Maths6 1 2logica Algebraproposiciones 120223064617 Phpapp02

8/17/2019 Maths6 1 2logica Algebraproposiciones 120223064617 Phpapp02

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LÓGICAÁlgebra de Proposiciones

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012



By Miguel Pérez Fontenla, January 2012



ÁLGEBRA DEPROPOSICIONES



¿Para qué nos servirá estamateria?

Lógica: Argumentos

Simli!cación "e circuitoslógicos

#ise$o circuitoseléctricos

#ise$o circuitos lógicos

Lógica "elor"ena"or%

&omren"erseu"ocó"igo

Lengua'esim(ólico



LGICA PROPOSICIONAL

)s una ciencia au*iliar "e la +norm-tica y lasMatem-ticas, .ue ayu"a a comren"erla, razonarla, etc%

¿!ué es "a "#$i%a&ro&osi%iona"?

Pue"es /er este /i"eo "e intro"uccióntt:%youtu(e%comatc3



LGICA PROPOSICIONAL

)s una rase o sentencia ase/erati/a, es "ecir, .ue a!rmao niega algo%

;am(ién o"r=amos "e!nirla como una e*resiónling>=stica susceti(le "e ser cali!ca"a "e /er"a"era oalsa%

Se les designa con las letras p, q, r, s, t, w …

E'em&"os "e enuncia"os simles “Madrid es la capital de España” “Roma es la capital de Francia” “2 + 2 = 4” “os es impar” “! " 4 = !4”

“#as amapolas son a$%les” “El coseno de %n &ng%lo no es ma'or q%e %no”

EN(NCIADO



LGICA PROPOSICIONAL

?o ser=an enuncia"os los siguientes:

E'em&"os )e no enun%ia)os“El me*or *%gador de t-ol del m%ndo” “2 + 2 ” “El proesor de ./0” “1Silencio” “sen35”

EN(NCIADO



LGICA PROPOSICIONAL

Se llama valor de verdad "e un enuncia"o a lacon"ición "e /er"a"ero V o also F "el mismo%

E'em&"os "e /alor "e /er"a"“Santiago es la capital de 6alicia” tiene /alor "e

/er"a" *“Roma es la capital de Francia” tiene /alor "e

/er"a" +“El 7 es %n nmero nat%ral” tiene /alor "e/er"a" *“2 + 2 = 4” tiene /alor "e /er"a" *“! " 4 = !4” tiene /alor "e /er"a" +“#as amapolas son a$%les” tiene /alor "e

/er"a" +“El cos35 no es ma'or q%e %no” tiene /alor "e

*ALOR DE*ERDAD



LGICA PROPOSICIONAL

)s el .ue est- orma"o or /arios enuncia"os simles yunas conectivas .ue /amos a "e!nir a continuación%

E'em&"os "e enuncia"os comuestos “Madrid es la capital de España ' 2 + 2 son 4” “Roma es la capital de Francia 8 2 + 2 son 9” “(%an est%dia todas las noc)es 8 (%an no apr%e-a

matem&ticas”

EN(NCIADOCO-P(ES.O



LGICA PROPOSICIONAL

Enun%ia)o)s una rase o sentencia .ue a!rma o niega algo

E'em&"os "e )nuncia"os simles “Madrid es la capital de España” “2 + 2 = 4”

“! " 4 = !4”

*a"os )e ver)a)Se llama valor de verdad "e un enuncia"o a lacon"ición "e /er"a"ero V o also F "el mismo%

Enun%ia)o %om&uesto)s el .ue est- orma"o or varios enuncia"os simles yunas conectivas .ue /amos a "e!nir a continuación%

“El 2 es di:isor de 4; o el ! es di:isor de 4;”<“Si " es nmero primo, entonces " impar”<



LGICA/ CONEC.I*AS

#os enuncia"os simles p y q se ue"en com(inar con laconecti/a 0 @.ue se lee o orman"o un enuncia"ocomuesto "enomina"o con'unción "e los enuncia"osiniciales y se escri(e & 0 q

Cue .ue"a "e!ni"a or su tabla de verdad:

Ejemplo

” ! es %n nmero primo 8 >2 es di:isi-le entre !?

O&era)or "#$i%o Dis1un%i#n& 0 q

& q & 0 q

D D D

D F D

F D DF F F

Pue"es /er este /i"eott:%youtu(e%comatc3



LGICA / CONEC.I*AS

#os enuncia"os simles p y q se ue"en com(inar con laconecti/a 2 @.ue se lee ' orman"o un enuncia"ocomuesto "enomina"o con'unción "e los enuncia"osiniciales y se escri(e & 2 q

Para "e!nir a"ecua"amente una conecti/a ay .uee*licar como actGa y eso se consigue "e!nien"o sutabla de verdad:

Ejemplo

O&era)or "#$i%oCon'un%i#n & 2 q

& q & 2 q

D D D

D F FF D F

F F F



LGICA / CONEC.I*AS

n enuncia"o simle p se ue"en com(inar con laconecti/a H @o la 3, .ue se leen no orman"o un nue/oenuncia"o "enomina"o negación "el enuncia"o inicial yse escri(e 4& o tam(ién 3&

Cue .ue"a "e!ni"a or su tabla de verdad:

EjemplosEl dinero no da la elicidad<Es falso que el dinero de la elicidad<No es el caso que el dinero de la elicidad<El dinero da cualquier cosa menos la elicidad<

Es inaceptable decir que el dinero da la elicidad<No es cierta la armación ue el dinero da la elicidad<

O&era)or "#$i%o Ne$a%i#n 4&# 3&

& 4&

D F

F D



LGICA / CONEC.I*AS

&alcular el /alor "e /er"a" "e los siguientes enuncia"os:

><“Madrid es la capital de España ' 2 + 2 son 4” 2<“Roma es la capital de Francia 8 2 + 2 son 9” !<“@ es primo 8 2 + 2 = 4” 4<“7 es primo ' no es cierto q%e 2 + 2 = 9” 9<“@ no es primo 8 2 + 2 I ” @<“(%an est%dia todas las noc)es 8 (%an no apr%e-a

matem&ticas”

E'er%i%ios



LGICA/ .ABLAS DE *ERDAD

&uan"o usemos /aria(les , . , r, ara"esignar un enuncia"o y lo com(inemos conconecti/as 2 5 0 5 4 @y otras .ue estu"iaremoso(tenemos un enuncia"o comuesto .ue"enominamos &ro&osi%i#n y la "enotamos or

P6&5q5r5 ,7

)l /alor "e /er"a" "e una roosición "een"eGnica y e*clusi/amente "e sus /aria(les y arae*resarlo se construye la ta8"a )e ver)a)

Pro&osi%i#n 1 ta8"as )ever)a)

& q 4& 4q 4& 24

q

464& 24

q7

D D F F F D

D F F D F D

F D D F F D

F F D D D F




1% &onstruye la siguiente ta(la "e /er"a"

E'er%i%io

& q 4& 4& * q 464& *q7

D D

D F

F D

F F

2% +n"ica cu-l es el /alor "e /er"a" "e la roosición:“Ao es cierto q%eB 7 no es primo 8 Roma es la capitalde Francia”



LGICA / CONEC.I*AS

#os enuncia"os simles p y q se ue"en com(inar con laconecti/a K @.ue se lee implica y tam(ién Csolo si orman"o un enuncia"o comuesto "enomina"oimlicación o con"icional "e los enuncia"os iniciales y seescri(e & 9 q

Cue .ue"a "e!ni"a or su tabla de verdad :

Ejemplos

Si ll%e:e, entonces :o' al cine<o' al cine si ll%e:e<

O&era)or %on)i%iona" # im&"i%a%i#n "#$i%a5& K q

& q & 9 q

D D D

D F FF D D

F F D



LGICA / CONEC.I*AS

#os enuncia"os simles p y q se ue"en com(inar con laconecti/a @.ue se lee eq%i:ale y tam(ién Csi ' solosi orman"o un enuncia"o comuesto "enomina"oe.ui/alencia o (icon"icional "e los enuncia"os iniciales yse escri(e & q

Cue .ue"a "e!ni"a or su tabla de verdad :

Ejemplos

.e a'%dar si ' solo si te a'%das a ti mismo<

O&era)or 8i%on)i%iona" # equiva"en%ia"#$i%a5 & q

& q & : q

D D D

D F FF D F

F F D



LGICA / CONEC.I*AS

RES(-EN OPERADORES LGICOS

O&era)or S;m8o"o

Le%tura E'em&"o

#isyunción N .

&on'unción O 6 O .

?egación H Q ?o Q

&on"icional+mlicación

K si entonces imlica .ue

K .

Bicon"icional

).ui/alencia

R e.ui/ale a si y solo si .

Otros S;m8o"o

Le%tura E'em&"o

#isyunción)*cluyente

T U ó (ien ó (ien .

?egacióncon'unta V ni ni V V .




na tauto"o$;a < es una roosición cuyo /alor "e/er"a" es siemre /er"a"ero * ara cual.uier /alor "elas /aria(les .ue la comonen%

na %ontra)i%%i#n = es una roosición cuyo /alor "e/er"a" es siemre negati/o + ara cual.uier /alor "e las/aria(les .ue la comonen%

na %ontin$en%ia en una roosición .ue no es ni/er"a"era ni alsa in"een"ientemente "e los /alores "e/er"a" "e las roosiciones simles .ue la comonen%

.auto"o$;as 1%ontra)i%%iones

Pue"es /er este /i"eott:suerinteresante8%or"ress%com2011101WtautologiasXcontra"iccionXyX




E'er%i%io >1% &onstruye la ta(la "e /er"a" "e la roosición P@.,r R @.

2 r * Q@. 2 r

Sol%ci8n

Gor lo tanto G R <, es %na ta%tologHa

q r q 2 r 36q 2 r7 6q 2 r7 * 3 6q 2r7

D D D F D

D F F D D

F D F D D

F F F D D




E'er%i%io 1% #emuestra .ue la ley Mod%s ponendo ponens es una

tautolog=a <%

Sol%ci8n

Gor lo tanto es %na ta%tologHa

& q & @ q 6& @ q7&

66& @ q7&7 @ q

D D D D D

D F F F D

F D D F D

F F D F D



ALGEBRA DEPROPOSICIONES

Equiva"en%ia L#$i%a#os roosiciones P@,.,r, y C@,.,r, sonlógicamente e.ui/alentes, y se escri(e P R C, si tienenla misma ta(la "e /er"a"%

E'em&"o

Las roosiciones P: Q@ O . y C:@Q D Q . sonlógicamente e.ui/alentes ues:

Por lo .ue escri(imos .ue Q@ O . R @Q D Q . ,conoci"a como Ley de or!an/

&omo e'emlo la roosición Yno es cierto .ue 2Z24[ yW es rimo[ e ui/ale a "ecir 2Z2 I[ o W no es rimo[%

& q & 2q

36& 2q7

D D D F

D F F D

F D F DF F F D

& q 3& 3q 63& * 3q7

D D F F F

D F F D D

F D D F D

F F D D D




E'er%i%io #emuestra .ue \ . es e.ui/alente a Q D .

Sol%ci8n

Gor lo tanto \ . R Q D ., es "ecir, o"r=amos rescin"irsiemre "el oera"or con"icional sustituyén"olo or lanegación y la "isyunción%

#ecir YSi est%dias apr%e-as] e.ui/ale lógicamente a Ynoest%dias o apr%e-as]

& q & @ qD D D

D F F

F D D

F F D

& q 3& 3& * qD D F D

D F F F

F D D D

F F D D




E'er%i%io

Sim8o"ia%i#n )e Enun%ia)os1%Las comuta"oras tra(a'an m-s r-i"o .ue losom(res%2%?o tengo un auto azul%^%Marcela estu"ia en Cuito y Pa(lo en Lo'a%E%Bailamos o tomamos caé%%Si cantamos entonces necesitamos /ia'ar%W%Leeré este li(ro si solo si tiene ocas o'as%8%?o es cierto .ue si no tomamos caé imlica .ue no es"e "=a%_%La tierra gira alre"e"or "el sol ó no se "a .ue la luna esun laneta%`%Si tra(a'ara los !nes "e semana y "urmiera menosentonces no er"er=a el /uelo%10%)s also .ue /i/o en Lo'a, ero /isitaré a mi amilia en

&uenca%11%?o iremos al arti"o a menos .ue salga el sol%




Le1es )e" á"$e8ra )e&ro&osi%ionesNO-BRE E!(I*ALENCIA

Leyes "e +"emotencia O R D R

Leyes &onmutati/as O . R . O D . R . D

Leyes Asociati/as @ D . D r R D 6. D r@ O . O r R O 6. O r

Leyes #istri(uti/as D @. O r R @ D . O @ D r O @. D r R @ O . D @ O r

Leyes "e +"enti"a" D R O b R

Leyes "e #ominación D b R b O R

Leyes "e &omlemento D Q R b O Q R

Leyes "e +n/olución Q Q R

Leyes "e Morgan Q@ O . R @Q D Q .Q@ D . R @Q O Q .




Demostra%iones )e "as "e1es )e" Á"$e8ra )ePro&osi%iones

&ual.uier ley .ue consista en una e.ui/alencia lógica se"emuestra comro(an"o .ue las ta(las "e /er"a" coinci"en%

a ro(amos, en una "iaositi/a anterior, una Ley "e Morgan%Pro(emos aora la Ley #istri(uti/a:& q r q 2 r & * 6q 2r7

6& * q7 6& *r7

6& * q7 2 6& * r7

D D D D D D D D

D D F F D D D D

D F D F D D D D

D F F F D D D D

F D D D D D D D

F D F F F D F F

F F D F F F D F

F F F F F F F F




DeFni%i#n Pro&osi%iones inversa re%;&ro%a 1%ontrarre%;&ro%a

Sea una roosición con"icional & @ q, a artir "e ella"enominamos

roosición in/ersa a 3& @ 3q

roosición rec=roca a q @ &roosición contrarrec=roca a 3q @ 3&

.eoreman enuncia"o con"icional & @ q y su contrarrec=roco 3q@ 3& son lógicamente e.ui/alentes%

& q 3& 3q & @q 3& @3q q @ & 3q @3&

D D F F D D D D

D F F D F D D F

F D D F F F F D

F F D D F D D D



ARG(-EN.OS

DeFni%i#n Ar$umenton argumento es una relación entre un con'unto "e

roosicionesP1, P2, , Pn llama"as premisas, y otra roosición C, .ue

"enominamos concl%si8n%

Lo "enotamos or P1, P2, , Pn C˫ DeFni%i#n Ar$umento vá"i)o#iremos .ue un argumento es /-li"o si P1, P2, , Pn son

/er"a"eras imlica .ue la conclusión C es /er"a"era%

DeFni%i#n +a"a%ia ;o"o argumento no /-li"o se "enomina alacia%



ARG(-EN.OS.eorema

n argumento P1, P2, , Pn C˫ es /-li"o si y solo si @sii @P1 O P2 O O Pn\ C es una tautolog=a%

E'em&"o Le1 )e" Si"o$ismo#emostrar .ue si p imlica q y q imlica r entonces p imlica r %)n lengua'e sim(ólico ser=a el argumento @ \ . , @. \ r @˫ \ r

y tenemos .ue ro(ar .ue @ \ . O @. \ r d \ @ \ r es unatautolog=a:& q r & @

qq@ r 6& @ q7 2 6q

@ r7& @r

6& @ q7 2 6q @ r7H @6& @r7

D D D D D D D D

D D F D F F F D

D F D F D F D D

D F F F D F F D

F D D D D D D D

F D F D F F D D

F F D D D D D D

F F F D D D D D



ARG(-EN.OSE'er%i%io

)stu"iar la /ali"ez "el siguiente argumento:G>B #os )om-res solteros son inelices

G2B #os )om-res inelices m%eren *8:enes

……………………<IB #os )om-res solteros m%eren *8:enes

Solución)s un silogismo, luego or el e'emlo re/io, es /-li"o%



ARG(-EN.OSE'er%i%io J

)stu"iar la /ali"ez "el siguiente argumento:G>B Si estas conmigo entonces no me traicionar&s<

G2B Si estas contra mi entonces me traicionar&s<

……………………<IB o estas conmigo o estas contra mi

Solución

& q r 3q

& @ 3q q @ r & vq

6& @ 3q7 2 6q @r7

6& @ 3q7 2 6q @ r7H @6& vq7

D D D F F D D F D

D D F F F F D F D

D F D D D D D D D

D F F D D D D D D

F D D F D D D D D

F D F F D F D F D

F F D D D D F D F

F F F D D D F D F



ARG(-EN.OSE'er%i%io K

)stu"iar la /ali"ez "el siguiente argumento:G>B Si Gicasso naci8 en M&laga, entonces no es cierto q%e

naciera en FranciaG2B Gicasso no naci8 en Francia

……………………<IB Gor tanto, naci8 en M&laga

Solución&o"i!ca"o .ue"ar=a:

G>B & @ 3.

G2B 3.……………………<

IB p& q 3q & @3q 6& @ 3q7 2 63q7 6& @ 3q7 2 63q7H @&

D D F D F D

D F D F F D

F D F D F D

F F D D D F



ARG(-EN.OSE'er%i%io

)stu"iar la /ali"ez "el siguiente argumento:G>B El Jarcelona gana la liga

G2B El Jarcelona no gana la liga

……………………<IB Gor tanto, el Real Madrid siempre gana

Solución&o"i!ca"o .ue"ar=a:

G>B p

G2B 3 p ……………………<IB q

& q 3& & 23& 6& 2 3&7 @q

D D F F D

D F F F D

F D D F D

F F D F D



ARG(-EN.OSE'er%i%io >M

)stu"iar la /ali"ez "el siguiente argumento:G>B Si est%dio no s%spender las ./0

G2B Si no *%ego al t-ol entonces est%dio

G!B S%spendH las ./0

……………………<

IB Gor tanto, *%g% al t-ol<



LOGICA/ IN+ERENCIAS

DeFni%i#n IN+ERENCIAS)s "e"ucir, y "e"ucir es o(tener conclusiones a artir "eunas remisas% ;iene como !nali"a" acilitar el an-lisis "eargumentos me"iante el lengua'e sim(ólico y las Yeglas "ela +nerencia]%

Re$"as )e Ineren%iaLos argumentos (asa"os en tautolog=as reresentan méto"os"e razonamiento uni/ersalmente correctos% Su /ali"ez"een"e solamente "e la orma "e las roosiciones .ueinter/ienen y no "e los /alores "e /er"a" "e las /aria(les

.ue contienen% A esos argumentos se les llaman reglas "einerencia%Las reglas "e inerencia ermiten relacionar "os o m-stautolog=as o iótesis en una "emostración%



LOGICA/ IN+ERENCIAS

A continuación se cita una lista "e las rinciales reglas "e inerencia .ue se ue"en alicar en una"emostración%a7 Re$"as )e A)i%i#n&on cual.uier remisa o conclusión o"emos ormular una conclusión "isyunti/a en la .ue uno "e susmiem(ros sea esa remisa o conclusión%f .(7 Re$"as )e Sim&"iF%a%i#nLas remisa o conclusiones con'unti/as ue"en simli!carse en cual.uiera "e sus miem(ros%

f .Pe7 Re$"as )e Con'un%i#n

;o"a remisa o conclusión ue"e ser enlaza"a or una con'unción%./r7 Re$"as )e Ponen)o Ponens)n una roosición con"icional, siemre .ue se a!rme @Ponien"o el antece"ente, o"emos a!rmar @Ponens elconsecuente%.

.



LOGICA/ IN+ERENCIAS

NO-BRE E!(I*ALENCIA

Mo"us onen"oonens

)l %on)i%iona" o im&"i%a%i#n es a.uella oeración .ue esta(lece entre "osenuncia"os una relación "e causaXeecto% La regla onen"o onens[signi!ca, Ya!rman"o a!rmo] y en un %on)i%iona" esta(lece, .ue si elantece"ente @rimer término, en este caso & se a!rma, necesariamente sea!rma el consecuente @segun"o término, en este caso q%

P1: \ .P2: P%%C: .

Mo"us tollen"otollens

Si "e un con"icional, aarece como remisa el consecuente nega"o @eleecto, eso nos con"uce a negar el antece"ente @la causa, uesto .ue si uneecto no se "a, su causa no a o"i"o "arse%

P1: \ .

P2: Q .%%C: Q

Silogismo7iotético

#a"os "os imlicaciones, "e las cuales, el antece"ente "e la una sea elconsecuente "e la otra @el mismo enuncia"o, o"emos construir una nue/aimlicación cuyo antece"ente sea el "e a.uella imlicación cuyaconsecuencia sea el antece"ente "e la otra imlicación, y cuyo consecuentesea el "e ésta Gltima, cuyo antece"ente era consecuencia "el rimero%

P1: \ .P2: . \ r%%C: \ r

Silogismo#isyunti/o

#a"as tres remisas, "os "e ellas imlicaciones, y la tercera una "isyuncióncuyos miem(ros sean los antece"entes "e los con"icionales, o"emosconcluir en una nue/a remisa en orma "e "isyunción, cuyos miem(rosser=an los consecuentes "e las "os imlicaciones% Lógicamente, silanteamos una elección entre "os causas, o"emos lantear una elecciónigualmente entre sus "os osi(les eectos, .ue es el senti"o "e esta regla%

P1: \ .P2: r \ sP^: D r%%C: . D s

&on"icional comocl-usula

@ \ . h @Q .

&ontraositi/a@@ \ . h @Q . \ Q

REGLAS PRINCIPALES DEIN+ERENCIA LOGICA



LOGICA/ IN+ERENCIAS

E'em&"o)s /-li"o el siguiente argumento3:

G>B Si %sted in:ierte en -olsa, entonces se )ar& rico<

G2B Si se )ace %sted rico, entonces ser& eli$<

……………………<

IB Si %sted in:ierte en -olsa, entonces ser& eli$<

So"u%i#nLo co"i!camos% Sean , . y r los enuncia"os:: ]Ksted in:ierte en -olsa]%.: ]Se )ar& rico” %r: ]Ser& eli$”<

#e tal manera .ue el enuncia"o anterior se ue"e reresentar con notaciónlógica "e la siguiente manera:P1: \ .P2: . \ r%%C: \ r

Cue es un si"o$ismo y, or lo tanto, el argumento es /-li"o%



LOGICA/ DE-OS.RACIONES

Demostra%i#n orma" )ire%ta)l méto"o "e "emostración ormal "irecta, "e eco, el m-s usual, est- (asa"o en el teorema ya comenta"o

"e .ueP1, P2, , Pn C˫ es /-li"o si y solo si @sii @P1 O P2 O O Pn\ C es una tautolog=a%#on"e la Pi son llama"as iótesis o remisas, y C es llama"a conclusión%Y#emostrar un teorema], es "emostrar .ue la imlicación es una tautolog=a% ?ota .ue no estamos tratan"o "e

"emostrar .ue . @la conclusión es /er"a"era, sino solamente .ue C es /er"a"era si to"as las P i son/er"a"eras%

;o"a "emostración "e(e comenzar con las iótesis, segui"as "e las tautolog=as y reglas "e inerencianecesarias, asta llegar a la conclusión%

)'emloAnalizar el siguiente argumento: YSi tra(a'o o aorro, entonces comraré una casa% Si comro una casa,

entonces o"ré guar"ar el coce en mi casa% Por consiguiente, si no ue"o guar"ar el coce en mi casa,entonces no aorro]%

SoluciónSean: ;ra(a'o%.: Aorro%

r: &omraré una casa%s: Po"ré guar"ar el coce en mi casa%)l enuncia"o anterior se ue"e reresentar como:

P1: @ D . \ rP2: r \ s%%C: Q s \ Q .

j@ D . \ rd O @r \ sk ˫ Q s \ Q .dSe alica el roce"imiento general ara "emostración "e enuncia"os /-li"os% A continuación se "emuestra el

teorema resal"an"o ca"a uno "e sus asos en tautolog=as o reglas "e inerencia ya conoci"as%

1%X @ D . \ r 7iótesis2%X r \ s 7iótesis^%X @ A"ición tautolo =a 10




Demostra%i#n orma" &or %ontra)i%%i#n)l roce"imiento "e la "emostración or contra"icción es seme'ante a la .ue se realizó or el méto"o "irecto

con la "ierencia "e .ue las l=neas iniciales "e "ica "emostración no son Gnicamente las iótesis, sinoa"em-s se incluye en la "emostración una l=nea con la negación "e la conclusión% Por otro la"o el o('eti/o"e la "emostración es llegar a una contra"icción%

La "emostración "el siguiente teorema or el méto"o "e contra"icción es como se in"ica @ r d @. s t d @ s p t#emostración1%X @ r 7iótesis2%X @. s t 7iótesis^%X s 7iótesisE%X t[ ?egación "e la conclusión%X @. s[ 2,E Mo"us tollens, regla 2W%X .[ s[ Ley "e Morgan, Wq8%X .[ W Simli!cación, regla 20_%X s[ .[ W Ley conmutati/a, 2(`%X s[ _ Simli!cación, regla 2010%X s ^ Ley conmutati/a, 2q11%X 10,` Silogismo "isyunti/o, regla 21

12%X . r 11,1 Mo"us onens, regla 2E1^%X . 12 Simli!cación, regla 2`1E%X . .[ 1^,8 &on'unción, regla 2^1%X &ontra"icción%?ote .ue 'untamente con las remisas se "e(e incluir la negación "e la conclusión% )n este momento el

alumno ya tiene los elementos ara lle/ar a ca(o "emostraciones con el aoyo "el maestro% )scon/eniente lantear /arios enuncia"os, ara .ue el alumno los reresente con sim(olog=a lógica enorma "e teorema% Cue ese mismo teorema lo reresente con su ta(la "e /er"a" y aga lacorreson"iente "emostración or los "os méto"os antes menciona"os%




E'er%i%io >>#emostrar .ue si " 2 es impar entonces " es impar<

Solución

Sea : " 2 es impar y sea .: " es impar % Cueremos "emostrar.ue & @ q

Pero "emostremos su contrarrec=roco, es "ecir, .ue 3q @3&

Si .: " es impar entonces 3.: " no es impar R " es parSi * es ar es .ue e*iste un nGmero entero ' tal .ue * 4 2 ' Si * 4 2y entonces *2 4 @2y2 4 Ey2 y entonces *2 es un

mGltilo "e E y or tanto tam(ién un nGmero ar%&omo la contrarrec=roca es /er"a"era, el enuncia"o original

es /er"a"ero tam(ién%

c%.%"% @L0omo I%erHamos emostrarL, :ase I%od erat demonstrand%m%




DeFni%i#n

& q 3&

3q

& @q

3& @3q

q @ & 3q @3&

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Á








• solo los inteligentes y sim-ticosestu"ian lógica



ARI.-E.ICA BINARIA

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