MATEMÁTICA III

SEMANA 8

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

• I. Sea R la región acotada por las rectas y , con , y por las circunferencias

• y . • Si es continua• sobre R , entonces,

ar br ),( rf

b

aR

b

adrdrrfddrrrfdArf

),(),(),(

• II. Sea R la región acotada por las rectas y , con , y por las curvas

• y , donde , .• Si es continua en R,

)(1 hr

)(2 hr )(1 h )(2 h ,),( rf

R

h

hddrrrfdArf

)(

)(

2

1

),(),(

• III. Si la región está acotada por las curvas• y y por las circunferencias • y , entonces

)(1 rh )(2 rhar br

b

a

rh

rhR

drdrrfdArf)(

)(

2

1

),(),(

• IV. Sea S un sólido que tiene como base una región R en el plano coordenado polar y que está acotado superiormente por la superficie

• donde es continua en R y en R. El volumen de S es:

• Si , se obtiene el área de la región R :

),( rfz f 0),( rf

R R

ddrrrfdArfSV ),(),()(

1),( rf

RR

ddrrdARA )(

• Ejemplo 1. Calcule el área de la región que se encuentra fuera de la gráfica de y dentro de la gráfica de .

• Solución: La región se muestra en la gráfica• La región de integración es

• Entonces, el área es

ar senar 2

senararR 2,

6

5

6/),(

65

6

2)(

sena

aRR

ddrrddrrdARA 33262

a

• Ejemplo 2. Determine el área de la región acotada por un rizo de la lemniscata

• Solución: Por la simetría de los rizos, hallamos el área del rizo del primer cuadrante. La región de integración es

•

222 senar

20,

20/),( senarrR

• Entonces, el área es

2

0

2

0

22

0

2

0 2)(

d

rddrrdARA

senasena

R

2

0

2

22

sen

a

2

2a

=

.

• Ejemplo 3. Evaluar

Solución: La región de integración es

•

a

a

xadxdyyx

22

0

23

22

220,/),( xayaxayxR

• En coordenadas polares, la región es

• Entonces, arrR 0,0/),(

a

a

xa

dxdyyx22

0

23

22 0 0

53

5

a addrrr

• Ejemplo 4. Hallar el volumen del sólido acotado por el plano xy y por el paraboloide

• Solución. En coordenadas polares el paraboloide tiene por ecuación .

• Según la gráfica es• y R es el disco . Entonces,

2225 yxz

225),( rrfz

0),( rf

5r

2

62525),(

2

0

5

0

2

R

ddrrrdArfV

• Ejemplo 5. Calcule el volumen del sólido que está acotado por los paraboloides y

• Solución: De se obtiene . • Entonces el sólido se proyecta sobre• el disco acotado por la circunferencia• . Luego, el volumen de dicho sólido es:

2rz 28 rz

2r2r 28 r

2r

2

0

2

0

228 ddrrrrV

16282

0

2

0

3 ddrrr