Halle el precio de venta si el precio fijado y precio de costo se diferencian en

700 soles.

8. En la venta de un producto se gana el 20% del precio de venta. Halle el

precio de costo si el precio de venta excede al precio de costo en 200 soles.

9. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y

20% respectivamente y aun así se está ganado el 30%. Halle el precio de

costo si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 9700.

10. En la venta de un producto se gana el 10% del Pv , si el precio de costo y el

precio de venta suman 3800 soles ¿Cuánto es el precio de costo?

MATEMÁTICA I 73



1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera

ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué

porcentaje del costo gané al hacer la venta? Rpta. 17,19%

2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de

costo más el 10% del precio de venta, más $1000 en trámites documentarios?

Rpta. 15 000

3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del

precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 63 por gastos administrativos?

Rpta. 1190

4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un

producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra? Rpta. 138

5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su

pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%.

Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 316. ¿Cuál será el precio de venta de

dicho auto? Rpta. 1000

6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si

el costo del artículo es de $45 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20%

del precio de venta? Rpta 75

7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia

igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el

objeto?

Rpta 250

8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se

pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto?

Rpta. Se perdió 8 soles

9) Un comerciante vende un artículo con un descuento de 30% del precio de lista, ganando

así el 20% del precio de costo ¿cuánto es el precio de lista? si el precio de lista y costo

suman 1900.

Rpta 1200

74


10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del

precio de costo, más el 10% del precio de venta, más $60 por gastos administrativos?

Rpta 2000

Resumen Regla de tres simple directa: Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales Magnitudes: M (DP) Q

Supuesto: a b

Pregunta: c x Como son DP su cociente es constante: x

c

b

a

Regla de tres simple inversa:

Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x

Como son IP su producto es constante Luego: xcba

Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

GPcPv

Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases:

Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. Ganancia y pérdida

Ganancia .- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. Pérdida .- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:

DPvPl

MATEMÁTICA I 75


FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA


Al término de la unidad, el alumno, calcula el valor de una variable a través de la simplificación de las expresiones algebraicas Para ello, debe aplicar las teorías de exponentes, los productos notables, racionalización y los procesos de factorización.

TEMARIO

Teoría de exponentes

- Potenciación

- Radicación

Productos notables

- Propiedades

Factorización

- Factor común

- Agrupando términos

- Método de identidades

- Evaluación binómica


Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica

Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado.

Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3

76


3.1 Tema 5: TEORÍA DE EXPONENTES

3.1.1 Propiedades de potenciación, aplicaciones

Potenciación Radicación

base

exponente

potencia

índice

radicando

raíz

bn = veces"n"

b..........bbbb

Kbn = veces"K"

nnnn b..........bbb

Leyes de potenciación:

1. a0 = 1 , a R , a 0 ,

2. am . an = am + n

3. 0a,aa

a nm

n

m

4. a- n = na

1 , a 0

5. 0b,0a,a

b

b

ann

6. (a . b )n = an . bn

MATEMÁTICA I 77


7. 0b,b

a

b

a

n

nn

8. (am )n = am n = (an )m

Ejemplos:

78



1) Realice lo siguiente: a) Efectúe:

6054

294

336

1630.14.15

80.35.21

M

b) Simplifique: 2

523

2.4

2.42

23

22

x

xx

x

xx

P

2 ) Halle: 2

11123

10

1

23

4

5

2

3

1R

3) Efectúe: (a)

3

1

31

53

21

213

6432.2222

21223240

xx

xxx

S

(b) Calcule el valor de: MN

)2(6)2(422

)2(3621145

24

xxxx

xx

M y x

xx

xx

N4669

13892

4) Si yx 75 , Calcule el valor de: 11

23

57

75

xy

yx

MATEMÁTICA I 79


3.1.2 Propiedades de la radicación

n: índice a: radicando b: raíz

: operador

Leyes de Radicación:

9. nn aa

1

10. n

mn m aa

11. n pnnp baba ..

12. nnn b.aab

13. 0b,b

a

b

a

n

nn

14. mnm n aa


1) Halle X + M si:

MX ;

14775

3004812 3/13/15/3

6432

2) ( a ) Halle A – S

c aa

cb c

c

ba b

b

a3 12 32

x

x

x

x

x

xS;xxxA

( b ) Halle : ba

bba

aba

mm

mmE

2

2

34

43

ban

80


3 ) Calcule:

2

2

2

121

14 1

34

43

33

39) ba

bba

aba

n

nn

mm

mma

b) nnn

nn

57

57

32

1

27

12

1

5

4

3

2

4 ) Halle P + Q si:

2a

a4365x

x5x5

5x5x

44

82Q;

37

37P


1) Efectúe:

E = nnn

n

n2n n

n

44

2222

11

24

20

2) Simplifique la siguiente expresión:

12

3312/1

123

2439

263

11

4

5

2

3

1

x

xx

xx

3) Halle el valor de A si

nm

mnmn

nmnm

n

nn

A

54

1512

5.5

555

1

316

054

4) Reduzca la siguiente expresión:

MATEMÁTICA I 81


3

1

31

53

2/16

3/1

8 643264

05249

5) Calcule B si:

07249

2

323

125.22

222

n

nn

B

6) Reduzca:

xxx

xx

aa

aaa

4669

13892333

5532

7) Simplifique la siguiente expresión:

25,016

5 4 3 5432

3 4 5 2345

81.

xxxx

xxxx

8) Calcule el valor de E + F, si:

...333,08

25072 92 1253

E

9) Simplifique:

1

502

22/1

4

2

3

2121

2

2224

44.2

4.24.2

x

xx

xxxx

E

10 ) Reduzca

yxyxyx

yxyxyx

22 4.54.5

4.54.5

82


Resumen de Potenciación y

Radicación

Potenciación Radicación

a0 = 1 , a R , a 0 , am . an = am + n

0a,aa

a nm

n

m

a- n = na

1 , a 0

0b,0a,a

b

b

ann

(a . b )n = an . bn

0b,b

a

b

a

n

nn

(am )n = am n = (an )m

nn aa

1

n

mn m aa

n pnnp baba ..

nnn b.aab

0b,b

a

b

a

n

nn

mnm n aa


páginas. http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.

www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y

racionalización.

http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

MATEMÁTICA I 83


Problemas variados de tanto por ciento, conjuntos y teoría de exponentes

Problemas sobre tanto por ciento 1. Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Qué tanto por

ciento de zumo de limón hay en la limonada?

2. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos

han muerto?

3. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la

cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un

año? ¿Y después de 4 años?

4. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros.

¿Cuánto costaba antes de la subida?

5. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo

vale menos: antes o después de todo el proceso?

6. En la venta de un producto se ganó el 25% del precio de venta a pesar de realizar dos

descuentos sucesivos del 10% y del 20%.respectivamente. Hallar el precio fijado del

producto si este costó 540 soles.

7. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%,

respectivamente, y aún así se está ganado el 35%. Halle el precio de costo, si se sabe

que el precio fijado y precio de costo suman 23000 soles.

8. En la venta de un producto que costó 4800 se realizan dos descuentos sucesivos del

20 % y 25 % respectivamente y así se obtiene una ganancia del 20% del precio de

venta. Calcula el precio fijado para la venta.

9. Un comerciante compra pantalones en Gamarra a S/. 45 cada uno. ¿A cómo deberá

vender cada uno de ellos si desea ganar el 20% del precio de costo más el 10% del

precio de venta?

10. Una persona vende dos televisores a 990 soles cada uno. En una de ellas gana el 10%

y en el otro pierde el 10%. Al final ¿ gana o pierde y cuánto?.

84


Problemas de Conjuntos

1. De un grupo de 40 personas, se sabe que 15 de ellos no estudian ni trabajan, 10 estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántos de ellos realizan sólo una de las dos actividades?

2. Para ir a trabajar en una fábrica de un grupo de 100 obreros, 30 viajan en ómnibus, 40 en bicicleta y 60 en ómnibus o bicicleta. ¿Cuántas personas no usan ni bicicleta ni ómnibus?

3. De las 60 alumnas que componen el especial, 32 juegan tenis y 25 juegan basketball. ¿Cuántas juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican ninguno?

4. En una sección de 70 estudiantes de una universidad, 40 de ellos toma el curso de álgebra, 35 toman el curso de cálculo y 15 toman ambos cursos. Se desea saber:

¿Cuántos estudiantes toman uno sólo de los cursos?

¿Cuántos estudiantes toman, por lo menos, uno de los cursos?

¿Cuántos estudiantes no toman ninguno de los cursos? 5. Un club consta de 78 personas. De ellos, 50 juegan fútbol; 32, básquet y 23, vóley.

Además, 6 figuran en 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente dos deportes siendo y el número de personas que practican un sólo deporte, halle x – y.

6. De 120 personas de cierta universidad, se obtuvo la información:

72 alumnos estudian el curso A 64 alumnos estudian el curso B 36 alumnos estudian el curso C 12 alumnos estudian los tres cursos ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos cursos?

7. Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 52 practican fútbol; 36, básquet;

49, vóley; 63, fútbol o básquet. Si 15 practican solamente fútbol y básquet, y 16 solamente vóley:

a) Cuántos socios practican los tres deportes. b) Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes.

8. La Oficina de Secretaría Académica de CIBERTEC proporcionó lo siguientes datos

respecto a un grupo de 300 estudiantes de primer ciclo 200722. 155 están inscritos en el curso Matemática I, 170 en el curso Comunicación I y 110 en el curso Administración. 85 están inscritos en Matemática I y Comunicación I, 70 en Comunicación I y Administración, 50 en Matemática I y Administración, 35 en los tres cursos. Determine el número de inscritos:

a) En el curso Matemática I pero no en Administración b) En ninguno de los tres cursos 9. De un grupo de turistas, algunos visitaron Arequipa; otros, Cusco; y otro grupo, Iquitos.

Si se sabe que: Los turistas que visitaron solamente Iquitos es la mitad de los que solamente

fueron a Cusco. Los que visitaron solamente Arequipa es el triple de los que solamente fueron a

Cuzco e Iquitos. Los que viajaron a Arequipa e Iquitos fueron 28. Todos los que viajaron a una sola ciudad suman 102.

MATEMÁTICA I 85


¿Cuántos fueron a Iquitos, pero no a Arequipa? y ¿cuántos visitaron Iquitos? 10. De una encuesta a 60 personas sobre el consumo de los productos A, B y C, se

recogió la siguiente información : 7 personas consumen sólo Ay B. 6 personas consumen sólo B y C. 3 personas consumen sólo Ay C. 10 personas no consumen ningún producto. 20 personas no consumen el producto B. ¿Cuántas personas consumen sólo uno de estos productos o consumen los tres productos?

Teoría de exponentes y radicación

1.- Calcule el valor de: MN

)2(6)2(422

)2(3621145

24

xxxx

xx

M

xxx

xx

N4669

13892

2.- Encuentre A+B

A =

2/1123

11

4

5

2

3

1

B = 55

555

1

305416

n

nn

3.- Halle K

2

22

221225

2035

122149

1

32x

xx

xx

K

4.- Halle E, aplicando propiedades de potenciación y radicación:

2

22

34

53

1

125243

1

m

m

E

5.- Halle el valor de :

1135

24

2624222

2362

xxxx

xx

A

86


6.- Halle el valor de M si:

1312416

120112

27

116

24381 ,

M

7.- Reducir:

5.2.3626

nnnn

+ nnn

5

2535 +

22.4

2.452

a

aa

8.- Simplifica :

2212.22

22.1212.332.40

xx

xxx

9.- Simplificar:

10.- Calcula el valor de M :

132

12

16232

n

n

nn

M

MATEMÁTICA I 87


3.2 TEMA 6:

PRODUCTOS NOTABLES RACIONALIZACIÓN

3.2.1 Productos notables, propiedades

CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA

EJEMPLOS:

1. 49x14x7)7()x(2x7x 2222

2. 25

4x

5

12x9

5

2

5

2)x3(2)x3(

5

2x3 2

22

2

3. 32

x324

x2

)3()3()2

x(22

)2

x(2

32

x

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO

Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto.

1. 4

1xx 22

2. 2x22x 22

CUADRADO DE UN BINOMIO DIFERENCIA

EJEMPLOS:

1. 1x2x1)1()x(2x1x 222

2. 4

1yy

2

1

2

1)y(2y

2

1y 2

22

2

3. 7x72x77x2)x(7x 24222222

222bab2aba

222bab2aba

88


EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:

1. 3x32x22

2. 9

4x

3

4x 22

3. 2

1x2x 22

PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR DIFERENCIA

…. (Diferencia de cuadrados)

EJEMPLOS:

64x8x8x 2

6x6x6x 2

462323 yx3616)yx64()yx64(

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO: Observe y escriba directamente el producto de los binomios

1. 2.0y2.0y ______________________________________________

2. 3y3y ______________________________________________

3. 1yx31yx3 22 _____________________________________

CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS

EJEMPLOS:

22 ba)ba()ba(

(a + b )3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

1257515

12525315

55353

23

23

3223

xxx

xxx

xxx 5) (x 1. 3

MATEMÁTICA I 89


2.

CUADRADO DE UN TRINOMIO

EJEMPLOS:

1. yz2xz2xy2zyxzyx 2222

2. 2

3y2x23y2x22

y12x12xy89y4x4

3y223x22y2x223y2x2

22

222

3.

2

122

2

132232

2

123

2

123

222

2

23624

15

23624

123

PRODUCTO DE BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

EJEMPLOS:

1. 63x16x9x7x 2

2. 30x11x5x6x 2

bcacbacaba 2

8

27x

4

272x

2

93x

8

27

4

9x3

2x

2

93x

3

2

32

2

3x3

2

32x3

3x

3

2

3x

125.075.05.1

125.025.035.1

5.05.035.030.5) (x 3.

23

23

32233

xxx

xxx

xxx

bc2ac2ab2cbacba 2222

90


3. 6y5y6y1y 32333

6y5y 36

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8) = _______________________________ (x – 5) (x – 2) = _______________________________

CUBO DE UNA DIFERENCIA

EJEMPLOS:

1.

2. Desarrolle:

(a - b )3 = a3 - 3a²b + 3ab² - b3

3

2

3x

8

27x

4

27x

2

9x

8

27

4

9x3x

2

9x

2

3

2

3x3

2

3x3x

23

23

32

23

33z

33z9z33z

27z9z33z

33z33z3z

23

23

3223

____________________________2x3.3

____________________________1m2

1.2

____________________________2

1y.1

3

32

3

MATEMÁTICA I 91


SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Suma de cubos

DIFERENCIA DE CUBOS

EJEMPLOS:

)4y2y)(2y(8y

)9x3x)(3x(27x

23

23

Problemas propuestos para la clase1

1 . Simplificar: A =

2. Efectúe:

5 1025 102 . nmmnmmR

3. Simplificar (x + y)² (x² - xy + y²) – (x – y)² (x² + xy + y²)²

4. Simplificar (a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4)

5. Reducir:

222

2bbabbaababababak

a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

92


6. Simplifique: 2

222

2))((

10)23()23(

bbaba

ababa

7. Simplificar :

8. Simplificar

9. Simplificar


1. Siendo x = 2 + 3 ; y = 2 - 3

Calcule: A = (x – y) (x² + xy + y²) + y (3x² + 3xy + 2y²)

2. Sabiendo que: 2x

y

y

x calcule: yx

yx

yx

yx

2

3

3. Simplifique:

494:7272

933121.311

62323

3 3333 33

xxxA

MATEMÁTICA I 93


4. Simplifique:

22

33

babababa

babaE

5. Sabiendo que: yxxyyxyx 333

Halle el valor de: 3333 2323

6. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos.

7. Si: 2a y 8b , halla el valor de:

44

2233

ba

]baba[babaM

8. Determine el valor deE , si 2a .

3

13222 1111 aaaaE

9. Reduzca: 43215522 xxxxxx

94


Resumen de productos notables

Productos Notables: Rcba ,,

I. 222bab2aba

II. 222bab2aba

III. 22 ba)ba()ba(

IV. 333 b 3ab² 3a²b a ) b (a

V. 333 b - 3ab² 3a²b - a ) b - (a

VI. bc2ac2ab2cbacba 2222

VII. a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2)

VIII. a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

IX. bababa

babbaaba

3 233 233 .

X. Legendre:

2222 2)()( bababa

abbaba 4)( 22

Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas. http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt

Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

MATEMÁTICA I 95


FACTOR RACIONALIZANTE

DENOMINADOR “IRRACIONAL”

DENOMINADOR

RACIONAL

3.2.2 RACIONALIZACIÓN

Es la transformación de denominadores Irracionales en Racionales. Es decir:

(D. I) (F.R.) (D.R.) Casos:

1. Cuando el denominador es un monomio: Ejemplos: Racionaliza

a)

x

x3

x

x

R.F

x

3 :Sol

x

34 3

4 3

4 3

44

b) xy3

yx2

yx

yx

xy3

2

xy3

2

xy27

8 :Sol

xy27

83 2

3 2

3 2

3 23 23

3 3

32

32

2. Cuando el denominador es un binomio de índice PAR * El F.R. es la conjugada que produce una diferencia de cuadrado Ejemplo: Racionaliza

22

baba

bababa

baba

baba

R.F

xbaba

ba :Sol

baba

ba

b2

baba

baba

bababa 222

3. Cuando el denominador es un binomio cuya raíz es de índice 3 * El F.R. será el trinomio que, al multiplicarse, produce una suma o diferencia de cubos.

Denominador

Factor Racionalizante Resultado

A.-

33 yx 3 233 2 yxyx 3333 )y()x(

B.-

3 233 2 yxyx 33 yx 3333 )y()x(

96



1) Racionaliza:

a) 5 26 47 4 abc

1E

b) 54

3

4

2

3

2) Racionaliza:

1x

1x)a

2

44 yx

1)b

3) Racionaliza:

33 25

7)a

333 253549

2)b

3) Racionalizar denominador y denominador :

R: ( -6/7 )

MATEMÁTICA I 97


EJERCICIOS RESUELTOS 1) Racionaliza:

yx

1

4 3

Solución:

2y3x

2FRx

2y3x

y4 3x

4 y3x

1FRx

y4 3x

1

y4 3x

1

= 43

234 3

yx

yxyx

2) Racionaliza:

38 5 yx

1

Solución:

34 5

2

34 5

38 5

38 5

1

38 538 5yx

FRx

yx

yx

yx

FR

yx

1

yx

1

=

65

3

65

34 538 5

yx

FRx

yx

yxyx

= 125

6534 538 5

yx

yxyxyx

3) Racionaliza:

33 2 yx

1

Solución:

yx

yyxx

yyxx

FR

yx

1

yx

12

3 233 23 4

3 233 23 4

2

33 233 2

4) Racionaliza:

98


333 41881

7

Solución:

7

297

29

297

29

FR

41881

7

41881

7 3333

33

1333333

=33 29

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Racionaliza:

333 495664

75

Solución: 2) Racionaliza:

61035

4

Solución:

MATEMÁTICA I 99


Resumen

Racionalizar.- es eliminar toda raíz del denominador Casos:

1) Denominador monomio.- su F.R. es lo que le falta al dato para eliminar el radical.

2) Denominador binomio cuya raíz tiene índice Par.- su F.R. es el mismo

número pero con signo de enlace opuesto (Conjugada) que al multiplicarse con el dato resulta una “Diferencia de Cuadrados”.

3) Denominado binomio o trinomio de índice Tres.- su F.R. es un trinomio o

binomio según sea el caso; que al multiplicarse con el dato resulta “Suma o diferencia de cubos”.


páginas. www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps

Aquí hallará ejercicios sobre racionalización y otros.

http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA21/Racionalizacion.html

Aquí encontrará la historia y casos de racionalización.

http://www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps

100


3.3 TEMA 7: FACTORIZACIÓN

Definición.

Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.

Métodos de factorización:

a) Factor común:

Ejemplo: Factorice: 3x3 y + 9x² y² + 6 xy3

Sol:

caso. otro esfactorizar puede Se

22

ComúnFactor

233 yyxxyx

b) Por agrupación de términos:

Ejemplo: Factorice: abc2bcabcaaccbba 222222

Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b )

= ( a + b )

bcaccba 2

= (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c )

c) Por identidades o por productos notables en forma inversa: Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² = (a + b ) ( a + b )

b) (a - b ) ( a² + a b + b²) = a3 - b3

c) 2224422 xxxxx

d) 3322 yxyxyxyx

e) 164²4² 4 yyy

MATEMÁTICA I 101



1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y =

b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =

c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =

2) Factorice:

a) xa2 + y2b + y2a2 + xb =

b) x4 + x2y2 + y4 =

c) 4xz + 2yz – 2xp – yp =

d) x3 – 4x2 + x – 4 =

3) Factorice:

a) x2 + 10xy + 25y2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y3 = d) 9m2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =

102


d) Por aspa simple:

Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n N

donde:

Ejemplo: Factorice x² - 6x + 5 = 0

x

x

5

1 Vemos que:

(-5) (-1) = 5 ok (-5) + (-1) = -6 ok

x² - 6x + 5 = 0 (x - 5 ) ( x - 1) = 0

NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta)

Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 xn + k1 ) (a2 x

n + k2 ) donde : Ejemplo: Factorice:12 x² - xy - 6y² = 0

3 2

4 3

x y

x y

Vemos que:

( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy

12x² - xy - 6y² = 0 (3x + 2y ) (4x - 3y) = 0

k1 . k2 = c k1 + k2= b

k1 + k2 = b

a1 . a2 = a k1 . k2 = c

a1 k2 + a2 k1= b

MATEMÁTICA I 103


40

f) Por división de binomios:

Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una serie de binomios que admitan como término común a la variable y como segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI.

Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40

Posibles factores: divisores de:

(x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 8) ….….. 1 …………………………………………… + 2 …………………………………………… +4

5

8

10

20

40 En forma práctica: Ruffini

1 6 -5 -42 40

1 1 7 2 -40 1 7 2 -40 0

2 2 18 40 1 9 20 0

x² + 9x + 20

x

x

5

4 (x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 4)

104



1) Factorice: a) x2+5x-6

b) x2-5x-14

c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2

2) Factorice:

a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24

EJERCICIOS DESARROLLADOS COMPLEMENTARIOS Simplifique:

1) E = soluciónyxy

xRe

48

14 2

y

x

xy

xxE

4

12

124

1212

2)

111

11

11

11

yx

xyEsol

yx

yxE

Efectúe:

3) soluciónx

x

x

xE Re

25

3

25

13

25

42

25

313

25

313

x

x

x

xx

x

xxE

MATEMÁTICA I 105


4) E =xy2x

yxy2x.

xyx

y2xy2

22

2

2

Resolución : E =

2

22

x

yxy

y2xxyxx

yxy2xy

y2xx

yx.

yxx

y2xy


Simplificar:

1) 3x2x

6y2

3y

xx2

2

2) 2

223

m

25x

x5x5

mm

3)

8x2

6x6x

4x

36x2

4) 22

4p

m2

16p8p

m10m6

5) 10m5

m

4m

1m

1m

m2m2

2

6) 25

m

m

10x

50x5

m 4

3

10

7) Factorice: E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)

8) Factorice:

a) x8 - 82x4 + 81 b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y)11 9) Factorice: E = ( x + y )9 ( x - y )5 - (x2 - y2)7

10) Factorice:

106


a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab ) x + a2b 11) Factorice: a) x8 - y8

b) x6 - y6

12. Halle:

E =

42

8

7

49

42

149

2

4

4²23

2

2

2

2

x

x

xx

x

xx

xx

x

x

xx

13. Halle:

2012

²14²14

207²3

16²

513²113

1²323

3

x

xx

xx

x

xxx

xxE

14. Halle : xx

x

xx

xx

xxE

44543

3324

2

23

.

15. Halle E:

124

53²53

9²

157²4

128²

128²1752

3

3

x

XX

x

xx

xxx

xxxE

16. Halle E:

24

²322

12

2540²16

1²4

514²8

924²132

453²1333

3

x

x

x

xx

x

xx

xxx

xxxE

17. Si: 22

233333 )()()(2

yx

yxyx

yx

yx

yx

yxA

MATEMÁTICA I 107


127

9

2410

1832

2

2

2

xx

x

xx

xxB

xyx

y

y

xC

2 Halle el valor de K = C – 4B - A

18. Halle E:

E =

31

662

22222

xa

xxaxaxa

19.. Simplificar :

yxyx

yxyxyyxyxxE

2

4444 42233224

20. Simplificar :

2222

222

66

2

3

4bababa

abba

bbaba

ba

108


Resumen

Factorizar.- Es modificar un polinomio a productos de factores. Métodos de Factorización:

1. Factor común.- Cuando los términos de un polinomio tienen algo en común.

2. Por Agrupación.- Esta técnica va de la mano con factor común. Consiste en juntar 2 o más términos con algo en común.

3. Por identidades.- Es lo mismo que productos notables. Ejemplo: Un trinomio cuadrado perfecto se convierte a un binomio cuadrado.

4. Por aspa simple .- Será por aspa simple en todos los casos cuando la suma de sus coeficientes del polinomio da cero

5. Ruffini.- Sirve para factorizar polinomios de grado tres o mayor. Para usarla, se debe tener presente que el polinomio debe ser ordenado y completo.


páginas. http://sipan.inictel.gob.pe/av/

Aquí encontrará casos de factorización y otros.

http://www.matematicastyt.cl/Algebra/Polinomios/Factorizacion/pag1.htm

Aquí encontrará ejercicios desarrollados de factorización y otros.

MATEMÁTICA I 109


ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS


Al término de la unidad, el alumno, resuelve ecuaciones, de primer y segundo grado, así

como sistemas de ecuaciones lineales, con dos variables, aplicando propiedades y

métodos algebraicos.

TEMARIO

Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones

Ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Ecuaciones de segundo grado y propiedad de las raíces

Ecuaciones de segundo grado; métodos de solución


Los alumnos desarrollan, por equipos de tres integrantes, los ejercicios propuestos en el manual.

Verifican los resultados.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4

110


TEMA 8: ECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

8.1 Ecuaciones lineales

Forma general: ax + b = 0 ; a 0

Solución: x = - b/a Tipos:

a. Ecuaciones lineales o enteros: Ejemplo: Halle el valor de x:

a) 5x - (4x + 3) = 7x - (2 + 3x) + 25 Solución: 5x - 4x - 3 = 7x - 2 - 3x + 25

5x - 4x - 7x + 3x = 3 - 2 + 25 - 3 x = 26

x = 26/-3

b) 7x² + 15 = (5x - 2) (3x + 7) - (4x - 1) (2x + 11)

x = - 18/13

b) Ecuaciones fraccionarias: Se obtiene el MCM cuidando que el denominador nunca sea cero.

Ejemplo: Halle el valor de x:

a) Resuelva: 6

1x2)1x3(

3

21x2

2

3

Resolución : M.C.M ( 2 , 3 , 6 )= 6

Divide el MCM entre cada denominador y su resultado multiplica a su

respectivo numerador:

- 9 (2x + 1) - 4(3x - 1) = 12x + 1 - 18x - 9 - 12x + 4 = 12x + 1 - 18x - 12x - 12x = 9 - 4 + 1

- 42 x = 6 x = - 1/7

b) b54

xb4

7

bx

5

xb23

Resolución: M C M( 5 , 7 , 4 ) = 140

MATEMÁTICA I 111


x = 8 b

Problemas desarrollados:

a) A un alumno le preguntaron la hora y responde “son los 5/7 de lo que falta para terminar el día”. ¿Qué hora es?

Resolución:

b) Las edades de una madre y 2 hijos suman 60 años. Halle la edad del menor de los hijos, sabiendo que el mayor tiene 3 veces la

edad del menor y la madre el doble de la suma de sus hijos.

Resolución :

Madre = M Hijo mayor = H1 M + H1 + H2 = 60 Hijo menor = H2

H2 = 5 años

c) Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/ 7 500. Cada una ahorra anualmente S/. 500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

Resolución: Sea “x” el de años que ahorra cada persona.

- Ahorro total de cada persona 500x - capital + ahorro de la 1ra persona: 20 000 + 500x - capital + ahorro de la 2da persona: 7 500 + 500x Entonces 20 000 + 500x = 2 [7 500+500x] 20 000 + 500x = 15 000 + 1000x 5 000 = 500x 10 años = x

a.m. 10 las son10x

120x12

120x5x7

)24(7

5x

7

5x

x247

5x

112



1) Resuelva los siguientes ejercicios:

a) 5x – (7x – 4) – 2 = 5 – (3x + 2)

b) 3

14

2

1

4

232

xxxx

2) Resuelva

5

1

5

245

20

56

49

12 2

2

2

2

2

x

xx

xx

xx

x

xx

3 ) Resolver :

18

54

3

15

12

543

4

532

xxxx

4) Resuelva la ecuación:

22

381212

2²3

65²632 22

34

34

x

xxxx

xxxx

xxxx

5) Resuelva la ecuación:

103

23

2

1

166

8

6416

42

2

6422

4

2

232

xx

x

x

x

xx

xx

xx

xxx

x

x.

MATEMÁTICA I 113


x = 1

8.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Sistema: Se llama así a un conjunto de ecuaciones que se verifican para un mismo

valor de las incógnitas. Ejemplo: x + 3y = 10 ... (I) 4x - y = 1 ... (II) Métodos de resolución: a) Por eliminación (Adición algebraica) Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 ……………. ( a ) 4x - y = 1 ……….…… ( b ) Resolución : La ecuación ( a ) queda igual : x + 3y = 10 La ecuación ( b ) por 3 : 12x - 3y = 3 13x = 13

Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones.

Así, en ( a ): 1 + 3y = 10 3y = 9

b) Por sustitución: Se despeja cualquier variable de una de las ecuaciones y se reemplaza en el otro.

Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 ……………..( a ) 4x - y = 1 …..…………( b ) Resolución : De la ecuación ( a ) : x = 10 - 3y reemplazamos en ( b )

4 (10 - 3y) - y = 1 40 - 12y - y = 1

- 13y = - 39

y = 3 Reemplazando en la ecuación ( a )

Así, x + 3 (3) = 10

x + 9 = 10

x = 1

y = 3

114


c) Por igualación: Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego se igualan (pueden ser también constantes).

Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 …………… ( a ) 4x - y = 1………………. ( b ) Resolución: De (a) x = 10 - 3y

De (b) 4x = 1 + y Son iguales

x = 4

y1

10 - 3y = 4

y1

40 - 12y = 1 + y

- 13y = - 39

y = 13

39

en (a): x + 3 (3) = 10

Nota: Al resolver, por cualquiera de los 3 métodos, el resultado no cambia.

Ejercicios desarrollados: 1. Juan ahorra en billetes de S/. 50 y S/. 100. Para hacer un obsequio a su madre por su

cumpleaños, abre la alcancía y logra contar 200 billetes que hacen un total de S/. 14 000, suma con la cual compra el presente. Después de agradecer la madre tan noble gesto, le pregunta: Juanito, ¿Cuántos billetes de S/. 50 y cuántos de S/. 100 ahorraste?

Resolución: a) Representación

Número de billetes de S/. 50 : x Número de billetes de S/. 100 : y x + y = 200 Sistema 50x + 100y = 14 000

x = 1

y = 3

MATEMÁTICA I 115


b) Solución del sistema: Valor de y:

-100x – 100y = -20 000 50x + 100y = 14 000 x + y = 200

-50x = - 6 000 120 + y = 200 x = 120 y = 80

Respuesta: Ahorró 120 billetes de S/. 50 y 80 billetes de S/. 100.

2. El resultado de una prueba escrita de Matemática Discreta I es como sigue: los 2/3 de

alumnos aprobados son igual al triple de los desaprobados más 4. Si al número de aprobados se quita el quíntuplo de desaprobados, resulta 2. ¿Cuántos alumnos aprobaron la prueba y cuántos desaprobaron?

Resolución: a) Representación

Número de alumnos aprobados : x Número de alumnos desaprobados : y 2/3x = 3y + 4 Sistema x – 5y = 2

b) Resolución del sistema: Valor de x:

2x = 9y + 12

x – 5y = 2 ..................... () 2x – 9y = 12

-2x + 10y = -4 y = 8

en (): x – 5 (8) = 2 x = 40 + 2 x = 42

Respuesta: Aprobaron 42 alumnos y desaprobaron 8.

Problema propuesto

1. Por ventas del día de una bodega, se contabilizó 160 billetes por un monto de 5000 soles entre billetes de S/.10, S/.50 y S/.100. Si la mitad del número de billetes de S/.10, más la cuarta parte del número de billetes de 100 es igual a los 11/8 del número de billetes de 50, ¿cuántos billetes de cada denominación se contabilizó?

Respuesta: 100 de S/.10, 40 de S/.50, 20 de S/.100.

116



1) Resuelva el siguiente sistema


2x + 3y = 7 5x - 7y = 3 yx

yx

34

4

14

3

1

3) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

:

a)

x5

2y4

3

5x2

y6

3y

4

5x3

b) b5ay2x3

ab5y3x2

4) Resuelva:

byx

1

yx

1

ayx

1

yx

1


1

1

3

1

5

121

2

1

3

yx

yx

6) El perímetro de un rectángulo es 56 m. Si el largo disminuye en 2 m. y el ancho aumenta en 2 m, la figura se convierte en un cuadrado. Halle el lado mayor.

MATEMÁTICA I 117


7) Juan dice a Pedro: “Dame S/ 18 000 y así tendré el doble de dinero que tú”. Y Pedro le contesta: “Más justo es que tú me des S/ 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad”. ¿Cuánto tenía Pedro?


I. Resuelva:

1) 4

1

5

4

3

25

13

24

7

x

3) n

mxx

mxmx

3

2

2

2) 6

25

3

2

1

2

1

xx

x

x

4) xmnm

nx

nm

mx

22

II. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones

5) 1

245

yx

yx 6)

023

7295

yx

yx

7 ) 8310

754

yx

yx 8 )

21

79

3

2

7

4172

yx

yx

9)

xy

yx

3

52

753

17

10)

2

1105,42

723522

yxyx

yxyx

118


ÓN

11) Resuelva el sistema:

6

1154

3

531

yxyx

yxyx

12) Resuelva el sistema de ecuaciones:

33y

1

x2

10

63y

13

x2

5

13) Resuelva el sistema de ecuaciones:

2yx

1

yx

5

5

7

yx

2

yx

3

MATEMÁTICA I 119


Tema 9: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

9.1 Ecuaciones de segundo grado; métodos de solución

Forma general es: ax² + bx + c = 0 donde a, b, c son constantes y a 0.

Ejemplo: 2x² + 3x - 5 = 0 ; vemos que a = 2 b = 3 c = -5 Además, toda ecuación de segundo grado tiene 2 raíces o soluciones. Métodos para hallar dichas raíces: M1) Fórmula general: Para ver si las raíces o soluciones son reales o imaginarias, se analiza el

DISCRIMINANTE ( = b² - 4ac) Casos:

1. Si > 0 ; las raíces serán reales y diferentes.

Así; ;

2. Si = 0 ; las raíces serán reales e iguales. Así;

3. Si < 0 ; las raíces serán complejas conjugadas. (No tienen solución real)

a2

ac4bbx,x

2

soluciones o raices

21

a2

ac4bbx

2

1

a2

ac4bbx

2

2

a2

bxx 21

120


Ejemplos desarrollados: Resuelva: 2x² + 3x - 5 = 0

Solución: a = 2 , b = 3 , c = -5

Analizando discriminante ()

= b2 - 4ac

= 3² - 4(2) (-5)

= 49

estamos en el primer caso.

14

73

)2(2

493x1

2

5

4

73

22

493x2

El conjunto solución es { ( 1, -5/2) }

M.2) Por factorización: Método ya conocido Ejemplo: Resuelva: 2 x² + 3x - 5 = 0 Sol.

2 x² + 3x - 5

2

5x05x2

1x01x

0)5x2)(1x(5x2

1x

M.3) Completando cuadrados: Para aplicar este método, el coeficiente de x² siempre debe ser UNO.

Ejemplo: Resuelva: x² + 4x - 6 = 0

Solución: 062

4

2

4x4x

222

0642x 2

102x

102x102x102x

2

12

> 0

MATEMÁTICA I 121



De las siguientes ecuaciones indicar como son sus raíces :

a ) b ) c )

2) Resuelva empleando la fórmula general.

;

3) Resuelva empleando factorización.

;

EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1 Halle el valor de m para que la ecuación: m

x

1m.)1x(

)1m()1x(x

tenga raíces iguales.

Resolución: m [ x² - x - m - 1] = x (xm - x - m + 1) m x² - m x - m² - m = m x² - x² - mx + x x² - x - (m² + m) = 0 Como las raíces son iguales el discriminante es cero, se obtiene m = -1/2.

2. Si en la ecuación se conoce que sus raíces son iguales, halla

el valor de “a”. Resolución : Al tener raíces iguales su discriminante es igual a cero

Factorizando :

De donde se tiene a = 4.

122



1 Determine los valores de “a” si se sabe que la ecuación

tiene raíces iguales.

2 Determine el valor de “”, si se sabe que la siguiente ecuación tiene una sola solución.

3 Determine el valor de k sabiendo que la ecuación tiene solución única. Además, halle sus raíces: 4x² - 1 = 6kx² - 3kx

4 En la siguiente ecuación , la suma de sus raíces es igual a

7. Halle dichas raíces.

5 En la siguiente ecuación , se cumple que el producto de

sus raíces es igual a -1/3. Halle dichas raíces.

MATEMÁTICA I 123



ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelva:

1) 12

5

5x3x

4x2x

2) (3x - 1) (3x + 1) = x²

3) 5x² + 3x = 0

4) I. Resuelva x factorización. II. Resuelva completando cuadrados. a) x² - 8x – 9 = 0 a) x2+6x-8 = 0 b) x² + 3x + 2 = 0 b) 4x2-5x-1=0 c) 2x² - 5x + 2 = 0 c) 3x2-6x-1=0 d) 4x² - 12x + 9 = 0 d) 3x2+5x+1=0

e) 3x² + 19x + 6 = 0 e) 3

x

16

3x82

5) En cada una de las siguientes ecuaciones, determine los valores de k para los

cuales la ecuación tiene una sola solución: a) kx2 - 6x + 1 = 0 b) x2 + x + 2k = 0

6) Encuentre el valor de “n” para el cual la ecuación: x2 - 2 (n-3)x + 4n = 0 tiene raíces iguales 7) Determine el valor de k sabiendo que la ecuación tiene una sola solución real.

Además, halle las raíces. 7x2 - 1 = 8kx2 - 2kx 8) ¿Qué valores debe tomar “k” para que las raíces de la ecuación (k-

1)x2 - (k+3)x + 2m + 1 = 0 difieran en 3?

124


Resumen

Ecuación Lineal.- Es un polinomio de grado uno y, por lo tanto, tiene una

sola solución o raíz. Esta puede ser:

a) Entera .- Cuando los términos no tienen denominadores b) Fraccionaria.- Cuando los términos tienen denominadores iguales o

diferentes. Para resolverlas se halla el MCM. Ecuaciones de segundo grado.- Es un polinomio de grado dos igual a cero;

por lo tanto, tiene dos soluciones o raíces. Las forma de resolverlas son las siguientes:

a) Por fórmula general.- Esta resuelve cualquier trinomio de grado dos,

está dado por: a2

ac4bbx,x

2

soluciones o raices

21

b) Por Factorización.- Cuando el Discriminante es un cuadrado perfecto.

c) Completando cuadrado.- Se utiliza cuando el coeficiente de la variable de mayor grado es UNO. Consiste en sacar la mitad del coeficiente del término lineal y a éste resultado elevarlo al cuadrado. En todos los casos, primero se agrega y luego se quita. Por esta razón, algunos autores a este método lo llaman “pon y quita”.


páginas. http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm

Aquí encontrará información sobre ecuaciones de 2do grado.

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html En esta página encontrará información relativa al tema.

http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html

MATEMÁTICA I 125


DESIGUALDADES E INECUACIONES


Al término de la unidad, el alumno, resuelve inecuaciones mediante el empleo de las gráficas del conjunto solución en la recta de los números reales y el método de los puntos críticos. Para ello, deben aplicar teoremas sobre desigualdades y las propiedades de los factores de potencia y factores cuadráticos.

TEMARIO

Desigualdades : - Definición - Clases :*Absolutas

*Relativas

- Propiedades

Usar las propiedades de las inecuaciones lineales

Operaciones entre inecuaciones

Inecuaciones de segundo grado: - Teoremas - Inecuaciones factorizables y no factorizables - Factor elevado a potencia par e impar - Inecuaciones de orden superior


Los alumnos, por medio de exposiciones dialogadas y la resolución de ejercicios por parte del profesor, trabajarán de manera grupal y obtendrán los resultados a los ejercicios propuestos para la clase.

Los alumnos resolverán ejercicios propuestos para que lo desarrollen en su domicilio y se revisará en la próxima clase.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5

126


Tema 10: DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 10.1 Desigualdades, propiedades Una desigualdad es una relación que existe entre cantidades que tiene diferente valor. Esta relación puede ser:

“mayor que” (>) ; “mayor o igual que” ( ) “menor que” (<) ; “menor o igual que” ( )

Clases:

a) Absolutas.- Aquellas que se verifican para cualquier número real.

1045)

04): 2

ii

xiEjemplos

b) Relativas.- Aquellas que se verifican sólo para determinados valores que se asignan a sus incógnitas.

1032)

205):

xii

xiEjemplos

Propiedades 1) Si a > b y b > c entonces

2) Si a > b y c R entonces

3) Si dc

ba

también:

dc

ba

entonces entonces

4) Si a > b y c > 0 entonces Si a > b y c < 0 entonces 5) Si a > b y c > 0 entonces Si a > b y c < 0 entonces

6) Si a > b donde a > 0 y b > 0 entonces nn ba ( n par o impar positivo)

7) Si a > b donde a > 0 y b > 0 entonces nn ba ( n par o impar negativo)

8) Si a > b donde a < 0 y b < 0 entonces nn ba ( n impar positivo)

9) Si a > b donde a < 0 y b < 0 entonces nn ba ( n par positivo)

a > c

a c > b c

a.c > b.c

a.c < b.c

c

b

c

a

c

b

c

a

a + c > b + d a + c > b + d

MATEMÁTICA I 127


10.2 Inecuaciones lineales de una sola variable. Son desigualdades que presentan una sola variable ( incógnita ) y estas tienen como máximo exponente a la unidad. Pasos para su resolución:

1) Se cancelan los denominadores, multiplicando el MCM de dichos denominadores. Considerando que si es una cantidad (+), la desigualdad no cambia de sentido. En cambio si es una cantidad ( - ) el sentido cambia.

2) Se realizan las operaciones indicadas transponiendo términos de un miembro a otro. Para ello, se aísla en uno de los miembros a todos los términos que contienen a la incógnita y en el otro a los que no la contienen.

3) Despejar la incógnita, considerando que si la cantidad que pasa al otro miembro a multiplicar o dividir es ( - ), el sentido cambia. En cambio, si es (+), el sentido se conserva.

4) Graficar en la recta numérica el intervalo solución. Ejemplo: Halle el conjunto solución de:

)4x(2

3x

5

3x

4

1x

Solución: M.C.M = 20

5x + 5 - 4x + 12 > 10x + 30 - 20x + 80 5x - 4x -10x + 20x > 30 + 80 - 5 - 12 11x > 93

x > 11

93

- 0 93/11 +

S = x < 93/11 , >

128



1) Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

a) 7x33

5x2

b) x5

4

1x

3

2x

c)

3

1x2

4

1

2

x

2) Halle el conjunto solución de:

a) 4 (7 – x) – 3 (1 – x) > 5 ( x + 2 )

b) 3 (x - 5) – 4 (4 – 3 x ) 2 ( 7 – x ) – 3 ( x – 5 )

3) Resuelva las siguiente inecuación: 5 x - 2 < 10 x + 8 < 2 x - 8

4) Resolver :

5) Resolver

MATEMÁTICA I 129


INECUACIONES RACIONALES (lineales) Son de la forma: donde P(x) y Q(x) son polinomios de primer grado. Ejemplos: Resuelva:

03x

1x2)a

Resolución:

Se recomienda usar el método de los puntos críticos. Para ello se iguala a cero cada factor: 2x+1 = 0 y x - 3 = 0 De donde se observa que “x” puede ser -1/2 ó 3 (denominados puntos críticos). Graficando: Se ubica en la recta real solo los puntos críticos obtenidos (los cuales son abiertos) y la recta se divide en 3 partes limitadas por dichos puntos críticos

Como la expresión es menor que cero , el conjunto solución será el intervalo que tiene el signo menos. C.S. : ]-1/2 , 3[

0

)x(Q

)x(P <

130




a) 13x6

9x3

b ) 03

92

x

x

c ) 0x84

8x2

2) Halle AB si :

4

7

x322/RxB;

1x

xx/RxA

2

3) Halle PQ si:

1423562/;16

13

2

1/

2

xxxxRxQ

x

xxRxP

MATEMÁTICA I 131


5.1.3 Inecuaciones cuadráticas

Son inecuaciones que tienen la siguiente forma:

; a 0

Teorema: Si “x” es un número real pero diferente de cero entonces

Corolario: Sea x R entonces

a) INECUACIONES CUADRÁTICAS FACTORIZABLES

Ejemplo: Resuelva: 0342 xx

Resolución: Factorizamos la expresión: ( x – 3 ) ( x – 1 ) 0 Empleando el método de los puntos críticos: 3 y 1 ( puntos críticos cerrados )

Como la expresión es mayor o igual a cero, entonces el conjunto solución está dado por la unión de los intervalos que tengan el signo más: C.S. = [- , 1] U [3 , + ]

00 22 cbxaxocbxax

0x2

0x2

132




010xx2 2

2) Resuelva:

02xx3 2

3) Halle :siBA

37xx2x3/RxA 222 ; 222 3x2x1x/RxB

4) Halle PQ si:

3x3x22x1x/RxP 22 303x51x/RxQ 2

MATEMÁTICA I 133


b) INECUACIONES CUADRÁTICAS NO FACTORIZABLES Para resolver este tipo de inecuaciones, se emplea el método de completar cuadrados, pero teniendo en cuenta las siguientes propiedades: 1) Ejemplos:

CERO. que

menor o negativo número un resultadocomo dé 27x quetal x real número ningún existe No

Falso!¡027xdoFactorizan:Solución

0.4914x2x:Resolvere)

.3será solución conjuntoel Luego,0.23-x3 xpara sí pero CERO)

quemenor decir, (es negativosea 23-x quetal xl valor reaningúnhay No023-xd)

R.: solución conjuntoel luego

CERO,a igual o positivo es21x que resulta x devalor cualquier Para 021xc)

0502

5b)

09023a)

C.S : Φ 2)

Ejemplo: Resuelva: x2 25

debe ser positivo.

Solución:

3)

Ejemplo: Resuelva: x2 49

Si x R entonces x2 0

mxm- :Entonces

positivo.sea m cuando y siempre mxSi 2

5x5

25x25entonces25xSi

mxmentoncesmxSi

2

2

5,5x.S.C

mxmx :Entonces

positivo.sea m cuando y siempre mxSi 2

134


Solución:

Gráficamente:

-7 7 + -

Ahora, aplicaremos el método de COMPLETAR CUADRADOS. Aquí se recomienda que el

coeficiente del término cuadrático sea UNO.

Ejemplo: Resuelva 04xx2 2

Resolución:

2042 2 xx

02

2

4

12

4

1x

2

12x

:cuadradosoCompletand

02x

2

12x

0216

1

4

12

x

4

331x

4

331x

4

33

4

1x

4

33

4

1x

16

33

4

1x

16

33

4

1x

16

33

4

1x

016

33

4

1x

2

2

,

4

331

4

331,xCS

7x7x

49x49xentonces49xSi

mxmxentoncesmxSi

2

2

,77,xCS

MATEMÁTICA I 135



1) Halle el conjunto solución de la siguiente inecuación:

072xx2

2) ¿Cuántos valores enteros satisfacen a la siguiente inecuación?

02x2x2

3) Sean los conjuntos:

04xx3/RxB

015x2x/RxA

2

2

Halle A B

136


4 . Resuelva:

1. 2x + 5 > 4x -7 Rpta x 6,

2. 15

5

1

2

xx Rpta x 5,21,5

3. 3(x –2) + 2x(x +3) > (2x - 1)(x + 4) Rpta x ,1

4. 2x +7 < 6x - 5 Rpta x ,3

5. xx2

153

4

1 Rpta x ,14

51

6. 3x2 - 11x + 5 > 0 ; Rpta x

,

6

6111

6

6111,

7. Determine: A BAB , , A-B y B-A , sabiendo que :

A= 47,3015,47,20 y B= 50,4030,70,12

MATEMÁTICA I 137


PARb) (ax

IMPARb) (ax

1,1,2RxCS

a) Factor lineal elevada a potencia PAR

Son de la forma: Para simplificar o eliminar el exponente, se debe tener en cuenta el siguiente teorema: Lo que quiere decir que el factor es mayor o igual a cero. Ejemplo: Resuelva:

0

1x

1x2x

50

1002

Solución:

; Restricciones:

x -2 valores que no puede tomar x porque haría

x -1 CERO el factor y la pregunta es MAYOR

x 1 que CERO.

b) Factor lineal elevada a potencia IMPAR

Son de la forma ; para simplificar o eliminar el exponente, se copia solamente la base y se saca los puntos críticos para graficarlo y resolverlo.

Ejemplo: Resuelva:

0

3x2

2xx2x

101

6531

Solución: Se copia solamente la base de cada factor:

Tema 11: INECUACIONES CON FACTOR ELEVADO A POTENCIA PAR, IMPAR Y CUADRÁTICA. INECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

0xRxSi 2

0

1x

1x2x50

1002

++

+

138


0cbxax2

0

3x2

2xx2x

P.C. =

2

3,2,0,2

+ -

- + -+ +

-2 -3/2 0 2

c) Factor cuadrático

Son de la forma ; a 0. Este caso ya lo hemos estudiado en la que establecimos que se debe factorizar en todos los casos.

Ejemplo: Resuelva:

0

7xx8

1x2x5x3

2

22

Solución: Factorizando el numerador y denominador:

8

7,1,1,

3

2..

1

Re;0

178

11123

CP

x

stricción

xx

xxxx

+ -

- + -+ +

-1 -7/8 2/3 1

2,02

3,2xCS

,1

3

2,

8

71,xCS

MATEMÁTICA I 139


Ejemplo: Resuelva:

0

5x4x5x

21x3x4x4x

269

40220

Solución:

5,2

1.C.P

05x

2

1x

1x

3x

4x

:sstriccioneRe

05x4x5x

2

1x1x3x4x

269

404020

El factor cuadrático x2-4x+5 siempre es positivo para cualquier valor de x. Además su

determinante es < 0.

se descarta este factor.

+ + +

+

4,3,12

1,5

xCS

-

-+

-5 1/2 +

+

140



1) Resuelva:

0

8x6x

3x2x5x1x

20

19310

2) Resuelva:

0

3x4x

3

1x2x3x1x

5040

3120

3) Resuelva:

0

3x9x4x

5x1x4x

212

602

4) Resuelva:

0

106

934452

6125022

xxx

xxxxx

MATEMÁTICA I 141


5.2.2 Inecuaciones de orden superior Son de la forma:

Donde n 3 y pertenece al conjunto de los Naturales. Para resolver estas inecuaciones, se debe factorizar en todos los casos, aplicando los métodos ya conocidos.

Ejemplo: Resuelva: 04x8xx7x5x 2345

Solución: Factorizamos utilizando Ruffini:

221114875 2345 xxxxxxxxxx

En el ejercicio: ; Restricciones

x -1

x -2 x – 1 > 0

x > 1

1

1

5 1

7 6

-1 13

-8 12

-4 4

-1

1

6 -1

13 -5

12 -8

4 -4

0

-1

1

5 -1

8 -4

4 -4

0

-2

1

4 -2

4 -4

0

-2

1

2 -2

0

1 0

0axa.......xaxa n1n

1n1

n0

<>

Divisores

1

4 2

4

021122 xxx

+ +

,1xCS

142


Ejemplo: Resuelva: 06x13x17x5x3

12x13x

234

3

Solución: Factorizando: numerador: denominador:

1

1

0 1

-13 1

12 -12

2

3

5 6

-17 22

-13 10

6 -6

3

1

1 3

-12 12

0 -1

3

11 -3

5 -8

-3 3

0

-4

1

4 -4

0 -3

3

8 -9

-3 3

0

1 0 1/3

3

-1 1

0

3 0

(x – 1) (x – 3) (x + 4) (x – 2) (x +1) (x + 3) (x – 1/3) En el ejercicio:

0

31x3x1x2x

4x3x1x

P.C. = 1, 3, -4, 2, -1, -3, 1/3

+

- + - +

1 2 3-

+ - +-

-4 -3 -1 1/3

3,21,311,34,xCS

MATEMÁTICA I 143



1) Resuelva: 0682 234 xxxx

2) Resuelva: 029294 234 xxxx

3) Resuelva: 09x9xx

8x4x6x5x

23

234

4) Resuelva:

04x8x3x2x

10xx21xxx

234

223

144



I. Inecuaciones de primer grado 1. Si se tiene:

A = { x R / 1 -2x [ -11, 11> }

B = { x R / 6x + 2 + 4 4x + 1 8 + 3x }

2

C = { x R / (x + 1)2 > ( x - 1)2 }

D = { x R / x + 7 2 + 2x + 16 }

3 Halle:

CBDAK

2. Si se tiene:

A = { x R / 2 < 1 , 2 ] 2x + 3 4

B = { x R / 2 x + 5 2 + 3x + 6 } 3 2

C = { x R / 6x - 7 = 9x - (7 + 3x )

D = {x R / (x + 1 )2 - 9 (x + 2)2 (x - 1)2 + 4x + 7

Halle el conjunto solución de:

I = [( C’ D)’ U (B - C)] - A II. Inecuaciones de grado superior 3. Inecuaciones polinómicas Resuelva:

a) (x-2)3 (x+3)5 (x-1) (x-5)4 (x-1) 0

b) (x2-1) (x4-1) (x3 - 27)3 > 0

c) (x2 + 4x +5) (x-3)2 (x) (x+1) < 0

d) x5 + 5x4 + 7x3-x2 - 8x - 4 > 0

e) (x3 - 1)3 (x4 - 1) (-x2 + x) (-x - 2)2 < 0

MATEMÁTICA I 145


4. Inecuaciones racionales: Resuelva:

a) (x-8) (x-5) (x+ 3) (x+2) (x-10 0 (x + 5) (x - 2) (x -11) b) (x-2)3 (x+1)2 (x-1) > 0 x3 -3x2 + 3x - 1

c) (x2 + x - 6) (x2 - x- 6) 0 (x2 + 4) (x2 -16)

d) 2x + 1 2x - 3 x + 3 x + 1

5. Resuelva:

(x2 - 1)3 (x3 - 13x + 12) _ 0 (x + 4)5 (x3 + 8x2 + 4x –48) 6. Resuelva:

(x + 5)3 (x + 1)4 (x + 2) (x2 - 7x + 12) (8 - x)4 0

(x + 7)6 ( x - 8) (x3 - 8) (x2 - 14x + 48)

7. Un carpintero hizo cierto número de mesas. Vendió 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace, después, 6 mesas más y vende 36, por lo que le quedan menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas ha hecho el carpintero?

8. Si al doble de la edad de Tovar se le resta 17 años, resulta menor que 39; pero si

a la mitad de la edad se le suma 3, resulta mayor que 15 ¿Cuál es la edad de Tovar?

146


Ejercicios adicionales

1) Resuelva:

0

2x3x4x4x

12x13x6xx

10022

32

2) Resuelva:

01x3x3x

x91x2x

23

29069

02x1xx2x

1x2x2x1x2x/RxB

2,2x22/RxA:Sea)3

342

222

Halle A – B

CBAHalla

02xx2x/NxC

3

1x42x2

2

x3/ZxB

2,2x24/ZxA)4

45

MATEMÁTICA I 147


Resumen

Desigualdades.- Es una relación que existe entre dos cantidades.

Tenga presente, para realizar operaciones con desigualdades, estas deben cumplir ciertos requisitos (propiedades).

Inecuaciones Lineales.- Para resolverlas, tenemos que tomar en cuenta las propiedades. Estas nos permiten mantener o variar el sentido de la desigualdad. Al resolver una inecuación obtenemos un conjunto infinito de respuestas.

Inecuaciones Cuadráticas.- Son de la forma 2 0ax bx c . Estas pueden ser:

a) Factorizables.- Aquellas que se convierten en producto de factores; proceso: obtener sus puntos críticos, ubicarlo en la recta real y, finalmente, sombrearlo para obtener el conjunto solución.

b) No factorizables.- Para resolverlas, tenga presente: Completar cuadrados Aplicar uno de los siguientes teoremas, según sea el caso:

Si 2x m m x m

Si 2x m x m x m

Factor elevado a potencia PAR e IMPAR:

a) PAR.- Para eliminar la potencia, tenga presente si 2 0x R x

b) IMPAR.- Toda potencia impar se elimina la potencia y se copia la base, y se sigue los pasos ya conocidos.

Inecuaciones de Orden Superior.- Por regla, toda inecuación de grado dos o mayor se factoriza y se sigue los pasos ya conocidos. Es decir: Factorizar empleando cualquier método Si hay factores comunes, se suman exponentes o se cancelan con su

restricción respectiva. Sacar puntos críticos (PC) Los PC ubicarlos en la recta real Finalmente, sombrear el signo resultante obtenido por la regla de signos y

este será el conjunto solución. Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes

páginas. http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach2/DesigCuad/index.html

Aquí hallará información sobre el tema.

http://www.unapiquitos.edu.pe/intranet/pagsphp/docentes/archivos/inecuaciones.pdf

En esta página, hallará información sobre el tema.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

6

SEMANA

1

Date post:	22-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	walter-lazaro-munoz
View:	27 times
Download:	11 times

Manual 2012-II Matemática I (0143)

Documents