MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

Masalah Interpolasi 1-DMasalah Interpolasi 2-D

Rujukan

MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

Hendra GunawanITB Bandung

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/Analysis and Geometry Group

Bandung Institute of TechnologyBandung, Indonesia

Seminar Nasional Analisis Matematika IV16 April 2011

Hendra Gunawan ITB Bandung http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, IndonesiaMASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D


Rujukan

Outline

1 Masalah Interpolasi 1-DMasalah Interpolasi k TitikBentuk Umum Masalah Interpolasi

2 Masalah Interpolasi 2-DInterpolasi PolinomialHasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev

3 Rujukan



Rujukan

Masalah Interpolasi k TitikBentuk Umum Masalah Interpolasi

Interpolasi Linear

Diberikan dua titik x0 dan x1 di R dengan x0 < x1, dan duabilangan c0, c1 ∈ R, terdapat tepat sebuah garis lurusy = mx+ k = f(x) sehingga

f(xi) = ci, i = 0, 1.



Rujukan


.



Rujukan


.



Rujukan


Interpolasi Linear Bagian demi Bagian

Diberikan n titik xi ∈ R dan n bilangan ci ∈ R, i = 1, . . . , n,interpolan yang paling trivial adalah fungsi linear bagian demibagian yang menghubungkan titik-titik (xi, ci) tersebut.

.Hendra Gunawan ITB Bandung http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, IndonesiaMASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D


Rujukan


Interpolasi Polinomial

Diberikan tiga titik berbeda x0, x1 dan x2 di R, dan tiga bilanganc0, c1, c2 ∈ R, terdapat tepat sebuah parabola

y = f(x) = ax2 + bx+ c

sehinggaf(xi) = ci, i = 0, 1, 2.



Rujukan


Secara umum, diberikan n+ 1 titik berbeda xi ∈ R dan n+ 1bilangan real ci, terdapat tepat sebuah polinom berderajat n

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

yang grafiknya melalui titik-titik (xi, ci), i = 1, . . . , n.



Rujukan


Keluarga fungsi {1, x, . . . , xn} dapat dipakai untuk menyelesaikanmasalah interpolasi

f(xi) = ci, i = 0, 1, . . . , n,

dengan x0 < x1 < · · · < xn dan ci ∈ R sembarang.

Apa kuncinya?

Apakah karena {1, x, . . . , xn} bebas linear (selain banyak fungsinyasama dengan banyak data yang diberikan)?



Rujukan


Bagaimana bila kita gunakan {1, x2} untuk menyelesaikan masalahinterpolasi

f(−1) = c0, f(1) = c1.

Jika c0 = c1, maka terdapat banyak solusi, yakni semua fungsi fyang berbentuk

f(x) = c0[λ+ (1− λ)x2].

Jika c0 6= c1, maka berapapun λ, µ ∈ R, fungsi f(x) = λ+ µx2

tidak akan menginterpolasi data tersebut.



Rujukan


Mengapa {1, x2} gagal? Secara umum, misalkan kita inginmencari f(x) = λ+ µx2 sehingga

f(xi) = ci, i = 0, 1.

Maka, kita berhadapan dengan sistem persamaan

λ+ µx2i = ci, i = 0, 1.

Eksistensi solusi sistem ini tergantung pada nilai determinan∣∣∣∣ 1 x20

1 x21

∣∣∣∣ = x21 − x2

0.

Karena determinan mungkin bernilai nol, eksistensi solusi tidakdijamin. Kalaupun eksis, ketunggalan tidak dipenuhi.



Rujukan


Determinan Vandermonde

Jadi kunci yang membuat {1, x, . . . , xn} dapat selalumenyelesaikan masalah interpolasi

f(xi) = ci, i = 0, 1, . . . , n,

bukan karena mereka bebas linear, tapi karena∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 · · · xn

0

1 x1 · · · xn1

......

. . ....

1 xn · · · xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∏j<i

(xi − xj) 6= 0.

Determinan ini dikenal sebagai determinan Vandermonde.



Rujukan


Sistem Chebyshev

Keluarga fungsi {φ1, . . . , φn} disebut sistem Chebyshev padaA ⊆ R apabila

det[φj(xi)] 6= 0

untuk sembarang x1 < · · · < xn di A.

Contoh. {1, x, . . . , xn} merupakan sistem Chebyshev pada R.



Rujukan


Contoh lainnya

Keluarga fungsi {sinπx, . . . , sinnπx} merupakan sistemChebyshev pada (0, 1), sementara {1, cosπx, . . . , cosnπx}merupakan sistem Chebyshev pada [0, 1], dengan

det[sin jπxi] = 2n(n−1)/2n∏

i=1

sinπxi

∏j<i

(cosπxi − cosπxj).

det[cos jπxi] = 2n(n−1)/2∏j<i

(cosπxi − cosπxj).

[Fajar Yuliawan (ITB)]



Rujukan


Akibat. Jika {φ1, . . . , φn} adalah sistem Chebyshev pada A, makauntuk setiap x1 < · · · < xn di A dan sembarang bilanganc1, . . . , cn ∈ R masalah interpolasi

f(xi) = ci, i = 1, . . . , n,

mempunyai solusi tunggal f(x) =n∑

i=1αiφi(x).



Rujukan


Polinom Lagrange

Dengan menggunakan {1, x, . . . , xn} sebagai sistem Chebyshev,masalah interpolasi f(xi) = ci, i = 0, 1, . . . , n mempunyai solusi

tunggal f(x) =n∑

i=0αix

i.

Lagrange menemukan bahwa f dapat dinyatakan sebagai

f(x) =n∑

i=0

ciφi(x)

dengan

φi(x) :=∏j 6=i

x− xj

xi − xj.

Perhatikan bahwa φi(xi) = 1 dan φi(xj) = 0 untuk j 6= i.



Rujukan


Masalah interpolasi secara umum dapat dinyatakan sebagai

Lif = ci, i = 1, . . . , n,

dengan Li menyatakan fungsional linear (yang memetakan fungsi fsecara linear ke suatu bilangan Lif) dan ci ∈ R.

Contoh.

Lif = f(xi) = nilai f di xi.

Lif =∫ ba x

if(x) dx = momen ke-i dari f pada [a, b].

Lif = f (i)(c) = turunan ke-i dari f di c.



Rujukan


Bila kita gunakan {v1, . . . , vn} sebagai basis untuk ruanginterpolannya, maka sistem persamaan

Lif =n∑

j=1

ajLivj = cj , i = 1, . . . , n,

akan mempunyai solusi tunggal f =n∑

j=1ajvj jika dan hanya jika

det[Livj ] 6= 0.



Rujukan


Contoh. Masalah interpolasi momen

Lif =∫ 1

0xif(x) dx = ci, i = 0, 1, . . . , n,

mempunyai solusi tunggal f(x) =n∑

i=0aix

i jika dan hanya jika

det[Livj ] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∫ 10 dx

∫ 10 x dx · · ·

∫ 10 x

n dx∫ 10 x dx

∫ 10 x

2 dx · · ·∫ 10 x

n+1 dx...

.... . .

...∫ 10 x

n dx∫ 10 x

n+1 dx · · ·∫ 10 x

2n dx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

(Di sini kita menggunakan vi(x) = xi, i = 0, 1, . . . , n sebagai basisuntuk ruang interpolannya.)



Rujukan


Perhatikan bahwa

det[Livj ] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈v0, v0〉〈v0, v1〉 · · · 〈v0, vn〉〈v1, v0〉〈v1, v1〉 · · · 〈v1, vn〉

......

. . ....

〈vn, v0〉〈vn, v1〉 · · · 〈vn, vn〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,dengan 〈vi, vj〉 :=

∫ 10 vi(x)vj(x) dx.



Rujukan


Determinan Gram

Determinan tadi merupakan determinan Gram, yang dijamin tidaknol karena {v0, v1, . . . , vn} = {1, x, . . . , xn} bebas linear.(Secara geometris, determinan Gram di atas menyatakan kuadratvolume paralelpipedium yang direntang oleh v0, v1, . . . , vn.)

Jadi masalah interpolasi momen

Lif =∫ 1

0xif(x) dx = ci, i = 0, 1, . . . , n,

dijamin mempunyai solusi tunggal berbentuk f(x) =∑aix

i.



Rujukan


Who’s who..

Masalah interpolasi telah dipelajari cukup lama, setidaknya sejakNewton (1675) dan Taylor (17xx), yang diikuti oleh Lagrange(1795), Legendre (17xx), Gauss, (18xx), Chebyshev (18xx),Lebesgue (18xx), Erdos (19xx), dst.

Masalah interpolasi 2-D dipelajari antara lain oleh Zakhor padaakhir 1980-an [8, 9].

Pada 2005, Alghofari [1] mempelajari masalah interpolasi yangmeminimumkan energi fungsional tertentu. Hasil Alghofaridiperluas oleh Gunawan dkk dalam 3 tahun terakhir [2, 3, 7].



Rujukan


Sebagai ilustrasi, fungsi f : [0, 1] → R yang mengenterpolasi(xi, ci), i = 1, . . . , n, pada pita [0, 1]× R, dan meminimumkanenergi potensial beban aksial

E1 :=∫ 1

0|f ′(x)|2 dx

adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan ntitik tersebut. Bila fungsinya harus meminimumkan kurvatur

E2 :=∫ 1

0|f ′′(x)|2 dx,

maka interpolannya merupakan fungsi kubik bagian demi bagian(lihat [2]).



Rujukan

Interpolasi PolinomialHasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev

Interpolasi 2-D

Diberikan data berupa nilai ci di titik-titik pi = (xi, yi),i = 1, . . . , N , pada D ⊆ R2, ingin dicari fungsi u = f(x, y)sehingga

f(pi) = ci, i = 1, . . . , N.



Rujukan


Interpolasi Polinomial 2-D

Sebagai contoh, diberikan tiga titik (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) di R2

dan tiga bilangan c1, c2, c3 ∈ R, kita ingin tahu apakah terdapattepat sebuah polinom dua peubah u = a+ bx+ cy sehingga

u(xi, yi) = ci, i = 1, 2, 3.

Jawabannya TIDAK SELALU.



Rujukan


Perhatikan determinan∣∣∣∣∣∣1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

1 x1 y1

0 x2 − x1 y2 − y1

0 x3 − x1 y3 − y1

∣∣∣∣∣∣ .Bila (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3) segaris, maka determinan di atasbernilai nol (karena (x3 − x1)/(x2 − x1) = (y3 − y1)/(y2 − y1)).

Jadi eksistensi polinom u = a+ bx+ cy yang menginterpolasiketiga titik tersebut tidak dijamin. Kalaupun eksis, tidak tunggal.



Rujukan


Sistem Chebyshev pada R2?

Bila kita mempunyai dua sistem Chebyshev, sebutlahΦ := {φ1, . . . , φm} dan Ψ := {ψ1, . . . , ψn}, apakah hasilkalitensornya, yakni {φi(x)ψj(y) : i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n},membentuk sistem Chebyshev pada R2?

Dalam perkataan lain, diberikan mn titik di R2, apakah senantiasaterdapat u =

∑i

∑j aijφi(x)ψj(y) yang menginterpolasi data

pada mn titik tersebut?

Jawabannya NEGATIF.

Hasil kali tensor dari dua buah sistem Chebyshev pada R secaraumum bukan merupakan sistem Chebyshev pada R2.



Rujukan


Sebagai contoh, {φ1(x) := 1, φ2(x) := x} merupakan sistemChebyshev pada R, namun

{φi(x)φj(y) : i, j = 1, 2} = {1, x, y, xy}

bukan merupakan sistem Chebyshev pada R2: Diberikan empattitik sembarang, tidak dijamin ada u =

∑i

∑j aijφi(x)φj(y) yang

menginterpolasi data pada empat titik tersebut.



Rujukan


Walau Demikian ..[3]

Teorema. Misal P := {pi = (xi, yi) : i = 1, . . . , N} membentukgrid persegipanjang m× n pada R2, yakni P dapat dituliskanulang sebagai

{(xi, yj) : i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n}

dengan m× n = N , a ≤ x1 < · · · < xm ≤ b, danc ≤ y1 < · · · < yn ≤ d. Misal Φ := {φ1, . . . , φm} danΨ := {ψ1, . . . , ψn} berturut-turut adalah sistem Chebyshev pada[a, b] dan [c, d]. Maka, masalah interpolasi

f(xi, yj) = cij , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n,

mempunyai solusi tunggal u =m∑

i=1

n∑j=1

aijφi(x)ψj(y).



Rujukan


Ide Pembuktian

Sistem persamaan yang terkait dengan masalah interpolasi tadiadalah Ma = c dengan

M = [φk(xi)]⊗ [ψl(yj)],

yang merupakan hasil kali Kronecker dari matriks pertama yangterkait dengan sistem Chebyshev Φ dan matriks kedua yang terkaitdengan sistem Chebyshev Ψ.

Karena detM =(det[φk(xi)]

)n(det[ψl(yj)])m

dan keduadeterminan di ruas kanan tidak nol, maka detM 6= 0, sehinggasistem persamaan di atas pasti mempunyai solusi tunggal.



Rujukan


Hasil Kali Kronecker

Hasil kali Kronecker dari dua matriks M1 := [aij ]m×m andM2 := [bkl]n×n didefinisikan sebagai

M1 ⊗M2 :=

a11M2 a12M2 · · · a1mM2

a21M2 a22M2 · · · a2mM2...

.... . .

...am1M2 am2M2 · · · ammM2

p×p

dengan p = mn.

Fakta [6]. detM1 ⊗M2 = (detM1)n(detM2)m.



Rujukan


Contoh. Misal kita ingin menginterpolasi data (14 ,

14 ,

12), (1

4 ,12 , 1),

(14 ,

34 , 2), (1

2 ,14 , 1), (1

2 ,12 , 2), (1

2 ,34 , 1), (3

4 ,14 ,

12), (3

4 ,12 , 1), (3

4 ,34 , 1).

Perhatikan bahwa titik-titik yang terkait dengan data tersebutmembentuk grid persegi 3× 3 pada (0, 1)× (0, 1):

.



Rujukan


Jika kita menggunakan sistem Chebyshev {sinπx, sin 2πx, sin 3πx}dan {1, cosπy, cos 2πy}, maka interpolan-nya berbentuk

u(x, y) =a11 sinπx+ a12 sinπx cosπy + a13 sinπx cos 2πy+ a21 sin 2πx+ a22 sin 2πx cosπy + a23 sin 2πx cos 2πy+ a31 sin 3πx+ a32 sin 3πx cosπy + a33 sin 3πx cos 2πy.



Rujukan


Sistem persamaannya dapat disederhanakan dengan OBE menjadi

1 0 0 0 0 0 0 0 0√

22 + 1

20 1 0 0 0 0 0 0 0 −1

20 0 1 0 0 0 0 0 0 −1

20 0 0 1 0 0 0 0 0 3

4

0 0 0 0 1 0 0 0 0 −√

24

0 0 0 0 0 1 0 0 0 14

0 0 0 0 0 0 1 0 0√

22 − 1

20 0 0 0 0 0 0 1 0 −1

20 0 0 0 0 0 0 0 1 1

2

.



Rujukan


Kita peroleh

u(x, y) =

(√2

2+

12

)sinπx− 1

2sinπx cosπy − 1

2sinπx cos 2πy

+14

sin 2πx−√

24

sin 2πx cosπy +14

sin 2πx cos 2πy

+

(√2

2− 1

2

)sin 3πx− 1

2sin 3πx cosπy +

12

sin 3πx cos 2πy

sebagai interpolan yang dikehendaki.



Rujukan


Lebih Jauh ..

Misal G = {(ai, bi, ci) : i = 1, 2, . . . , N} himpunan titik diA1 ×A2 × R, dan H = {(xi, yj) : i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n}adalah grid persegipanjang ’minimal’ yang memuat{(ai, bi) : i = 1, . . . , N}. Di sini kita asumsikan bahwa{(ai, bi) : i = 1, . . . , N} sendiri bukan grid persegipanjang,sehingga N < mn.

Misal {φ1, . . . , φm} dan {ψ1, . . . , ψn} adalah sistem Chebyshevpada A1 dan A2 berturut-turut. Maka kita dapat menggunakan

u(x, y) =m∑

i=1

n∑j=1

aijφi(x)ψj(y) (1)

sebagai interpolan G.



Rujukan


Substitusikan titik-titik pada G ke persamaan (1), kita perolehsistem persamaan dengan N persamaan dan mn variabel. Karenarank matriksnya sama dengan N < mn, maka sistem mempunyaibanyak solusi. Dalam hal ini terdapat banyak nilai aij yang akanmenjadikan fungsi u pada (1) sebagai interpolan G.



Rujukan


Contoh. Misalkan kita ingin menginterpolasi data (14 ,

12 , 2),

(14 ,

34 , 1), (1

2 ,14 , 2), (1

2 ,12 , 3), (1

2 ,34 , 2), (3

4 ,14 , 1), (3

4 ,12 , 2).

Titik-titik yang terkait dengan data di atas termuat dalamgrid persegi 3× 3 pada (0, 1)× (0, 1):



Rujukan


Jika kita gunakan {sinπx, sin 2πx, sin 3πx} dan{1, cosπy, cos 2πy} sebagai sistem Chebyshev, makainterpolan-nya berbentuk

u(x, y) =a11 sinπx+ a12 sinπx cosπy + a13 sinπx cos 2πy+ a21 sin 2πx+ a22 sin 2πx cosπy + a23 sin 2πx cos 2πy+ a31 sin 3πx+ a32 sin 3πx cosπy + a33 sin 3πx cos 2πy.



Rujukan


Substitusikan data dan sederhanakan sistemnya dengan OBE:

1 0 0 0 0 0 0 0 −12

√2 + 1

20 1 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 1 0 0 0 0 0 −1 −10 0 0 1 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 −1

√2− 1

0 0 0 0 0 1 0 −1 −√

22 0

0 0 0 0 0 0 1 0 −12

√2− 3

2

.



Rujukan


Salah satu interpolan yang memenuhi sistem persamaan ini adalah:

u(x, y) =(−12

√2 +

12

)sinπx− sinπx cos 2πy +

(√2− 1

)sin 2πx

+(√

2− 32

)0.25 sin 2πx cos 2πy.



Rujukan


Catatan

Sebagian hasil yang disajikan merupakan hasil penelitian bersamadengan E. Rusyaman (Unpad).Hasil-hasil tersebut telah pula diperumum ke dimensi N oleh L.Ambarwati (Mhs S3 MA-ITB).Selain itu, ditemukan pula bahwa polinom dua peubah berderajatn selalu dapat menginterpolasi data pada 1

2(n+ 1)(n+ 2) titikyang membentuk grid segitiga.

Sebagian hasil penelitian ini telah dikirim ke beberapa jurnal didalam dan luar negeri, dan sebagian lainnya masih sedang dalamproses penulisan.



Rujukan


Ucapan Terimakasih

Penelitian ini didanai oleh Program Penguatan Riset InstitusiTahun 2010/2011.



Rujukan

A.R. Alghofari (2005), Problem in Analysis Related toSatellites, Ph.D. Thesis, UNSW, Sydney, Australia.

H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman (2008), “Aninterpolation method that minimizes an energy integral offractional order”, in D. Kapur (Ed.): Asian Symposium onComputer Mathematics 2007, LNAI 5081, 151-162,Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

H. Gunawan, E. Rusyaman, L. Ambarwati (2009), “Surfaceswith prescribed nodes and minimum energy integral offractional order”, submitted.

G.B. Lorenz (1966), Approximation of Functions, AMSChelsea Publishing, USA.

C.W. Patty (1993), Foundation of Topology, PWS PublishingCompany, USA.



Rujukan

C.R. Rao and M.B. Rao (1998), Matrix Algebra and ItsApplications to Statistics and Econometric, World Scientific,Singapore.

E. Rusyaman, H. Gunawan, A.K. Supriatna, R.E. Siregar(2010), “Eksistensi interpolan sinusoida berdimensi dua” (inIndonesian), J. Mat. Sains.

A. Zakhor (1987), Reconstruction of Multidimensional Signalsfrom Multiple Level Threshold Crossings, Ph.D. Dissertation,MIT, USA.

A. Zakhor and G. Alvstad (1992), “Two-dimensionalpolynomial interpolation from nonuniform samples”, IEEETrans. Signal Processing 40, 169–180.


Date post:	25-Jan-2017
Category:	Documents
Upload:	trinhhuong
View:	245 times
Download:	3 times

MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

Documents